Physikalisch-Technische Bundesans al
Na ionales Me ologieins i u
Lei aden ü die
3D-Lochbildeinpassung in de
Koo dina enmess echnik
Ve sion 1 | 23.05.2017
DOI 10.7795/530.20170606DE
Physikalisch-Technische Bundesans al B aunschweig u. Be lin
Lei aden ü die 3D-Lochbildeinpassung in de Koo dina enmess echnik
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Lei aden
Fü die 3D-Loch bildeinpassüng i n de
Koo dina enmess echnik
Ve sion 1
23.05.2017
Inhal
1. Einlei ung ......................................................................................................................................... 2
2. Allgemeine An o de ungen .............................................................................................................. 4
2.1. Lochbildeinpassung in No mung .............................................................................................. 4
2.2. Bes immung de CAD Pa ame e ü die Leh ung ................................................................... 7
2.3. F eihei sg ade de Einpassung und Bezüge ............................................................................. 8
2.4. Leh ung mi Koo dina enmesssys emen ................................................................................. 9
2.5. Ein luss on Messunsiche hei en au das Einpassungse gebnis ........................................... 14
3. Anwendungsbeispiel Flansch ing ................................................................................................... 15
3.1. No menkon o me P ü ung.......................................................................................................... 16
3.2. Ma hema ische Modellbildung ü Bezüge und Einpassung ...................................................... 17
3.4. Ve allgemeine ung de P ü au gabe ü die Mon agesimula ion .............................................. 25
4. Anwendungsbeispiel Kegelscheibe ................................................................................................ 27
4.1. No menkon o me P ü ung..................................................................................................... 28
4.2. Ma hema isches Modell de Bezugsbildung und Einpassung ............................................... 29
5. Anwendungsbeispiel Wü el .......................................................................................................... 37
5.1. No menkon o me P ü ung..................................................................................................... 38
5.2. Ma hema isches Modell de 3D-Lochbildeinpassung ........................................................... 38
5.3. Ve allgemeine ung de P ü au gabe ü die Mon agesimula ion ......................................... 43
Re e enzen ............................................................................................................................................. 44
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Lei aden ü die 3D-Lochbildeinpassung in de Koo dina enmess echnik
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1. Einlei ung
Bei de Inspek ion on Bau eilen ha die P ü ung mi Leh en g oße Bedeu ung, da sie be ei s o de
En wicklung e s e Koo dina enmessge ä e (KMG) eingese z wu de. Das P inzip de P ü ung wi d als
Taylo sche G undsa z bezeichne . Die dabei e wende e Leh e – ode auch Funk ionsleh e genann [1]
– bes eh aus zwei Teilen. Eine Gu leh e leg maximal zulässige G enzabweichungen ü die Ges al on
Bau eilkomponen en es . Fü die P ü ung eine Boh ung is dies beispielsweise ein zylinde ö mige
Leh enbolzen, de olls ändig in die ge e ig e Boh ung ges eck we den soll e. Ve klemm de Bolzen
beim Eins ecken, is die Boh ung Ausschuss. Die zwei e Komponen e bei de Leh ung is die
Ausschussleh e. Mi diese we den im Gegensa z zu Gu leh e lokale Maße on Bau eilen au
Zulässigkei gep ü . Bei Boh ungen sind dies S i e zu P ü ung maximal zulässige lokale
Zweipunk maße de Boh ungsinnen läche. In ähnliche Weise we den ü die P ü ung on Wellen
Leh inge bzw. Hülsen eingese z . Die P ü ung mi Funk ionsleh en is nich au einzelne
Geome ieelemen e besch änk , sonde kann auch G uppen meh e e Funk ionselemen e eines
Bau eils um assen.
In mode nen P oduk ionen we den die Komponen en e schiedene Baug uppen in de Regel an
un e schiedlichen S ando en ode on Zulie e be ieben ge e ig . Die Ve einba ung zulässige
Ges al abweichungen ü We ks ücke e olg dabei du ch echnische Zeichnungen mi Tole anzangaben
nach den No men ISO 1101 [2], ASME Y14.5M [3] ode ande en spezi ischen We ksno men. Nu wenn
om Au aggebe und Zulie e e die Tole anzen in den echnischen Zeichnungen konsis en
in e p e ie we den, kann spä e die Mon ie ba kei de Baug uppen gewäh leis e we den. Fü eine
unk ionsge ech e Fe igung is dahe die P ü ung de Fügba kei o de Mon age un e zich ba . Die
P oblema ik wi d anhand des Flansch ings in Abbildung 1 e deu lich .
Abbildung 1 Da s ellung de Mon agean o de ungen bei eine Flansch e bindung mi Zap en.
Abbildung 1 zeig links einen Flansch ing mi 16 gleichabs ändigen Boh ungen. Diese soll du ch
einzelne Zap en in de Fo m on Sch auben mi einem zwei en Flansch e bunden we den. Es is
e sich lich, dass die einzelnen Zap en un e schiedliche Du chmesse in die zugehö igen Boh ungen
passen. Bei Flansch e bindungen is es jedoch e o de lich, dass alle Zap en gleichzei ig in die
zugehö igen Boh ungen passen. Anhand de ech en Bildhäl e wi d die P oblema ik umso deu liche ,
da Boh ungen und zugehö ige Zap en auch windschie zueinande s ehen können. Allgemein haben in
de Mon age alle Ges al abweichungen de Bau eile einen Ein luss au die Fügba kei . Dazu zählen Maß-
, Fo m- und Lageabweichungen. Bei seh hohen Genauigkei san o de ungen sind zudem Ein lüsse du ch
Welligkei und Rauhei de We ks ückobe läche an den Passs ellen mi zu beach en.
Die Umse zung de Leh ung mi KMGs ha allgemein die Bezeichnung i uelle bzw. echne ische
Leh ung. Hie bei wi d die kö pe liche Funk ionsleh e du ch ein CAD-Modell e se z. Ebenso e olg eine
Messung de We ks ückobe läche du ch die Au nahme endlich iele Punk e mi dem KMG. Diese
Da en we den auch als e ass e We ks ückgeome ie bezeichne . Schließlich e olg die i uelle Leh ung
du ch das Ve ah en de 3D-Lochbildeinpassung zwischen e ass e Geome ie und einem CAD Modell
de Leh e. De Beg i des Lochbilds bezieh sich dabei au die 3D Maßelemen e Zylinde (Boh ung,
Welle) und pa allele Ebenenpaa e (Nu , Fede ).
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Bei de Einpassung und Zuo dnung on Einzelgeome ieelemen en exis ie en eine Vielzahl on
No men zu einhei lichen Spezi ika ion de Ve ah en, obus e Re e enzalgo i hmen und Tes s ü die
Indus ie ([4], [5]). Im Gegensa z dazu is die Geome ieeinpassung mi meh e en Elemen en in de Fo m
on Boh bilde n und 3D-Lochbildeinpassung hinsich lich mess echnische und echen- echnische
Ve ah en kaum einhei lich dokumen ie und du ch No men ge egel . Zwa we den in de ISO No mung
zu Geome ischen P oduk Spezi ika ion (GPS) Zeichnungsein agungen zu Tole ie ung mi 3D-
Lochbildeinpassungen de inie , no wendige No m eile zu Umse zung in einem einhei lichen
P ü e ah en ehlen abe gänzlich. No wendig sind zum Beispiel Vo gaben zum ko ek en Einsa z on
e schiedenen Senso en bei de mess echnischen E assung on Messpunk en, so dass mi hohe
Wah scheinlichkei die höchs en Punk e de be ach e en Elemen e gemessen we den. Diese sind
signi ikan ü die Be echnung de Messg ößen und dami ü die Quali ä und Zu e lässigkei de
Bau eilep ü ung. Mi diesem Hin e g und sind besonde s op ische und CT-Mess e ah en bei de 3D-
Lochbildeinpassung du ch i uelle Leh ung on Bedeu ung, da sie geeigne sind, seh schnell die
gesam e Obe läche eines Bau eils olls ändig zu e assen. Ein g oße Teil de heu e bes ehenden
No men is jedoch nu ü ak ile Senso en ausgeleg , die i. A. eine Bau eilobe läche seh iel langsame
und nu un olls ändig e assen.
Ein G oß eil de P ü au gaben, die du ch kö pe liche Leh ung bzw. Lochbildeinpassung mi meh e en
Geome ieelemen en behandel we den, beziehen sich au die Tole ie ung nach ISO 2691 [6]. Diese
spezi izie die Maximum-Ma e ial Bedingung (MMB) und Minimum-Ma e ial Bedingung (LMB) ü
Bau eile. Die Vo gabe bei de Anwendung de No m is , dass sich ein ge e ig es We ks ück mi einem
du ch Zeichnungsein agungen de inie en Gegens ück paa en läss . Die echne ische Umse zung de
P ü ung mi de MMB bzw. LMB in eine Mon agesimula ion wi d nich dokumen ie . Dahe gib es in
de Li e a u e schiedene Lösungsansä ze (z.B.: [7], [8], [9]) ü die echne ische Lochbildeinpassung.
Die Viel al de Algo i hmen spiegeln sich auch in de Messge ä eso wa e wiede . Lösungen on
un e schiedlichen He s elle n sind nich kompa ibel, wenn un e schiedliche Algo i hmen genu z
we den, bzw. die zu e wendenden Ve ah en nich im Vo eld es geleg wu den. Das allgemein
ko ek e Vo gehen is die Einpassung mi allen Messpunk en zum i uellen Gegens ück. Bei heu igen
mode nen Koo dina enmesssys emen mi Mul isenso ik, op isch- ak ilen Messsenso en ode auch CT-
Messsys emen allen zudem seh g oße Da enmengen an. Wenn aus E izienzg ünden die So wa e an
die G enzen des wi scha lichen Nu zens komm , we den o mals Fil e zu Ausdünnung de Messda en
o de Auswe ung eingese z . Diese haben zusä zlich zum Einpassungsalgo i hmus einen Ein luss au
die Messe gebnisse bei de Lochbildeinpassung. Die Au gabe dieses Lei adens zu 3D-
Lochbildeinpassung is die anwende o ien ie e Da s ellung on P ü p ozessen zu echne ischen
Mon agesimula ion mi i uelle Leh ung. Dabei we den p inzipielle An o de ungen aus de klassischen
kö pe lichen Leh ung nach ISO 1101 in die Koo dina enmess echnik übe agen sowie Emp ehlungen
ü eine so wa esei ige Umse zung o ges ell . Be ach e we den e schiedena ige
Koo dina enmesssys em mi un e schiedliche Senso ik. Von besonde em In e esse sind Bau eil
Messungen mi dimensionale Compu e Tomog aphie (CT), da diese eine e izien e E assung de
gesam en Bau eilobe läche e möglich . Neben de Besch eibung eine allgemeinen Vo gehensweise in
Abschni 2, um assen die Angaben auch De ails zu d ei speziellen Anwendungsbeispielen. Das e s e is
ein Flansch ing, de beispielsweise beim Bau on Windk a anlagen zu e igen is . Diese wi d in
Abschni 3 o ges ell . Ausgehend on eine echnischen Zeichnung in de meh e e pa allele Boh ungen
eine gemeinsame Lage ole anz mi Maximum-Ma e ial-Bedingung au weisen wi d eine o a o ische
Lochbildeinpassung mi Zylinde n besch eiben. Im Sinn de ISO GPS No mung wi d dem Flansch ein
geome isch ideales Bezugssys em zugeo dne , welches eine mögliche D ehung de Leh e zu
Einpassung es leg .
Fe ne behandel Abschni 4 Au gaben, bei denen e schiedena ig Geome ieelemen e gleichzei ig
eingepass we den. Das hie o ges ell e Beispiel is eine Kegelscheibe mi eine Nu aus pa allelen
Ebenen und meh e en pa allelen Boh ungen. Ein Bezug lieg eben alls o . Das d i e
Anwendungsbeispiel in Abschni 5 spezi izie die Einpassung eine Leh e aus Zylinde elemen en in
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meh e e Boh ungen in einem Wü el, de en Achsen ech winklig zueinande s ehen. Hie wi d de Fall
eine schwimmenden Fügung be ach e , d. h. Bezüge, welche die Einpassung de Leh engeome ie
einsch änken, liegen nich o .
2. Allgemeine An o de ungen
Die 3D-Lochbildeinpassung wi d zu P ü ung spezi ische Fo m- und Lage ole anzen unk ionale
Komponen en on Bau eilen eingese z . Da un e zähl haup sächlich die P ü ung olls ändige
Geome ien mi echne ische Leh ung.
Zusä zlich exis ie en eine Reihe wei e e Anwendungen, bei denen abgelei e e Geome ieelemen e
wie beispielsweise Achsen ode Mi elebenen eben alls nach den o malen P inzipien de 3D-
Lochbildeinpassung gep ü we den können. Au diese wi d an geeigne e S elle im Lei aden
hingewiesen. Es e olg jedoch keine ie e gehende Behandlung, da no wendige Ve ah en und
An o de ungen ü die P ü ung du ch die No mung hin eichend abgedeck sind ode in ein ache Weise
on de echne ischen Leh ung übe nommen we den können.
In den Un e abschni en 2.1, 2.2 und 2.3 we den zunächs die wich igs en An o de ungen an die
Lochbildeinpassung da ges ell , welche bei de Anwendung de No men ISO 1101 und ISO 2962 zu
e üllen sind. Mi dem G undlagenwissen e olg anschließend die p inzipielle Auslegung und E gänzung
de Ve ah en ü eine Anwendung mi gängigen Mi eln de Koo dina enmess echnik in Abschni 2.4.
Diese um ass eben alls An o de ungen an die Auswe eso wa e und ele an e nume ische Ve ah en.
Abschließend we den in Abschni 2.5 au e ende Messabweichungen bei de 3D Lochbildeinpassung
be ach e . Diese sind maßgeblich ü die Konsis enz/Nich konsis enz zwischen echne ische Leh ung
und eine P ü ung bei eale kö pe liche Leh ung.
2.1. Lochbildeinpassung in No mung
De Ausgangspunk ü die nach olgenden Be ach ungen sind echnische Zeichnungen on Bau eilen,
in denen die Tole ie ung nach dem G undsa z ISO 8015 [10] einge agen is . Hie mi wi d die Anwendung
on ISO 1101 und alle zugeo dne en Einzelno men bei de P ü ung on Tole anzen implizie . Die
Beispiele in den Abbildungen 2-1 und 2-2 zeigen eine Pla e mi zwei Boh ungen, welche au ie
un e schiedliche A en ole ie is . Bei jedem wi d eine 3D-Lochbildeinpassung zu P ü ung eingese z .
Die Abbildung 2-1 zeig links (Beispiel a) eine Posi ions ole ie ung de mi le en Linien de
Boh ungen. DIN EN ISO 14660 Teil 2 [11] egel das Vo gehen beim E assen diese Linien ü
zylinde ö mige Geome ieelemen e. Du ch die Tole anzangabe we den zwei zylind ische
Tole anzzonen de inie , welche un e de echnischen Zeichnung da ges ell sind. Diese
zylinde ö migen Gebie e haben ideale Ges al . Ih e Achsen sind pa allel mi einem Nennabs and on
20 mm. Zudem s ehen beide Zylinde o hogonal au de Bezugsebene A. Bei de P ü ung de Pla e
we den zunächs die Anlage läche A und die Boh ungen e ass , um die Bezugs läche und die mi le en
Linien de Boh ungen zuzuo dnen. Im Anschluss we den die Linien in die zu A de inie en Tole anzzonen
eingepass . Bei de Einpassung is es e laub die Tole anzzonen en lang de Ebenen a zu e schieben
und o hogonal zu A zu d ehen. Das Bau eil is in O dnung, wenn beide mi le e Linien gleichzei ig
inne halb de Tole anzzonen liegen. Da die mi le en Linien de Boh ungen echne isch e mi el
we den, d.h. nich als di ek messba e Geome ie am ge e ig en Bau eil o liegen, is die P ü ung nu
mi echne ische Lochbildeinpassung möglich.
Im Beispiel b) (Abb. 2-1 ech s) wi d die Lage de Boh ungen nach de Maximum-Ma e ial-Bedingung
gep ü . Dies is anhand de Zeichnungsein agung Ⓜ gekennzeichne , die di ek nach dem We ü die
Posi ions ole anz s eh . No ma i sind An o de ungen zu P ü ung mi de MMB in ISO 2962 ge egel .
Danach muss die Pla e mi einem geome isch idealen Gegens ück ügba sein, welches un e de
echnischen Zeichnung abgebilde is . Das Gegens ück bes eh aus eine ebenen Au lage läche..

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O hogonal zu Au lage läche s ehen zwei Zap en. Die Achsen de Zap en haben den Nennabs and de
Boh ungen und sind pa allel. De Zap endu chmesse e echne sich aus dem un e en G enzmaß eine
Boh ung 5,0 mm und de Posi ions ole anz zu 4,9 mm. Die P ü ung, ob die Boh ungen de Pla e in de
o gegebenen Tole anz liegen, is mi kö pe liche Leh ung und echne ische Lochbildeinpassung
möglich. Bei de echne ischen Lochbildeinpassung wi d die ebene Au lage läche de Leh e an die
Bezugs läche A de Pla e angeleg bzw. eine ideale Ebene zugeo dne . Gleichzei ig müssen die zwei
Zap en de Leh e in die Boh ungen de Pla e passen.
Abbildung 2-1 Zwei Beispiele zu Tole ie ung eine Pla e mi 2 Boh ungen. Die i uelle P ü ung de
Tole anzangaben se z in beiden Fällen die 3D Lochbildeinpassung o aus (Tole ie ungsg undsa z ISO
8015).
Einige Bau eile haben spezi ische unk ionale An o de ungen. Bei diesen i de Fall ein, dass in
Zeichnungen auch Bezugselemen e mi dem Zusa z Ⓜ ü die MMB einge agen sind. Abbildung 2-2 zeig
dazu zwei Beispiele.
Im Beispiel c) Is die Anlage läche A de P imä bezug. Die linke Boh ung wi d als Sekundä bezug B
de inie . Die ech e Boh ung ha eine Posi ions ole anz mi dem Zusa z Ⓜ ü die Tole anzzone und den
Bezug B. Die Fo m on Boh ung B ode de en Rich ung zu A is nich ole ie . Dahe we den die G ößen
bei de Tole ie ung e nachlässig . Die Einhal ung de Tole anz kann wiede du ch klassische kö pe liche
Leh ung ode echne ische Lochbildeinpassung gep ü we den. Die Nenngeome ie de zugeo dne en
Gu leh e bes eh aus eine Ebene, die an de Bezugs läche A angeleg wi d. Au diese s eh ein
Leh enzylinde ü den Bezug B. E ha den Du chmesse 5,0 mm, welche das un e e G enzmaß de
Bezugsgeome ie is . De zwei e Leh enzylinde ha den Du chmesse 4,4 mm, welche sich aus dem
un e en G enzmaß de Boh ung minus de Lage ole anz e gib . E s eh ü die Posi ion de Boh ung.
Beide Zylinde sind o hogonal zu Ebene A und ih e Achsen haben den Nennabs and 20 mm. Die
klassische P ü ung mi kö pe liche Leh ung und die Lochbildeinpassung in de KMT kann in dem Beispiel
angewende we den.
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Abbildung 2-2 Tole anzen bei Bezügen mi Zeichnungsein agung Ⓜ.
Das Beispiel d) in Abb. 2-2 zeig , dass Bezugselemen e mi dem Zusa z Ⓜ ü die MMB gekennzeichne
we den können, abe das ole ie e Elemen nich nach de MMB gep ü wi d. Diese
Zeichnungsein agung komm nu in sel enen Anwendungs ällen o . Die P ü ung de Tole anz e o de
eine echne ische 3D Lochbildeinpassung, da bei dem ole ie en Elemen die e ass e mi le e Linie
nich am ealen Bau eil als di ek Messba e Geome ie exis ie . Ein Leh enzylinde in Bezugsboh ung B
und die zylinde ö mige Posi ions ole anzzone zu mi le en Linie we den zu diesem Zweck gemeinsam
eingepass . Die zylind ische Tole anzzone ha den Du chmesse 0,1 mm. De Leh enzap en ha den
Du chmesse 5,0 mm (un e es G enzmaß de Bezugsboh ung). Zap en und die Tole anzzone ü die
e ass e Achse s ehen o hogonal au de Bezugsebene A. Die Achsen on Leh enzap en und
Tole anzzone de mi le en Linie haben den Nennabs and 20 mm.
In jedem de ie zu o gezeig en Beispiele ha die 3D-Lochbildeinpassung zu Übe p ü ung de
Tole anz d ei geome ische F eihei sg ade. Diese sind zwei o hogonale Ve schiebungen und eine
Ro a ion inne halb de Bezugs läche A. Die wei e en E läu e ungen beziehen sich au Anwendungen mi
de Zeichnungsein agung Ⓜ bei Posi ions ole anzen und Bezügen. Fü die ko ek e Anwendung gel en
en sp echend ISO 2962 olgende G undan o de ungen bei Zeichnungsein agungen.
 Nu Fo m- und Lage ole anzen sind mi dem Zusa z Ⓜ e wei e ba .
 Tole anzen und Bezüge mi dem Zusa z Ⓜ müssen sich au abgelei e e Geome ieelemen e on
Maßelemen en wie de Achse eines Zylinde s ode de Mi elebene eine Nu beziehen.
 Wei e e Maßelemen e sind Kugeln sowie im zweidimensionalen Fall K eise und Paa e on
pa allelen Ge aden. Kegel und Keil sind in diesem Zusammenhang keine Maßelemen e.
 Bezüge sind mi dem Zusa z Ⓜ e wei e ba . Bei Bezugssys emen können Einzelbezüge mi und
ohne dem Zusa z Ⓜ gemisch au e en, solang wie nach de Auswe e eihen olge en sp echend
de Zeichnungsein agung im Tole anz ahmen kein Ⓜ Elemen on einem nich mi Ⓜ
gekennzeichne en Elemen ge olg wi d. (Beg ündung nach ISO 5459 [12] zu Bezugsbildung -
Eindeu igkei s o de ung)
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2.2. Bes immung de CAD Pa ame e ü die Leh ung
Fü die 3D-Lochbildeinpassung is die Fes legung on Pa ame e n de Gu leh e ele an . D. h., es is das
CAD Modell eines geome isch idealen Gegens ücks zum ge e ig en Bau eil zu kons uie en und
möglichs ehle ei zu e igen. Bei de P ü ung de Fügba kei wi d e such , dieses Teil ohne
Ve klemmen in das Bau eil einzupassen. In Abbildung 2 sind diese Leh en am elemen a en Beispiel de
Lochpla e in de un e en Bildhäl e exempla isch skizzie .
Bei de De ini ion on geome isch idealen Gegens ücken zu Leh ung in ISO 2692 bei
Zeichnungsein agungen mi dem Zusa z Ⓜ sind zahl eiche Regeln zu beach en. Die idealen
Geome ieelemen e, welche ein CAD Modell eine Leh e bilden, we den als wi ksame Maximum-
Ma e ial Zus and (MMVC) bezeichne . Die Maße de Geome ieelemen e haben nach ISO 2692 die
Bezeichnung wi ksames Maximum-Ma e ial Maß (MMVS). Die Be echnung des MMVS kann Maß-, Fo m
und Lage ole anzen gleiche maßen beinhal en. Die olgenden Hand egeln sind bei de Fes legung de
Pa ame e , die ü die Kons uk ion de Leh e e o de lich sind, anwendba :
 Leh engeome ie bei Fo m- und Lage ole anzen mi Ⓜ
o Äuße e Maßelemen e (Welle, Fede ):
Das MMVS de Leh engeome ie wi d als Summe aus dem obe en G enzmaß des
ole ie en Geome ieelemen s Go und de Tole anz ü die Fo m- bzw.
Lageabweichung gebilde .
MMVS = Go +
o Inne e Maßelemen e (Boh ung, Nu ):
Das MMVS de Leh engeome ie wi d als Di e enz aus dem un e en G enzmaß
des ole ie en Geome ieelemen s Gu und de Tole anz ü die Fo m- bzw.
Lageabweichung gebilde .
MMVS = Gu -
 Leh engeome ie bei Bezugselemen en mi Ⓜ
o Äuße e Maßelemen e (Welle, Fede ):
 Das MMVS de Leh engeome ie is bei e nachlässigba e Fo mabweichung
das obe e G enzmaß Go des Bezugselemen s.
MMVS = Go
 Ha das Bezugselemen zusä zlich eine Fo m- ode Lage ole anz (Tole anzwe
mi bezeichne ), so muss diese bei dem MMVC des Bezugselemen s
be ücksich ig we den.
MMVS = Go +
o Inne e Maßelemen e (Boh ung, Nu ):
 Das MMVS de Leh engeome ie is bei e nachlässigba e Fo mabweichung
das un e e G enzmaß Gu des Bezugselemen s.
MMVS = Gu
 Ha das Bezugselemen zusä zlich eine Fo m- ode Lage ole anz (Tole anzwe
mi bezeichne ), so muss diese bei dem MMVC des Bezugselemen s
be ücksich ig we den.
MMVS = Gu -
De We ü MMVS bes imm nu die Maße de Geome ieelemen e, welche bei de Leh ung in das
Bau eil ein auchen bzw. diese umschließen müssen. Da eine Leh e i. A. meh e e solche
Paa ungselemen e ausmach , müssen die Posi ionen zueinande und zu einem
Leh enkoo dina ensys em im Wei e en es geleg we den.
Die Abs ände zwischen Mi elpunk en, Achsen und Mi elebenen de Leh engeome ieelemen e
we den in de echnischen Zeichnung du ch genaue ö liche Maße eindeu ig es geleg . Dagegen is die
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Zuo dnung eines Leh enkoo dina ensys ems nich imme eindeu ig e sich lich, sonde n de
En scheidung des Anwende s übe lassen. Falls Bezüge nach ISO 5459 o liegen, können diese zu
Fes legung de x-, y- und z-Achse ka esische Koo dina en he angezogen we den, da sich ö liche Maße
bei eine ko ek en Zeichnung au die Bezüge beziehen. Bei un olls ändigen Bezugssys emen, ode wenn
keine Bezüge o liegen, bleiben einzelne F eihei sg ade ü die Posi ionie ung de Leh e. Beispielsweise
de inie eine einzelne Bezugsebene nu die Rich ung eine Achse und einen Nullpunk au diese . De
Anwende kann dann zwei wei e e Koo dina enachsen in de Bezugsebene und de en Posi ion beleibeig
es legen. Es muss jedoch siche ges ell we den, dass in dem so es geleg en Koo dina ensys em die
Nennabs ände zwischen den Leh enelemen en mi den Vo gaben in de echnischen Zeichnung noch
übe eins immen. Nu dann is gewäh leis e , dass die Einpassungse gebnisse zwischen e schiedenen
Koo dina ensys em Fes legungen noch kompa ibel sind.
Wei e üh ende Angaben zu Nu zung de MMB mi Zeichnungsein agung Ⓜ sowie de ko ek en
no mkon o men Be echnung on Leh enpa ame e n we den beispielsweise in Jo den [1] o ges ell .
2.3. F eihei sg ade de Einpassung und Bezüge
Bishe is o en geblieben, wie de Beg i des Fügens („Paa ung“ ode „Zusammens ecken“) on Bau eil
und Leh e o mal auszulegen is . Hie zu wi d zunächs die klassische kö pe liche Leh ung be ach e . Ein
P ü e wi d e suchen, das Bau eil mi de Leh e zusammenzus ecken. E se z dabei das Bau eil an den
Rände n de Leh e an und bewi k du ch ein aches „Wackeln“ und „Ve kippen“ ein langsames
ineinande u schen de beiden Teile. Können Bau eil und Leh e du ch dieses Vo gehen sowei
zusammenges eck we den, dass die An o de ungen de P ü ung e üll sind, so is das Bau eil in de
Tole anz. Dies wi d als olls ändige Fügba kei bezeichne .
Bei de echne ischen 3D-Leh ung lieg das CAD Modell de i uellen Leh e im Leh en
Koo dina ensys em (𝑥𝐺,𝑦𝐺,𝑧𝐺) o . Die Messpunk e des e ass en Bau eils sind im We ks ück
Koo dina ensys em (𝑥𝑊,𝑦𝑊,𝑧𝑊) gegeben. Beide Sys eme sind ka esische Koo dina en. Die
Einpassung de Leh e zum e ass en Bau eil wi d du ch eine linea e T ans o ma ion
𝑇:(𝑥𝐺,𝑦𝐺,𝑧𝐺)⟶(𝑥𝑊,𝑦𝑊,𝑧𝑊)
besch eiben. Diese bilde die Leh engeome ie in das We ks ück Koo dina ensys em ab. Fü die
ans o mie e Leh e können Übe lappung bzw. Spiel zu e ass en Bau eilgeome ie quan i izie
we den. Die i uelle Leh e und die e ass e Geome ie sind olls ändig ügba , wenn es eine
T ans o ma ion gib , welche einen zusammenges eck en Zus and ep äsen ie , bei dem noch Spiel
zwischen Leh engeome ie und Messpunk en o lieg .
Im d eidimensionalen Fall wi d die T ans o ma ion du ch D ehungen, zum Beispiel mi den
Eule schen Winkel, und Ve schiebungen zu den d ei Koo dina enachsen 𝑥𝐺,𝑦𝐺 und 𝑧𝐺 de inie . Es
liegen allgemein sechs Pa ame e ü die T ans o ma ion de Leh engeome ie o . Die
uneingesch änk e Wahl eines Pa ame e we s wi d als F eihei sg ad bei de Einpassung bezeichne .
Liegen keine Res ik ionen ü die Pa ame e wahl o , sp ich man on den ollen F eihei sg aden zu
Bes immung de T ans o ma ion 𝑇.
In ielen Fällen is die zu Einpassung e laub e T ans o ma ion du ch Nebenbedingungen
eingesch änk . Im Kon ex de Lage ole ie ung mi Lochbildeinpassung sind es Bezugselemen e, welche
F eihei sg ade bei de T ans o ma ion spe en. Wenn beispielsweise eine Bezugsachse des We ks ücks
gegeben is , wi d das We ks ückkoo dina ensys em zunächs da an ausge ich e . Als F eihei sg ade ü
die Einpassung e bleiben danach die D ehung um und eine Ve schiebung en lang de Bezugsachse. Eine
Ausnahme ü die Einsch änkung de F eihei sg ade sind mi dem Symbol Ⓜ gekennzeichne e
Bezugselemen e.
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echne isch ügba es Teil in de P axis nich pass Umgekeh können echne isch nich ügba e Teile
doch mi dem Gegens ück gepaa we den. Eine siche e Eins u ung, ob das Teil in de Tole anz lieg ode
zum Ausschuss gehö , is dami nich möglich.
Fü die wi scha liche Anwendung de 3D-Lochbildeinpassung zu P ü ung on Bau eilen is es dahe
wesen lich, die Messunsiche hei en ü die Bau eile assung und die nume ische Auswe ung
hin eichend genau zu kennen, gg s. du ch geeigne e Ve ah en und Me hoden au die e o de liche
Genauigkei zu eduzie en. Wie in de o angegangenen Besch eibung de Bau eile assung, Fil e ung
und Ausdünnung is dies nu du ch genaue Un e suchung on Eigenscha en des Bau eils und des
Messp ozesses möglich. Rele an is die geome ische Bescha enhei de Bau eilobe läche wie
Welligkei und Rauhei . Zudem sind die sys emspezi ischen Messabweichungen de Messge ä e zu
beach en. Die so wa esei ige Unsiche hei du ch nume ische Be echnungen kann du ch eigens ändige
Algo i hmen es s e ass we den. En sp echende Angebo e exis ie en ü die Zuo dnung on
Einzelgeome ieelemen en [18]. Tes s ü Gesam e ah en bei de 3D-Lochbildeinpassung sind ü
diese Tes pla o m in En wicklung.
3. Anwendungsbeispiel Flansch ing
Das Beispiel „Mon age eines Flansch ings“, wie es beim Bau on Windk a anlagen au i , e deu lich ,
dass ein scheinba ein aches geome isches Bau eil nich imme i ial zu behandeln is . Kennzeichnend
ü den Flansch ing bei mode nen Anlagen sind die g oßen Abmessungen on meh als 5 m
Ringdu chmesse sowie die hohe Anzahl on Boh ungen au dem Ring. Die echne ische
Mon agesimula ion e o de die E assung as de gesam en äuße en Fläche des Flansch ings. Dies is
zum Beispiel mi lächenha messenden op ischen Senso en möglich. Au g und de Geome ie is die
an allende Messda enmenge besonde s g oß und ü eine Besch eibung de Lochbildeinpassung zu
komplex.
Um die Ke nan o de ungen bei de echne ischen Mon agesimula ion des Flansch ings mi 3D-
Lochbildeinpassung da zus ellen, wi d dahe au das e ein ach e Modell in Abbildung 6
zu ückgeg i en. De p inzipielle Au bau is äqui alen zu einem Flansch bei Windk a anlagen. Die Maße
und die Anzahl de Boh ungen is jedoch deu lich ge inge . Fü Teile diese A können e ne
e schiedena ige Messsys eme zu E assung eingese z we den.
Abbildung 6 Anwendungsbeispiel Flansch ing.
Das Anwendungsbeispiel ü den Flansch ing is in Abbildung 6 da ges ell . Die Deck lächen des Rings
we den du ch zwei pa allele Ebenen im Abs and on 8,0 mm besch ieben. Den äuße en Man el
Deck läche
(Mon age läche)
Boh k eis
inne e
Man el läche
äuße e
Man el läche
Boh ung ü
Mon age mi
Zap en

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ep äsen ie ein Zylinde mi dem Du chmesse on 70,0 mm. De inne e Man el des Rings wi d als
Zylinde mi einem Du chmesse on 50,0 mm besch ieben. Beide Zylinde sind koaxial und s ehen
senk ech zu den beiden Deck lächen. Au dem Boh k eis mi dem Du chmesse on 58,0 mm liegen 5
Einzelboh ungen. Diese sind jeweils um 72° e se z . Jede Boh ung ha einen Du chmesse on 4,0 mm.
3.1. No menkon o me P ü ung
Um den Flansch ing e bauen zu können, is die Fo de ung, dass die Kon ak läche (Mon age läche) plan
is . Fe ne is ge o de , dass die Boh ungen o hogonal zu Mon age läche s ehen. Zudem soll de on
den Boh ungen besch iebene Boh k eis konzen isch zu Achse des Zylinde s de äuße en Man el läche
liegen. Dadu ch i spä e im Be ieb zum Beispiel keine Exzen izi ä au , die zu e s ä k em Ve schleiß
on beweglichen Teilen bei Windk a anlagen üh .
Abbildung 7 ISO 1101 kon o me P ü ung des Flansch ings.
Gemäß diesen Fo de ungen kann eine eindeu ige P ü au gabe mi Tole anzen des ge e ig en
Flansch ings abgelei e we den. Abbildung 7 zeig eine Kons uk ionszeichnung nach ISO 1101. Fü die
echne ische P ü ung e gib sich dami olgende Au gabe: Eine ideale geome ische Ebene –
gekennzeichne als Bezug A - is mi minimalem Abs and an die eale Mon age läche anzulegen. Bezug
B bezeichne einen idealen Zylinde , de o hogonal zu Ebene A s eh und dessen Du chmesse de
kleins mögliche is , bei dem die äuße e Man el läche des Bau eils olls ändig umschlossen wi d, d. h.
alle Messpunk e inne halb des zugeo dne en Zylinde s liegen. Die Bezugsbildung wi d in Abbildung 8
da ges ell .
Schließlich müssen Maß und Lage de Einzelboh ungen zu Bezugs läche (Bezugspunk ) und zu Achse
des Bezugzylinde s gep ü we den. Dies is in Abbildung 9 da ges ell . Die Tole anzangabe aus
Abbildung 2 mi dem Symbol ü die Maximum-Ma e ial-Bedingung de inie hie bei 5 Leh enzylinde
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mi dem Du chmesse 3,8 mm (MMVS). Die Achsen de Zylinde sind pa allel zu Bezugsachse B. Sie
we den au einem Lochk eis mi Du chmesse 58,0 mm im Abs and on 72°-Segmen en egelmäßig
angeo dne . De Lochk eis lieg pa allel zu Bezugsebene A. Sein Mi elpunk lieg au de Bezugsachse
B. Bei de Einpassung is eine T ans o ma ion e laub , die die Leh e um die Achse des Bezugzylinde s
d eh . Es is zu p ü en, ob es einen Ro a ionswinkel gib , bei dem alle Leh enbolzen inne halb de
Boh ungen liegen, ohne Übe lappung mi dem Ma e ial des Flansch ings. In diesem Fall lieg das Bau eil
inne halb de Tole anz. Ande n alls kann das Bau eil au g und des P ü e gebnisses nich e bau
we den.
Abbildung 8 Bezugsbildung am ge e ig en Flansch ing.
Abbildung 9 3D-Lochbildeinpassung ü den Flansch ing (links pe spek i ische Ansich , ech s Au sich );
de o ma kie e Leh enzylinde übe lapp mi de Boh ung. Du ch D ehen alle Leh enzylinde um die
Bezugsachse wi d keine Posi ion ge unden, in de alle Zylinde inne halb de Boh ungen liegen.
3.2. Ma hema ische Modellbildung ü Bezüge und Einpassung
Um die 3D-Lochbildeinpassung echne isch du ch üh en zu können, is eine ko ek e und zu e lässige
ma hema ische Modellbildung g undlegend, um die An o de ungen und Ziele de P ü ung zu e üllen.
Abbildung 10 gib einen Übe blick ü den Ablau de 3D Lochbildeinpassung ü den Flansch ing. Hie in
wi d die Be echnung on Messg ößen au Basis de e ass en Da en da ges ell . Die 3D-
Lochbildeinpassung e olg in sechs au einande olgenden Sch i en. Jede Sch i is indi iduell und
benö ig ein eigens ändiges Be echnungs e ah en zu Aba bei ung.
Ausgangspunk is die Be echnung de Bezugselemen e 𝐴 und 𝐵. Diese sind
Einzelgeome ieelemen e, welche nach dem Tschebysche -K i e ium bzw. nach de Hüllbedingung dem
e ass en Flansch ing zugeo dne we den. Aus den Bezügen lei e sich ein We ks ück
Ge e ig es Bau eil mi
Abweichungen
Bezugs läche A
Zugeo dne e
Zylinde ü Bezug B
Bezugspunk
(Posi ion)
Bezugsachse
(Rich ung)
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Koo dina ensys em ab, welches bis au eine Ro a ion am Bau eil eindeu ig bes imm is . De ehlende
F eihei sg ad wi d du ch eine spezielle T ans o ma ion de Messpunk e in de Ausgangslage in das
We ks ück Koo dina ensys em es geleg . Zu Modellbildung bei de Lochbildeinpassung gehö en die
Be echnung de Leh engeome ie (ideales Gegens ück bei de Lochbildeinpassung), die Be echnung
eine S a lösung de Einpassung und abschließend die Du ch üh ung de Lochbildeinpassung. Ziel is
die Posi ion de i uellen Leh e so zu e mi eln, dass maximales Spiel bzw. minimale Übe lappung
zwischen Leh engeome ie und Messpunk en e eich wi d. Du ch das Gauß-Ve ah en zu Be echnung
de S a lösung wi d dieses Ziel nu nähe ungsweise e eich . E s du ch Anwendung des Tschebysche
K i e iums wi d die gesuch e Posi ion de Leh e a sächlich e mi el .
Abbildung 10 Ablau diag amm de 3D-Lochbildeinpassung beim Flansch ing.
In den olgenden Un e abschni en we den De ails zu de ma hema ischen Modellbildung und zu
den zu lösenden Au gaben ü jeden de 6 Sch i e da ges ell .
3.2.1. Zuo dnung de Bezugsebene
Die Bezugsebene wi d de e ass en Deck läche des Flansch ings als anliegende Tschebysche -Ebene
zugeo dne (Minimum-Zone K i e ium). Eingangsda en zu Be echnung de Ebene sind die e ass en
Punk e de Deck läche. 𝑃≔{𝑃1,…,𝑃𝑚}, 𝑃𝑖∈ℝ3
Jede Punk ha die Fo m 𝑃𝑖=(𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑧𝑖)𝑇 . Die Koo dina en 𝑥,𝑦 und 𝑧 sind im Messpunk e
Koo dina ensys em angegeben. Die zugeo dne e Ebene ha eine ideale geome ische Fo m. Sie is du ch
den No malen ek o
𝑣=(𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧)𝑇∈ℝ3
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und einen Punk au de Ebene
𝐶=(𝐶𝑥,𝐶𝑦,𝐶𝑧)𝑇∈ℝ3
pa ame isie . Mi diese De ini ion is die Da s ellung eine idealen Ebene noch nich eindeu ig. Zum
Beispiel is ü 𝐶 jede beliebige Punk de Ebene möglich. Dahe we den an die Pa ame e wei e e
Nebenbedingungen ges ell . Zum einen soll de No malen ek o die Länge 1 haben.
〈𝑣,𝑣〉=1. (3)
Zum ande en soll de Punk de Ebene so liegen, dass de Abs and zum Schwe punk 𝐺 de Da en 𝑃
minimal is . Es seien dazu 𝑣1,𝑣2∈ℝ3 zwei Vek o en mi Länge 1, die o hogonal zu No male 𝑣 s ehen.
Fü diese gel e 〈𝑣1,𝑣2〉=0. Dann is Punk 𝐶 de p ojizie e Schwe punk , wenn
〈𝐺−𝐶,𝑣1〉=0
〈𝐺−𝐶,𝑣2〉=0 (4)
e üll is . Die Be echnung des Schwe punk es e olg als a i hme isches Mi el
𝐺=1
𝑚∑𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1 .
Fü die ko ek e Zuo dnung de Bezugsebene sollen die o hogonalen Abs ände zwischen ideale
Ebene und den Messpunk en be ach e we den. Diese sind
𝑓𝑖(𝐶,𝑣)=〈𝑃𝑖−𝐶,𝑣〉
Die Zuo dnung e olg schließlich nach dem olgenden ma hema ischen Modell.
Zuo dnungsau gabe: Tschebysche -Ebene als anliegende Bezugsebene:
Sei 𝑃 die e ass e Geome ie eine ebenen Fläche. Die zugeo dne e Tschebysche -Bezugsebene
be echne sich dann aus den Ebenen Pa ame e n 𝐶 und 𝑣, welche Lösung de Au gabe
𝑚𝑖𝑛
𝐶,𝑣 𝑚𝑎𝑥
𝑖|𝑓𝑖(𝐶,𝑣)| (5)
sind und die Nebenbedingungen (3) sowie (4) e üllen. Fü 𝑠=𝑚𝑎𝑥
𝑖|𝑓𝑖(𝐶,𝑣)| e häl man die
anliegende Tschebysche -Bezugsebene mi den Pa ame e n 𝐶󰆹,𝑣 du ch die Ve schiebung
𝐶󰆹=𝐶+𝑠∙𝑣 (6)
Das Vo zeichen on 𝑣 muss so es geleg we den, dass diese Vek o bei de Be echnung on (6) on
de Ma e ialsei e de e ass en Geome ie weg zeig .
3.2.2. Zuo dnung des Bezugszylinde s
Ausgangspunk ü die Zuo dnung des Zylinde s sind die au de äuße en Ring läche gemessenen Punk e.
Wie bei de Ebene we den diese ein ach mi 𝑃 bezeichne . De zugeo dne e Zylinde ha eine
geome isch ideale Fo m. E wi d du ch einen Pa ame e ü die Rich ung de Zylinde achse
𝑣=(𝑣𝑥,𝑣𝑦,𝑣𝑧)𝑇∈ℝ3,
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einen Pa ame e ü die Posi ion de Zylinde achse
𝐶=(𝐶𝑥,𝐶𝑦,𝐶𝑧)𝑇∈ℝ3
und den Radius de Zylinde man el läche 𝑟>0
pa ame isie . Da de Zylinde als sekundä es Bezugselemen zugeo dne wi d, gel en olgende
Nebenbedingungen ü die Pa ame e . Die Rich ung de Zylinde achse en sp ich dem No malen ek o
de zu o bes imm en Bezugsebene. Fü die eindeu ige Be echnung de Posi ion muss ein wei e es
K i e ium zu Lage des Punk es au de Zylinde achse angegeben we den. Diese kann de Schni punk
zwischen Achse und Bezugsebene sein.
Die Zuo dnung de Zylinde pa ame e e olg nach dem Hüllk i e ium. Fü dessen ma hema ische
Fo mulie ung be ach e man die o hogonalen Abs ände
𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)=‖(𝑃𝑖−𝐶)×𝑣‖−𝑟
zwischen den Messpunk en aus 𝑃 und de Man el läche des idealen Zylinde s. Die Folgende Au gabe is
ü die ko ek e Be echnung de Zylinde pa ame e zu lösen.
Zuo dnungsau gabe: Hüllzylinde als Sekundä bezug senk ech zu eine Ebene:
Bes imme den Punk 𝐶 und den Radius 𝑟 de a , dass
𝑚𝑖𝑛
𝐶,𝑟 𝑟 𝑢.𝑑.𝑁.𝐵 𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)≤0 𝑓ü𝑟 1≤𝑖≤𝑚 (7)
e hal en wi d.
3.2.3. We ks ück Koo dina ensys em und i uelle Leh e
Bei dem hie be ach e en Flansch ing da die i uelle Leh e bei de Lochbildeinpassung nu um die
Achse des Bezugszylinde s ged eh we den. Da die Achse allgemein im Raum e kipp liegen kann, is
dies echnisch nu au wendig zu lösen. Du ch die geeigne e Zuo dnung eines We ks ück
Koo dina ensys ems und de dazu passenden Geome ie de i uellen Leh e, kann die Einpassung
echnisch wesen lich ein ache ealisie we den.
Zuo dnung des We ks ück Koo dina ensys ems
Die Achse des Hüllzylinde s (7) is die Basis zu De ini ion des We ks ück Koo dina ensys ems. In diesem
Beispiel wi d es geleg , dass de Rich ungs ek o 𝑣 die z-Achse 𝑧𝑊 des We ks ücks de inie . Ebenso
wi d de Punk 𝐶 aus (7) als U sp ungspunk des We ks ück Koo dina ensys ems es geleg . Die
e bleibenden Achsen 𝑥𝑊 und 𝑦𝑊 sind nich eindeu ig du ch das Bezugssys em ge egel . Sie we den
e s bei de T ans o ma ion de e ass en Geome ie in das zu diesem Zei punk noch un olls ändige
We ks ück Koo dina ensys em es geleg . Die hie gezeig e T ans o ma ion is eine mögliche Va ian e
da ü . Daneben exis ie en ande e Ansä ze, die spä e zum gleichen Einpassungse gebnis üh en, abe
hie nich disku ie we den.

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Die Um echnung on Punk ekoo dina en 𝑃𝑖∈ℝ3 in das We ks ück Koo dina ensys em e olg du ch
die linea e T ans o ma ion 𝑃𝑖=𝑅(𝑃𝑖−𝐶).
Die 3x3 Ma ix 𝑅 de inie eine D ehung, welche den Rich ungs ek o 𝑣 des Bezugszylinde au den
Basis ek o 𝑒𝑧=(0,0,1)𝑇 abbilde . Da 𝑣 de z-Achse des Koo dina ensys ems en sp ich , muss gel en
𝑅𝑣=𝑒𝑧.
Mi den Eule schen (Tai -B yan Typ) Winkeln ü D ehungen um die x- bzw. y-Achse
𝑅𝑥=(1000
cos(𝛼)
sin(𝛼)0
−sin(𝛼)
cos(𝛼)) und 𝑅𝑦=(cos(𝛽)
0
−sin(𝛽)010sin(𝛽)
0
cos(𝛽))
wi d 𝑅≔𝑅𝑦𝑇𝑅𝑥𝑇
gebilde . Die Punk ekoo dina en 𝑃𝑖 liegen dann im We ks ück Koo dina ensys em mi U sp ungspunk
𝑊0=(0,0,0)𝑇, x-Achse 𝑥𝑤=(1,0,0)𝑇, y-Achse 𝑦𝑤=(0,1,0)𝑇 und z-Achse 𝑧𝑤=(0,0,1)𝑇.
De nachs ehende Algo i hmus gib ein nume isch s abiles Ve ah en zu Be echnung de beiden
D ehwinkel 𝛼 und 𝛽.
Algo i hmus zu Be echnung de D ehwinkel ü die
Koo dina en ans o ma ion
Sch i 0: Se ze eine posi i e Genauigkei 𝜀≪1.
Sch i 1: Be echne 𝑡=√𝑣𝑦2+𝑣𝑧2
Falls 𝑡<𝜀, se ze 𝑐𝑜𝑠(𝛼)=1 und sin(𝛼)=0.
Sons se ze 𝑐𝑜𝑠(𝛼)=𝑣𝑧
𝑡, sin(𝛼)=𝑣𝑦
𝑡 und 𝑣𝑧′= .
Sch i 2: Be echne 𝑡=√𝑣𝑥2+𝑣′𝑧2
Falls 𝑡<𝜀, se ze 𝑐𝑜𝑠(𝛽)=1 und sin(𝛽)=0.
Sons se ze 𝑐𝑜𝑠(𝛽)=𝑣′𝑧
𝑡 und sin(𝛽)=𝑣𝑥
𝑡.
Die Sch anke ü die Genauigkei 𝜀 leg es , wann eine Komponen e des Vek o s 𝑣 be ei s nah genug
an de e ziel en Rich ung de z-Achse lieg . In diesem Fall wi d keine wei e e D ehung de Da en
o genommen.
Die T ans o ma ion is ü alle Messpunk e du chzu üh en, die den zylinde ö migen Boh ungen au
dem Flansch zugeo dne sind. Jede Boh ung lieg mi einem eigenen Sa z on Messpunk en o .
𝑃(1)={𝑃1(1),…,𝑃𝑚1
(1)},
𝑃(2)={𝑃1(2),…,𝑃𝑚2
(2)},
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𝑃(3)={𝑃1(3),…,𝑃𝑚3
(3)},
𝑃(4)={𝑃1(4),…,𝑃𝑚4
(4)},
𝑃(5)={𝑃1(5),…,𝑃𝑚5
(5)}
Zu Ve ein achung wi d im Wei e en de Index 𝑘 mi 1≤𝑘≤5 ü die Zuo dnung de
Messpunk emengen zu den einzelnen Boh ungen einge üh . Die Sch eibweise is 𝑃(𝑘) bzw. 𝑃𝑖(𝑘) mi
den Koo dina enwe en 𝑃𝑖(𝑘)=(𝑥𝑘𝑖,𝑦𝑘𝑖,𝑧𝑘𝑖)𝑇. Die We e 𝑚𝑘 s ehen e ne ü die Anzahl on Punk en
des e ass en Geome ieelemen s mi Index k. Die T ans o ma ion de Messda en is 𝑃𝑖(𝑘)=
𝑅(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶). Die e ass e Geome ie wi d mi dem We ks ück Koo dina ensys em in Abbildung 11
da ges ell .
Abbildung 11 We ks ück Koo dina ensys em und e ass e Geome ie beim Flansch.
Zu Ve ein achung de wei e en No a ion wi d 𝑃𝑖(𝑘) ans elle 𝑃𝑖(𝑘) ü die Punk koo dina en im
We ks ück Koo dina ensys em angegeben mi Ve weis au den jeweiligen Kon ex .
Spezi ika ion de i uellen Leh e:
Die i uelle Leh e bes eh aus 5 Zylinde n mi ideale geome ische Fo m. Alle Zylinde achsen sind
pa allel mi dem gemeinsamen Rich ungs ek o 𝑣=(0,0,1)𝑇. Eben alls ha jede Zylinde den gleichen
Radius 𝑟=1,9 mm. Un e schiedlich sind dagegen die Posi ionen de einzelnen Zylinde achsen
𝐶1,…,𝐶5
Diese we den auch mi 𝐶𝑘 (𝑘=1,…,5) bezeichne . Die Be echnung de Soll-Posi ionen e olg
anhand des o gegebenen Lochk eises mi Radius 𝑟𝐿=29 mm und Winkelabs and 𝜏=72° zu
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𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥
𝐶𝑘𝑦
𝐶𝑘𝑧)=(𝑟𝐿cos(𝑘𝜏)
𝑟𝐿sin(𝑘𝜏)
0)
Fü die Speiche ung de Geome iepa ame e de Leh e is die nachs ehende Ma ixsch eibweise
güns ig
𝑀=
(
𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟
𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟
𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟
𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟
𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑟
)
(8)
Beme kung: Bei de Fo mulie ung on (8) is o ausgese z , dass de No malen ek o de
Bezugsebene A zu Ma e ialsei e des Flansch ings zeig . Is die Bezugs ich ung dagegen umged eh , d.
h. de No malen ek o zeig om Ma e ial weg, dann ände sich die Reihen olge de Ein äge in de
Pa ame e ma ix. Dann sind 𝐶5 bis 𝐶1 einzu agen ans elle on 𝐶1 bis 𝐶5.
3.2.4. S a einpassung und 3D-Lochbidleinpassung ü den Flansch ing
De Ausgangspunk ü die Modellie ung de 3D Lochbildeinpassung beim Flansch ing sind Messpunk e
de Boh ungen 𝑃(1),…,𝑃(5) im We ks ück Koo dina ensys em, und die Ma ix mi den Pa ame e n de
Leh engeome ie 𝑀.
F eie Pa ame e de Einpassung is de Ro a ionswinkel 𝜑, de die Leh e bzw. Leh enpa ame e um
die z-Achse im Koo dina enu sp ung des Koo dina ensys ems d eh . De Winkel bes imm eine spezielle
D ehma ix 𝐻. 𝑀(𝜑)=𝑀∙𝐻(𝜑)
Hie bei is
𝐻(𝜑)=
(
𝑐𝑜 𝑠𝑖 0000 0
−𝑠𝑖 𝑐𝑜 0000 0
0 0 1 000 0
0 0 0 100 0
0 0 0 010 0
0 0 0 001 0
0 0 0 000 1
)
(9)
mi den We en 𝑠𝑖=sin(𝜑) sowie 𝑐𝑜=cos(𝜑). Zusä zlich wi d
𝐶𝑘(𝜑)=(𝐶𝑘𝑥,𝐶𝑘𝑦,𝐶𝑘𝑧)𝑇∙(𝑐𝑜
−𝑠𝑖
0𝑠𝑖
𝑐𝑜
0001)
ü die ged eh en Posi ionspunk e de Leh enzylinde e wende , um die No a ion bei de
ma hema ischen Modellbildung de Einpassungsau gabe zu e ein achen.
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In den olgenden Un e abschni en we den die ma hema ischen Modelle ü eine konsis en e 3D
Lochbildeinpassung besch ieben. Das Ve ah en beginn mi eine Gauß-Typ G obeinpassung, die als
S a lösung ü die genaue Einpassung nach dem Tschebysche K i e ium (1) genu z wi d.
S a lösung mi eine Gaußeinpassung
Im e s en Sch i wi d speziell beim Flansch ing zu jede Punk emenge 𝑃(𝑘) de Schwe punk 𝑄𝑘=
(𝑞𝑘𝑥,𝑞𝑘𝑦,0)𝑇 be echne . Dabei is
𝑞𝑘𝑥=1
𝑚𝑘∑𝑥𝑘𝑖
𝑚𝑘
𝑖=1
und
𝑞𝑘𝑦=1
𝑚𝑘∑𝑦𝑘𝑖
𝑚𝑘
𝑖=1 .
Die Be echnung is auch bei g oßen Da enmengen e izien . Um die S a posi ion de Leh e zu
bes immen, wi d im zwei en Sch i du ch eine Bes einpassung nach Gauß de Näh ungswinkel 𝜑0
be echne , welche die Minimie ungsau gabe
min
φ0 12∑ ‖𝐶𝑘(𝜑0)−𝑄𝑘‖2
5𝑘=1 (10)
lös . Die Summe de Abs andsquad a e zwischen den Mi elpunk en de Leh enzylinde achsen und
den Punk ewolkenschwe punk en de Achsen wi d hie du ch minimie . Die G obeinpassung wi d in
Abbildung 12 da ges ell .
Abbildung 12 G obeinpassung beim Flansch ing
Links is die Ausgangssi ua ion gezeig , wenn We ks ück Koo dina ensys em und Leh e
übe einende geleg we den. Messpunk e und Leh enzylinde sind in de Au sich zu xy-Ebene
da ges ell . Die blau gezeichne en Leh enzylinde liegen deu lich zu den schwa z gepunk e en
e ass en Boh ungen e se z . In de ech en Bildhäl e wu den die Abs ände zwischen den
Leh enmi elpunk en und Punk ewolkenschwe punk en minimie . Dabei wu de das Leh en
Koo dina ensys em um den Winkel 𝜑0 ged eh .
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Punk ewolke is dabei besonde e nume isch obus als De ini ion on 𝐶. E e echne sich aus de
Bedingung 〈𝐺−𝐶,𝑣〉=0 (13)
wobei
𝐺=1
𝑚∑𝑃𝑖
𝑚
𝑖=1 .
is . De d i e Pa ame e is de Kegel adius im Punk 𝐶. Diese wi d mi dem Symbol
𝑟>0
bezeichne . De Pa ame e is de Radius des Schni k eises o hogonal zu Kegelachse. De Schni k eis
ha den Mi elpunk 𝐶. Fe ne is die Kegelgeome ie du ch den Ö nungswinkel 0<𝛼<180
besch ieben.
Als nächs es we den die o hogonalen Abs ände zwischen Kegel und Messpunk en be ach e . De en
De ini ion is
𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)≔(𝑒𝑖−𝑟)cos(𝛼2)−𝑑𝑖sin(𝛼2)
mi 𝑒𝑖≔‖(𝑃𝑖−𝐶)×𝑣‖ und 𝑑𝑖≔〈𝑃𝑖−𝐶,𝑣〉. Die We e sind ü alle 𝑖∈𝐼 de inie .
Schließlich e gib sich olgende ma hema ische Zuo dnungsau gabe ü den Bezugskegel.
Tschebysche -Zuo dnung ü einen anliegenden Kegel:
Bes imme die Pa ame e 𝐶∈ℝ3,𝑣∈ℝ3 und 𝑟>0 mi (12) und (13), welche
𝑚𝑖𝑛
𝐶,𝑣,𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑖∈𝐼 |𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)| (14)
annehmen. De gesuch e, äuße e anliegende Tschebysche -Kegel wi d aus de Lösung on (14) du ch die
Ve schiebung 𝐶󰆹=𝐶+𝛾∙𝑣 (15)
be echne . De We ü den Ve schiebungs ak o is
𝛾=𝑚𝑎𝑥
𝑖∈𝐼 |𝑓𝑖(𝐶,𝑣,𝑟)|
𝑠𝑖𝑛(𝛼
2). (16)
4.2.2. We ks ück Koo dina ensys em und De ini ion de Leh engeome ie
Be ei s beim Flansch ing ha die gesonde e Bes immung eines We ks ück Koo dina ensys ems zu
Ve ein achung des Einpassungsmodells ge üh . Eine ähnliche Si ua ion lieg auch am Beispiel
Kegelscheibe o . Hie ha die Lochbildeinpassung die Nebenbedingung, dass das i uelle Gegens ück
(Leh e) bei de Einpassung nu um die Achse des Bezugskegels ged eh we den da .

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Bes immung We ks ück Koo dina ensys em
Die z-Achse des We ks ück Koo dina ensys ems wi d als die Rich ung de Kegelachse 𝑣 aus (14)
es geleg . De Koo dina en U sp ungspunk 𝑊0 is de p ojizie e Schwe punk 𝐶 au de Kegelachse.
Die e bleibenden Achsen 𝑥𝑊 und 𝑦𝑊 we den du ch das Bezugselemen nich eindeu ig de inie . Sie
en s ehen wiede aus de Um echnung de Messpunk e de e ass en Geome ie in das un olls ändige
We ks ück Koo dina ensys em.
Die T ans o ma ion de Messpunk koo dina en is 𝑃=𝑅∙(𝑃−𝐶). Wie beim Flansch ing is 𝑅 eine
D ehma ix, welche den Rich ungs ek o 𝑣 au den Basis ek o (0,0,1)𝑇 d eh . Fü die umge echne en
Messpunk ekoo dina en sind 𝑥𝑊=(1,0,0)𝑇 und 𝑦𝑊=(0,1,0)𝑇 die Fes legung ü die unde inie en
Achsen des We ks ück Koo dina ensys ems. Die Be echnung de T ans o ma ionspa ame e is
iden isch mi dem Vo gehen in Abschni 3 (Algo i hmus zu Be echnung de D ehwinkel ü die
Koo dina en ans o ma ion). Die da in e wende en Geome iepa ame e 𝐶 und 𝑣 kommen im Fall de
Kegelscheibe on de Bezugskegelachse. Das zugeo dne e Koo dina ensys em is in Abbildung 20
skizzie .
Abbildung 20 We ks ück Koo dina ensys em ü die Kegelscheibe
Fü die Kegelscheibe liegen speziell die Messpunk emengen
𝑃(1)={𝑃1(1),…,𝑃𝑚1
(1)},
𝑃(2)={𝑃1(2),…,𝑃𝑚2
(2)},
𝑃(3)={𝑃1(3),…,𝑃𝑚3
(3)},
𝑃(4)={𝑃1(4),…,𝑃𝑚4
(4)},
𝑃(5)={𝑃1(5),…,𝑃𝑚5
(5)}
ü die ün Boh ungen o . Wei e hin bezeichnen
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Lei aden ü die 3D-Lochbildeinpassung in de Koo dina enmess echnik
33
𝑃(6)={𝑃1(6),…,𝑃𝑚6
(6)}
sowie 𝑃(7)={𝑃1(7),…,𝑃𝑚7
(7)}
ü die gegenübe liegenden Sei en lächen de Nu . Bei de De ini ion on 𝑃(𝑘) is 𝑚𝑘 jeweils die
Anzahl de Punk e p o Da ensa z. Die T ans o ma ion de Messpunk e in das We ks ück
Koo dina ensys em wi d o mal du ch 𝑃𝑖(𝑘)=𝑅(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶) be echne . Im Wei e en wi d wiede die
Bezeichnung 𝑃𝑖(𝑘) ü die Punk e im We ks ück Koo dina ensys em genu z , um die No a ion zu
e ein achen.
Spezi ika ion de i uellen Leh e
Die i uelle Leh e bes eh aus ün Zylinde n und einem Ebenenpaa mi ideale geome ische Fo m.
Alle Zylinde achsen sind pa allel zum gemeinsamen Rich ungs ek o 𝑣=(0,0,1)𝑇. Eben alls ha jede
Zylinde den Radius 𝑟=3,9 mm (Du chmesse 7,8 mm). Un e schiedlich sind dagegen die Posi ionen
de einzelnen Zylinde achsen 𝐶1,…,𝐶5
Diese we den mi 𝐶𝑘 (𝑘=1,…,5) indizie . Die Be echnung de Posi ionen e olg anhand des
o gegebenen Lochk eises mi Radius 𝑟𝐿=22 mm, 𝜏0=−30° und Winkelabs and 𝜏=60° zu
𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥
𝐶𝑘𝑦
𝐶𝑘𝑧)=(𝑟𝐿cos(𝜏0+𝑘𝜏)
𝑟𝐿sin(𝜏0+𝑘𝜏)
0).
Das Ebenenpaa ü die Nu wi d zunächs du ch den No malen ek o 𝑛=(1,0,0)𝑇 in seine
Aus ich ung de inie . Dami sind die Ebenen pa allel zu Kegelachse und symme isch zu den ün
Leh enzylinde n ausge ich e . Fü jede Ebene wi d das Vo zeichen de No male so gewähl , dass es on
de heo e ischen Ma e ialsei e in de echnischen Zeichnung bzw. am ealen Bau eil weg zeig . Die Lage
wi d e ne du ch einen Punk , de mi ig zwischen beiden Ebenen lieg de inie . Fü 𝑘=6 und 𝑘=7
is diese
𝐶𝑘=(𝐶𝑘𝑥
𝐶𝑘𝑦
𝐶𝑘𝑧)=( 0
−22
0).
Dies is genau de Schni punk on heo e isch genauem Boh lochk eis und de y-Achse des Leh en
Koo dina ensys ems, welche mi ig in de Nu lieg . De o hogonale Abs and de sei lichen Ebenen zu
mi le en Ebene du ch Punk 𝐶𝑘 mi dem No malen ek o 𝑛 is 𝑑=7,925 mm. Die Ma ixsch eibweise
zu Speiche ung de Leh en Geome iepa ame e is
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Lei aden ü die 3D-Lochbildeinpassung in de Koo dina enmess echnik
34
𝑀=
(
𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟
𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟
𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟
𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟
𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 𝑣𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧 0 0 0 𝑟
𝐶6𝑥 𝐶6𝑦 𝐶6𝑧 0 0 0 −𝑛𝑥−𝑛𝑦−𝑛𝑧𝑑
𝐶7𝑥 𝐶7𝑦 𝐶7𝑧 0 0 0 𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧𝑑
)
. (17)
Die e s en ün Zeilen sind die Pa ame e de Leh enzap en ü die Boh ungen. Die zwei
e bleibenden Zeilen geben die Pa ame e des Ebenenpaa es ü die Einpassung de Nu an.
4.2.3. Be echnung de S a einpassung und 3D-Lochbildeinpassung
De Ausgangspunk ü die Modellie ung de 3D-Lochbildeinpassung de Kegelscheibe sind die in die das
We ks ück Koo dina ensys em ans o mie en Messpunk e zu den Boh ungen 𝑃(1),…,𝑃(7) und die
Ma ix mi den Pa ame e n de Leh engeome ie 𝑀.
De eie Pa ame e de Einpassung is de Ro a ionswinkel 𝜑, de die Leh e im Koo dina enu sp ung
um die z-Achse des We ks ück Koo dina ensys ems d eh . De Winkel bes imm eine spezielle
D ehma ix 𝐻, mi de die Pa ame e de ged eh en Leh e du ch
𝑀(𝜑)=𝑀∙𝐻(𝜑)
be echne we den. Hie bei is
𝐻(𝜑)=
(
𝑐𝑜
−𝑠𝑖
00000000
𝑠𝑖
𝑐𝑜
00000000
0010000000
0001000000
0000100000
0000010000
000000
𝑐𝑜
−𝑠𝑖
00
000000
𝑠𝑖
𝑐𝑜
00
0000000010
0000000001
)
(18)
mi den We en 𝑠𝑖=sin(𝜑) sowie 𝑐𝑜=cos(𝜑). In 𝑀(𝜑) ände n sich nu die Posi ionsein äge (die x-
und y-Koo dina en de Leh enzap en, Ebenenmi elpunk e) und die No malen ek o en des
Ebenenpaa es. Fü eine e ein ach e Sch eibweise we den diese Ein äge dahe auch mi
𝐶𝑘(𝜑)=(𝐶𝑘𝑥,𝐶𝑘𝑦,𝐶𝑘𝑧)( 𝑐𝑜 𝑠𝑖 0
−𝑠𝑖 𝑐𝑜 0
0 0 1)
sowie
𝑛𝑘(𝜑)=(𝑛𝑘𝑥,𝑛𝑘𝑦,𝑛𝑘𝑧)( 𝑐𝑜 𝑠𝑖 0
−𝑠𝑖 𝑐𝑜 0
0 0 1)
bezeichne .
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35
4.2.3 S a einpassung und 3D-Lochbildeinpassung ü die Kegelscheibe
In diesem Un e abschni we den die ma hema ischen Modelle ü die3D- Lochbildeinpassung
besch ieben. Wiede um wi d mi eine g oben Einpassung nach einem geeigne en Gauß K i e ium
begonnen. Anschließend e olg die 3D-Lochbildeinpassung nach dem Tschebysche K i e ium.
S a lösung mi eine Gaußeinpassung
Die hie be ach e e Be echnung eine G obeinpassung o ien ie sich wie beim Flansch ing an den
Mi elpunk en de idealen Leh engeome ie und de Messpunk e. Im e s en Sch i wi d zu jede
e ass en Boh ung 𝑃(𝑘) mi 𝑘=1,…,5 de Schwe punk 𝑄𝑘=(𝑞𝑘𝑥,𝑞𝑘𝑦,0)𝑇 be echne . Die z-
Komponen e des Schwe punk es is 0 gese z , da sie keinen Ein luss au das Einpassungse gebnis haben
soll. Die ande en Komponen en sind
𝑞𝑘𝑥=1
𝑚𝑘∑𝑥𝑘𝑖
𝑚𝑘
𝑖=1
und
𝑞𝑘𝑦=1
𝑚𝑘∑𝑦𝑘𝑖
𝑚𝑘
𝑖=1 .
Die Be echnung is bei g oßen Da enmengen e izien . Ebenso wi d ü das e ass e Ebenenpaa de
Nu ein Schwe punk be echne . Diese is 𝑄6=(𝑞6𝑥,𝑞6𝑦,0)𝑇 mi
𝑞6𝑥=1
𝑚6+𝑚7(∑𝑥6𝑖
𝑚6
𝑖=1 +∑𝑥7𝑖
𝑚7
𝑖=1 )
und
𝑞6𝑦=1
𝑚6+𝑚7(∑𝑦6𝑖
𝑚6
𝑖=1 +∑𝑦7𝑖
𝑚7
𝑖=1 ).
Um die S a posi ion de Leh e zu bes immen wi d im zwei en Sch i de Winkel 𝜑0 be echne ,
welche die Minimie ungsau gabe
min
φ0 12∑ ‖𝐶𝑘(𝜑0)−𝑄𝑘‖2
6𝑘=1 (19)
lös . P oblem (19) is eine Gaußeinpassung. Diese minimie die Summe de Abs andsquad a e zwischen
den Schwe punk en de Punk ewolken und den echne isch idealen Mi elpunk en de Leh enelemen e.
Die Abs ände we den nu in de xy-Ebene des We ks ück Koo dina ensys ems be echne . Die Si ua ion
wi d in Abbildung 21 ü ein besse es Ve s ändnis da ges ell .
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36
Abbildung 21 S a einpassung de Kegelscheibe.
Die Leh engeome ie wi d in de Au sich in Rich ung de mi le en Achse gezeig (Kegelachse). Zu
Leh engeome ie gehö en die blau gezeichne en zylind ischen Zap en und de g ün gezeichne e Be eich
de Nu . Die e ass e Geome ie de Boh ungen und Nu Sei en lächen is du ch schwa ze Punk e
skizzie . Leh engeome ie und e ass e Geome ie liegen o de Einpassung zueinande e d eh . Dies
zeig die linke Bildhäl e. Gu zu e kennen sind die ü die Gaußeinpassung de inie en idealen
Mi elpunk e de Leh e 𝐶𝑘 und die Schwe punk e de e ass en Geome ie 𝑄𝑘. Nach de D ehung de
Leh e um den e echne en Winkel 𝜑0 lieg die S a einpassung o , welche au de ech en Bildhäl e
gezeig wi d.
Be echnung de 3D Lochbildeinpassung
De Lösungswinkel 𝜑0 aus S a einpassung (19) is noch nich de Winkel, bei dem die kleins mögliche
Übe lappung bzw. das g öß mögliche Spiel zwischen de Leh engeome ie und den Messpunk en
o lieg . Um die allgemeine Tschebysche -Einpassung (2) aus Kapi el 2.4 anzuwenden, sind geeigne e
Abs ands unk ionen ü die Leh enzylinde und die Nu zu de inie en. Wie beim Flansch ing gil ü die
Leh enzylinde mi 𝑘=1,…,5 die De ini ion
𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑))=𝑟−‖(𝑃𝑖(𝑘)−𝐶𝑘(𝜑))×𝑣‖.
Bei de Nu wi d zwischen linke und ech e Sei en läche un e schieden. Dies e olg du ch eine
en sp echende Zuo dnung de Punk emengen zu den Ebenen de Leh engeome ie und de
gegenläu igen Fes legung de No malen ich ung. Im Fall des Anwendungsbeispiels is 𝑃(6) die e ass e
Geome ie de linken Sei en läche und 𝑃(7) is die e ass e Geome ie de ech en Sei en läche. Fü
diese is
𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑))=𝑑−〈𝑃𝑖(𝑘)−𝐶𝑘(𝜑),𝑛𝑘(𝜑)〉.
Das olgende Einpassungs e ah en wi d au ges ell .
𝜑0

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min
φ∈ℝ,𝑠∈ℝ𝑠 𝑢.𝑑.𝑁.𝐵. 𝑓𝑘𝑖(𝜑)≤𝑠 ∀ 𝑘=1,..,7 𝑢𝑛𝑑 ∀ 𝑖=1,…,𝑚𝑘 (20)
Mi dem aus diese Au gabe be echne en D ehwinkel 𝜑 und dem maximalen Abs and 𝑠 is die
E mi lung de gesuch en G öße ü minimale Übe lappung ode maximales Spiel ein ach zu ealisie en.
Es gel en olgende Aussagen
 Is 𝑠>0 lieg Übe lappung zwischen de Leh e und den Messpunk en o . Diese ha den We
𝑠.
 Is 𝑠<0 lieg Spiel zwischen de Leh e und den Messpunk en o . Dieses ha den We 𝑠.
 Is 𝑠=0 so lieg die Leh e an den Messpunk en an. Es gib wede Spiel noch Übe lappung.
Um im Fall 𝑠>0 nachzu ollziehen, bei welchem de Leh engeome ieelemen e Übe lappung
o lieg , können ü jedes einzelne Elemen de Leh e die Abs ände zu den lokal zugeo dne en
Messpunk en gep ü we den. Diese sind
𝑠𝑘≔ max
i=1,.,,,mk𝑓𝑘𝑖(𝑀(𝜑))
ü alle 𝑘=1,…,7. Wenn 𝑠𝑘>0 is , lieg Übe lappung mi dem Bau eil o .
5. Anwendungsbeispiel Wü el
Bei den zu o be ach e en Anwendungsbeispielen Flansch ing und Kegelscheibe sind die
Leh enelemen e pa allel. Die P ü ung mi kö pe liche Leh ung is möglich du ch einsei iges Au s ecken
de Leh e mi dem P ü ling. Das Anwendungsbeispiel Wü el be ach e im Gegensa z dazu die Mon age
on Bau eilen übe zueinande e d eh e Boh ungen bzw. Zap en. D. h. die Geome ieelemen e de
Leh e sind nich meh pa allel. Dadu ch is die P ü ung mi kö pe lichen Leh en aus nu einem Teil nich
meh möglich. Genau in diesem Fall is die i uelle Leh ung mi KMGs und 3D-Lochbildeinpassung ein
bzgl. de Du ch üh ba kei güns iges P ü mi el. Fü den Anwendungs all wi d de in Abbildung 22
skizzie e Wü el be ach e .
Abbildung 22 Anwendungsbeispiel Wü el
Sei en läche
Obe e Boh ungen
Sei liche Boh ungen
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38
De Wü el ha eine Kan enlänge on 40,0 mm. In zwei de sechs Sei en lächen sind je d ei
Boh ungen eingeb ach . Die Tie e alle Boh ungen be äg jeweils 20,0 mm. Die Du chmesse be agen
6,0 mm. Alle Boh achsen s ehen senk ech zu den en sp echenden Sei en lächen. Um die Lage de
Boh ungen besse zu e kennen, wu de die Außen läche des Wü els anspa en gezeichne (Abb. 21).
5.1. No menkon o me P ü ung
De P ü ung des Wü els wi d keine spezi ische Funk ion zugeo dne . Vielmeh geh es um die
Besch eibung eine allgemein gehal enen P ü au gabe. Diese wi d in Abbildung 22 gezeig .
Bei de Auswahl de P ü au gabe wu de olls ändig au einen Bezug bzw. ein Bezugssys em
e zich e . Ausschließlich die Lage de sechs Boh ungen is ole ie . Dies üh zu eine Leh ung bzw.
3D-Lochbildeinpassung mi de maximalen Anzahl on sechs F eihei sg aden. Sie s ell gleichzei ig die
g öß en An o de ungen an die nume ische S abili ä und Leis ungs ähigkei ma hema ische Ve ah en
ü eine echne ische Einpassung da .
Abbildung 23 ISO 1101 kon o me P ü au gabe ü den Wü el.
5.2. Ma hema isches Modell de 3D-Lochbildeinpassung
Die echne ische 3D-Lochbildeinpassugn wi d du ch die in Abbildung 24 gezeig en ie Sch i e
du chge üh .
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Abbildung 24 Ablau diag amm zu 3D-Lochbildeinpassung ü den Wü el.
Zu Beginn we den des We ks ück Koo dina ensys em und die Leh enpa ame e zugeo dne .
Anschließend e olg die Diskussion eine geeigne en S a einpassung. Das Vo gehen is wesen lich
au wendige , als bei den o angegangenen Anwendungs ällen. Zudem muss eine allgemeine 3D-
T ans o ma ion de Leh engeome ie de inie we den. Zum Abschluss e olg die o male Angabe de
Tschebysche 3D-Lochbildeinpassung.
We ks ück Koo dina ensys em und Leh enpa ame e
Da ü den Wü el de Fall eine allgemeinen Einpassung o lieg (keine Nebenbedingungen du ch
Bezugselemen e), is p inzipiell jedes Ka esische Koo dina ensys em als We ks ück Koo dina ensys em
einse zba . Im Beispiel wi d das Ka esische Messpunk e Koo dina ensys em ü das We ks ück gewähl ,
da in diesem Fall keine Um echnung de Punk ekoo dina en no wendig is .
Die Leh e bes eh aus sechs idealen Zylinde n. Diese sind jede Boh ung des Wü els zugeo dne . Sie
haben den Radius 𝑟=2,94 mm (en sp ich Du chmesse MMVS = 5,88 mm). Die Lage und Rich ung de
Leh enzylinde wi d in Abbildung 25 da ges ell .
Abbildung 25 Koo dina ensys em und Modell de i uellen Leh e ü den Wü el.
In de linken Bildhäl e in Abb. 24 is das Leh en Koo dina ensys ems des Wü els abgebilde . Fe ne
sind die Boh ungen eindeu ig mi den Indizes 𝑘=1,..,6 numme ie . In de ech en Bildhäl e wi d die
Leh engeome ie (das Gegens ücks zu Einpassung) gezeig . Eingezeichne wu den die Mi elpunk e
𝐶1,…,𝐶6 de geome isch idealen Zylinde . Diese liegen jeweils au de Achse des Leh enzylinde s. Die
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40
Posi ion is die Mi e zwischen den Enden jede Boh ung in de echnischen Zeichnung des Bau eils.
Nach olgend sind die Pa ame e we e gegeben.
𝐶1=(𝐶1𝑥,𝐶1𝑦,𝐶1𝑧)𝑇=(−10,−30,−10)𝑇, 𝐶4=(𝐶4𝑥,𝐶4𝑦,𝐶4𝑧)𝑇=(−30,−10,−10)𝑇
𝐶2=(𝐶2𝑥,𝐶2𝑦,𝐶2𝑧)𝑇=(−30,−25,−10)𝑇, 𝐶5=(𝐶5𝑥,𝐶5𝑦,𝐶5𝑧)𝑇=(−10,−10,−25)𝑇
𝐶3=(𝐶3𝑥,𝐶3𝑦,𝐶3𝑧)𝑇=(−10,−10,−10)𝑇, 𝐶6=(𝐶6𝑥,𝐶6𝑦,𝐶6𝑧)𝑇=(−30,−10,−30)𝑇
De Rich ungs ek o de Zylinde 1 bis 3 is
𝑣1=(𝑣1𝑥,𝑣1𝑦,𝑣1𝑧)𝑇=(0,0,1)𝑇.
Die Zylinde 4 bis 6 haben den Rich ungs ek o
𝑣2=(𝑣2𝑥,𝑣2𝑦,𝑣2𝑧)𝑇=(0,1,0)𝑇.
Die Pa ame e we e we den auch hie in eine gemeinsamen Ma ix 𝑀 zusammenge ass .
𝑀=
(
𝐶1𝑥 𝐶1𝑦 𝐶1𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟
𝐶2𝑥 𝐶2𝑦 𝐶2𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟
𝐶3𝑥 𝐶3𝑦 𝐶3𝑧 1𝑣1𝑥 𝑣1𝑦 𝑣1𝑧 𝑟
𝐶4𝑥 𝐶4𝑦 𝐶4𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟
𝐶5𝑥 𝐶5𝑦 𝐶5𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟
𝐶6𝑥 𝐶6𝑦 𝐶6𝑧 1𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧 𝑟
)
(21)
Die Spal e mi den Zahlenwe en „1“ is on besonde e Bedeu ung ü die T ans o ma ion de
Pa ame e ma ix. Dies wi d im Folgenden e klä .
Spezi ika ion des T ans o ma ionsope a o s ü die Einpassung
Die T ans o ma ion um ass sechs un e schiedliche Pa ame e . Zunächs sind d ei Ve schiebungen de
Leh e en lang des We ks ück Koo dina ensys ems möglich. Diese we den mi dem Pa ame e
𝑇=(𝑡𝑥,𝑡𝑦,𝑡𝑧)𝑇
bezeichne . Die Komponen en geben den jeweiligen An eil de Ve schiebung in Rich ung de
Koo dina enachse mi gleichem Index an. Wei e hin sind d ei Ro a ionen um die We ks ück
Koo dina enachsen möglich. Dies wi d hie un e Zuhil enahme de Tai -B yan D ehungen mi
𝜑=(𝜑𝑥,𝜑𝑦,𝜑𝑧)𝑇
ealisie . Jede Komponen e de inie eine Ro a ionsma ix. Diese sind
𝑅𝑥=( 1 0 0
0 cos(𝜑𝑥)−sin(𝜑𝑥)
0 sin(𝜑𝑥) cos(𝜑𝑥))𝑇,
𝑅𝑦=( cos(𝜑𝑦) 0 sin(𝜑𝑦)
0 1 0
−sin(𝜑𝑦)0 cos(𝜑𝑦))𝑇
und