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ANÁLISIS DE DATOS COMPOSICIONALES: AGUAS,
CONTAMINANTES, RECURSOS, SOCIOLOGÍA...
J.J. Egozcue 1, R. Tolosana-Delgado 2,E. Ja au a-B agula 1, M.I. O ego 1,
J.L. Díaz-Ba e o1
1Dep. Ma emá ica Aplicada III e-mail: [email p o ec ed],
2Dep. Ing. Hid àulica, Ma í ima y Ambien al (LIM), e-mail: [email p o ec ed]
Plab as cla e: símplex, concen aciones, p opo ciones, ans o mación logís ica
Resumen: Los da os composicionales desc iben las pa es de un odo. Se p esen an en o ma
de ec o es p opo ciones, po cen ajes, concen aciones químicas e c. y apa ecen en mul i ud
de campos de la ciencia y la ingenie ía. A pesa su uso ecuen e en modelización, su análisis
es p oblemá ico y se pueden ob ene conclusiones sin sen ido si no se u ilizan mé odos
adecuados. Los mé odos de análisis composicional se basan en los p incipios de in a iancia
po escala y cohe encia subcomposicional. Se u ilizan loga i mos de cocien es en e
p opo ciones como coo denadas ( ans o maciones logís icas), que luego se analizan como
a iables eales o dina ias. Es e ipo de análisis equie e écnicas especí icas de ácil
implemen ación. Se desc iben algunas he amien as desc ip i as y de modelización a a és
de ejemplos.
1. DATOS COMPOSICIONALES
Los me ales pesados que con aminan un suelo se exp esan en pa es po millón (ppm de
masa). Los análisis de aguas mine ales se p esen an en mg/li o. Las pa ículas en suspensión
en el ai e se desc iben po su diáme o y el g ado de con aminación se exp esa po la
p opo ción de cada unos de esos diáme os. En ges ión de anspo es y mo ilidad in e esa la
p opo ción de iaje os que an a di e sas es aciones o bien el modo o el mo i o de su
desplazamien o. La es ucu a de una ca e a de alo es se desc ibe po los po cen ajes
in e idos en di e en es alo es. En las elecciones in e esa el po cen aje de o os a cada
candida u a. Las p obabilidades de cada suceso excluyen e suman la unidad. Todas es as
desc ipciones numé icas se ca ac e izan po que epa en un odo ( o al me ales pesados, o al
de solu o, pa ículas en suspensión, o al de iaje os, o al in e ido, o al de o os, la
p obabilidad uni a ia) en e sus pa es y su in e és no eside en ese o al sinó en la dis ibución
sob e las pa es. Pe o las unidades indicadas no dan una in o mación ele an e. Nadie se
p eocupa si una p obabilidad o p opo ción, en luga de exp esa se en an o po uno, se da en
po cen aje. O si una concen ación química en luga de exp esa se en ppm se exp esa en
acción mola . Se en iende que dos analis as abajando en di e en es unidades debe ían
llega a idén icas conclusiones. Po an o, si una composición se mul iplica con una cons an e
posi i a, el nue o ec o debe con ene idén ica in o mación, la que exp esan los cocien es
en e las dis in as pa es. Es a conclusión cons i uye el p incipio de in a iancia bajo cambio
de escala.
Los cocien es en e p opo ciones o pa es se con ie en en el cen o del análisis
composicional. Sin emba go, los cocien es de pa es, que son can idades posi i as, ienen
escala ela i a. Si en una o ación un candida o ob iene el 2% de los o os y en la siguien e
o ación ob iene el 4%, podemos deci que se ha doblado sus o os y ha ob enido un éxi o
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elec o al. En cambio, un candida o que ob u o el 30% de o os y consigue aho a el 32%,
habiendo mejo ado su posición, podemos deci que man iene su apoyo. Po azón de la escala
ela i a se suelen oma loga i mos de los cocien es de p opo ciones de o ma que su escala
se ans o ma en absolu a (di e encia de loga i mos).
Cuando se a an composiciones químicas nunca se analizan odos los elemen os sino una
pa e educida de ellos. Pa ece lógico exigi que los esul ados del análisis conce nien es a un
g upo de elemen os (una subcomposicición) no dependa de cuáles ue on el es o de las
concen aciones medidas. Es o da luga al p incipio de cohe encia subcomposicional que
exige que la in o mación no cambie cuando se ex ae una subcomposición. Cualquie
desc ip o de da os composicionales como concen aciones medias, a iabilidad de una
mues a, dis ancias en e composiciones deben cumpli los p incipios mencionados si no se
quie e incu i en con adicciones, que en ocasiones pueden se inquie an es.
Las composiciones se pueden ep esen a en el símplex: ec o es de componen es
posi i as que suman una cons an e. Se puede do a al símplex de una es uc u a de espacio
Euclídeo [2]. La ope ación de adición es la pe u bación que consis e en mul iplica las
composiciones componen e a componen e y después no maliza a suma cons an e. La
pe u bación puede asimila se a un il ado (lineal) en química o al inc emen o/dec emen o
mul iplica i o del alo de una ca e a. También se es ablece una mé ica que con o ma la
llamada geome ía de Ai chison en el símplex.
2. CORRELACIÓN ESPÚREA
El cálculo de la co elación en e a iables es la base de casi odos los mé odos
es adís icos. Un ejemplo mues a cómo la co elación en e concen aciones de solu os en un
acuí e o puede cambia dependiendo de qué subcomposición se analice. Se analizan aguas
p o undas en 23 pozos pa a es udia su salinidad (Moelle e al. 2008) y se ob ienen las
concen aciones en mg/l de los iones Na, K, Mg, Ca, Cl, SO4, HCO3. Pueden ob ene se las
co elaciones de cada pa de elemen os. Tomemos como ejemplo los es pa es que pueden
ob ene se de Cl, Na, Mg. A con inuación supongamos que no se ha medido HCO3 y
educimos cada composición a an o po cien en peso. La abla 1 mues a las co elaciones
en e las concen aciones de los pa es de elemen os en los dos casos mencionados. Un
obse ado , an e la co elación en e Cl y Na (cuando se exp esan en mg/l), concluye
sa is echo que los inc emen os de Cl co esponden a inc emen os p opo cionales de Na (sal
ma ina, salmue a, ...). En cambio quién obse a a el % en masa de la subcomposición (sin
HCO3) llega ía a la conclusión de que los inc emen os de Cl co esponden a dec emen os en
Na. Cada uno de los pa es encie a so p esas de es e ipo. Es amos an e una lag an e
iolación del p incipio de cohe encia subcomposicional.
Tabla 1. Co elaciones espú eas en un análisis de aguas
Cl Cl Na
Na Ca Ca
mg/l 0.99 0.73 0.65
% masa -0.37 -0.85 0.00
3. TRANSFORMACIONES LOGÍSTICAS Y ANÁLISIS EXPLORATORIO
Ai chison [1] p opone una solución al análisis de da os composicionales de acue do con
los p incipios que se han desc i o. Consis e en es udia el compo amien o de log-cocien es
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que sean in a ian es po escala, llamados log-con as es. Los más simples son los log-
cocien es de dos pa es. Es o da luga a ans o maciones de los ec o es de p opo ciones en
ec o es de log-con as es que con ienen oda la in o mación de las mues as. El análisis
es adís ico se ealiza sob e los ec o es ans o mados. Po sus ca ac e ís icas es as
ans o maciones son gene alizaciones de la an o mación logís ica o logi u ilizadas en
di e sos campos. Una de las más impo an es es la llamada ans o mación cl (cen e ed log-
a io) que consis e en di idi cada pa e en e la media geomé ica de odas las pa es y oma
loga i mo. Es a ans o mación pe mi e u iliza la mé ica euclídea o dina ia sob e los da os
cl - ans o mados de o ma que las ope aciones de pe u bación equi alen a sumas y las
dis ancias co esponden a la geome ía de Ai chison en el símplex. Con ello la ope a i a de
análisis se educe a la o dina ia.
Como se ha mencionado, la geome ía de Ai chison en el símplex es una geome ía
euclídea. Es o pe mi e u iliza odas las p opiedades y he amien as de es os espacios que nos
son amilia es. Es deci , disponemos de p oduc os escala es pa a hace p oyecciones
o ogonales y de ejes o ogonales que pe mi en abaja en coo denadas ([3] cap. 3).
Simpli icando, los pasos de un análisis composicional son: exp esa los da os
composicionales median e sus coo denadas; ealiza el análisis es adís ico de las coo denadas;
e in e p e a los esul ados, deshaciendo la ans o mación a coo denadas si es necesa io.
Una al e na i a composicional al análisis de co elación consis e en examina el
compo amien o de log-cocien es en e dos pa es. Si la a ianza del log-cocien e es pequeña
indica que ambas pa es es án muy asociadas y ice e sa. El conjun o de odas es as a ianzas
puede sus i ui a las ma ices de co a ianza-co elación o dina ias. Po o a pa e los alo es
medios de es os log-cocien es, co esponden al concep o de media en el símplex: se de ine
cen o de una mues a composicional como la media geomé ica de cada pa e a lo la go de la
mues a, no malizada a la suma cons an e. Es os concep os pe mi en hace los esúmenes
es adís icos necesa ios en cualquie es udio ([3] cap. 2).
La es adís ica composicional es siemp e mul i a ian e, ecuen emen e con una
dimensión conside able. La ep esen ación in ui i a de una mues a es, en es as
ci cuns ancias, un desa ío. Una de las he amien as más ú iles es el llamado biplo que
pe mi e la ep esen ación simul ánea de da os y a iables que se basa en el análisis de
componen es p incipales. En el caso composicional se p ocede a oma cl de los da os y a
con inuación ealiza el biplo ([3] cap. 5, 8). La igu a 1 ep esen a el biplo -composicional
(86% a ianza explicada) de los esul ados de las elecciones al Pa lamen de Ca alunya en
2010 ([3] cap. 2). Se puede in e p e a que la p ime a componen e p incipal co esponde a el
no apoyo al nacionalismo ca alán; la segunda pa ece ep esen a el conse adu ismo del s a us
quo. Las uniones de los ayos ep esen an la a ianza de los log-cocien es simples y el ángulo
en e ellas su co elación. Po ejemplo se sugie e que el log-cocien e (CiU, C’s) es á poco
co elacionado con el de (PP, ICV); ambién que las elación (PSC, PP) es á muy
co elacionada con la de (ERC, CiU, C’s), e c.
4. MODELOS DE EVOLUCIÓN
Como se ha mencionado los mé odos es adís icos adicionales pueden aplica se a los
ec o es de coo denadas. Po ejemplo, una coo denada composicional puede oma se como
a iable espues a y a a de p edeci la a pa i de una a iable explica i a ex e na a la
composición con mé odos de eg esión.
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Figu a 1. Biplo composi ional de los o os a candida u as en las elecciones al Pa lamen de
Ca alunya 2010. Los ayos son p opo cionales a la a iabilidad de las componen es cl de las
candida u as. Los pun os ep esen an egue ies.
El símplex, como espacio euclídeo, admi e la de inición de de i ada e in eg al y po an o
ecuaciones di e enciales que pueden modela la e olución en el iempo ([3] cap. 12). Po
ejemplo, la ecuación que iguala la de i ada con una cons an e se á una ec a en el símplex. La
igu a 2 mues a un ajus e (po eg esión) del pe óleo ya consumido, las ese as conocidas y
es hipó esis de ese as desconocidas. El ajus e es a una ec a en el símplex, después de
desca a ecuaciones di e enciales de o den supe io .
Figu a 2. Reg esión de la composición (pe óleo consumido, ese as conocidas, ese as
desconocidas) en Mba iles. P edicción a 50 años siguiendo una ec a del símplex.
REFRENCIAS
[1] Ai chison, J., 1986, The s a is ical analysis o composi ional da a. Monog aphs on s a is ics and
applied P obabili y, Chapman & Hall, London (Rep in ed in 2003 wi h addi ional ma e ial by
P ess Blackbu n).
[2] Pawlowsky-Glahn, V. and J.J. Egozcue: Geome ic App oach o S a is ical Analysis on he
Simplex, S ochas ic En i onmen al Resea ch and Risk Assessmen , 15, 5, 384-398, 2001.
[3] Pawlowsky-Glahn, V. and A. Buccian i (Ed.) (2011): Composi ional da a analysis. Theo y and
applica ions, Wiley, Wes Sussex, UK.
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