Quade ns d’His ò ia de l’Enginye ia olum ix 2008
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EULER, REY PASTOR Y LA SUMABILIDAD DE SERIES1
Luis Español González
[email p o ec ed]
Emilio Fe nández Mo al
[email p o ec ed]
0.- In oducción.
Hacia 1928, cuando al e naba en e las capi ales a gen ina y española, Rey
Pas o 2 esc ibió una monog a ía i ulada Teo ía de los algo i mos lineales de con-
e gencia y de sumación, publicada en 1931 po la Uni e sidad de Buenos Ai es
(REY, 1931). Como nos e e i emos a es a ob a con ecuencia, le asigna emos
el nomb e ab e iado de Talcys. El obje i o de la ob a, mode na en su época, e a
da un a amien o uni icado a los p ocesos de sumación gene alizada de se ies
e in eg ales di e gen es, plan eando así una línea de in es igación en Buenos
Ai es y Mad id. Rey Pas o p oponía un es udio co ela i o de se ies e in eg a-
les, en el que no ace ó del odo, pe o aquí nos e e i emos sólo a las se ies.
Rey Pas o se o mó en Za agoza, Mad id, Be lín y Go inga, y después
de gana b illan emen e dos oposiciones empezó a eje ce como ca ed á ico
de análisis ma emá ico en la Facul ad de Ciencias de la Uni e sidad Cen al
(Mad id) en 1914. Alejado de las enseñanzas del doc o ado po azones
de escala ón, u o opo unidad de di igi in es igación, en pa icula esis
doc o ales, en el Labo a o io y Semina io Ma emá ico que la Jun a pa a
Ampliación de Es udios (JAE) puso en ma cha en 1915. Lo hizo en es ipos
de emas que le ue on ma cados po las ci cuns ancias de su iniciación a la
in es igación ma emá ica. La geome ía ue el ema de su esis doc o al en la
línea de To oja. Fija se en la his o ia de las ma emá icas o maba pa e del
as ondo ideológico del momen o, demos ando el secula a aso cien í ico
1 Es e abajo su ge de la in o mación acumulada pa a ealiza la edición c í ica (REY, 2006) de
la ob a de Julio Rey Pas o Teo ía de los algo i mos lineales de con e gencia y de sumación (REY,
1931).
2 Julio Rey Pas o (Log oño 1888 - Buenos Ai es 1962) i ió en Buenos Ai es, sin pe de el
con ac o con España, desde 1921 ( éase RÍOS; SANTALÓ; BALANZAT, 1979).
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y de las soluciones plan eadas a pa i del a gumen o p obabilís ico de
Leibniz.
Desde Eule se designó a menudo a la se ie al e nada 1 – 1 + 1 – 1 + 1 …
como se ie de Leibniz5. La azón de ello e a la ca a (LEIBNIZ, 1713) que iba
a juga un impo an e papel en la dispu a a que dio luga la “pa adoja no
inelegan e” encon ada en 1696 po Jacobo Be noulli6: 1 – 1 + 1 – 1 + … = ½ .
En dicha ca a, Leibniz es á con es ando a Ch is ian Wol , a p opósi o de la
con adicción apa en e en la ase e ación 1 – 1 + 1 – 1 + … = ½ “nue amen-
e plan eada hace poco po Guido G andi … pues aunque pa ezca ocu i
in ini as eces 1 – 1 = 0, no es e iden e de qué modo a pa i de la suma de
in ini os ce os puede esul a ½”, y e oma el mismo modo de ob ención de
J. Be noulli:
“ ol amos a la se ie de los é minos de la p og esión geomé ica (es la
única que necesi amos pa a nues a e lexión) cual es 1/(1 + x) = 1 – x + xx
– x3 + e c. has a el in ini o, o bien 1/(1 + xx) = 1 – xx + x4 – x6 + e c. has a
el in ini o, y conside emos lo que sucede si x = 1: esul a e iden emen e, no
sin admi ación po pa e de quien lo conside e, 1/(1 + 1), o sea ½ = 1 – 1 +
1 – 1 + e c. has a el in ini o.” (LEIBNIZ, 1713: 384).
Leibniz se p onuncia sin es icciones a a o de es a igualdad, desa o-
llando p ime o una a gumen ación geomé ica de con inuidad7, pa a e mina
dando una “solución del enigma, quizá inespe ada, pe o cie amen e singu-
la ”, que basa en la na u aleza de las se ies in ini as:
“Cie amen e la se ie ini a 1 – 1 + 1 – 1 + e c. puede p esen a se de dos
mane as, bien cons ando de un núme o pa de é minos y acabando en – 1,
como
1 – 1, o 1 – 1 + 1 – 1, o 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1,
o has a donde se quie a llega , en cuyo caso siemp e da 0, o bien cons ando
de un núme o impa de é minos y acabando en + 1 , como
5 EULER, 1754: 587, 589. Ma ia Pas o i (1895-1975) la denominó se ie de G andi (PASTORI, 1927:
307-310).
6 La pa adoja e a que la suma de in ini os núme os en e os ue a un núme o acional.
7 Véase LEIBNIZ, 1713: 384-385; con iene una e e encia a la igu a 154 al inal del olumen.
español y p oclamando la necesidad de una eno ación cien í ica aco de con
los ni eles eu opeos. Po su pa e, se in e esó en el análisis complejo al p e-
pa a las oposiciones a la cá ed a, in en ando mejo a y da igo a los p o-
g amas. Pa a su abajo en es os es emas ap o echó los dos cu sos pasados
en uni e sidades alemanas (ESPAÑOL, 2006b).
Supe ada la p ime a e apa de su ac i idad in es igado a, hacia 1918
comenzó a diseña una nue a línea de abajo que pa ece esponde ya a
su gus o más pe sonal, línea que asomó en un abajo de 1919 (REY, 1919)
pe o que no se conc e ó has a la segunda mi ad de la década siguien e, una
ez anscu idos los p ime os años de asen amien o en Buenos Ai es. És a
es la línea de Talcys, en la que empezó a da cu sos en 1925/26 y a publica
a ículos en 1928, man eniendo una ac i idad in ensa has a 1936. Rey Pas o
elabo ó una eo ía gene al de sumación de se ies (e in eg ales) di e gen es
que, omando como base una de inición de suma gene alizada inspi ada
di ec amen e en Eule , englobaba los di e sos mé odos exis en es de cálculo
e ec i o, incluido uno debido a él mismo3.
En la sección 1 da emos una eseña del o igen p oblemá ico de la suma-
ción de se ies di e gen es y de las soluciones plan eadas a pa i del a gu-
men o p obabilís ico de Leibniz. Luego, en la sección 2, expond emos la
de inición de suma que dio Eule , necesa iamen e imp ecisa po el iempo en
que ue dada, po lo que ue c i icada en o no a 1900, cuando ya los mé odos
pa icula es de sumación e ec i a p oli e aban, po au o es como P ingsheim
o Bo el, y más a de ambién po Knopp, debido a la al a de unicidad de
la suma p opues a. Finalmen e, en la sección 3, e emos cómo, en e a los
au o es an es ci ados, Rey Pas o p opone una adecuada in e p e ación de la
de inición eule iana que sal a la unicidad y se mues a e icaz como de ini-
ción gene al abs ac a.
1.- La suma p obabilís ica.
En las p ime as páginas de Talcys, como an es en o os esc i os (REY,
1916), Rey Pas o hace e e encia al o igen del p oblema de las se ies
di e gen es4. Comenza emos con una eseña de es e o igen p oblemá ico
3 Véase ESPAÑOL; SÁNCHEZ, 2001 y ESPAÑOL, 2006a.
4 Véase PRINGSHEIM; MOLK, 1907: 264-266, en pa icula la no a 159.
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cualquie se ie en que las sumas pa ciales o masen una sucesión pe iódica,
ob eniendo po ejemplo 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 + … = (1 + 1 + 0)/3 = ⅔, 1 – 1 + 0 +
1 – 1 + 0 + … = (1 + 0 + 0)/3 = ⅓, an icipando la suma que da á el mé odo de
Cesà o.
Laplace en 1812, unos años después de la apa ición de la “objeción de
Calle ” y su e isión po Bossu y Lag ange9, c i icó el modo de azonamien o
p obabilís ico de Leibniz; en la In oducción a la Teo ía analí ica de las p obabi-
lidades, y den o del epíg a e Ilusiones en la es imación de p obabilidades se lee,
en e ec o:
“También pongo en la lis a de las ilusiones la aplicación que Leibni z y
Daniel Be noulli han hecho del cálculo de p obabilidades a la sumación de
se ies (…) Pe o es as se ies pueden esul a del desa ollo de una in inidad
de acciones dis in as, (…) Así la se ie más uno, menos uno, más uno,
e c., puede nace del desa ollo de una acción cuyo nume ado es la uni-
dad más la a iable, y cuyo denominado es es e nume ado aumen ado en
el cuad ado de la a iable. Suponiendo la a iable igual a la unidad, es e
desa ollo se ueca en la se ie p opues a, y la acción gene a iz esul a
igual a ⅔; las eglas de las p obabilidades da ían en onces un esul ado
also, lo que demues a cuán pelig oso se ía emplea azonamien os seme-
jan es, sob e odo en las Ciencias ma emá icas a las que debe dis ingui
eminen emen e el igo de sus p ocedimien os”. (LAPLACE, 1812: 3ª ed.,
CXVIII-CXX).
Y sin emba go, más a de Fou ie deja esc i o (FOURIER, 1822: 231):
8 En BERNOULLI, 1771: según PASTORI (1927: 309). Sob e la his o ia del mé odo de sumación
de Cesà o que ci amos al inal de es e pá a o éase (FERRARO, 1999).
9 Véase BOSSUT; LAGRANGE, 1801; a a emos es e asun o en la sección siguien e.
1, o 1 – 1 + 1, o 1 – 1 + 1 – 1 + 1,
o has a donde se quie a, en cuyo caso da siemp e 1. Pe o cuando la se ie es
in ini a, 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + e c. has a el in ini o, de modo que se excede
cualquie núme o [de é minos], al iempo que se di umina la na u aleza
de ese núme o se di umina ambién la asignabilidad de pa o impa …
Y así como quienes esc iben sob e es imaciones de aza enseñan que
cuando haya que oma un p omedio en e dos can idades que se p esen en
en la misma p opo ción se debe elegi la media a i mé ica, que es la mi ad
de su suma, así la na u aleza de las cosas aquí obse a la misma ley de
jus icia; y po consiguien e, como 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + e c. en el caso
de núme o ini o pa de é minos es 0, y en el caso de núme o ini o impa
de é minos es 1, se sigue que pa a una mul i ud de in ini os é minos
di uminada en e un caso y o o, donde las a ibuciones de pa o impa se
con unden y se iene la misma p opo ción de una cosa que de o a, ha de se
(0 + 1)/2 = ½, como e a p opues o.
Aunque es e géne o de a gumen ación pueda e se como más me a ísico
que ma emá ico, es sin emba go i me: y, po o a pa e, el uso de las eglas
de la e dade a me a ísica (que a más allá de la nomencla u a de los
é minos usados) en Ma emá ica, en Análisis, en la misma Geome ía, es
más ecuen e de lo que la gen e c ee”. (LEIBNIZ, 1713: 386-387).
T as ol e a su p ime a gumen o de con inuidad, Leibniz concluye:
“En ocasiones ha de se no sólo ag adable, sino ambién muy ú il pa a
es ablece e lexiones exac as ace ca del in ini o y descub i más y más las
uen es de una nue a doc ina, que se deduzca lo mismo a pa i de la
p opia na u aleza de las se ies y del in ini o. Al mismo iempo hab á que
cuida que la nue a ciencia no quede ni en lo más mínimo desac edi ada
po de ende pa adojas. Y así, a la objeción de que a pa i de ce os, sean
cuan os sean, de ningún modo puede esul a algo, no debe ía esponde se
dis inguiendo en e el caso ini o y el in ini o, como si la egla esul ase
engañosa en el in ini o; sino que admi ida la egla en oda gene alidad, de-
be ía mani es a se, como aquí se ha hecho, que es su aplicación la que queda
en onces suspendida”. (LEIBNIZ, 1713: 387).
Daniel Be noulli, en 17718, ex endió la egla p obabilís ica de Leibniz pa a
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2.- La suma eule iana. Objeciones.
Cuando Rey Pas o in oduce en Talcys (REY, 1931: 9) su de inición gene-
al de suma de una se ie, que luego e emos, esc ibe en una no a a pie de
página (de la que man enemos la cu si a) que es á o o gando “el signi icado
que debe da se a la de inición de Eule : Summa cujusque se iei es alo exp es-
sionis illius ini ae, ex cujus e olu ione illa se ies o i u .”
Es a de inición de Eule , cuya p ocedencia no ue indicada po Rey Pas o ,
apa ece ex ual en una ca a a Goldbach echada el 7 de agos o de 1745, en
la que Eule comienza comen ando “una pequeña dispu a sob e las se ies
di e gen es” que man iene desde hace algún iempo con Nicolás Be noulli
y en la que su posición es que “cada una de dichas se ies debe ene un
alo de e minado”, al que en p incipio no con end ía la palab a suma en su
conno ación habi ual pa a las se ies con e gen es. Ci amos el agmen o de
dicha ca a que iene al caso:
“Pe o como una al se ie se o igina del desa ollo de una exp esión ini-
a, he dado es a nue a de inición de suma de una al se ie:
Summa cujusque se iei es alo exp essionis illius ini ae, ex cu-
jus e olu ione illa se ies o i u .12
El S . Be noulli ap ueba comple amen e es a de inición, aunque aún
duda de si no pod ía o igina se exac amen e la misma se ie di e gen e del
desa ollo de dis in as exp esiones ini as, con lo cual según es a de inición
debie an asigná sele alo es di e en es. Sob e es o no ha dado ningún ejem-
plo, pe o yo c eo que es segu o que nunca se a a pode o igina la misma
se ie del desa ollo de dos exp esiones ini as e dade amen e dis in as. De
donde se sigue indudablemen e que una se ie, ya sea di e gen e o con e -
gen e, debe ene un de e minado alo o suma”. (FUSS, 1843: ol. I, Le -
e LXXXIII, 324).
P osigue su ca a Eule mos ando el ejemplo de la se ie 1 – 1 + 2 – 6 +
24 – 120 + e c.13, a la que hace apa ece como alo del á ea pa a x
12 Sic.; la ca a es á esc i a en alemán.
13 Es deci , : la se ie hipe geomé ica de Wallis, según la denominación de EULER
(1754: 594).
Dis inguiendo los coe icien es de sen x, sen 2x, sen 3x, sen 4x, e c., y
poniendo en luga de 1/n – 1/n3 + 1/n5 – 1/n7 + e c. su alo n/ (n2 + 1), se
end á
donde, pa a n = 1, es á admi iendo sin p oblemas10 la igualdad 1 – 1 + 1 – 1 +
… = ½ .
F obenius, cuando gene aliza el eo ema del lími e de Abel en un a ículo
de 1880 i ulado Sob e la se ie de Leibniz, pone el ema sob e una base más
i me demos ando el siguien e eo ema11:
“Si sn = a0 + a1 + …+ an y (s0 + s1 + … + sn-1 )/n iende a un lími e ini o
M cuando n c ece inde inidamen e, en onces la se ie a0 + a1x + a2x2 + … es
con e gen e pa a los alo es de x en e -1 y 1, y la unción así ep esen ada
iende al alo lími e M cuando x con e ge a 1 po alo es con inuamen e
c ecien es”. (FROBERNIUS, 1880: 262).
10 Véase PRINGSHEIM; MOLK, 1907: 265, no a 161. BOREL (1901: 8) excusaba así el p esen e
cálculo de Fou ie : “Fou ie sabía pe ec amen e lo que hacía y no co ía ningún iesgo de
equi oca se”. En BROMWICH (1908: 263-264) comen a que de hecho el esul ado del cálculo
es co ec o, ya que el p ime coe icien e de la se ie de Fou ie de senos pa a la unción π / 2
(sinh x) / (sinh π) es ½ .
11 F obenius concede a Leibniz la p io idad en el enunciado (sin p ueba) de es e eo ema ( éase
FERRARO, 1999: 116). En el capí ulo III de Talcys, Rey Pas o da dos p uebas de es e eo e-
ma; la p ime a (pá a o 100) como caso m = 1 de un esul ado de compa ación en e las que
llama sumabilidad (Cm) de Cesà o y sumabilidad (A) de Abel; la segunda (pá a o 124) en
un con ex o aún más gene al.
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+ 8 + 13 + e c. es é o mada a pa i de la can idad 1/(1 – 1 – 1) = – 1 y la
se ie geomé ica 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + e c. a pa i de la can idad 1/(1 – 2) =
– 1, no debe conclui se que es as dos se ies sean iguales ya que, sal o el p i-
me o, cada é mino de és a es mayo que cada é mino de aquella, siendo la
di e encia más y más c ecien e, aunque las di e encias cons i uyan la se ie
0 + 1 + 2 + 5 + 11 + 24 + e c. nacida de la can idad (1 – 1)/(1 – 3 + 1 + 2) =
0. También esul a absu do deci que la se ie ecu en e 1 + 3 + 8 + 19 + 43
+ e c. es igual a su solo p ime é mino, el odo igual a una mínima pa e,
no obs an e es a o mada aquella a pa i de la can idad 1/(1 – 3 + 1 + 2) =
1”. (FUSS, 1843: ol. II, 709-710)17.
El p ime ejemplo de una misma se ie di e gen e que, o iginada a pa i
del “desa ollo de exp esiones ini as dis in as”, admi ía di e sos alo es,
lo p esen ó J. F . Calle , au o bien conocido po sus impo an es ediciones
de Tablas de loga i mos, en una memo ia p esen ada a la Clase de Ciencias
Ma emá icas y Físicas del Ins i u o de F ancia y cuya e isión po Bossu y
Lag ange se publicó en 1801. Calle (BOSSUT; LAGRANGE, 1801: 4-5) hacía
apa ece la se ie 1 – 1 + 1 – 1 + … p ime amen e po alsa di isión de la ac-
ción 1/(1 + 1), pe o a con inuación po alsa di isión de (1 + 1)/(1 + 1 + 1) y, en
gene al, de cualquie acción m/n comp endida en e 0 y 1;
“De donde se sigue que no se puede deci que la suma de la se ie
1 – 1 + 1 – 1 + e c. es más bien ½ que ⅔, o en gene al que m/n; lo que pone
en de ec o el p incipio adelan ado po Daniel Be noulli”. (BOSSUT; LA-
GRANGE, 1801: 5).
Bossu y Lag ange daban a la objeción de Calle la o ma, más adecuada,
de que a pa i del desa ollo en po encias de x de la acción, pa a n > m,
“
es a se ie se con ie e en 1 – 1 + 1 – 1 e c. cuando x = 1; pe o si se o dena
17 En BROMWICH, 1908: 266; 2ª ed., 322, se da la e e encia (FUSS; FUSS, 1862: ol. 1, 536)
pa a la objeción de N. Be noulli que Eule comunicaba a Goldbach, con un plan eamien o en
cie o modo in e so al de es a úl ima ci a. La de inición eule iana se io publicada después
en EULER (1754: 593) y EULER (1755: § 111 (ed. Sp inge , 61)).
= 1, cuando la in eg al se calcula ecu en emen e po pa es14, y de la g á-
ica deduce que el alo de la se ie es algo mayo que ½ . A con inuación,
comoquie a que la misma se ie esul a, pa a x = 1, del desa ollo en acción
con inua
Eule comunica a Goldbach el alo ap oximado s = 0.5963475922 que ha
ob enido a pa i de ello pa a la suma de la se ie dada15.
En lo que se e ie e a la discusión con Nicolás Be noulli en la que p ime a-
men e e ía la luz la de inición de Eule , se conse an dos ca as del segundo
al p ime o16 de las que p esen amos sendos ex ac os:
“… no puedo con ence me de lo que es ableces al da a una se ie di-
e gen e, a la que aún con inuada has a el in ini o siemp e le al a á algo,
exac amen e el alo de la can idad desa ollada en se ie. Pues po ejemplo
1/(1 – x) no es = 1 + xx + x3 + … + x∞ , sino = 1 + xx + x3 + … + x∞ + x∞+1/
(1 – x)”. (FUSS, 1843: ol. II, 701-702).
“Po lo an o c eo que debe esponde se que las sumaciones ic icias de
ales se ies di e gen es no lle a án a e o , bien cuando po se ie di e gen e
deba en ende se cie a can idad desa ollada en se ie [quan i as aliqua
in se iem esolu a] o bien cuando, sin conside ación de las can idades
de donde nacen las se ies di e gen es, a ias se ies de es e ipo apa ezcan
en un cálculo y los es os in ini os omi idos en la sumación se cancelen
mu uamen e. Pe o en o os casos las sumaciones de es e ipo pod án lle a
ácilmen e a e o . Po ejemplo, de que la se ie ecu en e 1 + 1 + 2 + 3 + 5
14 Véase ambién EULER (1754: 604).
15 Véase ambién EULER (1754: 607-611), donde la ap oximación inal es s = 0.5963473621372, y
FUSS y FUSS, 1862: ol. 1, 547: es a e e encia la ci a y desa olla B omwich en (BROMWICH,
1908: 266-267).
16 De 6 de ab il y 29 de no iemb e de 1743: FUSS, 1843: ol. II, 701-707 y 708-713; ci adas po
P ingsheim en PRINGSHEIM; MOLK (1907: 262, no a].

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Rey Pas o adop a, en el a ículo (REY, 1930) que p esen ó en el ICM de
Bolonia de 1928, y ambién en Talcys, es a misma in e p e ación de Le Roy,
conc e amen e (REY, 1931: 9): Suma de una se ie ∑u es el alo que oma en el
pun o = 1 la unción gene a iz de inida po la se ie ∑u , como el signi icado
que debe da se a la de inición de Eule , y la denomina de inición eule iana18.
Más explíci amen e, en 1933 explicaba que la de inición de Eule es su icien-
emen e aga como pa a pode in e p e a la de es e modo:
“Dado un desa ollo en se ie ∑anxn de una exp esión (x) (combinación
en núme o ini o de ope aciones elemen ales), suma de la se ie numé ica
∑anhn es el alo (h). Sus i úyase el udimen a io concep o de unción ana-
lí ica de Eule po el ac ual, y se iene una de inición pe ec amen e cla a”.
(REY, 1933: 217).
Al e e i se en Talcys a las objeciones an e io men e señaladas, Rey Pas o
lo hace in ocando a los au o es más ecien es (REY, 1931: 9): “Es a de inición
de Eule ha sido o undamen e echazada po Bo el, P ingsheim, Knopp,
e c.” Rey Pas o ecoge, en pa icula , es a ci a de Knopp19 a p opósi o de la
igualdad 1 – 1 + 1 – 1 + … = ½: “la misma se ie pod ía p ocede de o as exp e-
siones analí icas o almen e dis in as y se ob end ía o o alo , po ejemplo:
que pa a = 1 ale ⅔”. Rey Pas o se en en a en Talcys a es os obje o es ep o-
duciendo casi ex ualmen e, y ampliando, el comienzo de su comunicación
(REY, 1930). Unos años después, en 1933, esc ibía:
“Como undado de la eo ía mode na de la con e gencia puede consi-
de a se a CESÀRO; como p opulso a BOREL, como p ecu so a EULER,
que en es e p oblema, como en an os o os, io más lejos que sus p opios
18 A i maba además: “No es es ingi la gene alidad el da a p ecisamen e el alo 1, pues
po un cambio de a iable = ’/a ans o mamos el pun o a ≠ 0 en el pun o 1”.
19 Theo ie und Anwendung de unendlichen Reihen, 2 e Au ., 1924, pág. 442 (sic). La página 442
co esponde a la p ime a edición del lib o (KNOPP, 1922) de Kon ad Knopp. En la segunda
edición alemana, que se adujo al inglés en 1928, la ci a apa ece en la página 458. El es o
de nues as e e encias a es a ob a emi en a la úl ima e sión inglesa, (KNOPP, 1951). Rey
Pas o llegó a dispone de la e ce a edición alemana, Be lín 1931, an es de la apa ición
imp esa de Talcys.
el cocien e según las po encias de x, supliendo las po encias que al an po
é minos mul iplicados po ce o, y es a con inuación cuando se hace x=1,
se encon a á que es á compues a de pe iodos de n é minos ales como
1,0,0 … -1,0,0,0 …; de sue e que sumando sucesi amen e los é minos
de la se ie, es as sumas o ma án pe iodos de n é minos ales como 1,1,1
… y 0,0,0 e c. Así, según la egla de Be noulli, la suma media se á (1 + 1
+ 1+…)/n = m/n, como esul a de la acción p opues a haciendo en ella
x=1.
Aunque se pueda de es a mane a jus i ica la egla de Be noulli, hay
que con esa que el p incipio del que ella depende es demasiado p eca io
como pa a que pueda se i a es ablece la sólidamen e”. (BOSSUT Y LA-
GRANGE, 1801: 7).
Como explicaba Ma ia Pas o i,
“Lag ange hace aquello que en el análisis mode no se llama una diluizio-
ne non uni o me. Como habíamos is o, ambién DANIEL BERNOULLI
había diluido no uni o memen e la se ie de GRANDI ob eniendo así alo es
dis in os de ½. En su luga , una dilución uni o me como la siguien e:
1 + 0 – 1 + 0 + 1 + 0 – 1 + …
no al e a la suma de la se ie”. (PASTORI, 1927: 310).
Édoua d Le Roy, en la pa e inal de su ex ensa memo ia (LE ROY, 1900)
Sob e las se ies di e gen es y las unciones de inidas po un desa ollo de Taylo ,
llegaba a p ecisa así la de inición de Eule :
“Voy a asocia a la se ie numé ica di e gen e la se ie en-
e a . Supongamos an e odo que es a se ie enga adio de
con e gencia ini o. Sea (z) la unción que de ine. Admi amos, pa a
ija ideas, que (z) exis a en odo el plano y sea holomo a sal o en pun os
singula es aislados. A la se ie numé ica dada le hago co esponde el alo
(1), único o no según que (z) sea uni o me o no, ini o o no según que z = 1
sea o no un pun o singula de (z) (puede ocu i que (1) sea ini o aunque
z = 1 sea un pun o singula ). Hecho lo cual, digo que la se ie es sumable y
que su suma es (1)”. (LE ROY, 1900: 410).
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el símbolo [ν/2] ep esen a el mayo en e o con enido en ν/2. Cada una de
las es se ies de las que se acaba de esc ibi la suma educiéndose, pa a x =
1, a la se ie al e nada
la suma de es a úl ima se ie pod ía se 1/p , -½ o ce o an legí imamen e
como ½. Es pues e iden e que la no a de L. Eule según la cual, cuando un
cálculo cualquie a haya conducido a la se ie al e nada
se puede sus i ui su suma po ½, con iene una a i ma-
ción e ónea incluso de p incipio y que no eposa en ninguna base
analí ica”. (PRINGSHEIM; MOLK, 1907: 263-265).
Bo el, en la p ime a edición de las Lecciones sob e las se ies di e gen es
(BOREL, 1901: 4-8) a enúa23 la an e io ap eciación de P ingsheim; as p e-
sen a una elación his ó ica de los abajos con la se ie de Leibniz desde
Jacobo Be noulli (Eule , objeción de Calle , Lag ange, ejemplos (b) y (c) de
P ingsheim) añade:
“Se ía ácil mul iplica y a ia es os ejemplos; ¿hay que conclui de
ello, con P ingsheim, que la a i mación de Eule es á desp o is a de odo a-
lo y debe se echazada comple amen e? No lo c eemos así. Impo a, en e ec-
o, sub aya que los an iguos geóme as no enían cos umb e de cons ui
a i icialmen e exp esiones analí icas complicadas pa a p oba es a o aquella
opinión; se con en aban habi ualmen e con ope a sob e las exp esiones que
se les p esen aban na u almen e en el cu so de sus in es igaciones.
Debe sob en ende se pues exp esamen e, en la a i mación de Eule que,
si se llega a la se ie 1 – 1 + 1 – 1 + … (debiendo ene en cuen a, desde
luego, las obse aciones eco dadas an es de Lag ange, espec o de se ies
que es na u al conside a como incomple as, y comple a las median e é -
minos nulos…) po no impo a qué cálculo, se puede sin acilación
suceso es ABEL y CAUCHY. Mien as és os a endían exclusi amen e a la
idea de ap oximación numé ica, y basa on la eo ía de los algo i mos inde-
inidos en el concep o de e o inde inidamen e pequeño, EULER se si uaba
en un pun o de is a uncional, que al cabo del iempo había de p edomina
sob e aquel”. (REY, 1933: 191)20.
T a a emos de comple a a con inuación el con ex o de la exp esión
“ o undo echazo de la de inición eule iana” que u iliza Rey Pas o , con ci as
pe inen es de P ingsheim, Bo el y Knopp21. Es os au o es oman conc e a-
men e el ejemplo de la se ie de Leibniz, y c i ican una ase de EULER (1754)
sacada de con ex o que cie amen e no esume el pensamien o de Eule sob e
las se ies di e gen es22:
“Pues si en un cálculo llego a es a se ie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + e c. y en su
luga sus i uyo ½, nadie pod á impu a me en jus icia un e o , y en cambio
a nadie deja ía de sal a le a la is a si en luga de la se ie pusie a o o nú-
me o cualquie a”. (EULER, 1754: 593; BARBEAU; LEAH, 1976: 148).
P ingsheim, en su a ículo Se ies in ini as pa a la Enciclopedia Teubne ,
esc ibía:
“Así, po ejemplo, a pa i de la ó mula
donde la se ie es con e gen e pa a |x| < 1, L. Eule concluye, pa a
x = 1, que se iene
Pe o se iene ambién, pa a |x| < 1,
20 Sob e la his o ia de la suma de Cesà o éase FERRARO (1999).
21 Véase ambién BROMWICH (1908: 261-267) y HARDY (1949: capí ulo 1 y no as).
22 Véase la no a 68 de A. Du án en EULER (1748: 109-110). 23 Véase la ( empo almen e pos e io ) no a 162 de Molk en PRINGSHEIM; MOLK (1907: 265).
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solamen e una colección nume able de núme os; es una al colección, cuyos
elemen os es án dispues os en un o den de e minado, y es e o den impo a
an o como el alo de los elemen os. …
Es a mane a de conside a las se ies: una colección de núme os, de los
cuales cada uno iene un luga de e minado, es, en mi opinión, del
odo esencial en el Análisis”. (BOREL, 1901: 17-18).
Po su pa e, Knopp p esen a su objeción como sigue, apo ando además
del “con aejemplo” de Calle -Lag ange, que es el que ha ecogido en su ci a
Rey Pas o , o o nue o:
“Es cla o que es a con ención [la de inición eule iana de suma de una
se ie] no iene una base p ecisa. Aunque, po ejemplo, la se ie 1 – 1 + 1 – 1 +
… esul a de una mane a muy sencilla de la di isión 1/(1 – x) pa a x = – 1,
y po lo an o debe ía iguala se a ½, no hay azón pa a que la misma se ie
no pudie a p ocede de o as exp esiones analí icas y, a la is a de esos o os
mé odos de deduci la, se ob u iese o o alo di e en e. La se ie an e io
puede de hecho ob ene se, pa a x = 0, de la unción (x) ep esen ada pa a
odo x > 0 po la se ie de Di ichle
o de
pa a x = 1. A la is a del segundo mé odo de deducción debe íamos oma
1 – 1 + … = ⅔, pe o según el p ime o no hay e idencia inmedia a de qué
alo pueda ene (0). Desde luego no necesa iamen e debe se ½.
El p incipio de Eule es po consiguien e en odo caso insegu o, y ue
sólo el inusual ins in o de Eule pa a lo ma emá icamen e co ec o el que
lo lib ó en gene al de conclusiones alsas a pesa del copioso uso que él hizo
de se ies di e gen es de es e ipo”. (KNOPP, 1951: 458-459).
eemplaza la po ½, mien as se a e de cálculos que uno se haya is o
conducido a hace de una mane a na u al, y no de exp esiones cons uidas
a p opósi o pa a pone la egla en de ec o. Po an o, pa a p oba que la a i -
mación de Eule es alsa, colocándose en el pun o de is a de Eule , hab ía
que p opo ciona el ejemplo de un geóme a que, sin ninguna p eocupa-
ción con espec o a las se ies di e gen es y a la legi imidad de su
empleo hubie a encon ado, en el anscu so de un cálculo cuyo obje i o
ue a una in es igación de o den o almen e di e en e, una se ie al como la
úl ima an e io , pa a la cual la egla de Eule quedase en de ec o.
En an o no se p opo cione un al ejemplo, pod á deci se que esa egla
es exac a, desde el pun o de is a p ác ico y expe imen al”. (BOREL,
1901: 6-8).
Rey Pas o c i icaba a Bo el, en su comunicación al cong eso de Bolonia:
“Es a al a de p emedi ación po pa e del calculis a que pa ece exigi
el insigne analis a ancés pa a la alidez de la de inición eule iana, hace
depende la suma, no ya de la coo dinación de los é minos con la se ie
na u al, sino de un ac o subje i o, inadmisible en una de inición ma e-
má ica. Además, esos mismos ejemplos, malin encionadamen e p epa ados,
pueden p esen a se en o os p oblemas, p opues os con absolu a ingenui-
dad”. (REY, 1930: 335, no a 2).
Y en Talcys decía (REY, 1931: 10) que, pa a alo a la clásica objeción de
la unicidad, “es p eciso an e odo eco da que cada se ie es á de inida po
una unción un del índice; da una se ie no sólo es de ini un conjun o de
núme os, sino una coo dinación de un conjun o con la sucesión na u al. Po
an o, la al e ación del o den, la asociación, la in e calación de ce os, p odu-
cen se ies dis in as, que sólo en cie os casos ienen sumas iguales”. Como
ejemplo, de e minaba que la suma de la se ie numé ica 1 + 0 – 1 + 1 + 0 – 1 +
1 + 0 – 1 + … ale ⅔ po odos los mé odos (como ya lo había hecho no a
Lag ange).
Pe o, espec o de que “una se ie es á de inida po una unción del índice”,
ambién Bo el, algo más adelan e había expues o:
“Se debe pues conside a , en una se ie, el luga de cada é mino
como o mando pa e in eg an e de dicho é mino; una se ie no es
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“No en ando a analiza aquí los de ec os de la de inición eule iana, que
en Rey (1931: 9-12) hemos es udiado ex ensamen e, es cu ioso obse a que
ninguno de los au o es que echazan al de inición pa ecen habe no ado la
más g a e de sus de iciencias, que no es la al a de unicidad, sino la al a de
conse ación de la suma o dina ia, como acon ece, po ejemplo, con o-
das las se ies con e gen es de é minos posi i os un ales que
pues la se ie gene a iz ∑un xn, po el eo ema de VIVANTI24, iene 1 como
pun o singula , ca eciendo de alo numé ico (1)”.
“Siendo condición esencial pa a oda gene alización la de comp ende
al concep o p imi i o, es a sola de iciencia hace inacep able la de inición
eule iana. Pa a sus i ui la, e i ando odos sus incon enien es, hemos p o-
pues o la siguien e: ‘suma de una se ie numé ica ∑un es el lími e a que ien-
de la ama de unción analí ica de inida po la se ie ∑un n cuando iende
adialmen e a 1, a pa i del o igen”. (REY, 1933: 217-218).
Es a de inición uncional, añade el au o en Talcys, p esupone la exis en-
cia de la unción gene a iz en un cí culo de adio ini o y no nulo, es deci ,
la ini ud del lími e supe io
u||lím
, pe o “ ijado el camino adial pa a
e ec ua la p olongación analí ica de la unción gene a iz, el alo gene ali-
zado de la se ie o in eg al, cuando exis e, es único”.
Y, cumplida la an e io condición, “las únicas se ies no sumables son las
siguien es (REY, 1931: 14-15):
“1. Aquellas cuya gene a iz iene como polo el pun o = 1.
2. Aquellas cuya gene a iz iene el pun o = 1 como singula esencial,
inaccesible adialmen e, es o es, sin lími e ini o adial.
3. Aquellas cuya gene a iz iene algún pun o singula en e 0 y 1”.
La denominación de suma gene alizada queda jus i icada po que el alo
ob enido en el caso de una se ie con e gen e coincide con la suma o dina ia:
“Si la se ie ∑u con e ge, el pun o = 1 es in e io a la ci cun e encia de con-
e gencia de la unción gene a iz, o es á en ella. En el p ime caso (1) exis e
24 El eo ema de Vi an i, o de P ingsheim-Vi an i, que ci a aquí Rey pas o , a i ma: Si una se ie
de po encias de coe icien es posi i os iene adio de con e gencia ini o > 0, en onces el pun o z =
es un pun o singula de la unción analí ica de la que aquella se ie es un elemen o. Fue es ablecido
po Vi an i (sin demos ación explíci a: VIVANTI (1893: 112), y la p ime a demos ación es
de PRINGSHEIM (1894: 42).
3.- La suma uncional de Rey Pas o .
Rey Pas o pensaba que e a más co ec a la de inición uncional pa a la
suma de una se ie, pues ampliaba la exigencia mínima de pe manencia de
las leyes a i mé icas. Las objeciones a la al a de unicidad de la de inición
uncional podían sal a se o mulando co ec amen e la misma, como hizo en
(REY, 1930) y Talcys y se ha is o en la sección an e io .
No obs an e, Rey Pas o obse a que la de inición eule iana adolece de
o os incon enien es di e en es del an llama i o de la unicidad. Menciona
los siguien es (REY, 1931: 10-12):
“1. Que el pun o 1 sea singula y no exis a pa a = 1, po consiguien e, el
alo de la unción gene a iz que da o igen a la se ie, a pesa de que la
se ie sea en algún caso con e gen e.
2. Pod ían no conse a se los lími es +∞, –∞.
3. La unción gene a iz pod ía no se una unción uni o me.
4. La de inición eule iana exige la sumación de la se ie po encial en el
sen ido clásico, es o es, la ob ención de una exp esión a i mé ica equi-
alen e, lo que signi ica una es icción conside able”.
Pe o Rey Pas o mues a que odos es os incon enien es se subsanan
inco po ando lími es adiales a la de inición eule iana, ob eniendo así la
siguien e de inición uncional adial de suma gene alizada:
“Llama emos suma gene alizada de una se ie numé ica al lími e
a que iende la ama de su unción gene a iz de inida po la se ie
cuando iende adialmen e a 1, pa iendo del o igen”.
Unos años más a de, Rey Pas o ci aba la 2ª edición del lib o de Bo el,
ampliada po Bouligand, (BOREL, 1928), con empo ánea del ICM de Bolonia,
así como la 3ª edición (Be lín, 1931) del lib o de Knopp, exponiendo que
“[en ellas] sigue echazándose el concep o eule iano de sumación, con
pequeñas a enuan es, [po lo que] c eemos con enien e amplia las ideas
expues as en aquella memo ia [se e ie e a (REY, 1930)]. (REY, 1933:
217).