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Re is a in e nacional de mé odos numé icos pa a cálculo y diseño en ingenie ía, Vol.
1,4,31-48 (1985)
ANALISIS CINEMATICO
Y
DINAMICO
DE SISTEIMAS MECANICOS
FORMADOS POR VARIOS SOLIDOS RIGIDOS
JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA DE J iLON
Cen o de Es udios
e
In es igaciones Ticnicas de Guipúzcoa
Escuela Supe io de Ingenie os Indus hdes de San Sebas ián
Uni e sidad de Na ai a
RESUMEN
En es e a ículo se p esen a
un
nue o mé odo numé ico de análisis cinemá iclo y dinámico con
compu ado de sis emas mecánicos o mados po a ios só!idos ígidos. El mé odo p esen ado u iliza
un nue o sis ema de coo denadas no independien es onnado po las coo denadas ca esianas de
algunos pun os del mecanismo
y
las componen es ca esia ias de algunos ec o es cini a ios solida ios
al mismo, median e los que se de ine la posición y el mo imien o del sis ema. Las ecuaciones de
es icción que ligan es as coo denadas se es ablecen coino condiciones de sólido ígido de cada
elemen o y como es icciones de pa .
La
inclusión de componen es ca esianas de ec o es uni a ios
den o de es e sis ema de coo denadas, acili a en g an mane a la o mulación de las es icciones
de pa cuando el pa cinemá ico es á asociado con una di ección pa icula , como sucede en los pa es
de e olución (R), cilínd icos (C) o p ismií icos (P). Las ecuaciones de es icción esul an lineales
o cuad á icas. Las ecuaciones di e enciales del mo imicln o se ob ienen ácilmen e median e el
Teo ema de las Po encias Vi uales. Finalmen e, se p esen an algunos ejemplos de análisis de mecanis-
mos planos y idimensionales.
SUMMARY
In his pape a new me hod o he nunie ical kinema ic and dynamic analysis
o
mul i- igid-body
sys ems is desc ibed. The me hod p esen ed uses a neu sys em o non independen coo dina es
o med by he ca esian coo dina es o some poin s o he mechanism and by he ca esian compo-
nen s o uni a y ec o s ixed o i , which de e mine he posi ion and he mo ion o he mul i- igid-
body sys em. The cons ain equa ions a ise om he igicl body condi ion o each, elemen and om
he pai cons ain equa ions. The inclusion o uni a y ec o s as mechanism coo dina es allows
an easy o mula ion o pai cons ain s when he pai is ela ed o a pa icula di ec ion, as in e olu e
(R)
cylind ical (C) o p isma ic (P) pai s. The cons ain equa ions a e always linea o quad a ic.
The di e en ial equa ions o mo ion a e ob ained easily h ough he applica ion o he Theo em
o Vi ual Powe . Some exa nples o dynamic analysis o plana and h eedi nensional mechanisms
a e p esen ed.
INTRODUCCION
Muchos sis emas mecánicos pueden se modelizados de o ma e ec i a como sis emas
o mados po a ios sólidos ígidos unidos en : e sí. El análisis diinámico de es os
sis emas puede se lle ado a cabo nedian e mé .odos analí icos o median e mé odos
numé icos. Los mé odos analí icos, como los de jc i os pa a sis emas idimensionales
Recibido: Ma zo
1985
3
Uni asi a Poli kcnica de Ca alunya
(España)
ISSN
0213-1315
3
2
JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA DE JALON
en la e e encia1, han aumen ado conside ablemen e su campo de aplicación en los
úl imos años, pe o las di icul ades eó icas y p ác icas son an g andes que la única
al e na i a posible pa a log a la gene alidad en el análisis son los mé odos numé icos.
Es os mé odos han abie o la posibilidad de desa olla p og amas de compu ado
gene ales, como los bien conocidos DRAM~,~, 1MP4,
ADAMS~
y DADS-~D~-~.
Las ca ac e ís icas dis in i as de los mé odos de análisis en que se basan es os p og a-
mas son, po una pa e, el ipo de coo denadas elegidas pa a la de inición de la posición
y mo imien o del mecanismo; po o o lado, las ecuaciones de es icción que ligan,
es as coo denadas, cuya o mulación es á es echamen e elacionada con el ipo de
i
coo denadas elegido; y inalmen e, el es ablecimien o de las ecuaciones de equilib io1
dinámico cuya in eg ación numé ica pe mi i á conoce la e olución del mecanismo
a lo la go del iempo.
En es e a ículo se p esen a un mé odo de análisis cinemá ico y dinámico de meca-
nismos basado en la u ilización de un nue o sis ema de coo denadas dependien es,
denominadas "coo denadas na u ales", cuyas ecuaciones de es icción son de ácil
o mulación. Las ecuaciones di e enciales del mo imien o se es ablecen median e
el Teo ema de las Po encias Vi uales, p e ia de inición de las ma ices de ine cia
de los sólidos ígidos que o man el mecanismo y pos e io ensamblaje de és as en
la ma iz de ine cia del sis ema.
COORDENADAS DE UN MECANISMO
El pun o c ucial de cualquie mé odo de análisis cinemá ico y dinámico de meca-
nismos es la de inición de las cccoo denadas" del mecanismo. Dichas coo denadas
ienen cons i uidas po un conjun o de pa áme os no independien es que de inen
uní ocamen e la posición de odos y cada uno de sus elemen os; no son independien es
po que cualquie conjun o de pa áme os cuyo núme o sea supe io al núme o de
g ados de libe ad del mecanismo, debe á sa is ace cie as ecuaciones de compa ibili-
dad geomé ica adicionales, que se conocen con el nomb e de "ecuaciones de es ic-
ción". Las ecuaciones de es icción juegan un papel de undamen al impo ancia
en el análisis de es os sis emas, y se co esponden es echamen e con el ipo de coo de-
nadas elegido.
Po o a pa e, se de inen las "coo denadas gene alizadas" de un mecanismo como
un conjun o de coo denadas independien es, cuyo núme o coincide con el núme o
de g ados de libe ad del mismo. Las coo denadas gene alizadas no de e minan la
posición de odos los elemen os del mecanismo sino a a és de la esolución del
"p oblema de posición", que es un p oblema no lineal que puede ene a ias solucio-
nes. Po es a azón, las coo denadas gene alizadas no se pueden u iliza po sí solas
pa a de ini la posición, sino que se suelen usa pa a de ini las elocidades y acele a-
ciones de los elemen os de en ada, o pa a la in eg ación numé ica de las ecuaciones
di e enciales del mo imien o.
Así pues, la de inición de las coo denadas del mecanismo
y
de las ecuaciones de
es icción cons i uyen el núcleo de odo mé odo numé ico de análisis cinemá ico
y dinámico de mecanismos.
Exis en es ipos p incipales de coo denadas de un mecanismo, que han dado luga
a es amilias di e en es de p og amas de análisis con compu ado : las coo denadas
" ela i as", u ilizadas po los p og amas DRAM2*3 e IMP4, las coo denadas de "pun o
de e e encia", u ilizadas con lige as a ian es po los p og amas ADAMS5 y DADS-
3DG8; y las coo denadas "básicas" o "na u ales", de las que hace uso el p og ama
COMPAMM9"13, y a las que se ha á especial e e encia en es e a ículo.
Coo denadas ela i as
Como se ha apun ado, las "coo denadas ela i as" se usan en los p og amas DRAM
e
IMP.
Con ellas, la posición de cada elemen o se de ine con elación al elemen o
que le p ecede en la cadena cinemá ica, po medio de un núme o mínimo de pa áme-
os que dependen de los g ados de libe ad de mo imien o ela i o pe mi idos po
el pa que une ambos elemen os. Así, un pa es é ico in oduce es ángulos como
coo denadas ela i as, un pa cilínd ico in oduce un ángulo
y
una dis ancia,
y
un pa
de e olución in oduce un único ángulo. La Figu a
1
mues a un mecanismo idi-
mensional RSCR en el que la posición de cada uno de sus elemen os queda de inida
po un conjun o de coo denadas ela i as.
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ANALISIS CINEMATICO
Y
DINAMICO
Figu a
1
Las ecuaciones de es icción asociadas con 1z.s coo denadas ela i as se ob ienen
o mulando ec o ial o ma icialmen e las ecuaciones co espondien es a los lazos
ce ados del mecanismo,
y
po an o, pa a pode o mula las es necesa io el econo-
cimien o p e io de los lazos independien es. Es a a ea se puede ealiza au omá ica-
men e (po medio de la eo ía de g a gs, po ejemplo), o po medio del analis a.
Los p incipales incon enien es de las coo de iadas ela i as de i an del hecho de
que no de e minan di ec amen e la posición, elocidad
y
acele ación de los elemen os,
con las consiguien es di icul ades a la ho a de plan ea las ecuaciones de equilib io
,dinámico, y la necesidad de u iliza p e
y
pos p ocesado es.
Coo denadas de pun o de e e encia
Las coo denadas de pun o de e e encia de inen la posición de cada elemen o u ili-
zando las coo denadas ca esianas de uno de sus pun os -usualmeni e el cen o de
g a edad-
y
la o ien ación angula del elemen o de inida espec o de unos ejes ijos
de alguna de e minada mane a. Exis en pa a es o di e sos p ocedimien os. Así, el
p og ama ADAMS~ u iliza los "ángulos de Eule "', que cons i uyen un mínimo sis ema
de coo denadas angula es independien es, pe o con los que pueden su gi algunas
di icul ades cuando el ángulo de nu, ación se hace ce o o múl iplo de
T,
pues en es a
34
JORGE UNDA Y JAVIER GARCIA DE JALON
posición los ángulos p ecesión y de o ación p opia no es án de inidos uní ocamen e.
Es e incon enien e puede se ob iado cambiando la o ien ación de los ejes ijos.
O a o ma de de e mina la o ien ación angula de un sólido es po medio de
los "pa áme os de Eule ", que son cua o pa áme os no independien es que ijan
la posición del eje y la magni ud de un gi o. Es as coo denadas no ienen posiciones
singula es, pe o como con apa ida su núme o es mayo que con los ángulos de Eule ,
y ambién el hecho de no se independien es p esen a di icul ades adicionales en" la
in eg ación numé ica de las ecuaciones di e enciales del mo imien o. Es as coo denadas
son las u ilizadas en k1 p og ama DADS-~D~-' y en la e e encia14.
O os au o es han p opues o o os ipos de a iables pa a ija la posición angula
en e un ied o ijo y o o mó il, como po ejemplo los nue e elemen os de la ma iz
de cosenos di ec o es de los ejes mó iles, o bien los seis elemen os co espondien es
a dos columnas de dicha ma iz15'16. Es as coo denadas ienen los mismos incon e-
nien es o aún mayo es que los pa áme os de Eule : núme o ele ado y elaciones
de dependencia.
Las ecuaciones de es icción asociadas con las coo denadas de pun o de e e encia
su gen de las es icciones impues as en el mo imien o ela i o en e dos elemen os
con iguos po el pa
cinemá ica
que los une. El núme o de coo denadas de pun o
de e e encia, pa a un mismo mecanismo, es siemp e muy supe io al de coo denadas
ela i as, pe o sus de enso es a guyen que las e~uaciones ma iciales que se ob ienen
son muy dispe sas, y que el mayo núme o no les es a e icacia. Sin emba go, hay que
señala que -en la p ác ica- es o sí que cons i uye un e dade o incon enien e,
po la g an can idad de ecuaciones de es icción que hay que in oduci y los sis emas
de ecuaciones di e enciales an g andes que esul an.
Coo denadas na u ales
y
coo denadas básicas
Las coo denadas básicas cons i uyen o a opción en el análisis de mecanismos
planosg-ll y idimensi~nalesl~-~~. Es as coo denadas es án o madas po las coo de-
nadas ca esianas de algunos pun os del mecanismo. La Figu a
2
mues a los "pun os
básicos" del mismo mecanismo espacial RSCR de la Figu a 1. Cada elemen o debe
ene al menos dos pun os básicos en el caso plano, y es en el idimensional.
Figu a
2
ANALISIS CINEMATICO
Y
DINIMICO
3
5
Las coo denadas básicas pueden conside a se como una e olución de las coo denadas
de pun o de e e encia, en las que dichos pun os se: desplazan hacia los pa es del meca-
nismo o a o os pun os de in e és.
De
es a mane a, cada elemen o iene a ios pun os
de e e encia, y és os son compa idos po a ios elemen os, lo que iene la impo an e
en aja de hace innecesa io el uso de las coo denadas angula es.
Las ecuaciones de es icción asociadas con las coo denadas básicas se ob ienen po
un doble camino: de la condición de sólido ígido en e pun os básicos pe enecien es
a un mismo elemen o, y de las es. icciones en el mo imien o ela i o de pun os
básicos pe enecien es a elemen os adyacen es i nlpues as po el pa
cinemá ica
que
los une. Todas es as es icciones pueden queda educidas al es ablecimien o de es
ipos de condiciones elemen ales: dis ancia cons iin e en e dos pun os básicos, á ea
cons an e del iángulo o mado po es pun os básicos,
y
olume i cons an e del
e aed o o mado po cua o pun os l~ásicos.
Las coo denadas básicas son a ac i as po que dan di ec amen e la posición, eloci-
dad y acele ación de los pun os de ~n e és del mecanismo,
y
po que las ecuaciones
de es icción son simples
y
áciles de maneja . Como des en aja de es as coo denadas
apa ece el g an núme o de incógni as a que dan luga en el caso idimensional. Po
ello, es as coo denadas son especialmen e adecuadas pa a el caso plano, en el que
su núme o es mode ado (siemp e meno que con las coo denadas de pun o de e e en-
cia), y la o mulación ex ao dina iamen e sencilla.
Las coo denadas na u ales cons i uyen una e olución de las coo denadas básicas
di igida a soluciona sus des en ajas en el caso i idimensional. De igual mane a que
és as, las coo denadas na u ales u ilizan las coo de:nadas ca esianas de algunos pun os
del mecanismo, pe o además de és as u ilizan s.mbién las componen es ca esianas
de algunos ec o es uni a ios. En la Figu a
3
puede e se el mismo mecanismo de
las igu as an e io es, cuya con igu ación queda de inida po medio de coo denadas
na u ales.
Figu a
3

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JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA DE JALON
Los ec o es uni a ios con ibuyen a de ini los elemen os como sólidos ígidos,
y p opo cionan una o ma ácil
y
simple de conside a los pa es cinemá icos asociados
con una de e minada di ección, como son los pa es R, C y
P.
Así, las coo denadas na u ales man ienen las en ajas de las coo denadas básicas,
educiendo el núme o de pa áme os necesa ios pa a de ini la posición del mecanismo.
Como puede e se en las Figu as 1 a
3,
el mismo mecanismo necesi a de seis coo de-
nadas ela i as, dieciocho coo denadas básicas, y doce coo denadas na u ales. El mismoi
mecanismo necesi a ía dieciocho coo denadas de pun o de e e encia, con ángulos
de Eule : y en iuna en el caso de u iliza pa áme os de Eule , pa a su de inición.
Al
u iliza coo denadas na u ales los elemen os del mecanismo quedan de inidos
median e un conjun o de pun os básicos y ec o es uni a ios, exis iendo di e en es
posibilidades pa a la de inición de los elemen os, al como puede e se en la Figu a
4.
Figu a
4
Las ecuaciones de es icción asociadas a las coo denadas na u ales son muy sencillas
de es ablece ,
y
se án explicadas con de alle en el apa ado siguien e.
ECUACIONES DE RESTRICCION
Como se ha indicado en el apa ado an e io de es e a ículo, exis e una es echa
elación en e las coo denadas del mecanismo y el ipo de ecuaciones de es icción
que las in e elaciona.
Así,
las coo denadas ela i as dan luga a ecuaciones de es ic-
ción de lazo ce ado, las coo denadas de pun o de e e encia dan luga a ecuaciones
de es icción de pa , y las coo denadas básicas a ecuaciones de es icción de sólido
ígido (o de elemen o)
y
de pa .
A con inuación se de alla á b e emen e el modo en que se o mulan las ecuaciones
de es icción en coo denadas básicas pa a el caso plano, y en coo denadas na u ales
en el caso idimensional. En ambos casos se dis ingui á en e las es icciones que
de i an de la condición de sólido ígido y las que de i an de los pa es cinemá icos
del mecanismo.
ANALISIS CINEMATICO
Y'
DINAMICO
3
7
Res icciones de elemen o
En el caso plano, la condición de que un elemen o sea un sólido ígido se educe
-po lo gene al- a la condición de que se man engan cons an es las dis ancias en e
los pun os básicos que pe enecen a dicho elemen o. En algunos casos pa icula es,
como cuando hay es pun os básicos que es á i alineados, las es condiciones de
dis ancia cons an e no son independien es, y hay que ecu i a un nue o ipo de condi-
ción, que es la de á ea cons an e del iángulo o mado po los es pun os básicos.
Ma emá icamen e, es as condiciones pueden o mu:ia se en la o ma
siendo (xi,yi), (xj ,yj), (xk ,yk) las coo denadas ca esianas de los pun os en e los que
se es ablecen las ecuaciones de es icción, dij el alo de la dis ancia en e los pun os
i y
j,
y
Aijk
el alo del á ea del iángulo o mado :po los pun os i,
j,
y
k,
En el caso idimensional las ecuaciones de es icción se o mulan ambién de un
modo muy sencillo, es ableciendo condiciones .de ángulo y dis ancia cons an es en e
pun os y ec o es uni a ios pe enecien es al mismo elemen o. Así, en un elemen o
idimensional de inido median e p pun os básicos y ec o es uni a ios, se á necesa io
es ablece al menos
(3p-6)
es icciones de elemen o independien es, pues cada pun o
o ec o apo a es coo denadas y un sólido ígido en el espacio iene seis g ados de
libe ad.
Las condiciones de dis ancia y ángulo cons an e se o mulan median e el p oduc o
escala en e ec o es uni a ios, o en e un ec o o mado po dos pun os básicos
y un ec o uni a io. Así, el elemen o de la igu a 5a, de inido median e dos pun os
Figu a
S
3
8
JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA
DE
JALON
básicos, iene seis coo denadas na u ales y cinco g ados de libe ad (no se conside a
la o ación al ededo de la ec a que une los dos pun os),
y
po an o hay que in odu-
ci una ecuación de es icción que es la condición de dis ancia cons an e en e ambos
pun os
donde C1 es una cons an e y
ij
ep esen a el ec o asociado con el segmen o (i-j).
Análogamen e, el elemen o de la Figu a 5b, de inido median e dos pun os básicos
y
un ec o uni a io, da luga a las siguien es ecuaciones de es icción:
donde C1
y
C2 son cons an es,
ij
iene el mismo signi icado que en la exp esión
an e io y
u,
es un ec o uni a io.
Finalmen e, en Ia Figu a 5c puede e se un elemen o de inido median e dos pun os
básicos y dos ec o es uni a ios. De acue do con la egla es ablecida con an e io idad,'
las ecuaciones de es icción de elemen o que hab á que in oduci se án las seis
siguien es:
donde el signi icado de las a iables es simila al de las exp esiones 4-6.
Cuando los dos ec o es uni a ios son coplana ios, las ecuaciones de es icción
an e io es no son las adecuadas.
La
condición de p oduc o escala cons an e en e
ambos ec oñes debe se sus i uida po la condición de que uno de ellos pueda exp e-
sa se como combinación lineal del o o
y
del ec o
ij.
De es as es ecuaciones alge-
b aicas, únicamen e una es independien e de las an e io es,
y
és a puede se de e mina-
da median e la écnica del pi o amien o u ilizada en la esolución del sis ema de
ecuaciones lineales esul an e.
De modo análogo, se pueden es ablece las es icciones de sólido ígido pa a
elemen os mis complicados.
Res icciones de
pa
Una ez que los elemen os ígidos han sido de inidos como ales, quedan po es a-
blece las es icciones co espondien es a los pa es cinemá icos.
ANALISIS CINEMATICO Y DINAMICO
3
9
En el caso bidimensional se conside a án los pa es de o ación
R,
y de aslación P.
En la Figu a 6a apa ece un pa
R
uniendo dos elemen os con iguos. Median e las
coo denadas básicas no hace al a in oduci ninguna ecuación nue a, pues la es ic-
ción de dicho pa queda au omá icamen e in oducida po compa i ambos e1emen .o~
un único pun o básico. Po o a pa e, en la Figu a 6b apa ece un pa P que de enga
Figu a
6
las condiciones de que sea cons an e el á ea del í iángulo o mado po los pun os i,
j
y
k, y de que el ec o (9-k) sea pe pendicula al ec o (i-j). Ma emá icamen e,
es as ecuaciones se o mulan del siguien e modo,
En el caso idimensional, las coo denadas na u ales pe mi en o mula ambién
muy ácilmen e es e ipo de es icciones, pues, de hecho, una ca ac e ís ica esencial
de las coo denadas na u ales es la de desplaza el én asis de las es icciones de pa
a las es icciones de sólido ígido, con lo cual la o mulación se simpli ica conside a-
blemen e.
La
es icción que en el mo imie i o ela i o en e dos elemen os impone un pa
es é ico
S
(Figu a 7a), es enida en cuen a de modo au omá ico cuando ambos compa -
en el pun o básico localizado en dicho pa .
De igual mane a, un pa de e olución
R
(Figu a 7b) no hace a npoco necesa ia
la o mulación de ninguna ecuación de es icción, pues los elemen os que une compa -
en el pun o básico si uado en el pa y el ec o uni a io asociado con el eje de gi o
de dicho pa .
Po o a pa e, un pa cilínd ico C (Figu a 7c) se in oduce compa iendo ambos
elemen os un ec o uni a io en la di ección del eje del pa , e imponiendo la condición
de que los pun os i
y
j pe manezcan alineados con dicho ec o uni a io. Es a condi-
ción se impone po medio de la p opo cionalidad de las componen es de. ambos
ec o es
.
.-
donde c es una cons an e pa a cada posición del mecanismo.
De un modo análogo, y siemp e ela i amen e sencillo, pueden- in oduci se las
es icciones co espondien es a o os pa es: p ismá ico, jun a de Ca dan, e c.
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JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA DE JALON
la ba a du an e cinco segundos, ep esen ándose una posición cada cua o cen ésimas
de segundo. Los impac os han sido analizados con un coe icien e de es i ución de 0.9
y
con un coe icien e de ozamien o de 0.2.
Figu a
9
Las Figu as loa, 10b
y
10c mues an, según di e en es pe spec i as, la e olución
de un mecanismo idimensional
SSC
bajo la acción de la g a edad. El ino imien o
se ep esen a du an e
1.2
segundos, dibujándose una posición cada 0.03 segundos.
Figu a
10

ANALISIS CINEMATICO
Y
DINA!VIICO
4
7
Las Figu as 1 la
y
1 lb, po o a pa e, mues an bajo di e en es pun os de is a
la e olución es aciona ia de un gi óscopo en el que la elocidad de nu ación es nula.
Figu a
1
1
Finalmen e, las Figu as 12a
y
12b ep esen an la e olución del mismo gi óscopo
de las Figu as 1 la
y
1 lb, siendo aho a la elocidad de nu ación di e en e de ce o.
Figu a
12
CONCLUSIONES
En es e a ículo se ha desc i o un nue o mé odo pa a el análisis cinemá ico
y
dinámi-
co de mecanismos. Es e mé odo u iliza como coo denadas del mecanismo, las coo de-
nadas ca esianas de cie os pun os
y
las componen es ca esianas de algunos ec o es
uni a ios ígidamen e unidos a los elemen os del mismo. Es as coo denadas
y
sus
,de i adas de e minan la posición, elocidad
y
acele ación de cada elemen o del meca-
nismo, eliminando la necesidad de conside a coo denadas angula es. Como consecuen-
cia de es o, las ecuaciones de es icción que ligan es as coo denadas no independien es
4
8
JORGE UNDA
Y
JAVIER GARCIA DE JALON
son siemp e cuad á icas o lineales,
y
po an o áciles de o mula ; además, nunca
con ienen unciones ascenden es. Pa a el p oblema dinámico se ha desa ollado una
ma iz de ine cia, ob eniéndose las ecuaciones de equilib io dinámico median e el
Teo ema de las Po encias Vi uales. Los Mul iplicado es de Lag ange, u ilizados pa a
plan ea las ecuaciones del mo imien o,
se
eliminan median e la p oyección de dichas
ecuaciones sob e el subespacio nulo del jacobiano de la ma iz de es icciones.
El mé odo p esen ado es concep ualmen e simple y ácil de implemen a en un compu-
ado .
REFERENCIAS
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