Tema 3: Control clásico. Ejercicios adicionales (completos)

Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 1 Sistemas Electrónicos de Control - 0910a Tema 3: Ejercicios adicionales (completos) Para recuperar entregas o para subir nota Escoger sólo 1 de cada apartado Fecha límite de entrega: Día del Examen Final Contenido 1. Especificaciones ....................................................................................................................... 1 2. Métodos empíricos ................................................................................................................... 4 3. Métodos gráficos ...................................................................................................................... 6 4. Métodos de estado .................................................................................................................. 12 5. Control robusto ....................................................................................................................... 15 6. Dos grados de libertad ............................................................................................................ 18 7. Control óptimo ....................................................................................................................... 26 1. Especificaciones Ejercicio 1. 1. Construcción de M(s). Guías. Se trata de construir/sintetizar una función de transferencia M s () cuya respuesta indicial presente aproximadamente las siguientes características (especificaciones): (a) De estabilidad: Rpt 5%. (b) De precisión: error permanente nulo a una entrada en escalón y, además, una kv100 (c) De velocidad de respuesta: t r  01.. (d) De realizabilidad: exceso de polos sobre ceros igual a 2. Se pide: Construir/sintetizar dicha M s () a partir del correspondiente bloque dominante de segundo orden. (Recuérdese que los ceros también influyen en la forma del transitorio a través de los residuos.) Ejercicio 1. 2. Especificaciones. Si Sr = 1 (caso del sistema óptimo LQR)), estimar MG y MF. Ejercicio 1. 3. Loopshaping. Traducción de las especificaciones del servo a la forma de L(j  ). En el marco del control, el enfoque directo (selección de polos y ceros de M(s)) va dirigido a construir la función deseable del servo M(s) para que este satisfaga unas determinadas especificaciones, en general temporales. Aquí vamos a cambiar el enfoque en dos aspectos: 1) En vez de M(s) construiremos L(s), 2) En vez de hablar de polos y ceros lo haremos de ganancias del lazo Lj()  . Este es el enfoque clásico de Bode y Horowitz que hoy, con el renovado interés por los métodos frecuenciales, retorna con fuerza en los sistemas MIMO y en Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 2 control robusto a través del análisis vía valores singulares. En concreto, se trata de determinar las características del lazo Lj()  para que un determinado servo satisfaga las siguientes especificaciones: (a) Precisión: - error permanente nulo a una entrada en escalón. - error permanente inferior a 0.002 a una entrada en rampa. - atenuación máx. de 0.02 para las frecuencias situadas en la banda de 0 a 1rad. (b) Velocidad:  b2. (c) Estabilidad: MF positivo. (d) Rechazo al ruido: Atenuación mínima de 0.01 para las frecuencias superiores a 1000 rad/s (e) Planta: Presenta un exceso de P Z   2. Estudio Previo: 1) Dibujar en el diagrama de Bode las zonas de bajas y altas frecuencias por donde no puede pasar Lj()  . 2) Dibujar posibles asíntotas de bajas frecuencias (precisión estática), altas frecuencias (filtrado del ruido de los sensores) e intermedias (recordando que la fase asociada no debe alcanzar los - 180). 3) Unir estas asíntotas mediante otras asíntotas de pendientes adecuadas. 4) Formular la expresión de L(s) así determinada. 5) Comprobar kp, kv, MF (dibujar la curva de fase) y  b (con ayuda del ábaco de Nichols). Simulación: 1) Hallar Mj()  y comprobar  b, la atenuación en la gama de 0 a 1 y de  1000. 2) Hallar la respuesta indicial y a la rampa y comprobar la precisión del resultado. Ejercicio 1. 4. Sistema de orden n. Con los mismos datos que el ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., se pide: 1) Sin tener en cuenta la planta, construir la M(s) por los siguientes métodos: 1.1) Usando una forma prototipo de orden n (polinomios ITAE) de las tablas. 1.2) Minimizando el ISE. En este caso, al no dar tablas, se trata de obtener numéricamente (MATLAB) el valor óptimo de los coeficientes de Ms sas 221 1 1 () , Ms sasas 33221 1 1 () . Comprobarlo teóricamente (Parseval). 2) Teniendo en cuenta la planta, construir una M(s) óptima (criterio ISE con penalización de control) con ayuda del lugar cuadrático/simétrico de las raíces suponiendo Gs ss p() ()  10 10 ,  1 y Gs ss p() ()()  20 26 ,  01.. 3) Comprobar por simulación los resultados anteriores y, guiados interactivamente por los resultados, acabar de ajustar los parámetros de cada uno de ellos para alcanzar las especificaciones exigidas.  Ejercicio 1. 5. Polos y ceros adicionales. Se desea ajustar aproximadamente una M(s) para que presente una respuesta caracterizada por las siguientes especificaciones: (a) Rpt 15%, (b)  b40, (c) M ()01 y (d) k v 60. Se pide: 1) Tratar de lograrlo con la forma Ms k ss nn () 22 2   . (Nota: Obsérvese la dificultad de ajustar las especificaciones con sólo tres parámetros) Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 3 2) En caso de que k v resulte insuficiente, mejorarla 2.1) Añadiendo un prefiltro con un cero. 2.2) Añadiendo un prefiltro con un dipolo. 3) Comparar ambas síntesis/formulaciones con la de segundo orden estricta.  Ejercicio 1. 6. Waterbed effect. Si un servo presenta un lazo con un exceso de polos sobre ceros (P-Z  2) demostrar que S1. (Nota: Demostrar previamente que ln ( )10 0  Lj d  a partir de los teoremas de Bode).  Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 4 2. Métodos empíricos Ejercicio 2. 1. Compensación anti-reset windup. Se trata de comprobar el efecto de la saturación de la válvula asociada a un regulador con acción integral (reset windup) y su compensación con un lazo auxiliar no lineal (anti-reset windup). Datos: K K P I   1 1 Figura 1 0) Compensación antireset-windup. Reflexionar sobre el problema de la saturación de la válvula (con PI) y trazar la evolución de ut c() . 1) Compensación antireset-windup. Hallar la respuesta indicial ct() a un escalón de r t() y representar, además, la evolución de las señales de control ut() y ut c() . Seguir los siguientes pasos: 1.1) Sistema simple sin saturación ni compensación: Tomar K I  4. Hacer s10 y A 0 (esto equivale a eliminar la aparición de la saturación y de la necesidad del compensador). 1.2) Introducir el efecto de saturación tomando s  11.. Observar el comportamiento de la salida y las señales uu c y. 1.3) Añadir el control con zona muerta poniendo A  1 y s  11.. Observar la salida y las señales uu c y. ¿Qué diferencias hay respecto al caso anterior? Ejercicio 2. 2. Control de procesos con retardos. El predictor de Smith. Se trata de estudiar el efecto de los retardos puros, asociados al transporte de materia o al carácter distribuido del sistema, sobre la estabilidad del sistema y como se pueden extrapolar las técnicas de configuración clásicas (sin retardos) al caso en cuestión Datos: Planta: Gs s P() 1 1 y retardo puro: T02  Regulador PI:Gs s c() . .       04 1 1 04 (Calculado para la planta hipotética Gs P () ) Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 5 Figura 2 Se pide estimar la respuesta a una señal de mando r tut() ()  y a una perturbación L tut() ( )20 , en el supuesto de: 1) T01 y sin predictor 2) T02 y sin predictor 3) T02 con predictor (Nota: Aquí ut() simboliza la función escalón unitario) 4) Hallar las respuestas especificadas Ejercicio 2. 3. Efecto de los algoritmos P, PI, PD y PID sobre el transitorio y permanente de un servo. Se trata de elegir un Gs c() adecuado para insertarlo en serie con la planta Gs ss () ()  4500 300 según el esquema de la Figura 3. Figura 3 Para ello se pretende estudiar sus efectos sobre las características de la respuesta valiéndonos del ordenador.  Simulación: Estudiar su comportamiento con los siguientes algoritmos de control: 1) Control P con kc  182. Determinar tp, Rpt y el error permanente a una entrada en rampa er(). 2) Control PD (para estabilizarlo más) con Gs s c() ( . )   182 1 0 002 . Determinar tp, Rpt y er(). 3) Control PI (para reducir a cero el error de velocidad) con Gs s c() . .       182 0075 011 . Determinar tp, Rpt y er(). 4) Control PID (para mejorar el transitorio anterior) con Gs ss c() . ..      182 031 45 00006 . Determinar tp, Rpt y er(). 5) Comprobar que el efecto del polo adicional (realizabilidad) de los reguladores prácticos no afectan esencialmente el transitorio si n10.  Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 6 3. Métodos gráficos Ejercicio 3. 1. Compensación tacométrica (en paralelo). Lazo auxiliar. Se trata de calcular los parámetros del compensador tacométrico (compensación en paralelo o control con lazo auxiliar) de la Figura 4. Las especificaciones son k v 10 y m   35 . La corrección se realiza en paralelo con un tacómetro y un filtro quasi derivador que evita las altas frecuencias/ruido de forma que la transmitancia total del compensador es Hs s Ts Ts kT ()  1. Figura 4 Figura 5 1) Fijar kp para satisfacer la precisión. 2) Obtener, con la ayuda de un diagrama de Bode, unos valores adecuados para k T y TR C () . Simulación: 1) Representar en un diagrama de Bode la respuesta frecuencial del lazo principal. 2) Representar la respuesta indicial del sistema. Ejercicio 3. 2. Servomecanismo de posición con lazo interior tacométrico. El modelo de un determinado servomecanismo es el siguiente: G1(s) H 3(s) H 2(s) Figura 6 donde kk A910 41 Gs ss ss 1 530 20 285 () ()( ) ()( )    Gs ss s s s sss p() ()()( ) ()( )    12 50 26 15 10 300 176 300 26 22 Hs s sss 2 26 01 20 285 () () ( . )( )( )    kk T12 2 Hs s 32 007 () .  Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 7 Se trata de estudiar su comportamiento y elegir adecuadamente kT y kA para un correcto funcionamiento. Para ello se analiza y ajusta el lazo interior (vía Bode, Nichols, Evans y Nyquist) y luego el lazo exterior, comparando los efectos de los distintos diseños. Se pide: 1) Lazo interior: 1.1) Trazar el lugar de las raíces correspondiente a la evolución de los polos del lazo interior al variar k2. Determinar el valor límite y la frecuencia de oscilación. 1.2) Trazar los diagramas de Bode del lazo interior L1(j  ) con k21  y estudiar la estabilidad. 1.3) Trazar el diagrama polar de L1(j  ) con k21  y comprobar la estabilidad con el criterio de Nyquist. 1.4) Hallar, con ayuda del ábaco de Nichols, la respuesta en frecuencia del lazo menor Ms Gs kG sH s p Tp 11 1 () () () ()  y representarla en coordenadas de Bode (log-log) con k201.. 2) Lazo externo o principal: 2.1) Trazar el diagrama de Bode del lazo principal (usando las curvas de M1(j  ) halladas) para los casos k11 y k101.. Estudiar la estabilidad. 2.2) Con ayuda de Nichols hallar el diagrama de Bode de M(j  ) para k101  .. Simulación: 1) Lazo interno: 1.1) Representar el lugar geométrico de las raíces de Evans (para k2 variable). Hallar k1 , crítico y  . 1.2) Representar el diagrama de Bode para k21  . 1.3) Representar el diagrama en polares para k21  . 1.4) Representar el diagrama de Bode de M1(j  ) con k201  .. 1.5) Hallar y representar los polos y ceros de M1(s). 2) Lazo externo: 2.1) Representar el lugar geométrico de las raíces de Evans (para k1 variable). Hallar k1, crítico y  . 2.2) Trazar el diagrama de Bode del lazo principal (para k1 = 0.05; 0.063; 0.1; 0.15). Para k1=0.15 pasarlo a A-  (amplitud-fase) y determinar  r y el valor de la resonancia. 2.3) Trazar el diagrama de Bode de M(j  ) principal (para k1 = 0.05; 0.063; 0.1; 0.15). 2.4) SIMULINK: Representar la respuesta indicial para los valores de k1 indicados.  Ejercicio 3. 3. Pseudoderivada. Debido a que cualquier circuito derivador (o su equivalente numérico) es muy sensible al ruido (inevitable), en la práctica no se usan los derivadores puros Gs Ts cd () sino una versión más realista Gs Ts Ts cd p ()1 llamada pseudoderivada. Se trata de valorar las características de esta aproximación comparando los circuitos de las Figura 7 y Figura 8. Figura 7 Figura 8 Estudio Previo: Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 8 1) Calcular la función de transferencia Gs Vs Vs () () () 0 1 del circuito de la Figura 7, comprobar que es un derivador y representar su diagrama de Bode de ganancia. 2) Repetir el cálculo de Gs Vs Vs a() () () 0 1 para el circuito de la Figura Figura 8, comprobar que es un pseudoderivador y representar su diagrama de Bode de ganancia. 3) Comentar en qué condiciones podemos suponer que en primera aproximación, Ga(s) se comporta como un derivador y en qué condiciones no se ve afectado por el ruido. Simulación: 1) En el caso derivador fijar los valores R C   1 y excitar el circuito con las siguientes señales: escalón, rampa, sinusoide y ruido blanco. Comentar los resultados observados. 2) En el caso pseudoderivador, elegir unos valores de RCR p    1 y excitarlo con las siguientes señales: escalón, rampa, senoide y ruido blanco. Comentar los resultados.  En los próximos Ejercicios se pretende comprobar la mejora en la dinámica de la planta Gs Ys Us s s s P() () () ( )( )( )   1 1416 al ser gobernada, en lazo cerrado, mediante un controlador Gs c() en serie (ver Figura 9). P Figura 9 Ejercicio 3. 4. Bode. Resolver el mismo problema de los Ejercicios anteriores, pero esta vez con la ayuda de los diagramas de Bode y mediante un controlador serie de avance Gs k ns s cc ()  1 1   , n1, de manera que se satisfagan las siguientes especificaciones: - Precisión: kv10 - Estabilidad relativa: Rpt 25%  Estudio Previo: 1) Si Gk cc , calcular kc para que el servo tenga una kp  20. 2) Si Gk cc , con ayuda de los diagramas de Bode de la función de transferencia del lazo L j()  , determinar kcu y Tu. 3) Convertir la especificación Rpt 25% en otra equivalente en forma de m  . 4) Calcular, por el método desarrollado en clase, los parámetros kn c,y  . Simulación: 1) Mediante compensación estática o ajuste de la ganancia (Gk cc  ), determinar  c, m G y m  correspondientes al valor de kc calculado en el apartado 1) del Estudio Previo. 2) Mediante compensación por avance Gs k ns sn cc () ;       1 11   , hallar los nuevos valores de  c, m G y m  si ahora, además de ajustar kc al valor anterior, añadimos un filtro corrector con transmitancia 102 1002   . . s s . Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 9 3) Mediante compensación por retardo Gs k s ns n cc () ;       1 11   hallar los nuevos valores de  c, m G y m  si ahora, además de ajustar kc al valor del apartado 1) añadimos un filtro corrector con función de transferencia 12 120   s s . 4) Mediante compensación por retardo y avance Gs k s ns ns snn cc () ; ,         1 1 1 11 1 11 22 212     , hallar los nuevos valores de  c, m G y m  si ahora, además de ajustar kc, al valor del apartado 1), añadimos un filtro corrector con función de transferencia 12 120 102 1002     s s s s . .. 5) Comparar las respuestas a perturbaciones en escalón de los sistemas de los apartados 1), 2), 3) y 4). 6) Tanteando, hallar un nuevo corrector de retardo que consiga el mismo m  que el de avance del apartado 2). Hallar la respuesta indicial (de la consigna) y comprobar su Rpt . (En caso de no satisfacer los requisitos, retocar los parámetros) 7) Tanteando, hallar un nuevo corrector de retardo-avance que alcanzando el mismo m  que el de avance (apartado 2)) retenga la  c obtenida con el sólo ajuste de la ganancia (apartado 1)).  Ejercicio 3. 5. Ábaco de Nichols. Resolver el mismo problema del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., pero esta vez con la ayuda del ábaco de Nichols.  Estudio Previo: 1) Estimar, por el método desarrollado en clase, los parámetros kn c,y  (¿Qué inconveniente tiene este método con relación al de Bode?) 2) Dibujar en el plano fase-ganancia la respuesta frecuencial de L s () con la kc calculada en el apartado 1) del estudio previo del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. 3) Estimar  b r yt. 4) En el caso de que pudiéramos disponer de un corrector ideal de avance (es decir, sin que modificase la ganancia), determinar con ayuda del ábaco de Nichols el avance de fase necesario para producir una resonancia de MdB r  2. Simulación: 1) Dibujar en el plano fase-ganancia la respuesta frecuencial del lazo L j()  , antes y después de la compensación, determinando la variación de mm M Gcbr r     ,,,, y . Estimar la  n del servo. 2) Hallar la respuesta indicial y determinar Rt pt r y. Hallar el offset, t p y t s . Comparar el valor de t r con el previsto por la expresión  b r t  3. 3) Comprobar el producto  b r t3.  Ejercicio 3. 6. Evans. Se trata de resolver el mismo problema del ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., manteniendo la especificación de estabilidad pero cambiando la de precisión por la de velocidad (concretamente  nrad s  11 / ) y utilizando el lugar de las raíces de Evans.  Estudio Previo: 1) Convertir la especificación de Rpt  25% en el correspondiente coeficiente de amortiguamiento  y, junto con  n, fijar la situación de los polos dominantes. Estimar el valor previsible de mm   ()100 . Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 16 5) Calcular M s () y E R y comprobar la existencia de ceros que pueden bloquear las señales sinusoidales. Simulación: Dibujar la respuesta a r t  4sen( ) en los siguientes casos: 5) kk 12 1 6) kk 12 5 7) kk 12 15; 8) kk 12 1 ; si el polo (-1) ha sido perturbado y su nuevo valor es (-0.5) 9) Ídem, perturbado a (-2). Ejercicio 5. 2. Control robusto: Ceros de anclaje y prefiltro. Enfoque del diseño: 1) Se elige Gc de modo que se satisfaga una adecuada sensibilidad en el intervalo de frecuencias de interés. 2) Se elige GF de manera que se asegure una adecuada transmisión (M). Datos: - Gs k ss p() ()  2500 25 - k tiene un valor nominal de 1 pero puede variar entre 0.5 y 20. - Polos deseados: -12.4  j9.6 Se trata de: 1) Comprobar que un diseño convencional con un compensador de retardo Gs s s c()  110 1 100 presenta una fuerte sensibilidad (frecuencial, de los polos y temporal) a las variaciones de k. 2) Comprobar que esto puede mejorarse con un controlador robusto en serie con ceros cercanos a los polos deseados Gs ss c() 226 269 269 y con un prefiltro (ver Figura 13) para cancelar los ceros introducidos Gs ss F()   269 26 269 2. G F (s)Gp(s) + - Gc(s) + + D Y Figura 13  Para ello se pide: 1) Con corrector convencional (retardo): 1.1) Representar el LGR de Evans. Indicar los polos para k = 0.5, 1, 2. 1.2) Representar la respuesta indicial: Comparar los tr (0.1% a 0.9%) para los valores indicados de k. 2) Con corrector robusto y prefiltro: 2.1) Representar el LGR de Evans. Indicar los polos para k = 0.5, 1, 2. 2.2) Representar la respuesta indicial: Comparar los tr (0.1% a 0.9%) para los valores indicados de k. 3) Efecto de las perturbaciones: Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 17 3.1) Calcular Ms Ys Ds D() () ()  (Nota: Obsérvese que en este caso coincide con la función de sensibilidad). 3.2) Representar su módulo (Bode) en las siguientes condiciones: - Servo sin compensar. - Servo con compensador de retardo. - Servo con compensador robusto y prefiltro. (¿Por qué aquí no se respeta la condición de la integral de la sensibilidad?) Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 18 6. Dos grados de libertad  Ejercicio 6. 1. Feedforward. Tracking perfecto de una r(t) cuya forma de onda es conocida (continua y derivable). El sistema ahora considerado es el de la Figura 14 + - T(s) S(s) R (s) 1 s(s-1) 3 GFF(s) + + r y Figura 14 y se trata de que y(t) siga una señal cuyo perfil de evolución temporal es rt t()22. El controlador elegido es Ts s s s() ( )( . . )  224244 2, S ss() . .   42 163, R ss() .54, Gs s s FF () . . .0 333 0 33 4 2 2. Se pide: 1) Calcular M(0). 2) Calcular L(s) 3) Comprobar que GsGs FF p () () 1. 4) Hallar la respuesta y(t) y compararla con r(t).  Ejercicio 6. 2. Controlador con dos grados de libertad (2 DOF). Ajuste independiente de seguimiento y robustez mediante el procesado independiente de y(t) y r(t). Dado el servosistema de la Figura 15 se trata de conseguir que sus características de transmisión (seguimiento) correspondan a las del modelo Ms ss m() . ..    244 24 244 2 elegido de forma que presente poco rebase ( 3%) y un tr  2.5s. Y, por otra parte, que se puedan modificar las características de sensibilidad (lazo) sin modificar por ello la respuesta del servo. + - T(s) S(s) R (s) 1 s(s-1) 3 Figura 15 Para ello se eligen tres controladores: 1) Ts s 1081 02() . ( .) ; Rs s 136() .   ; Ss s 1217 016() . . 2) Ts s 2081 2() . ( ) ; Rs s 254() .   ; Ss s 2421 163() . .   3) Ts s 3081 20() . ( ) ; Rs s 33234() . .   ; Ss s 346 163() . .  Se pide: 1) Estimar a priori tr y Rpt de la respuesta indicial del modelo Mm(s). Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 19 2) Calcular y representar a escala la respuesta indicial del modelo Mm(s). 3) A partir de la gráfica determinar tr y Rpt. Comparar con 1). 4) Hallar la expresión matemática de u(t) a partir de la de y(t). calcular M(0) aplicando el Teorema del Valor Inicial. 5) Calcular y representar (Bode de amplitud) L(j  ) para el primer caso. 6) Ídem para la función de sensibilidad Sj Lj () ()   1 1. 7) Determinar el valor de SSj max ()  en cada caso. 8) ¿Asegura una estabilidad robusta frente a cambios paramétricos? Simulación: 1) Representar la y(t) en los tres casos. Comprobar que es la misma. 2) Representar la u(t) en los tres casos. Ídem. 3) Representar Lj()  en una misma gráfica. Comparar. 4) Representar Sj()  en una misma gráfica. Comparar. 5) Comprobar la robustez del diseño: 5.1) (MG) Comprobar que permanece estable al variar el parámetro de 3 a 5. 5.2) (MF) Ídem si la planta presenta un retardo de e-0.15  Ejercicio 6. 3. Métodos Polinómicos. Controlador RST. Se trata de estabilizar la planta Gs bs as s () () ()    1 1 2 mediante los dos controladores de la configuración mostrada en la Figura 16. Figura 16 Se pide: 1) Hallar la expresión de Ms Y s Rs () () () . 2) Hallar la solución (polinomios p s () y q s () ) de la ecuación diofántica obtenida al fijar el polinomio característico del servo a Ds s s s M C () () .      205 y siendo (por elección) ds s s s O () ()    222. 3) Comprobar que Mdb pa bq  se reduce a Mb c   . 4) Determinar la respuesta indicial y comprobar que se ha estabilizado.  Ejercicio 6. 4. Controladores con dos grados de libertad. Dados los controladores de la Figura 17 y la Figura 18. Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 20 C1(s) C2(s) C5(s) C4(s) G(s) C3(s) + + - - + G(s) + - N 1(s) D 1(s) N 2(s) D 2(s) Figura 17 Figura 18 se pide: 1) En el caso de la Figura 17, calcular las funciones de transferencia L(s), S(s) y M(s). 2) En el caso de la Figura 18 calcular los polinomios R, S y T definidos en la Figura 19. G(s) + - 1 R S T Figura 19 Ejercicio 6. 5. Diseño con un grado de libertad (1 DOF). Mantenimiento de las características del lazo y degradación de la respuesta. El sistema ahora considerado es el de la Figura 20 + - S(s) R (s)s(s-1) 3 Figura 20 tomando el controlador S/R los tres pares de valores del . Estudio Previo: 1) Calcular la expresión de L(s) y comprobar que es la misma 2) Comprobar que M(0) es en los tres casos la misma 3) Estimar gráficamente, a partir de la gráfica de y(t) anterior, la forma de las respuestas y(t) en los tres casos (Nota: Al tener un prefiltro con un cero (s + z), yt yt zyt z() () ()  ) 4) A partir de las gráficas de y(t) estimar las de u(t). Comentar el posible problema de saturación. Simulación: 1) Representar y(t) en los tres casos. Comparar con lo previsto. 2) Representar u(t). Comparar.  Ejercicio 6. 6. Regulador de mínima varianza. En este caso, al ser un problema de regulación (que no de seguimiento) la solución se reduce a la simple asignación de los polos, objetivo que puede alcanzarse con sólo la parte retroactiva   SR/. No obstante, resulta ilustrativo constatar que un problema originalmente tratado por variables de estado (LQG) acepta también una formulación polinómica cuya solución depende de una (¡otra!) ecuación diofántica. Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 21 Problema: Dada una planta descrita por el modelo ARMAX : y n y nun n n().()()().()     108 107   siendo  ()n una secuencia de ruido blanco gaussiano de media nula y varianza  2()n, se trata de generar una señal de control un() que reduzca lo más posible el efecto del ruido. Efecto que, sobre la salida, cuantificaremos mediante el criterio Jn Ey n() ()2, es decir, mediante la varianza.  Estudio Previo: 1) Dibujar un esquema de bloques que relacione un n y n(),() ()  y. Identificar la H z () del filtro generador. 2) Razonar el término "modelo ARMAX". 3) Si la solución en este caso es (con referencia a la Figura 21) T R FB S q G   01 ,, , donde F G y se obtienen de Cq Aq Fq q Gq d () ()() () ()  11111 , resolver la ecuación diofántica (por identificación de coeficientes) y determinar la Hz c() del corrector Uz Yz () () . Figura 21 Nota: Estructura de los polinomios: Az az az nn ()    111 1 Bz bz bz nn ()    111 Cz cz cz nn ()    111 1 Fz fz fz dd ()    111 1 Gz gz g z nn () ()    10111  Simulación: 1) Obtener la respuesta, en lazo abierto, a una entrada aleatoria. 2) Ídem en lazo cerrado y comparar los resultados.  Ejercicio 6. 7. Control anticipativo (feedforward) de las perturbaciones y señal de mando. Se trata de estudiar el efecto de la acción feedforward (FF), tanto de las perturbaciones como de la señal de mando. Figura 22 Figura 23  Estudio Previo: 1) Dibujar aproximadamente la forma de y t() (sin FF en la Figura 22) cuando p t() es un impulso unitario. Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 22 2) Si la sensibilidad del sensor es k s  1, calcular la Gs F F () necesaria para reducir el efecto de la perturbación p t() . 3) Dibujar aproximadamente las señales ut() y y t() (sin y con FF en la Figura 23) cuando r t() es un escalón unitario. Simulación: 1) Representar la respuesta a un impulso de p t() (sistema de la Figura 22) sin y con FF. 2) Representar la respuesta a un escalón de r t() (sistema de la Figura 23) sin y con FF.  Ejercicio 6. 8. Retroacción condicional. Dado el sistema de la Figura 24, con Gs ss p() ()()  100 15 , R Y w + Gc(s) H c(s) Gp(s) ++ + + - Figura 24 se pide: 1) Hallar Y R si Gc(s) = Gp(s). 2) En el supuesto de diseñar una buena regulación frente a una perturbación w de tipo escalón, seleccionar la Hc(s) más adecuada de entre las siguientes opciones: Hs ss 1 10 1 () ()  , Hs ss 2 10 12 () ()()  , Hs s s 3 10 1 2 () () ()    , Hs k s 42 ().  Ejercicio 6. 9. Compensación con prefiltro (forward compensation) y anticipativa (feedforward). Aunque presenta varios parámetros de ajuste la compensación serie sólo tiene un grado de libertad y así los objetivos quedan limitados no pudiendo, a veces, superar la contradicción entre estabilidad y sensibilidad (que requiere ganancia alta). Una solución es recurrir a estrategias con dos grados de libertad, así 1) El prefiltro (forward) en cascada con el lazo (con su Gc serie). 2) El anticipativo (feedforward) en paralelo con Gc. En ambos casos el corrector no afecta los polos del lazo. Se elige de manera que cancele polos y ceros. Vamos a ilustrarlo con un ejemplo: control con un grado de libertad (Gc) ampliado a dos grados por dos métodos: a) GF y b) GFF. G F (s)Gp(s) + - Gc(s) Gc(s)Gp(s) + - G F F(s) + + Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 23 (a) (b) Figura 25 Nota: Tomar GsGs s ss s cp () () () ()( )    2500 1 10 25 1 100 .  Estudio Previo: 1) Calcular GFF equivalente a Gs s F() .   1005 Simulación: 1) Hallar Rpt y tr del sistema básico (control con Gc). 2) Para hacerlo más rápido sin degradar excesivamente la estabilidad se añade Gs s F() .1005 . Hallar de nuevo Rpt y tr. 3) Con la GFF calculada anteriormente, hallar Rpt y tr.  Ejercicio 6. 10. Método de Truxal-Guillemin. Se trata de familiarizarse con el método directo de Guillemin-Truxal y, en particular, con la construcción (síntesis) de M s() a partir de las especificaciones de la respuesta temporal (Análisis Inverso). En concreto se trata de diseñar un sistema de control para una planta con Gs C s Us ss p() () () ( )   1 1 cuya dinámica se quiere modificar de manera que su salida ct() responda a las señales de mando r t() tipo escalón según las siguientes especificaciones: Estabilidad: Rpt 5% (   07., si el sistema es de segundo orden) Precisión: e()0 Velocidad: tp01. Realizabilidad: Exceso P Z   2 Adicional: k v50, en caso de entrada en rampa  Estudio Previo: 1) Construcción de M s() . 1.1) Partiendo del concepto de polos dominantes: Estimar  n y  . Añadir un polo adicional (para la realizabilidad), un cero adicional (para la precisión) y ajustar la k. (Nota: Recuérdese que el cero adicional disminuye el tp y aumenta el Rpt ) 1.2) Partiendo de un denominador con polinomios óptimos: Elegir un ITAE del orden adecuado (3º en este caso) con la  n indicada por la velocidad y determinar el numerador necesario para que el tipo del sistema sea 1 y la k v la especificada (ver Apéndices). 2) Estimar (en caso necesario) los polos y ceros y trazar aproximadamente la respuesta indicial. Simulación: 1) Polos dominantes 1.1) A partir de la M(s) obtenida anteriormente, calcular el corrector serie necesario para realizarla. 1.2) Calcular kv a partir de L s () y a partir de M s () . 1.3) Hallar la respuesta indicial del servo y comprobar los valores de  y tp. 2) Polinomio ITAE 2.1) Igual que en 1.1). 2.2) Igual que en 1.2). 2.3) Igual que en 1.3).  Ejercicio 6. 11. Asignación de polos por métodos polinómicos (problema regulador). Controlador con dos grados de libertad y observador implícito. Ecuación diofántica. Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 24 Problema: Dada la planta Gs Ns Ds s ss () () ()    5 32 2 se trata de diseñar un controlador con observador implícito, o su equivalente serie/paralelo (ver figuras), con objeto de modificar sus polos. Solución: - Comentario previo: Esta configuración viene sugerida por los métodos desarrollados en la Teoría de Control Moderno, y su solución (condicionada a que N y D sean polinomios primos entre sí y a que los polinomios N1 y N2 sean de orden inferior al de D0) se lleva a cabo por métodos polinómicos (ecuación diofántica) Figura 26 Figura 27 - Datos: Polinomio característico deseado: Dss Mc  2621  (en los métodos de estado) Observador, elegido con una dinámica: Ds s 020 15 50    Estudio Previo: 1) Calcular DDD M M '0. 2) Resolver la ecuación diofántica   DN D NN D M10 2   '. (Nota: Hacerlo por identificación de coeficientes, habiendo tenido en cuenta las restricciones, en cuanto a su grado, indicadas en el comentario previo). Simulación: 1) Comprobar la solución de la ecuación diofántica. 2) Comparar las respuestas indiciales del sistema antes y después de ser controlado.  Ejercicio 6. 12. Fijación de polos y ceros (problema servo). Seguimiento de un modelo. Una determinada planta (previamente discretizada) viene descrita por Gz Bz Az z zz () () () . ()(.)   08 109 , y se desea controlarla de manera que la transmisión desde la señal de mando (problema servo) venga descrita por el modelo Mz Bz Az z zz mm m () () () . ..   108 056 064 2. Se pretende resolver este problema mediante la configuración (con dos grados de libertad) de la Figura 28, donde R, S, T, A y B son polinomios en z, y donde se supone un observador (implícito) con polinomio característico D01 (A0 a partir de ahora siguiendo la nomenclatura de Åström). Figura 28  Estudio Previo: Tema 3. Ejercicios adicionales (completos) ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 0910a 25 1) ¿Por qué, dentro de la limitación de su grado, hemos podido elegir arbitrariamente AA my0 ? 2) Calcular MY Yr . 3) Suponiendo que conseguimos MM m  , y teniendo en cuenta que DAAB M m ' 0 (*), escribir las relaciones entre los numeradores y denominadores de MM m y. 4) Resolver la ecuación diofántica AR BS A A B m   0 (que tiene solución (**) por cuanto A By son primos entre sí). 5) Calcular los controladores T R S R y y verificar que se alcanzan las especificaciones de transmisión. ¿Qué puede decirse sobre la sensibilidad a variaciones lentas de los parámetros de la planta? (*) Nota: Esta ecuación se demostrará en clase, y es una consecuencia del teorema de separación que aparece en el diseño del regulador por retroacción del estado, cuando se usa una estimación del mismo obtenida mediante un observador, en cuyo caso resulta D M c '  0. Al ser extendido al caso servo aparece el factor B proveniente de los factores estables de BB BB() . (**)Nota: Para que, además de existir, la solución sea única hay que elegir, en este caso, S de primer grado y R de grado cero. Simulación: 1) Comprobar la solución de la ecuación diofántica. 2) Hallar la respuesta del sistema (y, u). 3) Valorar la sensibilidad del sistema. 