Curvas de fragilidad y matrices de probabilidad de daño de edificios de concreto armado con ductilidad limitada

Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) 273 CURVAS DE FRAGILIDAD Y MATRICES DE PROBABILIDAD DE DAÑO DE EDIFICIOS DE CONCRETO ARMADO CON DUCTILIDAD LIMITADA1 Juan Carlos Vielma Pérez 2, Alex H. Barbat3, Sergio Oller4 Resumen: En este artículo se aplica un procedimiento de análisis no lineal de estructuras de hormigón armado, con base en control de fuerzas en el que se aplica como criterio de convergencia un índice de daño calculado mediante elementos finitos. El procedimiento se aplica en el cálculo de la respuesta estática no lineal de tres edificios proyectados para diferentes niveles de ductilidad: un edificio con forjados reticulares, un edificio porticado con vigas planas y un edificio porticado con vigas de canto, siendo los dos primeros proyectados como edificios de ductilidad limitada y el último como edificio de ductilidad intermedia. Del procedimiento de análisis estático no lineal se obtienen umbrales de daño, mediante el análisis de la evolución de la deriva relativa de piso respecto al desplazamiento del nivel de cubierta. Dichos umbrales de daño se utilizan en la determinación de las curvas de fragilidad de cada caso aplicando la distribución lognormal, para finalmente calcular las matrices de probabilidad de daño, para cinco estados de daño. Los resultados muestran que la respuesta no lineal de los edificios de ductilidad limitada presentan una alta probabilidad de colapso al ser sometidos a la demanda sísmica especificada en la norma sismorresistente española NCSE-02. Palabras clave: análisis no lineal, curva de capacidad, curvas de fragilidad, edificios de ductilidad limitada, matrices de probabilidad de daño, punto de capacidad por demanda, umbrales de daño. FRAGILITY CURVES AND DAMAGE PROBABILITY MATRICES OF RESTRICTED DUCTILITY REINFORCED CONCRETE BUILDINGS Abstract: In this paper a procedure of analysis nonlinear of reinforced concrete structures is applied, based on force control, in which an index of damage calculated by means of finite elements is applied as convergence criterion. The procedure is applied in the calculation of static nonlinear response of three buildings designed according three ductility levels: a waffle slabs building, a framed building with flat beams, both being designed as restricted ductility buildings, and a framed building with depth beams, designed for intermediate ductility. From the procedure of nonlinear static analysis damage thresholds are obtained, by means of the analysis of the evolution of the relative interstory drift with respect to the displacement of the top level. These thresholds of damage are used in the determination of the curves of fragility of each case having applied the lognormal distribution, finally to calculate the damage probability matrices, for five damage states. The results show that the nonlinear response of the restricted ductility buildings has a high probability of collapse if they are subjected to the specified seismic demand in Spanish seismic code NCSE-02. Keywords: capacity curve, damage probability matrices, damage thresholds, fragility curves, non-linear analysis, performance point, restricted ductility buildings. INTRODUCCIÓN En el proyecto sismorresistente de estructuras se aplican procedimientos de análisis con base en la respuesta elástica que, mediante la aplicación de factores de reducción permiten obtener su respuesta elasto-plástica equivalente. Esta concepción implica aceptar de que las estructuras tienen una determinada ductilidad que condiciona su respuesta, por lo 1 Artículo recibido el 22 de agosto de 2007 y en forma revisada el 1 de octubre de 2007. 2 M.Sc. Ingeniería estructural. Profesor Asistente, Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado (UCLA), Barquisimeto, Venezuela. E.T.S. Ingenieros de Caminos, Edificio D2, Campus Norte UPC, c/Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España. E-mail: [email protected] o [email protected]. 3 Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático, Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), España. E-mail: [email protected] 4 Dr. Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos. Catedrático, Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), España. E-mail: [email protected] 274 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) que implícitamente las normas de proyecto sismorresistente admiten que las estructuras llegan a alcanzar determinados niveles de daño al ser sometidas a acciones sísmicas. La respuesta no lineal de edificios porticados con vigas de canto ha sido ampliamente estudiada, sin embargo en la actualidad es de particular interés conocer el comportamiento de los edificios diseñados conforme a normas sismorresistentes para bajas ductilidades, dentro de los que se encuentran los edificios con forjados reticulares y porticados con vigas de canto. La caracterización de la respuesta de estos edificios requiere la obtención objetiva de los umbrales de daño, que permitan el cálculo de las curvas de fragilidad y de las matrices de probabilidad de daño. Las curvas de fragilidad permiten la estimación del daño comportamiento sísmico de edificios aplicando procedimientos probabilistas a partir de resultados de análisis deterministas. Las probabilidades suelen graficarse junto a alguna medida ingenieril de la respuesta, que pueden ser el desplazamiento del nivel de cubierta, la aceleración alcanzada o la deriva de entrepiso. Las probabilidades de que los umbrales de daño sean superados suelen representarse mediante matrices de probabilidad de daño, que corresponden a los valores calculados a partir de las curvas de fragilidad para una medida específica, como por ejemplo el desplazamiento del punto de capacidad por demanda. En este artículo se estudia la respuesta no lineal de tres edificios que se han proyectado para diferentes valores de ductilidad, a los que se les ha determinado el punto de capacidad por demanda correspondiente a la demanda tipificada en la norma sismorresistente española NCSE-02 mediante la aplicación del método N2 (Fajfar, 2000). Se ha calculado la deriva relativa de pisos mediante el estudio de la evolución de ésta respecto al desplazamiento del nivel de cubierta. De los umbrales de daño se han calculado las curvas de fragilidad de cada edificio, de las que se obtienen las matrices de probabilidad de daño mediante el desplazamiento del punto de capacidad por demanda. Los resultados de este estudio muestran que los edificios diseñados para bajas ductilidades tienen una respuesta en la que el desplazamiento del punto de capacidad por demanda está muy próximo al desplazamiento del punto de colapso y que además presentan una alta probabilidad de que para la demanda sísmica normativa, superen el estado de daño severo e incluso alcancen el estado de colapso. ANÁLISIS ESTÁTICO NO LINEAL DE EDIFICIOS Se calcula la respuesta estática no lineal de tres edificios de hormigón armado, proyectados conforme a normas para ejemplos de aplicación. La respuesta no lineal se obtiene mediante control de fuerzas, aplicando un patrón de distribución de fuerzas variable con la altura y que corresponde al primer modo de vibración, que es el predominante en el caso en que se cumplen ciertos requisitos de regularidad, tanto en planta como en alzado (ver Figura 1.). Este método tiene como ventaja que el patrón de fuerzas reproduce adecuadamente la acción de las fuerzas sísmicas, lo que permite calcular adecuadamente el cortante en la base y además permite que la distribución del daño en la estructura sea semejante a la inducida por el terremoto. Este método tiene como inconveniente que el proceso incremental es estable hasta que se alcanza un punto singular, para el cual no existen incrementos en el cortante en la base capaces de conducir a un incremento del desplazamiento justo como ocurre cuando la estructura está a punto de alcanzar el desplazamiento de colapso, también conocido como desplazamiento último, Vielma et al. 2007. Para evitar este inconveniente, en el estudio de los casos se ha utilizado un procedimiento de control de fuerzas, en el que el índice de daño permite fijar un criterio de convergencia, iterando hasta que se alcanza un valor mínimo aceptable de éste. n F 2 F n h 1 h2 h 1 F Figura 1: Distribución de fuerzas aplicada en el análisis no lineal. A medida que se continúa el proceso de carga, el cortante en la base se incrementa, hasta que alcanza un valor que por ser muy alto no permite la convergencia del análisis. En este instante se han alcanzado, posiblemente, desplazamientos más grandes que los correspondientes a la primera iteración, sin embargo, al verificar el índice de daño, Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) 275 éste no ha alcanzado un valor que satisfaga el criterio de convergencia. El paso siguiente consistirá en disminuir el valor del cortante en la base, recalcular las fuerzas de piso y efectuar un nuevo análisis. El resultado indicará si es necesario incrementar o disminuir el cortante en la base en este nuevo ciclo o, si por el contrario, el índice de daño señala que se ha alcanzado el umbral del colapso, concluyendo en este paso el proceso de análisis. PROCEDIMIENTO APLICADO PARA LA DETERMINACIÓN DEL PUNTO DE CAPACIDAD POR DEMANDA Para calcular el punto de capacidad por demanda es necesario superponer el espectro de capacidad con el espectro de demanda, representada por los espectros elásticos e inelásticos. El espectro de capacidad se calcula a partir de la curva de capacidad obtenida del análisis no lineal de un sistema de múltiples grados de libertad, mientras que los espectros son la idealización de los promedios de los espectros de respuesta, por lo que es necesario convertir la curva de capacidad a su equivalente de un sistema de un grado de libertad. Al cumplir los edificios objeto de esta investigación con los requisitos de altura (edificios bajos) y de regularidad en planta y alzado, es posible calcular los pseudo-desplazamientos del sistema de un grado de libertad de acuerdo con: FPM Sc d δ = (1) Donde d S el pseudo-desplazamiento, c δ representa los desplazamientos del sistema de múltiples grados de libertad a nivel de cubierta y FPM es el factor de participación modal, determinado según: ∑ ∑ = = φ⋅ φ⋅ =n 1i 2i,1i n 1i i,1i m m FPM (2) Aquí n es el número de niveles del edificio, i m es la masa del nivel i, i,1 φ es la amplitud normalizada del primer modo correspondiente al nivel i. Para transformar los valores del cortante en la base, se aplica: α =W/V Sa (3) Siendo a S la pseudo-aceleración, V el cortante en la base, W el peso del edificio y α un parámetro adimensional que se calcula mediante: ∑ ∑ = = φ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛φ⋅ =α n 1i 2i,1i 2 n 1i i,1i m m (4) Como es sabido, los espectros se presentan en formato de período contra pseudo-aceleración, por tanto, es necesario transformarlos a un formato de pseudo-desplazamientos contra pseudo aceleraciones, para esto se aplica: 2 2 a d4 TgS S π ⋅ ⋅⋅ = (5) En esta ecuación, g es la aceleración de la gravedad y T es el período de la estructura. Una vez efectuadas las transformaciones se superpone el espectro de capacidad con los espectros de demanda elástico e inelástico. 276 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) El punto de capacidad por demanda representa el punto de máximo desplazamiento lateral del sistema de un grado de libertad, inducido por la demanda sísmica. Dichos puntos se determinan mediante el procedimiento N2 (Fajfar, 2000) que consiste en obtener una forma idealizada bilineal del espectro de capacidad, de la siguiente manera: • La rama plástica debe ser horizontal, procurando que las áreas por encima y por debajo de ésta se compensen. • Se determina la rama plástica haciendo que pase por el espectro de capacidad en el punto que corresponde al 60% de la resistencia de plastificación. La intersección de la recta que define la rama elástica de la forma bilineal idealizada con el espectro elástico de demanda, fija la ordenada que corresponde al desplazamiento del punto de capacidad por demanda. De forma alterna, el desplazamiento del punto de capacidad por demanda se puede calcular mediante la intersección de la forma bilineal idealizada con el espectro inelástico de demanda, que es el espectro elástico de demanda reducido mediante un factor µ R , definido como: () C C CTTR TT1 T T 1R >µ= ≤+−µ= µ µ (6) En esta ecuación T y µ son el período y la ductilidad, respectivamente, y C T es el período esquina del espectro elástico de proyecto, que delimita las ramas de aceleración constante y la rama decreciente. Este desplazamiento se transforma en desplazamiento al nivel de cubierta del sistema con múltiples grados de libertad aplicando la ecuación (1). EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS NO LINEAL A continuación se consideran tres edificios de hormigón armado proyectados para distintos niveles de ductilidad, conforme a la norma sismorresistente NCSE-02 y la instrucción de EHE (1998). El primer edificio es de forjados reticulares de 30 cm de canto, cuyos nervios se encuentran orientados según las líneas que unen los extremos de los pilares. El edificio tiene tres niveles, el primero con una altura de 4,5 m, mayor que la del resto de los niveles, que tienen 3,0 m. Los pilares de este edificio no se encuentran alineados, como puede observarse en la Figura 2a. El segundo edificio, proyectado para ductilidad de 2, es porticado con vigas planas y forjados unidireccionales orientados según el eje y se muestra en la Figura 2b. El tercer edificio es porticado con vigas de canto, proyectado para ductilidad de 4, con forjados unidireccionales orientados según el eje y, tal como puede verse en la Figura 2c. Los edificios descritos anteriormente se han calculado mediante modelos 2D, definiéndose pórticos representativos para cada uno de ellos, Barbat et al., 2007. Dada la presencia de pilares no alineados en el edificio con forjados reticulares, se ha modelizado uno de los pórticos exteriores de este edificio, ya que el resto de los elementos no constituyen un sistema estructural que se pueda modelizar como plano en sentido estricto, pues aparece el efecto de torsión. 12345 1,00 5,00 6,00 4,00 5,00 1,00 AB'CD 6,00 2' 3' BC' 4,00 1,00 1,00 5,00 Forjado reticular Línea de pórticos equivalentes y x PÓRTICO EQUIVALENTE EXTERIOR 1 2 345 600 600 Eq. Eq. Eq. 700 500 50 50 40 40 35 35 a 30 30 30 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) 277 12345 6,00 6,00 6,00 5,00 5,00 5,00 ABCD 6,00 y x PÓRTICO DE CARGA EXTERIOR 45 45 40 40 35 35 1 2 3 4 5 600 600 600 600 30 50 30 55 30 60 Pórticos de carga Pórticos de arriostramiento b 12345 6,00 6,00 6,00 5,00 5,00 5,00 ABCD 6,00 y x PÓRTICO DE CARGA EXTERIOR 40 40 35 35 30 30 30 50 55 30 60 30 1 2 3 4 5 600 600 600 600 Pórticos de carga Pórticos de arriostramiento c Figura 2: Planta típica del edificio con forjados reticulares (igual en todos los niveles). Respecto al análisis no lineal, se ha utilizado el programa de elementos finitos PLCDYN (PLCd 1991) que permite modelizar el hormigón armado como un material compuesto y se ha aplicado la teoría de mezclas. En la Figura 3, se muestra una discretización típica genérica de los pórticos, cuyos elementos tienen longitudes variables que dependen de las zonas de pilares y de vigas con un mayor confinamiento. Las zonas de confinamiento se han proyectan de acuerdo con las dimensiones generales de los elementos estructurales, de los diámetros del acero longitudinal y de las luces de los vanos o de las alturas de los pisos. 6,000 1,200 3,600 1,200 52 53 54 55 45 46 48 49 47 50 51 83 65 66 67 74 75 82 88 89 90 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 76 77 78 63 64 65 66 6,000 6,000 6,000 1,125 2,250 1,875 1,500 1,500 1,500 0,750 4,500 3,000 3,000 1,200 3,600 1,200 1,200 3,600 1,200 1,200 3,600 1,200 1 2 4 5 3 56 57 58 16 6 7 8 9 10 11 27 41 42 43 44 34 35 37 38 36 39 40 81 12 13 15 14 17 18 29 20 21 22 23 24 26 25 28 29 30 31 32 33 59 60 61 62 63 64 72 7370 7168 69 76 77 78 79 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1079 80 81 82 83 64 85 86 87 40 39 38 37 36 35 34 33 32 3111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 67 68 69 70 71 72 73 74 75 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Figura 3: Discretización típica de los pórticos analizados. 278 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) En las Figuras 4, 5 y 6 se muestran los espectros de capacidad superpuestos con los espectros de demanda elástica e inelástica, para los edificios con forjados reticulares, porticado con vigas planas y porticado con vigas de canto. Nótese que los espectros de capacidad se encuentran graficados mediante la curva de capacidad correspondiente a un sistema de un grado de libertad equivalente, y también en la forma bilineal idealizada. S d (mm) S a (g) 040 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0 0.4 0.8 1.2 Punto de capacidad por demanda Espectro de capacidad Espectro de capacidad idealizada Espectro elástico de demanda Espectro inelástico de demanda Figura 4: Espectros de capacidad y de demanda elástica e inelástica del edificio con forjados reticulares. S d (mm) S a (g) 040 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0 0.4 0.8 1.2 Punto de capacidad por demanda Espectro de capacidad Espectro de capacidad idealizado Espectro elástico de demanda Espectro inelástico de demanda Figura 5: Espectros de capacidad y de demanda elástica e inelástica del edificio porticado con vigas planas. Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) 279 S d (mm) S a (g) 040 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0 0.4 0.8 1.2 Punto de capacidad por demanda Espectro de capacidad Espectro de capacidad idealizado Espectro elástico de demanda Espectro inelástico de demanda Figura 6: Espectros de capacidad y de demanda elástica e inelástica del edificio porticado con vigas de canto. Los valores de los desplazamientos del punto de capacidad por demanda calculados para los tres edificios analizados se indican en la Error! Reference source not found.. Tabla 1: Desplazamientos alcanzados en el punto de comportamiento de los diferentes tipos de edificios. Edificio Desplazamiento en el punto de capacidad por demanda (mm) Edificio con forjados reticulares 222,07 Edificio porticado con vigas planas 170,22 Edificio porticado con vigas de canto 120,18 En las Figuras 7, 8 y 9 se aprecian las curvas de capacidad de cada edificio, en la que los desplazamientos graficados corresponden a los desplazamientos del nivel de cubierta, sobre las que se han trazado las rigideces correspondientes al estado elástico, al punto de capacidad por demanda y al punto de desplazamiento último. Nótese la evidente proximidad entre el punto de capacidad por demanda y el de desplazamiento último correspondiente a los edificios con forjados reticulares y el porticado con vigas planas. Des p lazamiento ( mm ) Coeficiente de cortante en la base (V/P) 040 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0 0.2 0.4 0.6 Curva de capacidad Rigidez inicial Rigidez en punto de comportamiento Rigidez en punto último Figura 7: Desplazamiento del punto de capacidad por demanda para el edificio con forjados reticulares. 280 Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) Des p lazamiento ( mm ) Coeficiente de cortante en la base (V/P) 025 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 0.2 0.4 0.6 Curva de capacidad Rigidez inicial Rigidez en punto de capacidad por demanda Rigidez en punto último Figura 8: Desplazamiento del punto de capacidad por demanda para el edificio porticado con vigas planas. Des p lazamientos ( mm ) Coeficiente de cortante en la base (V/P) 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 0.2 0.4 0.6 Curva de capacidad Rigidez inicial Rigidez en punto de capacidad por demanda Rigidez en el punto último Figura 9: Desplazamiento del punto de capacidad por demanda para el edificio porticado con vigas de canto. CURVAS DE FRAGILIDAD Y MATRICES DE PROBABILIDAD DE DAÑO Para determinar los umbrales de daño se hace uso del procedimiento planteado en el documento VISION 2000 (SEAOC, 1995), que consiste en obtener los umbrales mediante las derivas relativas de piso, que han sido aplicadas frecuentemente como una medida objetiva del daño, para lo que es necesario graficar la evolución de las derivas respecto al desplazamiento del nivel de cubierta de los edificios estudiados. En las Figuras 10, 11 y 12 se muestran los resultados obtenidos del análisis no lineal. Los umbrales de los estados de daño se determinan tanto de las curvas de derivas relativas como de las curvas de capacidad. Para el estado de daño leve se toma el valor en el cual aparece la primera rótula plástica en la curva de capacidad, para el estado de daño moderado se asume el desplazamiento del nivel de cubierta para el cual se alcanza una deriva relativa igual a 1% en cualquiera de los niveles del edificio. El estado de daño severo se identifica mediante el desplazamiento de nivel de cubierta correspondiente a una deriva relativa de 2,5% en cualquiera de los niveles del edificio. Finalmente, el estado de colapso se identifica mediante el desplazamiento último del nivel de cubierta obtenido de la curva de capacidad. Rev. Int. de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil. Vol. 7(2-3) 281 Des p lazamiento del nivel de cubierta ∆ / H ( % ) Deriva relativa de niveles δ/h (%) 00,25 0,5 0,75 11,25 1,5 1,75 22,25 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Niveles 3 y 2 Niveles 2 y 1 Niveles 1 y 0 Figura 10: Determinación de los umbrales de daño del edificio con forjados reticulares. Des p lazamiento del nivel de cubierta ∆ / H ( % ) Deriva relativa de niveles δ/h (%) 00,25 0,5 0,75 11,25 1,5 1,75 22,25 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Niveles 3 y 2 Niveles 2 y 1 Niveles 1 y 0 Figura 11: Determinación de los umbrales de daño del edificio porticado con vigas planas. Des p lazamiento del nivel de cubierta ∆ / H ( % ) Deriva relativa de niveles δ/h (%) 00,25 0,5 0,75 11,25 1,5 1,75 22,25 2,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Niveles 3 y 2 Niveles 2 y 1 Niveles 1 y 0 Figura 12: Determinación de los umbrales de daño del edificio porticado con vigas de canto. Para la determinación de las curvas de fragilidad se utilizan los desplazamientos determinados para los estados de daño transformados en desplazamientos espectrales, aplicando la ecuación (1).Se aplica una función de densidad de probabilidad de los parámetros de demanda que definen los estados de daño corresponde a la distribución lognormal, Pinto et al. 2006: