Matemàtiques i música. El taller pitagòric

  TREBALLDEFIDEMÀSTER  TÍTOL:MATEMÀTIQUESIMÚSICA.ELTALLERPITAGÒRIC    COGNOMS:CARTRÓGINERNOM:SANDRA TITULACIÓ:MàsterenFormaciódelProfessoratd’EducacióSecundàriaObligatòriai Batxillerat,FormacióProfessionaliEnsenyamentd’Idiomes ESPECIALITAT:Matemàtiques  DIRECTOR/A:MARIBELORTEGO DEPARTAMENT:MatemàticaaplicadaIII  DATADELECTURA:Junyde2011       1 “Tal vez sea la música la matemática del sentimiento y la matemática la música de la razón” Pere Puig Adam (1900-1960) “La música se ocupa de los números sonoros” G. Zarlino (1517-1590) Descobriment de les raons de la consonància per Tubal i Pitàgores Gaffurio, Theorica musice, 1492 2 ÍNDEX 1. Introducció 2. L’origen i la necessitat 3. Les relacions entre la Música i les Matemàtiques 3.1. Punt de partida: L’escola pitagòrica 3.1.1. El monocordi i les proporcions 3.1.2. L’escala i la comma pitagòriques. 3.1.3. De l’escala pitagórica a l’escala temperada. 3.2. Harmonia i divisibilitat 3.3. Ritme i nombres 3.3.1. Les diferents figures i la seva relació 3.3.2. Organització del temps en una composició: el compàs i el tempo 3.4. Notació musical i funcions 3.5. La geometria de Bach 3.6. El nombre d’or Φ 3.7. El joc de composar 3.8. Composició digital 4. La influència de la música en l’aprenentatge 5. Proposta d’activitats 6. Conclusions 7. Bibliografia 3 1. Introducció Sovint sentim a parlar de la gran relació que existeix entre les matemàtiques i la música, i és freqüent trobar persones que com jo, sentim gran passió tant per l’una com per l’altra. Ningú dubta que les matemàtiques són una ciència, ara bé, què en podem dir de la música? És art, és ciència? Què hi ha de matemàtic a la música? La idea de fer aquest treball em va venir un dia mentres impartia una de les classes del pràcticum als alumnes de 3r d’ESO. En una de les hores més dolentes del matí, els alumnes venien de l’estona de pati més que alterats, i resultava molt difícil mantenir un clima de treball apropiat a l’aula. Aprofitant que fèiem activitats en grups i tenia l’ordinador en marxa, vaig decidir posar música tranquil·la de fons. L’efecte va ser immediat: sorpresa i silenci. Uns segons més tard, tots vam tornar a emprendre el que estàvem fent, aquest cop però, una mica més aserenats. Mai he dubtat de l’efecte que té la música en les persones, com tampoc d’un rerafons matemàtic en qualsevol composició musical, ara bé, què en sé de tot plegat? Si existeixen relacions entre les Matemàtiques i la Música, així com també n’hi ha amb la història, la física, entre d’altres, considero que el seu coneixement pot ser més que útil en la nostra tasca de docents, per tal que el procés d’ensenyament-aprenentatge sigui el més global possible. Tot i tenir nocions de totes dues matèries, mai fins ara m’havia parat a pensar i analitzar amb deteniment fins a quin punt estaven lligades entre sí, suposo que com a conseqüència d’un aprenentatge independent, sense haver establert massa relacions entre l’una i l’altra. Sobta però, que després d’uns quants anys, no hi ha massa coses que hagin canviat a les aules, i malgrat la gran quantitat d’aspectes que relacionen unes matèries amb les altres, penso que encara queda molt per fer en aquest sentit. Aquest és un treball que s’inicia des de la recerca d’aquells elements en comú entre la Música i les Matemàtiques, que podrien ser apropiats per a treballar a l’aula amb uns alumnes que com jo, apliquen en la música aspectes matemàtics abans de conéixer la seva existència. 2. L’origen i la necessitat Tradicionalment s’ha considerat que la Matemàtica va sorgir de les necessitats concretes de l’home per calcular en el comerç, per mesurar la Terra i el temps i per a predir fets astronòmics. Existeixen dibuixos, molt anteriors als primers registres escrits, que mostren ja alguns coneixements elementals de les matemàtiques i de la mesura del temps basada en els estels, com per exemple les roques d’ocre d’una caverna de Sudàfrica d’uns 70.000 anys d’antiguitat, on es troben tot tipus de patrons geomètrics o alguns artefactes prehistòrics trobats a l’Àfrica i França, d’entre els anys 35.000 i 20.000 a.C., que mostren els intents de l’home per a quantificar el temps. Les dones també van inventar un sistema per a controlar el seu cicle menstrual, realitzant marques en ossos o pedres amb distintius cada 28-30 unitats. Les matemàtiques són una ciència que seguint un raonament lògic ens permet conèixer les quantitats, les estructures, l’espai i els canvis. La música és l’art d’expressar sentiments per mitjà de la combinació de diferents sons i silencis en el temps. La música genera, manipula i combina els sons que produeixen les veus humanes i/o els instruments amb la finalitat d’assolir la bellesa formal i expressar emocions. La música té un origen incert ja que va aparéixer a partir de la veu humana i de la percussió corporal, sense empremtes arqueològiques. Segons defensen filòsofs i sociòlegs com Jean Jacques Rousseau (1712-1778) Johann Gottfried Herder (1744-1803) o Herbert Spencer (1820-1903), és lògic pensar que la música va aparéixer de la mà del llenguatge si ens fixem en la manera en què ens expressem, el nostre to de veu, la velocitat i el ritme, ja que un canvi d’altura musical en el llenguatge produeix un cant. Segons defensa Karl Bücher (1847-1930), previ al llenguatge trobem en la naturalesa i en les activitats quotidianes de l’home, la música en el seu estat més primitiu, sobretot pel que fa al ritme. 4 “Des que l’home existeix hi ha hagut música. Però també els animals, els àtoms i les estrelles fan música”. Karlheinz Stockhausen (1928-2007) Així com les matemàtiques fan sorgir d’unes necessitats concretes i palpables, la música respon a la necessitat d’expressió de l’home, per a relacionar-se amb les divinitats i amb la natura que l’envolta. Existeixen xiulets d’ós, flautes de canya altres artilugis trobats en coves i tombes que són testimonis del poder del so per a evocar estats d’ànim diversos. La música neix de la necessitat de protegir-se d’alguns femòmens naturals, d’allunyar els esperits malignes, d’atraure l’ajuda dels déus, honrar-los i festejar les seves festes així com també de la necessitat de celebrar els canvis d’estació. Ja ho defensava Darwin que l’home té la necessitat d’expressar l’amor així com fan els animals en la natura, i aquesta relació entre la música i l’amor és del tot coneguda, des de la història antiga fins a la música moderna. Amb aquests orígens i aquestes necessitats tan diferents entre les Matemàtiques i la Música, és possible trobar vincles entre ambdues? Què comparteixen? Sens dubte hi ha similituts innegables com el seu caràcter màgic, són tan abstractes que semblen pertànyer a un altre món i en canvi tenen gran poder en aquest món, la música afecta a l’escolta i les matemàtiques tenen múltiples aplicacions pràctiques. Una part de les matemàtiques estudia els nombres, els seus patrons i les seves formes, i aquests elements són inherents a la ciència, la composició i l’execució de la música. La música canvia la seva textura i el seu caràcter segons el lloc i l’època, pot ser sentimental, explosiva, densa, cristal·lina mentre que les matemàtiques són directes i mai alteren el seu caràcter. La música es crea a partir d’elements físics, instruments de tot tipus que la generen mentres que les matemàtiques són principalment abstraccions que quasi bé no necessiten ni paper, ni llapis. Tant el matemàtic com el músic es troben enfeinats resolent problemes o composant o interprentant, ensenyant als alumnes sense parar a pensar que ambdós estan entregats a disciplines que són paradigmes d’allò abstracte. 3. Les relacions entre la Música i les Matemàtiques Les matemàtiques estan reconegudes com una ciència de valor especial, ja que és la base imprescindible per a la resta de ciències. El que ja no està tan clar és que les matemàtiques serveixin com a ajuda en les belles arts, però el fet és que col·laboren a que les arts com la música, la pintura, l’escultura, etc. siguin del tot bellles. Si analitzem alguns dels aspectes bàsics de la música, com són el ritme, les escales, l’harmonia, etc. veurem la gran relació que manté amb les matemàtiques i com la música difícilment existiria sense una base matemàtica que li fes de suport i com en realitat, una obra musical, si és bonica i compensada, podria ser considerada un treball matemàtic ben resolt. La manera d’escollir les notes musicals, la seva disposició, les tonalitats, els temps i fins i tot els mètodes de composició són pura matemàtica. El primer vincle entre la Música i les Matemàtiques el van establir els pitagòrics al S. VI a.C., establint una relació entre les notes musicals i les proporcions entre les longituts de cordes tensades. Ells van crear una divisió del curriculum en quadrivium (aritmètica, música, geometria i astronomia) i trivium (gramàtica, retòrica i dialèctica) que es va mantenir durant tota l’Edat Mitjana. Durant aquest període, en què es van mantenir aquestes 7 arts lliberals, la música va ser un subconjunt de les matemàtiques de manera les dues disciplines s’estudiaven de manera conjunta. La tradició pitagòrica, durant el període clàssic, es pot obervar en les obres d’Euclides, Arquitas i Nicómano i la relació que van establir entre les matemàtiques i la música es manté encara viva a dia d’avui. Mostra d’aquesta relació és l’ús, encara que d’una manera intuitiva, del nombre d’or en les sonates de Mozart (1756-1791), a la Quinta Simfonia de Beethoven (1770-1827), o en algunes 5 obres de Bartók (1881-1945), Messiaen (1908-1992) i Stockhausen (1928-2007). Per altra banda, matemàtics de totes les èpoques han fet de la música el seu objecte d’estudi i en l’actualitat, tan en revistes de Música com de Matemàtiques o per internet, podem trobar nombrosos documents on alguns recursos matemàtics són emprats per a la composició d’obres musicals. “Las mentes matemáticas secas como el polvo sueñan en blanco y negro, el músico clásico capaz prefiere soñar en colores, como lo hacen los grandes científicos que prefieren la música clásica”. Albert Eisntein (1879-1955) 3.1. Punt de partida: L’escola pitagòrica Pitàgores de Samos (582 aC - 496 aC) va ser un gran filòsof i matemàtic grec dels segles VI-V a.C., i una de les figures més importants de l’Antiga Grècia. Fou el fundador d’una escola de pensament, l’escola pitagòrica, que afirmava que l’estructura de l’Univers és aritmètica i geomètrica, és a dir, que tot l’Univers està constituït i basat en relacions matemàtiques. Considerat per molts el “pare dels nombres”, Pitàgores va introduir els pesos i les mesures, va inventar la geometria i l’aritmètica teòrica, va ser el primer en sostenir que la Terra era esfèrica i el primer en postular el buit i considerar l’Univers com una obra només desxifrable per mitjans matemàtics. Es diu que Pitàgores va encunyar la paraula matemàtiques, que significa “allò que és après”. Ell descriu un sistema d’idees que té com a finalitat unificar els fenòmens del món físic i del món espiritual en termes de nombres, més concretament en termes de raó i proporció de sencers. Es creia, per exemple, que les òrbites dels cossos calestials que giraven al voltant de la Terra produien sons que harmonitzaven entre sí donant lloc a un so agradable al que van anomenar “la música de les esferes”. Va ser Pitàgores qui va descobrir que existia una relació numèrica entre els tons que sonaven bé i va ser el primer en adonar-se que la música, sent un dels mitjans essencials de comunicació i plaer, podia ser mesurada per mitjà de raons de sencers. “Els pitagòrics van veure [...] que les relacions de l’escala musical podien ser expressades mitjançant nombres, i com totes les coses semblaven ser modelades pels nombres, i els nombres semblaven ser els primers elements de la vertadera natura, ells van suposar que els elements dels nombres eresn els elements de totes les coses, i que el cel era una escala musical i un nombre”. Aristòtil (384 aC -322 aC) 3.1.1. El monocordi i les proporcions Es diu que en Pitàgores de Samos (582 aC - 496 aC) passava un dia per la ferreria i en sentir els sons que produïen els martells es va adonar que eren consonants. en arribar a casa, va experimentar amb pesos lligats a cordes, flautes, gots d’aigua, etc. per tal de trobar alguna relació matemàtica que li permetés explicar per mitjà de nombres el que havia percebut. Va ser amb el monocordi, un instruments de l’època, amb el què Pitàgores de Samos trobaria resposta al seu plantejament. Monocordi, detall d’Iconifmus VIII foli 487 de Musurgia Universalis, un llibre d’Athanasius Kircher, publicat l’any 1650. 6 El monocordi era l’instrument d’un sola corda que Pitàgores va ser servir per al seu gran descobriment, estudiant la relació que existeix entre el so i la longitut de la corda que el produeix. El so que es produeix en tocar una corda és el resultat de les vibracions, i aquestes depenen de la longitut de la corda, el seu gruix i la tensió de la mateixa,ho podem comprovar amb les diferents cordes d’una guitarra, per exemple. A partir de la única corda del monocordi, Pitàgores va comparar els sons que es produïen si la feia sonar en tota la seva longitut, amb els sons que en resultaven de dividir aquesta corda i fer-ne sonar les parts que en resultaven. Amb aquest experiments es va adonar que: - els sons que es produïen a mesura que la corda s’escurçava eren més aguts - en dividir la corda per la meitat, el so que es produïa era una octava més agut que l’original o finamental, per tant es passava d’un Do al Do superior; - quan feia sonar 2/3 parts de la corda original, el so que es produïa una cinquena més agut, per tant un Sol; - quan feia sonar les 3/4 parts de la corda, el so que en resultava era una quarta més agut, o sigui un Fa; - els intervals de 4ª, 5ª, i 8ª produien sons agradables, són els que coneixem com a consonants o harmònics; - la resta de sons produïts mitjançant altres proporcions tenien com a resultat sons que no eren tan agradables a l’oïda, són els coneguts com a dissonants. Pitàgores va poder comprovar, fent ús del monocordi, que hi havia alguns sons que combinats entre sí produïen un resultat agradable. És el que coneixem per sons harmònics i tenen una explicació física que es resumeix més endavant a l’apartat d’harmonia i divisibilitat. Les raons que s’estableixen entre els diferents sons depenen de les longituts de les seves cordes: Interval Raó Nomenclatura Fonamental – octava 1/2 Octava o diapason Fonamental – cinquena 2/3 Quinta o diapente Fonamental – quarta 3/4 Quarta o diatessaron Amb aquestes raons podem operar de manera purament matemàtica. Observem que si multipliquem les raons de la quina i de la quarta entre sí, obtenim l’octava: 2/3 * 3/4 = 1/2 Si observem l’escala que tots coneixem, veurem com una octava està formada per la suma dels intervals de cinquena i de quarta. interval 5ª Ma j or interval 4ª Ma j or interval 8ª p erfecta 7 Podem deduir doncs que sumar intervals vols dir multiplicar les seves raons i per restar-los les haurem de dividir. Els nombres descoberts en aquestes raons, 1, 2, 3 i 4, estaven presents en el tetractys, el símbol sagrat dels pitagòrics, un triangle de quatre fileres que representava les dimensions de l’experiència. És interessant també com la suma de tots els punts que componen els tetratcys 1+2+3+4=10, un nombre molt representatiu en les relacions que establien els pitagórics entre la mitologia i els nombres. Hemenway, Priya – Divine Proportion pp.63, Sterling Publishing. Autor: Jossifresco 3.1.2. L’escala i la comma pitagòriques A partir de l’análisi de les raons que s’estableixen entre els intervals de 4a, 5a i 8a respectivament, fent servir un model geomètric, Pitàgores va obtenir la resta d’intervals d’un instrument. El conjunt de tots els intervals que van sorgir de l’addició de les quintes, va donar lloc a l’escala pitagòrica o també anomenada diatònica, que va perdurar fins el Barroc, època en què va ser susbtituïda per l’escala temperada. Mètode geomètric definit per Pitàgores per a obtenir els intervals d’un instrument. Autor: Gerardo RosaGrosasm, 22 Maig 2006 (UTC). 8 Tal com mostra la figura, per a obtenir la segona nota de l’escala Pitagòrica haurem de multiplicar 2 vegades x 2/3 i després haurem de dividir perquè ens passem d’octava: 1 x 2/3 x 2/3 = (2/3) 2 = 4/9, correspon al La una octava per damunt 4/9 / 1/2 = 8/9, interval de 2a, o sigui La Si seguim repetim aquest procediment trobarem en primer lloc les notes de l’escala pitagòrica que no tenen alteracions i a continuació les 5 alterades. Hem pogut veure que entre el so que produeix la corda sencera del monocordi en vibrar i el so que produeix si prenem les seves 2/3 parts, hi ha un interval de 5a ascendent. Si tornem a fer el mateix procediment amb els 2/3 de corda, o sigui, la dividim en 3 parts i en fem sonar 2, obtindrem una segona 5a més aguda, i així succesivament. Moodswingerscale Y. Landman Nota Do Do# Re Mib Mi Fa Fa# Sol Sol # La Sib Si Fracció de corda 1 211 37 23 32 33 25 26 34 3 . 22 29 36 2 3 212 38 24 33 32 24 27 35 5ª Major multipliquem x 2/3 8ª justa dividim entre 1/2 5ª Major multipliquem x 2/3 5ª Major multipliquem x 2/3 8ª justa dividim entre 1/2 15 acords consonants, i per a conseguir-ho no en tenim prou escoltant la música, sinó que és necessari contar els intervals que es formen en cada acord i els salts que va fent la melodia. L’oïda humà pot percebre l’interval de freqüències [15Hz, 20.000Hz], tot i que els sons més aguts arriben generalment als 5.000Hz. Fora d’aquest interval els sons s’anomenen: < 15Hz → infrasons > 20.000Hz → ultrasons La referència que ens serveix per a mesurar el valor absolut dels tons és 440Hz, que és la freqüència que té un diapasó normal i que s’utilitza per a afinar la nota La, situada al segon espai del pentagrama si llegim en clau de Sol. Aquesta referència no sempre ha estat la mateixa i ha evolucionat des de valors més baixos de freqüència. Actualment, el criteri dels 440Hz no està completament unificat, ja que hi ha orquestres que afinen als 438, 440, 442 ó 444Hz. A través de l’anàlisi de les freqüències dels sons, comprendrem el paper que hi juga l’aritmètica en l’harmonia, i el motiu pel qual hi ha sons que conjutament sonen bé, o sigui que són harmònics, i d’altres que ens resulten dissonants. Tal com hem comentat anteriorment, Marsenne estableix l’any 1630 els 12 sons de l’escala temperada, iguals en cada octava, on la raó que hi ha entre la freqüència d’una nota i l’anterior és sempre constant. Si anomemen r a aquesta raó, es cumpleix que les freqüències formen una progressió geomètrica del tipus: f, f·r , f·r2 , f·r4 , ... , f·r12 = 2·f d’on es dedueix que: r12 = 2 r = 2 √ 12 r = 1,05946... D’aquesta manera podem concloure que: - entre semitons (st) consecutius es manté una relació constant de 2 √ 12 - entre tons (t) consecutius es manté una relació constant de 2 √ 6 - la relació que hi ha entre 2 notes a una distància d’8a és de à 2á q 1 2 12 =2 - aquestes relacions es mantenen invariables per a totes les octaves Podem elaborar, ara que sabem la raó de la progressió geomètrica que dóna lloc els diferents sons, més aguts si multipliquem, més greus si dividim, els 12 sons que formen l’octava central del piano: Quadre de freqüències (Hz) Nota Do Do# Re Re # Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do Hz 261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370 392,0 415,3 440 466,2 493,9 523,3 Mitjançant la representació sobre una recta, veiem quines són les relacions que hi ha entre les diferents freqüències obtingudes. 16 La distància entre 2 tons o 2 semitons consecutius va augmentant a mesura que anem a la dreta, o sigui que les notes són més agudes. L’escala musical és una funció logarítmica que va en progressió geomètrica de raó 2 √ 12 i és en el valor dels logarimes on en mantenen les distàncies absolutes. Sol La Si Freqüència 392 440 493,9 log2 de la freqüència 8,61 8,78 8,95 Diferència de les freqüències: 440 – 392 = 48 493,9 – 440 = 53,9 Diferència del logaritme de les freqüències: 8,78 – 8,61 = 0,17 8,95 – 8,78 = 0,17 Si escoltem simultàniament dues notes musicals, el resultat serà un so més o menys agradable. Els sons que es consideren més agradables de sentir conjuntament són els que estan a una distància de 8a, 5a i 4a justa. És interessant observar les raons que es donen entre els sons consonants o agradables i els sons dissonants: Quadre de proporcions o raons Nota Do Do# Re Re # Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si Do raó 1,00 1,06 1,12 1,19 1,26 1,33 1,41 1,50 1,59 1,68 1,78 1,89 2,00 suma de fraccions* 1 1 5/84 1 1/8 1 1/5 1 1/4 1 1/3 1 2/5 1 1/2 1 3/5 1 2/3 1 7/9 1 8/9 2 fracció resultant 1 89/84 9/8 6/5 5/4 4/3 7/5 3/2 8/5 5/3 16/9 17/9 2 *NOTA: el fet de treballar amb fraccions de 2 dígits fa que el resultat que en resulti sigui aproximat. Si augmentem en nombre de dígits, millorarem la presició. Interval d’8a: 12 semitons (12 st = 6t) → Do – Do Interval de 5a, o 5a justa: 7 sermitons (7 st = 3t + 1st) → Do – Sol Interval de 4a o 4a justa: 5 semitons (5st = 2t + 1st) → Do – Fa Els sons consonants o agradables d’escoltar conjuntament tenen freqüències relatives de 2/1, 3/2 i 4/3 i les freqüències absolutes d’aquests sons tenen molts divisors en comú (tots en el cas de l’octava i 2/3 parts per a la 4a i la 5a). Els intervals de 3a i 6a, tant major com menor, encara es consideren agradables; la freqüència relativa de les seves notes estan en raons de 5/4 i 6/5 respectivament per a les 3es i en raons de 5/3 i 8/5 respectivament per a les 6es, i les seves freqüències absolutes tenen com a divisors comuns al voltant de la meitat dels seus divisors. Interval de 3a Major (M): 4 semitons (4st = 2t) → Do – Mi Interval de 3a menor (m): 3 semitons (3st = 1t + 1st) → Do – Mib Interval de 6a Major (M): 9 semitons (9st = 4t + 1st) → Do – La 17 Interval de 6a menor (m): 8 semitons (8st = 4t) → Do – Lab “Cuanto más simple es la relación de las frecuencias de dos sonidos, más consonante será el intervalo que forman”. John Tyndall (1820-1894) Les consonàncies poden endreçar-se de la següent manera: 1/1 Uníson > 2/1 Octava > 3/2 Quinta > 4/3 Quarta > 5/4 Tercera Major > 5/3 Sisena Major > 6/5 Tercera menor > 8/5 Sisena menor > ... Podem veure què passa si factoritzem els valors aproximats de les freqüències d’aquest sons que formen intervals consonants: Uníson: 260 = 22x5x13 Octava: 520 = 2(2+1)x5x13 Cinquena: 390 = 2x3x5x13 Quarta: 350 = 2x52x7 La demostració del perquè de la consonància ha estat difícil de trobar, i les interpretacions que se n’han fet han estat variades. Kepler (1571-1630), en Harmonices mundi (1619). Proporciona els raonaments més sòlids fins al moment, basant les proporcions harmòniques amb els polígons regulars, relacionant la condició de ser construible amb regle i compàs amb la capacitat de generar proporcions consonants. Kepler va idear un mètode que consistia en generar un arbre de consonàncies en què cada fracció a/b, en cada pas n generés dues fraccions, a/(a+b) i b/(a+b) en el pas n+1. Es parteix de la fracció 1/1 i el procés es continua fins arribar a un denominador que representés els costats d’un polígon regular no construïble amb regle i compàs (polígons de 7, 9, 11 i 13 costats). Arbre dels intervals consonants de Kepler (1619). Imatge extreta de l’article La música y el número siete. Historia de una relación controvertida. Revista Suma n. 58, juny 2008. 3.3. Ritme i nombres Tota composició musical té una estructura interna formada per compassos, tots ells generalment de la mateixa durada, i organitzada en frases que acostumen a tenir el mateix nombre de compasos, 4 ó 8 generalment. A l’inici d’una peça musical, després de la clau i l’armadura, apareix una fracció que ens indica el ritme que caldrà seguir durant tot la partitura. El numerador d’aquesta fracció indica el nombre de figures que trobarem en cada compàs, mentres que el denominador ens dóna informació sobre quina és aquesta figura rítmica. 18 3.3.1. Les diferents figures i la seva relació Una figura en música és cada una de les formes gràfiques o figuracions que s'utilitzen per anotar la durada d'una nota. En el sistema de notació occidental, cada nota conté dues informacions bàsiques: una relativa a l'altura segons la posició que ocupa en relació al pentagrama, i una altra relativa a la durada i al ritme, i que s'expressa segons el dibuix d'aquesta nota. La figura es refereix a aquest segon element. En el sistema actual -resultat d'una evolució continuada des dels sistemes de notació medievalsles figures existents són les següents: - rodona - blanca - negra - corxera - semicorxera - fusa - semifusa La relació existent entre les seves durades respectives és sempre 1-2. Així, la durada d'una rodona és el doble que la d'una blanca, oel que és el mateixla durada d'una rodona equival a la de dues blanques. De vegades d'aquesta durada també se'n diu valor; així, el valor d'una negra és el mateix que el de dues corxeres. Aquestes figures, així com també els silencis que les corresponen, guarden entre sí una relació que ve donada per potències de 2, de manera que la interpretació del pentagrama consisteix en un exercici insconscient d’aritmètica de fraccions. Les seves equivalències són: Es pren com a unitat la rodona i la resta de figures són parts d’aquesta unitat. El total de figures de què disposa el compositor són: 1 = 2 0 2=2 1 4=2 2 8=2 3 16=2 4 32 = 2 5 32 = 2 6 19 3.3.2. Organització del temps en una composició: el compàs i el tempo La manera com es distribueixen les figures que ja coneixem en cada compàs dependrà de la fracció, anomenada compàs, que ens aparegui just després de la clau. Veiem-ne alguns exemples: - compàs 4/4 (també indicat amb la lletra C): la suma de figures d’un compàs ha de ser de 4 x ¼ rodona, per tant 4 negres/compàs - compàs 3/4: la suma de figures d’un compàs ha de ser de 3 x 1/4 rodona, per tant 3_negres/compàs - compàs 2/4: la suma de figures d’un compàs ha de ser de 2 x 1/4 rodona, per tant 2_negres/compàs - compàs 6/8: la suma de figures d’un compàs ha de ser 6 x 1/8 rodona, per tant 6_corxeres/compàs - compàs 3/8: la suma de figures d’un compàs ha de ser 3 x 1/8 rodona, per tant 3_corxeres/compàs. - etc. Cada compàs estarà format doncs per fraccions del conjunt N, que poden ser notes o silencis, de manera la seva suma es correspongui la fracció que ens apareix a l’inici de la composició. Veiem-ne algun exemple: Existeixen en música alguns recursos com el doset, el treset o el quartet, entre d’altres, que modifiquen la durada de les figures, escurçant-les o allargant-les segons el cas. El treset i el quartet, per exemple, estan formats per un grup de 3 i 4 notes del mateix tipus, que cal interpretar en el temps ocupat per 2 i 3 notes respectivament. Aquestes modificacions s’indiquen mitjançant un nombre que indica l’efecte i un corxet que abarca les notes afectades: Tot i que com hem vist, la composició de figures que formen un compàs consisteix en la suma de fraccions, la majoria de vegades els estudiants de música aprenen sense conéixer l’existència de les mateixes. Un altre element que es pot trobar en una composició musical que serveix també per a mesurar el temps és el tempo. El tempo expressa la velocitat d’una obra i actualment s’indica amb un nombre de notes per minut. Per exemple: = 90, significa que en un minut han d’executar-se 90 negres. 4 2 = 4 1 + 4 1 = 4 1 + 8 1 + 8 1 = 1 6 1 + 1 6 1 + 1 6 1 + 1 6 1 + 8 1 + 8 1 = 4 1 + = 4 1 4 1 +5 4à 1 6 1 + 1 6 1 + 1 6 1 + 1 6 1 + 4 2= 4 1 + 3 2 à 8 1 + 8 1 + 8 1 á= 1 6 1 á= = 4 1 + 8 1 + 8 1 20 Existeixen també termes italians per a definir de forma aproximada les pulsacions per minut: Nom Pulsacions/minut Nom Pulsacions/minut Largo Fins a 50 Moderato 108-120 Larghetto 50-66 Allegro 120-168 Adagio 66-76 Presto 168-200 Andante 76-108 Prestissimo 200-207 Podem fàcilment trobar la durada d’una obra musical a partir del tempo, del tipus de compàs i del nombre de compassos que la conformen. Els intèrprets disposen d’un aparell, el metrònom, que marca el tempo fixat per la partitura per tal de saber, sense necessitat de contar, si estan portant o no la velocitat correcta per a cada cas. 3.4. Notació musical i funcions La notació musical es composa d’un seguit de signes que defineixen el so gràficament. Si observem una partitura qualsevol veurem com cadascun dels signes que apareixen al pentagrama tenen principalment 2 variables que ens permeten identificar-lo i interpretar-lo si és el cas. Aquestes dues variables són la durada i el so. La durada ve determinada per la figura musical (rodona, blanca, negra, corxera, etc) i el so el determina la posició que ocupa aquest signe al pentagrama (do, re, mi, fa, etc). Si una partitura musical depèn de 2 magnituts, aquestes es poden expressar sobre uns eixos cartesians on posaríem el temps (en segons) a l’eix de les abcisses i el so (en Hz) a l’eix de les ordenades. Veiem-ne algun exemple: = 60 Tempo Compàs Clau de Sol El tempo = 60 ens indica que la durada de 60 és un minut → 1 / segon La clau de Sol ens indica que en la segona línia es troba el Sol, i a partir d’aquesta es troben la resta de notes, una en cada espai, i una en cada línia, tant en sentit ascendent com descendent. El compàs 3/4 ens indica que en cada compàs hi ha d’haver 3 negres (1/4 de la rodona). Taula de valors: Gràfic: Una partitura musical es pot escriure doncs com una funció definida a troços on cada tros Nota Durada (s) Freqüència (Hz) 1 : Sol negra 1 392 2 : La corxera 0,5 440 3 : Si corxera 0,5 493,5 4 : Sol negra 1 392 21 representa una figura diferents de la partitura. La funció resultant és contínua per la dreta i discontínua de salt finit per l’esquerra coincidint amb el moment de canvi de nota de la partitura. Cada tros de la funció és constant i el seu valor és la freqüència de la nota que ha de sonar en aquell moment. Hi ha alguns recursos musicals, com el vibrato o el glissando, que fan que algun dels intervals continus de la funció no siguin constants. El vibrato és un recurs que enriqueix la música fent que una nota no soni linial sinó que el seu so oscil·la lleugerament al voltant de la nota. Si apliquem un vibrato sobre el La, per exemple, la seva freqüència aniria oscil·lant aproximademant entre els 435 i els 445Hz. Imatges extretes de l’article Matemáticas en la Música d’Ángel Pastor Martín Un glissando consisteix en fer lliscar el dit sobre la corda o sobre el teclat des d’una nota incial fins a una altra nota final. Imatges extretes de l’article Matemáticas en la Música d’Ángel Pastor Martín 3.5. La geometria de Bach Johan Sebastian Bach (1685-1750) va pertànyer a una de les famílies més extraordinària de músics de la Història, amb més de 35compositors famosos i molts intèrprets destacats. Organista i clavecinista reconegut arret d’Europa, va ser el primer gran inprovitzador de renom en una època de gran revolució intel·lectual a la què va contribuir des de la Música. Malgrat que Bach “no era amant del sec material matemàtic”, segons afirmava el seu fill en una de les seves cartes, el cert és que la grandesa estructura la les seves obres, així com la solució que va donar al problema de la comma pitogòrica amb El clave bin temperado (1722, 1744) són formes brillants de fer Matemàtiques de les què Bach només fa ser conscient al final de la seva vida. L’obra de Bach està plena de claus numèriques. Si sumem per exemple les xifres que corresponen a la posició en l’alfabet de les lletres B-a-c-h, s’obté el nombre 14 (2+1+3+8) i si sumem les corresponents a les lletres J-S-B-a-c-h obtenim el nombre 41, que és l’invers de 14. Aquesta observació, que podria sembla una simple anècdota, manifestava uan predisposició cap a les lleis de la simetria i l’harmonia universals que proporcionarien moltes sospreses en la seva obra. El manuscrit de coral per a orgue Von deinen Thhron tret ich hermit conté en la primera línia 14 notes, mentres que si contem el total en resulten 41 i aquest no és un fet casual, ja que aquests 2 nombres, 14 i 41, apareixen també en altres de les seves obres. Si analitzem la primera secció del Credo de la Misa en Si menor, veurem com la paraula Credo es repeteix 43 vegades, que és el nombre que resulta de sumar les posicions que ocupen en l’alfabet les lletres C-r-e-d-o . Les dues primeres seccions del mateix Credo sumen 129 compasos, o sigui 43 x 3, sent 3 el nombre que simbolitza la Trinitat. Però més enllà d’aquesta simbologia numèrica que poc aporta a les Matemàtiques, podem trobar en les seves obres gran quantitat de raonaments matemàtics relacionats principalment amb la geometria. Durant molts anys, Bach no fou conscient del rigor científic de les seves obres perquè, segons paraules del seu fill, “no es deixava portar per profundes consideracions teòriques i dedicava, 22 en el seu lloc, les seves energies a la pràctica”. L’estiu de 1747, després de 9 anys de negativa, va accedir a ingressar en la Sozietät der Musicalischen Wissenschaften (Societat de les Ciències Musicals) amb la finalitat d’estudiar la relació entre Música i Matemàtiques, ja que s’havia adonat que en la seva manera de plantejar els cànons i les fugues s’amagaven raonaments matemàtics. Bach feia servir un procediment per a dotar de cohesió les peces musicals que consistia en la reafirmació d’una seqüència de sons una vegada i una altra de forma variada per a evitar la monotonia i donar caràcter a la composició. Algunes de les tècniques utilitzades que feia servir habitualment estan basades en el pla geomètric, com són les translacions, els girs i la simetria. Bach partia d’un o més temes i els sotmetia a transformacions geomètriques que mantenien en tot moment la seva forma original, i que malgrat la seva rigidesa, tenien com a resultat obres brillant i riques gràcies a la seva capacitat d’improvització. A mode d’exposició, farem un breu anàlisi de de la Fuga #16 en sol menor BWV861 de Bach, per tal de veure algunes de les operacions matemàtiques que fa servir: Sub j ecte de la fu g a Res p osta tonal Contrasub j ecte Les primeres notes del contrasubjecte són les últimes notes de la resposta, transformades per inversió. Les últimes notes del contrasubjecte són les primeres notes de la resposta, també transformades per inversió. 23 I l’ordre d’aparició és el següent: Podem fer un anàlisi gràfic també d’aquest fragment de la fuga de 7 compasos: El subjecte de la fuga apareix al primer compàs amb les notes: RE – MI– SOL – FA# – SOL – LA – SI – DO – SI – LA – SI I torna a aparéixer al 5è compàs una 8a més baixa: (re – mi – sol – fa# – sol – la – si – do – si – la – si) = ½ x (RE – MI– SOL – FA# – SOL – LA – SI – DO – SI – LA – SI) El mateix passa amb la resposta, que es repeteix al compàs 6 però una 8a més baixa que quan apareix per primer cop al 2n compàs. Si observem les últimes notes del contrasubjecte que són les primeres notes de la resposta, transformades per inversió tenim que: sol – sib – re – do# → sol x (1, 2 3/12, 2 -5/12, 2 -6/12) sol – mi – do# – re → Sol x (1, 2 -3/12, 2 5/12, 2 6/12) Podem veure com els exponents de les dues sèries són els mateixos però de signe contrari, ja que es mantenen els intervals però es canvia el sentit ascendente pel descandent i a l’inversa. 1a veu amb el sub j ecte 2a veu amb la res p osta En a q uest fra g ment el contrasub j ecte a p areix 3 ve g ades. 4a veu amb la res p osta Subjecte (S) Ús parcial del S, R o CS Resposta (R) Contrapunt lliure Contrasubjecte (CS) Episodi 24 Si ens fixem en les primeres notes del contrasubjecte que són les últimes notes de la resposta, transformades per inversió, veurem que el fet d’anul·lar el bemoll que li correspondria per armadura al mi, fa que els exponents no es corresponguin per la diferència d’un semitó. la – sol – fa – sol – la → la x (1, 2 -2/12, 2 -4/12, 2 -2/12, 1) mi – fa – sol – fa – mi → mi x (1, 2 1/12, 2 3/12, 2 1/12, 1) si s’hagués mantingut el mib els exponents coincidirien però amb els símbols canviats: mib – fa – sol – fa – mib → mi x (1, 2 2/12, 2 4/12, 2 2/12, 1) Com hem pogut veure, els motius melòdics es repeteixen amb sons més greus o més aguts, però mantenen els mateixos intervals originals, o amb moviments contraris o simetries. Aquest és un dels recursos que fa servir Barh per a dotar d’homogeneïtat i coherència les seves obres, però en el rerafons de les seves fugues i preludis, hi ha altres operacions molt més complexes que fan que el resultat sigui un conjunt harmònic i agradable a l’oïda. És interessant veure com es poden representar geomètricament alguns d’aquests recursos, com són el trasport i la inversió: El transport: consisteix en la repetició dels mateixos intervals però partint de notes diferents i sense sobrepassar la octava corresponent. El transport pot donar-se en sentit ascendent o descendent. Quan transportem a una distància de 8a, podem dir que estem octavant. En geometria es correspon amb un gir. Exemple d’un transport de 2a ascendent: do – re – mi – sol – do → re – mi – fa# – la – re La inversió o moviment contrari: consisteix amb respectar el perfil melòdic però invertint la direcció dels intervals, demanera que els ascendents passaran a ser descendents i a l’inversa. En geometria es correspon amb una simetria. do – re – mi – sol – do → do – sib – lab – fa – do 31 5. Proposta d’activitats El present treball recull alguns dels conceptes més representatius sobre les relacions que existeixen entre les Matemàtiques i la Música, conceptes triats per a una possible aplicació a les aules tan d’ESO com de BAT del centre on he dut a terme les pràctiques. Segons recomanacions del meu tutor de l’institut, podria donar lloc a una assignatura optativa del 1r curs de Batxillerat científic, amb una durada de 4 mesos i 2h/classe setmanals, ja que alguns conceptes matemàtics i musicals, bàsics per a una bona comprensió de la matèria, no estarien encara apresos. Si bé em sembla molt interessant la idea de conformar un taller pitagòric on poder treballar com a bloc aquestes qüestions, penso que algunes de les activitats que a continuació es plantegen es poden fer servir per a explicar alguns conceptes matemàtics i les seves aplicacions en l’àmbit de la Música de manera puntual. L’ordre de les activitats està plantejat d’acord amb l’ordre del temari plantejat. Activitat 1: Construcció d’un monocordi i estudi de la relació entre les longituts de la corda i el so que emeten en vibrar. Introducció del concepte d’interval. Activitat 2: Anàlisi del mètode geomètric definit per Pitàgores per a obtenir els intervals d’un instrument. Activitat 3: En la recerca dels 12 sons de l’escala pitagòrica. Relació entre les seves longituds i les seves freqüències. Activitat 4: La quinta del lobo. Proposta de solucions per al tancament del cercle de quintes pitagòric. Activitat 5: Consonància vs dissonància. Experimentació amb diferents acords i anàlisi de l’arbre de Kepler. Activitat 6: Elaboració de ritmes amb instruments de percussió, i transcripció al pentagrama, comprovant la correcta estructuració dels compassos. Activitat 7: Del pentagrama a la funció, i de la funció al pentagrama. Altres visions de la notació musical. Activitat 8: Audició d’algun preludi o fuga de Bach, reconeixent les veus que hi apareixen i els recursos geomètrics que es fan servir. Activitat 9: Audició i anàlisi d’un fragment de la Quina Simfonia de Beethoven, per tal d’identificar la presència dels nombre de la sèrie de Fibonacci. Activitat 10: Elaboració de valsos a partir de la tirada de dos daus. Estudi dels resultats obtinguts i les seves probabilitats. 32 6. Conclusions “La especialización, aunque no deja de ser un rasgo necesario de nuestra civilización, debe complementarse con la integración a través del pensamiento interdisciplinario. Uno de los obstáculos que siguen oponiéndose a dicha integración es la línea divisoria entre los que se sienten cómodos con las matemáticas y los que no”. Murray Gell-Mann (1929-), premi Nobel de Física 1969 Malgrat la meva poca experiència en l’àmbit de la docència, si una cosa tinc clara d’aquesta professió és el seu caràcter canviant i la necessitat d’innovació que requereix per part dels docent. Els estudiants estan en general poc motivats i els professors segueixen sovint fent servir les mateixes eines i recursos tradicionals, més propis d’un sistema conductivista que ha resultat poc efectiu. El procés d’ensenyament-aprenentatge segueix fent-se d’una manera absolutament fragmentada i l’alumnat aprèn sense establir vincles que li poden ser molt útils per a tenir una visió més global de la realitat que ens envolta i, per tant, segueix sense adonar-se de la importància que tenen certs conceptes, en aquest cas matemàtics, en el nostre món quotidià. Tal com he pogut comprovar fent aquest treball de recerca, hi ha una gran quantitat de relacions entre les Matemàtiques i la Música, moltes més de les que aquí he presentat, per què no fer-ne ressó? No ens hem de limitar a transmetre simplement els conceptes matemàtics tal i com apareixen als llibres de text, sinó que cal donar-los-hi una visió pràctica i una aplicació real. La idea que es planteja en aquesta proposta didàctica es centra en demostrar les relacions que existeixen entre dues disciplines aparentment distants, però molt realcionades en la seva essència. La Música pot esdevenir per a les Matemàtiques, una eina molt potent per a motivar l’alumnat tot millorant-ne la seva capacitat de concentració. La didàctica de les Matemàtiques, a través de la Música, pot servir per a passar de l’abstracció a la concreció, i de la raó pura al sentiment. 33 7. Bibliografia LLIBRES WRIGHT, David Mathemathics and Music AMS American Mathematical Society Mathematical World Volume 28 United States 2009 HARKLEROAD, Leon The Math behind the music The Matematical Association of America United States 2009 Gerard ASSAYAG, Hans Georg FEICHTINGER i José Francisco RODRIGUES Mathematics and Music. A Diderot Mathematical Forum Springer Germany, 2002 ODIFREDDI, Piergiorgio Pluma, pincel y batuta. Las tres envidias del matemático Alianza Editorial Madrid, 2007 John FAUVEL, Raymond FLOOD I Robin WILSON Music and Mathematics. From Pythagoras to Fractals Oxford United States, 2003 ZAMACOIS, Joaquin Temas de estética y de historia de la música SpanPress Universitaria Espanya, 1997 ARTICLES LIERN CARRIÓN, Vicente La música y el número siete. Historia de una relación controvertida.. SUMA+ 58 PASTOR MARTÍN, Ángel Matemáticas en la música Ángel Pastor Martín SUMA+ 59 LIERN CARRIÓN, Vicente Las fracciones de la música SUMA+ 59 LIERN CARRIÓN, Vicente Las matemáticas de Johan Sebastian Bach SUMA+ 61 LIERN CARRIÓN, Vicente Música y matemáticas en educación primaria SUMA+ 66 34 LIERN CARRIÓN, Vicente i QUERALT LLOPIS, Tomàs La armonía de los números Con motivo del Día Escolar de las Matemáticas MARTÍN GARCÍA, Víctor Relaciones entre la Música y las Matemáticas MEAVILLA SEGUÍ, Vicente Las matemáticas del arte Inspiración ma(r)temática TUBURCIO, SUSANA Música y matemáticas http://www.elementos.buap.mx/num44/htm/21.htm TREBALLS DE RECERCA HERNÁNDEZ SÁNCHEZ, Irene Música i Matemàtiques IES de Terrassa SELGA RUIZ, Anna La matemàtica en la música IES Serra de Marina WEBGRAFIA WIKIPÈDIA: Pitágoras de Samos http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras 20 de març de 2011 WIKIPÈDIA: Monocordio http://es.wikipedia.org/wiki/Monocordio 20 de març de 2011 WIKIPÈDIA: Ludwin van Beethoven http://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_van_Beethoven 2 de maig de 2011 WIKIPÈDIA: Wolfgang Amadeus Mozart http://es.wikipedia.org/wiki/Mozart 2 de maig de 2011 WIKIPÈDIA: Iannis Xenakis http://es.wikipedia.org/wiki/Iannis_Xenakis 30 de maig de 2011 WIKIPÈDIA: Johann Sebastian Bach http://es.wikipedia.org/wiki/Bach 20 de març de 2011 35 La música y las matemáticas http://www.musicaperuana.com/espanol/mm.htm 13 d’abril de 2011 Blog personal: Enchufa 2 http://www.enchufa2.es/archives/musica-y-matematicas-la-afinacion-pitagorica-el-origen-de-laescala-cromatica.html 13 d’abril de 2011 Departamento de probabilidad y estadística, México http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/ 3 de juny de 2011 Larry J. Solomon http://solomonsmusic.net/ 3 de juny de 2011