Simulación de sistemas de comunicación con computadores digitales

RECCION GENERAL DE CORREOS TE L ECOMUNICACION ED I TA DA · =- CONSEJ O TECNICO == -::_ E COMUNI CAC I ON ••• PA LACIO DE I CACIONES • • • E RED ACC I ON Y GERENCIA 3 Com isión P e m anen e D obao La ín. • • XXV I O : YC I EM BRE 1970 • REVISTA DE TELECOMUMCACION INDICE Páginas CINCUENTENARIO DE LA CREACION DEL TITU- .('.: LO DE INGENIERO DE TELECOMUNICACION . 3 ( AN TE NA CASSEGRAIN, po Manuel L. Go del1o y F lo encio Guixá A de ín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 SIMULACION DE SISTEMAS DE COMUNICACION CON COM PUT A DORE 5 DIGIT A LES, po José A n onio Delgado Penín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 E XP LOTACION BIDIRECCION AL DE CIRCUITOS~ p o Jesú s López Pousad a. ...... . ...... . ............ . PASADO, PRESENTE Y FUTURO DE LOS DISPO- SITI VOS ELECTRONICOS, po An onio Luque Ló pez . .. ...... ... .......... . .. .......... .. . .... .... ... .. . NOTAS BIBLIOGRAFICAS ........ ....... .. : . ... -.. -.: .. . 41 5'5 INF ORMACION PROFESIONAL E INDUSTRIAL - 59 Sl J MA RIO DE REV ISTAS ......... . .... .. .. ..... ... " ... 77 AÑO XXVI • NUMERO 101 • DICIEMBRE 1970 SIMULACION DE SISTEMAS DE COMUNICACION CON COMPUTADORES DIGITALES Po JOSE ANTONIO DELGADO PENIN Ingenie o de T e!ecomunicación. Ayudan e en la Cá ed a de "Communicazioni Elec iche" (Teo ía de la Comunicación) Poli écnico de Tu ín. Desc ibimos ex en s:ame n e lo ·s "modelos " digi ales de los sis e- mas lineales, po se el núcleo de la simulación e¡n cualquie p o- blema de diseño de se al, ü os y ·"mod ems ". Se dan las i de as guía pa a pode simula un sis ema que ome en conside: ación sólo el ui do é mico como pe u bación en el e. anal de ansmisi ón ( pue - de se el caso de un enlace í a sa éli e ). Cilamos un ejemplo de un sis ema de M. F. y su P' og ama pa a el c aso · de señal modula o a alea o ia. Po úl imo, inse amos una bibliog a ía pa a el lec o in- e: esado so b e es e ema (*). L INTRODUCCIÓN. La simulación digi al consis e en el es udi o de un sis ema median e el examen de allado de su e- pi e:,en: ación ma emá ica usando un compu ado que a e ca ac e es de ipo al anumé ic o. La simu- lación no excluye la labo del homb e-p oyec is a. La máquina no pod á ha ce nada sin el "p og a· ma", y és e po sí mi s mo no pued e de e mina una co n igu ación óp ima de un p oyec o que se desee e aliz a ; es, po an o, ob io señala que se á e' homb e quien plan ee, analice o sin e ice, y esuel a el p oblema. Las écnicas de simulación digi al son hoy un· 1 he amien a que acili a al ingenie o la posibilidad de dise ña nue os sis emas y que incluso ha co- menzado a hace se popula (2• 5 Y º). En es e a í culo se p e ende da una isión ge- ne al de los p oblemas que se plan ean en la "expe· imen ación" de de e m in ados sis em as elec ónicos (sis emas de comunicación), así co mo seña la a l- g una,s c a ac e ís icas de las "he amien as ma emá- icas" necesa ias pa a ll ega a so luci one·s ísica- men e ealizables. Pa a ha ce la "ex pe iencia". nn hay necesidad de cons u i el sis ema, lo que pe - mi e una g an edu cción de los cos es y un :1ho o (*) Es e a ículo es p a e de un 1·abajo ll e ado a cabo con las sub enciones de una beca E. S. R. O. (Emopean Space Resea ch O gani sa ion) y del Es ado español en el Is i u o di Ele onica e Tel ecomu ni cazioni del Poli écnico de Tu í n ( I ali a) en los cu sos 1968-69 y 1969-70. 21 de iempo conside able en la ealización de u :1 p o yec o conc e o. En la ac ualidad, cualquie sis ema de comuni- cación (a ni el concep ual) se p oyec a siguiendo las p emisas bá sicas de la eo ía es adís ica de la comunicación, es ablecidas po C. E. Shannon en 1948 (1 ), donde oda comunicación en e una uen e de in o mación y el des ina a io a qui en a di igida és a se ep esen a esquemá icamen e como indica la igu a l. La simulación en el caso que noso os a a emos aquí consis e en la cons ucción de un modelo del sis ema que se desea es udia , ap o pa a se ela- bo ado po un co mpu ado elec ónico, y en ana- li za el compo amien o de es e modelo (sis ema simpli icado). Hablamos de sis ema simpli icado po que es imposible analiza y de e mina !.as u- u as ca: ac e ís icas de cualquie sisie ma si ;-;,~ se ha ce n de e minadas hipó esis de simpli icación. Si se p e ende hace el es udio eó ico de un sis ema, conside ando solamen e un pa áme o a iable cada ez, ya sea la dis o sión o los e ec os de uido , las di icul ades son supe ables. La acción conj.un a de ambos so b e las posibles ca ac e í s icas del sis- ema ha án en onces la esolución ediosa y mu y di ícil como cons ec uencia de la apa i ción de a ü· o maciones no-lineales de las señales p esen es, En es e a ículo se cons ide an solamen e pe u - baciones debidas al uid o de o igen é mico, que podemos conside a adi i o, blanco y gaussiano. Es, po an o, ob io deci que nos e e imos a sis ema5 que usan como medio de ansmisión la adiación Fuen e Canal d~ ~ T ansm/s17; de - -l>- l)es ina!a /o - lnlo mac/ /n c ,smisi /n Recej)Ío {Md {s¡ ( ) ~ { .:q ( )} [Ad mensajes Señales señales - ·. '; -mensaJes --- >e bacio- í!e>S. { n¡ ( ) j FIGURA l. elec omagné ica. Nada nos impide conside a o .1 ipo de canal de ansmisión, como puede se el de las líneas de ansmisión ísicas ( 10 l. El uido p e- dominan e no se ía el é mii::o, E,ino el debido a los impulsos de uido. Po o a pa e, la pe u - bación _¡:; ec.omin . .m c no· se ía el uido é mico, ni el de impulso. La simulación digi al se ealiza con las o mas de onda. De es a mane a se ienen en cuen a la mayo ía de los enómenos que a ec an a las ca ac- e ís icas de uncionamien o del sis ema. 2. TIPOS DE SHIULACIÓN. Las écnicas de simulación que hacen uso de p o- cedimien os i e a i os pueden se de es clases: analógicas, digi ales e híb idas (analógico-d!gi ales). En el p ime ipo de simulación se ans o ma na magni ud dada, en o a que posee u ia o mu - lación ma emá ica "análo ga". No malmen e son magni udes qu e cambian co-n inuamen e en elación a una a iable independien e. Es e ipo de simula- ción iene la des en aja de exigi con inuos cam- bios en el conjun o de ci cui os ex e nos que posee el ca:culaclo analógico. La simulación combinacla analógieo-digi al (hí- b ida), es la más pe eccionada ac ualmen e . Es e ipo de simulación, que hace uso de las mejo es ca ac e ís icas que poseen an o las compu ado as digi ales cuan o las - analógicas, es solamen e usado en p oblemas de simulación muy complicados, y abajando en iempo eal (cuando la elación ·" iempo necesa io de la máquina pa a ealiza d cálculo/ iempo ne cesa io pa a esol e un p oble- ma " es igual a uno (IG), se dice que se es á haciendo la simulación en iempo eal) . Los calculado es híb idos son muy con enien es pa a la esolución de cálculos es a<lís icos muy complicaclos. En es os cas os es necesa io usa écnicas más e inadas, como las conocidas bajo el nomb e de écnicas de l on- eca lo . Es el caso ele cualquie sis ema no -lineal o de señales que se pueden asocia a p ocesos "es o- cás icos" no-es acio a ios. En /'.?) se puede e bibliog a ía ace ca de es e ipo de simulación, ac- ible p incipalm en e en p oblemas ele ipo ae oes- pacial. En . la. úmulación digi al (que a a emos en el es o del a ículo) , ma.ne jamas sis !;mas disc e os. El compo amien o de és os puede desc ibi se de o ma ma emá ica po "ec uaciones de di e encias" . y son de inidos pa a una sucesión disc e a de a: lo es del iempo. Con es a he amien a ma emá ica so: .os capaces de cons ui un modelo su icien e - men e ap oximado de los " bloques" componen es de odo el sis ema que se quie e p oyec a . En las igu as l y 17 se pueden e los "bloques'" de que se compone cualquie sis ema. Conocidos los "bloques", pasamos al modelo: ep esen ación ma- emá ica (po an o, ideal) de los mismos. El mo- delo indica las ope aciones que 5e deben e ec ua sob e las señales de e n ada al bloque pa a ob e- ne · las señales de salida. La elabo ación de los símbolos y palab as que o man pa e de es as ope- aciones a ealiza con el model-o es la simulación . Con iene ad e i que es más que un cálculo. La simulación se hace con g upos de bloque s, po lo que se á necesa io uni de o ma adecuada los modelos de cada uno de los bloques. A e~es, la o ma de in e ~onexión de unos bloques con o os !pa a ines de simulación) di ie e de la unió: 1 exis en e en el sis ema eal que se es á es udiando. Es o se hace con el único in de ob ene un mejo endimien o en el uso del compu ado , ya sea pa a hace un p og ama má5 sencillo, ya pa a disminui la p obabilidad de que se p oduzcan e o es. La simulación digi al o ece un g an núme o de en ajas en elación a la analogica. Si se conside a la segu idad en el aha_i o a ea1iza con una u o a a medida qu e aumen a la di icul ad del p o- blema, sal a a la is a que es mejo usa un compu- ado digi al. Po o a pa e, es una máquina qu,~ se puede deci que abaja en se ie, mien as la analógica lo hace en pa alelo. De odas man e as , los : esul ados que se ob ienen con un compu ado digi al son_ unción del modelo que se es á simulando y del núme o ele ci as signi- ica i as que el compu ado digi al maneja . Po ejemplo, en uno del ipo IBl 'I 7090, el núme o que una a iable o una cons an e pue<le ep esen a debe es a comp endido e n e -l0- 38 y +10+38 y la p ecisión es del o den de ocho ci as deci- males. · · En la simulación debe exis i un o den de p io- 22 ; idad en los ines a consegui . Una lógica de a - ba jo se ía la que se indica más abajo y que segui- mos en los pá a os que an a con inuación. (De- bemos eco da q_ue p e endemos ob ene una º B· imación de un sis ema, eniendo en cuen a u ) cie o c i e io, que de o ma ge ne al se á aquel · basado en una educción del uido p esen e en d canal de ansmisión). Dicho. o den se á el siguien e: Es udio de los bloques po sepa ado .y de e mi- nación de su modelo. Diseño del modelo de odo el sis ema a simula . Cons ucción del p og ama a in oduci en c1 · compu ado . Realización del p og ama. Análisis de los esul ados. LISTA DE SIMBOLOS 3 ( ) Impulso <le Di ac : .L: ª ; ( ) · d = 1 ,e Igual, po de inición. ( ) ( ) .... A h. 1 H(wJ h ( ) .... " h (1) * ( ) S (nT) S0 (nT) H (z} Función compleja que a ía len amen e ;; n elación a Cupe En ol en e compleja de la unción Pulsación que co esponde al cen o de g a- . edad del espec o pasobanda. T ans o mada de Hilbe , co espondien e a " ( ) . Componen es eal e . imagina ia de ( ) . Función de ans e encia del sis ema lineal de banda limi ada . En ol en e compleja de la espues a al im- pulso , Con olución in eg al de h ( ) y ( ) . Función disc e a en el iempo , co espon- dien e a la salida de un il o lineal di- gi al. Función ap oximada de S(nT). Fundón de ans e encia de un sis ema li- neal cuando se haGe una .:ins o mación con o me, usando la a iable " z" . L Valo p inci-pal de la . in eg al de Cauchy. 23 . 3. BLOQUES Y MODELOS MATEMÁTICOS. Todo sis ema puede se lineal o no-lineal. El es. udio de los sis emas no-lineales con memo ia im- plica una di icul ad ue a de luga en es e a ículo , po lo que p escindi emos de él. Reco damos a í- ulo in o ma i o que si un al sis ema se puede· des- compone en dos "bloques", ales que uno sea lineal y con enga oda la memo ia del sis ema ( * ), y el o o no-lineal, pe o sin memo ia , se pod á en onces simula el p ime bloque median e las écnicas que se explican en es e a ículo, y el sé : gundo, haciendo que el compu ado ealice la ope ación no -lineal que se le puede asocia . Los bloques a conside a end án una sola en- _ ada y una sola salida. En la ~o ía de los sis e- mas lineales se es ablece la posibilidad de es udia un disposi i o con una en ada y una salida, ob- se ando la espues a a una en ada especí ica (po ejemplo, un · del a de Di ac o una unción paso) . Es deci ( igu a 2) : !mpulsl) .. Paso s ( ) SISJ'F,..,A I, ( ) J..INl'Jl. F1cu RA 2. -Sis ema ísicamen e ealizable. donde h( ) se ía la espues a del sis ema lineal al impulso de en ada. Conocida h( ) se ob iene la unción de ans e enc ia del disposi i o. Pa a po- de ealiza la simulación en un compu ado es ob io que se necesi an señales di.;i ales. Es o con- duce a la sus i ución del sis ema analógico (en el que sus pa áme os a ían de o ma con inua ), po o o disc e o que se adap e a las necesidades ~e la "expe iencia" que deseamos ealiz a , pues o que un compu ado es un sis ema disc e o. ......... En los sis emas lineales disc e os la e· n ada es dd ipo /(nT) y la salida se á una unción s inT) , dond e T es el pe íodo de mues eo y /(nT) y s( nT) son unciones del iempo de inidas pa a odos los a: lo es = nT(o < n < oo , T - c e) ( ig. 3). En onces la elación uncional en e en ada y salida end á la o ma de una ecuación de di e- encias como la siguien e ( e Anexo I, Aplicacio- nes) : m k )' , a¡ · S [(n ' -j) T] = ¿, b¡ . [(n -i) Tj j=O Í=O (*) Se dice que un disposi i o iene " memo ia " c uan- do su salida en un de e minado i ns an e depende de lo que ocu e a la en ada en aquel mismo ins an e y . en los p e ios al conside ado. / ( ) o' s( ) ST( ) s(nT) , o (nT) • 1 T 2T 3T ,H 5T T ,JT .ST Caso : "n., en e o. • • • • ---11-----111-----+1 --~l---+-1 ---JI'""> T ZT 3T •T ~T FIGURA 3. La ob ención de mod e los idóneos pa a la simuh - ción implica es e apas que desc ibimos más ade- lan e. 3-a) Con e sión de ondas de ipo analógico en disc e a. ¿ Cómo pa samos del campo analógico · al disc e- o? Realizando un mues eo de la unción del iem- po que ep esen a la onda analógica. Se puede ealiza una mues a cada T se gundos, po ejemplo, y oma la nue a señal que esul :1 de ene en cuen a las mues as ob enidas. Consi- de emos una onda cuya unción ep esen a i a se .i j( ); se de ine la salida del disposi i o que e ec ua- ía el mu es eo como: 00 e ( ) g_ 'C • ¿J (nT) . S ( -nT) n -=c.: Es a exp es ión se deduce en el Anexo I, De i- · n1c1on . El uido, del mismo modo qu e las señales que nos encon amos en la ealidad, iene un ca ác e es adís ico; es deci , se puede conside a un miem- b o de un p oceso "es ocás ico" del que sab emos en las condiciones m{is a o ables su es á'dís ic,a de p i- m e o y segundo o den. Si es e uido no es de ipü adi i o, gaussiano y blanco, en onces necesi amos conoce la es adís ica de o den supe io al segund0. El uido blanco es el más impo an e a e ec os le deg ada ción del. compo amien o del sis ema, seg ún d c i e io que se ha ya e legido pa a e có- mo es dil:110 co mpo amien o : elación "seiíal/ uido " en sisl·cmas. de conH nicación analógica o cl "p obahilidad de e o " en sis emas Je co- n nnicacíón digi al. P ..!!.!JL.P.o de ealiza la siu.uJ.a.ciá :i.......1,g.me.n.J . >-T..u k- do blanco es necesa io que sea de "banda limi- . 1 7.iaa'TJ. - Pa a e llo ha ce mos pasa el uido blanco (espec- o cons an e con elación a odas las ecuencias) a a és de un il o lineal cuya unción de ans - e encia es: H ( W) _ 1 J W 1 < Wo -¡o pa a odos los demás cilu e~ de «w ,, y que sa is ace a la condición : + a) . I H (w) 12• dw < oo -co Si se iene en cuen a uno de los eo emas de mues eo (1) , una ez que el uido es de banda u: mi ada, no exis e ninguna di icul ad pa a elacio- na el il aje y el mues eo. "Po an o, el mues eo de un uido blanco gau.s- siano es equi alen e al il ado que se necesi a pa a da un sz'gni icado ísico al uido blanco ." Pa a s imula es e uido blanco den o del compu- ado echamos mano de los ecu sos que nos o ece és e en su " lib e ía": el "g e ne ado de núme os alea o ios". 3-b) R ep esen ación en baja ecuencia de sis e- mas y se iales: Modelos. Cuando se usa el compu ado p a a la s imub- ción e n a en juego el iempo de uso del mi smo y, po an o, el ac o económico. A medida qu e c ece la ecuencia de las señales en el sis ema a simula , el cálculo se hace más di ícil y el consu- mo de i empo se ip.c emen a. Hemos is o an e io men e que necesi amos ea- liz a el mues eo de las señales pa a pode las ma- neja en el co mpu ado . El e o ema ela i o a es a cues ión· nos dice que la ecuencia mínima a la que. podemos ealiza él mues eo de las se íz.ales es el doble de la ecuencia. más al a que con iene su es pec o ( ó mula de Ny quis ). De lo que se cona cluye que la elocidad de mues eo aumen a con la ecuencia. Teniendo p esen e es a ó mula, es ob- io deci qu e p ocu a emos simula las señales y los sis emas haciendo uso de ec1!encias bajas . No Jebe pasa inad e ido que se habla de bandas de ecuencia con una de e minada anchu a . Los cons uc o es de sis emas de ansmisión- e- cepción _buscan la o ma de pode encaja se eR un (*) Una se ñal es de ba nda limi ada cu an<lo su espec- o <l e ene g ía (o de po encia) comp ende una pa e · del e je de ecuencias al e<le <lo del o igen . es deci , dada una señal " ( )" y su espec o "F (w)" , la c ond ición de banda lim i ada se exp esa así: F (w) > O F (w) = O 1 W < 2 n: o 1 W 1 > 2 n o C OU J / 0 1 > O de e minado espacio <ld espec o que ha dejado de llama se iempo ha de "banda base", pa a pasa c1 · denomina se " pasobanda". El espec o que ocupan los p ocesos de modul.1, ción-de ección y los il os pasohancla son un e - dade o p oblema po bs elociclacle·s de mues eo an ele adas con las que eó icamen e se debe ía a a , con el consiguien e aumen o de p ecio de h simulación y la búsqueda ele un compu ado ade- cuado a nues o p· oblema que pueda :_abaja en iempo eal. La única o ma posible de a aca el p oblema es hace lo conside ando las analogías pasobanda-p . !!so- bajo . · Es e ipo de an~logía ha es ado a ada po p i- me a ez en la li e a u a écnica po Landon ('). Después Che y · (8) aplicó algunas de es as écni- cas al il aje pasobancla asimé ico de ondas mo- duladas en ampli ud_ Pos e io men e, Gabo (19"16; ob u o una ep esen ación en baja ecuencia á- lida pa a odo ipo de sen.al o sis ema de "band:1 es echa" (H) y que se á la que noso os segui- emos aquí , po se oda ía álida . El hecho de adop a es a ep esen ación no quie e deci que no exis an o as (den o de la hipó esis de banda es echa) _ La de Manske (9) apa en emen e es sen- cilla, pe o p esen a la di icul ad en el paso con- inuo-disc e o . Una señal ep esen able po la unción del iem- po /( ) y su espec o con inuo po F(0) es án ela- cionadas po la ans o mada de Fou ie com,.; sigue: . (1) +CX> F (eu) = _!~ ) . e-Jw . d Tomemos aho a una se ial de "banda es echa", /( ). Usando las p opiedades ele la "señal analí ica" an,; e imos su espec o a las p oximidades de " w = o y es ablecemos una nue a unción F(w) de: la siguien e o ma : -wp< eu eu <-eup (2) Aplicamos la ans o mada de Fou ie y ob ene- mos la unción ( ) en el dominio del iempo. Como una señal de banda limi ada se puede e- p esen a po la unción ( ) (lD) con una exp e- sión n~~ emá ica como_ la. s~guien e: en donde o), se ía la pulsa.ció~ del cen o de h " banda, y ( ), una unción cuya a iación con el 25 iempo se ía muy len a con A la pulsación o), ; la unción J( ) las ecuaciones (1), (2). espec o a la de queda de inida po Conside emos una nue a unción del iem- po / + l) (en gene al compleja), a la que se im- pone la condición de ene como espec o la pa e posi i a del espec o de la unción ( ) . Es deci : l "' + ( ) = 2 n: 0 F ((•>) . eiw . dw [ (4) Po una p opiedad de la "señal analí ica" (2 º) se ob iene: !+( )=+[ ( )+j x( ) J (3) A Si ( ) es eal lo se á ambién J( ), y como con- secuencia: ( ) = 2. Re¡ Í+( )¡ (5) Conside ando la ecuación (2) y el eo ema de Pa se al se concluye que la po encia asociada con . " . ( ) coincide con la asociada a /( ). Haciendo una . sus i ución ob ia en la ecuación ( 4) se end á: 1 j"' + ( ) = -'>- F (c.>) . eiw . dw = _;,; o . 1 1"' = 2 n: F (eu + eup).ei(w+wp) . dw= -Wp ejwp ¡+"' " eiwp " -¡-;:;- F (eu) _ eiw . dw = -2 -. (1) -oo eniendo en cuen a la (5): A ( ) = Re [eJw~ ( )] A .A · = a ( ) · cos (eu¡, • ) - ( ) · sen (eup , ) (6) donde JR y Í son, esp_ ec i amen e, las pa es eal e imagina ia de ( ), y las componen es en cua- d a u a de /( ) a la pulsación '"P. La ecuación ( 6) nos pe mi e ob ene la unción ( ) cuando sea conocido el modelo en baja e - A cuencia J( ). Exis en dos o mas de p esen a la ecuación ( 6) : 1/ A A A A ( ) = V ~( ) + ( ) cos [wi + a e g /1 ( )//R ( )] J A ( ) = ! /( ) 1 · cos [wi + 1 J ( )] Es as dos úl imas exp esiones· no son más que la exp esión ma emá ica de una modulación de ampli- ud y de una modulación de ase. : -w . P í ~' - U.>p 1 F(w)j u, : p J ~ (w) 1 FIGüR,i 4 . U> ' W El mismo azonamien ó que se ha hecho pa a las semdes se puede epeii pa a los sis emas. • A De inimos una unción de ans e encia H(w) del sis ema lineal de banda limi ada en los al ededo es · ae (1) = o como: "' · H (w + wp) H (w) ~ { 0 - Wp < ú) La espues a al impulso del sis ema puede esc i- bi se ( 19 ) : h ( ) = 2 · Re j h ( ) • eiwp j donde li( ) se ía la en ol en e compleja de la es- pues a al impulso. La salida s( ) de un sis ema lineal como el que se 10 an e io men e e a: oc, S ( ) I h (0) • ( - O) • dO o :M anipulamos es a úl ima ecuación con las ¡¡ . guien es unciones:. ( ) Re { ( ) eiwp j S ( ) = Re { S ( ) . eiwp ¡ h ( ) = 2 • Re ¡ h ( ) · eiwp j y ob enemos: ("' A A S ( ) ~ ( h (6) · ( - 6) . d6 ~ o (7) (los é minos que comp enden ecuencias al as y que hacen su apa ición al ealiza las ope aciones indicadas no son conside ados). 'La ecuación (7) es undamen al en la obiención del modelo del sis ema en baja ecuencia, po que con i ma que eó icamen e exisk la con olución in eg al en e las en ol en es complejas de la .señal y de la espues a al impulso. No hab á ninguna di icul ad en ob ene la ecuación siguien e: A A A S (w) = },' (eu) • H (w) ; J F (w) 1 U) FIGURA 5. 26 / J S(w) 1:: J F(w). 11 (w) J ¡scwJ / jS(w)j=¡í=(w). ll(w) J FIGURA 6. Una isión más in ui i a se da en las igu- as 4, 5 y 6. Con el obje o de ob ene la salida e ec i a s( ) necesi amos ex ae sepa adamen. e 1as dos compo- A Las ecuaciones (8) nos pueden ep esen a el modelo que indica 1a igu a 12, siemp e que j( ) sea de banda limi ada. nenks SR ( ) :Y S ( ), como hicimos en el caso de 3-c) Modelos digi ales. · las señales: A / " / A A A S ( ) = h ( ) * J ( ) = [hR ( ) * n ( ) - h ( ) * J ( )] + + j [ha. ( ) * Ji ( ) + h ( ) * Jn. ( )] Tomando la pa e eal y la pa e imagina ia de . S( ) se puede esc ibi : SR ( ) = hR ( ) * JR ( ) - h ( ) * ! ( ) (8) s ( l = h& ( ) * Ji. ( l + , ( J * la ( l 27 3-c-l) Sis emas lineales con memo ia (Fl os). En es e apa ado ob end emos algunos modelos ma emá icos de sis emas lineales de ipo analógico que se adap an a una elabo ación po el compu- ado . ¿ Cómo lo ha emos? Haciendo uso de los il os digi ales (1:!). Como siemp e, necesi amos una "he amien a ma emá ica". Aquí es donde e dade amen e comien=a una di- e sidad en la simulación digi al de sis emas. El iempo de manejo de la máquina a ía según se emplee un algo i mo como la "T ans o mada disc ~- a de Fou ie " o la "T ans o mación-z", que es la he amien a has a aho a usada. No se ha hecho has a aho a un análisis compa a i o de los di e sos algo i mos pa a elabo a señales o sis emas po un compu ado digi al. Es un p oblema ahie o a la in es igación, ya que exis en o os algo i mos le in e és. " eH - CLASIF/C,4 ORDENA /N/e"/A LA S/Hl/LÁC/ :JH Anchu a de banda de su espec o. F ecuencia <le mue s eo ( elocidad). b) Rela i os a .la seiíal modulada: Po ado a modulada en ecuencia, po ejemplo: alo de la ecuencia cen al no malizada, des iación en H1.., e cé e a . e) Rela i os a los mo-de nodulado es: - Indice de modulación. d) Rela Í os a los il os de ansmisión y e· cepción (Paso-banda): F ecuencia cen al. Anchu a de banda en pun os le caída de 3 dB. Pa a los sis emas digi ales, análogamen e: a) Rela i os a la secuencia a ansmi i : - Du ación del "bi " de in o mación . ,uE us ,,.,, ~s De inimos así la elocidad de an~- DE EkT/?,4/),4 misión. Núme o de "bi s" ansmi idos. b) Rela i os a la señal modulado a: ,scR/&E E~ EKC.A.8EZAH1EN o -Ciclo de endimien o ("du y cicle"). /.+' EC-,'?,, " ~AS EC ./AC/0.,.VFS Na A/H,ICEN,1 o .,VE A',1S ESCR/TO EN L,IS H~JA, .l>F . ',IL/.l>A LEE LA RVT/,V,4 (x) Y EL..,,/81), '...d 40S OATOS P,lli'A <'Vé . "E PVEOAIY PITF,+'FK C",#C'{VSIO#ES p,,.lRA E FIGURA 15. NO Diag <llnn de lujo de o con e sación l,omu e-máquina. En el caso de los sis emas analógicos, los pa á- me os que necesi amos pa a la simulación y qu'.! poclemos in oduci en el p og ama pueden se los siguien es: a) Rela i os a la in o mación a ansmi i : e) Rela i os al il o de ecepción. F ecuencia cen al. Anchu a de banda en pun os de caída de 3 dB. d) Ci cui os de decisión: Valo que se oma como e e cnci :1 pa a hace una decisión en e dos es- ados poó'ibles en el caso de comuni· caciones bina ias . Man eniendo a iable uno de ellos y iendo qué · ncede con los o os o haciendo el juego que nos ·, Jn enga a nues os in e eses, "expe imen a emos" , l mejo sis ema sin habe lo cons uido. Ejemplo: Conside amos el caso conc e o _ de un sis ema de F. M. El PROGRAMA e s á esc i o en lenguaj~ "Fo an" , que es el no malmen e usado en la~ máquinas IBi l 709 - :l. Es o quie e deci que el iem- po de simulación del sis ema (al ni el más e]emen· al)-0,12 minu os-es mayo que el empleado po una IBM 360 / 44. El sis ema a simula en es e caso lo ep esen· amos como indica la igu a 20. Desc ibimos a con inuación las ca a c e ís icas · del mismo: La in o mación a ansmi i se á un mensaje unción del iempo, con es adís ica de ipo gaussiano . La pe u bación se á un uido adi i o gaus- siano blanco de ban<la limi ada . El il o de ecepción (F. L) end á un polo y se á un ci cui o esonan e . ----- - - -- -----, 1 1 1 1 OFCC!O/// ~ DES 1,;,,1 ,,1m CQD/,'/CADO/? C'AOOR .OE CO!)/,'/C,/ )O/? i.... - - ~ 1-4---- -- DF LA ,VEA'TE -- o l' /Jl>VIAOOR ~ (,4,V,U. DEHOIX/IADOII OF l"V<'#TF DE CAK..IL CA/ .4L. /Nh7,~NAC/" ·" 1 1 1 1 L------------ . _J FIGURA 16. SE#.4. ES INTEl ',"El 'FNTES 1------~{)EHOl)l/LAINRI----- /,4',"(J, ' ,'?,. C'/(J,i/ $F¡YA. AA'A. PC/CA /# PR/V4C/OY EST/HAPA 35 /;' i//:)() ,4.D/ T /VO PEli'TU/i'BÁCIO# . T.'/'O .• c cl/n9" FIGURA 17.-"Modelo" pa a un sis ema analógico (Bloques Í¡¡CÍuid os en el cuad o a azos de la igu a 16). SEH , UES /A/TERl"FREA'TES h'A'ERAPO/? ,'/. Tii'O l>F ~ECE,PC / 17~ C/RC' l/TO DF """ DE $FCVEHC/AJ :>FC'/S/.J/Y J / ''11DD P RTVR AC/P# A,P/TIYO T/.,.(7 "'/'c c;//ag-" FIGURA 18.-"ll!odelo"' pa cial de un sis ema digi al (Bloques comp endidos en el ecuad o de la ig u a 16). P/?OGR.411.4 GENEl?4L /;VSTl? /CC/Cl;VES l ;PI/TINAS C4/?ACTE/i>IS'TIC.4S D EL LEA/6UA.IE EN/'LE.400 - C lA/T/?(7¿ Sl/8-l'l?O- li'AHA DE LA A Tli'AA!SHI T/R - Si/8 - PROCRAM..l DE LA SE#AL - SUB-.PROCRAHA li'EL-47'/VO• A . .OSJ='/L7". 'C'S T i'AN.SM/ /0/V- - REC'E"/>C/~,Y. 5UB·l"li' JC/?AH4 DE ''HODEM" / .HE# AJF a( ) OISC'R/- IV/.N.4LJOR DF FM. F/ TRd DF PO!DETECC/0 éi( ) /o EN. AJF E.J'T//"' .ADO F1G 1RA 20.~',is cma de F . .M. -El disc iminado se á uno con encional (li- neal en la zona de de ección). El il o de posde ección puede se uno de ipo ideal (Wiene ) que minimice el e o cuad á ico médio en e la salida que se ob- iene y el mensaje que se ansmi e. Con odas es as condiciones ob enemos unos lí- mi es eó icos pa a el caso conc e o que desea nos. l.EE EL POLO DEl. ¡:/LT/i'O P.B. EL/CE EL T/PO OE l .TRO (i) /E Sé- bESEA l E¿/C& LA ANC# /, >,4 OF BA#.OA CA¿c¿,1¿4 EL p 7¿ O Y FL i'ES/b /0 DE L.4 H(s) ORHA LA ECV4C/O,- / C>E .· D/FE RE/YCl4S ~ ' MFTE ¿4s MUFS-T, 'AS o~- -A-'Tlí'ADA F.ñ' LAS ,FCL/AC/O#ES" OE 0/ FRENC/A .S y C.4.L C' /L .4 LA SE, >/E [Jé,- S'ALIL>A. <• 1 FIGURA 21. Diag ama de lujo de la simulucÍÓ z del il o. Va iando las hipó esis de abajo, podemos e cuál es la nue a unción: (S/N) sali la = / (S /N) n . ada Los diag amas de lujo y de los ci cui os del compu ado pa a la simulación del il o son los indicados en las igu as 21 y 22. El PROGRAMA que esc ibimos lo comp obó Cas ellani en (13) pa a los alo es siguien es: In::licedemodulación (3 = 10 25 50 Anchu a <le b.nc.a del il o. . ... . . .. wl' 1 =150 3.50 500 ad/seg. Pe iodo de mues eo.)2 ,i x 10 __ 3¡ 9 X J0--4 G, 2S X 10--4 seg. (La a ianza, en es e caso, es in e samen e p opo cional . a la elación S/N de salida del demodulado ) e DDIENSTON VAR (500) JOO FOR:IIAT (4E 15.) 101 FOmL .T (iP2E25. 611111) 102 FOR11A'l' (il5 ,11'3E25.6I) C READ DATA e READ 100, VH , DT, BETA , SNR , :NRUNS, ITER e PRINT 101, BETA, SNR C PRELE lINARY CALCULATIONS e e TWOPI = 6.2831853 MCHECK = O CNOR:M = ITER SCL = SQRTF (l./(DT*SNR)) AA = SQRTF (2. *DT) ce= EXPF (-DT) DD = BETA*DT PIER = WH*DT PP = EXPF (-PIER) AB = BETA*SQRTF (SNR) CK = SQRTF (0.5* (AB-0 .5) DK = SQRT:F (0 .' 5* (AB+0 .5) CCKK = CK*DT DDKK = DK*DT FF = (AA** :2) / (AB+l.+2.*DK) GG = EXP.F (-DDKK) DDl = (DT*FF*GG*SlNF(CCKK))/CK DD2 2.*GG*CDSF(CCKK) DD3 = -GG**2 C SI1 1ULATION e 10 DO 11 :N' = l,NRUNS DO 12 M = l,lTER 36 -; CO#VER· A'F,ISTR() T/ :>o..- 1 1 - -- 1 DE ' .4/D ' Al-.ói s ' L)A ' -' F#T,,P.,/ ( ) C/h'C///TOS: S(l '?,4 REST,4 DE h'- h/ s ---- li'E6/ST PO >E 11-bds /Hl" !LSO de 1 he z: : 1 1 1 1 ' ' ; S4U~A 8/),l,IJ?/A s(n ) FIG!JRA 22. -Cons ucción del il o digi al en a máquina. e CALL GAUSS 3. (U,V, V,T VOPI,: ICHECK) UNOISE = SCL*U VNOISE = SCL*V Al IESS = AA*W + CC* A: IESS TETA = DD*A: IESS+TETA XR = PIER*(COSF(TETA)-i--UNOISE) XI = PIER*(SINF(TETA) + VNOISE ) OUTRE = XR+PP*OUTRE OUTDI = XI..!...PP''OUTIYI BIG = OUTRE**2+0UTBI**2 C DF.: ODULATION e e DSD = (OUTDI*OUTREl - OUTRE*OUTDl 1)/(DD*BIG) OUTREl = OUTRE OUTli ll = OUTIM EST1 = EST DS01 = DSO C · V ARIANCES e 12 VAR(N) = VAR(X)+(EST-A: IESS)**2 VAR(N) = VAR(N)/C.NDRM Silll = SillI+VAR(N) AN = N CUM = SIDI/AN OSNR = 1./C ül 11 PRET 102,)LVAR(X),CC: I,OSNR El'l"D (I,l,0,0,0,0, l, l,O,l,0,0,0,0, J) 6. ERRORES . 6-1. E o es de simulación: Son los más impo an es de odos los que se pue- den encon a cuando se abaja con los compu - ado es. Si el es udio-p oyec o ele un sis ema no es óp imo, es o es debido a las limi aciones de la "he amien a". Cuando se habla de modelos, p e - endemos que exis a la mayo semejanza posible 8: la si uación ísica que se desea eemplaza . En una simulación con modelos homomó icos comü lo,; que hemos desc i o, es impo an e la de enn ina- ción del g ado de homomo ismo que se p .eck ob- ene pa a consegui los esul ados que se desea ,. Las limi aciones que in oducen e o en la simu - lación son las siguien es: a) b) Las con e siones analógico-digi al y digi al- analógico. Aquí ealiza nos un mues eo. Es ob io deci que el e o depende de la e- locidad de mues eo: cuan o más al a s ":-. la elocidad, más pequeño es es e e o . N 0 obs an e, se debe llega a un comp omiso, ya que un aumen o de la elocidad se a- duce en más iempo de compu aclo . Las debidas a los il os digi ales. Los il os se cons uyen m~nejando 'los c i cui os del compu ado a a és de nues o " p og ama". Po an o, los e o es se p oducen a causa de las limi aciones del compu ado . Son de dos ipos: el de uncamien o y el de e- dondeo. --:- ~ -.~,-~~'.-. -~- ~ ·- , .:: ·- -,c; .,_ 0 .=,·.-:-..., , ., , ..; - ,c. ,· · ..;-: .·· -= - ~-,-~ -- --,.- . .. ·'-- _ _____ . __ .• _ . . . . El __ p~igie_ o nace como consecuencia de - ·· Cuando e isamos el · p o 0 ama · que ñem·os es ;· ·· -~ .· ,as- m eg acinnes a_u"e· ealiza la máquina _ c i o, encon amos e o es de di e sos ipos. Pu, ~- usando cualquie mé odo de esolución de den se debidos a la esc i u a de la "g amá ica., las ecuaciones · de di e em:ias. Con el m~- u "o og a ía" de las a je as pe o adas ; a un odo de Tus in es e e o es mínimo po las mal uso de las a je as de con ol; a una p og a- ca ac e ís icas inhe en es al mé odo . pe n mación de icien e, o a e o es de simulación. iene o des en aja de que¡ iende a acu:nu- 37 ~ . ~ ¡ :,. :' la se con el iempo. Se puede con olá ha- ciendo el in e alo de iempo su icien cincn- e pequeño, pe o su ge la di icul ad del apa - ado a) y un nue o ipo de e o : el oe edondeo. El e o de edondeo es debido a que d compu ado sólo puede abaja con un nú- me o limi ado de ci as. La "memo ia" nos ija el alo de es as ci as. En la p ác ica~ es e e o se educe haciendo odos los cálculos en "doble p ecisión", es deci , o- nando una palab a de la memo ia del com- pu ado con una longi ud de "bi s" doble de la que no malmen e se emplea. e) La con e sión de las mues as en el lenguaje digi al del compu ado . De nue o su gen p oblemas de "cuan ización" de las o mas de onda analógicas. Es e e o es de meno impo ancia que los an e io es. Todos es os e o es se án unción de cómo h3- yamos hecho la p og amación. El ingenie o end á_ que juga con la conside ación económica y de iempo. De odas mane as, siemp e se á más en: able que cons ui el sis ema y luego hace le mo- di icaciones de o ma. empí ica y alea o ia. ANEXO 1 TRANSFOm!ACIÓN-Z Los sis emas analógicos (con inuos en la unción que ep esen a sus ca ac e ís icas) se pueclen ana- iiza en el campo complejo s con la ans o mació;i de Laplace, donde s = (J + je,) Los sis emas disc e os lineales se a an con una he amien a ma emá ica que lle a el nomb e de « an.~ oTmación en i>l plano Z>>, donde z es un cí culo de adio l (siemp e en el plano complejo) y que iene como exp esión: Z = ejwT Es e ipo de ans o mación es álido_ pa a la esolución de "ecuaciones de di e encias" con coe· icien es cons an es, que son las que ca ac e izan los sis emas lineales disc e os. De inición. Recibe el nomb e de ans o mada-z de la un- ción ( ) la exp esión: 00 F (z) ~ L, (nT) . z-n D=O De 1a misma o ma que exis e en o o ipo de ans o madas, la in e sa, se puede <le ini aquí la " ans o mada in e sa z": (nT) .6 9 ~ . ( X (z) . z0-1 • dz - - ,. J )p Ambas de inen comple amen e la ans o mación-: de una secuencia disc e a. Veamos aho a una p u >- ba de cómo se pod ían gene a es as dos exp e- s10nes. Conside emos una unción del iempo J( ) de- inida pa a odos los alo es = nT, donde: O < n < oo (en e e,) T = e.le Es a unción puede se con inua o bien una su- cesión de inida sólo pa a los pun os = nT. Reco dando una p opiedad de las unciones del a de Di ac: n=+co i>T ( } = L, o ( -nT) Il=-OCJ donde 13 ( ) es la unción de p ime o den ("1 ), se puede o ma el p oduc o: ( ) • ST ( ) cuya ep esen ación mecánica más sencilla se ía: (En ada) - -( -)------~------Í-c -( -) (salido) En onces J. ( ) = ( ) ·, Sx ( ) donde e ( ) es aho a una unción ob enida po mues eo de ( ), y o mada po una sucesión de impulsos en los ins an es = nT, y eniendo un á ea de alo /(nT) n=+oo J. ( ) = ( ) · ST ( ) = ( ) L, /; ( -nT) = ll=-CO n=+oo L, (nT) S ( -nT) D=-CO Si se aplica la ans o mada de Laplace a es a unción y se iene en cuen a que pa a n < o debe· se J(nT) = O se llega al esul ado: F0 (s) = 1"' }; (nT) • /; ( - nT) · e-sT . d = 00 ¿. (nT) · e--1!T Il=O exp es1on que es unción de la a iable compleja s. Haciendo un cambio de a iable de o1ido po eST .6 z esul a una unción de la a iable z, que e;la ; ans o mada z de la unción J( ) . El lec o in e esado en los p oblemas de con e - gencia de es e ipo de ans o macla puede e la e e encia (4 ). · 38 P opiedades. b) a) Es un ope ado lineal. Z [/ 1 (1) + /2 ( )] = Z [! 1 (nT)] + Z [/ 2 (n T)J Z [a · ( )] = a · Z [! ( )] k Z[ ( + kT)] = z• Z[ ( )]- L, zl · [(k-j)T] j =l (El lec o in e esado en o as p opiedades y en la demos ación de es as úl imas puede consul a _ la bibliog a ía e e en e al ema.) Aplicaciones. a) Solución de ecuaciones de di e encias co:i coe icien es cons an es. Reco demos p e iamen e algunas no as de cálcu- lo numé ico 6 [ (nT)] = [(n + 1) T] - (nT) E [ (nT)] = [(n + 1) T] donde ,. es el ope ado di e encia y E es el ope a- do aslación. Podemos esc ibi en onces: D. [ (nT)] = E [ (nT) - (nT)] = (E -1) · (nT) D.2 [ (nT)] = (E2 - 2E + l) (nT) = (E -1)2 · (nT) aplicando el ope ado ., m eces, esul a una ex- p esión ope a i a 6m = (E -l)m Cualquie ecuación lineal de o den m puede es - c ibi se: n ¿ d1 · 61 . (mT) = G (mT) J=o . donde G(mT) es una unción conocida. Es a úl ima ecuación se pu~de esc ibi de o as dos mane as: (J n Li c1 • El [ (mT)] j=O G (mT) n k Li a1 - [(m - j) T] = Li b; · g [(m-i)T] Í=O i=O Toman·do la ans o mación in e sa y después de unos b e es pasos ma emá icos ob engo: /(mT) . ANEXO 2 GENERADOR DE N ülEROS ALEATORIOS. Se habla siemp e de núme os alea o ios, pe o · =S necesa io deci que sólo exis en núme os seudo- alea o ios, es deci , el pun o de pa ida es siem- p e de e minís ico. De aquí el nomb e de "seudo- alea o ios", al que no se e ie e casi nunca a li e- a u a. En la ¡ e encia (:?-~) exis e en el úl imo ca- pí ulo oda una eo ía. sob e es o5 gene ado es. En la e e encia (2 3) se da una explicación de los di- e sos mé odos a ni el in ui i o y más sencilla. Aquí esboza emos cómo se o iginan los núme os seudoalea o ios gaussianos. Como dijimos en el apa ado 3-c-3, odos los compu ado es ienen una u ina de "gene ación de núme os alea o ios" dis ibuidos uni o memen e en el in e alo [O,l). De es a dis ibución de p o- babilidad podemos ob ene dos a iables alea o ias independien es con dis ibución gaussiana no ma- lizada: media ce o y a ianza uni a ia . En 1959, Mu11c e3 ), oh lVO las_ ó mulas que nos gene an dos a iables alea o ias a pa i de una dis ibuida uni o memen e: U=Y-2 · lnx ·cos(2TCz) V = Y - 2 · ln x · sen (2 TC z} donde x y z son las a iables que nos da el compu- ado jugando con 'enien cmen e con los " e¡;is os a sal os" (en 1á li e a u a anglosa jon a, "s hi l e- gis e "), (2 4 ), en una posición de memo ia del compu ado que noso os elegimos. e onclusiones . P e endimos da una 1s1on gene al del diseñ,J de sis emas de comunicación de,-de el pun n ele is a ac ual. Las ideas que nos han guiado al hace es a pu- blicación han sido la de aba i el empi ismo en el diseño de sis emas y la de es imula al lec o - ingenie o en la p o undización de es as nue as éc- nicas que usa el o denado elec ónico. En una p óxima ocasión se desc ibi á el uso de> donde an o CJ como ai se án comhinacione.slinea- nue as "he amien as": es adís icas (es adís ica d~ les de los coe icie!'l es di , los alo es ex emos) y cle e minís icas ( a iables Aplicando la ans o mación-z a ambos miemb os de es ado), pa a pode a a p oblemas de ans:- de la úl ima ecuación y eco dando que pa a < ') misión- ecepción. Se p e ende con ellas mayo a - se debe e i ica que: J( ) = g( ) = O, llegamos a pidez y economía. . n k Po lo que se e ie e al caso de canales en los ~ ,.- ......._ j,'> ""S.:~.:..,...,,,~--B -"'- ='>A=~ - k:L'"'.:". -~~-,:-=z-: .. ;.,,ll..Cz.L_.,.. ,_ ., ,.:,..:.l{,JJe~e..J)-la. !-ea.IL.J.1. nb!i: n!l.Ldebidos a pe u ha cio- j7"o ¡::;"º ·· ·· · ., nes · de ipo mul iplica i o, exis en solamen e solu=- F (:) 39 k ciones a ni el de diseño de señal a ansmi i , pe o ¿ b1 • z- no de odo un sis ema. Ha sido en el año 1~)69 G (.,) . !=o __ _ n ')' a, · z-l ........ J=;,o cuando se ha cons uido un p og ama pa a canales que a ían con el iempo (si u:iciones de " oding·' y dispe si os), pe o cuyo p ecip es de decenas de: millones ele pese as. Es oda ía un campo abie l , a la in es igación. Ag adecimien o. Doy las g acias al doc o ingenie o V. Cas ellan¡ l. C. E. Sl!ANNON: " The malhema ical heo o com· munica ion" , B. S. T. J., 19J8 . 2. G. A. KoRN: "Random-P ocess simula ion and measu- emcn s", Me. G. H. , 1966, pp. 67, 74, 176. 3. IBJ 1 Da a P ocessing Applica ion-Telephone In onna- ion Sys em Re e ence I Vlodel 1966 . 4. GoLD and RADER: "Digi al P ocessing o signals", Me. G. H., 1969, pp .. 28-29. 5. MRI Symposium on compule p ocessing in com· munica ions. P. l. B., N. Y., Ap il 1969 . 6. In e m, ional semina ydigi al p ocessing signals, Poly- hecnic Zu ich, Ma ch 19í0 . 7. V. D. LANnON: " Th e band-pnss-low-pass analogy". P oc . IRE , ol. 21 , Decembe 1936. 8. E. C. 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