Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos
pa a
Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 9,1, 15-34( 1993)
DETERMINACION DE TENSIONES
DE CONTACTO MEDIANTE EL M.E.C.
EN PROBLEMAS MULTICUERPO
CON SIMETRIA AXIAL
J.
ZURITA
M.
DOBLARE
Y
L.
GRACIA
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica,
Cen o Poli écnico Supe io , Uni e sidad de Za agoza,
Ma ía de Luna
3,
50015
Za agoza, España.
RESUMEN
Se p esen a en es e abajo la o mulación e implemen ación de elemen os de con o no,
del p oblema de con ac o mul icue po en e ma e iales elás icos o ó opos en si uaciones de
pequeños desplazamien os y de o maciones con sime ía axial. Se incluye asimismo una b e e
desc ipción del p og ama de o denado que
[513] [514]
incluye elemen os isopa amé icos lineales
y cuad á icos, impone de o ma explíci a las condiciones de con ac o en e
n
sólidss, pe mi e
la conside ación de di e en es coe icien es de ozamien o en dis in as ecuaciones a esol e en
cada uno de los pasos del p oceso inc emen al de ca ga median e la u ilización de la écnica de
subes uc u ación y condensación de las supe icies de in e és en p ocssos de punzonamien o y
ajus es con ap ie e.
SUMMARY
The Bounda y Elemen o mula ion and he compu e implemen a ion o he mul ibody
con ac p oblem be ween o ho opic elas ic ma e ials unde small displacemen s and s ains
and axial symme y a e p esen ed in his pape . A b ie desc ip ion o he compu e p og am
is also conside ed. The p og am includes isopa ame ic linea and quad a ic elemen s, imposes
explici ly he con ac in e ace condi ions among
n
di e en bodies, allows he conside a ion
o di e en ic ion coe icien s in di e en con ac zones, e en be ween wo solids and ge s
he minimiza ion o he numbe o equa ions o sol e in each load inc emen by using a
subs uc u ing echnique and he s a ic condensa ion o he deg ees o eedom ou side o he
en a i e con ac zone. Se e a1 in e es ing examples in punching p ocesses and p es essed
join s a e inally p esen ed.
Recibido: Julio 1991
QUni e si a Poii ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315
16
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L.
GRACIA
INTRODUCCION
En la mayo ía de las aplicaciones, las ensiones de con ac o son muy localizadas
y no in luyen en el compo amien o gene al de la pieza. Sin emba go, en muchos
casos, las ensiones de con ac o son de e minan es, pasando a se las que condicionan el
p oblema. Tal es el caso de elemen os de unión, elemen os some idos a punzonamien o,
o en p oblemas de cie e de g ie a.
He z' ue el p ime o que desa olló la o mulación ma emá ica pa a de e mina la
dis ibución de ensiones sob e la zona de con ac o que se p oduce al comp imi dos
cue pos cu os en e sí, u ilizando la unción po encial de New on. Ejemplos ípicos
de con ac o he ziano se p esen an en el con ac o en e es e as y/o cilind os en e sí o
con supe icies planas. Pocos esul ados de in e és se han conseguido desde en onces en
el ámbi o analí ico espec o de las zonas y ensiones de con ac o en e sólidos, incluso
en las si uaciones más simples de ma e iales lineales bajo pequeñas de o maciones y
desplazamien os (Tomasch e
al2,
BelajeP, Goodman e
al4
o Pe sson5 en e o os).
Pa a una e isión en es e sen ido puede consul a se Gladwe116.
Sin emba go, la posibilidad de encon a soluciones ap oximadas a las ecuaciones
di e enciales que de inen el compo amien o de los medios con inuos y los mé odos
numé icos consiguien es han pe mi ido la ob ención de soluciones a muy dis in os
p oblemas den o de es e ámbi o. La u ilización del M.E.F., po ejemplo, ha
pe mi ido la eliminación de muchas de las es icciones encon adas en el plan eamien o
eó ico, an o las e e en es al ma e ial (ma e iales elas oplás icos, anisó opos o
iscoelas oplás icos7) como las e e en es a geome ías (geome ías complejas, g andes
desplazamien os y de o maciones8) o a la ley de icción (leyes no lineales y no localess
en e muchas o as e e encias).
A pesa de es os a ances, la necesidad de u iliza o mulaciones híb idas o mix as
y la complejidad en el plan eamien o de las condiciones de con ac o hace que en una
g an can idad de p oblemas de in e és, en el ámbi o de las pequeñas de o maciones y
desplazamien os, y pa a ma e iales elás icos lineales (si uaciones de cie e de g ie a en
Mecánica de F ac u a Lineal, uniones con ap ie e, cie os p oblemas de punzonamien o,
e c. son algunos de los que pueden ci a se en los que es as limi aciones no son
ele an es), el M.E.F. no sea especialmen e ap opiado como mé odo de solución. En
es as si uaciones la única no linealidad del p oblema se plan ea en la de e minación de
la zona y condiciones de con ac o en e los dis in os sólidos, siendo pues lógico pensa
en la u ilización de un mé odo numé ico cuya base sean p ecisamen e las ensiones y
desplazamien os en los con o nos de los di e en es sólidos del p oblema. El Mé odo de
los Elemen os de Con o no (M.E.C.) se p esen a pues como una he amien a e icaz pa a
la esolución de de e minados p oblemas de na u aleza especial, en e los que apa ece
de una mane a des acada el p oblema de con ac o "lineal".
En es e sen ido, desde las p ime as publicaciones de Ande sson e al'0~11~12 has a
las
más ecien es de Ga ido13 y Ga ido e al", Pa ís e
al'5*16,
Dobla é e a11'9'" se
plan ean dis in os a ances y o mulaciones den o del p oblema de con ac o plano
y
más
ecien emen e en Ga ido e
all9
en p oblemas 3-D.
En es e a ículo se p esen an po el con a io, la aplicación del M.E.C. a p oblemas
de con ac o elás ico en e a ios cue pos con sime ía axial, que plan ea algunas
TENSIONES DE CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
17
a ian es espec o
al
caso bidimensional esencialmen e en cuan o a la di e en e solución
undamen al a u iliza
y
el algo i mo de de e minación de las cons an es singula es
que apa ecen en el p oblema. Finalmen e, se p esen an a ios ejemplos de in e és, que
pe mi en alida los esul ados ob enidos.
FORMULACION DEL M.E.C. EN ELASTICIDAD AXISIMETRICA
El mé odo de los elemen os de con o no (M.E.C.) en Elas icidad lineal consis e
básicamen e en la esolución numé ica del p oblema elás ico plan eado en su e sión de
ep esen aciones in eg ales (SomiglianaZ0, po ejemplo) median e la u ilización de una
écnica de ap oximación de los desplazamien os
y
ensiones en el con o no más un paso
pos e io que pe mi e la ob ención de alo es en pun os in e io ,es si son necesa ios. La
disc e ización del con o no es pues la única necesa ia
y
las ensiones en el mismo pasan
a se a iables undamen ales del p oblema
al
mismo ni el que los desplazamien os
y
con ap oximación p opia e independien e de la de aquellos.
La ecuación de pa ida del M.E.C., en su o mulación di ec a, es la conocida
iden idad de Somigliana que exp esa el ec o de desplazamien os ui(Q) en un pun o
Q
de un dominio
-2
como una unción de las dis ibuciones de desplazamien os u;(P)
y
ensiones i(P) en pun os
P
del con o no 6R de dicho dominio,
y
de dis ibución de
ue zas po unidad de olumen X;(Q1) aplicada sob e R.
*
l
donde Uik(Q, Q') es la solución undamen al de la ecuación de Na ie co espondien e
al desplazamien o en la di ección
i
de un pun o
Q'
del dominio 52, cuando sob e o o
pun o Q de R se aplica una ca ga unidad en la di ección
k,
y T;k(Q, P) la componen e
i
del ec o ensión en un pun o
P
del con o no debido a la misma ca ga.
En el caso axisimé ico, la ecuación (1) puede ob ene se como in eg ación en e
9
E
(O,
27 )
de la solución idimensional co espondien e a ca gas uni o memen e
dis ibuidas a lo la go de 9, con esul an e unidad en las di ecciones
y z.
Es a
solución undamen al puede encon a se en C usezl, po ejemplo,
y
se incluye en el
Apéndice po compli ud.
Bajo de e minadas condiciones (Dobla é2'), la in eg al de dominio de (1) puede
exp esa se como suma de dos in eg ales de con o no, con lo que es posible conoce los
desplazamien os de cualquie pun o del dominio en unción únicamen e de in eg ales
de con o no. En es e abajo no se con empla la exis encia de ue zas po unidad de
olumen, po lo que dicha in eg al no se conside a á desde es e momen o.
Si se disc e iza el con o no median e
Ne
elemen os (Figu a l), de o ma que en el
in e io de los mismos se plan ean ap oximaciones independien es pa a desplazamien os
y
ensiones Co(SR) en la o ma habi ual en elemen os de con o no ( éasez2, po
ejemplo), la ecuación (1) puede esc ibi se en el caso axisimé ico como
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L.
GRACIA
Figu a
l.
Disc e ización del con o no.
Ne Nnj
Ne
Nnj
C;ku;(Q)
=
E
E
B?.
( ;),
.-
E
A%.
(u;),
con
B;,
kj
=
1
qmUjxdORj (3)
6 '3 603
y
cp;
las unciones de ap oximación u ilizadas (lineales o cuad á icas según el ipo de
elemen o en el p og ama aquí incluido),
y
T
la coo denada
"T"
de cada pun o del
dominio de in eg ación.
La ob ención de las in eg ales en (3) se ealiza median e una cuad a u a es anda de
Gauss cuando el pun o de colocación Q no se encuen a si uado en el elemen o sob e el
que se in eg a. En ealidad es necesa ia una cie a so is icación pa a ene en cuen a el
e ec o de c ecien e g adien e de las in eg ales cuando se in eg a sob e elemen os ce canos
al pun o de colocación
.
En es e caso se inc emen a el núme o de pun os de in eg ación
de una o ma adap a i a po el p og ama, es ingiendo el in e alo de in eg ación
a longi udes del o den de la dis ancia del pun o al elemen o como máximaz2. En. el
caso de que el pun o de colocación pe enezca al elemen o de in eg acibn, la segunda,
in eg al de (3) es débilmen e singula (de o den loga í mico), e aluándose median e
una cuad a u a ipo Be old-Zabo ~wski~~, mien as que las cons an es "A" se e alúan
de o ma indi ec a, en unión con las
Cik,
median e la conside ación de es ados de
de o mación pa icula es.
En gene al,
y
pa a elas icidad
2
y
3-D, la conside ación de es ados de de o mación
nula (sólido ígido) son su icien es pa a de e mina las cons an es "A" singula es. En
el caso axisimé ico ello puede ealiza se an sólo pa a la de e minación de cons an es
A~A,
es deci las co espondien es a desplaza nien ós en la di ección del eje de sime ía.
Sin emba go, la si uación de mo imien o como sólido ígido en la di ección
T
no iene
TENSIONES
DE
CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
19
conside ación de si uaciones dis in as
a
las de sólido ígido., En nues o caso se han
implemen ado
y
compa ado las siguien es:
-P esión hid os á ica
-De o mación plana
-Tensión plana
Los esul ados ob enidos con cualquie a de los es campos an e io es son
esencialmen e idén icos, po lo que se ha op ado inalmen e po la inclusión del caso de
de o mación plana, que es el más simple.
FORMULACION DEL PROBLEMA DE CONTACTO ENTRE
SOLIDOS
CON
PEQUENOS
DESPLAZAMIENTOS
El p oblema de con ac o unila e al en e ma e iales elás icos con pequeños
desplazamien os y de o maciones, no es más que un p oblema de elas icidad lineal,
en cuan o a las ecuaciones básicas de equilib io, compa ibilidad y compo amien o,
some ido a unas condiciones de con o no np-lineales, que dependen del ni el de ca ga
y de la geome ía de los sólidos en con ac o.
Es de esal a que una de las di icul ades más impo an es del p oblema de con ac o,
e e en e a la inclusión de las condiciones de con ac o en e los dos sólidos, se plan ea
a la ho a de de e mina qué pun os an a es a ealmen e en con ac o pa a cada e apa
de ca ga, o de o ma más p ecisa cuáles son los pun os de cada sólido en e los que se
han de es ablece las condiciones de con ac o. Es e p oblema es de o den meno en el
caso que nos ocupa de pequeños desplazamien os y de o maciones, ya que en es e caso,
las zonas de con ac o espec i as han de ene geome ías casi idén icas o el p oblema
se ía en ealidad de g andes desplazamien os al ene que al e a sus ancialmen e las
geome ías de las zonas de con ac o desde la con igu ación inicial a las espec i as de
equilib io a lo la go del p oceso de ca ga. Ello pe mi e, po o o lado, conside a la
posibilidad de es ablece
mallas
con o mes en las zonas suscep ibles a con ac a , es
deci , mallas que inco po an de o ma explíci a los nudos de cada sólido en e los que
se a a es ablece el con ac o (Figu a
2).
Con ello, los pa es de posible con ac o quedan

20
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L. GRACIA
Figu a
2.
Plan eamien o gene al del p oblema de con ac o.
es ablecidos "a p io i", siendo pues necesa io an sólo~es ablece en cada e apa de ca gas
las condiciones de con ac o pa a cada pa de nudos de la malla.
Na u almen e, la conside ación de mallas con o mes es inge el campo de
aplicación del p oblema de con ac o. Sin emba go, son escasos los p oblemas de
in e és en los que se p oducen g andes desplazamien os y con ello la necesidad de
conside a mallas no con o mes a lo la go del p oceso de ca ga y al mismo iempo
las de o maciones son pequeñas, siendo aplicable pues la ecuación
(1)
ac ualizada
pa a cada geome ía a lo la go del p oceso de ca ga. La conside ación de g andes
de o maciones y p esumiblemen e compo amien o plás ico del ma e ial implica la
necesidad de inclui in eg ales de olumen en
(1)
que engan en cuen a el e ec o de
de o maciones iniciales, complicándose el p oceso y pe diendo el M.E.C. g an pa e de
las en ajas a él inhe en es. De cualquie o ma, es e mé odo puede aún se compe i i o
en p oblemas de con ac o con plas icidad muy localizada, de o ma que las in eg ales
.
de olumen,
y
con ellas la disc e ización del dominio, se ex ienden
a
zonas educidas
del mismo24.
Es ablecido pues el hecho de u ilización de mallas con o mes y explici ados los
posibles pa es de con ac o a lo la go del p oceso de ca ga, las condiciones de con ac o
pa a cada pa de con ac o se exp esan en la o ma siguien e:
a)
Condición de no pene ación.
De nue o en es e caso y haciendo uso de que
nos encon amos en pequeños desplazamien os puede conside a se la di ección de
chequeo de la pene ación en e cada dos nudos de un pa como la no mal p omedio
de las dos no males a las supe icies espec i as de los dos nudos que componen el
pa . Con ello, la condición de no pene ación se exp esa como que la suma de las
p oyecciones de los desplazamien os de los dos nudos de un pa de con ac o en la
di ección de la no mal p omedio no puede se mayo que la dis ancia inicial en e
ellos medida en esa misma di ección (Figu a
3),
o bien
TENSIONES DE CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
21
u:
+
u;
5
dZB
(7)
b)
Condición de con ac o unila e al con icción.
En es e caso, las ensiones de
comp esión apa ecen an sólo cuando se es ablece el con ac o e ec i o en e los dos
nudos del pa , mien as que la condición de icción se es ablece en base al ipo de
ley de icción ipo ozamien o seco o de Coulomb, de al o ma que la condición
de con ac o con icción se plan ea como
con
p
el coe icien e de ozamien o.
En el p oceso de implemen ación de las condiciones de con o no, y pa a cada nudo
del con o no de cada sólido se conside an las siguien es zonas:
a)
Zona ue a de con ac o (zona
1).
Es aquella que nunca en a á en con ac o.
Las condiciones de con o no es án impues as de o ma explíci a y no se al e an a
lo la go del p oceso de ca ga. Las incógni as son conocidas "a p io i", pudiendo
es ablece se en el ec o de incógni as de o ma explíci a desde el p incipio.
b)
Zona candida a a con ac a (zona
2).
Es la zona que oda ía no ha con ac ado
pe o puede con ac a pa a un ni el de ca ga de e minado. Las condiciones
de con ac o co esponden a una zona del con o no lib e de ensiones y con
desplazamien os incógni a (no se ha conside ado el caso no habi ual de con ac o
en e zonas del con o no ca gadas). Las incógni as pa a cada nudo del pa son los
2
desplazamien os.
c)
Zona en deslizamien o (zona
3).
En ella se cumple que
I 1
=
p.
UN.
Co esponde pues a pa es de con ac o en los que se ha es ablecido és e, la ensión
no mal es pues nega i a, y además se ha llegado a la supe icie de icción,
alcanzándose la condición de Coulomb. Las incógni as básicas son pues la ensión
no mal, el desplazamien o no mal igual pa a ambos nudos y los desplazamien os
angenciales, di e en es pa a cada uno de ellos.
d)
Zona en adhe encia (zona
4).
En ella no se ha alcanzado el cono de icción y
po an o la ensión angencial cumple
171
<
p.
al .
Las incógni as básicas son
los desplazamien os no mal y angencial de los dos nudos, que Son iguales, y las
ensiones no mal y angencial que ambién lo son.
e)
Zona de soldadu a (zona
5).
Con obje o de do a de gene alidad al
p og ama, de al o ma que pueda u iliza se en p oblemas sin con ac o pe o con
sub egionalización, si uación que apa ece po ejemplo en p oblemas de p opagación
de
g ie as, se conside a es a úl ima zona en la que se pe mi e
la
apa ición de
ensiones de acción pe maneciendo unidos los dos nudos que componen el pa de
con ac o. Con ello, las incógni as básicas en el pa se ían los desplazamien os y las
ensiones no mal
y
angencial, que son iguales pa a ambos nudos (excep o signos,
dependiendo del sen ido elegido pa a ambos).
Tal como se indica a con inuación, el algo i mo de con ac o u ilizado es ablece el
con ac o sucesi o en e pa es de con ac o, de al o ma que los nudos de la disc e ización
es ablecen la sepa ación e ec i a en e zonas de con ac o. Ello es consecuencia de
u iliza elemen os con ap oximación con inua en los que las a iables a ap oxima
(desplazamien os y ensiones en el con o no) se es ablecen en unción de los alo es
nodales con nudos en los ex emos del elemen o pa a sal agua da la con inuidad (al
con a io po ejemplo de la ap oximación discon inua de Pa ís e a116 y Ga ido e
al1'). Según ello, a la ho a de es ablece condiciones de con ac o en pa es, pueden
apa ece condiciones di e en es a la izquie da
y
de echa según el sen ido de eco ido del
con o no. Ello implica la posible discon inuidad de ensiones (no de desplazamien os)
en los pun os de sepa ación en e zonas.
Una al e na i a pa a soslaya es e p oblema, al ma gen de la u ilización de
elemen os discon inuos consis e en la conside ación de ensiones p omedio en los pa es
en cues ión, lo que a ec a a la p ecisión de esul ados en las p oximidades de los pun os
de sepa ación en e zonas. En nues o caso, se ha op ado po la conside ación de
incógni as di e en es en ensión a izquie da y de echa, ga an izando pues la p ecisión de
los esul ados en odo pun o a cos a de inc emen a el núme o de ecuaciones e incógni as
a
esol e en cada e apa de ca ga, máxime eniendo en cuen a que al no conoce se "a
p io i" los lími es de cada zona no se conocen los nudos en los que las incógni as
se plan ean en núme o supe io al es o, complicándose sob emane a el algo i mo de
mon aje. Pa a e i a es o se ha conside ado en la zona de con ac o las ensiones
a izquie da y de echa como di e en es pa a odos los nudos, man eniendo in a iable
el ec o de incógni as, modi icándose an sólo las condiciones de compa ibilidad
y
equilib io en cada e apa de ca ga pa a los nudos en la zona de con ac o (12 incógni as
po pa
-
2 ensiones angenciales,
2
no males y 2 desplazamien os po nudo del pa son
las aquí conside adas). Es e inc emen o no es excesi o en p oblemas
2-D
como los aquí
con emplados con zonas de con ac o educida, pe o e iden emen e no es asladable a
p oblemas 3-D o con zonas de con ac o muy g andes. En cualquie caso, el p oceso de
mon aje se educe os ensiblemen e, compensando en pa e el e ec o aludido.
ORGANIZACION
Y
RESOLUCION DEL SISTEMA
DE
ECUACIONES
Dado el ca ác e no lineal del p oblema de con ac o, e independien emen e del
mé odo de solución elegido (inc emen al en gene al o i e a i o en los casos que sea
posible), es necesa io mon a y esol e un sis ema de ecuaciones lineales un núme o
ele ado de eces. En es e caso, y al igual que en [17] se ha op ado po es ablece un
sis ema de ecuaciones en base a las incógni as de los nodos pe enecien es a pa es de
con ac o, pa a lo cual p e iamen e se ealiza un p oceso de condensación es á ica de
las incógni as co espondien es a nudos que se encuen an en odo momen o ajenos al
con ac o
y
que po lo an o no pe enecen a ningún pa .
Pa a cada cue po
S
se ealiza el p oceso de in eg ación de las ecuaciones
de
con o no de la o ma habi ual y se mon an, de o ma. que una ez conseguido el
sis ema de ecuaciones, se p ocede a la di isión del mismo en dos subsis emas
(L)(C)
co espondien es espec i amen e a las incógni as de nudos ajenos al con ac o
y
de
pa es de con ac o (ac uales o p e isibles). Con ello se iene
TENSIONES DE CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
23
El sis ema an e io puede exp esa se como
Es os sis emas de ecuaciones son de dimensión
2~g
x
6N$, ya que como se ha
indicado el núme o de incógni as conside adas po cada nudo de con ac o es 6, y el
núme o de ecuaciones in eg ales de
2.
Po lo an o, las ecuaciones p oceden es de la
in eg ación y condensación es á ica de cada uno de los cue pos del p oblema componen
un sis ema global de dimensiones
con
Nc
el
núme o de cue pos. El es o de las ecuaciones necesa ias en núme o de
se ob ienen de las condiciones de con ac o en e los dis in os cue pos, al como se ha
indicado p e iamen e y se de alla en
[17].
Figu a
3.
Es uc u a del sis ema de ecuaciones
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L. GRACIA
o
100 200 300 400
Ca ga
(Nw)
Figu a
13.
Relación en e la ensión máxima de con ac o en la zona disco-apoyo y la
ca ga aplicada.
Tabla
11.
Ca ga
(Nw)
132.84
148.33
408.03
458.29
696.31
787.93
998.36
1138.25
I
7
cm.
I
-
1
Tensión
máxima (KPa)
(M.E.C.)
42.28
48.62
133.87
154.88
235.44
274.36
347.74
408.2
1
Figu a
14.
Con ac o con ap ie e. Geo-
me ía. Figu a
15.
Con ac o con ap ie e. Dis-
c e ización.

TENSIONES DE CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
31
ca ac e ís icas elás icas
(E
=
2.1 x
lo5
MPa,
u
=
0.3),
mien as que pa a la jun a
elás ica se ha conside ado un módulo de elas icidad diez eces meno con el mismo
coe icien e de Poisson. El coe icien e de icción es
p
=
0.1.
En las Figu as
16
y
17 se han ep esen ado las dis ibuciones de ensiones no males
y
angenciales ob enidas en las zonas jun a-cilind o
y
jun a- apa, espec i amen e pa a
la ca ga o al aplicada (en es e caso un único inc emen o de ca ga ha sido su icien e al
pe manece oda la zona candida a en con ac o
y
man ene se oda ella en adhesión al
como se supuso inicialmen e).
--
0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08
Radio
(m)
Radio
(iii)
(4
(b)
Figu a
16.
Tensiones no males:
1.5
-.
z
0.5
-
.;
C
D
-0.5
9
c
:o
2
2
-1.5
-2.5
0.03 0.04 0.05 0.06 0.08
Radw
(m)
(4
(a) jun a-cilind o;
(b)
jun a- apa.
8
4
,
20
3
a
.-
4
U
-8
S
$j
-12
2
-16
-20
-24
0.03 O. 04 0.05 0.06 0.08
Radio
(m)
(b)
Figu a
17.
Tensiones angenciales: (a) jun a-cilind o;
(b)
jun a- apa.
Es e mismo ejemplo ha sido esuel o con
ANSYSZ6
con
52
elemen os cuad ilá e os
bilineales,
7
elemen os de con ac o (elemen o
12
de
ANSYS)
pa a modeliza el con ac o
en e la pa e supe io de la jun a
y
la in e io de la apa, es ando soldadas la pa e
supe io del cilind o
y
la in e io de la jun a, en o ma análoga a la ealizada en el
modelo de elemen os de con o no. En es e caso
no
se conside a el ozamien o po lo
32
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L.
GRACIA
que sólo es posible compa a la dis ibución de ensiones no males que se ep esen a en
la misma Figu a 16. Se obse a en es e caso una disc epancia impo an e en los nudos
ex emos, que iene dic ada esencialmen e en el caso del esul ado de elemen os ini os
po la u ilización de un elemen o nodal que no es capaz, con la disc e ización u ilizada,
de cap a un g adien e de ensiones an impo an e como el que se p esen a en la zona
ce cana al bo de. Es de esal a que es e esul ado, pa a una malla
an
bas a a ec a
ambién al es o de alo es pa a ga an iza el equilib io o al de ue zas en la zona de
con ac o, bajando lige amen e los alo es de la dis ibución en el es o de nudos.
CONCLUSIONES
Se ha p esen ado la o mulación del p oblema de con ac o mul icue po axisimé ico
con pequeñas de o maciones y desplazamien os median e el M.E.C., y se han mos ado
las posibilidades del mismo, con g andes en ajas en e a o os mé odos de dominio,
especialmen e el M.E.F. especí icamen e pa a es e ipo de p oblemas.
La p ecisión conseguida an o en la de e minación de la zona de con ac o
como en la dis ibución de ensiones es al a, como se deduce de los esul ados
p esen ados, al compa a la con esul ados eó icos y o os ob enidos median e el M.E.F.
o o mulaciones al e na i as del M.E.C., que inco po an elemen os discon inuos.
La mayo p ecisión de los elemen os cuad á icos los hace aconsejables en p oblemas
con g andes g adien es. En cualquie caso se consiguen muy buenas ap oximaciones
incluso con mallas ela i amen e bas as de elemen os lineales, sal o en las zonas
p óximas a pun os con singula idades ales como los que apa ecen en los ex emos de
zonas de con ac o con o me. En es as si uaciones la u ilización de elemen os singula es
(incluso con ó denes de singula idad di e en e al eal) da luga a mejo as sensibles en
los esul ados incluso con mallas muy poco e inadas1'.
En los casos de pequeños desplazamien os aquí conside ados no se han de ec ado
modi icaciones signi ica i as de los esul ados como consecuencia de la elección de la
línea de chequeo del con ac o como la no mal media en e los nudos del pa de con ac o,
en e a o as posibilidades como la di ección de inida po la mínima dis ancia en e los
mismos, mien as que sí es muy impo an e una disc e ización adecuada de acue do a
los g adien es de ca ga espe ados en elación con el amaño de la zona de con ac o.
La ex ensión de o mulaciones de con ac o p e ias en e dos cue pos se ha
gene alizado a p oblemas mul icue po, de al o ma que pueden abo da se p oblemas
de con ac o complejo bidimensionales o axisimé icos en e dis in os cue pos con g an
comodidad y p ecisión, así como es posible esol e p oblemas de subdominios con
p opiedades di e en es sin más que u iliza el esquema gene al con elemen os soldadu a,
si bien en es e caso la e iciencia compu acional no es al a, al asumi
12
incógni as po
pa de con ac o en ez de las
4
eque idas en un p oblema con sub egionalización.
AGRADECIMIENTOS
Es e abajo ha sido inanciado po la Dipu ación Gene al de A agón, a a és del
C.O.N.A.I., den o del P oyec o de In es igación IT-1/90.
TENSIONES DE CONTACTO EN PROBLEMAS MULTICUERPO CON SIMETRIA AXIAL
33
APENDICE
La
solución undamen al de la ecuación de Na ie pa a p oblemas axisimé icos es
siendo
D
=
(R,
-
T,)~
+
Z
2
=
(2,
-
zn)
2
y
donde las unciones
K(m)
y
E(m)
co eponden a las in eg ales elíp icas de p ime a
y
segunda especie2.
I
REFERENCIAS
1.
H. He z, "Miscelaneous Pape s on he Con ac o Elas ic Solids. T ansla ion by Jones,
D.e. McMillan", London, (1986).
2. A. Tomasch y V. Hoe sch, "V. S esses due o he P essu e o; One Elas ic Solid on
Ano he ", Bull. Engng. Expe imen S a ion, No. 212, Uni e si y o Illinois, (1930).
3. N. Belaje , "Compu a ion o Maximal S esses Ob ained om Fo mulas o P essu e in
Bodies in Con ac ", Bull. Eng. Ways Commun, Lening ado (1929).
4.
L.
Goodman y L. Kee , "The Con ac S ess P oblems o an Elas ic Sphe e Inden ing an
Elas ic Ca i y", In .
J.
Solids S uc ., Vol.
1
,
(1965).
5. B. Pe sson, "On he S ess Dis ibu ion o Cylind ical Elas ic Bodi$s in Con ac ", Chalme s
Ins . o Technology, Go henbu g, (1964).
6. G.M.L. Gladwell, "Con ac P oblems in he Classical Theo y o Elas ici y"
,
Sij ho
Noo dho (1980).
7.
T.
Rodic y D.R.J. Owen, "A Plas ici y Theo y o F ic ion and Join Elemen s", P oc.
2nd. In . Con . on Compu a ional Plas ici y, (Ed. D.R.J. Owen, E. Hin on, E. Oña e,
Ba celona (1989).
8.
E. S ein, P. W igge s y
T.
Vu Van, "Models o F ic ion, Fini e Elemen Implemen a ion
and Applica ion o La ge De o ma ion Impac -Con ac P oblem", P oc. 2nd. In . Con .
on Compu a ional Plas ici y, Ed. D.R.J. Owen, E. Hin on, E. Oña e, Ba celona (1989).
34
J.
ZURITA,
M.
DOBLARE
Y
L.
GRACIA
9. J.T. Oden y E.E. Pi es, "Nonlocal and Nonlinea F ic ion Laws and Va ia ional P inciples
o Con ac P oblems in Elas ici y", Jou nal o Applied Mechanics, Vol.
50,
pp. 67-76,
(1983).
10. T. Ande sson, B.G.A. Pe sson y
B.
F ed iksson, "The Bounda y Elemen Me hod Applied
o Two Dimensional Con ac P oblems. New De elopmen in B.E.M."
,
(Ed. C.A. B ebbia),
Jou nal P oc. 2nd. In . Semina , CML Publica ions, Sou hamp on, U.K., (1980).
11.
T. Ande sson, "The Bounda y Elemen Me hod Applied o Two Dimensional Con ac
P oblems wi h F ic ion"
,
P oc. 3 d. In . Con . on B. E. M., Sp inge -Ve lag, I ine,
Cali o nia, (1981).
12. T. Ande sson, "The Second Gene a ion B.E. Con ac P og am"
,
P oc. 4 h. In . Con . on
B.E.M., Sp inge -Ve lag, Sou hamp on, U.K., (1982).
13. J.A. Ga ido, "El p oblema de Con ac o en Elas icidad median e Ecuaciones In eg ales",
Ph.D. Thesis, Uni e sidad de Las Palmas, (1986).
14. J.A. Ga ido, A. Foces y
F.
Pa is, "B.E.M. Applied o Receding Con ac P oblems wi h
F ic ion", Ma hema ical and Compu e s Modelling, Vol. 15, pp. 143-153, (1991).
15.
F.
Pa is y J.A. Ga ido, "An Inc emen al P ocedu e o F ic ion Con ac P oblems wi h
he Bounda y Elemen Me hod", Enginee ing Analysis wi h B.E., Vol.
6,
pp. 202-213,
(1989).
16.
F.
Pa is y J.A. Ga ido, "F ic ion Mul icon ac P oblems wi h B.E.M.", P oc. 10 h. In .
Con . on B.E.M., Sp inge -Ve lag, Sou hamp on, U.K., (1988).
17. M. Dobla é, F. Espiga, L. G acia y
M.
Alcan ud, "De e minación de Tensiones de Con ac o
en e Ma e iales O ó opos median e el M.E.C.", Re . In . Me .
Num.
pa a Cálculo y
Diseño en Ing., Vol.
5,3,
pp. 395-420.
18.
M.
Dobla é,
F.
Espiga, L. G acia y M. Alcan ud, "S udy o C ack P opaga ion in
O ho opic Ma e ials by using he Bounda y Elemen Me hod", Eng. F ac u e Mechanics,
Vol.
37,
no.5, pp. 953-967, (1990).
19. J.A. Ga ido, A. Foces y F. Pa is, "B.E.M. Applica ion o B.E.M. o Sol e Th ee
Dimensional Elas ic Con ac P oblems wi hou F ic ion", In .
J.
Compu e s and S uc .,
(1991).
20. C. Somigliana, "Sopp a 1'Equilib io di un Co po Elas ico Iso opo", Il Nuo o Ciemen o,
pp. 17-19, (1986).
21. S.A. C use, D.W. Snow y R.B. Wilson, "Nume ical Solu ions in Axisymme ic Elas ici y",
In .
J.
Compu e s S uc ., Vol.
7,
pp. 445-451, (1977).
22. M. Dobla é, "Compu a ional Aspec s
o
he B.E.M. in Topics in B.E. Resea ch
111",
(Ed.
C.A.
B ebbia), pp. 51-131, Sp inge Ve lag, (1987).
23. V.I. K ilow y A.A. Pal sen, "Tables o Nume ical In eg a ion o Func ions wi h
Loga i hmic and Powe Singula i ies", ISRAEL P og am o Scien i ic T ansla ions,
Je usalem, (1974).
24. M. Alcan ud, J. Dominguez, L. G acia y M. Dobla é, "Analysis o he Con ac P oblem
be ween Elas oplas ic 2-D Bodies by means o he B.E.M.", P oc. EUROBEM Con e ence,
Niza, (1990).
25. A. Foces, "El P oblema de Con ac o en Elas icidad T idimensional median e Ecuaciones
In eg ales de Con o no", Tesis Doc o al, Uni e sidad de Valladolid, (1991).
26. G.J. De Sal o y R.W. Go man, "ANSYS. Enginee ing Analysis Sys em. Use 's Manual",
(1989).