Aplicacions interactives per la docència de control amb computador: alguns exemples de llaç obert

Aplicacions interactives per la docència de control amb computador: alguns exemples de llaç obert Josep Fàbregas i Cornellà, Ramon Costa Castelló IOC-DT-P-2005-17 Setembre 2005 En el nou marc de l’Espai Europeu d’Educació Superior (EEES) el treball individual de l’estudiant jugarà cada cop un rol més important dins els estudis. Dins aquest context les eines d’autoformació interactives seran de gran important. En aquest treball s’han desenvolupat un conjunt d’eines que poden ésser de gran utilitat per il·lustrar diferents aspectes de la teoria presentada en la assignatura de Control amb Computador de la ETSEIB. Aquestes eines són un conjunt d’aplicacions individuals cadascuna d’elles pensades per un concepte concret. Aquestes aplicacions han estat desenvolupades amb el programa Sysquake. SysQuake és una programa orientat a la simulació i a la visualització de dades científiques. A través de l’ús innovador de gràfics interactius, SysQuake proporciona eines necessàries per a la resolució de problemes matemàtics complexes’. Aquest document conté una descripció funcional de les diferents aplicacions (fitxes) que pot servir con manual d’usuari de cadascuna d’elles. En Josep Fàbregas i Cornellà, estudiant d’Enginyeria Industrial de la ETSEIB, ha comptat amb el suport d’una beca finançada mitjançada un ajut de noves iniciatives del departament d’Enginyeria de Sistemes Automàtica i Informàtica Industrial de la UPC, concedida a en Ramon Costa Castelló (convocatòria 2004). 2 ÍNDEX: Fitxa 1: Teorema de Mostratge pàg. 4 Fitxa2 : Reconstrucció de dades i filtratge de senyals mostrejades pàg. 8 Fitxa3 : Correspondència entre el pla s i el pla z pàg. 12 Fitxa4 : Esquemes de blocs pàg. 18 Fitxa5 : Sistemes en anell tancat pàg. 21 Fitxa6 : Configuració de pols i zeros en el pla z i resposta temporal pàg. 25 Fitxa7 : Diagrama de Nyquist / Diagrama de Bode pàg. 27 Fitxa8 : Transformació bilineal. pàg. 30 3 Fitxa1: Teorema del mostratge (Tema 2) 1) Breu explicació teòrica: Anomenem la freqüència de mostratge s f (Hz) o s ω (rad/s). La freqüència de mostratge està relacionada amb el període de mostratge s T (s) de la següent manera: 1[] 22/[/ s s ss s fHz T ] f Trads ωπ π = == Teorema del mostratge: Si la freqüència més alta continguda en un senyal analògic és ωmàx, la mínima freqüència de mostreig necessària per tal de poder reconstruir el senyal inicial a partir de les seves mostres és ωs > 2*ωmàx . En cas contrari, apareix el fenomen de recobriment espectral (aliasing). El Teorema del mostratge garanteix que totes les components freqüencials del senyal analògic es corresponen amb les components espectrals de temps discret a la banda primària. Exemple descrit en l’aplicació: Essent () sin( ·)yt t ω = un senyal de temps continu, la seva transformada de Fourier generalitzada és: { } 11 (·) () ·( ) ·( )Yj Fyt c c ω δω δ ω − ==+− on els coeficients són 1 1 2· c j = i 1 1 2· c j −=− . La versió mostrejada del senyal presenta una transformada de Fourier generalitzada de la forma: *(·) (· ·· ) n s n Yj Yj nj ω ωω =+∞ =−∞ =+ ∑, on 2· s s T π ω =. Substituint l’expressió de (·)Yj ω , s’obté: *11 (·) ·( · ) ·( · ) n s s n Yj c n c n ω δω ω δ ω ω =+∞ − =−∞ =++−+ ∑ 4 Alguns casos interessants: i. Si es tria una freqüència de mostratge s ω tal que 12 ,nn ∃ que compleixen 1 · 2 · s s nn ω ωω +=−+ ω , l’espectre del senyal mostrejat és idènticament 0. En l’aplicació es pot observar en el cas de 10n = i 21n = . ii. En el cas que 2· s ω ω > (es compleix el Teorema del mostratge), el senyal contingut a la banda primària és 11 ·() ·( )cc δ ωδ − ω + −, i per tant, el senyal reconstruït és el senyal original. iii. En el cas que 2· s ω ω <, el senyal contingut a la banda primària és 11 ·( ) ·( ) s s cc δ ωω δωω −−+ −+, i per tant, és d’una freqüència diferent a la del senyal original. Per aquest motiu, es produeix el recobriment espectral (cal fixar-se que els coeficients canvien i que per tant, es produeix un canvi de fase). 2) Pantalla: 5 Figura Resposta Temporal • Senyal sinusoïdal de temps continu (línia contínua de color negre) de període 2 p T π = [segons]. • Mostres preses de la senyal contínua cada s T [segons], essent s T el període de mostratge (cercles de color vermell). • Senyal reconstruïda a partir de les mostres (línia discontínua de color vermell) quan hi ha solapament (aliasing). Component freqüencial dins la banda primària. Figura Freqüencial • Espectre discret: Components freqüencials de la senyal de temps continu situades a ±2 p p T π ω = [rad/s] (línies contínues verticals de color negre). • Rèpliques de l’espectre introduïdes pel procés del mostratge situades a freqüències múltiples de (· ) s p n ω ω ± [rad/s] (línies contínues verticals de color vermell). • Freqüència de Nyquist situada a ± 2 s ω [rad/s] (línia contínua vertical de color verd). L’àrea compresa entre aquests valors es correspon amb la banda primària (àrea de color groc). • Freqüència de Mostratge situada a ± 2 s s T π ω = [rad/s] (línia contínua vertical de color blau). • Bandes complementàries col·locades a freqüències múltiples de la freqüència de Nyquist *,|| 2 s nn2 ω > (línies discontínues verticals de color magenta). 6 3) Interactivitat: L’estudiant pot interaccionar amb el programa canviant alguns dels paràmetres que defineixen el Teorema del mostratge amb l’opció Manipulate (icona amb forma de dit del submenú que apareix en pantalla). Figura Resposta Temporal ¾ Període de Mostratge ( s T) El programa permet modificar el període de mostratge ( s T) col·locant-se sobre qualsevol de les mostres preses de la senyal sinus. Figura Resposta Freqüencial ¾ Freqüència de Nyquist (± 2 s ω ) El programa permet modificar la freqüència de Nyquist col·locant-se sobre aquesta, podent així ampliar o disminuir la banda primària segons convingui. ¾ Freqüència de Mostratge (± s ω ) (anàleg a la freqüència de Nyquist) 7 Fitxa2:Reconstrucció de dades i filtratge de senyals mostrejades (Tema 2) 1) Breu explicació teòrica: La reconstrucció de dades un cop realitzat el mostratge consisteix en, donada una seqüència de números: , construir un senyal de temps continu (0), ( ), (2· ),..., ( · ),... ss s ffTfT fkT (), 0 f tt≥, a partir de la informació continguda en aquesta seqüència. Aquest procés pot considerar-se com un procés d’extrapolació, ja que el senyal es construeix en base a la informació continguda només en els instants de mostratge passats. Un dels mètodes més utilitzats per generar l’aproximació es basa en el desenvolupament en sèries de potències de la funció () f ten l’interval entre dos instants de temps de mostratge consecutius · s kT i (1)· s kT + : (2) (1) 2 (· ) ( ) ( · ) ( · )·( · ) ·( · ) ... 2! s ksss s fkT ft fkT f kT t kT tkT=+ −+ −+ on () () k f tft= per ·(1)· s s kT t k T≤< + Sistema de Temps discret Reconstructor Sistema de Temps continu Mantenidor d’ordre zero (ZOH) El polinomi utilitzat per efectuar aquesta funció és de grau zero () (· ) ks f tfkT=, doncs manté el valor de (· ) s f kT a l’interval ·(1)· s s kT t k T ≤ <+ , fins que arriba la mostra següent [( 1)· ] s f kT+. La funció de transferència d’aquest mantenidor és 1 exp( · ) () s zoh Ts Gs s − − =. 8 Mantenidor de primer ordre (FOH) Si s’utilitzen els dos primers termes del desenvolupament, (1) (· ) [( 1)· ] () (·) (·)·( ·) (·) ·( ·) ss kssss s fkT f k T s f t f kT f kT t kT f kT t kT T − − =+ −=+ − , a fi d’extrapolar la funció () f t a l’interval ·(1)· s s kT t k T ≤ <+ , el dispositiu és conegut com el mantenidor de primer ordre. En aquest cas, la seva funció de transferència és [] 2 1· () · () s foh zoh Ts Gs Gs s + =. Reconstructor ideal Un senyal analògic amb espectre de freqüència nul fora de l’interval [-ω0, ω0] és reconstruïble totalment si es mostreja amb una freqüència ωs>2*ω0 (Teorema de Shannon). La reconstrucció s’obté mitjançant el següent càlcul: sin( ·( · )/2) () (· )· (·( ·)/2) ss s kss tkT ft fkT tkT ω ω ∞ =−∞ − =− ∑ Tren d’impulsos En general, la funció d’un mostrejador pot considerar-se com la conversió d’un senyal analògic en un senyal modulat per polsos o digital. La sortida d’aquest dispositiu és un tren d’impulsos d’amplada finita, les amplituds dels quals són iguals a la magnitud del senyal d’entrada en els instants de mostratge corresponents. La representació en el domini del temps de la funció analògica com a tren d’impulsos s’expressa de la forma: * 0 () (· )· ( · ) s s k f tfkTtk δ ∞ = =− ∑T i la seva transformada de Laplace: * 0 () (· )·exp( · ) s s k Fs fkT kT ∞ = =− ∑ 9 2) Pantalla: Figura Pla_s / Figura Pla_z Les dues figures corresponen a la localització dels pols del sistema de temps continu i de temps discret respectivament. Els llocs geomètrics dels pols de cada exemple s’han senyalitzat de color vermell. La zona estable dels pols s’ha pintat de color groc i en el pla s s’ha limitat la banda primària amb dues línies discontínues horitzontals. Figura Resposta_Temporal En aquesta figura es mostra la resposta temporal (color negre) del sistema a una entrada graó (color blau cel). Sobre la resposta temporal s’han superposat les mostres preses en intervals de Ts segons (cercles de color vermell). A més, també es presenta l’evolvent de la sortida del sistema (color verd). 16 3) Interactivitat: L’estudiant pot interaccionar amb el programa modificant la posició dels pols d’ambdós dominis, o bé canviant la posició dels llocs geomètrics amb l’opció Manipulate (icona amb forma de dit del submenú que apareix en pantalla). 17 Fitxa4: Esquemes de blocs (Tema 4) 1) Breu explicació teòrica: 9 Sistemes de dades discretes amb elements en sèrie separats sense mostrejador La Transformada Z de la sortida de tot el sistema pot expressar-se com , on és la transformada de la sortida del sistema global i 12 ( ) [ ( )· ( )]· ( )Cz ZGsG s Rz=()Cz () R z és la transformada del senyal d’entrada (en tots els casos s’ha considerat que el senyal d’entrada de temps continu és un graó unitari () () s rt u t = ). En cas de tenir dos sistemes i no separats per un mostrejador, el que es fa és transformar el producte com si es tractés d’una sola funció. 1()Gs 2()Gs 12 () ()· ()Gs G sG s= Així, la notació que s’introdueix és: 12 12 21 [()·()] ·() ·() Z GsGs GGz GGz==. Cal notar que 12 1 2 ·() ()·()GG z G zG z≠. 9 Sistemes de dades discretes amb elements en sèrie separats per un mostrejador En aquest cas els dos sistemes de primer ordre estan separats per un mostrejador que és idèntic al que es té a l’entrada i funciona simultàniament amb aquest. Per tal de facilitar l’aplicació de la Transformada Z, s’introdueix un mostrejador fictici a la sortida del sistema global. La Transformada Z de la sortida de tot el sistema s’expressa de la següent manera: 12 () ()· ()·()Cz G zG zRz = En aquest cas doncs, la funció de transferència en z dels dos sistemes separats per un mostrejador és igual al producte de les transformades dels dos sistemes. En aquesta aplicació s’han pres dos sistemes de primer ordre de la forma 1 1 1 () ·1 Gs s τ =+ i 2 2 1 () ·1 Gs s τ =+, amb les constants de temps 11.02 τ = segons i 21.05 τ = segons. 18 2) Pantalla: Figura Esquema Esquema 1 G1(s) G2(s) r(t) c(t) Esquema 2 (sistemes separats sense mostrejador) 19 zoh G1(s) G2(s) r(t) r*(t) c(t) c*(t) s T s T Esquema 3 (sistemes separats per un mostrejador) zoh G1(s) G2(s) r(t) r*(t) c(t) c*(t) s T s T s T Figura Resposta • Senyal d’entrada graó unitari al sistema () () s rt u t = (color blau cel) • Senyal de sortida del sistema (color vermell) 3) Interactivitat: L’estudiant pot interaccionar amb el programa canviant el període de mostratge ( s T) amb l’opció Manipulate (icona amb forma de dit del submenú que apareix en pantalla). A més, es pot escollir entre els diferents esquemes de blocs que hi ha en aquesta fitxa. Per defecte apareix l’opció de l’esquema 1 que es manté premuda sempre, però l’aplicació permet superposar la resposta del sistema de l’esquema 2 i de l’esquema 3 per separat o simultàniament segons es vulgui. ¾ Període de Mostratge ( s T) El programa permet modificar el període de mostratge ( s T) col·locant-se sobre l’slider que apareix sota les opcions en forma de requadres. 20 Fitxa5: Sistemes en anell tancat (Tema 4) 1) Breu explicació teòrica: () ·1 p p K Gs s τ =+ () 1Hs = () () s x tut= *() y t + – s T ()et *()et zoh ()bt () y t Plantegem les equacions del sistema global: * * () ()· ()· () () () ()· ()· ()· () pzoh pzoh Ys G sG sE s Es Xs HsG sG s E s = =− Estrellem les equacions: *** ** * ·· ·· · pzoh pzoh YGGE EXHGGE = =− * Transformem: () · ()·() () () · · ()·() () · ()·() pzoh pzoh pzoh Yz GG zEz Ez Xz HGG zEz Xz GG zEz = =− =− Funció de transferència global: ·() () () 1( 1·() pzoh pzoh GG z Lz Wz Lz GG z == + +) L(z): funció de transferència de llaç obert de temps discret 1() () · () (1 )· p pzoh Gs Lz G G z z Z s − ⎡ ⎤ ==− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 21 El fet de tenir el mantenidor d’ordre zero (zoh) a la cadena directa, no fa variar ni l’ordre ni el tipus de la funció de transferència de la cadena directa quan s’aplica la Transformada Z (Gp(s) i L(z) tenen el mateix ordre i tipus). Transformada z de l’error: 1 () · () 1() Ez Xz Lz =+ En aquest exemple, s’ha considerat que l’entrada al sistema és un senyal graó unitari () () s x tut=, mentre que la planta és un sistema de primer ordre de la forma () ·1 p p K Gs s τ =+ on la constant de temps τ s’ha pres 1s τ = . Doncs bé, en aquesta fitxa es pretén visualitzar l’efecte de alimentar el sistema. Es pot observar que quan no es realment, la resposta és estable per a qualsevol parella de valors de la constant de proporcionalitat i del període de mostratge p K s T. En canvi, quan regalimant-me, la resposta no sempre és estable. Tant si es fixa un valor de la constant i es varia el període de mostratge o visaves, es pot comprovar que la resposta d’inestabilitat per alguns valors determinats. p K 22 2) Pantalla: Figura Selecció Apareixen dos botons manipula-les (posició on/of) que ens permeten activar la realimentació del sistema, juntament amb dos clisters que permeten variar el valor de la constant i el període de mostratge kp s T. Quan s’està damunt de qualsevol dels dos clisters, apareix a la barra inferior de la pantalla el valor del paràmetre que s’estigui manipulant. Figura Pla_z La figura correspon a la localització dels pols del sistema de temps discret (creu de color vermell). La zona estable dels pols en el pla s’ha pintat de color groc. Figura Resposta_Temporal En aquesta figura es mostra la resposta temporal (cercles de color vermell) del sistema discret a una entrada graó unitari (color blau cel). 23 3) Interactivitat: L’estudiant pot interaccionar amb el programa canviant 3 dels paràmetres que defineixen aquesta fitxa amb l’opció Manipulate (icona amb forma de dit del sumen que apareix en pantalla). Per defecte apareix l’opció Realimentació desactivada (posició of), un valor de la constant de proporcionalitat de i del període de mostratge de 1kp =1 s Ts = . ¾ Realimentació (posició on/of) Quan el botó es troba en la posició on, estem alimentant la cadena directa del sistema global. ¾ Constant de proporcionalitat ( ) kp El programa permet modificar la constant de proporcionalitat ( ) col·locant-se sobre l’slider corresponent. kp ¾ Període de mostratge ( s T) El programa permet modificar el període de mostratge ( s T) col·locant-se sobre l’slider corresponent. 24 Fitxa6: Configuració de pols i zeros en el pla z i resposta temporal (Tema 5) 1) Breu explicació teòrica: La resposta temporal d’un sistema de temps discret queda totalment caracteritzada a partir de la posició dels pols i zeros de la funció de transferència. En aquesta fitxa s’analitza com varia aquesta resposta a partir de la posició dels diferents pols i zeros. 2) Pantalla: Figura Pla_z • Apareix 1 pol real. (fitxa6_1p_real.sq) • Apareixen 2 pols complexes conjugats. 25 Figura Bode-Fase • Corba de fase del sistema de temps continu (color negre) ()Gs • Corba de fase del sistema de temps discret (color vermell) ()Gz • Corba de fase de la transformació bilineal (color magenta) ()Gw • Barra vertical indicadora de la freqüència de Nyquist 2 s ω (color verd) • Barra vertical indicadora de la freqüència de mostratge s ω (color blau) Figura Diagrama Nyquist • Diagrama polar del sistema de temps continu (color negre) ()Gs • Diagrama polar del sistema de temps discret (color vermell) ()Gz • Diagrama polar de la transformació bilineal (color magenta) ()Gw 3) Interactivitat: L’estudiant pot interaccionar amb el programa modificant la freqüència de mostratge ( s ω ) i la freqüència de Nyquist ( 2 s ω ) amb l’opció Manipulate (icona amb forma de dit del submenú que apareix en pantalla). Figura Bode-Guany/Figura Bode-Fase ¾ Freqüència de Nyquist (barra vertical de color verd) ¾ Freqüència de mostratge (barra vertical de color blau) 32