Geometria. Problemes

p R o B L E M E s MAT G LLICENCIATURA DE MATEMATIQUES GEOMETRIA Ferran Hurtado Francesc Prats Facultat de Matematiques i Estadística / UNIVERSITAT POLITÉCNICA DE CATALUNYA IVERSITAT P0LITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca llllllllm�Oii�IIIIIII 1400363896 Index Facultat de Materna.tiques i Estadístic,1. BIBLIOTECA Geometria sintetica .............................................................. 1 Espais afins ...................................................................... 8 Afinitats ........................................................................ 11 Espais euclidians ............................................................... 14 Desplac;aments. Semblances ..................................................... 20 Llocs geometrics ................................................................ 32 Geometria projectiva ........................................................... 34 Coniques en referencia principal ................................................. 44 Problemes generals de coniques i quadriques .................................... 46 11 ' . ( ' . . ' d . ) 7 ocs geometncs comques 1 qua nques ........................................ 5 · Tíf61 �--Geomema Problemes Autors: Ferran Hurtado Francesc Prats ,osit Legal: B-40921-2001 (mpres per: lzlens S. L. Sor Eulalia d' Anzizu, sin 08034 Barcelona Aquect 1Hbrn és un obsequi •la fl-f".:' c 1··, ti!,,-, u ' "J.�- \_. ,--V1\:::.- Geometría sintetica. Geometría sintetica. 1.-Setembre 1993 Demostreu les següents propietats que es cumpleixen en un triangle qualsevol i) Les medianes d'un triangle el divideixen en 6 parts d'igual área. ii) La recta que uneix un vertex qualsevol amb el punt mig d'una mediana determina en el costat oposat dos segments en proporció 2: 1. 2.-Maig 1994 Sigui ABC un triangle i P un punt sobre el segment AG. Suposem que ABP --� PBC = A i C = 2A. Proveu: (a) (b) (e) 3.-Maig 1994 AB ¡Be = ( v'5 + 1) / 2 cos f = ( v'5 + 1) / 4 cos 2t = ( yÍS - 1) / 4 Demostreu que un quadrilater convex és inscriptible a una circumferencia si i només si els angles d'un dels parells d'angles oposats són suplementaris. Si aquest és el cas, que en podeu dir de l'altra parella d'angles oposats? 4.-Juliol 1994 Siguin B1, B2, B3 i B4 punts sobre els costats A1A2, A2A3, A3A4 i A4A1 d'un quadrat donat A1A2A3A4 tals que 1) Proveu que els segments A1B2, A2B3, A3B4 i A4B1 determinen un quadrat. 2) Calculeu-ne l'area, en funció del valor >. de les quatre raons simples i suposant que el costat del quadrat donat té longitud unitat. 3) Descriviu quin és el lloc geometric del punt Q = (B1A3) n (A2B4) quan el punt B1 recorre el segment A1A2 (raoneu sinteticament). 1 Geometría sintetica. 5.-Novembre 94 Donat un punt P del costat AB d'un triangle ABC, proveu que P pertany a la bisectriu de l'angle C si i només si es cumpleix PA-CB=PB-CA. 6.-Abril 1995 Sigui ABC un triangle i construi:m quadrats ACDS i BCET com a la figura. Demostreu que (a) El punt M d'intersecció de l'altura he amb ED és el punt mitja del segment ED. (b) CM= AB/2. (c) Els triangles CDM i CEM tenen la mateixa a.rea. (d) Els triangles ABC i CDE tenen la mateixa a.rea. s 7.-Juny 1995 E M/.-----·/ ... - - - - 1 D_.-----: '1 1 1 ,e A p B T Donat un triangle equilater ABC, orientat en sentit antihorari, proveu que existeix una única terna de punts A', B', C' sobre els costats BC, CA, AB, respectivament, i tal -- - que els angles BC'A', CA'B' i AB'C' són rectes. Calculeu les raons simples (A,B,C'), (B,C,A') i (C,A,B'). 8.-Setembre 1995 Es dóna un triangle acutangle ABC i es construeix el quadrat APQB com a la figura. 1) Proveu que RSTU és un quadrat. 2 Geometria sintetica. 2) Inscriviu un rectangle en el triangle ABC tal que la proporció dels seus costats sigui 2: l. e A ,'R S\ B 1 ,/ \ 1 I ' ,, p Q 9.-Novembre 95 Trobeu l'area del polígon ABCD de la figura següent: A B 10.-Abril 96 A la figura, la circumferencia és tangent a AB en el punt B i el seu diametre és igual a AB. Els segments PC i QD són tangents a la circumferencia en els punts C i D, respec tivament. Expliqueu raonadament quines de les parelles de segments que segueixen tenen la propietat que el primer és segment auri del segon: (AC, AB), (AB, AD), (AO, AQ), 3 Geometria sintetica. (PB,OC), (OB,BQ), (PB,PC) i (PB,PA). A p B Q 11.-Juny 96 Siguin P, Q, R i S els centres dels quadrats construits externament sobre els quatre costats d'un rombe. Demostreu que PQRS és un quadrat. Suposant que el costat del rombe és fix, quina és l'area maxima que pot tenir PQRS, i quin és el valor d'aquesta area? 12.-Maig 1997 Sigui ABC un triangle. Siguin BC A' el triangle equilater contru:it sobre BC, amb A' en el semipla oposat al de A; AC B' el triangle equilater contru:it sobre AC, amb B' en el semipla oposat al de B; i ABC' el triangle equilater contruit sobre AB, amb C' en el mateix semipla que C. Si M és el baricentre de ABC', demostreu que M equidista de A' i de B' i que A1MB1 = 2 t. 13.-Juliol 1997 \ ' \ \ A \ .· ·. ·· ... ¡ ... -··· M' ' r B ' I Es dóna una circumferencia inscrita en un trapezi isosceles de base majar a i costat c. 4 Geometría sintetica. Es demarra trabar l'area del triangle format per la base majar del trapezi i les dues rectes definides pels costats del trapezi. 14.-Juliol 1998 Donat un punt P interior a un triangle ABC, siguin X, Y, Z els peus de les perpendi culars des de P als costats BC, CA i AB, respectivament. Proveu que YZ = .!!_pA 2p b ZX=-PB 2p e XY =2PPC, on p és el radi de la circumferencia circumscrita al triangle. 15.-Novembre 1998 Sigui ABC un triangle i siguin a costats. BC, b AC, e = AB les longi tuds dels seus a) Donat un punt P interior al triangle, les rectes per P paral.leles als costats AB, BC i CA determinen, respectivament, triangles semblants al triangle ABC (en el cas del costat AB, vegeu el triangle ombrejat de la figura). Proveu que si >., µ i v són, respectivament, les tres raons de semblarn;a, llavors >. + µ + v = 2. b) Considerem el segment de cada una de les tres paraUeles esmentades que té extrems sobre els altres dos costats (per exemple, el segment gruixut de la figura és el segment de la recta paral-lela per P a AB que té extrems sobre AC i BC). Suposem que el punt P és tal que aquests tres segments són iguals. Expresseu la seva longitud en funció de a, b i c. e • A B 5 Afinitats. 2) Proveu que l'equació de la recta ¡-1 (r) és (abe) A ( x y l)t = O. 43.-Donat un triangle qualsevol, proveu que existeix una única afinitat que aplica cada vertex al punt mitja del costat oposat, i estudieu-la. 44.-Donats 4 punts a, b, e, d en el pla tals tres formen triangle, proveu que la condició necessaria i suficient perque existeixi una afinitat f del pla tal que f(a) = b, f(b) = c,f(c) = d, f(d) = a, és que a, b, e, d siguin els vertexs consecutius d' un paral-lelogram. 45.-Donat un tetra.edre abcd, s1gum a'b'c'd' a"b" e" d" els tetra.edres determinats pels baricentres de les seves cares i els plans paral·lels a aquestes trai;ades per cada vertex. Estudieu l'afinitat que transforma a'b' e' d' en a"b" e" d" . ( indicació : considereu a' b' e' d' --+ abcd, . abcd --+ a"b" e" d".) 46.-Novembre 93 i) Justifiqueu que, en un espai afí real de dimensió 3, existeix una referencia afí en la qual dues rectes donades r , s que es creuen tenen equacions o o o 1 ii) Trobeu la matriu generica, en la referencia anterior, de les afinitats que deixen fixos els punts de la recta r i, al mateix temps, deixen fixa la recta s. iii) Proveu que les imatges d 'un punt donat ( x0, y0, z0) per to tes les afini tats de la família anterior pertanyen totes a una recta. 47.-Abril 1995 ( a) En una referencia afí donada de l'espai afí de dimensió 3, trobeu l'expressió generica de les afinitats que deixen fixos el punt (O, O, 1) i les rectes del pla xy que passen per l'origen de coordenades. (b) Trobeu els plans fixos per una d'aquestes afinitats. 12 Afinitats. (c) Descriviu el lloc geometric de les imatges d'un punt P donat per totes les afinitats de la família. 48.-Abril 1997 Sigui f -=1-Id una afinitat del pla afí real amb una recta r de punts fixos. 1) Proveu que existeix una referencia R en la qual la matriu de f és ( 1 bº) O aO O O 1 i que a és un invariant de f (és adir, que a només depen de fi no de R). 2) Suposem que a= l. Proveu que existeix una referencia R' en la qual la matriu de f és (1 1 º) O 1 O O O 1 Estudieu les rectes fixes de f. 3) Suposem que a -=1-l. Proveu que existeix una referencia R' en la qual la matriu de f és (1 O º) Oa O O O 1 Estudieu les rectes fixes per f. 4) Doneu una interpretació de a en termes de la raó simple a-(P, P', P"), on P és qualsevol punt no fix per f, P' = f(P) i P" = r n PP'. 49.-Novembre 2000 Trobeu la matriu generica d'una afinitat que deixa fixos el punt P = (2, 1, 1), la recta r -{x + z = 2,y = O} i el pla 1r = {z = O}. (Indicació: resoleu primer el problema en la referencia [A, u, v, w], on A= r n 1r, u = P -A, v un vector director de r i w E W(1r) escollit apropiadament, i després feu el can vi a la referencia original.) 13 Espais euclidians. Espais euclidians. Nota : les referencies no explicitades es consideraran rectangulars. 5O.-Proveu que en tot paraHelogram, la suma dels quadrats dels 4 costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals. 51.-Com a generalització del problema anterior, proveu que en tot quadrilater, la suma dels quadrats dels 4 costats és igual a la suma dels quadrats de les 2 diagonals més 4 vegades el quadrat del segment que uneix els punts mitjans de les diagonals. 52.-Trobeu la distancia del punt (-1,2,1) a la recta x = l+t, y = 1-2t, z = l+t 53.-Trobeu l'equació de la perpendicular comuna i la distancia entre les dues rectes z x=y-2=- 3 x-2 y+l z-1 --=--=-- -1 2 O 54.-Trobeu els vertexs d'un octaedre regular si es coneixen dos d'ells contigus, A(l, O, 1), B(2, 1, 3), i el vector director de la diagonal que no conté ni A ni B, v = (-1, 1, O). Quantes solucions hi ha? 55.-D'un triangle es cone1xen dos vertexs A(O, O), B(2-/3, O) el seu incentre J( v'3, 1). Calculeu el tercer vertex. 56.-D'un triangle es coneixen dos vertexs A(l, 1), B(6, O) i el seu ortocentre 0(3, 2). Cal culeu el tercer vertex. 57.-Trobeu les rectes del pla x +y+ z = 1 que tallen la bisectriu de l'angle XOZ d'una referencia rectangular i formen amb l'eix OY un angle de 60º. 14 Espais euclidians. 58.-Es dóna un tetraedre ABCD, amb AB = AC = l, AD= 21 BAC = BAD = - = 60º, CAD= 30º.- Calculeu l'alc;ada sobre la cara BCD, l'angle ABC, l'angle de les cares en l'aresta AB, i la distancia entre les arestes AB i CD. 59.-Proveu a) ( i1 /\ v) /\ w =< il, w > v- < v, w > il. b) Dedui:u la identitat de Jacobi : ( i1 /\ v) /\ w + ( v /\ w) /\ ü + ( w /\ ü) /\ v = o. 6O.-Proveu: a) < Ü /\ v, w /\ z >=< ü, w >< v, z > - < ü, z >< v, w >. b) Dedui:u: 61.-Proveu que l'area del triangle ABC ve donada per éssent Ü = AB, v = AG. 62.-Proveu vectorialment el teorema del cosinus en un triangle ABC a2 = b2 + c2 -2bccosA. 63.-Proveu que la longitud de la bisectriu de l'angle C dins el triangle ABC val �✓(a+ b)2 -c2 a+ b ab 64.-Proveu que en un tetra.edre qualsevol, la suma dels 4 vectors perpendiculars a les cares, de modul l'area de cada cara, i sentit de dins afora, val O. 15 Espais euclidians. 65.-Demostreu que si dos parells d'arestes oposades d'un tetra.edre són perpendiculars, també ho són les del tercer parell. Comproveu que un tetra.edre regular cumpleix la propietat anterior. 66.-Proveu que els 6 plans mediatrius de les arestes d'un tetra.edre són concurrents en un punt. 67.-A l'espai vectorial E3 ordinari es considera l'aplicació h(v) = hv, hv(x) = v /\ x, Vx E E3. Proveu: i) h és un monomorfisme d'espais vectorials. ii) hül\v = hü o hv -hv o hü. iii) h/ + 11 v ll2hv = O. 68.-Abril 1993 h A E3 es dónen 3 vectors unitaris i ortogonals 2 a 2 : i,J, k. En una referencia de R 3 (p; é1 , é2, é3] amb es donen les rectes y z X y Trobeu la perpendicular comuna i la distancia entre elles. 69.-Juny 1993 En un octaedre regular d'aresta l s'inscriu un cub amb vertexs els baricentres de les cares d'aquell, i dins d'aquest cub s'inscriu de manera similar un altre octaedre regular. Proveu que l'aresta d'aquest nou octaedre val l/3. Doneu (sense fer calculs) la proporció de volum que ocupa l'octaedre petit dins d'el gran. 16 Espais euclidians. 70.-Novembre 1993 1) En un espai afí euclidia de dimensió 3 es donen els plans Ax + By + C z + D = O, Ax + By + C z + D' = O en una referencia de metrica G. Trobeu , en funció de A,B,C,D,D', i G la distancia entre els dos plans. 2) Donat un tetraedre regular ABC D d'aresta 1, trobeu en la referencia {A, .A.E, AC, AD} els plans paral.lels a la cara BCD que estan a distancia fi{3 d 'aquesta. 71.-Abril 1994 Sigui ABC un triangle d'un pla euclidia i P un punt del segment AB. Posem u= PA, v = PE, w = PC, r =I u /, s =I v 1, t =I w 1, a = d(B, C), b = d(A, C) i e = d(A, B). Demostreu: su+ rv = O (a) (b) a2r+ b2s = c(t2 +rs) ( aquest resultat s 'anomena teorema de Stewart). 72.-Abril 1994 En un espai euclidia de dimensió 3 tenim una referencia [O, e1, e2, e3] tal que e2 i e3 són ortogonals, e1 · e1 = 3, e2 · e2 = e3 · e3 = e1 · e2 = 1 i e1 · e3 = -1. Sigui H el pla 3x + y -z + l = O, L la recta i M el punt (O, 1, 4). Trobeu {x+y-z 2x + z =Ü =1 ( a) La recta continguda al pla H que talla i és perpendicular a L. (b) Una recta per M, perpendicular a L i que formi un angle de 1r/6 amb el pla H. Nota: Especifiqueu clarament, abans d'iniciar els calculs, els procediments que segui reu per a resoldre (a) i (b). 73.-Novembre 1994 En un tetraedre regular ABCD d'aresta a es trac;a per l'altura AO un pla AlVI N que talla BC a lVI i BD a N. 17 Espais euclidians. Si x = EN i y= BM, proveu que a(x +y)= 3xy. 74.-Abril 1995 ( a) Proveu que les coordenades de l'incentre del triangle ABC en la referencia [A; AB, AC] són on a= BC,b = CA,c = AB. (b) Dedu1u-ne que si l'incentre coincideix amb el baricentre, llavors el triangle és equilater. (e) Calculeu les coordenades de l'incentre en la referencia [B; CA, CE]. 75.-Febrer 1996 Sigui ABCDE una pira.mide quadrangular regular, de base el quadrat ABCD. Sobre la cara BC E i cap a !'exterior es construeix un tetra.edre regular BC EF. i) Trobeu les coordenades de tots els vertexs del políedre A,B,C,D,E,F obtingut, en la referencia rectangular [A; AB, AD, uf] (E situat a l'octant positiu). ii) Proveu que el políedre ABCDEF té només 5 cares. 76.-Abril 1996 Donat un triangle ABC del pla afí, siguin A', B' i C' els punts dels costats BC, AC i AB, respectivament, tals que (A,B,C') = (B,C,A') = (C,A,B') = ½1. Trobeu les coordenades de A, B i C en la referencia [A', B', C']. 2. Si A, B i C són tres vertexs consecutius d'un hexagon regular de costat 1, calculeu la matriu de la metrica en la referencia [A', B', C']. 77.-Maig 1997 Es considera un tetrÓedre les cares del qual sn triangles issceles de costats 4, 4 i 2. l. Proveu que hi ha exactament dues arestes de longitud 2 i que aquestes sn oposades. 2. Proveu que les arestes de longitud 2 sn perpendiculars. 3. Calculeu el volum del tetrÓedre. 18 7�.-Gener 1998 En una referncia rectangular es dna la rectar d'equacions y-2 z-4 x-1=--=-- i la família F de rectes d'equacions 2 4 y-2 z-3 x -1 = -- = -- (a E 11) a a+2 a. Comproveu que cap recta de F tallar. b. Calculeu les distancies de les rectes de F ar. c. Trobeu, si és que existeixen, les rectes de F paraHeles a r. Espais euclidians. d. Quin objecte geomtric és la uni de tots els punts de les rectes de F? 79.-Novembre 1998 Demostreu que en tot triedre els plans per les arestes perpendiculars a la cara aposada sn concurrents en una recta. 80.-Gener 2001 En una referencia rectangular de 114 es consideren el pla P d'equacions x -y + 2z + t = l, 2x -y-z + t = O i el punt A= (1, O, 2, 1). Trobeu: a) Equació cartesiana de l'hiperpla H per A i P. b) Equacions cartesianes del pla P' per A paraHel a P. c) Equacions cartesianes del pla P" per A perpendicular a P. d) Distanciad de A a P. 19 Desplaraments. Semblanres. Despla(,;aments. Semblances. 81.-Estudieu el desplac;ament donat en una referencia rectangular { x' y' z' + + + 82.-Estudieu el desplac;ament donat en una referencia rectangular 83.-Trobeu les equacions del gir d'angle 1r /3 respecte la recta x =y, z = l. orientada per (1, 1, O). 84.-Descriviu el moviment producte de dos simetries axials a IR3 1) Amb eixos paraHels 2) Amb eixos que es tallen. 85.-Proveu que en el pla, dos punts p, q i les seves imatges p', q', amb d(p, q) = d(p', q'), i posició generica, determinen un moviment directe i un altre d'invers. Descriviu graficament els elements d'aquests moviments. 86.-Donat un tetra.edre regular ABCD, proveu que l'afinitat que transforma A,B,C,D en B, C, D, A respectivament, és un desplac;ament i classifiqueu-lo. 87.-Proveu que el producte de dos simetries axials d'eixos dos arestes oposades d'un tetra.edre regular és una traslació de vector amb direcció la perpendicular comuna, i modul 20 Desplaraments. Semblanres. el doble de la distancia entre les dues rectes, seguida d'una simetría d'eix la perpendicular comuna. 88.-Estudieu els desplac;aments del plaque deixen fix 1) Un quadrat 2) Un rombe 3) Un punt i una recta que no passa per ell. 89.-Estudieu els desplac;aments de JR.3 que deixen fix : 1) Un punt i una recta 2) La base d'un cub 3) Dos punts diferents Problemes de moviments en el pla per fer sinteticament. 90.-Proveu i) El producte de dues simetries axials del pla d'eixos que es tallen segons un angle a és un gir d'angle 2a i centre el punt de tall ii) El producte de dues simetries axials del pla d'eixos paral-lels és una traslació de vector perpendicular als eixos, sentit el donat per les rectes i modul el doble de la distancia entre les rectes. iii) Dedui:u que les simetries axials generen el grup de moviments del pla. 91.-Determineu graficament, utilitzant la descomposició en simetries axials, el producte de: 1) Dos girs d'angles a i {3 (distingiu els casos a-/- -{3, a= -{3) 2) Gir per traslació 3) Simetría axial per traslació 4) Simetría axial per gir 5) Dos simetries centrals 21 Z' són el centres de h i h', proveu que és el vector de posició de Z. 1 z =---(p1c2 -p2c1) Pl -P2 Desplat;,aments. Semblant;,es. 3. Trobeu una fórmula similar per al vector de posició de Z'. 4. Proveu que Z i Z' es tan alineats amb C1 i C2. 5. Trobeu Z en el cas que K1 i K2 siguin les circumferencies donades per les equacions x2 + y2 + 4x + 6y = 3 i x2 + y2 -2x -8y = 8. 6. Si ho,>-. denota l'homotecia de centre O i raó >., estudieu el producte ho,>-. o ho, ,>-.' i digueu quins són els seus elements característics segons els valors de >. i >.' i segons la posició de O i O'. 7. Donades tres circumferencies K1, K2, K3, amb centres no alineats C1, C2, C3 i amb radis diferents dos a dos, siguin h;j i h�j les homotécies de raó positiva i negativa que transformen K; en J(j, i siguin Zij, Zij els centres de h;j i h�j, respectivament. Proveu que Z12, Z23 , Z13 estan alineats. Proveu també que el mateix passa amb Z12, Z�3, Z{3, amb Z{2, Z23, Z{3, i amb Z{2, Z�3, Z13. 124.-Juliol 1996 Sigui AB CD E una pira.mide q uadrangular recta de base el quadrat de costat uní tari ABC D i les cares laterals de la qual són triangles equilaters. Sobre la cara BC E i vers l'exterior es construeix un tetra.edre regular BC EF. Posem u = B -A, v = D -A i sigui w el vector unitari ortogonal a u i a v i que forma un angle agut amb el vector E -A. (i) Trobeu les coordenades, en la referencia [A; u, v, w], de tots els vertexs del políedre II = ABCDEF així obtingut. (ii) Proveu que F és coplanari amb els punts A, B, E i coplanari amb els punts C, D, E. Useu aquests fets per determinar quina figura és el políedre II. ( iii) Proveu que hi ha dos desplac;aments tals que A t--+ C, B t--+ D i D t--+ B. Classifiqueu los i digueu si deixen el políedre invariant. 125.-Novembre 1996 Les coordenades dels punts es referiran sempre a un sistema rectangular orientat posi ti vament. 28 Desplar;aments. Semblanr;es. ( 1) Donats dos punts del pla A i B i un angle orientat a no nul, proveu que existeix un únic centre de gir X0 d'angle a que transforma A en B. (2) Proveu que Xo ve donat per la fórmula Xo = (I -p(a))-1 · (B -p(a)A), on A, B i Xo representen les matrius columna de coordenades dels punts A, B 1 X0, respectivament, i (cosa p(a)= sin a -sin a). cosa l a 1r-a (3) Proveu que (I -p(a))-1 = 2 cosec 2p(-2-). ( 4) Proveu que donats quatre punts del pla A, B, C i D, existeix un gir d'angle a que transforma A en B i C en D si només si es té: p(a) · (A -C) = B -D, on A, B, C i D representen les matrius columna de coordenades dels punts A, B, C i D, respecti vamen t. (5) Donats els punts A(O, 1) B(2, O), calculeu els vertexs dels rombes que tcncn per diagonal AB i un angle de 30º. (6) Trobeu el lloc geometric dels centres dels girs d'angle 90º que transformen un punt de la recta x +y+ l = O en el punt (2, O). 126.-Abril 1991 Sigui ABC un triangle del pla afí. Denotarem per D el punt tal que ABDC és un paral-lelogram. 1) Trobeu l'expressió general, en la referencia (A; AB, AC) de la família <I> d'afinitats que tenen la recta AD com a recta de punts fixos i deixen fixa la recta BC. 2) Si <p E <I> -{Id}, és possible que cp sigui una homotecia? Raoneu la resposta. 3) Si <p, cp' E <I> - {Id}, és possible que existeixi una recta fixa per <p, pero no per cp'? Raoneu la resposta. 4) Suposant que l'espai afí és euclidia, demostreu que entre les afinitats de <I> diferents de la identitat hi ha com a maxim un despla<;ament. Doneu també la condició que 29 Despla9aments. Semblan9es. ha de complir el triangle ABC perqué existeixi aquest despla<;ament i, en aquest cas, digueu en que consisteix. 127.-Abril 1997 En una referencia rectangular, sigui r l'eix Ox is la recta {z = l,y = mx} (m f. O). 1. Trobeu les equacions de la recta r', simetrica de r respecte de s, i de la recta s', simetrica de s respecte de r. 2. Calculeu l'angle entre r i s per tal que r' i s' siguin coplanaries. 128.-Juliol 1997 Trobeu els desplac;aments de l'espai que deixen fix el sistema format per dues rectes perpendiculars que es tallen i un punt que no pertany al pla que determinen les rectes. 129.-Gener 1998 Sigui runa recta del pla, v un vector, i >. f. O, 1 un nombre real. Per a cada punt P del pla, sigui Pi la projecció ortogonal de P sobre r, i P* la imatge de P1 + v per l'homotecia de centre Pi raó >.. Proveu que la correspondencia P H P* és una afinitat i trobeu-ne els punts fixos i les rectes fixes. 130.-Juliol 1998 Sigui f la simetría axial respecte de la recta r d'equacions x/3 = (y -1)/2 = z, g la simetría central respecte del punt P(O, 1, -1) i h la simetría especular respecte del pla perpendicular a r que pass a per P. Estudieu el desplac;ament h o g o f. 131.-Juliol 1999 U na referencia R = [ O; e1, e2] del pla euclidia compleix que els vectors e1 i e2 són unitaris i que formen un angle a. Considerem els punts A(l, 1), B = (1, -1), C(2, 1), A'(-/2, --/2), B'(--/2, -2 --/2), C'(-1 + -/2, -2-/2). Trobeu els valors de a per als quals el triangle A' B' C' és congruent amb el triangle ABC. 132.-Gener 2000 En un espai euclidia A de dimensió 3, considerem l'afinitat f que en una referencia 30 rectangular té les equacions següents: { :z:1 = ½( 2x + 2y -z) + 3 y1 = ½( 2x -y + 2z) + 2 z' = ½(-x + 2y + 2z) + 1 1)Proveu que f és un despla<;ament i classifiqueu-lo. Desplar;aments. Semblanr;es. 2)Trobeu el mínim de les distancies entre P i f(P), P un punt arbitrari de A. 133.-Juliol 2000 Considerem els punts A = (O, O, O) i B = (O, 1, O), i les rectes r i s d'equacions x = z -l = O i y = z = O, respectivament. Siguin tuna recta arbitraria de l'espai i C un punt a distancia 1 de t. a)Demostreu que existeixen exactament quatre despla<;aments que transformen A en C i r en t, i que, d'aquests despla<;aments, dos són directes i dos són inversos. b)Doneu les equacions explícites d'un despla<;ament invers que transformi Ben A i s en r, i descriviu-lo completament (si fos, posem per cas, una simetria especular, haurieu d'especificar el pla que la defineix). 134.-Gener 2001 Donats un punt O i un vector v a l'espai euclidia A.3, considereu l'aplicació f : A--+ A, P f---t P' = J(P), determinada perla relació P' =o+ V(\ (P -O). Demostreu que f és el producte d'una projecció, ungir i una homotecia, i determineu-los. 31 Llocs geometrics. Llocs geometrics 135.-Una recta variable talla 2 rectes donades que es creuen. Determineu el lloc geometric del punt mitja del segment interceptat. 136.-Una recta variable talla 2 rectes donades que es creuen segons angles iguals. Deter mineu el lloc geometric del punt mitja del segment interceptat. 137 .-Es consideren en el pla dues rectes perpendiculars i una recta variable que les talla en punts A i B tals que d( O, A)+ d( O, B) = k, on k és constant i O és el punt de tall de les dues rectes. Trobeu el lloc geometric del vertex C d'un triangle equilater de base AB. 138.-A R3 es consideren les rectes x-a-b b y-a-b z-c a a+ b ..!__y_ -_z_ -a --b -a+ b Trobeu les condicions que han de cumplir a, b i e perque les rectes es tallin i el lloc geometric del punt de tall. 139.-En el pla es tenen dues rectes r, s que es tallen a pi dos punts a E r, b E s, on a i b són diferents de p. Calculeu el lloc geometric de les interseccions de les rectes ab' ba' ' quan els punts a', b' es mouen sobre r, s respectivament, de tal manera que d(a, a')= d(b, b'). 140.-Trobeu el lloc geometric dels centres dels girs del pla d'angle donat 0 que transformen un punt p donat en un punt d 'una recta donada r, amb p (J. r. 141.-Trobeu el lloc geometric de les imatges de (2, 4) per les afinitats que deixen fixos els punts (1, O), (-1, O) i transformen la recta x = O en la recta x = y. 32 Llocs geometrics. 142.-Siguin A, B, C tres punts no alineats del pla. Considerem les afinitats f sense punts fixos tals que J(A) = B, f(B) = C. a) Determineu el lloc geometric de f( C). b) Determineu el lloc geometric de J2 ( C) i de ¡n ( C). 143.-Abril 1995 Donat un hexagon regular ABCDEF es consideren tots els quadrats PQRS tals que PE AB, SE EF i PS 11 AF. Trobeu el lloc geometric del vertex Q. (L'ordre dels vertexs, tant de l'hexagon com del quadrat, és l'antihorari.) 144.-Abril 1996 Donats en el pla euclidia un punt A i dues rectes perpendiculars r i s que no el contenen, es consideren tots els rectangles de vertexs A, B, C i D tals que B E r i D E s. Trobeu el lloc geometric del vertex C. 145.-Novembre 1999 Considereu una referencia [ O; e1, e2, e3] tal que éíea = 90º, éÍe2 = éieJ = 60º, 1e11 = 1, ie2i = )e3) = 2, i Siguin A i B els punts de coordenades (2,4,0) i (6,2,0), respectivament. Trobeu 1. La matriu de la metrica. 2. Un punt C tal que el triangle ABC sigui equilater i el pla ABC paral-lel a l'eix Ox3. 3. L'equació de la circumferencia del pla x3 = O que passa per O, A i B. 4. El lloc geometric dels punts que equidisten dels tres plans de coordenades i les coor denades dels quals són totes positives. 33 -- Geometría projectiva. Geometria projectiva. 146.-Teorema de Pappus. Si (A1, A2, A3), (B1, B2, B3) són dos ternes de punts alineats, no sobre la mateixa recta i diferents del punt d'intersecció de les dues rectes que determinen, aleshores els tres punts d'intersecció AiBj n AjBi estan alineats. 147.-Reescriviu el teorema anterior a l'espai afí A2 i suposant que la recta per AiBj nAjBi és la recta de l'infinit. Dibuixeu la configuració. 148.-Siguin A, B dos punts donats, l, m dos rectes donades que no els contenen. P és un punt variable del, i AP, BP tallen m a L, M , respectivament. Proveu que el lloc del punt d'intersecció de BL, AM és una recta que passa pel punt d'intersecció del, m. 149.-Proveu que el triangle de vertexs [1,p,p'], [q', 1,q], [r,r', 1] (en una certa referencia) esta en perspectiva arnb el triangle de referencia si i només si es cumpleix pqr = p'q'r'. 15O.-Donats tres punts A0, A1, B d'una recta diferents dos a dos, es construeix una succes sió de punts A0, A1, A2, ... de tal manera que, per a cada n > 1, sigui An el quart harmonic de An-2 respecte An-I, B. Proveu que es pot definir una abcissa projectiva 0 tal que el valor de 0 a Ai sigui i, i = O, 1, 2 ... 151.-Polar harmonica d'un punt respecte d'un triangle. i) Si D, E, F són els punts d'intersecció dels costats BC, CA, AB d'un triangle ABC arnb les rectes que uneixen A, B, C arnb un punt P que no pertany a cap dels tres costats, i si D', E', F' són els quarts harmonics de D, E, F respecte els parells (B,C),(C,A),(A,B), respectivarnent, proveu que els punts D',E',F' estan alineats (a la recta que els conté se l'anomena polar harmonica de P respecte el triangle ABC.) 34 Geometría projectiva. ii) Proveu que la polar harmonica del punt [a, b, e] en la referencia [A, B, C] és la recta [� � �] a' b' e iii) Proveu que la polar harmonica del baricentre d'un triangle respecte d'aquest és la recta de l'infinit. 152.-Generalització a l'espai projectiu de la polar harmonica. Siguin Ao, A1, A2, A3 els vertexs d 'un tetra.edre, i P un punt fora de les seves cares. Suposem que A¡P talla la cara aposada a Pi, i = O, 1, 2, 3, i sigui p¡ la polar harmonica de P¡ respecte el triangle de vertexs els del tetra.edre diferents de A¡. Proveu que les quatre rectes Pi són coplanaries, i trobeu l'equació del pla que les conté sabent que les coordenades de P són [ a, b, e, d] en la referencia que té A¡ com a punts fonamentals. 153.-Donat un triangle ABC on PE BC, Q E AC, RE AB tal que les rectes AP, BQ, GR són concurrents, es prenen X, Y, Z punts a les rectes BC, CA, AB (respectivament) tals que (X,P,B,C) = (Y,Q,C,A) = (Z,R,A,B) = -1. Proveu que X, Y, Z estan alineats. 154.-P és un punt del costat YZ del triangle XYZ; L és un punt qualsevol a XP, i les rectes Y L, Z L tallen X Z, XY en M, N resp; la recta M N talla Y Z a P'. Proveu que el mateix punt P' s'obté per totes les posicions de L a X P. 155.-Els costats AB, BC i AC d'un triangle ABC són tallats per una recta a D, E, F. El quart harmonic de D respecte B, C és D', i es determinen punts E', F' de manera similar sobre CA, AB. Proveu que les rectes AD', BE', C F' són concurrents. 156.-Cas especial del teorema de Pappus. Sigui O el punt de tall de les rectes A1A2A3 i B1B2B3. Proveu que si les rectes A1B1, A2B2, A3B3 són concurrents, aleshores la recta que uneix els tres punts d'intersecció A¡Bj n AjBi passa pel punt O. (indicació : construcció de la quaterna harmonica). 35 Geometria projectiva. 157 .-Proveu que una projectivitat entre dues rectes en dimensió 2 és perspectivitat si i només si el punt de tall és fix. 158.-Proveu que tota projectivitat entre rectes en dimensió 2 pot expressar-se com a producte de, com a molt, dues perspectivitats. 159.-Siguin A, B, P, Q, R, S sis punts alineats. O és un punt no alineat amb els anteriors, i OP, OQ tallen una altra recta per A a H i K. Si les raons dobles (A, B, P, Q) i A, B, R, S) són iguals, proveu HR i KS es tallen en un punt de la recta BO. (indicació : feu servir productes de perspectivitats) 160.-Demostreu projectivament el teorema de Thales en el pla. 161.-Proveu que en tota projectivitat de la recta projectiva que té punts fixos A i B, es té (A,B,X,X*) = constant. Donats els punts A, B, X, X*, Y, constru"iu geometricament el punt Y*. Si aquesta projectivitat és involutiva, proveu que (A,B,X,X*) = -l. 162.-(A, B), (B, C), (C, A) són tres parells de punts diferents homolegs per una projecti vitat a la recta projectiva. Si P és un altre punt de la recta, i si (P, Q) i (Q, R) són parells de punts homolegs, proveu que els punts (R, P) són també homolegs. 163.-Donats a P1(IR) els punts A,B,C,A',B',C'tals que (A,A',B,C) = (B,B',C,A) = (C,C',A,B) = -1 sigui 1r la projectivitat tal que (A, A'), (B, B'), (C, C') són parells de punts homolegs. Pro veu que 1r2 = J. 36 Geometria projectiva. 164.-Trobeu les equacions de la projectivitat a P2(IR) que deixa els tres punts afins (2, O), (-1, vf3), (-1, -vl3) invariants i transforma el punt (O, O) en el punt de l'infinit de l'eix X. 165.-Trobeu els punts fixos de la projectivitat x' : y' : z' = 3x -2z : 3y : x -y. 166.-Proveu que les projectivitats del pla projectiu que deixen invariant el punt [O, O, 1) i la recta per [1, O, O), [O, 1, O] són de la forma : x1 : y' : z1 =ax+ by : ex+ dy: z, amb ad -be =f O. 167.-Siguin A, B, A', B' quatre punts fixats del pla i l una recta fixada que passa pel punt AB n A' B'. Es defineix una transformació P � P' ( on P � AB) per la condició que P A, P' A' es tallen en un punt de l, i també P B, P' B'. Proveu que es tracta d' una projectivitat, que l és una recta de punts fixos i que hi ha un punt fix més. (indicació : prendre referencia els punts AB n A' B', A, A' i el punt unitat sobre l.) 168.-Juny 1993 Proveu que tot quadrilater tal que les seves diagonals es tallen en el punt mig és un paral.lelogram. Es demarra fer dues demostracions : i) U na demostració afí. ii) Una demostració projectiva. 169.-Setembre 1993 Des d'els vertexs a, b, e d'un triangle en el pla projectiu es projecten dos punts p', p11 ( que no estan sobre els costats) sobre els costats oposats respectius del triangle, i així s 'obtenen els punts a', a"; b', b"; e', e". Proveu: (b,c,a',a") · (c,a,b',b") · (a,b,c',c") = l. 37 Coniques en referencia principal. Coniques en referencia principal. X y X y 188.-Les rectes -;;, + b= O, -;;, -b= O s'anomenen asímptotes de la hiperbola x2 y2 - - - = l. Proveu que lim(Yhip -Yas )= O quan x --+ +oo, x --+ -oo. a2 b2 189.-Trobeu semieixos, excentricitat i focus de la hiperbola 2x2 -y2 + 16x + 2y = -29. 190.-Trobeu les equacions de les tangents a la el-lipse x + 4y2 = 4 des d'el punt (O, 3). 191.-Proveu que una hiperbola admet l'equació xy = k en un cert sistema de referen cia afí. Proveu que aquest sistema és rectangular. si i només si la hiperbola té els semieixos iguals, cas en el qual s'anomena hiperbola equilatera. 192.-Escriviuu l'equació de la tangent a la el-lipse :: + t: = 1 en un dels seus punts (x0, y0). Feu el mateix per a la hiperbola :: -t: = 1 i per a la parabola y2 = 2px. x2 y2 193.-Donada la el-lipse -+ - = 1, proveu que les tangents pels punts X,X' en a2 b2 els quals un diametr la talla són paral-leles. El diametre paral-lel a aquestes tangents s'anomena diametre conjugat del diametre inicial. Proveu que la relació entre els pendents de dos diametres conjugats és i estudieu el cas particular de la circumferencia. 194.-Proveu que els punts mitjans de totes les cordes paral-leles a un diametre d' una el-lipse pertanyen al seu diametre conjugat. 195.-Proveu que la tangent i la normal en un punt d'una el-lipse i d'una hiperbola són les 44 Coniques en referencia principal. bisectrius dels radis focals (rectes que uneixen el punt amb els focus). Interpreteu aquest fet en termes de refl.exió de rajos que surten d'un focus. 196.-Proveu que en una para.bola la tangent i la normal en un punt són les bisectrius del parell de rectes format pel radi focal i la perpendicular a la directriu en el punt. Dedui:u la propietat de refl.exió en miralls parabolics. 197.-Família de coniques homofocals. Donada la família de coniques i) Classifiqueu-les ii) Proveu que les eHipses i les hiperboles de la família tenen els mateixos focus. iii) Proveu que les eHipses i les hiperboles de la família es tallen ortogonalment. 198.-Construi:u amb regla i campas el focus, vertex, eix i directriu d'una para.bola donada. 199.-S'F.te.mbre 1993 Trobeu el lloc geometric dels simetrics d'un focus d'una el.lipse donada respecte les tangents a aquesta. 200.-Febrer 1997 Sigui PQ un diametre d'una el·lipse de centre O, A un punt de la eHipse diferent de Pi de Q, tal que la tangent a la eHipse en A és paraHela a PQ. l. Proveu que les tangents a la eHipse en P i en Q són paraHeles a OA. 2. Trobeu el lloc geometric dels punts mitjans de les cordes de la el·lipse paraHeles a PQ. 45 Problemes generals de coniques i quadriques. Problemes generals de coniques i quadriques. 201.-Classifiqueu i trobeu els elements notables de les coniques següents, donades en una referencia rectangular 1) 7x2 + 6vf3xy + 13y2 -4(20 -vf3)x -4(1 + 20v/3)y + 400 = O 2) 3x2 -5xy -2y2 + x + l2y -10 = O 3) x2 -2xy + y2 -x + y -2 = O 202.-Trobeu focus, vertex, eix i directriu de la parab9la donada en una referencia rectan gular: 4x2 + 4xy + y2 -2x + 4y + 1 = O. 203.-Redui:u i classifiqueu afinment les següentes coniques : 1) x2-y2-2vf3xy+4x+7=0 2) x2 + y2 -2xy + 4x -6y + 8 = O 3) 2x2 + 5xy -3y2 + 4x + 5y + 2 = O 4) x2 +y2 -2x + 2>..xy -1 = O, segons els valors de >... 204.-Redui:u i classifiqueu euclidianament les següentes coniques donades en una referencia rectangular : 1) x2 +2xy -3y2 + 2x + 4y -3 = O 2) x2 +y2 + 2xy -4x + 1 = O 205.-Determineu totes les coniques que passen pels 4 vertexs d'un paraHelogram. (indicació : treballeu en una referencia afí adaptada a la figura) Dedui:u que no es pot inscriure cap paraHelogram en una para.bola. 206.-Redu'iu i classifiqueu afinment les següentes quadriques 1) 5x2 + 2y2 + 2z2 -4xy + 2xz -4yz -l = O 46 Problemes generals de coniques i quadriques. 2) 2x2 + 5y2 + 2z2 -'2xy -4xz + 2x -lOy -2z + 4 = O 3) x2 + y2 + z2 + 2xy -2xz - 2yz - 4x - 4y + 4z + 3 = O 207.-Redui:u i classifi.queu afi.nment les següentes quadriques segons els valors dels parametres a) x2 + (µ + l)y2 + µz2 + 2xy -2yz +2x + 2z + 4= O b) x2 - 2y2 + az2 -2xy + 2yz + 2x + 1 = O c)A(x -y)2 + µ(x -z)2 + ,\(y -z)2 = v. 208.-Redui:u i classifiqueu euclidianament les següentes quadriques donades en una referen cia rectangular a) 2x2 -3y2 - z2 -2y1Jyz + 16x -4y1Jy -4z + 20 = O 7 b) x2+5y2 + z2 -2xy + 4yz - 2x + 6z + 9 = O c)4x2 + y2 + 4z2 + 4xy -8xz - 4yz - 6x -12y -12z = O 209.-Trobeu el con tangent a la conica x2 -2y = O des d'el punt (O, -1). Feu-ho: 1) Afinment. 2) Projectivament, fent servir la polar del punt (O, -1). 210.-Trobeu el "con tangent" a la quadrica x2-2y = O des d'el punt (O, -1, O). 211.-Trobeu el cilindre projectant de la quadrica x2 + 2y2 + 4z2 = 1 en la direcció v=(l,0,1). 212.-Quadriques reglades Una quadrica es diu reglada si és una unió de rectes. Es vol demostrar que l'hiperbo loide d'un full a JR3 és una quadrica reglada. Proveu: i) En una certa referencia afí admet una equació de la forma xz = (1 + y)(l -y). ii)Les d ues famílies de rectes AX z l o 1 47 { 1 + y >.(l -y) AZ X o 1 Problemes generals de coniques i quadriques. estan contingudes a la quadrica iii) Per cada punt de l'hiperboloide passa una i només una recta de cadascuna de les 2 famílies iv) Dues rectes diferents de la mateixa família es creuen v) Dues rectes qualssevol, una de cada família, es tallen en un punt o són paraHeles. vi) Les dues rectes que passen per un punt estan contingudes en el pla tangent a la quadrica en aquest punt, i vii) La intersecció d'aquest pla tangent amb la quadrica esta formada per aquestes dues rectes. 213.-Feu el mateix problema anterior per provar que el paraboloide hiperbalic és una quadrica reglada, amb les mateixes propietats. (Proveu que l 'equació del paraboloide en una certa referencia és xy = z.) 214.-Feixos lineals de quadriques Si Q1 = O, Q2 = O són les equaciones de dues quadriques en una certa referencia, es defineix el feix deterrninat perle:,; <lue:::; 4.uadriques com el conjunt de quadriques d'equació >.Q1 + µQ2 = O, en variar >.., µ. Proveu : i) Tota quadrica del feix conté la intersecció de Q1 i Q2. ii) Per tot punt P (/. Q1 n Q2 passa una quadrica del feix. Apliqueu-ho a trobar una canica que passi pels punts (-3, -1), (-2, O); (-1, 2), (1, -1), (2, 1). 215.-Donats P, Q, R tres punts del pla no alineats, siguin r = O la recta PQ, q O la recta P R, p =O la recta QR, i l = O una recta per P. Proveu que les caniques del feix p · l + µ r · q = O passen totes per P, Q i R i tenen tangent l en P. 216.-Apliqueu el problema anterior a trobar la canica per (-3, O), (-2, 2), (-1, -1), (1, 3) tangent en (1, 3) a la recta y= 3. 48 1 \ Problemes generals de coniques i quadriques. 217.-Donats dos punts P,Q del pla i dues rectes l = O, r = O, que contenen respectivament P i Q, i diferents de la recta m = O que passa per P i Q, proveu que les coniques del feix l-r + µm 2 = O passen totes per P i Q i tenen tangent l en P, i tangent r en Q. 218.-Apliqueu el problema anterior a trobar la canica per (-1, 2), (3, O), (O,-½) i que en (-1,2) té tangent x + l = O i en (3,0) té tangent x -2y-3 = O. x2 y2 219.-Donada la eHipse aZ + 62 = 1 , proveu : a) La condjció 1ue ha de cumplir la recta ux + vy = 1 perque intercepti una corda vista des d'el centre sota un angle de 90° és 2 2 1 1 u+ v =a2 + b2. ·b) Proveu que les rectes que eumpleixen aquesta condició són les rectes tangents a una circumferencia, de la qual es demana trobar el radi. 220.-Proveu que la secció del pla x + 2y + z = 1 amb la quadric.a x2 -3y2 -9z2 + 2xy -12yz -4x -2y + 2z + 1 = O és una hiperbola. 221.-Trobeu una quadrica que passi per les coniques i pel punt (1, 1, 1). +y2 o o xz + z y o o 222.-Trobeu un paraboloide hiperbolic tal que la seva secció per z = O sigui la canica -x2 i que contingui les rectes x = 1, y = O z = o +y = o x = 2z, y= O. 49 Problemes generals de coniques i quadriques. 223.-Proveu que el con projectant des de l'origen de la intersecció de l'eHipsoide amb el pla ux + vy + wz = l és 224.-Juny 1993 x2 y2 z2 2 2 + -b2 + 2 = (ux + vy + wz) a e a) Trobeu els centres de simetria, els eixos de simetría i els plans de simetría del cilindre de l'espai !R3 x2 y2 a2 -b2 = l. b) Trobeu els centres de simetría, els eixos de simetria i els plans de simetria de la quadrica 9x2-50y2 + l6z2 + 24xz + 30x + 40z + 50 = O. 225.-Febrer 1994 En el pla euclidia es considera un hexagon regular de vertexs consecutius A, B, C, D, E, F i centre O, i les referencies R = { O; OA, OC} , i R una referencia rectangular d'origen O i primer vector base OA. Es demana: ( 1) Doneu les coordenades de tots els vertexs de l 'hexagon en les d ues referencies. (2) Es considera l'afinitat que transforma els punts O, A, B respectivament en els punts E, O, D. Proveu que és un desplac;ament estudieu-lo. (3) Trobeu, en la referencia R, l'equació de la simetría d'eix la recta DC. (4) Estudieu (sinteticament) el producte dels moviments dels dos apartats anteriors. ( 5) Es dóna la canica en la referencia R 4x2 + 5y2 -4xy -8x + 4y = O. Es demana que la redui:u, classifiqueu, doneu tots els seus elements característics, i dibuixeu. 50 Problemes generals de coniques i quadriq1tes. (6) Es considera el con tangent a la canica anterior de vertex D. Calculeu l'area del triangle format pel punt D i els dos punts de contacte del con amb la conica. 226.-Juliol 1994 Donat l'eHipsoide Q d'equació x2 /3 + y2 /2 + z2 = 2, i el punt P(l, 1, 1), 1) Trobeu l'equació de l'hiperpla polar , diguem-ne II, de P respecte de Q. 2) Determineu l'equació del pla H = P VII=· 3) Demostreu que H és l'únic pla tal que C = H n Q és una canica centrada de centre P (useu la definició projectiva de centre ). 4) Proveu que C és una eHipse real i calculeu-ne l'area (per a classificar C podeu usar D3 i d2 calculats amb una equació de C respecte d'una referencia arbitraria de H pero heu de tenir en compte que llavors la fórmula de l'area és 7f,[iff-, on g és el determinant de la matriu de la metrica respecte de la mateixa referencia). 227.-Setembre 1994 Trobeu l'angle format per les dues generatrius del con yz + zx + xy = O contingudes al pla 6x + 3y = 2z. 228.-Febrer 1995 Es considera la quadrica 7x2 + 5y2 -3z2 -2V3xy + 28x -4V3y + l8z + 1 - µ=O. 1) Si A és la matriu associada a la quadrica, calculeu una matriu ortogonal M tal que Mt Alvl sigui diagonal. 2) Obteniu l'equació de la quadrica en la referencia definida per les equacions del canvi (xy z)1 = M ·(x' y' z')1 3) Relacioneu geometricament (feu un dibuix) les dues referencies. 4) Feu un canvi d'origen i obteniu l'equació redu:ida de la quadrica. 5) Dibuixeu la quadrica per aµ= 24, en l'última referencia. 6) Classifiqueu-la segons els valors de µ. 7) Per quins valors de µ la quadrica és reglada ? 51 Problemes generals de coniques i quadriques. 229.-Febrer 1995 Sigui A la matri u d 'una conica pro jecti va en una certa referencia, i Y = [Yo, y1, y2] i Z= [zo, z1, z2] dos punts conjugats respecte la canica que no pertanyen a aquesta. Siguin R i S els punts d 'intersecció de la conica amb la recta Y Z. 1) Si escrivim els punts R i S de la forma R = Y+ >.Z i S = Y+ µZ, calculeu els valors de >. i µ en funció de A, Y i Z. 2) Proveu que (Y, Z; R, S) = -l. 3) Dedufo que el centre d'una conica centrada i no degenerada és el punt mig de qualsevol diametre. 230.-Juny 1995 Trobeu l'expressió general de les coniques centrades que passen pels punts (O, O), (1, O), (O, 1) i tenen el seu centre al punt (1/2, O) (les ·coordenades cartesianes considerades són rectangulars). Classifiqueu-les i digueu quina relació tenen les caniques degenerades d'aquesta familia (si n'hi ha alguna) amb els quatre punts donats. 231.-Setembre 1995 Considerem la conica x2 y2 2 ª2 + b2 = ( ux + vy) ( referencia cartesiana rectangular): 1) Classifiqueu-la en funció de a, b, u, v. 2) Considerem l'eHipse i la recta ux + vy = 1. Siguin A i B els punts d'intersecció de l'eHipse i la recta. Proveu que l'equació de la canica formada per la parella de rectes O A O B és la donada per ( *). 52 Problemes generals de coniques i quadriques. 232.-Febrer 1996 Es diu que dues circumferencies són ortogonals quan les tangents en els punts comuns ho són. Proveu que la condició necessa.ria i suficient perque les circumferencies de centres ( a, b) i (a', b') ( en referencia rectangular) i radis respectius r i r' siguin ortogonals és r2 + r'2 = (a -a')2 + (b -b')2. Expresseu aquesta condició quan les equacions de les circumferencies són i = 1, 2. 233.-Juny 1996 Siguin r i s les tangents a una eHipse en els extrems del seu eix major. Siguin NI i N els punts d'intersecció d'una tangent arbitra.ria de l'eHipse amb r i s. Proveu que la circumferencia de dia.metre M N passa pels focus de l'eHipse. 234.-Juliol 1996 Siguin ( x, y, z) coordenades cartesianes rectangulars de l 'espai euclidia.. (1) 'l'robeu l'equació del con de vertex V(O, 1, 2) i que talla el pla xy segons la circum ferencia de radi unitat amb centre l'origen. (2) Classifiqueu les coniques intersecció d'aquest con amb els plans que passen per la recta L d'equacions y= z = 2. (3) Interpreteu els resultats anteriors en termes de les interseccions del con, i dels plans que contenen la recta L, amb el pla yz. 235.-Febrer 1997 Donada ( en referencia rectangular) la qua.drica Q : x2 + y2 + z2 -2x -4y - 4z -1 = O i el pla 1r : 2x -y -2z + 13 = O, es demana: 1. Proveu que la intersecció de Q amb 1r és una circumferencia, i doneu-ne el centre i el radi. 53 + Llocs geometrics ( coniques i quadriques). 264.-Juliol 1998 En l'espai euclidia de dimensió 3, siguin 111 el pla x = y, 112 el play= z, i M el punt (O, q, O), on (x, y, z) són coordenades cartesianes rectangulars. Per a cada punt P, denotem les seves projeccions ortogonals sobre 111 i 112 per P 1 i P 2, respectivament. Trobeu el lloc geometric dels punts P tals que M P 1 i M P 2 són ortogonals i classifiqueu-lo segons els valors de q. 265.-Gener 2000 Es consideren els triangles del pla euclidia tals que les rectes definides per dos dels seus costats són fixes. Suposant que la longitud del tercer costat és una constant l, es demana que trobeu: 1) El lloc geometric dels baricentres d'aquests triangles ( cal especificar de quina figura es tracta). 2) La condició necessaria i suficient perque auquest llocsigui una circumferencia. 266.-Juliol 2001 Sigui ABC un triangle equilater del pla euclidia A.2. 1. Determineu el conjunt M = { m E IR 1 :3 Gm E A2 2. Trobeu i dibuixeu el lloc geometric dels punts Gm, en variar m E M. 3. Trobeu i dibuixeu el lloc geometric dels punts PE A.2 tals que: I Facultat de Matematiques i Estadística BIBLIOTECA l. ,.) NAT G 60