Re is a in e nacional
de
mé odos numé icos pa a cálculo
y
diseño en ingenie ía, Vol. 1,1,21-36 (1985)
INTERPOLACION MINIMO-CUADRATICA DE SUPERFICIES
A
PARTIR DE DATOS IRREGULARMENTE DISTRIBUIDOS
MARI0 AYMERICH
FERMIN NAVARRINA
Y
MANUEL CASTELEIRO
Escuela Técnica Supe io de Ingenie os
de Caminos, anales
y
Pue os.
Uni e si a
Poli ecnica de Ca alunya.
RESUMEN
La
in e polación de supe icies a pa i de da os i egula men e dis ibuidos se ha basado no mal-
men e en algo i mos ales que 1a.supe icie ob enida pasa po odos los pun os base de in e polación.
Sin emba go, cuando dichos da os son expe imen ales, su g ado de iabilidad no iene po qué se
el mismo pa a odos ellos, y po an o las condiciones impues as po ales algo i mos pueden
se innecesa ias e incluso incon enien es. En es e abajo se p esen a un mé odo pa a la ob ención
de supe icies sua es que subsana es e p oblema, y cuyo c i e io de ap oximación es el de mínimos
cuad ados. La con inuidad de segundo o den de la supe icie queda ga an izada al u iliza pa a
su gene ación el p oduc o enso ial de dos bases de splines cúbicas. Se examinan di e sos ejemplos
y se p esen an posibles líneas de u u o desa ollo.
SUMMARY
Su ace in e pola ion om i egula ly dis ibu ed da a poin s is usually based on algo i hms
which p oduce su aces con aining al1 da a poin s. Expe imen al measu emen s ha e di e en
le els o eliabili y and, he e o e, he cons ain s imposed by such algo i hms may be unnecessa y
and e en misleading.
A
me hod o ob ain smoo h su aces h ough leas squa es cn e ia is p esen ed.
Second o de con inui y is gua an eed by he use o he enso p oduc o wo cubic spline bases
in he gene a ion p ocess. Se e al examples a e discussed and some o he possible ields o u u e
esea ch a e ou lined.
INTRODUCCION
La in e polación y ap oximación de supe icies son p oblemas complejos que su gen
en muchas aplicaciones del cálculo numé ico. En gene al, el obje i o de la in e polación
o
ap oximación consis e en ob ene la exp esión ma emá ica de una supe icie en
el espacio idimensional que e i ique una se ie de condicionamien os impues os,
y
que se amolde en mayo o meno g ado a un conjun o de pun os base conocidos.
La
exp esión ma emá ica ha de se adecuadamen e a able en el con ex o de la aplica-
ción especí ica en cuyo desa ollo se plan ea la in e polación. Exis en algo i mos
y
écnicas e icien es pa a ap oxima supe icies a pa i de una malla egula de pun os,
pe o no así en el caso de da os i egula men e dis ibuidos, y mucho menos
Recibido: Diciemb e 1984 21
-
si a la supe icie buscada se le exige un o den de con inuidad supe io a uno.
En el caso que nos ocupa, abo damos el p oblema de ap oxima supe icies con
g ado de con inuidad dos a un conjun o de pun os i egula men e dis ibuidos
en una egión ini a del espacio. Dada la na u aleza de la o mulación p opues a,
es inmedia o ex ende el ango de aplicación con eque imien os de con inuidad
supe io es.
El mé odo analizado o mula la supe icie in e polado a como un spline bicúbico
en una malla ec angula de nodos i egula men e espaciados. Los elemen os de la base
de splines bidimensionales, se ob ienen di ec amen e a pa i del p oduc o enso ial
de las dos bases de splines cúbicos con de i ada segunda con ínua, en las di ecciones
de los ejes de la malla. La base de splines bicúbicos es po es a azón de clase C2.
Los coe icien es que de inen la supe icie in e polado a como combinación lineal
de los elemen os de la base, se calculan de o ma que minimicen el e o cuad á ico
de la supe icie espec o al conjun o de da os.
La
e icacia del mé odo se ha con as ado
median e una unción de p ueba con la del algo i mo de Akimal, pa a in e polación
de supe icies de con inuidad uno sob e pun os i egula men e dis ibuidos. Es e
algo i mo, a di e encia del p opues o, gene a in e polaciones pu as sob e el conjun o
de da os. A pesa de que el mé odo analizado en el p esen e a ículo p opo ciona,
en p incipio, ap oximaciones y no in e polaciones pu as, el esul ado ob enido es
de mayo calidad, y el o den de con inuidad mayo . Finalmen e se han gene ado
supe icies a pa i de da os ob enidos en casos eales, comp obándose la e sa ilidad
y e icacia del mé odo p opues o.
HIPOTESIS BASICAS
En adelan e acep a emos los siguien es equisi os:
1.
La
egión de in e polación es ec angula .
2. Los da os de en ada son las es coo denadas ca esianas de los pun os base. Es os
se encon a án en gene al dis ibuidos de o ma i egula den o de la egión de in e -
polación.
3.
La supe icie in e polado a hab á de se exp esable median e una unción Z(X,Y)
uní oca pa a odo pa de coo denadas
(X,Y)
en su egión de de inición.
4.
La
unción Z(X,Y) ha de posee , al menos, con inuidad de segundo o den.
S.
El algo i mo debe p opo ciona una exp esión acional que pe mi a calcula el alo
de la unción Z(X,Y) en odos los pun os de la egión de in e polación.
6.
La
supe icie in e polada ha de p opo ciona una ap oximación "ADECUADA",
y "EFICIENTE" y ha de cumpli el equisi o de "SUAVIDAD", en endiendo es os
é minos en sen ido amplio.
En un con ex o más gene al, algunos de es os eque imien os pod ían al e a se.
h'o hay o malmen e ningún incon enien e en que el con o no de la egión de in e -
polación no sea ec angula , la con inuidad de la supe icie sea de o den mayo
o meno , o la ecuación de la supe icie se ob enga en un sis ema de coo denadas
no ca esiano.
INTERPOLACION MINIMOCUADRATICA DE SUPERFICIES
El desa ollo del mé odo incluye las siguien es ases:
1. De ini una malla plana ec angula , no necesa iamen e equiespaciada, en el plano
XY sob e la que se ealiza á la in e polación.
S.
Calcula una base de splines cúbicos con de i ada segunda con ínua en cada una
de las di ecciones p incipales de la malla, que iden i icamos con los ejes
X
e Y
del plano de la misma.
3.
Ob ene la base de splines bicúbicos de la supe icie como p oduc o enso ial de
las dos bases an e io es.
4.
Fo mula la supe icie in e polado a como combinación lineal de los elemen os
de la base.
5.
Exp esa el e o cyad á ico de la supe icie espec o al conjun o de da os en unción
de los coe icien es de la combinación lineal.
6.
Impone la minimización del e o cuad á ico, y esol e el sis ema de ecuaciones
plan eado.
FORMULACION MATEMATICA
De inición de
la
unción de in e polación
Exp esamos el p oblema empleando la no ación siguien e:
1. Sea N, el núme o de da os.
2.
Sea (X,, Y,,
Z,
),
i
=
1, N,], el conjun o de da os, dado po las es coo denadas
ca esianas de cada elemen o e e ido a una base o ogonal.
3.
Conside amos la malla ec angula en que se e ec úa la in e polación de inida po
el usua io, o gene ada au omá icamen e a pa i del conjun o de da os, como o ma-
da po
N,,
ilas en la di ección del eje X, y
N,
columnas en la di ección del eje Y.
4.
Sea N,
=
N,.
N,
el núme o de nodos de la malla.
5.
Sea XMj la coo denada
X
de la ila
j
de la malla.
6.
Sea YMk la coo denada Y de la columna k de la malla.
7.
Sea
(F,,
,
j
=
1,
N,;
k
=
1,
N,), el conjun o de alo es de la unción in e polado a
en los nodos de la malla co espondien es a las ilas j-ésimas y a las columnas
k-ésimas.
Una ez conocidos, los alo es Fjk pe mi i án de ini comple amen e la unción
de in e polación.
Pa a ello, in oducimos las bases de splines siguien es:
1. Sea {cx,(x), i
=
1, N,), la base de splines cúbicos con segunda de i ada con ínua,
de inida sob e la sucesión de coo denadas (xM,, j
=
1, N,), que e i ica:
CXi
(XMj)
=
6
(i,
j)
(1
1
siendo
6
(i,
j)
la del a de K onecke .
M. AYMERICH,
F.
NAVARRINA
y
M.CASTELEIR0
2.
Sea (cyi(Y), i
=
1, N,), la base de splines cúbicos con segunda de i ada con ínua,
de inida sob e la sucesión de coo denadas {YMj,
j
=
1, N,}, que e i ica:
CYi (YMj)
=
6
(i,
j)
(2)
siendo
6
(i,
j)
la del a de K onecke .
Las dos bases de splines ienen dos g ados de libe ad en cada uno de sus elemen os.
En lo que sigue en es e es udio supond emos nula la cu a u a en los pun os ex emos,
o iginando splines na u ales, dado que ello minimiza la cu a u a o al. No obs an e,
en una aplicación especí ica pod ía se con enien e, e incluso necesa io, in oduci
o o ipo de condiciones de con o no, (de i adas
o
cu a u as dadas, splines pe iódicos,
e c.), lo que puede ealiza se sin di icul ad.
Empleando el p oduc o enso ial de ambas bases, de inimos la unción in e polado a
en los é minos siguien es:
N,
N,
Z(X,Y)
=
Li
Fjk. CXj(X)- CYk (Y)
j=l
k=l
Es inmedia o comp oba a pa i de la de inición dada, que se e i ica:
iden i icándose po an o Fjk con el alo de la unción de in e polación en el nodo
co espondien e de la malla.
Minimización del e o cuad á ico
Habiendo de inido la o ma gene al de la unción de in e polación, es inmedia o
es ablece que el e o cuad á ico come ido al in e pola , supues os unos pa áme os
Fjk
,
puede exp esa se en la o ma:
El e o cuad á ico mínimo se ob end á pa a la amilia de pa áme os que e i iquen
el sis ema de ecuaciones de inido en la o ma:
Desa ollando la exp esión an e io , ob enemos:
24
INTERPOLACION MINIMOCUADRATICA
DE
SUPERFICIES
Desa ollo ma emá ico
De la exp esión
(3)
se deduce:
Y
sus i uyendo (3) y
(9)
en el sis ema de ecuaciones
(8)
se ob iene
Np
hjx
Ny
E
[
z
2
Fjk
.
CXj (Xi). CYk (Yi)]. CXa (Xi), CYb (Y,)
=
N
P
=
E
zi. CXa(Xi). CYb (Y,),
i=l
Al e ando el o den de los suma o ios, el sis ema an e io pilede esc ibi se como:
N
P
=
E
z,.
CX,(X,). CY,,(Y,), a=l,Nx (1 1)
De iniendo los enso es
y
ma ices siguien es,

M. AYMERICH,
F.
NAVARRINA
y
M. CASTELEIRO
podemos sus i ui su alo en el sis ema (1 l), ob eniendo una exp esión sencilla del
mismo, en la o ma:
El sis ema an e io , es á o mado po N, .Ny ecuaciones lineales, con
N,.N,
incógni-
as,
Fjk.
Pa a a a lo en la o ma habi ual es necesa io de ini las ma ices
y
ec o es
siguien es:
Sgh
=
Mabjk
V,
=
Fjk
Bg
=
Aab
donde,
In oduciendo es a no ación en el sis ema (14), es e puede exp esa se como
un sis ema lineal de
N,
ecuaciones con N, incógni as en la o ma:
Resol iendo el sis ema de ecuaciones an e io se ob ienen los coe icien es
Fjk
buscados, con lo cual desde un pun o de is a o mal queda esuel o el p oblema
de la in e polación.
Condiciones de exis encia
Dado que el sis ema de ecuaciones de inido po la exp esión (18) es lineal
y
de ma iz cuad ada, sólo se á posible asegu a la exis encia
y
unicidad de la solución
en el caso de que su de e minan e sea no nulo. El análisis del de e minan e es complejo,
pe o podemos ob ene conclusiones álidas analizando los da os de en ada.
De es a o ma podemos es ablece los siguien es pun os:
1. Dado que disponemos de
N,
pa áme os pa a modela la supe icie in e polado a.
podemos asegu a en p incipio que pa a de ini la supe icie de o ma uní oca
se á necesa io in oduci cuan o menos N, da os. Es a condición es necesa ia
pe o no su icien e.
2.
Dado que la supe icie in e polada den o de cada ec ángulo elemen al de la malla
es una bicúbica de inida po 16 pa áme os, pa a que la in e polación pase po
odos los da os, es condición necesa ia pe o no su icien e que den o de cada
ec ángulo elemen al pueda in e pola se una bicúbica. Es as conside aciones
se complican al in oduci los equisi os de con inuidad en e ec ángulos elemen-
ales. No obs an e se puede a i ma que en gene al pa a que una al in e polación
INTERPOLACION MINIMOCUADRATICA
DE
SUPERFICIES
exis a, el núme o de da os ha de se den o de cada ec ángulo elemen al igual
o in e io a 16.
3.
Si el núme o de da os es supe io al p oduc o de las dimensiones de la malla, N,,
exis i á en gene al una sóla supe icie de la o ma dada que minimice el e o cuad á-
ico. La e acidad de es e hecho depende á de los da os
y
sólo pod á demos a se
o almen e a a és de un análisis del de e minan e del sis ema, análisis que dado
el o den de la ma iz
y
la complejidad de su o mulación es de g an di icul ad.
4.
Si el núme o de da os iguala al p oduc o de las dimensiones de la malla, N,, exis i á
en gene al una sóla supe icie de la o ma dada que minimice el e o cuad á ico.
Dependiendo de cues iones de mayo di icul ad de análisis como las ela i as
a la exis encia de bicúbicas en cada ec ángulo elemen al, dada la dis ibución
de los da os
y
los eque imien os de con inuidad en la malla, es a única solución
pod ía se una in e polación sob e odos los pun os dados.
5.
Si el núme o de da os es meno que el p oduc o de las dimensiones de la malla,
N,,
exis i á en gene al un núme o in ini o de supe icies de la o ma dada que pasen
po odos ellos. De o ma análoga al caso an e io , la dis ibución de los da os
en los ec ángulos elemen ales, in oduce a ian es de di ícil análisis.
Aspec os numé icos del p oblema
La
ob ención de la unción de in e polación implica la solución de dos p ocesos
numé icamen e cos osos, la gene ación del sis ema de ecuaciones lineales (18),
y su esolución. La ma iz del sis ema es llena y su o den es igual al núme o de nodos
de la malla.
Po es a azón ha de calcula se y almacena se un núme o muy ele ado de elemen os
de la ma iz, y no pueden aplica se esquemas de almacenamien o
y
esolución
de sis emas de ecuaciones en banda. No obs an e, es as di icul ades se soslayan pa cial-
men e si se iene en cuen a la doble sime ía del enso (12).
Si en la gene ación de la ma iz se iene en cuen a es a doble sime ía sólo se á
necesa io calcula una acción de sus componen es. En e ec o el enso (12) posee
sime ía en los índices
1-3
y
2-4, como puede comp oba se a pa i de la exp esión
de sus componen es. Ello indica que de sus N,.N, .N,.N, componen es, sólo se á
necesa io calcula N, .((l +Nx)/2).Ny .((l
+Ny)/2),
lo cual educe a algo más del
25% el núme o de ope aciones necesa ias. La ma iz del sis ema exp esada en la o ma
(1
5)
es además una ma iz simé ica, o mada po N, .N, cajas simé icas de o den
N,
.N,.
Es a pa icula idad puede se ap o echada en ajosamen e en el p oceso
de esolución del sis ema.
Respec o a los iempos de cálculo, podemos es ablece que:
1.
El núme o de pun os da o sólo in luye signi ica i amen e en el iempo de cálculo
al ensambla la ma iz del sis ema. Pues o que po cada pun o sólo se p oduce
una apo ación a cada elemen o de la ma iz, podemos conclui que el iempo
de gene ación del sis ema es p opo cional al núme o de da os.
2.
El núme o de nodos de la malla, igual al p oduc o de sus dimensiones, N, y N,,
in luye signi ica i amen e en el ensamblaje del sis ema y en el iempo de cálculo
pos e io de cada pun o in e polado, siendo el iempo eque ido ap oximadamen e
p opo cional al cuad ado del núme o de nodos y
al
núme o de nodos, espec i a-
M. AYMERICH,
F.
NAVARRINA
y
M.
CASTELEIRO
men e, en dichas ope aciones. Su in luencia en odo caso es especialmen e no o ia
en el iempo necesa io pa a la esolución del sis ema de ecuaciones, dado que és e
es ap oximadamen e p opo cional al cubo del núme o de nodos.
Respec o a la disposición de los da os hemos de conside a dos e ec os de dis in o
signo
:
1. Si los da os se encuen an ag upados en una de e minada zona de la egión
de in e polación, dada la écnica empleada pa a gene a el sis ema de ecuaciones,
los coe icien es ela i os a los nodos si uados en al zona se ían mayo es en alo
absolu o que los ela i os a zonas con meno núme o de da os. Ello conduce
a sis emas mal condicionados, que in oducen ines abilidades numé icas en
el p oblema. El g ado de ag upamien o debe conside a se en elación con la mayo
o meno de inición de la malla analizada localmen e.
2. Los bo des de la malla son de po sí las zonas más sensibles
a
la disposición
de los da os, como es ecuen e en muchos ipos de in e polación. Se ía con enien e
po ello ealiza un mues e0 más abundan e en las p oximidades de los bo des
de la malla.
DISCUSION
Y
ANALISIS DE RESULTADOS
Con as e del mé odo
Pa a comp oba la e icacia del algo i mo, hemos u ilizado la supe icie de p ueba
siguien e
:
de inida en el cuad ado comp endido en e los alo es -1 y +1 de las coo denadas
X
e
Y.
Pa a elaciona la e icacia con el núme o de pun os da o, se han gene ado g upos
de 50, 100, 200 y 500 pun os de la supe icie, ob enidos alea o iamen e con dis ibu-
ciones uni o mes de los pa áme os
y
. Como es e iden e, la dis ibución de las coo -
denadas
X
e
Y
de los pun os ob enidos no es uni o me en el cuad ado en que es á
de inida la unción, sino que la densidad de da os es mayo en la zona cen al que
en la pe i e ia.
Pa a elaciona la e icacia con las dimensiones de la malla se han ealizado in e pola-
ciones con mallas de 3x3,
5x5,
7x7 y 10x10 nodos. Se han omi ido los casos en que
los esul ados e an epe i i os (mallas de 3x3 en que el mayo núme o de da os
no apo aba mejo a alguna en la in e polación). La expe iencia ha demos ado que
la in e polación es insa is ac o ia cuando
el
núme o de da os es in e io al doble
del núme o de nodos.
Como c i e io de compa ación de la e icacia del mé odo, se han ealizado in e pola-
ciones po el mé odo de Akima en odos los casos.
A con inuación se p esen an los esul ados ob enidos:
INTERPOLACION MINIMOCUADRATICA DE SUPERFICIES
Figu a
1
.-
Supe icie de compa ación ob enida Figu a
3
.O.- Algo i mo de Akima con 50 da os.
median e la unción conocida de p ueba.
Figu a 2.1
.-
Mínimos cuad ados con 50 da os Figu a
2.2.-
Mínimos cuad ados con 50 da os
y
malla de 3x3.
y
malla
de
5x5
.
Figu a 3.0.- Algo i mo de Akima con 100 Figu a
3.1
.-
Mínimos cuad ados con 100 da os
da os.
y
malla de 5x5
.