Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol. 13,4, 423-436(1997)
MÉTODOS DE CONTINUACIÓN
PARA
EL
TRAZADO
DE CURVAS DE EQUILIBRIO PRIMARIAS
Y
SECUNDARIAS
EN
ANÁLISIS
DE MECANISMOS
ALBERTO CARDONA
Y
ALFREDO HUESPE
INTEC,
Güemes
3450, 3000 San a Fe, A gen ina
Tel.:
+
54-42-5591 74 Faz:
+
54-42-550944
RESUMEN
Desc ibimos un mé odo pa a el azado de ayec o ias de equilib io en sis emas
mul icue pos lexibles. Pe mi e posiciona se en o ma p ecisa en pun os lími e y de bi u cación
simples. El sis ema de ecuaciones aumen ado p opues o pa a ubica los pun os singula es log a
una asa de con e gencia cuad á ica en ambos casos. Se mues an ejemplos de ilus ación.
CONTINUATION METHODS FOR TRACING THE NONLINEAR
EQUILIBRIUM PATH IN FLEXIBLE MULTI-BODY SYSTEMS
SUMMARY
We desc ibe a me hodology o acing he nonlinea equilib ium pa h in lexible mul ibody
sys ems. I allows o posi ion accu a ely u ning and simple bi u ca ion poin s. The augmen ed
sys ems o equa ions p oposed o posi ion he singula poin s, gi e ull quad a ic con e gence
a e in bo h cases. Se e a1 examples illus a ing he app oach a e p esen ed.
Analizamos el p oblema de de e mina el conjun o de pun os {(q,p)
E
IRn
x
IR)
al que
g(qd-4
=
0
(1)
donde
g
:
IRn 1
-+
IRn
es una unción no lineal algeb aica. Es a ecuación puede
se is a como una unción implíci a que en ega la espues a
q
de sis emas disc e os
ísicos no lineales en e
a
a iaciones del pa áme o de con ol p. Es os pun os pueden
ca ac e iza , po ejemplo, los es ados de equilib io de una es uc u a mecánica.
Recibido: Feb e o 1997
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
423
424
A.
CARDONA
Y
A.
HUESPE
La solución
(q,
p) a la ecuación no lineal
(1)
es una a iedad unidimensional en
IE n"
que puede se desc ip a po el mapeo
donde el nue o pa áme o s ecibe usualmen e el signi icado de una longi ud de a co1.
Sea
(qO,
pO) (pun o c i ico o singula ) en donde Vqg es singula . Nos es ingi emos
a casos en los que la dimensión del espacio nulo VqgO es uno, o sea
N
(VqgO)
=
~pan(4~).
Pueden p esen a se en onces dos al e na i as:
1. Vpg
&I
R(Vqg)
:
es os pun os son llamados pun os limi e.
2.
Vpg
E
R(Vqg)
:
es a condición se ca ac e iza ambién po se KVpg
=
0,
con
4:
ec o de base del espacio nulo de ( ~~)~. Es os pun os se llaman pun os de
bi u cación.
Nume osos au o es han a ado es e p oblema, p es ando una a ención pa icula
al análisis de pun os de bi u cación. Podemos menciona los abajos de Allman2,
W igge s e aL3 y E iksson4 den o de la li e a u a de ingenie ía. El ema ha ecibido
g an a ención en la li e a u a de análisis numé ico: mencionamos los abajos de Moo e
e aL5, Decke e aL6 y de Fink e aL7 en e muchos o os.
Supongamos que es amos azando la ayec o ia de equilib io sob e el camino
undamen al, y que de ec amos un cambio de signo del de (Vqg) en el pun o (qn,pn).
Llama emos Vqg
=
K
y Vpg
=
-g,, . Asumi emos po simplicidad que
K
es
simé ica. Luego, podemos de e mina exac amen e un pun o lími e esol iendo el
siguien e sis ema aumen ado de ecuaciones algeb aicas no lineales (SPL)
donde la unción
e
:
IRn
+
IR
is
1(41)
=
1141
112
-
1.
Es e sis ema de ecuaciones puede usa se pa a de e mina la solución solamen e
en el caso en que el pun o singula sea pun o lími e5. En un pun o de bi u cación,
el sis ema
(3)
es singula . Pa a elimina la singula idad, aumen amos nue amen e el
sis ema añadiendo una ecuación y una nue a incógni a
y
(SPB)
en donde adop amos
e($,)
=
ei4,
-
1,
y ei es el ec o i-ésimo de la base canónica en
IRn. La componen e i es elegida de o ma que co esponda con aquélla que posee el
mayo alo absolu o en
MÉTODOS DE CONTINUACIÓS PARA
EL
TRAZADO DE CURVAS DE EQCILIBRIO
425
El p oceso de solución en un pun o singula es iniciado como si és e se a a a de
un pun o lími e. Si en cambio encon amos un pun o de bi u cación, el sis ema de
ecuaciones a esol e es cambiado de la ecuación
(3)
a la ecuación (4). Es a si uación
es de ec ada e aluando
donde cO h es una ole ancia de inida po el usua io.
Desc ibimos a con inuación el p ocedimien o seguido pa a esol e el sis ema SPB;
en un pun o lími e, la solución es ob enida siguiendo conside aciones simila es.
Usamos el esquema de New on pa a esol e (4). El sis ema lineal a esol e en
cada i e ación es el siguien e
Asumimos que g(q,
p)
=
gin (q)
-
pgex , o sea que las ue zas ex e nas son
conse a i as; luego:
Pa a esol e (6), usamos un esquema simila al algo i mo de bo de (bo de ing
alg~ i hm)~, ac o izando en cada i e ación sólo la ma iz angen e
K.
Sin emba go,
debemos ene en cuen a que es a ma iz se hace singula en el pun o c í ico. Pa a
e i a la singula idad, ans o mamos el sis ema median e el añadido de un é mino de
penalidad siguiendo una écnica simila a la p opues a po Felippag
Sea
K
de inida po
donde
p
es un alo medio de igidez. La solución a la ecuación (6) puede exp esa se
po la combinación lineal
donde los ec o es
{
)(O),
{
)(')
se ob ienen más abajo. P ime o, calculamos
426
A.
CARDONA
Y
A.
HUESPE
donde Bhi
=
Vq(K$l)hi. Nó ese que las ope aciones mencionadas implican una única
ac o ización de
K
y
seis e osubs i uciones. Los ec o es ho, hl
,
h2, jO,
j
1,
j2
se usan
en los cálculos siguien es
Pos e io men e, los alo es calculados se eemplazan en la ecuación
(9).
DETERMINACI~N
DE
LAS
TANGENTES
AL
CAMINO
EN EL PUNTO SINGULAR
El
ec o angen e a la cu a
g(s),
deno ado po
(4,
p)
=
(2.,
2),
y
sus de i adas
de o den supe io
(4,
p),
. .
.,
pueden ob ene se esol iendo los sis emas de ecuaciones
siguien es (los cuales se ob ienen po di e enciaciones sucesi as de la ecuación (2)
La de e minación co ec a del ec o (q,
p)
juega un ol undamen al pa a el éxi o
del esquema numé ico. ~s e se basa en un algo i mo p edic o -co ec o con un paso de
Eule hacia adelan e como p edic o l. Si Vqg es no-singula en el pun o conside ado, el
ec o angen e puede e alua se di ec amen e a pa i de la ecuación (12), esul ando
En los pun os
(qO,
pO) donde Vqg es singula , pueden p esen a se dos al e na i as:
1.
En un pun o lími e, el único ec o angen e esul a
donde
C
es un escala a bi a io.
2. En un pun o de bi u cación, el ec o angen e puede esc ibi se como
(41 P)
=
(740
+
C41
1
7)
siendo
$o
la solución única de
Des acamos que el sis ema (16) es á sobi-ede e minado. Pa a calcula
40,
usamos
en cambio el siguien e sis ema aumen ado
donde
K
=
K
+
p
eieF
y donde
y
=
-p
La solución a es e p oblema puede exp esa se en la o ma
donde hl
,
h2 ue on calculados en la ecuación (10).
Los coe icien es inde e minados q,
C
en un pun o de bi u cación, pueden
de e mina se a pa i de la condición de compa ibilidad (12) que asegu a la exis encia
de
(q,
p), i.e.
En o ma equi alen e, pedi emos
Sus i uyendo el ec o angen e inde e minado (15) en la ecuación (20), es a con-
dición de i a en la ecuación de bi u cación algeb aica
(EBA)
dada po Decke
e
aL6
donde
428
A.
CARDONA
Y
A.
HUESPE
La ecuación
(21)
posee a lo sumo dos soluciones independien es, asociadas a las
angen es a los dos caminos de equilib io que se in e sec an. Dis ingui emos dos casos
1.
a
=
O
(bi u cación simé ica o en ho quilla): en es e caso, las dos soluciones a la
ecuación
(21)
pueden esc ibi se en la o ma
2.
a
#
O
(bi u cación asimé ica): aho a, la solución a la ecuación
(21)
puede
exp esa se en la o ma
Los dos ec o es angen es al camino solución en el pun o de bi u cación esul an
Las exp esiones dadas pa a los ec o es angen es en el pun o de bi u cación
con ienen un pa áme o inde e minado
cuyo alo puede ija se en o ma a bi a ia,
.g. po imposición de una es icción de longi ud uni a ia.
EVALUACI~N
DE
TÉRMINOS
QUE
INVOLUCRAN DERIVADAS
DE LA MATRIZ TANGENTE
La e aluación de é minos que in oluc an de i adas de la ma iz angen e equie e
una conside ación especial. Siguiendo la p opues a de W igge s
e
aL3, el é mino
Vq(K$l)
hi, donde hi es un ec o da o, se calcula median e un esquema de di e encias
ini as hacia adelan e
donde hemos usado la p opiedad de sime ía de la ma iz:
Vq(K)
=
Vqq(g).
Nó ese que en la ecuación
(lo),
la e aluación de é minos jO,
jl, j2
necesi a
la
p emul iplicación po la ma iz
K(qk).
Pa a e i a la ee aluación de la igidez
angen e, los cálculos se o ganizan de la mane a siguien e
P esen amos a ios ejemplos que pe mi en e alua la pe o mance del algo i mo,
an o en el caso de pun os lími e como de bi u cación. El úl imo de los ejemplos
p esen ados co esponde a un caso de bi u cación asimé ica. En los p oblemas de
igas usamos modelos de elemen os ini os basados en una in e polación lineal de los
desplazamien os
y
las o acioneslO. Hemos limi ado los ejemplos a casos planos, de
mane a de simpli ica algunos aspec os de la o mulación (i.e. aspec os ela i os a la
e aluación de de i adas de la ma iz de igidez). El caso de o aciones 3D ha sido
a ado en el abajo de Ca dona
e
al.".
El mé odo de con inuación usado se desc ibe en Ca dona
e
al.'.
Su ca ac e ís ica
p incipal es un escalado au omá ico de las incógni as, pe mi iendo a anza en el azado
de la solución aún en cuando exis an cambios ab up os en la igidez es uc u al.
Es uc u a de es ba as a iculadas
Es e p oblema, inicialmen e p opues o po Be gan, ue analizado po E iksson4.
Consis e en una es uc u a simple compues a po es ba as (Figu a
l),
en la cual
median e la al e ación de cie os pa áme os (i.e. da os geomé icos
y
ca gas) se
ob ienen dis in os ipos de espues a es uc u al.
El caso analizado, con
q
=
1,2
y
igidez de las ba as
ki-s
=
=
1,
k3-4
=
0,4,
p esen a un p ime pun o de bi u cación en
P
=
-0,3333
y
una segunda bi u cación
en
P
=
0,3333.
Figu a
1.
Es uc u a de es ba as a iculadas: desc ipción geomé ica
En la Figu a
2
se compa an los caminos de equilib io ob enidos pa a la es uc u a
pe ec a (caso a)
y
pa a el caso impe ec o (caso b). En el úl imo caso, hemos ubicado
una ca ga de pe u bación
P2
=
0,05 en el nodo
3,
componen e
y.
430
A.
CARDONA
Y
A.
HUESPE
Figu a
2.
Es uc u a de es ba as a iculadas. Izquie da: cu a ca ga s.
desplazamien o e ical del pun o de aplicación de la ca ga; de echa: cu a
desplazamien o e ical s. ho izon al en el mismo pun o
Pó ico
plano
Pa a modela es e ejemplo p opues o po E iksson4, usamos 8 elemen os de iga
equiespaciados (Figu a 3). De acue do a la e e encia4, pueden ob ene se di e en es
pun os lími e y de bi u cación en unción de dos pa áme os: la ca ga y la al u a
H.
La
es uc u a que analizamos iene los alo es
H
=
38,6,
E
=
=
0,3,
1
=
265,74
y á ea 84,16.
Figu a 3. Pó ico plano: desc ipción geomé ica
Al a anza a lo la go de la ayec o ia undamen al, y an es de alcanza ,la ca ga
lími e, de ec amos dos pun os de bi u cación
(A
y
B
en la Figu a 5) pa a alo es
P
=
-1244,
y,
=
36,68 y
P
=
-2540,
y,
=
34,09, espec i amen e. T azamos la
ayec o ia de equilib io a lo la go de las amas secunda ias has a alcanza nue amen e
el camino undamen al en los pun os
C
y
D.
La Figu a
4
mues a las de o madas
calculadas pa a cada caso. Des acamos que en la e e encia4, el au o epo a un pun o
de bi u cación adicional p óximo al p ime pun o lími e. Pa a de ec a es e pun o,
debemos disminui el paso de a ance en el mé odo de con inuación.
Rema camos que el algo i mo no ue capaz de de ec a la singula idad cuando
se pasó sob e los pun os de bi u cación
C
y
D.
En el ejemplo, el p oceso i e a i o
MÉTODOS
DE
CONTINUACIÓN PARA EL
TRAZADO
DE
CURVAS
DE EQUILIBRIO
431
pa a ob ene
C
y
D
ue iniciado en o ma ex e na. Los alo es calculados ue on
P
=
956,5,
y,
=
-12,67,
y
P
=
37,65,
y,
=
-23,00, espec i amen e.
0
Cama Modo
1
caso" Modo
2
a
Caso Modo
b
2
Figu a
4.
Pó ico plano: modos de bi u cación
Figu a
5.
Pó ico plano. Izquie da: cu a ca ga s. desplazamien o e ical en el
pun o
0;
de echa: cu a desplazamien os ho izon al s. e ical en el
pun o
O
En la Tabla
1
mos amos los coe icien es calculados de la EBA pa a los pun os
A
y
D
y
pa a dos alo es di e en es de la ole ancia pa a con e gencia del esiduo. A in
de e alua su con iabilidad, calculamos los coe icien es
b
y
c de dos o mas dis in as
bi
=
R
[~(qo
+
~$1)
40
-
~(90)
$01
/E
b2
=
R
Mqo
+
E~O)
$1
-
~(90)
411
/E
(28)
ci
=
R[~(qo +E~o)
40
-
~(90)
401
/E
c2
=
4;
[K(qo
+
~$1)
40
-
K(9o)
$01
/E
Debido a la sime ía del ope ado VqqK, debe ían e i ica se las iden idades
bl
=
b2
y
cl
=
c2. Sin emba go, como se obse a en la Tabla
1,
es a igualdad es
e i icada (ap oximadamen e) sólo pa a ole ancias es ic as del esiduo en los pun os
de bi u cación.
-
