MAT
MN3
LLICENCIATURA DE MATEMATIQUES
'
METODES
NUMERICS3
Josep Ma ia Pe is
Miguel Nogue a
XCLOs oe P�ÉSTEC
UNIVERSITAT POLITECN/CA DE CATALUNYA
Biblio eca
l
llllll
lli
1111
lli
IIII
IIII
illl
lllll
l
llllW
1111
,
1400210377
F ULTAT DE MATEMÁTIQU
1 E TADÍ TTCA
Ti o]
Au o s
Diposi Legal
Imp es pe
:::u
•••
Facul a de Ma omMlques
1 El ld s lca • Blb lo eca
: Apun s -Me odes Nume ics 3
: Josep Ma ia Pe is
Miquel Nogue a
: B.39420-1995
: REPRO BARNA, S.L.
C/. En en�a 16-18. 08015 Ba celona
P esen ació.
l. Sob e el con ingu de les p ac iques.
Aques no és un ecull d'exe cicis de p og amació, ni d'exe cicis eo ics,
ni es a en oca a l'ap enen a ge de me odes. No és una coHecció de p ac iques
academiques, amb enuncia p ecís i asques ben de inides. P esen a una se ie de
p oblemes p o inen s de di e en s b anques de la ciencia i de la ecnica, algun
del quals enca a és objec e de ece ca ac i a.
La llis a de emes es pod ía amplia en mol es di eccions: Dina.mica de
Poblacions, Biología Ma ema ica en gene al, Economía, Física, Química ... les
equacions di e encials apa eixen pe o a eu. L'objec iu, pe o, no és ap end e,
pe exemple, As onomía o Elec ici a , sino en ena -se en eballa sob e un
p oblema eal. El ema en conc e no impo a gai e, pe que la madu ació d'idees
i me odes que p opo ciona semp e és p o i osa.
2. Sob e la mane a de eali za -les.
Les p ac iques con enen una llis a -o ien a i a-de possibles eballs. A
cada alumne se li'n p opasa an alguns al lla g del cu s. És bó, ambé, que cada
es udian , un cop amilia i za amb el p oblema, ii la di ecció que ol segui ,
ins i o si desi ja a aca un p oblema obe . És da que no és an impo an
oba -ne la solució com l'ap enen a ge que s'ob é de l'in en .
Si es ol en oca d'aques a mane a la eali zació de la p ac ica, és indis
pensable eballa -la desde el p ime dia del cu s, i man eni una comunicació
eqüen amb el p o esso .
1
2

Les Equacions de Lo enz.
l. In oducció.
A la p ima e a de l'any 1963, E.N.Lo enz, del MIT, a publica , en un
a icle que s'ha e amas [Lo ], un model simpli ica de lux hid odinamic dissi
pa iu. Va posa de mani es que quasi o es les solucions són ines ables i no
pe iodiques, i que dues solucions que a l'espai de ases pa eixen de pun s a 
bi a iamen p óxims, acaben enin compo amen s comple amen di e en s.
Lo enz conclou ([Lo ], pag 141):
"When ou esul s conce ning he ins abili y o nonpe iodic low a e applied o he
a mosphe e, which is os ensibily nonpe iodic, hey indica e ha p edic ion o he
su icien ly dis an u u e is impossible by any me hod, unless he p esen condi
ions a e known exac ly. In wiew o he ine i able inaccu acy and incomple eness
o wea he obse a ions, p ecise e y-long' ange o ecas ing would seem o be non
exis en ."
Va se el p ime exemple del que desp és s'ha conegu com a compo amen
cao ic.
2. Desc ipció del model.
Es conside a una capa de luid, d'espesso H, so més a una di e encia
cons an de empe a u a 6.T en e la ca a supe io i la in e io . Pe a simpli ica ,
es suposa que no hi ha mo imen en di ecció ans e sal, i el p oblema queda
edui: a dues dimensiona.
Les equacions amb les que Lo enz modeli za aques sis ema són les següen s
{ � = -<TX + <1y
y= x- y-xz
z =-bz + xy
<1 =10, b=8/3, > O
3
a on .1: és p opo cional a la in ensi a del mo imen <le con ecció, y és p opo 
cional a la di o encia de empe a u a en e els co en s ascenden i descenden ,
i z ho és a la des iació de la lineli a del pe il e ical de empe a u es.
llll ll ljl/1111111111
177777/ 777777711/11
Un es a d'equiHib i ob i és el ep esen a pe x=y=z = O. El luid es a
en epos (x=y = O) i, com ::.T és cons an , la empe a u a a ia linealmen en
la di ecció e ical ( z = O). Els alo s g ans de z ep esen en o s g adien s de
empe a u a a p op de les ca es.
Els pa ame es depenen de les ca ac e ís iques del luid. Si a, i "' són,
espec i amen , el coe icien de dila ació, la iscosi a cinema ica i la con
duc i i a e mica del luid, alesho es a = K.- 1 és el núme o de P and l, i
Ra =gaH3!::.T -1K.- 1 és el núme o de Rayleigh.
Rayleigh a demos a que hi ha con ecció si Ra és més g an que un ce
alo c í ic Re (que es a elaciona amb el alo b = 8/3). El pa ame e és,
p ecisamen , = Ra/ Re. Si > l hi ha con ecció.
El compo amen no és subs ancialmen di e en quan es a íen a i b. A
pa i d'a a conside a em només els alo s que usa Lo enz, a = 10, b = 8/3.
L'es udi in e essan és la dependencia de .
Cal eni p esen que les a iables x,y,z no són les coo denades del luid.
Una ajec ó ia a l'espai de ases de les equacions de Lo enz ep esen a una
e olució del luid, no la se a ajec ó ia ísica, malg a que el e a de ases
aci pensa en emolins a mos e ics! Nogensmenys, un pun d'equil.lib i del
sis ema co espon a un es a es aciona i del luid, i una ó bi a pe iódica del
sis ema s'in e p e a com un compo amen pe iodic del luid. L'a icle o iginal
de Lo enz con é una explicació més de allada de la genesi i signi ica de les se es
equacions.
4
3. Desc ipció del compo amen del sis ema.
Fixan u i b, amb , u, b > O i b > u+ 1, el sis ema queda en unció de .
Les solucions, o, més ben di , el e a de ases, és sime ic espec e a l'eix z.
Pun s c í ics
Pe O< < I
L'o igen O = (O, O, O) és l'únic pun c í ic. És asimp o icamen es able.
Pe > 1
L'o igen, O, é dos alo s p opis eals nega ius (amb una a ie a es able
W5(0) de dimensió 2) i un alo p opi eal posi iu (amb la co esponen
a ie a ines able W"(O) de di nensió 1).
Apa eixen dos pun s c í ics més, C = ( Jb( -1), Jb( -1) , - 1), al
p ime oc an , i C', el seu sime ic espec e a l'eix z.
Pe 1 < < H = u(u + b + 3)/(u -b -I), C i C' són es ables.
Pe = H, hi han dos alo s p opis imagina is pu s.
Pe > H' e ¡ C' són ines ables.
Pe an , a = H hi ha el que s'anomena una bi u cació de Hop , i
neixen o bi es pe iodiques al ol an deis pun s c í ics C i C'.
O bi es homoclíniques.
Desc iu em les bi u cacions associades a o bi es homoclíniques pels alo s
deis pa ame es que es p enen més so in : a= 10, b = 8/3, > l. A nb aques s
alo s, H '.::::'. 24.74 [Hol].
(1) Pe 1 < < 13.926
La a ie a ines able de !'o igen a a pa a
a C i a C':
(2) Pe '.:::'. 13.926
5
y
Apa eix la pnme a ó bi a homoclínica a
l'o igen. És el momen de la c eació del
a ac o es any.
(3) Pe 13.926 < < 24.0G
Gen� icamen .la a id.a . ines able de !'o i
gen dona ol .es al ol an de C i de C', i
acaba .c'.ndin a un deis dos pun s.
Pe a alo s disc e s de en aques in e al, hi ha o bi es homoclíniques a
l'o igen, que poden se on;a complicades:
(4) Pe 24.06 < < H
Algunes ajec o ies es passegen pe semp e pe l'a ac o es any, pe o
algunes enca a endeixen cap a C i C'.
(5) Pe = 1'H '.::'. 24.74, C i C' pe den la es abili a .
Pe > H ~ 24.27, a es les ajec o ies es passegen pe semp e pe
l' a ac o es any.
Lo enz a escolli el alo = 28 pe a exempli ica el "caos".
4. T eballs p oposa s.
l. Es udia els pun s ixos, la se a es abili a , i la pa lineal de les a ie a s
in a ian s, segons els alo s de .
2. Ap oximació lineal de W•(O). Demos a que l'eix z és in a ian pel lux, i
aba les ajec o ies de que es compasa. Plan eja i esold e analí icamen
les equacions a iacionals al lla g de la ajec o ia x = y = O, z > O. Dona
6
V(x1,x2) = � (_!_ -x1)2•
2 X¡ 1·3 X¡> Ü
dona a les equacions di e éncials:
3. Pun s C í ics.
Pe a H = O hi ha o a una co ba de pun s c í ics del ipus cen e pa abolic.
La co ba és 3 = x que en pola s és = cos2 0. Els ap's són:
>-1,3 = O;
Pe a H = 1/32 hi ha el pun c í ic sella-cen e (2, O), amb ap's
4. Co bes de eloci a ze o i egions de mo imen
C =-O
13

__ . �
e= i/Jz e ., :l/32
(Obse ació: Enca a que no ho sembli, l'eix :z:1 és un eix de sime ia)
El pla equa o ial x2 = O, y2 = O és un pla in a ian , és a di , que les
solucions amb : :2 = y2 = O inicial ho segueixen man enin i solamen enen
mo imen pe a x1, y1.
5. El pun c í ic (2, O).
Apa eix pe H = 1/32 i e alo s p opis A ,3 = , >-2,4 = '{(i.
El Teo ema de Ly1i1101mo ens diu:
Conside em un sis ema hamil onia
w = J l.,. amb J = ( �I �), I= iden i a .
amb les cundicions següen s:
- w = O és una solució d'equilib i.
- H = 1/2wTGw + • • • és una se i de po encies eal amb p ime s e mes
quad a ics i con e gen en un ce en o n d w = O. (G és sime ica).
-Els 2n alo s p opis >.1, ... , An, , _1, ... , >--n de JG són di e en s.
Alesho es, si , 1 és imagina i pu i els quocien s
exis eix una a ie c1. in a ianG de solucions pe iodiques eals del hamil onia que
depenen ,�nalí icamen d'un pa ame e E eal i de pe iode T(c) ambé analí ic,
als que E= O és la solució d'equilib i w = O, T(O) = 271' / >.1 .
14
Pe aques pun c í ic el eo ema de Lyapouno es compleix, i ens assegu a
!'exis encia d'una amília de solucions pe iodiques que neix del pun c í ic.
6. T eballs p oposa s.
Tan el pun c í ic com les o bi es pe iodi
ques que hi neixen, énen dues a ie a s es ables
i dues d"ines ables. Les que co esponen a les
o bi es pe iodiques es allen en e elles c ean
pun s i o bi es humoclíniques.
l. Comp o a els pun s c í ics, co bes de eloci a ze o i egions de mo imen .
2. Es udi de les solucions en el pla equa o ial.
-Esc iu e les equacions sob e aques pla in a ian .
-Calcula , analí icamen , les solucions en el pla - .
-In eg a p en el pla equa o ial (in eg als eHíp iques).
3. Seguimen nume ic de la amília de Liapouno de solucions pe iodiques (H
a iable).
4. Seguimen nume ic de les a ie a s in a ian s del pun c í ic (H = 1/32)
i de una de les o bi es pe iodiques pe a aba els co esponen s pun s
homoclínics.
5. Seguimen d'al es amílies de solucions pe iodiques.
7. Bibliog a ía.
[D a] A.J.D ag . T apped O bi s in a Magne ic Dipole Field. Re iews o
Geophisics, 3, (1965), .
[S o] S o me . The Pola Au o a. Ox o d Uni . P ess, Fai Lawn, N.J.,(1955).
15
1G
El Pendol In e i
( o com aguan a l 'escomb a)
l. In oducció.
Alguna egada heu e equilib is amb una escomb a al palmell de la ma,
in en an man eni -la cl e a? Ho heu p o a amb un llapis? Qui hagi e
l'expe imen s'hau a adona de seguida que cos a més amb un pal cu que
amb un de lla g, i que quan l'escomb a s'apa a una mica massa de la e ical
és mol di ícil o na -la a lloc.
Fa emps que aques p oblema se eix pe a expe imen a di e en s sis emes
de con ol. Es cons ueix, no malmen , un sis ema lleuge amen simpli ica , que
consis eix en una ba a que pi o a en un pla e ical, mun ada en un ca o que
es despla<;a pe uns ca ils ec es. El sis ema e dos g aus de llibe a : la posició
del ca o, i l'angle que la ba a o ma amb la e ical. Un mo o elec ic mou
el ca o pels ails.
Les a iables que es medeixen, o a iables d'es a , són la posició i eloci a
del ca o, i l'angle i la eloci a angula de la ba a. La o <;a aplicada al ca o
és una nnció d'aques es a iables. En el con ol classic ([Ba ], pag 8 i [Lue],
pag 283) aques a unció és lineal, i els pa ame es de con ol ( que són els 4
coe icien s de la o ma lineal de con ol) es de e minen a p io i.
A p incipis dels anys 80, es a comen<;a a a aca se iosamen el p oble
ma des del pun de is a de les xa xes neu aJs ([Ba ), a [And] hi ha un esum
his o ie). La di e encia d 'en oc espec e al con ol c assic és o al: no es su posen
conegudes les equacions del mo imen , la unció de con ol no és lineal, i cal
ensinis a el sis ema pe a que de e mini els pa ame es de con ol. Els di e
en s ipus d'ap enen a ge, de xa xes i d'adquisició d'in o mació sob e l'es a
del sis ema donen una idea del ampli en all de possibili a s en aques camp,
on la ece ca és mol ac i a.
17
Malg a o s aqus s es udis, la dinamica del sis ema enca a no és p ou
ben conegucla. El con ol classic lineali za a l'en o n de la posició e ical.
Fins a quina des iació de la ba a el sis ema és capa<; de ecupe a el con ol?
Ob iamen ., el con ol lineal no en din n�s. Tampoc se sol calcula la po encia
que ha ele eni el mo o : en la posició d'equilib i, endeix a ze o. El esul a
l�S que uns models mecanics uncionen, i uns al es no, amb g an desespe ació
deis seus cons uc o s. D'al a banda, desp és d'ajus a els pa ame es, a es
les simulacions uncionen pe ec amen ... Fins al momen , i pel que nosal es
sabem, no s'han cons nú models ísics deis sis emes basa s en xa xes neu als,
només se n 'han e simulacions
Aques a p ac ica p oposa un es udi del con ol classic desde el pun de
is a deis sis emes dinamics.
2. Les Equacions del Mo imen .
Conside em un pendo! de lla gada l i masa m, que es suposa pun ual i
concen ada en un ex em (si es ac a d'una a illa ígida, s'ha de e una
pe i a modi icació a les equacions, que s'indica a. més enda an ). El pendo! po
gi a en un pla e ical, xy, sob e un supo de masa M que es desplai:;a al lla g
de l'eix x. Sob e el supo s'aplica una o c;a en la di ecció de l'eix x.
Equacions del mo imen .
Les coo denades adequades són u i 0 ( eu e la igu a). És con enien pe 
me e que 0 pugui a ia en e O i 21 , malg a que en el model ísic que ens
in e essa aixo no sigui eali zable.
La posició de m és x = u + l sin 0, y = l cos 0.
18

Ene gía cine ica:
1 1 1 1 2·2 .
T= -m (x2 + ·il) + -Mú2 = - (m + M) ii2 + - nl 0 + ú0ml cos 0.
2 2 2 2
Ene gía po encial: V = mgy= mgl cos 0, 011 g és l'accele ació de la g a e a .
Funció ele Lag ange: L = T -V. L 'única o c;a c,x e io és u = ( es a aplicada
a M, i en coo denades u, 0 és , O.) Podem csc iu e les equacions de Lag ange:
l0 + ú cos 0 -g sin 0 = O }
(M + m) ii + ml0cos0 -m iJ2 sin0 =
Finalmen , posan ¡1, = m/(m + M) i despejan 0 i ú esul a
{ 0 = gsin0 -cos0 (! / (m + M) + µlé2sin0)
l(1 -¡ cos2 0)
ü= + µl (é2 sin 0 -0 cos 0)
n+M
Si es ac a d'una a illa homogenia de lla gada 2l (el cen e de mases con inua
enin les coo denades x,y) i masa m, !'ene gía cine ica
de la a illa és T = ½m (±2 + iP) + ½Ic
é2, on le= ½ml2
és el momen d'ine cia de la a illa espec e a un eix
que passa pel c.d.m. i é és la eloci a angula espec e
al c.d.m. (és la ma eixa que espec e a l'a iculació).
E ec uan els calculs, a la p ime a equació de Lag ange
apa eix un ac o 4/3 mul iplican a 0, i la segona no
a ia. En les equacions del mo imen l'únic can i e !loe en el denominado de
la p ime a, que passa a se l ( 4/3 -µ cos2 0.)
Adimensionali zació de les equacions.
Posem = T,/ g, u= u/l, = .,;��, i deno em pe p imes les de i ades
espec e a T. Resul a
{ 011= sin0-cos0( +µ0'2sin0)
(1 -µcos2 0)
u" = 7 + µ ( 0'2 sin 0 -0" cos 0)
19
on a es les a iables són adimensionals. Finalmen , o nem a anomena les
de i ades pe pun s, i les a iables sense ba es i ho cou e im en un sis ema
d'equacions ele p ime o d e:
0=w
sia iJ - cos IJ ( /LW2 sin H)
w= --------'---------'-
l -¡, m�·i O
U=V
ú= + µ (w2 sin0 -wcos0)
Si es ac a cl'una a illa ígida, el denominado <le la segona equació passa a
se :
3. El Con ol.
42
- - JL COS 0.
3
Amb = O, l'o igen (0=w=u= = O) és un pun d'equilib i ines able. Es
ac a d'ajus a de mane a que l'equilib i d'aques pun esde ingui es able.
Si <lepen di e enciablemen de les a iables d'es a ,
i, pe an , en un en o n ele !'o igen,
( 0, w, u, ) = a0 + bw + cu + d + 02, amb a, b, e i d cons an s.
La pa lineal ele de e mina a comple amen els alo s p opis-i pe an l'es
abili a -del camp a !'o igen. Si busquem només l'es abili a del pun , podem
p end e un con ol lineal classic:
(0, w, u, ) = a0 + bw +cu+ d ,
és a di , una ealimen ació lineal de les a iables d'es a .
Els qua e pa a.me es de con ol a, b, e i d es poden ob eni explíci amen
en unció dels alo s p opis del camp lineali za a !'o igen, i així, sabe quan s
i quins pa ame es són necessa is.
El p oblema ele l'es abili a de la posició supe io del pendol queda esol ,
pe o al a esb ina com es compo a so a pe o bacions ini es (si són pe i es,
20
segons la ma eixa de inició de pun d'equilib i es able, el pendol o na a lloc).
Dones, bnsqnem la conca cl'a acció ele !'o igen. Pe aixo se a ú il oba les
a ie a s in a ian s de o igen ( si en é), ó bi es pe iodiques o c¡uasipe iodiques
al ol an ele l'o igen (si exis eixen), e c.. La oina no és i ial: en p ime lloc,
calcl i e -ho quasi o nmne icamen i, en segon lloc, l'espai de ases e dimensió
qua e, i només s'en poden dibuixa seccions i p ojeccions.
Si s'a ogeixen e mes quad a ics a (con ol no lineal) ele mane a que
l'o igen cou inui esseu un ¡mn c í ic, d seu ca ác e cl'es able o ines able no
es modi ica, pe ó si que ho a la se a conca cL acció. A més, poden apa eixe
al cs pun s c í ics.
4. T eballs P oposa s.
l. Amb = a0 + bw +ca+ d , demos a que si L i= O, l'únic pun c í ic és
l'o igen, i que si a = O, ambé ho és (} = 1 , w = n = = O. Exp essa els
pa ame es a, b, e i d en unció dels alo s p opis ele la di e encial del camp
a l'o igen. U ili zan el c i e i de Rou h-Hu wi z, esc iu e les condicions en
els pa ame es de con ol pe al que l'o igen sigui es able. Són necessa is
o s els pa ame es pe a ga an i l'es abili a ? És a di , o s han de se
di o en s de ze o?.
A con innació es p oposa l'cs ucli ele cli e en s ipus el'es abili a . En o s els
cassos es ac a d'in es iga · la conca el'a acció de l'o igen. Cal eni en comp e
que la a ie a es able de l'o igen é dimensió 4. Es po "llenc;:a " , emps enda
e a, un nú ol de pun s en un en o n de l'o igen, i eu e quina egió de l'espai
ele ases ocupen les o bi es. Aixo és mol labo iós. Es po e pe uns alo s
p opis dona s, pe o segu amen consu ni ia massa emps de maquina discu i
pe aq ws me ode el compo amen segons els alo s p opis.
Ééi p obable que, quan (} s'acos i a ±1 /2, apa egui alguna mena de compo 
amen asimp o ic a p op clels plans 0 = ±1 /2, w = O. Quins són els pun s més
p ope s a l'o igen que po en cap aques s plans? Aques es ajec o ies (si exis
eixen i es poden oba ) elona íen una idea dels lími s de la egió d'es abili a .
També ajucla ia oba alguna o bi a pe ioclica, i les se es a ie a s in a ian s.
2. Nade a ac o . Els qua e alo s p opis han de se eals i nega ius.
21
3. Focus a ac o . Dues pa elles de alo s p opis complexos conjuga s a nb
pa s eals nega i es.
4. Cen e. Dues pa elles de alo s p upis imagina is pu s i conjuga s. En
aques . n,, la pa lineal no decideix c�s ahili a . Esb ina si hi ha a nílies
d'o bi es pe iodiques a p op de l'o igen.
5. A eigi algún enne c¡nad a. ic al con ol. Pe exemple, subs i ui el e ne
en 0 pe a02.
5. Bibliog a ía.
[And] C.W.Ande son. Lea ning o con ol an in e ed pendulu n using neu al
ne wo ks. IEEE Con ol Sys ems Magazine, 9(3), (1989), 31-37.
[Ba n] S.Ba ne , R.G.Came on. In oduc io11 o Ma hema ical Con ol Theo y.
Ox o d Appl. Ma h. and Comp. Sci. se ies, Cla endon P ess,Ox o d, 1985.
[Ba ] A.G.Ba o, R.S.Su on, C.W.Ande son. Neu onlike adap a i e ele nen s
ha can sol e di icul lea ning con ol p oble ns. IEEE T ansac ions on
Sys ems, Man, Cybe ne ics, 13(5), (1983), 834-846.
[Lue] D.G.Luenbe ge . In oduc ion o Dynamic Sys ems. Theo y, Models, and
Applica ions. John Wiley & Sons, New Yo k, 1979.
22
3. T eballs P oposa s.
Amb l'equació de Van de Pol no on;ada:
{ :i:
.. = y + (x -x3 /3)
i + (x2 -1).:i: + x= O o be y= -x
l. Es udia els pun s d"equiHib i i la se a es abili a en unció de . Segui
les a ie a s in a ian s de l'o igen, quan exis eixin.
2. Pe a cada > O exis eix un únic cicle lími a ac o . Es udia nume i
camen , pe alo s de de O a 20. aques es o bi es pe iodiques, donan
la o ma de la osciHació, el pe íode i !'ampli ud. Comp o a que, pe
O < < < 1, es e i ica la següen ap oximació del pe íode:
( 1 2 5 4 )
T = 21 1 + 16 V -3072 V + . ..
A que endeix el pe íode quan -+ oo? I la o ma de la ona?
Amb l'equació de Van de Pol on;ada:
i + (x2 -1).:i; + x = éCOS .
3. Es udia que ha passa amb el cicle lími . pe di e en s alo s de i é.
4. Busca solucions pe iodiques de pe íode 21m, amb n na u al.
29

4. Bibliog a ía.
[Asi] Isaac Asimo . Enciclopedia Biog á ica de Ciencia y Tecnología. El Lib o
de Bolsillo. ols 1232. 1233, 1234 y 1235, Alianza Edi o ial, Ba celona,
1987.
[Don] Manuel Ga cía Doncel. Hein ich He z. In es igación y Ciencia, 208,
(gene 1994), 72-79.
[Die] F.Diene , M.Diene . Las Aplicaciones del Análisis no Es ánda . Mundo
Cien í ico. 89, (Ma zo 1989), 276-285.
[G a] J.G asman. Asymp o ic Me hods a Relaxa ion Oscilla ions and Aplpli
ca ions. Appl. Ma h. Sci., 63, Sp inge -Ve lag, New Yo k, 1987.
[Lie] A.Liena d. E ude eles oscilla ions en e enues. R.e ue Géné ale de l'Elec i
ci é, 23, (1928), 901-946.
(San] J.A.Sande s, F.Ve huls . A e aging Me lwds in Nonlinea Dynamical
Sys ems. Appl. Ma h. Sci., 59, Sp inge -Ve lag, New Yo k, 1985.
[VdPl] B.Van de Poi. A Theo y o he Ampli ude o F ee and Fo ced T iode
Vib a ions. The Radio Re iew, London, 1, (1920), 701-710.
(VdP2] B.Van de Poi. On Relaxa ion Oscilla ions. The London, Edinbu g and
Dublin Philosophical Magazine and Jou nal o Scíence, 2, (1926), 978-992.
[VclP3] B.Van De Pol, J,Van d<:! Ma k. The hea bea conside ed as a elax
a ion oscilla ion and au elec ical model o he hea . A ch. Nee l. Physiol.,
14, (1929), 418-443.
[VdP4] B.Van De Poi. Biological y hms conside ed as elaxa ion oscilla ions.
Ac a Med. Scand. Sup¡>l., 108, (1940), 76-87.
30
5. Apendix. Resum de concep es basics sob e ci cui s.
El co en elec ic és el despla<;a nen de ca egues en un conduc o . Pe
con eni, el co en é el sen i del despla<;amen de les ca egues posi i es ( és a
di , con a i al sen i en que es mouen els elec ons).
La in ensi a és la ca ega que a essa una secció del conduc o pe uni a
de emps:
[JJ
es medeix en Ampe es. Un ampe e és la in .ensi a d'un co en d'un coulomb
pe segon. (lA = lQs-1).
La .e.m. ( o <;a elec omo iu) i el po encial es me<leixen en ol s (V).
El co en ci cula del po encial més al al més baix.
Una "pila" és un ipus de gene ado de .e.m. i es simboli za així
El co en a del poi posi iu (+) al poi nega iu (-) pe! ci cui ex e io . Pe an ,
V
a -Vi, > O. S'esc iu V
ab = V
a -Vi,.
El quocien en e la di e encia de po encial que hi ha en e els ex ems d'un
conduc o , i la in ensi a que hi ci cula s'anomena esis encia del conduc o .
La llei de Ohm enuncia aixo:
B]
La esis encia es medeix en O hms. ( H2 = 1 V A -1).
En els esquemes es ep esen en els conduc o s pe ils sense esis encia i
pe esis encies
Un condensado consis eix basicamen en dues plaques conduc o es se
pa ades pe un dielec ic. No deixa pasa el co en , pe o po acumula ca ega
31
elec ica en les se es plaques, posi i a en una. nega i a en l'al e, quan es an a
di e en po encial.
La ela .ió en e la ca. ega q i la di e encia ele po encial V = V
0 -Vi, és cons an ,
i s'anomena la capaci a del condensado :
Men e un condensado es ca ega o desca ega, pels conduc o s que an a les
plaques, sí que hi passa co en , i sembla que el co en a essi el condensado .
La capaci a es medeix en Fa ads. (lF = IQV-1).
Una induc ancia consis eix, so in , en una bobina. Quan la a essa un
co en a iable, c ea un camp magne ic. Quan es si ua en un camp magne ic
a iable, un co en elec ic ci cula pe la bobina.
Quan dues induc ancies es an si uacles de mane a que el camp magne ic
c ea pe una a essi l'al e,
M
es compleix que
on dii/ d és la a iació de la in ensi a que ci cula pe! p ime ci cui i c2 és la
.e.m. indui:da en el segon ci cui . La c2 s'oposa a la causa que l'ha c ea (llei
de Lenz), en aques cas, a la a iació de l'in ensi a . M s'anomena coe icien
d'inducció mú ua, i es medeix en Hen ys. (IH = lVA-1s).
Una induc ancia gene a una .e.m. sob e ella ma eixa:
�
�
32
<-L
�-
1- E----1
L s'a11omcna el coe icien d'au oinducció, i ambé es medeix en Hen ys.
Pe exemple, si di/d > O, : s'oposa a i.
si di/ l < O, : e el ma eix sen i que i.
Resumi em les di e encies de po encial qne apa eixen als ex nms de cada com
ponen :
R
�
�
J-c -·
�- = R-1.
33
E= -L cli
d

El P oblema de T es Cossos.
l. In oducció.
L �;; ndi del mo inwu clds plane es i ;;a el·li .s ha es a , des de a mol s
;;egles, 1111 dels emes mc�s impo an s de la cic ncia, i enca a ho segueix sen . Com
és saliu , la his o ia de !"As onomía comenc,:¡i amb els g ecs, qui a la egada,
s 'inspi a en en els egipcis. Thales ( 640-546 a.c.) a ana a ap end e a Egip e,
011 ja es coueixia l'es e ic:i a de la Te a, l'ouliqu"i a de !'eclíp ica i e en capa<;os
ele p edi eclipsis sola s. Pi ago as (569-470 a.c.) on el p ime que a i ma que
el plane a ma u í i el espe .í són el ma eix Venus. De o hom és conegu el
moclel plane .a i de P olomeo (100-170 a.c.) amb o el mun a ge cl'epicicles pe
a explica el mo imen apa en dels plane es en el model geocen ic. Desp és de
P olomeo l'as onomia, i la ciencia en gene al, a es a o <;a a u ada, excep e
en el mon a ab. No ou ins al segle XV que !'as onomía es e i a a Eu opa, on
cal ema ca Cope nic (1473-1543) amb el model heliocen ic del sis ema sola .
Pos e ío men , Tycho B nhe (1546-1601) a con inua la eo ía de Cope nic i
on un deixeble seu, Keple (1571-1630) qui a enuncia les lleis del mo ímen
plane a i, p eludi de la llei de la g a i ació de New on (1642-1727). Un al n�
g an de enso de la eo ía heliocen ica ou Galileu (1G64-1642). Una egada
accep ada la eo ía helíocen ica i les lleis de Keple i New on, els cien í ics es
cen a en més en el mo imen especí ic Je cada un dels plane es i les in luencies
en e ells. El mo imen de la Lluna ou es udia pe Clai u i D' Alembe (1747)
emp an desen olupamen s en se ie. Eule a guanya dos p emis de !'Academia
F ancesa (1748-1752) amb es udis sob e les pe o bacions de Júpi e i Sa u n,
Lag ange (17G6) i Laplace (1784) amlJé es udia en el ma eix ema. Un dels
es uclis més comple s sob e el mo imen ele la Llnna ou eali za pe Delaunay
(1860-187ü). De o es mane es no es po oblida una ele les g ans ob es de la
mecanica celes : "Les Mé hodes Nou elles de la Mé .anique Celes e" de Hen y
Poinca é, es ex ensos olums que ma ca en una i .a.
35
2. Desc ipció del p oblema.
El p oblema de es cossos és un model mol pa icula i, pe an , bas an
i eal. Consis eix en l'es udi del mo imen d'una massa in ini essimal que és
a e a pe dos cossos de mas�a ini a, pun ual i coneguda mo en -se d'una ma
ne a conc e a; a més, es conside a que el cos de massa in ini essimal no a ec a al
mo imen ele les al es dues masses. El mo imen d'aques es po se en o bi es
ci cula s al ol an del seu cen e de masses, i alesho es pa la em del p oblema
de es cossos c:i c11la , o bé en o bi es el-lip ique::; i, pe an , pa la em del p o
blema de es cossos el·lip ic. També conside a em si el e ce cos es mou sob e
el ma eix pla del mo imen de les al es dues masses o no, en el p ime cas
l'anomena em p oblema de es cossos ci cula (o el·lip ic) i pla.
Qui p ime a plan eja i dona solucions del p oblema de es cossos ou
Lag ange, i un deis emes més es udia s d'aques p oblema són les o bi es pe
iodiques i la se a es abili a . Poi�ca é a demos a , en e d'al es coses, que
hi ha un conjun in ini de condicions inicials que donen solucions pe iodiques.
Les equacions del mo imen es plan-
ejen de la mane a següen : La suma o
al de les masses és igual a 1, pe an , si
una massa al µ l'al e ald a. 1 - µ; la
uni a de longi ud es p en de mane a que
la dis ancia en e les dues masses sigui
igual a 1 i la uni a de emps es p en de
o ma que la cons an de g a i ació sigui
ambé l. L'o igen de coo denades es si ua en el cen e de masses de les dues
masses ini es i el sis ema de coo denades gi a solida iamen amb elles amb
eloci a angula cons an . Alesho es el mo imen del e ce cos, de massa
in ini essimal, e dona pe les següen s equacions di e encials:
{x -2iJ = n,,
y+ 2i: = Dy
(P oblema ci cula i pla)
1 µ 1- µ
n(x,y) = - (µ i + (1- µ) D + - + --
2 1 2
36
Si el p oblema no és pla, cal a eigi una e ce a equació: i = S z, amb
2 ( ( ))2 2 2
7"1 =,T, -1 - /l + y + Z ;
Aques sis ema d'equacions di e encials é una in eg al p ime a, anomenada
in eg al ele Ja.cobi:
C = 2S (x, y) -(x2 + i/) (p oblema pla)
C = 2S (x, y, z) -(x2 + y2 + :i:2) (p oblema a l'espai)
El p obhm1a de es cossos, an si és pla com si no ho {�s, é cinc pun s d'equil
lib i anomena s L1, L2, L3 o d'Eule , i
L4, L5 o de La.g ange. Les coo denades
de L4 i L5 són:
,T, = 1/2 -/J,;
y = ±J3/2.
Les co bes de eloci a ze o pe a di e en s alo s de C són:
"
37
En els pun s d'equil·lib i L4 i L5 (són sime ics) podem aplica el eo ema
de Lyapuno :
Conside em un sis enm hamil onia
w=JH111 •
al que
J = ( o J)
-1 O
- w = O és solució cl'equil-lib i.
I= iden i a .
- H = 1/2wTGw + · · • és una se ie de po encies que come n;a amb e mes
qua.el a ics i con e geix en un ce en o n de w = O (G bime ica).
-Els 2n alo s p opis >.1, >.2, ... , >-n, ->.1, ->.2 .... , ->.n ele JG són di e en s.
Alesho es es compleix que si >.1 és imagina i pu i els quocien s >.2/ >.1, ... , >-n/ >.1
no són en e s, exis eix una a ie a in a. ian de solucions pe iodiques eals
del hamil onia que depenen analí icamen cl'un pa ame e e eal i ele pe íode
(c) ambé analí ic, als que pe a e = O és la solució d'equil-lib i w = O i
(O) = 21 /l>-1I
P(' L., i L , l,(!UÜIJ Cjlll! c•xis C'iX /J..¡ = H 1 -IT / üi) = o.o:3852 ... (massa
c í ica dP TI.1m .li) al q11 .:
i) P,ls q11aln• ap·:; di' L.1 D .) s,íu di l' c•u .:-; sii ¡1 /:- ¡iI• l - ¡11.
ii) PP a /L,.. ¡1,1 -ic'11 di' la o ma ±i ¡¡, J:11¡8 ami> O< 111 < 1/./2 < 11� < 1 i,
p1· l.an .• l'I 1111111. d'.-q11il·lih i �s 1.i. 1 ·a1Lw·1Ll ,,. 1.alilci.
iii) Anii.lnµ,:-u11P11I. : ii) 111•1· 11 ¡1 1 - /l· ·
i ) 1 HI' ;1 1 -/1 ¡ > /1
,�, /1 :/=- i.
Pe .a11I .. s •�1)1JS aixu •11i111 que:
a) P o ; c:ada ¡1. E (O. ¡1 L) 1wix d L4 ( L,;) uwl amilia .q (¡L) d o lJ;Les pe io
d iq 11 s ([llC' d ip u o11 :u1alí .i •;.mw11L 1'1uJ pa 111l!'ITc c, l e q11au e endeix
cap a i • n. l'c1 lii ,a pc• ic'1di .a d1•saJmJ:<'ÍX <'11 ¡,[ p11n L4 ami> pe íode 21 / Js·
b} PP a a, la / E (O. ¡1 ¡) cix.ccp ;p pc•ls ,·al, 1 s
11,k = -
2
38
�:=l. 2 ....
2. Es udia l'aplicació ele Poinca é P, a .emps T = 21 /w, pe esb ina l'es a
bili a del pun d'equil-lib i (O, O). Pe aixo, calcula DP(O, O) usan :
a) De i ació nume ica i ex apoiació de Richa dsón.
b) Les p ime es equacions a iacionals.
Amb els ma eixos alo s del p ime apa a , oba amb o a l'exac i ud
possibie el alo de W .-
3. Al pla µ - w, s'anomenen co bes sepa a ius les que sepa en les egions
cl'es abili a de les el 'ines abili a , i compleixen IT (D P(O, O)) 1 = 2. TI:o
ba -les mi janc;an algún me ode de con .inuació. Aques es udi és local:
es e e eix a l'es abili a lineal del pun cl'equiHib i. Es poden calcula
ap oximacions analí iques ele les sepa a ius a pa i de les equacions a ia
cionals. Hi han g a iques i desen olupamen s en se ie pe alo s pe i s de
¡1 a la bibliog a ía sob e l'equació ele Ma hiew. Compa a -les amb els e
sul a s nume ics. Quan µ -+ oo es an ap oximacions asimp o iques, pe o
pe alo s de L g ans pe o ini s, l'únic camí és el nume ic.
4. Repe i l'apa a 3 amb el pun d'equil-lib i in e io . (U ili za el sis ema
(
4) amb el can i 0 = 1 - <p). En aques cas, les egio ns el 'ines abili a
s'anomenen egions de essónancia pa ame ica.
5. Wiggins demos a, analí icamen (emp an la in eg al de Melniko ) que,
pe al pendo[ ib an i amb egadís, i pe a ce s alo s deis pa ame es, hi
ha in e secció ans e ssal de a ie a s in a ian s i, pe an , caos. ((Wigg],
pag 419). Es udia nume icamen les a ie a s in a ian s deis pun s ixos
de l'aplicació de Poinca é P, iden i ican l'hipe pla T = O amb l'hipe pla
T = 21 /w, i esb ina quan es allen. Quan ho an amb un angle mol
pe i , és un p oblema nume ic mol di ícil, jaque la p ecisió del ca.lcul es a
limi ada pe! nomb e de xi es de la maquina. T eballan amb p ecisió doble
no és p uden in en a de ec a angles in e io s als 10-s adians.
6. Els pun s sob e les co bes sepa a ius en el pla µ - w són possibles pun s
de naixemen de amílies d'o bi es pe iodiques. Seguin -les, es oba una
cascada de bi u cacions de doblamen de pe íode, que desemboca en caos.
((Mull], pag 11).
45

5. Bibliog a ia.
[Ab ] M.Ab amowi z, I.S egun. Handbook o ! la hema ical Func ions. Do e ,
New Yo k. 1972.
[A n] V.I.A nold. Mecánica Clásica, mé odos ma emá icos. Pa anin o, Mad id,
1983.
[Hoch] H.Hochs ad . The Func ions o Ma hema ical Phisics. Do e , New Yo k,
1986.
[Jah] E.Jahnke, F.Emde. Tables o Func ions. Do e , New Yo k, 1945.
[Lan] L.D.Landau, E.M.Li shi z. Mecánica ( olum 1 del "Cu so de Física
Teó ica"). Segona edició, Re e é, Ba celona, 1985.
[Mull] T.Mullin (edi o ). The Na u e o Chaos. Ox o d Science Publica ions,
Cla endon P ess, Ox o d, 1994.
[Nay] A.H.Nay eh. Pe u ba ion Me lwds. Jolm Wiley & Sons, New Yo k,
1973.
[Ve ] F.Ve huls . Nonlinea Di e en ial Equa ions and Dynamical Sys ems.
Uni e si ex , Sp inge -Ve lag, Be lín, 1990.
[Wan] Z.X.Wang, D.R.Guo. Special Func ions. Wo ld Scien i ic Publishing,
Singapo e, 1989.
[Wigg] S. Wiggins. Global Bi ü n ions a ü/ Chaos, analy ical me hods. Appl.
Ma h. Sci. 73, Sp inge -Ve lag, New Yo k. 1988.
46