Procedimientos de secuenciación y programación en un sistema productivo de estaciones en serie con transportadores asíncronos de material

ADVERTIMENT. L'accés als continguts d'aquesta tesi doctoral i la seva utilització ha de respectar els drets de la persona autora. Pot ser utilitzada per a consulta o estudi personal, així com en activitats o materials d'investigació i docència en els termes establerts a l'art. 32 del Text Refós de la Llei de Propietat Intel·lectual (RDL 1/1996). Per altres utilitzacions es requereix l'autorització prèvia i expressa de la persona autora. En qualsevol cas, en la utilització dels seus continguts caldrà indicar de forma clara el nom i cognoms de la persona autora i el títol de la tesi doctoral. No s'autoritza la seva reproducció o altres formes d'explotació efectuades amb finalitats de lucre ni la seva comunicació pública des d'un lloc aliè al servei TDX. Tampoc s'autoritza la presentació del seu contingut en una finestra o marc aliè a TDX (framing). Aquesta reserva de drets afecta tant als continguts de la tesi com als seus resums i índexs. ADVERTENCIA. El acceso a los contenidos de esta tesis doctoral y su utilización debe respetar los derechos de la persona autora. Puede ser utilizada para consulta o estudio personal, así como en actividades o materiales de investigación y docencia en los términos establecidos en el art. 32 del Texto Refundido de la Ley de Propiedad Intelectual (RDL 1/1996). Para otros usos se requiere la autorización previa y expresa de la persona autora. En cualquier caso, en la utilización de sus contenidos se deberá indicar de forma clara el nombre y apellidos de la persona autora y el título de la tesis doctoral. No se autoriza su reproducción u otras formas de explotación efectuadas con fines lucrativos ni su comunicación pública desde un sitio ajeno al servicio TDR. Tampoco se autoriza la presentación de su contenido en una ventana o marco ajeno a TDR (framing). Esta reserva de derechos afecta tanto al contenido de la tesis como a sus resúmenes e índices. WARNING. Access to the contents of this doctoral thesis and its use must respect the rights of the author. It can be used for reference or private study, as well as research and learning activities or materials in the terms established by the 32nd article of the Spanish Consolidated Copyright Act (RDL 1/1996). Express and previous authorization of the author is required for any other uses. In any case, when using its content, full name of the author and title of the thesis must be clearly indicated. Reproduction or other forms of for profit use or public communication from outside TDX service is not allowed. Presentation of its content in a window or frame external to TDX (framing) is not authorized either. These rights affect both the content of the thesis and its abstracts and indexes. UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Departament d’Organització d’Empreses TESIS DOCTORAL PROCEDIMIENTOS DE SECUENCIACIÓN Y PROGRAMACIÓN EN UN SISTEMA PRODUCTIVO DE ESTACIONES EN SERIE CON TRANSPORTADORES ASÍNCRONOS DE MATERIAL PRESENTADA POR: Manuel Mateo Doll DIRIGIDA POR: Dr. Ramón Companys Pascual BARCELONA, marzo de 2001 La presente Tesis Doctoral ha sido desarrollada en el marco del Proyecto de la Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología (CICYT) denominado “Secuenciación de unidades no homogéneas”, referencia TAP98-0494. A Manel i Cecília, els meus pares, i a Lluís, la meva família. AGRADECIMIENTOS En este punto, en que este trabajo llega a su culminación, quiero agradecer el apoyo y la dedicación que ciertas personas me han prestado durante el proceso de elaboración de esta Tesis Doctoral. En primer lugar, el agradecimiento comienza por mi Director de tesis, Ramón Companys, del cual espero no tan sólo haber aprendido a investigar, analizar y sintetizar, sino también otras actitudes del terreno humano. A continuación, debo mencionar a los profesores Joaquín Bautista, FranciscoCruz Lario y Mª Àngels Gil, que han realizado una valoración crítica positiva del trabajo, lo cual me ha permitido perfeccionarlo. Por otro lado, quiero recordar al numeroso grupo de profesores del Departament d’Organització d’Empreses y del Institut d’Organització i Control de Sistemes Industrials, de los cuales he recibido apoyo y empuje suficientes para finalizar esta Tesis. No obstante, el personal académico nunca es autosuficiente y debe recurrir al personal de administración y servicios y a los becarios de investigación de ambas unidades estructurales. A ellos, mi gratitud por las gestiones de unos y por las sugerencias y trabajo de los otros. En representación de todos los becarios y proyectistas, citaré a Víctor Leal por su colaboración como semilla de parte de esta Tesis. Una de las satisfacciones alcanzadas a lo largo del desarrollo de la Tesis ha sido conocer y trabajar con profesores de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona, expertos en diferentes ámbitos. Entre ellos, se encuentran los profesores Josep Bordonau, del Departament d’Enginyeria Electrònica, Francesc Planas, del Departament de Matemàtica Aplicada y Moisès Graells, del Departament d’Enginyeria Química, a los que agradezco compartir sus conocimientos conmigo. Asimismo, quiero agradecer la actitud de las personas de servicios públicos, como la biblioteca de la citada Escuela, y de instituciones publicas, como el CIDEM (Centre d’Innovació i Desenvolupament Empresarial) de la Generalitat de Catalunya. Finalmente, es obligado mencionar a las personas que me permitieron observar la problemática analizada en la industria real: básicamente, a Carlos Vivas, que propició fortuitamente mi contacto con ELBASA, y a Teodoro de Mas, su Director General, que me facilitó la información contenida en el capítulo 9. A todos, gracias. i TABLA DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCIÓN: MARCO DEL TRABAJO ______________________________ 1 1.1. La producción y sus decisiones ________________________________________ 1 1.1.1. Definición de producción ________________________________________________ 1 1.1.2. Definición de logística __________________________________________________ 2 1.1.3. Relación entre producción y logística _______________________________________ 3 1.1.4. La Dirección de Operaciones _____________________________________________ 4 1.1.5. Decisiones de la Dirección de Operaciones __________________________________ 5 1.2. La programación de operaciones ______________________________________ 7 1.3. La secuenciación de operaciones _______________________________________ 9 1.4. Métodos de resolución para problemas de programación _________________ 11 1.5. Hipótesis de partida y resultados esperados ____________________________ 12 2. EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DEL PUENTE-GRÚA _____________ 13 2.1. Una visión general del problema _____________________________________ 13 2.1.1. El problema HSP (Hoist Scheduling Problem) _______________________________ 13 2.1.2. Los dos niveles de movilidad del puente grúa _______________________________ 13 2.1.3. Los procesos químicos _________________________________________________ 14 2.1.4. Líneas únicamente dedicadas a un producto _________________________________ 15 2.2. Características del proceso productivo de referencia _____________________ 15 2.3. Clasificación de variantes en este tipo de problema ______________________ 17 2.3.1. Los tanques __________________________________________________________ 18 Ejemplo 1 __________________________________________________________ 18 Ejemplo 2 __________________________________________________________ 21 2.3.2. Los objetos (o contenedores de objetos) ____________________________________ 23 Ejemplo 3 __________________________________________________________ 23 2.3.3. Los elementos de automatización _________________________________________ 24 Ejemplo 4 __________________________________________________________ 25 2.3.4. La distribución en planta del sistema ______________________________________ 26 Ejemplo 5 __________________________________________________________ 27 Ejemplo 6 __________________________________________________________ 28 2.3.5. Resumen y notación ___________________________________________________ 29 2.4. Estado del arte del Problema de Programación del Puente-grúa ___________ 30 2.4.1. Aproximación estática o planificativa ______________________________________ 30 2.4.2. Aproximación dinámica o resolutiva ______________________________________ 36 3. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DEL PUENTE-GRÚA ___________________________________________________ 41 3.1. Aportaciones iniciales en el problema Hoist Scheduling Problem __________ 41 3.1.1. Resolución mediante programación matemática _____________________________ 41 3.1.2. Resolución mediante procedimientos arborescentes ___________________________ 45 3.1.3. Resolución mediante procedimientos heurísticos y simulación __________________ 51 3.1.4. Evaluación de la complejidad del problema tratado ___________________________ 55 ii 3.2. Desarrollos posteriores en la evolución del problema ____________________ 55 3.2.1. Resolución del caso de múltiples grúas ____________________________________ 55 3.2.2. La Programación Lógica con Restricciones _________________________________ 59 3.2.3. Los grafos como soporte de modelos ______________________________________ 64 3.2.4. Cotas del problema HSP para el caso cíclico ________________________________ 69 3.2.5. Observación final _____________________________________________________ 71 4. ESTUDIO SOBRE LA VARIANTE MONOBAÑO, MONOFUNCIÓN, MONOGRÚA. ALGORITMOS BÁSICOS __________________________________ 73 4.1. Hipótesis de la variante _____________________________________________ 73 4.2. Determinación de una secuencia cíclica ________________________________ 73 4.3. Programa lineal PL(H) asociado a una secuencia cíclica H ________________ 76 4.3.1. Parámetros del problema y secuencia propuesta ______________________________ 76 4.3.2. Variables a determinar en el problema _____________________________________ 77 4.3.3. Restricciones del problema ______________________________________________ 77 4.3.4. Objetivo del problema __________________________________________________ 79 4.3.5. Ejemplo ilustrativo 4.1 _________________________________________________ 79 4.4. Determinación del vector T mediante un grafo asociado al problema: el grafo secuencial _____________________________________________________ 82 4.4.1. Elementos del grafo ___________________________________________________ 83 4.4.2. Proceso de resolución __________________________________________________ 84 4.4.3. Ejemplo de secuencia factible ____________________________________________ 87 4.4.4. Ejemplo de secuencia infactible __________________________________________ 90 4.5. Procedimientos de resolución arborescente (branch and bound) ___________ 94 4.5.1. Bases de un procedimiento branch and bound _______________________________ 94 4.5.2. Aspectos a concretar en un procedimiento branch and bound ___________________ 94 4.5.3. Estrategias de construcción del árbol ______________________________________ 95 4.6. Branch and bound mediante tiempos __________________________________ 96 4.6.1. Caracterización de los vértices del árbol ____________________________________ 96 4.6.2. Procedimiento de separación ____________________________________________ 97 4.6.3. Procedimiento de acotación _____________________________________________ 97 4.6.4. Elección del vértice de exploración inmediata _______________________________ 98 4.6.5. Algoritmo branch and bound mediante tiempos _____________________________ 98 4.6.6. Ejemplo de aplicación de un branch and bound mediante tiempos (BBt) _________ 100 4.7. Branch and bound mediante baños ___________________________________ 102 4.7.1. Caracterización de los vértices del árbol ___________________________________ 102 4.7.2. Procedimiento de separación. ___________________________________________ 102 4.7.3. Procedimiento de acotación ____________________________________________ 103 4.7.4. Elección del vértice de exploración inmediata ______________________________ 103 4.7.5. Algoritmo de branch and bound mediante tanques __________________________ 103 4.7.6. Ejemplo de aplicación de un branch and bound mediante baños (BBb) __________ 105 4.8. Comparación entre ambos procedimientos de exploración _______________ 107 5. RESOLUCIÓN BASADA EN EL GRAFO CON TIEMPO DE CICLO ACOTADO ___________________________________________________________ 109 5.1. Introducción al uso del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado ______________ 109 iii 5.2. Determinación de variables mediante un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado _____________________________________________________________ 110 5.2.1. Algoritmos estándares para resolver problemas de optimización combinatoria _____ 110 5.2.2. Esquema del algoritmo para el uso del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado _______ 111 5.2.3. Particularidades en la resolución de un grafo asociado a una secuencia H ________ 112 5.2.4. Esquema del algoritmo de resolución basado en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado _________________________________________________________________ 114 5.3. Generación de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado, asociado a una secuencia H _________________________________________________________ 116 5.3.1. Adaptación de los parámetros y datos para una secuencia H ___________________ 116 5.3.2. Tabulación de los cuatro vectores de datos _________________________________ 117 5.3.3. Equivalencia entre los cuatros vectores y las restricciones originales ____________ 119 5.3.4. Descripción de los elementos de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado _________ 119 5.3.5. Construcción del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado asociado a una secuencia ___ 120 5.4. Resolución de una secuencia H mediante un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado: Primera prueba, de infactibilidad _______________________________ 123 5.4.1. Cálculo de cotas inferiores para el tiempo de ciclo, asociado a una secuencia H ____ 123 5.4.2. Cálculo de cotas superiores para el tiempo de ciclo, asociado a una secuencia H ___ 126 5.4.3. Análisis conjunto de cotas inferiores y superiores sobre el tiempo de ciclo, asociado a una secuencia H _________________________________________________________ 129 5.4.4. Ejemplo ilustrativo 5.1 ________________________________________________ 130 5.4.5. Ejemplo de cálculo de cotas del tiempo de ciclo para una secuencia H ___________ 130 5.5. Resolución de una secuencia H evaluando un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado: Segunda prueba, de factibilidad ________________________________ 132 5.5.1. Características de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado _____________________ 132 5.5.2. Estudio de la relación entre el rango de exploración y el tiempo de ciclo de una secuencia ________________________________________________________________ 135 5.6. Propiedades topológicas de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado aplicables en la determinación del tiempo de ciclo óptimo ___________________ 138 5.6.1. Problema de minimización del tiempo de ciclo _____________________________ 138 5.6.2. Grafo G asociado al problema anterior ____________________________________ 138 5.6.3. Propiedades del grafo G _______________________________________________ 139 5.6.4. Del grafo G a un esquema matricial ______________________________________ 140 5.6.5. Puntos dobles en la aplicación Φ I,1 _______________________________________ 142 Ejemplo 1 _________________________________________________________ 144 5.6.6. Determinación de puntos dobles en la aplicación Φ I,1 ________________________ 145 Ejemplo 2 _________________________________________________________ 147 5.6.7. Oscilación de período p entorno puntos dobles de la aplicación Φ I,1 _____________ 149 5.6.8. Núcleo conceptual de la aplicación Φ I y su reducida Φ I,1 ______________________ 151 5.7. Aplicación práctica de la Segunda prueba, de factibilidad sobre un grafo de Tiempo de Ciclo Acotado ____________________________________________ 152 5.7.1. Ejemplo de secuencia no factible (caso 1) _________________________________ 152 5.7.2. Ejemplo de secuencia factible con KminH = LBH (caso 2) _____________________ 155 5.7.3. Ejemplo de secuencia factible con KminH > LBH (caso 3) _____________________ 158 5.8. Esquema del branch and bound mediante baños con grafos de Tiempo de Ciclo Acotado ________________________________________________________ 162 5.8.1. Descripción de la acción principal y las acciones secundarias __________________ 162 5.8.2. Obtención de cotas en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado __________________ 163 iv 5.9. Ejemplo completo: branch and bound mediante baños con grafos de Tiempo de Ciclo Acotado ______________________________________________ 165 6. PROCEDIMIENTO HEURÍSTICO DE RESOLUCIÓN BASADO EN LA GENERACIÓN DE SECUENCIAS, EVALUADAS MEDIANTE EL GRAFO CON TIEMPO DE CICLO ACOTADO ___________________________________ 171 6.1. Introducción a los procedimientos heurísticos _________________________ 171 6.2. Exploración guiada de nuevas secuencias a evaluar _____________________ 172 6.2.1. Número máximo de piezas en el sistema durante un ciclo _____________________ 172 6.2.2. Características básicas del algoritmo heurístico: piezas y operaciones en un ciclo __ 172 6.3. Ejemplo ilustrativo ________________________________________________ 175 6.3.1. Descripción del problema 6.1 ___________________________________________ 175 6.3.2. Número máximo de piezas a inicio de ciclo ________________________________ 175 6.3.3. Cuatro piezas a inicio de ciclo (n=4) _____________________________________ 176 6.3.4. Tres piezas a inicio de ciclo (n=3) _______________________________________ 179 6.3.5. Dos piezas a inicio de ciclo (n=2) ________________________________________ 182 6.4. Algoritmo general de aplicación del procedimiento heurístico ____________ 185 7. EXPERIENCIA COMPUTACIONAL Y ANÁLISIS DE RESULTADOS _____ 187 7.1. Presentación y objetivos del capítulo _________________________________ 187 7.2. Descripción de la experiencia computacional básica de validación _________ 187 7.2.1. Clasificación de ventanas temporales _____________________________________ 188 7.2.2. Tipos de velocidades de grúa ___________________________________________ 188 7.2.3. Experiencia computacional básica _______________________________________ 189 7.3. Determinación de las soluciones óptimas para la experiencia computacional básica ______________________________________________________________ 190 7.3.1. Variables ___________________________________________________________ 191 7.3.2. Reformulación de las restricciones _______________________________________ 191 7.3.3. Función objetivo _____________________________________________________ 192 7.3.4. Ejemplo: el problema 11406 ____________________________________________ 193 7.3.5. Ventana Temporal Media y Trabajos Durante Permanencia ___________________ 197 7.4. Aplicación de un algoritmo arborescente sobre el grafo Secuencial ________ 199 7.4.1. Características de los algoritmos de exploración sobre el grafo Secuencial ________ 199 7.4.2. Resultados de la experiencia computacional básica utilizando el grafo Secuencial __ 200 7.5. Aplicación del algoritmo branch and bound sobre el grafo de Tiempo de Ciclo Acotado ________________________________________________________ 203 7.6. Aplicación del algoritmo heurístico sobre el grafo de Tiempo de Ciclo Acotado _____________________________________________________________ 206 7.7. Experiencia computacional ampliada ________________________________ 208 7.8. El Algoritmo Combinado __________________________________________ 209 7.8.1. Descripción del Algoritmo Combinado (AC) _______________________________ 209 7.8.2. Evaluación del algoritmo sobre la experiencia computacional básica ____________ 210 7.8.3. Descripción de la variante del Algoritmo Combinado (AC’) ___________________ 212 7.8.4. Evaluación del algoritmo sobre la experiencia computacional ampliada __________ 213 Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 4 La figura 1.1 representa un esquema genérico del sistema, que se centra en el flujo de materiales desde el proveedor hasta el cliente. Dicho flujo se inicia en los proveedores, que aportan la materia prima y los materiales de procedencia exterior, y a través de la fase de aprovisionamiento se dirigen hacia el sistema productivo. Esta materia, previamente almacenada en forma de stock, se convierte en componentes y piezas que alimentan el stock correspondiente a través de diversas transformaciones, que se denomina fabricación. Puede existir aprovisionamiento directo de aquellos componentes precisos para la fase posterior de transformación, pero no elaborados en la fase fabricación por los proveedores. Esta nueva transformación, denominada montaje, permite convertir de componentes a productos terminados, que alimentan su correspondiente stock. Los productos terminados constituyen la última fase de transformación física en el sistema productivo y constituyen bienes que solicitan los clientes. El flujo de materiales se prolonga desde el sistema productivo hasta los clientes, que puede constar de una distribución más o menos compleja. La Dirección de Operaciones se interesa por todos los elementos operativos (transportes, almacenajes, fabricaciones y montajes) del sistema logístico comprendidos desde la adquisición de las materias primas y los materiales de procedencia exterior hasta la entrega de los productos terminados a los clientes. Existen tres posibles enfoques al considerar la problemática de las operaciones: • el enfoque de flujo de materiales a través del sistema, • el enfoque de conjunto de actividades u operaciones de proceso que transforman los productos al ser realizadas simultánea o sucesivamente, • el enfoque de utilización de la capacidad limitada de los recursos productivos y de distribución del sistema. La dirección de operaciones debe tener en cuenta estos tres enfoques, altamente correlacionados, realizando una gestión simultánea del flujo de materiales, de las actividades de proceso y de la capacidad de los recursos, llegando a un equilibrio adecuado entre los tres aspectos. 1.1.4. La Dirección de Operaciones En el conjunto de las decisiones tomadas en el sector productivo, se consideran los tres niveles clásicos de decisión en la empresa, inspirados en conceptos de Dervitsiotis (1981) y de Buffa y Sarin (1992): - El nivel estratégico de la empresa. - El nivel táctico, con las decisiones de gestión, que en el ámbito productivo pueden agruparse en decisiones de Diseño de los Sistemas Productivos (a medio y largo plazo) y decisiones de Dirección de Operaciones (a medio y corto plazo). - El nivel operativo, del día a día, con las decisiones propias del control del sistema. Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 5 Entre las decisiones de Diseño de los Sistemas Productivos, según Buffa y Sarin (1992), cabe citar: • la previsión y planificación a largo plazo, • la selección de equipos y procesos, • el diseño productivo de los elementos a fabricar, • el diseño de tareas y medida del trabajo, • la localización del sistema productivo, • la distribución en planta. La Dirección de Operaciones en el marco de la producción implica el estudio de las decisiones relacionadas con el diseño, control y logística de los sistemas productivos “operativos”. A pesar que habitualmente en los sistemas de manufactura la gestión de las operaciones merece un interés prioritario, también puede contemplarse en otros tipos de sistemas, como los que proporcionan servicios o información. 1.1.5. Decisiones de la Dirección de Operaciones La Dirección de Operaciones supone llevar a cabo la gestión periódica de aquellos procesos de transformación que permiten lograr los objetivos de la organización. Entre algunas de las acciones o decisiones específicas que se consideran en la Dirección de las operaciones de los sistemas productivos, cabe citar como más importantes la planificación de la producción, el cálculo de necesidades, la programación de la producción, y como feedback o retroalimentación para decisiones futuras, el seguimiento y control. No obstante, la Dirección de Operaciones debe velar por la sincronización de todos los elementos operativos que intervienen en la parte del sistema logístico comprendido entre la recepción de materias primas o componentes procedentes de proveedores hasta la entrega de los productos acabados a los clientes. La problemática tratada por la Dirección de Operaciones debe considerar simultáneamente tres puntos de vista: 1. el flujo de materiales que recorre el sistema productivo, 2. el conjunto de actividades, operaciones o tareas necesarias para realizar completamente la transformación de las materias primas en productos acabados, 3. la utilización de la capacidad limitada de los recursos productivos del sistema. La gestión de las decisiones de Dirección de operaciones suele plantearse a diferentes niveles, como describen Bautista y Companys (2000), lo que permite una jerarquía de objetivos y facilita su seguimiento y control a la hora de ponerlas en práctica. Un modelo de referencia bastante útil establece tres niveles jerárquicos de toma de decisiones (figura 1.2): la planificación de operaciones, el cálculo de necesidades y la programación de operaciones. Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 6 Figura 1.2. Niveles de decisión en dirección de operaciones (Bautista y Companys, 2000). La planificación de operaciones tiene como objetivo realizar la distribución de los recursos productivos, en principio escasos o limitados, entre todas aquellas actividades productivas que compiten por ellos, para poder cumplir con los objetivos estratégicos marcados por la empresa al sistema productivo. El resultado se materializa en un Plan Maestro o Director de Producción, que indica la cantidad de producción de cada uno de los artículos del plan maestro en los intervalos temporales del horizonte de planificación. Previamente, durante su elaboración se ha considerado la información comercial de las ventas previstas y la política estratégica marcada por la dirección así como las disponibilidades de los recursos críticos. Normalmente se toma un horizonte de un año, dividido en meses, con una frecuencia de actualización mensual, para adoptar las oportunas decisiones con la debida antelación a las circunstancias que deberán afrontar. Las limitaciones de los recursos obligan a la adaptación entre oferta de producción y demanda comercial, que puede verse realizada mediante la constitución de stocks de productos en períodos valle de demanda o la aportación de capacidad productiva adicional. La producción usando tecnología tradicional alcanza una plena eficiencia cuando los productos de gran demanda se fabrican en producción continua o en grandes lotes. Las nuevas tecnologías intentan convertir los sistemas en suficientemente flexibles para romper esta tendencia y adaptar la fabricación a cada uno de los diversos productos a fabricar. Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 7 La planificación de operaciones se realiza básicamente a dos niveles. El primero conduce a la obtención de un Plan Maestro Global o Agregado de producción, que agrupa los productos en familias en todos los intervalos de un horizonte medio (un año dividido en doce meses). El segundo, de horizonte menor (típicamente unos cuatro meses) y de división más fina, en intervalos típicamente de semanas, desagrupa las familias en clases más reducidas (Plan Maestro Detallado) para disponer de la carga de las líneas de producción. El cálculo de necesidades, a partir de las cantidades de productos terminados a fabricar en cada intervalo de tiempo, debe establecer las órdenes de aprovisionamiento y fabricación, ambos grupos sincronizados adecuadamente para el funcionamiento eficiente del sistema productivo. El cálculo de las necesidades se efectúa básicamente aplicando la explosión de los productos terminados del plan maestro en los materiales y operaciones necesarios para fabricarlos. En el cálculo de necesidades de recursos de fabricación, el desajuste entre la necesidad y la disponibilidad comporta la reubicación temporal de órdenes de producción o la modificación del plan maestro. Una de las técnicas más usadas se conoce como MRP (Material Requirements Planning). El horizonte que abarca un cálculo de necesidades no supera, en general, los cuatro meses. Finalmente, la programación de operaciones debe elaborar un programa que indique cada operación en que se descomponen las órdenes de producción, en qué recurso se va a realizar y durante qué período de tiempo. Al situarse en un nivel más concreto de detalle, debe trabajar con los valores reales de tasas de producción y, mediante el seguimiento y control, comprobar que estos valores se mantienen. Como se observará en esta tesis, el problema de la programación de algunos sistemas productivos puede adquirir gran complejidad, lo que puede verse superado considerando un cierto sobre-equipamiento o una jerarquía de asignaciones. El horizonte se reduce a unos pocos días, sus intervalos en horas, y la actualización se realiza con frecuencia diaria. La función de lanzamiento supone la generación de la documentación necesaria del programa para que se pueda llevar a cabo. Otras tareas complementarias en la dirección de operaciones, que controlan la evolución del sistema productivo, para evaluar sus cambios son la fiabilidad y mantenimiento del sistema productivo, la gestión de la calidad, o el control de costes y de la mano de obra. Finalmente, siempre es necesario combinar el conocimiento teórico sobre cómo funciona un sistema de planificación y control de la producción con las experiencias reales vividas en tales sistemas. Cuando se trata esta función, muchas veces se enfatiza en la planificación, algo que tiende a ser una muestra estática sobre cómo funciona realmente el sistema. La práctica del control requiere, en cambio, algún mecanismo que simule la ejecución de planes a lo largo del tiempo. A tal efecto, se requiere un conjunto de experiencias de aprendizaje sobre el sistema, que facilitan un control efectivo sobre el sistema. 1.2. La programación de operaciones La programación de operaciones (conocida en inglés como scheduling) es el peldaño principal en la escalera de adquisición de valor por parte del producto. Dentro de la logística de producción, la programación de las tareas suele convertirse en el aspecto más complejo (Mendez y Cespón, 1999). A su vez, y una vez fijado el marco de la logística de Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 8 producción, el papel desempeñado por los sistemas de planificación y control es fundamental en la mejora de funcionamiento del sistema. Estos sistemas desembocan en las decisiones a un nivel operativo después de haber considerado las decisiones a niveles estratégico y táctico, que conjuntamente forman los tres niveles de decisión en la dirección de operaciones: planificación de operaciones, cálculo de necesidades y programación de operaciones. El nivel operativo es aquél donde claramente queda reflejada la estrecha relación con la ejecución de las actividades, operaciones o tareas, en definitiva con el funcionamiento del sistema. La culminación del proceso de planificación a través de la función de programación de operaciones (scheduling) le reporta un carácter de gran influencia sobre el grado de éxito de la dirección de operaciones. Entre todas las actividades en el ámbito de la gestión diaria de la producción, la labor desarrollada en la programación de la producción puede calificarse, por un lado, como poco valorada y, por otro, relativamente poco desarrollada. Dicha condición puede justificarse por el constante esfuerzo requerido para mejorar el servicio, en términos de plazo de entrega, costes y calidad. Esta función tiene relativamente un escaso desarrollo, en comparación con la planificación por ejemplo, al sumarse dos factores: la complejidad en el manejo de datos y la poca uniformidad entre los diferentes sistemas productivos. Esto resta posibilidades a establecer alguna metodología general que permita aplicar esta función en un gran número de empresas. Los objetivos de la programación de operaciones, pues, son: • a un nivel externo al sistema productivo, proporcionar un producto a un coste razonable, en el plazo de entrega acordado y con el nivel de calidad fijado; • a un nivel interno al sistema productivo, lograr una buena medida de productividad mediante un uso eficiente de los recursos disponibles, considerando los objetivos a nivel externo. Las restricciones o limitaciones por las que se encuentra afectado el sistema productivo pueden ser debidas a: • los recursos disponibles, • la demanda, planteada a partir de las necesidades del mercado, • otros aspectos, como la gestión de los recursos automatizados del sistema productivo. Las medidas de eficiencia que se utilizan para evaluar y comparar los posibles resultados de una programación de tareas se centran frecuentemente en: • los tiempos de entregas de los diferentes productos fabricados, a comparar respecto a las fechas comprometidas de entrega (due dates), • la utilización de los recursos, que se determina a partir de la carga de trabajo (workload) asignada a cada uno de ellos, • la producción en curso (work in process). Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 9 1.3. La secuenciación de operaciones Las tecnologías de información, basadas en el uso de ordenadores, utilizadas en diversas funciones empresariales, entre ellas la producción, empiezan a formar un conjunto importante de herramientas de gestión. El uso eficiente de dichas herramientas obliga al director de operaciones a familiarizarse con sus puntos básicos y las implicaciones que tienen en el funcionamiento diario. La implantación de estas nuevas tecnologías también varía sustancialmente de las tradicionales, debido al mayor alcance e impacto que implican, no tan sólo en la producción, sino también en el resto de la empresa. Así, en el ámbito productivo cabe destacar, entre otros, las tecnologías de grupo, las máquinas de Control Numérico, el diseño integrado con ordenador y los Sistemas de Fabricación Flexible (FMS, Flexible Manufacturing Systems). Según Widmer (1991), la producción flexible en un sistema productivo implica “que los trabajadores no intervengan directamente sobre la fabricación (...); la programación de la producción se controla mediante un sistema informático”. Los entornos de fabricación automatizada, cada vez más numerosos, presentan ciertos aspectos particulares no hallados en los modelos de planificación y programación desarrollados para sistemas de producción tradicionales. Por ejemplo, los modelos con automatización incluyen habitualmente restricciones sobre la imposibilidad que una máquina realice ciertas operaciones consecutivamente, dentro de los límites impuestos por sus características. Estos modelos válidos para optimizar globalmente el sistema deben sincronizar las actividades u operaciones de los sistemas flexibles de manipulación de material con las operaciones propias del sistema productivo. La complejidad de las situaciones tratadas desemboca en interesantes problemas de optimización combinatoria, uno de los cuales es el que nos ocupa. Algunas características de funcionamiento que se observan en este tipo de sistemas son las siguientes: • Las operaciones son realizadas por máquinas. • Los objetos o útiles son desplazados y manipulados por sistemas automatizados de manipulación de material. • Debe llevarse a cabo un control de las máquinas, las herramientas y los manipuladores de material. En la definición de sistemas de producción flexibles aparece implícita la automatización de ciertas máquinas que son controladas externamente por sistemas informáticos. Se pueden hallar ejemplos de este tipo de sistemas en la industria del metal o bien en la industria electrónica, en la producción de placas de circuitos impresos (PCBs, printed circuit boards). La producción flexible se diferencia de la producción tradicional por su grado de flexibilidad, pero cabe preguntarse qué se entiende exactamente por flexibilidad. Sethi y Sethi (1990) logran definir cincuenta variantes diferentes de flexibilidad, halladas todas en la literatura, de las cuales en Crama (1997) se seleccionan once puntos de vista distintos, y de los cuales se citan aquéllos con mayor relación con el presente trabajo a continuación: Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 10 • flexibilidad en las máquinas: posibilidad que en las máquinas se realicen varias operaciones sin necesidad de un gran esfuerzo en el cambio entre diferentes operaciones; • flexibilidad en la manipulación de materiales: capacidad de los sistemas de manipulación de materiales para desplazar objetos eficientemente para que estos sigan un proceso adecuado a lo largo de la planta; • flexibilidad en las operaciones: posibilidad para que una pieza sea fabricada de diferentes maneras; • flexibilidad en el proceso: referida a los diversos tipos de objetos que se pueden producir, sin grandes tiempos de lanzamiento; • flexibilidad en las rutas: posibilidad de producir un objeto en un sistema siguiendo diversas rutas alternativas. Los modelos matemáticos en este campo, usados para obtener planes de producción como en el montaje de placas de circuitos (PCBs) en talleres automatizados, obtienen un programa sometido a las limitaciones impuestas por los recursos (scheduling under resource constraints). Para obtener buenos resultados de eficiencia del sistema productivo, no deben ignorarse las restricciones impuestas por la manipulación de materiales (MHSs, material handling systems), cosa que no ocurre en la mayoría de modelos de programación tradicionales, donde se considera el tiempo de transporte prácticamente nulo. Cuando los recursos de manipulación de materiales presentan gran interacción con las estaciones de trabajo, el sistema productivo se ve directamente afectado por las actividades de manipulación. Estas operaciones de manipulación las realizan habitualmente vehículos automatizados (AGVs, AutoGuided Vehicles), robots, grúas o similares. Un modelo general de programación en estas condiciones suele contar con las siguientes características: • Existe una estación de entrada, una estación de salida, m máquinas y k manipuladores idénticos. • Todas las piezas están disponibles inicialmente en la estación de entrada y deben terminar en la estación de salida. • Cada máquina sólo puede procesar una pieza a la vez, con una duración de la operación p(i,j), es decir, tiempo de proceso de la pieza i en la máquina j. • El manipulador carga las piezas, las descarga y las transporta de máquina a máquina. • Cada manipulador sólo puede manipular una única pieza a la vez, siendo d(j,l) el tiempo de movimiento desde la máquina j a la máquina l. • El objetivo de la programación es elaborar programas simultáneos para las piezas y los manipuladores optimizando alguna medida arbitraria (el tiempo total, el tiempo de ciclo, ...). Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 11 • El modelo puede completarse con restricciones adicionales, como precedencias, fechas de entrega, importancia o pesos de las piezas, etc., incluyendo además posibles restricciones sobre los manipuladores. Crama (1997) cita dos grupos de problemas representativos en la programación de flujo regular con múltiples máquinas (flow-shop multiserver): los problemas de programación en células robotizadas y los problemas de programación de transportadores o grúas, en cuyo ámbito se centra el presente trabajo. 1.4. Métodos de resolución para problemas de programación Los problemas de programación de la producción, en el marco de los sistemas de fabricación altamente automatizados, pertenecen al grupo de problemas de optimización combinatoria. En general, se trata de problemas NP-completos, según la clasificación de Garey y Johnson (1979). Como se explicará en el capítulo 3, Lei y Wang (1989a) demostraron que el problema básico y central de esta tesis se engloba en el grupo de problemas NP-completos. Para obtener una programación de operaciones según los requerimientos del problema, procesar adecuadamente una variedad de productos u operaciones en un conjunto de recursos, existen diversos métodos de resolución: • En algunos casos, se puede alcanzar una solución óptima al problema planteado, mediante un procedimiento de optimización, tal como la programación lineal, si bien otras técnicas alternativas pueden garantizar los resultados óptimos. • Cuando la realidad no presenta tal linealidad o la complejidad del problema es mayor, y el número de posibles soluciones no se puede evaluar en un corto espacio de tiempo, se recurre a otras técnicas de exploración de entornos para obtener un resultado satisfactorio. Como se observa, el conjunto de métodos propuestos parten de la optimización clásica, recurriendo por sus propiedades, o bien a la programación lineal, o bien a otras técnicas, como la teoría de grafos, la programación dinámica o la simulación si es necesaria. Ambas posibilidades cuentan con ventajas e inconvenientes en su explotación a las diversas situaciones posibles. Otra opción, las técnicas propias de la optimización combinatoria son menos laboriosas, y gracias a las prestaciones informáticas, ofrecen resultados suficientemente válidos. Por último, se dispone de los llamados sistemas expertos. Estas herramientas aplicadas a la programación de la producción también pueden considerarse adecuadas desde un punto de vista teórico, aunque se puede resaltar dos posibles desventajas de tipo práctico: cada sistema productivo suele ser bastante singular, y requieren actualizaciones en caso de cambios físicos en el sistema productivo. Capítulo 1. Introducción: marco del trabajo 12 En definitiva, cualquiera de las opciones planteadas conlleva modelizar los sistemas productivos para resolver o analizar sus problemas, mediante el uso de un paquete informático, que sirva como sistema de ayuda o de planificación a la producción. 1.5. Hipótesis de partida y resultados esperados El presente estudio va a tratar el problema de programación de grúas o transportadores que indicaba Crama (1997), clasificado en su variante más simple en el grupo de problemas combinatorios NP-completos según Garey y Johnson (1979). Partiendo de aportaciones previas, se pretende encontrar nuevos procedimientos para hallar programaciones factibles y garantizar soluciones óptimas a ejemplares complejos en tiempos menores que los necesarios para los procedimientos conocidos hasta el momento. Las hipótesis en que se basará el trabajo son las siguientes: 1. En caso de utilizar conjuntamente algunas de las aportaciones formuladas por diversos autores, los resultados se pueden obtener en menor tiempo de cálculo o en menor número de cálculos. 2. Se pueden aplicar otras técnicas, dentro del ámbito de la organización industrial, distintas a las propuestas en los artículos reseñados. Un nuevo procedimiento propuesto puede girar entorno a la programación dinámica acotada. 3. El desarrollo de algoritmos basados en la exploración de entornos puede mejorar los tiempos invertidos en hallar una solución, o bien en asegurar su grado de optimalidad. 4. El estudio de la mayoría de autores se centra en el caso más básico, con objetos homogéneos, con sus múltiples variantes (uno o más baños, una o más grúas, etc.). La variante de objetos homogéneos debe ser un primer paso al estudio de la variante de objetos heterogéneos. Esto implica que el objetivo ya no sea obtener una programación de movimientos de la grúa o grúas, sino también hallar una ordenación de objetos. Por lo tanto, se trata de secuenciar y programar, sin violar las restricciones impuestas. A diferencia de los resultados ya obtenidos, la tendencia real a la flexibilidad en la producción implica la tendencia progresiva al caso de objetos heterogéneos frente al actualmente general de objetos homogéneos. No obstante, la amplitud del estudio de la producción de objetos homogéneos no ha permitido su extensión a los productos heterogéneos. Un último resultado del trabajo será el aprovechamiento de las conclusiones extraídas de la experiencia computacional en problemas observados en la realidad. Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 13 2. EL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DEL PUENTE-GRÚA 2.1. Una visión general del problema 2.1.1. El problema HSP (Hoist Scheduling Problem) El problema desarrollado en esta tesis, conocido en la literatura como HSP (Hoist Scheduling Problem), consiste en hallar la secuenciación de objetos y la programación de los movimientos necesarios que debe realizar uno o más puentes-grúa, para transportar unos objetos o elementos a lo largo de una línea de producción, compuesta generalmente por un conjunto de tanques. Los puentes-grúa, o bien grúas elevadoras (hoisting machines) son, según la versión inglesa de la Enciclopedia de Ciencia y Tecnología de McGraw–Hill (1997), mecanismos para levantar y bajar materiales con movimientos intermitentes mientras aguantan dichos materiales libremente suspendidos. Se trata de máquinas capaces de recoger una carga de materiales desde una localización y depositarla en otra cualquiera, circunscrita en un área limitada. Por el contrario, las máquinas elevadoras mueven sus cargas sólo en un recorrido vertical, y los monorraíles circulan a lo largo de una cierta ruta horizontal más que sobre un área. Los principales componentes de los puentes-grúa son el mecanismo de las poleas para el levantamiento, la grúa más el cabrestante que realizan los movimientos, y la columna y el bloque de la grúa como elementos estructurales. Las líneas de fabricación para placas de circuitos impresos son un ejemplo de situación real en que se presenta la citada problemática. Las placas (colocadas en contenedores) deben pasar del tanque 0 (también conocido por estación de carga) al tanque en que se realice la primera operación, al tanque en que se realice la segunda operación, y así, hasta el tanque donde tenga lugar la última operación, y finalmente dejarlas en el tanque destinado a descargarlas. Los contenedores, con las placas, se transportan mediante un puente-grúa programable, el cual debe realizar diversas acciones, como: • sacar contenedores de los tanques, • depositar contenedores en los tanques, • transportar contenedores entre tanques, • moverse (sin desplazar ningún contenedor) entre dos tanques, • estarse parado. 2.1.2. Los dos niveles de movilidad del puente grúa Los puentes-grúa que cumplen con esta misión en una línea productiva pueden desplazarse a dos niveles diferentes. En caso de no transportar ninguna carga entre dos baños, el puente-grúa mueve sus abrazaderas a ras de la altura de los tanques, mientras que en caso de transportar alguna carga, los contenedores cuelgan de las abrazaderas del puente-grúa, lo que le obliga a trasladarse a una altura superior que en el caso anterior. Este doble nivel de desplazamiento de la grúa le obliga a realizar las operaciones de levantar la carga hasta una altura suficiente, cuando se encuentra en el tanque donde se recoge un contenedor, y a descender la carga la misma altura, cuando se encuentra en el tanque donde se deposita dicho contenedor. Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 20 No obstante, a efectos de funcionamiento de la línea y de programación de la grúa, es mucho más fácil asignar dos tanques consecutivos a un único proceso (figura 2.6). Figura 2.6. Ejemplo 1, con una línea de 6 tanques formando un tanque multi-baño (O3) los tanques 3 y 4. 2. Por otro lado, la segunda clasificación posible sobre los tanques que contienen las reacciones químicas se basa en el número de tratamientos distintos que puedan aplicarse en dicho baño. Este aspecto es habitual en las líneas productivas tratadas en operaciones como los lavados, que pueden ser necesarios después de aplicar un producto químico diferente sobre los objetos. Estas operaciones, a diferencia de lo comentado en la anterior subdivisión, no actúan como cuellos de botella del sistema productivo, sino más bien lo contrario. Así, puede optimizarse el número de baños, y por consiguiente minimizar la longitud de la línea de producción, mediante tanques multi-función. Esto comporta desarrollar diversas operaciones de corta duración, que no sean simultáneas, en un mismo baño. La introducción de tanques multi-función frente a los tanques mono-función implica la posibilidad que la grúa se desplace transportando objetos o contenedores entre distintas operaciones consecutivas en un sentido u otro, mientras que esto no sería necesario en el caso mono-función si los tanques estuvieran perfectamente ordenados según la secuencia de operaciones del proceso. 2.1. Tanques mono-función: Situación de una línea cuando todos los tanques del sistema sólo pueden realizar un tratamiento específico (u operación) sobre los objetos o contenedores. 2.2. Tanques multi-función: Situación de una línea cuando alguno de los tanques del sistema puede realizar más de un tratamiento específico (u operación) sobre los objetos o contenedores, tales que no sean consecutivos. Estación de carga Estación de descarga Tanques de proceso (estaciones de trabajo) 1 2 3 4 5 6 Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 21 Ejemplo 2 Dado un proceso con 6 operaciones, a realizar en el orden indicado, de las cuales la segunda y quinta operaciones consisten en realizar una misma función, y cuyos tiempos mínimos y máximos de proceso son los siguientes: Operación O1 O2 O3 O4 O5 O6 Tiempo mínimo 70 20 80 125 20 60 Tiempo máximo 120 1000 100 150 1000 120 Tabla 2.2. Datos del ejemplo 2. En la tabla 2.2 se observa que la segunda y la quinta operación tiene unos tiempos mínimo inferiores a los demás. En este caso, el tiempo máximo no es claramente limitativo. Si se considera la posibilidad de una única operación por tanque, tanques mono-función, el sistema estaría formado por los 6 tanques siguientes. Se indica el recorrido de los objetos o contenedores a lo largo de su evolución en la línea. Figura 2.7. Ejemplo 2, con una línea de 6 tanques con tanques mono-función. La definición de tanques multi-función permite pensar en una distribución de 5 tanques a lo largo de la línea. Así, se proponen dos soluciones tales que el tanque multi-función ocupe la posición de una o la otra operación afectadas, es decir, que el tanque multifunción sea el tanque 2 o el tanque 4. Nuevamente, se indica el recorrido de los objetos o contenedores a lo largo de la línea en ambos casos: Estación de carga Estación de descarga Tanques de proceso (estaciones de trabajo) 1 2 3 4 5 6 Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 22 Figura 2.8. Ejemplo 2, con una línea de 5 tanques con el tanque 2 multi-función (operaciones O2 y O5). Figura 2.9. Ejemplo 2, con una línea de 5 tanques con el tanque 4 multi-función (operaciones O2 y O5). Estación de carga Estación de descarga Tanques de proceso (estaciones de trabajo) 1 (O1) 2 ( O2 , O5 ) 3 (O3) 4 (O4) 5 (O6) Estación de carga Estación de descarga Tanques de proceso (estaciones de trabajo) 1 (O1) 2 (O3) 3 (O4) 4 (O2, O5) 5 (O6) Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 23 2.3.2. Los objetos (o contenedores de objetos) Por lo que respeta a las piezas, objetos o contenedores cuyas operaciones deben ser programadas en este proceso, puede tratarse de objetos idénticos o diversos, es decir, con unas necesidades de tiempo de proceso iguales o diferentes entre sí. En este último caso, se tratará de objetos heterogéneos, mientras que si se trata el caso de diferentes unidades de un único tipo de objeto se tratará de objetos homogéneos. 3.1. Objetos heterogéneos: Este tipo de objetos, al circular por la línea de producción presenta diferentes situaciones al programador de la grúa en función de las características temporales de cada uno. Se puede partir de un estado inicial del sistema vacío y finalizar cuando el último objeto o contenedor secuenciado abandona el sistema (caso estático) o secuenciar la entrada de los objetos y reprogramar los movimientos de material en la línea teniendo en cuenta las distintas particularidades (caso dinámico). Por lo tanto, en el caso estático el objetivo se basa en la minimización del instante de finalización de proceso del último objeto secuenciado en la última etapa, y en el caso dinámico en intentar la entrada y la salida de los diversos objetos lo más temprana posible. 3.2. Objetos homogéneos: Este tipo de objetos presenta una problemática que se repite periódicamente a medida que han de entrar nuevos objetos al sistema, y esto le imprime el carácter de programación cíclica. En este caso, el objetivo se centra en hallar una secuencia de operaciones en las diferentes etapas u operaciones, tal que pueda repetirse cíclicamente, es decir, se pretende minimizar el tiempo de ciclo. Ejemplo 3 Dado un proceso con 5 operaciones, a realizar en el orden indicado, se dispone de tres variedades de producto diferentes, cada una de las cuales requiere para cada función unos tiempos de proceso comprendidos entre los valores mínimos y máximos siguientes: Producto/ Operación O1 O2 O3 O4 O5 P1 Tiempo mínimo 40 20 50 25 30 Tiempo máximo 70 50 90 60 50 P2 Tiempo mínimo 30 50 60 40 40 Tiempo máximo 60 90 100 60 80 P3 Tiempo mínimo 50 30 40 60 50 Tiempo máximo 90 60 90 120 70 Tabla 2.3. Datos del ejemplo 3. En caso de plantear la fabricación de todos los tipos de producto conjuntamente en una misma línea de producción, alternando unidades de las tres variantes, la situación corresponde a productos heterogéneos: Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 24 Figura 2.10. Ejemplo 3, con tres productos distintos circulando en una misma línea (objetos heterogéneos). En caso de plantear la fabricación de cada uno de los tipos de producto por separado, son necesarias tres líneas de producción dedicadas a productos homogéneos: Figura 2.11. Ejemplo 3, con tres productos distintos en tres línea distintas o en tres períodos claramente diferenciados (objetos homogéneos). 2.3.3. Los elementos de automatización Otro parámetro importante que debe ser considerado en un problema de programación de este tipo es el número de elementos de transporte (llamados puentes-grúa, grúas flotantes o simplemente grúas), con los cuales se efectúa el conjunto de operaciones necesarias de transporte de materiales a lo largo de la línea. En este texto, se ha optado más Estación de car ga Estación de descarga Tan q ues de p roceso ( estaciones de traba j o ) 1 2 3 4 5 Estación de car ga Estación de descarga Tan q ues de p roceso ( estaciones de traba j o ) 1 2 3 4 5 Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 25 frecuentemente por el uso de la palabra grúa, considerando que expresa las propiedades definidas más claramente en las demás acepciones. Así, para estos elementos de transporte se puede establecer básicamente la siguiente división. 4.1. Una única grúa (mono-grúa), que utiliza un carril horizontal para desplazarse a menor altura cuando circula en vacío y a mayor altura cuando lo hace transportando un objeto o contenedor. 4.2. Más de una grúa (multi-grúa), es decir, diversas grúas utilizan un único carril horizontal para desplazarse a menor altura cuando circula en vacío y a mayor altura cuando lo hace con carga, lo que exige, además de la consideración de los tiempos de ventanas temporales y de transporte, una coordinación de movimientos y posiciones simultáneas de las grúas. Ejemplo 4 Dado un proceso con 8 operaciones, a realizar en el orden indicado, y cuyos tiempos mínimos y máximos de proceso son los siguientes: Operación O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 Tiempo mínimo 70 60 80 90 70 60 50 80 Tiempo máximo 120 100 100 150 100 120 90 100 Tabla 2.4. Datos del ejemplo 4. A partir de los datos en la tabla 2.4 se puede plantear que el transporte de los objetos entre las diferentes operaciones lo realice una única grúa o diversas. Si se considera el uso de una única grúa en la línea, ésta debe ocuparse del sistema completo formado por los 8 tanques, lo cual se muestra en la figura 2.12. Figura 2.12. Ejemplo 4, con una grúa para las 9 operaciones de transporte (caso mono-grúa). Estación de car ga Estación de descar ga 1 2 3 4 5 6 7 8 Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 26 La posibilidad de usar más de una grúa obliga a una asignación de cada una a un conjunto de tanques. Si por ejemplo, se decide optar por dos grúas (figura 2.13), debe utilizarse un tanque como baño pivote, en el cual la grúa 1 deposita un objeto que recoge posteriormente la grúa 2. En este caso, a partir del análisis de los datos sobre tiempos mínimos y máximos de estancia de los objetos en los baños, se ha asigna el baño pivote al tanque 4 (ya que en él se alcanza la mitad de la suma de todos los tiempos mínimos y máximos). Figura 2.13. Ejemplo 4, con dos grúas que se reparten las 9 operaciones de transporte (caso multi-grúa). 2.3.4. La distribución en planta del sistema Un último parámetro a considerar, que puede facilitar o mantener el grado de complejidad de las situaciones de este tipo de líneas, hace referencia a la distribución en planta (layout). Por un lado, es importante la disposición de los tanques en los cuales tienen lugar las diversas etapas del proceso, así como la posición de las estaciones o lugares de carga (entrada de los objetos al sistema) y descarga (salida de los objetos al sistema). Así, en función de la disposición de los tanques donde se realizan dichas etapas, se pueden considerar básicamente de dos situaciones: 5.1. Distribución uniforme: Los tanques están dispuestos en fila y de manera equidistante entre tanques contiguos, con lo cual una grúa tarda el mismo tiempo en desplazarse en vacío o con carga entre cualquier pareja de tanques consecutivos. 5.2. Distribución no uniforme: Los tanques están dispuestos en fila, pero no de manera equidistante entre tanques contiguos, con lo cual una grúa puede tardar más o menos mismo tiempo en desplazarse en vacío o con carga entre cualquier pareja de tanques consecutivos. Estación de car g aEstación de descar g a 1 2 3 4 5 6 7 8 Baño pivote Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 27 Ejemplo 5 Dado un sistema con 5 operaciones, cada una de las cuales realizada en un baño, éstos pueden estar dispuestos uniformemente a lo largo de la línea (figura 2.14) o irregularmente (figura 2.15). Esta variación se refleja en los tiempos necesarios para el desplazamiento de las grúas. Figura 2.14. Ejemplo 5, con distribución uniforme entre los baños y las estaciones de carga y descarga (3 metros de distancia). Figura 2.15. Ejemplo 5, con distribución no uniforme entre los baños y las estaciones de carga y descarga (2, 3 y 5 metros de distancia). 0 (carga) 6 (descarga) 1 2 3 4 5 3 3 3 3 3 3 (m) 0 (carga) 6 (descarga) 1 2 3 4 5 5 2 2 3 3 3 (m) Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 28 Mientras, en función de la posición de las estaciones donde se realizan las etapas de carga y descarga, se pueden considerar dos situaciones: 6.1. Agrupación entrada-salida: La estación de carga (operación 0) actúa también como estación de descarga (operación m+1). Cualquier movimiento de la grúa para tomar nuevos trabajos o dejar los ya finalizados tiene idéntica duración. 6.2. Separación entrada-salida: La estación de carga (operación 0) ocupa una posición diferente en la distribución de la línea de la estación de descarga (operación m+1). Ejemplo 6 Para comparar ambas posibilidades, se muestra una línea de 5 tanques con agrupación de entrada y salida de objetos de la línea, en la estación 0 a la izquierda de la línea (figura 2.16), y con ambas operaciones separadas, entrada en la estación 0 a la izquierda de la línea y salida en la estación 6 a la derecha de la línea (figura 2.17). Figura 2.16. Ejemplo 6, con agrupación de entrada-salida en una línea de 5 tanques. Figura 2.17. Ejemplo 6, con separación de entrada (estación 0)-salida (estación 6) en una línea de 5 tanques. 0 (carga/descarga) 1 2 3 4 5 0 (carga) 6 (descarga) 1 2 3 4 5 Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 29 2.3.5. Resumen y notación A partir de las subdivisiones definidas en los apartados precedentes, se puede esquematizar la clasificación de una instancia de problema tal como se muestra en la tabla 2.5. Elemento Característica Valores Notación Tanques Baños por operación Mono-baño 1B Multi-baño +B Operaciones por baño Mono-función 1F Multi-función +F Objetos Tipos de objetos Objetos homogéneos 1 Objetos heterogéneos n Elementos automatizados Número de grúas Una grúa 1 Más de una grúa p Disposición física Layout operaciones Distribución uniforme U Distribución no uniforme V Carga respecto descarga Agrupación carga-descarga ∩ Separación carga-descarga ∪ Tabla 2.5. Clasificación de los problemas. Para simplificar al tratar los modelos a las diferentes situaciones posibles se propone la siguiente notación: [ baños / objetos / grúa / layout ] formado por 6 valores: [ a,b /c/d/e,f ] Así, por ejemplo, el problema básico más considerado en la literatura tomaría una de las cuatro siguientes notaciones, en función de la disposición de los baños: 1B,1F/1/1/U,∪ 1B,1F/1/1/U,∩ 1B,1F/1/1/V,∪ 1B,1F/1/1/V,∩ Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 36 Dengiz y Akbay (2000) plantean dos modelos de simulación para investigar los efectos de las técnicas de aprovisionamiento de materiales en una línea de fabricación de PCBs. Este artículo, si bien no directamente relacionado con la visión planteada del tipo de sistema productivo tratado, muestra la alternativa tecnológica de la fabricación en una línea de montaje que prescinde de transportadores o grúas, frente a la más extendida hasta este momento para fabricar los productos electrónicos citados. Finalmente, cabe citar las aportaciones elaboradas durante estos últimos años en la misma Escuela de Ingenieros Industriales de Barcelona, a través de los proyectos finales de carrera realizados y de los documentos de investigación publicados. Fernández (1995) introduce la resolución mediante grafo, técnica en aquellos momentos novedosa, para el caso mono-baño, mono-función, una sola grúa y objetos homogéneos. Nasarre (1996), partiendo de la experiencia anterior, aplica la resolución mediante grafo al caso mono-baño, mono-función, una sola grúa y objetos heterogéneos. Baena, Bautista y Mateo (1998) proponen la aplicación de técnicas de exploración de entornos en el caso de determinación de secuencia de movimientos en líneas con objetos homogéneos y, por tanto, en la búsqueda de una programación cíclica. Leal, Bautista y Mateo (1998), por otro lado, perfeccionan la resolución mediante grafo para dicho caso. Mur (1999) propone un procedimiento heurístico para el caso de objetos heterogéneos con la posibilidad de diferentes rutas de los productos, partiendo de las indicaciones de Yih (1994). Aranda y Serra (1999) aplican técnicas de exploración de entornos a la búsqueda del programa óptimo de temporización de operaciones en el caso de objetos heterogéneos, con una sola grúa en el caso de estaciones mono-baño y mono-función. Larrubia y Mengual (2000) proponen un procedimiento heurístico, basado en la resolución mediante grafos planteada por Fernández (1995), para la resolución del caso de más de más de una grúa en un sistema con objetos homogéneos y tanques mono-baño y mono-función. Así, se establecen comparativas que permiten indicar cuándo es conveniente instalar una o más grúas. 2.4.2. Aproximación dinámica o resolutiva Desde este punto de vista, la grúa se controla mediante reglas heurísticas que determinan las fechas de entrada de los sucesivos productos, o lotes de productos, y con ellas se establece el orden de movimientos de las grúas. En la década de los ochenta, cuatro aplicaciones en industrias francesas utilizaron versiones adaptadas de estas reglas a sus condiciones particulares, aunque ninguna basada en modelos teóricos muy precisos. Su objetivo principal es obtener un alto nivel de productividad y también que los productos fabricados en sus cadenas de producción tengan la mayor calidad posible (cumpliendo las condiciones de ventanas temporales en los baños). Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 37 Derid (1978) explica su experiencia en la empresa CITEC, con dos cadenas de electrólisis automáticas y con grúas programables para un cierto número de operaciones. Gross et al. (1981) relatan su experiencia al diseñar para la empresa Sarel una cadena automática flexible de múltiples grúas, en que se permite tratar hasta 19 contenedores por hora, oscilando el tiempo de tratamiento global entre una y dos horas. En este caso, las grúas son independientes entre sí y están destinadas a diferentes zonas prefijadas. Cannard (1988) describe la aplicación de Focal Informatique para Frappaz Imasa, donde las líneas de baños cuentan con diversas grúas pilotadas por autómatas programables, que actúan sobre cubetas del tipo multi-baño y mono-función. Ricci y Brousson (1989) cuentan su experiencia en Sleti el Delta Electronique, en donde una cadena de producción contiene cuatro líneas, 100 cubetas, 6 grúas y 3 puestos de transferencia, para la cual debe determinarse una secuencia a corto plazo que incluya un lote de productos a tratar. Thesen y Lei (1990) realizaron un sistema experto de secuenciación para aplicaciones multi-producto y multi-grúas, para hallar la secuencia de movimientos de una grúa en un entorno cambiante. Para ello, previamente deben realizarse simulaciones que identifiquen buenas reglas en la toma de decisiones, en función del estado del sistema, y construir una base del conocimiento. La efectividad de las reglas propuestas fue comprobada en un contexto real bajo cambios de fabricación y averías, lo que supuso un incremento de productividad en cerca de un 10%. El problema tratado se basa en la demanda de n diferentes tipos de productos, que llegan en lotes, cuya demanda puede variar y cada uno de los cuales sigue una ruta establecida. La línea se compone de m tanques donde no se permiten esperas del material entre dos tanques, algunos tanques pueden estar repetidos (multi-tanque) y se conocen las distribuciones de tasas de avería de los tanques (concentraciones químicas fuera de las tolerancias permitidas) y su reparación. Finalmente, p grúas idénticas trabajan de manera independiente, comparten un carril único sin poderse cruzar, se pueden estropear según una distribución conocida y, en dicho caso, son apartadas de la línea de trabajo. Un sistema de programación experto requiere adquirir conocimientos del sistema: identificando reglas de decisión prometedoras, identificando parámetros, usando la simulación para identificar las mejores reglas para diferentes condiciones y estableciendo los criterios de selección de reglas. Los autores determinaron cinco parámetros: número de tanques y de grúas disponibles en un instante de tiempo, tiempo de movimiento de grúa entre dos tanques consecutivos, el tiempo de proceso en un tanque y el perfil de consumo de recursos. Para unas condiciones determinadas, se muestra como ejemplo que estos parámetros conducen a una selección entre dos reglas: la partición de la línea por grúas y la prioridad modificada de la grúa más cercana. Lamothe, Correge y Delmas (1995) plantean el problema de programación del transportador dinámico (Dynamic Hoist Scheduling Problem), para un contexto productivo en tiempo real con multi-producto, en el cual los objetos llegan a la estación de carga aleatoriamente. Así, dado el estado de la línea y los productos en la estación de carga, se debe reprogramar los movimientos de la grúa. Se utiliza un procedimiento de branch and bound primero en profundidad. Siguiendo el esquema planteado por Baptiste (1992) en Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 38 cada nodo se evalúa una restricción disyuntiva entre dos operaciones que compitan por un mismo recurso. A partir de la evaluación de una función de coste calculada en cada nodo, como el número de conflictos o disyuntivas, se introduce el backtracking dinámico cuando alguna restricción hace inconsistente el sistema de inecuaciones planteado. Comparado con otras heurísticas, conduce a mejoras de hasta un 20% e incluso puede proporcionar soluciones buenas para el caso cíclico sin imponer que se halle el tiempo de ciclo. Fleury et al. (1996a) proponen un nuevo método llamado Triple Coupling (triple combinación), para resolver algunos problemas industriales, como el problema HSP. El método que maneja las restricciones propias del sistema productivo, se basa en la conjunción de tres componentes: algoritmos estocásticos (propios de la investigación operativa), un modelo de simulación (como puente hacia su aplicabilidad) y un modelo multi-agente (propio de la inteligencia artificial). Estos tres elementos integrados responden a la estructura jerárquica de un sistema productivo: el subsistema lógico, el subsistema físico y el subsistema decisional. Para determinar la planificación a la entrada de la línea, se utilizan dos tipos de algoritmos: algoritmos del canguro y algoritmos de descenso estocástico. El resultado proporcionado se compone de la programación de entradas a la línea y de la conducción de la grúa. Se facilitan dos ejemplos donde se detalla el posible incremento de producción en la línea, acompañado, no obstante, de incrementos en la violación de las restricciones de tiempo máximo en los tanques. La misma metodología, válida para todo tipo de sistemas productivos, se encuentra descrita desde otro punto de vista en Goujon, Lacome y Traore (1996a). En Fleury et al. (1996b) se aplica la metodología Triple Coupling, anteriormente presentada por los mismos autores, al Hoist Scheduling Problem (mediante algoritmos estocásticos para programar tareas a la entrada del sistema, un modelo de simulación para evaluar el criterio a minimizar y un método multi-agente para manejar la grúa). Se aplica sobre los datos de una línea de producción real, con una sola grúa y diferentes secuencias de tratamientos. El modelo propuesto, que contiene los tres componentes ya presentados, asocia una prioridad a cada contenedor en la línea, y cuando la grúa debe mover algún contenedor, se escoge el de mayor prioridad. La prioridad establece que se traten antes tanques llenos que vacíos y seguidamente, que se eviten interrupciones en la línea. En Goujon et al. (1996b) se muestra un modelo de simulación, escrito en Pascal, para una línea compuesta por una serie de tanques y una grúa. La simulación sobre una representación gráfica del sistema cuenta con cuatro funciones principales (inicializar, modificar, resolver y consultar el resultado), y permite a un industrial que pruebe diferentes hipótesis de funcionamiento para su propio sistema. Se propone dos métodos para resolver el problema. En el primer método, el algoritmo garantiza el cumplimiento de todas las restricciones de ventana y se calcula la fecha de entrada en la línea para cada objeto tal que minimice el tiempo de producción. Se trata de una algoritmo greedy, en que la grúa se desplaza a recoger contenedores según el orden en que estos lo necesitan, y en caso de empate, se decanta por aquél con menor margen en la ventana temporal en que se halle. En el segundo método, en una primera fase se determina la mejor secuencia de entrada para los productos al sistema mediante un algoritmo estocástico de descenso (o recocido simulado con temperatura nula) o un algoritmo del canguro (para superar soluciones perores). Como continuación, en la segunda fase, se proponen dos tipos de algoritmos (sin y con posibles violaciones de los anchos de ventanas temporales) donde cada producto en la línea tienen una prioridad. Capítulo 2. El problema de programación del puente-grúa 39 En la tabla 2.6, inspirada en Fleury et al. (1996b), se resume las técnicas utilizadas y los artículos en que se aplican. Algunos de ellos, básicos para los capítulos posteriores, se amplían en el capítulo 3. Técnica de resolución Artículo Branch and bound Shapiro, Nuttle (1988) Matsuo, Shang, Sullivan (1991) Armstrong, Lei, Gu (1994) Chen, Chu, Proth (1995) Constraint Logic Programming Baptiste, Legeard, Varnier (1992) Varnier, Grunder, Baptiste (1995) Controlador programable (dinámica) Gross et al. (1981) Heurísticas Lei, Wang (1991) Yih (1994) Programación Lineal (dinámica) Bracker, Chapman (1985) Programación Lineal Entera Mixta Phillips, Unger (1976) Sistema basado en reglas Yih (1990) Sistema experto (reactiva) Thesen, Lei (1990) Teoría de grafos Lieberman, Turksen (1982) Matsuo, Shang, Sullivan (1991) Chen, Chu, Proth (1995) Fernández (1995) Tabla 2.6. Métodos de resolución vs. autores que los utilizan. Inspirada en A Hoist Scheduling Problem, containing a fixed number of carriers, solved with an opportunistic aproach. Fleury et al. (1996b) Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 41 3. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DEL PUENTE-GRÚA En el presente capítulo se detallan algunas de las aportaciones más relevantes en el problema Hoist Scheduling Problem, como complemento a la descripción reseñada en el anterior capítulo y como base a los procedimientos propuestos en capítulos siguientes. En el primer apartado, se señalan artículos de los principales precursores sobre el tema, escritos en las décadas de los setenta y de los ochenta. Dichos autores han utilizado técnicas usuales de la investigación operativa (programación lineal entera y mixta, procedimientos de ramificación y acotación conocidos como branch and bound o simulación), además de justificar que este problema se halla en el conjunto de problemas NP-completos de optimización combinatoria. En el segundo apartado, se presenta algunos de los artículos más significativos sobre el tema en la posterior evolución vivida en la década de los noventa. Se han seleccionado como documentos representativos de esta época los referentes al análisis de las líneas con múltiples grúas, a la introducción de la propagación lógica con restricciones conocida como Constraint Logic Programming, a la nueva visión del problema a través de la teoría de grafos y a la enorme complejidad y dificultad que presenta la programación de los sistemas productivos reales que responden a las características de este trabajo 3.1. Aportaciones iniciales en el problema Hoist Scheduling Problem 3.1.1. Resolución mediante programación matemática Phillips y Unger (1976) proponen la resolución del problema básico (1B,1F/1/1/V,∪), presentado en el capítulo anterior, partiendo de un modelo basado en la programación lineal entera y mixta. Dicho modelo es válido para una sola grúa, baños mono-producto más un lugar de carga y descarga (o baño ficticio). Las operaciones en dos ciclos distintos se consideran idénticas, lo que obliga a que los objetos en los contenedores estén exactamente dispuestos en el sistema tanto al inicio como al final de dicho ciclo, que corresponde con el inicio del siguiente. Esto implica que durante cada ciclo de movimientos de grúa, y para cada tanque, tenga que depositarse un contenedor y sacarse un contenedor, aunque no obligatoriamente estas dos acciones en el citado orden. Esto conlleva la posibilidad de dos situaciones diferentes: • si un tanque está vacío al inicio del ciclo, durante el ciclo debe depositarse un contenedor y, posteriormente, debe sacarse el mismo contenedor del tanque; • si un tanque está lleno al inicio del ciclo, durante el ciclo debe extraerse el contenedor y, posteriormente, debe introducirse otro contenedor en el tanque. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 42 Constantes e índices: m Número de tanques de la línea de producción. i Índice referente a la posición de un tanque en la línea (i=1,...,m), estación de carga (i=0) o estación de descarga (i=m+1). i’ Índice auxiliar referente a la posición de un tanque en la línea (i’=0,1,...,m+1). j Índice auxiliar referente a la posición de un tanque en la línea (j=0,1,...,m+1). Parámetros: a(i) Tiempo mínimo que un contenedor debe permanecer en el tanque i. (i=0,1,...,m) b(i) Tiempo máximo que un contenedor puede permanecer en el tanque i. (i=0,1,...,m) e(i,i’) Tiempo de movimiento de la grúa vacía desde tanque i hasta tanque i’. 1 (i=0,...,m+1; j=0,...,m+1) f(i,i+1) Tiempo de transporte de la grúa cargada con un contenedor desde el tanque i hasta el tanque siguiente i+1. Más simplificado: f(i). 2 (i=0,1,...,m) Variables: t(i) = instante relativo en que se extrae un contenedor del tanque i (i=0,1,...,m). 3 tmax = instante en que se extrae el último contenedor en un ciclo, forzada por el conjunto de restricciones a ser el máximo de los instantes t(i). y(i,j) = variables binarias, para toda pareja de tanques i,j (i=0,1,...,m+1; j=0,1,...,m+1; i≠j), forzadas por las restricciones: • valen 1 si t(i)>t(j), es decir, cuando se extrae el contenedor del tanque j antes que el contenedor del tanque i en la secuencia de acciones del puente-grúa en un ciclo; 1 Los tiempos de movimiento de la grúa vacía cumplen dos propiedades: 1. e(i,i) = 0 2. e(i,i’) = e(i’,i) 2 Cuando la grúa se mueve vacía entre tanques, no necesita subir ni bajar para desplazarse a mayor altura. Por tanto: f(i,i+1) > e(i,i+1) 3 t(0) = 0. Las m restantes variables t(i) se definen como variables reales, aunque puede darse una solución con t(i) enteras si a(i), b(i) y e(i,i’) son todas enteras. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 43 • valen 0 si t(i)<t(j), es decir, cuando se extrae el contenedor del tanque j después que el contenedor del tanque i en la secuencia de acciones del puente-grúa en un ciclo. z(i) = variables binarias de cada tanque i, una de las cuales vale 1, que forzada por las restricciones indica el último tanque visitado por la grúa en sus actividades de ciclo, y el resto valen 0. 4(4) (i=0,1,...,m) Notación del programa matemático Función objetivo: La función objetivo, que minimiza la duración del ciclo, es la suma de tres términos: • el instante en que la grúa extrae el último contenedor de un tanque durante un ciclo, • el tiempo de transporte del contenedor hasta que se deposita en el siguiente tanque, • el tiempo de movimiento de la grúa vacía entre la posición de colocación del último contenedor y la posición inicial de la grúa para el siguiente ciclo (tanque 0). [] }z(i)·1,0)e(i1)if(i,tmax{ m 1i MIN ∑ = ++++ (3.1) Restricciones de cota (grupo 1) En este grupo, deben definirse 2m+1 restricciones que fuerzan a que tmax valga el máximo de los m valores t(i), cotas inferiores (restricciones del tipo 3.2), y el mínimo de los m valores t(i), corregidos como cotas superiores por un valor muy elevado M (restricciones del tipo 3.3): tmax ≥ t(i) i = 1, ..., m (3.2) tmax ≤ t(i) - [ z(i) - 1] · M i = 1, ..., m (3.3) 1z(i) m 1i = ∑ = (3.4) La restricción (3.3) indica que sólo un tanque puede ser el último en el orden de extracción. Restricciones de grúa (grupo 2) En este conjunto de restricciones, son necesarias m·(m-1) restricciones, para asegurar que las variables binarias y(i,j), con i, j tales que i > j, están definidas correctamente: y(i,j) = 1 si t(i) > t(j) y(i,j) = 0 si t(i) < t(j) 4 z(i)=1 si y sólo si t(i)=tmax Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 44 Estas restricciones se imponen para que el puente-grúa disponga de suficiente tiempo de movimiento para desplazarse, tanto en el caso de ir vacío como lleno. t(j) - t(i) ≥ f(i,i+1) + e(i+1,j) - y(i,j)·M i > j (3.5) t(i) - t(j) ≥ f(j,j+1) + a(j+1) + [y(i,j) - 1]·M i = j+1 (3.6) t(i) - t(j) ≥ f(j,j+1) + e(j+1,i) + [y(i,j) - 1]·M i > j+1 (3.7) La relación entre los dos movimientos de la grúa asociados a las variables t(i) y t(j) pueden ser de dos tipos diferentes: • t(i) > t(j): un contenedor se extrae antes del tanque j que del tanque i (el tanque j precede al tanque i en la secuencia de movimientos de la grúa en un ciclo). Para el caso i = j+1, la restricción (3.6) asegura que el tiempo entre la extracción del tanque j y la extracción del tanque inmediatamente siguiente j+1, el tanque i, debe ser suficiente para transportar el contenedor entre j y j+1, f(j,j+1), más el mínimo necesario en el tanque j+1, a(j+1). Para el caso i > j+1, la restricción (3.7) asegura que el tiempo entre la extracción del tanque j y la extracción del tanque i, posterior aunque no el inmediatamente siguiente, debe ser suficiente para transportar el contenedor entre j y j+1, f(j,j+1), más el necesario para moverse la grúa vacía entre el tanque j+1 y el tanque i, e(j+1,i). • t(i) < t(j): el contenedor se extrae después del tanque j que del tanque i (el tanque i precede al tanque j en la secuencia de movimientos de la grúa en un ciclo). Las restricciones (3.6) y (3.7) alcanzan términos independientes negativos, con lo cual no son activas. Entonces, la restricción (3.5) asegura que el tiempo entre la extracción del tanque i y la del tanque j debe ser suficiente para transportar el contenedor entre i e i+1, f(i,i+1), más el necesario para moverse la grúa vacía entre el tanque i+1 y el tanque j, e(i+1,j). Restricciones de baño (grupo 3) En este último grupo de restricciones, 3m restricciones garantizan que el tiempo del contenedor en un tanque determinado está comprendido entre un tiempo mínimo a(i) y un tiempo máximo b(i). Si se considera d el tiempo que transcurre, en un determinado ciclo, desde que se extrae el último contenedor de un tanque hasta el final del ciclo, las expresiones se simplifican notablemente. [ tmax + d + t(i) ] - [ t(i-1) + f(i-1,i) ] ≥ a(i) - y(i,i-1)·M i = 1, ..., m (3.8) [ tmax + d + t(i) ] - [ t(i-1) + f(i-1,i) ] ≤ b(i) + y(i,i-1)·M i = 1, ..., m (3.9) Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 45 t(i) - [ t(i-1) + f(i-1,i) ] ≤ b(i) + [ 1 - y(i,i-1) ]·M i = 1, ..., m (3.10) Con todas estas variables, y partiendo de las variables t(i), puede ya definirse la ruta específica que debe seguir el puente-grúa. Las demás variables colaboran a cumplir las restricciones temporales. Además de estas variables y constantes, es necesaria la referencia de un número suficientemente elevado M. Finalmente, la carga y descarga se efectúa en el tanque 0, con lo cual la notación del tanque m+1 queda adaptada como: f(i,i+1) = f(m,0) i = m (3.11) El modelo permite hallar una solución para casos de 8 a 13 baños en un corto espacio de tiempo, aunque presenta algunos fallos. Los autores proponen una extensión del problema al caso de los baños multi-función. Finalmente, para demostrar la validez del modelo se añade una experiencia computacional (en concreto, un ejemplo con 12 tanques), conocida en la literatura como el “problema de Phillips y Unger”. En este caso: f(i,i+1) = e(i,i+1)+20 5 3.1.2. Resolución mediante procedimientos arborescentes Shapiro y Nuttle (1988), a partir de la tesis doctoral de Shapiro (1985), retoman el problema de Phillips y Unger, excepto que la entrada y la salida de objetos están separadas, en un procedimiento de branch and bound, con resolución de programas lineales, donde se utilizan vectores como indicadores de la secuencia de operaciones. Se describe un modelo asociado a la generación de una programación cíclica de los movimientos de una grúa para obtener la máxima productividad en una instalación de galvanización para PCB (printed circuits boards). El algoritmo propuesto determina un ciclo simple óptimo para un sistema con una única grúa, en un sistema dado (layout, reacciones y velocidad de la grúa) y unos procesos fijados (secuencia de tanques y rangos de los tiempos de remojo). El algoritmo, que puede adoptar distintas configuraciones para carga y descarga y considerar los casos mono-baño y multi-baño, tiene básicamente naturaleza enumerativa e implica resolver secuencias de pequeños subprogramas lineales. Así mismo, se puede generalizar para obtener n-ciclos, aportación novedosa de los autores y que se define como un ciclo donde se introducen n objetos y que se calcula dividiendo la duración total de un ciclo entre el número n de objetos. 5 Los 20 segundos suplementarios para transportar carga se deben a 8,5 segundos para subir el contenedor más 8,5 segundos para bajarlo, más 3 segundos antes de colocar el contenedor en el tanque para amortiguar la oscilación del transporte. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 46 Modelo matemático Se desarrolla un modelo de programación matemática para hallar un ciclo simple óptimo para una grúa. Para simplificar, se asume que ningún tanque de proceso está duplicado, o sea que cada tanque está asociado a un proceso diferente: caso mono-baño y monofunción. Para un ciclo simple de duración TC (1-ciclo), el tiempo que pasa entre la introducción de dos contenedores sucesivos en el sistema siempre es TC; y durante ese período, sólo un contenedor abandona el sistema. Los 1-ciclos poseen más propiedades que los n-ciclos. Se asume que, a pesar del layout, los tanques se ordenan según su intervención en la secuencia de procesos. Así, la estación 0 es el lugar de carga, los tanques 1 a m son tanques de proceso y la estación m+1 es la de descarga (que, según sea la configuración, puede coincidir o no con la de carga). Según la notación anterior, el movimiento i implicará nuevamente trasladar un contenedor desde el tanque i hasta el tanque i+1. Constantes e índices: m Número de tanques de la línea de producción. p Número de contenedores, objetos o piezas en un ciclo. i Índice referente a la posición de una estación en la línea (i=0,...,m+1). i’ Índice auxiliar de la posición de una estación en la línea (i’=0,...,m+1). j Índice de un cierto contenedor en la línea (j=0,...,p). k Índice auxiliar referente al tanque de la línea que contiene un objeto (k=0,1,...,m). Parámetros: a(i) Tiempo mínimo de proceso de un contenedor en el tanque i. (i=0,1,...,m) b(i) Tiempo máximo de proceso de un contenedor en el tanque i. (i=0,1,...,m) e(i,i’) Tiempo de movimiento de la grúa vacía desde el tanque i hasta el tanque i’. (1) (i=0,...,m+1; j=0,...,m+1) f(i) Tiempo (del movimiento i) de la grúa cargada con un contenedor desde el tanque i hasta el tanque siguiente i+1, incluyendo tiempos para ascender, escurrir, desplazarse y descender. (i=0,1,...,m) L, U Tiempos mínimos requeridos para cargar y descargar las placas en un contenedor. Variables: s(i) = duración de la programación establecida de un contenedor en el tanque i (i=1, …, m). s(0) no se utiliza. s(m+1) = ∞ Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 53 la línea. Seguidamente, se comprueba que la solución es factible, es decir, no se presenta ningún tipo de conflicto con los instantes de entrada de todas las piezas programadas. En caso negativo, debería actualizarse el tiempo de entrada en la línea de esta nueva pieza. Para elaborar un programa factible de movimientos de piezas y grúa en la línea, se siguen dos fases de actualización: la primera, con la detección de conflictos de estaciones de trabajo (tipo 1); y la segunda, con la detección de conflictos de grúa (tipos 2 y 3), mediante la utilización de las respectivas tolerancias. Este proceso se repite hasta que no es necesario realizar ningún cambio más en la programación de operaciones. ALGORITMO P1. Incluir los datos de una nueva pieza i disponible en la estación de carga. P2. Inicializar la entrada de la pieza i en la línea: • determinar los instantes de inicio y de finalización de cada operación en cada estación; • determinar los instantes de inicio y de finalización de cada movimiento de grúa. P3. Comprobar si existen conflictos en las estaciones (por cada estación pieza): SI hay conflicto en una estación (dos trabajos simultáneos) Calcular la superposición: MD (minimal delay). Retrasar la entrada del segundo trabajo (+MD). finSI P4. Comprobar conflictos en la grúa: Retraso_total=0 (inicialización del retraso de entrada de una pieza) k=1 (inicialización de operaciones) MIENTRAS queden operaciones de grúa pendientes SI hay conflicto en una operación (k) SI hay margen en anterior actividad de la pieza, usar todo o parte: Retrasar las actividades siguientes. SINO Si margen en actividades de piezas previas, usar todo / parte. finSI Retraso_total = Retraso_total+MD k=k+1 (siguiente operación) finSI finMIENTRAS SI Retraso-total ≠ 0, repetir P4. P5: Actualizar el programa de operaciones de proceso y de grúa. La experimentación se ha basado en una línea compuesta por cinco tanques y una grúa, con las siguientes características: • Cada contenedor tiene dispuestas 15 placas de circuito. • Cada tanque químico del proceso contiene diferentes disoluciones del proceso. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 54 • Cada tipo de pieza requiere procesos distintos, es decir, tiempos de proceso diferentes y rutas también diferentes. • Los materiales fluyen sólo en una única dirección (de izquierda a derecha). • Cada tanque puede albergar un solo estante. • La simulación empieza cuando el sistema se encuentra vacío y termina cuando 100 trabajos han finalizado completamente su proceso. La medida de eficiencia de la programación es el tiempo total (completion time) para completar los 100 trabajos, cuyo valor será objeto de minimización. Para comparar un algoritmo básico (sin considerar ventanas temporales) con el propuesto (considerándolas), se utiliza un índice de mejora, definido como: Índice = (Tb-T)/Tb (3.28) siendo Tb, el tiempo total del algoritmo básico, y T, el tiempo del algoritmo propuesto. La experiencia computacional cuenta con dos grupos de problemas sobre los cuales se realizó la programación: • El primer experimento genera 4 réplicas para combinaciones de tres velocidades para la grúa con cuatro tamaños de ventanas temporales en los tiempos de proceso. • El segundo experimento genera 4 réplicas para combinaciones de tres velocidades para la grúa, las mismas que en el anterior caso, con ventanas temporales en los tiempos de proceso del mismo tamaño, pero cuatro duraciones medias diferentes. Ambos experimentos muestran interacciones significativas entre la velocidad de movimiento y la varianza de los tiempos de proceso, y también entre la velocidad de movimiento y la media de los tiempos de proceso, siendo en los dos casos pares de factores que afectan al tiempo total (completion time). El algoritmo propuesto permite incorporar condiciones que no estaban plenamente consideradas en anteriores trabajos: • Toda tarea diferente puede requerir rutas y tiempos de proceso asociados a las operaciones de dichas rutas diferentes. Así, se permite saltarse la realización de alguna acción en un tanque de la línea que se recorre • Se considera diferentes posibilidades en el tiempo de movimiento de la grúa y su disponibilidad. • Se incorpora la tolerancia para generar programaciones factibles, como variante a los problemas habituales de flow-shop sin limitación de stocks intermedios. Los resultados experimentales muestran un efecto de interacción entre la velocidad de movimiento de la grúa y la variación de los tiempos de proceso sobre la tasa de mejora. Generalmente, cuando las duraciones varían mucho, la programación está más suelta y es Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 55 más variable. Si estas variaciones son menores, es mucho más difícil que las tareas en espera de entrada en el sistema puedan hacerlo más pronto. Se observa que no se puede hacer nada si las estaciones o la grúa se convierten en un verdadero cuello de botella del sistema. Dado que el algoritmo propuesto permite tratar problemas en un entorno flowshop con tiempos mínimos y máximos como restricciones de ventanas temporales, la propuesta de la autora para el futuro es su aplicación en entornos job-shop, con las mismas restricciones de ventanas temporales. 3.1.4. Evaluación de la complejidad del problema tratado Lei y Wang (1989) demuestran que el CHSP problema de programación cíclico de una grúa es NP-completo. El sistema de producción que toman como referencia es el propuesto por Shapiro y Nuttle (1988), con el lugar de carga y el de descarga separados, a cada lado de los tanques de proceso. Por lo tanto, ningún algoritmo puede garantizar una solución óptima en un tiempo acotado polinomialmente evaluando todas las soluciones posibles para algunas las instancias del problema. Primeramente, se establece que el programa cíclico buscado es un vector con una permutación de los m tanques y que el ciclo se repite indefinidamente. Seguidamente, se define el tiempo de ciclo para dicho programa. El teorema que dice “El problema CHSP es NP-completo” se demuestra con la existencia de un algoritmo no determinístico que resuelve el CSHP en tiempo polinomial, dado que existen como mínimo m! programas cíclicos diferentes para un problema cíclico de m estaciones. Así, el problema HSP se asemeja al TSP, problema del viajante de comercio (simétrico) y dado que se ha demostrado que éste último es NP-completo, el problema cíclico también lo es. De manera análoga, se demuestra el corolario que dice “El problema multi-grúa es NP-completo”.Los autores dejan pendiente la respuesta sobre si un problema de programación p-cíclico es también NP-completo. 3.2. Desarrollos posteriores en la evolución del problema 3.2.1. Resolución del caso de múltiples grúas Lei y Wang (1991) proponen un algoritmo heurístico MCC (Minimum Common Cycle), que sirve para obtener programas cíclicos en caso de disponer de dos grúas en una línea de tanques. Se utiliza una “aproximación zonal” según la cual el sistema se parte en dos conjuntos de estaciones contiguas, donde cada grúa se asigna a uno de ellos. El programa con un común tiempo de ciclo mínimo a ambas grúas se ofrece como la programación buscada, a partir de la partición establecida. Posteriormente, se evalúa una serie de particiones alternativas. La solución final resulta del mejor de los programas generados,. Se toman como base las hipótesis de Phillips y Unger (1976), como carga y descarga separadas, tiempo nulo de carga de objetos y objetos idénticos que visitan todas las estaciones, para determinar la secuencia cíclica de movimientos de las grúas. El problema planteado, Cyclic Two-Hoist Scheduling Problem (C2HSP), se basa en 3 componentes (G,P,T) que define una programa cíclico de movimientos para dos grúas: Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 56 • G es una permutación que ordena m+1 movimientos {0,1,...,m} en la secuencia: <h[0], h[1], ..., h[m]>. • P es una partición que descompone las m+1 estaciones en dos conjuntos, G1 y G2, tal que los movimientos de Gh se asignan a la grúa h (h=1,2). • T es el vector que indica los instantes de tiempo en que un movimiento de G empieza <t[0], t[1], ..., t[m]>. El tiempo de ciclo óptimo TC(G*,P*,T*) será el tiempo para que ambas grúas completen los movimientos que les han sido asignados: TC(G*,P*,T*) = min { TC(G,P,T) | para ∀(G,P,T) factible} (3.29) Bases del algoritmo MCC El algoritmo heurístico MCC para obtener un tiempo de ciclo común a dos grúas en una línea de tanques, que las sincronice, consta de las siguientes etapas: Etapa 1: Se realiza una partición del conjunto de m+1 estaciones en dos conjuntos, mediante un valor V (0≤V≤m+1), y se asigna una grúa a cada uno de ellos: G1(V) = {S0, S1, ..., SV} G2(V) = {SV+1, SV+2, ..., Sm} La estación SV+1 se considera, a la vez, estación de descarga del susbsistema G1(V), ya que descarga un objeto hacia el subsistema G2(V), y estación de carga del subsistema G2(V). Etapa 2: Para cada posible V, se evalúa el tiempo de ciclo para cada uno de ambos subproblemas de secuenciación de grúa, por separado y de forma independiente, mediante algún método de resolución planteado para el caso mono-grúa. Ambos tiempos de ciclo óptimos, TC1(V) y TC2(V), se comparan y mediante un proceso iterativo se alcanza el mínimo tiempo de ciclo común de ambos subsistemas TC*(V). El proceso iterativo de sincronización de ambas grúas consta de las siguientes etapas: • Se determina un valor inicial para TC*(V): TC*(V) = Max { TC1(V), TC2(V) } • Se resuelve el subproblema de menor tiempo de ciclo imponiendo que el nuevo tiempo de ciclo sea mayor o igual que TC*(V). • Si al resolverlo, el tiempo de ciclo óptimo es mayor que TC*(V), este valor sustituye al anterior TC*(V) y el proceso se repite, en esta ocasión, con el otro subproblema. • Dado V, se para cuando ambos subsistemas tienen iguales tiempos de ciclo, TC*(V). • El valor óptimo de V (VMCC) corresponde al tiempo mínimo de cualquier V: TC*(VMCC) = min { TC*(V) | ∀V } • Con VMCC, partición óptima, se unen las dos secuencias de las grúas en una sola, ajustando el comienzo de tiempos de movimientos de la grúa 2 para cumplir la restricción de ventana temporal en la estación VMCC+1. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 57 Para un sistema con m+1 estaciones y dos grúas, son posibles m!·2(m-1) secuencias: el primer multiplicando supone el número de permutaciones circulares para m+1 estaciones, y el segundo, el número de posibles asignaciones de cada grúa a una estación, siendo m-1 al suponer que el movimiento de extracción de la estación 0 se asigna irremediablemente a la grúa 1, y el de la estación m, a la grúa 2. Con el algoritmo MCC, el número de combinaciones posibles se reduce a un orden O(m·(m-1)!), pues m es el máximo número posible de particiones examinadas y (m-1)! es una cota superior para el número de permutaciones circulares. Cualquier procedimiento propuesto anteriormente por Phillips y Unger (1976), Shapiro y Nuttle (1988) o Lei y Wang (1989a) es válido para resolver los subproblemas de una grúa en su parte de estaciones. Lemas para problemas con más de una grúa Se presentan también cuatro lemas, con propiedades de aceleración del proceso: Lema 1: Para cualquier partición V, el mínimo tiempo de ciclo común es mayor o igual que el máximo de los dos tiempos de ciclo mínimos, correspondientes a los dos subproblemas: TC*(V) ≥ Max { TC1(V), TC2(V) } (3.30) Lema 2: Sea G un subsistema arbitrario de una grúa con m estaciones a su cargo y tiempo de ciclo TCG. Sea Z el susbsistema formado añadiendo una estación adicional m+1 a G. Entonces: TCZ ≥ TCG (3.31) donde TCZ es el tiempo de ciclo óptimo para dicho subsistema Z. Lema 3: Si TC1(V) = TC2(V), entonces: VMCC = V (3.32) Lema 4: Sea V* una partición, con un tiempo de ciclo común TC*(V*) conocido: si TC1(V) > TC*(V*), entonces VMCC < V; si TC2(V) > TC*(V*), entonces VMCC > V. Funcionamiento del algoritmo La partición inicial del algoritmo es Vº=m/2. Siendo TC1(Vº) y TC2(Vº) los tiempos de ciclo óptimos para cada subproblema, y definidas las “particiones izquierda” formadas por Vº, Vº-1, ..., 1 y las “particiones derecha” formadas por Vº, Vº+1, ..., N-1, se prosigue así: si TC2(Vº) > TC1(Vº), se opera con las particiones derecha; si TC1(Vº) > TC2(Vº), se opera con las particiones izquierda. Tanto si se procede en un sentido o en otro, el proceso finaliza al cumplirse una de las condiciones siguientes: llegar al extremo de una de las particiones (V=m-1; V=1), o que Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 58 Max{ TC1(V), TC2(V) } > Min { TC*(V) | ∀V evaluada hasta entonces} siendo el segundo miembro la solución final de dicho algoritmo TC*(VMCC). Algoritmo MCC Vº=m/2 G1(Vº)= {S0, S1, ..., SVº} ; G2(Vº)= {SVº+1, SVº+2, ..., SN} PARA cada grúa (h=1,2) Optimización del tiempo de ciclo para una grúa, con resultado TCh(Vº) SI TC1(Vº) = TC2(Vº) VMCC = Vº ; TC*(VMCC) = TC1(Vº) = TC2(Vº) lema 3 SINO TC*(VMCC) = ∞; V = Vº ; VMCC = Vº SI TC1(V) > TC2(V) paso = -1 primero, la partición izquierda SINO paso = +1 primero, la partición derecha finSI parar = Falso: partición_contraria = Falso MIENTRAS (parar = Falso) Max_inicial = Max { TC1(V), TC2(V) } REPETIR TC*(V) = Max { TC1(V), TC2(V) } TCW(V) = Min { TC1(V), TC2(V) } Optimizar tiempo ciclo (una grúa), añadiendo TCW(V) ≥ TC*(V) HASTA { TCW ≥ TC*(V) } SI TC*(V) < TC*(VMCC) VMCC = V ; TC*(VMCC) = TC*(V) finSI parar=[TC*(VMCC)<Max_inicial { TC1(V), TC2(V)] o [V=1] o [V=N-1] SI [parar = Verdadero] y [partición_contraria = Falso] partición_contraria = Verdadero cambio de partición paso = paso·(-1); V=Vº ; parar = Falso finSI SI [parar = Falso] V=V + paso nueva partición G1(V)= {S0, S1, ..., SV} ; G2(V)= {SV+1, SV+2, ..., SN} PARA cada grúa (h=1,2) Optimizar tiempo ciclo (una grúa); resultado TCh(V) finSI finMIENTRAS finSI El algoritmo MCC presenta la aportación de la partición, es decir, la optimización de problemas de una grúa aporta una cota inferior. Se propone su extensión al caso de más de 2 grúas, con un vector de partición: [V1, V2, ..., VH-1]. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 59 3.2.2. La Programación Lógica con Restricciones Baptiste, Legeard y Varnier (1992) proponen un modelo para el Hoist Scheduling Problem basado en la programación lógica con restricciones o CLP (Constraint Logic Programming), escrito en PROLOG. Se facilitan soluciones óptimas con programas bastante simples de construir y con una eficiencia similar a la conseguida por otros métodos. La mayoría de modelos propuestos hasta entonces se limitaban al modelo más simple (mono-baño, mono-función, un producto, una grúa), encontrando soluciones óptimas en el mundo académico, y por tanto, difíciles de aplicar en casos reales, ya que habían restringido el problema de partida. Las modificaciones necesarias para que el modelo represente casos reales incrementan ampliamente su complejidad de resolución. Esta razón llevó al uso de esta nueva técnica al problema planteado. La elección de CLP se fundamenta en que el problema utiliza simultáneamente la estrategia y la optimización en la resolución, dos fases propias de la programación lógica con restricciones. Los lenguajes CLP, técnica usual en Inteligencia Artificial, tiene como objetivo integrar estrechamente el mecanismo de resolución del lenguaje Prolog con técnicas específicas para resolver restricciones, declaradas a través de dominios. Para tratar las restricciones, Prolog dispone de técnicas eficientes de resolución en esos dominios, para usar listas de ecuaciones o inecuaciones, y la concatenación de listas, cuyo término izquierdo se integra como operador originario. Así, durante el proceso de ejecución del programa, se va modelizando al considerar algunas ecuaciones y al aplazar las restricciones aún no evaluables para tratarse posteriormente. Las principales implementaciones en el mercado son: Prolog, utilizado en el algoritmo de este artículo, sirve para aritmética lineal racional, términos binarios y árboles infinitos, y CHIP, adecuado para dominios finitos, términos binarios y términos racionales lineales. Las principales aplicaciones de sistemas CLP son problemas combinatorios, que requieren modelos con una representación estratégica y una definición de restricciones. Algoritmo El algoritmo propuesto se centra en la programación del ciclo óptimo de líneas de producción con una sola grúa, si bien su extensión al caso multi-grúa es asequible y no modifica la complejidad del problema ni su tiempo de resolución. El sistema sujeto a la programación de la grúa es el presentado en Phillips y Unger (1976), en el primer punto de este capítulo: • Todos los tiempos de remojo de los objetos están acotados entre un valor mínimo y un valor máximo. • Una única grúa debe realizar todos los movimientos de transporte de objetos. • Los tiempos de movimiento de la grúa entre tanques son constantes (y por lo tanto, conocidos a priori). • A continuación, a pesar de la distribución de tanques en la línea o layout, éstos tendrán índices según el orden en la secuencia de procesos. Así, el tanque 0 es de carga; m es de descarga y los transportes se dan entre dos tanques i e i+1 (la disposición física real se incluye implícitamente en la matriz de distancias). Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 60 Una secuencia factible de los movimientos de una grúa será factible si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Los tiempos de operaciones O(i,k) incluidos entre el mínimo y el máximo. 2. Dos productos diferentes no pueden ocupar un mismo tanque a la vez. 3. Dos movimientos de una grúa no se deben nunca superponer en el tiempo. 4. Hay suficiente tiempo para que la grúa se desplace entre donde se usa por última vez y donde se necesite a continuación. Notación m Número de tanques (los tanques se numeran entre 1 y m), siendo i el tanque de la operación i-ésima. e(i,j) Tiempo de movimiento en vacío entre dos tanques i y j (que incluye aceleración de la grúa, viaje y desaceleración). f(i) Tiempo de transporte de producto entre los tanques i e i+1 (incluye sacar el objeto, dejar secarlo, moverse entre tanques y bajar el objeto hasta el nuevo tanque). a(i) Duración mínima necesaria de la operación del producto k en el tanque i. b(i) Duración máxima admisible para la operación del producto k en el tanque i. O(i,k) Operación de remojo del producto k en el tanque i. o(i) Duración programada de la operación O(i,k). R(i,k) Transporte del producto k entre los tanques i e i+1. TCmin Cota superior del tiempo de ciclo. TCmax Cota inferior del tiempo de ciclo. TC Tiempo de ciclo, a minimizar Variables El problema estará completamente definido por el conjunto de variables t(i) y el tiempo de ciclo TC: t(0) =o(0) ∑=+−+−=+−+= = i 1l m1,...,io(i)1)f(i1)t(io(l)1)f(lt(0)t(i) (3.33) Cuando estas variables tomen valores, definirán segmentos de utilización de la grúa, siendo cada operación de trasvase R(i,k) el intervalo cuando la grúa está ocupada: [ t(i) + k ·TC , t(i) + f(i) + k · TC ] para el producto (k+1) entre los tanques i e i+1. Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 61 Restricciones de tanques (tiempos de remojo) Las restricciones deben reflejar las condiciones 1 y 2 especificadas previamente. De la condición 1, se puede convertir en la doble inecuación generada por los tiempos mínimo y máximo, a(i) ≤ o(i) ≤ b(i). Una propagación de dicha relación acota directamente las variables t(i), considerando que: tmin(i) ≤ t(i) ≤ tmax(i) para i = 1,... ,m. Relacionando todas estas variables, se pueden hallar las cotas inferior y superior para cada instante t(i): [] ∑ = +−= i 1l min a(l)1)f(l(i)t (3.34) [] ∑ = +−= i 1l max b(l)1)f(l(i)t (3.35) Dado que dos productos no pueden permanecer en un mismo tanque a la vez (condición 2), se puede acotar inferiormente el tiempo de ciclo, que debería ser superior a la suma del mayor tiempo de remojo, más el transporte del producto a este tanque más el transporte al siguiente tanque: [] )i(f)i(a)1l(fmaxTC m;ol min ++−= = (3.36) siendo la cota superior del tiempo de ciclo, la extracción del objeto del último tanque más el tiempo de transporte necesario: TCmax = tmin(m) + e(m,0) (3.37) quedando acotado el tiempo de ciclo: TCmin ≤ TC ≤ TCmax. Restricciones de grúa Para satisfacer las condiciones 3 y 4, se deben considerar disyuntivas para la grúa al tener que realizar dos operaciones R(i,ki) y R(j,kj) sobre dos productos diferentes. Como en toda disyuntiva, pueden darse dos situaciones opuestas: 1. Si la operación R(i,ki) precede a R(j,kj), esto obliga a que se cumpla la siguiente restricción: [ t(j) + kj.TC ] – [ t(i) + f(i) + ki.TC ] ≥ e(i+1,j) (3.38) 2. Si la operación R(i,ki) sigue a R(j,kj), se expresa: [ t(i) + ki.TC ] – [ t(j) + f(j) + kj.TC ] ≥ e(j+1,i) (3.39) Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 62 Ambas relaciones sólo sirven en caso que ki≠kj, y si se toma como referencia un objeto 1, como ki=1, los demás objetos (kmax-1) que se encuentran simultáneamente en la línea pasan a ser kj=2,..., kmax (siendo kmax el máximo número de productos que la grúa manipula). Si un programa es factible para dos productos 1 y k, pasados k períodos, el mismo programa será factible para cualquier par de productos elaborados durante el mismo número de períodos, tal como habían mostrado Shapiro y Nuttle (1988). Además, incluso no es necesario comparar el orden de dos operaciones R(i,1) y R(j,k), si j≥i, ya que el transporte con rango i de un producto no puede interferir sobre el transporte con rango j superior del siguiente producto. Algoritmo La estrategia, basada en que existen pocas configuraciones factibles de las secuencias posibles de movimientos de la grúa, se desarrolla en 2 partes: • la primera parte usa la programación lógica con restricciones en Prolog para obtener configuraciones factibles (y las correspondientes cotas para todas las variables); • la segunda parte usa las facilidades en la enumeración de Prolog para encontrar la mejor solución en el conjunto fuertemente restringido de configuraciones factibles anteriores. Para evitar probar todas las configuraciones de tareas de la grúa, se desarrolla una estrategia de resolución heurística basada en una enumeración de valores para los índices i, j y k, introduciendo primero las restricciones más limitativas en el espacio de soluciones. Esta heurística compara los intervalos caracterizados por las fechas más tempranas y más tardías para el inicio de viajes de la grúa, límites de los intervalos expresados por: I(i,1) = [ tmin(i), tmax(i) ] I(j,k) = [ tmin(j)+k.TCmin, tmax(j)+k.TCmax ] El análisis de las diferentes interacciones entre todos los intervalos I(i,1) e I(j,k) puede presentar tres casos distintos: 1. Cuando se produce una intersección vacía o relativamente corta de tiempo entre dos de dichos intervalos: tmin(i) < tmin(j)+k.TCmin (3.40) tmax(i) < tmax(j)+k.TCmax (3.41) tmax(i) - [ tmin(j)+k.TCmin+f(j) ] < e(j+1,i) (3.42) o bien: tmin(i) > tmin(j)+k.TCmin (3.43) tmax(i) > tmax(j)+k.TCmax (3.44) [ tmax(j)+k.TCmax ] – [ tmin(i)+f(i) ] < e(i+1,j) (3.45) En estos casos, el orden de ambas operaciones R(i,1) y R(j,k) está claramente definido. Para la primera configuración, el programa escogerá (3.38), y para la segunda, (3.39). Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 69 la(k) = a finSI pc = comprobar_circuito(k) SI pc = Verdadero parar = sí hay circuito de longitud positiva SINO v(k) = v(o(a)) + l’(a) finSI finPARA finPARA i=i+1 finMIENTRAS La complejidad computacional del algoritmo CTE es, en el peor de los casos, O(n4p2), donde n es el número de tanques más 1 (n=m+1) y p es el número de arcos del grafo G (p=3m+1). 3.2.4. Cotas del problema HSP para el caso cíclico Ng (1996) plantea la posibilidad de tiempos de movimiento con carga entre tanques no constantes, sino variables en el contexto de un programa lineal entero mixto. Se desarrolla un procedimiento del tipo branch and bound para hallar el óptimo. El algoritmo, aplicado sobre una línea cuyo tanque 0 se usa como carga más descarga y sin tanques duplicados (monobaño, monofunción), puede encontrar programas cíclicos óptimos también para casos de otras líneas con diferentes configuraciones en carga y descarga, así como tanques duplicados. Se demuestra que con tiempos de espera de la grúa cargada (waiting times) como variables, el tiempo de ciclo es siempre menor o igual que con el caso de ninguna espera (zero waiting time). Se demuestra como el número de contenedores que pueden estar simultáneamente en la línea depende de las magnitudes relativas a los tiempos mínimo y máximo de remojo, los tiempos de movimiento de grúa y los tiempos de movimiento entre tanques. Así, se determina que el número óptimo de contenedores en una línea (n*) está acotado por: n* ≤ MIN { UB(τ) / UB(TC) + 1, m } (3.74) Dado que el tiempo de cálculo necesario para hallar el óptimo de un problema depende en gran medida del ajuste o bondad de las cotas generadas, se formulan tres cotas inferiores y una cota superior para el tiempo de ciclo óptimo. Para ello, se obtienen expresiones para determinar el conjunto de tanques que debe visitar un contenedor durante un ciclo, dado un número de contenedores en una línea (m). Dichos conjuntos de movimientos consecutivos con carga entre tanques en un mismo ciclo son mútuamente exclusivos y conjuntamente exhaustivos. La primera cota inferior se obtiene al considerar que la grúa debe realizar todos los transportes entre tanques con carga y además debe desplazarse en vacío a otro tanque, con Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 70 carga pendiente de ser trasladada, o bien permanecer en el tanque destino durante el tiempo mínimo establecido. [] ∑ = γ+= m 0i 1i)(f(i)LB (3.75) donde γ(i) = MIN { MINj≠i+1[e(i+1,j)], a(i+1) }. γ(i) es el menor tiempo necesario para que la grúa pueda empezar el siguiente movimiento al de recoger un objeto del tanque i. La segunda cota inferior propuesta aparece de la relajación del programa lineal, dado un número de contenedores y su posición al iniciar el ciclo, cuando no se consideran las variables enteras, es decir, sin considerar que la grúa puede realizar un solo movimiento a la vez. ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧++−= ∑∑ ++ += + − += = 1j 1 1j 1 V 1Vi 1j 1V 1Vi n1,...,j 2,0)e(Va(i)1)f(i j 1 LB MAX (3.76) donde Vj es el conjunto de tanques desde los cuales se extrae el objeto j-ésimo en la línea al iniciar un ciclo de movimientos de la grúa durante el mismo ciclo. Finalmente, la tercera cota inferior prescinde de la asistencia de la grúa a los movimientos de otros baños que contengan otros contenedores que no sean el que visita ese baño. Esto permite establecer unos tiempos de inicio de movimientos que vienen fijados por los tiempos mínimos de las ventanas temporales: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡++−+= ∑∑ − += + += − = ++ 1V 1ki 1j V 1ki n1,...,j 3 1j1j ,0)e(Va(i)1)f(it(k)LB MAX (3.77) donde dado )(it −, i∈ {Vj, Vj+1, ..., k} y k∈ {Vj, Vj+1, ..., Vj+1-1}. La cota superior procede del ciclo factible con un solo contenedor tratado por ciclo: [] ∑ + = +−= 1m 1i 1a(i)1)f(iUB (3.78) donde a(m+1) es el tiempo de descarga mínimo (en principio, considerado nulo). La fórmula 3.78 es válida en caso que se concentre en un mismo punto la carga y descarga de los objetos o contenedores. En caso de localizaciones separadas para la carga y la descarga, debe sumarse el tiempo de desplazamiento de la grúa en vacío entre ambas estaciones (de carga y de descarga): [] 1,0)e(mf(m)a(i)1)f(i'UB m 1i 1++++−= ∑ = (3.79) Capítulo 3. Métodos de resolución del problema de programación del puente-grúa 71 La estrategia de ramificación parte de la enumeración de los valores del número de contenedores y sus posiciones a inicio del ciclo, para establecer posibles secuencias de movimientos entre tanques. En primer lugar, se ramifica en orden creciente del posible número de contenedores y en segundo lugar, en función de las posiciones de cada uno de los contenedores. El árbol se va ramificando en función del contenedor asociado a cada movimiento con carga, es decir, el siguiente nivel de la ramificación contiene tantos vértices como contenedores candidatos a dicho movimiento en la secuencia de movimientos del ciclo de la grúa. Para cada vértice, se plantea un programa lineal con 3m+n+3 restricciones y 2m+2 variables. 3.2.5. Observación final Como observación final antes de plantear la visión propia del problema cabe notar un aspecto que se ha tomado como criterio: la colocación de índices, como es el número de tanque i. Se ha realizado de la siguiente forma: • en las aportaciones de otros autores, hasta este capítulo, entre paréntesis, como por ejemplo a(i); • en las aportaciones propias, a partir del siguiente capítulo como subíndice, como por ejemplo ai. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 73 4. ESTUDIO SOBRE LA VARIANTE MONOBAÑO, MONOFUNCIÓN, MONOGRÚA. ALGORITMOS BÁSICOS 4.1. Hipótesis de la variante A partir de este capítulo se inicia el estudio del caso caracterizado por tanques monobaño y monofunción, disponiendo de monogrúa. Las hipótesis necesarias para la variante 1B,1F/1/1/U,∪ o bien 1B,1F/1/1/U,∩, indistintas a efectos del modelo a plantear, son las siguientes: 1. El tiempo de proceso para la estancia de un objeto en cada estación debe estar entre los valores de un intervalo dado (entre un valor de tiempo mínimo y otro de tiempo máximo). 2. El transporte de los objetos lo realiza una única grúa, que se desplaza a lo largo de un carril, cuya misión consiste en tomar y dejar los objetos en las diferentes estaciones. 3. Se considera que la operación de transporte no se puede interrumpir. 4. La etapa de carga (que se produce en la considerada estación 0) siempre dispone de objetos preparados al llegar la grúa. 5. Un tanque cualquiera i debe estar vacío cuando vaya a depositarse un objeto por parte de la grúa. 6. Todos los tanques están ordenados en la línea de producción siguiendo las etapas del proceso, lo que implica que en el tanque i se realiza la operación i-ésima. Después de visitar el tanque i, un objeto debe pasar al tanque i+1. 7. Todos los objetos tratados corresponden a un mismo producto, son idénticos y siguen una misma ruta. 4.2. Determinación de una secuencia cíclica Como se demuestra en Shapiro y Nuttle (1988), la resolución de un caso con una sola grúa, monobaño, monofunción y con productos homogéneos (1B,1F/1/1/-) comporta hallar una secuencia cíclica. Así, el objetivo del algoritmo a plantear consiste en minimizar el tiempo de ciclo de un conjunto de órdenes homogéneas que deben pasar por m etapas, con restricciones de ventana, con un tanque asignado para cada una de las cuales, mediante un único puente-grúa o robot transportador. Tal como ya razonan Phillips y Unger (1976), durante un ciclo de movimientos la grúa debe visitar a un tanque para recoger un objeto, bien éste haya sido depositado durante aquel mismo ciclo de movimientos (que empieza con el movimiento de toma de un nuevo objeto de la estación de carga) o en un anterior ciclo de movimientos. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 74 Al plantear como objetivo describir la ruta de la grúa en la línea de producción, una secuencia cíclica (H,T) se define a partir de dos vectores de m componentes (el primero de los cuales enumera una posible secuencia de visitas de la grúa a los tanques, y el segundo evalúa el instante de recogida de los objetos en las citadas visitas): 1. Una secuencia de operaciones de la grúa, que indica el orden de movimientos: H = <h[0], h[1], ..., h[k], ..., h[m]> 2. Los instantes de tiempo de inicio de cada uno de los movimientos de la secuencia: T = <t[0], t[1], ..., t[k], ..., t[m]> El vector de operaciones H, si bien es una variable del problema, ya que la secuencia de operaciones influye directamente sobre el vector de tiempos T. Sean: hi: movimiento de transporte del objeto de la estación i a la estación siguiente i+1, para 0 ≤ i ≤ m; ti: tiempo de inicio del movimiento hi (entre las estaciones i e i+1), 0 ≤ i ≤ m. Tal como se plantea el problema y la solución a hallar, se trata de repetir continuamente los movimientos en un determinado orden. Así pues, el vector H de la secuencia que describe el recorrido de la grúa es una permutación circular de m+1 estaciones, como también apunta Shapiro y Nuttle (1988). Por ejemplo, para una supuesta línea de producción con 2 estaciones (m=2), con los movimientos de la grúa, tal como se han definido, a las estaciones 0, 2, 1, 0, 2, 1 y así sucesivamente (representado por <0,2,1,0,2,1,0,2,...> o por <h0,h2,h1,h0,h2,h1,h0,h2,...>), las siguientes secuencias se consideran equivalentes: < h0,h2,h1> ≡ <h2,h1,h0> ≡ <h1,h0,h2>. Véase la figura 4.1. En primer lugar, aparece el movimiento h0, consistente en extraer la pieza de la estación 0, seguido de los movimientos h2 y h1, que suponen desplazar la pieza que originalmente estaba en la estación 2 y la que ha sido depositada en la estación 1. Así, al producirse de nuevo el movimiento h0, las condiciones son idénticas a las iniciales. También se observa como, de nuevo, la disposición de las piezas y la grúa (cuyos movimientos se indican con flechas) para los segundos movimientos h2 y h1 coincide con la disposición de las piezas y la grúa de los primeros movimientos citados. Los objetos se representan con bolas verdes depositadas en los baños; los movimientos de la grúa con carga entre dos tanques consecutivos se reflejan con flechas azules y los movimientos de la grúa sin carga entre tanques, con flechas rojas. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 75 Estación (0) (1) (2) (3) λ λ h0 Î Î Î λ λ Î Î Î λ λ h2 Î Î Î λ λ Í Í Í Í Í λ h1 Î Î Î λ Í Í Í Í Í λ λ h0 Î Î Î λ λ Î Î Î λ λ h2 Î Î Î λ λ Í Í Í Í Í λ h1 Î Î Î λ Í Í Í Í Í λ λ h0 Î Î Î Figura 4.1. Representación gráfica del vector H como una permutación circular. Consideraciones adicionales • Se tomará como referencia de inicio de la secuencia cíclica de movimientos de la grúa el instante en que la grúa recoge un objeto de la estación de carga (estación 0): h[0] = 0 (4.1) t[0] = 0 (4.2) • La notación para el movimiento k-ésimo se describirá de la siguiente manera: Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 76 h[k] = hi (4.3) t[k] = ti (4.4) indica que la operación k-ésima de la grúa se corresponde con aquélla en que se retira un objeto del baño i de la línea de producción. Así, ordenando los instantes del vector T según el índice k, se dispone de éstos en orden creciente: t[0] < t[1] < ... < t[m]. • El tiempo del ciclo de movimientos de la grúa viene determinado por el instante en que la grúa empiece a realizar su movimiento m+1 desde que inició que el ciclo, que debe corresponder con el inicio del primero de los movimientos del siguiente ciclo, es decir: TC(H,T) = t[m+1] (4.5) 4.3. Programa lineal PL(H) asociado a una secuencia cíclica H Al plantear la evaluación de un vector de tiempos T para una secuencia cíclica de movimientos de grúa propuesta, se debe presentar los datos de partidas, las restricciones propias del problema y el objetivo. Dada la linealidad de las restricciones y la función objetivo, se observa que se trata de un programa lineal. 4.3.1. Parámetros del problema y secuencia propuesta Los datos de partida o parámetros del programa lineal para resolver el caso planteado son los siguientes: • Duraciones de la ventana temporal de estancia de los objetos en los tanques: ai, bi i = 1,2, ...,m Se utilizan ai y bi, como notación original de Phillips y Unger (1976), bastante extendida en los demás autores. En general, se dispone de dos vectores A=<a1, ..., am> y B=<b1, ..., bm>. • Tiempos de movimiento de la grúa para desplazarse entre diferentes tanques: ¾ con carga: fi i = 1, 2, ..., m ¾ sin carga: ei,j 0 ≤ i, j ≤ m+1 En este caso, existe menos parecidos entre los diversos autores, algunos con supraíndices, y se ha optado por fi y ei,j como abreviatura de full transport y empty transport. En general, se dispone de un vector F=<f0, f1, ..., fm> y la matriz E, de dimensiones (m+2)·(m+2), si bien es suficiente (m+2)·(m+1) por la propiedad de simetría de los datos, presentada en el capítulo anterior. • Secuencia de movimientos: Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 77 H = <h[0]=h0, h[1], ..., h[m]> Finalmente, como variables a lo largo de la resolución del problema, en función de la secuencia a evaluar, se debe determinar una secuencia de movimientos parcial o completa de la grúa, y se utiliza hi para referirse a los movimientos de la grúa, en inglés hoist movements. 4.3.2. Variables a determinar en el problema Relacionado con este último vector de datos de entrada, la posible secuencia de los movimientos de la grúa, aparece un vector de variables del programa lineal, los instantes de tiempo de inicio de los movimientos, a las cuales debe añadirse el valor del tiempo necesario para adoptar nuevamente la posición como punto de partida de la secuencia de movimientos. • Tiempo de inicio de movimientos: T = <t[0], t[1], ..., t[m]> • Tiempo de ciclo: TC(H,T) = t[m+1] En total, suman m+1 variables, de las cuales m proceden del vector T, pues t[0] queda predeterminado por hipótesis, más la variable del siguiente movimiento m+1, que culmina el ciclo. 4.3.3. Restricciones del problema Al plantear una secuencia de movimientos de grúa, el problema presenta dos grupos de restricciones claramente diferenciadas: las restricciones de tiempo de los tanques y las restricciones de tiempo de la grúa. R1. Restricciones del tiempo de proceso de un objeto en un tanque Este conjunto de limitaciones depende de la secuencia de movimientos de la grúa, del tiempo de movimiento de la grúa con carga entre estaciones y de las restricciones de ventana asociadas a dicho baño. Sea una secuencia de movimientos: H = <h0, ..., hi, hj, ..., h[m]> donde hi, hj, h[m] son tanques cualesquiera, diferentes de 0 y entre sí, que la grúa visitará siguiendo el orden indicado en la secuencia de movimientos establecida. Sea el vector de tiempos asociado a la anterior secuencia: T= <t0, ..., ti, tj,..., t[m]>. Según la notación expuesta, cuando la grúa recoja un objeto del tanque i en el instante ti, la llevará al tanque i+1. A continuación, se dirigirá en vacío al tanque j, donde recoge un objeto en el instante tj, y así sucesivamente. Dentro de este grupo de restricciones, cabe distinguir dos tipos: Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 78 R1.1 (operaciones monociclo): Este tipo de restricción corresponde con la situación que el tanque i no contiene ningún objeto en el instante de inicio del ciclo, es decir, que en un mismo ciclo la grúa visita antes al tanque i-1 que al tanque i. En caso que se cumpla esta condición, la restricción de tanque i asociada toma la siguiente forma: a i ≤ ti – (ti-1 + fi-1) ≤ bi (4.6) Si se analiza la expresión, el término central es la duración del tratamiento en el baño i calculado como el instante de recogida del objeto (ti) menos el instante en que se depositó, obtenido asimismo como el instante de recogida del objeto en el anterior tanque i-1 (ti-1) más el tiempo de traslado entre ambos (fi). Éste debe estar comprendido entre los límites que marcan la restricción de ventana asociada al tanque i (ai, bi). R1.2 (operaciones biciclo): Este tipo de restricción corresponde con la situación que el tanque i contiene un objeto en el instante de inicio del ciclo, es decir, que en un mismo ciclo la grúa visita antes al tanque i que al tanque i-1. En caso de cumplir dicha condición, la restricción de tanque i asociada toma la siguiente forma: a i ≤ ti + TC – (ti-1 + fi-1) ≤ bi (4.7) Analizando la expresión, se observa como para calcular la duración del tratamiento en el baño i en el término central, se debe sumar el tiempo de ciclo (TC) al instante de recogida del objeto en el anterior tanque i-1 (ti-1) más el tiempo de traslado entre ambos (fi), para hallar el instante en que se depositó el objeto restado del instante de recogida del objeto (ti). Nuevamente, esta duración debe estar comprendida entre los límites que marcan la restricción de ventana asociada al tanque i (ai, bi). R2. Restricciones de tiempo de desplazamiento de una grúa Este conjunto de limitaciones, provocadas por los tiempos de viaje de la grúa, dependen de la secuencia de movimientos de la grúa, del tiempo de movimiento de la grúa con y sin carga entre estaciones e indirectamente de las restricciones de ventana en los baños. En definitiva, relacionan la temporalidad para dos movimientos de grúa consecutivos. Sea una secuencia de movimientos: H = <h0, ..., hi, hj, ..., h[m]> y el vector de tiempos asociado a la anterior secuencia: T= <t0, ..., ti, tj,..., t[m]>, tal como fueron definidos. Según la notación y las hipótesis expuestas, cuando la grúa recoja un objeto del tanque i en el instante ti, la llevará al tanque i+1. A continuación, se dirigirá en vacío al tanque j, donde recoge un objeto en el instante tj, y así sucesivamente. R2.1 (movimientos internos de ciclo): Según la notación expuesta, el tiempo entre los instantes ti, cuando la grúa recoja un objeto del tanque i que llevará al tanque i+1, Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 79 hasta que recoja el siguiente objeto del tanque j en el instante tj, debe ser como mínimo: t j ≥ ti + fi + ei+1,j (4.8) La grúa debe tener el tiempo suficiente para recoger el objeto en el tanque i, y efectuar los movimientos de traslado con carga hasta el tanque i+1 (fi) y de traslado en vacío desde el tanque i+1 hasta el tanque j (ei+1,j). R2.2 (movimiento interciclos): La relación entre el último movimiento, [m], en un ciclo y el primero del siguiente incluye el tiempo de ciclo (TC), por pertenecer a dos ciclos diferentes: t 0 + TC = t[m+1] ≥ t[m] + f[m] + el+1,0 (4.9) El número total de restricciones (de los dos tipos) siempre es proporcional a la dimensión del problema m, es decir, al número de tanques de que se compone la línea. Se trata de 2m restricciones de tanque (dos para cada tanque) y de m+1 restricciones de grúa (una para cada movimiento del ciclo). Así pues, en total son necesarias 3m+1 restricciones. 4.3.4. Objetivo del problema La función objetivo del programa lineal, dado que se pretende que para realizar completamente una secuencia de movimientos de la grúa se requiera un tiempo mínimo, ésta debe plantearse como: [MIN] TC(H,T) = t[m+1] si t0 = t[0] = 0 (4.10) 4.3.5. Ejemplo ilustrativo 4.1 El tratamiento de unas piezas en una línea de producción se realiza mediante un proceso que consta de 3 fases. Cada pieza procesada debe permanecer en la estación donde se realice una de las anteriores operaciones durante un tiempo, medido en segundos, comprendido entre un valor mínimo y máximo que se muestran en la siguiente tabla. Operación Lavado Baño de sales Secado Tiempo mínimo 30 40 40 Tiempo máximo 50 60 50 Tabla 4.1. Datos del ejemplo 4.1. Se dispone de una única grúa transportadora que realiza el movimiento de las piezas entre estaciones, además del transporte desde la estación de carga a la estación de lavado y desde la estación de secado a la estación de descarga. El tiempo requerido por la grúa para recoger una pieza en una estación y depositarla en la estación destino es de 10 segundos. En vacío, la grúa se desplaza a una velocidad media de 1 m/s. Todas las estaciones, incluso las de carga y descarga, se encuentran alineadas y equidistan 5 metros. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 86 Analizar grafo en sentido creciente de tiempo t Vl(0) = tVs(0) + fVs(0) PARA cada movimiento (1 ≤ i ≤ m) Buscar vértice de llegada tal que Vl(j)=Vs(i) tgrua = tVl(i-1)+eVl(i - 1), Vs(i) SI se debe inicializar (iteración 1) tVs(i) = tgrua SINO SI es operación monociclo t Vs(i) = MAX { tgrua, tVl(j) + aVs(i) } SINO (es operación biciclo) t Vs(i) = MAX { tgrua, tVl(j) - tc + aVs(i) } finSI finSI t Vl(i) = tVs(i) + fVs(i) SI tVs(i) ≠ aux(i) cambios = cambios+1 aux(i) = tVs(i) finSI finPARA Analizar grafo en sentido decreciente de tiempo PARA cada movimiento (m ≥ i ≥ 0) Buscar vértice de salida tal que Vs(j)=Vl(i) SI es operación monociclo tVl(i) = MAX { tVs(i), tVs(j) - bVl(i)} SINO (es proceso biciclo) t Vl(i) = MAX { tVs(i), tVs(j) + tc - bVl(i)} finSI t Vs(i) = tVl(i) - fVs(i) SI t Vs(i) ≠ aux(i) cambios = cambios+1 aux(i) = tVs(i) finSI finPARA Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 87 4.4.3. Ejemplo de secuencia factible Utilizando el ejemplo del anterior apartado 4.3.5, y tomando nuevamente como secuencia a evaluar H = <0,2,1,3>, la representación de dicho grafo según el modelo presentado en el apartado 4.4.1 se corresponde con la figura 4.4. En la siguiente figura 4.4 se pueden observar los arcos que conectan el ciclo presente con el ciclo pasado y el ciclo futuro, mientras que en la figura 4.5 dichas relaciones se han adaptado a las relaciones entre vértices del mismo ciclo, ciclo presente, lo que supone depender del valor del último vértice TC. Esto puede suponer interrumpir en algún momento el proceso de convergencia absoluta de obtención de TC, por lo cual se habla de problema relajado. Figura 4.4. Representación del ciclo presente y sus arcos relacionados con los ciclos pasado y futuro para la secuencia H = <0,2,1,3>. 0 VS(0) VS(1) VS(2) VS(3) VS(4)= VS(0) Vl(0) a1 Vl(3) Vl(2) Vl(1) a3 a2 -b3 -b1 -b2 f1 f2 e4,0 e1,2 f0 e3,1 e2,3 f3 TC 0 de Vl(2) del ciclo pasado a VS(1) del ciclo futuro a Vl(2) del ciclo pasado de VS(1) del ciclo futuro 2 4 3 1 2 3 1 Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 88 Figura 4.5. Representación del ciclo presente (relajación del problema) para la secuencia H = <0,2,1,3>. Sustituyendo por los parámetros de tiempo del problema, se obtiene la figura 4.6: Figura 4.6. Representación del grafo secuencial para el vector H = <0,2,1,3> del ejemplo. 0 S(0) S(2) S(1) S(3) S(0) S(1) 30 S(4) S(2) S(3) 40 40-TC -50 -50 -60+TC 10 10 20 5 10 10 5 10 TC 0 0 S(0) S(2) S(1) S(3) S(0) S(1) a1 S(4) S(2) S(3) a3 a2 - TC -b3 -b1 -b2 + TC f1 f2 e4,0 e1,2 f0 e3,1 e2,3 f3 TC 0 Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 89 Utilizando el método basado en el MCM del grafo reducido del ciclo presente, para los datos de la figura 4.6 implica que en la segunda iteración ya se pueda determinar el tiempo de ciclo TC asociado a la secuencia H = <0,2,1,3>. La primera iteración tiene una función básica de inicialización y permite determinar una cota inicial para el tiempo de ciclo, marcada por los tiempos necesarios de viajes de grúa. Los valores asociados a los vértices, de salida (m+2=5) y de llegada (m+1=4), al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido creciente del tiempo en la primera iteración son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 1 Vl(2) 2 VS(3) 3 Vl(3) 4 TC t 0 10 15 25 35 40 50 60 80 Tabla 4.2. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,1,3> del ejemplo (iteración 1, sentido creciente). Al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido decreciente del tiempo, en la primera iteración, los valores asociados a los vértices son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 1 Vl(2) 2 VS(3) 3 Vl(3) 4 TC t 0 10 15 25 35 40 50 60 80 Tabla 4.3. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,1,3> del ejemplo (iteración 1, sentido decreciente). En la segunda iteración, al incluir las restricciones de tiempo mínimo de ventana en los baños y aplicar la acción Analizar el grafo en sentido creciente del tiempo, los valores asociados a los vértices son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 1 Vl(2) 2 VS(3) 3 Vl(3) 4 TC t 0 10 15 25 40 50 65 75 95 Tabla 4.4. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,1,3> del ejemplo (iteración 2, sentido creciente). Al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido decreciente del tiempo, en la segunda iteración, los valores asociados a los vértices son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 1 Vl(2) 2 VS(3) 3 Vl(3) 4 TC t 0 10 15 25 40 50 65 75 95 Tabla 4.5. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,1,3> del ejemplo (iteración 2, sentido decreciente). Como no hay cambios en el sentido decreciente de tiempos, tampoco los habrá en la tercera iteración, pues ya se han considerado las restricciones de tiempos mínimos y máximos de la ventana temporal. Esta solución es factible y tiene 95 como tiempo de ciclo. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 90 H 0-1 1 , 2 2-3 3 , 1 1-2 2 , 3 3-4 4 , 0 0-1 1 , 2 2-3 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figura 4.7. Diagrama de Gantt para movimientos de grúa H (línea doble, transporte con carga y discontinua, transporte sin carga) y la ocupación de los baños 1, 2 y 3 (amarillo, tiempo mínimo; verde, margen de la ventana temporal; rayado, tiempo de ocupación real de baño). No se violan restricciones. 4.4.4. Ejemplo de secuencia infactible La representación de su grafo para evaluar la secuencia H = <0,2,3,1>, según el modelo del apartado 4.4.1 y utilizando el ejemplo del apartado 4.3.5, se corresponde con la figura 4.8. Se observa los arcos que conectan el ciclo presente con el ciclo pasado y el ciclo futuro, mientras en la figura 4.9 dichas relaciones se expresan entre vértices del ciclo presente, lo que supone depender del valor del último vértice TC. Figura 4.8. Representación del ciclo presente y sus arcos relacionados con los ciclos pasado y futuro para la secuencia H = <0,2,3,1>. 0 VS(0) VS(1) VS(2) VS(3) VS(4)= VS(0) Vl(0) a1 Vl(3) Vl(2) Vl(1) a3 a2 -b3 -b1 -b2 f3 f2 e2,0 e1,2 f0 e3,3 e4,1 f1 TC 0 de Vl(3) del ciclo pasado a VS(1) del ciclo futuro a Vl(3) del ciclo pasado de VS(1) del ciclo futuro 2 4 3 1 2 3 1 Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 91 Figura 4.9. Representación del ciclo presente (relajación del problema) para la secuencia H = <0,2,3,1>. Sustituyendo por los parámetros de tiempo del problema, se obtiene la figura 4.10. Figura 4.10. Representación del grafo secuencial para el vector H = <0,2,3,1> del ejemplo. 0 S(0) S(2) S(3) S(1) S(0) S(1) a1 S(2) S(4) S(3) a3 a2 - TC -b3 -b1 -b2 + TC f1 f2 e4,0 e1,2 f0 e3,1 e2,3 f3 TC 0 0 S(0) S(2) S(3) S(1) S(0) S(1) 30 S(2) S(4) S(3) 40 40-TC -50 -50 -60+TC 10 10 10 5 10 0 15 10 TC 0 Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 92 Al aplicar el método MCM al grafo reducido del ciclo presente, para los datos de la figura 4.10 implica que en el procedimiento no converja en las sucesivas iteraciones y no se puedan determinar ningún tiempo de ciclo TC asociado a la secuencia H = <0,2,3,1>. Esto indica que la secuencia es infactible. Los valores asociados a los vértices al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido creciente del tiempo en la primera iteración son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 0 10 15 25 25 35 50 60 70 Tabla 4.6. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 1, sentido creciente). Al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido decreciente del tiempo, en la primera iteración, se repiten los valores asociados a los vértices: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 0 10 15 25 25 35 50 60 70 Tabla 4.7. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 1, sentido decreciente). En la segunda iteración, al incluir las restricciones de tiempo mínimo de ventana en los baños y aplicar la acción Analizar el grafo en sentido creciente del tiempo, los valores asociados a los vértices son: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 0 10 15 30 70 80 95 105 115 Tabla 4.8. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 2, sentido creciente). Al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido decreciente del tiempo, en la segunda iteración, ya no se repiten los valores asociados a los vértices, por la ventana temporal del baño 1: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 35 45 20 30 70 80 95 105 115 Tabla 4.9. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 2, sentido decreciente). Como hay cambios en el sentido decreciente de tiempos, se debe realizar una tercera iteración, en la cual al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido creciente del tiempo se obtienen los valores asociados a los vértices de la tabla siguiente: Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 93 vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 35 45 50 60 100 110 125 135 145 Tabla 4.10. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 3, sentido creciente). Al aplicar la acción Analizar el grafo en sentido decreciente del tiempo, en la segunda iteración, ya no se repiten los valores asociados a los vértices, por la ventana temporal del baño 1: vértice VS(0) 0 Vl(0) 1 VS(1) 2 Vl(1) 3 VS(2) 3 Vl(2) 4 VS(3) 1 Vl(3) 2 TC t 65 75 50 60 100 110 125 135 145 Tabla 4.11. Valores de los vértices del grafo secuencial para H=<0,2,3,1> del ejemplo (iteración 3, sentido decreciente). Así, dado que cada vez que el valor del vértice de tiempo de ciclo varía, lo cual conlleva un incremento de 30, también lo hace el vértice. Por tanto, esta solución es infactible. H 0-1 1 , 2 2-3 3-4 4 , 1 1-2 2 , 0 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figura 4.11. Diagrama de Gantt para movimientos de grúa H (línea doble, transporte con carga y discontinua, transporte sin carga) y la ocupación de los baños 1, 2 y 3 (amarillo, tiempo mínimo; verde, margen de la ventana temporal; rayado, tiempo de ocupación real de baño). Se incumplen las restricciones de los baños 1 y 2. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 94 4.5. Procedimientos de resolución arborescente (branch and bound) Para una línea de producción con un número de baños m, y con los datos de partida referentes a la ventana temporal en cada baño y a los tiempos de transporte de la grúa, el objetivo pasa a ser determinar una secuencia de movimientos para la grúa que sea factible, y en dicho caso, hallar de entre todas aquellas factibles la que cumpla: TC*(H*,T*) = Min { TC(H,T) | ∀ (H,T) factible } (4.12) A priori un ejemplar de problema con las características reseñadas plantea m! posibles secuencias de secuencias, lo que implicaría resolver m! programas lineales. Si se utiliza un procedimiento de branch and bound como el propuesto por diversos autores, como Shapiro y Nuttle (1988) y Armstrong, Lei y Gu (1994), que a continuación se plantea, cada uno de dichos programas se corresponderán con una de las hojas de la exploración arborescente. 4.5.1. Bases de un procedimiento branch and bound Un procedimiento branch and bound consiste en una exploración adecuada del conjunto completo de permutaciones inicialmente posibles, aunque quizás algunas no factibles, de los movimientos de un ciclo de movimientos de una grúa. • Dichas permutaciones se distribuyen en bloques, cada uno de los cuales está definido por ciertos movimientos concretos, que pueden o no ocupar unas determinadas posiciones. • Para cada bloque, se determina una cota inferior del valor de TC de las permutaciones incluidas en el mismo. Dicha cota puede ajustarse más cuantas menos permutaciones contenga el bloque. Si sólo contiene una única permutación y la secuencia de movimientos H es factible, la cota coincide con el valor TC de la misma. • Al tener cada bloque diferente cotas posiblemente diferentes, la exploración de algunos bloques parece más prometedora que la de otros. Un bloque se explora dividiéndolo en subbloques y calculando a su vez la cota de los mismos. • En caso de disponer de una solución del problema, ciertos bloques pueden eliminarse de cualquier exploración posterior si su cota es mayor o igual al valor de TC de la solución disponible. 4.5.2. Aspectos a concretar en un procedimiento branch and bound El conjunto de bloques se estructura en forma de árbol, siguiendo la teoría de grafos. Los vértices del árbol son los bloques, siendo la raíz del árbol un bloque que contenga todas las m! permutaciones. Se va a utilizar la palabra vértice, pues según la teoría de grafos expresa el concepto de bloque. Los arcos del árbol corresponden a relaciones de inclusión, en el sentido de la teoría de conjuntos. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 95 El árbol se va construyendo en el transcurso del algoritmo: cuando un bloque se subdivide, el vértice "padre" queda substituido por tantos vértices "hijos" como sea necesario, que contienen todas sus permutaciones. Los vértices hijos tienen una cota nunca inferior a la del vértice padre. En un instante durante la aplicación del algoritmo, sólo es preciso conservar los vértices pendientes, aquellos que todavía no se han ramificado o subdividido y cuya cota sea inferior al valor de TC de la mejor solución conocida. Para definir un procedimiento branch and bound, es necesario establecer cuatro tipos de informaciones previas a su realización: • La caracterización de cada uno de los vértices en el árbol de exploración. • El proceso de separación de un vértice padre en sus vértices hijos. • El procedimiento de acotación, que indica aptitud en la exploración de un vértice hijo. • La estrategia de búsqueda de la solución en el árbol. 4.5.3. Estrategias de construcción a través del árbol A continuación, se plantean dos tipos de caracterización de la exploración en el árbol. Por un lado, se expone la exploración temporal, que sigue un esquema similar al de los procedimientos de ramificación en problemas de programación como el de flujo regular o flow-shop, propuestos casi simultáneamente por Lomnicki (1965) y Ignall y Schrage (1965). Para llevar a cabo dicha estrategia de construcción del árbol de soluciones, se utilizará el llamado branch and bound mediante tiempos, pues va añadiendo elementos al vector H de movimientos de la grúa según el orden temporal en que deban realizarse. Por tanto, imita los procedimientos de dispatching, en los cuales se simula el orden de toma de decisiones. Por otro lado, se expone la exploración física, que sigue el esquema de aprovechamiento de tiempos muertos para la realización de otras actividades, siguiendo la idea de la asignación de un grupo de máquinas a un operario (en este caso, operaciones de transporte de objetos y grúa, respectivamente). Dicha estrategia de construcción del árbol de soluciones va a ser llamada branch and bound mediante baños, ya que va añadiendo elementos al vector H de movimientos de la grúa suponiendo que físicamente se amplía la línea de producción con un tanques más respecto al nivel inmediatamente anterior. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 102 4.7. Branch and bound mediante baños 4.7.1. Caracterización de los vértices del árbol El número de niveles de la arborescencia nuevamente coincide con el número de tanques del proceso (m). En este caso, el vértice raíz, que forma el nivel 1, está formado por la secuencia H = <h0, h1>. Dicho vector supone que la grúa sólo visita el primer tanque. Sean nuevamente: I el conjunto de los índices de movimientos fijados, excluyendo el movimiento 0, r el número de elementos de I (r = |I|), π(I) la permutación de los movimientos y U el conjunto de movimientos aún no fijados. Los vértices se etiquetan según una permutación π(I), en que cada vértice queda definido por los movimientos asignados a las primeras r+1 posiciones de la secuencia H y por su orden. El número de vértices, con el mismo I pero con diferentes permutaciones, son r! Uno de dichos vértices contiene todas las permutaciones que mantienen el mismo orden de los componentes de π(I), cuyo número es r+1. Un vértice de nivel r se expresa como P[0][r] = <h[0], h[1], ..., h[r]>, lo que corresponde a una permutación π(I) tal que{h[0]=h0, hj | j=1,2,...,r}. Ejemplo Para un problema con cuatro procesos (m=4) en el nivel 2 existen dos vértices, de los cuales uno es P[0][2] = <h0,h2,h1>, que contiene el siguiente conjunto de soluciones o vértices descendientes: <h0,h3,h2,h1> , <h0,h2,h3,h1> , <h0,h2,h1,h3>. 4.7.2. Procedimiento de separación. Para ramificar un vértice P[0][r] no terminal, se definen r+1 vértices descendientes o hijos al añadir intercaladamente en la permutación π(I) el siguiente movimiento r+1, formando nuevas permutaciones con r+1 movimientos. Al igual que anteriormente, generados y acotados todos los vértices hijos, debe cerrarse el vértice padre. En resumen, partiendo del vértice raíz (P[0][1] = <m[0]=0, m[1]=1>), un vértice de un nivel r+1 se obtiene a partir de P[0][r] = <m[0], m[1], ..., m[r]>, insertando un movimiento hr+1 entre dos movimientos de P[0][r]. Ejemplo Para el problema con cuatro procesos (m=4), P[0][2] = <h0,h2,h1> del nivel 2 tiene tres vértices hijos (r+1): <h0,h2,h1,h3>, <h0,h2,h1,h4>, <h0,h2,h1,h3>. Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 103 4.7.3. Procedimiento de acotación Se utiliza el mismo procedimiento de acotación que el planteado en el branch and bound mediante tiempos, apartado 4.6.3. 4.7.4. Elección del vértice de exploración inmediata Nuevamente, se han estudiado tres opciones de exploración para elegir un vértice: 1. Aquél con menor cota inferior TCinf(P[0][r]), y en caso de empate, mayor nivel del árbol r. 2. Aquél con mayor nivel en el árbol r, y en caso de empate, menor TCinf(P[0][j]). 3. Aquél con mayor nivel en árbol r, y en caso de empate, el que supone una posición más alejada de la estación de carga, lo que maximiza la presencia de objetos simultáneamente en la línea. 4.7.5. Algoritmo de branch and bound mediante baños Se indica seguidamente el algoritmo que enlaza los principios desarrollados en este apartado 4.7. ALGORITMO BRANCH AND BOUND MEDIANTE BAÑOS Leer datos Programar T para vector H que conlleva la cota superior (H,T,TC) Guardar como óptimo provisional (Hbest=H, Tbest=T, TCbest=TC) Inicializar lista de vértices del procedimiento branch and bound Determinar tipo de exploración MIENTRAS Vértices abiertos Seleccionar nuevo vértice a explorar Generar sucesores y evaluarlos Determinar posición del próximo tanque a explorar Purgar la lista si crece demasiado Generar sucesores de la posición seleccionada PARA cada movimiento que no está en H parcial a explorar Buscar posición en la lista de vértices Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 104 Generar nueva secuencia con movimiento 1. Copiar la información del padre 2. Añadir información de exploración 3. Evaluar el grafo construido 4. SI no tiene m movimientos Evaluar la parte de grafo construido Comprobar que sea factible SI es factible Rectificar TC para obtener TCinf Comprobar restricciones biciclo SI TC > TCbest Cerrar vértice finSI SINO (no es factible) Cerrar vértice finSI SINO Evaluar el grafo completo SI es factible SI TC < TCbest Hbest=H, Tbest=T, TCbest=TC Comprobar si se eliminan más vértices finSI SINO (no es factible) Cerrar vértice finSI finSI Añadir información a la lista de vértices finPARA Cerrar vértice padre SI no continuar No Vértices abiertos finSI finMIENTRAS Guardar solución (Hbest, Tbest, TCbest) Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 105 Se trata básicamente de la misma estructura, sólo cambiando que en el branch and bound mediante tiempos se considera el grafo completo al alcanzar los m-1 movimientos, pues el último queda automáticamente determinado. En cambio, en el branch and bound mediante baños, el grafo no es completo hasta situar el último movimiento m, pues éste puede cualquier posición en el vector H. 4.7.6. Ejemplo de aplicación de un branch and bound mediante baños (BBb) Nuevamente con el ejemplo presentado en el apartado 4.3.5, si se utiliza el branch and bound mediante baños, y al considerar el aumento progresivo del número de tanques a cada nivel del árbol, se obtiene el árbol de la figura 4.13. La estrategia utilizada será la número 1 del apartado 4.7.4. Se nombran los vértices alfabéticamente según orden de aparición en el algoritmo. Los vértices explorados se pintan de amarillo, los vértices con secuencias infactibles en gris, los vértices abiertos en el momento de determinar el óptimo en naranja, y el óptimo se resalta en negrita. Se parte del vértice A, vértice raíz H=<0,1>, con un TC=60 y también TCinf=60. A continuación, el vértice A se ramifica en los vértices B y C, los cuales tienen unas cotas de ciclo inferiores, analizados los movimientos aún no fijados, de 75 y 115 respectivamente. En vista del resultado, se ramifica el vértice B por tener la más prometedora de las cotas, dando como descendientes a los vértices D, E y F, el segundo de ellos infactible. En el vértice D se alcanza una secuencia con TC=80, que analizados los demás vértices abiertos resulta ser la secuencia óptima del problema: H*=<0,3,2,1> con TC*=80. En este caso, para hallar el óptimo sólo ha sido necesario evaluar 6 de los 10 vértices. Figura 4.13. Branch and bound de tanques para el ejemplo ilustrativo 4.1. En amarillo, vértices explorados; en gris, vértices con secuencias infactibles; en naranja, secuencias exploradas y descartadas al hallar el tiempo de ciclo óptimo de 80 (escrito en rojo, parte del grafo no explorado). <0,1> A <0,40> <0,30> 60 <0,2,1> B <0,15,40> <0,0,5> 75 <0,1,2> C <0,40,90> <0,30,40> 115 <0,1,3,2> ∞ <0,3,1,2> <0,25,50,100> <0,5,0,40> 125 <0,1,2,3> <0,40,90,140 > <0,30,40,40> 170 <0,2,1,3> F <0,15,40,65> <0,0,5,10> 95 <0,3,2,1> D <0,20,40,60> <0 , 0 , 0 , 0> 80 <0,2,3,1> E ∞ Capítulo 4. Estudio sobre la variante monobaño, monofunción, monogrúa. Algoritmos básicos 107 4.8. Comparación entre ambos procedimientos de exploración En la tabla siguiente, tabla 4.12, se ofrece de manera esquemática las características propias de cada uno de los métodos arborescentes propuestos en los anteriores apartados: el branch and bound mediante tiempos (BBt) y el branch and bound mediante baños (BBb). BBt (tiempos) BBb (baños) Nivel de raíz 0 0 Elemento de la raíz <h0> <h0,h1> Niveles (activos) del árbol m-1 m-1 Hijos de un vértice de nivel k m-k k+1 Número de vértices de nivel k )!km( !m !k k m − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (k+1)! Tabla 4.12. Comparación de las principales características entre la resolución utilizando branch and bound mediante tiempos y branch and bound mediante baños. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 109 5. RESOLUCIÓN BASADA EN EL GRAFO CON TIEMPO DE CICLO ACOTADO 5.1. Introducción al uso del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado Este capítulo contiene la principal aportación de este trabajo de investigación. Se utiliza como herramienta de resolución del problema una representación en forma de grafo de la variante tratada en el capítulo 4, que será conocido como grafo de Tiempo de Ciclo Acotado. En dicha estructura, se pueden observar un conjunto de propiedades (tales como la obtención de cotas y la resolución de sistemas lineales) que permiten hallar con mayor agilidad la solución óptima a un ejemplar de problema. En la primera parte, se expone un algoritmo tipo que se seguiría en caso de usar un grafo del tipo presentado en el capítulo anterior (por ejemplo, secuencial). No obstante, dadas las restricciones en este tipo de problemas, evaluar una posible secuencia cíclica de movimientos puede llevar a descubrir que sea infactible si se quieren respetar las normas. Por lo tanto, cuanto menor sea el esfuerzo destinado a comprobar este hecho, mayor rendimiento se podrá obtener, al dedicar más esfuerzo a otras secuencias factibles. Así, se establece un esquema (el grafo de Tiempo de Ciclo Acotado), que es función de la secuencia H a evaluar y de la variable del tiempo de ciclo TC. El calificativo de “Tiempo de Ciclo Acotado” se utiliza ya que el sistema de ecuaciones planteado en el grafo queda en función de TC, y analizando algunos de sus circuitos, se puede obtener cotas inferiores y superiores para dicha variable. Si para un valor de TC dado, se logra calcular unos caminos extremos (es decir, calcular los valores de ti i=0,1,...,m con t0=0), se cumple que: • El valor de la variable TC es un tiempo de ciclo factible para dicha secuencia. • Los valores ti del vector T son los instantes relativos de inicio de los movimientos asociados a TC. Una secuencia dada H, representada a través de un grafo, puede también ser infactible (ningún valor de TC conduce a unos valores del vector T que comporten la ciclicidad esperada). Al poder ser factible una secuencia H para algunos de los valores de la variable TC, pero no para todos, dadas las restricciones impuestas, interesa el menor valor de TC entre aquéllos que comporten la factibilidad de un ciclo, lo que supone la máxima productividad. Sea el valor de TC propio asociado a la secuencia aquel valor menor de TC (y si una secuencia es infactible, su valor TC propio es ∝). Así pues, mediante el procedimiento basado en evaluar para diferentes secuencias un grafo de Tiempo de Ciclo Acotado interesa hallar la secuencia H* (con menor valor de TC propio, o sea, TC*). Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 110 5.2. Determinación de variables mediante un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 5.2.1. Algoritmos estándares para resolver problemas de optimización combinatoria En el capítulo anterior, se planteó un tipo de grafo, el grafo secuencial, y aplicó un algoritmo con el objetivo de obtener la mejor entre todas las secuencias de movimientos posibles. En cada grafo creado, no podía determinarse el carácter factible o infactible para una secuencia dada, hasta que dicho grafo asociado no se resolvía. Inmediatamente a continuación, y en caso de ser una secuencia factible, debía comprobarse si mejoraba la solución en curso. La estructura de un algoritmo estándar puede aplicarse en gran número de problemas combinatorios. Si se adapta esta estructura al problema tratado, resuelto mediante grafos, el algoritmo contiene las siguientes acciones básicas (representadas en diagrama de flujos en la figura 5.1): Figura 5.1. Diagrama de flujo en un algoritmo sin división entre análisis y evaluación. SECUENCIA INICIAL Hº GENERAR GRAFO RESOLVER GRAFO FACTIBLE? TC(H,T)<TC*? NUEVA SECUENCIA Hk+1 TC*=TC(H,T) H*=H; T*=T FINAL? FIN NUEVA SECUENCIA Hk+1 SÍ SÍ SÍ NO NO NO Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 111 • Dados unos datos (que incluyen una secuencia H), se genera su grafo asociado (en este caso, el grafo secuencial). • Este grafo se evalúa: se obtienen los valores de la variable TC(H,T) y del vector T. En caso que la secuencia propuesta sea factible, o sea el grafo tenga una solución con un valor de TC finito, dicho valor TC(H,T) se compara con la mejor solución hasta ese momento (TC*, con un tiempo de ciclo mínimo). • En caso que dicha secuencia proporcione un valor de TC(H,T) menor (por tanto, mejor), el tiempo de ciclo TC(H,T) en curso pasa a ser TC*. • Y así, se puede seguir para el número de secuencias que sea necesario, imponiendo algún tipo de limitación como condición de final. De las anteriores acciones, aquélla que consume mayor tiempo es la resolución del grafo asociado a una secuencia de movimientos. Este hecho conlleva, pues, que cuanto más ágil sea el método de resolución aplicado, también lo será más el algoritmo general propuesto. 5.2.2. Esquema del algoritmo para el uso del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado Dentro del esquema general de exploración del espacio de soluciones de un problema de este tipo, de carácter combinatorio, en esta ocasión se utiliza un método de tabulación (en cuatro vectores: Gfrom, Gto, Gtime y Gcycle) para describir el grafo asociado a una secuencia H de una instancia de dimensión m. Los componentes de dichos vectores se plantean en la acción Crear grafo de secuencia, dentro de un bucle que analizaría diferentes secuencias posibles, hasta encontrar aquélla que minimice el tiempo de ciclo o finalizar por exceso de iteraciones. En los próximos apartados se comentará cómo se desarrolla la acción Resolver grafo de secuencia, a partir de la información desplegada al crear los vectores y, más adelante, se analizará la exploración del vecindario como alternativa al procedimiento arborescente, en caso de un número elevado de etapas del proceso (m). Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 112 Inicialización de variables (H,T,TC, Gfrom, Gto, Gcycle, Gtime) Lectura de datos de un ejemplar (m,A,B,E,F) Secuencia inicial (H=Hº) iteracion=0 MIENTRAS (no_condición_final (H,T,TC,iteracion)) Crear grafo de secuencia (m, H, Gfrom, Gto, Gcycle, Gtime) Resolver grafo secuencia (m, H, Gfrom, Gto, Gcycle, Gtime, T, TC) Si (TC ≤ TC*) TC*=TC; T*=T; H*=H Explorar vecindario (m, H, T, TC, iteracion) iteracion=iteracion+1 finMIENTRAS Como se puede observar en el algoritmo, previamente al proceso iterativo, es necesario declarar las variables del programa y conocer los datos propios del ejemplar (dimensión del problema m, vectores de ventana temporal A, B, vector de transporte con carga F, y matriz de transporte sin carga E). Asimismo, se definen los cuatro vectores correspondientes a las informaciones sobre la estructura del grafo: origen y destino de los arcos y los valores dependiente e independiente de la variable a minimizar, el tiempo de ciclo. La condición de final del algoritmo permite una mayor o menor exploración del campo de soluciones posibles, y puede estar limitada por un tiempo de ejecución o que se detenga cuando la solución ya no varíe después de un cierto número de iteraciones. Esta condición está estrechamente relacionada con la exploración del vecindario de soluciones realizada en el interior del bucle interactivo. 5.2.3. Particularidades en la resolución de un grafo asociado a una secuencia H La presencia del límite superior para las ventanas temporales en cada estación o baño comporta un aspecto fundamental en el tipo de problemas tratados, el carácter de factibilidad, o su complementario el carácter de infactibilidad, para una secuencia propuesta. No se trata de un caso aislado, sino ocurre frecuentemente en muchas de las posibles secuencias en ciertos ejemplares. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 119 última fila m+2 almacena los tiempos de desplazamiento sin carga entre la estación de descarga y cualquiera de los m baños. En caso que coincidan en un mismo sitio las estaciones de carga y descarga, la fila m+1 será igual que la fila 0, y por lo tanto, no sería necesario incluir ésta última al coincidir exactamente ambos grupos de elementos. El vector Gcycle para dichas m+1 posiciones, en función de la presencia de TC en dichas restricciones, contiene m veces el valor 0 y, finalmente, la última con valor negativo -1. 5.3.3. Equivalencia entre los cuatros vectores y las restricciones originales Una vez se han almacenado los datos del modelo en el formato de cuatro vectores indicado en el apartado anterior, se pueden generan todas las restricciones del modelo, según las siguientes reglas: Si Gcycle(c) = 0 tGto(c) – tGfrom(c) ≥ Gtime(c) Si Gcycle(c) = 1 tGto(c) – tGfrom(c) ≥ Gtime(c) + TC Si Gcycle(c) = -1 tGto(c) – tGfrom(c) ≥ Gtime(c) – TC Para obtener todas y cada una de las restricciones, la variable contador c debe variar desde 1 hasta 3m+1 (número total de restricciones). 5.3.4. Descripción de los elementos de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado Para describir unívocamente un grafo de este tipo, debe definirse el significado de sus tres elementos principales: V, el conjunto de vértices; A, el conjunto de arcos; y l, los valores de las longitudes de los arcos. Representado el grafo que tenga a los tres en cuenta, se podrá determinar, si una secuencia es factible, hallando el camino máximo entre dos vértices (el vértice referencia y cualquier otro vértice). • Vértices (V): Representan los tanques de los cuales la grúa recoge un objeto (vértices de salida en la anterior notación, o tanques de recogida). Recordemos que existen m+1 vértices de salida, con las etiquetas del número de tanque i (0 ≤ i ≤ m). En el grafo los vértices están ordenados según la secuencia de operaciones que debe recibir el producto (en esta variante, al ser monofunción y monobaño, los vértices están perfectamente ordenados según el número de tanque). • Arcos (A): El número de arcos de un grafo viene determinado por las limitaciones o necesidades temporales, 3m+1 restricciones, por desplazamientos de la grúa o por permanencia de los objetos en los baños:  Arcos de operación: Los 2m arcos de este tipo, debidos a ventanas temporales de permanencia de los objetos en los tanques, pueden reflejar tiempos mínimos necesarios ai o tiempos máximos limitativos bi. Este grupo de arcos une vértices adyacentes en el orden gráfico establecido. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 120  Arcos de movimiento: Los m+1 arcos de este tipo, debidos a los tiempos consumidos por la grúa en desplazamientos, contienen dos partes de tiempo: de carga fi, cuando la grúa se desplaza con algún objeto; y sin carga ei,j, cuando los movimientos de sin desplazamiento de objetos: • Longitudes de los arcos(l): Dichos valores se asocian a los tiempos que transcurren (por desplazamiento de la grúa o por permanencia de los objetos en los baños):  De operación monociclo mínimos: para cada restricción 4.6, ai ≤ ti – (ti-1 + fi-1), se define un arco del vértice i-1 al vértice i con longitud ai + fi-1.  De operación monociclo máximos: para cada restricción 4.6, ti – (ti-1 + fi-1) ≤ bi, se define un arco del vértice i al vértice i-1 con longitud - bi - fi-1.  De operación biciclo mínimos: para cada restricción 4.7, ai ≤ ti – (ti-1 + TC + fi-1), se define un arco del vértice i-1 al vértice i con longitud ai + fi-1 - TC.  De operación biciclo máximos: para cada restricción 4.7, ti – (ti-1 + TC + fi-1) ≤ bi, se define un arco vértice i al vértice i-1 con longitud - bi - fi-1 + TC.  De movimiento: para cada restricción 4.8, tj ≥ ti + fi + ei+1,j, se define un arco entre los vértices i y j con longitud fi + ei+1,j.  De movimiento adicional: para la restricción 4.9, t0 + TC ≥ t[m] + f[m] + e[m]+1,0, se define un arco del vértice [m] al vértice 0 con longitud f[m] + e[m]+1,0 – TC. 5.3.5. Construcción del grafo con Tiempo de Ciclo Acotado asociado a una secuencia Sean los vértices del grafo los baños ordenados según la secuencia de operaciones que debe recibir el producto. Sean las restricciones de operación monociclo (entre un tanque i y el tanque anterior i-1 y viceversa), según las ecuaciones (5.1) y (5.2): t i – ti-1 ≥ ai + fi-1 t i-1 – ti ≥ - bi – fi-1 Sean las restricciones de operación biciclo (entre un tanque i y el tanque anterior i-1 y viceversa), según las ecuaciones (5.3) y (5.4): t i – ti-1 ≥ ai + fi-1 - TC t i-1 – ti ≥ - bi – fi-1 + TC Los arcos que deben representar estas restricciones solamente dependen de las ventanas temporales de los baños (ai, bi), del tiempo de movimiento de la grúa entre los tanques i-1 e i (fi-1) y, si es necesario según la posición del tanque en la secuencia de operaciones de la Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 121 grúa, del tiempo de ciclo (TC). Así, se cierra un ciclo entre las estaciones i-1 e i, formando una cadena de arcos que unen la estación 0 con la estación m. Para representar una secuencia H en el grafo asociado, se indica la correlación entre movimientos consecutivos en una matriz cuadrada origen/destino V, con dimensiones (m+1)*(m+1), donde la posición v(i,j) contiene el valor del arco que sale del vértice i y se dirige al vértice j. Dichos arcos responden a las ecuaciones (5.5) y (5.6). En caso que entre ambos vértices ningún arco esté definido, se guarda el valor ∞. La información necesaria se extrae de las tablas Gfrom, Gto, Gtime y Gcycle. Sea un grafo genérico de m tanques, éste contiene los siguientes parámetros y variables: ai: componente i-ésima del vector A (por definición ai ≥ 0, 1≤ i ≤m), de tiempos mínimos en las restricciones de ventana, necesario en los arcos de tanque, de avance. bi: componente i-ésima del vector B (por definición bi ≥ 0, 1≤ i ≤m), de tiempos máximos en las restricciones de ventana, necesario en los arcos de tanque, de retroceso. vij: valor independiente de las restricciones de grúa, sean de avance o retroceso, cuyo valor es la suma de los tiempos de desplazamiento de ésta con y sin carga (fi + ei+1,j), entre los tanques de origen i y de destino j. kai: coeficiente binario (kai∈{0,1}, 1 ≤ i ≤ m) asociado a la variable del tiempo de ciclo TC, en los arcos de tanque, de avance, que vale 1 cuando se trata de una restricción de operación biciclo. kbi: coeficiente binario (kbi∈{0,1}, 1 ≤ i ≤ m) asociado a la variable del tiempo de ciclo TC, en los arcos de tanque, de retroceso, que vale 1 cuando se trata de una restricción de operación biciclo. En la figura 5.3 se representan los m+1 vértices de un grafo genérico y algunos arcos representativos, que seguidamente serán comentados. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 122 Figura 5.3. Estructura general de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado. En el anterior grafo (figura 5.3), se observan cuatro tipos de arcos: • Arcos de tanque, de avance (arcos de tanque de avance): son aquellos arcos que se dirigen de un vértice origen con cardinal menor al vértice destino, y que representan a restricciones de tiempo mínimo en los baños, sean monociclo o biciclo. Ejemplos: los arcos que unen los vértices (0,1), (i-1,i), o bien (m-1,m). • Arcos de tanque, de retroceso (arcos de tanque de retroceso): son aquellos arcos que se dirigen de un vértice origen con cardinal mayor al vértice destino, y que representan a restricciones de tiempo máximo en los baños, sean monociclo o biciclo. Ejemplos: los arcos que unen los vértices (1,0), (i,i-1), o bien (m,m-1). • Arcos de grúa, de avance (arcos de grúa de avance): son aquellos arcos que se dirigen de un vértice origen con cardinal menor al vértice destino, y que representan a restricciones de movimiento de la grúa, que son internos de ciclo. Ejemplo: el arco que une los vértices (0,i). • Arcos de grúa, de retroceso (arcos de grúa de retroceso): son aquellos arcos que se dirigen de un vértice origen con cardinal mayor al vértice destino, y que representan a restricciones de movimiento de la grúa, que pueden ser internos de ciclo o interciclos. Ejemplos: los arcos que unen los vértices (m-1,i-1), y también (i-1,0). 1 0 m-1 m a1+f0-ka1TC i-1 i am+fm-1-kamTC ai+fi-1-kaiTC -b1-f0+kb1TC -bi-fi-1+kbiTC -bm-fm-1+kbmTC v0i = f0 + e1,i vi-1,0-TC vm-1,i-1 avance retroceso Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 123 Una vez la estructura de las restricciones del problema queda reflejada en el grafo obtenido, en el siguiente apartado 5.4 se describe las bases que permiten realizar la Primera prueba de infactibilidad y el cálculo de cotas de la duración del ciclo, previo a la aplicación de cualquier tipo de algoritmo. 5.4. Resolución de una secuencia H mediante un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado: Primera prueba, de infactibilidad Dado que el objetivo al resolver mediante una estructura de grafo un conjunto de relaciones temporales de precedencia, a partir de una secuencia de operaciones de grúa H, será oportuno obtener el valor de los vértices asociados a inicios de etapas o movimientos. Para ello, se recurre a aquellos algoritmos que en un grafo fuertemente conexo, como el que se ha descrito, permiten determinar el valor de un camino máximo entre dos vértices. Este camino máximo finito entre dos vértices existe si ningún posible circuito toma valor positivo. Por lo tanto, para que una secuencia sea factible el grafo asociado a cualquier circuito, formado por un conjunto de arcos, debe tener valor no positivo. 5.4.1. Cálculo de cotas inferiores para el tiempo de ciclo, asociado a una secuencia H Una primera cota inferior se obtiene uniendo todos los arcos de avance o de retroceso de grúa, ya que determinan el tiempo mínimo que una grúa requiere para realizar sus movimientos de transporte de materiales y de viaje sin carga según la secuencia de movimientos H indicada. Sea el conjunto de arcos de avance y de retroceso de grúa, formado por m arcos que siguen una ecuación del tipo 5.5 y el arco del último movimiento del ciclo que toma la forma de la ecuación del tipo 5.6. Para cumplir la condición: [][] ∑ = ≤−+ m 0k 0kt1kt (5.7) se debe satisfacer la inecuación 5.8. La siguiente cota, llamada L(0), supone una primera cota inferior sobre la variable del tiempo de ciclo, a minimizar: [][ ] () [ ] [ ] [] [] [ ] () [] [ ] ,01mm 1m 0k 1k1,kk,01mm 1m 0k 1k,k efefefvL(0) + − =+++ − =++++=++≥ ∑∑ (5.8) A continuación, se presenta la metodología para determinar, basándose en el grafo presentado en la figura 5.3, la presencia de otras posibles cotas inferiores sobre la misma variable, el tiempo de ciclo TC. En ocasiones, éstas últimas, al combinar restricciones que afectan a los baños y a la grúa pueden resultar más restrictivas. El objetivo del siguiente desarrollo es sistematizar el cálculo de dichas cotas inferiores para el tiempo de ciclo TC. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 124 Sea un arco de grúa de retroceso, que une el vértice i con el vértice j: t j - ti ≥ fi + ei+1,j = vij (5.9) siendo vij el tiempo mínimo que debe transcurrir entre el inicio de los movimientos de desplazamiento de objetos en los baños i y j. Se trata de un arco que une los vértices i y j tales que j<i, lo cual implica que la pieza trasladada desde el tanque j había entrado en la línea de producción en un ciclo anterior al de la pieza trasladada desde el tanque i. Esto supone que entre los vértices i y j existe algún arco de avance que contenga la variable TC. Se puede encontrar un camino entre el vértice j y el vértice i pasando por los vértices intermedios (j+1, ..., i-1), formado por los arcos de tanque, de avance: t j+1 – tj ≥ aj+1 + fj - kaj+1·TC ... t i – ti-1 ≥ ai + fi-1 - kai·TC Se define wji como la suma de los términos independientes de las i-j ecuaciones anteriores: () ∑ += −−+= i 1js s1ssji TC·kafaw (5.10) Entonces, para encontrar una solución factible en el grafo se debe cumplir que: wji + vij ≤ 0 (5.11) Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 125 En la figura 5.4 se observa el arco de grúa de retroceso, que une el vértice i con el vértice j, y los arcos de tanque de avance, que los unen en sentido contrario. Figura 5.4. Determinación gráfica de cotas mediante un arco de grúa, de retroceso. Sustituyendo los valores de vij y wji en la ecuación 5.11, se llega a la desigualdad: ()()() 0kaTCfavvTC·kafa i 1js s i 1js 1ssijij i 1js s1ss ≤−++=+−+ ∑∑∑ +=+= − += − (5.12) Agrupando los parámetros as y kas, se observa como ambos sumatorios toman, por definición de sus componentes, valores positivos: () 0fav i 1js 1ssij >++ ∑ += − (5.13) () 0ka i 1js s≥ ∑ += (5.14) Despejando la variable TC de la expresión anterior, se obtiene una expresión para la cota inferior L(j), asociada al vértice destino del arco de grúa de retroceso: () () () 0kaTC ka fav L(j) i 1js s i 1js s i 1js 1ssij >⇔≤ ++ =∑ ∑ ∑ += += += − (5.15) ai+fi-1-kaiTC aj+1+fj-kaj+1TC fi + ei+1,j = vij i j j+1 i-1 ... Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 126 Siempre que el sumatorio de la ecuación 5.14 sea positivo (condición necesaria), existirá una cota inferior del tiempo de ciclo TC según la expresión 5.15, donde j es el vértice destino del arco de grúa de retroceso. Entre todos los circuitos formados por un arco de grúa de retroceso más arcos de tanque de avance, el arco de grúa de retroceso que indica el último movimiento de la grúa en el ciclo constituye un caso particular. Dicho arco, con destino el vértice 0, a diferencia de los otros, contiene obligatoriamente la variable TC que está siendo acotada. Por lo tanto, ya no es necesaria la condición de no nulidad del sumatorio de coeficientes asociados a TC. Así, la expresión anterior (5.15) toma en este caso la siguiente forma: () () TC ka1 fav 1)L(m i 1s s i 1s 1ssi0 ≤ + ++ =+ ∑ ∑ = =− (5.16) Esta última ecuación 5.16 garantiza que siempre se puede encontrar una cota inferior de la variable TC, como mínimo, dado que el denominador tendrá un valor siempre positivo, de como mínimo la unidad. En resumen, como conclusión de las anteriores observaciones, se puede determinar una cota inferior del tiempo de ciclo TC tomando el máximo de todas las expresiones 5.8, 5.15 y 5.16: LBH = max { L(0), L(j), L(m+1) } (5.17) ∀L(j) tal que ∃ circuito de arcos “tanque de avance + grúa de retroceso” con destino en el vértice j 5.4.2. Cálculo de cotas superiores para el tiempo de ciclo, asociado a una secuencia H En este caso, se plantea el objetivo del siguiente desarrollo como el cálculo de cotas superiores para el tiempo de ciclo TC, siguiendo un esquema parecido a la obtención de cotas inferiores para la variable TC. No obstante, siempre existe una cota superior U(0) que se obtiene al suponer la secuencia de movimientos trivial, de trasladar los objetos uno a uno desde la estación de carga 0 hasta la estación de descarga m+1 (fórmula 3.79). U(0) es una cota superior del tiempo de ciclo para cualquier secuencia de movimientos factible, sin importar qué secuencia asociadas a un grafo vaya a evaluarse. Sea un arco de grúa de avance, que une el vértice i con el vértice j: t j - ti ≥ fi + ei+1,j = vij (5.18) siendo nuevamente vij el tiempo mínimo que debe transcurrir entre el inicio de los movimientos de desplazamiento de objetos en los baños i y j. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 127 Se trata de un arco que une dos vértices i y j tales que i<j, lo cual implica que la pieza trasladada desde el tanque j puede haber entrado en la línea de producción en un mismo ciclo o en uno anterior al de la pieza trasladada desde el tanque i. Esto implica que entre los vértices i y j puede existe algún arco de avance que contenga la variable TC. Se puede encontrar un camino entre el vértice j y el vértice i pasando por los vértices intermedios (j-1, ..., i+1), formado por los arcos de tanque de retroceso: t j-1 – tj ≥ - bj - fj-1 + kbj·TC ... t i – ti+1 ≥ - bi+1 - fi + kbi+1·TC Se define wji como la suma de los términos independientes de las i-j ecuaciones anteriores: () ∑ − =−+−−= 1i js s1ssji TC·kbfbw (5.19) Al igual que en la ocasión anterior, se debe cumplir (como se observa en la figura 5.5): wji + vij ≤ 0 (5.20) Sustituyendo los valores de vij y wji en la ecuación 5.20, se llega a la desigualdad: ()()() 0kbTCfbvvTC·kbfb 1i js s 1i js 1ssijij 1i js s1ss ≤++−=++−− ∑∑∑ − = − =− − =− (5.21) Figura 5.5. Determinación gráfica de cotas mediante un arco de grúa, de avance. -bj-fj-1+kbj·TC -bi+1-fi+kbi+1·TC fi + ei+1,j = vij j i i+1 j-1 ... Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 128 En este caso, agrupando los parámetros bs y kbs, se observa como sólo el segundo sumatorio toma, por definición de sus componentes, valores no negativos: () 0kb 1i js s≥ ∑ − = (5.22) Despejando la variable TC de la expresión anterior se obtiene una expresión para la cota superior U(j), asociada al vértice destino del arco de grúa de avance: () () () 0kbTC kb fbv U(j) 1i js s 1i js s 1i js 1ssij >⇔≥ ++− =∑ ∑ ∑− = − = − =− (5.23) El numerador de la expresión anterior (5.23) contiene una diferencia de valores, que según sean las secuencias evaluadas mediante el grafo puede resultar positiva, nula o negativa. El denominador, al estar formado por la suma de términos binarios, sólo puede ser nulo o negativo. Casuística: 1. Si la suma de todos los coeficientes kbs (denominador) es nula ⇒ El vértice j no proporciona ninguna U(j), cota superior sobre el tiempo de ciclo de la secuencia propuesta, según la operación de transporte que se inicia sobre el tanque j. 2. Si la suma de todos los coeficientes kbs (denominador) es positiva y el numerador es positivo ⇒ U(j) > 0 ⇒ U(j) ≥ TC (cota superior sobre el tiempo de ciclo de la secuencia propuesta, según la operación de transporte iniciada sobre el tanque j). 3. La expresión no tiene sentido, ni se puede cumplir, si la suma de todos los coeficientes kbs (denominador) es positiva y el numerador es negativo, U(j) ≤ 0. De lo anterior, se deduce si se cumplen las condiciones sobre los parámetros del sistema, que permitan lograr la segunda situación, se pueden hallar cotas superiores para el tiempo de ciclo TC. Entre todos aquellos circuitos formados por un arco de grúa de avance más arcos de tanque de retroceso que permiten hallar valores U(j) posibles, la cota superior del tiempo de ciclo asociado a una secuencia se calcula como la más restrictiva entre la cota superior trivial y las halladas mediante las expresiones 5.23: UBH = min { U(0), U(j) } (5.24) ∀U(j) tal que ∃ circuito de arcos “tanque de retroceso + grúa de avance” con destino en el vértice j Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 135 5.5.2. Estudio de la relación entre el rango de exploración y el tiempo de ciclo de una secuencia Dada una instancia de problema, una cota superior de cualquier secuencia se obtiene como la suma de los tiempos de desplazamiento de la grúa con carga entre baños más los tiempos de tratamiento mínimos permitidos en los baños, lo que equivale a que un solo objeto se encuentre en la línea. Dada una secuencia H de movimientos de la grúa, si se asigna a TCH valores comprendidos entre 0 y una dicha cota superior insuperable, la evaluación de los caminos máximos entre el vértice 0 y los demás vértices en el grafo puede comportar para una secuencia propuesta tres casos posibles: Caso 1 (figura 5.8). Cuando no existe ningún valor de TCH positivo que comporte un valor finito para los m caminos máximos en el grafo. La secuencia es infactible. Caso 2 (figura 5.9). Cuando se observan claramente, según el valor de la variable TCH, tres tramos con diferente comportamiento: el primero, desde que la variable TCH vale desde 0 hasta KminH-1, cuando los valores de los caminos máximos en el grafo tienden a infinito; el segundo, desde que la variable TCH vale KminH hasta que vale KmaxH, los valores de los caminos son finitos y crecen proporcionalmente a la variable TCH; y el último, cuyos valores de caminos máximos en el grafo vuelven a valer infinito si el valor de TCH es igual o superior a KmaxH+1. Existen dos posibles variantes, en las cuales siempre la cota inferior de TCH, LBH, es igual al límite inferior del rango de factibilidad: que la cota superior de TCH hallada en la Primera prueba, de infactibilidad, UBH, coincida con el límite superior de factibilidad KmaxH (caso 2) o que sea superior (caso 2'). Caso 3 (figura 5.10). Cuando se observan nuevamente, según el valor de la variable TCH, los mismos tres tramos del caso 2: el primero, desde que la variable TCH vale desde 0 hasta KminH-1, con valores de los caminos máximos en el grafo que tienden a infinito; el segundo, desde que la variable TCH vale KminH hasta valer KmaxH, los valores de los caminos son finitos y crecen proporcionalmente a la variable TC; y el último, cuyos valores de caminos máximos en el grafo vuelven a valer infinito si el valor de TCH es superior a KmaxH. En este caso, para las dos posibles variantes la cota inferior de TCH, LBH, siempre es menor que el límite inferior del rango de factibilidad. En la primera variante, la cota superior de TCH hallada en la Primera prueba, de infactibilidad, UBH, coincide con el límite superior de factibilidad KmaxH (caso 3), mientras que en la segunda, UBH es superior a KmaxH (caso 3'). Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 136 Rango exploración Rango factibilidad TC*H Caso 1 [LBH,UBH] ∅ ∞ Caso 2 [LBH,UBH] LBH=KminH UBH=KmaxH [LBH=KminH, UBH=KmaxH] LBH=KminH Caso 2' [LBH,UBH] LBH=KminH UBH>KmaxH [LBH=KminH, KmaxH] LBH=KminH Caso 3 [LBH,UBH] LBH<KminH UBH=KmaxH [KminH, UBH=KmaxH] KminH Caso 3' [LBH,UBH] LBH<KminH UBH>KmaxH [KminH, KmaxH] KminH Tabla 5.3. Relación entre el rango de exploración determinado por la Primera prueba, de infactibilidad, el rango de valores para los cuales una secuencia es factible y el tiempo de ciclo TC*H para dicha secuencia. Figura 5.8. Exploración en el caso 1 según las cotas de la Primera prueba, de infactibilidad. TC factible TC explorado ∞ rango de exploración UBH LBH Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 137 Figura 5.9. Exploración en el caso 2 según las cotas de la Primera prueba, de infactibilidad. Figura 5.10. Exploración en el caso 3 según las cotas de la Primera prueba, de infactibilidad. En los casos 2 y 3, la solución buscada es el valor KminH (valor finito mínimo de TCH para que la secuencia pueda ser factible). No obstante, en el caso 3, se dispone de una cota inferior, menor que dicho valor KminH, lo que comporta tener que pasar de este valor del tiempo de ciclo que supone que la secuencia sea infactible hasta el valor KminH. TC factible TC explorado ∞ rango de exploración UBH=KmaxH LBH=KminH KmaxH KminH (= TC*) TC factible TC explorado ∞ rango de ex p loración UB H =Kmax H LB H Kmin H Kmax H KminH ( = TC* ) exploración realizada exploración r ealizada Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 138 Si se dispone de una cota inferior y de una cota superior, LBH y UBH respectivamente, únicamente será necesario recorrer los posibles valores de TCH comprendidos entre ambos puntos, para determinar si la secuencia es factible o no, pudiendo evitar la evaluación de cualquier valor situado más allá de los extremos del tramo generado por las cotas, a su izquierda y derecha de. En la práctica, se debe explorar en principio desde el valor LBH hasta el valor UBH y parar en el momento en que exista un camino finito entre el vértice 0 y los demás vértices, si bien algunas características del grafo planteadas a continuación pueden acelerar la resolución mediante el grafo. 5.6. Propiedades topológicas de un grafo con Tiempo de Ciclo Acotado aplicables en la determinación del tiempo de ciclo óptimo 5.6.1. Problema de minimización del tiempo de ciclo Sea el problema de optimización, visto en el apartado 4.3, definido como: [MIN] TC (5.25) s.a. tGto(j) – tGfrom(j) ≥ Gtime(j) + Gcycle(j) ·TC j=1, ..., 3m+1 (5.26) t i ≥ 0 i=0, ..., m (5.27) TC ≥ 0 (5.28) Gfrom, Gto ∈ {0, 1, ..., m}; Gtime ∈ Ζ (positivo o negativo); Gcycle ∈ {-1,0,1} En el anterior grupo de 3m+1 restricciones pueden distinguirse dos conjuntos diferenciados por el correspondiente valor de Gcycle: en caso que Gcycle = 0, entonces el término independiente bj no depende de TC; en caso contrario, bj depende linealmente de TC. En general, podemos escribir que: bj(TC) = bGfrom(j),Gto(j)(TC) = Gtime(j) + Gcycle(j) ·TC (5.29) 5.6.2. Grafo G asociado al problema anterior Las 3m+1 restricciones del problema sugieren la búsqueda del camino máximo en un grafo G con las siguientes características: • A cada variable del problema ti (i=0, ..., m), excepto la variable de tiempo de ciclo TC, se le asocia un vértice v(i). • Entre los vértices v(tGfrom) y v(tGto), se asocia un arco e[v(tGfrom),v(tGto)] con valor bj(TC). En la búsqueda de caminos máximos, este arco conduce nuevamente a la restricción: tGto ≥ tGfrom + bj (TC) (5.30) Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 139 5.6.3. Propiedades del grafo G Como propiedades del grafo G, puede establecerse que: P1. El grafo G tiene m+1 vértices: v(0), v(1), ..., v(m). P2. Los vértices v(0) y v(m) del grafo G tienen dos arcos incidentes: un arco de tanque y un arco de grúa, según el apartado 5.3.5. P3. Los demás vértices, [v(1), ..., v(m-1)], del grafo G tienen tres arcos incidentes: dos arcos de tanque y un arco de grúa, según el apartado 5.3.5. P4. El grafo G tiene 3m+1 arcos, que reflejan las 3m+1 restricciones del problema. P5. En función del valor asignado a la variable TC, el grafo G puede tener caminos extremos, o sea máximos, acotados o no tenerlos. Definición 1 Un grafo G es coherente con TC=C, y lo representaremos como Coh[TC=C], si para toda pareja de vértices [v(i), v(j)] existe un camino máximo. En estas condiciones, existen algoritmos, como el algoritmo de Ford, que permiten calcular el camino extremo entre parejas de vértices en el grafo G, o bien detectar que el grafo no es coherente. La coherencia en el problema planteado es equivalente para una estructura de grafo orientado, como es el grafo G, a que todos los circuitos de dicho grafo tengan valor no positivo. Proposición 1 En el grafo G existen 3m-1·22 subgrafos Gl, formados por un conjunto de arcos que incidan en cada uno de los m+1 vértices del grafo. Demostración Trivial a partir de las propiedades P2 y P3. Para determinar el intervalo de los valores de la variable TC que conduzcan a un grafo coherente Coh[TC], pueden calcularse unas cotas inferior y superior de dicha variable, a partir del citado grafo, que limiten la búsqueda del valor de TC mínimo que comporta un grafo coherente. Dichas cotas consideran restricciones de grúa y restricciones de tanque a la vez, dado que el problema planteado intenta coordinar los movimientos de la grúa sobre las ventanas temporales de los baños. Proposición 2 Una cota inferior de TC se puede calcular mediante una selección de arcos del grafo G, que forman un circuito, de los cuales como mínimo uno de ellos tiene la longitud función de TC. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 140 Demostración Sea el último arco de grúa de un ciclo e[v(i),v(0)] con valor bi,0(TC). Existe siempre uno o más arcos de tanque e[v(0),v(1)], ..., e[v(i-1),v(i)] hasta cerrar un circuito en el grafo G orientado. Sumando todos sus valores al del arco inicial, y obligando a que dicho circuito tenga valor no positivo, se obtiene una expresión del tipo de 5.12, que conduce a una cota inferior. Proposición 3 Una cota superior de TC se puede calcular mediante una selección de arcos del grafo G, que forman un circuito, de los cuales como mínimo uno de ellos tiene la longitud función de TC. Demostración Sea un arco de grúa e[v(i),v(j)] con j>i+1 y valor bi,j. Si existe una serie de arcos de tanque e[v(j),v(j-1)],..., e[v(i+1),v(i)] hasta cerrar un circuito en el grafo G orientado, tal que uno de ellos dependa de la variable TC. Sumando los valores de todos esos arcos y forzando al circuito a tener valor no positivo, se obtiene una expresión del tipo de 5.21. 5.6.4. Del grafo G a un esquema matricial Definición 2 Sea un vector X formado por componentes asociados a los vértices del grafo G. Sea una transformación Φ I de un vector X en otro vector Y (de idénticas características a X) tales que X,Y∈ℜm+1, consistente en aplicar: yi = MAX k(i) { bj,ik(i) + xj k(i) } i =0, ..., m (5.31) con bj,ik(i) número entero (positivo o negativo, que puede depender de TC), bj,ik(i)(TC); i,j∈{0,1, ..., m}; k(i)∈{1,2} si i=0,m; k(i)∈{1,2,3} si i=1,2,...,m-1. Para cada componente i del vector Y, el parámetro k(i) puede tomar como mínimo 2 valores y como máximo 3 valores (en concreto, para sus componentes primero y último, 2 valores, y en el resto, 3 valores). Proposición 4 A todo grafo G puede asociarse una transformación Φ I. En nuestro caso, el grafo G recibe el nombre de Grafo con Tiempo de Ciclo Acotado, dado que pueden hallarse cotas sobre el valor de TC, proposiciones 2 y 3 anteriores, que facilitan la convergencia del procedimiento de determinación de caminos máximos en él. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 141 Proposición 5 La transformación Φ I divide el espacio ℜm+1 en zonas según las restricciones activas en cada vértice i. El número máximo de zonas es 3m-1·22, en este caso. A cada zona l corresponde una transformación reducida Φ I,l, a la cual puede asociarse también un subgrafo Gl. A cada vértice de dicho subgrafo incide un arco y sólo uno. Demostración Según la proposición 4, existe un grafo G asociado a la transformación Φ I. Para cada vértice i del grafo, existirá un valor k(i) tal que yi = bj,ik(i) + xj k(i). Dicha expresión refleja la restricción activa en el vértice i. Además, según las propiedades P2 y P3 del grafo G, existirá siempre una restricción activa para cada vértice, por lo menos. En la frontera entre dos zonas, existen dos restricciones activas en un cierto vértice i. La transformación reducida Φ I,l incluye una selección de m+1 valores k(0), k(1), ..., k(m). De manera equivalente, en el subgrafo Gl, existen m+1 arcos que inciden en los vértices 0,1,...,m, respectivamente. Proposición 6 En un subgrafo Gl existe como mínimo un circuito, aunque alguno de los arcos del subgrafo puede no formar parte de un circuito. Demostración Sea un vértice j cualquiera del subgrafo Gl. Según la proposición 5, sólo incide un arco e[v(i),v(j)] en dicho vértice. El vértice origen de dicho arco se corresponde con el vértice i. Tómese ahora el vértice i como vértice destino. Dado que el número de vértices de dicho subgrafo Gl es finito, después de realizar la anterior operación durante k iteraciones, el vértice origen en la iteración k+1-ésima coincidirá con alguno de los k vértices origen ya visitados. Sea el conjunto de vértices origen, en orden inverso al visitado, que finalice en la iteración en que se visitó por primera vez al vértice repetido. Entonces, se dispone de un circuito recorrido en sentido contrario a la orientación de sus arcos. Si el vértice repetido es el primero, el circuito pasa por todos los vértices. Si no lo es, entonces queda una parte de arcos del grafo fuera del circuito. Si quedaran vértices por visitar, esto implica que o bien se forma otro circuito o bien se visitará nuevamente algún vértice del circuito ya formado. Definición 3 Si X∈ℜm+1 se encuentra en el interior de una zona l, esta transformación reducida Φ I,1 es equivalente a una transformación lineal del tipo: Y = B + A·X (5.32) donde cada una de las filas corresponde a la restricción activa incidente para cada vértice. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 142 La matriz A tiene las siguientes características: • es una matriz cuadrada de dimensión m+1; • los valores ai,j=1 indican que el arco entre los vértices j e i actúa como una restricción activa; por consiguiente, los demás valores de una fila i tienen valor ai,j=0; • es una matriz estocástica, pues en cada fila todos los valores son nulos, excepto uno y sólo uno que vale 1: ∑ = = m 0j j,i 1a i=0,...,m (5.33) El vector B está formado por los valores bj,ik(i) de las restricciones activas, algunos de cuyos componentes dependen linealmente del valor de la variable TC. 5.6.5. Puntos dobles en la aplicación Φ I,1 Definición 4 La transformación Φ I,1 tiene un punto doble Xº, por lo menos, si se cumple que: Xº= Φ I,1 (Xº) (5.34) En nuestro caso, los puntos dobles forman parte de la solución buscada, ya que indican que tras recorrer los m+1 vértices del subgrafo Gl los valores se repetirán cíclicamente tras un período de tiempo TC. No obstante, la existencia de puntos dobles depende de los valores bj,ik(i), o de manera equivalente en el grafo G, la inexistencia de circuitos de valor positivo, Σ bj,i,k(i) ≤ 0, en subgrafos Gl. Por lo tanto, al existencia de puntos dobles depende del valor asignado a la variable TC. Si existe el punto doble Xº, en forma matricial: Xº = B + A·Xº (5.35) lo cual es equivalente a resolver un sistema de ecuaciones lineales tal que: (I-A) · X = B (5.36) donde I-A es una matriz cuyos valores no nulos dependen de las restricciones activas del grafo Gl, de las cuales todas o algunas determinan un circuito en dicho grafo; el vector B depende del valor de la variable TC, como ya se ha descrito anteriormente; y el vector X equivale al vector T de tiempos en el problema original. Para que se cumpla la expresión 5.36, el subgrafo tiene que ser coherente Coh[TC=C]. Lema 1 Si existe un punto doble Xº de la transformación Φ I,l, existen también infinitos puntos dobles, cuyos componentes están todos desplazados una misma distancia k respecto al punto doble Xº. Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 143 Es decir, si Xº es punto doble, también lo es cualquier vector tal que: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ += 1 ... 1 1 k 01 XX (5.37) Demostración Sea el vector unidad 1. Dado que la matriz A es estocástica: A·1 = 1 (5.38) Aplicando el vector X1, que ha sido definido en 5.37, en la expresión 5.32 y restándola de la expresión 5.34, se obtiene: (I-A) · k ·1 = A' · k · 1 = 0 (5.39) La expresión (5.39) se verifica dado que: ∑ = = m 0j j,i 0'a i=0,...,m (5.40) En el fondo, es una consecuencia del teorema de Rouché-Frobenius, que indica que la solución general de un sistema de ecuaciones completo es igual a una solución particular (fijando xº0=0) más la solución general de un sistema homogéneo (en este caso, el vector unidad 1). La convención utilizada en el problema de tomar como referente el instante de recogida del objeto de la estación de carga (baño 0), comporta que en caso de existir punto doble, se determine el punto doble Xº tal que xº0=0 (en el problema original, t0=0). Según el Lema 1, en caso que exista el punto doble Xº existen infinitas soluciones. El sistema de ecuaciones lineales de 5.32 es compatible indeterminado, lo que según el teorema de Roché-Frobenius implica que: rango(I-A) = rango(I-A| B) (5.41) rango(I-A| B) ≤ m (5.42) Este resultado es coherente con la topología del grafo Gl, que refleja la transformación Φ I,l, donde existe como mínimo un circuito. La presencia de este circuito evita que el rango de la matriz I-A sea m+1, y supone que la matriz A tenga un determinante nulo. Lema 2 Los valores propios de la matriz A son o bien raíces enteras de 1 o bien 0. Demostración Cada circuito se corresponde a un valor propio 1 (el grado de multiplicidad del valor propio 1 es igual al número de circuitos en el grafo). Capítulo 5. Resolución basada en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado 144 Cada vértice que no pertenece a un circuito se corresponde a un valor propio 0 (el grado de multiplicidad del valor propio 0 es igual al número de vértices “descolgados” en ramas, es decir, que no pertenecen a ningún circuito). La ecuación característica de la matriz A es: (1-λa) (1-λb) ... (1-λg) λh = 0 (5.43) donde a es el número de arcos del primer circuito considerado, b lo es del segundo circuito, g lo es del último y h es el número de vértices descolgados en ramas. Ejemplo 1 Sea el grafo de la figura 5.11, con 5 vértices, de los cuales tres forman un circuito. Figura 5.11. Ejemplo del grafo Gl asociado a una transformación Φ I,l. Entonces, según la ecuación 5.35, la matriz A es: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 01000 00010 00010 00001 00100 A siendo su ecuación característica: (1-λ3) λ2 = 0 Cada rama de vértices descolgados introduce una columna de valores nulos. Esto facilita que en el desarrollo se vayan generando columnas de ceros en los otros vértices de la rama, uno a uno. Teorema 1 Si existe un punto doble Xº de Φ I,l, todos los circuitos en el grafo Gl tienen valor nulo. 15 4 0 1 3 2 40 50 30 25-TC Capítulo 10. Conclusiones y líneas futuras de investigación 250 Los algoritmos planteados también se han aplicado a un problema real, como la fabricación de placas de circuitos impresos (Printed Circuit Boards), si bien los sistemas reales suelen corresponder a variantes bastante complejas en la clasificación de este tipo de problemas. 10.2.2. Variantes del problema basadas en el grafo con Tiempo de Ciclo Acotado El aprovechamiento de las propiedades de las cotas sobre el tiempo de ciclo, en los grafos con Tiempo de Ciclo Acotado, permite pensar en el desarrollo eficiente de algoritmos para otras variantes, como el caso de los n-ciclos, cuando en un ciclo entran y salen del sistema n objetos o productos, en lugar de uno solo. De manera similar, la información de las cotas se supone que puede ser válida para los casos multi-baño o multi-función, los cuales son más fáciles de encontrar en sistemas productivos reales. 10.2.3. Resolución simultánea de los ejemplares directo e inverso A lo largo del presente trabajo, en el capítulo 9, se ha planteado la conveniencia de utilizar la resolución sobre el ejemplar directo o sobre el ejemplar inverso, asociado a un cierto ejemplar de problema. La posibilidad de resolver ambos ejemplares a la vez puede comportar importantes mejoras en la eficiencia de los algoritmos, como se demuestra en Companys, Bautista y Mateo (2000). Esto daría lugar a un procedimiento de tipo pendular, una vez determinadas las propiedades en la resolución de ambos ejemplares y cómo intercambiar dicha información. 10.2.4. Estudio del caso con objetos heterogéneos Un vasto campo, pendiente de un estudio detallado, es el problema en una línea con objetos heterogéneos. La variante con objetos heterogéneos, trasladados por una sola grúa, con un número finito de piezas y cierta cantidad de unidades por cada tipo, en el caso mono-baño (capacidad para un solo objeto) y mono-función, da lugar a secuencias finitas. En dicho caso, el objetivo se centra en hallar una ordenación de objetos y de movimientos de grúas, e intentar la reducción al máximo del tiempo total de proceso sin violar las restricciones propias del problema (de tiempos en los tanques y de movimientos de la grúa). 10.2.5. Otros problemas de ingeniería posiblemente relacionados con HSP Finalmente, se ha recabado bibliografía en problemas que podrían relacionarse con el tema tratado, encontrando algunas situaciones de temática parecida en el campo de la ingeniería química. Éste es el caso de las plantas de proceso por lotes sin tuberías, Pipeless Batch Plants, tratado por González y Realff (1998a) y (1998b), unas plantas químicas de producción que evitan la presencia de tuberías basándose en el transporte de los tanques que contienen los productos en curso de fabricación. Su relación aún no está perfectamente definida, lo que implica que deban analizarse con más extensión en las posibles analogías. Referencias bibliográficas 251 REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Armstrong, R.; Lei, L.; Gu, S. (1994). A bounding scheme for deriving the minimal cycle time of a single-transporter N-stage process with time-window constraints, European Journal of Operational Research 78 (1994), pp. 130-140. Baena, V.M.; Bautista, J.; Mateo, M. (1998). Aplicación de los algoritmos genéticos a la resolución del Hoist Scheduling Problem. Documento Interno de Trabajo (D.I.T.) 98/32, Departamento Organitzación Empresas, Universitat Politècnica Catalunya. Baptiste, P.; Legeard, B.; Manier, M.-A.; Varnier, C. (1993). Optimization with constraint logic programming: the hoist scheduling problem solved with various solvers. Proceedings of the 8th International Conference on Applications of Artificial Intelligence in Enginnering, pp. 599-614. Baptiste, P.; Legeard, B.; Varnier, C. (1992). Hoist scheduling problem: an approach based on constraints logic programming. IEEE International Conference on Robotics and Automation, vol. 2, pp. 1139-1144. Bautista, J.; Companys, R. (2000). Logística y dirección de operaciones. Una visión sobre su evolución convergente. Manutención y almacenaje 347, pp. 60-70. Buffa, E.S.; Sarin, R.K. (1992). Administración de la producción y de las operaciones. 8ª edición. Mexico: Limusa. Chase, R.B.; Aquilano, N.J. (1994). Dirección y administración de la producción y de las operaciones. Traducción de la 6ª edición. Addison Wesley Iberoamericana. Chen, H.; Chu, C.; Proth, J.-M. (1995). Cyclic hoist scheduling based on graph theory. IEEE 0-7803-2535-4/95, pp. 451-459. Chen, H.; Chu, C.; Proth, J.-M. (1998). Cyclic scheduling of a hoist with time window constraints. IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 14, nº 1, pp. 144-152. Cheng, C.-C.; Smith, S.F. (1995). A constraint-posting framework for scheduling under complex constraints. Proceedings 1995 INRIA/IEEE Symposium on Emerging Technologies and Factory Automation ETFA’95, vol. 1, pp. 269-280. Collart, S.; Denat J.-P. (1998). P-time Petri nets and the Hoist Scheduling Problem, IEEE 0-7803-4778-1/98, pp. 558-563. Companys, R. (2000). Programación dinámica. Barcelona: CPDA. Companys, R.; Bautista, J.; Mateo M. (2000). Los algoritmos EXAPENTA (Exploración Arborescente Pendular con transformación y Acotación). 1er Workshop de Organización Industrial, pp. 399-404. Bilbao: Escuela Superior Ingenieros. Referencias bibliográficas 252 Companys, R.; Corominas, A. (1993). Organización de la Producción I: Diseño de sistemas productivos I. Barcelona: Edicions UPC. Companys, R.; Corominas, A. (1995). Organización de la Producción II: Dirección de Operaciones I. Barcelona: Edicions UPC. Crama, Y. (1997). Combinatorial optimization models for production scheduling in automated manufacturing systems. European Journal of Operational Research 99, pp. 136-153. Dengiz, B.; Akbay, K.S. (2000). Computer simulation of a PCB production line: metamodeling approach, International Journal of Production Economics, vol. 63, nº 2, pp. 195-205. Dervitsiotis, K.N. (1981). Operations Management. McGraw-Hill. Domínguez Machuca, J.A.; Alvárez Gil, M.J.; García González, S.; Domínguez Machuca, M.A.; Ruiz Jiménez, A. (1995). Dirección de operaciones: aspectos estratégicos en la producción y los servicios. Madrid: McGraw-Hill. Fernández, R. (1995). Métodos para hallar el tiempo de ciclo mínimo en un proceso de N etapas con un robot transportador y restricciones ventana. Proyecto Final de Carrera, ETS Enginyers Industrials Barcelona. Universitat Politècnica Catalunya. Fleury, G.; Goujon, J.-Y.; Gourgand, M.; Lacomme, P. (1996a). Multi-agents approach for manufacturing systems optimization. PAAM 96. Proceedings of the First International Conference on the Practical Application of Intelligent Agents and Multi-Agent Technology, pp. 225-244. Fleury, G.; Goujon, J.-Y.; Gourgand, M.; Lacomme, P. (1996b). A hoist sceduling problem, containing a fixed number of carriers, solved with an opportunistic approach. Symposium on Discrete Events and Manufacturing Systems. CESA'96 IMACS Multiconference. Computational Engineering in Systems Applications, pp. 473-478. Fogarty, D. W.; Hoffmann, T. R. (1983). Production and Inventory Management. SouthWestern Publishing Co. Garey, M.R.; Johnson, D.S. (1979). Computers and Intractibility: A Guide to the Theory of NP-Completeness. New York: W.H. Freeman and Compagny. González, R.; Realff, M.J. (1998). Operation of pipeless batch plants – I. MILP schedules. Computers Chemical Engineering, vol. 22, nº 7-8, pp. 841-855. González, R.; Realff, M.J. (1998). Operation of pipeless batch plants – II. Vessel dispatch rules. Computers Chemical Engineering, vol. 22, nº 7-8, pp. 857-866. Goujon, J.-Y.; Lacomme, P; Norre, S.; Traore, M. K. (1996). Computerized industrial surface tretament line control: resolution of a Hoist Scheduling Problem. ESS96. Simulation in Industry: 8th European Simulation Symposium, pp. 377-382. Referencias bibliográficas 253 Goujon, J.-Y.; Lacomme, P; Traore, M. K. (1996). A multi-agent simulation methodology for manufacturing systems. ESM96. Modelling and Simulation, pp. 183-187. Ignall, E.; Schrage, L. (1965). Application of the Branch and Bound Technique to Some Flow Shop Scheduling Problems", Operational Research 13 (4), pp. 400-412. Lamothe, J.; Correge, M.; Delmas, J. (1995). A dynamic heuristic for the real time hoist scheduling problem. IEEE 0-7803-2535-4/95, pp. 161-168. Larrubia, A.; Mengual, A. (2000). Estudio de la programación de tareas en una línea de producción con múltiples grúas para trasladar piezas homogéneas. Proyecto Final de Carrera, ETS Enginyeria Industrial Barcelona. Universitat Politècnica Catalunya. Leal, V.; Bautista, J.; Mateo, M. (1998). Hoist Scheduling Problem: problema de secuenciación de movimientos con N tanques y una grúa transportadora. Documento Interno de Trabajo (D.I.T.) 98/33, Departamento Organitzación Empresas, Universitat Politècnica Catalunya. Lei L.; Wang, T.-J. (1989a). A proof: the cyclic hoist scheduling problem is NP-complete. Working paper #89-0016. Rutgers University. Lei, L.; Wang T.-J. (1991). The minimum common-cycle algorithm for cyclic scheduling of two material handling hoists with time window constraints. Management Science, vol. 37, nº 12, pp. 1629-1639. Lieberman, R.W.; Turksen, I.B. (1981). Crane Scheduling Problerms. AIIE Transactions, vol. 13, nº 4. Lieberman, R.W.; Turksen, I.B. (1982). Two-operation Crane Scheduling Problerms. AIIE Transactions, vol. 14, nº 4. Lomnicki, Z.A. (1965). A “branch-and-bound” algorithm for the exact solution of the three-machine scheduling problem, Operational Research Quart., vol. 16, nº 1. Manier, M.A.; Baptiste, P. (1994). État de l’art: ordonnancement de robots de manutention en galvanoplastie, APII, vol. 28, nº 1/1994. Matsuo, H.; Shang, J.S.; Sullivan, R.S. (1991). A Crane Scheduling Problem in a Computer-Integrates Manufacturing environment, Management Science, vol 37, nº 5, pp. 587-606. Méndez, G.; Cespón, R. (1999). Logística de producción: El “scheduling” como eslabón esencial. Manutención y almacenaje 336, pp. 51-54. Ng, W.C. (1996). A branch and bound algorithm for hoist scheduling of a circuit board production line. The International Journal of Flexible Manufacturing Systems, vol. 8, pp. 45-65. Phillips, L.W.; Unger, P.S. (1976). Mathematical programming solution of a hoist scheduling program. AIIE Transactions, vol. 8, nº 2, pp. 219-225. Referencias bibliográficas 254 Shapiro, G.W.; Nuttle, H.W. (1988). Hoist Scheduling for a PCB electroplating facility, IEE Transactions, vol. 20, nº 2 (junio 1988), pp. 157-167. Sethi, A. K.; Sethi, S.P. (1994). Flexibility in manufacturing: A survey. The International Journal of Flexible Manufacturing Systems 2, pp. 289-328. Song, W.; Storch, R.L.; Zabinsky, Z.B. (1995). An example for scheduling a chemical processing tank line, IEEE 0-7803-2535-4/95, pp. 475-482. Thesen, A.; Lei, L. (1990). An expert scheduling system for material handling hoists. Journal of Manufacturing System, vol. 9, nº 3, pp. 247-252. Varnier, C.; Grunder, O.; Baptiste, P. (1995). Improving the productivity of electroplating lines by changing the layout of the tanks, IEEE 0-7803-2535-4/95. pp. 441-450. Varnier, C.; Bachelu, A.; Baptiste, P. (1997). Resolution of the cyclic multi-hoists scheduling problem with overlapping partitions, INFOR, vol. 35, nº 4, pp. 309-324. Vollmann, T.E.; Berry, W.L.; Whybark, D.C. (1995). Sistemas de Planificación y Control de la Fabricación. 4ª edición. Irwin. Widmer, M. (1991). Modèles mathématiques pour une gestion efficace des ateliers flexibles. Paris: Presses Polytechniques et Universitaires Romandes. Yih, Y. (1994). An algorithm for hoist scheduling problems, International Journal of Production Research, vol. 32, nº 3, pp. 501-516. BIBLIOGRAFÍA ADICIONAL Aranda, S.; Serra, A. (1999). Resolución del problema del robot transportador en un proceso con N etapas y restricciones temporales (Hoist Scheduling Problem) mediante un procedimiento de búsqueda tabú. Proyecto Final de Carrera, ETS Enginyeria Industrial Barcelona. Universitat Politècnica Catalunya. Baptiste, P.; Grunder, O.; Chappe, D. (1995). A branch and bound procedure for the optimal layout of a satured production line fed with a single hoist. International Conference on Industrial Engineering and Production Management, vol. 1, p. 372-381. Bracker, W.E.; Chapman, W. (1985). Optimization of a programable hoist using linear programming. Printed Circuit Fabrication, vol. 8 (febrero 1985), pp. 39-42. Cannard, J.-A. (1988). La flexibilité par l’ordonnancement appliqué. Revue d’automatique et de productivité appliquées, vol. 1, nº 3, pp. 15-19. Derid, J. (1978). CITEC (Circuits imprimés): des bains chimiques assurés par palans programmés. Manutention, vol. 7, nº 4, pp. 10-15. Referencias bibliográficas 255 Gross, Pison, Koechlin (1981). Conduite par automates programmables d’une chaîne flexible de galvanoplastie sur matière plastique, Technique Moderne, vol. 73, nº 11-12, pp. 51-55. Lei, L.; Wang T.-J. (1989b). On the optimal cyclic schedules of single hoist electroplating processes. Working paper #89-0006, Rutgers University. Liu, R.; McGreavy, C. (1996). A framework for operations strategy of Pipeless Batch Plants. Computers Chemical Engineering, vol. 20 Suppl., pp. S1161-S1166. Magee, J. F. (1968). Industrial logistics. McGraw Hill. Mur (1999). Estudio de la programación de un robot transportador en un proceso con N etapas, con múltiples tanques por etapa y restricciones temporales. Proyecto Final de Carrera, ETS Enginyeria Industrial Barcelona. Universitat Politècnica Catalunya. Nasarre, R. (1996). Métodos para hallar el tiempo de ciclo mínimo en un proceso de N etapas con un robot transportador, restricciones ventana y órdenes no homogéneas. Proyecto Final de Carrera, ETS Enginyers Industrials Barcelona. Universitat Politècnica Catalunya. Ricci, J.J.; Brousson, P. (1989). Chaîne automatisée de traitement de surface –Progiciel de pilotage et d’ordonnancement pour chaîne de galvanoplastie, Galvano-OrganoTraitements de Surface/593, pp. 217-218. Shapiro, G.W. (1985). Hoist Scheduling for a PCB electroplating facility. Thesis for the Degree of Master Science (Program in Operations Research), Graduate Faculty of North Carolina State University. Thesen, A., Lei, L. (1986). “An expert system for scheduling robots in a Flexible Electroplating System with Dynamically Changing Workloads”, Proc. Second Flexible Manufacturing Systems: Operations Research Models and Applications. Stecke and Suri (eds.). Varnier, C. (1995). Extensions du Hoist Scheduling Problem cyclique - Resolution basée sur un traitement des contraintes disjonctives en Programmation Logique avec Contraintes. Thesis of the Franche-Comté university. 261 ANEXO 1 Ejemplares de la experiencia computacional básica (de 5 a 10 baños) Estructura de los datos: código a i b i 1 a1 b 1 2 a2 b 2 3 a3 b 3 4 a4 b 4 5 a5 b 5 f i i=0,...,m e i,i+1 i=0,...,m Anexo 1 262 SERIE 1 10105 10205 10305 10405 10505 10605 10705 10805 10905 11005 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 25 55 46 107 50 117 50 114 55 123 58 130 77 184 22 53 20 47 66 162 2 34 78 51 115 57 134 80 184 57 138 59 132 57 142 62 141 49 121 41 98 3 79 182 79 194 51 117 60 145 43 104 78 175 67 160 26 59 22 54 74 171 4 48 111 24 52 44 96 80 191 67 151 76 183 45 105 77 189 68 167 35 85 5 25 55 35 87 54 131 28 67 62 143 49 117 27 65 40 93 67 148 23 52 f=12 f=10 f=13 f=12 f=10 f=10 f=12 f=7 f=15 f=15 e= 8 e= 7 e= 9 e= 8 e= 7 e= 7 e= 8 e=5 e=10 e=10 11106 11206 11306 11406 11506 11606 11706 11806 11906 12006 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 60 134 71 158 32 78 50 114 53 124 30 70 30 70 22 54 31 74 63 153 2 63 147 21 49 45 102 46 103 24 56 48 119 59 144 79 184 29 65 49 120 3 80 199 57 130 29 69 40 89 22 48 70 155 44 108 36 83 56 137 62 155 4 71 161 31 68 20 45 53 128 72 163 45 105 45 109 25 60 71 160 59 133 5 62 145 29 68 75 177 26 61 36 87 24 57 24 57 55 137 49 117 31 76 6 72 161 29 64 34 77 54 125 69 163 72 170 32 76 63 147 72 167 26 62 f=12 f=15 f=15 f= 7 f=15 f= 9 f= 9 f=9 f= 9 f= 7 e= 8 e=10 e=10 e= 5 e=10 e= 6 e= 6 e=6 e= 6 e= 5 12107 12207 12307 12407 12507 12607 12707 12807 12907 13007 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 43 95 77 184 71 168 20 49 74 171 53 131 21 49 68 161 26 62 75 173 2 69 153 43 105 72 160 77 177 57 139 33 75 28 66 79 181 65 149 67 156 3 20 47 71 166 61 135 41 91 56 132 24 56 61 136 37 86 61 148 80 183 4 69 157 45 102 68 159 29 71 70 165 54 125 46 102 46 111 56 134 65 152 5 26 60 32 77 37 84 38 86 55 128 31 72 28 69 28 63 41 92 45 99 6 29 64 35 84 78 178 63 141 65 145 70 159 24 56 55 127 52 130 71 169 7 47 105 51 116 25 58 25 61 33 80 30 72 72 169 35 78 31 71 75 184 f=13 f= 7 f= 9 f= 9 f=13 f=13 f=15 f=9 f= 9 f=10 e= 9 e= 5 e= 6 e= 6 e= 9 e= 9 e=10 e=6 e= 6 e= 7 13108 13208 13308 13408 13508 13608 13708 13808 13908 14008 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 76 177 44 104 75 170 67 150 69 151 53 120 45 112 60 142 36 87 73 168 2 49 108 49 117 30 72 40 94 63 142 75 183 64 142 67 147 33 78 66 148 3 56 125 61 145 24 56 75 166 46 109 65 156 47 110 53 125 35 85 75 178 4 65 157 76 188 36 87 28 63 76 187 52 117 76 187 32 80 37 91 41 100 5 60 137 46 103 51 112 46 107 73 168 33 81 30 70 35 86 38 86 61 150 6 31 74 29 71 50 112 52 126 50 120 24 53 29 67 29 68 41 100 22 53 7 50 114 71 159 23 51 36 85 29 69 36 86 24 53 45 108 46 107 66 146 8 22 54 62 136 77 171 63 156 52 116 75 171 77 178 26 64 40 93 45 110 f=10 f=10 f=10 f=12 f=10 f=12 f=10 f=7 f= 7 f=10 e= 7 e= 7 e= 7 e= 8 e= 7 e= 8 e= 7 e=5 e= 5 e= 7 14109 14209 14309 14409 14509 14609 14709 14809 14909 15009 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 50 124 39 97 71 169 42 100 43 104 49 114 61 138 52 128 77 188 37 91 2 33 78 67 152 51 121 66 152 34 83 41 95 55 136 68 170 35 84 24 58 3 67 162 41 92 72 169 36 87 62 146 58 133 53 126 43 101 49 111 57 127 4 21 49 39 88 39 88 21 50 32 77 42 93 54 131 57 133 78 186 78 183 5 30 68 30 66 25 60 29 68 68 170 66 162 21 50 32 72 62 151 29 65 6 23 54 47 108 52 122 32 74 74 178 30 73 23 50 40 90 29 63 55 134 7 26 64 32 76 57 127 68 168 66 158 63 142 29 68 66 159 68 161 76 183 8 33 75 71 174 44 104 60 146 42 93 58 142 34 85 53 129 76 186 22 50 9 64 159 78 194 57 136 36 85 56 130 32 79 75 177 30 73 39 95 22 54 f= 9 f=13 f=10 f=13 f=12 f=13 f=12 f=10 f= 7 f=10 e= 6 e= 9 e= 7 e= 9 e= 8 e= 9 e= 8 e=7 e= 5 e= 7 15110 15210 15310 15410 15510 15610 15710 15810 15910 16010 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 65 161 43 99 35 78 29 65 73 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a i b i a i b i a i b i 1 68 159 39 86 36 85 66 156 21 46 21 50 50 119 24 52 59 138 28 65 2 47 116 59 136 68 167 52 119 47 105 20 46 75 165 56 128 26 61 62 146 3 68 149 52 126 30 68 54 120 45 107 38 84 72 165 68 165 44 101 71 161 4 35 81 39 88 52 130 75 182 77 183 21 49 54 119 59 135 30 67 78 180 5 26 61 77 170 70 157 45 99 37 83 59 130 76 181 37 88 28 65 58 144 6 23 55 68 160 40 91 30 71 21 48 28 63 46 106 36 90 38 92 60 146 f=24 f=15 f=21 f=30 f=24 f=21 f=21 f=18 f=21 f=18 e= 8 e= 5 e= 7 e=10 e= 8 e= 7 e= 7 e=6 e= 7 e= 6 32107 32207 32307 32407 32507 32607 32707 32807 32907 33007 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 60 143 68 149 63 142 69 167 31 74 68 168 48 106 60 133 70 159 79 187 2 27 62 51 123 37 91 45 107 52 115 39 85 37 92 45 105 31 75 73 181 3 38 92 37 91 68 162 46 113 74 172 58 131 72 166 67 163 27 60 26 58 4 74 162 34 83 22 52 56 140 50 114 32 73 54 123 24 60 76 170 61 138 5 20 47 37 91 32 73 70 163 30 68 27 66 64 151 72 170 47 107 51 122 6 23 51 45 112 66 156 61 142 43 103 27 66 58 131 72 168 30 69 29 63 7 31 73 35 79 50 121 60 144 21 51 44 110 69 170 36 83 53 123 73 174 f=24 f=27 f=30 f=15 f=27 f=21 f=15 f=24 f=24 f=15 e= 8 e= 9 e=10 e= 5 e= 9 e= 7 e= 5 e=8 e= 8 e= 5 33108 33208 33308 33408 33508 33608 33708 33808 33908 34008 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 42 103 63 152 38 88 75 166 41 95 62 140 28 65 52 122 20 48 41 98 2 79 178 42 99 47 105 71 169 52 125 67 166 49 112 39 89 46 103 78 185 3 44 98 40 95 29 66 57 125 52 114 74 172 37 84 63 144 47 105 48 110 4 27 67 37 83 42 97 22 55 48 118 70 172 41 100 74 175 36 88 70 157 5 65 148 68 164 57 135 25 57 22 51 54 132 50 117 46 106 21 51 41 91 6 52 125 47 104 33 79 55 133 77 185 53 130 54 121 55 132 41 95 75 177 7 77 190 36 83 30 70 63 150 80 185 76 173 78 178 68 155 72 171 49 120 8 30 69 72 165 35 84 57 128 66 156 71 168 74 168 67 147 38 94 35 84 f=24 f=18 f=18 f=18 f=27 f=24 f=24 f=18 f=24 f=15 e= 8 e= 6 e= 6 e= 6 e= 9 e= 8 e= 8 e=6 e= 8 e= 5 34109 34209 34309 34409 34509 34609 34709 34809 34909 35009 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 39 89 62 136 22 50 28 64 34 84 31 71 24 52 69 168 68 163 56 133 2 46 111 28 68 68 167 45 110 34 77 26 61 34 83 52 129 63 148 74 169 3 40 96 27 66 62 155 53 127 67 160 63 152 38 85 21 47 33 74 65 145 4 46 112 61 141 75 171 73 166 62 144 27 66 70 165 27 66 77 184 62 138 5 74 170 63 139 41 98 70 156 78 185 39 92 69 168 35 81 58 142 72 164 6 53 121 40 97 47 108 78 195 66 147 55 126 42 97 79 194 45 111 23 57 7 28 68 71 158 36 86 28 63 56 124 65 149 75 175 62 153 76 185 77 183 8 73 165 30 72 39 87 79 185 56 125 70 171 64 152 62 152 49 117 54 119 9 72 166 79 175 68 156 21 48 39 96 59 137 64 142 74 171 40 90 77 187 f=18 f=30 f=27 f=18 f=21 f=21 f=15 f=21 f=15 f=24 e= 6 e=10 e= 9 e= 6 e= 7 e= 7 e= 5 e=7 e= 5 e= 8 35110 35210 35310 35410 35510 35610 35710 35810 35910 36010 a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i a i b i 1 75 170 39 91 65 153 25 61 21 51 58 144 75 186 75 167 60 146 51 112 2 69 171 70 162 52 121 62 140 62 143 32 80 25 62 26 58 23 56 49 114 3 42 99 49 116 65 146 23 54 58 142 35 79 52 125 61 139 43 106 72 164 4 26 63 70 164 73 177 45 103 55 132 78 194 43 105 33 80 79 178 74 177 5 59 136 28 61 24 58 43 96 29 66 70 161 78 186 60 138 34 75 24 57 6 68 153 77 183 38 91 35 82 39 87 40 99 20 48 43 104 68 155 48 115 7 59 136 60 132 43 98 21 52 77 179 78 194 59 134 60 147 56 129 80 197 8 21 46 45 100 74 185 78 172 63 140 56 124 31 68 44 98 32 79 60 134 9 23 56 73 177 26 58 50 115 63 147 25 58 72 172 59 130 68 151 73 181 10 65 149 76 180 46 104 43 96 46 110 70 167 59 133 21 46 21 47 58 142 f=18 f=18 f=21 f=18 f=27 f=21 f=21 f=24 f=18 f=18 e= 6 e= 6 e= 7 e= 6 e= 9 e= 7 e= 7 e=8 e= 6 e= 6 271 ANEXO 2 Resultados (por series) de las variables tiempo de ciclo y vector de instantes de tiempo T para los 540 ejemplares de la experiencia computacional básica. Estructura de los datos: código m TC t(1) t(2) t(3) t(4) t(5) t(6) t(7) t(8) t(9) t(10) código ejemplar nº baños tiempo de ciclo óptimo valores del vector T para un tiempo de ciclo óptimo Anexo 2 272 SERIE 1 código m TC t(1) t(2) t(3) t(4) t(5) t(6) t(7) t(8) t(9) t(10) 10105 5 214 37 85 57 117 1540000 0 10205 5 185 89 17 106 140 410000 0 10305 5 240 129 200 89 160 490000 0 10405 5 198 62 34 118 90 1380000 0 10505 5 158 103 17 120 65 410000 0 10605 5 172 69 141 86 31 1030000 0 10705 5 195 131 20 151 40 790000 0 10805 5 123 60 12 72 33 840000 0 10905 5 252 35 115 152 70 1770000 0 11005 5 348 148 204 293 45 830000 0 11106 6 220 120 20 140 40 160 60000 0 11206 6 413 86 122 194 240 284 328000 0 11306 6 410 47 107 151 186 276 325000 0 11406 6 137 98 14 110 33 66 45000 0 11506 6 451 68 107 144 231 282 366000 0 11606 6 171 39 144 123 60 96 75000 0 11706 6 189 63 15 117 30 90 138000 0 11806 6 162 45 15 60 123 102 81000 0 11906 6 194 75 113 21 128 36 143000 0 12006 6 144 127 56 17 100 29 78000 0 12107 7 479 56 138 171 253 292 334 394 0 0 0 12207 7 166 149 78 17 122 29 100 41 0 0 0 12307 7 208 160 33 175 48 94 63 109 0 0 0 12407 7 200 29 173 44 92 140 65 113 0 0 0 12507 7 371 89 178 322 40 129 218 264 0 0 0 12607 7 471 66 112 149 216 260 343 386 0 0 0 12707 7 480 36 79 155 216 259 298 385 0 0 0 12807 7 216 87 189 21 108 156 42 129 0 0 0 12907 7 232 48 122 21 137 187 81 158 0 0 0 13007 7 220 103 17 120 34 137 51 154 0 0 0 13108 8 330 171 240 24 132 202 271 55 87 0 0 13208 8 378 69 184 267 31 100 139 222 305 0 0 13308 8 407 137 177 211 294 355 45 78 249 0 0 13408 8 569 144 196 283 323 381 445 493 68 0 0 13508 8 323 147 292 25 171 254 49 88 202 0 0 13608 8 416 80 260 372 36 116 152 200 312 0 0 13708 8 368 69 143 257 31 100 174 208 295 0 0 13808 8 225 94 12 72 111 188 34 128 161 0 0 13908 8 238 81 162 211 22 103 184 39 120 0 0 14008 8 374 83 191 336 31 114 146 229 284 0 0 14109 9 479 120 162 238 268 307 339 374 416 57 0 14209 9 664 52 132 186 238 281 341 386 470 561 0 14309 9 475 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ite(3) maxl(3) tc(3) TC* 10105 5 15 7 214 18 11 214 23 8 214 214 10205 5 17 7 185 17 9 185 23 8 185 185 10305 5 16 6 240 15 11 240 21 8 240 240 10405 5 14 8 198 13 11 198 24 8 198 198 10505 5 12 8 158 10 10 158 23 8 158 158 10605 5 10 8 172 8 11 172 12 8 172 172 10705 5 13 7 195 16 10 195 24 8 195 195 10805 5 13 7 130 12 8 130 21 8 130 123 10905 5 19 7 252 17 11 252 20 8 252 252 11005 5 20 7 348 20 9 348 20 8 348 348 11106 6 36 12 220 28 37 220 51 12 220 220 11206 6 24 6 413 24 8 413 24 10 413 413 11306 6 34 9 410 34 18 410 34 12 410 410 11406 6 31 9 137 29 16 137 52 12 137 137 11506 6 27 6 451 27 11 451 27 9 451 451 11606 6 51 9 171 32 30 171 54 12 171 171 11706 6 47 9 189 49 27 189 64 12 189 189 11806 6 25 9 162 20 15 162 41 12 162 162 11906 6 52 10 194 51 31 194 64 12 196 194 12006 6 22 11 144 19 20 144 32 12 172 144 12107 7 53 8 479 53 17 479 53 15 479 479 12207 7 53 12 166 51 37 166 103 17 166 166 12307 7 99 13 208 88 45 208 165 17 208 208 12407 7 58 15 200 52 38 200 95 17 200 200 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