Anàlisi matemàtica 1. Problemes

p R B L E M E s EST AMl LOMP I..A D'E} UNIVERSITAT POLITÉCNICA DE CATALUNYA UNIVERSIT AT POLITÉ.CNICA DE CAT ALUNYA B1bhoteca 11\\\\\ I\\\I \1\11 \\11\ \\1\\ 1111\ \11\\ 1111\ 1\1\111\11 \1\11\\1 1400363914 Diplomatura d'Estadística Departament de Matematica Aplicada II Facultat de Materna.tiques i Estadística. UPC Facu!tat de Materna.tiques Estadísüca BiB 01 CA ÁNALISI MATEMÁTICA 1 PROBLEMES Curs 2001-2002. Primer quadrimestre Albert Avinyó Mª Ángela Grau Femado Martínez Barcelona, setembre 2001 Aquest ilibte és un obseqal a la fME de Fílt Nom Equació Domini Imatge Característiques Potencial xn n EN lR lR (n senar) Decreixent ( n sen ar) entera lR+ (n parell) Contínua V n Polinomica LªkXk lR Contínua k=O Racional P(x) lR\{x I Q(x) = O} Contínua en el domini Q(x) Sinus sinx lR [-1, 1] Contínua, senar, fitada i 27r-periodica Cosinus cosx lR [-1, 1] Contínua, parell, fitada i 27r-periodica sinx JR\{(2k+1)%} lR Contínua, senar i 7r-periodica Tangent tanx = -- cosx COS X JR\ { k11"} lR Contínua, senar i 7r-periodica Cotangent cotx = -.- sm x 1lR\{(2k + 1)%} JR\(-1, 1) Contínua, parell i 27r-periodica Secant secx = -- cosx 1lR\ { k11"} JR\(-1, 1) Contínua, senar i 27r-periodica Cosecant cscx = -.- smx Arcsinus arcsinx [-1, 1] 71" 71" [-2'2] Contínua, senar i fitada Arccosinus arccos x[-1, 1] [O, 7r] Contínua i fitada lR 71" 71" Arctangent arctanx (-2'2) Contínua, senar i fitada Exponencial ax lR JR+ Creix si a > l, decreix si O < a < l a> O, a-::/- lContínua Logaritme loga xJR+ lR Creix si a> l, decreix si O< a< l a> O, a-::/- lContínua Funcions reals de variable real TAULA DE DERIVADES Nom Equació Constant f(x) = k Identitat f(x) = X Suma de funcions j(x) + g(x) Producte per constants cf(x) Producte de funcions j(x)g(x) Qüocient de funcions f(x) g(x) Composició de funcions f(g(x)) Potencial entera f (x) = xn f (x) = u(xr. Arrel n-esima f(x)= � Exponencial j(x) = ex f(x) = eu(x) f(x) = au(x) Logaritme f (x) = ln u(x) f(x) = logª u(x) Sinus j(x) = sin u(x) Cosinus j(x) = cosu(x) Tangent f(x) = tanu(x) Arcsinus f(x) = arcsin u(x) Arccosinus j(x) = arccosu(x) Arctangent j(x) = arctan u(x) k E IR. cE JR. g(x) =1o n EN n E Z n E Z\{O, l} a>O ·a>O Funció derivada f'(x) = O f'(x) = 1 f'(x) + g'(x) cf'(x) f'(x)g(x) + J(x)g1(x) f'(x)g(x) -f(x)g'(x) g2(x) f'(g(x))g'(x) f'(x) = nxn-l f'(x) = n(u(x)t-1 u'(x) f'(x) = u'(x) n z/u(xr-l J'(x) = ex f'(x) = u'(x)eu(x) f'(x) = u'(x)au(x) lna f'(x) = u'(x) u(x) 1 u'(x) f ( x) = -( -) loga e ux f'(x) = u'(x) cosu(x) f'(x) = -u'(x) sin u(x) u'(x) f'(x) - -cos2 u(x)) f'(x) =u'(x) JI -u2(x) f'(x) =-u'(x) Jl -u2(x) f'(x) = u'(x) l+u2(x) ..., Nombres reals complexos l. Feu una demostració directa, una pel contrarrecíproc i una per reducció a l'absurd de l'afirmació següent: n2 E N senar ==} n senar. 2. Trobeu: a)La representació decimal de 19/8 i 23/29. b)Els nombres racionals que tenen per representació decimal 2.3292 i 0.917. 3. Si a,b són racionals i a, /3 són irracionals, digueu com són a + b, a + /3, ab, a/3, aa i a + a. Expliqueu el motiu d'aquest fet i doneu exemples de nombres irracionals que sumats i multiplicats siguin racionals. 4. Un mobil recorre un quadrat de vertex A,B,C i D amb velocitat constant i un altre mobil es mou sobre la diagonal AC amb la mateixa velocitat, fent moviment d'anada i tornada. Si en un moment donat els dos mobils coincideixen en el punt A, demostreu que no es tornen a trobar. 5. a) Si m/n i p/q són racionals diferents, aleshores proveu que m + J2 (!!.. -m) és irracional. n 2 q n b)Fent ús de l'apartat anterior, proveu que entre dos racionals diferents sempre hi ha un irracional. 6. Trobeu un nombre real a tal que a2 sigui irracional i a4 sigui racional. 7. Trobeu el suprem i l'ínfim, si existeixen, dels conjunts següents: a)E1 = { 1, 2, 3}, b) E2 = { x E lR : 1 x -11 < 2}, c) E3 = JR+, d) E4 = {x E (O, 1): el desenvolupament decimal de x no té nous} . 8. Trobeu, si existeixen, el suprem, l'ínfim, el maxim i el mínim dels conjunts següents: a A = {2, 2.2, 2.22, 2.222, ... } . b B={xElR: x=(-lr+},nEN}. e e = { X E lR : x2 + 5x -6 ::; o}. 3 9. Donats dos subconjunts A i B de lR definim: Demostreu: A+ B { x + y 1 :7; E A, y E B} a) sup(AUB) max{supA,supB} b) sup(A r B) s min{supA,supB} e) sup(A+B) =supA+supB d) sup(AB) #-supA · supB AB = { xy i x E A, y B} 10. Escriviu les expressions següents prescindint dels valors absoluts: b) d) :r +lxll11. Trobeu nombres x tals que: 12. b) e) a) lx -31 2· ) e) lx + ll < 4: e) j2x + 71 2:. 3; b) lx - ll ++ 31 = 4; d) lx + 11 + l:r: + 21 < 2; f)lx -11 + Jx + ll O·' !:z: -lllx + 21 = 3; h)l;r + lllx 21 = -(:r; + 1) -2). Demostreu que: Jlx -y! -IY-zll S zl , y, z E IR; {a, b} = a+ b + la blva, b E 2 mín {a, b} !a-blva, b E R 2 13. Resoleu les inequacions següents: 12x -2 ¡ -- <1· +4 e)l3x -51 l2x + 31 > O; 4 b) 1 < 1 -1 el) 5x + 6I < 2; X-¡- 2 14. Trobeu tots els nombres x E� que compleixen llx -11 _:_ lx + 111:::; l. 15. Proveu que si lxl < 1, llavors es té lx4 + !x3 + !x2 + !x + 2_ I < 2. -2 4 8 16 16. Resoleu les desigualtats següents: 1 1 a)4 < X+ 3; x-1 x+l b)x+l :Sx-1· 17. Expresseu els nombres complexos següents de la forma a+ bi: 2 + 3i b)3 -4i' d)½(1 + i). 1 + i-8 18. Siguin z, z1 i z2 tres nombres complexos. Comproveu que se satisfan les propietats següents: d)z+z=2a (a=Re(z)); z-z e)-.-= 2b (b = Im(z)). 7, 19. Calculeu el conjugat d'un nombre complex expressat en forma polar. 20. Efectueu les operacions indicades: 2 -3i a)(2 + 3i)(l + i) 3+i 4(2 -i)' 1 f) (-1) s. 21. Donat un nombre complex w diferent de zero, determinen per a quins complexos z diferents · l · z+w, b 1 D. . b' . , . . . cte w e quoc1ent -- es un nom re rea . etermmeu tam e per a qums es 1magman pur. z-w 5 3b -2ai 22. Determinen a i b de forma que --- sigui real i de modul l. 4 - 3i 23. Descriviu geometricament el conjunt dels nombres complexos z que satisfan cadascuna de les condicions següents: a) lzl = 2; b) lzl < ½; c) izl � l; d)z+z=l; e)z-z=i; f)z+z=lzl224. Esbrineu l'error del raonament següent: 1 =vi= ✓(-1)(-1) = nn = i2 = -1. 25. Si z1 i z2 són nombres complexos, proveu: b) si z1 és no nul, llavors iz1 + z2I = lz1I + lz2I � 22 és real i no negatiu. Z¡ 26. Demostreu la formula de De Moivre, que diu que si n és un nombre enter, llavors (coso:+isino:)71" = cos(no:) +isin(na). 27. Resoleu l'equació l1(cosko:+isinko:) = l. k=l 28. Calculen les arrels setenes de la unitat. 29. a) Una de les arrels cúbiques d'un nombre complex és 3i. Calculeu aquest nombre i les seves altres arrels cúbiques. b) Sabent que 3i és una arrel n-esima d'un nombre complex, calculen aquest nombre i les seves altres arrels n-esimes. 30. Demostreu que la suma de les arrels cúbiques de qualsevol nombre complex és zero. 31. Trobeu tates les arrels de l'equació z6 -2z3 + 2 = O. 32. Resoleu a CC les equacions següents: 6 - - - - , a) z2 + iz + 1 = O; b) z = z-1; e) z3 -z2 -z - 2 = O; d) z3 + (1 + i)z2 + (i -2)z -2i = O. 33. Determineu el complexos z tals que el seu quadrat és igual al seu conjugat. 34. Proveu la igualtat (1 v3 ·)n (1 y3 ·)n n1r 2 + 2i + 2 - 2i = 2 cos 3' \;/ n E N. 35. Determineu la relació entre a i b per tal que el complex z = a+ bi satisfaci la desigualtat 36. Demostreu que la suma dels quadrats de les tres arrels cúbiques complexes de qualsevol nombre real és zero. 37. Calculeu 1 + i + i2 + ... + i43 . 38. Siguin 1, a, a2 les arrels cúbiques de la unitat, proveu que (1 + a2)4 = a. 39. Trobeu els nombres complexos que compleixen z10 -2z5 + 1 = O. 40. Resoleu a C l'equació z5 - ( 4 - 4i)z = O. 41. Donats dos nombres qualssevol x, y E IR, proveu que: lx + YI = lxl + IYI � x Y :?: O. 42. Trobeu els nombres complexos z que satisfan simultaneament les condicions següents: iz -21 = 2, lz -il = 1, lz + il = i. 43. Descriu el conjunt de punts z = a+bi del pla complex que satisfan la igualtat lz+21 = 2lz-ll. 7 47. Calculen g(J(x)) i decidiu en quins punts és contínua g o f, si 2x f(x) =x + 1, x E [l, 2]; 2y g(y) = y2 + l' y E [l, 4/3]. 48. Quines de les funcions següents són fitades? Quins són els valors maxim i mínim que prenen? 1 J(x) = 1 +x2, x E [0,5]; 3 g(x) = --,X E [-3, 2]; x+2 h(x) = x + [x], x E [-2, 2]. 49. Considereu les funcions següents: Si X> 1, si x S l. a)Proveu que f i g són contínues a tot R b)Esta g o f acotada a l'interval [-1, 2]? sin x/x, si X> 0, si X S Ü. c)Proveu que existeixen dos punts x, y E (1, e2) tals que J(x) = 1r /2 i J(y) = 31r /2. d)Fent ús de l'apartat anterior, proveu que existeix z E (1, e2) tal que (g o J)(z) = O. 50. Sigui f : lR -, lR una funció periodica de període T i contínua a l'interval tancat [O, T]. Aleshores: a) Proveu que existeix un xo E lR tal que f (x0) = f (xo + 2T). b) Proveu que f esta acotada a tot R 51. Estudieu a IR la continui:tat de la funció: J(t) = tan (t�t:)�i;I (t + 1) _ 52. Estudieu la contimútat de la funció {x+3 ;,; + 2) f(x) = 1 + 2x - x2, -3+e3-x, si X< -2; si -2 S X< 3; SÍ 3 S X. -53. Sigui f(x) = (2sin2 x)1/cos2x, Yx E [0,1r/2] \ {1r/4}. Es pot estendre f per continu·itat al :y_:::: .r = ;./47 15 Funcions reals de variable real. Derivabilitat l. Calculeu, utilitzant la definícíó, la derivada de la funcíó J(x) = sinx en el punt x = a. 2. Sigui f : lR. --t R Demostreu que sí lf(x)[ :S [x[°' per a tot x E lR. amb a > 1, llavors f és derivable en zero, mentre que si J satísfa la condició IJ(x)J 2 lxl/3 amb O< {3 < 1 í J(O) = O, llavors f no és derivable en zero. 3. Sigui f la funcíó definida per J(x) = { x2 ax+ b, si X '.S 2; SÍ X> 2. Determíneu els valors de les constants a í b per tal que f sigui derivable en el punt x = 2. 4. Demostreu que si J és derivable en el punt x=a llavors també ho és la funcíó IJI, sempre que J(a) =/-O. Doneu un contraexemple pel cas que J(a) = O. 5. Demostreu que si f és una funció contínua en x = a, aleshores la funció F(x) = (x -a)f(x) és derivable en x = a. Quant val F'(a)? 6. Sigui 9 una funcíó contínua en l'origen. Proveu que la funció f definida per J(x) = x9(x) és derivable en l'orígen i trobeu J'(O) en termes de 9. 7. Trobeu J' en termes de 91 en els casos següents: a) J(x) = 9(x + g(a)); e) J(x) = 9(x + 9(x)); e) J(x) = g(a) · (x -a). b) J(x) = 9(x · 9(a)); d) J(x)_= g(x) · (x -a); 8. Siguin Ji, h, 91 í 92 quatre funcions derivables en l'ínterval ( a, b). Mitjarn;ant el determínant següent, definim en (a, b) una nova funció F: fi(x) h(x) F(x) = 91(x) 92(x) Proveu que F'(x) existeix per a tot x E (a, b) i que f{ (x) J�(x) fi(x) h(x) F'(x) =+ 91 (x) 92(x) 9� (x) 9;(x) 17 9. Calculeu i simplifiquen les derivades de a) y ln -1 +l' e) y= arctan X a 2 tan-+ tan ) 122 g,y=-.-n x a; sma tan --tan - 2 2 funcions següents: b) y sin(ln y arcsin 1 h) y = In J x2 + x + 1 10. Sigui f(x) =1) -2)... -1000). 'Il'obeu f1 (O). 1 2x + 1 arctan ✓3. 11. Trobeu els valors de a, b, e per als quals les grafiques de J(x) = + a,x + b i g(x) =-e es tallen al punt (1, 2) i tenen la mateixa tangent en aquest punt. 12. Demostreu que per a tot m E en [O, l]. la funció polinomica f m ( x) 3 X 3x + m no té dues arrels 13. Sigui f : [O, l] [ü, 1] una funció contínua i derivable tal que J1(x) =/=- 1 per a tot ;T E [O, l]. Demostreu que existeix un únic xo E [O, l] tal que f(xo) = xo. 14. Si f és una funció que posseeix tercera derivada finita en b] i si J(a) = f(b) = f (a)= f(b) O, demostreu que la tercera derivada també s'anul-la en un punt de l'interval (a, b). 15. Demostreu que si f i g són contínues en [a, b] i derivables en (a, b) i l(x) =/=-Oper a tot x de (a, b), llavors existeix algun x de (a, b) amb f'(x) g'(x) 16. Suposeu que f derivable en b]. Demostreu que si el mínim de f sobre [a, b] esta en a llavors f (a) 2 O i que si esta en b llavors f1 ( b) S: O. 17. Sigui f derivable tal que lim xf'(x) = O. Proveu que lim (f(3x + 2) -f(x)) O. X�Xl x--,o:, 18 • 18. Demostreu que tota funció f definida en un cert interval [a, b] i derivable en (a, b) que compleixi per a qualssevol X1, x2 i per a una certa constant m > 1 és una funció constant. 19. Sigui f : [a, b] -; lR una funció contínua a l'interval [a, b] i derivable a l'obert (a, b). Demostreu que existeix t E ( a, b) tal que 20. Demostreu les desigualtats següents: X a) arctan x > 1 + x2, si x > O; b) ln(l + x2) :S x2, per a tot x; a X X e) 1 - -< ln -< - - 1, si O < a < x. x a a 21. Demostreu que si a i f3 són dos nombres diferents de l'interval [¡, !] aleshores v'3 sin a - sin f3 1 -<-----< . 3 -cos f3 - cos a - 22. Calculeu, utilitzant la regla de l'Hopital, els límits de les funcions següents: ex a) lim -5; X---->00 X e) lim Xtan ¼; X---->00 lnx b) lim ;;:;;-; X---->00 yX 1 d) lim xi. X---->00 23. Raoneu perque els límits següents no es poden calcular per la regla de l'Hopital i calculeu-los per algun altre metode: x2 sin l a) lim x · x---->O sin x ' b) lim x + s�n x . X---->00 X - 8111 X 24. Estudieu si la funció següent és derivable a l'origen f(x) = { o, x2 sin 1/x, 19 si X -:f. Ü, si X= Ü. 25. Resoleu pel metode de Newton les equacions següents obtenint el resultat amb error més peri;: que 10-6: a) X -COS X = 0; c) x2 -1 = sin x; ) . 1 e 5smx = x + -; X g) ex= 5x + 10, i) 2x2 -lOx + 10 + cos :'.'.. = O· 9 26. Sigui k E lR i f(x) = { a) Estudien la derivabilitat de f. b) Estudieu la contimútat de f'. 27. Es considera la funció O, x2 sin l + kx X l o, f(x) = { ax3 + bx2 + ex + d, 1, b) lOx = 6x + 30; 1 h)lnx=l+-; X j) x4 - X - 3 = 0. Sl X -=1-O; si x = O. Sl X< O; Sl O:::; X::::; l; si x > l. Determinen a, b, e i d per tal que f sigui contínua i derivable a R És f dues vegades derivable a JR? 28. Sigui f una funció contínua al punt O tal que lim f(x)/x2 = 2, i sigui g una funció fitada. x->O Demostreu que fg és derivable al punt O i calculen (f g)'(0). 29. Siguin f,g i h tres funcions derivables a tot JR, calculen la funció derivada de f (g (h2(x + 1))) . ( g(x)+l) 1f (g (X)) 2 + 1 . 30. Proveu que l'equació ex = 1 + x té exactament una solució real. 31. Demostreu que existeix un únic x E (O, 1r /2) tal que x = 1/tan x. 32. Estudieu el nombre d'arrels reals de la funció f(x) = 2x3 -3bx2 + 8 segons els valors del parametre b. Pera b = 3, calculen el valor aproximat de l'arrel més petita amb dues xifres decimals exactes. 20 33. Prowu la igl:altat següent. srn x 1 arctan ----= -x. 1 + COSX 2 34. Fent ús del teorema del valor mitja, calculeu 35. a) Siguin f i g dues funcions derivables en lR tals que existeix xo E lR amb J(xo) = g(xo) J'(x) 2:: g'(x) per a tot x > xa. Demostreu que si x > xo aleshores f(x) 2:: g(x). b) Sigui f: lR-+ lR tals que existeixen J' i J" estrictament positives. Demostreu que lim J(x) = X-HXJ +oo. Indicació: Apliqueu l'apartat aprenent com a g la recta tangent a f en el punt xa. 36. Considereu la funció fx+3 1,' + 2) f(x) == ) 1 + 2x - x2, l-3 + e3-x, a) Estudieu la seva derivabilitat. b) Estudieu les seves asímptotes. Si X< -2; si -2:::; X< 3; si 3 :::; X. e) Proveu que existeix un única E lR amb a < O tal que f(a) = 3/4. 37. Proveu que per a tot nombre natural n amb n 2:: 100 es compleix la desigualtat 1 ✓n+ 1-yn < -. 20 38. Proveu que existeix un únic x E (O, 7T /2) tal que x = cot x. 21 El polinomi de Taylor aplicacions l. Trobeu l'equació de la para.bola que aproxima millar en el punt (O, O) a la carba f(x) ex ln(x + 1). 2. Quants termes s'han de prendre en el desenvolupament de Taylor de la funció f(x) = ln(l -x) per obtenir el valor de ln0.75 amb error més petit que 10-3? x2 x3 3. Per a quins valors de x podem calcular 1 + x + - + .:_ en lloc de ex cometent un error menor 2! 3! que 10-4? 4. Trobeu el desenvolupament de Taylor d'ordre 3 de la funció f(x) = esinx en x = O. 5. Fent ús de la fórmula de Taylor, desenvolupeu el polinomi x3 -2x2 + 5x - 7 en potencies de (x -1). Feu el mateix per un altre metode. 6. Trobeu el polinomi de Taylor de grau dos en O de la funció f(x) = (c3 + x) ½, per a e f. O, i fiteu l'error comes en l'aproximació en el cas e> O i x > O. 7. Fent ús dels polinomis de Taylor corresponents, calculen sin 1, sin½ petit que 10-5_e2 amb un error més 8. Calculen els límits següents: ) l. tan(ax) a un---; :r--+D bx c) lim (2x2 -3x + 1) tan(1rx); x--+½ 3 . (coshx - 1) ln(l + x) -x2 e) hm -----------=- x-o x(sinx -arcsinx) b) l. (1 -cosx) arctanx lill 2 ; :r--+0 x sin x ln cos x d) lim 2 ; x---+O X f) l. ln(l + x) -x un x . X--+Ü 1 - COS 2 9. :3ig,ü f una funció contínua sobre l'interval [O, 1] tal que f(O) = O i J'(x) és finita i creixent en >:::en·al .r E (O, 1). Proveu que si f és creixent en (O, 1) llavors també ho és la funció g definida f(x) ;ier g,x) = --. 23 10. Determineu els intervals de creixement i decreixement de cada una de les funcions següents i trobeu els seus extrems ( en el cas que existeixin) en els dominis de definició: a) f(x) = log(x2 -9), b)J(x) =x3 +ax+ b, e) f(x) = xi (x -1)4, lxj > 3· 1 , X E IR; OSxSl. 11. Trobeu el maxim i el mínim de les funcions següents en els intervals corresponents: a) f (x) = 5x2 -4x + 2 en [O, 3]; 1 b) f(x) = -- - 7 en [-5, 5]; X 5x2 e) f(x) = 4x _ 1 en [-½, 2]; x2 -3 2 d) J(x) =x + 1 en [-10, 5]. 12. Sigui f : IR --+ IR una funció dues vegades derivable en IR que satisfü: f(l) = 3, f(O) = 2 i lf"(x)I < 2 pera tot x E (O, 1). Demostreu que f és estrictament creixent en un entorn de l'origen. Indicació: Utilitzeu la fórmula de Taylor de gran 1 de la funció f al voltant de l'origen. 13. Estudien i representen graficament les funcions següents: (x+2)3 a)y= (x -1)2 -2-; 11 1 e)y = - - -- + --; x x-1 x-2 x(x -1) e) y--'----'---· · -x2 + 1 ' g)Y= e4x _e2x ; sin2x k) y= sin x + -- ; 2 24 X d)y= -=-2x1 -1 X f) y------· -(x-l)(x-3)' j) y= ln(x3 -3x + 2); ) sin(x + 1) -1 1 y=-----. X 14. Sigui f(x) = ax2 + x2 sin i s1 x #-O a) És f derivable en 07 b) Demostreu que f té un mínim en x= O. J(O) =O, on a > l. c) Demostreu que f no és creixent en cap interval del tipus [O, b]. 15. Trobeu un punt de la corba y = 4-x2 tal que la tangent a la corba per aquest punt determini amb els eixos un triangle d'area mínima al primer quadrant. 16. Calculeu l'area maxima d'un triangle isosceles de perímetre 12. 17. Descomponen el nombre 100 en dos sumands de manera que la suma dels seus cubs sigui mínima. 18. En un triangle isosceles de base 6 i alc;ada 10 s'inscriu un altre triangle isosceles de manera que les bases d'ambdós síguin paraHeles i el.vertex del segon estigui en el punt mig de la base del primer. Calculen les dimensions del que tindra area maxima. 19. Donat un quadrat de costat l, separeu quatre petits quadrats en els seus vertexs, per tal de fabricar una capsa de base quadrada. Determineu quina és la capsa de volum maxim que es pot construir així. 20. Calculeu les dimensions del cilindre de volum més gran i area total igual a 300. 21. Una finestra té forma de rectangle amb un semicercle a sobre, el diametre del qual és igual a la base del rectangle. Si el perímetre total de la finestra és 2, trobeu les dimensions tals que la seva area sigui maxima. 22. D'entre tots els triangles rectangles d'area constant demostreu que el que té mínima la hipo tenusa és l 'isoscels. 23. Trobeu el punt de la corba y= x3 més proximal punt (O, 1). 24. Sigui a, b E IR. Trobeu el nombre exacte de solucions de l'equació lnx= ax -b. Indicació: En el cas a > O, estudien el maxim de la funció f ( x) = In x -ax + b. 25. Demostreu que a)lim (tanx)l/xz = el/3_ x-+O X lim x cos x -sin x = _ ! . b)x-+O x sin 2 x 3 25 26. Calculeu els límits següents: él!X -COSQ:X lim f3 , ({3 :/= O), x-o e x -cos {3x 27. Donada la funció J(x) = ,Jx+1": . cos x ln ( x -a) lnn------. x__,a ln (ex -eª) a) Calculeu el polinomi de Taylor de grau 4 de la funció f al voltant de l'origen. b) Fent ús del polinomi de Taylor de grau dos, calculeu un valor aproximat de /1.02 i doneu una estimació de l'error comes. 28. Sense fer ús de la calculadora, digueu quin d'aquests dos nombres és més gran: 10001000 o 1001999. Indicació: Utilitzeu la funció J(x) = (1000 + x)1000-x. 29. Calculeu els extrems relatius de les funcions següents: a) J(x) = ln ✓2x3 + 3x2; b) g(.x) = 1/1/x2-8x+17. 30. Calculeu els extrems absoluts de la funció f ( x) = 1 sin xi + x a l'interval [O, 2?T]. 31. Dibuixeu la grafica de la funció f(x)= 1/x2(1 -x). 32. Trobeu el nombre d'arrels reals del polinomi P(x) = x4 -4x3 -2x2 + 12x + b, segons els valors del parametre b. Indicació: Estudien la grafica de la funció. 33. Sigui g( x) una funció dues vegades derivable i estrictament positiva a lR. Definim la funció J(x) = (1 + x -x3)g(x). Es demarra: a) Estudiar el nombre d'arrels de J(x). b) Trabar els nombres reals tals que J' ( x))= g1 (( x)) . f(x 9 X c) Demostrar que dins l'interval ( -1, 1) existeixen com a mínim dos punts amb J' ( x) = g' ( x), i com a mínim un amb f"(x) = g"(x) . lln(l+sinx)I 34. Sigui g(x) = -----per a tot x :/= O. a) Pot definir-se g al punt x = O de manera que sigui contínua? b) Representeu graficament la funció J(x) = ln(l + sinx) i, a partir d'ella, representen h(x) = 1 ln(l + sinx)I. e) Calculen el polinomi de Taylor de grau 5 de la funció f en un entorn del punt xo = O. 26 .. .. .. .. Examen final l. Determineu el conjunt de tots els nombres reals que satisfan És un conjunt fitat? 21.1.2000 (x +3)(x -4) < O. x3 -2x2 -3x - 2. Calculeu tots els nombres complexes que satisfan z6 -9z3 + 8 = O. 3. Enuncien el Teorema de Bolzano. Sigui f: [ ¡, 3:] -, ]R definida per f(x) = tanx. Proveu que f (¡) • f ( 3:) < O. Existeix e E ( ¡, 3:) tal que .f(c) = O? Per que no contradiu el teorema de Bolzano? 4. Calculen f(l, 005) pera J(x) = x80 --x40 + x20, fent ús del polinomi de Taylor de grau 3 en el punt xo = l. 5. Sigui f : (1, +oo) -----, lR una funció contínua i derivable. Demostreu, fent ús del teorema del valor mig, la igualtat següent: lim (f(x + 1) -f(x)) = lim J'(x). x--++oo x->+oo Calculen lim (1/(x+ 1)3 -2 -{/x3 -2). x-,+oo 6. El cost de producció de x unitats d'un producte s'obte per C = ¼x4 + 35x + 25 pts i el preu de venda per unitat és de P = 2951 -¾x3 pts. Quantes unitats s'han de vendre diariament per tal que el benefici sigui maxim? 33 Examen de recuperació 5.7.2000 l. Resoleu a C l'equació z5 -v12(8 8i)z = O. 2. Calculen lim x -sinx .L . X , SlnX En aquest cas no podeu fer ús de la regla d'Hopital, expliquen perque. 3. Sigui f: [-1, 5] ---> lR una funció contínua. Si J(-1) < O i a) f(5) > O, demostreu que la funció g(x) f(:r) + 5x té almenys un zero a (-1, 5). b) f(5) = 7, demostreu que la funció g(x) =f(x) - 5 té almenys un zero a (-1, 5). e) f(5) > O, poden afirmar amb seguretat que la funció g(x) = f(x) - 5 s'anul-la 5)? 4. Determinen i classifiqueu el punts crítics de la funció f(x) = e 8x-a(x2+I6) segons els valors del parametre a (a E]{). Té asímptotes? Calculen-les en funció de a. 5. Valoren !'error en la fórmula 1 1 1 e::::::2+--L-+- 2! ' 3! 4! mitjall(;ant la fórmula de Taylor de ex en el punt xo = O. 34 Examen fina 1 l. Sigui f: IR-, IR definida per J(x) = 1 X i=-0, 0, X= 0, a) Estudieu la continuitat de la funció f(x) en x = O. b) Doneu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f ( x). 8.1.2001 c) Demostreu que l'equació f(x) + 1/2 = O té dues solucions a l'interval [-2, 2]. 2. D'un tronc rodó, de diametre d, s'ha de tallar una biga amb una secció transversal rectangular de base b i al{ cada h. Quines dimensions tindra la biga per tal que la seva resistencia sigui maxima, si la resistencia és proporcional a bh2 ? 3. Determineu el grau del polinomi de Taylor, centrat en xo = l, que s'ha de fer servir per aproximar ln(l, 2) amb un error més petit que O, 001. Escriviu el polinomi de Taylor per al gran trobat i doneu el valor aproximat de ln(l, 2). 4. Determineu el conjunt de tots els nombres reals (x E IR) que satisfan lx + 21 -lxl 2: 1. És un conjunt acotat? Justifiqueu la vostra resposta. 5. Demostreu que per a dos nombres complexes qualssevol es compleix la igualtat següent: 35 Examen de recuperació 2.7.2001 l. Calculen ✓ 1.. Expresseu el resultat en forma polar i en forma binomica. 3-4i 2. Determinen el conjunt de tots nombres reals (x E JR) que satisfan j1 -1xl < 1. És un conjunt acotat? 3. Sigui f , IR -IR definida pee f (x) -{ 1x, (1 -x)(2 -x), X -2, X< 1, 1 :S X :S 2, X> 2, a) Es contínua la funció J(x) en x= l? I en x= 2? Per que? b) Estudien la derivabilitat de la funció f(x) i calculen la funció derivada (J'(x)). e) Feu un esquema de la seva grafica. x3 4. Obteniu les assímptotes de la corba y= -- (1 + x)2 5. Determineu i classifiqueu els extrems relatius de y= x4(6a2 -x2). . 1 6. Empreu el polinomi de Taylor de la funció (1 + 2x4)(-l/4) per tal d'avaluar 4� amb un y 1.08 error menor que 210(-4)_ 36