Análisis dinámico de estructuras utilizando una formulación de bandas finitas de Reissner-Mindlin

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 4, 3, 257-274(1988) ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS UTILIZANDO UNA FORMULACION DE BANDAS FINITAS DE REISSNER-MINDLIN BENJAMIN SUAREZ JUAN MIQUEL CANET Y EUGENIO ORATE Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad Técnica de Cataluña C/Jorge Girona Salgado, 31 08034 Barcelona, España RESUMEN Eii este artículo se preseiita una foriiiulacióii de Baiida Finita basada eii la teoría de Reissner-Mindlin para el análisis diiiáiiiico de estructuras prisiiiáticas tipo láiiiina. A lo largo del iiiisiiio se dan las expresiones de las iiiatrices y vectores inás relevantes, asociadas al eleiiientobanda de dos iiodos que apareceii en la foriiiulacióii, para varios tipos de estructuras. Se presentan alguiios ejemplos que iiiuestraii el bueii coiiiportaiiiieiito del eleiiieiito-banda liiieal de dos iiodos para el aiiálisis de vibracioiies libres y forzadas en placas, puentes y láiiiinas de revolución. SUMNIARY In tliis paper a fiiiite strip foriiiulatioii based oii Reisciier-Miiidlin plate tlieory for dyiiaiiiic analysis of prisiiiatic sliell type structures is preseiited. Detailed expressions of tlie relevaiit strip iiiatrices for a variety of structures usiiig tlie siiiiple two node linear strip eleiiieiit are given. Exaiiiples of tlie good perforiiiaiice of tlie linear strip eleiiient for free and forced vibration aiialysis of plates, bridges aiid axisyiiiiiietric sliells are preseiited. INTRODUCCION El análisis numérico de estructuras prismáticas, tipo placas, puentes cajón y láminas de revolución, que presentan unas características físico-geométricas constantes a lo largo de una determinada dirección, puede ser extremadamente simplificado usando el Método de la Banda Finita. Esta aproximación combina el método de los Elementos Finitos con desarrollos en serie de Fourier para modelar el comportamiento transversal y longitudinal de la estructura, respectivamente. El Método de la Banda Finita fue desarrollado inicialmente por Che~ng'?~ para el análisis de placas rectangulares Recibido: Abril 1988 @Uiiiversitat Politecnica de Catalunya (Espaiia) ISSN 0213-1315 257 simplemente apoyadas en sus extremos usando la teoría clásica de placas de Kirchhoff. Posteriormente Cheung3+, Loo y C~sens~>~ y otross obtuvieron diferentes soluciones, tipo banda, para el análisis estático y dinámico de placas y puentes cajón con condiciones de borde diferentes a las de simplemente apoyadas, pero siempre bajo las hipótesis estructurales de Kirchhoff. La incorporación, a este tipo de formulación, de las hipótesis estructurales más generales de Reissner-Mindlin fue realizada, en el contexto de análisis estático y dinámico de placas delgadas y gruesas, por Benson y Hintonlo y Dawe12J3 y en el análisis estático de puentes cajón por Oñate14., Oñate y Suárez extendieron la formulación de Reissner-Mindlin a láminas de revolución y mostraron el excelente comportamiento que presenta el elemento-banda lineal de dos nodos con un solo punto de integración numérica para el análisis estático de placas15 y de puentes cajón y láminas de rev~lución'~. Este artículo puede considerarse como la ampliación del trabajo expuesto en16 para el análisis dinámico de estructuras prismáticas laminares (que incluyen placas y puentes cajón rectos y con planta circular y láminas de revolución) usando el elemento-banda lineal. Para ello y tras una breve descripción de la teoría básica de Banda Finita para análisis dinámico de estructuras, se describe la teoría general de lámina troncocónica de Reissner-Mindlin mediante su aplicación a puentes cajón con planta circular. Las formulaciones asociadas a puentes cajón con plapta recta , placas rectas o circulares y láminas de revolución se obtienen a continuación como un caso particular de la más general descrita anteriormente. En todos los casos se detallan los distintos pasos que son necesarios para obtener de forma explícita, para el elemento tipo banda de dos nodos con integración reducida, las matrices y vectores más relevantes que intervienen en el análisis. Por último se presentan algunos ejemplos de vibraciones libres y forzadas de estructuras del tipo prismáticas laminares que muestran el excelente comportamiento del elemento lineal usado. ANALISIS DINAMICO DE ESTRUCTURAS USANDO EL METODO DE LA BANDA FINITA CONCEPTOS BASICOS El método de la Banda Finita se basa en combinar desarrollos en serie de Fourier, de las variables independientes que intervienen en el análisis, en la dirección longitudinal prismática con interpolaciones clásicas por Elementos Finitos de sus amplitudes en la dirección transversal. En una aproximación en desplazamientos17, el vector de desplazamientos u puede escribirse como : donde a: es el vector de las amplitudes de los desplazamientos nodales del nodo i para el l-ésimo término del desarrollo armónico, N; es la matriz clásica de funciones de forma del nodo i, s1 es una matriz de funciones trigonométricas que definen el desarrollo de Fourier utilizado, n es el número total de nodos del elemento y m el número de términos del desarrollo usados en el análisis. Los desarrollos de Fourier deben elegirse de forma que se satisfagan las condiciones de contorno de la estructura. La elección que conduce a la formulación más sencilla corresponde a los bordes extremos simplemente apoyados y es la que se adopta en todos los desarrollos que se presentan a continuación. No quedan excluidas de este tipo de análisis otro tipo de condiciones de contorno a pesar de que in-tolucran desarrollos armónicos más complejos que conducen a un sistema de ecuacjones acoplado para los distintos términos del desarrollo5. Después de realizar las sustituciones adecuadas el vector de deformación puede escribirse como: donde S' es una matriz que contiene únicamente funciones trigonometricas y B: es la matriz de deformación asociada al nodo i del elemento e para el 1-ésimo término del desarrollo armónico. Las relaciones tensión-desplazamiento se obtienen a partir de las ecuaciones constitutivas de la elasticidad lineal y de la ecuación (2) como: donde D es la matriz de constantes elásticas del material". Sustituyendo las expresiones (1)-(3) en la ecuación del Teorema de los Trabajos Virtuales, en la que se incluyen los términos asociados a las fuerzas de inercia adecuadamente desarrolladas en serie de. Fourier con las mismas caracteristicas que las usadas para el campo de desplazamientos5, y después de algunas manipulaciones clásicas, puede obtenerse la ecuación matricial de equilibrio dinámico sin amortiguamiento siguiente: donde M y K son respectivamente las matrices de masa y rigidez de la estructura y a,a y f son los vectores de amplitudes de la aceleración, desplazamientos y fuerzas respectivamente. Si las condiciones de borde de la estructura son las de extremos simplemente apoyados esta ecuación debido a la ortogonalidad de las series de Fourier usadas5 puede escribirse como: estando el sistema de ecuaciones resultante desacoplado para cada término del desarrollo armónico. Esta circunstancia permite escribir para el 1-ésimo armónico: donde, en general, las matrices asociadas a un elemento tienen la siguiente forma" En estas ecuaciones b es la longitud de la estructura en la dirección prismática, ae es el ancho de la banda (véase Figura l), b1 y t1 son respectivamente las amplitudes de las fuerzas de volumen y uniformemente distribuidas1' que actúan sobre la estructura, P es una matriz que depende exclusivamente de la densidad del material y del espesor de la estructura y B: y D son las matrices de deformación y de constantes elásticas definidas en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente. Estas matrices y vectores serán presentadas con detalle para cada tipología estructural diferente estudiada en las secciones siguientes. Vibraciones Libres Tomando f1 = O y suponiendo una solución de la forma al = 4' exp (wlt) en la ecuación (6) obtenemos la clásica ecuación de autovalores que resuelve el problema de vibraciones libres a partir de la que pueden calcularse las frecuencias naturales wz y los correspondientes modos de vibración 4 para cada término del desarrollo armónico. ANALISIS DINAMICO POR BANDAS FINITAS 261 Puente rfC-t~ Puente circular Figura 1. Discretizacióii de banda finita para puentes cajón rectos y circulares Vibraciones Forzadas La ecuación (6) puede resolverse por los procedimientos clásicos. En particular si usamos el método de descomposición modal17, el vector a' puede expresarse como donde 4; es j-ésimo vector propio de la matriz K", y: es su correspondiente amplitud moda1 y N, es el número de valores propios elegido. La ecuación (6) puede escribirse usando (13), (5) y (17) como donde w: es la frecuencia natural asociada al modo 4: y La resolución de la ecuación (12) usando las técnicas standar17 nos permite encontrar las amplitudes y: y posteriormente obtener el campo de desplazamientos, deformaciones y tensiones en cada punto sin más que combinar la ecuación (11) con las (1)-(3). PUENTES CAJON CON PLANTA CIRCULAR Consideraremos en primer lugar el análisis dinámico de puentes cajón con planta circular (vease Figura 1). En la formulación que a continuación se presenta se utiliza la teoría de Reissner-Mindlin de láminas troncocónicas cuyos detalles más significativos pueden encontrarse en la referencia1'. El campo local de desplazamientos ü puede expresarse para cada banda como: donde k es el número de nodos de la banda, m es el número de términos del desarrollo armónico utilizados, üo, Vo y Go son los desplazamientos locales de la superficie media de la estructura y O, y Ot son los giros locales del vector normal a la superficie media (véase Figura 2). Figura 2. Coiiveiiio de sigiios para los desplazaiiiientos eii uiia láiiiiiia troncocóiiica donde Is es la matriz unidad de orden 5 x 5 Si = sin (Ud) Ci = cos ($0) y a es el ángulo del sector circular del desarrollo en planta del puente (véase Figura 1). Puede comprobarse con facilidad que las funciones armónicas elegidas satisfacen las condiciones de contorno de extremos, 6) = O y O = a, simplemente apoyados con la sección rigidizada en su plano. ANALISIS DINAMICO POR BANDAS FINITAS 263 Campo de Deformaciones El vector de deformaciones locales generalizadas puede escribirse según16 como: donde E,, ~b y E, son los vectores de deformaciones generalizadas de membrana, flexión y cortante respectivamente. Las expresiones de las matrices y vectores que aparecen en la ecuación (16) se muestran en la Figura 3 donde q5 es el ángulo que forma la banda con el eje global z. Relaciones tensión-deformación La relación entre las tensiones y deformaciones locales generalizadas puede escribirse en la forma: donde D es la matriz de constantes elásticas que para un material isótropo puede escribirse con donde E, u y t son el módulo de Young, coeficiente de Poisson y espesor respectivamente y p es el coeficiente necesario para tener en cuenta de forma correcta la energía de deformación por cortante (E 2 para placas rectangulares). Los convenios de signos para las tensiones resultantes pueden verse en la Figura 4. Matriz de Rigidez y Vector de Cargas Utilizando el principio de los Trabajos Virtuale~~~'~.'~ se obtiene el sistema dinámico desacoplado para cada término del desarrollo armónico de la ecuación (6) con % o o o o N. + sin 4 -+Y -+cm4 O O EL aNN. . r Y &-+sin4 O o O o o o % o %, = [ 0 0 0 sin 4 -+, N. o ah' cos6 o EL -Ti+. r 7 CgL - + S111 4 ! o o $2 N, o B:; = + cos 4 EL r Y 0 /Vi 1 lx S' = sin yo , C' = cosyo with y = - a Figura 3. Vectores y iiiatrices de deforiiiacióii para uiia banda troiicocóiiica a ~,b' rds + 2 Le N$' rds ANALISTS DINAMICO POR BANDAS FINITAS 265 Figura 4. Coiiveiiio de sigiios de los esfuerzos geiieralizados en uiia láiiiiiia troiicocónica donde r es la distancia radial (véase Figura 2) y todos los vectores y matrices ya han sido definidos anteriormente excepto en la que p es la densidad del material. Las amplitudes b1 y t2 se obtienen, en los ejes globales, directamente en la forma usual usando la fórmula de Euler5. Para una carga uniformemente distribuida de intensidad t(0) tenemos donde S' es la matriz trigonométrica dada por la ecuación (16) y yl e y2 son los límites de la posición de la carga a lo largo de la dirección prismática. La expresión de f: para los diferentes tipos de carga puede deducirse fácilmente a partir de las ecuaciones (14) y (24). Ellector puede encontrar más detalles sobre este aspecto en las referencias5j7J6. -11 -21 La barra en las matrices K y M significa que están expresadas en los ejes (S, t, n) locales de la banda (véase Figura 2). El proceso de ensamblaje de las distintas bandas precisa de su transformación a los ejes globales (X, Y, 2) en la forma matricial clásica". con Armónico 1 Modo 1 b=100 Elp =36 ~~0.2 1=6b Frecuencia 0.001705 Armónico 1 Modo 2 Frecuencia 0.001736 Armónico 2 Modo 1 Frecuencia 0.002317 Banda lineal Armónico 2 , Armónico 1 0.15 ' - I I l I 11 2 3 C 5 Número de modos Figura 9. Pueiite de losas y Vigas. Aniplitud y frecuencias nodales para varios tériiiiiios del desarrollo ariiióiiico CONCLUSIONES En este artículo se presenta una formulación para el análisis dinámico de estructuras laminares prismáticas delgadas y moderadamente gruesas. En los desarrollos realizados se muestra como las diferentes matrices y vectores para los elementos tipo banda que proporciona la formulación para el análisis de placas, puentes cajón y láminas de revolución pueden obtenerse fácilmente a partir de las expresiones generales asociadas alcaso de banda troncocónica. La utilización del elemento lineal con un sólo punto de integración numérica permite obtener una forma explícita simple de todas las matrices y vectores que intervienen haciendo la formulación especialmente atractiva para su uso en ANALISIS DINAMICO POR BANDAS FINITAS Figura 10. Respuesta dináiiiica traiisitoria de una placa gruesa siiiipleiiiente apoyada eii sus cuatro bordes 10-4 sec --- Ref. [191 - Formulac iÓn actual Figura 11. Respuesta dináiiiica transitoria de una cúpula esférica eiiipotrada ordenadores personales. Los ejemplos analizados muestran el excelente comportamiento del elemento-banda lineal para el análisis dinámico de vibraciones libres y forzadas. 274 B. SUAREZ, J. MIQUEL CANET Y E. OÑATE REFERENCIAS 1. Y. K. Cheuiig, "Finite strip iiietliod of elastic slabs", Proc. Am. Soc. Civ. Eng., Vol. 94, pp. 1365-1378, (1968). 2. Y. K. Clieuiig, "Tlie fiiiite strip iiiethod in the aiialysis of elastic plates witli two opposite siiiiple supported eiidsl', Proc. Inst. Civ. Eng., Vol. 40, pp. 1-7, (1968). 3. Y. K. Clieuiig, "Analysis of boa: girder bridges by the finite strip methodl', Ai11. Coiicr. Ins. Publicatioiis. Sp., Vol. 16, pp. 357-378, (1969). 4. Y. K. Clieuiig, "Folded plate structures by tlie fiiiite strip iiietliod", Am. Soc. Civ. Eng. , Vol. 96, pp. 2963-2979, (1969). 5. Y. K. Clieuiig, "The finite strip method in structural analysis", Pergaiiioii Press, Oxford, (1969). 6. Y. C. Loo y Y.A.R. Cuseiis, "A refiiied fiiiite strip iiietliod for tlie aiialysis of ortliotropic plates", Proc. Inst. Civ. Eng., Vol. 48, pp. 85-91, (1970). 7. Y. C. Loo y Y.A.R. Cuseiis, "The finite strip method in bridge engineering", Viewpoiiit, (1978). 8. K. J. Williaii y A. C. Scordelis, "Aiialysis of ortliotropic folded plates witli eccentric stiffiiess" , Report SESM70-2, Dept. of Civil Engiig. Uiiiv. of Califoriiia, Berkeley, (1970). 9. E. Reissiier, "Tlie effect of traiisverse sliear deforiiiatioii on the beiidiiig of elastic plates", J. Appl. Mech., Vol. 12, pp. 69-77, (1945). 10. R. D. Miiidliii, ('Iiiflueiice of rotatory iiiertia and sliear on flexura1 iiiotioii of isotropic elastic plates", J. Appl. Mech., Vol. 18, pp. 31-38, (1951). 11. P. R. Beiisoii y E. Hiiiton, "A thick fiiiite strip for static, free vibratioii and stability probleiiis", Int. J. Nun. Meth. Engng., Vol. 10, pp. 665-678, (1976). 12. D. J. Dawe, "Fiiiite strip iiiodels for vibratioii of Mindlin plates", Journal of Sound and vibration, Vol. 59, pp. 441-452, (1978). 13. 0. L. Roiifacil y D. J. Dawe, "Vibratioii aiialysis of rectangular Miiidliii plates by tlie finite iiietliod", Compt. and Struct., Vol. 12, pp. 833-842, (1980). 14. E. Oiiate, '(Coiiiparisoiis of finite strip iiietliods for tlie aiialysis of box girder bridges", M. Sc. Thesis, Civil Eiig. Dept., Uiiiv. College of Swaiisea, (1976). 15. E. Oiiate y B. Suarez, "A coiiiparisoii of tlie liiiear, quadratic aiid cubic Miiidliii strip eleiiients for tlie aiialysis of tliick aiid tliin plates", Compt. and Struct., Vol. 17, pp. 427-439, (1983). 16. E. Oííate y B. Suarez, "A unified approacli for tlie aiialysis of bridges, plates aiid axisyiuiiietric sliells usiiig tlie liiiear Miiidliii strip eleiiieiit", Compt. and Struct., Vol. 17, pp. 407-416, (1983). 17. 0. C. Zieilkiewicz, "The finite element meth~d'~, Mc. Graw Hill, (1979). 18. S. Saigal y T. Y. Yaiig, "Noiiliiiear Dyiiaiiiic Aiialysis witli a 48 D.O.F. Curved Thiii Sliell Eleiiieiitl', Int. J. Numer. Methods. Eng., Vol. 21, No. 6, (1985). 19. K. J. Batlie, E. Raiiiiii y E. L. Wilsoii, "Finite eleiiieiit foriiiulatioii for large deforiiiatioiis dyiiaiiiic analysis", Int. J. Num. Meth. Engng., Vol. 9, pp. 353-386, (1975).