Pràctiques de Matlab per àlgebra lineal

P `ac iques de Ma lab pe `
Algeb a lineal
Jaume Amo ´os
UPC
Ba celona
2025/3/27
2
´
Index
1 Discussi´o i esoluci´o de sis emes lineals. 7
2 In e polaci´o pe splines c´ubics 13
3 Sis emes lineals, i an`alisi del gas na u al. 15
4 T ac amen d’ima ges. 23
5 Xa xa neu onal de ipus Mul iLaye Pe cep on (MLP) pe a ap oxima les
a els d’un polinomi 29
3
4´
INDEX
In oducci´o
Aques eball ´es un ecull de p `ac iques d’o denado pe a e c`alculs d’`
Algeb a lineal. Es an
pensades pe a esold e amb el p og ama Ma lab o algun dels seus clons de domini p´ublic com
a a Oc a e o Scilab. Busquen ensenya a l’es udian a com e amb l’o denado els c`alculs m´es
b`asics de la ma e ia, i mos a aplicacions ´ıpiques i/o in e essan s d’aques s c`alculs, que siguin
a m´es ealis es.
Aques es p `ac iques s’han o e i als alumnes de l’assigna u a d’`
Algeb a Lineal de p ime cu s
del G au d’Enginye ia en Tecnologies Indus ials de l’ETSEIB, UPC, Ba celona, els anys 2022-
5. S´on adequades pe a qualse ol cu s d’`
Algeb a lineal, i amb´e pe a il·lus a les aplicacions
de les Ma em`a iques als es udian s d’Enginye ia.
Ag a¨ımen s: Toni Sus´ın ha asseso a du an anys a l’au o en la p epa aci´o de p `ac iques de
Ma lab pels es udian s de l’ETSEIB. Els p o esso s i alumnes de l’assigna u a d’`
Algeb a Lineal
de l’ETSEIB dels anys 2022-5 han esol aques es p `ac iques i han p opo ciona in o maci´o
aluosa pe a millo a -les.
Jaume Amo ´os
Ba celona, 26 de Ma ¸c del 2025.
5

6´
INDEX
Cap´ı ol 1
Discussi´o i esoluci´o de sis emes lineals.
MATLAB ´e una capaci a o midable pe a esold e sis emes d’equacions lineals. En un PC
dom`es ic po esold e en algun minu sis emes 4000 ×4000 amb o s els coe icien s no nuls
. . . Pe `o l’usua i necessi a una mica de o maci´o pe a en end e els esul a s que p opo ciona el
p og ama.
La comanda de MATLAB pe a esold e un sis ema lineal ´es
x=A b
On A´es la ma iu de coe icien s del sis ema lineal, i b´es el ec o columna de e mes
independen s. La espos a del p og ama ´es un ec o columna xamb els alo s de les inc`ogni es.
Mi em exemples pe a eu e qu`e con ´e exac amen aques ec o :
Exemple 1: Conside em el sis ema lineal
2x−y= 3
x+ 2y= 4
Podem comp o a a m`a que ´e una soluci´o ´unica x= 2, y = 1. Resolem-lo amb Ma lab:
% ma iu de coe icien s
A=[2 -1 ; 1 2]
% e me independen
b=[3;4]
% esolem el sis ema (anomenem xy al ec o d’incogni es)
xy=A b
La espos a que d´ona el p og ama ´es
xy =
2
1
Pe an ens ha e o na la soluci´o exac a, en un ec o columna amb componen s les inc`ogni es
x, y.
Exemple 2: A a conside em el sis ema lineal amb una sola equaci´o
x−y+ 2z= 3
7
8CAP´
ITOL 1. DISCUSSI ´
O I RESOLUCI ´
O DE SISTEMES LINEALS.
Podem comp o a a m`a que les se es solucions depenen de 2 pa `ame es, i o men o un pla
en R3: la soluci´o gene al ´es

x
y
z

=
3
0
0

+y
1
1
0

+z
−2
0
1

=
3
0
0

+
1−2
1 0
0 1

·y
z,
on (3,0,0) ´es una soluci´o pa icula del sis ema (un pun del pla), y, z poden eni qualse ol
alo eal, i els dos ec o s (1,1,0) i (−2,0,1) s´on ec o s di ec o s del pla de les solucions.
Resolem el sis ema amb Ma lab:
% ma iu de coe icien s
A=[1 -1 2]
% e me independen
b=3
% esolem el sis ema (anomenem xyz al ec o d’incogni es)
xyz=A b
La espos a que d´ona el p og ama ´es
xyz =
0
0
1.5000
MATLAB ens ha o na una soluci´o ´unica! Podem comp o a `acilmen que ´es una soluci´o
co ec a, pe `o el p og ama no ens a isa de que n’hi han in ini es m´es.
Exemple 3: Conside em el sis ema lineal



2x−y= 3
x+ 2y= 4
x+y= 5
Aques sis ema no ´e soluci´o ( ´e les dues equacions de l’exemple 1, seguides d’una e ce a que
la soluci´o de les dues p ime es no compleix). Resolem-lo amb Ma lab:
A=[2 -1 ; 1 2; 1 1]
% e me independen
b=[3;4;5]
% esolem el sis ema (anomenem xy al ec o d’incogni es)
xy=A b
La espos a que d´ona el p og ama ´es
xy =
2.2857
1.2857
MATLAB ens ha o na una soluci´o? El p og ama sap pe ec amen que no ho ´es. Si os una
soluci´o exac a es compli ia que l’ope aci´o ma icial
% p o a de la solucio
=A*xy-b
9
hau ia de se un ec o de ze os. Quan al aques ec o ?
Aques s exemples ilus en qu`e ´es el que a MATLAB amb la comanda quan li demanem
que esolgui un sis ema d’equacions lineals:
- Si el sis ema ´e soluci´o ´unica, ens la oba.
- Si el sis ema ´e soluci´o que dep´en de pa `ame es, ens oba una soluci´o pa icula . Con-
c e amen , la m´es p ope a a l’o igen.
- Si el sis ema no ´e soluci´o, el p og ama ens o e eix l’anomenada soluci´o ap oximada pe
m´ınims quad a s, que es udia eu en el cu s de Geome ia, pe `o que no ´es una soluci´o
exac a del sis ema.
MATLAB sol e aix`o sense a isa . L’´unic cas en que eme un a ´ıs ´es si de ec a que la
ma iu de coe icien s A ´e un ang m´es pe i que el m`axim que li pe me la se a mida.
Aix´ı, pe ap o i a o a la po `encia de c`alcul de MATLAB pe a esold e sis emes lineals
necessi a em sabe e dues coses:
(i) Discu i el sis ema lineal: ´e solucions? de quan s pa `ame es depenen?
(ii) En el cas en qu`e la soluci´o no ´es ´unica sin´o que dep´en de mpa `ame es, oba uns
ec o s di ec o s u1, . . . , umde mane a que la soluci´o gene al s’ob ingui mul iplican -los
pe qualse ol alo del seu pa `ame e, com en l’exemple 2.
La discussi´o d’un sis ema amb MATLAB es po e seguin el eo ema de Rouch´e-F obenius
al peu de la lle a. Ho ilus a em amb el
Exemple 4: Discu im el sis ema lineal



2x−y−z= 3
x+ 2y+z= 4
4x+ 3y+z= 10
En em-lo en MATLAB
% ma iu de coe icien s
A=[2 -1 -1; 1 2 1; 4 3 1]
% e me independen
b=[3;4;10]
El eo ema de Rouch´e-F obenius ens diu que si obem els angs de la ma iu de coe icien s A
i de la ma iu ampliada (A|b) pod em dedu¨ı quan es solucions ´e el sis ema. C ea la ma iu
ampliada ´es senzill
% ma iu ampliada del sis ema
Ab=[A b]
I la comanda ank de Ma lab ens oba el ang de la ma iu
% discussio del sis ema pel eo ema RF
ank(A)
ank(Ab)
16 CAP´
ITOL 3. SISTEMES LINEALS, I AN `
ALISI DEL GAS NATURAL.
Podem comp o a a m`a que les se es solucions depenen de 2 pa `ame es, i o men o un pla
en R3: la soluci´o gene al ´es

x
y
z

=
3
0
0

+y
1
1
0

+z
−2
0
1

=
3
0
0

+
1−2
1 0
0 1

·y
z,
on (3,0,0) ´es una soluci´o pa icula del sis ema (un pun del pla), y, z poden eni qualse ol
alo eal, i els dos ec o s (1,1,0) i (−2,0,1) s´on ec o s di ec o s del pla de les solucions.
Resolem el sis ema amb Ma lab:
% ma iu de coe icien s
A=[1 -1 2]
% e me independen
b=3
% esolem el sis ema (anomenem xyz al ec o d’incogni es)
xyz=A b
La espos a que d´ona el p og ama ´es
xyz =
0
0
1.5000
MATLAB ens ha o na una soluci´o ´unica! Podem comp o a `acilmen que ´es una soluci´o
co ec a, pe `o el p og ama no ens a isa de que n’hi han in ini es m´es.
Exemple 3: Conside em el sis ema lineal



2x−y= 3
x+ 2y= 4
x+y= 5
Aques sis ema no ´e soluci´o ( ´e les dues equacions de l’exemple 1, seguides d’una e ce a que
la soluci´o de les dues p ime es no compleix). Resolem-lo amb Ma lab:
A=[2 -1 ; 1 2; 1 1]
% e me independen
b=[3;4;5]
% esolem el sis ema (anomenem xy al ec o d’incogni es)
xy=A b
La espos a que d´ona el p og ama ´es
xy =
2.2857
1.2857
MATLAB ens ha o na una soluci´o? El p og ama sap pe ec amen que no ho ´es. Si os una
soluci´o exac a es compli ia que l’ope aci´o ma icial
% p o a de la solucio
=A*xy-b

17
hau ia de se un ec o de ze os. Quan al aques ec o ?
Aques s exemples ilus en qu`e ´es el que a MATLAB amb la comanda quan li demanem
que esolgui un sis ema d’equacions lineals:
- Si el sis ema ´e soluci´o ´unica, ens la oba.
- Si el sis ema ´e soluci´o que dep´en de pa `ame es, ens oba una soluci´o pa icula . Con-
c e amen , la m´es p ope a a l’o igen.
- Si el sis ema no ´e soluci´o, el p og ama ens o e eix l’anomenada soluci´o ap oximada pe
m´ınims quad a s, que es udia eu en el cu s de Geome ia, pe `o que no ´es una soluci´o
exac a del sis ema.
MATLAB sol e aix`o sense a isa . L’´unic cas en que eme un a ´ıs ´es si de ec a que la
ma iu de coe icien s A ´e un ang m´es pe i que el m`axim que li pe me la se a mida.
Aix´ı, pe ap o i a o a la po `encia de c`alcul de MATLAB pe a esold e sis emes lineals
necessi a em sabe e dues coses:
(i) Discu i el sis ema lineal: ´e solucions? de quan s pa `ame es depenen?
(ii) En el cas en qu`e la soluci´o no ´es ´unica sin´o que dep´en de mpa `ame es, oba uns
ec o s di ec o s u1, . . . , umde mane a que la soluci´o gene al s’ob ingui mul iplican -los
pe qualse ol alo del seu pa `ame e, com en l’exemple 2.
La discussi´o d’un sis ema amb MATLAB es po e seguin el eo ema de Rouch´e-F obenius
al peu de la lle a. Ho ilus a em amb el
Exemple 4: Discu im el sis ema lineal



2x−y−z= 3
x+ 2y+z= 4
4x+ 3y+z= 10
En em-lo en MATLAB
% ma iu de coe icien s
A=[2 -1 -1; 1 2 1; 4 3 1]
% e me independen
b=[3;4;10]
El eo ema de Rouch´e-F obenius ens diu que si obem els angs de la ma iu de coe icien s A
i de la ma iu ampliada (A|b) pod em dedu¨ı quan es solucions ´e el sis ema. C ea la ma iu
ampliada ´es senzill
% ma iu ampliada del sis ema
Ab=[A b]
I la comanda ank de Ma lab ens oba el ang de la ma iu
% discussio del sis ema pel eo ema RF
ank(A)
ank(Ab)
18 CAP´
ITOL 3. SISTEMES LINEALS, I AN `
ALISI DEL GAS NATURAL.
En aques exemple conc e , MATLAB ens in o ma de que la ma iu A ´e ang 2, i la ma iu
(A|b) ´e ang 3. Pe an el sis ema no ´e solucions.
El p ocedimen de l’exemple 4 pe me discu i amb MATLAB qualse ol sis ema d’equacions
lineals. Si el sis ema ´e soluci´o ´unica, aques a ´es la que ens e o na MATLAB execu an x=A b.
A a ens al a eu e, en el cas en que la soluci´o no ´es ´unica, com oba la soluci´o gene al. Pe
aix`o hem de eco da l’es uc u a d’aques a soluci´o gene al. Quan enim un sis ema d’equacions
lineals en o ma ma icial
Ax =b
on A´es una ma iu de mida m×n,x´es un ec o columna amb ninc`ogni es x1,...xn, i b´es
un ec o columna amb m e mes independen s de les equacions, en el que els angs de Ai de
(A|b) alen < n, de mane a que la soluci´o del sis ema dep´en de n− pa `ame es, si obem
una soluci´o pa icula del sis ema x0alesho es o es les solucions s´on de la o ma
x=x0+z
on x0´es la soluci´o pa icula (en l’exemple 2 se ia un pun del pla), i z´es qualse ol ec o del
subespai di ec o del sis ema, que ´es el subespai ec o ial o ma pe les solucions del sis ema
lineal homogene¨ı za
Az =


0
.
.
.
0



(homogene¨ı za un sis ema lineal ol di can ia el seu e me independen pe un de ze os,
sense oca la ma iu de coe icien s). Quan pa lem d’aplicacions lineals, di em que el supespai
d’aques s ec o s z´es el nucli de la ma iu A(iden i ican la ma iu amb l’aplicaci´o lineal que
de ineix en bases can`oniques).
MATLAB disposa d’una comanda pe a calcula una base del nucli d’una ma iu A. Com
el nucli en angl`es es diu nullspace, aques a comanda s’anomena null. Mos a em com usa -la
pe a oba o es les solucions d’un sis ema compa ible inde e mina en el
Exemple 5: Conside em el sis ema lineal
2x−y+z−3 = 3
x+ 2y+ 2 = 4
En em el sis ema en MATLAB
% ma iu de coe icien s
A=[2 -1 1 -3; 1 2 0 2]
% e me independen
b=[3;4]
% ma iu ampliada del sis ema
Ab=[A b]
Comencem discu in el sis ema
% discussio del sis ema pel eo ema RF
ank(A)
ank(Ab)
To es dues ma ius ´enen ang 2. El sis ema ´e doncs soluci´o, i com con ´e 4 inc`ogni es la soluci´o
dep´en de 4-2=2 pa `ame es. Comen¸ca em oban una solucio pa icula del sis ema
19
% solucio pa icula
xyz 0=A b
I a a una base del nucli de la ma iu de coe icien s del sis ema:
% nucli de A
Z=null(A)
La ma iu Z ´e pe columnes els ec o s d’una base del nucli de A. La soluci´o gene al del
sis ema lineal es po esc iu e com




x
y
z



=



x0
y0
z0
0



+Zλ1
λ2,
on (x0, y0, z0, 0) ´es la soluci´o pa icula que hem oba en A b,Z´es la ma iu que con ´e la
base del nucli de Acom a columnes, i (λ1, λ2) s´on els pa `ame es (un pe cada columna de Z)
als que es po dona qualse ol alo pe a de ini una soluci´o.
No em una di e `encia impo an en e les solucions gene als que oba MATLAB i les que
obem a m`a (com a exe cici, podeu aplica el p ocedimen de l’exemple 5 pe a oba les
solucions de l’equaci´o de l’exemple 2): quan eballem a m`a, els pa `ame es dels que dep´en
la soluci´o del sis ema s´on les inc`ogni es que no hem pogu despeja al esold e’l, i els ec o s
di ec o s que o men la base del nucli de As’ob enen a pa i de cadascuna d’aques es inc`ogni es.
En can i, MATLAB busca una base o ono mal del nucli de la ma iu A, i la e o na com les
columnes de Z, de mane a que nomes podem en a els pa `ame es com un ec o columna que
mul iplica pe la d e a a Z.
Que una base sigui o ono mal ol di que els ec o s que la o men s´on o ogonals 2 a 2 i
de longi ud 1. Al cu s de Geome ia eballa eu amb aques es bases, i us explica an que enen
mol s a an a ges en on de les bases que obem a m`a a l’ho a de eballa . Aques s a an a ges
s´on la a´o pe la que les comandes de MATLAB que e o nen una base solen escolli una base
o ono mal.
Finalmen , p oposem un p oblema ´ısic al que es po oba una soluci´o ap oximada esolen
sis emes lineals, de mane a que com menys ma ge d’e o ulguem eni m´es g ans se an els
sis emes lineals a esold e.
Aplicaci´o: an`alisi del gas na u al
El gas na u al ´e es componen s en p opo ci´o ap eciable: el me `a, CH4, que ´es el com-
ponen p incipal (70-97% en pes), l’e `a, C2H6, i el p op`a, C3H8. Hi solen ha e aces d’al es
subs `ancies, pe `o en p opo ci´o ¡¡ 1%.
Pe a alo a el gas na u al que p odueix un pou, que anspo a un aixell, . . . cal oba la
p opo ci´o que con ´e de cadascun dels es componen s p incipals. Un p ocedimen ´es p end e
una mos a de 100g de gas i c ema –lo. La combus i´o del gas na u al s´on aques es eaccions
qu´ımiques
me `a: CH4+ 2O2−→ CO2+ 2H2O
e `a: C2H6+7
2O2−→ 2CO2+ 3H2O
p op`a: C3H8+ 5O2−→ 3CO2+ 4H2O
(3.1)
C emem 100g de gas na u al d’una pa ida que olem anali za i mesu em:
- Consum de 386.4g de O2.
20 CAP´
ITOL 3. SISTEMES LINEALS, I AN `
ALISI DEL GAS NATURAL.
- P oducci´o de 276.6g de CO2.
- P oducci´o de 221.07g de H2O.
Podem amb aques a in o maci´o oba els con ingu s x, y, z (en g) de me `a, e `a, p op`a en el
gas c ema ?
Resoluci´o allida # 1:
T adu¨ım en equacions la in o maci´o que enim. En p ime lloc enim l’equaci´o de la massa:
x+y+z= 100
(els al es componen del gas na u al s´on inap eciables pesan amb balan¸ca).
Usem com a pesos a `omics 1 pe l’hid `ogen, 12 pel ca boni, 16 pe l’ox´ıgen. Alesho es els
pesos molecula s de les subs `ancies que in e enen en la eacci´o (3.1) s´on
CH4: 12+4=16, C2H6: 30, C3H8: 44, O2: 32, CO2: 44, H2O: 18.
Podem pensa les eaccions (3.1) en uni a s de mol`ecules, o en mols (1 mol=6.023 ·1023
mol`ecules, i ´e pe pes en g ams el pes molecula ). T iem la segona opci´o. Aix´ı, si la mos a
con ´e xg de me `a, yg d’e `a i zg de p op`a pensa em que ´e x/16 mols de me `a, y/30 mols
d’e `a, z/44 mols de p op`a.
El consum en mols de O2en la combus i´o se `a
2x
16 +7
2
y
30 + 5 z
44 =386.4
32
(els e mes de l’esque a s´on els consums de O2de les es eaccions de (3.1), el de la d e a el
consum o al).
De la ma eixa mane a, la p oducci´o de CO2´es
x
16 + 2 y
30 + 3 z
44 =276.6
44
i la p oducci´o d’aigua ´es
2x
16 + 3 y
30 + 4 z
44 =221.07
18
Exe cici 1: en eu les equacions de la massa, del consum de O2, de la p oducci´o de CO2i
d’aigua com a sis ema lineal en Ma lab. Busqueu els angs pe a discu i el sis ema.
Soluci´o: su ang A= 2, ang (A|b) = 3. Sis ema incompa ible!
Qu`e ha alla ? ang A < 3 ( ang m´es pe i del m`axim possible) ol di que les nos es
equacions no s´on independen s. Dues d’elles, pe exemple la de la massa i la de la p oducci´o
d’aigua, gene en les al es dues.
D’on e que ang (A|b) = 3, que a que el sis ema no ingui soluci´o? Ve de que s’han e
a odonimen s en el e me independen (els pesos dels gasos es an a odoni s a la d`ecima de
g m´es p ope a, el de l’aigua a la cen `essima de g), i en els coe icien s del sis ema (els pesos
a `omics han ingu pe i s a odonimen s). Aques s a odonimen s han e que el sis ema deixi
de eni soluci´o: com ang A= 2, els ec o s de e me independen ˜
b∈R4que s´on ima ge de
A:
˜
b=A
x
y
z


pe alguna ia de (x, y, z) o men un subespai de dimensi´o 2 de R4, o sigui un pla. Al can ia
el e me independen exac e ˜
bpe un a odonimen b, hem ob ingu un e me independen que
es `a, pe poc, o a d’aques pla. Aix`o a que el sis ema lineal no ingui soluci´o exac a.
21
Figu a 3.1: El p oblema de l’a odonimen del e me independen quan el ang del sis ema es
meno que el nomb e d’equacions.
S’a egla ia aques p oblema ob enin pesos exac es? No. Com ang A= 2, el sis ema
nom´es pe me despeja 2 inc`ogni es. Enca a que passi a eni soluci´o, mai ens pe me `a oba
alo s ´unics pe x, y, z. El que necessi em no ´es pesa amb m´es p ecissi´o, sin´o no es equacions.
Resoluci´o allida #2:
Mesu em el olum del gas. El gas na u al ´e mol`ecules pe i es, i es compo a com un gas
ideal. El olum que ocupa segueix la llei del gas ideal (o de Boyle, o de Boyle–Ma io e . . . )
PV =nRT
on P= p essi´o, V= olum que ocupa el gas, n= nomb e de mols de gas, R= cons an dels
gasos (uni e sal, i coneguda), T= empe a u a (en K). Aix´ı
n=PV
RT
Pe an , si mesu em el olum que ocupa la mos a de 100g de gas na u al, i a quina p essi´o i
empe a u a ´es oba, podem dedu¨ı el nomb e de mols nque con ´e.
Fen aques a mesu a en la nos a mos a ob enim n= 5.9955, i d’aqu´ı ob enim l’equaci´o
del olum x
16 +y
30 +z
44 = 5.9955
Exe cici 2: A egiu l’equaci´o del olum al sis ema de l’exe cici 1, i discu iu el sis ema esul an .
Soluci´o: o na a so i ang A= 2, ang (A|b) = 3.
Que ha alla ? ang A= 2 ol di que l’equaci´o del olum es po dedu¨ı de les equacions
p `e ies (pe exemple, de la de la massa i de la de la p oducci´o d’aigua es con inuen dedu¨ın
o es). Que la ma iu ampliada su i de ang 3 ha es a causa pels a odonimen s en els pesos,
com en l’in en an e io .
Resoluci´o amb `exi # 3:
Passem a con ola una al a magni ud ´ısica: l’ene gia p odu¨ıda. Fem la combus i´o del gas
a p essi´o cons an (en obe ), deixem ci cula el O2iCO2pe que no ens han apo a es al
sis ema, i condensem o a l’aigua p odu¨ıda pe a acili a la se a mesu a. Al c ema en aques es
condicions, es sap que
- 1 mol de me `a p odueix 212.80 kcal,
- 1 mol d’e `a p odueix 372.82 kcal,
- 1 mol de p op`a p odueix 530.60 kcal.
Mesu em l’ene gia p odu¨ıda pe la combus i´o de la nos a mos a de 100g de gas na u al, i
esul a se 1322.3 kcal. Ob enim doncs una equaci´o de l’ene gia (en kcal):
212.8x
16 + 372.82 y
30 + 530.6z
44 = 1322.3

22 CAP´
ITOL 3. SISTEMES LINEALS, I AN `
ALISI DEL GAS NATURAL.
Exe cici 3: Fo meu un sis ema lineal amb nom´es les equacions de la massa, de la p oducci´o de
l’aigua, i de l’ene gia. Discu iu amb Ma lab el sis ema esul an , i si ´e soluci´o ´unica, obeu-la.
Soluci´o: A a s´ı! ang A= 3 = ang (A|b) =. Pe an el sis ema ´e soluci´o ´unica, que al
x= 91.8289g, y = 6.6250g, z = 1.5461g.
Mo ali a d’aques a p `ac ica:
Que un sis ema lineal (A|b) no ingui el ang m`axim possible ol di que hi han elacions
en e les se es equacions. En la ida eal, aix`o ol di elacions en e les magni uds que es udien.
En el nos e exemple, les eaccions de combus i´o (3.1) an que a pa i del nomb e o al de mols
d’hid oca bu s i de la p oducci´o d’aigua es puguin dedu¨ı el consum d’ox´ıgen, la p oducci´o de
CO2, ins i o el olum que ocupa el gas abans de c ema –lo . . . sense sabe quan s mols enim
de cada hid oca bu espec´ı ic.
Mi an nom´es el ang de la ma iu Ade coe icien s del sis ema, hem dedu¨ı que pe a
anali za el gas na u al necessi em nom´es con ola el olum de gas c ema , el calo que ha
em`es, i l’aigua p odu¨ıda en el condensado . No a al a mesu a el consum de O2ni la p oducci´o
de CO2, que s´on bas an m´es cos oses de comp a .
Cap´ı ol 4
T ac amen d’ima ges.
MATLAB ´es una eina mol po en pe al ac amen d’ima ges. Te menys comandes d’al
ni ell pe a ac a -les que els p og ames especiali za s en aques es asques, pe `o la iloso ia de
o el p oc`es d’ima ges mode n ´es digi ali za -les, ´es a di con e i -les en ma ius num`e iques,
i p og aman Ma lab podem execu a qualse ol ope aci´o amb ma ius. En aques a p `ac ica
a em alguns ac amen s ´ıpics d’ima ge, que esul a que s´on aplicacions lineals en e espais
de ma ius. El men´u de asques pe aques a p `ac ica ´es:
(i) Impo a una ima ge en colo a Ma lab.
(ii) Re alla una ima ge.
(iii) Can is de colo .
(i ) Reescala la ima ge a la baixa.
( ) Fe de ecci´o de o es ( e icals u ho izon als) en la ima ge.
( i) Gua da la ima ge edi ada en Ma lab com un i xe d’ima ge o dina i.
(i) Impo aci´o d’una ima ge a Ma lab:
Hem de eni la ima ge con inguda en un i xe en el di ec o i de eball de Ma lab, i gua da
el nom d’aques i xe en una cadena de ex e pe a que la comanda d’impo aci´o d’ima ges a
Ma lab la llegeixi. En el nos e exemple
in ile=’ aca_es i ada.jpg’;
A0=im ead(in ile);
A0 ´es una aula 3-dimensional de nomb es (un enso 3d). Es po pensa com que e 3 pisos
A0(:,:,1),A0(:,:,2),A0(:,:,3), co esponen espec i amen als colo s Ve mell (R), Ve d
(G), Blau (B), i que cada pis es una ma iu que con ´e la in ensi a del colo en els p´ıxels de la
ima ge. Els coe icien s de A0 s´on nomb es en e s, usualmen an de 0 a 255 (en e s de 8 bi s
sense signe). Aixi cada coe icien ocupa nomes 1 By e de memo ia. En con as : Ma lab usa
8 By es de memo ia pe a gua da cada nomb e eal (usa el o ma doble p ecissi´o).
Com a e i icaci´o de que la ima ge s’ha llegi co ec amen , em que Ma lab l’ensenyi com
a igu a 1 (nume a em les igu es pe a eni -ne `a ies obe es simul `aneamen ):
igu e(1)
imshow(A0)
23
24 CAP´
ITOL 4. TRACTAMENT D’IMATGES.
Figu a 4.1: Ima ge de mos a pe aques a p `ac ica: aca es i ada.jpg.
(ii) Re alla una ima ge:
Si olem queda -nos nom´es amb la ca a de la aca: en la ima ge inicial podem esb ina un
ec angle que la con ingui amb l’eina ’Da a Cu so ’ de la ba a de sob e de la ima ge.
Figu a 4.2: L’eina Da a Cu so en una igu a de Ma lab.
Un cop hem is que la ca a es a en e les iles 20 i 200 i les columnes 10 i 210, podem
queda -nos aques a pa de la aula num`e ica pe a eni una ima ge amb la ca a de la aca.
A e =A0(20:200,10:210,:);
igu e(2)
imshow(A e )
(iii) Con e si´o de colo a escala de g isos:
Pe a ope a amb les ma ius de colo dels pixels, cal passa les aules de nomb es de la
ima ge de nomb es en e s a eals. De pas can iem l’escala d’in ensi a s de [0,255] a [0,1]:
A=double(A0)/255;
Desp `es, sepa em la aula 3-dimensional Aen les ma ius dels 3 colo s RGB de la ima ge
25
AR=A(:,:,1);
AG=A(:,:,2);
AB=A(:,:,3);
En aques pun enim la ima ge codi icada dins de Ma lab com 3 ma ius de nomb es eals,
que son les in ensi a s del colo espec iu. Amb aques es pod em ope a . Pe exemple, passa
la ima ge a escala de g isos ´es can ia les 3 ma ius d’in ensi a s de colo R,G,B a una ´unica
ma iu d’in ensi a de g is, que ´es el p omig de les ma ius o iginals:
Ag =(AR+AG+AB)/3;
Ve i icaci´o: que Ma lab ensenyi la ima ge en escala de g isos. P ime can iem d’in ensi a s
eals en [0,1] a in ensi a s en e es en [0,255] (a odonin a l’en e m´es p ope ).
A0g =uin 8(Ag *255);
I a a ja podem demana a Ma lab la ima ge:
igu e(2)
imshow(A0g )
Figu a 4.3: La ima ge de mos a, passada de colo a escala de g isos.
(i ) Reescala a la baixa d’una ima ge:
El cas m´es senzill de eescala ´es quan olem e que la ima ge ingui menys esoluci´o
(pe que nom´es olem mos a -la a amany pe i . . . ). En la nos a ima ge d’exemple, podem
can ia cada bloc de 4 ×4 p´ıxels pe un ´unic pixel, de mane a que passem d’una ima ge de
mida 356 ×476 a una de mida 89 ×119. Quina in ensi a de colo s’ha de posa al p´ıxel que
eempla¸ca a un bloc 4 ×4? La millo ia ´es el p omig de les in ensi a s dels 16 p´ıxels del bloc
4×4. P og amem aix`o: obem la mida de la ima ge a eescala , i em un bucle doble pe a
calcula els pixels de la ima ge eescalada.
[m,n]=size(Ag );
0=1; % ila inicial del bloc
o k=1:m/4,
c0=1; % columna inicial del bloc
o l=1:n/4,
bloc=Ag ( 0: 0+3,c0:c0+3);
p ombloc=sum(bloc(:))/16;
A ed(k,l)=p ombloc;
c0=c0+4;
end;
0= 0+4;
end;
32CAP´
ITOL 5. XARXA NEURONAL DE TIPUS MULTILAYERPERCEPTRON (MLP) PER A APROXIMAR LES ARRELS D’UN POLINOMI
Figu a 5.3: Flux de eball (pipeline) pe a la nos a xa xa MLP.
a2x2+a1x+a0. Pe me em que els coe icien s del polinomi siguin complexes, de mane a que
el polinomi p(x) es con e i `a en un ec o
0= (Re (a4),Re (a3),...,Re (a0),Im (a4),...,Im (a0)) ,
que posa em en columna en Ma lab.
1) Aplica em una p ime a capa FC pe a ans o ma el ec o 0en un ec o 1∈R50
dona pe
1=A1 0+b1.
Pe a aix`o cal que A1sigui una ma iu de mida 50 ×10, i b1un ec o de R50. En e A1ib1
con enen 500+50=550 coe icien s, que s´on els pa `ame es que necessi a eni de ini s aques a
capa.
1R) Aplica em una capa ReLU al ec o 1, pe a ob eni un ec o ac i a 1=ReLU( 1),
de la ma eixa dimensi´o. Aques a capa no necessi a pa `ame es.
2) Aplica em una segona capa FC pe a ans o ma el ec o 1en un ec o 2∈R25
dona pe
2=A2 1+b2.
Pe a aix`o cal que A2sigui una ma iu de mida 25 ×50, i b2un ec o de R25. En e A2ib2
con enen 1250+25=1275 coe icien s, que s´on els pa `ame es que necessi a eni de ini s aques a
capa.
2R) Aplica em una capa ReLU al ec o 2, pe a ob eni un ec o ac i a 2=ReLU( 2).
Aques a capa no necessi a pa `ame es.
3) Finalmen , aplica em una e ce a capa FC pe a ans o ma el ec o 2en un ec o
3∈R10 dona pe
3=A3 2+b3.
Pe a aix`o cal que A3sigui una ma iu de mida 10 ×25, i b3un ec o de R10. En e A3ib3
con enen 250+10=260 coe icien s, que s´on els pa `ame es que necessi a eni de ini s aques a
capa.
El ec o 3que e o na la ece a capa FC de la xa xa ´es la se a espos a. L’en enem com
un ec o de la o ma (Re (z1),Re (z2),...,Re (z5),Im (z1),...,Im (z5)), on z1, z2, . . . , z5s´on els
alo s que p oposa la xa xa pe les a els del polinomi p(x).
Validaci´o de la xa xa:
Pe a pode en ena una xa xa neu onal amb `exi necessi em quan i ica de mane a ina
l’e o que es come en cada espos a que ens d´ona, pe qu`e l’en enamen consis eix en mou e
len amen els alo s dels pa `ame es en una di ecci´o que p o oqui disminucions, amb´e len es,
de l’e o en la espos a.

33
En la nos a xa xa podem aplica la mesu a de l’e o m´es senzilla de o es: si la xa xa ha
dona un ec o 3∈R10 com a posici´o es imada de les a els de p(x), i les posicions exac es
s1, . . . , s5 o men un ec o s= (Re (s1),Re (s2),...,Re (s5),Im (s1),...,Im (s5)), conside a em
que l’e o de la espos a ´es la unci´o de p`e dua (o loss unc ion)
L( 3) = k 3−sk2,
´es a di , la no ma al quad a del ec o di e `encia 3−s(el p oduc e escala de 3−spe si
ma eix).
Aques a mesu a de l’e o ´e un p oblema en el cas de la nos a p egun a de oba les a els
d’un polinomi p(x): enca a que el ec o de espos a 3con ingui els alo s co ec es de les
a els, si hi apa eixen en un o d e di e en de com apa eixen a la soluci´o s oba em un e o
impo an , quan en eali a hau ia de se 0! Resold em aques a di icul a o denan les llis es
d’a els del polinomi ( an les p onos icades pe la xa xa com les de la soluci´o co ec a quan
es iguem en enan -la) abans de calcula la unci´o d’e o L.
Els nomb es complexes o men un pla, i aqu´ı no hi ha cap o d e comple que no ingui
algun de ec e. Pe exemple, si o denem les a els del polinomi o denan la se a pa eal ens
oba em amb un empa en e les a els complexes conjugades d’un polinomi eal. Si o denem
les a els del polinomi o denan la se a pa imagin`a ia ens oba em amb l’empa en e les
a els eals del polinomi. Si o denem les a els lexicog `a icamen , enin en comp e en p ime
lloc la pa eal i usan la pa imagin`a ia pe enca empa s, ens oba em amb que si pe
un e o d’a odonimen del c`alcul la pa eal d’una a el su 10−14 enlloc de 0, un e o an
pe i ja can ia l’o d e de les a els . . .
Pe aques es aons usa em un o d e incomple en el pla complex, que sigui `apid de calcula
i no p o oqui empa s en e a els eals o en e a els conjugades quan aques es apa eguin:
pensa em els nomb es complexes com el pla R2i o dena em cada nomb e complex z=a+ib =
(a, b) segons el alo del p oduc e escala π(z) = (1,−0.1) ·(a, b) = a−0.1b. Aques p oduc e
escala equi al a p ojec a o ogonalmen el ec o (a, b) sob e la ec a amb ec o di ec o
u= (1,−0.1).
Figu a 5.4: P ojecci´o o ogonal sob e una ec a o ien ada pe a o dena els pun s del pla.
3. EL CODI: CONSTRUCCI´
O I PROVA DE LA XARXA MLP AMB PAR`
AMETRES
DONATS
El p ime pas que a em se `a p epa a exemples de e i icaci´o: una amilia de polinomis
de g au 5 a coe icien s complexes, alea o is, pels que coneixe em amb g an p ecissi´o les se es
a els. La mane a m´es senzilla de e aix`o es gene a les a els com pun s alea o is en un
ec angle del pla complex, i ob eni el polinomi p(x) que ´e unes a els z1, . . . , z5p e ixades en
les mul iplicacions (x−z1)·(x−z2). . . (x−z5):
34CAP´
ITOL 5. XARXA NEURONAL DE TIPUS MULTILAYERPERCEPTRON (MLP) PER A APROXIMAR LES ARRELS D’UN POLINOMI
nex=10000; % nomb e d’exemples: DEIXAR A 4 O 8 PER VEURE COM FUNCIONA EL CODI
% ines a on posa em els ze os
xlim=[-2 2];
ylim=[-2 2];
% c eem la llis a de polinomis ( iles d’una ma iu) i de les se es a els
ng(20241115) % iniciem el gene ado de nomb es alea o is de Ma lab
% pa eal de les a els: ma iu 5 x nex de nomb es alea o is en e els
% limi s de x
ea els=xlim(1)+ and(5,nex)*(xlim(2)-xlim(1));
% idem pe la pa imagina ia de les a els
ima els=ylim(1)+ and(5,nex)*(ylim(2)-ylim(1));
a els= ea els+i*ima els; % cada columna son les a els d’un exemple
% polsex e un polinomi d’exemple en cada ila (incloen el coe icien
% inicial que es 1):
% de en ada decla em cada polinomi x-a el(1), i el mul ipliquem ila a
% ila pe x-a el(2),...,x-a el(5)
o k=1:nex,
polex=[1 -a els(1,k)];
o l=2:5,
polex=con (polex,[1 -a els(l,k)]);
end;
polsex(k,:)=polex;
end;
Ja enim una llis a de polinomis de g au 5 (les iles de la ma iu polsex) amb les a els
conegudes (gua dades com a columnes de la ma iu a els). ´
Es el momen de mun a la xa xa
neu onal. El p ime pas ´es llegi els pa `ame es que alg´u ha oba en enan la xa xa i ens
passa:
load pa ame es_MLP_20241115.ma
Apa eixen en la mem`o ia de Ma lab 4 a iables: pa ams= ec o amb o s els pa `ame es,
=nomb e de iles en cada capa, c=nomb e de columnes en cada capa, pa capa=ma iu que en
cada ila ens diu quines posicions en pa ams ocupen els pa `ame es de la se a capa del MLP.
A pa i de les dades llegides hem de mun a les ma ius i ec o s de les capes FC. El
con eni de Ma lab pe gua da ma ius ´es que la ma iu es gua da com una llis a dels seus
coe icien s, llegi s columna a columna d’esque a a d e a, i cada columna llegida de dal a baix.
Pe exemple
la ma iu 11 12 13
21 22 23 es gua da com una llis a 11,21,12,22,13,23 .
La comanda eshape de Ma lab ens pe me econs ui la ma iu a pa i d’una llis a dels seus
coe icien s, seguin aques con eni al peu de la lle a.
% coe icien s de la ma iu A1 en la llis a de pa ame es: indexos inicial i
% inal
ind0A1=pa capa(1,1);
ind A1=pa capa(1,1)+ (1)*c(1)-1;
% o gani za els coe icien s en una ma iu de mida (1) x c(1)
A1= eshape(pa ams(ind0A1:ind A1), (1),c(1));
% mun em el ec o b1 amb els da e s pa ame es d’aques a capa
35
ind0b1=pa capa(1,2)- (1)+1;
ind b1=pa capa(1,2);
b1= eshape(pa ams(ind0b1:ind b1), (1),1);
% Repe im el p ocedimen iden icamen pe A2,b2,A3,b3
ind0A2=pa capa(2,1);
ind A2=pa capa(2,1)+ (2)*c(2)-1;
A2= eshape(pa ams(ind0A2:ind A2), (2),c(2));
ind0b2=pa capa(2,2)- (2)+1;
ind b2=pa capa(2,2);
b2= eshape(pa ams(ind0b2:ind b2), (2),1);
ind0A3=pa capa(3,1);
ind A3=pa capa(3,1)+ (3)*c(3)-1;
A3= eshape(pa ams(ind0A3:ind A3), (3),c(3));
ind0b3=pa capa(3,2)- (3)+1;
ind b3=pa capa(3,2);
b3= eshape(pa ams(ind0b3:ind b3), (3),1);
A con inuaci´o, a em un expe imen pe a comp o a com s’implemen a una capa ReLU
usan un ec o p ou pe i pe a que el egem c`omodamen pe pan alla
es =[3;-1;0]
es ampl=[ es ze os(size( es ))] % a egim columna de ze os a la d e a
es =max( es ampl,[],2) % el maxim de cada ila es l’ac i acio ReLU
Ja es em a pun pe a aplica la xa xa MLP a o s els polinomis con ingu s en les iles de
la ma iu d’exemples polsex. Pe `o abans de e -ho p epa a em un da e de all: l’o denaci´o
de les a els del polinomi. Com aques a o denaci´o necessi a algunes l´ınees de codi, i l’hau em
d’execu a aques p oc`es almenys 2 cops en aques a p `ac ica, el p og ama em com una unci´o
de Ma lab.
Una unci´o ´es un p og ama auxilia , que ´es c ida pe un p og ama p incipal pe a que aci
una eina pa icula i li e o ni el esul a . La unci´o queda de inida pe :
- les dades d’en ada que ha de eb e del p og ama que la c ida,
- el p oc`es que s’ha de e amb aques es dades,
- les dades de so ida que s’han de e o na al acaba l’execuci´o de la unci´o al p og ama
que l’ha c ida .
Nosal es c ea em una unci´o amb nom o denaR2 que ebi com a dades d’en ada un ec o
columna ∈R10 (les 5 a els a o dena , pensades com a ec o
= (Re (z1),Re (z2),...,Re (z5),Im (z1),...,Im (z5)) en columna),
i un ec o columna u∈R2que sigui di ec o de la ec a en la que s’han de p ojec a les 5
a els. La unci´o calcula `a aques es p ojeccions, eo dena `a les a els segons la p ojecci´o usan
la comanda so de Ma lab, i e o na `a un ec o o d amb les 5 a els o denades, pe `o esc i es
en el ma eix o ma que s’ha usa pel ec o d’en ada.
La mane a m´es senzilla d’usa uncions en Ma lab es gua da cada unci´o en un i xe que es
digui exac amen com ella, en el nos e cas o denaR2.m, i que es igui en el di ec o i de eball
de Ma lab. El con ingu del i xe de la nos a unci´o se `a
36CAP´
ITOL 5. XARXA NEURONAL DE TIPUS MULTILAYERPERCEPTRON (MLP) PER A APROXIMAR LES ARRELS D’UN POLINOMI
unc ion o d=o denaR2( ,u)
% nomb e de pun s del pla es la mi a del de componen s de
npun s=leng h( )/2;
% posa les componen s de com npun s ec o s columna de R^2, en una ma iu
pla=[ (1:npun s).’; (npun s+1:end).’];
% calcula les p ojeccions o ogonals de les columnes de la ma iu sob e la
% ec a amb ec o di ec o u
p ojs=(u.’)* pla;
% busca l’o d e de les p ojeccions
[~,o d e]=so (p ojs);
% eo dena les columnes de pla segons el nou o d e oba
pla= pla(:,o d e);
% a pa i de la ma iu pla eo denada o na a o ma un ec o columna
% amb o es les componen s x, i desp es o es les componen s y
o d=[ pla(1,:).’ ; pla(2,:).’];
No eu la p ime a linea: ´es la decla aci´o de la unci´o. A isa a Ma lab de que aques i xe
con ´e una unci´o i li indica quin ´es el nom de la unci´o i qui s´on les a iables d’en ada i de
so ida. Al gua da la unci´o en el seu p opi i xe .m, no cal esc iu e cap comanda ipus e u n
pe a indica que la unci´o s’ha acaba .
Quan esc ibim una unci´o de Ma lab que hem d’usa amb dades nomb oses, complicades
. . .´es p uden p o a p ime la unci´o en dades senzilles on puguem eu e a ull que unciona
co ec amen . Fem aques a p o a amb 4 pun s de R2:
es 2=[1 1 2 2 1 -11 2 -3].’ % 4 pun s de R^2 com un ec o columna de 8 componen s
es 2o d=o denaR2( es 2,[1;-0.1])
Un cop hem comp o a que la unci´o pe a o dena les llis es d’a els unciona co ec amen ,
ja podem e co e la nos a xa xa MLP i mesu a l’e o que come en cada exemple.
Com la nos a xa xa ´es mol simple (nom´es 2085 pa `ame es), no aconsegui em una ap o-
ximaci´o gai e ina de les 5 a els de cada polinomi on la p o em. Pe a eu e si hem ob ingu
m´es in o maci´o que in en an 5 pun s a l’a za en el ec angle on hem imposa que es iguin les
a els, a em una comp o aci´o es ad´ıs ica mol senzilla:
- ia em un ma ge d’e o mol ole an Lmax = 10,
- i comp a em pe quan s polinomis de la nos a llis a de e i icaci´o l’e o global en e les
posicions o denades de les 5 a els es imades pe la xa xa i les 5 a els co ec es ´es m´es
pe i que Lmax.
A a que ja hem decidi o el que a em amb cada polinomi de e i icaci´o (aplica -li la xa xa
capa a capa, o dena les a els que li ha es ima , o dena les a els co ec es del polinomi,
calcula l’e o com`es pe la xa xa i mi a si cau pe so a del ma ge pe m`es), ja podem e el
bucle p incipal que aplica `a la xa xa i e i ica `a l’e o que come :
% ma ge d’e o pe so a del que dona em pe bo el calcul
Lmax=10; % ull! es un ma ge d’e o bas an gene os
esence =ze os(1,nex); % aqui gua da em si l’e o de la xa xa es admissible o no
% aplicacio de la xa xa a cada polinomi de la llis a d’exemples, amb
% e i icacio de l’e o comes
37
o k=1:nex,
polex=polsex(k,:); % un polinomi de la llis a, en ila
0=[ eal(polex(2:end)) imag(polex(2:end))]; % els coe icien s, sense el x^5 inicial
0= 0.’; % posem els 5 coe icien s com un ec o columna de R^10
% apliquem capa FC1 a la dada
1=A1* 0+b1;
% apliquem ReLU al esul a
1ampl=[ 1 ze os(size( 1))];
1 =max( 1ampl,[],2);
% apliquem capa FC2 a la dada
2=A2* 1 +b2;
% apliquem ReLU al esul a
2ampl=[ 2 ze os(size( 2))];
2 =max( 2ampl,[],2);
% apliquem capa FC3 a la dada
3=A3* 2 +b3;
% 3 son les a els que ha p onos ica la xa xa, en o ma ec o de R^10
% O denem aques es a els
3o d=o denaR2( 3,[1;-0.1]);
% i les gua dem, pe si se eixen d’alguna cosa
a xa xa(:,k)= 3o d(1:5)+i* 3o d(6:10);
% ca eguem les a els co ec es, com a ec o de R^10
sol=[ eal(a els(:,k)); imag(a els(:,k))];
% les o denem
solo d=o denaR2(sol,[1;-0.1]);
% mesu em l’e o global comes pe la xa xa i el gua dem en la llis a
% d’e o s
e =no m( 3o d-solo d);
L(k)=e *e ;
% mi em si l’e o comes pe la xa xa e a admissible
i L(k)<Lmax
esence (k)=1;
end;
end;
A a comp em en quan s polinomis l’es imaci´o de les a els donada pe la xa xa es oba
dins del ma ge d’e o que hem adm`es. El ec o esence con e un 1 pe cada polinomi on
aix`o ha succe¨ı , i un 0 pe cada polinomi on no ha succe¨ı . Pe an nomes cal suma les se es
componen s.
nence s=sum(esence )
Pel ma ge d’e o L < 10 la espos a de la xa xa ha unciona en un 92.94% dels casos.
Sembla un ma ge mol bo, pe `o hem de eni en comp e que aques ma ge d’e o ´es mol ampli.
Si dibuixem les 5 a els es imades pe la xa xa (posan ∗en neg e) i les 5 a els co ec es (posan
o en e mell) pe un polinomi dels ence a s eu em que el ma ge d’e o e a ampli.

38CAP´
ITOL 5. XARXA NEURONAL DE TIPUS MULTILAYERPERCEPTRON (MLP) PER A APROXIMAR LES ARRELS D’UN POLINOMI
k=1;
igu e(1)
plo ( eal(a xa xa(:,k)),imag(a xa xa(:,k)),’k*’);
hold on
plo ( eal(a els(:,k)),imag(a els(:,k)),’ o’);
axis([xlim(1) xlim(2) ylim(1) ylim(2)])
axis equal
hold o
Figu a 5.5: Posicions de les a els co ec es ( e mell) i p onos icades pe la xa xa (neg e) pel
p ime polinomi de la llis a de alidaci´o.
Com ha queda cla que el ma ge d’e o que pe me em ´es ampli, hem de e una e i icaci´o
que ´es ecomanable en qualse ol cas en que una xa xa neu onal nom´es ingui `exi pa cial:
Exe cici inal: la xa xa del mono.
(i) Esc i iu codi de Ma lab pe a gene a conjun s alea o is de 5 nomb es complexes del ma-
eix ec angle d’on hem selecciona les a els pels nos es polinomis de alidaci´o. Gene eu an s
d’aques s conjun s com polinomis de alidaci´o, i poseu-los com a columnes d’una ma iu. De-
cla em que cadascuna d’aques es columnes ´es una no a es imaci´o de la posici´o de les a els del
polinomi co esponen en la llis a de alidaci´o. Aques p ocedimen pe a es ima les a els ´es
compa able a eni un mono llen¸can da ds a una diana que sigui el pla complex, i enin en
comp e nom´es els da ds que es cla in en la egi´o on p e eiem les a els.
(ii) Calculeu l’e o que ha com`es la xa xa del mono en es ima les a els dels polinomis de
alidaci´o que hem emp a pe a la nos a xa xa MLP, usan el ma eix p ocedimen d’o dena
i mi a la no ma al quad a . T obeu quan s ence s ha e la xa xa del mono amb el ma ge
d’e o que li hem deixa a la nos a xa xa MLP, compa eu els ence s de les dues xa xes i
discu iu si la xa xa MLP ha apo a in o maci´o sob e la posici´o de les a els dels polinomis.
Indicaci´o: Podeu esold e o l’exe cici copian i enganxan ossos dels c`alculs que hem e ins
a a en la p `ac ica.
39
Figu a 5.6: El model biol`ogic que a inspi a la alidaci´o de ini i a pe a xa xes neu onals de
p ecissi´o limi ada (ima ge de alueo s ocks.com).