ANALISIS NUMERICO DE UNA ECUACION
DE
TIPO
STOKES
DOMINGO
A.
TARZIA
Depa amen o de Ma emá ica,
FCE,
Uni e sidad Aus al,
Mo eno 1056, (2000) Rosa io, A gen ina.
RESUMEN
Se conside a un p oblema de ipo S okes con unciones incógni as
u
=
(u,, u,, u,)
y p,
de inidas en
R,
de mane a que sa is agan las siguien es condiciones:
-uAu Vp+wAu=
en
0,
di
(u)
=
O
en
Cl
,
=O,
donde
R
C
IR3
es un dominio aco ado
y
con exo con on e a
egula ,
u
>
O,
=
( ,,
,,
,)
y
w
=
(wl, wa, w3)
son unciones que es án de inidas en
R.
Se desc ibe un algo i mo i e a i o
u,,
pn(n
E
IN)
que con e ge a la solución
u,p
a a és de
la o mulación a iacional de
(P)
co espondien e
a
la unción incógni a
u.
Se
ob iene además
la o mulación a iacional mix a.
SUMMARY
We conside S okes-like p oblem wi h unknown unc ions
u
=
(U,,
u2, u,)
and
p,
de ined in
R,
such ha hey sa is y he ollowing condi ions:
whe e
R
C
IR3
is a bounded and con ex domain wi h a egula bounda y
,
u
>
0,
=
(
,, i, 3)
and
w
=
(wl,
w2,
w,)
a e unc ions de ined in
R.
We desc ibe an i e a i e algo i hm
un,pn(n
E
IN)
ha i is con e gen o he solu ions
u,p
h ough he a ia ional o mula ion co esponding o he unknown unc ion
u.
We also
ob ain he mixed a ia ional o mula ion.
Recibido: No iemb e 1991
OUni e si a Poli ecnica
de
Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
I
386
D.
TARZIA
:
INTRODUCCION
Se conside a un dominio R
C
n 3
aco ado
y
con exo con on e a
l?
egula . Dadas
las unciones
=
( ,,
2,
,)
E
VI
=
H3
con
H
=
L~(Q)
y
w
=
(wl, w2,
w3)
E
W3
con
W
=
LW(S2)
y
la cons an e posi i a u
>
O
se quie e halla las unciones u
=
(u,,
uz,
U,)
y
p, de inidas en R, de mane a que sa is agan las condiciones de ipo S okes, es deci g:
-uAu+Vp+wAu=
en
in,
di (u)
=
O
en R
,
ul,.
=
0,
donde
A
ep esen a el p oduc o ec o ial de ec o es en
IR3
y
di es el ope ado
di e gencia.
Si w
=
O,
(P)
es el p oblema clásico de S okes que desc ibe el mo imien o de un
luido incomp esible iscoso en el dominio
52
y
some ido a una densidad de ue zas
ex e io es
bajo la hipó esis de que dicho mo imien o es len o. En es e caso, u es la
elocidad del luido, p es la p esión
y
u
es la iscosidad.
En el p esen e abajo se ob ienen los siguien es esul ados:
(i) Exis encia
y
unicidad de la o mulación a iacional del p oblema (P),
co espondien e a la unción incógni a u. Ob ención de la p esión p, a pa i
de dicha o mulación a iacional.
(ii) Desc ipción de un algo i mo i e a i o un,pn(n
E
IN
)
que con e ge ue emen e
a la solución u,
p.
(iii) Ob ención de la o mulación a iacional mix a del p oblema (P).
FORMULACION VARIACIONAL DEL PROBLEMA
(P)
Se conside an los siguien es espacios uncionales
y
no aciones:
Sob e el espacio HA(R),
1
Il
y
(1
e
11'
son dos no mas equi alen es, es deci exis e una
cons an e posi i a
C
=
C(R)
>
O
de mane a que (desigualdad de Poinca é):
1.1,
5
11 111
5
Cl I1,
E
H;(Q). (2)
Los espacios
VI
and
V2
son espacios de Hilbe con los p oduc os escala es
y
no mas
siguien es:
ANALISIS NUMERICO DE UNA ECUACION DE TIPO STOKES
donde
Ü
=
(u1,
212,
u3)
y
Ü
=
(u1, 2, 3). Sob e el espacio
V2
se iene la siguien e
semi-no ma:
que sob e
V
esul a se equi alen e a
1)
JJ ,,
es deci :
NOTA.-
Po con eniencia en la no ación se e i a á coloca la lecha pa a los ec o es,
excep o en los casos en que pueda habe con usión.
A
con inuación se halla á la ecuación a iacional, co espondien e a la unción
incógni a u.
TEOREMA
1.-
Si u,
p
es la solución del p oblema (P) en onces u es solución de la
siguien e ecuación a iacional:
a(u, )=L( ) V
E
K
,
u
E
K
(6)
donde
1
K
=
{u
E
V/di (u)
=
O
en
0)
con exo ce ado de V,
Demos ación.- Si se mul iplica escala men e la ecuación di e encial de (P) po el
ec o
E
K,
se in eg a en el dominio
0,
se u ilizan los siguien es esul ados:
~p
dx
=
-
p
di ( )dx
=
O
,
V
E
K,
(8)
D.
TARZIA
se deduce la ecuación a iacional (6).
Obse ación
1.-
L
es una o ma lineal sob e
V,
al
es una o ma bilineal
y
simé ica
sob e
V
x
V,
a2
es una o ma bilineal
y
an isimé ica sob e
V
x
V
y
a
=
al
+
a2
es una
bilineal pe o no simé ica sob e
V
x
V.
TEOREMA
2.-
Si
E VI
y
w
E
W3
,
en onces la ecuación a iacional (6) iene una
única solución u
E
K.
Demos ación
.-
Si
E
Vi
en onces la o ma lineal
L
es con inua sob e
V;
si
w
E
W3
en onces al
y
a2
son dos o mas bilineales con inuas sob e
V
x
V
y
además la o ma
bilineal a es V-elíp ica o coe ci i a sob e V, es deci
donde
c
>
O
es la cons an e que apa ece en la desigualdad (5). Po ende, la exis encia
y
unicidad de solución de la ecuación a iacional(6) se deduce po aplicación del Teo ema
de
Lions-S ampa~chia~~~*~~'~.
Obse ación
2.-
En lo conce nien e a la egula idad de la solución u se supond á que
se iene el siguien e esul ado de egula idad2 3J1
:
A
con inuación se a ob ene la p esión p apa i de la ecuación a iacional (6).
Sea el uncional lineal
y
con inuo
S
:
V
-+
R
de inido de la siguien e mane a:
donde
L
y
a
es án de inidos en
(7)
y
u
E
K
es'la única solución de (6). Po o a pa e,
S
iene la p opiedad siguien e:
y
además puede esc ibi se como
donde
g
=
-uVu
+
w
A
u
-
.
Teniendo en cuen a la descomposición del espacio
VI
[11,6] se deduce que exis e
p
E
H1(Q) (único excep o cons an e adi i a) de mane a que se enga:
S(u)
=
ln
di (u)dz
,
VU
E
V
con
g
=
-Vp, (15)
ob eniéndose de es a mane a la p opiedad siguien e:
LEMA
3.-
La p esión
p
puede ob ene se a a és de la solución
u
de la ecuación
a iacional (6)
y
es única excep o una cons an e adi i a.
ANALISIS NUMERICO DE UNA ECUACION DE TIPO STOKES
389
UN ALGORITMO DE APROXIMACION DE LA DUPLA
(u,p)
La desc ipción de lo que sigue es álida cuando la dimensión del espacio
IRN
es
N
=2,3.
Algo i mo:
Se de ine una ap oximación
u,,p,(n
E
N)
de la dupla
u, p
de la siguien e
mane a:
(i) se da
po
E
H1(S2);
(ii)
Si se conoce
p,
E
H1(0)(n
2
0)
se calculan:
(a)
u,
como la única solución del p oblema
- Au,
+
w
A
u,
=
-
Vp,
en
S2,
u,/
=
O;
(16)
(b)
p,+l
se de ine, en unción de
p,
y
de
u,
de la siguien e mane a:
pn+i
=
pn
-
p
di
(U,)
en
0,
(17)
donde
p
E
R
es un adecuado pa áme o a se elegido adecuadamen e.
Obse ación
3.-
Dado
p,,
la exis encia
,y
unicidad de la solución
u,
del p oblema
(16)
su ge en o ma análoga a la ealizada pa a la ecuación a iacional
(6)
del p oblema
(P).
TEOREMA
4.-
Si el pa áme o
p
E
IR+
es elegido su icien emen e pequeño pa a que
sa is aga la desigualdad
en onces
u,,p,
con e gen ue emen e hacia la solución
u, p
del p oblema
(P)
en
(H'(R))~
y
(L~(S~))~
espec i amen e. La con e gencia de
p,
hacia
p
es excep o
una cons an e adi i a.
Demos ación.- Sean
u,
=
u,
-
u
y
q,
=
pn
-
p.
Res ando las ecuaciones
di e enciales sa is echas po
u,
p
y
u,, p,,
y
eniendo en cuen a que di
(u)
=
O
en
0,
se ob iene
(i)
-
A ,,+
w
A
u,
+
Vq,
=
O
en
R,
(ii)
q,+l
=
q,
-
p
di
(u,)
en
R. (19)
De
(19 ii)
se deduce
Po o o lado, se iene
(qnidi (un))~=Lqndi (un)dx=-
J,
Vqn* nd~=-(Vqn, n)~. (21)
Si se mul iplica escala men e po
,
la ecuación
(19i),
se iene en cuen a que
(w
A
,) u,
=
O,
se in eg a en
S2,
en onces se deduce

D.
TARZIA
2
(Vqn7 n) l
=
- l nll.
U ilizando
(21)
y
(22)
en
(20),
y
la desigualdad
Idi
( )I
<
JÑ1 l ,
,
V
E
(H~(Q))~, (23)
siendo
N
la dimensión del espacio
E N(R
c
E N),
se ob iene
al e i ica
p
la desigualdad
(18).
Po lo an o, la sucesión
(lqnI2)
es dec ecien e
y
aco ada in e io men e po
0,
con lo cual exis e su lími e cuando
n
-
cm.
En onces, se
deduce
y
po ende, de
(24)
su ge que
lim
I nl 1
=
O
nhoo
con lo cual
u,
-
u
en
(HA(R))~
ue e cuando
n
--+
cm.
Teniendo en cuen a el esul ado
de egula idad
(11)
se deduce además que
Aun
-,
Au
y
w
A
u,
-
w
A
u
en
(~~(0))~
ue e cuando
n
-,
cm.
Teniendo en cuen a
(19i)
se ob iene que
Vpn
-
Vp
en
(~~(0))~
ue e cuando
n
4
cm.
EL
CASO PARTICULAR
N
=
2
Pa a el caso pa icula en que la dimensión del espacio es
N
=
2,
se ienen que
La condición di
(u)
=
O
en
R
c
lE N
implica la exis encia de una unción escala
$
de mane a que
u
=
o o
(O,
0,
$)
=
V
A
(O,
0,
$),
es deci
Po o o lado, si se designa con
n
=
(nl
,
n2)
y
=
( 1
,
2)
los e so es no mal
y
angen e a
( 1
=
-n2,72
=
nl)
y
u ilizando el hecho
uI
=
O,
se deduce
a$
-
=
&nl +$yn2
=
-212~2
-
ul l
=
-21.7
=
O
sob e
,
8%
(29)
ANALISIS NUMERICO
DE
UNA ECUACION
DE
TIPO
STOKES
39
1
l
a$
-
=
gXn
+
$y72
=
u2n2
+
u1n1
=
u
n
=
O
sob e
1',
6
(30)
es deci
debido a que la nue a unción incógni a es a á de e minada sal o una cons an e
al
se
$,
po
(30),
cons an e sob e
I'.
Si se calcula el o o de la ecuación di e encial del p oblema
(P)
se deduce pa a
1C,
la ecuación de cua o o den siguien e:
donde
LEMA
5.-
Si
N
=
2,
en onces el p oblema
(P)
se educe en encon a la unción
escala
11,
=
$(x, y)
solución del p oblema
(32),(31).
Obse ación
4.-
Si
w
es cons an e en
R,
en onces la unción
$
sa is ace el p oblema
bi- a mónico siguien e
as,
$=--
-
O
sob e
I',
dn
sob e el cual se puede consul a
[3
y
41.
FORMULACION VARIACIONAL MIXTA DEL PROBLEMA
(P)
Sean la siguien e aplicación:
b
:
V
x
H
-+
IR/b( ,p)
=
di
( )p
dx,
L
y
el siguien e p oblema a iacional mix o2: Halla
(u,
A)
E
V
x
H
de mane a que se
sa is agan las dos condiciones siguien es:
a(,,,)
+
b( ,A)
=
L( )
,
V
E
V,
~(u,P)
=
O,
VP
E
H,
(36)
donde
a
y
L
es án de inidos en
(7).
392
D.
TARZIA
En onces se iene el .siguien e esul ado que elaciona el p oblema a iacional
(6)
con el p oblema mix o (36).
TEOREMA
6.-
(i) Se iene la siguien e equi alencia:
E
Kw
b( ,p)=
O,
Vp
E
H.
(ii) Si.(u, A)
E
V
x
H
es solución de (36), en onces
U
es solución de (6).
(iii) Si u
E
K
es solución de (6), en onces
u
puede se conside ado como la p ime a
componen e de una dupla (u,
A)
que es solución de (36).
(i ) Se iene la siguien e equi alencia:
u, p es solución de (P)
e
(u, -p) es solución de (36).
Demos ación.- (i) Su ge po de inición del p oduc o escala en el espacio de Hil-
be
H.
(ii) e (iii) son co ola ios de (i).
(i ) La equi alencia su ge eniendo en cuen a la igualdad
=-S,
di ( ) p
dx
=
-b( , p)
,
V
E
V,
con lo cual, se iene la elación
X
=
-p
en e las incógni as
A
de (36) y
p
de (P).
Obse ación
5.-
La o ma bilineal
b
es con inua sob e
V
x
N,
ob eniéndose
LEMA
7.-
(i) La o ma bilineal y con inua
b
sa is ace la condición de B ezzi, es deci
lb,
>
O
de mane a que
SUP lb( lp)l
>
b,lpl
,
V
p
E
H.
í ,
#
O
I I l
(ii) el p oblema a iacional mix o
(36)
iene una única solución (u, A)
E
V
x
H
[1,2].
AGRADECIMIENTOS
El p esen e abajo ha sido ealizado a a és del P oyec o de In es igación
y
Desa ollo "Análisis Numé ico de Ecuaciones e Inecuaciones Va iacionales" del
CONICET, Rosa io (A gen ina).
ANALISIS NUMERICO DE UNA ECUACION DE TIPO STOKES
393
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