Presiones hidrodinámicas sobre cortinas rígidas en un embalse de geometría arbitraria

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 12, 2, 103-123( 1996) X. LI *,** M.P. ROMO O. ** Y J. AVILÉS L. * * Instituto de Investigaciones Eléctricas, Apartado Postal 475, 62000, Cuernavaca, Mor., México ** Instituto de Ingenierzá, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado Postal 70-472, 04510, México D.F., México RESUMEN En análisis sísmico de presas de gravedad, de arco y de enrocamiento con cara de concreto la influencia del embalse debe tomarse en cuenta debidamente. Es bien sabido que las presiones hidrodinámicas actuantes sobre presas dependen en gran medida de la forma del paramento aguas arriba de la cortina y del fondo del embalse. En este trabajo se presenta una formulación con elementos de frontera que permite calcular eficientemente las presiones hidrodinámicas sobre una presa rígida, siendo el embalse de geometría arbitraria y el líquido compresible. La formulación es bidimensional y se trata en el dominio de la frecuencia. El embalse puede ser finito o infinito; para este último caso se desarrolla una novedosa condición de frontera lejana. Los resultados obtenidos con el presente modelo se comparan favorablemente con soluciones analíticas existentes. Se estudia también la influencia de la geometría del embalse para ciertas formas típicas tanto del paramento como del fondo del mismo. SUMMARY In earthquake analysis of gravity, arch or concrete-faced rockfill dams the influence of the reservoir should be taken into account carefully. It is well known that hydrodynamic pressures acting on dams depend to great extent on geometric form of the dam face and reservoir bottom. This paper aims in presenting a boundary element formulation that allows to compute efficiently hydrodynamic pressures on rigid dams, considering a reservoir of arbitrary geometry with compressible fluid. The formulation is two-dimensional and stated in the frequency domain. The reservoir may be finite or infinite; for the latter case a novel far boundary condition is developed. The results obtained by the present model are favorably compared with existing analytical solutions. The influence of the reservoir geometry is also studied for certain typical forms of the dam face and the reservoir bottom. Recibido: Julio 1994 OUniversitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 En condiciones de operaciones normales de una presa, el agua contenida en un embalse ejerce presión hidrostática sobre el paramento aguas arriba de la cortina, cuya variación con la profundidad es siempre lineal. Cuando la presa está sujeta a excitación sísmica, la cortina junto con el embalse sufren vibraciones y en consecuencia el agua produce una presión hidrodinámica adicional a la hidrostática. Si el análisis dinámico se efectúa en el dominio de la frecuencia, la presión hidrodinámica puede tener valores reales e imaginarios y varía con la profundidad en una forma más complicada que la lineal. Para tener una idea de la magnitud de la presión hidrodinámica generalmente se supone que la cara de la cortina es vertical, el embalse se extiende hacia el infinito con un fondo horizontal y el agua es incompresible. Ante una excitación armónica horizontal con aceleración máxima igual a la de la gravedad, la máxima fuerza hidrodinámica total resulta ser un poco mayor que la resultante hidrostática, lo cual no es nada despreciable. Para excitaciones de menor intensidad, la fuerza disminuye proporcionalmente. La magnitud y distribución de presiones hidrodinámicas dependen de muchos factores; entre ellos se encuentran la geometría del embalse, la inclinación de la cara de la cortina, las características dinámicas de los materiales constituyentes de la presa, la compresibilidad del agua, la flexibilidad de la cimentación, el espesor y la compresibilidad del sedimento depositado en el fondo del embalse. Atendiendo a la complejidad del problema y al posible impacto sobre la seguridad de las presas, en las últimas dos décadas la valuación adecuada de presiones hidrodinámicas ha constituido un aspecto importante en el análisis sísmico de presas de arco, de gravedad y de enrocamiento con cara de concret~l~~~~. El problema hidrodinámico en presas fue planteado originalmente por JVestergaard4 y reconsiderado posteriormente por Chopra5. A partir de este último estudio, las investigaciones dedicadas a dicho tema se han intensificado y profundizado6-'l. Hoy es bien sabido que la geometría del embalse es uno de los factores de influencia más importantes que se deben incluir en cualquier modelo del embalse. La importancia de la geometría del embalse se debe al hecho de que el cambio de la geometría modifica tanto la magnitud como el contenido de frecuencias de las presiones hidrodinámicas. Con el fin de poder tomar en cuenta la irregularidad geométrica de un embalse real, un algoritmo numérico resulta indispensable. Entre los varios métodos numéricos comunes, el de elementos de frontera es más atractivo ya que: el dominio del embalse es generalmente muy grande por lo que la discretización en el contexto de elementos finitos resulta en un enorme sistema de ecuaciones, el interés práctico del problema está en la frontera más que en el dominio, y el embalse es un sistema secundario para el problema global embalse-presa por lo que modelándolo con elementos de frontera se puede asociar fácilmente al sistema principal que es la presa. Cabe mencionar que existen dos tipos de embalse en cuanto a su geometría global: finito e infinito7. En el primero, el dominio del embalse se acota como un contenedor de agua; mientras que en el segundo, el embalse se extiende por un extremo al infinito y por el otro se acota con la cortina. En la realidad todos los embalses son finitos; sin embargo, en la mayoría de los casos la extensión horizontal del embalse es mucho mayor que la altura de la cortina, implicando una geometría de análisis demasiado esbelta lo cual causa dificultad numérica. Aún más, en el análisis sólo interesa conocer el comportamiento del agua en la cercanía de la presa y por lo tanto la inclusión de todo el embalse es innecesaria. De ello surge la idealización que se muestra en la Figura 1, donde la región acotada representa a la zona irregular del embalse y la región ilimitada con profundidad constante a la zona regular del embalse. Entre las regiones finita e infinita se encuentra la llamada "frontera lejana". Figura 1. Esquema ilustrativo del embalse analizado por el método directo de elementos de frontera Cuando el problema se resuelve con elementos de frontera, aparentemente la frontera lejana puede omitirse. Esta práctica es común al tratar los problemas dinámicos en una masa semi-infinita de suelo o roca, ofreciendo gran ventaja sobre el método de elementos finitos en donde el dominio de análisis tiene que ser limitado. Sin embargo, según estudios previos1', debido a la compresibilidad del agua la omisión de la frontera lejana produce resultados numéricos erróneos. Es indispensable imponer cierta condición en la frontera lejana aún cuando el problema se resuelva por elementos de frontera. El objetivo de este artículo es describir la implementación del método de elementos de frontera para resolver problemas hidrodinámicos en cortinas rígidas. Estudios similares se han reportado con anterioridad por otros autoresl2>l3. En esos trabajos, los cálculos siguen la formulación del método directo de elementos de frontera14, pero con diferentes modelos para la condición de frontera lejana. Wepf et a1.12 desarrollaron una condición que es válida solamente para excitación horizontal. La exactitud de dicha condición depende de la discretización de la frontera: para un rango de frecuencias más amplio se requiere de una discretización más fina. Por otro lado, Humar y Jablonski13 simplemente utilizaron una condición basada en el algoritmo de elementos finitos, que fue propuesta originalmente por Hall y Chopra7. Tal manera de combinar los dos métodos numéricos resulta ser bastante ineficiente en la implementación. El presente trabajo sigue utilizando el mismo método directo de elementos de frontera. La contribución principal radica en proponer una nueva condición para la frontera lejana, que es más exacta y eficiente que las antes mencionadas. A fin de apreciar los efectos de la geometría del embalse, también se presentan resultados para algunas formas típicas tanto del paramento como del fondo del embalse. Los análisis se enfocan a tratar un problema bidimensional en el dominio de la frecuencia, considerando sólo excitación horizontal. Pero el planteamiento es general, de forma que se puede extender a otros casos que no están contemplados en este trabajo. Si el líquido inviscido está sometido a un movimiento armónico de amplitud pequeña e irrotacional, que genera una presión peiaX, la ecuación que gobierna la amplitud de la presión está dada por la ecuación de Helmholtz: donde v2 es el operador Laplaciano que se expresa para el caso bidimensional como v2 = & + < y k = w/c es el número de onda, siendo w la frecuencia circular de ay excitación y c la velocidad de propagación del sonido en el agua. El dominio de análisis es finito y está delimitado por ABCDA, como se ve en la Figura 1, para el cual existen cuatro zonas de frontera cuyas condiciones se describen en lo que sigue. Si se ignora el efecto del oleaje la presión en la superficie libre del agua (AB) es nula, esto es: A lo largo de la interfaz agua-cortina (BC), la derivada normal de la presión p = 2 es igual a a donde & = &n, + -n , [n,, nylT define la normal hacia afuera en la frontera. Además ay y p es la densidad de masa del agua y a, la amplitud de aceleración del movimiento de la cortina que, si a ésta se le supone rígida, se calcula de acuerdo con la, aceleración del terreno como a, = aHn,lBC, siendo aH la amplitud de aceleración del terreno en la dirección horizontal. Asimismo, a lo largo del fondo del embalse se tiene7 donde af = aHn,lCD. En esta expresión aparece un término adicional comparada con la ecuación (3) el cual expresa la flexibilidad del fondo del embalse: i es la unidad imaginaria y el coeficiente de amortiguamiento de la cimentación E está definido por siendo a, el coeficiente de refracción de ondas, que se calcula aproximadamente como donde p, y c, son la densidad de masa y la velocidad de propagación de ondas de compresión en el material constituyente del fondo del embalse. Para el caso de fondo rígido se tiene que a, = 1, en tanto que para el caso de fondo infinitamente flexible se tiene que a, = -1. Por tanto, el valor de ( varía de O a OO. Existe un caso llamado de amortiguamiento total en que se tiene que pc = p,c, por lo que a, = O y < = l/c. Finalmente, la condición de la frontera lejana (DA) se expresa como IDA = MP~DA (7) donde M indica heurísticamente el mapeo que relaciona la derivada normal de la presión con la presión en la región infinita; esta función se obtiene posteriormente. El método de elementos de frontera es eficiente comparado con otras técnicas numéricas porque reduce la dimensión espacial del problema en un orden. Para el problema considerado en este trabajo, dicho método es más atractivo por el hecho de que el dominio de análisis dado por el embalse es homogéneo y sólo es de interés la respuesta a lo largo de la frontera común con la cortina. Los fundamentos teóricos y las aplicaciones de este método abundan en la literatura y se han resumido en el libro de Brebbia et al14. Por limitaciones de espacio, se describe a continuación la formulación del método en cuestión de manera breve. De acuerdo con los principios del método directo de elementos de frontera14, la ecuación (1) puede convertirse, después de haber utilizado los teoremas de Gauss, en la siguiente ecuación integral: donde P y Q denotan los puntos de colocación y de campo, respectivamente. Las dos integrales de superficie que aparecen en la expresión anterior se efectúan a lo largo de toda la frontera cerrada del dominio ABCDA. La integral que aparece en el lado izquierdo de la ecuación anterior significa que su existencia es en el sentido de valores principales de Cauchy. C(P) es un coeficiente que se determina de acuerdo con la forma geométrica de la frontera. Además, p* y q* son funciones de Green que toman las siguientes formas para el problema bidimensional que nos ocupa: donde r es la distancia entre un punto de colocación y uno de campo; ~i(kr) y H;(kr) son funciones de Hankel de segunda especie de orden cero y uno, respectivamente. Las funciones expresadas en (9) y (10) son válidas para un dominio infinito. La presencia de la superficie libre del agua hace que el problema pueda tratarse como un medio seniinfinito. Para ello, se escoge un punto de colocación imagen P* para cada punto fuente P (Figura l), de suerte que ambos puntos de colocación tienen las misnias abscisas y distancia con respecto a la superficie libre. Las funciones en (9) y (10) pueden entonces ser sustituidas por donde r' es la distancia entre el punto de colocación imagen P' y el campo Q. Por utilizar las funciones de Green para un dominio seminfinito, la frontera por integrar se reduce a BCDA que es una frontera abierta. A fin de resolver la ecuación integral (8), la frontera BCDA se discretiza en cierto número de segmentos llamados elementos de frontera. En cada elemento de frontera se supone cierto esquema de interpolación sobre la presión y su derivada normal. En este trabajo se acepta una interpolación de orden cero, es decir, la presión y su derivada normal se suponen constantes en cada elemento. Estudios anteriores13 han demostrado que los elementos constantes son suficientes para resolver problemas hidrodinámicos en presas. Si los elementos son del tipo constante, el punto de campo se localiza en el centro de cada elemento y el coeficiente C(P) en la ecuación (8) resulta ser C(P) = -0.5. Como resultado del proceso de discretización, la ecuación (8) se convierte en un sistema de ecuaciones algebraicas dado por donde los componentes de las matrices H y G son donde Sij es la delta de Kronecker. Los vectores p y q contienen valores de presión y derivada normal, respectivamente, evaluados en cada punto de campo. Como los números de puntos de colocación y de campo son iguales, además de que las condiciones de frontera son correctamente especificadas, el sistema de ecuaciones (13) es exactamente determinado y siempre tiene solución única diferente de la trivial. CONDICIONES DE FRONTERA LEJANA Como se mencionó al principio de este trabajo, la especificación de las condiciones de frontera lejana es uno de los aspectos más importantes en el desarrollo de un modelo del embalse, ya que la respuesta hidrodinámica de la cortina es sumamente sensitiva al comportamiento de la región ilimitada del vaso. Esto es entendible pues la masa del agua en la región ilimitada es considerablemente mayor que la de la región finita; si la frontera lejana no está localizada apropiadamente de la cortina la región infinita tiene efectos dominantes sobre la respuesta de la cortina. Hasta la fecha, la mayoría de las condiciones de frontera lejana son aproximadas en el sentido de que su desarrollo requiere de la discretización espacial a priori de la frontera. Por ejemplo, en el modelo de Hall y Chopra7 se tiene que discretizar la frontera con elementos finitos para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas de las cuales se definen los modos de vibración. El modelo de Wepf et al.'' tiene las mismas características, aunque se utilizan soluciones analíticas en lugar de elementos finitos. Por el contrario, la condición de frontera lejana que se desarrolla a continuación no requiere de la discretización a priori y, por lo tanto, es una condición exacta. Para encontrar la condición de frontera lejana se parte de la solución analítica en la región infinita de profundidad constante. Aplicando separación de variables a la ecuación (1)) considerando las condiciones de borde de la superficie libre (2) y el fondo (4) de la región ilimitada junto con la condición de radiación al infinito, se obtiene que la solución exacta es de la forma Esta solución es válida para una excitación en la dirección horizontal. X y Y son coordenadas locales definidas en la Figura 1; la ordenada local Y tiene su origen en el fondo del embalse, se dirige hacia la superficie libre y varía entre O y H, siendo esta última la profundidad del agua en la región infinita del embalse. La función fi está definida por fl (Y, w) = senP1 (H - Y), siendo P1 un eigenvalor que satisface la siguiente ecuación trascendental En casos extremos donde el fondo es rígido o la frecuencia de excitación es nula se tiene que ( = O y por tanto B1 H = (21 - l)n/2; para fondo infinitamente flexible o frecuencia muy grande se tiene que PIH = 17r. Finalmente, el coeficiente al se calcula de acuerdo con al = -tJ,Bf' - k2, para el cual es indispensable satisfacer la restricción de que Re[al] > O a fin de cumplir con la condición de radiación al infinito de S~mmerfield'~~~~. Esta última condición sobre el valor al es importante por tratarse de una región ilimitada en la cual las ondas que crecen hacia el infinito son físicamente inaceptables. Ahora bien, las condiciones de unión entre la solución interna de elementos de frontera y la expansión externa de funciones de onda se deben establecer en X = O; la presión a lo largo de esta frontera lejana está dada por La derivada normal de presión a lo largo de la frontera lejana es de la forma La derivada es hacia afuera de la región finita. En ambas expresiones, (18) y (19), los coeficientes Al son indeterminados. Para establecer una condición de frontera lejana es necesario plantear la relación entre p(Y, w) y q(Y, w) en dicha frontera. Para ello se requiere primero despejar de la ecuación (18) los coeficientes Al en términos de p(Y, w), y después sustituirlos en la ecuación (19) a fin de obtener la mencionada relación. La técnica de mínimos cuadrados es eficiente para determinar los coeficientes Al si la frontera lejana no posee una forma geométrica simple15-17. Para el caso que nos ocupa en que la frontera lejana es vertical, se pueden utilizar directamente las propiedades de ortogonalidad de las funciones fl (w, Y), de suerte que Por las propiedades ortogonales de las eigenfunciones fl, la integral del lado izquierdo de la ecuación (20) es no nula sólo cuando 1 = k, por lo que ésta se reduce a en donde Sustituyendo (21) en (19) se obtiene Esta expresión representa la forma específica de la condición de frontera lejana expresada en la ecuación (7). Comparando las ecuaciones (7) y (23), el mapeo hf resulta ser una integral a lo largo de la frontera por lo que la condición resultante es no local. Hasta este punto, la obtención de la ecuación (23) no requiere de discretización espacial alguna, siendo por lo tanto una condición de frontera exacta. Esto marca la principal diferencia entre ésta y las otras condiciones anteriormente reportadas. Con el fin de unir la expansión del dominio infinito a la región limitada que se analiza dentro del contexto del método directo de elementos de frontera, la frontera PRESIONES HIDRODINÁMICAS SOBRE CORTINAS R~GIDAS 111 lejana se divide en un cierto número de elementos constantes. En cada elemento constante, la presión y su derivada normal se mantienen constantes. Bajo esta hipótesis, la integración en la ecuación (23) puede llevarse a cabo fácilmente elemento por elemento, de suerte que dicha ecuación se convierte en la siguiente expresión discretizada q = -Fp (24) en donde 2alsenpl(H - 5) (F)~a = p1 H - senpl H cos fiH {cos pl(H - Y,-1) - cos Bl (H - Y,)} (25) 1=1 donde Y,+i y Y, son ordenadas del punto inicial y final del elemento i, y L es el número de términos de la expansión considerados. La ecuación (24) representa la condición de frontera lejana en forma discretizada. La aproximación numérica inducida por dicha condición no proviene del dominio infinito sino de la región limitada del embalse. Cabe precisar que esta relación no es puntual, es decir, la derivada normal en un punto no solamente está relacionada con la presión en ese punto sino con las de todos los demás puntos. La ecuación (24) es aplicable solamente para el caso de excitación horizontal. Ante una excitación vertical se requiere desarrollar otra condición de frontera lejana. Como el procedimiento de desarrollo es similar en ambos casos y este artículo está confinado a estudiar respuestas debidas a excitaciones horizontales, se omite aquí el detalle de desarrollo para la excitación vertical. Humar y Jablonski13 presentaron una condición de frontera lejana cuya forma final es similar a la de la ecuación (23). Sin embargo, para obtener esa condición hay que efectuar un análisis unidimensional por elementos finitos, que es un proceso relativamente costoso. En cambio, la condición de frontera lejana presentada aquí tiene una forma cerrada y por tanto ofrece ventajas en cuanto al tiempo de ejecución y el espacio de memoria computacional. Por otro lado, Wepf et al.'' desarrollaron otra condición de frontera lejana que es más parecida a la que se presenta aquí. Un inconveniente de esa condición es que el número de eigenvalores utilizados en la solución tiene que ser igual al número de elementos constantes en la frontera lejana; en cambio, la nueva condición no está limitada a esta restricción. Los elementos infinitosz0 reportados en la literatura producen resultados todavía menos satisfactorio^^^ por suponer a przorz alguna función de mapeo para variables básicas que no es siempre válida. Es importante puntualizar que la condición de frontera lejana desarrollada no es siempre una condición absorbente. Cuando se presenta la absorción por el fondo del embalse, las ondas se disipan completamente en el extremo inifinito de la región ilimitada del embalse y la condición de frontera lejana sí es entonces del tipo absorbente. Sin embargo, cuando el fondo es rígido y las ondas se reflejan completamente, la condición de absorción en la frontera lejana ya no se cumple para el intervalo de frecuencias mayores que la fundamental del líquido del embalse. En estos casos las ondas que se propagan horizontalmente se reflejan a lo largo de la frontera lejana. Se han seleccionado ocho casos que aparecen en la Tabla 1 con referencia a las Figuras 2a-d). En todos ellos se supone una cimentación rígida y una excitación horizontal de aceleración unitaria. El primer caso se refiere a un embalse estándar de paramento vertical y fondo horizontal. En los casos 2, 3 y 4 se investiga la variación de la geometría del paramento, mientras que en los casos 5, 6 y 7 se estudia la geometría del fondo del embalse. El caso 8 combina los dos tipos de variaciones de geometría. En las Figuras 7-9 las abscisas representan las frecuencias normalizadas con respecto a la frecuencia fundamental calculada en el caso 1, mientras que las ordenadas representan el componente horizontal de la fuerza hidrodinámica que a su vez está normalizada con respecto a la fuerza hidrostática. En la Figura 7 se muestran cuatro curvas que corresponden respectivamente al paramento vertical, la inclinación parcial 1:1, la inclinación total 1:l y la inclinación total 1:2 (casos 1, 2, 3 y 4 de la Tabla 1 y Figura 2b). Para el caso de doble talud o de inclinación parcial se considera un paramento en que la parte superior es vertical y el cambio de talud se presenta a la mitad de la altura. Se observa que la parte inclinada de un paramento tiende a disminuir las fuerzas hidrodinámicas casi en todo el rango de frecuencias estudiado, excepto en un pequeño intervalo entre la frecuencia fundamental y la frecuencia natural del segundo modo. En este rango, el paramento con una inclinación parcial produce mayor fuerza hidrodinámica que en los dos paramentos completamente inclinados. Para frecuencias menores que la fundamental, las fuerzas hidrodinámicas relativas al caso de paramento vertical se reducen hasta un 30 y 80 por ciento en los casos de doble talud y un talud 1:1, respectivamente. También se observa que el contenido de frecuencias prácticamente no se modifica con la presencia de taludes. Tabla 1. Datos de la geometría de los casos estudiados En la Figura 7 también se puede apreciar el efecto de la inclinación de taludes. Los dos paramentos totalmente inclinados (casos 3 y 4 de la Tabla 1 y Figura 2b) tienen pendientes 1:l y 1:2, y el paramento con la pendiente 1:2 es más tendido que el de 1:l. En términos generales, cuanto más tendido es el talud menor es la fuerza hidrodinámica resultante. Las frecuencias naturales del sistema se mantienen prácticamente invariables. Como se dijo anteriormente, antes y cerca de la frecuencia natural del segundo modo la magnitud de la fuerza hidrodinámica para un talud 1:l se incrementa con respecto al caso de paramento vertical; esto ya no sucede con un talud 1:2 que es más tendido. Las fuerzas hidrodinámicas disminuyen en un 50% si el talud cambia de 1:l a 1:2. En resumen, el cambio de la geometría del parámetro prácticamente no modifica el contenido de frecuencias, pero la magnitud de la fuerza hidrodinámica disminuye si el paramento tiene una parte inclinada. El contenido de frecuencias depende fundamentalmente de la profundidad del embalse en el extremo infinito y no es sensible a los detalles geométricos del paramento de la cortina. De aquí se resalta la importancia de modelar correctamente la condición en la frontera lejana. La disminución de la fuerza hidrodinámica por la inclinación del paramento se debe al fenómeno de reflexión de ondas pues en un paramento inclinado parte de las ondas se reflejan en la dirección vertical, disminuyendo el componente horizontal de las ondas reflejadas y produciendo así menores fuerzas hidrodinámicas horizontales. Figura 7. Valores absolutos de fuerzas hidrodinámicas normalizadas vs frecuencias normalizadas para diferentes formas de inclinación del paramento Comparada con la del paramento de la cortina, la geometría del fondo del embalse tiene influencia más notable sobre la respuesta hidrodinámica pues un cambio del fondo modifica en gran medida el contenido de frecuencias. En la Figura 8 se aprecia el efecto del levantamiento del fondo; en los cuatro casos presentados (casos 1, 5, 6 y 7 de la Tabla 1 y Figura 2c) el paramento se mantiene vertical. El primer caso corresponde a un fondo del embalse horizontal con la altura total de la presa en la región infinita del embalse. En el segundo caso la región infinita tiene la mitad de la altura de la cortina y se presenta un talud 1:l desde el pie de la presa hasta la región infinita. El tercer caso no tiene la región infinita dejando de ser en realidad un embalse abierto; la cuña del agua tiene una pendiente 1:l. 120 x LI, M P ROMO Y J AVILÉS L I I 0.18 -- Horizontal 0.16 - . ..-. Levanta. parcial 1:2 1 /' I 0.14 - /: , , Levanta. parcial 1:l I ' , I I Levanta. total 1:l :: 0.12 2 0.08 Il 0.02 i I( , / I, 'L ,', '! 0.00 t----, O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f/fl Figura 8. Valores absolutos de fuerzas hidrodinámicas normalizadas vs frecuencias normalizadas para diferentes formas del fondo del embalse Como se observa en el segundo caso, las frecuencias naturales son el doble de las del primero. Esto es entendible ya que la altura del agua en la región infinita disminuye a la mitad. Este resultado confirma la conclusión anterior de que la región infinita del embalse tiene un efecto dominante sobre el contenido de frecuencias y por ende tiene que modelarse con precisión. También, debido a que en el segundo caso existe todavía una región finita del agua que tiene una altura variable, las fuerzas hidrodinámicas de este caso tienden a seguir la tendencia de variación del caso con un fondo horizontal. Esto se puede observar a través de la forma de la curva del segundo caso en la cercanía de las frecuencias naturales calculadas para el primero. La pendiente del talud en el fondo del embalse también afecta a la respuesta hidrodinámica tal como se observa en el tercer caso donde el talud del fondo con la pendiente 1:1 es más tendido que el del segundo caso. En estos casos la altura de la región infinita se mantiene a la mitad de la altura de la presa. Como se observa, para el caso con menor pendiente la fuerza hidrodinámica disminuye. Un aspecto importante es que para el caso con mayor pendiente la variación de la fuerza hidrodinámica con la frecuencia resulta un tanto errática. Esto se debe probablemente a que la región infinita del embalse está bastante lejos de la cortina, de tal modo que la respuesta de ésta deja de depender dominantemente de esa región. La mencionada variación errática de la fuerza hidrodinámica proviene principalmente del fenómeno de difracción de ondas ocurrido en la región finita del embalse, debido a la presencia de una irregularidad lateral definida precisamente por el talud del fondo del embalse; también proviene de los picos resonantes adicionales que se generan cuando el fondo del medio no es horizontal, o visto de otra forma, cuando la altura del agua varía continuamente. El cuarto y último caso es un embalse cerrado en el cual se aprecian más frecuencias de resonancia comparado con los otros casos anteriores. Dentro del intervalo de frecuencias estudiado, se observa en este último caso la presencia de resonancias en las frecuencias normalizadas f / fi = 1, 3.2, 4.4, 5.2, 5.8, 7.3, 7.6 y 9. Además, la amplitud de las fuerzas hidrodinámicas disminuye considerablemente con respecto a un embalse con fondo horizontal. Para frecuencias menores que la frecuencia fundamental del primer caso, la amplitud de las fuerzas hidrodinámicas está relacionada con el volumen del embalse: cuanto menor es el volumen menor será la amplitud. Este resultado es congruente con los previamente obtenidos por Avilés y Sánchez-Sésma14 para un embalse finito de agua incompresible. Para frecuencias mayores no es posible afirmar en qué caso se presentan mayores fuerzas hidrodinámicas, puesto que por la gran variedad de picos múltiples, las fuerzas hidrodinámicas de un caso con respecto al otro son mayores en algunos intervalos de frecuencias y menores en los otros. De todos estos resultados se puede concluir que es difícil obtener reglas simples que predigan las modificaciones que pueden tener las respuestas hidrodinámicas al variar la geometría del embalse. Es importante recurrir entonces a herramientas analíticas con el fin de apreciar, aún a nivel cualitativo,los fenómenos físicos. Para argumentar este punto, en la Figura 9 se presenta un caso que combina el efecto del paramento y el del fondo del embalse (caso 8 de la Tabla 1 y Figura 2d). En términos generales, la respuesta del caso combinado cae en un nivel intermedio entre las respuestas de las dos geometrías independientes (casos 2 y 6 de la Tabla 1). Sin embargo se presentan fenómenos que no se pueden explicar por una simple combinación de los casos independientes. Por ejemplo, en los dos casos individuales no se aprecia un pico en la frecuencia normalizada de f /fi = 3. En cambio, para el caso combinado se observa tal pico en forma pronunciada. Figura 9. Valores absolutos de fuerzas hidrodinámicas normalizadas vs frecuencias normalizadas para un caso combinado de paramento no vertical y fondo no horizontal CONCLUSIONES La geometría del embalse tiene efectos importantes sobre la presión hidrodinámica de una presa rígida y tiene que incluirse en el análisis. El método de elementos de frontera resulta ser una técnica eficiente para evaluar numéricamente la influencia de la geometría del embalse. Para el caso de embalse infinito es indispensable imponer una condición de frontera lejana. En este trabajo se desarrolló una nueva condición de frontera lejana que demostró su eficiencia y precisión comparada con otras condiciones anteriormente desarrolladas. La nueva condición es no local y se expresa en forma de serie para excitación horizontal. Se puede controlar el rango de interés de frecuencias resonantes mediante la variación del número de términos de la expansión. El rango de las frecuencias por cubrir es independiente de la discretización espacial de la frontera lejana, resultando así un modelo eficiente. Otra ventaja de la nueva condición de frontera es que se puede lograr una solución económica y precisa al mismo tiempo, localizando la frontera lejana donde termina la parte irregular del embalse. Los estudios paramétricos realizados muestran que el cambio de la geometría del paramento prácticamente no modifica el contenido de frecuencias pero sí la magnitud de las fuerzas hidrodinámicas. Cuando el paramento tiene una parte inclinada la fuerza disminuye notablemente, entre más tendido sea el talud del paramento, nienor resultará la respuesta. La geometría del fondo del embalse modifica en gran medida el contenido de frecuencias. Cuando el fondo deja de ser horizontal surgen más frecuencias de resonancia. En términos generales, la fuerza hidrodinámica disminuye con el volumen del fondo del embalse; un embalse totalmente abierto y otro completamente cerrado producen respectivamente la mayor y la menor fuerzas hidrodinámicas. Corno conclusión general derivada de los resultados presentados, se tiene que es difícil obtener reglas simples sobre la respuesta hidrodinámica, siendo necesario utilizar herramientas comput acionales. REFERENCIAS 1. J.F. 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