Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
13,4, 467-486(1997)
SENSIBILIDAD DE ESTADOS
CRÍTICOS
EN INESTABILIDAD ESTRUCTURAL
VÍA PERTURBACIONES SINGULARES
ENRIQUE G. BANCHIO
Y
LUIS A. GODOY
Depa amen o de Es uc u as
Facul ad de Ciencias Exac as, Físicas
y
Na u ales
Uni e sidad Nacional de Có doba
Casilla de Co eos
916,
Có doba
5000,
A gen ina
Fax:
+
54-51-334144
RESUMEN
En es e abajo p esen amos un mé odo di ec o pa a ob ene la elación en e la ca ga
c í ica, las coo denadas c í icas y el pa áme o de impe ección. En la p esen e p opues a
suponemos las expansiones pa a la ca ga c í ica y las coo denadas co espondien es en é minos
de po encias a bi a ias del pa áme o de impe ección. Luego aplicando el p incipio de meno
degene ación, se de e minan los exponen es y los coe icien es de las expansiones. La écnica
desa ollada co esponde a pe u baciones singula es e incluye un esquema pa a iden i ica los
exponen es posibles de las expansiones pa a es ados c í icos gene ales. En la eo ía gene al de
es abilidad elás ica la clasi icación de es ados c í icos se ob iene a pa i del es ado c í ico y
de la ayec o ia pos c í ica inicial. En es e abajo se demues a que el mismo esquema de
clasi icación puede ob ene se a pa i de in es iga la sensibilidad del es ado c í ico sin necesidad
de en a en la ayec o ia pos c í ica.
SENSIBILITY
OF
CRITICAL STATES IN STRUCUTRAL INSTABILITY
VIA SINGULAR PERTURBATIONS
SUMMARY
In his wo k, we desc ibe a di ec p ocedu e o ob aining he ela ionships be ween he
c i ical loads, he c i ical coo dina es, and he ampli ude o he impe ec ion. In he p esen
app oach we assume he expansions o he c i ical loads and co espon ding coo dina es in e ms
o a bi a y powe s o he impe ec ions pa ame e . Then by he p inciple o leas degene acy,
we de e mine he exponen s and he coe icien s o he expansions. The echnique de eloped
in his wo k employs singula pe u ba ions and includes a me hodology o iden i y he se o
exponen s o gene al cases o c i ical s a es. The classi ica ion o c i ical s a es in he gene al
heo y o elas ic s abili y is ob ained om he c i ical and he ini ial pos -c i ica1 s a es. We
show ha he some ype o classi ica ion can be ob ained om a de ailed in es iga ion o he
sensi i i y o he c i ical s a es, wi hou making use o he pos -c i ica1 pa h.
Recibido: Feb e o
1997
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
468
E.G.
BANCHIO
Y
L.A.
GODOY
La eo ía gene al de es abilidad pa a sis emas es uc u ales ue o mulada
o iginalmen e po Koi e pa a sis emas con inuos y pos e io men e ex endida pa a
sis emas disc e os po a ios au o es. Una e isión de la eo ía desa ollada se encuen a
en los lib os2>314,516. En e1 análisis de es abilidad de un sis ema, la sensibilidad de los
es ados c í icos espec o a impe ecciones es uc u ales e is e de g an impo ancia
debido a que una pequeña impe ección puede ocasiona una disminución d ás ica de
la ca ga c í ica.
Pa a ealiza el análisis de sensibilidad, se in oduce un nue o pa áme o
E
que
ep esen a la ampli ud de la impe ección con una dis ibución espacial de e minada
y se esc ibe la ene gía po encial o al en é minos de las coo denadas gene alizadas,
el pa áme o de ca ga A y la impe ección E. Un pun o c í ico es á de e minado po
las ecuaciones de equilib io y de es abilidad c í i~a~~~~~~~ El análisis de sensibilidad se
lle a a cabo pe u bando las dos ecuaciones an e io es con el obje o de encon a la
elación en e la ca ga máxima
y
el pa áme o de impe ección deno ada po AM(&).
En p esencia de una bi u cación, es a elación iene pendien e in ini a en
E
=
O
y
la expansión no puede lle a se a cabo median e mé odos de pe u bación egula .
Thompson
y
~un ~ esuel en es e p oblema pe u bando con espec o a o o pa áme o,
po ejemplo Ql y una ez encon adas las se ies AM
=
AM(~l), Qy
=
Q)(Q~) con
j
>
1
y
E
=
E
(Q1), que esul an expansiones egula es, se in ie e la úl ima pa a
ob ene Ql
=
Qi(&) y luego se eemplaza en las dos p ime as. Las expansiones
esul an es quedan en é minos de po encias acciona ias de
E.
Es e en oque se
encuen a inco po ado en las e e encias que se ci an a iba.
En el mé odo di ec o pa a un g ado de libe ad7 en el cual las elaciones A"(&) y
Q)(E)
se ob ienen sin necesidad de expansiones in e medias. En es a úl ima p opues a
los exponen es no pueden se asumidos
a
p io i
y deben se de e minados como pa e del
p oblema. La ex ensión de la me odología7 a sis emas de múl iples g ados de libe ad
no es un asun o i ial e in oluc a la sensibilidad de la ayec o ia p ima ia del au o alo
y del au o ec o del p oblema. En es e abajo se p esen a un nue o esquema de análisis
que pe mi e in es iga la sensibilidad de es ados singula es en e a un pa áme o. La
nue a o mulación emplea pe u baciones singula es a pa i del es ado c í ico, pe o no
es á es ingida al caso de bi u caciones sino que pe mi e con empla casos gene ales
de es ados c í icos.
En la ac ualidad exis en dos en oques pa a e alua ayec o ias en p oblemas de
es abilidad es uc u al usando elemen os ini os: en el p ime en oque se hace uso de
la eo ía gene al de es abilidad es uc u al que emplea la ene gía po encial o al y sus
de i adas pa a in es iga la na u aleza de la es abilidad de un es ado, iden i icación
de es ados c í icos y e aluación asin ó ica de ayec o ias eme gen es8>g110. El segundo
en oque es el de la mecánica compu acional, en el que el seguimien o de ayec o ias
se lle a a cabo median e écnicas de análisis no lineal, ales como mé odos de a ance
paso a paso o de con inua~ión~~l~~. El p esen e abajo se enma ca den o del p ime
en oque.
Conside emos un sis ema disc e izado ep esen ado po una unción de ene gía
po encial
donde Qi pa a
i
=
1,. . .
,
n,
ep esen an las coo denadas gene alizadas que desc iben el
compo amien o del sis ema y
A
el pa áme o de ca ga. En pa icula , nos in e esan
aquellos sis emas cuya unción de ene gía po encial o al sea lineal en el pa áme o de
ca ga; al condición nos pe mi e esc ibi a V de la siguien e mane a
donde U(Qi) ep esen a la ene gía in e na de de o mación y £(Qi) los desplazamien os
asociados a las ca gas. Sob e es os sis emas es udia emos la sensibilidad a dos ipos
de impe ecciones . La p ime a, en la cual se adiciona a la ene gía po encial o al del
sis ema pe ec o un é mino de la o ma
con el nue o pa áme o
E
que puede conside a se como la magni ud de la impe ección.
Es e caso se p esen a, po ejemplo, cuando la impe ección co esponde a una ca ga
descen ada. El o o ipo de impe ección conside ado es ag egando el é mino
que se p esen a cuando hay una impe ección geomé ica o una de o mación inicial
debido a la p esencia de una pequeña ca ga no colineal a la ca ga
A.
El sis ema impe ec o queda ep esen ado po una unción de ene gía po encial
o al
Deno amos con V(Qi,
A,
O)
la ene gía po encial co espondien e al sis ema pe ec o.
Pa a ealiza el análisis ap oximamos con enien emen e la ene gía po encial del sis ema
V po una se ie de Taylo al ededo de un pun o de equilib io es able
e
donde, debido a los sis emas conside ados, los coe icien es
=
&le
son unciones
a
lo más lineales de los pa áme os de ca ga
A
y
de impe ección
E.
470
E.G. BANCHIO Y L.A. GODOY
SENSIBILIDAD
EN
TÉRMINOS
DE
PERTURBACIONES
SINGULARES
A
pa i de la eo ía gene al de es abilidad elás ica, plan eamos la condición de
equilib io
donde los subíndices deno an de i adas pa ciales espec o a las coo denadas
gene alizadas Qi pa a
i
=
1,.
. .
,
n.
La condición de pun o c í ico dis in o es á ca ac e izada po la exis encia de una
única di ección c í ica asociada a la nulidad de un único coe icien e de es abilidad. Es
deci , un pun o c í ico
c
=
(qi,,
A,)
sa is ace
donde xJc es la di ección c í ica y
KJ
es la ma iz de igidez angen e de ca ac e ís icas
simé icas. Es a úl ima ecuación puede e se como un p oblema de alo es p opios en
é minos del au o alo
A,
y el ec o p opio xJc.
A
pa i de las ecuaciones (4)-(5) omando
E
=
O
de e minamos los alo es c í icos
del sis ema pe ec o
A,
y q,, jun o con la di ección c í ica deno ada po x,, que
no malizamos de mane a al que xl,
=
1.
Supongamos que a lo la go de una ayec o ia p ima ia o undamen al, que sa is ace
la ecuación
(4),
se ha iden i icado el es ado c í ico
A,,
q,,
y
x,, con
E
=
O.
Si se
in oduce en el sis ema un alo
E
#
O,
an o la ayec o ia p ima ia como el es ado
c í ico hab án cambiado, e inclusi e la p opia na u aleza del es ado c í ico (no sólo su
alo numé ico) pueden modi ica se. En el en oque de la mecánica compu acional se
p ocede ía a e ec ua nue os cómpu os de las ayec o ias pa a cada nue o alo de E.
Sob e cada ayec o ia de equilib io no lineal con
E
#
O
se á posible iden i ica un nue o
es ado c í ico, que llama emos AM,
Q),
y
x).
Pe o la in o mación más impo an e del sis ema no es á dada po el conjun o de las
ayec o ias no lineales, sino po el conjun o de es ados c í icos que el sis ema iene en
unción del nue o pa áme o de con ol E. Pa a de e mina las elaciones en e la ca ga
máxima
y
el pa áme o de impe ección, deno ada po AM(e), y en e las coo denadas
co espondien es y la impe ección que ep esen amos po Q)(E), supond emos que
ales elaciones admi en los siguien es desa ollos
A"
=
A,
+
Alea1
con los exponen es
al,
pl,
71
acionales posi i os y los coe icien es
Al,
qJl y xjl
eales pa a
j
=
1,.
. .
,
n.
En es a o mulación los coe icien es de los desa ollos no
ep esen an necesa iamen e de i adas de
V
como en los desa ollos empleados pa a
casos de pe u bación egula .
Conside ando
E
dis in o de ce o, in oducimos los desa ollos (6) en la ecuación
de equilib io (4) y luego de eag upa po po encias de
E
ob enemos la ecuación de
equilib io pe u bada
donde
(
)'
=
a(
A,
( )
=
(
E
,
(
)
=
(
)/a~aA y
(
),
deno a
e aluación en el pun o c í ico
c
=
(qi,,
A,,
O). Obse amos que el p ime é mino es
nulo debido a que co esponde a la ecuación de equilib io del sis ema pe ec o e aluada
en el pun o c í ico c. La ecuación de equilib io
(7)
co esponde a una impe ección del
ipo ca ga descen ada, como la que se mos ó en la ecuación
(l),
en la cual el pa áme o
de impe ección
E
apa ece mul iplicando al pa áme o de ca ga A. Sin emba go, es a
ecuación ambién nos pe mi e o mula el análisis pa a el segundo ipo de impe ección,
mos ado en la ecuación (2), ya que la única di e encia es que en es e úl imo caso, los
é minos que in oluc en de i adas de
V
con espec o a la ca ga
A
y al pa áme o de
1
impe ección
E
deno ados po
(
)
se án nulos.
En el análisis de sensibilidad, los exponen es de p ime o den en los desa ollos (6),
juegan un papel p eponde an e, ya que es os e lejan el g ado de pe cep ibilidad del
sis ema en e a una impe ección. Cuando un solo exponen e es eque ido, se puede
aplica alguna écnica de búsqueda13. Sin emba go, en el p esen e abajo enemos que
encon a es exponen es incógni as, lo que equie e de écnicas más complejas.
Con el obje o de de e mina los posibles exponen es
al,
,Ol,
y y1 que nos
pe mi an ob ene los coe icien es
Al,
qjl
y
xjl co espondien es a los desa ollos (6),
conside a emos un po encial ap oximado po una se ie de Taylo de cua o o den
y
supond emos que odos los é minos de la ecuación de equilib io (7) son dis in os de
ce o. Po lo an o, el conjun o de exponen es p esen es en la ecuación
(7)
es
al;
Pi;
al
+
Pi; 2P1;
al
+
2P1; 3Pi;
al
+
3Pl;
1; 1
+
al;
1
+
Pl;
{
l+a~+~~;l+2~~;l+a1+2Pl;l+3P1;1+a1+3Pi;
A
pa i del eo ema undamen al de la eo ía de pe u bación14, la p esencia del
único é mino cons an e conside ado dis in o de ce o, asociado a el condiciona la
elección de los exponen es
al
y
de mane a al que al menos dos é minos esul en
asociados al exponen e
1
si p e endemos que la ecuación se sa is aga con un e o

meno que
O($)
pa a
E
su icien emen e pequeño. Sin emba go, si conside amos
el caso
al
=
,Ol
=
114, obse amos que los é minos asociados al exponen e
1
esul an
$~1~~~~~~~~~~~~~
y que es án asociados a los exponen es
al
+
3P1
y
1
espec i amen e. Si bien hay dos é minos asociados a
E'
no pod emos esol e
la ecuación de equilib io
(7)
con un e o meno que
O(&')
pues al a el é mino
co espondien e al exponen e
4P1
que no apa ece debido a que pa imos de una
ap oximación que es de cua o o den. Una mane a de esol e es e p oblema, e eniendo
únicamen e los
al
y
,Ol
co espondien es a sensibilidades pa a las cuales dispongamos
de la in o mación necesa ia a pa i de un po encial de un o den de e minado, es elegi
los exponen es que maximicen la can idad de é minos asociada al exponen e 1.
Una mane a de de e mina los exponen es que sa is acen es a úl ima condición
consis e en asocia a cada exponen e del conjun o
(8)
con un plano de inido pa amé i-
camen e y luego de e mina los pun os
(al,
P1,
1)
con
al
y
P1
mayo es que ce o donde
se p oduzcan la mayo can idad de in e secciones. Teniendo en cuen a que
E
<<
1
pa a el cálculo de la sensibilidad de p ime o den, podemos educi el conjun o de
exponen es
(8)
desechando los é minos cuyos exponen es sean mayo es que
1
pa a
al
y
,Ol
posi i os. De es a mane a ob enemos el conjun o educido de exponen es
(1;
al;
P1;
a1
+
P1;
2P1;
a1
+
2/31; 3P1;
a1
+
3Pl)
(9)
con los consiguien es planos asociados a cada elemen o del conjun o an e io
Pl
=
(a1;Pi;al)
P2
=
(a1;Pl;Pi)
P3
=
(al;
DI;
al
+
Pl)
P4
=
(011;
Pi;
2Pi)
P5
=
(al;
Pi;
al
+
2Pi)
P6
=
(al;
DI;
3P1)
P~=(~I;P~;Q~+~PI)
Ps=(a1;/31;1)
pa a
al
y
PI
>
O
A
pa i del g á ico ep esen ado en la Figu a
1,
haciendo un co e a la al u a
x
=
1
obse amos que la can idad máxima de planos que se in e secan en un mismo pun o es
de es y co esponden a los siguien es alo es de
al
y
,B1
También se pueden ob ene los exponen es a a és de las cu as de ni el de la
unción que asigna a cada pa
(al,
Di)
la can idad de planos del conjun o
(9)
que pasan
po el pun o
(al,
p1,
1)
(Figu a
1).
Pa a cada pa
(cul,Pl)
del conjun o
(10)
ob enido a pa i de la ecuación de
equilib io, debemos de e mina el exponen e
y1
a a és de la ecuación de es abilidad.
A
con inuación, in oducimos los desa ollos
(6)
en la ecuación
(5)
pa a ob ene la
ecuación de es abilidad pe u bada
donde el p ime é mino es nulo pues co esponde a la ecuación de es abilidad del
sis ema pe ec o e aluada en el pun o c í ico.
Figu a 1. G á ico de los planos asociados a los exponen es
y
cu as de ni el de
la unción que asigna
a
cada pa
(ai,
P1)
la can idad de planos que se
in e secan en (al,
Di,
1)
Los é minos
y
Xl~xjc
asociados a las exponen es
1
y
al
condicionan la
elección de
y1
de o ma al, que al oma el é mino p incipal, es deci , el asociado
al meno exponen e, nos p o ea una ecuación pa a
xji.
Po lo an o,
y1
debe á
474
E.G. BANCHIO Y L.A. GODOY
maximiza la can idad de é minos asociados al meno exponen e en e
1
y al. Pa a
cada pa
(al,
pl)
del conjun o (10) ob enemos los alo es de y1 con las co espondien es
can idades de é minos asociados que se mues an en la Tabla
1.
1 1
y
1 1
Expo;n e
1
Can i: de
1
é minos
Tabla
1.
Exponen es ob enidos a pa i de la ecuación de es abilidad
En la Tabla
1
obse amos que pa a
al
=
1
la can idad máxima de é minos es
4
po lo an o, el caso
al
=
l,Pl
=
71
=
113 que iene sólo es debe se desca ado
pues el é mino co espondien e al exponen e 3P1 no es á p esen e en la ecuación de
es abilidad debido a que pa imos de un po encial ap oximado po una se ie de Taylo
de cua o o den. Po o o lado, pa a.al meno que 1, el máximo es de es é minos
asociados a los espec i os exponen es. Luego, los casos de sensibilidad a analiza son
solamen e los de la Tabla
11.
Tabla
11.
Exponen es co espondien es a las posibles sensibilidades de e minadas a
pa i del po encial de cua o o den
Una ez que se han iden i icado los exponen es de las se ies, es necesa io pasa a
los coe icien es de las mismas. Pa a ello usamos las ecuaciones de pe u bación de la
ecuación de equilib io
y
de es abilidad, pe o esas no son su icien es pa a comple a
nues o análisis. Es necesa io ag ega dos ecuaciones escala es más, que son las
ecuaciones de con acción de equilib io y con acción de es abilidad.
Median e el mecanismo de con acción3, en el cual se mul iplica la i-ésima ecuación
po la i-ésima coo denada del ec o co espondien e a la di ección c í ica xic, a pa i
de la ecuación de equilib io
(7),
ob enemos la ecuación de equilib io con aída
donde el é mino co espondien e a es nulo po la condición de es abilidad
c í ica del sis ema pe ec o. Análogamen e, con el mismo p ocedimien o a pa i de la
ecuación de es abilidad (11) ob enemos la ecuación de es abilidad con aída
No emos que an o la ecuación de equilib io con aída como la de es abilidad
con aída son ecuaciones escala es.
A con inuación, abajando con las ecuaciones de equilib io
(7),
de es abilidad (ll),
equilib io con aída (12)
y
es abilidad con aída (13) ob end emos los coe icien es pa a
cada uno de los casos expues os en la Tabla
11.
482
E.G.
BANCHIO
Y
L.A.
GODOY
Ecuación de es abilidad con aída
En la ecuación de es abilidad con aída eemplazando
qjl
po (38), esul a
donde el p ime é mino es nulo po la ecuación de es abilidad c í ica del sis ema
pe ec o
y
la condición (40). En onces, omamos el é mino siguien e al cual le
ag egamos el é mino co espondien e a los apo es de segundo o den ( e apéndice)
con
ykl
de inido en (45) esul a la siguien e ecuación
Reemplazando
yjl
po (46) despejam~s
Al
(
1
k:
V<;kxiczji~kc
+
SiK;~~ic~jc~kc~ic
+
~kxicxjc k-1
(50)
+
(qxicxjc
+
~~*xicxjcu l)
=
O
Pa a ob ene
kl
y
Al
a pa i de (47)
y
(50) es necesa io sa is ace las condiciones
inalmen e
qjl
de (38)
y
xjl
po medio de (41). Las condiciones (40), (43)
y
(51)
ca ac e izan a una bi u cación simé ica2g3
y
las condiciones (52)-(54) son necesa ias
pa a que los coe icien es
Al
y
qjl
sean dis in os de ce o. Si bien las de i adas
e ce as pueden se dis in as de ce o, ecuen emen e debido a sime ías del sis ema, las
de i adas e ce as esul an idén icamen e nulas
y
en es os casos los é minos ag egados
p o enien es de las ecuaciones de segundo o den son nulos
y
las úl imas es condiciones
se educen a
K;kl~ic~jc~kc~lc
#
0.

Los es an es casos se analizan en o ma simila esul ando el caso
al
=
1,
pl
=
yl
=
112 co espondien e a un pun o lími e y el
al
= =
y1
=
113 a un pun o
de i u cación. Finalmen e, habiendo de e minado las condiciones pa a cada uno de
los casos; debido a p opiedades pa icula es del po encial, las condiciones necesa ias de
los casos analizados se simpli ican conside ablemen e. En la Tabla
111
p esen amos un
esumen que si bien no incluye odos los casos, pe mi e de e mina los más ecuen es.
Tabla
111
CONCLUSIONES
En es e abajo se p esen a un mé odo de cálculo pa a e alua la sensibilidad de
p oblemas de ingenie ía ca ac e izados po p oblemas de alo es p opios. En pa icula ,
se han es udiado p oblemas de es abilidad es uc u al, donde el p oblema de alo es
p opios ep esen a un es ado c í ico de la es uc u a, en el que su es abilidad cambia.
La sensibilidad se ha in es igado con espec o a un segundo pa áme o de con ol
E
( ípicamen e una impe ección) lo que en é minos gene ales conduce a un p oblema
singula pa a
E
=
O.
En mé odo p opues o emplea una écnica de pe u baciones
singula es; es a es una écnica analí ica ap oximada en la que las a iables que de inen
el es ado c í ico se expanden en unción de una se ie de
E
con exponen es acciona ios
inicialmen e desconocidos.
El aspec o cen al discu ido en es e abajo es la ob ención de los exponen es de las
se ies, que inicialmen e son desconocidos. Una posibilidad se ía ba e numé icamen e
odas las posibilidades y emplea un p ocedimien o de p ueba
y
e o pa a iden i ica
aquellos que p oducen la solución menos degene ada7. Es e p ocedimien o esul a ía
ex emadamen e cos oso en sis emas de múl iples g ados de libe ad.
En luga de ello, se ha iden i icado el conjun o de exponen es posibles pa a un
po encial del cua o o den. Finalmen e, se han ep esen ado esas posibilidades en un
espacio dado po los exponen es, que gene an planos. Las in e secciones de esos planos
484
E.G.
BANCHIO
Y
L.A.
GODOY
ma can alo es de los exponen es que gene an ecuaciones con dos o más é minos en el
esquema de pe u baciones.
Los exponen es de las expansiones de sensibilidad que se de e minan po es a ía
son mucho más que un simple esquema de cálculo. En es e abajo, se mues a que a
pa i del empleo de esos exponen es y de la subsiguien e e aluación de coe icien es de la
se ie es posible ob ene una clasi icación de es ados c í icos a pa i de su sensibilidad.
Es a clasi icación con iene los. es ados que se iden i ican adicionalmen e en la eo ía
de es abilidad elás ica (pun os lími es y bi u caciones) e incluye además i u caciones.
La clasi icación coincide ambién con la que gene a la eo ía de ca ás o es15.
La me odología p opues a se ha limi ado a sensibilidad de p ime o den, y en es e
sen id; es consis en e con la eo ía de ca ás o es. Es posible ex ende el cálculo pa a
encon a sensibilidades de o den supe io pa a cada ipo de es ado c í ico que se ha
discu ido, pe o eso escapa los lími es de es a p esen ación. Tampoco se han conside ado
es ados c í icos coinciden es, en los cuales se p oduce in e acción de modos de pandeo.
El esquema de cálculo de sensibilidad y las clasi icaciones que se de i an de ella se
han p esen ado en con ex o de es abilidad de es uc u as pe o pueden se de in e és en
o as á eas de la mecánica aplicada.
Ag egando un é mino a los desa ollos (6) con
a2
=
1,
p2
=
2/3 y
n
=
2/3 a
pa i de la ecuación de equilib io ob enemos
que nos pe mi e esc ibi a
qj2
como
9j2
=
hxjc
+
Yji
donde
yjl
es solución de
con
y11
=
0
A pa i de la ecuación de equilib io con aída
se iene que el é mino asociado a
E$
es nulo po las condiciones (40)-(43) y la
ecuación de es abilidad c í ica del sis ema pe ec o. Analizando el é mino asociado
a
E'
eemplazando
gjl
po (38) y
qj2
po (55) ob enemos la siguien e exp esión
donde los dos úl imos é minos son nulos po las condiciones (40) y (43). Po lo an o,
si compa amos la ecuación an e io con la ob enida a pa i del é mino asociado a
en la ecuación de equilib io con aída de p ime o den (42) emos que el único apo e
es
klyjk~icyjl~kc
que ue el é mino conside ado en (44) y que dio luga a la ecuación
(47)-
Po o o lado, al plan ea la ecuación de es abilidad con aída ob enemos
donde, eemplazando
qj2
po (55) y compa ando con la ecuación ob enida a pa i de la
ecuación de es abilidad con aída de p ime o den (48) obse amos que el único é mino
que se ag ega es
V,~kxicxjcykl
que ue el que se inco po ó pa a ob ene la ecuación (50).
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