METODO DE REDUCCION AL CONTORNO
PARA LA DINAMICA DE UN FLUIDO
CON SUPERFICIE LIBRE
ALBERTO FALQUES
Depa amen o de Física Aplicada
E.T.S. Ingenie os de Caminos, Canales y Pue os
Uni e sidad Poli 2cnica de Ca alunya
Jo di Gi ona Salgado, 31
08034 Ba celona, España
RESUMEN
La desc ipción usual del mo imien o de un luido incomp esible en égimen po encial, bajo
la acción de la g a edad, con su supe icie supe io lib e, iene dada po la ecuación de Laplace
-lineal y sin de i adas espec o al iempo- y unas condiciones de con o no en la supe icie lib e
que gene an oda la dependencia empo al y las no-linealidades. En es e a ículo se p esen a
una o mulación del p oblema en é minos -exclusi amen e- de las a iables es ingidas a la
supe icie lib e. Es a o mulación p esen a a ias en ajas, an o desde un pun o de is a eó ico
como p ác ico. Algunas de ellas son pues as de mani ies o median e el ejemplo de aplicación
que p esen amos: el cálculo numé ico de las ecuencias de esonancia de un ecin o con una
a iación b usca de p o undidad.
SUMMARY
The usual app oach o su ace g a i y wa es in an incomp essible luid is based on bo h,
Laplace Equa ion -linea and wi hou ime de i a i es- and bounda y condi ions a he
ee su ace, he la e gene a ing
all
he ime dependence and non-linea i ies. In his pape we
p esen a o mula ion o he dynamical p oblem o su ace g a i y wa es using only he a iables
de ined on he ee su ace. This app oach has se e al heo e ical and p ac ical ad an ages, some
o hem displayed by he example we p esen : he nume ical compu a ion o he spec um o
he equencies esonan in a basin wi h a s eplike bo om.
INTRODUCCION
La dinámica de las ondas de supe icie en una capa de
un
luido incomp esible bajo
la
acción de la g a edad, iene una desc ipción eule iana, en égimen po encial, que
iene
dada
po
la
ecuación de Laplace -heal
y
sin de i adas espec o
al
iemp-
y
unas condiciones de con o no en
la
supe icie lib e que gene an oda
la
dependencia
empo al, así como las no-linealidades.
En
consecuencia, esul a
na u al
plan ea dicho
Recibido: Ene o 1987
@Uni e si a Poli kcnica
de
Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
322
A.
FALQUES
p oblema dinámico en é minos, unicamen e, de las a iables es ingidas a la supe icie
lib e. Es e modo de p ocede p esen a a ias en ajas:
1)
Pe mi e esc ibi el p oblema dinámico en su o ma canónica:
donde
A
es un ope ado , en gene al no lineal, que ac úa sob e el es ado del sis ema,
u( )
,
que pe enece a cie o espacio uncional. Es a o ma de esc ibi un p oblema
dinámico conlle a una anspa encia o al espec o a las condiciones iniciales
y
de
con o no que dan luga a un p oblema "well-posed".
2) El a amien o numé ico basado en dicho plan eamien o educe la can idad de
pun os de la disc e ización espacial en un ac o N
,
pues o que pa a el p oblema
dinámico p opiamen e dicho sólo se equie e la disc e ización de una supe icie (N2
pun os) en luga de un olumen (N3 pun os).
3)
En el ejemplo de aplicación que p esen amos -el cálculo de las ecuencias de
esonancia de un ecin o con una a iación b usca de p o undidad- la educción
al
con o no pe mi e esol e de o ma na u al la di icul ad ocasionada po el ca ac e
singula del p oblema de au o alo es asociado.
El p ecio que hay que paga po es as en ajas p o iene del ca ác e no local del
ope ado
d
,
lo cual, en el a amien o numé ico, exige el uso de ma ices llenas en
luga de ma ices banda.
En es e a ículo se p esen a la o mulación eó ica del p oblema dinámico
exclusi amen e en é minos de las a iables de inidas sob e la supe icie lib e,
y
ian
ejemplo de aplicación: el cálculo numé ico de las ecuencias de esonancia de un ecin o
con una a iación b usca de p o undidad.
FUNDAMENTACION TEORICA
Conside emos el mo imien o de una capa de un luido incomp esible, en égimen
po encial, bajo la acción de la g a edad, con la supe icie supe io lib e y a p esión
cons an e. Toma emos el eje y según la e ical, hacia a iba, y los ejes z,
sob e
el plano ho izon al de inido po la supe icie lib e en eposo ( e Figu a 1). Dicha
supe icie end á dada en gene al po
mien as que el ondo end á de inido po
Finalmen e, el campo de elocidades (x, y,
,
) depende á del po encial
#(x,
y,
,
) a a és de la igualdad:
METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
323
Figu a
1.
Sis ema de coo denadas
y
olumen ocupado po la masa luida.
De acue do con la o mulación clásica ( éase
[8],[3]),
el mo imien o de la masa
luida de inida po
(2),(3)
plan ea á el p oblema dinwco:
pa a las unciones
+(z,
y, z, ),
T,J(Z,
z, )
.
Si la masa de luido iene limi ada po alguna
supe icie e ical con ec o no mal uni a io
n
=
(n,,
O,
n,)
hab á que añadi una
condición de con o no pa a el po encial en ella del ipo:
Dado
un
abie o
I
c
R2
y
una unción
77
E
C1(~, R)
,
in oduci emos la no ación:
R,,
=
{(",y, z)
E
R~
1
-h(l:,
z)
<
Y
<
q(z,z)
9
(2,~)
E
1)
,,
=
{(l:,77(l:,z),
2)
E
R3
I
(291)
E
1)
9
con lo cual el p oblema
(5)-
...-(
8)
se esc ibi á:
24=0
,
(l:,Y,z)ER,( ) , ER
324
A.
FALQUES
Figu a
2.
Geome ía del p oblema dinámico.
donde
a/an
indica de i ada espec o a la no mal ex e io a la on e a de
n,( ,
9
a l,( )
El p oblema (9)-
...-(
12) iene unas ca ac e ís icas que lo hacen especialmen e di ícil:
1) Se a a de un p oblema de on e a lib e, es deci , el dominio de in eg ación,
es una de las incógni as.
2) Es no lineal, no sólo debido a las condiciones (10),(11), sino debido, ambién, a que
dichas condiciones es án de inidas en la on e a lib e,
,( )
.
3)
Se a a de
un
p oblema dinámico,' y, no obs an e, no apa ecen de i adas
empo ales en la ecuación di e encial, (9). Toda la dependencia empo al se gene a
exclusi amen e en la supe icie lib e,
l-',( )
.
Po o a pa e, esul a usual en Teo ía de Sis emas Dinámicos plan ea los
p oblemas de e olución en la o ma:
donde u( ) es, pa a cada
,
el es ado del sis ema, que pe enece al llamado espacio de
ases del sis ema, de dimensión ini a en el caso disc e o, e in ini a en el caso con inuo.
Plan eado el p oblema en es os é minos, esul a e iden e que la condición inicial
ap opiada se á la in o mación necesa ia pa a de ini un elemen o
u0
de es e espacio, y
las condiciones de con o no ap opiadas se án las que de inen el espacio de ases como
subconjun o de cie o espacio uncional. En consecuencia, és e es el ma co más na u al
y
adecuado pa a un analisis del ca ac e "well-posed" del p oblema de e olución, es
deci de las condiciones que dan luga a la exis encia y unicidad de solución. ~ebido al
METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
325
e ce pun o, a iba mencionado, la o mulación del p oblema (9)-
...-(
12) en la o ma
(13)
no esul a inmedia a.
A
con inuación amos a desa olla la.
De ini emos, como es ado del sis ema, el pa :
u
=
( ],$)
,
donde
8
es la es icción de la unción
4
sob e la supe icie lib e
y conside a emos como ecuaciones dinámicas Mcamen e las condiciones:
En es as ecuaciones in e iene la de i ada no mal de
4
,
que no puede se calculada
a pa i , unicamen e, de
4
y de
]
.
No obs an e, si enemos en cuen a las es an es
ecuaciones,
(9)
y (12), el po encial
4
queda á de e minado po sus alo es sob e el
con o no,
4
,
ya que el p oblema:
admi e solución Única pa a cada
d,
E
L2( ,) ([6]). En onces, deno and,~ la
co espondencia biyec i a en e
4
y
d,
(pa a cada unción
77
dada
)
po :
y de iniendo
a
=
~(7)[~~(77)-'d,]
,
pod emos calcula odas las de i adas que in e ienen en (10)-(11) en unción de
6
y

326
A.
FALQUES
Nó ese que el ope ado
es lineal
y
--pa a el caso de un dominio
R,
aco ado- bicon inus. El ca ác e lineal es
consecuencia e iden e del ca ac e lineal del p oblema (9)-(12)-(13)(*). La con inuidad
de R(q)-l esul a inmedia a a pa i de la Teo ía de Ecuaciones Elíp icas ( e
[6]
cap.IV)
,
mien as que la con inuidad de R(q) es consecuencia de la desigualdad de
las azas ( e
[6]
cap.111). De la p opia de inición esul a ob io que el ope ado lineal
P(q) es no local, es deci el alo de la unción P(q)$ en el pun o (x,
)
no depende
unicamen e de los alo es de
$
y
de sus de i adas en (x,
)
,
sino de la unción
4
conside ada globalmen e.
Finalmen e, eniendo en cuen a las exp esiones (16) ,(17),(18)
y
(19)
,
las ecuaciones
dinámicas (10)-(2.10) pod án se esc i as como:
donde:
siendo:
Una o mulación en cie a o ma equi alen e a lo que p esen annos
ha
sido u ilizada
pa Longue -Higgins
y
Cokele
[4]
pa a el es udio de olas ompien es ('Véase, a nbihn,
191
)
.
(*)
Nó ese que
la
exp esión
4
=
I L(q)4
es
lineal espec o
s
4
pe o
no
lineal
espec o
a
17
METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
327
APLICACION: FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN
RECINTO CON UNA VARIACION BRUSCA DE PROFUNDIDAD
Plan eamien o
y
disc e izacion clásica
A
con inuación amos a es udia el enómeno de esonancia de
un
ecin o
ec angula con una a iación b usca de p o undidad
,
en e a ondas de supe icie
inciden es en la di ección x ( e Figu a 3). Aplicando la eo ía de ondas de pequeña
ampli ud en égimen po encial (linealización de las ecuaciones
(9)-
...-(
12)) ( e [3] o [8])
el mo imien o end á dado po :
siendo:
R~={(~,~, )~12<~<1~+12,-h~<~<O,O< <l}
y
donde la ele ación de la supe icie lib e,
77
,
iene dada en unción del po encial,
4
,po :
Al sis ema (22) se le añade, como condición de con o no en la en ada del ecin o,
x
=
O
,
la suposición de una pe u bación a mónica
~(0, Z, )
=
a
sen
w
,
con lo cual admi i á soluciones independien es de
z
,
que pod emos esc ibi en la o ma:
4(x,y,z, )
=
$(x,~)cosw
A.
FALQUES
Figu a
3.
Recin o
de
In eg aeiQn.
Es a suposición ans o ma el p oblema (22), inicialmen e idi nensisnd, en
bidimensional.
En onces, las ecuencias esonan es
se h
aquellos
alo es
de
w
pa o los cuales
exis e solución no nula de (22) pa a
a
-+
O
,
es deci
pa a
los cuales exis e solución no
nula del p oblema ( e
[5],[7]
):
La disc e izaeión de las ecuaciones
(24)-
...-(
28)
median e
eli
mk odo
de
di e encias
ini as no o ece di icul ad, ob eniénidose
um
p oblema
de au o ales es:
donde
+
E
R"
,
con
donde
N,
M,
N',
M'
indican
la can idad
de
panza os
de
la
mda
( eo
Figu a
4)
y
donde
B,
C
son ma ices cuad adas
nxn.
Aho a bien: pues o
que
u
8010
apa ece
en
la con&ciÓn
de coin o no (3.1.4), la ma iz
C
esd a
slagda ,
y
10s
m6 odg38 usudes pa a
el
cdcdo
de au o alo es no son aplicables.
'Tenemos,
em eeces,
dos posibilidades:
METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
329
Figu a
4.
Disc e ización del ecin o de in eg ación.
a) T a a (29) como
un
sis ema no lineal pa a
w2
y
n
-
1
componen es de
$.
b) Usa aquellas ecuaciones del sis ema (29) en las cuales no apa ece
w
,
pa a educi
la dimensión del p oblema de au o alo es
y
a a luego un p oblema educido de
la o ma:
~.4
=
w2&.+
,
I
donde
4
E
RM
,
y
donde aho a, la ma iz
&
no se á singula .
Siguiendo la segunda al e na i a, uno debe ía esol e las ecuaciones del sis ema
(29) que no con ienen
w
,
po mé odos algeb aicos, a
in
de ob ene odas las
componen es del ec o
$
en unción de un núme o educido de ellas, an as como
pun os del con o no
y
=
O
(es deci
M
),
y
que cons i ui ían las componen es del ec o
4.
Sin emba go, es e p oceso no es necesa io si p e iamen e plan eamos el p oblema
de esonancia median e el mé odo de educción
al
con o no, expues o en la sección
an e io
.
Así
,
como e emos en el siguien e apa ado, plan eando el p oblema de esonancia
pa a las ecuaciones dinámicas educidas a la supe icie lib e (20), se ob iene un p oblema
de au o alo es simila a (29) pe o con dos en ajas subs anciales:
1)
La ma iz
C
no es singula .
2) Las ma ices
B,
C
son de dimensión M
-
1
,
en luga de
n
=
(M'
-
l)N
+
(M
-
M')N'
N
NM.
I
Aplicacion del mé odo de educción al con o no
Suponiendo ondas de pequeña ampli ud,
y
linealizando la ecuación (20)
'esc ibi emos:
336
A.
FALQUES
Tabla
1.
Disc e ización, ac o de
e o
y
cpu
necesa ios pa a una p ecisión dada
en
el pe íodo undamen al
y
algunos a mónicos, pa a
h
=
0.2
.
b)
Cálculo de las ondas esonan es pa a
li
=
112,
hi
=
116,
hl
=
1/30
E1 cálculo ha sido lle ado
a
cabo pa a es alo es del ac o
E
,
y la p og esi a
es abilización de los esul ados con o me
E
disminuye, cons i uye una p ueba de su
exac i ud. En la Tabla
11
p esen amos el pe íodo undamen al y los ca o ce p ime os
a mónicos, así como el iempo de cálculo eque ido y el índice de calidad en la
de eamihación de los au o alo es,
p.
Al pasa de
E
=
a
E
=
se obse an
a iaciones signi ica i as, que llegan al 13% pa a los p ime os modos, y se educen al
0.1
%
pa a los Úl imos. En el paso de
E
=
a
E
=
lo-'
la máxima a iación

METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
337
n* de o den
Figu a
7.
E ec o de una malla excesi amen e ina pa a un ac o de e o , 6, dado.
h
=
0.2,
E
=
lo-*
.
(A):
N
=
6,
M
=
26
(B):
N
=
11,
M
=
51.
Figu a
8.
Núme o de modos con e o in e io
al
1%
,
en unción del ac o de e o ,
e,
pa a es disc e izaciones dis in as, con
h
=
0.2
.(A):
N
=
6,
M
=
26
(B):
N
=
11,
M
=
51
(C):
N
=
21,
M
=
101.
es de 0.6%, eniendo luga en el p ime a mónico, mien as que la a iación en el
pe íodo undamen al es de un 0.07%; a pa i del cua o a mónico, dicha a iación no
excede de 0.1%. De acue do con la es imación (44), cabe espe a en los esul ados
co espondien es a
E
=
un e o in e io
al
1%. No obs an e, según los esul ados
p esen ados en la Figu a 6, el e o en el pe íodo undamen al
y
en los es o cua o
p ime os a nóYnicos se ía bas an e in e io , del o den, como máximo del 0.1%. Nó ese,
además, que el alo del pe íodo undamen al en nues o caso debe es a en e los alo es
co espondien es al caso de una p o undidad cons an e igual a 116 o igual a 1/30
,
que
son, espec i amen e, 9.909
y
21.92; el alo ob enido, 13.96, es á de acue do con es a
aco ación.
Finalmen e, en
la
Figu a
9
se p esen a la o ma de la supe icie lib e co espondien e
al modo undamen al,
y
al p ime , segundo
y
quin o a mónicos. Puede obse a se
338
A.
FALQUES
Tabla
11.
Pe iodos de los quince p ime os modos, pa a
hl
=
116,
h2
=
1/30,11
=
112,
N
=
26,
M
=
151,
N'
=
6,
M'
=
76,
S
=
1.65
.
cla amen e como la educción de p o undidad epe cu e en una disminución de longi ud
de onda
y
en un aumen o de al u a de la ola.
APENDICE
:
RESOLUCION
DEL
SISTEMA
38
Pa a la esolución del sis ema (3.2.9) se ha usado un mé odo de Gauss- Seidel
acele ado ( e [I]
)
.
Se inicializa el p oceso i e a i o median e:
(0)
-
A
25j5M1, 25i5N
j
-
'{M1+l<j<M, 2<i<N1
y
en Xa i e ación p-ésima se hace:
siendo
s
el pa áme o de sob e elajación,
1
<
s
<
2
.
Se deñne el esiduo en la i e ación
p-ésima como la disc epancia en e
$(P)
y
la solución exac a, po lo cual, si el sis ema
se esc ibe en la o ma:
METODO DE REDUCCION AL CONTORNO PARA FLUIDOS
339
Figu a 9. Pe il de la supe icie lib e pa a la onda undamen al
y
algunos a mónicos,
esonan es en el ecin o ep esen ado en la Figu a 3, pa a
hl
=
116,
hp
=
1/30,
ll
=
112
.
Se ha ep esen ado a escala el co espondien e pe il
del ondo.
el esiduo end á dado po :
es deci :
El p oceso
se
de iene cuando el esiduo es meno que una cie a acción,
E
,
del
esiduo inicial, o sea:
donde se usa la no ma del sup emo:
340
A.
FALQUES
AGRADECIMIENTOS
El au o desea exp esa su ag adecimien o
al
D .
J.M. Massague po las aliosas
discusiones sob e el ema. Asimismo, se ag adece el sopo e del Cen o de Cálculo
de la
E.T.S.
d'Enginye s de Camins, Canals i Po s de la Uni e si a Poli ecnica de
Ca alunya.
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