AM2. Tema 2. Variables aleatòries i distribucions de probabilitat

Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat Lali Barri`ere Departament de Matem`atiques - UPC Enginyeria de Sistemes Aeroespacials EETAC Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 1 / 31 Continguts Continguts Introducci´o 2.1 Variables aleat`ories discretes 2.2 Distribucions de probabilitat discretes 2.3 Variables aleat`ories cont´ınues 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues 2.5 Teoremes de converg`encia 2.6 Funcions de variables aleat`ories Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 2 / 31 Introducci´o Introducci´o Definici´o Una variable aleat`oria (v.a.) ´es una funci´o que assigna valors reals als elements de E. Utilitzem X,Y,Z,. . . per denotar-les. Exemples ILlan¸car una moneda: X=0si surt cara 1si surt creu ILlan¸car nmonedes: X=# cares, X∈ {0,1, . . . , n} Amb n= 6, l’espai mostral de l’experiment “Llan¸car 6 monedes” ´es: E={◦◦◦◦◦◦,◦◦◦◦◦×,◦◦◦◦×◦,◦◦◦◦×× . . . ××××××} |E|= 26 De fet, en aquest cas, Eno ´es l’espai mostral de corresponent a X. Quin ´es? Com es relaciona amb les probabilitats? ILlan¸car una moneda tantes vegades com calgui fins que surti la primera cara: Y=# tirades, Y∈N. IEspero l’autob´us, Z=temps d’espera, Z∈[0,+∞). Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 3 / 31 2.1 Variables aleat`ories discretes 2.1 Variables aleat`ories discretes Definici´o IX´es una variable aleat`oria discreta si pren valors en un conjunt discret, que pot ser finit o numerable. ISi X´es una variable aleat`oria discreta amb valors {x1, x2, . . . }, la funci´o de probabilitat ´es P:{x1, x2, . . . } −→ [0,1) xi7−→ P(X=xi) Es compleix: X i≥1 P(X=xi) = 1. ISi X´es una variable aleat`oria discreta amb valors {x1, x2, . . . }, amb funci´o de probabilitat P, la funci´o de distribuci´o od’acumulaci´o de X ´es FX(x) = P(X≤x) = X xi≤x P(xi) Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 4 / 31 2.1 Variables aleat`ories discretes Exemple X=suma de 2 daus, X∈ {2,3,4,5,...,12} P(X= 2) = P(X= 12) = 1 36 P(X= 3) = P(X= 11) = 2 36 P(X= 4) = P(X= 10) = 3 36 P(X= 5) = P(X= 9) = 4 36 P(X= 6) = P(X= 8) = 5 36 P(X= 7) = 6 36 Exemple En un casino, el joc de la ruleta t´e els 36 n´umeros de l’1 al 36, m´es el zero. Hi ha 18 n´umeros vermells i 18 de negres. El zero ´es verd. Podem apostar a vermell (o negre) o podem apostar a un n´umero concret, entre 1 i 36. IX=guany en apostar a vermell, X∈ {−1,1}, P(X=x) = 19 37 si x=−1 18 37 si x= 1 IY=guany en apostar a un n´umero, Y∈ {−1,35}, P(Y=y) = 36 37 si y=−1 1 37 si y= 35 Exercici 1 Per als dos exemples anteriors, representar gr`aficament la funci´o de probabilitat i la funci´o de distribuci´o. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 5 / 31 2.1 Variables aleat`ories discretes Esperan¸ca d’una v.a. Definici´o L’esperan¸ca de X(o mitjana, o moment d’ordre 1) ´es µ=E(X) = X i≥1 xi·P(X=xi) Observaci´o L’esperan¸ca ´es la mitjana ponderada dels valors de la variable. Es pot pensar com el centre de masses de la distribuci´o. Exemple La ruleta: IE(X)=(−1) ·19 37 + 1 ·18 37 =−1 37 IE(Y)=(−1) ·36 37 + 35 ·1 37 =−1 37 Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 6 / 31 2.1 Variables aleat`ories discretes Vari`ancia d’una v.a. Definici´o La vari`ancia de X´es σ2=V ar(X) = X i≥1 (xi−µ)2·P(X=xi) La desviaci´o t´ıpica (o est`andard) de X´es σ=pV ar(X). Observaci´o E(X2) = X i≥1 x2 i·P(X=xi)es diu moment d’ordre 2. V ar(X) = E(X2)−E(X)2 Exemple La ruleta: IE(X2)=(−1)2·19 37 + 12·18 37 = 1, V ar(X) = 1 −−1 37 2= 0.99926954 ≈1,σ= 0.99963470 ≈1 IE(Y2)=(−1)2·36 37 + 352·1 37 =1261 37 = 34.081081, V ar(Y) = 1261 37 −−1 37 2=46656 372= 34.0803506,σ= 5.8378378 Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 7 / 31 2.1 Variables aleat`ories discretes Propietats de l’esperan¸ca i la vari`ancia Si Y=a·X+b, aleshores: IE(Y) = a·E(X) + b IV ar(Y) = a2·V ar(X) Exercici 2 Demostrar aquestes propietats. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 8 / 31 2.2 Distribucions de probabilitat discretes 2.2.1 Bernoulli: X∼Be(p) IPar`ametre: p∈(0,1) IIndica l’`exit en un experiment. El par`ametre p´es la probabilitat d’`exit. IX∈ {0,1} IFunci´o de probabilitat: P(X= 0) = 1 −p,P(X= 1) = p IE(X) = p,V ar(X) = p(1 −p) Exemple Llancem una moneda: si surt cara, X= 1, si surt creu, X= 0. ´ Es a dir: “`exit”=surt cara. Si la moneda ´es justa, p=1 2. Exercici 3 Representar gr`aficament la funci´o de probabilitat i la funci´o de distribuci´o de X∼Be(p)i demostrar que E(X) = p, i V ar(X) = p(1 −p). Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 9 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues 2.4.1 Uniforme: X∼U(a, b) IPar`ametres: a, b ∈R, amb a<b. IDona un nombre aleatori entre aib. IX∈(a, b) IFunci´o de densitat: fX(x) =    1 b−asi a≤x≤b 0altrament IFunci´o de distribuci´o: FX(x) =      0si x<a x−a b−asi a≤x≤b 1si x>b IE(X) = b+a 2,V ar(X) = (b−a)2 12 Exercici 6 Representar gr`aficament fXiFXi demostrar els valors donats per a l’esperan¸ca i la vari`ancia de X. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 16 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues 2.4.2 Normal o gaussiana: X∼N(µ, σ) IPar`ametres: µ, σ ∈R, amb σ > 0.Normal est`andard: µ= 0, σ = 1. IDona una aproximaci´o per a moltes lleis que observem. IX∈(−∞,∞) IFunci´o de densitat: fX(x) = 1 √2πσ2e−(x−µ)2 2σ2 IFunci´o de distribuci´o: FX(x)no ´es expressable utilitzant funcions elementals. IE(X) = µ,V ar(X) = σ2 Propietat X∼N(µ, σ)⇒Z=X−µ σ∼N(0,1) Estandaritzaci´o. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 17 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues µ,σ, i la funci´o de densitat de N(µ, σ) Iµ´es l’esperan¸ca, i x=µ´es l’eix de simetria. Iσ´es la desviaci´o t´ıpica i determina que la gr`afica tingui m´es (si σ´es petita) o menys (si σ´es gran) pendent. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 18 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues Significat de σen termes de probabilitat Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 19 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues Taula de la normal Suposem X∼N(0,1) Exemple =⇒P(N(0,1) <1.96) = 0.9750 Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 20 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues C`alcul de probabilitats amb la taula 1. Estandaritzaci´o Si X∼N(µ, σ), aleshores X−µ σ∼N(0,1). Per tant P(a < X < b) = Pa−µ σ< N(0,1) <b−µ σ 2. ISi x≥0,P(N(0,1) < x) = Taula(x) ISi x≥0,P(N(0,1) > x)=1−Taula(x) ISi x < 0,P(N(0,1) < x)=1−Taula(−x) ISi x < 0,P(N(0,1) > x) = Taula(−x) ISi x > 0,P(|N(0,1)|< x)=2·Taula(x)−1 ISi 0≤a < b,P(a<N(0,1) < b) = Taula(b)−Taula(a) ISi a < 0< b,P(a<N(0,1) < b) = Taula(b) + Taula(−a)−1 ISi a<b≤0,P(a<N(0,1) < b) = Taula(−a)−Taula(−b) Exercici 7 Representar gr`aficament tots els casos enumerats en el punt 2. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 21 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues 2.4.3 Exponencial: X∼Exp(λ) IPar`ametre: λ > 0. ITemps d’espera entre esdeveniments “Poisson”. IX∈(0,+∞) IFunci´o de densitat: fX(x) = λ·e−λx IFunci´o de distribuci´o: FX(x)=1−e−λx IE(X) = 1 λ,V ar(X) = 1 λ2 Exercici 9 Representar gr`aficament fXiFXi demostrar els valors donats per a l’esperan¸ca i la vari`ancia de X. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 22 / 31 2.4 Distribucions de probabilitat cont´ınues Exemples d’esdeveniments Poisson IEl nombre de cotxes que passen per un cert punt d’una ruta (per exemple un peatge) durant un una hora segueix una distribuci´o de Poisson. El temps entre el pas de dos cotxes consecutius segueix una distribuci´o exponencial. INombre de trucades telef`oniques en una centraleta telef`onica per minut. El temps entre dues trucades consecutives segueix una distribuci´o exponencial. IEl nombre d’estels fuga¸cos per una unitat de temps. El temps entre un estel fuga¸c i el seg¨uent segueix una distribuci´o exponencial. Observaci´o En tots els casos se suposa que el nombre de cotxes, trucades, estels, en un periode de temps ´es independent del nombre de cotxes, trucades, estels en periodes de temps anteriors. Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 23 / 31 2.5 Teoremes de converg`encia 2.5 Teoremes de converg`encia Llei dels grans nombres Si X∼Bin(n, p)ipno dep`en de n, aleshores X n n→∞ −→ p, amb probabilitat 1 Exemple Volem calcular el valor de π: quadrat circumscrit en un cercle, tirem punts del quadrat aleat`oriament. X=“caure dins del cercle” Probabilitat d’`exit: p=π 4 X=# `exits ⇒X n−→ π 4 Simulem l’experiment 106cops i fem π≈4·X 106 Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 24 / 31 2.5 Teoremes de converg`encia 2.5 Teoremes de converg`encia Teorema Central del L´ımit Si X∼Bin(n, p)ipno dep`en de n, aleshores X−np pnp(1 −p) n→∞ −→ N(0,1),en distribuci´o Aproximaci´o de la Binomial per la Normal Si X∼Bin(n, p), i n´es gran, X−np pnp(1 −p)≈Z∼N(0,1) O tamb´e, X≈Y∼Nnp, pnp(1 −p) Observaci´o ngran ´es relatiu, per`o podem considerar que n´es gran si n·p > 5in·(1 −p)>5. Podem utilitzar-ho per calcular probabilitats. Per`o. . . Lali Barri`ere - AM2 Tema 2. Variables aleat`ories i distribucions de probabilitat 25 / 31