AM2. Tema 2. Variables aleatòries i distribucions de probabilitat

Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de
p obabili a
Lali Ba i`e e
Depa amen de Ma em`a iques - UPC
Enginye ia de Sis emes Ae oespacials
EETAC
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 1 / 31
Con ingu s
Con ingu s
In oducci´o
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
2.2 Dis ibucions de p obabili a disc e es
2.3 Va iables alea `o ies con ´ınues
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
2.5 Teo emes de con e g`encia
2.6 Funcions de a iables alea `o ies
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 2 / 31
In oducci´o
In oducci´o
De inici´o Una a iable alea `o ia ( .a.) ´es una unci´o que assigna alo s
eals als elemen s de E.
U ili zem X,Y,Z,. . . pe deno a -les.
Exemples
ILlan¸ca una moneda: X=0si su ca a
1si su c eu
ILlan¸ca nmonedes: X=# ca es, X∈ {0,1, . . . , n}
Amb n= 6, l’espai mos al de l’expe imen “Llan¸ca 6 monedes” ´es:
E={◦◦◦◦◦◦,◦◦◦◦◦×,◦◦◦◦×◦,◦◦◦◦×× . . . ××××××}
|E|= 26
De e , en aques cas, Eno ´es l’espai mos al de co esponen a X.
Quin ´es? Com es elaciona amb les p obabili a s?
ILlan¸ca una moneda an es egades com calgui ins que su i la
p ime a ca a: Y=# i ades, Y∈N.
IEspe o l’au ob´us, Z= emps d’espe a, Z∈[0,+∞).
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 3 / 31
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
De inici´o
IX´es una a iable alea `o ia disc e a si p en alo s en un conjun
disc e , que po se ini o nume able.
ISi X´es una a iable alea `o ia disc e a amb alo s {x1, x2, . . . }, la
unci´o de p obabili a ´es
P:{x1, x2, . . . } −→ [0,1)
xi7−→ P(X=xi)
Es compleix: X
i≥1
P(X=xi) = 1.
ISi X´es una a iable alea `o ia disc e a amb alo s {x1, x2, . . . }, amb
unci´o de p obabili a P, la unci´o de dis ibuci´o od’acumulaci´o de X
´es
FX(x) = P(X≤x) = X
xi≤x
P(xi)
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 4 / 31
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
Exemple X=suma de 2 daus, X∈ {2,3,4,5,...,12}
P(X= 2) = P(X= 12) = 1
36
P(X= 3) = P(X= 11) = 2
36
P(X= 4) = P(X= 10) = 3
36
P(X= 5) = P(X= 9) = 4
36
P(X= 6) = P(X= 8) = 5
36
P(X= 7) = 6
36
Exemple En un casino, el joc de la ule a ´e els 36 n´ume os de l’1 al 36, m´es el
ze o. Hi ha 18 n´ume os e mells i 18 de neg es. El ze o ´es e d. Podem apos a a
e mell (o neg e) o podem apos a a un n´ume o conc e , en e 1 i 36.
IX=guany en apos a a e mell, X∈ {−1,1},
P(X=x) = 19
37 si x=−1
18
37 si x= 1
IY=guany en apos a a un n´ume o, Y∈ {−1,35},
P(Y=y) = 36
37 si y=−1
1
37 si y= 35
Exe cici 1 Pe als dos exemples an e io s, ep esen a g `a icamen la unci´o de
p obabili a i la unci´o de dis ibuci´o.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 5 / 31

2.1 Va iables alea `o ies disc e es
Espe an¸ca d’una .a.
De inici´o L’espe an¸ca de X(o mi jana, o momen d’o d e 1) ´es
µ=E(X) = X
i≥1
xi·P(X=xi)
Obse aci´o L’espe an¸ca ´es la mi jana ponde ada dels alo s de la a iable.
Es po pensa com el cen e de masses de la dis ibuci´o.
Exemple La ule a:
IE(X)=(−1) ·19
37 + 1 ·18
37 =−1
37
IE(Y)=(−1) ·36
37 + 35 ·1
37 =−1
37
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 6 / 31
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
Va i`ancia d’una .a.
De inici´o La a i`ancia de X´es
σ2=V a (X) = X
i≥1
(xi−µ)2·P(X=xi)
La des iaci´o ´ıpica (o es `anda d) de X´es σ=pV a (X).
Obse aci´o E(X2) = X
i≥1
x2
i·P(X=xi)es diu momen d’o d e 2.
V a (X) = E(X2)−E(X)2
Exemple La ule a:
IE(X2)=(−1)2·19
37 + 12·18
37 = 1,
V a (X) = 1 −−1
37 2= 0.99926954 ≈1,σ= 0.99963470 ≈1
IE(Y2)=(−1)2·36
37 + 352·1
37 =1261
37 = 34.081081,
V a (Y) = 1261
37 −−1
37 2=46656
372= 34.0803506,σ= 5.8378378
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 7 / 31
2.1 Va iables alea `o ies disc e es
P opie a s de l’espe an¸ca i la a i`ancia
Si Y=a·X+b, alesho es:
IE(Y) = a·E(X) + b
IV a (Y) = a2·V a (X)
Exe cici 2 Demos a aques es p opie a s.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 8 / 31
2.2 Dis ibucions de p obabili a disc e es
2.2.1 Be noulli: X∼Be(p)
IPa `ame e: p∈(0,1)
IIndica l’`exi en un expe imen . El pa `ame e p´es la p obabili a d’`exi .
IX∈ {0,1}
IFunci´o de p obabili a : P(X= 0) = 1 −p,P(X= 1) = p
IE(X) = p,V a (X) = p(1 −p)
Exemple Llancem una moneda: si su ca a, X= 1, si su c eu, X= 0.
´
Es a di : “`exi ”=su ca a.
Si la moneda ´es jus a, p=1
2.
Exe cici 3 Rep esen a g `a icamen la unci´o de p obabili a i la unci´o de
dis ibuci´o de X∼Be(p)i demos a que E(X) = p, i
V a (X) = p(1 −p).
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 9 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
2.4.1 Uni o me: X∼U(a, b)
IPa `ame es: a, b ∈R, amb a<b.
IDona un nomb e alea o i en e aib.
IX∈(a, b)
IFunci´o de densi a : X(x) = 


1
b−asi a≤x≤b
0al amen
IFunci´o de dis ibuci´o: FX(x) = 




0si x<a
x−a
b−asi a≤x≤b
1si x>b
IE(X) = b+a
2,V a (X) = (b−a)2
12
Exe cici 6 Rep esen a g `a icamen XiFXi demos a els alo s dona s
pe a l’espe an¸ca i la a i`ancia de X.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 16 / 31

2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
2.4.2 No mal o gaussiana: X∼N(µ, σ)
IPa `ame es: µ, σ ∈R, amb σ > 0.No mal es `anda d: µ= 0, σ = 1.
IDona una ap oximaci´o pe a mol es lleis que obse em.
IX∈(−∞,∞)
IFunci´o de densi a : X(x) = 1
√2πσ2e−(x−µ)2
2σ2
IFunci´o de dis ibuci´o: FX(x)no ´es exp essable u ili zan uncions
elemen als.
IE(X) = µ,V a (X) = σ2
P opie a X∼N(µ, σ)⇒Z=X−µ
σ∼N(0,1) Es anda i zaci´o.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 17 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
µ,σ, i la unci´o de densi a de N(µ, σ)
Iµ´es l’espe an¸ca, i x=µ´es l’eix de sime ia.
Iσ´es la des iaci´o ´ıpica i de e mina
que la g `a ica ingui m´es (si σ´es pe i a) o menys (si σ´es g an) penden .
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 18 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
Signi ica de σen e mes de p obabili a
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 19 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
Taula de la no mal
Suposem X∼N(0,1)
Exemple
=⇒P(N(0,1) <1.96) = 0.9750
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 20 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
C`alcul de p obabili a s amb la aula
1. Es anda i zaci´o Si X∼N(µ, σ), alesho es X−µ
σ∼N(0,1). Pe
an
P(a < X < b) = Pa−µ
σ< N(0,1) <b−µ
σ
2. ISi x≥0,P(N(0,1) < x) = Taula(x)
ISi x≥0,P(N(0,1) > x)=1−Taula(x)
ISi x < 0,P(N(0,1) < x)=1−Taula(−x)
ISi x < 0,P(N(0,1) > x) = Taula(−x)
ISi x > 0,P(|N(0,1)|< x)=2·Taula(x)−1
ISi 0≤a < b,P(a<N(0,1) < b) = Taula(b)−Taula(a)
ISi a < 0< b,P(a<N(0,1) < b) = Taula(b) + Taula(−a)−1
ISi a<b≤0,P(a<N(0,1) < b) = Taula(−a)−Taula(−b)
Exe cici 7 Rep esen a g `a icamen o s els casos enume a s en el pun 2.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 21 / 31

2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
2.4.3 Exponencial: X∼Exp(λ)
IPa `ame e: λ > 0.
ITemps d’espe a en e esde enimen s “Poisson”.
IX∈(0,+∞)
IFunci´o de densi a : X(x) = λ·e−λx
IFunci´o de dis ibuci´o: FX(x)=1−e−λx
IE(X) = 1
λ,V a (X) = 1
λ2
Exe cici 9 Rep esen a g `a icamen XiFXi demos a els alo s dona s
pe a l’espe an¸ca i la a i`ancia de X.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 22 / 31
2.4 Dis ibucions de p obabili a con ´ınues
Exemples d’esde enimen s Poisson
IEl nomb e de co xes que passen pe un ce pun d’una u a (pe
exemple un pea ge) du an un una ho a segueix una dis ibuci´o de
Poisson.
El emps en e el pas de dos co xes consecu ius segueix una
dis ibuci´o exponencial.
INomb e de ucades ele `oniques en una cen ale a ele `onica pe
minu .
El emps en e dues ucades consecu i es segueix una dis ibuci´o
exponencial.
IEl nomb e d’es els uga¸cos pe una uni a de emps.
El emps en e un es el uga¸c i el seg¨uen segueix una dis ibuci´o
exponencial.
Obse aci´o En o s els casos se suposa que el nomb e de co xes, ucades,
es els, en un pe iode de emps ´es independen del nomb e de co xes,
ucades, es els en pe iodes de emps an e io s.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 23 / 31
2.5 Teo emes de con e g`encia
2.5 Teo emes de con e g`encia
Llei dels g ans nomb es Si X∼Bin(n, p)ipno dep`en de n, alesho es
X
n
n→∞
−→ p, amb p obabili a 1
Exemple Volem calcula el alo de π: quad a ci cumsc i en un ce cle,
i em pun s del quad a alea `o iamen . X=“cau e dins del ce cle”
P obabili a d’`exi : p=π
4
X=# `exi s ⇒X
n−→ π
4
Simulem l’expe imen 106cops i em π≈4·X
106
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 24 / 31
2.5 Teo emes de con e g`encia
2.5 Teo emes de con e g`encia
Teo ema Cen al del L´ımi Si X∼Bin(n, p)ipno dep`en de n, alesho es
X−np
pnp(1 −p)
n→∞
−→ N(0,1),en dis ibuci´o
Ap oximaci´o de la Binomial pe la No mal Si X∼Bin(n, p), i n´es g an,
X−np
pnp(1 −p)≈Z∼N(0,1)
O amb´e,
X≈Y∼Nnp, pnp(1 −p)
Obse aci´o ng an ´es ela iu, pe `o podem conside a que n´es g an si
n·p > 5in·(1 −p)>5.
Podem u ili za -ho pe calcula p obabili a s. Pe `o. . .
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 2. Va iables alea `o ies i dis ibucions de p obabili a 25 / 31