Análise de uma classe de problemas de contacto com atrito entre dois corpos elásticos

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 8, 1, 45-59( 1992) ANALISE DE UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTACTO COM ATRITO ENTRE DOIS CORPOS ELASTICOS E.B. PIRES* e P. PROVIDENCIA E COSTA** *Depto. de Engenharia Civil, Inst. Superior Técnaco, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, Portugal. **Faculdade de Ci2ncias e Tecnologia, Universidade de Coimbra, Coimbra, Portugal. Este artigo trata do problema de contacto com atrito entre dois corpos em elasticidade infiilitesimal. Introduzem-se primeiramente, nas zonas da fronteira dos dois corpos candidatas ao contacto, a.s condisoes linearizadas relativas is componentes normais do deslocamento e da telis50 e a lei do atrito considerada. Seguidamente apresentam-se as formulacoes clássica e varia.ciona1 (P.T.V.) do problema e referem-se resultados relativos 2 existencia e unicidade de solucoes. Por último, considera-se a aproximacZo do problema por elementos finitos, descrevemse os algorit,inos utilizados e apresentam-se alguns exemplos numéricos. SUMMARY We consider, in tliis work, the contact problem with friction between two elastic bodies. First we introduce the linearized conditions for the normal components of displacement and stress and the law of friction assumed to hold at the candidate contact areas. Then we present tlie classical aiid variational formulations of the problem and discuss the questions of existence a.nd uniqueiless of solutions. Finally, we consider the finite element approximation of the problem, we describe the algorithms that were used and present some numerical examples. Recibido: Febrero 1991 @Uilivei.sitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 E.B. PIRES Y P. PROVIDENCIA ENUNCIADO DO PROBLEMA E SUA FORMULACAO VARIACIONAL Sejam dois corpos elásticos lineares em s2, ocupando, na sua configura$io de referencia, o domíno R = (a1, C¿"). As fronteiras rZ, z = 1, 11, de cada um dos subdomínios RZ, supóem-se suficientemente regulares e formadas por 3 partes disjuntas I'b, l?F e I'C verificando: r+ rrf, U r6 = rZ, rgnrrf,nrb=4, Z=I,II OS deslocamentos uZ = (uf, U:) estáo prescritos em rrf,, em cada zona I'& estk prescritas forcas de superfície e I'; representa as partes das fronteiras dos dois corpos que poder20 eventualmente entrar em contacto entre si por efeito da solicitacib exterior, isto é, as áreas candidatas ao contacto (Figura 1). As forcas exteriores a que os dois corpos estáo sujeitos consistem no par (b, t) = ((bz, t'), (b", tzz)) onde b" = (bf, bz), z = 1, 11, é um campo de forcas de massa e tZ = (tf ,ti), z = 1, II, é um campo de forcas de superfície. Figura 1. Dois corpos elásticos em contacto. ANÁLISE DE UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTACTO Supoinos que os deslocamentos em rb sáo nulos e que o contacto entre os dois corpos se realiza coin atrito obedecendo a uma lei n5.o linear e náo local proposta por Oden e Piresl. O problema do contacto com atrito entre dois corpos elásticos lineares em regime de pequenos deslocamentos consiste em achar o campo de deslocamentos u = (u1, uzr) que sa(tisfa.2 a.o seguinte sistema de equacóes e inequacoes: Em (1) e (3) Efjkl sáo os coeficientes elásticos dos materiais com as propriedades liabituais de simetria e elipticidade, em (3) e (4) nZ representa o versor da normal exterior i fronteira rZ, (4) representa a condicáo de contacto unilateral e (5) a lei de atrito considerada. A primeira inequacáo em (4), isto é un 5 S;, é uma condicáo liiiearizada de n2o-interpenetracáo e supóe a existencia duma representacáo explícita para a.s superfícies de contacto2. Significa que para dois pontos, um em cada uma das fronteiras r& dos dois corpos, situados sobre a mesma vertical (paralela i direccáo x2), a componente do deslocamento relativo segundo uma direccáo normal As superfícies de contacto ná,o pode ser maior que a projeccáo da distancia entre as duas superfícies 1 segundo a inesma direceso. Se a configuracáo de referencia dos dois corpos for descrita I pela,s coordenadas de Lagrange xoZ = (xp, xZZ), z = I,II, supóe-se entáo que para os poiltos de coordeiladas xoZ E rc l pa,ra uin intervalo aberto I C 8, indepeiidentemente de RI e 0" e de modo que I'k i está. aciina de rg, isto é que I OI II OII S, (x1 > L S, (x1 O intervalo I pode ser definido como o troco do eixo dos x1 que contem as projeccóes, paralelamente i direccáo 22, de I'C e rg sobre esse eixo. Passaremos a designá-lo por rc, isto é, rc I. Entáo ao considerarmos um ponto de abcissa xy E rc estaremos a referir-nos aos pontos (x?, $I(x:)) E I'; e (x:, $~~~(x?)) E I'g (Figura 1). Deste inodo Quanto A condicáo (5), u é o coeficiente de atrito, S, é um operador de regularizacáo para calcular uma medida ponderada da tensáo normal a,(u) numa vizinhanca de raio p de pontos na zona em contacto, 4: é uma funcáo real contínua, monótona dependente dum parametro E > O tal que lirnq$(r)= 1, VT> O, lim $:(TI= 1, V€>O €+O r-++co O factor Sp(an(u)) que representa efeitos nao-locais na superfície de contacto3 é tipicamente da forma onde w, é uma funciio regular positiva, simétrica relativamente A origem e com suporte numa bola de raio p, como por exemplo (c= constante escolhida de forma a normalizar o integral de w,). Finalmente a funcáo -4, tem por objectivo a consideracáo do comportamento elasto-plástico das juncoes que se formam no contacto tendo-se escolhido em que 6-1 é uma medida da rigidez dessas juncoes. É possível mostrar4 que o sistema de equacóes de equilíbrio, condicoes de fronteira e lei de atrito pode ser caracterizado pelo seguinte princípio variacional: Determinar um campo de deslocamentos u = (uz, uzz) num subconjunto K do espaco V de deslocamentos admissíveis tal que: Uin vector v pertencerá a V se: 1. vz = O em Y&, z = I,II ANALISE DE UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTACTO 2. v" produz energia de deformacáo finita, no sentido da norma de vZ Ilvzllvz = (Jn vtj vtjdx) '12 ser finita I = subconjunto de V reprensentando o constrangimento unilateral = {(vi,vlI) E (VI, v") : uR n < S: em rc} a(u,v) = trabalho virtual das tensóes u;zj(uZ) = E&,U~,~ nas deformac6es cfj(vZ) = (u& + vjz1;)/2(dx = dxidxz) (u v) = trabalho virtual das forcas de atrito = Jr, ~sp(un 14. (IVTRI) ds .f(v) = trabalho virtual das forcas exteriores II = 13 (Snz bz vZdx + Jrg tz vZds) z=z Relativamente As questóes de existencia e unicidade de solucóes para o problema geral de coiitacto com atrito entre dois corpos elásticos lineares caracterizado pela inequacáo variacional nao linear (6) o método básico de abordagem foi sugerido por Duvaut5 utilizando um problema auxiliar, isto é, um caso especial de (6) e faz uso de argumentos empregando um teorema de ponto fixo. Esta abordagem foi estendida ao problema de Signorini com uma lei de atrito idéntica A usada neste trabalho por Oden e Pires3. E possível mostrar3 que existe pelo menos uma solucáo para a inequaciio variacional (6) para qualquer u 2 O, p > O e c > O. Se u for suficientemente pequeno a solucáo é única.. O objectivo do presente trabalho é descrever métodos dos elementos finitos para resolver a inequacáo variacional altamente náo linear que caracteriza o problema de contacto com atrito (6). Deste modo introduzimos o seguinte problema discreto, como uma aproximacáo por elementos finitos de (6). Achar uh = (u;, u:') E Vh tal que E.B. PIRES Y P. PROVIDENCIA Em (7) Vh é um subespaco de dimensáo finita de V obtido utilizando elementos de 4 nós (Qi ) ou elementos de 9 nós (Qz), Vh = (v;,~;~), Vt = {vi : viilñz E Qr(ae), ñZ = US2" 15 e 5 EZ,i = 1,2,r = 1,2) e teiido o constrangimento unilateral sido relaxado através da consideraciio duma peiializacáo exterior: deiiotaiido (a)+ a parte positiva de (m). Note-se finalmente que (7) pode ser substituida pela equacáo variacional náo linear aproximada. onde I[.] é uma regra de quadratura numérica para calcular o integral JrCh[ ]ds na superficie de cont-acto aproximada rch. Assim se gh E Co(rch) onde E' é o número de elementos em rCh, N é a ordem da regra de quadratura, w; s5.o os pesos e [; aa coordenadas dos pontos na regra de quadratura. O comportamento da aproximacáo (7) depende dos paramentros v, E, p, S, e h. O algoritmo utilizado para a resoluc5.0 da aproximac5.0 por elementos finitos do probleiiia de contacto com atrito entre dois corpos elásticos (8) baseia-se no resultado relativo 2 esistencia de soluc6es para o problema contínuo, seguindo-se os passos utilizados iia demonstracáo do correspondente teorema e que reflectem a utilizac5.0 do arguiliento de poiito fixo4? Descrever-se-áo em seguida alguns exemplos numéricos executados com o algoritmo a.ciiiia iiidica.do. O primeiro problema tratado consiste numa placa simplesmente Figura 2. Placa sobre apoios. apoiada, apresentando tanto a placa como os apoios, um comportamento elástico linear (Figura 2). A placa está solicitada na sua face superior por uma carga uniformemente distribuída e apresenta um módulo de elasticidade E = 1000 kN/m2 e um coeficiente de Poissoa p = 0.3. Dada a simetria do problema, discretizou-se unicamente a metade esquerda da placa, tendo-se utilizado na placa uma malha de elementos finitos com 75 elementos bilineares de 4 nós e no apoio uma malha com 36 elementos do mesmo tipo. Figura 3. Deformada da placa sobre apoios deformáveis para v = 0.3. Apresenta-se na Figura 3 a deformada respectiva para um coeficiente de atrito de v = 0.3 e nas Figuras 4, 5, 6 e 7 apresentam-se diagramas de tensoes tangenciais, tensóes normais e deslocamentos tangenciais relativos na superfície de contacto bem como deslocamentos verticais dos pontos da viga sobre o apoio. Nestes diagramas apresentam-se também resultados relativos as situacoes em que o apoio é rígido (E,,,;, -o oo) e nao existe atrito (u = 0). As principais conclus6es a tirar destes diagramas s5o: A 800 - 700 - 600 - . - apio rígido 500 - - apio deformável 400 - 300 - 200 - 100 - o I 1 1 I 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 distgncia a face esquerda (m) l7igiira 4. Tensóes tangenciais na superfície de contacto para u = 0.3. A p=O. E= 1.E-3 4000 - z . - apio rígido san amw E . -.-.,.-.- apio deformável sem amto % - .......---. apio rígido com ainw - -, - - apio deformável com ami0 3 S Eu '. E! 2 g .iU 20000; U cm - U - u L: 1000P 2 a e o 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 distancia a face esquerda (m) Figura 5. Tensóes normais na superfície de contacto. 3L - apio 'rígido' sem amto - . - . - . - . - apio deformável sem amto . . - .. . . - - . . . - apoio 'rígido' mm amio - - - - - apoio deformável com atrito distgncia a face esquerda (m) Figura. B. Deslocainentos tangeiiciais relativos na superfície de contacto. ANALICE DE UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE CONTACTO dbtLncia a face esquerda (m) A Figura 7. Deslocamentos verticais dos pontos da viga sobre o apoio. 1.00 - e 0.75 - 6 - e a, amplitude das tensóes no contacto diminui com a deformabilidade dos apoios, e o atrito diiniiiui a amplitude dos deslocamentos (tangenciais e verticais), ao mesmo tempo que aumenta a área da regiáo de contacto efectivo, provocando a. tlimiiiuiqáo do valor absoluto das tensóes normais na zona de contacto. ~=O,E= l.E-3 - apio 'rígido' sem ameo --- apio deformávcl scni auito apio 'Kgido' com amto Os resultados obtidos sáo importantes pois permitem ter um conhecimento mais aproximado da distribuiciio das reacc0es nos apoios. Com efeito, as condisoes de unilateralidade e atrito utilizadas no modelo matemático conduzem a uma avaliasáo mais correcta destes esforcos e, consequentemente, da área de contacto efectiva. Note-se que, para o caso extremo de inexistencia de atrito nos apoios (u = 0) e destes sereiil "rígidos", a área efectiva de contacto tem um valor de 25% da área de coiitacto hipotética, enquanto que a tensáo normal de contacto máxima é 9.1 vezes maior do que seria se fosse calculada admitindo-se uma distribuicáo uniforme e 4.6 vezes maior que a tensáo máxima que se obtém supondo-se uma distribuicáo triangular. No Quadro 1 iiidicam-se estes resultados bem como os correspondentes as outras situaqoes estudadas. - - - - - apio deformável com atrito -0.25 - ai -0.50 - Quadro 1. O - Y -0.75 - u -1.00 apoio ''rígido"sem atrito a,poio deformá,vel S/ atrito apoio "rígido" com atrito apoio deforinável c/ atrito -. -. -_ -. *. 1 1 1 1 I I 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 area efect. 7 area total ' 25 58 58 75 pres. max pres.unif. 9.1 4.5 7.1 4.7 res. max :es: trian. 4.6 2.3 3.5 2.3 d (cm) 2.4 9.3 6.2 10.4