Cálculo : problemas y soluciones

AULA POLITÈCNICA 31 Cálculo Problemas y soluciones AULA POLITÈCNICA / ETSECCPB EDICIONS UPC M. Rosa Estela - Eva Cuello Ángeles Carmona Cálculo Problemas y soluciones Primera edición: septiembre de 2000 Segunda edición: septiembre de 2002 Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © Los autores, 2000 © Edicions UPC, 2000 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: [email protected] Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona Depósito legal: B-27470-2002 ISBN: 84-8301-619-2 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. Prologo Este libro es una recopilacion de problemas propuestos a los estudiantes de ingeniera civil de l'Escola Tecnica Sup erior d'Enginyers de Camins Canals i Ports de Barcelona durante los ultimos a ~nos. Esta dividido en diez captulos, que corresp onden a un primer curso de Calculo de una y varias variables de una carrera tecnica y se complementa con las soluciones de los ejercicios, resultado del esfuerzo y la p erseverancia de M.Rosa Estela y resp onden ala p eticion de los estudiantes. Entendemos que este ejemplar no es simplemente un complemento a las clases de teora sino que tambien sirve para ayudar al estudiante a razonar y a crear y elab orar sus propios razonamientos. Queremos agradecer las sugerencias y ap ortaciones de algunos profesores del Departamento de Matematica Aplicada III, esp ecialmente de Anna Serra, Agustn Medina y Andres Encinas as como la de nuestros alumnos de las titulaciones de Ingeniera de Caminos e Ingeniera Geologica. Esp eramos que el lector sepa disculpar los p osibles errores no detectados y cualquier indicacion al resp ecto sera bien aceptada. Barcelona, 25 de junio de 2002 M.Rosa Estela Eva Cuello  Angeles Carmona i  Indice 7  Indice Captulo 1. Numeros reales y complejos ::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: :::: 9 Captulo 2. Topologa ::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: :::: ::::: ::::: ::::: : 17 Captulo 3. Sucesiones :::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::: 21 Captulo 4. Series numericas : ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: 27 Captulo 5. Funciones: Lmites y continuidad :: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::: 33 Captulo 6. Calculo diferencial para funciones reales de variable real : ::::: ::::: : 47 Captulo 7. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial ::: ::::: ::::: : 63 Captulo 8. Integral de Riemann unidimensional :::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::: 87 Captulo 9. Integral m ultiple de Riemann ::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: :::: :: 97 Captulo 10. Sucesiones y series de funciones. Series de p otencias. Series de Fourier : ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: :: 101 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Numeros reales y complejos 9 Calculo. Problemas y soluciones Captulo 1. N umeros reales y complejos 1.- >A queintervalos corresponden los siguientes subconjuntos de n umeros reales?: f x 2 IR: x 2 + x +1  0 g f x 2 IR: x< 0y x 2 + x ; 6 < 0 g f x 2 IR: r x 2 +1 x 2 ; 1 2 IR g f x 2 IR: 2 x +1 x +2 < 1 g f x 2 IR:(2 x +1) 6 ( x ; 1)  0 g f x 2 IR: x 2 +1 = 0 g f x 2 IR: x 2 + x< 2 g f x 2 IR: x<x 2 ; 12 < 4 x g f x 2 IR: x ; 2 x +3 < 0 g f x 2 IR: x 2 ; 4 x ; 1  0 g f x 2 IR:( x 2 + 1)( x 2 + 4)( x 3 ; 1) = 0 g f x 2 IR: x 2 ; 2 x +1  0 g 2.- Demostrar que si a 2 IR + ,entonces se verica: i ) j x j a (); a  x  a 8 x 2 IR ii ) j x j >a () x< ; a o x> a 8 x 2 IR iii ) x 2  a (); p a  x  p a 8 x 2 IR 3.- Encontrar los intervalos corresp ondientes a los siguientes sub conjuntos de n umeros reales: f x 2 IR: j x j 2 g f x 2 IR: j x ; 2 j 1 g f x 2 IR: j x j > 4 g f x 2 IR: j x 3 ; 2 x +1 j 0 g f x 2 IR: j x 2 ; 1 j 5 g f x 2 IR: j x ; 5 j < j x ; 1 jg f x 2 IR:1 < j x ; 2 j 3 g f x 2 IR: j x +2 jj x ; 2 j > 4 g f x 2 IR: j x ; 1 j < j x jg f x 2 IR: j x j + j x +1 j < 2 g © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 10 Calculo. Problemas y soluciones 4.- Op erar en el cuerp o de los complejos IC, seg un se indica: (6 ; 5 i )(6 + 5 i ) 1 2 ; i (2 ; 3 i ) 2 +( i +5) 2 i (7 + 3 i ) 3 ; 4 i (1 ; i )(1 + 2 i )(1 ; 3 i ) 7 ; 4 i 3+ 2 i i 3 (1 + i ) 2 ; (2 i ; 1) (1 ; i ) 3 ( p 3+ i ) 1 ; p 3 i 5.- Expresar en forma trigonometrica y p olar los siguientes n umeros complejos: ; 1 1+ i 1 ; p 3 i ; i p 3+ i 6.- Expresar en forma cartesiana los siguientes n umeros complejos: 2 e i e ; i = 2 p 5 3 e i = 3 p 2 e ; i = 4 e i = 6 7.- Calcular las races complejas siguientes: 5 p 1 3 p 1 ; i 4 p ; 1 4 p i= 2 8.- Calcular las siguientes p otencias: ( ; 1+ i ) 3 (1 ; p 3 i ) 4 (5 ; 12 i ) 2 9.- Encontrar las p otencias n-esimas de la unidad imaginaria i , es decir, i n ;n 2 IN. 10.- Si a es un n umero real, demostrar que: cos a = e ia + e ; ia 2 sen a = e ia ; e ; ia 2 i © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Numeros reales y complejos 11 11.- Resolver las siguientes ecuaciones en el cuerp o de los complejos IC: x 2 +4 x +29 = 0 u 4 ; 1= 0 z 4 + z 2 +1=0 t 3 + t 2 ; t ; 1= 0 12.- Encontrar las ecuaciones de segundo grado cuyas races son: 3+ p 5 i; 3 ; p 5 i ; 3+ i; ; 3 ; i 2+ p 3 i; 2 ; p 3 i ; 1+2 i; ; 1 ; 2 i 13.- Encontrar dos n umeros complejos sabiendo que el pro ducto de sus modulos es 9, el co ciente de sus modulos es 1, el argumento del pro ducto es 0 y el argumento del co ciente es  /2. 14.- Encontrar z 1 ;z 2 2 IC tales que la suma de los cuadrados sea 3, el co ciente sea imaginario puro y el modulo de este co ciente sea 2. 15.- Encontrar las races del p olinomio z 3 ; (1 + 3 i ) z 2 +( ; 2+ i ) z = 0 siendo z numeros complejos. 16.- Determinar los n umeros complejos z 1 , z 2 i z 3 tales que z 1 3 , z 2 3 i z 3 sean n umeros reales, z 3 = ; a ( a 2 IR + ), z 1 + z 2 + z 3 =0 y j z 1 j = j z 2 j . 17.- Determinar el conjunto de to dos los n umeros complejos z que cumplen cada una de las siguientes condiciones: j 2 z +3 j < 1 j z ; i j j z + i j =2 j 2 z jj 2 z +1 j Re  2 z  + Im  4  z  < 1 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Top ologa. Soluciones 19 Top ologa. Soluciones 1.- (1,100) 2.- d 1 : circunferencia de centro (0,0) y radio 1 d 2 : cuadrado de vertices (1,1),(-1,1),(-1,-1) y (1,-1) d 3 : cuadrado de vertices (0,1),(-1,0),(0,-1) y (1,0) 3.- fr ( A )= f; 1 ; 1 g ; A = A 0 =[ ; 1 ; 1] ;  A = A; Aisl ( A )=  fr ( B )= B = Aisl ( B )= B;  B = B 0 =  fr (IN) = IN= Aisl (IN) = IN ;  IN=IN 0 =  fr (IQ) = IQ=(IQ) 0 =IR ;  IQ= Aisl (IQ) =  fr ( C )= f 0 ; 1 ; 2 ; 3 g[ [4 ; 5] ; C =[0 ; 2] [f 3 g[ [4 ; 5] ;  C =(0 ; 1) [ (1 ; 2) ; Aisl ( C )= f 3 g ;C 0 =[0 ; 2] [ [4 ; 5] fr ( D )= f ( x; y ) 2 IR 2 : y = x +1 g[f ( x; y ) 2 IR 2 : y = x ; 1 g ; D = D 0 = f ( x; y ) 2 IR 2 : j x ; y j 1 g ;  D = D ; Aisl ( D )=  fr ( E ) = rectangulo de vertices (-1,-2),(-1,2),(1,-2) y (1,2) ; E = E 0 =[ ; 1 ; 1]  [ ; 2 ; 2] ;  E =( ; 1 ; 1)  ( ; 2 ; 2) ; Aisl ( E )=  fr ( F )= f ( x; y ; z ) 2 IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 =4 g ; F = F 0 = F;  F = f ( x; y ; z ) 2 IR 3 : x 2 + y 2 + z 2 > 4 g ; Aisl ( F )=  fr ( G )= G = G 0 = G;  G = Aisl ( G )=  fr ( H )= f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 +( y ; 1) 2 =1 g ;  H = H ; Aisl ( H )=  H = H 0 = f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 +( y ; 1) 2  1 g ; © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 20 Calculo. Problemas y soluciones 4.- Indicacion: Todo sub conjunto de un compacto esta acotado. 5.- A = f ( x; y ) 2 IR 2 :( x ; 3) 2 + y 2 < 4 g  A = A fr ( A )= f ( x; y ) 2 IR 2 :( x ; 3) 2 + y 2 =4 g A = A 0 = f ( x; y ) 2 IR 2 :( x ; 3) 2 + y 2  4 g A abierto, no cerrado, acotado y no compacto. 6.- El lugar geometrico es la recta x = y .  A =  , fr ( A )= A , A = A y A 0 = A . © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones 21 Captulo 3. Sucesiones 1.- Justicar si son o no acotadas las siguientes sucesiones: (2 n ) n 2 N  1 n  n 2 N (cos( n )) n 2 N  n 2 ; 1 n  n 2 N 2.- En el espacio eucldeo de los reales, demostrar que la convergencia de la sucesion ( x n ) n 2 N implica la convergencia de la sucesion ( j x n j ) n 2 N . >Es cierto el recpro co? Justicar la respuesta. 3.- Dado el espacio eucldeo (IR ;d ) y el conjunto A  IR denido p or: A = f x 2 IR: x =  1 4 + cos n n 2  n 2 o x = n 2 +3 n 5 n o x = n (2 1 =n 2 ; 1) ;n 2 IN g Demostrar que A tiene un unico punto de acumulacion. 4.- Se considera el espacio eucldeo (IR n ;d ) ;n  1, a 2 IR n y( a n ) n 2 N sucesion de terminos de A  IR n . Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) Si 9 lim n ! + 1 a n = a ,entonces a 2 A . 2) Si 9 ( a n k ) ` ( a n )tal que ( a n k ) es convergente en A ,entonces ( a n )esconvergente en A . 3) Si 9 ( a n k ) ` ( a n ) tal que ( a n k ) es convergente en A ,entonces A es un compacto. 4) Si 8 ( a n k ) ` ( a n ) ; 9 lim n ! + 1 a n k = a ,entonces 9 lim n ! + 1 a n = a 2  A . 5.- Se considera el espacio eucldeo (IR n ;d ) ;n  1. Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) Toda ( x n ) n 2 N sucesion convergente de IR n es acotada y viceversa. 2) Toda ( x n ) n 2 N sucesion de IR n monotona y acotada es convergente. 3) Toda ( x n ) n 2 N sucesion de IR n convergente es monotona. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 22 Calculo. Problemas y soluciones 4) Toda ( x n ) n 2 N sucesion de Cauchyesconvergente. 5) 8 ( x n ) n 2 N sucesion de IR n convergente, entonces A = f x n g n 2 N es un conjunto innito. 6.- Se considera el espacio eucldeo (IR ;d )y ( a n ) n 2 N una sucesion de IR monotona creciente. Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) ( a n ) n 2 N es acotada inferiormente. 2) ( a n ) n 2 N es de Cauchy. 3) Si ( a n ) n 2 N es acotada sup eriormente con supremo en 0 y ( b n ) n 2 N es sucesion de IR , tal que 8 n 2 N ,0 <a<b n <b con a; b 2 IR,entonces 9 lim n ! + 1 a n b n =0. 7.- Calcular el lmite de las sucesiones numericas que tienen p or termino general: 1+ 1 = 2+  +1 =n ln n 1+ p 2+  + n p n n 1 n 2 + 2 n 2 +  + n ; 1 n 2 1 p n 2 +2 + 1 p n 2 +4 + ::: + 1 p n 2 +2 n 8.- Calcular los siguientes lmites: lim n !1 ( n ) 1 =n lim n !1 n 2 (2 1 =n ; 1) lim n !1 ( p n 2 + n ; 2 n ) lim n !1 (1 + ( ; 1) n ) lim n !1 n ( e 1 =n ; 1) lim n !1  n ; 1 n ; n +1 3 n  lim n !1 2 n 1+ 2 n lim n !1 3 n ; 2 n 5 n lim n !1 n ln n lim n !1 n 2 n lim n !1 10 n 2 n lim n !1  1+ln  1+ 1 n  2 n lim n !1  n 2 +1 4 n 2  n lim n !1  n n 2 +1  1 =n lim n !1  5 n ; 1 3 n  ; n 2 lim n !1 (5 n ; 2 n ) © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones 23 lim n !1 ( n 2 +1) 1 = ( n +1) lim n !1 ( p n +1 ; p n ) lim n !1 ( ; 1) n n ! lim n !1  1 ; 2 n  n lim n !1 cos n n 2 lim n !1 n sen   n  lim n !1 n sen n 2 n lim n !1 (ln( n 2 +1) ; n ) lim n !1 ln ( n 2 ; n +1) 1 =n lim n !1 n 2 n ! lim n !1 ln n n lim n !1  1 n  (2 n ; 1) =n 2 lim n !1  n 2 n +1  1 =n lim n !1  sen n n 2 + 1 2  n 4 9.- En el espacio eucldeo de los reales se considera la sucesion numerica ( a n ) n 2 N tal que lim n !1 ( a n +1 ; a n )=  2 IR . Demostrar : 1) lim n !1 a n n = : 2) lim n !1 a 1 + ::: + a n n 2 =  2 : 10.- Dadas las siguientes sucesiones, ( x n ) n 2 N , denidas por recurrencia en (IR ;d ) eucldeo, demostrar que son convergentes y calcular su lmite: i ) x 1 =3 ; x n +1 = x n +5 2 ii ) x 1 =2 ; x n +1 = 1 2  x n + 2 x n  11.- Sean a 0 ;b 0 2 IR tales que a 0 >b 0 > 0. En el espacio eucldeo de los reales se consideran las sucesiones ( a n ) n 2 N y( b n ) n 2 N denidas recurrentemente p or : a n +1 = a n + b n 2 b n +1 = p a n b n Demostrar las siguientes armaciones : 1) a n  b n ; 8 n 2 IN. 2) ( a n ) n 2 N es decreciente y acotada inferiormente. 3) ( b n ) n 2 N es creciente y acotada superiormente. 4) ( a n ) n 2 N y( b n ) n 2 N convergen hacia el mismo lmite. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 24 Calculo. Problemas y soluciones 12.- En el espacio eucldeo de los reales, se considera la sucesion ( x n ) n 2 N de n umeros racionales, (es decir, x n 2 IQ ; 8 n 2 IN ), denida de manera recurrente p or: x 1 = ;  2 (0 ; 1) \ IQ x n +1 =  + x n 1+ x n ; 8 n 2 IN  1) Demostrar que ( x n ) n 2 N es una sucesion acotada. 2) Demostrar que ( x n ) n 2 N es una sucesion monotona. 3) Estudiar la convergencia de ( x n ) n 2 N . >Es convergente en IQ? 4) Considerar (IQ ;d ) con la distancia eucldea inducida de los reales, >es (IQ ;d )un espacio metrico completo? Justicar la respuesta. 13.- En el espacio eucldeo (IR ;d ) se consideran ( x n ) n 2 N y ( y n ) n 2 N dos sucesiones numericas tales que, 8 n 2 IN ; x n  0 y 9 a; b 2 IR tales que 8 n 2 IN ; 0 <a<y n <b . Denimos z n =( ; 1) n x n y n ; 8 n 2 IN . Demostrar: ( z n ) n 2 N es convergente () lim n ! + 1 x n =0 : © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones. Soluciones 25 Sucesiones. Soluciones 1.- No S S No 2.- Indicacion: jj x n j;j x jj < j x n ; x j . El recpro co es falso. 3.- A 0 = f 0 g 4.- 1) F 2) F 3) F 4) V 5.- 1) F 2) F 3) F 4) V 5) F 6.- 1) V 2) F 3) V © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 26 Calculo. Problemas y soluciones 7.- 1) 1 2) 1 3) 1 = 2 4) 1 8.- 1 + 1 ;1 no existe 1 2 3 1 0 1 0 0 e ; 2 0  0 + 1 0 + 1 e 2 0 1 0 + 1 ;1 0 0 0 1 1 0 9.- Indicacion: Criterio de Stolz. 10.- i )( x n ) n 2 N es monotona creciente :l =5 ii )( x n ) n 2 N es monotona decreciente :l = p 2 12.- 1) 0 <x n < 1 2) ( x n ) n 2 N es monotona creciente. 3) l =+ p  4) No 13.- Indicacion: El lmite de una sucesion pro ducto de una sucesion que tiende a cero p or una que esta acotada vale cero. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Series numericas 27 Captulo 4. Series numericas 1.- En el espacio eucldeo de los reales, razonar si es cierta o falsa la siguiente armacion, con un contraejemplo en caso de falsedad: Si P n  1 a n y P n  1 ( ; a n ) son convergentes, entonces, P n  1 j a n j es convergente. 2.- En el espacio eucldeo de los reales, sea ( a n ) n 2 N una sucesion y sup ongamos que 9 M> 1 tal que j a n j Mn ; M , 8 n 2 IN, y 9 k 2 IN tal que P n  1 ( b k n ; b k n +1 )es convergente. Demostrar que P n  1 a n b n es convergente. 3.- Se consideran el espacio eucldeo (IR ;d ) y la serie numerica 1 P n =1 a n convergente. Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) 1 P n =1 a n es absolutamente convergente. 2) La serie de terminos p ositivosyladeterminos negativos son convergentes. 3) La sucesion de sumas parciales  n P k =1 j a k j  n 2 N no es convergente, p ero esta acotada. 4) La sucesion ( j a n j ) n 2 N es convergente hacia cero. 4.- Se consideran el espacio eucldeo (IR ;d ) y la serie numerica 1 P n =1 a n convergente. Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) Si 9 lim n ! + 1 a n = l 2 IR,entonces 1 P n =1 a n es convergente. 2) ( s n ) n 2 N =  n P k =1 a k  n 2 N es de Cauchy () 1 P n =1 a n es convergente. 3) Si 8 n 2 IN ; 0  a n  b n y 1 P n =1 b n es divergente, entonces 1 P n =1 a n es divergente. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 28 Calculo. Problemas y soluciones 5.- En el espacio eucldeo (IR ;d ), vericar las siguientes armaciones: 1) Si a 2 IR ;a> 1,entonces 9 lim n ! + 1 ; 1+ 1 a + 1 a 2 +  + 1 a n  = 1 P n =0 1 a n = a a ; 1 : 2) 8 n  1 ; ln n  n , luego 1 P n =2 1 ln n es divergente. 3) Si ( a n ) n 2 N es una sucesion monotona creciente y lim n ! + 1 a n =+ 1 entonces 1 P n =1 ( ; 1) n a n es convergente. 6.- Se consideran el espacio eucldeo (IR ;d ) y la serie numerica 1 P n =1 a n convergente, con a n > 0 ; 8 n 2 IN : Vericar que: 1) La serie 1 P n =1 ( ; 1) n a n es convergente y la serie 1 P n =1 1 a n es divergente. 2) La serie 1 P n =1 a n 3 n es convergente. 3) La serie 1 P n =1 ln (1 + a n )esconvergente. 7.- Se consideran el espacio eucldeo (IR ;d ) y las series numericas 1 P n =1 a n y 1 P n =1 b n ;b n > 0 : Justicar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: 1) Si 1 P n =1 a n 2 es convergente, entonces 1 P n =1 a n es convergente. 2) Si 1 P n =1 a n y 1 P n =1 b n son divergentes, entonces 1 P n =1 a n b n es divergente. 3) Si 1 P n =1 a n es convergente y 1 P n =1 b n es divergente, entonces 1 P n =1 a n b n es divergente. 8.- En el espacio eucldeo de los reales se consideran las sucesiones ( a n ) n 2 N y( b n ) n 2 N . Demostrar que si las series numericas P n  1 a 2 n y P n  1 b 2 n son convergentes, entonces la serie P n  1 a n b n es convergente. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Funciones: Lmites y continuidad 35 6.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones, justicando las verdaderas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) La suma de funciones discontinuas es discontinua. ii) El pro ducto de funciones discontinuasescontinuo. iii) To da funcion continua es monotona. iv) Toda funcion monotona es continua. v) Si existen los lmites laterales de una funcion en un punto, entonces la funcion es continua en este punto. 7.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones, justicando las verdaderas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Una funcion de dos variables que es continua resp ecto de cada una de ellas, es continua respecto de las dos. ii) Recpro camente, siescontinua respecto de las dos variables, lo es resp ecto de cada una de ellas. iii) Una funcion f ( x; y ), continua en la direccion de to das las rectas que pasan por el origen de co ordenadas, es continua en (0 ; 0). 8.- Las siguientes funciones estan denidas en IR ;f 0 g .>Quevalor ha de tomar f en x = 0 para que sea continua en to do IR? f ( x )= sen(2 x ) x f ( x )= x sen( =x ) f ( x )= e x ; e ; x x f ( x )= 1 ; cos x x 9.- Demostrar que la funcion denida p or : q ( x )= ( 1 ;x 2 Q 0 ;x 62 Q es discontinua en to do IR. 10.- Demostrar que f , funcion real de variable real denida p or f ( x )= 8 > < > : 1 =x ; x 2 Q ;f 0 g 0 ; x =0 x ; x 2 IR ; Q es continua en unicamente 2 puntos. 11.- Sea f :[ a; b ] ! IRcontinua ( a 6 = b ) tal que f ( x ) 2 Q; 8 x 2 [ a; b ]. Demostrar que f es constante. 12.- Sea f :IR ! IR una funcion tal que f ( xy )= xf ( y ) ; 8 x; y 2 IR . Demostrar que f ( x ) es continua 8 x 2 IR. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 36 Calculo. Problemas y soluciones 13.- Sea f :IR ! IR funcion. i) Si j f ( x ) j j x j ; 8 x 2 IR , demostrar que f es continua en x =0. ii) Sea g :IR ! IR continua en x =0, g (0) = 0 y 8 x 2 IR ; j f ( x ) j j g ( x ) j . Demostrar que f es continua en x =0. iii) >Es cierto el apartado (ii) si g (0) 6 = 0? Buscar un contraejemplo en caso negativo. 14.- Sean ( E; d ) y ( F; d 0 ) espacios metricos y la funcion f : A  E ! F uniformemente continua en A . Demostrar que si ( x n ) n 2 N es una sucesion de Cauchyde A ,entonces ( f ( x n )) n 2 N es una sucesion de Cauchyde F . 15.- Dados (IR n ;d ) eucldeo y K sub conjunto compacto de IR n , considerar la funcion f : K ! K tal que: 8 x; y 2 K; x 6 = y; 0 < k f ( x ) ; f ( y ) k k x ; y k < 1 = 2 : Justicar que 9 z 2 K tal que f ( z )= z . 16.- Sea A = f 1 ;  1 2 ;  1 3 ;:::::: g = f ( ; 1) n 1 n ; 8 n 2 IN  g[f ( ; 1) n ; 1 1 n ; 8 n 2 IN  g y g :IR ! IR la funcion denida p or: g ( x )= ( 1 si x 2 A 0 si x 62 A i) Calcular los lmites, si existen, de la funcion g para x = 3 8 ;x = 1 4 ;x =0. ii) Estudiar la continuidad de g . 17.- Considerar el conjunto A = f x 2 IR: x =( ; 1) n + 1 n ; 8 n 2 IN  g y la funcion g :IR ! IR denida p or: g ( x )= ( 1 ; x 2 A 2 x 2 ; x 62 A Estudiar la existencia del lmite de la funcion g en los puntos: -1, -2/3, 0, 1/2, 1 y 2; y calcularlo en caso de que exista. Estudiar la continuidad de g . 18.- En el espacio eucliddeo (IR ;d ), se considera el conjunto A = f x 2 IR : x = ( ; 1) n = 2 n ; 8 n 2 N g y las funciones f :IR ! IRy g : A  IR ! IR denidas p or: 8 x 2 IR ;f ( x )= ( 0 ; x 2 A e ; x 2 ; x 2 IR ; A ; 8 x 2 A; g ( x )= ( 0 ;x< 0 e ; x 2 ; x  0 i) Estudiar si A es un conjunto acotado. Calcular el interior, la acumulacionyel conjunto de puntos aislados de A . ii) Estudiar la continuidad de f ylacontinuidad de g . © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Funciones: Lmites y continuidad 37 19.- Calcular el valor de las constantes para que las siguientes funciones reales de variable real sean continuas entodoIR: f ( x )= 8 < : 2 x 2 + b si x  0 e x 2 ; 1 x 2 si x < 0 g ( x )= 8 > < > : 2 1 =x + a si x < 0 0 si x =0 b 1 =x si x > 0 20.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones e indicar el tip o de discontinuidad que presentan : h ( t )= sen ( t +1) j t 2 ; 1 j f ( x )= j x j +1 p x 2 ; 1 r ( t )= ( e 1 = ( t ; 1) ;t< 1 0 ; t =1 f ( x )= x 2 ; 2 x +1 x 2 + x ; 2 g ( y )= e 2 y ; 1 ln( y 2 +1) s ( t )= ( e 1 = ( t ; 1) ; t 6 =1 0 ; t =1  ( u )= 8 > > > > > < > > > > > : sen(2 u ) u ;u> 0 ln j 1+ u j ;u< 0 ;u 6 = ; 1 1 = 2 ; u =0 0 ; u = ; 1 21.- Calcular los siguientes lmites de funciones de variable vectorial: lim ( x;y ) ! (0 ; 0) xy x 2 + y 2 lim ( x;y ) ! (1 ; 0) sen (( x ; 1) y ) y lim ( x;y ) ! (0 ; 0) x 5 ; 2 x 2 y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 lim ( x;y ) ! (1 ; 1) x ; y x + y ; 2 lim ( x;y ) ! (0 ; 1) e x=y ; 1 x lim ( x;y ) ! (0 ; 2) sen ( xy ) x lim ( x;y ) ! (0 ; 0) e xy ; 1 p x 2 + y 2 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) (2 + xy ) ; 1 x 2 y 2 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) xy 2 x 2 + y 4 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) xy sen  1 x 2 + y 2  lim ( x;y ) ! (0 ; 0) ln ( x 2 ; y 2 +1) x + y lim ( x;y ) ! (1 ; 0) ( x ; 1) 3 x 2 ; 2 x + y 2 +1 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) ln ( xy +1) x 2 + y 2 lim ( x;y ) ! (1 ; ; 1) x 2 ; y 2 e x + y ; 1 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) x 3 y 2 lim ( x;y ) ! (0 ; 0) (1 + sen ( x 2 y )) 1 x 2 + y 2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 38 Calculo. Problemas y soluciones 22.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones e indicar el tip o de discontinuidad que presentan : f ( x; y )= j x + y j g ( x; y )= arctan( x + y ) x 2 ; y 2 h ( u; v )= e ; 1 =u 2 v 2 r ( t; x )= sen ( tx ) t g ( x; y )= ( p 1 ; x 2 ; y 2 ; x 2 + y 2  1 0 ; x 2 + y 2 > 1 z ( x; y )= 8 > > > < > > > : ln (1 + x 2 y 2 ) xy ; xy 6 =0 0 ; x =0 1 ; y =0 ; x 6 =0 h ( x; y )= ( 1 ; 0 <x  y 2 0 ; x  0o x> y 2 r ( s; t )= ( st 2 sen(1 =t ) ; t 6 =0 0 ; t =0 23.- Sea la funcion  :IR 2 ! IR tal que:  ( x; y )= p x 2 + y 2 x sen( xy ) ;si x 6 =0 Denir la funcion en los puntos de x = 0 para que sea continua en IR 2 . 24.- Considerar la funcion de dos variables f :IR 2 ;f (0 ; 0) g! IR denida p or f ( x; y )= 8 > > > < > > > : x 2 sen y x 2 + y 2 si y  0 e y 3 ; 1 x 2 + y 2 si y< 0 i) Comprobar que el dominio de f puede extenderse a IR 2 de forma continua. ii) Considerar el conjunto A  IR 2 , A = ( z 2 IC: j z ; 2 i j j z + i j  p 2 ) .Si  f es la extension continua de f en IR 2 , estudiar la existencia de extremos absolutos de  f j A (restriccion de  f al conjunto A ). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Funciones: Lmites y continuidad 39 25.- Considerar la funcion real de variable vectorial f :IR 2 ! IR denida p or: f ( x; y )= 8 > > > > > > > < > > > > > > > : xy ; ; x  y  x 2 y x> 0 x y ;x> 0y y>x 2 x 2 + y 2 ; x  0  y x ; y x + y ;y< 0y y< ; x i) Representar gracamente en IR 2 los distintos dominios de denicion de f ii) Estudiar la continuidad de f en IR 2 . 26.- Resolver las siguientes cuestiones: i) Buscar un ejemplo de una funcion que toma valores p ositivos y negativos en un intervalo [ a; b ], y que no se anula en ning un punto. ii) Buscar un ejemplo de una funcion continua en un abierto A , que no alcanza ning un extremo en dicho conjunto A . iii) Probar que si f ( x )escontinua en el intervalo [ ; 1 ; 2], f ( ; 1) = ; 3y f (2) = 18, entonces 9 t 2 ( ; 1 ; 2) tal que f ( t )=7. 27.- Dadas las siguientes ecuaciones, indicar un intervalo en el que pueda asegurarse que existe alguna solucion (ayudaos gracamente): x 3 ; 3 x +1 = 0 x ; 1= sen x t 2 +ln t =0 e t =2 ; t 2 x 4 +2 x 2 ; x ; 1=0 x 3 = arctan x e t ; 1 = 1 t +1 t ln t =1 28.- Se considera la funcion f :IR ! IR continua y acotada. Demostrar que la ecuacion f ( x ) ; x 3 = 0 tiene al menos una raz real. 29.- Sin necesidad de la denicion, justicar si las siguientes funciones alcanzan un maximo y un mnimo absolutos en los conjuntos indicados: f ( x )= x 2 ; 2 x +3 en el intervalo [ ; 1 ; 0] y ( x )= 1 =x en f x 2 IR: j x j 1 g h ( t ) = sen t en f t 2 IR: j 2 t ; 3  j < g r ( t )= e t ln j t 2 ; 1 j en el intervalo [ ; 1 ; 2] © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 40 Calculo. Problemas y soluciones g ( x )= 8 < : sen x x ; x 6 =0 x ; x =0 en f x 2 IR: j x j 1 g f ( x; y )= e x + y cos( xy )en f ( x; y ) 2 IR 2 : j x ; y j 1i j x j 2 g g ( x; y )= x + y 2 sen ( xy ) en f ( x; y ) 2 IR 2 : j x j 1 ; y 2 g ' ( z )= Re ( z )+ Im ( z ) j z j 2 en f z 2 IC:1 < j z j 2 g F ( u; v )= ( 2 u +1 ; u  0 1+ u 2 v; u< 0 en f ( u; v ) 2 IR 2 : u 2 + v 2  1 g 30.- Sea la funcion H :IR  [0 ; + 1 )  IR 2 ! IR tal que, para x 2 IR ;y  0 ; H ( x; y )= 8 > > > > > < > > > > > : e x ; y ; 1 x +2 y ; y j x j ; ( x; y ) 6 =(0 ; 0) 0 ; ( x; y )= (0 ; 0) ( x ; y ) cos  1 x 2 ; y 2  ;y< j x j i) Estudiar la continuidad de la funcion H . ii) Se consideran los conjuntos C 1 = f ( x; y ) 2 IR  [0 ; + 1 ) : j x j y  1 g y C 2 =[1 = 2 ; 1]  [1 = 2 ; 1]. >Se puede asegurar que H alcanza un maximo y un mnimo absolutos en C 1 ?>Y en C 2 ? Justicar las respuestas. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Funciones: Lmites y Continuidad. Soluciones 41 Funciones: Lmites y Continuidad. Soluciones 1.- IR ;f 0 g ( ;1 ; ; 2) [ (1 ; + 1 ) f ( x; y ) 2 IR 2 : x  y 2 ; 2 y +2 g f ( u; v ) 2 IR 2 :2 u>v g f ( t; s ) 2 IR 2 : ts 6 = k ; k 2 Z g ( ; 1 ; + 1 ) ( ; 1 ; 0] [ (1 ; + 1 ) IR ;f 0 ; 1 g f ( x; y ) 2 IR 2 : y>x 2 g IR 2 ;f ( ; 1 ; 2) g [2 ; + 1 ) ;f t 2 IR: t =  4 + k  2 ;k 2 Z g 2.- ( g  f )( x )= r x +2 x +1 ; ( f  g )( x )= 2 p x ; 1+3 p x ; 1+ 1 ( s  h )( t )= e 1 sen( t 2 ; 2) ; ( h  s )( t )= sen( e 2 =t ; 2) ( g  f )( x; y )= s x 2 ; y 2 xy ; x ; y +3; no existe f  g ( g  r )( t )= 1+ t 2 ; ( r  g )( u; v ; z ) = (sen( u 2 + v 2 + z 2 ) ; cos( u 2 + v 2 + z 2 ) ;u 2 + v 2 + z 2 ) ( h  f )( x; y ; z ) = sen( z + y ); no existe f  h 3.- parab oloide de revolucion parab oloide hip erbolico parab oloide elptico cono parab oloide hip erbolico plano © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 42 Calculo. Problemas y Soluciones 4.- g ( x )= 1 = 2 ; x 2 h ( x; y )= 3 5.- ; 1 2 e 2 no existe 1 1 0 1 1 1 ; 1 2 ; 1 2 0 ; 2 1 no existe no existe 1 no existe a ; b 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 0 1 0 ; 1 1 2 6.- i) F ii) F iii) F iv) F v) F 7.- i) F ii) V iii) F © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Funciones: Lmites y Continuidad. Soluciones 43 8.- 2 0 2 0 9.- Indicacion: Aplicar el criterio secuencial. 10.- x =  1 11.- Indicacion: Demostrar p or reduccion al absurdo y aplicar el teorema de los valores intermedios. 12.- Indicacion: Demostrar que f ( x ) x es constante y aplicar la denicion de continuidad. 13.- i) Indicacion: f (0) = 0 y aplicar la denicion de continuidad. ii) Indicacion: Observar que i) es un caso particular de ii). iii) Falso. 14.- Indicacion: Demostrar usando las deniciones. 15.- Indicacion: Aplicar el teorema del punto jo. 16.- i) lim x ! 3 8 g ( x ) = lim x ! 1 4 g ( x )= 0; lim x ! 0 g ( x ) no existe. ii) Si x 0 62 ( A [f 0 g ), g es continua en x 0 . Si x 0 2 A , g tiene una discontinuidad evitable en x 0 . Si x 0 = 0, discontinuidad esencial en x =0. 17.- Si x 0 2 A , g tiene una discontinuidad evitable en x 0 . Si x 0 62 ( A [ A 0 ), g es continua en x 0 . Si x 0 2 A 0 , discontinuidad esencial en x 0 .(Ej. 1,-1). 18.- i) A es un conjunto acotado.  A =  , A 0 = f 0 g , Aisl ( A )= A . ii) f es continua en IR ; ( A [f 0 g )y g es continua 8 x 2 A . 19.- Para f : b = 1, y para g : a =0 ;b 2 (0 ; 1). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 44 Calculo. Problemas y Soluciones 20.- h presenta discontinuidad esencial en t =1 ; y de salto en t = ; 1 f presenta discontinuidad esencial en x = ; 2 ; y evitable en x =1 f es continua en IR ; [ ; 1 ; 1] g presenta discontinuidad esencial en y =0 r es continua 8 t 2 D omr s presenta discontinuidad esencial en t =1  es continua en IR ;f 0 ; ; 1 g 21.- no existe 0 0 no existe 1 2 0 0 no existe 0 0 0 no existe 2 no existe 1 22.- f es continua 8 ( x; y ) 2 IR 2 g es continua 8 ( x; y ) 2 IR 2 ;f ( b; ; b ) [ ( a; a ) g h presenta discontinuidad evitable en u =0 y en v =0 r presenta discontinuidad evitable en t =0 g es continua 8 ( x; y ) 2 IR 2 z presenta discontinuidad esencial en ( x; y ) 2 IR 2 : y =0 h es continua en IR 2 ; [ f x = y 2 g[ f x =0 g ] r es continua 8 ( s; t ) 2 IR 2 23.-  ( x; y )= 8 < : p x 2 + y 2 x sen( xy )si x 6 =0 y j y j si x =0 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 50 Calculo. Problemas y soluciones 17.- Las siguientes ecuaciones denen implcitamente una funcion derivable y = y ( x ) en un entorno del punto indicado. Hallar la ecuacion de la recta tangente y de la recta normal a la curva y = y ( x ) en el punto corresp ondiente: 2 ; y = y x en (0 ; 1) y = x ; ln y en (1 ; 1) x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 en (0 ;b ) 18.- Se considera una funcion f :IR ! IR derivable tal que f (1) = 0. Demostrar que la recta tangente a la curva x 2 ; ( f ( x )) 2 + sen ( xf ( x )) + e f ( x ) = 2 en el punto (1,0) es p erp endicular a la recta y = x . 19.- Demostrar que las curvas de ecuaciones 2 x 2 +3 y 2 =5 y y 2 = x 3 se cortan en el punto (1,1) y que sus tangentes en este punto son perp endiculares. (Nota: se sup one que lo calmente,enunentorno del punto (1,1), las curvas anteriores son la representacion graca de una funcion y = y ( x )). 20.- La ecuacion x 2 y 2 + xe y ; 2 x + y = ; 1 dene implcitamente y = y ( x )derivable en un entorno del punto (1,0). Probar que la recta tangente a y = y ( x ) en el punto (1,0) es paralela a la recta x =2 y . 21.- Demostrar que un error relativo de un 1% al determinar la longitud del radio da lugar a un error relativo aproximado de un 2% al calcular el area del crculo y la sup ercie de la esfera. 22.- >En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera ( V ( R )= 4 3 R 3 ) si su radio R =15 cm se alarga 2 mm ? 23.- A partir de la ley de Ohm: I = E=R , demostrar que una variacion en la intensidad de la corriente debida a una variacion de la resistencia puede calcularse de manera aproximada p or  I ; I  R=R . 24.- Sea la funcion f :(0 ; + 1 ) ! [0 ; 1] derivable tal que 8 x 2 (0 ; + 1 ), j f 0 ( x ) j < 1. Demostrar que si ( x n ) n 2 N es una sucesion de (0 ; + 1 ) estrictamente creciente, entonces la sucesion ( f ( 1 x n )) n 2 N es convergente en [0,1]. 25.- Sea la funcion f :( a; + 1 ) ! IR ;a> 0derivable tal que lim x ! + 1 f 0 ( x )= ;  2 IR. Demostrar que existe lim x ! + 1 ( f ( x +1) ; f ( x )) y calcularlo. Aplicar este resultado para calcular: lim x ! + 1 ((1 + x ) 1+ 1 x +1 ; x 1+ 1 x ) 26.- A p esar de que la funcion f ( x )= j sen x j verica que f ( ; = 2) = f ( = 2) = 1 y es continua en [ ; = 2 ;= 2] , no existe ning un a 2 ( ; = 2 ;= 2) tal que f 0 ( a )=0 . >Acaso este hecho contradice al teorema de Rolle? © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 51 27.- Sea f :[0 ; 1] ! (0 ; 1) continua en [0,1] y derivable en (0,1) tal que f 0 ( x ) 6 =1 ; 8 x 2 (0 ; 1) . Demostrar que existe un unico punto x 0 2 [0 ; 1] tal que f ( x 0 )= x 0 . 28.- Demostrar que la ecuacion funcional x 2 =18ln x tiene una unica solucion en el intervalo [1 ;e ]. 29.- Demostrar que la ecuacion senh t ;j t ; 1 j = 0 tiene una unica raz real. 30.- Sea la funcion f :(0 ; + 1 ) ! IR derivable tal que f (2)=0 ; lim x ! + 1 f ( x ) x =1 y 8 x 2 (0 ; + 1 ) ;f 0 ( x ) > 2 =x . Demostrar que la ecuacion f ( x ) ; ln ( x 2 ) = 0 tiene exactamente una raz real. 31.- Sea f :IR ! IR continua tal que lim x ! + 1 f ( x ) x n = lim x !;1 f ( x ) x n = 0. Demostrar que si n es impar, entonces existe a 2 IR tal que f ( a )+ a n =0. 32.- Sean f y g dos funciones continuas en [ a; b ] y derivables en ( a; b ). Demostrar que si 8 x 2 ( a; b ) ;f 0 ( x )  g 0 ( x ), y 9 x 0 2 ( a; b ) tal que f ( x 0 )= g ( x 0 ), entonces 8 x  x 0 ;f ( x )  g ( x )y 8 x  x 0 ;f ( x )  g ( x ). 33.- a) Sea P ( x ) un p olinomio tal que P 0 ( x ) tiene k races reales. Demostrar que P ( x ) tiene a lo sumo k +1 races reales. b) Sean p; q 2 IR, n 2 N . Demostrar que el p olinomio P ( x )= x n + px + q tiene como maximo dos races reales si n es par y tres si n es impar. 34.- Sea f :IR ! IR ; se dene: x es un punto jo de f def () f ( x )= x . i) Demostrar que si f es derivable y f 0 ( x ) 6 =1 ; 8 x 2 IR, f tiene a lo sumo un punto jo. ii) Probar que la funcion f ( x )= x + 1 1+ e x no tiene puntos jos a p esar de cumplir que 0 <f 0 ( x ) < 1. iii) Demostrar que si 9 K< 1 tal que j f 0 ( x ) j K; 8 x 2 IR, entonces f p osee un punto jo. iv) Probar que la ecuacion x = cos x tiene una unica solucion en el intervalo [0 ;  3 ]. 35.- Sea f :(0 ; + 1 ) ! IR derivable tal que lim x ! + 1 f 0 ( x ) = 0. Se dene la funcion g ( x )= f ( x +1) ; f ( x ); demostrar que lim x ! + 1 g ( x )= 0. 36.- Demostrar que la ecuacion funcional x 2 = x sin x +cos x se satisface exactamente para dos valores de x . 37.- Probar que la ecuacion e x ; 1 ; 1 x +1 =0 tiene una unica raz real, y hallarla de forma aproximada. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 52 Calculo. Problemas y soluciones 38.- Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [0 ; 2 a ] y tal que f (0) = f (2 a ). Demostrar que 9 c 2 [0 ;a ]talque f ( c )= f ( c + a ). 39.- Sean f y g dos funciones continuas y derivables en un intervalo acotado I , vericando que f ( x ) g 0 ( x ) ; f 0 ( x ) g ( x ) 6 = 0. Demostrar que entre dos ceros consecutivos de f ( x ) existe a lo sumo un cero de g ( x ). 40.- Sea f :[ a; b ] ! IR, a; b 2 IR , tal que 8 x; y 2 [ a; b ], j f ( x ) ; f ( y ) j M j x ; y j  , para > 1y M> 0 . Demostrar que f es constante en [ a; b ]. 41.- Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: i) Existe a 2 ( ; 1 ; 1) con f 0 ( a ) = 0, para f ( x )= x +1 =x . ii) Existe a 2 ( ; 1 ; 1) con f 0 ( a )=0,para f ( x )= x 4 + j x j . iii) La ecuacion e x =1+ x tiene una unica raz real. iv) La ecuacion x 3 ; 3 x + 1 = 0 tiene tres races reales. v) La ecuacion 3ln x = x tiene dos races reales. vi) Si f :IR ! IR es una funcion continuayderivable, cuyagraca corta al eje de ab cisas en exactamente tres puntos, entonces existen al menos dos puntosenlosquela recta tangente a y = f ( x ) es horizontal. 42.- Calcular los siguientes lmites aplicando, si es posible, la regla de l'H^opital: lim x ! 1 + ln x ln( x ; 1) lim x ! 0 + x x lim x ! + 1 ln x x lim x ! + 1 x e x lim x ! 0 + (cot x ; ln x )lim x ! = 2 (tan x ) cos x lim x ! + 1 x ; sin x x + sin x lim x ! 0 sin x ; x x 2 lim x ! 0 + 1 ; ln x e 1 =x lim x ! 0 x 2 sin (1 =x ) sin x lim x ! + 1 xe ; x lim x ! 0 + ( x ) 1 ln x lim x ! 0 + (1 + x ) ln x lim x ! + 1 ( x ) 1 x 43.- Sea f :IR ! IR ;f 2 C 2 ( B r (0)) ;r> 0, tal que f 0 (0) 6 = 0. Demostrar que: 9 lim x ! 0 ( f 0 ( x ) f ( x ) ; f (0) ; 1 x )= f 00 (0) 2 f 0 (0) 44.- Calcular el p olinomio de Taylor de cuarto grado, que localmente aproxima a cada una de las siguientes funciones en un entorno del punto x =0: f ( x )= e ; x 2 g ( x )= ln( x 2 +1) h ( t )= 1 1+ t 2 r ( t ) = sen( t 2 ) © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 53 45.- Se desea aproximar el valor de f ( x )= 1 1 ; x para x =1 = 4 haciendo uso del desarrollo de Taylor de f alrededor del origen de co ordenadas con resto de Lagrange: f ( x )= f (0) + f 0 (0) x + ::: + f n ) (0) n ! x n + f n +1) ( x ) ( n + 1)! x n +1 ; 0 < < 1 i) Hallar un n tal que el error cometido al despreciar el resto sea menor que 0.01. ii) Hallar directamente el mnimo n tal que el error cometido al despreciar el resto sea menor que 0.01. iii) Calcular el valor de  para este ultimo valor de n , y explicar a que se deb e la diferencia entre los valores de n hallados en los apartados (i) y (ii). 46.- Sea f :IR ! IR 2-veces derivable y tal que f (1) ; f (0) = 7 y j f 00 ( x ) j 3 ; 8 x 2 [0 ; 1]. Demostrar que f es monotona creciente en un entorno del cero. Indicacion: Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero. 47.- Sea f :[ ; 1 ; 1] ! IR 3-veces derivable en (-1,1) y tal que f ( ; 1)=0 ;f (0) = 0 ;f (1) = 1 ;f 0 (0) = 0. Demostrar que f 3) ( x )  3 para alg un x 2 ( ; 1 ; 1). Sugerencia : Usar el desarrollo de Taylor de f entorno al cero, y evaluar la funcion en 1 y -1 para demostrar que existen  2 (0 ; 1) y  2 ( ; 1 ; 0) tales que: f 3) ( s )+ f 3) ( t )= 6. 48.- Calcular los extremos de las siguientes funciones: y ( x )= j sin x j z ( x )= j x 2 ; 4 j r ( t )= 3 t ; ( t ; 1) 3 = 2 s ( t )= j t j u ( t )= t t 2 +2 v ( t )= 1 ; t 2 1+ t 2 f ( x )= ( 9 ; x; x  3 x 2 ; 3 ;x> 3 h ( t )= ( ; t 2 +4 t ; 4 ;t> 1 e 2 t ; t  1 49.- Hallar los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones sobre el conjunto indicado: f ( x )= sen x ; cos x en [0 ; ] g ( x )= 1+ j 9 ; x 2 j en [ ; 5 ; 1] h ( x )= 1 =x en f x 2 IR: j x j 1 g y ( x )= j 6 ; 4 x j en f x 2 IR: j x j 3 g f ( x )= 8 > < > : 1 =x ; ; 2  x ; 1 j x j ; j x j < 1 1 ; ( x ; 1) 2 ; 1  x  2 en [ ; 2 ; 2] h ( x )= ( x 3 +2 x +2 ;x< 0 x 2 ; 3 x +2 ; x  0 en [ ; 2 ; 2] © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 54 Calculo. Problemas y soluciones 50.- Probar que se verican las siguientes desigualdades: sen x  x 8 x 2 [0 ; 2  ] 1 ; x 2 2  cos x 8 x 2 [0 ; 2  ] ln x  x 8 x> 0 x + 1 x  2 8 x> 0 1+ x< e x < 4 x +1 8 x 2 (0 ; 1) x 1+ x  ln (1 + x ) 8 x  0 51.- Sea la funcion h :IR ! IR denida p or: h ( z )= ( p 1+ z 2 sen ( z 3 ) ; z  0 z j z j ;z< 0 i) Demostrar que h 2 C 1 (IR),esdecir, h es derivable con continuidad en IR. ii) Estudiar la monotona de h en ( ;1 ; 0], y hallar los extremos de h en [-1,0]. 52.- Sea f :[0 ; + 1 ) ! IR denida p or: f ( x )= (1 + x ) p 1+ x p ; 8 x 2 [0 ; + 1 ) ;p> 0 i) Calcular los extremos de f en [0 ; + 1 )segun los valores de p . ii) Demostrar que se cumplen las siguientes desigualdades: 2 p ; 1 (1 + x p )  (1 + x ) p  1+ x p ; 0 <p< 1 1+ x p  (1 + x ) p  2 p ; 1 (1 + x p ) ;p> 1 53.- Estudiar cuales de las funciones denidas implcitamente en el ejercicio 17 tienen un maximo o mnimo en los puntos indicados. 54.- >Cual es la recta tangente a la curva y =2 x ln x + x 3 = 6 ; 3 x 2 = 2 ; 2 x que en [1,5] tiene menor p endiente?; >y la que tiene mayor p endiente? 55.- Hallar los puntos de la semicircunferencia x 2 + y 2 = 80 para y  0mas cercanos y mas alejados del punto (1,2). (Nota: Hallar los extremos de una funcion f monotona y p ositiva es equivalente a hallar los extremos de f 2 ). 56.- Cada lado de un cuadrado tiene longitud L . Calcular el lado del cuadrado de area maxima que puede circunscribirse al cuadrado dado. 57.- Dada una esfera de radio R , calcular el radio r y la altura h del cono circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en dicha esfera. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 55 58.- La base de un triangulo esta en el eje OX, un segundo lado se encuentra sobre la recta y =3 x , y el tercer lado pasa p or el punto (1,1). Si se desea que el area del triangulo sea mnima, >cual deb e ser la p endiente del tercer lado? 59.- Una viga de madera tiene una seccion rectangular de altura h yanchura p .Si la resistencia S de la viga es directamente prop orcional a la anchura y al cuadrado de la altura, >cuales son las dimensiones de la viga mas resistente que se puede cortar de un tronco de 24 pulgadas de diametro? 60.- Se trata de excavar un t unel en la ro ca para la conduccion de agua. La forma del tunel deb e ser la de un semicrculo sobre un triangulo de seccion de K m 2 .Elcoste de la excavacion es prop orcional a la suma de la altura total en el punto donde esta es maxima, con el p ermetro de la semicircunferencia. Hallar las dimensiones del t unel que minimizan el coste total. 61.- Un concierto tendra lugar en un recinto dep ortivo S semicircular de radio R : S = f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 + y 2  R 2 ; y  0 g . Se trata de llevar un cable desde un punto A de co ordenadas ( R; 0) hasta otro punto B de co ordenadas ( ; R= 2 ; 0). Para ello existen dos p osibilidades: a) llevar un cable sencillo p or la semicircunferencia desde A hasta un punto C , y desde C ,iren lnea recta hasta B con un cable reforzado, o bien, b) llevar directamente un cable reforzado desde A hasta B en lnea recta. El cable sencillo cuesta una cantidad K 1 p or unidad de longitud, y el cable reforzado una cantidad K 2 =2 K 1 . Estudiar cual de las dos posibilid ades es la optima para que el coste sea mnimo. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 57 Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 1.- Soluciones primera columna: f derivable 8 x 2 IR ;f 0 g : r derivable 8 t 2 IR : z derivable 8 x 2 IR : f derivable 8 t 2 IR ; [ ; 1 ; 0] : g derivable 8 x 2 IR ;f; 1 ; 1 g : h derivable 8 u 2 IR : Soluciones segunda columna: g derivable 8 x 2 IR : s derivable 8 t 2 ( ; 3 ; + 1 ) : y derivable 8 x 2 IR ;f x =  2 + k ; k 2 Z g : h derivable 8 t 2 IR + : f derivable 8 x 2 IR ;f; 1 ; 1 g : f derivable 8 x 2 IR : 2.- f es derivable en x =1 y en x = ; 1noderivable. 3.- Como g es derivable en x = 0 es continua en x = 0 y p or tanto f es continua en el punto (0,1) en la direccion de la recta y =1 ; x . 4.- Para que g sea continua en x =0 f deb e ser acotada. 5.- Indicacion: Aplicar la denicion de derivada y la existencia de lmites direccionales cuando existe el lmite global. 6.- Domh 0 =IR ;f 0 g y h 0 ( y )= 8 < : 2 y; y> 0 2 (1 ; y ) 2 ;y< 0 h es inyectivaenIRya que es estrictamente creciente. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 58 Calculo. Problemas y soluciones 7.- i) x =0, x =1 y x = ; 2 ii) ( 1 8 ; ; 1 16 ) iii) x =1 y x = ; 1 iv) x =2 y x = ; 2 v) b = ; 1y c =1. 8.- i) V ii) F iii) F iv) F 9.- Indicacion: Aplicar la caracterizacion por sucesiones de punto de acumulacion y el criterio secuencial. 10.- y 0 ( x )= e ; x (1 ; x ) y 0 ( x )= xe x (1 + x 2 ); y 00 ( x )= e x ( x 2 2 +2 x +1) y 0 ( x )= ; c 1 e ; x ; 2 c 2 e ; 2 x ; y 00 ( x )= c 1 e ; x +4 c 2 e ; 2 x . 11.- Indicacion: aplicar la regla de la cadena. 12.- g 0 (0) = h 0 (0) = 2. 13.- 36 5 millas/hora. 14.- 5 4  15.- Derivar implicitamente la ecuacion x 3 + y 3 =1. 16.- Derivar implicitamente la ecuacion xsen ( xy )+ 2 x 2 =0. 17.- r T : y =0; r N : x =1 r T : y =1 = 2 x +1 = 2; r N : y =3 ; 2 x r T : y = b ; r N : x =0 18.- Derivando la ecuacion y sustituyendo en el punto (1,0) obtenemos 2 + f 0 + f 0 =0. 19.- La recta tangente a 2 x 2 +3 y 2 =5 es y ; 1= ; 2 3 ( x ; 1). 20.- La ecuacion de la recta tangente a y = y ( x )enel punto (1,0) es y = 1 2 ( x ; 1). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real. Soluciones 59 21.- Indicacion: Utilizar la denicion de diferencial de una funcion en un punto. 22.- 180  . 23.- Indicacion: Utilizar la denicion de diferencial de una funcion en un punto. 24.- Teorema del valor medio y ver que 1 x n es convergente. 25.- Aplicar el teorema del valor medio; lim x ! + 1 ( f ( x +1) ; f ( x )) =  y lim x ! + 1 ((1 + x ) 1+ 1 x +1 ; x 1+ 1 x )= 1 26.- No contradice p orque f no es derivable en el intervalo. 27.- Aplicar Bolzano a la funcion g ( x )= f ( x ) ; x . 28.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 29.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 30.- Aplicar los teoremas de Rolle y Bolzano. 31.- Aplicar Bolzano. 32.- Ver que h ( x )= f ( x ) ; g ( x ) es creciente y h ( x 0 )= 0. 33.- Rolle. 34.- i) Denir g ( x )= f ( x ) ; x ii) Ver que 1 1+ e x no puede valer 0. iii) Aplicar el teorema del punto jo. iv) Ver que f ( x )= cos x verica el apartado iii). 35.- Aplicar el teorema del valor medio. 36.- Aplicar Rolle y Bolzano. 37.- Aplicar Rolle y Bolzano. x 2 (0 ; 1). 38.- Denir g ( x )= f ( x ) ; f ( x + a ) y aplicar el teorema de Bolzano. 39.- Aplicar el teorema de Rolle a la funcion h ( x )= f ( x ) g ( x ) para estudiar la existencia y a h ( x )= g ( x ) f ( x ) para comprobar la unicidad. 40.- Probar que f 0 ( x )= 0. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 66 Calculo. Problemas y soluciones 19.- Calcular dz dt en las situaciones siguientes: z = x + y con x =4( t 2 ; 1) ;y =ln t z = p x 2 + y 2 con x = e t ;y = sen t z = xy + xu + yu con x = t; y = cos(2 t ) ;u = sen(2 t ) 20.- Sea la funcion real f ( x; y ; z )= p x 2 + y 2 + z 2 . Consideremos el cambio a co ordenadas cilndricas y el cambio a co ordenadas esfericas denidos resp ectivamente p or las ecuaciones: 8 > < > : x = r cos  y = r sen  z = z 8 > < > : x = r sen  cos ' y = r sen  sen ' z = r cos  En amb os casos, calcular el jacobiano del cambio y la expresion de la funcion f en las nuevas variables. 21.- Demostrar que si z = f ( x + ay ) donde f es derivable y a 2 IR,entonces se verica la siguiente relacion: @z @y = a @z @x 22.- Demostrar que la funcion z = yf ( x 2 ; y 2 ) , siendo f una funcion derivable, satisface la ecuacion: 1 x @z @x + 1 y @z @y = z y 2 23.- Demostrar que la funcion z = f ( x 2 + y 2 ) , siendo f una funcion derivable, satisface la ecuacion: y @z @x ; x @z @y =0 24.- Comprobar que si u ( x; y ; z )= f ( xy z ) , siendo f una funcion 3-veces derivable en IR , se verica : @ 3 u @x@y@z = F ( xy z ) y hallar la funcion F . 25.- Sea la funcion f ( x; y ; z )= xy + x 2 z +3 yz , donde x ( s; t )= s 2 + t 2 ;y ( s; t )= s 2 ; t 2 y z ( s; t )= 2 st son tales que denen una funcion F ( s; t ). Calcular dF ( s; t ). 26.- Sea f :IR 2 ! IR 2 tal que f ( x; y ) def =( e x +2 y ; sen( y +2 x )), y sea g :IR 3 ! IR 2 tal que g ( u; v ; w ) def =( u +2 v 2 +3 w 3 ; 2 v ; u 2 ). Calcular df ( x; y ) ;dg ( u; v ; w )y d ( f  g )(1 ; ; 1 ; 1). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 67 27.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) La derivada direccional de h ( x; y )= y 2 =x en cualquier punto de la elipse 2 x 2 + y 2 = 1 y en la direccion de la normal a la misma es igual a cero. ii) Dada la funcion f ( x; y )= x + j y j ,un vector normal a la sup ercie z = f ( x; y )en el punto (0,0,0) es v N =(1 ; 1 ; ; 1). iii) La sup ercie z = f ( x; y ), donde f se dene: f ( x; y )= ( xy ; xy 6 =0 1 ; xy =0 tiene un plano tangente horizontal en el punto (0,0,1) de ecuacion z =1. iv) El parab oloide 3 x 2 +2 y 2 =2 z + 1 y la esfera x 2 + y 2 + z 2 ; 4 y ; 2 z +2 = 0 se cortan en el punto (1,1,2) formando un angulo recto. 28.- Calcular el plano tangente y la recta normal a las siguientes sup ercies en el punto indicado: x 2 y 2 + xz ; 2 y 3 =10 P =(2 ; 1 ; 4) z = sen ( xy ) P =(1 ;; 0) z = y +ln( x=z ) P =(1 ; 1 ; 1) 29.- Calcular la recta tangente y el plano o recta normal, seg un el caso, a las siguientes curvas en el punto indicado: x 2 y + y 3 =10 P =(1 ; 2) ln (2 x ; y 2 )+3 x 2 y =3 P =(1 ; 1) 8 > < > : x = t 2 +1 y =2 t ; 1 z =4 t 3 P =(2 ; 1 ; 4)  x 2 + y 2 + z 2 =9 xy + z =0 P =(2 ; 1 ; ; 2) 30.- Calcular la derivada direccional de f ( x; y ; z )= 3 x ; 5 y +2 z en el punto (2,2,1) y en la direccion de la normal exterior a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 en el mismo punto. 31.- Calcular la variacion de f ( x; y ; z )= x 2 + y 2 ; z 2 en el punto (3,4,5) y a lo largo de la curvainterseccion de las sup ercies z 2 = x 2 + y 2 y2 x 2 +2 y 2 ; z 2 =25. 32.- Calcular como vara f ( x; y ; z )= x 2 ; y 2 en el punto (1,0,2) y en la direccion del vector normal al cono de revolucion z 2 =4( x 2 + y 2 ) en el mismo punto. 33.- Calcular la derivada direccional de la funcion f ( x; y ; z )= p x 2 + y 2 + z 2 en el punto (1,2,-2) y a lo largo de la curva r ( t )= ( t; 2 t 2 ; ; 2 t 4 ). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 68 Calculo. Problemas y soluciones 34.- Dada la funcion: f ( x; y )= ( 2 xy + x ; y  0 x ; x 2 ; y 2 ;y< 0 i) Estudiar la diferenciabil idad de f en (0,0). ii) Calcular la variacion de f en (0,0) y a lo largo de la recta y = ; 2 x . iii) Probar que el plano tangente a la sup ercie z = f ( x; y ) en el punto (0,0,0) proyectado sobre el plano y = 0 forma un angulo de 45  con el eje OX. 35.- Demostrar que los planos tangentes a la sup ercie xy z = a 3 forman con los planos de co ordenadas tetraedros de volumen constante, y calcular este volumen. 36.- Demostrar que la suma de las distancias al origen de las intersecciones con los ejes de un plano tangente a la sup ercie p x + p y + p z = p a es indep endiente del punto de tangencia. 37.- Sea la funcion f ( x; y ) = (sen( x + y 3 ) ; cos x ; e y ). Justicar que f es lo calmente inversible en (0,0). Calcular df ; 1 (0 ; 0). 38.- Sea la funcion g ( x; y ; z )= ( e 2 y + e 2 z ;e 2 x ; e 2 z ;x ; y ). Justicar que en un entorno de cada punto de IR 3 , g admite una funcion inversa diferenciable y que, ademas, g es globalmente inversible. 39.- Sea f ( x; y )= ( x cos y; x sen y ) denida en A =IR + 0  IR . Justicar que f es lo calmente inversible en cualquier punto de A , p ero no lo es globalmente. 40.- Estudiar si cada una de las siguientes ecuaciones dene lo calmente una funcion implcita y = y ( x )en un entorno del punto ( a; b ) indicado. En caso armativo, calcular y 0 ( a ): x 2 y +3 y 3 x 4 =4 en (1 ; 1) x 3 +4 y sen( xy )= 0 en (0 ; ) 41.- Probar si la ecuacion x + y + z + cos( xy z )= 0 dene lo calmente una funcion implcita z = f ( x; y ) en un entorno del punto (0,0,-1). En caso armativo, calcular D 1 f (0 ; 0) y D 2 f (0 ; 0): 42.- Probar si, lo calmente, el sistema de ecuaciones ( x = u 2 ; v 2 y =2 uv dene en un entorno del punto ( x; y ; u; v )= (0 ; 2 ; 1 ; 1) dos funciones implcitas u = u ( x; y ) ;v = v ( x; y ). En caso armativo, comprobar si los vectores normales a las sup ercies u = u ( x; y )y v = v ( x; y ) son ortogonales en el punto (0,2,1). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 69 43.- Probar si el sistema de ecuaciones ( u + v + x 2 ; y 2 + z 2 =0 u 2 + v 2 + u ; 2 xy z =0 dene en un entorno del punto ( x; y ; z ; u; v )= (0 ; 0 ; 0 ; ; 1 = 2 ; 1 = 2), dos funciones implcitas u = u ( x; y ; z ) ;v = v ( x; y ; z ). En caso armativo, calcular du y dv en el origen de co ordenadas. 44.- Sup ongamos que la ecuacion F ( x; y ; z ) = 0 dene tres funciones implcitas x = x ( y; z ) ;y = y ( x; z ) ;z = z ( x; y ) . Demostrar que se verica la relacion: @x @y @y @z @z @x = ; 1 45.- Probar si el sistema de ecuaciones ( e t ; x 2 + y 2 =1 t ; xy =1 dene implcitamente dos funciones x = x ( t ) ;y = y ( t ) en un entorno del punto ( t; x; y )= (0 ; ; 1 ; 1). En caso armativo, dicho sistema de ecuaciones dene lo calmente una curva C  IR 3 , expresada en co ordenadas parametricas p or r ( t )= ( t; x ( t ) ;y ( t )). Calcular la variacion de f ( t; x; y )= txy ; x + y en el punto (0,-1,1) y a lo largo de esta curva C . 46.- La ecuacion f ( y=x; z=x )= 0 dene implcitamente a z como una funcion z = z ( x; y ). Demostrar que se verica: x @z @x + y @z @y = z 47.- Demostrar que la funcion z = arctan( y=x ) satisface la ecuacion de Laplace: @ 2 z @x 2 + @ 2 z @y 2 =0 48.- Demostrar que la funcion u = A sen( at + ' ) sen( x ) ; A;a;;' constantes, satisface la ecuacion de las vibraciones de cuerda: @ 2 u @t 2 = a 2  @ 2 u @x 2  © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 70 Calculo. Problemas y soluciones 49.- Sea z = f ( x + ay ) ; g ( x ; ay ) , donde f y g son funciones dos veces derivables de una variable, y a es una constante. Demostrar que se verica: a 2  @ 2 z @x 2  = @ 2 z @y 2 = a 2 ( f 00 ( x + ay ) ; g 00 ( x ; ay )) 50.- Probar que la funcion z = ; x 2 y + f ( xy )+ g ( x ) , donde f y g son funciones derivables de IRenIR , satisface la relacion: y @ 2 z @y 2 ; x @ 2 z @y@x + @z @y = x 2 51.- Calcular el p olinomio de Taylor de grado 2 aso ciado a cada una de las siguientes funciones, en un entorno del punto indicado: f ( x; y )= x 3 + y 2 + xy 2 P =(1 ; 2) g ( x; y ; z )= x 3 + y 3 + z 3 ; 3 xy z P =(1 ; 1 ; 1) z ( r;t ) = sen( r 2 + t 2 ) P =(0 ; 0) h ( x; y ; z )= e x + y + z P =(0 ; 0 ; 0) 52.- Estudiar si son verdaderas o falsas las siguientes armaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Si ( a; b )esunpunto estacionario de una funcion real f ( x; y ), entonces existe el plano tangente a la sup ercie z = f ( x; y ) en el punto ( a; b; f ( a; b )) y es horizontal. ii) Si ( a; b ) es un punto de ensilladura de una funcion real f ( x; y ), entonces no puede existir un plano tangente a la sup ercie z = f ( x; y ) enelpunto ( a; b; f ( a; b )) . iii) Una funcion real f ( x; y ) que no es diferenciable en un punto ( a; b ) 2 D omf no tiene extremos. iv) Una funcion real f ( x; y ), diferenciable en ( a; b ) 2 IR 2 y para el cual r f ( a; b )= ~ 0, tiene un extremo lo cal en ( a; b ). v) Una funcion real f ( x; y ), tal que 8 ( x; y ) 2 Domf se verica que r f ( x; y ) 6 = ~ 0, no puede alcanzar ning un extremo en su dominio. 53.- Calcular los puntos estacionarios y estudiar los extremos lo cales y puntos de ensilladura, si existen, de las siguientes funciones: f ( x; y )= x 2 + xy + y 2 ; 6 x +2 g ( x; y )= 4 x +2 y ; x 2 + xy ; y 2 54.- >Enquepunto la derivada de la funcion f ( x; y )= x 3 +3 y 3 ; x 2 + y 2 seg un la direccion del vector (1,2) alcanza un extremo? >De que tipo de extremo se trata? >Cual es el valor de la derivada direccional en este punto? © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 71 55.- Encontrar el volumen maximo de un paralelepp edo rectangular contenido en el primer o ctante con un vertice en el origen y el vertice opuesto en el plano x + y + z =1. 56.- Un p entagono esta compuesto por un rectangulo y un triangulo isosceles con la base sobre uno de sus lados. Sabiendo que el p ermetro del p entagono tiene un valor jo p , encontrar las dimensiones de sus lados para que el area sea maxima. 57.- Comprobar si la funcion z = z ( x; y ), denida implcitamente p or la ecuacion xy z + sen ( z ; 3) ; x 2 y 2 ; x ; y = 0, tiene un maximo o un mnimo en el punto ( x; y )= (1 ; 1). 58.- Dada la ecuacion x 2 + y 2 ; z 2 +2 z = 0, determinar los puntos en cuyoentorno z es funcion implcita de x yde y , y estudiar los extremos relativos de esta funcion z ( x; y ). 59.- Sea la distribucion de puntos: ( ; 4 ; 1) ; ( ; 3 ; 2) ; ( ; 2 ; 3) ; ( ; 1 ; 4) ; (0 ; 4) : Ajustar a esta distribucion una recta p or el meto do de los mnimos cuadrados. 60.- Hallar los co ecientes que mejor a justen los datos al utilizar el metodo de mnimos cuadrados en los siguientes casos: i) y ( x )= ax 2 + bx + c . ii) y ( x )= ae bx . 61.- Estudiar si son ciertas o falsas las siguientes armaciones, razonando las respuestas y dando un contraejemplo en caso de falsedad: i) Una funcion real f ,continua en la region A = f z 2 C : j z +1 j 1 g , alcanza un maximo y un mnimo absolutos en A . ii) Una funcion real f ( x; y ) continua en todos los puntos del rectangulo R = [ a; b ]  [ c; d ] ;a;b;c;d 2 IRtalque r f ( x; y ) 6 = ~ 0 ; 8 ( x; y ) 2 ( a; b )  ( c; d ), no alcanza ning un extremo en R . iii) En caso de que existan el maximo y mnimo absolutos de la funcion real f ( x; y )= x 2 +( y ; 2) 2 sobre el crculo x 2 + y 2  1 , estos se alcanzan en la frontera. 62.- Calcular, si existen, el maximo y el mnimo absolutos de las siguientes funciones sobre el conjunto indicado: f ( x; y )= x 2 + y 2 sobre el segmento f x + y =1 ; 0  x  1 g f ( x; y )= x 2 + y 2 sobre la region f y + x 2  1 ;y  0 g g ( x; y )= x 3 + y 3 +9 xy +27 sobre el cuadrado [ ; 5 ; 5]  [ ; 5 ; 5] z ( x; y )= x + y si x 2 + y 2  1y y  0 r ( x; y ; z )= xy z si x + y + z  1 ;x  0 ;y  0 ;z  0 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 72 Calculo. Problemas y soluciones 63.- Hallar los extremos de las siguientes funciones, sujetos a la condicion indicada: d ( x; y )= x 2 + y 2 sobre la hiperbola x 2 ; y 2 =1 z ( x; y )= xy sobre la elipse 2 x 2 +9 y 2 =18 u ( x; y )= xy 2 sobre la circunferencia x 2 + y 2 =1 g ( x; y ; z )= xy z sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 =1 h ( x; y )= e x + e y sobre la circunferencia x 2 + y 2 =1 64.- Calcular el maximo y el mnimo absolutos, si existen, de las siguientes funciones sobre el conjunto indicado: f ( x; y )= x 2 ; y 2 sobre x 2 + y 2  1 h ( x; y ; z )= x + y + z sobre x 2 + y 2 + z 2  4 r ( x; y ; z )= xy 2 z 2 sobre x + y + z =5 ;x  0 ;y  0 ;z  0 z ( x; y )= ( x ; 1) 2 + y 2 sobre x 2 + y 2  4 65.- Hallar los puntos de la sup ercie de la esfera x 2 + y 2 + z 2 ; 2 x ; 2 y ; 2 z = 9 cuya suma de co ordenadas es maxima. 66.- Calcular la distancia maxima y mnima del origen a la elipse 5 x 2 +6 xy +5 y 2 =8. 67.- Hallar los extremos de la funcion f ( x; y )= ( x ; 1) 2 +( y ; 1) 2 sobre el conjunto A = f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 + y 2  4 ;x  0o y  0 g . 68.- Estudiar los extremos de la funcion real f ( x; y ; x )= x 2 y 2 z 2 sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . 69.- Hallar los puntos de la curva ( x 2 ; xy + y 2 + z 2 =1 x 2 + y 2 =1 que estan mas cerca del origen de co ordenadas. 70.- Se tiene que construir un deposito en forma de cilindro circular recto y base semiesferica de volumen constante dado V . Calcular las dimensiones que hacen el area mnima. 71.- Se desea hacer una construccion sobre un terreno T que cumple: T = f ( x; y ) 2 IR 2 : y 2  4 x; x 2 ; y 2  5 g . Un ingeniero pretende trazar dos lneas rectas de ferro carril que vayan del punto (6,0) del plano al punto mas proximo y al punto mas alejado del terreno. >Que longitud de va deb era construirse ? © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 73 Anexo 72.- Demostrar que, lo calmente, el sistema de ecuaciones ( x 2 y + e t =2 xy + e tx =2 dene x = x ( t )y y = y ( t ), funciones implcitas derivables en un entorno del punto ( t; x; y )= (0 ; 1 ; 1). Sea r :IR ! IR 2 ; r ( t ) def =( x ( t ) ;y ( t )) tal que Im r dene una curva C en el plano, y sea la funcion f :IR 2 ! IR denida p or f ( x; y )= x 2 + y 2 ; 3 x + sen( xy ; 1). i) Si la curva C es regular en t = 0, calcular la variacion de f en el punto (1,1) a lo largo de C . ii) Demostrar que la curva C y la curvadenivel -1 de f ( x; y ) se cortan en el punto (1,1) formando un angulo recto. 73.- Demostrar que, lo calmente, el sistema de ecuaciones ( xz 3 + y 2 u 3 =1 2 xy 3 + u 2 z =0 dene x = x ( z; u )y y = y ( z; u ), funciones implcitas diferenciables en un entorno del punto ( x; y ; z ; u )= (0 ; 1 ; 0 ; 1). Demostrar que la funcion F ( z; u ) def =( x ( z; u ) ;y ( z; u )) admite funcion inversa diferenciable en un entorno del punto (0,1). 74.- Considerar h :IR 2 ! IR denida p or h ( x; y )= x 2 + y 3 + xy + x 3 + ay ; a 2 IR. i) >Para quevalores de a la ecuacion h ( x; y ) = 0 dene implcitamente una funcion y = y ( x ) ;y 2 C 1 ,enunentorno de (0,0)? >La ecuacion anterior dene implcitamente x = x ( y )derivable en un entorno de (0,0) para algun valor de a ? ii) Sea y = f ( x ) la funcion implcita determinada p or h ( x; y ) = 0, denida en cierto entorno abierto U de 0. Calcular el valor del parametro a para que el p olinomio de Taylor de segundo grado de f en el origen tome el valor 1 en el punto x =1. >Para quevalores de a tiene f un extremo en x =0? iii) Sea F : U  IR ! IR 2 denida p or F ( x; y )= ( e x + y + x 2 ; 1 ;f ( x )+ y cos x ), ( U es el entorno de 0 donde f esta denida). Demostrar que F admite funcion inversa diferenciable en un entorno de (0,0). Demostrar que la funcion G = F  F + F ; 1 es diferenciable en (0,0) y calcular dG (0 ; 0). 75.- Considerar la funcion f :IR 2 ! IR denida p or f ( x; y )= x 2 ; xy + y 2 . i) Hallar los puntos de la curva de nivel f ( x; y )= k; k> 0 para los que el modulo del gradiente de f ( x; y ) toma sus valores maximo y mnimo resp ectivamente. ii) Sobre la curva de nivel del apartado anterior, dibujar el vector gradiente de f en los puntos hallados, y con la informacion obtenida dibujar de forma aproximada el mapa de curvas de nivel de f . © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 74 Calculo. Problemas y soluciones 76.- Sean A  IR n un abierto y f : A  IR n ! IR. Sea h :IR ! IR estrictamente creciente (o estrictamente decreciente), y considerar la funcion G = h  f . i) Demostrar que los puntos de extremo relativo para f y G coinciden. ii) Si f es diferenciable en a 2 A y h es derivable en f ( a ), demostrar que a es un punto estacionario de G si y solo si a es un punto estacionario de f . iii) Determinar la distancia maxima y mnima del punto (-1,0) al conjunto del plano A = f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 + y 2  2 x; y  x ; 1 g . 77.- Sea la funcion f :IR 2 ! IR denida p or: f ( x; y )= ( x 2 +4 y 2 ; 1 ;xy  0 j x ; 2 y j; 1 ;xy < 0 i) Estudiar la continuidad de f en IR 2 . ii) Calcular el gradiente de f en (0,0). Hallar la derivada direccional de f en (0,0) y en la direccion de la recta y = ; x . Deducir de los calculos anteriores que f no es diferenciable en (0,0); razonar la respuesta. iii) Hallar los puntos de la curva plana que resulta de la interseccion de la sup ercie z = f ( x; y ) con el plano z = 0, para los que la suma de co ordenadas es maxima o mnima. 78.- Sea la funcion f :IR 2 ! IR denida p or: f ( x; y )= ( x 2 y 2 ln ( x 2 + y 2 ) ; ( x; y ) 6 =(0 ; 0) 0 ; ( x; y )= (0 ; 0) i) Estudiar la diferenciabil idad de f en IR 2 . ii) Demostrar que la ecuacion f ( x; y )+ z 2 + e z +1 = 2 dene implcitamente z = z ( x; y )en un entorno V  B r ( ; 1) del punto (1 ; 0 ; ; 1) yque (1 ; 0) es un punto estacionario de z ( x; y ). iii) Considerar la funcion H : V  IR 2 ! IR 2 denida p or: H ( x; y )= ( xy z ( x; y ) ;x 2 + y 2 + z 2 ( x; y )) ; ( x; y ) 2 V (donde V es el entorno de (1,0) del apartado anterior, y z ( x; y ) es la funcion implcita lo cal). Demostrar que H es localmente inversible en un entorno de (1,0) y calcular dH ; 1 (0 ; 2) justicando su existencia. 79.- Calcular el maximo de la funcion f ( x 1 ;:::;x n )=( x 1 x 2  x n ) 2 condicionado por x 2 1 +  + x 2 n =1. Usar este resultado para demostrar la siguiente desigualdad, que es valida para a 1 ;:::;a n numeros reales p ositivos cualesquiera: ( a 1  a n ) 1 =n  a 1 +  + a n n © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial 75 80.- Sea f :IR ! IR funcion tal que f 2 C 1 (IR) y 8 t 2 IR ; j f 0 ( t ) j K< 1. i) Demostrar que la funcion F :IR 2 ! IR 2 ;F ( x; y ) def =( x + f ( y ) ;y + f ( x )), admite una inversa lo cal 8 ( x; y ) 2 IR 2 . ii) Demostrar que f tiene un unico punto jo. iii) Sup oned que f (0) = 0 , y considerar la funcion real h :IR ! IR denida p or h ( x )=( f  f )( x )+ x; 8 x 2 IR . Demostrar que la ecuacion h ( x ) = 0 tiene una unica raz real. 81.- Demostrar que u = x 3 f ( y =x; z =x ), donde f es una funcion diferenciable, satisface la ecuacion: x @u @x + y @u @y + z @u @z =3 u 82.- Sea f :IR 2 ! IR diferenciable y sea g :IR 3 ! IR 2 ;g =( u; v ) tal que u ( x; y ; z )= x 2 + y 2 + z 2 y v ( x; y ; z )= x + y + z . Considerar h = f  g . Demostrar que: kr h ( x; y ; z ) k 2 =4 u  @f @u  2 +4 v  @f @u @f @v  +3  @f @v  2 83.- Sea F : A  IR n +1 ! IR ;F 2 C 2 ( A ) ;A abierto. Sea ( x; y )= ( x 1 ;:::;x n ;y ) 2 IR n +1 y( a; b )= ( a 1 ;:::;a n ;b ) 2 A tal que F ( a; b )= 0 y @F @y ( a; b ) 6 =0. Sea y ( x )la funcion implcita denida p or F ( x; y )= 0 en un entorno de ( a; b ) tal que y ( a )= b . i) Demostrar que si y ( x ) tiene un extremo relativoenelpunto a ,entonces: @F @x i ( a; b )= 0 ; 1  i  n ii) Demostrar que los elementosdelamatrizHessiana Hy ( a ), siendo a el extremo relativode y ( x ), son de la forma: @ 2 y @x i @x j ( a )= ; @ 2 F @x i @x j ( a; b )  @F @y ( a; b )  ; 1 ; 1  i; j  n iii) Hallar los extremos relativos de y ( x ) para el caso particular: F ( x; y )= x 2 + xy + y 2 ; 27 84.- Sean f; g :IR 2 ! IR denidas p or f ( x; y )= ( xy 2 sen (1 =y ) ; y 6 =0 0 ; y =0 g ( x; y )= 1  e x + y + Z x 0 t 2 p t 4 +1 dt i) Calcular r f ( a; 0) y r g ( a; b ), 8 a; b 2 IR. ii) Calcular la variacion de g en el punto (0,0) y en la direccion de la recta y = x .>En © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 82 Calculo. Problemas y soluciones iv) F v) F 53.- (4,-2) es un mnimo lo cal para f ,y( 10 3 ; 8 3 )es un maximo para g . 54.- En el punto ( 1 3 ; ; 1 9 )hayun valor mnimo de la derivada direccional y su valor es ; 5 9 p 5 . 55.- V = 1 27 56.- ( x; y ; z )= ( p 3 2 p (2 ; p 3) ; 1 4 p; 1 2 p (2 ; p 3)) 57.- z = z ( x; y ) tiene un mnimo lo cal en el punto ( x; y )= (1 ; 1). 58.- 8 ( x; y ; z ) 2 IR 3 con z 6 = 1, (0,0,0) maximo relativo y (0,0,2) mnimo relativo. 59.- y = 4 5 x + 22 5 60.- Indicacion para el apartado ii): Encontrar el punto ( a; b ) que minimiza la funcion: f ( a; b )= n P i =1 (ln y i ; [ln a + bx i ]) 2 . 61.- i) V ii) F iii) V 62.- El valor maximo absoluto de f ( x; y )= x 2 + y 2 sobre el segmento f x + y = 1 ; 0  x  1 g vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1) y (1,0). El valor mnimo absoluto vale 1 2 y se alcanza en ( 1 2 ; 1 2 ). El valor maximo absoluto de f ( x; y )= x 2 + y 2 sobre la region f y + x 2  1 ;y  0 g vale 1 y se alcanza en los puntos (0,1), (1,0) y (-1,0). El valor mnimo absoluto vale 0 para (0,0). El valor maximo absoluto de g ( x; y )= x 3 + y 3 +9 xy +27 sobre el cuadrado [ ; 5 ; 5]  [ ; 5 ; 5] vale 502 para (5 ; 5). El valor mnimo absoluto vale ; 30 p 15 ; 98 para los puntos ( ; 5 ; p 15) y ( p 15 ; ; 5). El valor maximo absoluto de z ( x; y )= x + y si x 2 + y 2  1 ;y  0vale p 2 para ( p 2 2 ; p 2 2 ). El valor mnimo absoluto vale ; 1 para (-1,0). El valor maximo absoluto de r ( x; y ; z )= xy z si x + y + z  1 ;x  0 ;y  0 ;z  0 se obtiene en ( 1 3 ; 1 3 ; 1 3 ), y el valor mnimo absoluto en los puntos ( x; y ; z )con x =0 o y =0 o z = 0 que cumplan la condicion x + y + z  1. 63.- La funcion d ( x; y )= x 2 + y 2 sobre la hiperbola x 2 ; y 2 =1 alcanza al valor © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 83 mnimo en (1,0) y en (-1,0). La funcion z ( x; y )= xy sobre la elipse 2 x 2 +9 y 2 = 18 tiene valor maximo 3 p 2 2 para los puntos ( 3 p 2 ; 1) y ( ; 3 p 2 ; ; 1), y valor mnimo ; 3 p 2 2 en los puntos ( 3 p 2 ; ; 1), ( ; 3 p 2 ; 1). La funcion g ( x; y ; z )= xy z sobre la esfera x 2 + y 2 + z 2 =1 tiene valor maximo 1 3 p 3 en los puntos ( 1 p 3 ; 1 p 3 ; 1 p 3 ), ( ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 ; 1 p 3 ), ( 1 p 3 ; ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 ), ( ; 1 p 3 ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 )y valor mnimo ; 1 3 p 3 en los puntos ( 1 p 3 ; ; 1 p 3 ; 1 p 3 ), ( ; 1 p 3 ; 1 p 3 ; 1 p 3 ), ( 1 p 3 ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 ), ( ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 ; ; 1 p 3 ). La funcion h ( x; y )= e x + e y sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1 tiene valor maximo absoluto en ( p 2 2 ; p 2 2 )yvalor mnimo absoluto en ( ; p 2 2 ; ; p 2 2 ). 64.- El maximo absoluto de la funcion f ( x; y )= x 2 ; y 2 sobre x 2 + y 2  1 se alcanza en los puntos (1,0) y (-1,0) y el mnimo absoluto en los puntos (0,1) y (0,-1). El maximo absoluto de z ( x; y )= ( x ; 1) 2 + y 2 sobre x 2 + y 2  4 esta en (-2,0) y el mnimo absoluto en (1,0). 65.- (3,3,3) 66.- La distancia maxima del origen a la elipse 5 x 2 +6 xy +5 y 2 =8vale 2 y se encuentra en los puntos ( p 2 ; ; p 2) ; ( ; p 2 ; p 2) y la distancia mnima vale 1 en ( p 2 2 ; p 2 2 ) ; ( ; p 2 2 ; ; p 2 2 ). 67.- El valor maximo de f sobre A se encuentra en los puntos (-2,0) y (0,-2) y el valor mnimo en el punto (1,1). 68.- El valor maximo absoluto de f es ( r 2 3 ) 3 y se obtiene para ( x; y ; z ): x 2 = y 2 = z 2 = r 2 3 . El valor mnimo absoluto de f es 0 y se obtiene en los puntos ( x; y ; z ): x =0 o y =0 o z =0. 69.- (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) y (0,-1,0). 70.- r = h = 3 q 3 V 5  71.- Deb era construirse una via de longitud 6+ p 13, siendo (3,2), o bien, (3,-2) el punto mas proximo y (0,0) el punto mas alejado. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 84 Calculo. Problemas y soluciones Anexo 72.- i) -3 ii) r 0 (0) = (0 ; ; 1) y r f (1 ; 1) = (0 ; 3). 73.- Aplicar los teoremas de la funcion implcita e inversa. J F (0 ; 1) =  ; 1 2 0 0 ; 3 2  74.- i) a 2 IR ;f 0 g .No ii) a = ; 1, 8 a 2 IR ;f 0 g . iii) dG (0 ; 0) =  2 1 0 2  75.- i) El modulo del gradiente es p (2 x ; y ) 2 +(2 y ; x ) 2 . Los mnimos absolutos estan en los puntos ( p k; p k )y ( ; p k; ; p k ) mientras que los maximos absolutos estan en ( q k 3 ; ; q k 3 ) ; ( ; q k 3 ; q k 3 ). ii) Son elipses. 76.- i) Indicacion: utilizar la denicion de extremo relativoyque h es estrictamente creciente. ii) Aplicar la regla de la cadena. iii) La distancia maxima del punto (-1,0) al conjunto del plano A = f ( x; y ) 2 IR 2 : x 2 + y 2  2 x; y  x ; 1 g es q 5+ p 2 2 y se alcanza en (1 + p 2 2 ; p 2 2 ). La distancia mnima vale 1 y se obtiene en (0,0). 77.- i) f es continua en (IR 2 ;f xy =0 g ) [f (0 ; 0) ; (1 ; 0) ; ( ; 1 ; 0) ; (0 ; 1 2 ) ; (0 ; ; 1 2 ) g . ii) r f (0 ; 0) = (0 ; 0). La derivada direccional de f en (0,0) y en la direccion de la recta y = ; x no existe, luego f no es diferenciable en (0,0). iii) Para el punto ( 2 p 5 ; 1 2 p 5 ) la suma de co ordenadas es maxima y para el punto ( ; 2 p 5 ; ; 1 2 p 5 ) la suma de co ordenadas es mnima. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones de variable vectorial. Soluciones 85 78.- i) f es diferenciable en IR 2 . ii) Aplicar el teorema de la funcion implcita y comprobar que r z (1 ; 0) = (0 ; 0). iii) Aplicar el teorema de la funcion inversa. dH ; 1 (0 ; 2) =  0 1 2 ; 1 0  79.- El maximo de la funcion f ( x 1 ;:::;x n )= ( x 1 x 2  x n ) 2 condicionado p or x 2 1 +  + x 2 n = 1 se encuentra en los puntos ( x 1 ;:::;x n )con x 1 = 1  p n = ::: = x n . 80.- i) Aplicar el teorema de la funcion inversa. ii) Demostrar que f es una contraccion. iii) Demostrar que h es estrictamente monotona y h (0) = 0. 81.- Aplicar la regla de la cadena y derivar implcitamente. 82.- Derivar implcitamente h ( x; y ; z )= f ( x 2 + y 2 + z 2 ;x + y + z ). 83.- i) Derivar implcitamente F ( x; y ( x )) = 0 ii) Derivar implcitamente dos veces F ( x; y ( x )) = 0 iii) (3,-6) mnimo y (-3,6) maximo. 84.- i) r f ( a; 0) = (0 ; 0) y r g ( a; b )= ( 1  e a + b + a 2 p a 4 +1 ; 1  e a + b ) ii) La variacion de g en el punto (0,0) y en la direccion de la recta y = x es p 2  que coincide con el co eciente de maxima variacion ya que la direccion de maxima derivada direccional de g en (0,0) es r g (0 ; 0) = ( 1  ; 1  ). iii) dG (0 ; 0) = dF ( F (0 ; 0))  dF (0 ; 0) = dF (0 ; 1  )  dF (0 ; 0) = =  0 0 1  e 1  1  e 1   0 0 1  1   =  0 0 1  2 e 1  1  2 e 1   iv) No son ortogonales. 85.- i) usar la denicion ii) T ( x; y )= 1+6 x + y 2 y el plano tangente es z =6 x +1. iii) Aplicar el teorema de Weierstass para conrmar que (0,0) es el punto que da el © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 86 Calculo. Problemas y soluciones valor mnimo y (1,1) el punto que da el valor maximo. iv) Aplicar el teorema de la funcion implcita. Como r z (0 ; 0) = (2 ; 0) 6 =(0 ; 0) el punto (0,0) no es estacionario para z ( x; y ). 86.- i) ( x; y )= ( a 3 ; b 3 ) ii) Mnimo absoluto en ( a 3 ; b 3 )y maximos absolutos en los puntos (0,0), ( a; 0) y (0 ;b ). 87.- Para probar que (1,1) y (-1,-1) son mnimos para f ( x; y ) consideramos la funcion g ( x; y )= ( x +1) 2 +( 1 x +1) 2 . Comprobar que g (1) = g ( ; 1) = 0 y g 00 (1) > 0 ;g 00 ( ; 1) > 0. Para probar que (1,1) es un maximo y (-1,-1) un mnimo de f ( x; y )= ( x +1) 2 +( y +1) 2 sobre x 2 + y 2 = 2 aplicar el metodo de los multiplicadores de Lagrange a la funcion F ( x; y )= ( x +1) 2 +( y +1) 2 +  ( x 2 + y 2 ; 2) y aplicar el teorema de Weierstrass. El razonamiento geometrico consiste en observar que f es el cuadrado de la distancia de un punto del plano a (-1,-1). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 47 Captulo 6. Calculo diferencial para funciones reales de variable real 1.- Estudiar la derivabili dad y calcular la derivada de las siguientes funciones reales: f ( x )= j x j + x j x j g ( x )= x p 1+ x 2 r ( t ) = sen(cos 2 t )+cos(sen 2 t ) s ( t )=( t ; 1)( t ; 2) p t +3 3 p t ; 4 z ( x ) = (sen 2 x +1) e x 2 y ( x )= j cos x j f ( t ) = (1+1 =t ) t h ( t )= t p t g ( x )= j x ; 1 j x 2 ; 1 f ( x )= e x +1 ; 1 j x 2 ; 1 j h ( u )= ( 1 ; u; u  0 e ; u ;u> 0 f ( x )= ( x 2 sen (1 =x ) ; x 6 =0 0 ; x =0 2.- Dada la funcion real de variable real : f ( x )= 8 < : 1 4 ( x ; 1)( x +1) 2 si j x j 1 j x j; 1 si j x j > 1 Estudiar la derivabilidad en los puntos x =1 y x = ; 1. 3.- Sea f :IR 2 ! IR ;A = D omf y (0 ; 1) 2  A . Denimos g ( x ) def = f ( x; 1 ; x ). Demostrar que si existe g 0 (0) , entonces existe lim ( x;y ) ! (0 ; 1) f ( x; y ) en la direccion de la recta y =1 ; x . 4.- Sea f :(0 ; + 1 ) ! IRderivable. Se dene la funcion: g ( x )= 8 < : j x j f  1 j x j  ; x 6 =0 0 ; x =0 i) Estudiar la derivabilidad de g . ii) Demostrar que g es derivable en x =0 , 9 lim x ! + 1 f ( x )= 0. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 48 Calculo. Problemas y soluciones 5.- Sea f :IR ! IR, y g :IR 2 ! IR denida p or: g ( x; y )= f ( y ) ; f ( x ) y ; x si x 6 = y i) Probar que si 9 lim ( x;y ) ! ( a;a ) g ( x; y )= l ,entonces f es derivable en a y f 0 ( a )= l . ii) Considerar la funcion: h ( x; y )= ( g ( x; y ) si y 6 = x f 0 ( x ) si y = x Si f 2 C 1 (IR ), probar que h es continua en IR 2 . 6.- Consideremos la funcion f :IR 2 ! IR denida p or: f ( x; y )= 8 > > > > > > > < > > > > > > > : xy ; ; x  y  x 2 ;x> 0 x y ;x> 0 ;y>x 2 x 2 + y 2 ; x  0  y x ; y x + y ;y< 0 ;y< ; x Si h es la restriccion de f sobre los puntosdelarecta x = ; 1, es decir, h ( y )= f ( ; 1 ;y ) ; 8 y 2 IR, entonces: Estudiar el dominio de derivabilidad de h y calcular la funcion derivada. Demostrar que h es inyectiva en to do su dominio de denicion. 7.- Resolver los siguientes ejercicios: i) Hallar los puntos en los que la tangente a la curva y =3 x 4 +4 x 3 ; 12 x 2 +20 es paralela al eje de abscisas. ii) >En que punto ( x 0 ;y 0 ) 2 IR 2 de la curva y 2 =2 x 3 es p erpendicul ar la tangente a la recta 4 x ; 3 y +2=0? iii) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y = x ; 1 =x es paralela a la recta 2 x ; y =5. iv) Hallar los valores de x para los que la recta tangente a la curva y =( x +2) 2 pasa p or el origen de co ordenadas. v) Hallar la parab ola y = x 2 + bx + c ( b; c 2 IR ) que es tangente a la recta y = x en el punto (1 ; 1). 8.- Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes armaciones: i) Toda funcion derivable es continua. ii) Toda funcion continua es derivable. iii) Si f ( x ) es una funcion real continua en IRtalque f ( x 0 )= x 0 para x 0 2 IR, entonces f 0 ( x 0 )= 1. iv) Si f :IR ! IRescontinua en IR y derivable en IR ;f a g ,entonces la recta tangente a la curva y = f ( x )en x = a es horizontal. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Integral de Riemann unidimensional 87 Captulo 8. Integral de Riemann unidimensional 1.- Sea f una funcion denida en el intervalo [ a; b ]y x 0 2 [ a; b ] de manera que : f ( x )= ( 1 si x = x 0 0 si x 6 = x 0 Demostrar que f es R -integrable en [ a; b ] y que R b a fdx =0. 2.- Dada la funcion real de variable real denida p or: f ( x )= ( 0 si x 2 Q 1 si x 2 IR ; Q Demostrar que f no es R -integrable en [ a; b ] ; 8 a; b 2 IR ;a<b . 3.- Justicar que la funcion y = sig n ( x ) es Riemann-integrable en cualquier intervalo real compacto. Hallar su integral denida en [ ; 1 ;x ] con x 2 [ ; 1 ; 1]. Nota: La funcion \signo de x " se dene 8 x 2 IR p or: sig n ( x )= 8 > < > : 1 si x > 0 0 si x =0 ; 1 si x < 0 4.- Dada la funcion real de variable real denida p or: f ( x )= 8 > > > < > > > : sen 2 x x 2 [0 ; ) ; 1 x =  cos 2 x x 2 ( ; 2  ) 0 x =2  >Es R -integrable en el intervalo [0 ; 2  ]? En caso armativo, calcular su integral denida en el intervalo considerado. 5.- Sea f acotada en un intervalo [ a; b ]. Si j f j es Riemann-integrable en [ a; b ], >se puede asegurar que f tambien lo es? 6.- Demostrar que se verican las siguientes igualdades: Z b a f ( x ) dx = Z b a f ( a + b ; x ) dx Z 0 ; b=a f ( b + ax ) dx = Z b=a 0 f ( b ; ax ) dx © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 88 Calculo. Problemas y soluciones 7.- Justicar si son ciertas o falsas las siguientes armaciones: i) Toda funcion f :IR ! IRcontinua en [ a; b ]es R -integrable. ii) Toda funcion R -integrable en [ a; b ]escontinua en [ a; b ]. iii) Si f 2 es R -integrable en [ a; b ], entonces f es R -integrable en [ a; b ]. iv) Si f 3 es R -integrable en [ a; b ], entonces f es R -integrable en [ a; b ]. v) Si f y g son funciones tales que f ( x )= g ( x ) ; 8 x 2 [ a; b ] ; Q ,entonces R b a f = R b a g . vi) Si f es R -integrable en [0 ; ]y R  0 f ( x ) dx =0, entonces, f ( x )= 0 en [0 ; ]. 8.- Demostrar que son ciertas las siguientes armaciones: Si f es una funcion par: f ( x )= f ( ; x ), entonces: Z a ; a f ( x ) dx =2 Z a 0 f ( x ) dx Si f es una funcion impar: f ( x )= ; f ( ; x ), entonces: Z a ; a f ( x ) dx =0 : 9.- Justicar que si f ( x ) es una funcion impar, entonces R  ;  ( f ( x )) 2 sen xdx =0 : 10.- Sea f :IR ! IRcontinua. Se dene F :IR ! IR tal que: F ( x )= 8 < : 1 2 x Z x ; x f ( t ) dt si x 6 =0 f (0) si x =0 Demostrar que F es continua en IR , y que si 9 f 0 (0), entonces 9 F 0 (0). Demostrar que F 2 C 1 (IR ;f 0 g ). 11.- Dada f :[0 ; 2] ! IR continua en [0,2] y derivable en (0,2), sup ongamos que 9 k> 0 tal que j f 0 ( x ) j k; 8 x 2 (0 ; 2). Demostrar que se verica: e ; 2 k < Z 1 0 e ; f ( t ) dt Z 2 1 e f ( t ) dt<e 2 k 12.- Calcular la derivada de las siguientes funciones (en un intervalo donde exista): Z x 1 1+ t 2 t 4 dt Z 2 x dy y 3 +1 Z sen 2 x 0 e ; t 2 dt Z e t 1 ln ( x +1) x dx Z x 2 x e t t dt Z 3 x " sen t t dt Z e x 0 dt 1+ t 2 Z 1 ; x t 4 cos tdt 13.- Calcular los lmites siguientes: lim x ! 0 + x R x 0 e t 2 dt R x 0 e t 2 sen tdt lim x ! 0 + R x 0 sen tdt x R x 0 e t dt © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Integral de Riemann unidimensional 89 14.- Sean a; b 2 IRcon a<b ,y f; g :[ a; b ] ! IR dos funciones continuas tales que f es creciente y 0 <g ( x ) < 1 ; 8 x 2 [ a; b ]. Se denen las funciones h; k ; l :[ a; b ] ! IR como: h ( x )= Z x a g ( t ) dt ; k ( x )= Z x a f ( t ) g ( t ) dt ; l ( x )= Z a + h ( x ) a f ( t ) dt: i) Demostrar que h es creciente y que h ( x )  x ; a; 8 x 2 [ a; b ]. ii) Demostrar que l 0 ( x )  k 0 ( x ) ; 8 x 2 ( a; b ). 15.- Dada f :IR ! IRderivable con f 0 ( t ) > 0 ; 8 t 2 IR,ytalque f ( t )= 0 () t =0; estudiar la existencia de extremos de la funcion: F ( x )= Z x 2 ; 5 x +6 0 f ( t ) dt 16.- Dada la funcion g :IR ! IRcontinua en IR , se pide: i) Si g es derivable en x 0 y g ( x 0 ) = 0, hallar: lim x ! x 0 1 ( x ; x 0 ) 2 Z x x 0 g ( t ) dt ii) Si g es derivable en 0 y g (0) = 0, hallar: lim x ! 0 1 x 2 n +4 Z x 2 0 t n g ( t ) dt 17.- Sea la funcion f :[0 ; 1] ! IR denida p or: f ( x )= Z x 0 e 2( t +1) t +1 dt ; x 2 [0 ; 1] i) Demostrar que f 2 C 1 ((0 ; 1)) y que existe la inversa f ; 1 continua en [0 ;f (1)]. ii) Demostrar que la ecuacion f ( x )+ x 2 = 1 tiene una unica raz real en [0 ; 1]. 18.- Sea F :IR ! IR denida p or: F ( x )= Z 1+ x 2 1 e ; t t dt ; 8 x 2 IR Demostrar que F 2 C 2 (IR ) y calcular el p olinomio de Taylor de grado 2 que aproxima a F en un entorno de x =0. 19.- Demostrar que existe el siguiente lmite y hallar una cota superior: lim x ! 0 + Z 1 x te ; 1 t 2 sen(1 =t ) dt 20.- Estudiar, seg un el valor de p , la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z + 1 a dx x p Z a 0 + dx x p ;a> 0 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 96 Calculo. Problemas y soluciones 25.- 1) 2  + 4 3 2) 9( 2  3 ; p 3 2 ) 3) 2 3 26.- A = 3 e ; 1y V =  4 (16 e ; 2 ; 2) 27.- 1) a)  (1 ; 1 e 2 ); b) 2  (1 ; 2 e ) 2)  2 ; 4 3  3) 22 3  © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Integral m ultiple de Riemann 97 Captulo 9. Integral m ultiple de Riemann 1.- Calcular el valor de la integral R R f ( x; y ) dxdy , en los casos siguientes: f ( x; y )= xy ( x + y ) y R =[0 ; 1]  [0 ; 1] f ( x; y )= x + y ; 3 xy 2 y R =[0 ; 1]  [1 ; 3] f ( x; y )= ( 1 ;x = y 0 ;x 6 = y y R =[0 ; 1]  [0 ; 1] f ( x; y )= ( x 2 + y 2 ;x 2 + y 2  1 0 ;x 2 + y 2 > 1 y R =[ ; 1 ; 1]  [ ; 1 ; 1] 2.- Calcular el area limitada p or las curvas x 2 + y 2 =2 x , x 2 + y 2 =4 x , y = x y y =0. 3.- Una piramide esta limitada p or los tres planos de coordenadas y el plano x +2 y +3 z = 6. Calcular su volumen. 4.- Calcular el volumen del solido limitado p or el parab oloide hip erbolico z = x 2 ; y 2 y los planos z =0, x =1 y x =3. 5.- Calcular el volumen del solido limitado p or el parab oloide hip erbolico z = xy , los cilindros x 2 + y 2 =1 y ( x ; 1) 2 +( y ; 1) 2 =1,yel plano z =0. 6.- Calcular el volumen del solido limitado p or los cilindros z = x 2 y z =4 ; y 2 . 7.- Aplicar un cambio a co ordenadas p olares para resolver las siguientes integrales: Z a 0 Z p a 2 ; y 2 0 ( x 2 + y 2 ) dxdy Z a 0 Z p a 2 ; x 2 0 p a 2 ; x 2 ; y 2 dy dx Z a 0 Z x 0 ( x 2 + y 2 ) 1 = 2 dy dx Z 1 0 Z x x 2 ( x 2 + y 2 ) ; 1 = 2 dy dx 8.- Considerar en el primer o ctante de IR 3 el solido A limitado p or los planos de co ordenadas y el plano x + y + z = 1 (tetraedro unidad). Calcular Z A 1 ( x + y + z +1) 3 dxdy dz © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 98 Calculo. Problemas y soluciones 9.- Calcular Z R 3 xy dxdy siendo R la region limitada por las rectas x ; 2 y =0, x ; 2 y = ; 4, x + y =4y x + y =1. 10.- Resolver la siguiente integral aplicando un cambio de coordenadas: Z A dxdy dz siendo A el solido limitado p or dos esferas de radios 1 y 4 centradas en el origen. 11.- Dada la funcion continua f :(0 ; + 1 ) ! IR , demostrar que: Z B  f ( p x 2 + y 2 + z 2 ) dxdy dz =4  Z  0 f ( r ) r 2 dr donde B  = f ( x; y ; z ) 2 IR 3 : x 2 + y 2 + z 2   2 g 12.- Calcular el volumen del solido comprendido entre z 2  x 2 + y 2 y x 2 + y 2 + z 2  2 z . 13.- Calcular el volumen del solido de IR 3 denido p or: A = f ( x; y ; z ) 2 IR 3 : x 2 + y 2  1 ;y  0 ;y  x; 0  z  1 ; x 2 ; y 2 g . 14.- Calcular el volumen del solido limitado p or una esfera centrada en el origen y de radio R , y un cilindro vertical de radio R= 2centrado en el punto (0 ;R= 2 ; 0). (Llamado: Boveda de Viviani ). 15.- Sean la funcion f :IR 2 ! IR denida p or f ( x; y )= ( x 2 + y 2 ) ; 2 yel solido A  IR 3 , A = f ( x; y ; z ) 2 IR 3 : 1  x 2 + y 2  2 y; x + y  0 ; 0  z  f ( x; y ) g . Hallar el volumen de A por integracion m ultiple de Riemann. 16.- Dada la funcion f :IR 2 ! IR denida p or f ( x; y )= e x e y ( x + y ) . Calcular el valor de la integral R A f ( x; y ) dxdy siendo A el recinto cerrado p or las rectas y =1 ; x , y =3 ; x , y = x +1 y y = x ; 1. 17.- Calcular el volumen de los solidos siguientes: 1) Solido limitado p or el parab oloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 2+2 x +2 y . 2) Solido en z  0, limitado p or las sup ercies x 2 + y 2 + z 2 =5 y x 2 + y 2 =4 z . 3) Solido limitado p or el cilindro x 2 + y 2 =2 x , el cono z = p x 2 + y 2 ,y z =0. 4) Solido limitado p or el parab oloide x 2 + y 2 =4 z y el plano x + y + z =2. 5) Solido limitado p or las esferas x 2 + y 2 + z 2 =1 y x 2 + y 2 + z 2 =2 z . 6) Solido limitado p or el parab oloide z = x 2 + y 2 y el cono z =2 ; p x 2 + y 2 . 7) Solido limitado p or z +1 = x 2 + y 2 , z = ; 1 y el cilindro x 2 + y 2 =4. 8) Solido limitado p or z 2 = x 2 + y 2 ; 2 z = x 2 + y 2 ;z =1 y z =1 = 2. 18.- Demostrar que: Z 1 0 e ; x 2 dx = p  2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Integral m ultiple de Riemann. Soluciones 99 Integral m ultiple de Riemann. Soluciones 1.- 1 3 ; 8 0  2 2.- 3  +6 4 3.- 6 4.- 80 3 5.- 3  ; 8 12 6.- 8  7.- a 4 8 a 3 6 a 3 6 [ p 2 + ln(1 + p 2)] p 2 ; 1 8.- ln 2 2 ; 5 16 9.- 164 9 10.- 84  11.- Aplicar un cambio de variable a co ordenadas esfericas. 12.-  13.- 3  16 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 100 Calculo. Problemas y soluciones 14.- V = 2 9 R 3 (3  ; 4) 15.- V = 7  24 ; 1 8 (1 + p 3) 16.- 1 2 ln 3[ e ; 1 e ] © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones y series de funciones. Series de p otencias. Series de Fourier 101 Captulo 10. Sucesiones y series de funciones. Series de p otencias. Series de Fourier 1.- Si ( f n ) n 2 IN y ( g n ) n 2 IN convergen uniformemente en ( E; d ) , espacio metrico, demostrar que ( f n + g n ) n 2 IN converge uniformemente en ( E; d ). 2.- Probar que se verican las siguientes armaciones : a) Toda serie normalmente convergente es uniformemente convergente. b) La serie de funciones 1 P n =1 f n ( x ) denidas p or: f n ( x )= 8 < : 0si x 6 = n 1 n si x = n converge uniformemente pero no converge normalmente. 3.- Se denen para cada n  1 ; n 2 IN las sucesiones de funciones ( f n ) n 2 IN y( g n ) n 2 IN , f n ;g n :[0 ; 1] ! IR por : f n ( x )= x  1+ 1 n  g n ( x )= 8 > < > : 1 n si x =0 o x 2 IR ; Q q + 1 n si x = p q fraccion irreducible Demostrar: 1) ( f n ) n 2 IN converge uniformemente en [0,1]. 2) ( g n ) n 2 IN converge uniformemente en [0,1]. 3) ( f n g n ) n 2 IN no converge uniformemente en [0,1]. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 102 Calculo. Problemas y soluciones 4.- Se dene para cada n  1, f n :(0 ; + 1 ) ! IRpor f n ( x )= min ( n; 1 x ). i) Calcular lim n !1 f n ( x ) ; 8 x> 0. ii) Estudiar la convergencia uniforme de ( f n ) n 2 IN en [ a; + 1 ]( a> 0). iii) Estudiar la convergencia uniforme en (0,1]. 5.- Estudiar la convergencia uniforme y normal de las siguientes series: 1 X n =1 x n  (1 + nx 2 ) en [ a; b ] 1 X n =1 x n n (1 + nx 2 ) 6.- Estudiar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes armaciones, razonando las respuestas: i) Toda serie de funciones convergente es absolutamente convergente. ii) Toda serie de funciones normalmente convergente es absolutamente convergente, y recpro camente. iii) Si una serie de funciones , P f n ,converge uniformemente a una funcion f , entonces la serie de sus derivadas, P f 0 n , converge a la derivada de la funcion f , f 0 . iv) Si una serie de funciones, P f n , converge a una funcion f ,entonces la serie de sus primitivas , P R f n ,converge a la integral de la funcion f , R f . v) Una condicion suciente para la convergencia de una serie de funciones P f n ,es que lim n !1 f n ( x )= 0. vi) Si f ( x )= P a n x n para j x j < ,entonces, p or extension, f ( x )= P a n x n ; 8 x 2 IR. 7.- Sea f :IR ! IRcontinua. Denimos g n :IR ! IRpor g n ( x )= n 2 Z x + 1 n x ; 1 n f ( t ) dt i) Demostrar que ( g n ) n 2 IN converge puntualmente hacia f . ii) Si f ( x )= e x , demostrar que la convergencia es uniforme en to do intervalo acotado. iii) Calcular lim n !1 n ( e x + 1 n ; e x ; 1 n ). 8.- Estudiar la convergencia de la sucesion de funciones ( f n ) n 2 IN , donde: f n ( x )= x n 1+ x 2 n ; 8 x 2 IR © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones y series de funciones. Series de p otencias. Series de Fourier 103 9.- Demostrar que las siguientes series de funciones son uniformemente convergentes en IR: a ) 1 X n =0 sen (3 n x ) 2 n b ) 1 X n =1 sen n x n 5 = 2 c ) 1 X n =0 cos ( nx 2 ) n ! 10.- Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de funciones: 1 X n =0 e nx ; 1 2 n e nx en el intervalo [0 ; + 1 ) 1 X n =1 ln (1 + nx ) nx n en el intervalo (1 ; + 1 ) 11.- Probar que la serie funcional : (1 ; x )+( x ; x 2 2 )+ ( x 2 2 ; x 3 3 )+ ::: es uniformemente convergente en el intervalo [-1,1]. 12.- Probar que la serie funcional ( x ; xe ; x 2 )+ ( xe ; x 2 ; 2 xe ; 2 x 2 )+ ::: es uniformemente convergente en to do intervalo [ a; b ] que no contenga al cero y no es uniformemente convergente en to do intervalo cuya adherencia contenga al cero. 13.- Demostrar que la serie alternada: 1 X n =1 ( ; 1) n ; 1 1 p n + x 4 es uniformemente convergente en to da la recta real p ero no absolutamente convergente. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 104 Calculo. Problemas y soluciones 14.- Estudiar la convergencia uniforme de la serie funcional : 1 X n =0 x 2 (1 + x 2 ) n en el intervalo [ a; 1) ; con a> 0 >Y en (0,1) ? 15.- Estudiar la convergencia de las siguientes series: 1 X n =1 x (( n ; 1) x + 1)( nx +1) 1 X n =1 1 n 2 cos n x 1 X n =1 1 1+ x n  1 X n =1  1 ; cos( x=n )  en el intervalo ( ;1 ;a ] 16.- Sea f n :IR ! IR ; 8 n 2 IN denida p or f n ( x )= x 1+ nx 2 . Se pide: i) Calcular f =lim n !1 f n y g = lim n !1 f 0 n . ii) Demostrar que f es derivable p ero f 0 (0) 6 = g (0). iii) Estudiar la convergencia uniforme de ( f n ) n 2 IN yde ( f 0 n ) n 2 IN . 17.- Se dene f n :IR ! IRpor f n ( x )= 1 n e ; n 2 x 2 si x 2 IR ;n  1 Demostrar que ( f n ) n 2 IN converge uniformemente pero que ( f 0 n ) n 2 IN no converge uniformemente en un intervalo que contenga al origen. 18.- Calcular el siguiente lmite: lim n !1 Z 2  0 sen ( nx ) x 2 + n 2 dx 19.- Demostrar que la funcion suma de la serie 1 X n =0 ( ; 1) n 1 x + n en el intervalo (0 ; + 1 ) es innitamente derivable. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Sucesiones y series de funciones. Series de p otencias. Series de Fourier 105 20.- Dada la sucesion de funciones : i) Estudiar si la sucesion ( f n ) n 2 IN converge puntual y/o uniformemente en [0,2]. ii) Demostrar que la sucesion  Z 2 0 f n  n 2 IN converge , sin calcular las integrales. iii) Sea ( h n ) n 2 IN una sucesion de funciones convergente uniformemente en un intervalo [ a; b ]. Sea l n la longitud de la graca de h n . Supongamos que h n converge uniformemente hacia h ysea l la longitud de h . >Po demos asegurar que lim n !1 ( l n )= l ? En caso armativo demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo. 21.- Comprobar que la serie para la cual S n ( x )= nxe ; nx 2 ,( S n denota la suma parcial n -esima), no puede integrarse termino a termino si se desea obtener la integral de la funcion suma , S ( x ). >Que conclusion p o demos sacar? 22.- Supongase que f es derivable. Demostrar que la funcion f 0 es el lmite puntual de una sucesion de funciones continuas. 23.- Consideremos la sucesion de funciones f f n g n 2 IN denida de forma recurrente : f 0 ( x )= 1 ; f n ( x )= p xf n ; 1 ( x ) 8 n  1 : a) Demostrar que en el intervalo [0,1] la sucesion es puntualmente convergente. b) Demostrar que la convergencia es uniforme. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. Integral de Riemann unidimensional 87 Captulo 8. Integral de Riemann unidimensional 1.- Sea f una funcion denida en el intervalo [ a; b ]y x 0 2 [ a; b ] de manera que : f ( x )= ( 1 si x = x 0 0 si x 6 = x 0 Demostrar que f es R -integrable en [ a; b ] y que R b a fdx =0. 2.- Dada la funcion real de variable real denida p or: f ( x )= ( 0 si x 2 Q 1 si x 2 IR ; Q Demostrar que f no es R -integrable en [ a; b ] ; 8 a; b 2 IR ;a<b . 3.- Justicar que la funcion y = sig n ( x ) es Riemann-integrable en cualquier intervalo real compacto. Hallar su integral denida en [ ; 1 ;x ] con x 2 [ ; 1 ; 1]. Nota: La funcion \signo de x " se dene 8 x 2 IR p or: sig n ( x )= 8 > < > : 1 si x > 0 0 si x =0 ; 1 si x < 0 4.- Dada la funcion real de variable real denida p or: f ( x )= 8 > > > < > > > : sen 2 x x 2 [0 ; ) ; 1 x =  cos 2 x x 2 ( ; 2  ) 0 x =2  >Es R -integrable en el intervalo [0 ; 2  ]? En caso armativo, calcular su integral denida en el intervalo considerado. 5.- Sea f acotada en un intervalo [ a; b ]. Si j f j es Riemann-integrable en [ a; b ], >se puede asegurar que f tambien lo es? 6.- Demostrar que se verican las siguientes igualdades: Z b a f ( x ) dx = Z b a f ( a + b ; x ) dx Z 0 ; b=a f ( b + ax ) dx = Z b=a 0 f ( b ; ax ) dx © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002. 88 Calculo. Problemas y soluciones 7.- Justicar si son ciertas o falsas las siguientes armaciones: i) Toda funcion f :IR ! IRcontinua en [ a; b ]es R -integrable. ii) Toda funcion R -integrable en [ a; b ]escontinua en [ a; b ]. iii) Si f 2 es R -integrable en [ a; b ], entonces f es R -integrable en [ a; b ]. iv) Si f 3 es R -integrable en [ a; b ], entonces f es R -integrable en [ a; b ]. v) Si f y g son funciones tales que f ( x )= g ( x ) ; 8 x 2 [ a; b ] ; Q ,entonces R b a f = R b a g . vi) Si f es R -integrable en [0 ; ]y R  0 f ( x ) dx =0, entonces, f ( x )= 0 en [0 ; ]. 8.- Demostrar que son ciertas las siguientes armaciones: Si f es una funcion par: f ( x )= f ( ; x ), entonces: Z a ; a f ( x ) dx =2 Z a 0 f ( x ) dx Si f es una funcion impar: f ( x )= ; f ( ; x ), entonces: Z a ; a f ( x ) dx =0 : 9.- Justicar que si f ( x ) es una funcion impar, entonces R  ;  ( f ( x )) 2 sen xdx =0 : 10.- Sea f :IR ! IRcontinua. Se dene F :IR ! IR tal que: F ( x )= 8 < : 1 2 x Z x ; x f ( t ) dt si x 6 =0 f (0) si x =0 Demostrar que F es continua en IR , y que si 9 f 0 (0), entonces 9 F 0 (0). Demostrar que F 2 C 1 (IR ;f 0 g ). 11.- Dada f :[0 ; 2] ! IR continua en [0,2] y derivable en (0,2), sup ongamos que 9 k> 0 tal que j f 0 ( x ) j k; 8 x 2 (0 ; 2). Demostrar que se verica: e ; 2 k < Z 1 0 e ; f ( t ) dt Z 2 1 e f ( t ) dt<e 2 k 12.- Calcular la derivada de las siguientes funciones (en un intervalo donde exista): Z x 1 1+ t 2 t 4 dt Z 2 x dy y 3 +1 Z sen 2 x 0 e ; t 2 dt Z e t 1 ln ( x +1) x dx Z x 2 x e t t dt Z 3 x " sen t t dt Z e x 0 dt 1+ t 2 Z 1 ; x t 4 cos tdt 13.- Calcular los lmites siguientes: lim x ! 0 + x R x 0 e t 2 dt R x 0 e t 2 sen tdt lim x ! 0 + R x 0 sen tdt x R x 0 e t dt © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.