Modelo setar aplicado a la volatilidad de la rentabilidad de las acciones: algoritmos para su identificación

Capítulo 8 Modelo SETAR para la volatilidad de la rentabilidad de las acciones: Aplicación de la propuesta metodológica. En los capítulos anteriores hemos propuesto una nueva metodología que mejora la automatización de los procesos de estimación e identificación del modelo SETAR. Ahora vamos a aplicarla al análisis de una serie de datos concretos, la serie de volatilidades asociada a la rentabilidad del índice IBEX 35. Debemos recordar que la volatilidad no es una variable directamente observable, su estudio supone en nuestro caso la elección de un estimador que nos va a permitir medir el riesgo que se deriva de los cambios en la rentabilidad de las acciones. El estudio de las características de los diferentes estimadores1nos llevó a considerar dos medidas: la desviación típica histórica 1Véase el Capítulo 2. 155 (”rolling historical volatilities”) bνt= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ k P s=1 ¡Rt+1−s−R¢2 k−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 (8.1) donde Rtes la rentabilidad en el período tyRla media muestral yladesviación absoluta respecto a la media bwt=rπ 2¯¯Rt−R¯¯∀t, t =1,··· ,T (8.2) donde Rtes el exceso de rentabilidad en el período teigualqueantes,Rla media muestral2. Como ya comentábamos en el capítulo 2, la primera es la más utilizada en los mercados financieros para el cálculo de la volatilidad, en cambio, la desviación absoluta respecto a la media origina una serie que evoluciona en el tiempo de manera natural y cuyos cambios reflejan de manera más fidedigna la evolución del mercado. Utilizando cada una de ellas vamos a construir las series de volatilidades correspondientes, que después serán modelizadas; las características de los modelos estimados y su capacidad predictiva pueden llegar a decidir la elección de una u otra medida. La serie de datos de partida es la obtenida de los cierres mensuales del IBEX 35 entre los años 1990 y 2000, ambos inclusive. Con estos valores calculamos, a partir de un proceso de capitalización continua, la serie de rentabilidades mensuales, {rt}, rt=lnµPt Pt−1¶∀t, t =1,··· ,T donde Ptes el valor de cierre del IBEX 35 en el período t. Para que la volatilidad sea una medida que recoja solo el riesgo de los cambios de rentabilidad en el mercado, vamos a filtrar de la serie {rt}la rentabilidad que no es debida al riesgo. Para ello vamos a considerar la rentabilidad r0 tgenerada por un activo libre de riesgo, en nuestro caso 2En la definición (Capítulo 2) se utiliza µt,entendido como un parámetro estimado a partir de la media muestral de Rt, por tanto, podemos considerar µt=R. 156 el tipo LIBOR sobre el Euro a 1 mes3, y a la diferencia entre ambas rentabilidades Rt=(rt−r0 t) la denominamos exceso de rentabilidad; a partir de la serie {Rt}, vamos a obtener la serie de volatilidades. Denominaremos {wt}a la serie estimada a partir de la desviación absoluta respecto a la media y {vt}alaobtenidaapartirdeladesviacióntípicahistórica. Comoseobservaenla Figura 8-1 el comportamiento de ambas series es muy diferente, mientras {wt}se caracteriza por cambios de tendencia bruscos que reflejan los movimientos de la volatilidad en cada momento del tiempo, las series de las desviaciones típicas {vt}tiene una evolución mucho más suave, ya que a diferencia de {wt}su cálculo supone promediar valores. Vamos a describir las características de cada una de ellas y a proponer un modelo que, si es posible, describa el mecanismo de generación de los valores de cada serie. Medidas de Volatilidad 0 5 10 15 20 25 30 35 dic-90 feb-91 abr-91 jun-91 ago-91 oct-91 dic-91 feb-92 abr-92 jun-92 ago-92 oct-92 dic-92 feb-93 abr-93 jun-93 ago-93 oct-93 dic-93 feb-94 abr-94 jun-94 ago-94 oct-94 dic-94 feb-95 abr-95 jun-95 ago-95 oct-95 dic-95 feb-96 abr-96 jun-96 ago-96 oct-96 dic-96 feb-97 abr-97 jun-97 ago-97 oct-97 dic-97 feb-98 abr-98 jun-98 ago-98 oct-98 dic-98 feb-99 abr-99 jun-99 ago-99 oct-99 dic-99 feb-00 abr-00 jun-00 ago-00 oct-00 dic-00 Desv.abs Desv.tip. Figura 8-1: Comparativa de la evolución de las dos medidas de volatilidad elegidas:{wt} desviación absoluta respecto a la media y {vt}desviación típica histórica. 3En el mercado americano es habitual considerar como activo libre de riesgo el tipo de las Letras del Tesoro a 1 mes; como en el mercado español las Letras del Tesoro no se emiten a este plazo, hemos optado por el tipo Libor sobreelEuroa1mes.Deestamaneralarentabilidadobtenida por variación del IBEX en un mes determinado se compara con la rentabilidad del tipo LIBOR en el mismo período. 157 8.1 Volatilidadestimadaapartirdeladesviaciónabsoluta{wt}. Esta serie está formada por un total de 132 observaciones que cuantifican la diferencia, en valor absoluto, entre el valor de la rentabilidad observado en un mes determinado y el valor de la rentabilidad media de todo el período (Figura 8-2)4. Tal y como se recoge en la Tabla 8.1, la serie {wt}toma valores entre 0,05073 (volatilidad mínima) y 30,74 (volatilidad máxima), la volatilidad media es de 6,314 y la varianza asociada es de 27,9998. Como confirman los coeficientes de asimetría (1,5335) y curtosis (3,6227) la distribución de frecuencias es asimétrica aladerechayleptocúrtica(verFigura8-3(a)). EldiagramadecajadelaFigura8-3(b) muestra la existencia de observaciones atípicas u ”outliers” que corresponden exactamente a los valores de la volatilidad en septiembre de 1990 y agosto de 1998; en el gráfico de cuantiles (Figura 8-3 (d)) observamos también la no normalidad de la serie. Si estudiamos la función de autocorrelación estimada (ACF) y la función de autocorrelación parcial estimada (PACF) sólo aparece significativamente distinta de cero para el coeficiente del primer retardo (Figura 8-4); la observación de los diagramas de dispersión retardados (Figura 8-5) confirman la no linealidad de la serie. Tabla 8.1: Serie {wt} Media Varianza Desv.típica Asimetría Curtosis 6,314 27,9998 5,29114 1,5335 3,6227 Mediana Q1Q3Mínimo Máximo 4,80138 2,32297 6,31383 0,05073 30,74 Al analizar el comportamiento de la serie a lo largo del período estudiado, observamos que ésta no se mantiene oscilando alrededor de un determinado nivel (Figura 8-2); esto indica que la serie es no estacionaria en media, por lo que es necesario tomar primeras diferencias de la serie para conseguir que sea estacionaria. Debido a que el proceso de diferenciación supone la pérdida de la primera observación de la serie, hemos incluido la volatilidad de diciembre de 1989 en {wt},de esta manera al diferenciar 4Todas las figuras referenciadas en esta sección se encuentran al final de la misma. 158 obtendremos una serie {∆wt}cuyo inicio se situa en enero de 1990 y que nos permite trabajar con períodos anuales completos (Figura 8-6). La serie toma ahora tanto valores positivos como negativos, que corresponden a un aumento o decremento (en términos absolutos) de la volatilidad entre el período considerado y el anterior. Los valores de los parámetros descriptivos más relevantes se recogen en la Tabla 8.2 y en ella podemos observar un aumento de la dispersión en la serie diferenciada {∆wt}respecto a la serie original {wt}. Tabla 8.2: Serie {∆wt} Media Varianza Desv.típica Asimetría Curtosis 0,015 40,1321 6,3350 0,2582 2,1663 Mediana Q1Q3Mínimo Máximo 0,25 -3,42 3,63 -20,67 27,26 Como podemos observar en la Figura 8-6 la varianza no se mantiene constante a lo largo del tiempo, en este caso es adecuado aplicar la transformación de Box-Cox (1964) con λ=0, que equivale a tomar logaritmos neperianos de la serie propuesta {wt} Si diferenciamos, después de tomar logaritmo neperiano de la serie inicial5, obtenemos una nueva serie {yt}(Figura 8-8) tal que yt=∆l(wt).Laexpresiónyt=∆l(wt)se conoce como tasa de variación natural y, podemos demostrar que es una aproximación de la tasa de variación relativa ya que: yt=∆l(wt)=ln(wt)−ln(wt−1)=ln( wt wt−1 ) Desarrollando por serie de Taylor alrededor del 1 obtenemos la siguiente relación: yt=∆l(wt)=ln( wt wt−1 )'wt−wt−1 wt−1 que nos permite interpretar la nueva variable ytcomo una medida aproximada del cambio 5Esta transformación es muy utilizada en las series económicas (Uriel, 1985). 159 relativo (tasa de variación relativa) de la volatilidad entre un período y el anterior. La tasa de variación natural ytposee la ventaja de gozar de la propiedad aditiva, es decir, la tasa de variación natural se puede obtener como suma de las tasas de variación natural de los intervalos en que está dividido el período. Los valores de los parámetros descriptivos para la serie {yt}son: Tabla 8.3: Serie {yt} Media Varianza Desv.típica Asimetría Curtosis −0,00511 2,1954 1,4957 −0,1157 1,596 Mediana Q1Q3Mínimo Máximo 0,07088 −0,8402 0,8497 −4,345 4,701 En el histograma (Figura 8-10 (a)) se aprecia que en la distribución de frecuencias se ha reducido además de la dispersión, la asimetría y la curtosis, pero aún así el gráfico de los cuantiles (Figura8-10(d))presentaenlosextremosuncomportamiento impropio de la distribución Normal. Un análisis más detenido de la concentración de los puntos, muestra que la frecuencia de los valores que distan como máximo dos desviaciones de la media es del 94,31% de la distribución, valor muy proximo al 95% de una distribución Normal. No es de extrañar que el valor crítico del test de normalidad de Lin-Mudholkar (0,659874), no permita rechazar la hipótesis de normalidad con una confianza del 95%. El diagrama de caja de la Figura 8-10 (b), nos permite apreciar la existencia de atípicos tanto por encima como por debajo de la media. Si comparamos este gráfico con el correspondiente a la serie {∆wt}(Figura 8-7 (b)) vemos que el número de atípicos ha aumentado, esto es debido a la aplicación del logaritmo neperiano a nuestros datos iniciales wt: Si la volatilidad wtes menor que 1,entonces el ln(wt)<0,más concretamente 0<w t≤1=⇒−∞<ln(wt)≤0 loquesuponeamplificar en la serie {yt}los pequeños cambios que se producen en períodos de baja volatilidad y que son imperceptibles en la serie inicial {wt}. Al estimar la función de autocorrelación y la función de autocorrelación parcial para la serie 160 {yt},aparecen como significativos los coeficientes correspondientes a los retardos 1, 16 y 17 en la primera función y 1, 2, 3, 4, 8 y 15 en la segunda (Figura 8-11). Los gráficos de dispersión retardados (Figura 8-12 ) no muestran una tendencia lineal, para verificar la no linealidad de la serie utilizaremos el test de la razón de verosimilitud (”Likelihood ratio test”) y el test TAR-F6. Este último contrasta la linealidad del proceso frente a la alternativa de no linealidad tipo SETAR, la aplicación de ambos tests requiere determinar previamente el valor del parámetro p(orden máximo del proceso lineal autoregresivo que mejor se ajusta al total de los datos) y un conjunto de posibles valores de d(valor de retardo). El valor de plo determinaremos en base a los coeficientes significativos de la función de autocorrelación parcial (PACF) y en este caso vamos a considerar p=8yp=15,elparámetrod, debido a la naturaleza mensual de los datos, toma los siguientes valores d=1,2,··· ,12. Tabla 8.4: Test pdestadístico de prueba valor de test α=0,05 TAR-F 15 6 1,89998 F16,73 =1,78038 TAR-F 86 1,88159∗F9,94 =1,98100 LRT 86 26,91 24,32 *Eltestessignificativo para α=0,065 Ambos tests de linealidad resultan significativos para el valor de retardo d=6con independencia del valor de pelegido, por tanto se rechaza la linealidad de la serie y, más en concreto, el test TAR-F de Tsay permite asegurar la idoneidad de los modelos SETAR para estudiar esta serie no lineal. Una vez analizado el comportamiento de la serie {yt},vamos a incidir nuevamente en la relación existente entre esta serie y la {wt},para que podamos posteriormente reinterpretar el modelo obtenido para la tasa de variación natural en términos de volatilidad. La tasa de variación natural, yt,toma valores tanto positivos como negativos, basándonos en los valores de la media y la desviación de esta serie (Tabla 8.3) vamos a considerar los siguientes intervalos: 6Ver Capítulo 3. 161 1. (−∞,−1,5) '(−∞,µ−σ) 2. (−1,5,0) '(µ−σ, µ) 3. (0,+1,5) '(µ, µ +σ) 4. (+1,5,+∞)'(µ+σ, +∞) 1. Cuando yt<−1,5,podemos decir que la variación relativa de la volatilidad es negativa, esto supone un decrecimiento de la volatilidad entre el período t−1 yt; pero además en este caso podemos suponer que la magnitud del cambio es importante pues pasamos de un valor de volatilidad wt−1a otro valor wtque es mucho menor si yt<−1,5⇒wt<exp(−1,5) ·wt−1=0,2231 ·wt−1 por ejemplo, podemos observar que en el mes de diciembre del 1992 el valor de yt=−2,0500,mientras que el valor de la volatilidad en el mismo mes fué wt= 1,5014 y en el mes de noviembre wt−1=11,6244 (ver Figuras 8-14 y 8-15). La Tabla 8.4 recoge los valores de la volatilidad wty de la tasa de variación natural yt en un período donde esta última se caracteriza por presentar algunos meses valores bajos (diciembre-92, febrero-93 y abril-93), podemos observar como estos valores se corresponde con volatilidades bajas (inferiores a 2). 162 Tabla 8.5: Fecha {yt}{wt} 30 −09 −92 0,0501 9,2057 31 −10 −92 −1,1183 3,0087 30 −11 −92 1,3516 11,6244 31 −12 −92 −2,0500 1,5014 31 −01 −93 1,6840 8,0882 28 −02 −93 −2,1841 0,9105 31 −03 −93 1,0430 2,5838 30 −04 −93 −4,1221 0,0419 Por tanto podemos concluir que si la tasa de variación natural es muy baja (yt< µ−σ)entonces los valores de la volatilidad wtson también muy bajos. 2. Si −1,5<y t<0,la variación relativa de la volatilidad sigue siendo negativa, esto supone un decrecimiento de la volatilidad entre el período t−1yt;peroen este caso la pendiente está acotada inferiormente por −0,2231. Si −1,5<y t<0⇒exp(−1,5) ·wt−1<w t<w t−1⇒0,2231 <wt wt−1 <1 En nuesto conjunto de datos podemos observar, por ejemplo, esta situación en los meses de septiembre y noviembre del 1993 y enero y febrero de 1994. La Tabla 8.6 presenta los valores de estas series para un período que incluye los datos antes comentados y cuya representación gráfica se recoge en las Figuras 8-16 y 8-17. Observamos que cuando −1,5<y t<0,entonces la volatilidad wtpuede tener valores intermedios, pero siempre inferiores al valor de la volatilidad en el período anterior. Cuanto más próximo a cero sea el valor de yt,menor diferencia existirá entre la volatilidad del período considerado wty el anterior wt−1. 163 •En el segundo régimen la situación no es única, puede haberse producido un descenso atenuado de la volatilidad si −0,3005 <y t−6≤0, o un aumento de la volatilidad si yt−6>0. Esta situación más proclive al cambio en la volatilidad obliga al proceso que gobierna este régimen a conocer más información sobre el pasado de la serie y por eso el mecanismo que explica el valor de yt, es un proceso autoregresivo de orden 8, AR(8). •Losórdenesdelosprocesosautoregresivosb k1=2ybk2=8no son muy elevados lo que conduce a un modelo parsimonioso. Las buenas espectativas que ofrece el modelo (8.3) deben ser corroboradas por pruebas estadísticas de validación y también por la capacidad predictiva del modelo, en el Capítulo 9 abordaremos estas cuestiones. 170 Time in months 0 5 10 15 20 25 30 Jan 1990 Mar 1992 May 1994 Jul 1996 Sep 1998 Nov 2000 Figura 8-2: Evolución de la volatilidad (desviación absoluta respecto a la media, {wt})asociada alarentabilidaddelIBEX35. 0 102030 0 204060 x 0 5 10 15 20 25 30 x -10 0 10 20 30 40 0.0 0.02 0.04 0.06 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 0 5 10 15 20 25 30 Figura 8-3: Serie {wt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. 171 Lag ACF 0 10203040 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Series : volexcrent[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.1 0.0 0.1 0.2 Series : ver.rts Figura 8-4: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie {wt}. lagged 1 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 lagged 2 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 lagged 3 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 lagged 4 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 lagged 5 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 lagged 6 Series 1 0 5 10 20 30 0 5 10 20 30 Lagged Scatterplots : verent.ctsLagged Scatterplots : verent.cts Figura 8-5: Diagramas de dispersión retardados, serie {wt}. 172 -30 -20 -10 0 10 20 30 ene-90 mar-90 may-90 jul-90 sep-90 nov-90 ene-91 mar-91 may-91 jul-91 sep-91 nov-91 ene-92 mar-92 may-92 jul-92 sep-92 nov-92 ene-93 mar-93 may-93 jul-93 sep-93 nov-93 ene-94 mar-94 may-94 jul-94 sep-94 nov-94 ene-95 mar-95 may-95 jul-95 sep-95 nov-95 ene-96 mar-96 may-96 jul-96 sep-96 nov-96 ene-97 mar-97 may-97 jul-97 sep-97 nov-97 ene-98 mar-98 may-98 jul-98 sep-98 nov-98 ene-99 mar-99 may-99 jul-99 sep-99 nov-99 ene-00 mar-00 may-00 jul-00 sep-00 nov-00 dif(w(t)) Figura 8-6: Evolución de la serie {∆wt}asociada a la rentabilidad del IBEX 35. -20 -10 0 10 20 30 0 10203040 x -20 -10 0 10 20 x -20 0 20 40 0.0 0.02 0.04 0.06 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 -20 -10 0 10 20 Figura 8-7: Serie {∆wt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. 173 sep-00 oct-00 jul-96 sep-96 jun-96 ago-96 may-96 nov-94 oct-94 may-94 abr-94 may-93 abr-93 -5,0000 -4,0000 -3,0000 -2,0000 -1,0000 0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 ene-90 mar-90 may-90 jul-90 sep-90 nov-90 ene-91 mar-91 may-91 jul-91 sep-91 nov-91 ene-92 mar-92 may-92 jul-92 sep-92 nov-92 ene-93 mar-93 may-93 jul-93 sep-93 nov-93 ene-94 mar-94 may-94 jul-94 sep-94 nov-94 ene-95 mar-95 may-95 jul-95 sep-95 nov-95 ene-96 mar-96 may-96 jul-96 sep-96 nov-96 ene-97 mar-97 may-97 jul-97 sep-97 nov-97 ene-98 mar-98 may-98 jul-98 sep-98 nov-98 ene-99 mar-99 may-99 jul-99 sep-99 nov-99 ene-00 mar-00 may-00 jul-00 sep-00 nov-00 Figura 8-8: Evolución de la serie {yt},tasa de variación natural de la volatilidad. -6,0000 -4,0000 -2,0000 0,0000 2,0000 4,0000 6,0000 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106 109 112 115 118 121 124 127 130 Figura 8-9: Reversión temporal de la serie {yt}. 174 -4 -2 0 2 4 0 10203040 x -4 -2 0 2 4 x -6 -4 -2 0 2 4 6 0.0 0.05 0.15 0.25 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 -4 -2 0 2 4 Figura 8-10: Serie {yt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. Lag ACF 0 10203040 -0.4 0.0 0.4 0.8 Series : d1lv[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.4 -0.2 0.0 0.1 Series : d1lv.rts Figura 8-11: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie {yt}. 175 lagged 1 Series 1 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 lagged 2 Series 1 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 lagged 3 Series 1 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 lagged 4 Series 1 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Lagged Scatterplots : d1lv.ctsLagged Scatterplots : d1lv.cts Figura 8-12: Diagramas de dispersión retardados, serie {yt}. -8,0000 -6,0000 -4,0000 -2,0000 0,0000 2,0000 4,0000 6,0000 8,0000 10,0000 12,0000 14,0000 16,0000 18,0000 20,0000 22,0000 24,0000 26,0000 28,0000 30,0000 32,0000 34,0000 ene-90 mar-90 may-90 jul-90 sep-90 nov-90 ene-91 mar-91 may-91 jul-91 sep-91 nov-91 ene-92 mar-92 may-92 jul-92 sep-92 nov-92 ene-93 mar-93 may-93 jul-93 sep-93 nov-93 ene-94 mar-94 may-94 jul-94 sep-94 nov-94 ene-95 mar-95 may-95 jul-95 sep-95 nov-95 ene-96 mar-96 may-96 jul-96 sep-96 nov-96 ene-97 mar-97 may-97 jul-97 sep-97 nov-97 ene-98 mar-98 may-98 jul-98 sep-98 nov-98 ene-99 mar-99 may-99 jul-99 sep-99 nov-99 ene-00 mar-00 may-00 jul-00 sep-00 nov-00 y(t)=dif(ln(volatilidad) w(t)=volatilidad Figura 8-13: Comparativa de la evolución de la serie {wt}volatilidad asociada a la rentabilidad del IBEX 35 y la serie {yt}tasa de variación natural de la volatilidad. 176 -4,5000 -3,0000 -1,5000 0,0000 1,5000 3,0000 sep-92 oct-92 nov-92 dic-92 ene-93 feb-93 mar-93 abr-93 Figura 8-14: Evolución de la serie {yt},detalleperíodoyt<−1,5. 0 2 4 6 8 10 12 14 ago-92 sep-92 oct-92 nov-92 dic-92 ene-93 feb-93 mar-93 abr-93 Figura 8-15: Evolución de la serie {wt}, detalle período correspondiente a valores yt<−1,5. 177 -4,5000 -3,0000 -1,5000 0,0000 1,5000 3,0000 ago-93 sep-93 oct-93 nov-93 dic-93 ene-94 feb-94 Figura 8-16: Evolución de la serie {yt}, detalle período −1,5<y t<0. 0 2 4 6 8 10 12 14 ago-93 sep-93 oct-93 nov-93 dic-93 ene-94 feb-94 Figura 8-17: Evolución de la serie {wt}, detalle período correspondiente a valores −1,5<y t<0. 178 -4,5000 -3,0000 -1,5000 0,0000 1,5000 3,0000 jul-97 ago-97 sep-97 oct-97 nov-97 dic-97 ene-98 feb-98 mar-98 Figura 8-18: Evolución de la serie {yt}, detalle período 0<y t<1,5. 0,0000 2,0000 4,0000 6,0000 8,0000 10,0000 12,0000 14,0000 16,0000 18,0000 jul-97 ago-97 sep-97 oct-97 nov-97 dic-97 ene-98 feb-98 mar-98 Figura 8-19: Evolución de la serie {wt}, detalle período correspondiente a valores 0<y t<1,5. 179 La problemática expuesta nos lleva a pensar que la desviación típica histórica, quizás no es el estimador de la volatilidad más adecuado para medir el riesgo asociado a la rentabilidad de los activos financieros. Recordemos nuevamente la formulación de la desviación típica histórica: bνt= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ k P s=1 ¡Rt+1−s−R¢2 k−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 En una distribución de frecuencias, esta medida nos informa de la representatividad de la media aritmética de dicha distribución; pero la información recogida por la serie {vt}es ligeramente diferente: cada valor bνtesunamedidadelarepresentatividaddelamediadelaserieRpara el conjunto de datos de la rentabilidad del último año {Rt+1−s,s=1,··· ,12}. Cuando trabajamos con una serie de datos financieros es habitual asociar la desviación típica histórica con la volatilidad, ya que existe relación entre ambas medidas: si la volatilidad es elevada10 durante un período, la rentabilidad media Res poco representativa de las rentabilidades observadas durante ese período Ri, y por tanto la desviación típica histórica tiene un valor elevado; en cambio cuando observamos poca volatilidad los valores de la rentabilidad son poco cambiantes ylamediaRes muy representativa, en este caso la desviación típica histórica tiene un valor pequeño. La anterior relación, aunque correcta, no nos parece suficiente motivo para considerar la desviación típica histórica como un buen estimador de la volatilidad. Si analizamos la expresión que permite el cálculo de la desviación típica histórica (8.4) observamos que ésta se basa en tomar raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado; esto supone que en el resultado final, debido al promedio, estas desviaciones se compensan y el valor final obtenido bνt,que asignamos a un tiempo t, no mide la variación real entre el valor observado en t,Rtyel valor medio R, sino el valor promedio del cambio en un período concreto (en nuestro caso, los 10No olvidemos que hemos definido la volatilidad (Capítulo 2) como una medida de la intensidad de los cambios en la rentabilidad o en el precio del título. Por tanto, elevada volatilidad significa grandes cambios en la rentabilidad y poca volatilidad supone valores muy constantes de rentabilidad al existir pocos cambios. 186 doce meses anteriores a t). Este particular conlleva una pérdida de información en la medida que, de acuerdo con la definición de volatilidad ( Definición 1, Capítulo 2), debe reflejar la intensidad de los cambios aleatorios en la rentabilidad en un instante t. 187 Time in months 46810 Dec 1990 Dec 1992 Dec 1994 Dec 1996 Dec 1998 Dec 2000 Figura 8-22: Evolución de la volatilidad (desviación típica histórica, {vt})asociadaalarentabilidad del IBEX 35. 4 6 8 10 12 0 5 10 15 20 x 46810 x 0 5 10 15 0.0 0.05 0.10 0.15 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 46810 Figura 8-23: Serie {vt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. 188 Lag ACF 0 10203040 -0.2 0.2 0.6 1.0 Series : desv[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.2 0.2 0.6 Series : desv.rts Figura 8-24: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie {vt}. lagged 1 Series 1 46810 46810 lagged 2 Series 1 46810 46810 lagged 3 Series 1 46810 46810 lagged 4 Series 1 46810 46810 Lagged Scatterplots : desv.ctsLagged Scatterplots : desv.cts Figura 8-25: Diagramas de dispersión retardados, serie {vt}. 189 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ene-91 abr-91 jul-91 oct-91 ene-92 abr-92 jul-92 oct-92 ene-93 abr-93 jul-93 oct-93 ene-94 abr-94 jul-94 oct-94 ene-95 abr-95 jul-95 oct-95 ene-96 abr-96 jul-96 oct-96 ene-97 abr-97 jul-97 oct-97 ene-98 abr-98 jul-98 oct-98 ene-99 abr-99 jul-99 oct-99 ene-00 abr-00 jul-00 oct-00 Figura 8-26: Evolución de la serie {∆vt}asociada a la rentabilidad del IBEX 35. -4 -2 0 2 0 102030405060 x -3 -2 -1 0 1 2 x -4 -2 0 2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 Figura 8-27: Serie {∆vt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. 190 Lag ACF 0 10203040 -0.4 0.0 0.4 0.8 Series : d1desv[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.3 -0.1 0.1 0.2 Series : d1d.rts Figura 8-28: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie {4vt}. -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 ene-91 abr-91 jul-91 oct-91 ene-92 abr-92 jul-92 oct-92 ene-93 abr-93 jul-93 oct-93 ene-94 abr-94 jul-94 oct-94 ene-95 abr-95 jul-95 oct-95 ene-96 abr-96 jul-96 oct-96 ene-97 abr-97 jul-97 oct-97 ene-98 abr-98 jul-98 oct-98 ene-99 abr-99 jul-99 oct-99 ene-00 abr-00 jul-00 oct-00 Figura 8-29: Evolución de la serie {xt}asociada a la rentabilidad del IBEX 35. 191 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0 1020304050 x -0.4 -0.2 0.0 0.2 x -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 012345 Quantiles of Standard Normal x -2 -1 0 1 2 -0.4 -0.2 0.0 0.2 Figura 8-30: Serie {xt}: (a) Histograma, (b) diagrama de caja, (c) histograma suavizado y (d) gráfico de cuantiles. Lag ACF 0 10203040 -0.2 0.2 0.6 1.0 Series : d1ldesv[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.3 -0.1 0.0 0.1 0.2 Series : d1ld.rts Figura 8-31: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie {xt}. 192 lagged 1 Series 1 -0.4 -0.2 0.0 0.2 -0.4 -0.2 0.0 0.2 lagged 2 Series 1 -0.4 -0.2 0.0 0.2 -0.4 -0.2 0.0 0.2 lagged 3 Series 1 -0.4 -0.2 0.0 0.2 -0.4 -0.2 0.0 0.2 lagged 4 Series 1 -0.4 -0.2 0.0 0.2 -0.4 -0.2 0.0 0.2 Lagged Scatterplots : d1ld.ctsLagged Scatterplots : d1ld.cts Figura 8-32: Diagramas de dispersión retardados, serie {xt}. Lag ACF 0 10203040 -0.2 0.2 0.6 1.0 Series : rd1ld01[, 1] Lag Partial ACF 0 5 10 15 20 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 Series : residuos.rts Figura 8-33: Función de autocorrelación estimada (ACF) y función autocorrelación parcial estimada (PACF) de la serie de residuos tipificados. 193