Fricción y tensión tangencial por fondo con ola y corriente

INTRODUCCIÓN La evolución de la morfología del litoral está relacionada de forma directa tanto con la gestión del mismo ligada a la actividad del hombre (e.g. puertos, diques y rompeolas) como con la erosión causada por fenómenos naturales (e.g. a corto plazo, episodios lluviosos, o variaciones del nivel mar a largo plazo). La anticipación de estos cambios morfológicos depende siempre de una correcta predicción de la intensidad de transporte de la arena debida a la acción de las olas y las corrientes, lo cual requiere una estimación precisa del rozamiento con el fondo. La predicción de los esfuerzos ejercidos sobre el lecho se ha limitado a contemplar ondas monocromáticas en una única dirección, ignorando su irregularidad, no-linealidad, asimetría, múltiples direcciones y rotura. En los últimos años, diversos autores han contribuido a ampliar el conocimiento de los efectos del oleaje sobre la intensidad del transporte de la arena, usando modelos teóricos. En 1981, Tanaka y Shuto derivaron una solución teórica de forma implícita bajo la hipótesis de viscosidad turbulenta permanente para el rozamiento producido en el lecho por una onda senoidal en interacción con una corriente con régimen turbulento. Más tarde, los mismos autores propusieron una solución explícita que consideraba si el régimen turbulento era rugoso o liso. Esta solución se resume en el apartado II. Durante el programa europeo Morfodinámica del litoral MAST I/G6M, la comparación de diversos modelos numéricos que incorporaban una viscosidad turbulenta instantánea llevó a una parametrización de los valores máximo y medio de los esfuerzos tangenciales, τmax y τmrespectivamente, en el caso de interacción entre una ola senoidal y una corriente oblicua en régimen turbulento rugoso. Estos resultados fueron publicados en Soulsby et al. (1994). 177 INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 Resumen: Se calcula la tensión tangencial debido a ola y corriente mediante un modelo numérico con cierre turbulento K-L, donde K es la energía cinética turbulenta y L es la escala longitudinal de turbulencia. Se obtiene el coeficiente de fricción parametrizado para el caso de flujo turbulento rugoso, siguiendo a Soulsby et al . (1994) y se amplía al caso de flujo turbulento liso. La comparación de estos resultados con otros existentes en la literatura, especialmente los proporcionados por Tanaka y Thu (1994) muestra un buen ajuste.Se propone una nueva parametrización de la serie temporal de la tensión tangencial que incluye el coeficiente de fricción local obteniéndose mejores resultados que aplicando la parametrización propuesta por Soulsby et al . (1994). Palabras clave: Tensión tangencial, turbulencia, ola-corriente, fricción por fondo. 1IMAR-Institute of Marine Research, Department of Civil Engineering, University of Coimbra, Portugal 2 Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels/IMG, (Laboratoire de l’UJF, de l’INPG et du CNRS), BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9, France FRICCIÓN Y TENSIÓN TANGENCIAL POR FONDO CON OLA Y CORRIENTE José S. Antunes do Carmo1, A. Temperville2y Fernando J. Seabra-Santos1 Articulo publicado por IAHR en el Journal of Hydroulic Research.Volumen 41, Número:1. Traducido por Prof. Dña. Mº José Polo. Univesidad de Córdoba Este trabajo utiliza el modelo numérico de Huynh Thanh y Temperville (1991) (denominado HT91 en Soulsby et al. (1994)) mediante el cual se llevó a cabo la citada comparación. Resumiéndolo, el sistema de ecuaciones se establece con las siguientes hipótesis: (1) el espesor de la capa límite es mucho menor que la longitud de onda de la ola; (2) la amplitud de la velocidad de la ola ˆ Uwes mucho menor que la celeridad de la ola. Con estas condiciones, se pueden escribir las ecuaciones de la cantidad de movimiento para las componentes horizontales de la velocidad (u, v) y las ecuaciones K y L para el cierre turbulento. Donde (Uw, Vw) son las componentes horizontales de la velocidad de la ola, Pcla presión debida a la corriente, y donde la viscosidad turbulenta se obtiene suponiendo equilibrio local de la turbulencia, lo cual permite expresar υ tcomo: Tran Thu (1995) aplicó este modelo en el estudio del flujo turbulento liso, introduciendo ciertas modificaciones en las condiciones de contorno. En el apartado II se recogen algunos de sus resultados. El punto III.1 compara otros resultados obtenidos con este mismo modelo para una ola senoidal y diferentes casos de régimen turbulento, con los resultados de Tanaka y con datos experimentales. En el punto III.2 se comparan los resultados de este modelo con los obtenidos por Tanaka para una ola regular junto con una corriente tanto en régimen turbulento liso como rugoso. Asimismo, para el caso de flujo turbulento rugoso, se recogen en las figuras los resultados obtenidos a partir de la parametrización propuesta por Soulsby (1994) usando los coeficientes de Fredsøe. Soulsby y Ockenden (1994) mostraron que el esfuerzo tangencial instantáneo producido por una ola irregular podía calcularse definiendo una ola monocromática equivalente, con una amplitud de la velocidad orbital , periodo Tp, en la que la dirección de propagación es la dirección media de las olas irregulares. En el apartado IV, usaremos el modelo para mostrar que el efecto de “la evolución temporal de la turbulencia” puede ejercer una gran influencia en el caso de olas asimétricas. Teniendo en cuenta dicho efecto, y siguiendo la aproximación de Soulsby y Ockenden (1994), proponemos una formulación nueva para calcular la evolución temporal de los esfuerzos tangenciales. DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS Modelo de Tanaka. El modelo propuesto por Tanaka y Shuto (1981; 1984) se basa en la hipótesis de que la viscosidad turbulenta permanece constante en el tiempo. En el caso de interacción entre una corriente y una onda senoidal cuyas direcciones forman entre sí un ángulo φ, Tanaka y Shuto derivaron una solución teórica para el coeficiente de rozamiento fcw , definida como: Donde τ max representa el valor máximo del esfuerzo tangencial en la interacción ola-corriente, U*cw es la máxima velocidad de corte bajo las olas y la corriente, y ˆ Uwla amplitud de la velocidad orbital de la ola en el límite superior de la capa límite en el lecho. La solución teórica propuesta para el coeficiente de rozamiento en el caso de régimen turbulento, tanto rugoso como liso, se obtiene mediante iteración. Más recientemente, Tanaka y Thu (1994) derivaron una solución explícita para los diferentes regímenes del flujo, turbulento rugoso, turbulento liso y laminar, así como para las condiciones transitorias de la interacción ola senoidal-corriente. El coeficiente de rozamiento fcw viene dado por: 178 José S. Antunes do Carmo, A. Temperville y Fernando J. Seabra-Santos INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 (1) donde el término βdepende del tipo de régimen turbulento (rugoso o liso); se define más adelante. Los coeficientes de rozamiento para la corriente y la ola, fcy fw, respectivamente, quedan definidos por: donde τ crepresenta el esfuerzo tangencial en el lecho ocasionado por la corriente, τ ˆwel máximo valor absoluto del esfuerzo tangencial ocasionado por la ola, y fcy fwse calculan mediante: a) en el caso de régimen turbulento rugoso k es la constante de von Kármán (k= 0.4), z0 la longitud de aspereza (z0= KN/30), φel ángulo formado por las direcciones de la ola y la corriente en radianes, hla altura de la columna de agua, y A la amplitud del movimiento de la partícula en el límite superior de la capa límite del lecho. b) en el caso de régimen turbulento liso Modelo de Soulsby a) Régimen turbulento rugoso. Modelo de Thuynh Thanh (1990). Durante el programa europeo Morfodinámica del Litoral MAST I/G6M, varios modelos sofisticados se usaron para calcular el esfuerzo tangencial cuando interaccionan una ola senoidal y una corriente, en el caso de régimen turbulento rugoso. Aquellos modelos numéricos contemplaban la variación temporal de la viscosidad turbulenta. Tras comparar los resultados, Soulsby et al. (1994) propusieron la siguiente parametrización: donde los coeficientes a, m, n, b, p yqvienen dados por una expresión de la forma: La primera ecuación corresponde a los coeficientes a, m yn, mientras que b, p yqsiguen la segunda. La tabla 1 recoge los valores de los coeficientes ai, mi, ni, I, bi, pi, qiy J ajustados para este modelo (HT91 en Soulsby et al. (1994)) y para el modelo de Fredsøe (F84). 179 FRICCIÓN Y TENSIÓN TANGENCIAL POR FONDO CON OLA Y CORRIENTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 (2) (7) (8) (9) (3) (4) (5) (6) HT91 F84 TT95 HT91 F84 TT95 a1 -0.070 -0.060 0.711 a2 1.870 1.700 0.542 a3 -0.340 -0.290 -0.167 a4 -0.120 0.290 0.784 m1 0.720 0.670 0.238 m2 -0.330 -0.290 -0.034 m3 0.080 0.090 2.711 m4 0.340 0.420 -1.091 n1 0.780 0.750 0.368 n2 -0.230 -0.270 -0.011 n3 0.120 0.110 0.266 n4 -0.120 -0.020 0.268 I 0.820 0.800 0.800 b1 0.270 0.290 0.311 b2 0.510 0.550 0.347 b3 -0.100 -0.100 -0.205 b4 -0.240 -0.140 0.061 p1 -0.750 -0.770 -0.570 p2 0.130 0.100 -0.070 p3 0.120 0.270 0.036 p4 0.020 0.140 0.522 q1 0.890 0.910 0.809 q2 0.400 0.250 0.491 q3 0.500 0.500 0.475 q4 -0.280 0.450 1.326 J 2.700 3.000 3.800 Tabla 1. Coeficientes del ajuste ai, mi, ni, I, bi, pi, qiy J para los modelos de Fredsφe (1984) =F84; Huyn-Thanh y Temperville (1991)=HT91, y Tran Thu (1995)=TT95 Con este modelo, Huynh Thanh (1990) propuso la ecuación (10) para el valor del coeficiente de rozamiento ocasionado por la ola fw(r) en el caso de régimen turbulento rugoso: con los valores de los coeficientes empíricos c1, c2 y nl, determinados por Huynh Thanh y recogidos en la tabla 2 (caso HTfwr). Usando el mismo modelo de capa límite (HT91), considerando el mejor ajuste con un gran número de resultados del modelo, en el intervalo 6.4*10-1 ≤A/KN≤3.4*103, proponemos para los coeficientes empíricos de la ecuación (10) los valores denominados CTfwren la tabla 2. En el caso de la corriente, Huynh Thanh encontró que el valor del coeficiente de rozamiento fc(r) coincide con el obtenido de forma teórica mediante la ecuación (3). b) Régimen turbulento liso. Modelo de Tran Thu (1995). Durante el programa europeo Morfodinámica del Litoral MAST I/G6M, Tran Thu (1995) uso el modelo usado en este trabajo para estudiar el caso de régimen turbulento liso. En el caso de una corriente, encontró que el valor del coeficiente de rozamiento fc(s) coincide con el proporcionado por la siguiente fórmula teórica: la cual puede ser aproximada por la ecuación explícita propuesta por Tanaka y Thu (1994): Para una ola, Tran Thu parametrizó el coeficiente de rozamiento fw(s) de la forma: ecuación que puede ser aproximada mediante: En (8) τmax y τmson el esfuerzo tangencial no lineal máximo y medio, respectivamente, y τc+ τ ˆw puede interpretarse como el máximo esfuerzo de superposición sin efectos no-lineales en el caso de interacción corriente-ola unidireccional. Como consecuencia de efectos no lineales, podemos adoptar Y>1 e y>x en el intervalo 0<x<1, y las ecuaciones contenidas en (7) reflejan correctamente estas características para la interacción corrienteola unidireccional. Sin embargo, en un caso general de interacción corriente-ola oblicua, el cumplimiento de estas condiciones requiere la consideración vectorial de , usando una suma vectorial en lugar τc+ τ ˆwde la anterior para que las expresiones (7) y (9) sigan siendo válidas. De esta forma, tal y como sugirió Tran Thu, proponemos una representación de Y2e y2en función de X2de la forma: Figura 1. Curvas parametrizadas Y(X2) e y(X2), según la propuesta de Tran Thu (1995): ecuación (16). 180 José S. Antunes do Carmo, A. Temperville y Fernando J. Seabra-Santos INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 (10) a1 0.00278 0.00140 a2 4.65000 4.58400 n1 -0.22000 -0.13400 HTfwr Coeficientes Fórmula Tabla 2. Coeficientes del ajuste c1, c2y n1para el modelo de Huynh Thanh (1990)=HTfwr y el modelo propuesto = CTfwr (11) (12) (13) (14) (15) Contrariamente a los resultados obtenidos por la formulación de Soulsby, donde la curva representando Y1en función de X1podía cortar el eje de abscisas entre los valores 0 y 1, en la figura 1 se aprecia que este hecho no se produce, lo cual permite proponer una parametrización de la forma: donde los coeficientes del ajuste para obtener los valores de a, m, n, I yb, p, q, J del modelo de Tran Thu aparecen en la tabla 1 (TT95). Por lo tanto, es fácil establecer la relación entre (X1,Y1) y (X2,Y2): COMPARACIÓN ENTRE DIFERENTES MODELOS. Onda senoidal a) Régimen turbulento rugoso. Para calcular el coeficiente de rozamiento de la ola, fw(r), proponemos la ecuación (10) con los valores recogidos en la tabla 2 bajo la denominación CTfwr para los respectivos parámetros; Tanaka y Thu (1994) sugirieron el uso de la ecuación (3), Swart (1974), la ecuación (18) y Soulsby et al. (1994) la ecuación (19): La figura 2 muestra la comparación de los diferentes resultados obtenidos en cada caso. Asimismo se incluyen las medidas experimentales realizadas por Sleath (1987), Kamphuis (1975), Jensen et al.. (1989), Sumer et al. (1987) y Jonson y Carlsen (1976). Según Sleath (1991), el esfuerzo cortante en el lecho, τ ˆwp , puede expresarse como la suma de dos componentes, τ ˆwy τ ˆp, el esfuerzo cortante en el fluido y el debido al gradiente medio de presiones actuando sobre la rugosidad del lecho respectivamente. El primero está incluido en el modelo, pero el segundo no. Basándose en los ensayos de Sleath, se puede observar cómo el coeficiente de rozamiento global, fwp, puede dividirse asimismo en dos componentes, fwy fp, uno obtenido por el modelo K-Ly otro que recoge la contribución del gradiente de presiones. Asumiendo que KN= 2.5 D50 Sleath (1991) propuso la ecuación: El gradiente de presiones no era tenido en cuenta en los ensayos efectuados por Sleath, Sumer, Jensen o Jonson. Por ello, los resultados de sus datos experimentales son comparados con el modelo que proponemos con la ecuación (10) y los valores denominados CTfwr en la tabla 2. Exceptuando alguno de los ensayos de Sleath, en concreto aquellos con valores de A/KNalrededor de 3.5 o incluidos en el intervalo 580-900, el resto de los casos presenta una alta concordancia. Las discrepancias encontradas se explican como consecuencia de que algunos de los ensayos de Sleath se realizaron en régimen de transición de liso a laminar. El gradiente de presiones se incluía en los experimentos llevados a cabo por Kamphuis, por lo que sus resultados pueden compararse con los obtenidos a partir de la expresión: que son, asimismo, incluidos en la figura 2. Los resultados del modelo que proponemos concuerdan mejor con los obtenidos a partir de las medidas de Kamphuis que con los presentados por Tanaka. Puede verse cómo la curva propuesta por Swart muestra una gran similitud con los valores experimentales de fobtenidos por Kamphuis. Finalmente, se establece que para valores de A/KNsuperiores a 100, el término fppuede despreciarse, corroborando los resultados la validez de la ecuación (10) con los valores denominados CTfwr en la tabla 2. b) Régimen turbulento liso. Para calcular el coeficiente de rozamiento de la ola, fw(s), Tran Thu y Temperville (1994) propusieron la ecuación (14), Tanaka y Thu (1984) la (5) y Fredsøe la ecuación (21): Las tres ecuaciones son comparadas en la figura 3, junto con los resultados para el caso de transición entre régimen turbulento liso y laminar usando la ecuación (23) con f2= 1. Asimismo se incluyen los resultados experimentales de Arnskov et al. (1993), con valores del número de Reynolds 181 FRICCIÓN Y TENSIÓN TANGENCIAL POR FONDO CON OLA Y CORRIENTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 (16) (17) (18) (19) (20) (21) comprendidos en el intervalo 103– 2*104, los cuales concuerdan con los resultados teóricos correspondientes al régimen laminar. Los datos experimentales de Sumer et al. (1987) y Jensen et al. (1989) se encuentran próximos a la curva correspondiente a la transición entre el régimen turbulento liso y el régimen laminar. Los ensayos tanto de Jensen como de Sleath con valores del número de Reynolds de 1.6*105, 2.9*105, 1.13*105y 2.52*105, respectivamente, corresponden a régimen de transición. c) Caso general. Es harto conocido que en el caso laminar el coeficiente de rozamiento viene dado por: Usando esta expresión y la de los coeficientes de rozamiento para el régimen turbulento rugoso dados por (3) y en el caso de régimen turbulento liso, la ecuación (5), Tanaka propuso una formulación general que incluía todo tipo de régimen, incluidos los casos de transición. Usando la misma ecuación (22) y la (20) y la (14) para régimen turbulento rugoso y liso, respectivamente, el coeficiente de rozamiento general fwg, puede representarse para cada régimen utilizando los mismos coeficientes f1y f2 propuestos por Tanaka. Estos resultados aparecen en la figura 4, junto con los obtenidos por Kamphuis (1975) de forma experimental, mostrando una mejor concordancia con estos que los presentados por Tanaka y Thu (1994), especialmente para valores bajos de la amplitud relativa orbital en el lecho, A/z0. Interacción ola-corriente. Los resultados de Tanaka para el coeficiente de rozamiento en el caso de interacción ola-corriente pueden compararse con los del modelo propuesto en este trabajo. Para ello, deben expresarse de la forma propuesta por Soulsby: Las ecuaciones (2) y (8) permiten escribir: 182 José S. Antunes do Carmo, A. Temperville y Fernando J. Seabra-Santos INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 Figura 2. Parametrización del coeficiente de rozamiento de una ola, fw, en régimen turbulento rugoso. (22) (23) (24) (25) Asimismo, la ecuación (1) puede rescribirse de la forma: a) Régimen turbulento rugoso. Utilizando la ecuación (25), podemos reescribir la ecuación (4): Así, utilizando los coeficientes βy α(ecuación (4)) la ecuación (26) depende del ángulo φy de las relaciones fw/fcy h/z0, mientras que en la propuesta de Soulsby sólo aparece fy fw/fc. En la práctica, el parámetro h/z0presenta valores del orden 104 a 105. La figura 5 representa la curva de Y1 según el modelo propuesto en este trabajo (HT91) y según el modelo de Tanaka, para h/z0= 104y 105, y para valores del ángulo φ= 0, 30 y 60º, manteniendo un valor de fw/fc= 5. La figura incluye los resultados obtenidos con los coeficientes de Fredsøe (F84). b) Régimen turbulento liso. Considerando las ecuaciones (1), (5) y (6) y usando el coeficiente β, la ecuación (26) depende del ángulo φ, de la relación fw/fcy del número de 183 FRICCIÓN Y TENSIÓN TANGENCIAL POR FONDO CON OLA Y CORRIENTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 Figura 4. Coeficiente de rozamiento de una ola, fw, obtenido a partir del modelo (20), en el caso de régimen turbulento rugoso, y a partir del modelo (14) en el caso de régimen turbulento liso. Datos de Kamphuis (1975) reproducidos de Tanaka y Thu (1994). Figura 3. Parametrización del coeficiente de rozamiento de una ola, fw, en régimen turbulento liso. (27) (26) Reynolds de la corriente, Rc, mientras que en la propuesta de Tran Thu (ecuación (15)) únicamente intervienen fy fw/fc. Rc presenta valores del orden 104a 106. La figura 6 representa la curva de Ysegún el modelo propuesto en este trabajo (TT95) y según el modelo de Tanaka, para Rc= 104, 105y 106, y para valores del ángulo φ= 0, 30 y 60º, manteniendo un valor de fw/fc= 5. La tabla 3 resume las ecuaciones paramétricas propuestas para el rozamiento en el lecho, en ambos casos liso y rugoso del régimen turbulento, para una corriente, una ola y la interacción de ambas. Esfuerzo cortante variable en el tiempo. Para calcular esfuerzos cortantes variables en el tiempo τ (t) en el caso de una ola irregular con velocidad instantánea U(t), Soulsby et al. (1994) proponen calcular el valor del coeficiente de rozamiento fwcorrespondiente a la ola senoidal equivalente, con una velocidad orbital cuya amplitud es √2 Urms y cuyo periodo es Tp. Se deduce, pues, que dicho coeficiente de rozamiento se expresa como: donde Urms es la raíz del valor medio de los cuadrados de las velocidades orbitales. Para una ola senoidal, esta formulación paramétrica representa correctamente el esfuerzo cortante en el lecho que se obtiene con el modelo K-L usado en este trabajo, pero no tiene en cuenta el desfase existente entre τ (t) yU(t). En el caso de una ola asimétrica, o una ola irregular, aparecen diferencias más relevantes entre dicha expresión y los resultados calculados con este modelo K-L. Como ejemplo, consideremos las medidas del valor instantáneo de la velocidad recogidas la figura 7, para tres casos: a) una ola senoidal, con velocidad orbital de amplitud 0.225m/s y periodo 3.6 s; b) una ola cnoidal, con velocidad total de amplitud 1.107 m/s y periodo 9 s, y c) una ola irregular producida por la propagación no lineal de una ola senoidal, usando un modelo numérico tipo Boussinesq (Antunes do Carmo et al., 1993), con un periodo de 3 s en un canal de 0.3 m de profundidad. El esfuerzo cortante instantáneo en el lecho τ (t) se calcula usando la ecuación (10) con los coeficientes Cfwr (resultado 1). 184 José S. Antunes do Carmo, A. Temperville y Fernando J. Seabra-Santos INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 Figura 5. Esfuerzo tangencial máximo normalizado para un lecho rugoso en el caso de interacción ola-corriente, obtenido a partir de los modelos de Fredsøe (1984); Huyn-Thanh y Temperville (1991), y Tanaka y Thu (1994) Corriente Ola Interacción Ola-Corriente Tabla 3. Expresiones parametrizadas para el rozamiento en el lecho en régimen turbulento liso y rugoso, para los casos de una corriente, una ola y la interacción entre ambas. Rough turbulent flow fc(r) (3) fw(r) (10) with CTfwr coefficients, or fwp (20) Curva paramétrica Y1(7) con coeficientes HT91 Smooth turbulent flow fc(s) (12) fw(s) (14) Curva paramétrica Y2(16) con coeficientes TT95 Los resultados proporcionados por el modelo K-L (resultado 2) se comparan con estos y con aquellos obtenidos para un coeficiente de rozamiento constante sin desfase (resultado 3). Los valores del coeficiente de rozamiento para una ola senoidal se muestran en la figura 8, pudiendo apreciarse la gran concordancia entre los resultados 1 y 2 La figura 9a muestra los valores de τ (t) para una onda senoidal. El resultado 1 concuerda con el modelo K-L, apreciándose un error de fase entre éste y el resultado 3. En el caso de una ola cnoidal , el valor de τ (t) obtenido con el modelo numerico de capa límite se corresponde con la línea continua en la figura 9b. En este caso, como puede observarse, el resultado 1 se encuentra más próximo al resultado 2 que al 3, tanto para los valores en fase como los negativos. No obstante, no se reproduce la asimetría y se observa discrepancia entre los valores máximos. En relación a estos resultados, pueden hacerse varias observaciones: i) La curva representativa de τ (t) no presenta la simetría de las velocidades U(t). Los valores negativos de τ (t) son más destacados tras el máximo principal que aquellos que lo anteceden. Puede asumirse que la “memoria de turbulencia” creada para este máximo influye en los valores posteriores. ii) Siendo U1y U2los valores máximo y mínimo de la velocidad, respectivamente, de la ecuación (2) se deduce que: La figura 9b muestra que la relación τ 2 / τ 2es 0.24, superior al valor proporcionado por la ecuación (28). Por lo tanto, al igual que para una ola senoidal, el coeficiente de rozamiento no se mantiene constante cuando la velocidad cambia, sino que adopta valores crecientes a medida que la velocidad aumenta. Proponemos el cálculo de un coeficiente de rozamiento variable en el tiempo sustituyendo el valor máximo de velocidad por el valor instantáneo U(t+ θ ), lo cual considera el desfase existente. El coeficiente f(t) se calculará, por tanto, con la ecuación (10) con los coeficientes CTfwr (tabla 2), donde Aviene dado por: 185 FRICCIÓN Y TENSIÓN TANGENCIAL POR FONDO CON OLA Y CORRIENTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 2 JUNIO 2003 Figura 6. Esfuerzo tangencial máximo normalizado para un lecho liso en el caso de interacción ola-corriente, obtenido a partir de los modelos de Tanaka y Thu (1994) y Tran Thu (1995) Figura 7. Medidas de velocidad instantánea: a-Ola senoidal (velocidad orbital con amplitud = 0.225m/s, periodo=3.6 s); b-Ola cnoidal (velocidad total con amplitud = 1.107 m/s, periodo =9 s); cOla irregular (resultado de la propagación no lineal de una ola senoidal con periodo = 3 s en un canal de 0.3 m de profundidad) (28) (29)