Učební ex y ysokých škol
OBYČEJNÉ
DIFERENCIÁLNÍ
ROVNICE
DOPLŇUJÍCÍ TEXT K PŘEDMĚTU
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
p o . RND . Jan F anců, CSc.
© p o . RNDR. Jan F anců, CSc., 2024
Ta o publikace podléhá licenci C ea i e Commons U eď e au o a — Neuží ej e dílo kome čně
— Nezp aco á ej e 4.0 Meziná odní
ISBN 978-80-214-6271-7
Pˇ edmlu a
Ten o uˇcebn´ı ex je u ˇcen p o s udijn´ı obo Ma ema ick´e inˇzen´y s ´ı na Fakul ˇe
s ojn´ıho inˇzen´y s ´ı Vysok´eho uˇcen´ı echnick´eho. V zimn´ım semes u d uh´eho oˇcn´ıku
se pˇ edmˇe u Ma ema ick´a anal´yza 3 p ob´ı aj´ı obyˇcejn´e di e enci´aln´ı o nice. V zimn´ım
semes u ˇ e ´ıho oˇcn´ıku je zaˇ azen pˇ edmˇe Pa ci´aln´ı di e enci´aln´ı o nice. P o oˇze l´a ka
na azuje na obyˇcejn´e di e enci´aln´ı o nice, zaˇc´a ek semes u je ˇeno ´an s uˇcn´emu opa-
ko ´an´ı obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic a doplnˇen´ı dalˇs´ımi yb an´ymi zaj´ıma ´ymi pa -
iemi z obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic. Rozˇs´ıˇ en´a kapi ola 7 Au onomn´ı o nice a sou-
s a y yˇsla ˇcasopisu K a e nion [6] a [7].
Ten o ex obsahuje po ˇ ebnou l´a ku z obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic p o s u-
dium pa ci´aln´ıch di e enci´aln´ıch o nic. Jako dalˇs´ı li e a u u lze dopo uˇci uˇcebnici [1]
a pˇ ehledy [10] a [11].
Au o
Obsah
´
U od .....................................................................4
1. Ro nice p n´ıhoˇ ´adu .................................................5
2. Ro nice yˇsˇs´ıchˇ ´ad˚u .................................................19
3. Sous a y o nic p n´ıho ˇ ´adu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Exis ence a jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5. Ok ajo ´e ´ulohy .......................................................53
6. S abili a a a ak i i a ˇ eˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
7. Au onomn´ı o nice a sous a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
Li e a u a ...............................................................93
3
´
U od
Pˇ ipomeˇnme z´akladn´ı pojmy. Ro nos je ´y ok, m´a smysl o nˇem u aˇzo a , zda je
p a di ´y nebo nep a di ´y. Napˇ ´ıklad 1 + 2 = 3 je p a di ´y a 2 + 3 = 6 nep a di ´y
´y ok s konk ´e n´ımi ˇc´ısly (kons an ami). Jsou o indi idu´aln´ı ´y oky. V ma ema ice ˇcas o
indi idu´aln´ı ´y oky spojujeme do h omadn´eho ´ım, ˇze kons an y nah ad´ıme p omˇenn´ymi
(napˇ . a, x, . . . ) a u ˇc´ıme mnoˇzinu, ze k e ´e za y o p omˇenn´e dosazujeme. H omadn´y
´y ok, k e ´y spojuje konjunkc´ı indi idu´aln´ı ´y oky s ejn´eho ypu, obsahuje z . ´y oko ou
o mu s p omˇenn´ymi a obecn´y k an ifik´a o ”p o kaˇzd´e“ (symbol ∀) s mnoˇzinou, ze k e ´e
hodno y p omˇenn´e yb´ı ´ame. Napˇ ´ıklad ´y ok ”∀x∈ ⟨0,∞) pla ´ı √x2=x“ je p a di ´y,
om o pˇ ´ıpadˇe Mje mnoˇzina nez´apo n´ych ˇc´ısel.
Nap o i omu o nice, napˇ ´ıklad x2−3x+2 = 0, nen´ı ´y okem, nem´a smysl u aˇzo a ,
zda je p a di ´a nebo nen´ı. Ro nice se opˇe skl´ad´a z ´y oko ´e o my s p omˇennou, k e ou
naz´y ´ame nezn´amou, a z mnoˇziny M, ze k e ´e yb´ı ´ame hodno y p omˇenn´e.
Ro nice om o smyslu je:
´
Uloha naj´ı z . ˇ eˇsen´ı (obo p a di os i), j. ˇsechny hodno y p omˇenn´e z M,
p o k e ´e se ´y oko ´a o ma s ´a ´a p a di ´ym ´y okem.
V u eden´e o nici je ˇ eˇsen´ım mnoˇzina {1,2}. Pˇ i ˇ eˇsen´ı ob ykle pos upujeme z .
ek i alen n´ımi ´up a ami, pˇ i k e ´ych se mnoˇzina ˇ eˇsen´ı nemˇen´ı, aˇz do a u, ze k e ´eho lze
ˇ eˇsen´ı zjis i . V naˇsem pˇ ´ıpadˇe o nici x2−3x+2 = 0 up a ´ıme na a (x−1)(x−2) = 0,
odkud plyne x= 1 nebo x= 2.
Ro nice ozliˇsujeme podle mnoˇziny Mp o nezn´am´e a ypu ´y oko ´e o my – las n´ı
o nice. Napˇ ´ıklad p o Mmnoˇzinu e´aln´ych ˇc´ısel R ozliˇsujeme o nice line´a n´ı, k ad a-
ick´e, kubick´e,. . . , i acion´aln´ı s odmocninami, exponenci´aln´ı, loga i mick´e, goniome ick´e,
a d. V pˇ ´ıpadˇe sous a y line´a n´ıch (i neline´a n´ıch) o nic nezn´am´a m´a a ek o u (d o-
jice, ojice, n- ice ˇc´ısel). Mnoˇzinou Mmohou b´y ak´e pˇ i ozen´a, cel´a i komplexn´ı ˇc´ısla.
V pˇ ´ıpadˇe obyˇcejn´e di e enci´aln´ı o nice je ( ob ykl´em oznaˇcen´ı) nezn´amou unkce
y(x) jedn´e e´aln´e p omˇenn´e xna nˇejak´em in e alu I= (a, b) e´aln´ych ˇc´ısel R. V´y oko ´a
o ma pˇ i om obsahuje de i aci nezn´am´e. ˇ
R´ad nej yˇsˇs´ı de i ace, k e ´a se o nici ysky-
uje, naz´y ´ame ˇ ´ad o nice. Napˇ ´ıklad
y′−2xy =x2, y′′ −3y′+ 2y= ex, y′′′ +y′= 0
jsou o nice p n´ıho, d uh´eho a ˇ e ´ıho ˇ ´adu.
Obecnˇe lze obyˇcejnou di e enci´aln´ı o nici n- ´eho ˇ ´adu zapsa e a u
F(x, y, y′, y′′, . . . , y(k), . . . , y(n)) = 0,
kde F(x, y0, y1, y2, . . . , yn) je unkce n+2 p omˇenn´ych a y(n)je n- ´a de i ace unkce y(x).
Pˇ ipomeˇnme jeˇs ˇe, ˇze pˇ ´ıpadˇe ODR se do unkce F(x, y0, y1, y2, . . . , yn) dosazuj´ı
hodno y nezn´am´e a jej´ıch de i ac´ı se s ejnou hodno ou nez´a isle p omˇenn´e x. V opaˇcn´em
pˇ ´ıpadˇe mlu ´ıme o ODR se zpoˇzdˇen´ım nebo obecnˇe s odklonˇen´ym a gumen em, napˇ ´ıklad
y′(x) = (x, y(x−τ(x)), kde τ(x) je dan´a unkce.
4
1. Ro nice p n´ıho ˇ ´adu (ODR1)
Kaˇzdou obyˇcejnou di e enci´aln´ı o nici p n´ıho ˇ ´adu lze zapsa e a u
F(x, y, y′) = 0 .(1.1)
De inice 1.1 ˇ
Rekneme, ˇze unkce y(x) je ˇ eˇsen´ım o nice (1.1) na in e alu I, jes liˇze:
(a) unkce y(x) je spoji ´a a m´a spoji ou p n´ı de i aci y′(x) na cel´em I,
(b) p o kaˇzd´e x∈Ije hodno a unkce F(x, y(x), y′(x)) defino ´ana a
(c) p o kaˇzd´e x∈Ipla ´ı o nos F(x, y(x), y′(x)) = 0.
Pozn´
amky 1.2
(a) S uˇcnˇe ˇ eˇceno nezn´am´a y(x) mus´ı m´ı ˇsechny de i ace, k e ´e se o nici ysky-
uj´ı, unkce Fmus´ı b´y p o y o hodno y defino ´ana a koneˇcnˇe po dosazen´ı hod-
no do o nice nas ane o nos . V k ajn´ım bodˇe in e alu (pokud in e alu n´aleˇz´ı)
yˇzadujeme jednos annou spoji os i koneˇcnou jednos annou limi u de i ace y′(x).
(b) P o oˇze pla nos podm´ınky (c) yˇzaduje pla nos pˇ edchoz´ıch d ou podm´ınek, ˇcas o
se poˇzada ky (a) a (b) ynech´a aj´ı.
(c) ˇ
Reˇsen´ı ODR se ˇ ´ık´a ak´e in eg ´al dan´e o nice.
(d) Pozo , ˇ eˇsen´ı o nice je u ˇceno nejen pˇ edpisem y(x), ale ak´e in e alem I.ˇ
Reˇsen´ı
po aˇzujeme za ˚uzn´a, i kdyˇz jsou u ˇcena s ejn´ym pˇ edpisem y(x), ale jsou defino ´ana
na ˚uzn´ych in e alech.
(e) V nˇek e ´ych pˇ ´ıpadech se ˇ eˇsen´ı zapisuje implici n´ım a u g(x, y) = 0. P o oˇze
implici n´ı yj´adˇ en´ı nemus´ı b´y jednoznaˇcn´e, edle in e alu je nu no doplni jednu
hodno u y(x0) = y0. Pˇ i ”zkouˇsce“ de i aci y′(x) yj´adˇ ´ıme pomoc´ı Vˇe y o implici n´ı
unkci: pokud g′
y(x, y)= 0 po om y′(x) = −g′
x(x, y)/g′
y(x, y) .
Z´akladn´ı a o nice a poˇc´a eˇcn´ı ´uloha
Z obecn´eho a u (1.1) nelze pˇ ´ımo zjis i , zda ˇ eˇsen´ı o nice exis uje, p o o se ˇcas o
o nice zapisuje z´akladn´ım a u (nejsou ´ım ˇsak zah nu y ˇsechny ODR1), e k e ´em
je o nice ” ozˇ eˇsena“ zhledem k de i aci y′:
y′(x) = (x, y(x)) ,nebo zk ´acenˇe y′= (x, y).(1.2)
P o oˇze samo n´a o nice m´a ob ykle nekoneˇcnˇe mnoho ˇ eˇsen´ı, o nici doplˇnujeme z .
poˇc´a eˇcn´ı podm´ınkou, k e ´a u ˇcuje hodno u y0ˇ eˇsen´ı y(x) jednom bodˇe x0in e alu I.
Ro nici s podm´ınkou naz´y ´ame poˇc´a eˇcn´ı ´uloha, ˇcas o ak´e podle angliˇc iny poˇc´a eˇcn´ı
p obl´em:
y′(x) = (x, y(x)) ,∀x∈I ,
y(x0) = y0.(1.3)
ˇ
Reˇsen´ım poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy na in e alu Ije edy spoji ´a a spoji ˇe di e enco a eln´a unkce
na in e alu I, k e ´a splˇnuje o nici e ˇsech bodech x∈Ia podm´ınku y(x0) = y0.
5

Pozn´
amka 1.3 Obyˇcejnou di e enci´aln´ı o nice p n´ıho ˇ ´adu lze ak´e zapsa e a u di-
e enci´alu p(x, y) dx+q(x, y) dy= 0. Sku eˇcnˇe, ydˇelen´ım obou s an ´y azem q(x, y) dx,
pˇ iˇcemˇz zlomek dy/ dxnah ad´ıme y′dos aneme z´akladn´ı a
y′(x) = (x, y),kde (x, y) = −p(x, y)
q(x, y).
V om o a u lze ˇsak o nici zapsa mnoha zp˚usoby, s aˇc´ı obˇe unkce p(x, y), q(x, y)
yn´asobi libo olnou nenulo ou unkc´ı. Z´apis se yuˇz´ı ´a pˇ ´ıpadˇe z . exak n´ı o nice.
Dalˇs´ı pojmy
(a) ˇ
Reˇsen´ı o nice y′= (x, y) lze geome -
icky zn´azo ni pomoc´ı z . smˇe o ´eho
pole. V bodech (x, y) definiˇcn´ıho
obo u unkce (x, y) yk esl´ıme ”mal´y“
n´asobek ek o u (1, (x, y)) z an´y
smˇe o ´y elemen . Je o eˇcn´y ek o
ke g a u ˇ eˇsen´ı om o bodˇe. Ty o ek-
o y oˇ ´ı smˇe o ´e pole o nice. Ob . 1: Smˇe o ´e pole o nice y′= 1 + x+y.
(b) Mnoˇzinu ˇ eˇsen´ı o nice lze ch´apa jako jednopa ame ick´y sys ´em kˇ i ek, pa-
ame em m˚uˇze b´y ˇ eba hodno a ˇ eˇsen´ı bodˇe x0.
(c) Pa ikul´a n´ım ˇ eˇsen´ım ozum´ıme ob ykle jedno konk ´e n´ı ˇ eˇsen´ı o nice.
(d) Obecn´e ˇ eˇsen´ı o nice je ´y az s kons an ou (pa ame em) cz dan´e mnoˇziny
pa ame ˚u, k e ´y p o ˚uzn´a cd´a ´a ob ykle ˇsechna ˇ eˇsen´ı dan´e o nice.
(e) Pokud p o ˇ eˇsen´ı y1(x) na in e alu I1a ˇ eˇsen´ı y2(x) na I2pla ´ı I1⊂I2, (I1=I2),
pˇ iˇcemˇz y1(x) = y2(x) p o ˇsechna x∈I1, ˇ ´ık´ame, ˇze ˇ eˇsen´ı y2(x) je p odlouˇzen´ım
nebo ozˇs´ıˇ en´ım ˇ eˇsen´ı y1(x) z in e alu I1na I2a ob ´acenˇe ˇ eˇsen´ı y1(x) je z´uˇzen´ım
ˇ eˇsen´ı y2(x) na I1.
( ) ´
Upln´e ˇ eˇsen´ı ( ak´e maxim´aln´ı ˇ eˇsen´ı) je ˇ eˇsen´ı, k e ´e nelze p odlouˇzi na ˇe ˇs´ı
in e al.
(g) Na azo ´an´ı ˇ eˇsen´ı. Maj´ı-li unkce y−(x) o nici na in e alu (a, x0⟩a unkce
y+(x) na ⟨x0, b) s ejn´e hodno y a s ejn´e jednos ann´e (koneˇcn´e) de i ace bodˇe x0,
j. splˇnuj´ı-li podm´ınky
y−(x0) = y+(x0), y′
−(x0) = y′
+(x0),
po om obˇe ˇ eˇsen´ı lze spoji do jednoho ˇ eˇsen´ı
y(x) na in e alu (a, b). Pokud y o jednos ann´e
de i ace jsou ˚uzn´e, ˇ eˇsen´ı na ´aza nen´ı moˇzn´e.
xaxbx
Ob . 2: V bodˇe xana ´aza ˇ eˇsen´ı
nelze, bodˇe xbje o moˇzn´e.
Exis ence a jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı
V pˇ ´ıpadˇe o nice zapsan´e e a u (1.2) lze exis enci a jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı yˇse ˇ o a
pomoc´ı n´asleduj´ıc´ı jednoduch´e ˇe y:
6
Vˇ
e a 1.4 U aˇzujme ´ulohu (1.3), j. o nici y′= (x, y) s poˇc´a eˇcn´ı podm´ınkou
y(x0) = y0. Po om pla ´ı
(a) Jes liˇze unkce (x, y) je defino an´a a spoji ´a okol´ı bodu (x0, y0), po om ´ım o
bodem p och´az´ı alespoˇn jedno ˇ eˇsen´ı, j. ´uloha (1.3) m´a ˇ eˇsen´ı okol´ı bodu x0.
(b) Jes liˇze spoji ´a unkce (x, y) je na ´ıc lipschi zo sk´a p omˇenn´e y, j. splˇnuje
Lipschi zo u podm´ınku okol´ı Ubodu (x0, y0): exis uje kons an a L > 0, ˇze pla ´ı
| (x, y1)− (x, y2)| ≤ L|y1−y2|,∀(x, y1),(x, y2)∈U , (1.4)
po om ˇ eˇsen´ı ´ulohy (1.3) je okol´ı bodu (x0, y0) jednoznaˇcn´e.
Pozn´
amky 1.5
(a) P n´ı zen´ı se naz´y ´a Peano a ˇe a, d uh´e silnˇejˇs´ı zen´ı je Pica do a ˇe a.
(b) Jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı okol´ı bodu (x0, y0) znamen´a, ˇze bodem p och´az´ı jedin´e ˇ eˇsen´ı,
j. jedin´a kˇ i ka. Ma ema ick´a o mulace zn´ı: Pokud ˇ eˇsen´ı y1(x)ay2(x)splˇnuj´ı
y1(x0) = y2(x0) = y0, po om y1(x) = y2(x)pla ´ı i nˇejak´em okol´ı bodu x0. Mimo
o o okol´ı se ˇ eˇsen´ı mohou liˇsi . Pokud Lipschi zo a podm´ınka pla ´ı pod´el cel´eho
g a u ˇ eˇsen´ı, je o o ˇ eˇsen´ı jednoznaˇcn´e na cel´em s ´em in e alu. ˇ
Reˇsen´ı se mohou
” ozdˇeli , kˇ ´ıˇzi “ jen bodech, kde Lipschi zo a podm´ınka nen´ı splnˇena.
(c) ˇ
Cas o se yuˇz´ı ´a sku eˇcnos i, ˇze Lipschi zo a podm´ınka je splnˇena, pokud okol´ı
exis uje (koneˇcn´a) pa ci´aln´ı de i ace ′
y unkce (x, y). Sku eˇcnˇe, Vˇe a o s ˇ edn´ı
hodno ˇe p o di e enco a elnou unkci p o y1< y2ˇ ´ık´a:
(x, y1)− (x, y2) = ′
y(x, η)·(y1−y2), kde η ∈(y1, y2).
Je-li edy de i ace okol´ı (x0, y0) omezena kons an ou L, podm´ınka (1.4) pla ´ı.
(d) Ta o lok´aln´ı ˇe a m´a glob´aln´ı d˚usledek. Je-li unkce (x, y) defino an´a a spoji ´a
nˇejak´e oblas i G, ˇ eˇsen´ı lze p odluˇzo a , dokud ”nena az´ı“ na h anici oblas i G.
M´a-li unkce (x, y) na ´ıc cel´em Gspoji ou pa ci´aln´ı de i aci podle y, ˇ eˇsen´ı je
e ˇsech bodech G ak´e jednoznaˇcn´e.
(e) Znam´enko hodno y (x, y) o nici y′= (x, y) u ˇcuje cho ´an´ı ˇ eˇsen´ı bodˇe (x, y).
V okol´ı, kde (x, y) je kladn´a (z´apo n´a) je i de i ace y′(x) kladn´a (z´apo n´a) a ˇ eˇsen´ı
y(x) je p o o os ouc´ı (klesaj´ıc´ı) .
( ) Jes liˇze (x, y) nez´a is´ı na xˇ ´ık´ame, ˇze o nice je au onomn´ı. Je-li y(x) ˇ eˇsen´ı
y′= (y) na in e alu (a, b), po om ak´e yc(x) = y(x−c) je ˇ eˇsen´ım na (a+c, b+c),
j. g a y dalˇs´ıch ˇ eˇsen´ı dos aneme posunu ´ım g a u ˇ eˇsen´ı y(x) e smˇe u osy x.
Nˇekolik ins uk i n´ıch pˇ ´ıklad˚u
Pˇ
´
ıklad 1.6 Najdˇe e ˇsechna ˇ eˇsen´ı o nice y′= 1 + y2.
ˇ
Reˇsen´ı: Funkce (x, y) je defino an´a a spoji ´a cel´e o inˇe R2, ˇ eˇsen´ı p o o p och´az´ı
kaˇzd´ym bodem o iny. Pa ci´aln´ı de i ace ′
y(x, y) = 2yje koneˇcn´a okol´ı kaˇzd´eho bodu,
ˇ eˇsen´ı je p o o kaˇzd´em bodˇe jednoznaˇcn´e, g a y ˚uzn´ych ´upln´ych ˇ eˇsen´ı (kˇ i ky o inˇe)
jsou p o o disjunk n´ı. Na ´ıc unkce (x, y) = 1 + y2≥1 je kladn´a, p o o ˇsechna ˇ eˇsen´ı
budou os ouc´ı.
7
O ˇeˇ me zen´ı ´ypoˇc em ˇ eˇsen´ı. Z o nice plyne
y′
1 + y2= 1 ,
odkud dos ´a ´ame a c g y=x−c, p o oˇze [a c g(y(x))]′=y′/(1 + y2) a [x−c]′= 1.
P o oˇze a c g xnab´y ´a hodno (−π
2,π
2), pla ´ı x−c∈(−π
2,π
2), coˇz d´a ´a obecn´e ˇ eˇsen´ı
y(x) = g(x−c), x ∈(−π
2+c, π
2+c), c ∈R.
ˇ
Reˇsen´ı oˇ ´ı sys ´em ” o nobˇeˇzn´ych“ angen posunu ´ych o kons an u c e smˇe u osy x.2
x
Ob . 3: G a y ˇ eˇsen´ı o nice y′= 1 + y2.
Pˇ
´
ıklad 1.7 Najdˇe e ˇsechna ˇ eˇsen´ı o nice y′+ 2√y= 0 .
Fyzik´aln´ı in e p e ace ´ulohy: Fyzik´aln´ı ´uloha o odˇe y ´ekaj´ıc´ı z ´alco ´e n´adoby ede
na u edenou o nici. U aˇzujme ´alco ou n´adobu o p ˚uˇ ezu elikos i S > 0, k e ´a m´a
k uho ´y o o o p ˚uˇ ezu s > 0 e s ˇenˇe ´alce e ´yˇsce y= 0, k e ´ym oda m˚uˇze y ´eka .
V ˇcase x0je ´alec naplnˇen do ´yˇsky y0>0. Od od’me o nici modeluj´ıc´ı en o je .
Za nezn´amou z olme ´yˇsku hladiny y(x) ˇcase x. Rychlos y ´ekaj´ıc´ı ody (x) sou is´ı
s ychlos ´ı −y′(x) klesaj´ıc´ı hladiny e ´alci z ahem (z´akon zacho ´an´ı objemu)
s· (x) = S·(−y′(x)) .
Rychlos (x) y ´ekaj´ıc´ı ody z´a is´ı na laku ody m´ıs ˇe ´y oku: po enci´aln´ı ene gie
y(x)ρ g se mˇen´ı na kine ickou ene gii 1
2 2(x)ρ, kde ρje hus o a ody a gje g a i aˇcn´ı
z ychlen´ı. Vydˇelen´ım hus o ou ρ > 0 dos ´a ´ame
2y(x)g= 2(x).
Odmocnˇen´ım o nos i na (x) = √2y(x)gpomoc´ı
pˇ edchoz´ıho z ahu dos ´a ´ame
y′(x) = −s
S (x) = −s
S√2y(x)g=−s
S√2g·√y(x),
odkud snadno z´ısk´ame o nici
y′(x) + k√y(x) = 0 ,kde kons an a k=s
S√2g .
0
y(x)
Ob . 4: N´adoba, z k e ´e
y ´ek´a oda
8
Vhodnou olbou jedno ek d´elky a ˇcasu m˚uˇzeme dos´ahnou hodno y k= 2. Doplnˇen´ım
´yˇsky hladiny y(x0) = y0 ˇcase x0dos ´a ´ame poˇc´a eˇcn´ı ´ulohu
y′(x)+2√y(x) = 0 , x > x0, y(x0) = y0.
ˇ
Reˇsen´ı: Ukaˇzme nejp e u inn´ı ˇ eˇsen´ı. Ro nici up a ´ıme na a
1
2[y(x)]−1
2·y′(x) = −1.
P imi i n´ı unkce na obou s an´ach pomoc´ı zo ce ∫yp=1
p+1 yp+1 +cp o p=−1
2
d´a aj´ı √y(x) = −x+c, odkud po umocnˇen´ı dos ´a ´ame obecn´e ˇ eˇsen´ı
y(x) = (x−c)2.
G a y ˇ eˇsen´ı oˇ ´ı sys ´em pa abol y=x2
” o-
do o nˇe“ posunu ´ych o kons an u c∈R.
Pod´ı ejme se na ´ysledek: Fyzik´aln´ı ´yznam
ˇ eˇsen´ı ˇ ´ık´a, ˇze hladina nejp e kles´a k nule
a pak s oup´a s ´ale ychleji, coˇz je ozpo u
s p ak ickou zkuˇsenos ´ı. Tak´e ˇ eˇsen´ı se kˇ ´ıˇz´ı
kaˇzd´em bodˇe (x, y), y > 0, j. ˇ eˇsen´ı je
d ojznaˇcn´e: dan´e si uaci ak´e hladina m˚uˇze
ozpo u se zkuˇsenos ´ı klesa nebo ˚us . Ob . 5: Ru inn´ı ˇ eˇsen´ı.
Kde jsme udˇelali chybu? Jak´e je sp ´a n´e ˇ eˇsen´ı? Podle exis enˇcn´ı ˇe y o nice pˇ epsa-
n´a do a u y′=−2√ym´a p a ou s anu (x, y) = −2√y. Je o unkce defino an´a a
spoji ´a p o uza ˇ enou ho n´ı polo o inu y≥0. De i ace ′
y(x, y) = −1/√yje defino an´a
a spoji ´a pouze p o y > 0. P o y > 0 je ˇ eˇsen´ı jednoznaˇcn´e, p o y= 0 jednoznaˇcnos nen´ı
za uˇcena, na pˇ ´ımce y= 0 ˇ eˇsen´ı nemus´ı b´y jednoznaˇcn´e.
Pˇ i u inn´ım ´ypoˇc u jsme nejp e pˇ i dˇelen´ı o nice nezn´amou √y(x) neo ˇeˇ ili, zda
y(x) = 0 nen´ı ˇ eˇsen´ım. T´ım jsme z a ili singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = 0. D uhou chybu jsme
udˇelali pˇ i umocnˇen´ı. V o nici √y=−x+csi mus´ıme u ˇedomi , ˇze le ´a s ana je
nez´apo n´a, p o o i p a ´a mus´ı b´y nez´apo n´a, j. −x+c≥0. Umocnˇen´ı pak d´a ´a o nos
y(x) = (x−c)2pouze p o −x+c≥0, j. p o x∈(−∞, c⟩.ˇ
Reˇsen´ım jsou p o o jen le ´e
klesaj´ıc´ı ˇc´as i pa aboly.
P o oˇze bodˇe (c, 0) jsou jak hodno a y(c)
ak de i ace y′(c) ˇ eˇsen´ı y(x) nulo ´e, m˚uˇzeme na
ni na ´aza nulo ´e ˇ eˇsen´ı. Vˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı
o nice p o o jsou:
y(x) = 0 , x ∈R,
y(x) = {(x−c)2, x ∈(−∞, c⟩,
0, x ∈ ⟨c, ∞),c∈R.
V p n´ım pˇ ´ıpadˇe (singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı) hladina
ody je s ´ale nulo ´a, e d uh´em (obecn´e ˇ eˇsen´ı)
hladina kles´a k nule, od bodu cuˇz je nulo ´a. 2
0
y0
x0x
Ob . 6: Sp ´a n´e ˇ eˇsen´ı popisuj´ıc´ı eali u.
Pˇ
´
ıklad 1.8 Najdˇe e ˇsechna ˇ eˇsen´ı o nice y′=√1−y2.
ˇ
Reˇsen´ı: P a ´a s ana (x, y) = √1−y2je defino an´a a spoji ´a p o y∈ ⟨−1,1⟩, jej´ı
9
V´ypoˇce ˇ eˇsen´ı line´a n´ıch o nic
Kaˇzd´e ˇ eˇsen´ı line´a n´ı o nice m´a a (1.8) obsahuj´ıc´ı kons an u c, k e ou lze u ˇci
z poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky y(x0) = y0. Ta o podm´ınka ede na o nici yp(x0) + c u(x0) = y0.
Pokud u(x0)= 0, o nice m´a jedin´e ˇ eˇsen´ı c.
V´ypoˇce obecn´eho ˇ eˇsen´ı p o edeme e d ou k oc´ıch. V p n´ım u ˇc´ıme nenulo ´e ˇ eˇsen´ı
u(x) line´a n´ı o nice bez p a ´e s any y′(x) = a(x)y(x). Ta o o nice m´a ˇzdy nu-
lo ´e ˇ eˇsen´ı y(x) = 0, my ˇsak hled´ame ˇ eˇsen´ı nenulo ´e. Je o o nice se sepa o an´ymi
p omˇenn´ymi. In eg ac´ı o nice 1
y(x)dy=a(x) dxdos ´a ´ame
ln|y(x)|=A(x) + ln|c|,kde A(x) = ∫a(x) dx .
Odloga i mo ´an´ı d´a ´a |y(x)|=|c|·eA(x), p o oˇze cm˚uˇze b´y kladn´e i z´apo n´e, absolu n´ı
hodno y m˚uˇzeme ynecha . Z ol´ıme jedno nenulo ´e ˇ eˇsen´ı y(x), k e ´e oznaˇc´ıme u(x).
Ve d uh´em k oku hled´ame ˇ eˇsen´ı o nice y′(x) = a(x)y(x)+b(x) z . me odou a iace
kons an y. ˇ
Reˇsen´ı pˇ i om hled´ame e a u y(x) = C(x)u(x). Dosad´ıme do o nice
y′(x)≡C′(x)u(x) + C(x)u′(x) = a(x)C(x)u(x) + b(x).
P o oˇze u(x) jakoˇz o ˇ eˇsen´ı o nice bez p a ´e s any splˇnuje C(x)u′(x) = C(x)a(x)u(x),
o nice se zjednoduˇs´ı na C′(x)u(x) = b(x), coˇz d´a ´a o nici p o C′(x) = b(x)/u(x) ,
odkud in eg ac´ı spoˇc´ı ´ame ”kons an u“ C(x)
C(x) = ∫b(x)
u(x)dx+k .
Dosazen´ım C(x) do y(x) = C(x)u(x) z´ısk´ame obecn´e ˇ eˇsen´ı. V´ypoˇce obsahuje kon olu,
pokud se ˇclen s nede i o an´ym C(x) na obou s an´ach nez uˇs´ı, e ´ypoˇc u je chyba.
ˇ
Reˇsen´ı o nice s podm´ınkou y(x0) = y0se d´a poˇc´ı a ak´e (bez kon oly) zo cem
y(x) = (∫x
x0
b( )
u( )d +y0)u(x),kde u(x) = exp (∫x
x0
a( ) d ).
O ˇeˇ me poˇc´a eˇcn´ı podm´ınku. P o x=x0je u(x0) = exp(0) = 1, a p o o y(x0) = y0.
Nˇekolik ins uk i n´ıch pˇ ´ıklad˚u
Pˇ
´
ıklad 1.15 ˇ
Reˇs e o nici y′=y−1 , u ˇce e ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı.
ˇ
Reˇsen´ı: Exis ence a jednoznaˇcnos je za uˇcena cel´e o inˇe. ˇ
Reˇsen´ı o nice y′=yd´a ´a
y(x) = cex, z ol´ıme u(x) = ex. Ve d uh´em k oku ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u y(x) = C(x) ex.
Dosazen´ım do o nice dos ´a ´ame
y′(x)≡C′(x) ex+C(x) ex=C(x) ex−1,
odkud plyne C′(x) ex=−1. In eg ace o nice C′(x) = −e−xd´a ´a C(x) = e−x+k, p o o
y(x) = (e−x+k) ex, j. obecn´e ˇ eˇsen´ı m´a a
y(x) = 1 + kex, x ∈R, k ∈R.
16

Ob . 10: ˇ
Reˇsen´ı o nice y′=y−1. Ob . 11: ˇ
Reˇsen´ı o nice xy′=y+x2.
Pˇ
´
ıklad 1.16 U ˇce e ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı o nice xy′=y+x2.
ˇ
Reˇsen´ı: Ro nici lze pˇ epsa e a u y′=y
x+x. Exis ence a jednoznaˇcnos je za uˇcena
ˇsude mimo pˇ ´ımku x= 0. ˇ
Reˇsen´ı o nice y′=y
xd´a ´a y(x) = c x, z ol´ıme u(x) = x.
Ve d uh´em k oku ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u y(x) = C(x)x. Dosazen´ı do o nice d´a ´a
x y′(x)≡x(C′(x)x+C(x)·1) = C(x)x+x2,
odkud x2C′(x) = x2. In eg ace o nice C′(x) = 1 d´a ´a C(x) = x+k, edy y(x) = (x+k)x,
j. obecn´e ˇ eˇsen´ı m´a a
y(x) = x2+k x , x ∈R, k ∈R.
Body (0, y0) p o y0= 0 nep och´az´ı ˇz´adn´e ˇ eˇsen´ı, bodem (0,0) p och´azej´ı ˇsechna ˇ eˇsen´ı.
P o ˚uzn´a cˇ eˇsen´ı y(x) maj´ı nule ˚uzn´e smˇe nice y′(0) = k, nelze je p o o nule
na azo a . 2
Poznamenejme, ˇze o nice e a u y′=y
x+xnem´a ˇ eˇsen´ı defino an´e p o x= 0, ´upln´a
ˇ eˇsen´ı jsou pouze na (−∞,0) a na (0,∞), jsou o edy ˚uzn´a ˇ eˇsen´ı. ˇ
Reˇsen´ı ˇsak splˇnuj´ı
p˚u odn´ı o nici x y′=y+x2i bodˇe x= 0, p o o ´upln´a ˇ eˇsen´ı jsou y(x) = x2+c x na
cel´em in e alu (−∞,∞).
Pˇ
´
ıklad 1.17 U ˇce e ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı o nice xy′= 2y+x.
ˇ
Reˇsen´ı: Ro nici lze pˇ epsa e a u y′= 2y
x+ 1. Exis ence a jednoznaˇcnos je za uˇcena
ˇsude mimo pˇ ´ımku x= 0. ˇ
Reˇsen´ı o nice y′= 2y
xd´a ´a y(x) = c x2, z ol´ıme u(x) = x2.
Ve d uh´em k oku me odou a iace kons an y hled´ame ˇ eˇsen´ı e a u y(x) = C(x)x2.
Dosazen´ı do o nice d´a ´a
x y′(x)≡x(C′(x)x2+C(x) 2x)= 2 C(x)x2+x ,
odkud plyne C′(x)x3=x. In eg ace o nice C′(x) = x−2d´a ´a C(x) = −1
x+k, p o o
y(x) = (−1
x+k)x2, j. obecn´e ˇ eˇsen´ı m´a a
y(x) = −x+k x2, x ∈R, k ∈R.
17
Body (0, y0) p o y0= 0 nep och´az´ı ˇz´adn´e ˇ eˇsen´ı, bodem (0,0) p och´azej´ı ˇsechna ˇ eˇsen´ı.
P o ˇsechna kje y′(0) = −1, ˇ eˇsen´ı maj´ı s ejn´e smˇe nice a lze je nule na azo a .
Opˇe o nice e a u y′= 2y
x+xnem´a ˇ eˇsen´ı defino an´e p o x= 0, ´upln´a ˇ eˇsen´ı
jsou jen na (−∞,0) a (0,∞). ˇ
Reˇsen´ı ˇsak splˇnuj´ı p˚u odn´ı o nici i bodˇe x= 0, p o o
ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı jsou na cel´em R, ˇ eˇsen´ı ˇsak m˚uˇze j´ı po jedn´e pa abole do nuly a
po jin´e pa abole pok aˇco a d´al, ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı p o o jsou
y(x) = {−x+k1x2x∈(−∞,0⟩,
−x+k2x2x∈ ⟨0,∞),k1, k2∈R.
2
Ob . 12: ˇ
Reˇsen´ı o nice xy′= 2y+xmohou po-
k aˇco a x= 0 po libo oln´e pa abole. Ob . 13: ˇ
Reˇsen´ı o nice xy′+y= 2x.
Pˇ
´
ıklad 1.18 U ˇce e ˇsechna ´upln´a ˇ eˇsen´ı o nice x y′+y= 2 x.
ˇ
Reˇsen´ı: Ro nici pˇ ep´ıˇseme na y′=−y
x+ 2. Exis ence a jednoznaˇcnos je za uˇcena opˇe
ˇsude mimo pˇ ´ımku x= 0. ˇ
Reˇsen´ı o nice y′=−y
xd´a ´a y(x) = c·1
x, z ol´ıme u(x) = 1
x.
Ve d uh´em k oku hled´ame ˇ eˇsen´ı e a u y(x) = C(x)·1
x. Dosazen´ı do o nice
x y′+y= 2 xd´a ´a
x(C′(x)1
x−C(x)·1
x2)+C(x)1
x= 2 x ,
odkud C′(x)=2x. In eg ac´ı dos aneme C(x) = x2+c, edy y(x) = (x2+c)1
x, p o o
obecn´e ˇ eˇsen´ı je
y(x) = x+c
x, x = 0 , c ∈R.
Body (0, y0) p o y0= 0 nep och´az´ı ˇz´adn´e ˇ eˇsen´ı, bodem (0,0) jedin´e ˇ eˇsen´ı y(x) = x.
Os a n´ı ´upln´a ˇ eˇsen´ı y(x) = x+c
x,c= 0 jsou bud’jen na (−∞,0) nebo na (0,∞).
P o oˇze nejsou defino ´ana nule, o na azo ´an´ı nelze u aˇzo a . 2
18
2. Ro nice yˇsˇs´ıch ˇ ´ad˚u (ODRn)
Obecnˇe lze obyˇcejnou di e enci´aln´ı o nici n- ´eho ˇ ´adu (n= 2,3, . . . ) zapsa e a u
F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n)) = 0 ,
kde y(k)znaˇc´ı k- ou de i aci unkce y(x) a F(x, y0, y1, y2, . . . , yn−1, yn) je unkc´ı n+2
p omˇenn´ych z´a isl´a na yn. O ˇ eˇsen´ıch ´e o o nice ˇsak obecnˇe nelze nic ˇ ´ıci. P o o o nici
zapisujeme ozˇ eˇsenou zhledem k nej yˇsˇs´ı de i aci, z . no m´aln´ım a u:
y(n)= (x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)),(2.1)
kde (x, y0, y1, y2, . . . , yn−1) je dan´a unkce n+1 p omˇenn´ych. Ro nici (2.1) doplnˇenou n
poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami
y(x0) = γ0, y′(x0) = γ1, y′′(x0) = γ2, . . . , y(n−1) =γn−1(2.2)
naz´y ´ame poˇc´a eˇcn´ı ´ulohou ( ak´e poˇc´a eˇcn´ı p obl´em) p o ODRn.
Exis enci a jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı lze u ˇci pomoc´ı n´asleduj´ıc´ı ˇe y:
Vˇ
e a 2.1 U aˇzujme o nici (2.1) s poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami (2.2). Po om pla ´ı:
(a) Nech
’ unkce (x, y0, y1, y2, . . . , yn−1) je okol´ı bodu (x0, γ0, γ1, γ2, . . . , γn−1) spo-
ji ´a, po om poˇc´a eˇcn´ı ´uloha (2.1), (2.2) m´a okol´ı x0alespoˇn jedno ˇ eˇsen´ı y(x) .
(b) Nech
’ unkce (x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)) splˇnuje Lipschi zo u podm´ınku p o-
mˇenn´ych y0, y1, y2, . . . , yn−1 okol´ı bodu (x0, γ0, γ1, γ2, . . . , γn−1), po om ˇ eˇsen´ı
y(x) poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy (2.1), (2.2) je bodˇe x0u ˇceno jednoznaˇcnˇe.
Pozn´
amky 2.2
(a) Funkce (x, y0, y1, y2, . . . , yn−1) splˇnuje Lipschi zo u podm´ınku p omˇenn´e yk, po-
kud p o ˇsechna pe n´a x, y1, . . . , yk−1, yk+1, . . . , yn−1a libo oln´a ξ, η okol´ı ykpla ´ı
| (x, y0, . . . , yk−1, ξ, yk+1, . . . , yn−1)− (x, y0, . . . , yk−1, η, yk+1, . . . , yn−1)| ≤ L|ξ−η|.
(b) Jako pˇ ´ıpadˇe ODR1 jes liˇze unkce (x, y0, y1, y2, . . . , yn−1) m´a omezenou pa ci´aln´ı
de i aci podle p omˇenn´e yk, po om splˇnuje Lipschi zo u podm´ınku p omˇenn´e yk.
(c) Jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı ODR1 za uˇcila sku eˇcnos , ˇze g a y ˚uzn´ych ´upln´ych ˇ eˇsen´ı
byly disjunk n´ı, j. ”nekˇ ´ıˇzily“ se. V pˇ ´ıpadˇe ODRn (n≥2) uˇz a o las nos
p o g a y ˇ eˇsen´ı nepla ´ı, g a y se mohou p o ´ına , p o oˇze k u ˇcen´ı ˇ eˇsen´ı nes aˇc´ı
poˇc´a eˇcn´ı podm´ınka y(x0) = y0. Disjunk n´ı jsou aˇz ”g a y“ ˇ eˇsen´ı obsahuj´ıc´ı i de i-
ace, j. kˇ i ky (n+1)- ozmˇe n´em p os o u
{(x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(n−1)(x)) ∈Rn+1 , x ∈I}.
Line´a n´ı o nice n- ´eho ˇ ´adu (LODRn)
Ro nici n- ´eho ˇ ´adu naz eme line´a n´ı, pokud unkce (x, y0, y1, y2, . . . , yn−1) je line´a n´ı
p omˇenn´ych y0, y1, . . . , yn−1, j. o nici lze zapsa e a u L(y) = b, kde
L(y) = y(n)+an−1(x)y(n−1) +···+a2(x)y′′ +a1(x)y′+a0(x)y . (2.3)
19
Opˇe unkce an−1(x), . . . , a1(x), a0(x) naz´y ´ame koeficien y a b(x) p a ou s anou. Podle
Vˇe y 2.1 o exis enci a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı pla ´ı, ˇze ˇ eˇsen´ı exis uje a je jednoznaˇcn´e p o
ˇsechna xz in e alu I, kde ˇsechny unkce ak(x) a b(x) jsou
spoji ´e. Ro nici L(y) = 0 naz eme o nic´ı bez p a ´e s any aL(y) = b(x) o nic´ı
s p a ou s anou.
S uk u a ˇ eˇsen´ı
Jako pˇ ´ıpadˇe LODR1 od od´ıme s uk u u ˇ eˇsen´ı. Nech
’y(x) a y∗(x) jsou d ˇe ˇ eˇsen´ı
o nice L(y) = b(x) na in e alu I. Po om jejich ozd´ıl y(x)−y∗(x) je ˇ eˇsen´ım o nice
bez p a ´e s any L(y) = 0. ˇ
Reˇsen´ı o nice bez p a ´e s any splˇnuj´ı n´asleduj´ıc´ı las nos i:
nulo ´a unkce, n´asobek ˇ eˇsen´ı i souˇce d ou i ´ıce ˇ eˇsen´ı splˇnuj´ı s ejnou o nici bez p a ´e
s any. P o oˇze kaˇzd´a kombinace nnez´a isl´ych poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek (2.2) u ˇcuje jedno-
znaˇcnˇe ˇ eˇsen´ı, mnoˇzina ˇ eˇsen´ı oˇ ´ı n- ozmˇe n´y podp os o p os o u spoji ´ych unkc´ı na
in e alu I. Libo oln´a n- ice nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı p o o oˇ ´ı b´azi oho o p os o u. V´ysledek
sh neme e ˇe ˇe:
Vˇ
e a 2.3 Nech
’koeficien y ak(x) a b(x) jsou unkce spoji ´e na in e alu I. Po om p o
kaˇzd´e ˇ eˇsen´ı y(x) o nice L(y) = b(x) exis uj´ı c1, . . . , cn∈R ak, ˇze
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + ···+cnun(x) + yp(x),(2.4)
kde yp(x) je libo oln´e ( z . pa ikul´a n´ı) ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = b(x) a u1(x), . . . , un(x)
je n- ice nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = 0 bez p a ´e s any.
Tak´e p o libo oln´e c1, . . . , cn z ah (2.4) u ˇcuje ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = b(x).
Kdy ˇ eˇsen´ı uk(x) jsou nez´a isl´a? K omu je hodn´y pojem W onsk´eho ma ice:
De inice 2.4 Nech
’ unkce u1(x), . . . , un(x) maj´ı spoji ´e de i ace do ˇ ´adu n−1. V´y az
W[u1, . . . , un](x) = 






u1(x)u2(x). . . un(x)
u′
1(x)u′
2(x). . . u′
n(x)
u′′
1(x)u′′
2(x). . . u′′
n(x)
.
.
..
.
.....
.
.
u(n−1)
1(x)u(n−1)
2(x). . . u(n−1)
n(x)







se naz´y ´a W onsk´eho ma ice unkc´ı u1, . . . , un. De e minan W onsk´eho ma ice
de W[u1, . . . , un] se naz´y ´a w onski´an unkc´ı u1, . . . , un.
W onsk´eho ma ice a w onski´an ypo ´ıdaj´ı o nez´a islos i unkc´ı i ˇ eˇsen´ı o nice:
Vˇ
e a 2.5 Di e enco a eln´e unkce u1(x), . . . , un(x) jsou nez´a isl´e na in e alu I, p ´a ˇe
kdyˇz jejich W onsk´eho ma ice je egul´a n´ı, nebo ek i alen nˇe, kdyˇz jejich w onski´an, j.
de e minan W onsk´eho ma ice je nenulo ´y na cel´em I.
Tedy ˇ eˇsen´ı u1(x), . . . , un(x) line´a n´ı o nice L(y) = 0 na in e alu Ijsou nez´a isl´a,
p ´a ˇe kdyˇz jejich W onsk´eho ma ice je egul´a n´ı, nebo ek i alen nˇe, kdyˇz jejich w on-
ski´an je ˚uzn´y od nuly.
V om o speci´aln´ım pˇ ´ıpadˇe na ´ıc pla ´ı, ˇze je-li w onski´an nenulo ´y jednom bodˇe
x0∈I, je nenulo ´y na cel´em in e alu I.
20
ˇ
Reˇsi elnos poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy
Nech
’koeficien y ak(x) a b(x) jsou spoji ´e unkce na in e alu Iax0∈I. Po om
poˇc´a eˇcn´ı ´uloha p o o nici L(y) = b(x) p o libo oln´e γ0, . . . , γn−1∈R poˇc´a eˇcn´ıch
podm´ınk´ach (2.2) bodˇe x0m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı.
Sku eˇcnˇe, dosazen´ı obecn´eho ˇ eˇsen´ı do jedno li ´ych poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek
y(k)(x0) = y(k)
p(x0) + c1u(k)
1(x0) + ···+cnu(k)
n(x0) = γk, k = 0,1,··· , n −1
ede na sous a u line´a n´ıch o nic p o nezn´am´e kons an y c1, . . . , cn∈R
u1(x0)c1+u2(x0)c2+... +un(x0)cn=γ0−yp(x0)
u′
1(x0)c1+u′
2(x0)c2+... +u′
n(x0)cn=γ1−y′
p(x0)
u′′
1(x0)c1+u′′
2(x0)c2+. . . +u′′
n(x0)cn=γ2−y′′
p(x0)
.
.
..
.
.....
.
..
.
..
.
.
u(n−1)
1(x0)c1+u(n−1)
2(x0)c2+. . . +u(n−1)
n(x0)cn=γn−1−y(n−1)
p(x0).
Ma ic´ı ´e o sous a y line´a n´ıch o nic je W onsk´eho ma ice W[u1, . . . , un] bodˇe x0. Podle
pˇ edpokladu ˇ eˇsen´ı u1(x), . . . , un(x) jsou nez´a isl´a, p o o W onsk´eho ma ice je egul´a n´ı
a sous a a m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı c1. . . , cn. Poˇc´a eˇcn´ı ´uloha p o o m´a ˇ eˇsen´ı p o libo oln´e
hodno y poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek γii libo oln´e pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı yp(x).
V´ypoˇce ˇ eˇsen´ı
Obecn´e ˇ eˇsen´ı line´a n´ı o nice m´a a y(x) = c1u1(x) + ···+cnun(x) + yp(x). P o
jeho u ˇcen´ı po ˇ ebujeme spoˇc´ı a pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı yp(x) o nice L(y) = b(x) a n- ici
nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = 0 bez p a ´e s any.
Vˇsechna ˇ eˇsen´ı uk(x) o nice L(y) = 0 do edeme spoˇc´ı a pˇ ´ıpadˇe line´a n´ı o nice
s kons an n´ımi koeficien y (pokud um´ıme u ˇci koˇ eny cha ak e is ick´eho polynomu) a e
yb an´ych pˇ ´ıpadech nekons an n´ıch koeficien ˚u, napˇ ´ıklad u z . Eule o y o nice.
Pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı yp(x) lze spoˇc´ı a z . me odou a iace kons an . V pˇ ´ıpadˇe
o nice s kons an n´ımi koeficien y a u ˇci ´ych yp˚u p a ´e s any je snadnˇejˇs´ı z . me oda
neu ˇci ´ych koe icien ˚u.
Line´a n´ı o nice s kons an n´ımi koe icien y
Line´a n´ı o nice s kons an n´ımi koeficien y je o nice s koeficien y, k e ´e nez´a isej´ı na
p omˇenn´e x, j. o nice L(y) = b(x) s le ou s anou
L(y) = y(n)+an−1y(n−1) +an−2y(n−2) +···+a2y′′ +a1y′+a0y ,
kde koeficien y akjsou e´aln´a ˇc´ısla, p a ´a s ana b(x) ˇsak m˚uˇze z´a ise na x.
V´ypoˇce nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı o nice bez p a ´e s any
ˇ
Reˇsen´ı u(x) budeme hleda e a u exponenci´aln´ı unkce u(x)=eλx. Spoˇc´ı ´ame
de i ace u′(x) = λeλx ,u′′(x) = λ2eλx , obecnˇe u(k)(x) = λkeλx a dosad´ıme do o nice
L(y) = 0. Kaˇzd´y ˇclen o nice obsahuje kladn´y ˇcini el eλx. Vydˇelen´ım o nice ˇclenem eλx
dos ´a ´ame o nici P(λ) = 0, kde P(λ) je z . cha ak e is ick´y polynom
P(λ) = λn+an−1λn−1+···+a2λ2+a1λ+a0.(2.5)
21

Tedy je-li λ∈Ckoˇ enem polynomu P(λ), po om u(x) = eλx je ˇ eˇsen´ım o nice L(y) = 0.
Po ˇ ebujeme ˇsak nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı. V ide´aln´ım pˇ ´ıpadˇe, kdy P(λ) m´a n ˚uzn´ych
e´aln´ych koˇ en˚u λ1, . . . , λn, m´ame nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1(x) = eλ1x,..., un(x) = eλnx.
Z eo ie polynom˚u ´ıme, ˇze polynom s e´aln´ymi koeficien y akm´a koˇ eny e´aln´e
nebo d ojice komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u. Koˇ eny mohou b´y pˇ i om jednoduch´e nebo
n´asobn´e. Souˇce poˇc u ˇsech koˇ en˚u s jejich n´asobnos ´ı je s upeˇn ncha ak e is ick´eho
polynomu P(λ), k e ´y je o en ˇ ´adu nline´a n´ı o nice.
Komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny. V pˇ ´ıpadˇe d ojice komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u µ±iν
dos ´a ´ame d ˇe komplexn´ı ˇ eˇsen´ı, yuˇzijeme pˇ i om z ah ex+iy= ex(cos y+isin y):
y1(x) = e(µ+iν)x= eµx[cos(νx)+isin(νx)] , y2(x) = e(µ−iν)x= eµx[cos(νx)−isin(νx)] ,
k e ´a jsou ak´e komplexnˇe sd uˇzen´e unkce. Jejich kombinacemi 1
2(y1+y2) a 1
2i(y1−y2)
z´ısk´ame d ˇe nez´a isl´a e´aln´a ˇ eˇsen´ı
u1(x) = eµx cos(νx), u2(x) = eµx sin(νx).
N´asobn´e koˇ eny. Nech
’λ1=λ2je d ojn´asobn´y e´aln´y koˇ en polynomu P(λ). Po om
u1(x) = eλ1xje ˇ eˇsen´ım o nice. O ˇeˇ me, ˇze unkce u2(x) = xeλ1xje d uh´ym ˇ eˇsen´ım
o nice, k e ´e je nez´a isl´e na u1(x). Spoˇc´ı ejme de i ace unkce xeλx
u′
2(x) = eλx +λ x eλx ,
u′′
2(x) = 2 λeλx +λ2xeλx ,
u′′′
2(x) = 3 λ2eλx +λ3xeλx ,
.
.
..
.
..
.
.
u(k)
2(x) = k λk−1eλx +λkxeλx .
Dosad’me de i ace do ope ´a o u L(y) = y(n)+an−1y(n−1) +··· +a2y′′ +a1y′+a0y.
Po sd uˇzen´ı ˇclen˚u s ´y azy eλx,xeλx dos ´a ´ame
L(xeλx) = Q(λ) eλx +P(λ)xeλx ,
kde P(λ) = λn+an−1λn−1+···+a1λ+a0je cha ak e is ick´y polynom o nice L(y) ,
Q(λ) = n λn−1+an−1(n−1) λn−2+···+a33λ2+a22λ+a1.
P o oˇze λ1je koˇ enem P(λ), pla ´ı P(λ1) = 0. Polynom Q(λ) je de i ac´ı polynomu P(λ).
V pˇ ´ıpadˇe d ojn´asobn´eho koˇ ene λ1polynomu P(λ), je λ1 ak´e jednoduch´ym koˇ enem
Q(λ). T zen´ı lze snadno o ˇeˇ i de i o ´an´ım koˇ eno ´eho souˇcinu
P(λ) = (λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3)···(λ−λn).
Pokud λ1=λ2je d ojn´asobn´y koˇ en, de i o ´an´ım P(λ) dos aneme souˇce nsouˇcin˚u,
z nichˇz kaˇzd´y obsahuje bud’nulo ´y ˇcini el (λ−λ1) nebo nulo ´y (λ−λ2) nebo oba.
ˇ
Reˇsen´ı u1(x) a u2(x) jsou nez´a isl´a, jejich w onski´an je
W[u1, u2] = u1u′
2−u′
1u2= eλ1x(eλ1x+xλ1eλ1x)−λ1eλ1x·xeλ1x= e2λ1x>0.
22
V pˇ ´ıpadˇe ojn´asobn´eho koˇ ene λ1 ˇ e ´ı ˇ eˇsen´ı je u3(x) = x2eλ1xd´ıky sku eˇcnos i, ˇze
λ1je na ´ıc koˇ enem d uh´e de i ace P′′(λ) cha ak e is ick´eho polynomu P(λ). V pˇ ´ıpadˇe
ˇc yˇ n´asobn´eho koˇ ene λ1poloˇz´ıme na ´ıc u4(x) = x3eλ1x, a d.
N´asobn´e komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny. V pˇ ´ıpadˇe d ojn´asobn´e d ojice komplexnˇe
sd uˇzen´ych koˇ en˚u λ1,2,3,4=µ±iνd ojici ˇ eˇsen´ı u1(x) = eµx cos(νx) , u2(x) = eµx sin(νx)
dopln´ıme ˇ eˇsen´ımi u3(x) = xeµx cos(νx) , u4(x) = xeµx sin(νx) . V pˇ ´ıpadˇe ojn´asobn´e
d ojice komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u pˇ id´ame dalˇs´ı d ˇe ˇ eˇsen´ı n´asoben´a x2.
Pozn´
amka 2.6 Pokud u ˇc´ıme ˇsechny koˇ eny cha ak e is ick´eho polynomu P(λ), coˇz
m˚uˇze b´y p obl´em, snadno u ˇc´ıme ˇsech nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı line´a n´ı o nice L(y) = 0.
Me oda a iace kons an
P o ´ypoˇce ou o me odou po ˇ ebujeme n- ici nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1, . . . , unpˇ ´ısluˇsn´e
line´a n´ı o nice L(y) = 0. Obecn´e ˇ eˇsen´ı y(x) o nice
y(n)+an−1y(n−1) +···+a2y′′ +a1y′+a0y=b(x) (2.6)
hled´ame e a u s p omˇenn´ymi, j. ” a iabiln´ımi“ , kons an ami
y(x) = C1(x)u1(x) + C2(x)u2(x) + ···+Cn(x)un(x).(2.7)
Dosazen´ım do o nice (2.6) dos aneme sous a u o nic p o de i ace C′
1(x),··· , C′
n(x):
W[u1,··· , un](x)·C′(x) = b(x),(2.8)
kde W[u1,···, un] je W onsk´eho ma ice nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1, . . . , un,C′(x) je sloupco ´y
ek o de i ac´ı (C′
1(x), . . . , C′
n(x))Ta p a ´a s ana sloupco ´y ek o b= (0,...,0, b(x))T.
Od od’me u eden´y zo ec p o o nici ˇ e ´ıho ˇ ´adu
y′′′ +a2y′′ +a1y′+a0y=b(x).(2.9)
ˇ
Reˇsen´ı hled´ame e a u
y(x) = C1(x)u1(x) + C2(x)u2(x) + C3(x)u3(x).(2.10)
Spoˇc´ı ejme de i aci posledn´ı o nos i (a gumen (x) budeme ynech´a a ):
y′=C′
1u1+C′
2u2+C′
3u3+C1u′
1+C2u′
2+C3u′
3.
Poloˇzme souˇce ˇclen˚u s de i o an´ymi ”kons an ami“ Ci o en nule
C′
1u1+C′
2u2+C′
3u3= 0 (2.11)
a zb´y aj´ıc´ı o nici
y′=C1u′
1+C2u′
2+C3u′
3(2.12)
opˇe de i ujme
y′′ =C′
1u′
1+C′
2u′
2+C′
3u′
3+C1u′′
1+C2u′′
2+C3u′′
3.
Poloˇzme zno u souˇce de i o an´ych ”kons an “ Ci o en nule
C′
1u′
1+C′
2u′
2+C′
3u′
3= 0 .(2.13)
23
Zb´y aj´ıc´ı ˇcleny d´a aj´ı o nos
y′′ =C1u′′
1+C2u′′
2+C3u′′
3,(2.14)
k e ou opˇe de i ujme
y′′′ =C′
1u′′
1+C′
2u′′
2+C′
3u′′
3+C1u′′′
1+C2u′′′
2+C3u′′′
3.
Do o nice (2.9) dosad´ıme z o nos ´ı (2.10), (2.12), (2.14). P o oˇze uije ˇ eˇsen´ım o nice
L(y) = 0, pla ´ı
Ci(u′′′
i+a2u′′
i+a1u′
i+a0ui) = 0 , i = 1,2,3.
T´ım se n´am o nice (2.9) zjednoduˇs´ı na
C′
1u′′
1+C′
2u′′
2+C′
3u′′
3=b(x).(2.15)
Spolu s (2.11), (2.13) dos ´a ´ame ak sous a u ˇ ´ı line´a n´ıch o nic p o de i ace C′
i
C′
1u1+C′
2u2+C′
3u3= 0 ,
C′
1u′
1+C′
2u′
2+C′
3u′
3= 0 ,
C′
1u′′
1+C′
2u′′
2+C′
3u′′
3=b(x),
coˇz je sous a a line´a n´ıch o nic p o nezn´am´e C′
1,C′
2,C′
3. Jej´ı ma ice sous a y je egul´a n´ı
W onsk´eho ma ice ˇ eˇsen´ı u1, u2, u3. Sous a a p o o m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı C′
1, C′
2, C′
3.
In eg ac´ı z´ısk´ame ”kons an y“
Ci(x) = ∫C′
i(x) dx+ki
a dosazen´ım do (2.10) z´ısk´ame obecn´e ˇ eˇsen´ı y(x) se ˇ emi kons an ami k1, k2, k3.
Poznamenejme, ˇze ou o me odou lze poˇc´ı a obecn´e ˇ eˇsen´ı i o nic L(y) = bs nekon-
s an n´ımi koeficien y ak(x), mus´ıme ˇsak zn´a nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı u1, . . . , un.
Me oda neu ˇci ´ych koe icien ˚u
Me oda ych´az´ı z myˇslenky, ˇze pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı o nice s kons an n´ımi koefici-
en y je s ejn´eho ypu jako p a ´a s ana b(x), coˇz pla ´ı p o u ˇci ´e ypy p a ´e s any.
ˇ
Reˇsen´ı yp(x) hled´ame e a u p a ´e s any s neu ˇci ´ymi (nezn´am´ymi) koeficien y, k e ´e
u ˇc´ıme zkouˇskou: ˇ eˇsen´ı s nezn´am´ymi koeficien y dosad´ıme do o nice L(y) = b(x) a
ˇ eˇsen´ım znikl´e sous a y line´a n´ıch o nic z´ısk´ame konk ´e n´ı hodno y ˇech o koeficien ˚u.
V pˇ ´ıpadˇe, kdy b(x) je ”podobn´e“ ypu ˇ eˇsen´ı ui(x), a hledan´eho ˇ eˇsen´ı up a ´ıme.
Me odu lze uˇz´ı jen p o pˇ ´ıpad line´a n´ı o nice s kons an n´ımi koeficien y a p a ´e
s any yb an´ych yp˚u.
Pokud p a ´a s ana b(x) je souˇc em ˚uzn´ych ” yp˚u“ unkc´ı b(x) = b1(x)+···+bk(x), je
hodn´e poˇc´ı a jedno li ´e ypy z l´aˇs
’, j. poˇc´ı a jedno li ´a ˇ eˇsen´ı yi o nice L(y) = bi(x)
a po om je seˇc´ıs yp(x) = y1(x) + ··· +yk(x) . Podle ypu p a ´e s any bi(x) a koˇ en˚u
P(λ) ol´ıme yp pa ikul´a n´ıho ˇ eˇsen´ı yi, ˇ ´ıd´ıme se pˇ i om nˇekolika p a idly:
A. Exponenci´aln´ı unkce bi(x) = ceλ0x.V pˇ ´ıpadˇe, kdy λ0nen´ı koˇ enem cha ak-
e is ick´eho polynomu P(λ), ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u yi(x) = Aeλ0x. Pokud λ0je jedno-
duch´ym koˇ enem, unkce yi(x)=eλ0xje ˇ eˇsen´ım o nice L(yi) = 0 a ”nepˇ id´a“ nic na
24
p a ou s anu. ˇ
Reˇsen´ı p o o hled´ame e a u yi(x) = A x eλ0x. Pokud λ0je d ojn´asobn´y
(k-n´asobn´y) koˇ en P(λ), ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u A x2eλ0x( e a u A xkeλx) .
B. Funkce ypu sin(νx),cos(νx).Pokud p a ´a s ana bi(x) obsahuje sin(νx) nebo
cos(νx), obou pˇ ´ıpadech ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u s obˇema unkcemi
yi(x) = Acos(νx) + Bsin(νx).
Pokud ±iνbyly koˇ eny cha ak e is ick´eho polynomu P(λ), u eden´y yp ˇ eˇsen´ı d´a ´a
L(yi) = 0, p o o mus´ıme pˇ ida x:yi(x) = A x cos(νx) + B x sin(νx).
C. Funkce ypu eµx sin(νx),eµx cos(νx).Ten o yp p a ´e s any bi(x) odpo ´ıd´a d ojici
ˇc´ısel λ1,2=µ±iν. Pokud a o ˇc´ısla nejsou mezi koˇ eny cha ak e is ick´eho polynomu P(λ),
ˇ eˇsen´ı yi(x) hled´ame e a u
yi(x) = Aeµx cos(νx) + Beµx sin(νx).
Pokud ˇc´ısla µ±iνjsou k-n´asobn´ymi koˇ eny P(λ), ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u
yi(x) = A xkeµx cos(νx) + B xkeµx sin(νx).
D. Pˇ edchoz´ı ypy s polynomem. V pˇ ´ıpadˇe, kdy bi(x) je polynomem s upnˇe k,
ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u polynomu s ejn´eho s upnˇe s neu ˇci ´ymi koeficien y:
yi(x) = Akxk+Ak−1xk−1+···+A1x+A0.
Lze uk´aza , ˇze pˇ ´ıpadˇe, kdy nula je k-n´asobn´ym koˇ enem P(λ), polynom n´asob´ıme xk.
V pˇ ´ıpadˇe souˇcinu polynomu s eµx a pˇ ´ıpadnˇe s nˇek e ´ym z ´y az˚u cos(νx) nebo
sin(νx), ˇ eˇsen´ı hled´ame e s ejn´em a u jako pˇ edchoz´ıch pˇ ´ıpadech, pouze dan´y ´y az
yn´asob´ıme polynomem s ejn´eho s upnˇe s neu ˇci ´ymi koeficien y.
E. Souh nn´e p a idlo. Vˇsechny pˇ edchoz´ı ypy p a ´e s any lze obecnˇe popsa
n´asledo nˇe: p o ˇclen p a ´e s any
bi(x) = Q1(x) eµx cos(νx) + Q2(x) eµx sin(νx),
kde Qijsou polynomy s upnˇe nej ´yˇse p, ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u
yi(x) = R1(x)xkeµx cos(νx) + R2(x)xkeµx sin(νx),
kde R1, R2jsou polynomy s neu ˇci ´ymi koeficien y s upnˇe pakje n´asobnos koˇ ene
µ±iνpolynomu P(λ). Pokud µ±iνnen´ı mezi koˇ eny P(λ), poloˇz´ıme k= 0.
Pozn´
amky 2.7
(a) Obecn´y pˇ ´ıpad Ezah nuje ˇsechny pˇ edchoz´ı pˇ ´ıpady: V pˇ ´ıpadˇe ν= 0, p= 0
dos ´a ´ame pˇ ´ıpad A, µ= 0, p= 0 pˇ ´ıpad B, µ= 0, ν= 0 je pˇ ´ıpad C.
(b) Pokud b(x) obsahuje souˇce ˇclen˚u se s ejn´ym µaν, ˇ eˇs´ıme je souˇcasnˇe, pˇ ´ıpad
˚uzn´ych µnebo νˇ eˇs´ıme kaˇzd´y z l´aˇs
’a z´ıskan´a ˇ eˇsen´ı seˇc eme.
(c) Pokud ´am yjde, ˇze o nice p o neu ˇci ´e koeficien y nem´a ˇ eˇsen´ı, nebo ˇze koeficien
obsahuje x, e ´ypoˇc u je chyba, nebo hled´a e ˇ eˇsen´ı nesp ´a n´em a u.
25
Vz ah mezi jedno li ´ymi de i acemi d´a ´a p n´ıch n−1 o nic
y′
1=y2, y′
2=y3, y′
3=y4, . . . , y′
n−1=yn,(3.3)
posledn´ı o nici dos aneme ´ım, ˇze jedno li ´e de i ace y(k)nah ad´ıme nezn´amou yk+1 :
y′
n= (x, y1, y2, y3, . . . , yn).
T´ım jsme z´ıskali sous a u nobyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic p n´ıho ˇ ´adu.
V pˇ ´ıpadˇe o nice zapsan´e obecn´em a u F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0, n−1 o nic
(3.3) dopln´ıme o nic´ı F(x, y1, y2, y3. . . , yn, y′
n) = 0.
Poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky ODRn
y(x0) = γ0, y′(x0) = γ1, y′′(x0) = γ2, . . . , y(n−1)(x0) = γn−1,
pˇ i om pˇ ejdou na poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky sous a y nobyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic:
y1(x0) = γ0, y2(x0) = γ1, y3(x0) = γ2, . . . , yn(x0) = γn−1.
Vˇe ˇsina me od nume ick´eho ˇ eˇsen´ı obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic yˇsˇs´ıho ˇ ´adu yuˇz´ı ´a
o o pˇ e eden´ı o nice na sous a u o nic p n´ıho ˇ ´adu. Pˇ e od sous a y n o nic p n´ıho
ˇ ´adu na jednu o nici ˇ ´adu nobecnˇe nen´ı moˇzn´y. Jen sous a u line´a n´ıch o nic s kon-
s an n´ımi koeficien y je moˇzn´e pˇ e ´es na o nici n- ´eho ˇ ´adu, jak si uk´aˇzeme dalˇs´ım.
Sous a a line´a n´ıch o nic p n´ıho ˇ ´adu (SLODR1)
Sous a u o nic (3.2) naz eme line´a n´ı, pokud jedno li ´e unkce i(x, y1, . . . , yn) jsou
line´a n´ı p omˇenn´ych y1, . . . , yn. Sous a u ak zap´ıˇseme e a u
y′
1=a11 y1+a12 y2+··· +a1nyn+b1,
y′
2=a21 y1+a22 y2+··· +a2nyn+b2,
.
.
..
.
..
.
.....
.
..
.
.
y′
n=an1y1+an2y2+··· +ann yn+bn,
(3.4)
kde aij(x) jsou unkce z an´e koeficien y,bi(x)p a ´e s any sous a y o nic. Sous a u
o nic na in e alu Idopln´ıme poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami bodˇe x0∈I:
y1(x0) = γ1, y2(x0) = γ2, . . . yn(x0) = γn.(3.5)
Sous a u s poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami pˇ ehlednˇe zapisujeme ma ico ´em a u





y′
1
y′
2
.
.
.
y′
n





=




a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
.
.
..
.
.....
.
.
an1an2··· ann










y1
y2
.
.
.
yn





+




b1
b2
.
.
.
bn





,




y1
y2
.
.
.
yn





(x0) = 




γ1
γ2
.
.
.
γn





.(3.6)
Oznaˇc´ıme-li ma ici koeficien ˚u A, ek o nezn´am´ych ya ek o p a ´ych s an γγγγγ, sous a u
line´a n´ıch o nic p n´ıho ˇ ´adu lze pˇ ehlednˇe zapsa e a u
y′=Ay +b,y(x0) = γγγγγ . (3.7)
32

P o oˇze i(x, y1, . . . , yn) = ai1(x)y1+···+ain yn+bi(x) a pa ci´aln´ı de i ace ∂ i/∂yj(x)
jsou aij(x), ˇe a o exis enci a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı p o sous a u line´a n´ıch o nic d´a ´a:
Vˇ
e a 3.3 Nech
’aij(x), bi(x) jsou unkce spoji ´e na in e alu I. Po om sous a a line´a -
n´ıch o nic (3.4) s podm´ınkami (3.5) m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı y(x) na cel´em I.
S uk u a ˇ eˇsen´ı
Podobnˇe jako pˇ ´ıpadˇe o nice n- ´eho ˇ ´adu snadno zjis ´ıme, ˇze ozd´ıl d ou libo oln´ych
ˇ eˇsen´ı o nice y′=Ay +bje ˇ eˇsen´ım o nice y′=Ay. Tak´e ˇ eˇsen´ı o nice y′=Ay jsou
uza ˇ en´a zhledem k ope ac´ım sˇc´ı ´an´ı a n´asoben´ı kons an ou. P o oˇze p o kaˇzd´e poˇc´a eˇcn´ı
podm´ınky γ1, . . . , γn∈Rexis uje p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı o nice y′=Ay, speci´aln´ımi olbami
γγγγγ1= (1,0, . . . , 0,0)T,...,γγγγγn= (0,0, . . . , 0,1)Tz´ısk´ame nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1,u2, . . . , un.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı pak lze zapsa e a u:
Vˇ
e a 3.4 Nech
’aij(x), bi(x) jsou unkce spoji ´e na in e alu I.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y line´a n´ıch o nic (3.4) lze zapsa e a u
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + ···+cnun(x) + yp(x), c1, c2, . . . , cn∈R,(3.8)
kde u1,u2, . . . , unje nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı sous a y y′=Ay ,yp(x) je libo oln´e ˇ eˇsen´ı
sous a y y′=Ay +b.ˇ
Reˇsen´ı ui= (u1i, . . . , uni)T,i= 1, . . . , n oˇ ´ı ma ici unkc´ı
U= (u1,u2, . . . , un) = 


u11 . . . u1n
.
.
.....
.
.
un1. . . unn



z anou undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı. Ma ice unkc´ı Uje egul´a n´ı p o ˇsechna x∈I.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı ak lze zapsa e a u
y(x) = U(x)·c+yp(x),c= (c1, c2, . . . , cn)T.
G a em ˇ eˇsen´ı y(x) na in e alu Ije kˇ i ka K={(x, y1(x), . . . , yn(x)) ∈Rn+1 , x ∈I}
p os o u I×Rnspoji ´ych ek o o ´ych unkc´ı na in e alu I.
Mnoˇzina ˇ eˇsen´ı o nice y′=Ay ak oˇ ´ı line´a n´ı podp os o p os o u spoji ´ych
ek o o ´ych unkc´ı na in e alu Ia mnoˇzina ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′=Ay +bje
line´a n´ı podmnoˇzina (”posunu ´y“ podp os o ) e s ejn´em p os o u unkc´ı.
Sous a a line´a n´ıch o nic s kons an n´ımi koe icien y
P o u ˇcen´ı ˇ eˇsen´ı sous a y line´a n´ıch o nic po ˇ ebujeme spoˇc´ı a undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı
U, j. nnez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1(x), . . . , un(x) o nice y′=Ay a z . pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı
yp(x) splˇnuj´ıc´ı o nici y′=Ay +b.
Sous a u n o nic s kons an n´ımi koeficien y s nezn´am´ymi unkcemi y1, . . . , ynlze
pˇ e ´es na jednu o nici n- ´eho ˇ ´adu s jednou nezn´amou unkc´ı elimino ´an´ım os a n´ıch
p omˇenn´ych.
Vhodnˇejˇs´ı b´y ´a ˇ eˇsi sous a u line´a n´ıch o nic pˇ ´ımo. Fundamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı U, j.
n- ici nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı u1, . . . , un o nice y′=Ay , lze spoˇc´ı a Eule o ou me odou
las n´ıch ˇc´ısel a las n´ıch ek o ˚u. Pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı ypmoˇzno po om dopoˇc´ı a me odou
33
a iace kons an a p o nˇek e ´e ypy p a ´e s any me odou neu ˇci ´ych koeficien ˚u.
ˇ
Reˇsen´ı poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy z´ısk´ame ak, ˇze obecn´e ˇ eˇsen´ı s nkons an ami c1, . . . , cndo-
sad´ıme do poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek yi(x0) = γi. Dos aneme sous a u line´a n´ıch o nic
u1(x0)c1+··· +un(x0)cn=γγγγγ −yp(x0) p o kons an y ci. Ma ice sous a y je unda-
men ´aln´ı ˇ eˇsen´ı U bodˇe x0, coˇz je ma ice egul´a n´ı, p o o sous a a m´a p ´a ˇe jedno
ˇ eˇsen´ı. Poˇc´a eˇcn´ı ´uloha m´a ak p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı p o kaˇzd´e γi.
Eliminaˇcn´ı me oda
Pods a ou ´e o me ody je pˇ e eden´ı sous a y o nic na jedinou o nici nej ´yˇse n- ´eho
ˇ ´adu pos upn´ym yluˇco ´an´ım jedno li ´ych nezn´am´ych unkc´ı. Po yˇ eˇsen´ı ´e o o nice
nu no dopoˇc´ı a os a n´ı nezn´am´e unkce. Ukaˇzme si o na pˇ ´ıkladu d ou o nic. Me odu
lze pouˇz´ı i p o ´ıce o nic, ´ypoˇce je ˇsak sloˇzi ˇejˇs´ı. V nˇek e ´ych pˇ ´ıpadech, kdy nezn´am´e
o nic´ıch jsou ”oddˇelen´e“, napˇ ´ıklad y′
1=a11 y1+b1(x), y′
2=a22 y2+b2(x), sous a u
nelze pˇ e ´es na o nici d uh´eho ˇ ´adu, obˇe o nice p n´ıho ˇ ´adu ˇsak lze ˇ eˇsi oddˇelenˇe.
Pˇ
´
ıklad 3.5 U ˇce e obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y
y′
1(x)=2y1(x)+3y2(x)−5 e3x,(1)
y′
2(x) = y1(x)+4y2(x)−3 e3x.(2)
a ˇ eˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky y1(0) = 2, y2(0) = −1 .
ˇ
Reˇsen´ı: Za unkci, k e ou budeme elimino a , z ol´ıme unkci y2(x). Z o nic na p a ´e
s anˇe ylouˇc´ıme y2: od o nice (1) n´asoben´e 4 odeˇc eme o nici (2) n´asobenou 3, dos a-
neme ak o nici 4 y′
1−3y2′= 5 y1−11 e3x. Od ud yj´adˇ ´ıme y′
2:
y′
2=1
3(4 y′
1−5y1+ 11 e3x).(3.9)
P n´ı o nici zde i ujeme y′′
1= 2 y′
1+ 3 y′
2−15 e3x, z o nos i (3.9) dosad´ıme za y′
2a
nezn´am´e d´ame na le ou s anu
y′′
1−6y′
1+ 5 y1=−4 e3x.(3.10)
Dos ali jsme o nici d uh´eho ˇ ´adu p o nezn´amou y1. Jej´ı cha ak e is ick´y polynom
P(λ) = λ2−6λ+5 m´a d a e´aln´e koˇ eny 1, 5, k e ´e d´a aj´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) = ex,u2(x) = e5x.
P a ´e s anˇe b(x) = −4 e3xodpo ´ıd´a λ= 3, coˇz nen´ı koˇ en P(λ). Pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı
p o o hled´ame me odou neu ˇci ´ych koeficien ˚u e a u yp(x) = Ae3x.
Dosazen´ı do o nice (3.10) d´a ´a 9 Ae3x−18 Ae3x+5 Ae3x=−4Ae3x=−4 e3x, odkud
plyne A= 1. Dos ali jsme p n´ı sloˇzku ˇ eˇsen´ı
y1(x) = c1ex+c2e5x+ e3x.
Zb´y ´a dopoˇc´ı a d uhou sloˇzku ˇ eˇsen´ı y2(x). Z o nice (1) plyne y2=1
3(y′
1−2y1+ 5 e3x).
Dosazen´ım za y1dos ´a ´ame
y2(x) = 1
3[c1ex+5 c2e5x+3 e3x−2c1ex−2c2e5x−2 e3x+5 e3x] = −1
3c1ex+c2e5x+2 e3x.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı y(x) m˚uˇzeme zapsa ak´e e ek o o ´em a u
y(x)≡(y1
y2)(x) = c1(1
−1
3)ex+c2(1
1)e5x+(1
2)e3x.
34
Obecn´e ˇ eˇsen´ı dosad´ıme do poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek. Sous a a o nic c1+c2+ 1 = 2 ,
−1
3c1+c2+ 2 = −1 d´a ´a c1= 3, c2=−2, a ´ım i ˇ eˇsen´ı poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy
y(x) = (3
−1)ex−(2
2)e5x+(1
2)e3x, j. y1(x) = 3 e3x−2 e5x+ e3x,
y2(x) = −e3x−2 e5x+ 2 e3x.2
D uhou moˇznos ´ı je elimino a nezn´amou y1(x). Kombinace o nic 1·(1)−2·(2) d´a ´a
y′
1−2y′
2=−5y2+ e3x, odkud plyne y′
1= 2 y′
2−5y2+ e3x. Do d uh´e zde i o an´e o nice
y′′
2=y′
1+ 4 y′
2−9 e3xdosad´ıme za y′
1a po ´up a ˇe dos ´a ´ame o nici d uh´eho ˇ ´adu
y′′
2−6y′
2+ 5 y2=−8 e3x,
se s ejn´ym cha ak e is ick´ym polynomem P(λ) = λ2−6λ+ 5 . Ob ykl´ym zp˚usobem
u ˇc´ıme ˇ eˇsen´ı y2(x) = c1ex+c2e5x+ 2 e3x. D uhou nezn´amou y1(x) dopoˇc´ı ´ame z o nice
(2): y1(x) = y′
2(x)−4y2(x) + 3 e3x=−3c1ex+c2e5x+ e3x.Dos ali jsme s ejn´y ´ysledek
y(x)≡(y1
y2)(x) = c1(−3
1)ex+c2(1
1)e5x+(1
2)e3x,
jen s jinou kons an ou c1, s ejn´e ˇ eˇsen´ı dos aneme, z ol´ıme-li −1
3c1m´ıs o c1.
Dosazen´ım do poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek dos ´a ´ame sous a u o nic −3c1+c2+ 1 = 2,
c1+c2+ 2 = −1, jej´ıˇz ˇ eˇsen´ı c1=−1, c2=−2 d´a ´a s ejn´e ˇ eˇsen´ı poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy. 2
Pozn´
amka 3.6 P o zjednoduˇsen´ı oznaˇcen´ı se ˇcas o nezn´am´e unkce oznaˇcuj´ı y(x), z(x):
y′(x) = a11 y(x) + a12 z(x) + b1(x),
z′(x) = a21 y(x) + a22 z(x) + b2(x).(3.11)
Eule o a me oda ´ypoˇc u undamen ´aln´ıho ˇ eˇsen´ı
Zapiˇsme sous a u o nic bez p a ´e s any ma ico ´em a u: y′=Ay a ˇ eˇsen´ı
o nice hledejme e a u y(x) = eλx, kde je sloupco ´y ek o kons an . De i aci
y′(x) = λeλx dosad´ıme do o nice y′=Ay. Dos ´a ´ame
λeλx =A eλx.
P o oˇze eλx = 0, dos ´a ´ame o nici A =λ , j. (A−λE) =0, kde Eje jedno ko ´a
ma ice. Je o sous a a line´a n´ıch o nic bez p a ´e s any, k e ´a m´a ˇzdy nulo ´e ˇ eˇsen´ı.
Pokud ma ice sous a y je egul´a n´ı, je o jedin´e ˇ eˇsen´ı. Je-li ma ice sous a y singul´a n´ı,
exis uje nenulo ´e ˇ eˇsen´ı ek o a ek o o ´a unkce u(x) = eλx je ˇ eˇsen´ım sous a y
di e enci´aln´ıch o nic.
Hled´ame p o o ˇc´ısla λ, p o k e ´a exis uje nenulo ´e ˇ eˇsen´ı sous a y (A−λE) =0,
coˇz je z . ´uloha o las n´ıch ˇc´ıslech ma ice.ˇ
C´ısla λi, p o k e ´a exis uje nenulo ´y
ek o ˇ eˇsen´ı, se naz´y aj´ı las n´ı ˇc´ısla a pˇ ´ısluˇsn´e nenulo ´e i las n´ı ek o y.
Nenulo ´e ˇ eˇsen´ı sous a y o nic exis uje, pokud pˇ ´ısluˇsn´a ma ice sous a y A−λEje
singul´a n´ı, j. jej´ı de e minan de (A−λE) je nulo ´y. V´y az P(λ) = (−1)nde (A−λE) je
polynom s upnˇe n p omˇenn´e λ, z . cha ak e is ick´y polynom. Pokud polynom P(λ)
m´a n ˚uzn´ych, j. jednoduch´ych koˇ en˚u λ1, λ2, . . . , λns pˇ ´ısluˇsn´ymi nenulo ´ymi las n´ımi
ek o y 1, 2, . . . , n, po om unkce
u1(x) = 1eλ1x,u2(x) = 2eλ2x, . . . , un(x) = neλnx
jsou nez´a isl´e a oˇ ´ı undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı Usous a y y′=Ay.
35
Sous a a d ou o nic
Budeme ˇ eˇsi sous a u d ou line´a n´ıch o nic s kons an n´ımi koeficien y
y′
1(x) = a11 y1(x) + a12 y2(x) + b1(x),
y′
2(x) = a21 y1(x) + a22 y2(x) + b2(x).(3.12)
V´ypoˇce undamen ´aln´ıho ˇ eˇsen´ı Up o edeme e ˇ ech k oc´ıch:
(1) U ˇc´ıme polynom P(λ) = (−1)nde (A−λE). V pˇ ´ıpadˇe n= 2 je polynom P(λ)

a11 −λ a12
a21 a22 −λ
= (a11 −λ)(a22 −λ)−a12a21 =λ2−(a11 +a22)λ+a11a22 −a12a21.
Oznaˇc´ıme-li souˇce p k˚u na hla n´ı diagon´ale z . s opu ( ace) ma ice T (A) = a11+a22,
cha ak e is ick´y polynom pˇ ´ıpadˇe n= 2 m´a a
P(λ) = λ2−T (A)λ+ de (A).
(2) U ˇc´ıme koˇ eny P(λ). Zde mohou nas a ˇ i ˚uzn´e si uace:
(2A) D a ˚uzn´e e´aln´e koˇ eny λ1, λ2.P o e´aln´y koˇ en λ1hled´ame nenulo ´e ˇ eˇsen´ı
sous a y line´a n´ıch o nic (A−λ1E) =0. Nap´ıˇseme si ma ici sous a y
(a11 −λ1a12
a21 a22 −λ1).
Pokud jsme sp ´a nˇe poˇc´ı ali, zjis ´ıme, ˇze ˇ ´adky jsou z´a isl´e a jeden z nich m˚uˇzeme yne-
cha . Zb´y aj´ıc´ı ˇ ´adek (a, b) pˇ ep´ıˇseme na o nici p o 1= ( 1, 2)T. Ro nice a 1+b 2= 0
m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇ eˇsen´ı, k e ´a se na z´ajem liˇs´ı jen n´asobkem. Z ol´ıme jedno nenulo ´e
ˇ eˇsen´ı — dle moˇznos i s mal´ymi cel´ymi ˇc´ısly. Z´ısk´ame ´ım las n´ı ek o 1. S ejn´ym
zp˚usobem u ˇc´ıme ek o 2jako ˇ eˇsen´ı sous a y (A−λ2E)· =0.
D uh´y a ˇ e ´ı pˇ ´ıpad komplexnˇe sd uˇzen´ych a n´asobn´ych koˇ en˚u p obe eme pozdˇeji.
(3) Nap´ıˇseme ˇ eˇsen´ı u1(x) = 1eλ1x,u2(x) = 2eλ2x, pˇ ´ıpadnˇe obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y.
Pˇ
´
ıklad 3.7 U ˇce e undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı sous a y z pˇ ´ıkladu 3.5 Eule o ou me odou
y′
1(x)=2y1(x)+3y2(x),
y′
2(x) = y1(x)+4y2(x).
ˇ
Reˇsen´ı: Ma ice sous a y je A=(2 3
1 4 ). Spoˇc´ı ´ame jej´ı cha ak e is ick´y polynom.
S opa ma ice je T (A) = 2 +4 = 6 , de e minan de (A) = 2·4−3·1 = 5, p o o polynom
P(λ) = λ2−6λ+ 5 = (λ−1)(λ−5), jeho d a koˇ eny jsou λ1= 1 a λ2= 5.
P o jedno li ´a λu ˇc´ıme pˇ ´ısluˇsn´e las n´ı ek o y, z´a isl´y ˇ ´adek ypus ´ıme:
λ1= 1 : A−λ1E=(1 3
1 3 )∼(1 3
0 0 ).
Pˇ ´ısluˇsn´a o nice p o las n´ı ek o 1= ( 1, 2) je 1 1+ 3 2= 0 . Z ol´ıme ˇ eˇsen´ı
1= 3 , 2=−1, coˇz d´a ´a u1(x) = (3
−1)ex. D´ale p o d uh´y koˇ en
λ2= 5 : A−λ2E=(−3 3
1−1)∼(1−1
0 0 ).
36
Pˇ ´ısluˇsn´a o nice p o las n´ı ek o 2je 1− 2= 0 . Z ol´ıme ˇ eˇsen´ı 1= 1 , 2= 1,
coˇz d´a ´a u2(x) = (1
1)e5x.
Nap´ıˇseme undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı a obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y
U= (u1,u2) = (3 ex1 e5x
−1 ex1 e5x),y(x) = c1(3
−1)ex+c2(1
1)e5x.
2
(2B) Komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny. Podobnˇe jako pˇ ´ıpadˇe o nice yˇsˇs´ıho ˇ ´adu
spoˇc´ı ´ame d ojici komplexnˇe sd uˇzen´ych ˇ eˇsen´ı y1(x), y2(x) a jejich kombinacemi z´ısk´ame
e´aln´e undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) = 1
2(y1(x) + y2(x)) , u2(x) = 1
2i(y1(x)−y2(x)).
Pˇ
´
ıklad 3.8 Eule o ou me odou u ˇce e undamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı sous a y
y′
1(x) = y1(x)−2y2(x),
y′
2(x)=5y1(x)+3y2(x).
ˇ
Reˇsen´ı: Ma ice sous a y je A=(1−2
5 3 ). Spoˇc´ı ´ame jej´ı cha ak e is ick´y polynom.
S opa ma ice je T (A) = 1 + 3 = 4 , de e minan de (A)=1·3+2·5 = 13, p o o
polynom je P(λ) = λ2−4λ+ 13. P o oˇze disk iminan D= 16 −52 = −36, polynom
m´a d a komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny λ1,2= 2 ±3i.
U ˇc´ıme las n´ı ek o pˇ ´ısluˇsn´y koˇ enu λ1= 2 + 3 i. Uk´aˇze se, ˇze d uh´y ˇ ´adek
yn´asoben´y 1 + 3 ije (-5)-n´asobek p n´ıho ˇ ´adku a m˚uˇzeme ho ynecha :
λ= 2+3 i:A−λE=(−1−3i−2
5 1 −3i)∼(−1−3i−2
5 + 15 i10 )∼(1 + 3 i2
0 0).
Pˇ ´ısluˇsn´a o nice p o las n´ı ek o 1= ( 1, 2) je (1 + 3 i) 1+ 2 2= 0 . Z ol´ıme ˇ eˇsen´ı
1= 2 , 2=−1−3i, coˇz d´a ´a
y1(x) = (2
−1−3i)e(2+3i)x=(2
−1−3i)e2x(cos(3x) + isin(3x)) .
Komplexnˇe sd uˇzen´y koˇ en λ2= 2 −3id´a ´a ihned komplexnˇe sd uˇzen´e ˇ eˇsen´ı
y2(x) = (2
−1+3i)e(2−3i)x=(2
−1+3i)e2x(cos(3x)−isin(3x)) .
Abychom z´ıskali nez´a isl´a e´aln´a ˇ eˇsen´ı, p o edeme kombinace u1(x) = 1
2[y1(x) + y2(x)] ,
u2(x) = 1
2i[y1(x)−y2(x)], coˇz je las nˇe e´aln´a a imagin´a n´ı ˇc´as ˇ eˇsen´ı y1(x):
u1(x) = (2 cos(3x)
−cos(3x) + 3 sin(3x))e2x,u2(x) = (2 sin(3x)
−sin(3x)−3 cos(3x))e2x.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y je edy
y(x) = c1(2 cos(3x)
−cos(3x) + 3 sin(3x))e2x+c2(2 sin(3x)
−sin(3x)−3 cos(3x))e2x.
(2C) D ojn´asobn´y e´aln´y koˇ en λ1=λ2.Opˇe si nap´ıˇseme ma ici A−λE. Jej´ı
hodnos m˚uˇze b´y nula nebo jedna. V p n´ım pˇ ´ıpadˇe je o nulo ´a ma ice. Pˇ ´ısluˇsn´a
sous a a m´a d ˇe nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı, d a nez´a isl´e las n´ı ek o y, napˇ ´ıklad 1=(1
0),
2=(0
1), k e ´e d´a aj´ı d ˇe nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı
37

u1(x) = (1
0)eλx ,u2(x) = (0
1)eλx .
Ve d uh´em pˇ ´ıpadˇe m´a ma ice A−λEhodnos jedna, p o o o nici (A−λE) =0
splˇnuje jen jeden nez´a isl´y ek o , k e ´y d´a ´a p n´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) = eλx.
D uh´e ˇ eˇsen´ı hled´ame e a u u2(x) = xeλx +weλx . Spoˇc´ı ´ame de i aci u2a
dosad´ıme do o nice y′=A y :
eλx + λ x eλx +wλeλx =A xeλx +A w eλx .
Po o n´an´ım ek o ˚u u ˇclen˚u xeλx , eλx dos ´a ´ame d ˇe ek o o ´e o nice λ =A ,
+λw=A w, k e ´e pˇ ep´ıˇseme e a u
(A−λE) =0,(A−λE)w= .
Vek o splˇnuje p n´ı o nici. D uh´a o nice m´a p a ou s anu . Jej´ım ˇ eˇsen´ım je ek o
w, k e ´y nen´ı u ˇcen jednoznaˇcnˇe, m˚uˇzeme k nˇemu pˇ ida libo oln´y n´asobek ek o u .
Fundamen ´aln´ı ˇ eˇsen´ı om o pˇ ´ıpadˇe jsou unkce
u1(x) = eλx ,u2(x) = xeλx +weλx ,
kde je nenulo ´e ˇ eˇsen´ı sous a y line´a n´ıch o nic (A−λE) =0,wlibo oln´e ˇ eˇsen´ı
sous a y line´a n´ıch o nic (A−λE)w= .
Pˇ
´
ıklad 3.9 Eule o ou me odou u ˇce e obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y
y′
1(x) = y1(x)−2y2(x),
y′
2(x)=2y1(x)+5y2(x).
ˇ
Reˇsen´ı: Ma ice sous a y je A=(1−2
2 5 ). Spoˇc´ı ´ame jej´ı cha ak e is ick´y polynom.
S opa ma ice je T (A) = 1 + 5 = 6 , de e minan de (A) = 1·5+ 2·2 = 9, p o o polynom
P(λ) = λ2−6λ+ 9 = (λ−3)2m´a d ojn´asobn´y koˇ en 3.
Nap´ıˇseme si ma ici sous a y A−λE= 0 p o λ= 3 a u ˇc´ıme nenulo ´y ek o :
λ= 3 : (−2−2
2 2 )∼(1 1
0 0 ),
z o nice 1 1+ 1 2= 0 z ol´ıme napˇ ´ıklad =(1
−1). Vek o wje u ˇcen sous a ou
(A−λE)w= . Nap´ıˇseme si pˇ ´ısluˇsnou ozˇs´ıˇ enou ma ici sous a y
λ= 3 : (−2−2 1
2 2 −1)∼(1 1 −1
2
0 0 0 ),
odkud z o nice w1+w2=−1
2z ol´ıme napˇ ´ıklad w= (−1
2,0)T. Z´ıskali jsme unda-
men ´aln´ı ˇ eˇsen´ı
u1(x) = (1
−1)e3x,u2(x) = (1
−1)xe3x−(1
2
0)e3x=(x−1
2
−x)e3x.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y je edy
y(x) = c1(1
−1)e3x+c2(x−1
2
−x)e3x, j. y1(x) = (c1+c2(x−1
2))e3x,
y2(x) = (−c1−c2x)e3x.2
38
Sous a a ˇ ´ı a ´ıce o nic
U aˇzujme opˇe sous a u n-line´a n´ıch di e enci´aln´ıch o nic y′=Ay.ˇ
Reˇsen´ı hled´ame
e a u y(x) = eλx, kde je sloupco ´y ek o kons an . Dosazen´ım ˇ eˇsen´ı do o nice
dos ´a ´ame opˇe sous a u line´a n´ıch o nic, k e ou pˇ ep´ıˇseme do a u (A−λE) = 0.
Sous a a m´a nenulo ´e ˇ eˇsen´ı, pokud ma ice sous a y je singul´a n´ı, j. λje koˇ enem
cha ak e is ick´eho polynomu P(λ) = (−1)nde (A−λE).
Cha ak e is ick´y polynom
Jak´y ypad´a cha ak e is ick´y polynom e yˇsˇs´ı dimenzi? V pˇ ´ıpadˇe n= 3 dos aneme
P(λ) = −
a11 −λ a12 a13
a21 a22 −λ a23
a31 a32 a33 −λ
=λ3−T (A)λ2+ I2(A)λ−de (A),
kde T (A) = a11 +a22 +a33 je s opa ma ice a de (A) de e minan ma ice A. V´y az I2(A)
je z . d uh´y in a ian ma ice A, je o souˇce hla n´ıch subde e minan ˚u ˇ ´adu 2,
I2(A) = 
a11 a12
a21 a22 
+
a11 a13
a31 a33 
+
a22 a23
a32 a33 
.
Hla n´ı subde e minan y jsou y subde e minan y, k e ´e jsou syme ick´e zhledem ke
hla n´ı diagon´ale . Podle ´e o definice s opa ma ice je souˇce p n´ıch hla n´ıch subde e -
minan ˚u ˇ ´adu jedna, edy T (A)=I1(A) = a11 +a22 +a33. Tak´e de e minan ma ice je
jedin´y subde e minan ˇ ´adu ˇ i, j. de (A) = I3(A) . M˚uˇzeme p o o ps´a
P(λ) = λ3−I1(A)λ2+ I2(A)λ−I3(A).
Souˇce hla n´ıch subde e minan ˚u ˇ ´adu kma ice A,k= 1,2, . . . , n se naz´y ´a k- ´y
in a ian ma ice A, oznaˇcme ho symbolem Ik(A). Pomoc´ı oho o oznaˇcen´ı m˚uˇzeme cha-
ak e is ick´y polynom P(λ) = (−1)4de (A−λE) ma ice ˇc ´eho ˇ ´adu zapsa e a u
P(λ) = λ4−I1(A)λ3+ I2(A)λ2−I3(A)λ+ I4(A)
a obecnˇe cha ak e is ick´y polynom P(λ) = (−1)nde (A−λE) ma ice ˇ ´adu n
P(λ) = λn+
n
∑
k=1
(−1)kIkλn−k=λn−I1(A)λn−1+···+(−1)n−1In−1(A)λ+(−1)nIn(A).
Eule o a me oda — jednoduch´e e´aln´e koˇ eny
V om o pˇ ´ıpadˇe pos upujeme jako u sous a y d ou o nic: p o jedno li ´e koˇ eny
λinap´ıˇseme pˇ ´ısluˇsn´e ma ice sous a line´a n´ıch o nic (A−λiE) i= 0, po ˇ ´adko ´ych
´up a ´ach z ol´ıme nenulo ´e ek o y ia nap´ıˇseme ˇ eˇsen´ı ui(x).
Pˇ
´
ıklad 3.10 Eule o ou me odou u ˇce e obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y
y′
1(x)=3y1(x)−y2(x) + y3(x),
y′
2(x) = y1(x) + y2(x) + y3(x),
y′
3(x)=4y1(x)−y2(x)+4y3(x).
39
ˇ
Reˇsen´ı: Ma ice sous a y je


3−1 1
1 1 1
4−1 4 
.
Spoˇc´ı ejme cha ak e is ick´y polynom. S opa T (A) = 3 + 1 + 4 = 8, d uh´y in a ian
I2(A) = 
3−1
1 1 
+
3 1
4 4 
+
1 1
−1 4 
= 4 + 8 + 5 = 17 ,
de e minan ma ice Apodle Sa uso a p a idla de (A) = 12 −1−4−4 + 3 + 4 = 10 .
Z´ıskali jsme cha ak e is ick´y polynom P(λ) = λ3−8λ2+ 17 λ−10. Obecnˇe nen´ı snadn´e
naj´ı koˇ eny polynomu ˇ e ´ıho a yˇsˇs´ıch s upˇn˚u, om o pˇ ´ıpadˇe si ˇsimneme, ˇze souˇce
koeficien ˚u 1 −8 + 17 −10 = 0, p o o λ1= 1 je jedn´ım z koˇ en˚u. Dˇelen´ım polynom˚u
(λ3−8λ2+ 17 λ−10) : (λ−1) = λ2−7λ+ 10
z´ısk´ame k ad a ick´y polynom, jehoˇz koˇ eny λ2= 2, λ3= 5 snadno dopoˇc´ı ´ame zo cem.
Polynom P(λ) m´a p o o ˇ i jednoduch´e koˇ eny λ1= 1, λ2= 2, λ3= 5.
P o jedno li ´a λinap´ıˇseme ma ici sous a y (A−λiE), ˇ ´adko ´ymi ´up a ami ji up a-
´ıme a u ˇc´ıme las n´ı ek o y:
λ1= 1 : 

2−1 1
1 0 1
4−1 3 

/− 2
/−3 2∼

1−1 0
1 0 1
1−1 0 
∼

1−1 0
1 0 1
0 0 0 
,
odkud z o nic 1− 2= 0 , 1+ 3= 0 plyne 2= 1, 3=− 1, z ol´ıme-li 1= 1,
m´ame 1= (1,1,−1)T. S ejn´ym zp˚usobem u ˇc´ıme ek o 2:
λ2= 2 : 

1−1 1
1−1 1
4−1 2 
/− 1
/− 1∼

1−1 1
0 0 0
3 0 1 

/− 3
∼
−2−1 0
0 0 0
3 0 1 
,
odkud z o nic −2 1− 2= 0 , 3 1+ 3= 0 plyne 2=−2 1, 3=−3 1, z ol´ıme-li
1= 1, m´ame 2= (1,−2,−3)T. D´ale p o
λ3= 5 : 
−2−1 1
1−4 1
4−1−1

/+ 3
/+ 3∼

2−2 0
5−5 0
4−1−1

/·1/2
/− 1/2∼

1−1 0
0 0 0
3 0 −1
,
odkud z o nic 1− 2= 0 , 3 1− 3= 0 plyne 2= 1, 3= 3 1, z ol´ıme-li 1= 1,
m´ame 3= (1,1,3)T. Obecn´e ˇ eˇsen´ı sous a y je
y(x) = c1

1
1
−1
ex+c2

1
−2
−3
e2x+c3

1
1
3
e5x.
Eule o a me oda — komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny
Pos up je s ejn´y jako pˇ ´ıpadu d ou o nic. D ojice komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u
µ±iνu ˇcuje d ojici komplexnˇe sd uˇzen´ych ek o ˚u , a ´ım ak´e d ojici komplexnˇe
sd uˇzen´ych ˇ eˇsen´ı y1(x) = eµx(cos(νx) + isin(νx), y2(x) = eµx(cos(νx)−isin(νx).
Ob ykl´e kombinace d´a aj´ı e´alnou a imagin´a n´ı ˇc´as : d ˇe e´aln´a nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı
u1(x) = 1
2(y1(x) + y2(x)) ≡Re(y1(x)), u2(x) = 1
2i(y1(x)−y2(x)) ≡Im(y1(x)) .
40
Eule o a me oda — n´asobn´e koˇ eny
V pˇ ´ıpadˇe d ojn´asobn´eho e´aln´eho koˇ ene λ0d ou o nic jsme idˇeli, ˇze a ˇ eˇsen´ı
z´a is´ı na hodnos i ma ice A−λ0E. Lze dok´aza , ˇze p o sous a u n o nic pˇ ´ıpadˇe
hodnos i h(A−λ0E) = n−2 ak´e exis uj´ı d a nez´a isl´e las n´ı ek o y 1, 2 yho uj´ıc´ı
sous a ˇe (A−λ0E) = 0, k e ´e d´a aj´ı d ˇe ˇ eˇsen´ı u1(x) = 1eλ0x,u2(x) = 2eλ0x.
V pˇ ´ıpadˇe h(A−λ0E) = n−1 exis uje pouze jeden nenulo ´y ek o splˇnuj´ıc´ı
(A−λ0E) =0, k e ´y d´a ´a ˇ eˇsen´ı u1= eλ0x. S ejnˇe jako pˇ ´ıpadˇe d ou o nic,
d uh´ym ˇ eˇsen´ım je unkce u2= xeλ0x+weλ0x, kde wje libo oln´y ek o splˇnuj´ıc´ı
(A−λ0E)w= . O ek o ech ,wˇ ´ık´ame, ˇze oˇ ´ı z . ˇ e ˇezec.
T ojn´asobn´y koˇ en λ0pˇ in´aˇs´ı si uaci sloˇzi ˇejˇs´ı. Hodnos ma ice h(A−λ0E) m˚uˇze b´y
n−3, n−2, n−1 . V pˇ ´ıpadˇe h(A−λ0E) = n−3 najdeme ˇ i nez´a isl´e ek o y 1, 2, 3,
k e ´e d´a aj´ı ˇ i nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı u1(x) = 1eλ0x,u2(x) = 2eλ0x,u3(x) = 3eλ0x.
Pokud h(A−λ0E) = n−2, o nice (A−λ0E) = 0 m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇ eˇsen´ı
, k e ´e oˇ ´ı d oj ozmˇe n´y p os o . Vybe me d a nez´a isl´e ek o y e1,e2, k e ´e oˇ ´ı
b´azi oho o p os o u a mohou d´a a d ˇe nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı. Tˇ e ´ı ˇ eˇsen´ı najdeme pomoc´ı
d ou ek o ˚u oˇ ´ıc´ı ˇ e ˇezec ,w. P o oˇze m˚uˇze b´y libo oln´a kombinace e1,e2, budeme
hleda c1, c2, alespoˇn jedno nenulo ´e, p o k e ´e sous a a
(A−λ0E)w=c1e1+c2e2
m´a ˇ eˇsen´ı w. Tˇech o ˇ eˇsen´ı je nekoneˇcnˇe mnoho, oznaˇcme jedno z nich w1a poloˇzme
1=c1e1+c2e2p o nalezen´a c1, c2. Koneˇcnˇe z olme 2jako libo olnou jinou kombinaci
e1,e2nez´a islou na 1. Dos ´a ´ame ak ojici nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı
u1(x) = 1eλ0x,u2(x) = 2eλ0x,u3(x) = 1xeλ0x+w1eλ0x.
Koneˇcnˇe pˇ ´ıpadˇe h(A−λ0E) = n−1 o nice (A−λ0E) = 0 m´a jen jedno nez´a isl´e
ˇ eˇsen´ı . K nˇemu najdeme dalˇs´ı d a ek o y w, w ako ´e, ˇze ,w, w oˇ ´ı ˇ e ˇezec, j.
splˇnuj´ı
(A−λ0E) =0,(A−λ0E)w= ,(A−λ0E) w =w.(3.13)
Vedle u1(x) = eλ0xje ˇ eˇsen´ım u2(x) = xeλ0x+weλ0xjako pˇ ´ıpadˇe d ojn´asobn´eho
koˇ ene. Ukaˇzme, ˇze ˇ e ´ım ˇ eˇsen´ım je u3(x) = 1
2x2eλ0x+wxeλ0x+ w eλ0x.Spoˇc´ı ejme
de i aci ˇ eˇsen´ı u3a dosad’me do o nice y′=Ay:
(xeλ0x+λ0x2
2eλ0x)+w
(eλ0x+λ0xeλ0x)+ w λ0eλ0x=A( x2
2eλ0x+wxeλ0x+ w eλ0x).
Po o n´an´ım koeficien ˚u ˇclen˚u 1
2x2eλ0xdos ´a ´ame λ0 =A , koeficien y ´y azu xeλ0x
d´a aj´ı +λ0w=Aw a zb´y aj´ıc´ı koeficien y eλ0xmaj´ı splˇno a w+λ0 w =A w. Vˇsechny
ˇ i o nos i pla ´ı d´ıky omu, ˇze ,w, w splˇnuj´ı o nice (3.11) . T ojici nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı
ak oˇ ´ı unkce
u1(x) = eλ0x,u2(x) = xeλ0x+weλ0x,u3(x) = 1
2x2eλ0x+wxeλ0x+ w eλ0x,
kde ek o y ,w, w oˇ ´ı ˇ e ˇezec, j. splˇnuj´ı o nice (3.11).
V pˇ ´ıpadˇe ˇc yˇ n´asobn´eho koˇ ene cha ak e is ick´eho polynomu P(λ) je si uace jeˇs ˇe
ozmani ˇejˇs´ı. Hodnos ma ice A−λ0Em˚uˇze nab´y a hodno y od n−4 po n−1.
41
Iδp o kaˇzd´e δ≤a. Nu no jeˇs ˇe zajis i , aby hodno y unkce T(y)(x) leˇzely in e alu
⟨y0−b, y0+b⟩. P o oˇze absolu n´ı hodno y unkce (x, y) jsou omezen´e kons an ou M,
ozd´ıl |T(y)(x)−y0|m˚uˇzeme odhadnou jak p o x < x0 ak p o x > x0:
|T(y)(x)−y0|=∫x
x0
( , y( )) d ≤∫x
x0| ( , y( ))|d ≤ |x−x0|M≤δ M .
Pokud δ≤b/M po om p o x∈Iδpla ´ı |(T(y))(x)−y0| ≤ b, a edy zob azen´ı Tzob azuje
me ick´y p os o Pdo sebe.
(b) Zob azen´ı Tje kon ak i n´ı, pokud pla ´ı ρ(T(y1),T(y2)) ≤c ρ(y1, y2) p o nˇejak´e
0< c < 1 a ˇsechna y1, y2. Vyuˇzijeme pˇ edpokladu, ˇze unkce (x, y) je lipschi zo sk´a
p omˇenn´e yna obd´eln´ıku Q, j. ˇze exis uje kons an a L > 0 ako ´a, ˇze
| (x, y1)− (x, y2)| ≤ L|y1−y2| ∀(x, y1),(x, y2)∈Q . (4.4)
P o libo oln´e unkce y1(x), y2(x)∈P,x∈Iδ(x≤x0nebo x≥x0) po om pla ´ı
|T(y1)(x)−T(y2)(x)|=
y0+∫x
x0
( , y1( )) d −y0−∫x
x0
( , y2( )) d ≤
≤∫x
x0| ( , y1( )) − ( , y2( ))|d ≤ |x−x0|·L·max
x∈Iδ|y1(x)−y2(x)|.
Jes liˇze z ol´ıme δ≤c/L, po om p o kaˇzd´e y1, y2∈Ppla ´ı
max
x∈Iδ|(T(y1))(x)−(T(y2))(x)| ≤ c·max
x∈Iδ|y1(x)−y2(x)|,
coˇz je podm´ınka kon ak i nos i zob azen´ı T.
Uk´azali jsme, ˇze p o δ= min {a, b/M, c/L}zob azen´ı T ´upln´em me ick´em p os o u
(P, ρ) splˇnuje pˇ edpoklady Banacho y ˇe y 4.3, a p o o m´a pe n´y bod y∗=T(y∗), k e ´y
je hledan´ym ˇ eˇsen´ım poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy (4.1). 2
Pˇ ipomeˇnme jeˇs ˇe kons ukci pˇ ibliˇzn´ych ˇ eˇsen´ı yn, k e ´a je souˇc´as ´ı d˚ukazu Banacho y
ˇe y, u o kons ukci lze yuˇz´ı k ´ypoˇc u ˇ eˇsen´ı.
Za poˇc´a eˇcn´ı ap oximaci y0(x) z ol´ıme kons an n´ı unkci o nu s ejnˇe oznaˇcen´e hod-
no ˇe poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky y0. Dalˇs´ı hodno y z´ısk´ame i e acemi
y1=T(y0),
y2=T(y1) = T(T(y0)) ≡T2(y0),
y3=T(y2) = T(T2(y0)) ≡T3(y0),
.
.
..
.
.
yn+1 =T(yn) = T(Tn(y0)) ≡Tn+1(y0).
.
.
..
.
.
(4.5)
Kon e gence ak o ses ojen´e posloupnos i {yn}a sku eˇcnos , ˇze limi a y∗je pe n´ym
bodem, je zah nu a d˚ukazu Banacho y ˇe y.
48

Pozn´
amky 4.4
(a) Pokud unkce (x, y) m´a omezenou pa ci´aln´ı de i aci podle y kon exn´ım okol´ı,
po om unkce (x, y) je lipschi zo sk´a y. Sku eˇcnˇe, podle ˇe y o s ˇ edn´ı hodno ˇe
(x, y1)− (x, y2) = ∂
∂y (x, ξ)(y1−y2)
p o nˇejak´e ξz in e alu (y1, y2) nebo (y2, y1). P o o se ˇcas o podm´ınka lipschi zo -
skos i p omˇenn´e ynah azuje silnˇejˇs´ım pˇ edpokladem spoji os i pa ci´aln´ı de i ace
unkce (x, y) podle y, p o oˇze z n´ı uˇz plyne omezenos ´e o pa ci´aln´ı de i ace a
´ım i lipschi zo skos unkce (x, y) p omˇenn´e y. Z ˇe y plyne exis ence ˇ eˇsen´ı jen
nˇejak´em okol´ı bodu (x0, y0), p o o s aˇc´ı pouze lok´aln´ı lipschi zo skos .
(b) Vˇe a dokazuje exis enci ˇ eˇsen´ı pouze in e alu I. Pokud k ajn´ım bodˇe in e alu
jsou pˇ edpoklady opˇe splnˇeny, exis uje ˇ eˇsen´ı i om o bodˇe. D´ıky jednoznaˇcnos i
obˇe ˇ eˇsen´ı m˚uˇzeme na ´aza . Pokud jsou pˇ edpoklady splnˇeny kaˇzd´em bodˇe oblas i
G, lze ˇ eˇsen´ı p o aho a na maxim´aln´ı in e al, dokud g a ˇ eˇsen´ı z˚us ´a ´a G.
D˚ukaz Peano y ˇe y je zaloˇzen na n´asleduj´ıc´ım zen´ı, iz napˇ . [10], s . 610:
Vˇ
e a 4.5 A zel`
ao a-Ascoliho ˇ
e a
Nech
’{yn(x)}∞
n=1 je posloupnos unkc´ı na omezen´em in e alu I, k e ´e jsou:
(a) s ejnˇe omezen´e, j. exis uje M > 0, ˇze p o kaˇzd´e x∈Ia kaˇzd´e n∈Npla ´ı
|yn(x)| ≤ M, ∀x∈I , ∀n∈N,
(b) s ejnˇe spoji ´e, j. p o kaˇzd´e ε > 0 exis uje δ > 0, ˇze p o kaˇzd´e x1, x2∈I,n∈N
|x1−x2|< δ =⇒ |yn(x1)−yn(x2)|< ε .
Po om posloupnos {yn(x)}obsahuje podposloupnos {yn′(x)}, k e ´a kon e guje s ej-
nomˇe nˇe na cel´em in e alu Ik nˇejak´e spoji ´e unkci y∗(x).
Pozn´
amky 4.6 Pojem s ejn´e omezenos i i s ejn´e spoji os i m´a smysl jenom p o posloup-
nos unkc´ı. Pˇ edpoklad, ˇze unkce jsou s ejnˇe omezen´e znamen´a, ˇze ˇsechny unkce jsou
omezeny s ejnou kons an ou M > 0 nez´a islou na n.
V definici s ejn´e spoji os i ( ak´e z an´e o nomocn´e spoji os i) se p o kaˇzd´e ε > 0
yˇzaduje δ > 0 uni e z´aln´ı p o ˇsechny unkce yn(x), j. kons an a δz´a is´ı pouze na ε
a nez´a is´ı na ˇz´adn´e z eliˇcin n,x1, x2. Pˇ i s ejnomˇe n´e spoji os i m˚uˇze b´y δp o kaˇzdou
unkci yn(x) jin´e a (obyˇcejn´e) spoji os i se δm˚uˇze mˇeni i s p omˇennou x1.
Idea d˚ukazu Peano y ˇe y.
Ses oj´ıme posloupnos pˇ ibliˇzn´ych ˇ eˇsen´ı yn(x) poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy (4.1) na in e alu
I=⟨x0, x0+a⟩. Dok´aˇzeme, ˇze a o posloupnos splˇnuje pˇ edpoklady A zel`ao y-Ascoliho
ˇe y. Podle ´e o ˇe y posloupnos {yn(x)}obsahuje podposloupnos {yn′(x)} ⊂ {yn(x)},
k e ´a kon e guje s ejnomˇe nˇe na in e alu Ik nˇejak´e unkci y∗(x). Uk´aˇzeme, ˇze a o limi a
y∗(x) je ˇ eˇsen´ım ´ulohy (4.1).
49
Podobnˇe jako pˇ edchoz´ım d˚ukazu yuˇzijeme sku eˇcnos i, ˇze unkce y(x) je ˇ eˇsen´ı
poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy (4.1) jes liˇze pla ´ı
y(x) = y0+∫x
x0
( , y( )) d . (4.6)
Ten o z ah je implici n´ı, obsahuje nezn´amou y(x) na obou s an´ach, nelze ho p o o yuˇz´ı
p o definici ˇ eˇsen´ı y(x). P o δ∈(0, a) za edeme unkci yδ(x) se ”zpoˇzdˇen´ım“ δ, j.
yδ(x) = {y0p o x∈ ⟨x0, x0+δ⟩,
y0+∫x−δ
x0 ( , yδ( )) d p o x∈(x0+δ, a⟩.(4.7)
Funkce yδ(x) je defino an´a na cel´em in e alu ⟨x0, x0+a⟩. Sku eˇcnˇe, p o x∈ ⟨x0, x0+δ⟩
pla ´ı yδ(x) = y0. Pˇ i ´ypoˇc u unkce yδ(x) bodech x > x0+δ unkci ( , yδ( )) in eg u-
jeme od x0jen po x−δ, j. na in e alu, kde uˇz je yδ(x) u ˇcena.
Posloupnos {yn(x)}pˇ ibliˇzn´ych ˇ eˇsen´ı z´ısk´ame ´ım, ˇze e z ahu (4.7) ol´ıme po-
sloupnos zmenˇsuj´ıc´ıch se zpoˇzdˇen´ı δ= 1/n:
yn(x)≡y1
n(x) = {y0p o x∈ ⟨x0, x0+1
n⟩,
y0+∫x−1/n
x0 ( , yn( )) d p o x > x0+1
n.(4.8)
Po ˇ eba o ˇeˇ i , ˇze pˇ edpoklady A zel`ao y-Ascoliho ˇe y jsou splnˇeny. P o x < x0+1
n
je yn(x) kons an n´ı. P o oˇze unkce (x, y) je spoji ´a, okol´ı (x0, y0) je omezen´a, j.
| (x, y)| ≤ Ma p o x > x0+1
npla ´ı
|yn(x)| ≤ |y0|+∫x−1/n
x0
( , yn( )) d ≤ |y0|+ (x−x0)M≤ |y0|+a M.
Ten o odhad d´a ´a, ˇze unkce yn(x) jsou s ejnˇe omezen´e na in e alu ⟨x0, x0+a⟩.
O ˇeˇ me jeˇs ˇe, ˇze unkce jsou s ejnˇe spoji ´e. P o x1> x0+1
n,x2> x0+1
npla ´ı odhad
|yn(x2)−yn(x1)|=∫x2−1/n
x1−1/n
( , yn( )) d ≤M|x2−x1|,
z k e ´eho plyne s ejn´a spoji os unkc´ı yn(y), s aˇc´ı p o ε > 0 poloˇzi δ=ε/M. Odhad
pla ´ı i pˇ ´ıpadˇe, kdy x1nebo x2je menˇs´ı neˇz x0+1
n.
Podle A zel`ao y-Ascoliho ˇe y edy exis uje yb an´a podposloupnos {yn′(x)}, k e ´a
s ejnomˇe nˇe kon e guje ke spoji ´e unkci y∗(x). Koneˇcnˇe p o oˇze unkce yn(x) jsou s ejnˇe
spoji ´e, p o jejich limi u y∗(x) z (4.8) plyne (4.6), y∗(x) je edy ˇ eˇsen´ım.
Analogick´ym pos upem lze dok´aza exis enci ˇ eˇsen´ı i le ´em okol´ı bodu x0.2
Pozn´
amka 4.7 Poznamenejme, ˇze e zen´ı A z`elo y-Ascoliho ˇe y nen´ı jednoznaˇcnos
limi y y∗(x) yb an´e podposloupnos i {yn′(x)}. R˚uzn´e podposloupnos i {yn′(x)}mohou
kon e go a k ˚uzn´ym limi ´am, a p o o ˇ eˇsen´ı y∗(x) nen´ı u ˇceno jednoznaˇcnˇe.
50
Sous a a o nic p n´ıho ˇ ´adu (SODR1)
Poˇc´a eˇcn´ı ´ulohu p o sous a u (obecnˇe neline´a n´ıch) o nic p n´ıho ˇ ´adu lze pomoc´ı
ek o o ´e symboliky zapsa e a u
y′= (x, y),y(x0) = γγγγγ , (4.9)
kde ≡( 1, . . . , n) : I×Rn→Rnaγγγγγ = (γ1, . . . , γn)∈Rn.ˇ
Reˇsen´ım sous a y na
in e alu I⊂Rje po om ek o o ´a unkce y≡(y1, . . . , yn) : I→Rn ako ´a, ˇze kaˇzd´e
yi∈C1(I) a o nos i (4.9) pla ´ı p o ˇsechna x∈I.
Ta o ´uloha je o mulo ´ana podobnˇe jako ´uloha (4.1). O jej´ı ˇ eˇsi elnos i pla ´ı ˇe y
analogick´e ˇe ´am Peano ˇe a Pica do ˇe:
Vˇ
e a 4.8 (o exis enci a jednoznaˇ
cnos i ˇ
eˇ
sen´
ı)
Nech
’kaˇzd´a sloˇzka i(x, y1, . . . , yn) ek o o ´e unkce (x, y) je spoji ´a okol´ı bodu
(x0, γγγγγ). Po om exis uje ˇ eˇsen´ı ´ulohy (4.9) okol´ı x0.
Nech
’kaˇzd´a sloˇzka i(x, y1, . . . , yn) ek o o ´e unkce (x, y) je na ´ıc i lipschi zo sk´a
p omˇenn´ych y1, . . . , yn okol´ı (x0, γ1, . . . , γn). Po om ˇ eˇsen´ı y(x) ´ulohy (4.9) je u ˇceno
jednoznaˇcnˇe.
D˚ukaz ˇe y Pica do y (i Peano y) lze snadno zobecni p o pˇ ´ıpad sous a y o nic. Vek-
o o ´a unkce y(x)≡(y1(x), . . . , yn(x))Tje ˇ eˇsen´ım ´ulohy (4.9), p ´a ˇe kdyˇz p o ˇsechna
x∈Ipla ´ı o nos y(x) = γγγγγ +∫x
x0 ( , y( )) d , j.
yi(x) = γi+∫x
x0
i( , y1( ), . . . , yn( )) d , i = 1,2,...,n. (4.10)
Opˇe yuˇzijeme Banacho u ˇe u o pe n´em bodu kon ak i n´ıho zob azen´ı.
Bud’okol´ı Q=⟨x0−a, x0+a⟩×⟨γ1−b, γ1+b⟩×···×⟨γn−b, γn+b⟩bodu (x0, γγγγγ)
obsaˇzeno definiˇcn´ım obo u G⊂Rn+1 unkc´ı i(x, y).
Za me ick´y p os o P ezmeme p os o ek o o ´ych unkc´ı spoji ´ych na in e alu
Iδ=⟨x0−δ, x0+δ⟩a leˇz´ıc´ıch Q:
P={y= (y1, . . . , yn)yi∈C(Iδ),|yi(x)−γi| ≤ bp o i= 1, . . . , n},
pˇ iˇcemˇz hodno u δ∈(0, a⟩u ˇc´ıme pozdˇeji. Na om o p os o u definujeme me iku
ρ(y,z) = max
imax
x|yi(x)−zi(x)|.
Z olen´y me ick´y p os o je dan´e me ice ´upln´y. D´ale pos upujeme analogicky:
(a) pomoc´ı (4.10) definujeme ope ´a o T, jehoˇz pe n´y bod je ˇ eˇsen´ım (4.9),
(b) uk´aˇzeme, ˇze p o mal´a δope ´a o zob azuje me ick´y p os o Pdo sebe
(c) a p o mal´a δzob azen´ı Tje kon ak i n´ı.
Po om z Banacho y ˇe y uˇz plyne exis ence jedin´eho pe n´eho bodu a ´ım i exis ence
a jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı naˇs´ı ´ulohy. Tak´e d˚ukaz Peano y ˇe y z o nice p n´ıho ˇ ´adu lze
ozˇs´ıˇ i na sous a u o nic p n´ıho ˇ ´adu.
51
Ro nice yˇsˇs´ıho ˇ ´adu (ODRn)
Poˇc´a eˇcn´ı ´ulohu p o o nici n- ´eho ˇ ´adu zapisujeme e a u
y(n)= (x, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)), y(k)(x0) = γkk= 0,1, . . . , n −1.(4.11)
Pˇ ipomeˇnme, ˇze unkce y(x) je ˇ eˇsen´ım ´ulohy (4.11) na in e alu I, jes liˇze y∈Cn(I),
jsou splnˇeny podm´ınky y(k)(x0) = γkp o k= 0,1, . . . , n −1 a o nos
y(n)= (x, y(x), y′(x), . . . , y(n−1)(x)) pla ´ı na cel´em in e alu I.
O exis enci a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı ´e o ´ulohy ypo ´ıd´a n´asleduj´ıc´ı ˇe a:
Vˇ
e a 4.9 (o exis enci a jednoznaˇ
cnos i ˇ
eˇ
sen´
ı)
Nech
’ unkce (x, ξ0, ξ1, . . . , ξn−1) je spoji ´a okol´ı bodu (x0, γ0, γ1, . . . , γn−1).
Po om exis uje ˇ eˇsen´ı ´ulohy (4.11) okol´ı bodu x0.
D´ale nech
’ (x, ξ0, ξ1, . . . , ξn−1) je na ´ıc lipschi zo sk´a p omˇenn´ych ξ0, ξ1, . . . , ξn−1
okol´ı bodu (x0, γ0, γ1, . . . , γn−1).
Po om ˇ eˇsen´ı y(x) ´ulohy (4.11) je jednoznaˇcn´e.
D˚ukaz. ´
Ulohu (4.11) pˇ e edeme na ´ulohu (4.9) a yuˇzijeme Vˇe u 4.8 o exis enci a jedno-
znaˇcnos i ˇ eˇsen´ı sous a y o nic p n´ıho ˇ ´adu.
Pomoc´ı ans o mace
y1:= y , y2:= y′, y3:= y′′ , . . . , yn:= y(n−1)
´uloha (4.11) pˇ ejde na sous a u n o nic p n´ıho ˇ ´adu
y′
1=y2, y1(x0) = γ0,
y′
2=y3, y2(x0) = γ1,
.
.
..
.
..
.
..
.
.
y′
n−1=yn, yn−1(x0) = γn−2,
y′
n= (x, y1, y2, . . . , yn), yn(x0) = γn−1.
(4.12)
Podle pˇ edpokladu je kaˇzd´a z unkc´ı p a ´e s any oho o sys ´emu spoji ´a, pˇ ´ıpadnˇe i
lipschi zo sk´a ξ0, ξ1, . . . , ξn−1. P o o podle Vˇe y 4.8 o exis enci a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı
sous a exis uje jedin´e ˇ eˇsen´ı y(x)=(y1(x), . . . , yn(x)) sous a y (4.12), yho uj´ıc´ı u e-
den´ym poˇc´a eˇcn´ım podm´ınk´am. P n´ı sloˇzka y1(x) oho o ˇ eˇsen´ı je souˇcasnˇe hledan´ym
ˇ eˇsen´ım ´ulohy (4.11). 2
52
5. Ok ajo ´e ´ulohy
Za ´ım jsme se zab´y ali poˇc´a eˇcn´ımi ´ulohami. Ro nice n- ´eho ˇ ´adu nebo sous a a n
o nic p n´ıho ˇ ´adu byla doplnˇena npodm´ınkami jednom bodˇe x0. Di e enci´aln´ımi
o nicemi ob ykle modelujeme si uace z echnick´e p axe. Ro nice, e k e ´ych nez´a isl´a
p omˇenn´a xm´a ´yznam ˇcasu, ob ykle edou na poˇc´a eˇcn´ı ´ulohu — p o modelo ´an´ı si uace
ˇcase x > x0 o nici mus´ıme doplni in o macemi o s a u ˇcase x0, z k e ´eho ych´az´ıme.
V echnick´e p axi se ˇsak ysky uj´ı i si uace, k e ´e edou na z . ok ajo ´e ´ulohy. Jako
pˇ ´ıklad u ed’me de o maci nosn´ıku. Pˇ i de o maci nosn´ıku p ˚uhyb popisuje p omˇenn´a
y(x), pˇ iˇcemˇz xp ob´ıh´a in e al I=⟨a, b⟩– p omˇenn´a xzde m´a ´yznam p os o o ´e
souˇ adnice. Ro nici, k e ou u aˇzujeme u ni ˇ in e alu I, mus´ıme doplni in o mac´ı o si-
uaci na konc´ıch nosn´ıku, j. bodech a, b. V pˇ ´ıpadˇe o nice nosn´ıku, k e ´a je ˇc ´eho
ˇ ´adu, o nici dopln´ıme ˇc yˇ mi podm´ınkami: d ˇemi bodˇe a, d ˇemi bodˇe b.
Poˇc´a eˇcn´ı a ok ajo ´e ´ulohy
U poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy m´a smysl zad´a a de i ace jednom bodˇe; kaˇzd´a ” ozumn´a“ sou-
s a a nez´a isl´ych npodm´ınek p o hodno y de i ac´ı nul ´eho aˇz n-1 ˇ ´adu y o hodno y
u ˇcuje. V pˇ ´ıpadˇe ok ajo ´ych ´uloh je nu n´e zad´a a hodno y a de i ace nezn´am´e unkce
obou konco ´ych bodech. Smysl m´a ak´e zad´a a podm´ınky e a u kombinace hodno
a de i ac´ı: napˇ ´ıklad u(a) + u′(a) = A.
Na ozd´ıl od poˇc´a eˇcn´ıch ´uloh, e k e ´ych je pods a ˇe jedin´a moˇznos , jak zada
poˇc´a eˇcn´ı podm´ınky jednom bodˇe, pˇ ´ıpadˇe ok ajo ´ych ´uloh lze edy zada ok ajo ´e
podm´ınky mnoha ˚uzn´ymi zp˚usoby.
Z hlediska zkoum´an´ı exis ence a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı jsou ok ajo ´e ´ulohy ob ´ıˇznˇejˇs´ı:
za ´ımco poˇc´a eˇcn´ı ´uloha p o ” ozumnou“ unkci (x, y) m´a ˇ eˇsen´ı p o libo oln´e poˇc´a eˇcn´ı
podm´ınky, pˇ ´ıpadˇe ok ajo ´e ´ulohy ´uloha m˚uˇze m´ı p o nˇek e ´e hodno y ok ajo ´ych
podm´ınek p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı, za ´ımco p o jin´e nem´a ˇz´adn´e ˇ eˇsen´ı, nebo jich m´a nekoneˇcnˇe
mnoho. Jako pˇ ´ıklad u ed’me jednoduchou line´a n´ı o nici
Pˇ
´
ıklad 5.1 y′′ +y= 0 , y(a) = A , y(b) = B.
ˇ
Reˇsen´ı: Obecn´e ˇ eˇsen´ı m´a a y(x) = c1cos x+c2sin x. Poloˇz´ıme-li a= 0, A= 0, ˇ eˇsen´ı
m´a a y(x) = c2sin x. Pokud bnen´ı n´asobkem π, p o libo oln´e Bnajdeme p ´a ˇe jedno
ˇ eˇsen´ı. Pokud ˇsak b=πaB= 0, podm´ınku y(π)≡c2sin π=Bnelze splni ˇz´adnou
olbou c2– ˇ eˇsen´ı edy neexis uje. Koneˇcnˇe je-li b=π,B= 0, podm´ınka je splnˇena p o
kaˇzd´e c2– ˇ eˇsen´ı je nekoneˇcnˇe mnoho. 2
Ok ajo ´e ´ulohy jsou sloˇzi ˇejˇs´ı ak´e z hlediska nume ick´eho ´ypoˇc u. V pˇ ´ıpadˇe poˇc´a eˇc-
n´ı ´ulohy, poˇc´a eˇcn´ı podm´ınka u ˇcuje hodno u ˇ eˇsen´ı x0a hodno y dalˇs´ıch bodech xi
pos upnˇe dopoˇc´ı ´a ´ame; ´uloha je lok´aln´ı, m˚uˇzeme kdykoli skonˇci . V pˇ ´ıpadˇe ok ajo ´e
´ulohy o nici disk e izujeme pomoc´ı dˇelen´ı a=x0< x1<··· < xn=b. Dos ´a ´ame ak
sous a u o nic p o nezn´am´e y0, y1, . . . , yn, pˇ iˇcemˇz yi∼y(xi). ˇ
Reˇsen´ı yidos aneme aˇz
po yˇ eˇsen´ı cel´e sous a y, ok ajo ´a ´uloha je om o smyslu glob´aln´ı.
Ok ajo ´a ´uloha p o o nici d uh´eho ˇ ´adu
Budeme se zab´y a o nic´ı d uh´eho ˇ ´adu
y′′ = (x, y, y′) (5.1)
na in e alu (a, b) se spoji ou unkc´ı (x, ξ, η).
53

R˚uzn´e ypy ok ajo ´ych podm´ınek
Ro nici (5.1) mus´ıme doplni d ˇemi podm´ınkami; po jedn´e konco ´ych bodech x=a
ax=b. V konco ´em bodˇe x=bm˚uˇzeme pˇ edepsa :
(a) Di ichle o u ok ajo ou podm´ınku: hodno u y(b) = B,
(b) Neumanno u ok ajo ou podm´ınku: de i aci y′(b) = B,
(c) nebo jejich kombinaci Robino u ok ajo ou podm´ınku:y′(b) + k y(b) = B, k e ´e
se ˇ ´ık´a ak´e New ono a ok ajo ´a podm´ınka.
B
b x
Ob . 15: Di ichle o a ok ajo ´a
podm´ınka y(b) = B.
b x
Ob . 16: Neumanno a ok ajo ´a
podm´ınka y′(b) = 1
2.
B
b x
Ob . 17: Robino a ok ajo ´a
podm´ınka y′(b) + k u(b) = B.
Analogick´e podm´ınky m˚uˇzeme pˇ edepsa konco ´em bodˇe x=a. P o oˇze de i aci
konco ´em bodˇe be eme e smˇe u nˇejˇs´ı no m´aly, j. en z in e alu I, le ´em konco ´em
bodˇe ap´ıˇseme de i aci se z´apo n´ym znam´enkem, napˇ . −y′(a) + k y(a) = A.
Fyzik´aln´ı ´yznam podm´ınek
Pokud nezn´am´a y(x) m´a ´yznam eplo y o nici p o us ´alen´e eden´ı epla yˇci
⟨a, b⟩, po om podm´ınka y(b) = Bm´a ´yznam pˇ edepsan´e eplo y B, napˇ ´ıklad y(b)=0
dos´ahneme ponoˇ en´ım konce bdo n´adoby se smˇes´ı ody a ledu. Podm´ınka y′(b) = g
znamen´a pˇ edepsan´y epeln´y ok g en konci b, napˇ ´ıklad y′(b) = 0 znamen´a, ˇze koncem
yˇce bnep och´az´ı ˇz´adn´e eplo, coˇz nas ´a ´a pˇ ´ıpadˇe izolo an´eho konce yˇce. Robino a
podm´ınka y′(b) = −k(y(b)−B) popisuje si uaci, kdy epeln´y ok w=−k uxz´a is´ı na
ozd´ılu eplo y u(b) a eplo y Bokol´ı konce yˇce b.
Tak´e e d uh´em konco ´em bodˇe apˇ edep´ıˇseme jednu podm´ınku z u eden´ych yp˚u.
Pozo na znam´enko. Pˇ iloˇz´ıme-li k le ´emu konci a yˇce epeln´y zd oj o ´ykonu g > 0,
podm´ınka bude y′(a) = −A, pˇ iloˇz´ıme-li zd oj o ´ykonu gk p a ´em konci b yˇce podm´ınka
bude y′(b) = B, jes liˇze epeln´a odi os je k= 1.
Pokud na obou konc´ıch poˇzadujeme Di ichle o u (Neumanno u, Robino u) podm´ınku,
mlu ´ıme o Di ichle o ˇe (Neumanno ˇe,Robino ˇe) ´uloze. Pokud na obou konc´ıch pˇ edep´ı-
ˇseme ˚uzn´e ypy podm´ınek, napˇ ´ıklad y(a) = A,y′(b) = g, mlu ´ıme o sm´ıˇsen´e ´uloze.
Vˇsechny ˇ i u eden´e ypy podm´ınek lze zapsa e a u
−αay′(a) + βay(a) = A , αby′(b) + βby(b) = B , (5.2)
pˇ iˇcemˇz nez´apo n´e koeficien y αa, βaa ak´e αb, βbnesmˇej´ı b´y souˇcasnˇe nulo ´e, coˇz lze
zapsa podm´ınkou
|αa|+|βa|>0,|αb|+|βb|>0.(5.3)
Sku eˇcnˇe, olbou αa= 0 , βa= 1 dos ´a ´ame Di ichle o u podm´ınku a olbou αa= 1 ,
βb= 0 Neumanno u podm´ınku na konci aa podobnˇe na konci b.
Obecnˇeji lze u aˇzo a ak´e podm´ınky e a u neline´a n´ı kombinace, jako pˇ ´ıklad
u ed’me (y′(a))2+ (y(a))2= 1, nebo y′(a)y(a) = 1, nebo y′(a) = sin(y(a)).
54
Ok ajo ´a ´uloha p o line´a n´ı o nici
O exis enci a jednoznaˇcnos i ˇ eˇsen´ı ok ajo ´e ´ulohy nelze obecnˇe snadno ozhodnou .
Jak lze oˇcek´a a , nej ´ıce p ozkoum´any jsou o nice line´a n´ı.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı line´a n´ı o nice d uh´eho ˇ ´adu
L(y)(x)≡y′′ +a1(x)y′+a0(x)y= (x) (5.4)
lze zapsa e a u
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + yp(x), c1, c2∈R,(5.5)
kde u1(x), u2(x) jsou d ˇe nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı o nice bez p a ´e s any j. o nice L(y) = 0 a
yp(x) je pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı, j. libo oln´e ˇ eˇsen´ı o nice s p a ou s anou L(y) = (x).
U aˇzujme Di ichle o u ´ulohu, o nici s ok ajo ´ymi podm´ınkami y(a) = Aay(b) = B.
Dosazen´ım obecn´eho ˇ eˇsen´ı do ok ajo ´ych podm´ınek dos ´a ´ame
y(a) = c1u1(a) + c2u2(a) + yp(a) = A ,
y(b) = c1u1(b) + c2u2(b) + yp(b) = B .
Je o sous a a d ou line´a n´ıch o nic p o kons an y c1, c2, k e ou lze zapsa e a u
(u1(a)u2(a)
u1(b)u2(b))(c1
c2)=(A−yp(a)
B−yp(b)).
Pokud ma ice ´e o sous a y je egul´a n´ı, sous a a m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı, jsou o kons an y
c1, c2 obecn´em ˇ eˇsen´ı ok ajo ´e ´ulohy. Jes liˇze ma ice sous a y nen´ı egul´a n´ı, sous a a
a ´ım i ok ajo ´a ´uloha bud’ˇ eˇsen´ı nem´a, nebo m´a ˇ eˇsen´ı nekoneˇcnˇe mnoho.
Tak´e pˇ ´ıpadˇe obecn´ych line´a n´ıch podm´ınek (5.2) dosazen´ı obecn´eho ˇ eˇsen´ı do ˇech o
podm´ınek ede na sous a u line´a n´ıch o nic p o kons an y c1, c2s ma ic´ı sous a y
(−αau′
1(a) + βau1(a)−αau′
2(a) + βau2(a)
αbu′
1(b) + βbu1(b)αbu′
2(b) + βbu2(b)).(5.6)
Opˇe ˇ eˇsi elnos ok ajo ´e ´ulohy z´a is´ı na ´e o ma ici: pokud je egul´a n´ı, exis uj´ı jedin´e
kons an y c1, c2a ok ajo ´a ´uloha m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı p o kaˇzd´e hodno y A, B a libo oln´e
pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı yp(x). Pokud u eden´a ma ice egul´a n´ı nen´ı, p o nˇek e ´a A, B, yp(x)
ok ajo ´a ´uloha m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇ eˇsen´ı, p o os a n´ı A, B, yp(x) ˇ eˇsen´ı neexis uje.
Poznamenejme, ˇze pˇ ´ıpadˇe poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy pˇ ´ısluˇsn´a ma ice sous a y o nic p o
kons an y c1, c2byla W onsk´eho ma ice
W[u1, u2](x0) = (u1(x0)u2(x0)
u′
1(x0)u′
2(x0)),
k e ´a je egul´a n´ı. P o o poˇc´a eˇcn´ı ´uloha m´a ˇzdy p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı.
Ro nice di e gen n´ım a u
V pˇ ´ıpadˇe ok ajo ´ych ´uloh se ˇcas o s uduj´ı line´a n´ı o nice d uh´eho ˇ ´adu zapsan´e
z . di e gen n´ım a u:
−[p(x)y′]′+q(x)y= (x), x ∈(a, b) (5.7)
55
s koeficien y p(x)≥α > 0 , q(x)>0. P o jednoduchos u aˇzujme Di ichle o u ´ulohu,
j. ok ajo ´e podm´ınky y(a) = Aay(b) = B. Lze u aˇzo a i Neumanno y, Robino y
podm´ınky nebo sm´ıˇsenou ´ulohu.
Vyn´asobme o nici z . es o ac´ı unkc´ı ∈C1(a, b) splˇnuj´ıc´ı (a) = 0 , (b)=0
a in eg ujme pˇ es I= (a, b). P n´ı in eg ´al pˇ e edeme pomoc´ı in eg ace pe pa es
−∫I[p y′]′ dx=∫Ip y′ ′dx. Dos ´a ´ame ak iden i u
∫b
a
[p(x)y′(x) ′(x) + q(x)y(x) (x)] dx=∫b
a
(x) (x) dx , (5.8)
k e ´a umoˇzˇnuje za ´es pojem z . zobecnˇen´eho ˇ eˇsen´ı:
De inice 5.2 Funkci y(x) naz eme zobecnˇen´ym ˇ eˇsen´ım ok ajo ´e ´ulohy (5.7), jes liˇze
(a) y(x) m´a in eg o a elnou de i aci,
(b) splˇnuje ok ajo ´e podm´ınky y(a) = A,y(b) = Ba splˇnuje in eg ´aln´ı iden i u (5.8)
p o kaˇzdou unkci (x), k e ´a m´a ak´e in eg o a elnou de i aci a splˇnuje nulo ´e
ok ajo ´e podm´ınky (a) = (b) = 0.
Pomoc´ı ´ysledk˚u unkcion´aln´ı anal´yzy lze dok´aza , ˇze za u eden´ych pˇ edpoklad˚u m´a
u eden´a ok ajo ´a ´uloha p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı.
Fo mulace zobecnˇen´eho ˇ eˇsen´ı Definici 5.2 je z´akladem p o ´ypoˇce pˇ ibliˇzn´eho ˇ eˇsen´ı
o nice (5.7) nej ozˇs´ıˇ enˇejˇs´ı nume ick´e me ody z an´e Me oda koneˇcn´ych p k˚u.
Ok ajo ´a ´uloha p o o nici ˇc ´eho ˇ ´adu
Ro nici ˇc ´eho ˇ ´adu y′′′′ = (x, y, y′, y′′, y′′′) na in e alu (a, b) mus´ıme doplni ˇc yˇ mi
podm´ınkami. Ob ykle zad´a ´ame d ˇe podm´ınky bodˇe x=aa d ˇe bodˇe x=b.
Ty o podm´ınky s azuj´ı hodno y y(x), y′(x), y′′(x), y′′′(x) nezn´am´e unkce y(x) k ajn´ıch
bodech, podm´ınky mohou b´y libo oln´e, mus´ı ˇsak b´y na z´ajem nez´a isl´e.
Jako pˇ ´ıklad u ed’me o nici popisuj´ıc´ı ohyb yˇce a p ˚uhyb nosn´ıku
y′′′′(x) = (x),
e k e ´e nezn´am´a y(x) m´a ´yznam p ˚uhybu, edy posunu ´ı nosn´ıku bodˇe x e smˇe u
kolm´em na nosn´ık, a (x) popisuje za ´ıˇzen´ı nosn´ıku. V konco ´em bodˇe x=bzad´a ´ame
d ˇe z ˇc yˇ n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek
y(b) = B0, y′(b) = B1, y′′(b) = B2, y′′′(b) = B3.
U ed’me ˇc yˇ i z´akladn´ı d ojice podm´ınek a jejich yzik´aln´ı ´yznam:
(a) y(b) = B,y′(b) = 0 – e knu ´y konec: konec se nem˚uˇze posou a kolm´em
smˇe u ani se nem˚uˇze o ´aˇce ,
(b) y(b) = B,y′′(b) = 0 – podepˇ en´y konec: konec se nem˚uˇze posou a ale m˚uˇze se
olnˇe o ´aˇce okolo kloubu, nep˚usob´ı pˇ i om na nˇej ˇz´adn´y o ´aˇcej´ıc´ı momen ,
(c) y′(b) = 0 , y′′′(b) = 0 – konec se nem˚uˇze o ´aˇce , m˚uˇze se ˇsak olnˇe posou a
kolm´em smˇe u, nep˚usob´ı na nˇej ˇz´adn´a z . posou aj´ıc´ı s´ıla. Napˇ ´ıklad ´uloha z ca-
dlo ˇe syme ick´a podle osy x=b ede na y o podm´ınky bodˇe b,
56
(d) y′′(b) = 0 , y′′′(b) = 0 – oln´y konec: konec se m˚uˇze olnˇe posou a i o ´aˇce ,
nep˚usob´ı na nˇej ˇz´adn´a posou aj´ıc´ı s´ıla ani o ´aˇcej´ıc´ı momen .
B
b x
Ob . 18: Pˇ ´ıpad (a).
B
b x
Ob . 19: Pˇ ´ıpad (b).
b x
Ob . 20: Pˇ ´ıpad (c).
b x
Ob . 21: Pˇ ´ıpad (d).
Lze ak´e pˇ edepsa kombinaci podm´ınek, napˇ ´ıklad d ojice podm´ınek y′′′(b)+k y(b) = B,
y′′ = 0 popisuje p uˇzn´e podepˇ en´ı.
Analogick´e podm´ınky pˇ edepisujeme konco ´em bodˇe x=a, jenom lich´e de i ace se
ˇcas o p´ıˇs´ı s opaˇcn´ym znam´enkem, p o oˇze nˇejˇs´ı no m´ala le ´em konci je −1.
ˇ
Reˇsi elnos ok ajo ´e ´ulohy p o line´a n´ı o nici ˇc ´eho ˇ ´adu
V obecn´em pˇ ´ıpadˇe je ob ´ıˇzn´e od odi jednoduch´e podm´ınky za uˇcuj´ıc´ı exis enci a
jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı ok ajo ´e ´ulohy.
U aˇzujme p o o o nici L(y) = (x) s line´a n´ım ope ´a o em ˇc ´eho ˇ ´adu
L(y) = y′′′′)+a3(x)y′′′ +a2(x)y′′ +a1(x)y′+a0(x)y
a spoji ´ymi koeficien y a3(x), a2(x), a1(x), a0(x). Obecn´e ˇ eˇsen´ı ´e o o nice m´a a
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x) + c3u3(x) + c4u4(x) + yp(x)c1, c2, c3, c4∈R,
kde u1(x), u2(x), u3(x), u4(x) je ˇc eˇ ice nez´a isl´ych ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = 0 a yp(x) je
pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı o nice L(y) = (x). Opˇe dosazen´ım obecn´eho ˇ eˇsen´ı do ok ajo ´ych
podm´ınek dos ´a ´ame sous a u o nic p o kons an y c1, c2, c3, c4. Ma ice ´e o sous a y
odpo ´ıd´a W onsk´eho ma ici pˇ ´ıpadˇe poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy. Pokud je egul´a n´ı, sous a a m´a
p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı c1, c2, c3, c4, k e ´e u ˇcuje ˇ eˇsen´ı y(x) zkouman´e ok ajo ´e ´ulohy.
U aˇzujme napˇ ´ıklad ok ajo ´e podm´ınky
y(a) = A0, y′′(a) = A1, y(b) = B0, y′′(b) = B1,
k e ´e popisuj´ı si uaci, kdyˇz oba konce nosn´ıku jsou podepˇ en´e, j. mohou se pe n´em
kloubu olnˇe o ´aˇce . Dosazen´ım obecn´eho ˇ eˇsen´ı do ok ajo ´ych podm´ınek dos ´a ´ame sou-
s a u ˇc yˇ line´a n´ıch o nic p o kons an y c1, c2, c3, c4s ma ic´ı sous a y




u1(a)u2(a)u3(a)u4(a)
u′′
1(a)u′′
2(a)u′′
3(a)u′′
4(a)
u1(b)u2(b)u3(b)u4(b)
u′′
1(b)u′′
2(b)u′′
3(b)u′′
4(b)




.
Pokud je a o ma ice egul´a n´ı, u eden´a ok ajo ´a ´uloha m´a p ´a ˇe jedno ˇ eˇsen´ı p o libo-
oln´e hodno y A0, A1, B0, B1a libo oln´e pa ikul´a n´ı ˇ eˇsen´ı yp(x).
57
P o o bud’jsou ˇsechna ˇ eˇsen´ı s abiln´ı nebo ˇsechna nes abiln´ı. Tak´e jsou bud’ ˇsechna
ˇ eˇsen´ı a ak i n´ı nebo ˇsechna nea ak i n´ı. S abili a a a ak i i a nez´aleˇz´ı na pa i-
kul´a n´ım ˇ eˇsen´ı, z´aleˇz´ı jen na cho ´an´ı ˇ eˇsen´ı ui(x) o nice L(y) = 0.
Pokud jsou ˇsechna ˇ eˇsen´ı u1(x), . . . , un(x) omezen´a, ˇ eˇsen´ı budou s abiln´ı, pokud ale-
spoˇn jedno uk(x) omezen´e nen´ı, ˇ eˇsen´ı budou nes abiln´ı. Podobnˇe, pokud ˇsechna ˇ eˇsen´ı
u1(x), . . . , un(x) kon e guj´ı k nule, ˇ eˇsen´ı jsou a ak i n´ı, opaˇcn´em pˇ ´ıpadˇe ˇ eˇsen´ı a ak-
i n´ı nejsou.
V pˇ ´ıpadˇe o nice s kons an n´ımi koeficien y s abili u u ˇcuj´ı koˇ eny λ1, . . . , λncha ak-
e is ick´eho polynomu
P(λ)≡λn+an−1λn−1+···+a2λ2+a1λ+a0.
Podobnˇe jako pˇ edchoz´ım pˇ ´ıpadˇe sous a y line´a n´ıch o nic, e´aln´a ˇc´as λiu ˇcuje
omezenos pˇ ´ısluˇsn´eho ˇ eˇsen´ı ui(x).
Z definice s abili y a a ak i i y a las nos ´ı ˇ eˇsen´ı ODRn s kons an n´ımi koeficien y
plynou n´asleduj´ıc´ı zen´ı:
Vˇ
e a 6.8 (S abili a line´
a n´
ıch o nic yˇ
sˇ
s´
ıho ˇ
´
adu)
U aˇzujme line´a n´ı o nici L(y) = b(x) s kons an n´ımi koeficien y a0, . . . , an−1. Oznaˇcme
λ1, . . . , λnkoˇ eny pˇ ´ısluˇsn´eho cha ak e is ick´eho polynomu P(λ). Po om pla ´ı:
(a) Pokud ˇsechny koˇ eny λimaj´ı z´apo nou e´alnou ˇc´as , ˇsechna ˇ eˇsen´ı jsou s abiln´ı
a a ak i n´ı.
(b) Pokud alespoˇn jeden koˇ en m´a kladnou e´alnou ˇc´as , ˇsechna ˇ eˇsen´ı jsou nes abiln´ı
a nea ak i n´ı.
(c) Pokud ˇsechny koˇ eny maj´ı z´apo nou nebo nulo ou e´alnou ˇc´as , koˇ eny s nulo ou
e´alnou ˇc´as ´ı jsou jednoduch´e a exis uje alespoˇn jeden koˇ en s nulo ou e´alnou
ˇc´as ´ı, po om ˇsechna ˇ eˇsen´ı jsou s abiln´ı ale nejsou a ak i n´ı.
(d) V pˇ ´ıpadˇe ´ıcen´asobn´eho koˇ ene s nulo ou e´alnou ˇc´as ´ı je alespoˇn jedno ˇ eˇsen´ı
neomezen´e a ud´ıˇz ˇsechna ˇ eˇsen´ı jsou nes abiln´ı a nea ak i n´ı.
C iˇ
cen´
ıZkoumej e s abili u a a ak i i u ˇ eˇsen´ı o nic z Pˇ ´ıklad˚u 2.8 – 2.11.
64

7. Au onomn´ı o nice a sous a y
Ro nici nebo sous a u o nic naz eme au onomn´ı, jes liˇze o nice nebo sous a a
nez´a is´ı na nez´a isl´e p omˇenn´e. Au onomn´ı o nici p n´ıho ˇ ´adu ak m˚uˇzeme zapsa e
a u y′= (y), au onomn´ı line´a n´ı o nice y′+a y =bm´a koeficien y a, b kons an n´ı.
Z´apis au onomn´ı sous a y o nic y′= (y) je podobn´y z´apisu au onomn´ı o nice p n´ıho
ˇ ´adu, au onomn´ı line´a n´ı sous a a y′=A y +bobsahuje ma ici kons an n´ıch koeficien ˚u
A∈Rn×na kons an n´ı ek o bna p a ´e s anˇe. Koneˇcnˇe au onomn´ı o nici n- ´eho ˇ ´adu
lze zapsa e a u y(n)= (y, y′, y′′, . . . , y(n−1)).
Ve yzik´aln´ıch aplikac´ıch ob ykle nez´a isle p omˇennou xje ˇcas. Pojem au onomn´ı
o nice (sys ´em) je p o o pˇ i ozen´y – jde o je y, pˇ i k e ´ych se s ˇcasem xnemˇen´ı podm´ınky
je u, k e ´e oˇ ´ı da a ´ulohy; pˇ ´ıpadˇe line´a n´ı o nice jsou o koeficien y a p a ´a s ana.
Pˇ ipomeˇnme pojem ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′= (y) :
De inice 7.1 T ajek o ie ˇ eˇsen´ı y(x) je mnoˇzina hodno , k e ´ych nab´y ´a ˇ eˇsen´ı, je
o p ˚umˇe g a u ˇ eˇsen´ı p os o u I×Rndo p os o u hodno , z . ´azo ´eho p os o u,
k e ´ym je Rn. Pokud ajek o ie je kˇ i ka, o ien ujeme ji podle os ouc´ıho x.
V pˇ ´ıpadˇe kons an n´ıho ˇ eˇsen´ı je ajek o i´ı jeden bod, z . singul´a n´ı ajek o ie.
P o sous a u n o nic p n´ıho ˇ ´adu ajek o ie ˇ eˇsen´ı y(x), x ∈Ije mnoˇzina bod˚u
y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)) ∈Rn,x∈I, kˇ i ka p os o u Rn, za ´ımco g a ˇ eˇsen´ı je kˇ i ka
Rn+1. T ajek o ie je ak p ˚umˇe g a u ˇ eˇsen´ı do p os o u Rn, z . ´azo ´eho p os o u:
{(y1(x), . . . , yn(x)) ∈Rnx∈I} Rn. Pˇ i om ˇsipka ukazuje o ien aci ”pohybu“ hodno y
ˇ eˇsen´ı po ajek o ii pˇ i os ouc´ım x.
Budeme se zab´y a ajek o iemi ´upln´ych ˇ eˇsen´ı, j. ˇ eˇsen´ımi na maxim´aln´ım in e alu,
k e ´e uˇz nelze p odlouˇzi na ˇe ˇs´ı in e al. Ob ykle budeme pˇ edpokl´ada , ˇze podm´ınky
exis ence a jednoznaˇcnos i jsou splnˇeny.
Ro nice p n´ıho ˇ ´adu
Pˇ es oˇze au onomie a ajek o ie maj´ı ´yznam zejm´ena p o sous a u o nic, nebo
o nice yˇsˇs´ıho ˇ ´adu, zaˇcneme jedno ozmˇe n´ym pˇ ´ıpadem, kdy hodno y ˇ eˇsen´ı jsou e´aln´a
ˇc´ısla a ajek o ie jsou p o o ´useˇcky nebo body na pˇ ´ımce.
Au onomn´ı o nice p n´ıho ˇ ´adu je o nice a u y′= (y). Pˇ edpokl´adejme, ˇze unkce
(y) je defino an´a, spoji ´a a lipschi zo sk´a na mnoˇzinˇe G⊂R. T ajek o ie os ouc´ıho
ˇ eˇsen´ı je ´useˇcka o ien o an´a kladn´em smˇe u, ajek o ie klesaj´ıc´ıho ˇ eˇsen´ı je ´useˇcka
o ien o an´a z´apo n´em smˇe u. T ajek o ie kons an n´ıho ˇ eˇsen´ı je jednobodo ´a mnoˇzina,
z . singul´a n´ı ajek o ie. Zaˇcneme line´a n´ı o nic´ı:
Pˇ
´
ıklad 7.2 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı line´a n´ı o nice y′=a y +b.
ˇ
Reˇsen´ı: V om o pˇ ´ıpadˇe lze snadno spoˇc´ı a ˇsechna ˇ eˇsen´ı o nice a u ˇci jejich ajek-
o ie. P o a= 0 ˇ eˇsen´ım jsou unkce
y(x) = c
aeax −b
a, c ∈R.
P o c= 0 dos ´a ´ame kons an n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = −b
a, jeho ajek o ie je singul´a n´ı, je o
bod y=−b
a. P o a > 0 , c > 0 dos ´a ´ame os ouc´ı ˇ eˇsen´ı s ajek o iemi (−b
a,∞) o ien-
o anou kladnˇe, p o a > 0, c < 0 je ˇ eˇsen´ı klesaj´ıc´ı s ajek o i´ı (−∞,−b
a) o ien o anou
z´apo nˇe, iz Ob . 25. Obˇe ajek o ie se zdaluj´ı od singul´a n´ı ajek o ie −b
a.
65
Z ob ´azku je idˇe , ˇze singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = −b
aje nes abiln´ı a nea ak i n´ı. Tak´e
os a n´ı ˇ eˇsen´ı jsou nes abiln´ı a nea ak i n´ı.
V pˇ ´ıpadˇe a < 0 je si uace odliˇsn´a, obˇe ajek o ie jsou o ien o an´e opaˇcnˇe, j. smˇeˇ uj´ı
k bodu −b
a, iz Ob . 26. V om o pˇ ´ıpadˇe singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = −b
aje s abiln´ı a
a ak i n´ı. Tak´e ˇsechna os a n´ı ˇ eˇsen´ı jsou s abiln´ı a a ak i n´ı.
V pˇ ´ıpadˇe a= 0 , b= 0 jsou ˇ eˇsen´ım unkce y(x) = b x +c, jejich ajek o ie je cel´a
pˇ ´ımka o ien o an´a kladnˇe p o b > 0 a o ien o an´a z´apo nˇe p o b < 0. V pˇ ´ıpadˇe a= 0,
b= 0 o nice y′= 0 m´a jen kons an n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = c, kaˇzd´y bod e´aln´e pˇ ´ımky je
singul´a n´ı ajek o ie. 2
0 1 y
Ob . 25: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı o nice y′=y−1.
0 1 y
Ob . 26: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı o nice y′=−y−1.
V jedno ozmˇe n´em pˇ ´ıpadˇe p o u ˇcen´ı ajek o i´ı ˇ eˇsen´ı au onomn´ı o nice y′= (y)
nen´ı nu n´e poˇc´ı a ˇ eˇsen´ı. S aˇc´ı zkouma znam´enko p a ´e s any (y). Nech
’ unkce (y)
je spoji ´a a lipschi zo sk´a. Koˇ eny o nice (y) = 0 d´a aj´ı kons an n´ı ˇ eˇsen´ı a jsou o
singul´a n´ı ajek o ie. T ajek o ie os ouc´ıch ˇ eˇsen´ı jsou o e ˇ en´e ´useˇcky (bez konco ´ych
bod˚u) o ien o an´e kladnˇe, jsou o body kde (y) je kladn´a. T ajek o ie klesaj´ıc´ıch ˇ eˇsen´ı
jsou o e ˇ en´e ´useˇcky o ien o an´e z´apo nˇe, jsou o body, kde (y)<0. Tak o lze snadno
u ˇci ajek o ie ˇ eˇsen´ı au onomn´ı o nice y′= (y), ´ypoˇce jej´ıˇz ˇ eˇsen´ı by byl p acn´y:
Pˇ
´
ıklad 7.3 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı o nice y′= (y+ 1) y2(y−1) (y−3).
ˇ
Reˇsen´ı: P a ´a s ana o nice y′= (y+ 1) y2(y−1) (y−3) je polynom p´a ´eho s upnˇe
(y) = (y+1) y2(y−1) (y−3), k e ´y m´a koˇ eny −1,0,1,3, pˇ iˇcemˇz koˇ en 0 je d ojn´asobn´y.
Ro nice p o o m´a ˇc yˇ i kons an n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = −1, y(x) = 0, y(x) = 1, y(x) = 3, k e ´e
d´a aj´ı ˇc yˇ i singul´a n´ı ajek o ie – body y=−1, y= 0, y= 1, y= 3.
Polynom (y) je in e alu y∈(3,∞) kladn´y, je o souˇcin kladn´ych ˇc´ısel. ˇ
Reˇsen´ı
je p o o zde os ouc´ı a jejich ajek o ie je o e ˇ en´a ´useˇcka (3,∞) o ien o an´a kladnˇe.
Podobnˇe in e alech (0,1) , (−1,0) je unkce (y) ak´e kladn´a, ˇ eˇsen´ı os ouc´ı a jejich
ajek o ie jsou o e ˇ en´e ´useˇcky (0,1) , (−1,0) o ien o an´e kladnˇe. V in e alech (1,3) ,
(−∞,−1) je unkce (y) z´apo n´a, ˇ eˇsen´ı klesaj´ıc´ı a odpo ´ıdaj´ıc´ı ajek o ie jsou o e ˇ en´e
´useˇcky (1,3) , (−∞,−1) o ien o an´e z´apo nˇe.
Z ob ´azku je idˇe , ˇze singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = −1, y(x) = 0, y(x) = 3 jsou nes abiln´ı
a nea ak i n´ı, ˇ eˇsen´ı y(x) = 1 je s abiln´ı a a ak i n´ı. 2
−1 0 1 3 y
Ob . 27: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı o nice y′= (y+ 1) y2(y−1) (y−3).
C iˇ
cen´
ıU ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı neline´a n´ıch o nic
(a) y′=y2+ 1 (b) y′= 2√y,(c) y′=y2
(d) y′=√1−y2(e) y′=y(y2−1) ( ) y′= sin y.
66
Au onomn´ı sous a y o nic
Poˇc´a eˇcn´ı ´ulohu p o au onomn´ı sous a u ODR p n´ıho ˇ ´adu zapisujeme e a u
y′= (y),y(x0) = γγγγγ , (7.1)
kde ek o o ´a unkce :G→Rnje defino an´a a spoji ´a oblas i G⊂Rnaγγγγγ ∈Rn.
Spoji os ek o o ´e unkce za uˇcuje exis enci ˇ eˇsen´ı poˇc´a eˇcn´ı ´ulohy (7.1) p o kaˇzd´e γγγγγ.
Pˇ id´ame-li podm´ınku lok´aln´ı lipschi zo skos i unkce (y), za uˇc´ıme jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı.
Po om ajek o ie ´upln´ych ˇ eˇsen´ı maj´ı n´asleduj´ıc´ı las nos ´ı:
Vˇ
e a 7.4 T ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y y′= (y) se spoji ou unkc´ı :G→Rnsplˇnuj´ı:
(a) T ajek o ie kaˇzd´eho ˇ eˇsen´ı je sou isl´a mnoˇzina definiˇcn´ım obo u G⊂Rn.
(b) Je-li y(x) ´upln´e ˇ eˇsen´ı defino an´e na in e alu (a, b), po om p o kaˇzd´e c∈R unkce
yc(x) = y(x−c) je ak´e ´upln´e ˇ eˇsen´ı na (a+c, b +c) a m´a u ´eˇz ajek o ii.
(c) Pokud (y) je spoji ´a a lok´alnˇe lipschi zo sk´a, kaˇzd´e d ˇe ´upln´a ˇ eˇsen´ı maj´ı bud’
disjunk n´ı ajek o ie nebo jejich ajek o ie spl´y aj´ı (jsou o oˇzn´e).
(d) Pokud (y) je spoji ´a a lok´alnˇe lipschi zo sk´a, exis uj´ı jen ˇ i d uhy ajek o i´ı:
(i) singul´a n´ı bod – ajek o ie kons an n´ıho ˇ eˇsen´ı,
(ii) uza ˇ en´a nep o ´ınaj´ıc´ı se kˇ i ka, z . cyklus – ajek o ie pe iodick´eho ˇ eˇsen´ı,
(iii) nep o ´ınaj´ıc´ı se kˇ i ka bez konco ´ych bod˚u – ajek o ie os a n´ıch ˇ eˇsen´ı.
N´aˇc d˚ukaz˚u.
(a) T zen´ı je d˚usledkem las nos i spoji ´eho zob azen´ı: Spoji ´e zob azen´ı sou islou
mnoˇzinu zob az´ı na sou islou mnoˇzinu. T ajek o ie je o iˇz spoji ´ym ob azem in e -
alu, j. sou isl´e mnoˇziny.
(b) Z o nos i yc(x) = y(x−c) plyne y′
c(x) = [y(x−c)]′=y′(x−c)·[x−c]′=y′(x−c).
Splˇnuje-li y(x) sous a u o nic p o x∈(a, b), pak y′(x−c) = (y(x−c)) pla ´ı
bodˇe x−c, a edy yc(x) splˇnuje sous a u o nic y′
c(x) = (yc(x)) p o (x−c)∈(a, b),
j. x∈(a+c, b+c). Obˇe unkce d´a aj´ı s ejn´e hodno y, maj´ı p o o s ejnou ajek o ii.
(c) Pokud ajek o ie d ou ˇ eˇsen´ı y1(x) a y2(x) maj´ı spoleˇcn´y bod, exis uj´ı x1, x2∈R
ako ´e, ˇze pla ´ı y1(x1) = y2(x2). Podle pˇ edchoz´ıho zen´ı p o c=x1−x2pla ´ı
y1(x1) = y1(x1−c) = y1(x2), edy y1(x2) = y2(x2). Lipschi zo skos unkce (x)
za uˇcuje jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı, p o o y1(x) = y2(x) nejen p o x=x2ale i p o
os a n´ı xa obˇe ajek o ie jsou o oˇzn´e. Pokud ajek o ie nemaj´ı spoleˇcn´y bod,
jsou disjunk n´ı.
(d) Kons an n´ı ˇ eˇsen´ı d´a ´a singul´a n´ı ajek o ii – pˇ ´ıpad (i). Nech
’´upln´e ˇ eˇsen´ı nen´ı
kons an n´ı. Jes liˇze y(x1) = y(x2) p o x1< x2, po om opˇe p o c=x2−x1pla ´ı
yc(x) = y(x−c) p o x=x1. Jednoznaˇcnos ˇ eˇsen´ı d´a ´a yc(x)≡y(x−c) = y(x)
p o ˇsechna x∈R.ˇ
Reˇsen´ı y(x) je p o o pe iodick´a unkce s pe iodou c=x2−x1
a jej´ı ajek o ie je uza ˇ en´a nep o ´ınaj´ıc´ı se kˇ i ka – pˇ ´ıpad (ii).
Pokud se ajek o ie nekons an n´ıho ˇ eˇsen´ı nep o ´ın´a, j. p o kaˇzd´e x1=x2pla ´ı
y(x1)=y(x2), ajek o ie je nep o ´ınaj´ıc´ı se kˇ i ka. Kˇ i ka nem´a konco ´e body,
p o oˇze konco ´em bodˇe nekons an n´ıho ˇ eˇsen´ı by ˇ eˇsen´ı ˇslo p odlouˇzi a bod by
nebyl konco ´ym bodem ajek o ie pˇ ´ıpad – (iii).
2
67
V pˇ ´ıpadˇe n= 2 je g a em ˇ eˇsen´ı kˇ i ka R3, ajek o i´ı mnoˇzina ( ˇe ˇsinou kˇ i ka)
o inˇe, k e ou lze naˇc nou . Budeme se p o o zab´y a zejm´ena sous a ou d ou o nic,
i kdyˇz pˇ ´ısluˇsn´a zen´ı pla ´ı ak´e p o sous a u ˇ ´ı a ´ıce o nic.
Pˇ
´
ıklad 7.5 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′
1=−y2,y′
2=y1.
ˇ
Reˇsen´ı: Do zde i o an´e p n´ı o nice y′′
1=−y′
2dosad´ıme za nezn´amou y′
2z d uh´e o nice.
Dos ´a ´ame ak o nici y′′
1+y1= 0, jej´ımˇz obecn´ym ˇ eˇsen´ım je y1(x) = c1cos x+c2sin x.
Z p n´ı o nice y2=−y′
1dopoˇc´ı ´ame y2(x). Z´ıskali jsme ak ˇ eˇsen´ı:
y1(x) = c1cos x+c2sin x , y2(x) = c1sin x−c2cos x , x ∈R.
V´ypoˇc em lze snadno o ˇeˇ i , ˇze p o kaˇzd´e c1, c2∈Rpla ´ı
y2
1(x) + y2
2(x) = (c1cos x+c2sin x)2+ (c1sin x−c2cos x)2=c2
1+c2
2≡k .
P o k > 0 ajek o ie jsou k uˇznice se s ˇ edem poˇc´a ku. Teˇcn´y ek o k uˇznice s c1>0,
c2= 0, x=π
2d´a ´a o ien aci (−sin π
2,cos π
2) = (−1,0) k uˇznic bodech (0, c1). Hodno a
k= 0 d´a ´a kons an n´ı ˇ eˇsen´ı y(x) = 0se singul´a n´ı ajek o i´ı (0,0), iz Ob . 28. 2
Pˇ
´
ıklad 7.6 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′
1=y1,y′
2=y2.
ˇ
Reˇsen´ı: Ro nice y′
1=y1m´a ˇ eˇsen´ı y1(x) = c1ex, o nice y′
2=y2d´a ´a ˇ eˇsen´ı y2=c2ex.
Pˇ ´ıpad c1=c2= 0 d´a ´a singul´a n´ı ajek o ii (0,0). P o c1= 0, c2= 0 dos ´a ´ame
ajek o i´ı y(x) = (0, c2ex), coˇz je p o c2>0 kladn´a ˇc´as a p o c2<0 z´apo n´a ˇc´as osy
y2, obˇe ajek o ie smˇeˇ uj´ı od poˇc´a ku.
P o os a n´ı c1= 0 a c2∈Rdos ´a ´ame o nos y2(x) = (c2/c1)y1(x), kde y1(x) = c1ex.
Jsou o polopˇ ´ımky ych´azej´ıc´ı z poˇc´a ku o ien o an´e od poˇc´a ku, se smˇe nicemi c2/c1.
T ajek o ie ˇ eˇsen´ı jsou na Ob . 29. 2
y1
y2
Ob . 28: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı
sous a y y′
1=−y2,y′
2=y1.
y1
y2
Ob . 29: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı
o nice y′
1=y1,y′
2=y2.
y1
y2
Ob . 30: T ajek o ie ˇ eˇsen´ı
o nice y′
1=y1,y′
2=−y2.
Pˇ
´
ıklad 7.7 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′
1=y1,y′
2=−y2.
ˇ
Reˇsen´ı: Ro nice y′
1=y1m´a ˇ eˇsen´ı y1(x) = c1ex, o nice y′
2=−y2d´a ´a ˇ eˇsen´ı y2=c2e−x.
Opˇe c1=c2= 0 d´a ´a nulo ´e ˇ eˇsen´ı se singul´a n´ı ajek o ii (0,0). T ajek o ie p o c1= 0
je p o c2>0 kladn´a ˇc´as a p o c2<0 z´apo n´a ˇc´as osy y2smˇeˇ uj´ıc´ı do poˇc´a ku. P o c2= 0
dos ´a ´ame kladnou a z´apo nou ˇc´as osy y2, ajek o ie jsou o ien o ´any od poˇc´a ku.
Jak´e jsou os a n´ı ajek o ie? Souˇcin y1(x)y2(x) = c1c2je kons an n´ı, ajek o ie jsou
p o o ˇe e hype bol y2=k/y1o ien o an´e k ose y1a od osy y2, iz Ob . 30. 2
68
Typy singul´a n´ıch bod˚u o inˇe
Budeme se zab´y a au onomn´ı sous a ou d ou o nic
y′= (y), j. y′
1= 1(y1, y2), y′
2= 2(y1, y2).(7.2)
Pˇ edpokl´ad´ame, ˇze unkce 1(y1, y2), 2(y1, y2) jsou defino an´e, spoji ´e a lok´alnˇe lipschi -
zo sk´e oblas i1G. P o o kaˇzd´ym bodem ymnoˇziny Gp och´az´ı p ´a ˇe jedna ajek o ie.
V´ıme, ˇze ajek o ie jsou bud’body, z . singul´a n´ı body – ajek o ie kons an n´ıch ˇ eˇsen´ı,
nebo egul´a n´ı body ajek o i´ı, k e ´e jsou nep o ´ınaj´ıc´ı se uza ˇ en´e nebo o e ˇ en´e kˇ i ky.
R˚uzn´e ajek o ie jsou disjunk n´ı, oblas G o inˇe y1, y2se ak ozpadne na body a ne-
p o ´ınaj´ıc´ı se kˇ i ky.
Souˇ adnice singul´a n´ıho bodu y0splˇnuj´ı sous a u (y0) = 0. V os a n´ıch bodech y
pla ´ı (y)=0, j. bud’ 1(y1, y2)= 0, nebo 2(y1, y2)= 0. P o oˇze unkce 1(y1, y2) a
2(y1, y2) jsou spoji ´e, egul´a n´ı bod y∗, kde (y∗)=0, m´a okol´ı, kde (y) jsou ak´e
nenulo ´e. D´ıky omu kaˇzd´ym bodem okol´ı p och´az´ı ak´e egul´a n´ı ajek o ie.
Ty o ajek o ie okol´ı y∗ oˇ ´ı mnoˇzinu na z´ajem disjunk n´ıch ” o nobˇeˇzn´ych“ a
”souhlasnˇe o ien o an´ych“ nep o ´ınaj´ıc´ıch se kˇ i ek, k e ´e lze spoji ˇe pˇ e ´es jednu na
d uhou se zacho ´an´ım o ien ace.
V yz´ım okol´ı2singul´a n´ıho bodu – ajek o ii kons an n´ıho ˇ eˇsen´ı – je si uace odliˇsn´a,
ajek o ie se mohou cho a ˚uznˇe, iz Ob . 28, 29, 30. Rozliˇsujeme n´asleduj´ıc´ı ypy izo-
lo an´ych3singul´a n´ıch bod˚u o inˇe:
De inice 7.8 (Typy izolo an´
ych singlul´
a n´
ıch bod˚
u o inˇ
e)
U aˇzujme ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic (7.2). Nech
’y0je izolo an´y singul´a n´ı bod
sous a y (7.2), j. izolo an´e ˇ eˇsen´ı sous a y o nic (y) = 0. Bod y0se naz´y ´a:
s ˇ ed – pokud exis uje yz´ı okol´ı Ubodu y0, e k e ´em kaˇzd´ym bodem y∈Up och´az´ı
uza ˇ en´a ajek o ie obsahuj´ıc´ı e s ´em ni ˇ ku bod y0.
a ak i n´ı uzel – pokud exis uje jeho yz´ı okol´ı, e k e ´em jsou jen ajek o ie
smˇeˇ uj´ıc´ı do oho o bodu, pˇ iˇcemˇz smˇe o ´y ek o eˇcny ajek o ie m´a limi u:
lim
x→∞ y(x) = y0,a exis uje limi a lim
x→∞
y′(x)
∥y′(x)∥.
nea ak i n´ı uzel – pokud exis uje jeho yz´ı okol´ı, e k e ´em jsou jen ajek o ie
ych´azej´ıc´ı z oho o bodu, pˇ iˇcemˇz smˇe o ´y ek o eˇcny ajek o ie m´a limi u:
lim
x→−∞ y(x) = y0,a exis uje limi a lim
x→−∞
y′(x)
∥y′(x)∥.
a ak i n´ı ohnisko – pokud exis uje jeho yz´ı okol´ı, e k e ´em jsou jen ajek o ie
bl´ıˇz´ıc´ı se k omu o bodu, pˇ iˇcemˇz smˇe o ´y ek o eˇcny ajek o ie nem´a limi u:
lim
x→∞ y(x) = y0,a neexis uje limi a lim
x→∞
y′(x)
∥y′(x)∥.
1Oblas je sou isl´a o e ˇ en´a mnoˇzina
2Ryz´ı okol´ı bodu xje okol´ı bodu xbez bodu x.
3Bod xje izolo an´y bod mnoˇziny M, pokud exis uje okol´ı Ubodu x ako ´e, ˇze U∩M={x}
69

nea ak i n´ı ohnisko – pokud exis uje jeho yz´ı okol´ı, e k e ´em jsou jen ajek o ie
ych´azej´ıc´ı z oho o bodu, pˇ iˇcemˇz smˇe o ´y ek o eˇcny ajek o ie nem´a limi u:
lim
x→−∞ y(x) = y0,a neexis uje limi a lim
x→−∞
y′(x)
∥y′(x)∥.
sedlo – pokud exis uje jeho yz´ı okol´ı, e k e ´em exis uje jen koneˇcnˇe mnoho ajek o i´ı,
k e ´e se k nˇemu bl´ıˇz´ı, a koneˇcnˇe mnoho ajek o i´ı, k e ´e se od nˇej zdaluj´ı, j.
exis uje koneˇcnˇe mnoho ˇ eˇsen´ı y1(x) a y2(x)) ako ´ych, ˇze
lim
x→∞ y1(x) = y0,lim
x→−∞ y2(x) = y0.
Pozn´
amky 7.9
(a) Singul´a n´ı bod na Ob . 28 je s ˇ ed, na Ob . 29 je nea ak i n´ı uzel a na Ob . 30 je
sedlo. V obecn´em pˇ ´ıpadˇe ajek o ie kolem s ˇ edu mohou b´y elipsy, a pˇ ´ıpadˇe
a ak i n´ıho uzlu ajek o ie u singul´a n´ıho bodu mohou b´y zakˇ i en´e.
(b) V li e a uˇ e lze naj´ı ak´e jin´a jm´ena. Singul´a n´ımu bodu s ˇ ed se ˇ ´ık´a ak´e cen -
um,a ak i n´ı (uzel nebo ohnisko) se naz´y ´a ak´e pˇ i ahuj´ıc´ı anea ak i n´ı
(uzel nebo ohnisko) se naz´y ´a ak´e odpuzuj´ıc´ı.
(c) Uzel a ohnisko se liˇs´ı limi ou eˇcn´eho ek o u. V pˇ ´ıpadˇe a ak i n´ıho uzlu se ajek-
o ie pˇ i x→ ∞ bl´ıˇz´ı k singul´a n´ımu bodu ”pˇ ´ımo“, j. limi a o ien o an´eho ´uhlu,
k e ´y s ´ı ´a eˇcn´y ek o s osou ym´a koneˇcnou limi u. V pˇ ´ıpadˇe a ak i n´ıho oh-
niska se ajek o ie bl´ıˇz´ı k singul´a n´ımu bodu po spi ´ale ”ob´ıhaj´ıc´ı“ singul´a n´ı bod
nekoneˇcnˇe mnoho k ´a , j. o ien o an´y ´uhel eˇcny nem´a koneˇcnou limi u, ale os e
do nekoneˇcna, nebo kles´a do −∞. V pˇ ´ıpadˇe nea ak i n´ıho uzlu nebo ohniska jde
o limi y p o x→ −∞.
(d) Lze dok´aza , ˇze izolo an´e singul´a n´ı body o inˇe, j. pˇ ´ıpadˇe sous a y d ou
o nic, mohou b´y pouze u eden´ych yp˚u: s ˇ ed, uzel, ohnisko a sedlo.
(e) Za ´ım jsme se zab´y ali izolo an´ymi singul´a n´ımi body. V pˇ ´ıpadˇe, kdy singul´a n´ı
body o inˇe oˇ ´ı kˇ i ku, mohou nas a y o pˇ ´ıpady:
(i) Bod kˇ i ky je a ak i n´ı uzel, j. bl´ıˇz´ı se k nˇemu d ˇe ajek o ie.
(ii) Bod kˇ i ky je nea ak i n´ı uzel, j. ych´azej´ı od nˇeho d ˇe ajek o ie.
(iii) T ajek o ie okol´ı kˇ i ky singul´a n´ıch bod˚u edou ” o nobˇeˇznˇe“ pod´el kˇ i ky.
( ) Singul´a n´ı ajek o ie mohou zaplni plochu, napˇ ´ıklad sous a a di e enci´aln´ıch o -
nic y′
1= 0, y′
2= 0 m´a jen kons an n´ı ˇ eˇsen´ı, singul´a n´ı body zaplˇnuj´ı celou o inu.
Linea izace neline´a n´ı sous a y o nic
V pˇ edchoz´ım ods a ci jsme s udo ali singul´a n´ı bod y0obecn´e sous a y neline´a n´ıch
o nic (7.4). Posunu ´ım, j. ans o mac´ı y7→ y∗=y−y0, lze singul´a n´ı bod y0pˇ e ´es
do poˇc´a ku 0a s udo a cho ´an´ı ˇ eˇsen´ı okol´ı singul´a n´ıho bodu 0= (0,0) sous a y
o nic y′= ∗(y), pˇ iˇcemˇz
∗(y) = (y+y0).
Ty o posunu ´e unkce splˇnuj´ı ∗(0) = 0.
70
D´ale neline´a n´ı unkce ∗
1(y1, y2), ∗
2(y1, y2) lze okol´ı poˇc´a ku (0,0) linea izo a
∗
1(y1, y2)≈A11 y1+A12 y2, ∗
2(y1, y2)≈A21 y1+A22 y2,
kde kons an y Aij jsou pa ci´aln´ı de i ace unkc´ı ∗
1(y1, y2), ∗
2(y1, y2) poˇc´a ku:
A11 =∂ ∗
1
∂y1
(0,0) , A12 =∂ ∗
1
∂y2
(0,0) , A21 =∂ ∗
2
∂y1
(0,0) , A22 =∂ ∗
2
∂y2
(0,0) .
T´ım o zp˚usobem lze yp singul´a n´ıho bodu y0neline´a n´ı sous a y y′= (y) s udo a
pomoc´ı pˇ id uˇzen´e homogenn´ı sous a y line´a n´ıch o nic s ma ic´ı koeficien ˚u A= (Aij)
y′(x) = A y(x).(7.3)
Singul´a n´ı body line´a n´ı sous a y
U aˇzujme homogenn´ı line´a n´ı sous a u o nic (7.3). Ta o sous a a m´a obecn´e ˇ eˇsen´ı
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x).
P o c1=c2= 0 dos ´a ´ame nulo ´e ˇ eˇsen´ı, k e ´e d´a ´a singul´a n´ı bod (0,0) . Pokud ma ice
Aje egul´a n´ı, o nice Ay =0m´a jen nulo ´e ˇ eˇsen´ı, a bod 0je jedin´ym singul´a n´ım
bodem. T ajek o ie jeho okol´ı jsou u ˇceny pomoc´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) a u2(x), k e ´a z´a isej´ı
na koˇ enech λ1, λ2cha ak e is ick´eho polynomu
P(λ) = λ2−T (A)λ+ de (A).(7.4)
U aˇzujme nejdˇ ´ı e nenulo ´e koˇ eny, j. pˇ ´ıpad de (A)= 0, d´ıky k e ´ym jedin´ym sin-
gul´a n´ım bodem je poˇc´a ek 0, k e ´y je ak´e izolo an´ym singul´a n´ım bodem. Podle hodno y
disk iminan u o nice D= T (A)2−4 de (A) ozliˇsujeme ˇ i pˇ ´ıpady:
(1) D > 0 – o nice m´a d a ˚uzn´e e´aln´e koˇ eny λ1,λ2, k e ´e d´a aj´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) = eλ1x,
u2(x)=eλ2x. Je-li λ > 0 ˇ eˇsen´ı u(x) se zdaluje, j. limx→∞ ∥u(x)∥=∞, ˇ eˇsen´ı
nen´ı a ak i n´ı. P o λ < 0 ˇ eˇsen´ı u(x) se bl´ıˇz´ı k poˇc´a ku, j. limx→∞ ∥u(x)∥= 0.
Dos ´a ´ame ak ˇ i pˇ ´ıpady koˇ en˚u a ´ım i singul´a n´ıch bod˚u:
(1a) oba koˇ eny jsou kladn´e 0 < λ1< λ2– poˇc´a ek je nea ak i n´ı uzel,
(1b) jeden je z´apo n´y a d uh´y kladn´y: λ1<0< λ2– ych´az´ı sedlo,
(1c) oba koˇ eny jsou z´apo n´e: λ1< λ2<0 dos ´a ´ame – a ak i n´ı uzel.
(2) D < 0 – o nice m´a d ojici komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u λ1=µ+iν,λ2=µ−iν.
Obecn´e ˇ eˇsen´ı je y= eµx(c1cos(νx) + c2sin(νx)). Re´aln´a ˇc´as µu ˇcuje, zda se
ˇ eˇsen´ı bl´ıˇz´ı nebo zdaluje poˇc´a ku. Imagin´a n´ı ˇc´as ν= 0 d´a ´a o aci okolo poˇc´a ku.
Rozliˇs´ıme opˇe ˇ i pˇ ´ıpady:
(2a) e´aln´a ˇc´as µkoˇ en˚u je kladn´a – poˇc´a ek je nea ak i n´ı ohnisko,
(2b) e´aln´a ˇc´as µkoˇ en˚u je z´apo n´a – ych´az´ı a ak i n´ı ohnisko,
(2c) e´aln´a ˇc´as µkoˇ en˚u je nulo ´a – dos ´a ´ame s ˇ ed.
71
(3) D= 0 – o nice m´a d ojn´asobn´y e´aln´y koˇ en λ1,2=λ. V om o pˇ ´ıpadˇe ozliˇs´ıme
d a pˇ ´ıpady. Z´a is´ı na hodnos i ma ice A−λE. Pokud h(A−λE) = 0, m´ame d a
nez´a isl´e las n´ı ek o y 1, 2splˇnuj´ıc´ı (A−λE) i= 0 a ´ım i d ˇe nez´a isl´a ˇ eˇsen´ı
ui(x) = ieλx, ajek o ie jsou polopˇ ´ımky.
Pokud h(A−λE) = 1, exis uje ”
ˇ e ˇezec“ nenulo ´ych ek o ˚u ,w, iz Kap. 3,
splˇnuj´ıc´ı (A−λE) =0, (A−λE)w= . Ty o ek o y d´a aj´ı ˇ eˇsen´ı u1(x) = eλx,
u2(x) = xeλx +weλx . P o oˇze ex
”pˇ e l´adne“ x souˇcinu xex, obou pˇ ´ıpadech:
(3a) λ > 0 – nea ak i n´ı uzel, ajek o ie se zdaluj´ı od singul´a n´ıho bodu,
(3b) λ < 0 – a ak i n´ı uzel, ajek o ie se bl´ıˇz´ı k singul´a n´ımu bodu.
(4) Nech
’jeden koˇ en λ1je nulo ´y a d uh´y λ2nenulo ´y. Ma ice Aje singul´a n´ı, ˇ eˇsen´ı
o nice Ay = 0 oˇ ´ı pˇ ´ımku u ˇcenou ek o em 1, k e ´y splˇnuje o nici A = 0.
Vˇsechny body pˇ ´ımky jsou ajek o ie kons an n´ıch ˇ eˇsen´ı y(x) = c1 1. P o jejich
klasifikaci pˇ e ezmeme n´az y za eden´e p o izolo an´e singul´a n´ı ajek o ie.
D uh´y koˇ en λ2d´a ´a ˇ eˇsen´ı u2(x) = 2eλ2x. Podle znam´enka λ2pla ´ı: do (nebo
z) kaˇzd´eho singul´a n´ıho bodu pˇ ´ımky edou d ˇe ajek o ie:
(4a) λ1= 0, λ2>0 – singul´a n´ı body jsou nea ak i n´ı uzly, ajek o ie se
o nobˇeˇznˇe zdaluj´ı od singul´a n´ıch bod˚u,
(4b) λ1= 0, λ2<0 – singul´a n´ı body jsou a ak i n´ı uzly, ajek o ie se o -
nobˇeˇznˇe pˇ ibliˇzuj´ı k singul´a n´ım bod˚um.
(5) Nula je d ojn´asobn´y koˇ en. Podle hodnos i ma ice Am´ame d a pˇ ´ıpady:
(5a) Jes liˇze h(A) = 1, singul´a n´ı body oˇ ´ı pˇ ´ımku u ˇcenou ek o em , k e ´y je
nenulo ´ym ˇ eˇsen´ım A = 0. T ajek o ie d uh´eho ˇ eˇsen´ı u2(x) = x+wjsou
o nobˇeˇzn´e s pˇ ´ımkou singul´a n´ıch bod˚u – body naz eme s ˇ ed,
(5b) pokud h(A) = 0, edy Aje nulo ´a ma ice, singul´a n´ı body oˇ ´ı celou o inu.
Od odili jsme n´asleduj´ıc´ı zen´ı o ypech singul´a n´ıch bod˚u:
Vˇ
e a 7.10 U aˇzujme sous a u line´a n´ıch o nic (7.3) a odpo ´ıdaj´ıc´ı cha ak e is ickou
o nici (7.4) s nenulo ´ymi koˇ eny λ1, λ2. Po om izolo an´y singul´a n´ı bod (0,0) je
nea ak i n´ı uzel,pokud oba koˇ eny jsou e´aln´e a kladn´e, j. 0 < λ1≤λ2,
a ak i n´ı uzel,pokud oba koˇ eny jsou e´aln´e a z´apo n´e, j. λ1≤λ2<0,
sedlo,pokud jeden koˇ en je kladn´y a d uh´y z´apo n´y, j. λ1<0< λ2,
nea ak i n´ı ohnisko,pokud koˇ eny jsou komplexnˇe sd uˇzen´e s kladnou e´alnou
ˇc´as ´ı, j. λ1,2=µ±iν, (µ > 0, ν= 0),
a ak i n´ı ohnisko,pokud koˇ eny jsou komplexnˇe sd uˇzen´e se z´apo nou e´alnou ˇc´as ´ı,
j. λ1,2=µ±iν, (µ < 0, ν= 0),
s ˇ ed,pokud koˇ eny jsou komplexnˇe sd uˇzen´e s nulo ou e´alnou ˇc´as ´ı, j. λ1,2=±iν,
(ν= 0).
72
V pˇ ´ıpadˇe nulo ´eho koˇ ene singul´a n´ı body nejsou izolo an´e, oˇ ´ı pˇ ´ımku, pˇ ´ıpadˇe
hodnos i h(A) = 0, j. A=0celou o inu. Pokud h(A) = 1, singul´a n´ı body jsou:
nea ak i n´ı uzel,pokud d uh´y nenulo ´y koˇ en je λ2>0,
a ak i n´ı uzel,pokud d uh´y nenulo ´y koˇ en je λ2<0,
s ˇ ed,pokud nula je d ojn´asobn´y koˇ en, ale h(A) = 1.
Pozn´
amka 7.11 Pˇ edchoz´ı ˇe a pla ´ı p o sous a u line´a n´ıch ODR. V pˇ ´ıpadˇe neline´a n´ı
sous a y ODR cho ´an´ı jej´ıch ˇ eˇsen´ı okol´ı singul´a n´ıho bodu je s ejn´e jako cho ´an´ı ˇ eˇsen´ı
pˇ ´ısluˇsn´ych linea izo an´ych ODR pˇ ´ıpadˇe, kdy koˇ eny maj´ı nenulo o ou e´alnou ˇc´as .
V pˇ ´ıpadˇe nulo ´ych koˇ en˚u, nebo koˇ en˚u s nulo ou e´alnou ˇc´as ´ı uˇz o o zen´ı nepla ´ı,
p o oˇze okol´ı uˇz koˇ eny nemus´ı m´ı nulo ou e´alnou ˇc´as .
Jedno li ´e pˇ ´ıpady ilus ujeme na konk ´e n´ıch pˇ ´ıkladech: uk´aˇzeme zp˚usob n´aˇc u
ajek o i´ı a u edeme ob ´azky sku eˇcn´ych ajek o i´ı.
Pˇ
´
ıklad 7.12 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı sous a y o nic y′
1= 2 y1+y2,y′
2=y1+ 2 y2.
ˇ
Reˇsen´ı: Ma ice sous a y di e enci´aln´ıch o nic je A=(2 1
1 2 ), pˇ ´ısluˇsn´y cha ak e is ick´y
polynom je λ2−4x+ 3 m´a d a ˚uzn´e kladn´e koˇ eny λ1= 1 , λ2= 3. Singul´a n´ı bod –
poˇc´a ek (0,0) je p o o nea ak i n´ı uzel.
Jak naˇc nou ´azo ´y po ´e singul´a n´ıho bodu, j. ajek o ie jeho okol´ı? Sous a a
o nic (A−λiE) i= 0 d´a ´a ek o y 1= (1,−1)T, 2= (1,1)T. Obecn´e ˇ eˇsen´ı je p o o
y(x) = c1u1(x) + c2u2(x) = c1(1
−1)ex+c2(1
1)e3x.
Pˇ ´ıpad c1= 0, c2= 0 d´a ´a d ˇe polopˇ ´ımky y2=−y1. Kombinace c1= 0, c2= 0 d´a ´a
opˇe d ˇe polopˇ ´ımky y2=y1, ˇsechny polopˇ ´ımky jsou o ien o an´e od poˇc´a ku. V pˇ ´ıpadˇe
nenulo ´ych c1, c2u ˇc´ıme eˇcny ajek o i´ı ych´azej´ıc´ıch z poˇc´a ku, edy pˇ i x→ −∞:
y′
2(x)
y′
1(x)=−c1ex+ 3 c2e3x
c1ex+ 3 c2e3x=−c1+ 3 c2e2x
c1+ 3 c2e2x
x→−∞
−−−−−→ −c1
c1
=−1.
y1
y2
Ob . 31: T ajek o ie a eˇcn´e ek o y 0 a ∞.
y1
y2
Ob . 32: Sku eˇcn´e ajek o ie ˇ eˇsen´ı.
Podobnˇe u ˇc´ıme eˇcny pˇ i x→ ∞, j. ajek o i´ıch jdouc´ıch do nekoneˇcna, j. zda-
73
Ma ema ick´e ky adlo
Na z´a ˇe yˇse ˇ ´ıme jednoduch´y mechanick´y je : kmi ´an´ı ma ema ick´eho ky adla,
k e ´y m´a zaj´ıma ´e ajek o ie.
Fyzik´aln´ı o mulace ´ulohy
Ve s isl´e o inˇe u aˇzujme hmo n´y bod
o hmo nos i mupe nˇen´y na konci nehmo n´e
o n´e yˇce d´elky ℓ, jej´ıˇz d uh´y konec se m˚uˇze
olnˇe o ´aˇce okolo poˇc´a ku (0,0). Na hmo n´y
bod p˚usob´ı jen g a i aˇcn´ı s´ıla G=mg dol˚u.
Oznaˇcme θ( ) o ien o an´y ´uhel ( adi´anech
p o i smˇe u pohybu hodino ´ych uˇciˇcek), k e ´y
ˇcase s ´ı ´a yˇc se s islou osou, iz Ob . 40.
U ˇce e z´a islos ´uhlu θna ˇcase .
θ θ
GG
Ob . 40: Ma ema ick´e a yzik´aln´ı ky adlo.
Pozn´
amka 7.22
Ten o je se naz´y ´a kmi ´an´ı ma ema ick´eho ky adla. Obecnˇejˇs´ı ´ulohou je kmi ´an´ı
yzik´aln´ıho ky adla, ( ak´e [2] kmi ´an´ı yzick´eho ky adla), kdy m´ıs o hmo n´eho bodu
a nehmo n´e yˇce u aˇzujeme hmo n´e ˇeleso s ˇeˇziˇs ˇem mimo poˇc´a ek, k e ´e se m˚uˇze olnˇe
o ´aˇce okolo poˇc´a ku.
Od ozen´ı di e enci´aln´ı o nice
Hmo n´y bod o souˇ adnic´ıch (x, y) se m˚uˇze pohybo a po k uˇznici se s ˇ edem poˇc´a ku
a polomˇe em ℓ. P˚usob´ı na nˇej s isle dol˚u s ´al´a g a i aˇcn´ı s´ıla G=mg, k e ´a se ozkl´ad´a
na no m´alo ou Fna eˇcnou sloˇzku F . No m´alo ´a sloˇzka je o no ´aze se silou, k e ou
p˚usob´ı yˇc na hmo n´y bod, eˇcn´a sloˇzku F zp˚usob´ı z ychlen´ı hmo n´eho bodu.
Pomoc´ı ´uhlu θ( ) ˇcase eˇcnou sloˇzku s´ıly G
yj´adˇ ´ıme jako F ( ) = −sin(θ)mg, iz Ob . 41.
De i ac´ı unkce θ( ) dos ´a ´ame ´uhlo ou ychlos
ω( ) = θ′( ) a ´uhlo ´e z ychlen´ı α( ) = θ′′( ). Pˇ i po-
hybu po k uˇznici o polomˇe u ℓd ´aho ´a ychlos je
( ) = ℓ θ( ) a d ´aho ´e z ychlen´ı a( ) = ℓ θ′′( ).
Podle New ono a z´akona F=ma pla ´ı o nice
−mg sin θ=m ℓ θ′′. Hmo nos ´ı bodu m o nici ydˇel´ıme
a po ´up a ˇe dos ´a ´ame
d2θ( )
d 2+g
ℓsin(θ( )) = 0 .(7.5)
Oznaˇcme c=√g/ℓ (g, ℓ > 0) a pˇ ejdˇeme k adiˇcn´ımu
oznaˇcen´ı ODR: z´a islou p omˇennou ´uhel θoznaˇcme y,
nez´a islou p omˇennou ˇcas oznaˇcme x. Dos ´a ´ame au-
onomn´ı obyˇcejnou di e enci´aln´ı o nici d uh´eho ˇ ´adu
G
ℓ
Fn
F
θ
Ob . 41: Ma ema ick´e ky adlo.
y′′ +c2sin(y) = 0 (7.6)
p o nezn´amou unkci y(x). Ro nice dopln´ıme d ˇema poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami ˇcase x0:
y(x0) = y0,y′(x0) = y1, kde y0je poˇc´a eˇcn´ı ´uhlo ´a ´ychylka a y1poˇc´a eˇcn´ı ´uhlo ´a
ychlos ky adla.
80

V okol´ı y= 0, j. p o mal´e hodno y y, pla ´ı sin y.
=y. Nah ad´ıme-li sin ynezn´amou y
dos ´a ´ame line´a n´ı ap oximaci o nice (7.6)
y′′ +c2y= 0 .(7.7)
S udujme obˇe ´ulohy. Zaˇcneme jednoduˇsˇs´ı linea izo anou o nic´ı.
Pˇ
´
ıklad 7.23 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı linea izo an´e o nice y′′ +c2y= 0.
V pˇ ´ıpadˇe line´a n´ı o nice (7.7) pˇ ´ısluˇsn´y cha ak e is ick´y polynom P(λ) = λ2+c2
m´a d ojici komplexnˇe sd uˇzen´ych koˇ en˚u λ1,2=±ic. Ro nice m´a p o o jedin´e singul´a n´ı
ˇ eˇsen´ı a o nulo ´e ˇ eˇsen´ı y(x) = 0, podle Vˇe y 7.20 jeho yp je s ˇ ed.
O ˇeˇ me ´ysledek ´ypoˇc em. Obecn´e ˇ eˇsen´ı je y(x) = acos(cx) + bsin(cx), kde kon-
s an y a, b jsou u ˇceny hodno ami y0, y1. Z olme ˇcase x= 0 klido ou polohu y′(0) = 0 a
ozkmi y(0) = y0>0. Po om a=y0,b= 0, ˇ eˇsen´ı je edy y(x) = y0cos(cx). Dosazen´ım
do ´y azu (y′)2+c2y2po ´up a ˇe dos ´a ´ame o nici elipsy souˇ adnico ´em sys ´emu y, y′
y2
y2
0
+(y′)2
y2
0c2= 1
se s ˇ edem poˇc´a ku, s odo o nou poloosou y0a s islou poloosou cy0.
T ajek o ie ˇ eˇsen´ı lze u ˇci ak´e pˇ ´ımo in eg ac´ı. Ro nici (7.7) yn´asob´ıme y′. Z´ıskanou
o nos y′y′′ +c2y y′= 0 in eg ujeme na 1
2(y′)2+1
2c2y2=K. Z poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınek
y(0) = y0,y′(0) = 0 plyne K=1
2c2y2
0. Z o nice plyne
y′=±c√y2
0−y2, y ∈ ⟨−y0, y0⟩.
Zb´y ´a zjis i o ien aci ajek o i´ı. T ajek o ie ˇ eˇsen´ı
y(x) = y0cos(cx) p o x= 0 je bod (y(0), y′(0)) = (y0,0)
s eˇcn´ym ek o em (y′(0), y′′(0)) = (0,−c2), elipsy jsou
p o o o ien o an´e podle pohybu hodino ´ych uˇciˇcek, j.
z´apo n´em smyslu. To je souladu s p a idlem, ˇze a-
jek o ie nad osou yjsou o ien o ´any p a o, pod osou
le o a osy yp o ´ınaj´ı ”s isle“.
Vˇsechna ˇ eˇsen´ı jsou pe iodick´a. Jak´a je pe ioda T?
Funkce kosinus m´a pe iodu 2π, p o o d´elka pe iody T
podle o nice cT = 2πje T= 2π/c = 2π√ℓ/g.
D´elka pe iody edy nez´a is´ı na ozkmi u, os e s od-
mocninou d´elky ky adla ℓa zmenˇsuje se s odmocninou
g a i aˇcn´ı kons an y g— na Mˇes´ıci s menˇs´ım gs ejn´e
ky adlo kmi ´a pomaleji neˇz na Zemi.
y
y′
Ob . 42: T ajek o ie linea izo ´e
o nice ky adla p o c=6
5.
Pˇ
´
ıklad 7.24 U ˇce e ajek o ie ˇ eˇsen´ı neline´a n´ı o nice y′′ +c2sin(y) = 0.
V pˇ ´ıpadˇe neline´a n´ı o nice je si uace mnohem zaj´ıma ˇejˇs´ı, nas anou ˚uzn´e si uace.
Ro nici yn´asob´ıme y′, ˇc´ımˇz z´ısk´ame o nici y′y′′ +c2sin y·y′= 0. In eg ac´ı z´ısk´ame
1
2(y′)2−c2cos(y) = K . (7.8)
81
U ˇceme ajek o ie ˇ eˇsen´ı. Z o nice (7.8) plyne y′=±√2(K+c2cos y). Odmocnina na
p a ´e s anˇe je defino ´ana p o
K+c2cos y≥0.(7.9)
P o oˇze unkce kosinus nab´y ´a hodno y z in e alu ⟨−1,1⟩, ozliˇs´ıme pˇ ´ıpady:
(a) Jes liˇze K=−c2, po om z (7.9) plyne cos y= 1, edy y= 2kπ,k∈Zay′= 0.
Dos ´a ´ame ak spoˇce nˇe mnoho singul´a n´ıch bod˚u [y, y′] = [2kπ, 0] p o k∈Z. Jsou
o si uace, kdy ky adlo je klidu e s abiln´ı doln´ı poloze.
(b) Jes liˇze K∈(−c2, c2), po om (7.9) pla ´ı z´akladn´ı pe iodˇe ⟨−π, π⟩p o hodno y
y∈ ⟨−y0, y0⟩, kde y0= a ccos(−K/c2)>0. Jsou o pˇ ´ıpady, kdy ky adlo z k ajn´ı
polohy y=y0(|y0|< π) pˇ ech´az´ı do opaˇcn´e polohy y=−y0a pak ob ´acenˇe.
Analogick´a si uace je in e alech y∈(−π+ 2kπ, π + 2kπ).
(c) Jes liˇze K=c2a pˇ i om y′= 0, po om p o y= (2k+ 1)πdos aneme singul´a n´ı
body, kdy ky adlo je opˇe klidu ale ho n´ı nes abiln´ı poloze.
(d) Jes liˇze K=c2ay′= 0, po om z´akladn´ı pe iodˇe yp ob´ıh´a in e al (−π, π). Je
o si uace, kdy ky adlo se z limi n´ı polohy π ˇcase y→ −∞ pohybuje z´apo n´em
smˇe u do polohy y→π ˇcase x→ ∞, nebo ob ´acenˇe: z polohy y→ −πdo polohy
y=π kladn´em smˇe u. Analogick´a si uace je in e alech y∈(−π+2kπ, π+2kπ).
(e) Jes liˇze K > c2, po om K+c2cos yje kladn´e ˇsechna y∈Ra ky adlo se oˇc´ı s ´ale
kladn´em smˇe u nebo s ´ale z´apo n´em smˇe u.
Jak´a je klasifikace singul´a n´ıch bod˚u? Body (2kπ, 0) – doln´ı s abiln´ı polohy – jsou
p o o singul´a n´ı body ypu s ˇ ed a body (2kπ +π, 0) – ho n´ı nes abiln´ı polohy – jsou
ypu sedlo, iz Ob . 43.
y
y′
Ob . 43: F´azo ´y po ´e neline´a n´ı o nice ky adla p o c=6
5, singul´a n´ı body jsou ypu s ˇ ed,sedlo.
82
Pozn´
amky 7.25
(a) Ro nice (7.8) je las nˇe z´akon zacho ´an´ı mechanick´e ene gie. Kine ick´a ene gie bodu
o hmo nos i mpohybuj´ıc´ı se ychlos ´ı =ℓy′je Ekin(x) = 1
2m 2=1
2m(ℓy′)2.
Po enci´aln´ı ene gie bodu o hmo nos i m g a i aˇcn´ım poli e ´yˇsce h=−ℓcos(y)
je Epo =mgh =−mgℓ cos y. Podle z´akona o zacho ´an´ı mechanick´e ene gie
E=Ekin +Epo =1
2mℓ2(y′)2−mgℓ cos(y) = Km = kons .
(b) Linea izo an´a o nice (7.7) je ap oximac´ı neline´a n´ı o nice (7.6) okol´ı y= 0. Pˇ i
z ˇe ˇso ´an´ı ozkmi u y0se chyba z ˇe ˇsuje, si uace (c) – (e) uˇz linea izo an´a o nice
nedo ede popsa .
(c) Fyzik´aln´ı ky adlo ede na s ejnou o nici. Na ˇeleso ky adla o objemu V jeho
ˇeˇziˇs i Tp˚usob´ı s ejn´a g a i aˇcn´ı s´ıla G=mg, kde mje hmo nos cel´eho ky adla, jej´ı
eˇcn´a sloˇzka je opˇe F =−mg sin(θ). P o oˇze body ky adla maj´ı ˚uznou zd´alenos
od z´a ˇesu, New on˚u z´akon F=ma p o d ´aho ´e z ychlen´ı amus´ıme nah adi
z ahem M=Jα mezi momen em s´ıly M=F ℓ, kde ℓje ameno s´ıly, j. zd´alenos
ˇeˇziˇs ˇe Tod osy o ´aˇcen´ı, a ´uhlo ´ym z ychlen´ım α=θ′′, kde Jje momen se aˇcnos i
ky adla zhledem k ose o ´aˇcen´ı. Momen se aˇcnos i lze spoˇc´ı a in eg ac´ı souˇcinu
hus o y ρa ˇc e ce zd´alenos i x2+y2bodu od osy o ´aˇcen´ı:
J=∫V
(x2+y2)ρdV.
Dos ´a ´ame o nici Jθ′′ +mgℓ sin θ= 0. Pˇ i oznaˇcen´ı c2=mgℓ
Jdos ´a ´ame
θ′′ +c2sin θ= 0 .
(d) Pe ioda ky ˚u (ˇcas ky u am a zpˇe ) line´a n´ım modelu je T= 2πc nez´a is´ı na
ozkmi u y0. Z´a is´ı jenom na d´elce ℓky adla a g a i aˇcn´ım z ychlen´ı g.
(e) Jak´a je d´elka ky u T neline´a n´ım pˇ ´ıpadˇe? Naznaˇcme me odu ´ypoˇc u. Pˇ i oz-
kmi u, j. maxim´aln´ı ´ychylce y0, je ychlos y′= 0. Z o nice (7.8) dos aneme
K=−c2cos y0. P o os ouc´ı ˇc´as ky u y′≥0 z o nice (7.8) po dosazen´ı za K
plyne y′=c√2(cos y−cos y0).
Zamˇeˇnme oli z´a isl´e a nez´a isl´e p omˇenn´e: m´ıs o y(x) u aˇzujme nezn´amou x(y).
De i ace z ahu y(x(y)) = ypodle yd´a ´a y′(x(y)) ·x′(y) = 1, odkud dos ´a ´ame
x′(y) = 1/y′(x(y)). In e zn´ı nezn´am´a x(y) p o o splˇnuje o nici
dx
dy(y) = 1
c√2(cos y−cos y0).
Pe ioda ky adla Tje ˇc yˇ n´asobek ˇcasu mezi y= 0 a ozkmi em y0∈ ⟨0, π). Z´ısk´ame
ji in eg ac´ı
T= 4 1
c√2∫y0
0
1
√cos y−cos y0
dy= 4 √ℓ
2g∫y0
0
1
√cos y−cos y0
dy .
Je o z . elip ick´y in eg ´al, p imi i n´ı unkci nelze yj´adˇ i pomoc´ı elemen ´a n´ıch
unkc´ı. P o y0→π−jde ˇcas Tdo nekoneˇcna.
83
Pˇ ´ıklady z populaˇcn´ı biologie
Spoji ´e ma ema ick´e modely biologii, iz napˇ . [8], edou na o nice a sous a y
obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic. Pokud se nˇejˇs´ı podm´ınky ˇcase nemˇen´ı, o nice i
sous a y jsou au onomn´ı. U edeme p´a pˇ ´ıklad˚u. Nap o i pˇ edchoz´ımu yzik´aln´ımu je u
ma ema ick´eho a yzik´aln´ıho ky adla, k e ´y je e s ´e idealizo an´e podobˇe zcela pˇ esn´y,
modely biologii pˇ in´aˇsej´ı ˇ adu ap oximac´ı: jedince oˇ ´ıc´ı populaci po aˇzujeme za iden-
ick´e,ne ozliˇsujeme jejich ˇek, pohla ´ı, elikos ani jin´e indi idu´aln´ı cha ak e is iky, jejich
poˇce , coˇz je e sku eˇcnos i nez´apo n´e cel´e ˇc´ıslo, nah azujeme nez´apo n´ym e´aln´ym ˇc´ıslem,
pˇ ´ı ˚us ek e´aln´e si uaci nas ´a ´a ˇzdy s jis ´ym ˇcaso ´ym zpoˇzdˇen´ım, a d. Pˇ es a o a
dalˇs´ı zjednoduˇsen´ı, modely d´a aj´ı zaj´ıma ´e ´ysledky, k e ´e ys ˇe luj´ı nˇek e ´e sku eˇcnos i.
Omez´ıme se ak´e jen na de e minis ick´e modely.
Modely dynamiky populac´ı
M´ıs o oznaˇcen´ı uˇz´ı an´eho ma ema ick´e biologii zacho ´ame naˇse oznaˇcen´ı z ODR
z pˇ edchoz´ıch ˇc´as ´ı s nez´a islou p omˇennou x, k e ´a h aje oli ˇcasu, a z´a islou p omˇennou
y(pˇ ´ıpadnˇe y= (y1, y2)), k e ´a popisuje poˇce jedinc˚u ˇcase x. Bude o nez´apo n´a e´aln´a
unkce y(x). V´y oj poˇc u populace bude z´a ise jen na elikos i populace a nebude z´a ise
pˇ ´ımo na ˇcasu x. Obecn´y model ak ede na au onomn´ı o nici p n´ıho ˇ ´adu:
y′= (y)≡µ(y)·y , y(0) = y0≥0
spa ame em ˚us u µ(y), k e ´y ud´a ´a poˇce µ·∆xno ˇe znikl´ych jedinc˚u na kaˇzd´eho
jedince za ˇcaso ´y ´usek ∆x. V nejs a ˇs´ım Mal huso ˇe modelu y′=a y je pa ame ˚us u
kons an n´ı µ(y) = a, pa ame aje po odnos −´um nos .´
Uloha m´a jednoznaˇcn´e ˇ eˇsen´ı
y(x) = y0·eax. Podle oho o modelu p o a > 0 poˇce jedinc˚u os e exponenci´alnˇe do
nekoneˇcna, p o a= 0. Model odpo ´ıd´a sku eˇcnos i si uaci, kdy poˇce jedinc˚u je mal´y
a zd oje po a y jsou dos a eˇcn´e. K omˇe nulo ´eho ˇ eˇsen´ı jsou ˇsechna ˇ eˇsen´ı os ouc´ı,
nulo ´e ˇ eˇsen´ı y(x) = 0 je edy nea ak i n´ı uzel. Doplˇnme, ˇze p o a= 0 je poˇce jedinc˚u
kons an n´ı a p o a < 0 populace ym´ı ´a, nulo ´e ˇ eˇsen´ı je pˇ i aˇzli ´y uzel.
P o oˇze e´aln´em s ˇe ˇe zd oje po a y jsou omezen´e, pˇ i z ˇe ˇso ´an´ı mnoˇzs ´ı jedinc˚u
ynas ´a ´a sniˇzo ´an´ı pa ame u ˚us u. Poloˇzme napˇ ´ıklad µ(y) = a−b y. K pa ame u
˚us u ajsme pˇ idali pa ame bzpomalen´ı ˚us u. V om o pˇ ´ıpadˇe o nice
y′= (a−b y)y
s kladn´ymi pa ame y a, b edle ˇ eˇsen´ı y(x) = 0, coˇz je nea ak i n´ı uzel, m´a kons an n´ı
ˇ eˇsen´ı y(x) = ys=a/b. Je o ” o no ´aˇzn´y“ poˇce jedinc˚u, p o poˇc´a eˇcn´ı podm´ınku
y(0) < ysˇ eˇsen´ı y(x) s oup´a k ysa p o y(0) > ysˇ eˇsen´ı y(x) kles´a k ys. Singul´a n´ı ˇ eˇsen´ı
y(x) = ysje a ak i n´ı uzel, p o oˇze ˇsechna nenulo ´a ˇ eˇsen´ı se bl´ıˇz´ı k ” o no ´aˇzn´emu“
neboli ”ud ˇzi eln´emu“ ˇ eˇsen´ı ys(x).
Modely d ou populac´ı
U aˇzujme d ˇe ˚uzn´e populace ob´y aj´ıc´ı s ejn´y p os o . Poˇce jejich jedinc˚u ˇcase
xbudou nez´apo n´e e´aln´e unkce y1(x), y2(x), pˇ iˇcemˇz ´y oj jejich poˇc u bude z´a ise
jenom na okamˇzi ´em poˇc u jedinc˚u obou populac´ı. Obecn´y model ak ede na au onomn´ı
sous a u d ou obyˇcejn´ych di e enci´aln´ıch o nic p n´ıho ˇ ´adu:
y′
1= 1(y1, y2)≡µ1(y1, y2)y1, y′
2= 2(y1, y2)≡µ2(y1, y2)y2(7.10)
84
se spoji ´ymi unkcemi µ1(y1, y2), µ2(y1, y2). Sous a u dopln´ıme poˇc´a eˇcn´ımi podm´ınkami
y1(x0) = γ1,y2(x0) = γ2, kde γi≥0, ob ykle pˇ edpokl´ad´ame γi>0. P o jednoduchos
m´ıs o obecn´ych spoji ´ych unkc´ı µ1, µ2se ob ykle u aˇzuj´ı jednoduch´e line´a n´ı z´a islos i
s kons an n´ımi pa ame y, k e ´e popisuj´ı jedno li ´e li y. K o nic´ım y′
i= (ai−biyi)yi
pˇ id´ame ˇcleny ciy1y2popisuj´ıc´ı li d uh´e populace:
y′
1= (a1−b1y1+c1y2)y1, y′
2= (a2−b2y2+c2y1)y2.(7.11)
P o c1>0 populace y2z ˇe ˇsuje ˚us populace y1, za ´ımco p o c1<0 populace y2sniˇzuje
˚us populace y1. V´yznam pa ame u c2je analogick´y.
Podle znam´enek pa ame ˚u c1, c2 ozliˇsujeme ˇ i z´akladn´ı si uace:
(a) oba pa ame y c1, c2jsou kladn´e, jde o pˇ ´ıpad mu ualismu, ak´e symbi´ozy, kdy se
obˇe populace na z´ajem podpo uj´ı,
(b) oba pa ame y c1, c2jsou z´apo n´e, jde o konku enci,
(c) maj´ı opaˇcn´a znam´enka: c1<0, c2>0 jde o p edaci, kdy se p ed´a o y2se ˇzi ´ı
koˇ is ´ı y1. V pˇ ´ıpadˇe c1>0, c2<0 jde jen o ´ymˇenu ol´ı populac´ı.
Pomocn´e ´ysledky
P o zkoum´an´ı ajek o i´ı za edeme pojem nulkliny, iz [8, 12]. V naˇsem pˇ ´ıpadˇe d ou
p omˇenn´ych p n´ı nulklina je mnoˇzina bod˚u, e k e ´ych je p n´ı sloˇzka eˇcn´eho ek o u
(y′
1, y′
2) ˇ eˇsen´ı nulo ´a, j. y′
1= 0. V naˇsem pˇ ´ıpadˇe jsou o body ´azo ´eho p os o u splˇnuj´ıc´ı
1(y1, y2) = 0. V ˇech o bodech je eˇcna ˇ eˇsen´ı o nobˇeˇzn´a s osou y2. Analogicky d uhou
nulklinu oˇ ´ı body, e k e ´ych je d uh´a sloˇzka eˇcn´eho ek o u nulo ´a, j. y′
2= 0. Jsou o
body, kde 2(y1, y2) = 0, ˇech o bodech m´a eˇcn´y ek o smˇe osy y1. Singul´a n´ı body
jsou body ´azo ´eho p os o u leˇz´ıc´ı p ˚uniku nulklin p n´ıho a d uh´eho d uhu.
Abychom mohli u ˇci yp singul´a n´ıch bodu neline´a n´ı sous a y di e enci´aln´ıch o -
nic, po ˇ ebujeme u ˇci koˇ eny cha ak e is ick´eho polynomu pˇ ´ısluˇsn´e linea izo an´e o nice
om o bodˇe. Pokud y o koˇ eny maj´ı nenulo ou e´alnou ˇc´as , jsou nenulo ´e i okol´ı a
ˇ eˇsen´ı neline´a n´ı a linea izo an´e o nice maj´ı s ejn´y cha ak e .
Nech
’(ys
1, ys
2) je singul´a n´ım bodem sous a y o nic (7.10), j. ˇ eˇsen´ım sous a y o nic
1(y1, y2) = 0, 2(y1, y2) = 0. Po om linea izo an´a sous a a ODR je
y′
1=A11 (y1−ys
1) + A12 (y2−ys
2), y′
2=A21 (y1−ys
1) + A22 (y2−ys
2),
kde
A11 =∂ 1
∂y1
(ys
1, ys
2), A12 =∂ 1
∂y2
(ys
1, ys
2), A21 =∂ 2
∂y1
(ys
1, ys
2), A22 =∂ 2
∂y2
(ys
1, ys
2).(7.12)
Jej´ı cha ak e is ick´y polynom je
P(λ) = λ2−T (A)λ+ de (A),(7.13)
kde T (A) = A11 +A22 je s opa ma ice Aa de (A) = A11A22 −A12A21 de e minan ma ice
A. Pˇ i u ˇco ´an´ı koˇ en˚u e´aln´eho polynomu yuˇzijeme n´asleduj´ıc´ı zen´ı:
85

Vˇ
e a 7.26 (Koˇ
eny k ad a ick´
eho polynomu)
U aˇzujme polynom (7.13), j. P(λ) = λ2−T (A)λ+ de (A). Jeho disk iminan je
D= (T (A))2−4 de (A) = (A11 −A22)2+ 4 A12A21 .(7.14)
Po om pla ´ı:
(a) Pokud de (A)<0, disk iminan Dje kladn´y a polynom m´a d a e´aln´e nenulo ´e
koˇ eny λ1, λ2s opaˇcn´ymi znam´enky.
(b) Pokud de (A)≥0 a disk iminan D≥0, polynom m´a d a e´aln´e koˇ eny ne nu nˇe
˚uzn´e. Jes liˇze T (A)>0, koˇ eny jsou kladn´e, p o T (A)<0 koˇ eny jsou z´apo n´e.
(c) Pokud de (A)≥0 a D < 0, polynom m´a d a komplexnˇe sd uˇzen´e koˇ eny.
(d) Ve ˇsech pˇ ´ıpadech p o koˇ eny λ1, λ2pla ´ı: T (A) = λ1+λ2, de (A) = λ1λ2.
Jak o ypad´a naˇsem pˇ ´ıpadˇe sous a y o nic (7.11)? Pˇ edpokl´adejme, ˇze pa ame y
ai, bi, cijsou nenulo ´e. Ro nice 1=y1(a1−b1y1+c1y2) = 0 d´a ´a p n´ı nulkliny
y1= 0 , a1−b1y1+c1y2= 0 .(7.15)
V p n´ım k ad an u je o osa y2a pˇ ´ımka s n´ı ˚uznobˇeˇzn´a.
Ro nice 2=y2(a2−b2y2+c2y1) = 0 d´a ´a d ˇe d uh´e nulkliny
y2= 0 , a2−b2y2+c2y1= 0 .(7.16)
Je o osa y1a pˇ ´ımka s n´ı ˚uznobˇeˇzn´a. P ˚useˇc´ıky nulklin jsou singul´a n´ı body. Jsou o
ˇzdy ˇ i body S0= (0,0), S1= (a1/b1,0), S2= (0, a2/b2). Pokud ”ˇsikm´e“ nulkliny nejsou
o nobˇeˇzn´e, j. d=b1b2−c1c2= 0, jejich p ˚useˇc´ık je ˇc ´y singul´a n´ı bod, k e ´y oznaˇc´ıme
S12. Jednoduch´y ´ypoˇce d´a ´a
S12 = (ys
1, ys
2) = (a1b2+a2c1
b1b2−c1c2
,a2b1+a1c2
b1b2−c1c2)=(B1
d,B2
d),(7.17)
kde d=b1b2−c1c2,B1=a1b2+a2c1,B2=a2b1+a1c2. Z´aleˇz´ı jeˇs ˇe na om, zda p ˚useˇc´ık
S12 leˇz´ı p n´ım k ad an u.
Vyˇc´ısl´ıme nyn´ı pa ame y linea izo an´e sous a y singul´a n´ıch bodech. Ma ice A
koeficien ˚u (7.12) linea izo an´e sous a y pˇ ´ıpadˇe (7.11) m´a sloˇzky
A11 =a1−2b1y1+c1y2, A12 =c1y1, A21 =c2y2, A22 =a2+c2y1−2b2y2.(7.18)
V bodˇe S0= (0,0) pla ´ı A11 =a1,A12 =A21 = 0, A22 =a2. Cha ak e is ick´y polynom
P(λ) = λ2−(a1+a2)λ+a1a2(7.19)
m´a d a ne nu nˇe ˚uzn´e koˇ eny a1, a2.
V bodˇe S1= (a1/b1,0) pla ´ı A11 =−a1,A12 =a1c1/b1,A21 = 0, A22 =a2+a1c2/b1.
Cha ak e is ick´y polynom P(λ) a jeho disk iminan Dje
P(λ) = λ2−(B2
b1−a1)λ−a1
B2
b1
, D =(a1+B2
b1)2
.(7.20)
86
Podobnˇe singul´a n´ım bodˇe S2= (0, a2/b2) je A11 =a1+a2c1/b2,A12 = 0, A21 =a2c2/b2,
A22 =−a2a cha ak e is ick´y polynom P(λ) a jeho disk iminan D yjde
P(λ) = λ2−(B1
b2−a2)λ−a2
B1
b2
, D =(B1
b2
+a2)2
.(7.21)
Pokud d=b1b2−c1c2= 0, exis uje i ˇc ´y singul´a n´ı bod S12 = (B1/d, B2/d) . Spoˇc´ı ejme
koeficien y ma ice A om o singul´a n´ım bodu
A11 =−b1B1
d, A12 =c1B1
d, A21 =c2B2
d, A22 =−b2B2
d.
Koeficien y d´a aj´ı cha ak e is ick´y polynom P(λ) a jeho disk iminan D
P(λ) = λ2+b1B1+b2B2
dλ+B1B2
d, D =(b1B1−b2B2)2
d2+ 4 c1c2B1B2
d2.(7.22)
P obe me jedno li ´e pˇ ´ıpady podle znam´enek c1, c2, k e ´e u ˇcuj´ı si uaci.
1. Mu ualismus, symbi´oza – kladn´e c1, c2
Nech
’ ˇsechny pa ame y a1, a2, b1, b2, c1, c2jsou kladn´e. P o o B1, B2jsou ak´e kladn´e.
Na ´ıc pˇ edpokl´adejme, ˇze d=b1b2−c1c2je kladn´e4. Ro nice (7.11) u ˇcuj´ı nulkliny. P n´ı
nulkliny y′
1= 0 jsou d ˇe pˇ ´ımky: y1= 0, j. osa y2, a pˇ ´ımka a1−b1y1+c1y2= 0, k e ´a
ych´az´ı z singul´a n´ıho bodu S1= (a1/b1,0) s kladnou smˇe nic´ı b1/c1, iz Ob . 44.
V bodech p n´ıho k ad an u mezi obˇema polopˇ ´ımkami je hodno a y′
1= 1kladn´a,
p o o p n´ı sloˇzka y′
1 eˇcn´eho ek o u je kladn´a, a bodech p a o od p a ´e nulkliny je
sloˇzka eˇcn´eho ek o u z´apo n´a.
Analogicky yˇse ˇ eme d uh´e nulkliny y′
2= 0. Jsou o opˇe d ˇe pˇ ´ımky: y2= 0, j.
osa y1a pˇ ´ımka a2−b2y2+c2y1= 0 ych´azej´ıc´ı ze singul´a n´ıho bodu S2= (0, a2/b2)
s kladnou smˇe nic´ı c2/b2, iz Ob . 44. V bodech p n´ıho k ad an u mezi obˇema pˇ ´ımkami
je hodno a y′
2= 2kladn´a, p o o d uh´a sloˇzka eˇcn´eho ek o u y′
2je kladn´a, a bodech
nad ho n´ı nulklinou je sloˇzka eˇcn´eho ek o u z´apo n´a.
P o oˇze d > 0”ˇsikm´e“ nulkliny se p o ´ınaj´ı p n´ım k ad an u bodˇe S12 a ozdˇeluj´ı
ak p n´ı k ad an na ˇc yˇ i oblas i. Podle znam´enek sloˇzek eˇcn´eho ek o u Ob . 44
zak esl´ıme ”o ien aci“ eˇcn´ych ek o ˚u, j. e k e ´em k ad an u nebo na k e ´e poloose je
eˇcn´y ek o , p o oˇze jedno li ´ych oblas ech a na nulklin´ach je a o o ien ace kons an n´ı.
V Ob . 45 yk esl´ıme sku eˇcn´e eˇcn´e ek o y.
Vˇsimnˇeme si e ek u symbi´ozy: singul´a n´ı bod S12 pˇ i ahuje ˇsechna ˇ eˇsen´ı (mimo os
y1, y2) a d´a ´a yˇsˇs´ı ” o no ´aˇzn´e hodno y“ p o obˇe populace, neˇz jsou o no ´aˇzn´e hodno y
ai/biu obou populac´ı bez z´ajemn´eho li u. Ten o s a je p o o s abiln´ı a ”ud ˇzi eln´y“.
4Kdyby dbylo z´apo n´e, ”
ˇsikm´e“ nulkliny by se p o ´ınaly e ˇ e ´ım k ad an u. U ni ˇ p n´ıho k ad-
an u by obˇe populace limi ˇe os ly nade ˇs´ı meze, coˇz by edlo k des ukci p os ˇ ed´ı a n´asledn´emu
yhynu ´ı obou populac´ı. Naˇc nˇe e si ob ´azek!
87
y1
y2
S0S1
S2
S12
Ob . 44: Symbi´oza: nulkliny a singul´a n´ı body
(a1= 4; b1= 1; c1= 1/4; a2= 2; b2= 1; c2= 1/5).
y1
y2
S0S1
S2
S12
Ob . 45: Symbi´oza: eˇcn´e ek o y ajek o i´ı
(a1= 4; b1= 1; c1= 1/4; a2= 2; b2= 1; c2= 1/5).
2. Konku ence — z´apo n´e c1, c2
Pˇ edpokl´adejme, ˇze pa ame y a1, a2, b1, b2jsou kladn´e a pa ame y c1, c2z´apo n´e.
Ro nice (7.11) u ˇcuj´ı nulkliny. S ejnˇe jako pˇ ´ıpadˇe symbi´ozy p n´ı nulkliny y′
1= 0 jsou
d ˇe pˇ ´ımky: y1= 0, j. osa y2, a ”ˇsikm´a“ pˇ ´ımka a1−b1y1+c1y2= 0, k e ´a ych´az´ı
ze singul´a n´ıho bodu S1= (a1/b1,0) se z´apo nou smˇe nic´ı b1/c1<0. S ejnˇe ak d uh´e
nulkliny y′
2= 0 jsou d ˇe pˇ ´ımky: y2= 0, j. osa y1a”ˇsikm´a“ pˇ ´ımka a2−b2y2+c2y1= 0,
k e ´a ych´az´ı ze singul´a n´ıho bodu (0, a2/b2) se z´apo nou smˇe nic´ı c2/b2<0.
V naˇsem pˇ ´ıpadˇe konku ence se p n´ı nulkliny na ´ıc p o ´ınaj´ı p n´ım k ad an u na
kladn´e poloose y2 p ˚useˇc´ıku P1= (0,−a1/c1). Tak´e d uh´e nulkliny se p o ´ınaj´ı na kladn´e
poloose y1 bodˇe P2= (−a2/c2,0). Pozo , y o p ˚useˇc´ıky o ˇsem nejsou singul´a n´ımi body,
p o ´ınaj´ı se zde d ˇe p n´ı nebo d ˇe d uh´e nulkliny. Na ´ıc, pokud koeficien d=b1b2−c1c2
je nenulo ´y, ˇsikm´e nulkliny se p o ´ınaj´ı.
Jak´e je poˇ ad´ı bod˚u S1aP2na poloose y1? Jes liˇze B2=a2b1+a1c2>0, po om
a2b1>−a1c2>0, odkud plyne −a2/c2> a1b1, edy p ˚useˇc´ık P2leˇz´ı p a o za singul´a n´ım
bodem S1. V opaˇcn´em pˇ ´ıpadˇe B2<0 p ˚useˇc´ık P2leˇz´ı le o pˇ ed S1. Podobnˇe pˇ ´ıpadˇe
B1=a1b2+a2c1>0 na poloose y2p ˚useˇc´ık P1leˇz´ı nad bodem S2, p o B1<0 bod P1
leˇz´ı pod bodem S2. V pˇ ´ıpadˇe B1= 0 nebo B2= 0 body P1, S2nebo P2, S1spl´y aj´ı.
Rozliˇs´ıme p o o ˇ i gene ick´e5si uace podle znam´enek B1, B2.
2.a ”Slab´a konku ence“ – kladn´e B1, B2
V om o pˇ ´ıpadˇe na poloose y1bod P2leˇz´ı za bodem S1a na poloose y2bod P1leˇz´ı
za bodem S2, iz Ob . 46. Jak´e je d? Z podm´ınky B1>0 plyne b2/a2>−c1/a1>0,
podm´ınka B2>0 d´a ´a b1/a1>−c2/a2>0. Souˇcin obou ne o nos ´ı po yn´asoben´ı
a1a2>0 d´a ´a b1b2> c1c2, odkud plyne d > 0. To po zuje sku eˇcnos , ˇze p ˚useˇc´ık S12,
leˇz´ı p n´ım k ad an u, jeho souˇ adnice, iz (7.17), jsou kladn´e.
Nulkliny se p o ´ınaj´ıc´ı se singul´a n´ım bodˇe S12 ozdˇeluj´ı p n´ı k ad an na ˇc yˇ i
ˇc´as i. Podle znam´enek 1, 2 yk esl´ıme nich ”o ien aci“ pˇ ´ısluˇsn´ych eˇcn´ych ek o ˚u
(y′
1, y′
2), iz Ob . 46.
5Gene ick´e si uace jsou ako ´e, k e ´e nejsou ´yjimeˇcn´e, j. nemaj´ı nulo ou p a dˇepodobnos , a nemˇen´ı
se pˇ i mal´e zmˇenˇe. Ro nos d ou spoji ´ych eliˇcin je ´yjimeˇcn´a, zmˇena obou eliˇcin m˚uˇze zmˇeni o nos
na jednu nebo opaˇcnou ne o nos .
88
Jak´eho ypu jsou singul´a n´ı body? Podle (7.19) je bod S0nea ak i n´ı uzel. Podle
(7.20) a (7.21) cha ak e is ick´e polynomy bodech S1aS2maj´ı z´apo n´y ˇclen de (A),
maj´ı p o o e´aln´e koˇ eny s opaˇcn´ymi znam´enky a singul´a n´ı body S1,S2jsou ud´ıˇz sedla.
Ve ˇc ´em singul´a n´ım bodˇe S12 podle (7.22) je de (A) = B1B2/d kladn´y, disk imi-
nan Dkladn´y a s opa T (A) je z´apo n´a. Podle Vˇe y 7.26 koˇ eny jsou z´apo n´e. Bod S12
je p o o pˇ i aˇzli ´y uzel. P o kon olu yk esleme smˇe o ´e ek o y Ob . 47, po zuj´ı
ypy singul´a n´ıch bod˚u.
Jak´e je hodnocen´ı si uace? Vˇsechny ajek o ie (k omˇe bod˚u y1y2= 0) smˇeˇ uj´ı do
a ak i n´ıho bodu S12, k e ´y d´a ´a obou d uh˚um o no ´aˇzn´y s abiln´ı s a , k e ´y je menˇs´ı
pˇ ´ıpadˇe jedn´e populace. Oba d uhy ˇsak pˇ eˇz´ı aj´ı.
y1
y2
S0S1P2
S2
P1
S12
Ob . 46: Slab´a konku ence: nulkliny a sing. body
(a1= 4; b1= 2; c1=−1; a2= 3; b2= 1; c2=−0.6).
y1
y2
S0S1P2
S2
P1
S12
Ob . 47: Slab´a konku ence: eˇcn´e ek o y
(a1= 4; b1= 2; c1=−1; a2= 3; b2= 1; c2=−0.6).
2.b ”Siln´a konku ence“ – z´apo n´e B1, B2
V om o pˇ ´ıpadˇe na poloose y1bod P2leˇz´ı pˇ ed bodem S1a na poloose y2bod P1
pˇ ed bodem S2, iz Ob . 48. D´ıky z´apo n´ym B1, B2m´ame ne o nos i 0 < b2/a2<−c1/a1
0< b1/a1<−c2a2jej´ıchˇz yn´asoben´ı d´a ´a b1b2< c1c2, p o o d < 0 a (7.17) souˇ adnice
bodu S12 jsou kladn´e. Nulkliny se p o ´ınaj´ıc´ı se singul´a n´ım bodˇe S12 ozdˇeluj´ı p n´ı
k ad an na ˇc yˇ i ˇc´as i. Podle znam´enek 1, 2 yk esleme nich o ien aci pˇ ´ısluˇsn´ych
eˇcn´ych ek o ˚u (y′
1, y′
2), iz Ob . 48.
Jak´eho ypu jsou singul´a n´ı body? Podle (7.19) je bod S0nea ak i n´ı uzel. Podle
(7.20) bodˇe S1cha ak e is ick´y polynom (7.20) m´a d´ıky B2<0 z´apo nou s opu T (A)
a nez´apo n´y disk iminan D. Koˇ eny λ1, λ2jsou p o o z´apo n´e a podle Vˇe y 7.26 singul´a n´ı
bod S1je pˇ i aˇzli ´y uzel. Analogick´ym ´ypoˇc em lze zjis i , ˇze singul´a n´ı bod S2je ak´e
pˇ i aˇzli ´y uzel.
V singul´a n´ım bodˇe S12 cha ak e is ick´y polynom P(λ), iz (7.22), z´apo n´y de (A),
p o oˇze B1, B2, d jsou z´apo n´e. Podle Vˇe y 7.22 P(λ) m´a p o o e´aln´e koˇ eny s opaˇcn´ymi
znam´enky a podle Vˇe y 7.10 singul´a n´ı bod S12 je sedlo.
P o kon olu yk esleme smˇe o ´e ek o y Ob . 49, po zuj´ı yp singul´a n´ıch bod˚u.
Jak´e je hodnocen´ı si uace? Na ozd´ıl od slab´e konku ence a ak i n´ı jsou s a y na
poloos´ach y1ay2. T ajek o ie p o o smˇeˇ uj´ı bud’do bodu S1nebo S2, edy bud’jedna
nebo d uh´a populace yhyne, z´aleˇz´ı na poˇc´a eˇcn´ıch podm´ınk´ach.
89