!
La o mació inicial de ma emà iques
pe a mes es de P imà ia: del ac amen de les
concepcions p è ies a l'ac uació p o essional
Ca me Bu gués Flama ich
Aques a esi doc o al es à subjec a a la llicència Reconeixemen - NoCome cial –
SenseOb aDe i ada 4.0. Espanya de C ea i e Commons.
Es a esis doc o al es á suje a a la licencia Reconocimien o - NoCome cial – SinOb aDe i ada
4.0. España de C ea i e Commons.
This doc o al hesis is licensed unde he C ea i e Commons A ibu ion-NonComme cial-
NoDe i s 4.0. Spain License.
Uni e si a de Ba celona
Depa amen de Didàc ica de les Ciències Expe imen als
i la Ma emà ica
La o mació inicial de ma emà iques pe a mes es de
P imà ia: Del encamen de les concepcions p è ies a
l’ac uació p o essional
Ca me Bu gués Flama ich
2005
Uni e si a de Ba celona
La o mació inicial de ma emà iques pe a mes es de
P imà ia: Del encamen de les concepcions p è ies a
l’ac uació p o essional
Ca me Bu gués Flama ich
Depa amen de Didàc ica de les Ciències
Expe imen als i la Ma emà ica
P og ama de: Didàc ica de les Ciències
Expe imen als i la Ma emà ica
Bienni: 1995-1997
Pe op a al í ol de Doc o en Filoso ia i Ciències
de l’Educació. Secció: Ciències de l’Educació.
Di ec o : Joaquim Giménez Rod íguez
Tu o : Josep Mª Núñez Espalla gues

Índex
Índex
Capí ol 1 . In oducció.
P esen ació .........................................................................................................................3
1.1. In encions i es uc u a de la memò ia .................................................................................5
1.2. La p oblemà ica de l’ es udi ................................................................................................9
1.3. P oblema de la esi. Objec ius. Hipò esi ...........................................................................18
Capí ol 2. Ma c eò ic pe al model de desen olupamen .
P esen ació........................................................................................................................23
2.1. Rece ca pe desen olupamen . Desc ipció i jus i icació...................................................25
Rece ca pe desen olupamen i o mació inicial d’ensenyan s................................27
T ajec ò ies hipo è iques de o mació inicial i p àc ica p o essional........................29
Fases de la ece ca pe desen olupamen ...............................................................33
2.2. El mes e de P imà ia com a p o essional educado ma emà ic.......................................35
Ca ac e ís iques i pe il gene alis a –especiali za ....................................................35
El mes e de P imà ia com educado ma emà ic......................................................40
El mes e de p imà ia com a memb e d’una comuni a p o essional........................42
2.3. Sob e el desen olupamen p o essional............................................................................45
El desen olupamen com a can i. Obs acles...........................................................46
Desen olupamen , e lexió i expe iència..................................................................47
El desen olupamen com a aula d’ap enen a ge.....................................................50
El desen olupamen p o essional com a cons ucció pe sonal................................52
2.4. Componen s ma emà ica i es a ègica del desen olupamen p o essional .......................55
2.5. Componen ac i udinal del desen olupamen p o essional................................................60
Ap eciacions, c eences i in encions de o mació....................................................60
Índex
E ec es de les c eences............................................................................................63
Sis emes de c eences i ap eciacions .......................................................................64
2.6. Desen olupamen p o essional i p àc ica si uada..............................................................65
Els p ocessos de p àc ica d’ap end e a ensenya ....................................................67
Relació en e coneixemen i p àc ica p o essional ...................................................69
2.7. Bases pe a un model de desen olupamen p o essional .................................................72
P incipis de o mació ................................................................................................72
Sob e el pape del o mado i el p océs de desen olupamen .................................77
In encions sob e les p àc iques i compe ències p o essionals.................................79
Capí ol 3. L' es udi.
P esen ació........................................................................................................................85
3.1.Me odologia i ases de l’es udi...........................................................................................87
3.2. Con ex i subjec es de l’es udi ..........................................................................................91
Sob e el coneixemen p e i de l’alumna ..................................................................93
Posicionamen de l’alumna ......................................................................................98
Sob e l’au oges ió dels ap enen a ges ...................................................................103
L’alumna de la mos a pe a l’anàlisi e ospec i a................................................105
La ece cado a i els seus condicionan s.................................................................105
3.3. Cons uc es i ins umen s pe a l’ anàlisi e ospec i a de la p àc ica..............................109
(a) Anàlisi del posicionamen dels u u s ensenyan s.............................................109
(b) Anàlisi del discu s i desen olupamen p o essional.........................................113
Sob e la millo a epis emològica sob e el signi ica de les ma emà iques.........113
Sob e la componen in e p e a i a –es a ègica ..............................................114
Sob e el con ingu p o essional en l’aspec e compo amen al/ ac i udinal......116
(c) Anàlisi de les cons uccions concep uals ..........................................................117
(d) Anàlisi de la complexi a ma emà ica ................................................................118
3.4. O gani zació del cu s. Mac ocicles. Disseny. Uni a s ......................................................119
Mac ocicle 1............................................................................................................122
Índex
Mac ocicle 2 ...........................................................................................................125
3.5. O gani zado s cu icula s.................................................................................................129
3.6. Ca ac e i zació del eball. A aluació i egulació del p océs............................................132
Ca ac e i zació de la me odologia .....................................................................134
A aluació i egulació del p océs. ............................................................................137
3.7. Un exemple d’uni a : “Igual i di e en .............................................................................138
Sessió 1. Igual i di e en .........................................................................................143
Sob e les ajec ò ies hipo è iques d’ap enen a ge.................................................160
3.8. Sob e les in encions de o mació en l ‘ es udi expe imen al ............................................161
Capí ol 4. P ime a anàlisi del p océs de o mació . Mac ocicle 1.
P esen ació......................................................................................................................167
4.1. Expe imen ació a l’aula ...............................................................................................169
4.2. Ac i i a 1. Sob e de inicions i ep esen acions ............................................................173
4.3. Ac i i a 2. A o ga signi icació ma emà ica i didàc ica com a con ingu p o essional.....188
4.4. Ac i i a 3. Sob e la elle ància del con ingu ma emà ic. Anàlisi de p opos es
d’a aluació eali zades ...........................................................................................197
4.5. Ac i i a 4. L’au o egulació del con ingu ma emà ic .......................................................208
4.6. Ac i i a 5. Sob e el alo p o essional del coneixemen ma emà ic i didàc ic ................222
4.7. Ac i i a 6. Anàlisi d’una ac i i a d’ a aluació in e na ....................................................237
4.8. Sob e els esul a s al mac ocicle 1 ...............................................................................253
Capí ol 5. Segona Anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2.
P esen ació ......................................................................................................................263
5.1. Expe imen ació a l' aula. Mac ocicle ...............................................................................265
5.2. Ac i i a 7. Sob e la cons ucció concep ual a l’escola. El cas de la in oducció
de concep es ........................................................................................................269
Índex
5.3. Ac i i a 8. Cons a ació de posicionamen s i ap eciacions p o essionals.
Ac i i a d’elabo ació i sín esi. ...............................................................................280
5.4. Ac i i a 9. In eg ació de coneixemen s. Valo ació de seqüències d’ap enen a ge
en llib es de ex ......................................................................................................306
5.5. Ac i i a 10. Sob e el alo dels dissenys ins uc ius. Anàlisi de p opos es de
p og amació ...........................................................................................................321
5.6. Ac i i a 11. Anàlisi de esul a s en l’a aluació suma i a del p océs ..............................341
5.7. Sob e els esul a del mac ocicle 2...............................................................................361
Capí ol 6. Conclusions i p ospec i a
P esen ació......................................................................................................................373
6.1. Validesa del eball eali za ...........................................................................................375
6.2. Conclusions sob e la RD i el p océs de o mació ...........................................................378
6.3. Sob e els aspec es ma emà ics del desen olupamen p o essional. Conclusions
sob e l’ anàlisi e ospec i a ..................................................................................384
6.4. Sob e els aspec es es a ègics del desen olupamen p o essional. Conclusions
sob e l’anàlisi e ospec i a ....................................................................................388
6.5. Sob e els aspec es ac i udinals del desen olupamen p o essional .Conclusions
sob e l’ anàlisi e ospec i a...................................................................................391
6.6. Implicacions pe al desen olupamen de p og ames de o mació inicial........................397
6.7. P ospec i a ...............................................................................................................399
Bibliog a ia.............................................................................................................................401
4 Capí ol 1

In oducció 5
1.1. In encions i es uc u a de la memò ia.
Rece ca, desen olupamen cu icula , docència, col·labo ació amb
l'adminis ació, e c., son asques de " e " quelcom pe l’educació ma emà ica, en
bene ici dels nens i nenes i dels jo es. Cal pe ò a u a -se, de an en an , pe e una
e lexió més p o unda de l’habi ual. Això es el que pensem que ha es a pe nosal es
la eali zació de la nos a memò ia de esi doc o al.
Els o mado s de mes es, igual que demanem als al es docen s, hem de
dedica -nos ambé a e lexiona sob e la nos a asca com a educado s ma emà ics.
En el cas p esen , la ece ca emp esa ha es a el desencadenan d'una p o unda
e lexió sob e la asca de o mació inicial de mes es. Com a esul a d’un lla g
p océs d’obse ació i d’expe imen ació e en els da e s in anys amb cen ena s
d’alumnes, a ui ja mes es, ens hem sen i mo i a s a a, i no abans, a e un eball
igo ós de sín esi, una anàlisi d’expe iències con as ables i un desen olupamen de
e lexió sis emà ic passan d’unes accions pe sonals a una base eò ica supo
d’una p axis plu al. La mo i ació pel ema de esi escolli neix de la nos a
expe iència en la o mació de mes es i del desig de o mali za , algunes p opos es
sob e la o mació que siguin aplicables en con ex os semblan s als nos es.
El eball de ece ca ia es un es udi sob e una expe iència de o mació
d’ensenyan s de P imà ia en Ma emà iques pe a desen olupa p o essionalmen a
l’alumna . Especí icamen pel que a l’es ablimen de connexions, econeixemen de
signi ica s a i mè ics i ep esen acions, i els coneixemen s didàc ics associa s.
Hem ia com a mè ode de ece ca, l’anomena “ ece ca pe
desen olupamen ”, que espon a l’in e ès de combina docència i ece ca.
In e p e em la ece ca pe desen olupamen com una ba eja de desen olupamen
cu icula i ece ca educa i a, en la que el desen olupamen d’ac i i a s
ins uccionals es usa com a signi ica pe explica , a alua , ajus a i expandi una
eo ia ins uccional. Implica conside a -la com un can i de pe spec i a, i un augmen
6 Capí ol 1
de la sensibili a d’obse ació, doncs cal es a a en al que passa a l’aula, i implica
ambé la capaci a d’a on a la complexi a de la si uació. És un p océs cíclic que
p en idees de di e sos ecu sos (cu ículum, ex os d’educació ma emà ica, esul a s
de ece ques) pe cons ui una seqüència ins uccional que es a e-dissenyan i
comp o an .
Es em especialmen in e essa s en eu e com els u u s docen s poden
ap end e a es abli aonamen s p o essionals a pa i d’un eball o ien a pe un
plan ejamen ealis a de la o mació. Això implica que necessi em dissenya un
ambien ins uc iu que sigui la base d’aques p océs de o mació i hem d’an icipa la
o mació de pa ons que ens pe me in a iba a aconsegui aques i.
No es gai e eqüen du a e me ece ca pe desen olupamen , ja que es
ac a d’un p océs més exigen que el p océs de ece ca-acció i implica una
e o mulació del ma eix. La p incipal di e ència es à en que no es a als esul a s de
l’ensenyamen sinó, en el nos e cas, a con ibui al c eixemen d’una eo ia sob e la
o mació.
En aques ipus de ece ca no es possible cenyi -se a o s els aspec es que
són conside a s impo an s des d’una pe spec i a de la me odologia de la ece ca
degu a la du ació del cu s i d’al es es iccions de la p àc ica dià ia. El concep e
d’objec i i a de la ece ca es ein e p e a com a in e subjec i i a , en la mesu a que
la in es igado a compa eix in e p e acions amb al es in es igado s.
Du an el p océs de ece ca es duu a e me la e isió in e p e a i a de les
ajec ò ies hipo è iques de o mació, ja que no es po sabe segu que és el que
ealmen ap end an els alumnes. El docen plani ica i an icipa aques p océs -
ajec ò ia, basan -se en el que sap de les di e ses aces indi iduals dels alumnes.
Pe això, és impo an que el ece cado sigui p esen a classe cada dia men e que
s’es à expe imen an una ajec ò ia (G a emeije , 2001). Una o ma d’aconsegui -ho
és p ecisamen que sigui el p opi o mado .
In oducció 7
Aques a ha es a la nos a opció, enin plena consciència que, en aques cas,
els esul a s de la ece ca es euen in luï s pe les c eences de la in es igado a, o i
el con as de l’in es igado ex e n a l’aula que ha e un seguimen de
l’expe imen ació i de l’anàlisi. Pe ac a -se d’una expe imen ació d’un any
acadèmic no es an e ilmacions de les classes pe ò el que si es a e és ecolli
mol a de la p oducció de o el g up i, en pa icula dels alumnes de la mos a, i
ambé ano acions pe pa de la o mado a del compo amen dels alumnes da an
les asques du es a e me.
Malg a els possibles incon enien s pel que a a les conclusions de la ece ca,
no s’ha olgu c ea un con ex a i icial, sinó que s’ha in en a eali za -la en les
condicions que es duu a e me el cu s de o mació en la Uni e si a de Ba celona de
mane a habi ual. L’objec iu és els esul a s es puguin u ili za pe millo a el disseny
dels cu sos de o mació i l’ap enen a ge dels alumnes dels cu sos u u s en alguns
aspec es.
Tenim comple a consciència que els esul a s de la ece ca són modes os, no
només pe les condicions pa icula s en les que s’ha p oduï , sinó ambé pe
l’eno me complexi a i una ce a inde inició de la o mació inicial de mes es de
P imà ia. També cal eni en comp e dues coses impo an s: es em ac an amb
adul s que no semp e col·labo en amb la se a dedicació i eball con inua i que
enen un ni ell de coneixemen de les ma emà iques mol p eca i.
En el p esen capí ol, de ca àc e in oduc o i, se si ua la p oblemà ica de la
o mació inicial de mes es de P imà ia en la ac uali a , es plan eja el ema de la
ece ca, els seus objec ius i es p esen en les hipò esi de eball.
En el capí ol 2 es mos a à inicialmen els p incipis de la ece ca pe
desen olupamen (RD), que és la o ma me odològica que decidim aplica al nos e
eball in es igado , es p esen a i jus i ica la RD com a con ingu i com a base pe a
8 Capí ol 1
comp end e la me odologia emp ada a la nos a ece ca i s’expliquen els cons uc es
necessa is. A con inuació, s’explici en els signi ica s a o ga s a les ajec ò ies
hipo è iques de o mació inicial en mac ocicles i mic ocicles i s’indiquen les ases i
o gani zació del p océs me odològic global de la ece ca. Desp és els cons uc es i
ins umen s u ili za s pe a l’anàlisi especí ica i inalmen , es desc iu el con ex i els
subjec es -es udian s amb els que es eali za o el eball expe imen al . S’exposen
les bases eò iques pe a la o mació d’ensenyan s. Es ac a el desen olupamen
p o essional, es plan egen els coneixemen s necessa is pe a l’exe cici de la
p o essió docen , els ipus de con ingu s i els p ocessos d’ap end e a ensenya ,
es ablin la elació en e coneixemen i p àc ica p o essional. Es desen olupen els
pe ils de mes e i educado ma emà ic i s’es ableixen les bases pe a un cu ículum
de o mació docen en ma emà iques, i les c eences i in encions de o mació.
En el capí ol 3 es mos a inicialmen els elemen s pe a una p opos a de
o mació, es complemen en amb les condicions i con ex de la p opos a i es eballa
la p ime a ase de p epa ació i disseny. Comencem pe cons i ui els mac ocicles pe
a po encia les connexions i es abli uns o gani zado s cu icula s que se eixen pe
a posa de mani es els di e en s aspec es de la p àc ica en conc e , dins un dels
mac ocicles. S’explica l’es il de o mació ca ac e i zan la me odologia i donan els
elemen s d’au o egulació. A con inuació es p esen a un exemple d’uni a del
p og ama d’es udi del p ime mac ocicle on s’apliquen els o gani zado s cu icula s.
Finalmen , es conc e en i esumeixen in encions de o mació que s’aplica an a les
ajec ò ies hipo è iques de o mació inicial (TRHIFI) a la ase següen .
Els capí ols 4 i 5 es co esponen amb la ase de l’expe imen ació a l’aula dels
mac ocicles 1 i 2 que co esponen a les dues assigna u es del cu s de o mació.
P ime es jus i ica l’elecció de mic ocicles pe a l’anàlisi. Es jus i iquen les asques
co esponen s en unció dels con ingu s p o essionals implica s i l’objec iu en e mes
de la ece ca. És a di , què espe em que ens apo i pe a les TRHIFI. A con inuació
es p esen en les sessions de classe conc e es amb els seus con ingu s de o mació,
les TRHIFI de e e ència pe l’anàlisi i els mini-ins umen s emp a s. La pa més
In oducció 9
ex ensa consis eix en la desc ipció de les ac i i a s, les conside acions sob e la
ajec ò ia hipo è ica co esponen i una p ime a anàlisi de les p oduccions dels
alumnes es udia s. En algun cas s’inclouen esul a s co esponen s a o el g up
classe pe a iba a jus i ica que el compo amen de les es alumnes es udiades
són una bona mos a de o el g up classe. Al inal d’aques s capí ols s’anali zen els
esul a s ob ingu s en els mac ocicles.
Finalmen , en el capí ol 6 es desc iu com s’ha acomple el p opòsi de
con ibui empí icamen a una eo ia sob e la o mació d’ensenyan s, i en pa icula ,
a l’anàlisi dels p ocessos de cons ucció i desen olupamen p o essional. Es jus i ica
el eball de ece ca quali a iu i e nog à ic que es conside a que és àlid i
ep oduc ible en ce es condicions. Es desc iu com s’ha desen olupa , explici an les
ca ac e ís iques d’una p opos a conc e a en l’àmbi de la ece ca pe
desen olupamen , in oduin una ein e p e ació de les ajec ò ies hipo è iques de
o mació inicial, o econeixen els elemen s compe encials gene als pe a la
o mació. Des d’una pe spec i a si uada, es aona sob e concepcions en el ma c de
la in e p e ació de la di e si a de signi ica s associa s als concep es ma emà ics i
en el ma c dels coneixemen s es a ègics desen olupa s. Amb això es desc iuen
p opos es de o mació, econeixen les limi acions de l’es udi eali za i es dona una
p ospec i a.
1.2. La p oblemà ica de l’es udi
Els ac uals plans d’es udis pe a la o mació inicial de mes es de P imà ia
pa eixen una sob ecà ega cu icula al p e end e p opo ciona la p epa ació
p o essional en es cu sos acadèmics. P essuposen ambé, unes bases sòlides del
con ingu especí ic d’allò que es ol ensenya i un in e ès i mo i ació cap a un es udi
ma cadamen p o essional.
Nogensmenys, la dis ància en e el emps de p epa ació i les necessi a s
o ma i es a que, en mol s casos, s’ap enguin es e eo ips i ècniques sense a iba

10 Capí ol 1
a la madu esa, què cal pe sabe , el pe què es an les coses i quan i pe què cald à
e -ho d’una mane a di e en . A més, les p àc iques disseminades en els es cu sos
no aconsegueixen posa a l’alumne en si uació de mes e .Tampoc ho
aconsegueixen les expe iències de Plans d’ Es udis que les concen en en un sol
cu s, l’úl im, doncs en els dos casos no pe me en el con as eo ia - imme sió du an
el p océs d’ap enen a ge de l’o ici de mes e.
Da an d’aques a si uació pensem que cal ap o i a al màxim cadascuna de
les ocasions que se’ns o e eix pe assegu a una co ec a o mació inicial, i anali za
el que succeeix en ce es condicions. És a di , si bé la o mació con inuada del
p o esso a és quelcom desi jable i necessa i al lla g de la ida p o essional sembla
opo ú plan eja -se no deixa pe a l’e apa p o essional allò que deu ia aconsegui -
se en les escoles de mes es.
És mol di ícil can ia les concepcions dels mes es un cop es oben
subme gi s en les obligacions dià ies i la p esa àpida de decisions. Alesho es la
e lexió p o unda i l’ac uali zació de coneixemen s eò ic -cien í ics o didàc ics es a
mol complicada. A més, massa so in l’inè cia del sis ema educa iu, a que mol a
o mació con inuada pe di la dimensió que hau ia de eni pe a cons i ui -se en un
segui de o macions inicials emà iques o me odològiques que deu ien es a
assumides.
Així, si bé di e ses ece ques s’han cen a en eu e com ap enen de o ma
mic o - obse ado a ( g up SEIEM 2004) els u u s mes es de P imà ia, el nos e
in e ès ol apo a una isió més global, pe al de econèixe algunes
ca ac e ís iques signi ica i es pe a una adequada o mació inicial dels Mes es de
P imà ia en la se a essan de u u s educado s ma emà ics de o ma que es
con emplin millo es en la se a capaci ació ma emà ica i pedagògic- p o essional.
Pa in de la hipò esi que desp és de deu o do ze cu sos de ma emà iques
eali za s a l’ensenyamen p e-uni e si a i es pod ia espe a un coneixemen del
In oducció 11
con ingu ma emà ic bàsicamen co ec e, enca a que no comple , dels concep es i
p ocedimen s ma emà ics que s’hau à d’ensenya . També o a desi jable que
inguessin una ac i ud posi i a cap al seu ap enen a ge i u ili a social i cien í ica.
Tanma eix la nos a expe iència, i la d’al es companys en la asca de
o mació de mes es com a educado s ma emà ics, ens ha mos a ei e adamen
que la si uació no es pas aques a. És pe això que, en les escoles de mes es, no es
po desen olupa una didàc ica de les ma emà iques sense p opo ciona
simul àniamen un coneixemen ma emà ic su icien que inclogui aspec es sob e la
na u alesa de les ma emà iques i el pape que an en la nos a socie a .
Ens manca més ece ca sob e la o mació docen inicial en Didàc iques
especí iques. Majo i à iamen la ece ca en didàc ica de les ma emà iques, a ni ell
in e nacional, s’ha cen a més en els ni ells escola s p ima i i secunda i, en els
dissenys cu icula s co esponen s i en el ecicla ge o pos a al dia dels ensenyan s
pe al d’adequa -los als can is i als esul a s de les in es igacions.
El e que, du an la o mació pe manen , l’ensenyan po aplica o
expe imen a immedia amen els con ingu s i apo acions que li a iben, ha e que
l’adminis ació educa i a i els col·lec ius p o essionals hi dediquessin o ça ecu sos i
menys a l’anàlisi de la o mació inicial. També es po ac a d’una manca de
p ospec i a del que pod ia implica en la p o essionali zació docen el dedica més
es o ços a la o mació inicial. En p incipi, aques a p io i zació hau ia de p opo ciona
bene icis impo an s: acció educa i a de més quali a , mes es inno ado s, ecu sos
didàc ics nous,e c. Pe ò les expe iències en o mació pe manen han mos a com
l’èxi espe a no a iba en la mesu a co esponen als es o ços in e i s. No sabem si
pe la inu ili a de l’acció o més a ia pel poc ence del plan ejamen conc e de la
o mació.
Això, en pa , ha p o oca que alguns g ups de ece ca hagin di igi el seu
in e ès cap a la o mació inicial d’educado s ma emà ics, en els ni ells elemen als,
12 Capí ol 1
pe assegu a una o mació bàsica sob e la que es pugui cons ui un coneixemen
p o essional més p o und i que pe me i el camí cap a l’expe esa.
Les de iciències de o mació ma emà ica en l’ensenyan dels ni ells p ima is
són un e comú a eu del món ( ICMI S udy 15, 2005). Pe an , pe a iba a la
o mació d’un mes e p omo o de coneixemen ma emà ic en els seus alumnes cal
comp a amb la si uació al com es p odueix. Enca a que pod ia dedui -se, en pa ,
d’aques e que cal p opo ciona , abans que es, una o mació ma emà ica al mes e
ens obem que degu al poc emps des ina a la se a o mació no es possible
a end e o s els aspec es implica s.
El lla g camí pe esde eni un mes e expe i “bon mes e” comença amb la
o mació uni e si à ia inicial. Com l’expe iència mos a, i no només en aques cas, la
o mació inicial po de e mina el umb de l’ i ine a i de la o mació cap a l’expe esa
o, més pe illós enca a, que no es sen i la necessi a de con inua -la. És pe la
impo ància decisi a que e la o mació inicial, que cal e una ece ca se iosa sob e
els plans d’es udis, els ma e ials i les me odologies pe du -la a e me.
Segons el documen del NCTM (1.991) que é un g an consens en e la
comuni a d’educado s ma emà ics els componen s essencials pel desen olupamen
del mes e de ma emà iques són:
• Reb e, com a alumnes, bons models d’ensenyamen ma emà ic.
• Teni el su icien coneixemen ma emà ic sob e concep es i p ocedimen s,
les se es ep esen acions, els mè odes de aonamen , la esolució de
p oblemes i la capaci a de comunicació amb di e sos ni ells de
o mali zació.
• Desen olupa les se es pe spec i es espec e de la na u alesa de les
ma emà iques, dels seus can is i del seu pape social.
In oducció 13
• Conèixe les ma emà iques escola s i els can is que es p odueixin.
• Conèixe els es udian s (6-12 anys) com a ap enen s de ma emà iques.
• Conèixe els aspec es elaciona s amb la didàc ica de les ma emà iques
( ecu sos, es a ègies, a aluació,...).
• Posa en la p àc ica indi idualmen o en g up els coneixemen s que es
agin adqui in so a la u ela d’un p o essional expe imen a .
• P end e pa ac i a en el disseny de la se a o mació pe manen i en els
di e sos ni ells pa icipa ius del sis ema educa iu.
Desp és de mol es anàlisi sob e la eali a ( In o me del Sena 2000, Ma in
Socas 2005) hem de econèixe que alguns d’aques s aspec es són oblida s
o çosamen en la o mació inicial i se’n p io i zen d’al es. Simon i B own (1997) an
oba que necessi a se més in es iga el què és un bon mes e de ma emà iques.
Algunes in es igacions, o a i din e del nos e país, han cen a la se a
a enció sob e el e ec e que é en els alumnes de magis e i el(s) pe íode(s) de
p àc iques en un cen e escola . Els esul a s ob ingu s han es a mol in e essan s i
han mos a com les concepcions p è ies de l’alumne p ac ican sob e la na u alesa
de les ma emà iques i sob e el que és ensenya i ap end e enen una o a in luència
en aques a imme sió a l’escola (Sanchez 1996, Blanco 1997). Pe ò ambé han dona
indicis impo an s, ens sembla, sob e l’e ec e que ha e en ells la o mació eò ica
ebuda a l’escola de mes es.
Pe an pe que es p odueixi el desen olupamen p o essional, cal que
l’es udian de mes e des del p incipi es comenci a compo a com un mes e.
Incloen en la se a o mació la se a pa icipació en ac i i a s de desen olupamen
Capí ol 2
Ma c eò ic
pe al model de desen olupamen

22 Capí ol 2
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 23
Qui classi ica és que ja é una eo ia
Classi ica és comença a comp end e
Comp end e pe me an icipa .
Jo ge Wagensbe g.
A ès que el nos e p oblema d’es udi es cen a en econèixe el alo eò ic
d’una p àc ica, pe mi jà de alida una p opos a cu icula , o anali zan els seus
e ec es en un g up d’es udian s, u u s p o esso s de P imà ia, decidim uni la
jus i icació me odològica de la esi amb els ins umen s i cons uc es que s’u ili zen.
Pe això, en aques capí ol es mos a inicialmen els p incipis de la ece ca pe
desen olupamen (RD), que és la o ma me odològica que decidim aplica al nos e
eball in es igado , es p esen a i jus i ica la RD com a con ingu i com a base pe a
comp end e la me odologia emp ada a la nos a ece ca i s’explica els cons uc es
necessa is. A con inuació, s’explici en els signi ica s a o ga s a les ajec ò ies
hipo è iques de o mació inicial en mac ocicles i mic ocicles, i s’indiquen les ases i
o gani zació del p océs me odològic global de la ece ca (2.1.).
Es desen olupen els pe ils de mes e com a educado ma emà ic que es
conside a (2.2.). En conc e , les ca ac e ís iques des del pun de is a
d’especiali zació, i com a memb e d’una comuni a p o essional. Es ac a el
concep e desen olupamen p o essional com a can i, com a p océs de e lexió, com
a expe iència, com a aula d’ap enen a ge i com a cons ucció pe sonal(2.3). A
con inuació es plan eja els componen s ma emà ic i es a ègic del desen olupamen
p o essional (2.4), així com la componen ac i udinal (2.5). Es mos a el sen i de la
p àc ica si uada i els p ocessos de p àc ica es ablin la elació en e coneixemen i
p àc ica p o essional (2.6). Finalmen es desc iuen les bases pe a un model de
o mació que conside i el desen olupamen , s’anali zen alguns e s del pape del
o mado i es cons a a un conjun de compe ències p o essionals que es enen com
a objec iu (2.7.).
24 Capí ol 2
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 25
2.1. Rece ca pe desen olupamen . Desc ipció i jus i icació.
Des de un pun de is a eò ic i me odològic eali zem una ece ca pe
desen olupamen (RD) pe què és un ipus de ece ca cen ada en el pa adigma
ecològic, accen ua pe eni una pe spec i a enomenològica, i que es à inspi ada en
el desig d’inno a en educació. Aques ipus de ece ca implica conceb e si uacions
d’enginye ia didàc ica, alida el eball d’anàlisi a p io i, elaciona les obse acions
eali zades amb el model eò ic i esponsabili za -se de l’anàlisi i les di e ses ases de
la ece ca. A con inuació mos em els p incipis en que es sus en a i com s’adap a als
nos es objec ius.
L’objec iu de la RD, o ambé anomenada ece ca disseny, no és mos a que
una ap oximació inno ado a a un ema és millo que la comú. L’objec iu és o e i
una e lexió eò ica onamen ada de cóm unciona la p opos a inno ado a. El
nucli de la RD es à o ma pels expe imen s d’ensenyamen que es cen en en el
desen olupamen de seqüències ins uc i es i posa de mani es les eo ies
ins uc i es que les sus en en (G a emeije , 1994). En el cas d’un expe imen
d’ensenyamen a classe, el ece cado desen olupa seqüències d’ac i i a s
d’ins ucció que donen cos a les conjec u es al ol an de l’ap enen a ge dels
es udian s. En aques sen i el dissenyado an icipa una isió de cóm les ac i i a s
pod ien se du es a e me a la classe i el que els es udian s pod ien ap end e al
pa icipa -hi
.
L’anàlisi del p océs dels es udian s po dona in o mació aluosa que po se
usada pe e isa les ac i i a s d’ ins ucció. Més enllà, si aques p océs cíclic de
disseny i anàlisi es epe eix un ce nomb e de egades po a iba a con e i -se en
una eo ia ins uccional local que sos é una seqüència p o o ípica. S ee land (1991)
dona un exemple pel cas de la comp ensió de les accions pe pa dels es udian s.
26 Capí ol 2
In e p e em la ece ca pe desen olupamen com una combinació de
desen olupamen cu icula i ece ca educa i a, en la que el desen olupamen
d’ac i i a s d’ ensenyamen és usa com a signi ica pe explica , a alua , ajus a i
expandi una e lexió eò ica sob e la ins ucció. Es conside a com una
“epis emologia na u al”, un can i de pe spec i a, i que po a a l’augmen de la
sensibili a d’obse ació, doncs cal es a a en al que passa a l’aula, i implica ambé
la capaci a d’a on a la complexi a de la si uació. És un p océs cíclic semblan al
que desc iu Simon (1994) en un p océs de o mació i p en idees de di e sos
ecu sos (cu ículum, ex os d’educació ma emà ica, esul a s de ece ques) pe
cons ui la seqüència ins uccional que es a e- dissenyan i comp o an .
Un ins umen eò ic i de disseny en aques ipus de ece ca en l’àmbi
escola és l’anomenada " ajec ò ia hipo è ica d’ap enen a ge " (TRHA), que Simon
(1994) de inia com una e na que supe a la simple idea de ecollida p og amà ica :
“La TRHA es à cons i uïda de es elemen s : l’objec iu d’ap enen a ge que de ineix
la di ecció, les ac i i a s d’ap enen a ge i el p océs hipo è ic - una p edicció del
pensamen dels es udian s i la comp ensió de com e olucionen en el con ex de les
ac i i a s d’ap enen a ge”.Simon (1994) usa a la TRHA al seu Cicle d' Ensenyamen
de les Ma emà iques, en gene al pe una o dues lliçons ( eu e ig.2.1.1.), on es
mos a els elemen s conside a s en un p océs de o mació cíclic. El coneixemen del
p o esso el pe me dissenya les ac i i a s d’ ap enen a ge ha en p e is com es
desen olupa à l’ ap enen a ge dels alumnes . La posada en p àc ica de la seqüència
d’ ac i i a s i la pos e io e lexió dona elemen s pe eplan eja , si cal, la ajec ò ia
p e is a .

Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 27
Figu a 2.1.1. (Simon 1994: 35, adap a pe G a emeije 2001: 151)
Rece ca pe desen olupamen i o mació inicial d’ensenyan s.
Es a una adap ació de la ece ca sob e desen olupamen pe a la classe de
ma emà iques de P imà ia u ili zada pe G a emeije (2001), i s’ aplica a la o mació
d’adul s u u s ensenyan s. En e ec e, el p opòsi de la nos a ece ca és con ibui a
una e lexió eò ica sob e la o mació de mes es de P imà ia, amb p o undi a ,
basada en l’anàlisi empí ica pe a la o mació docen . El esul a d’ aques a
e lexió hau à d’especi ica pa ons en l’ap enen a ge - o mació d’ensenyan s així
com els signi ica s que jus i iquen di p océs de o mació.
Al nos e es udi, es em especialmen in e essa s en eu e com els u u s
docen s poden ap end e a es abli aonamen s p o essionals, a pa i d’un eball
o ien a pe un plan ejamen ealis a de la o mació. Això implica el disseny d’un
ambien ins uc iu que sigui la base d’aques p océs de o mació i an icipa la
o mació de pa ons que ens pe me in a iba a aconsegui aques i.
Coneixemen del
p o esso TRHA
Objec iu d'ap enen a ge
(del mes e)
Plani icació d'ac i i a s
Hipò esi del p o esso
sob e el p océs
d'ap enen age
In e acció amb es udian s
In es igació de les
ma emà iques dels es udian s.
Cons i ució in e ac i a de les
p àc iques de classe
Po encia l’assimilació,
acomodació i e lexió
28 Capí ol 2
En aques ipus de ece ca no es possible cenyi -se a o s els aspec es que
són conside a s impo an s des d’una pe spec i a de la me odologia de la ece ca
degu a la du ació del cu s i d’al es es iccions de la p àc ica dià ia, com a a el
nomb e d’es udian s i ambé no ole condiciona els esul a s a si uacions
“a i icials“ d’aula o de pla d’es udis que desp és no es pod ien ep odui .
No es gai e eqüen du a e me ece ca pe desen olupamen , ja que es
ac a d’un p océs més exigen que el p océs de ece ca -acció i implica una
e o mulació del ma eix. La p incipal di e ència es à en que no es a als esul a s de
l’ensenyamen sinó, en el nos e cas, a con ibui a una e lexió eò ica sob e
desen olupamen p o essional en alguns aspec es elaciona s amb la cognició. El
model eò ic en que ens basem es à en e la eo ia de la ins ucció ( Simon, 1994) i
la e lexió cogni i a ( Leinha d , 1989).
La jus i icació de les conclusions a la RD consis eix en una combinació de
oballes empí iques i conside acions eò iques. Les dades s’ in e p e en en un ma c
dona , pe mi jà d’un p océs d’expe imen ació i in e p e ació cons an s en cicles
ins uc ius. Els esul a s s’ in e p e en inse i s en un discu s cien í ic con inu.
Aques a noció de coneixemen cien í ic és consis en amb el cons uc i isme social
en el que compa i coneixemen només és possible en un p océs de negociació de
signi ica s que, en el nos e cas, són opcions de o mació docen . El concep e
d'objec i i a de la ece ca es ein e p e a a la RD com a in e subjec i i a , en la
mesu a que la in es igado a compa eix in e p e acions amb al es in es igado s.
Pe al de e una ece ca en p o undi a s’op a pe anali za alguns casos
pa icula s en lloc de e -ho amb o el g up-classe al com p oposa S ee land
1(1991) en el seu eball de ece ca sob e desen olupamen sob e accions en una
classe de P imà ia. Tanma eix ell u ili za un g up de 6 alumnes pe e la se a anàlisi
en p o undi a .
1 Lamen em no ha e pogu compa i amb el p o esso S ee land, degu al seu aspàs, els esul a s del nos e
eball. Ell ha es a p o ocado p incipal de les nos es eleccions.
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 29
D’al a banda, l’ac i i a d’aula que s’anali za en la p esen ece ca comp en
un pe íode d’un cu s acadèmic. En el nos e cas els cicles d’ins ucció i
expe imen ació es an connec a s (G a emeije , 2001), ja que els es udian s són els
ma eixos i cada cicle comença amb els ap enen a ges e s en l' an e io , es
conside en di e sos cicles ag upa s en dos mac ocicles.
La alidació de la ece ca es basa alesho es en la iabili a , p edic ibili a , abas
i pode explica iu (Bo ko i Pe essini 1998), així com la gene abili a de la o ma
d’in e p e a i ac ua , o p ese an les ca ac e ís iques especí iques dels casos
indi iduals (Cobb 2000:327). Així, quan es iangulen les on s e idencials de
ecollida de dades pe mi jà d’ins umen s di e en s, s’ajus en aonablemen les
in e ències i a i macions, amb a ie a de p opòsi s di e en s (Cobb 2000:328) i es
conside en els models com a ap oximacions (Schoen eld 2000).
T ajec ò ies hipo è iques de o mació inicial i p àc ica p o essional.
Segons Simon (1994) un “p o esso cons uc i is a” es à pensan con ínuamen
en el que pod an comp end e els seus es udian s i cóm pod ia in luencia de mane a
indi ec a el seu pensamen . Pe això, anomenà al p océs d’ap enen a ge com
ajec ò ia hipo è ica, ja que no es po sabe segu que és el que ealmen ap end an
els alumnes. El docen plani ica i an icipa aques p océs- ajec ò ia, basan -se en el
que sap de les di e ses aces indi iduals dels alumnes. Tanma eix l’ac uació a
classe o e eix la opo uni a de eni no es comp ensions de les concepcions dels
alumnes. Aques s nous pun s de is a i l’expe iència amb les ac i i a s ins uccionals
se i an de base pe cons i ui no es TRHA pe les lliçons següen s. Aques es
lliçons du es a e me a l’ aula i pos e io men anali zades –mic ocicles- cons i ueixen
les uni a s d’ acció i e lexió eò ica que cons i ueixen els mac ocicles i el p océs a
a ança la eelabo ació de les ajec ò ies hipo è iques com es eu en el diag ama
de la igu a 2.1.2.
30 Capí ol 2
Figu a 2.1.2. Adap ació dels cicles I mac ocicles cons uin les TRHA (adap a de G a emeije 2001).
Això, s’aplica al nos e cas amb el que anomenem ajec ò ies hipo è iques
de o mació inicial (TRHIFI), on es p esen a inicialmen l’objec iu d’ap enen a ge
que de ineix la di ecció o mado a ( inali a s de o mació, plani icació, hipò esi sob e
els indicis de can i p o essional). Aques a di ecció es basa en les concepcions
p è ies de la ece cado a - o mado a. Es p e-dissenyen les ac i i a s d’ap enen a ge
i el p océs hipo è ic - una p edicció del pensamen dels es udian s i la comp ensió
de com e olucionen en el con ex de les ac i i a s d’ap enen a ge.
L’esquema, que es po eu e a la igu a 2.1.3 se i à de base pe a la
desc ipció de les T hi i explici ades en el capí ol 3. Com es po eu e inclouen
inali a s, plani icació, hipò esis sob e indicis de can i p o essional i compe ències
p o essionals i ins uccionals. En el g à ic es mos a la in luència del coneixemen del
o mado a l’ ho a de decidi les inali a s, la plani icació , les hipò esi que a sob e els
indicis de can i p o essional i la ia de les compe ències a desen olupa . Fo mado i
es udian de mes e in e accionen a l’ aula i així el p ime po eni no es
comp ensions de les concepcions dels alumnes a pa i de la p àc ica.
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 37
conseqüències. A a bé, segons Pé ez (1992, p. 423) els aspec es onamen als pe a
una o mació del p o esso a en el ma c de la e ce a pe spec i a abans ci ada -
pe spec i a adical o he menèu ica - e lexi a-, ambé di a c í ica i de econs ucció
social, són els següen s:
1. L’adquisició pe pa del docen d’un baga ge cul u al de cla a o ien ació
polí ica i social, en el qual les disciplines són l’eix cen al dels con ingu s
d’ una pa impo an del cu ículum de o mació.
2. El desen olupamen de capaci a s de e lexió c í ica sob e la p àc ica.
3. El desen olupamen d’ac i uds que eque eixen el comp omís polí ic
del p o esso a com in el·lec ual ans o mado en l’aula, en l’escola i en
el con ex social.
En una línia semblan , Gimeno (1983 i 1986) diu que la o mació del
p o esso a en gene al ha de do a , al u u docen , d’ins umen s que siguin una
ajuda pe al coneixemen i in e p e ació de les si uacions p oblemà iques complexes
en les quals se si ua, i implica -lo en asques de comunicació in e subjec i a i
o mació comuni à ia pe a dona a l’educació escola i zada la dimensió de nexe
en e el sabe in el·lec ual i la eali a social, amb la qual ha de man eni es e es
elacions. Així, "el concep e de bon mes e i les compe ències ècniques conc e es
que inclogui aques a accepció depèn de com un sis ema educa iu es plan eja el
cu ículum pe a un de e mina ni ell educa iu".
Pe al a banda, Fe nández (1989a i b), en el ma c que ell ma eix anomena
"model con ex ual -c í ic de o mació de o mado s", p oposa que la o mació del
p o esso a sigui una p epa ació pe a en end e el desen olupamen d’un p ojec e
humà, social i c í ic, que impliqui an una eali zació pe sonal, com un comp omís
d’incidència en el mi jà p o essional i social en el qual es oba.

38 Capí ol 2
A més, el mes e és socio - cul u i zado ma emà ic quan ha d’ajuda als
seus es udian s a comp end e el pape sociocul u al del coneixemen ma emà ic,
l’encul u ació del con ingu (Bishop 1995).
Un mes e acili ado . Els EM han de " acili a c i e is pe a anali za i
elaciona les dades, i b inda plan ejamen s pe a l’aplicació acional i jus a del
sabe ", i pe això és necessa i que aques p o essional no sigui només "un
especialis a en de e mina camp de coneixemen , sinó una pe sona capaç d’in eg a
el coneixemen , de p end e una pos u a c í ica da an la se a selecció i ac amen ,
d’in es iga col·legiadamen sob e la na u alesa del sabe , sob e la mane a de
ansme e’l i sob e la u ili zació del ma eix al se ei de alo s".
Un mes e in es igado . Es o ma à millo un mes e in es igado si els
o mado s es mos en com in es igado s, econeixen i usan esul a s de la
in es igació en didàc ica de la ma emà ica. Han de eni en comp e el que se sap
sob e les ma emà iques com objec e d’ensenyamen , les idees dels u u s p o esso s
sob e les ma emà iques co esponen s al que an a ensenya , sob e quines
ma emà iques cal ensenya i pe què, sob e la o ma que els alumnes ap enen,
sob e les se es idees sob e les elacions mes e -alumne, e c… Pod ien e aquí una
b eu classi icació:
- Aquells que an e e ència als emes de p imà ia, dels quals comp enen
aspec es an di e sos com són les idees dels alumnes, les di icul a s que enen
en l’ap enen a ge en gene al i en aspec es conc e s de la ma è ia, la in luència
del mi jà social, cul u al, a ec iu sob e l’ap enen a ge, el pape de la mo i ació,
dels in e essos dels alumnes, de les ac i uds i de les ap i uds, les in e accions
en e es udian es i en e p o esso i es udian s, e c…
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 39
- Aquells que an e e ència a les es a ègies d’ensenyamen en les quals es
con emplen des de no es p opos es cu icula s i nous ecu sos d’ensenyamen s
conc e s ins a eo ies sob e ap enen a ge mi jançan esolució de p oblemes, e c
- Aquells que an e e ència al ma c en el qual es desen olupa l’ensenyamen
(con ex ) com és el cen e escola , l’aula, el alle , el labo a o i, les in e elacions
alumne - alumne, p o esso - alumne, p o esso - classe, e c…
La o mació d’un mes e in es igado , passa ambé pe una o ma de
me odologia de o mació cons uc i a, que s’explici a a con inuació.
Un mes e cons uc iu. Es conside a que el mes e ha de se o ma des
d’una pe spec i a cons uc i a, omen an en ell o mes d’es uc u ació di e en s, i
o mes de pensamen que no siguin només la e bal i l’a i mè ica. De e , o mes
senso ials del pensamen , especialmen del ipus isual, es oben en el cen e del
nos e pensamen , en el desen olupamen i engegada de bona pa de les nos es
idees.
El EM deu econèixe di e sos signi ica s dels con ingu s, inician eballs de
mane a que es cuidi la pe cepció. En e ec e, es conside a ac ualmen que la majo ia
de les ac i i a s men als enen elació amb els p ocessos de o mació d’ima ges. El
pensamen no només és e bal, no només es mani es a a a és de la o mulació de
p oposicions, sinó que sens dub e p oduïm al es ipus de pensamen , pe exemple
el pensamen a a és d’ima ges, lliga a la pe cepció, i pe an al pensamen isual.
Al cos a dels aspec es pe cep ius, un p océs de cons ucció de signi ica amb
es udian s de 22 anys de mi jana no deu se aliè a les ep esen acions i ajudes
isuals que el u u mes e u ili za à en la classe.
És indub able que l’apa ició dels o dinado s, i especialmen dels o dinado s
a classe, ha mo i a el c eixen in e ès pe l’es udi del desen olupamen de les
capaci a s de ep esen ació isual. Pe al a banda, se suposa que l’expe imen ació i
40 Capí ol 2
la isuali zació són p ocessos que a a o eixen la comp ensió i el descob imen
ma emà ic.
Es pensa que el EM deu econèixe les isuali zacions com una o ma de
alidació del e ma emà ic, mol impo an pe a o ma alumna d’educació in an il i
P imà ia. Al cos a d’això, cal conside a ambé la alidació empí ica, quan es ac a
de p o a alguna cosa, mos a , comp o a si unciona, e c. sense explica el pe què
mi jançan ma e ials, o dinado , calculado es.... És aques a isuali zació la qual ens
duu a plan eja hipò esi i desp és cald à alida aques es hipò esis. Pe ò ambé
deuen usa -se alidacions semàn iques i sin àc iques, que se se eixen
d’a gumen acions; la p ime a espec e al signi ica , la segona espec e a l’es uc u a
o o ma, i pe anyen a una e apa més a ançada del p océs en la p esen ació del
sabe ma emà ic.
El mes e de P imà ia com a educado ma emà ic.
El mes e de P imà ia no és només un ges o dels ap enen a ges. No ha de
se aquell que es comp ome “en ce es conduc es en classe” sinó que ambé ha de
se un p ocessado ac iu d’in o mació (en la línia de Cla k & Pe e son 1986) abans,
du an i desp és de la ins ucció en classe.
Les c eences, el coneixemen , els judicis, els pensamen s i les decisions
enen el seu e ec e p o und en la mane a com ensenyen així com en l’ap enen a ge
dels es udian s en les se es classes. En suma, “ les c eences, els pensamen s, els
judicis, el coneixemen i les decisions a ec en a com els p o esso s pe ceben i
c euen sob e l’ensenyamen en el nou cu ículum com és en ès pels quals ho
desen olupen” (Pe e son i al es, 1989, p. 1-2.). pugui cons ui una anàlisi didàc ica
que els u u s mes es e isquin el seu coneixemen passa .
És e iden que el p o esso és una pe sona adul a que é una pe sonali a i
una ida p i ada que es desen olupa en la socie a ex e io a l’àmbi escola , la qual
cosa condiciona les se es i ències i les se es elacions pe sonals en el món
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 41
p o essional. A més, el o la mes e é la se a p òpia his ò ia, la se a o mació
p o essional, que condicionen les se es concepcions sob e les ma emà iques i el
seu ensenyamen . Pe un cos a , exis eix la se a ideologia on es conside a à: les
se es idees sob e els onamen s epis emològics de les ma emà iques; les se es
idees sob e la inali a de l’ensenyamen , en gene al, i de les ma emà iques, en
pa icula ;
D’al a banda, exis eixen les se es c eences més lligades al seu
ensenyamen conc e : les se es c eences sob e com ap èn l’alumna , les se es
c eences sob e el pape de l’ensenyan en el p océs d’ap enen a ge de l’alumna .
La o mació ma emà ica dels u u s mes es ha de supe a la isió dominan
d’unes ma emà iques úniques i uni e sals en la nos a socie a occiden al, isió que,
sens dub e, é epe cussions en la se a o mació. Així, la o mació ha de p ocu a
que conegui les ma emà iques que ha d’ensenya , així com elemen s epis emològics
d’alguns con ingu s d’ap enen a ge escola incula s amb sis emes cul u als
di e en s.
Les ep esen acions dels p o esso s sob e signi ica de " e " ma emà iques,
de si les idees ma emà iques són suscep ibles d’in e p e ació o discussió,... són un
aspec e impo an dels missa ges implíci s que els p o esso s ansme en als
es udian s sob e la na u alesa de la disciplina. S einbe g i al es (1985) an obse a
que exis ia una elació apa en en e l’educació o mal que enien els p o esso s, el
seu coneixemen eal del ema especí ic de ma emà iques que ensenya en, el seu
coneixemen sob e una ima ge global de les ma emà iques i les ap oximacions que
u ili za en en el seu ensenyamen . Van obse a que els p o esso s amb un majo
ni ell de coneixemen s ma emà ics e en més concep uals, men e que aquells amb
meno ni ell de coneixemen dona en un ensenyamen basa en egles i
p ocedimen s.
42 Capí ol 2
En esum, el p o esso és un educado ma emà ic quan no és un simple
ansmisso o execu o del cu ículum, sinó que és un subjec e ac iu que il a,
ede ineix, in e p e a i alo a el p og ama, a la llum del seu coneixemen p àc ic de la
se a mane a d’en end e l’ensenyamen , de la se a pe cepció pe sonal del
p og ama, de la se a isió del p opi en o n del eball i de les exigències que li són
plan ejades (González 1986). Pe ò pe a pode e -ho, necessi a se capaç de
econèixe el alo d’una anàlisi didàc ica ma emà ica con ex uali zada.
El mes e de p imà ia com a memb e d’una comuni a p o essional.
“Un mes e ideal és un memb e d’una comuni a p o essional que es à
disposa , mo i a i capaci a pe ensenya i pe ap end e a pa i de les se es p òpies
expe iències com a ensenyan ” (Shulman & Shulman 2004). En el nos e eball
conside em que compo a sis dimensions :
(a) Disposició pe a e eali a una isió cla a dels objec ius docen s.
(b) Mo i ació pe assumi les asques que es conside en essencials.
(c) Capaci a pe a i a enda an p agmà icamen un p ojec e docen .
(d) Re lexió pe ap end e d’expe iències p òpies i alienes i in odui can is.
(e) P àc ica pe conc e a accions docen s d’ap enen a ge.
( ) Comuni a In eg ació i coo dinació en un equip de mes es.
Vegem el signi ica que a o guem a aques s elemen s i com s’in eg en els
di e en s elemen s del pe il de mes e que implica.
(a) Disposició al can i. A pa i d’una isió conc e a dels objec ius
gene als a aconsegui (nens ac ius, pa icipa ius, e lexius,...), dels
objec ius disciplina is i dels in e disciplina is, el mes e es à disposa
a pensa l’ensenyamen com un p océs i no només com una acció
ansmisso a i a pensa en l’ap enen a ge com un p océs c ea iu i
no pas epe i iu. Aques a disponibili a e s un en ocamen
eno ado i e lexiu implica à so in el desen olupamen d’una

Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 43
pe sonali a p òpia con on ada amb les igu es adicionals de
mes a ge.
(b) Il·lusió i mo i ació. La més pe ec a de les p epa acions
in el·lec uals no se i à si en el momen de la e i a , a la classe, el
mes e no es plan eja amb il·lusió la se a asca. Cal mo i ació pe a
e les coses bé i pe dona peu a can is, adap acions, gene ació de
no es p opos es, e c.
(c) Capaci a . Un mes e ha de eni el coneixemen i la capaci a pe
en end e mol bé allò que ha d’ensenya i el cóm ho ha de e
(conèixe i e ). Així calen capaci a s pe conèixe els con ingu s
disciplina is i in e disciplina is, en end e el cu ículum amb
p o undi a , sabe o gani za i po a la classe, sabe a alua a la
classe, elaciona -se amb o es les comuni a s implicades i
en end e els es udian s in el·lec ualmen , socialmen , cul u almen i
pe sonalmen so a pe spec i es de desen olupamen .
Shulman (1987) ja conside a a que el coneixemen d’un p o esso de
ma emà iques ha ia de jus i ica -se an pe la se a ac uació com pe les se es
“explicacions aonades “dels e s. D’aques a o ma conside a al p o esso o
p o esso a com aquell que sap com in e p e a , exp essa o ep esen a la ma è ia,
de mane a que els es udian s puguin en end e-la. Aques a noció és la que anomena
"psicologi zació" de la ma è ia i s 'usa à com un ideal pe a la concep uali zació del
coneixemen dels p o esso s d’un à ea de con ingu .
(d) Capaci a pe in oluc a - se en la p àc ica en ac uacions
ap opiades. Aques és “el co “ d’ensenya : la capaci a pe a po a a
e me accions in el·ligen s i adap a i es. Fo ma pe aques a capaci a
és especialmen complex. Cal adap a el cu ículum a cada cas,
a end e i econdui les dinàmiques de classe, a alua o mal i
44 Capí ol 2
in o malmen , mo i a amb coses no es, ac uals i de la ida de
l’en o n, e c.
(e) Ap end e de l’expe iència a a és de la e lexió. La e lexió es à en
el co de l’ap enen a ge i només p omocionan -la es pod an
assegu a can is posi ius i e -o ien acions a la llum de l’expe iència
pe ò amb el il e de la e lexió p o essional (a aluan , e isan , au o -
c i ican ac uacions,...). A iba a se “un mes e ideal” (Shulman i
Shulman, 2002) o bé un mes e excel·len (AAMT, 2002) és un p océs
a lla g e mini que implica una ges ió pe sonal i olun à ia del p océs,
pe ò en la que in e enen de mane a decisi a ins i ucions i pe sones,
en un ma c social de e mina .
El lla g camí cap a la expe esa comença amb la o mació uni e si à ia inicial.
Com l’expe iència mos a, i no només en aques cas, la o mació inicial po
de e mina el umb de l’i ine a i de la o mació cap a l’expe esa o, més pe illós
enca a, que no es sen i la necessi a de con inua -la. Es pe la impo ància
decisi a que e la o mació inicial, que cal e una ece ca se iosa sob e els plans
d’es udis, els ma e ials i les me odologies pe du -la a e me.
Tenin en comp e les ci cums àncies ac uals ( eno ació dels claus es
escola s de P imà ia en uns pocs anys, augmen de la na ali a p o ocada pe una
c eixen immig ació, necessi a de o ma ciu adans ma emà icamen compe en s,..),
la o mació inicial que po i a acili a l’exis ència de bons mes es de ma emà iques
a l’ensenyamen p ima i plan eja, a la egada, un ep e i una necessi a u gen s.
Les di icul a s de la asca són eno mes pe que, a més de o ma
p o essionalmen , cal compensa una o mació ma emà ica i humanís ica insu icien s
o poc adien s, segons el cas. També con ibueix a la di icul a la necessi a de
can ia de mane a adical la mane a d’ensenya sob e la que els alumnes de mes e
enen expe iència, doncs com diu Gallimo e (1996) “can ia de mane a d’ensenya
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 45
és un can i cul u al i els can is cul u als són di ícils”. En pa icula , com diu Hiebe
e col. (2003), no podem espe a g ans esul a s en aques es ci cums àncies.
Tanma eix, pels jo es que es an il·lusiona s en se mes es i pels alumnes que se’n
poden bene icia , al la pena in en a -ho.
2.3. Sob e el desen olupamen p o essional.
A iba a l’expe esa és un p océs complex que, a més d’elemen s ex e ns e
de e mina pe la olun a del mes e i que implica l’ap enen a ge du an la ida
labo al. El desen olupamen p o essional és un aspec e cen al al plan eja - se la
o mació. Una al a qües ió es els ipus de coneixemen s que an possible la
p epa ació pe ensenya i cal eni en comp e ambé les ci cums àncies en les que
es gene a el coneixemen especí ic en els es udian s de mes e i en els mes es en
exe cici. Pe això, en aques apa a es p esen en les ca ac e ís iques conside ades
en la ece ca, en una o mació de quali a , i els concep es eò ics implica s.
En els da e s anys, el desen olupamen p o essional dels mes es ha
me escu mol a a enció pe pa dels educado s ma emà ics com a cons uc e que
pe me econèixe les ca ac e ís iques de quali a de o mació. Pe a Pon e (1997), el
desen olupamen p o essional co espon a un p océs “de c eixemen de la se a
compe ència en e mes de p àc iques lec i es i no lec i es, en l’au o -con ol de la
se a ac i i a com educado i com elemen ac iu dins l’o gani zació escola . El
desen olupamen p o essional espec e als aspec es lliga s a la didàc ica i ambé a
l’acció educa i a gene al, als aspec es pe sonals i elacionals i d’in e acció amb
d’al es mes es i amb la comuni a ex a –escola ” (p.44).
Day (1999) dona un sen i mol més ampli al desen olupamen p o essional
del mes e, dien que es ac a d 'un p océs que comp en o es les se es
expe iències d’ap enen a ge (na u als, plani icades i inconscien s) que li apo en
bene icis di ec es o indi ec es, i que con ibueixen a la quali a de la se a p àc ica
46 Capí ol 2
amb els alumnes. El p o esso , indi idualmen o amb els seus col·legues, eno a i
amplia els seus comp omisos pel que a a les inali a s de l’ensenyamen i adqui eix
i desen olupa, de mane a c í ica, el coneixemen així com les ècniques i la
in el·ligència (cogni i a i a ec i a) essencials en una p àc ica p o essional de quali a
amb els alumnes en el con ex escola . Així, el desen olupamen p o essional es is
com un p océs complex en el que el mes e in e é globalmen inca dina en el
p océs escola , amb la se a p oblemà ica in e na i els lligams amb l’ex e io .
El desen olupamen com a can i. Obs acles.
En una socie a can ian , i pe an en una escola can ian , el mes e s’ha de
eu e pe manen men com un ap enen , com un agen ac iu en el seu lloc de eball
i disposa a col·labo a amb els seus col·legues, an pel que a a la p àc ica lec i a
com en els p oblemes educa ius més amplis. És en aques sen i que es po c i ica
la pe spec i a de l’ap enen a ge dels mes es com una adquisició agmen ada
d'in o mació o de compe ències especí iques d 'o d e p àc ic (Popkewi z, 1992). Més
que pa la de p omou e el can i de les concepcions i p àc iques dels mes es, é
sen i es udia les condicions que p o oca an un posicionamen di e en de la se a
ac i i a p o essional, p enen inicia i es pe o mula i esold e els p oblemes que es
oben en el dia a dia.
El desen olupamen p o essional implica semp e algun ap enen a ge, i en
conseqüència algun can i. Segons Ch is iansen i Wal he (1986),
l’ap enen a ge del mes e sob e l’ensenyamen es dona quan adqui eix la capaci a
de eu e i e coses que no eia abans.
El can i en el mes e només es dona si l’ensenyan es à disposa a can ia
(Fullan, 1993; Ha g ea es,1998;Thompson 1992). Ningú can ia a ningú, el can i és
un enomen in e io , pe que es doni ha de se desi ja pel subjec e. Pe al a banda
és necessa i que l’ensenyan es igui disposa a có e iscos implíci s en les
inno acions educa i es i a a on a les insegu e a s dels nous plan ejamen s. Això ja
cons i ueix un elemen impo an en l’inici del p océs d 'ap end e a ensenya a
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 53
El que ha de conèixe el p o esso de ma emà iques es à elaciona amb els
con ex os i si uacions on agi a u ili za aques coneixemen , és a di , amb ac i i a s,
objec ius educa ius i con ex os d’ensenyamen de les ma emà iques. Ac ualmen es
conside a i al aques a ans o mació del con ingu de la ma è ia a la o ma adien
pe a se ensenya . El e me coneixemen del con ingu pedagògic (CCP) ou emp a
pe p ime a egada pe Shulman (1986) com " la pa icula o ma de coneixemen
del con ingu que dona cos als aspec es de con ingu majo i à iamen elaciona s
amb la se a ensenyabili a ". Aques eplan ejamen de les ma emà iques implica una
ce a acili a amb les ep esen acions, les il·lus acions, exemples, explicacions i
analogies pe e les idees ma emà iques comp ensibles als al es. La noció de que
el desen olupamen CCP és l’elemen més impo an del coneixemen del mes e i
que sus en a l’ensenyança, ha es a mol popula des del momen que Shulman
llença aques a idea.
Des d’aques a pe spec i a, es de ineix se ca ego ies de coneixemen del
mes e: de la ma è ia (subs an iu i sin àc ic), pedagògic gene al, cu icula ,
pedagògic més especí ic de l’à ea, dels ap enen s, dels con ex os educa ius i
cul u als i dels objec ius i alo s educa ius (Shulman 1987). Desp ès d’aques a
di isió, di e ses ece ques i eballs han ana en obse acions als di e en s
elemen s que calia conside a .
No em com Benne i Ca é (1993) obse en que la elació en e aques es
bases i la na u alesa de la se a connexió amb l’acció docen no e a gai e cla a.
E en i Ti osh (1995) posen a enció en el bui d’e idència que ecolzi i il·lus i la
suposada in e elació en e coneixemen del con ingu de la ma è ia (CCM) i CCP, i
sugge eixen que això pod ia,en pa , se degu a les di e en s concepcions del pape
de l’ensenyan . Pe un can ó es is com el ges o d’un cu ículum expe i pe al e
es eu més elaciona amb la ma è ia i les mane es de p esen a -la. La ece ca
d’E en i Ti osh demos a la elació en e CCM i el coneixemen i mane es de
pensa dels es udian s pe una banda i pe l’al e la se a p esen ació de la ma è ia
amb la espos a dels es udian s.

54 Capí ol 2
In es igado s com McEwan i BulI (1991), ebu gen la duali a del model de
Shulman. Enca a es an d’aco d amb de e minades qües ions, no obs an això,
c euen que la dis inció en e els dos dominis esmen a s in odueix una complicació
innecessà ia din e del ma c concep ual. Les se es p oposicions les onamen en des
de dues pe spec i es, d’una banda ebu jan l’objec i isme del coneixemen i pe un
al e basan -se en els esc i s de Dewey, que enca a que no explíci amen , semblen
se la base del model de Shulman (Wilson e al. 1987). Des de l’epis emologia,
a gumen en que al dis inció no po se accep ada, ja que o coneixemen del
con ingu especí ic, ja sigui ingu pe cien í ics com pe p o esso s é una dimensió
pedagògica.
Man enin una posició no objec i is a del coneixemen , en enen que el
coneixemen cien í ic no es à al ma ge de les in luències del que coneix i pe an no
és una ep esen ació au èn ica del món. Els cien í ics han d’es a p eocupa s que les
se es a i macions siguin comp ensibles als al es, d’alguna o ma enen una asca
pedagògica, (McEwan i BulI, 1991).
McNama a (1991) ambé qües iona a la dis inció en e CCM i CCP, doncs les
ma emà iques són elles ma eixes una o ma de ep esen ació. Cal eni en comp e
que el p opi Shulman p esen a a això com un ma c p o isional, i pe això,
in e p e en el que Shulman anomena "el coneixemen que c eix en la men dels
mes es (de ma emà iques), amb especial èm asi en el con ingu " (1986). Això es
co espon amb les ca ego ies 1,3 i 4 de les se que ell plan eja a.
En un eball pos e io G ossman i Wilson (1989), diuen que el coneixemen
del con ingu (CC) hau ia d’eme gi d’un p océs d’anàlisi c í ica, guia pe les
es uc u es subs an i es i sin àc iques de la ma è ia. Des d’aques a pe spec i a, el
coneixemen subs an iu es ca ac e i za pe inclou e el coneixemen de e s i
concep es i com es an o gani za s; el coneixemen sin àc ic ac a de la na u alesa
de la ece ca en el camp conc e i dels mecanismes a a és dels que s’inco po a
nou coneixemen , inclou coneixemen de demos acions i es uc u es
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 55
(Schwab,1978). To plega é implicacions pel que ien els mes es pe se ensenya
i cóm ho ensenyen. Shulman dis ingeix en e dos ipus de comp ensió "sabe què i
sabe pe què".
Askew, B own, Rhodes Johnson i Wiliam (1997) iden i iquen un ma c pe
l’anàlisi del coneixemen e ec iu del p o esso i les se es p àc iques : c eences,
espos a dels alumnes i CCP. B own e al. (1999) sugge eix la necessi a de
concilia les dues mane es de conside a el coneixemen ma emà ic : " enomenològic
i in oduï o amen ". To plega només a que econèixe les di e ències ilosò iques
en e les di e en s pe spec i es de les ma emà iques. I la in luència que e en la
mane a d’ensenya les ma emà iques.
Al nos e eball (a pa i de NCTM 1991, Fo uny 1995, Ga cia 1997:212),
in e p e em el desen olupamen p o essional com a “cons ucció pe sonal
p oduc e de l’elabo ació cogni i a pe sonal en l’acció p o essional, que duu a
la in eg ació cogni i a de di e en s componen s de coneixemen ” El
"desen olupamen p o essional" de l’ensenyamen hau ia d’inclou e es ca ego ies /
componen s di e en s:ma emà ica, es a ègica–pedagògica-in e p e a i a i
ac i udinal.
2.4. Componen s ma emà ica i es a ègica del desen olupamen
p o essional.
La componen ma emà ica, implica el coneixemen de i sob e les
ma emà iques, l’ac i i a ma emà ica, el que s’ha d’ensenya als alumnes i les se es
elacions amb al es con ingu s ( an din e com o a de la ma emà ica). La
comp ensió de concep es, p ocedimen s i el p océs de e ma emà iques, o men
pa del que es denomina conèixe les ma emà iques, incloen en aques es l’es udi
de concep es i p opie a s dels nomb es, objec es geomè ics, uncions, i com poden
emp a -se (iden i ica , amida , compa a , locali za , desc iu e, cons ui , ans o ma ,
56 Capí ol 2
e c.), concep es i p opie a s es adís iques i de p obabili a i la se a u ili zació. Tals
coneixemen s no deuen desen olupa -se de mane a aïllada, és impo an discu i ,
iden i ica i de ini concep es i p ocedimen s, en enen les connexions en e ells i les
se es elacions amb al es camps.
Així ma eix, conèixe ma emà iques comp èn el discu s ma emà ic, cen a en
l’abs acció, gene ali zació, examen de models i cons ucció d’a gumen s ma emà ics
con incen s. Inclou pe an l 'ús d’e idències i demos acions, el pape de les
de inicions, els exemples i els con a - exemples, sen aspec es impo an s
conje u a , cons ui i a alua a gumen s, comunica i connec a les idees
ma emà iques.
És cla que els concep es especí ics i els p ocedimen s són pa ambé del
que es denomina discu s ma emà ic. Din e d 'ell podem, d 'igual o ma, conside a
essencial el desen olupamen d’habili a s en la esolució de p oblemes i el
aonamen ma emà ic, pe a omen a que els es udian s pe a p o esso s
cons ueixin ma emà iques pe ells ma eixos, po enciïn i ampliïn les se es
es a ègies de esolució de p oblemes i con on in i uneixen les se es explo acions
in uï i es i in o mals amb les demos acions o mals i sis emà iques.
D’al a banda, és onamen al que els u u s p o esso s inguin un p o und
coneixemen i comp ensió de les ma emà iques del cu ículum escola i com
s’enquad en en la disciplina de les ma emà iques. El que inclou l’ap o undimen dels
òpics ma emà ics escola s, una àmplia comp ensió dels concep es ma emà ics
signi ica ius i de com ells es elacionen amb al es pa s del cu ículum.
C eiem que una o mació ma emà ica adequada i especí ica és bàsica pe al
pos e io desen olupamen de les al es componen s o dominis del coneixemen del
p o esso . Assumim cla amen que exis eix una elació es e a en e el coneixemen
del p o esso i les si uacions i asques conc e es en les quals el coneixemen és
usa .
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 57
Pe an , un ma c pe a con empla i anali za el coneixemen del p o esso de
ma emà iques po eni des de la pe spec i a de conside a -lo si ua , i que es
gene a, desen olupa i madu a a a és de l’ac i i a , i de la in e acció social de les
pe sones.
Mol a ece ca en l’à ea del coneixemen dels mes es es à ocali zada en la
noció clau de ans o mació del coneixemen ma emà ic pe a la docència. El eball
de Debo ah Ball (2002) amplia les p opos es de Shulman en una dis inció en e
coneixemen de ma emà iques (signi ica s i p ocedimen s subjacen s) i sob e
ma emà iques (allò que a una cosa ce a o aonable en ma emà iques). T oba que
les ma emà iques han de se " e- isi ades" en la o mació inicial pe que els mes es
necessi en desap end e algunes coses dels que c euen i saben al ol an de
l’ap enen a ge i l’ensenyamen de les ma emà iques.
Mol in e essan en aques sen i és el eball de P es age i Pe ks (1999) en el
que qües ionen que an els es udian s pe a mes e com els mes es en exe cici,
mol del coneixemen ma emà ic es à a un ni ell d’ap enen i no es ans o ma en
coneixemen ma emà ic de mes e. Rowland (2000) desc iu les condicions so a les
que aques a ans o mació es a o no. Segons P es age i Pe ks la capaci a
pe sonal de e aques a ans o mació depèn del que els mes es po en a la
classe, és a di , mol s d’ells usen les se es p òpies expe iències com alumnes pe
onamen a les decisions que p enen sob e les ma emà iques a ensenya .
Hi ha poques e idències de que el coneixemen ma emà ic dels ensenyan s
es desen olupa com a conseqüència de la p àc ica. Les apo acions de G ossmane
e al (1989) i les de Aub ey (1997) an en la línia d’a i ma que, així com el
coneixemen pedagògic es desen olupa amb la p àc ica, el coneixemen ma emà ic
no ho a. Simon i B own (1997) an oba que necessi en se in es igades i
a aluades di e en s mane es d 'a alua el coneixemen de la ma è ia dels mes es.
58 Capí ol 2
Hi ha e idències que sugge eixen que els mes es necessi en eballa de
mane a que el coneixemen pedagògic i ma emà ic es elacionin al ni ell que se an
ensenya s.
En el cas dels es udian s de mes e hi ha ece ques sob e la elació en e
coneixemen ma emà ic i ensenyamen e ec iu de les ma emà iques, com pe
exemple Rowland e al (2000). T oben que eni bones quali icacions no són
indicado s d’ensenyamen e ec iu en ma emà iques. En conjun les ece ques e es
assenyalen que les de iciències en coneixemen subs an iu es podien esold e, les
de coneixemen sin àc ic e en mol més esis en s en la o mació inicial.
Pel que a a la elació de les concepcions de les ma emà iques,
l’ensenyamen de les ma eixes i el coneixemen de l’ap enen a ge dels alumnes,
mos en c eences de ipus connexionis a, és a di , es c eu que o s els alumnes
ap enen ma emà iques si es dona un ensenyamen adien ca ac e i za pe explici a
les connexions en e els di e sos aspec es de les ma emà iques.
Componen in e p e a iu- pedagògic-es a ègic, que inclou coneixemen s
cu icula s, desc i s en plans d 'es udis i e lec i s en els ex os i al es ins umen s
didàc ics; com els es udian s p ocessen, emmaga zemen, e enen i ecupe en la
in o mació i de com els p o esso s negocien amb els alumnes la ins ucció;
coneixemen d’una a ie a d’exemples pe a cada idea ma emà ica; coneixemen
sob e ècniques especí iques d 'ins ucció; coneixemen de ma e ials ins uc ius;
sabe com és la e a classe, com són els alumnes, econeixemen de c eences
sob e els alo s, els es udian s,...; de com di igi si uacions complexes d’ins ucció
que in oluc en a un g an nomb e d’es udian s ; una a ie a de ecu sos, espais, i
l’ús de complexa ecnologia ac ual.
Així ma eix, inclou me a -coneixemen s, que de ineixen el ma c que es
alo en els coneixemen s i la se a elació amb la p òpia p o essió; coneixemen s
sob e la didàc ica de la ma emà ica, conjuminan in o macions psicopedagògiques,

Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 59
expe iències p o essionals pe sonals i coneixemen s ma emà ics. També, el
coneixemen de i sob e el p océs de gene ació de les nocions ma emà iques ; el
coneixemen sob e les in e accions en l’aula, an les de p o esso -alumne com les
d’alumne –alumne, amb la doble dimensió a qui ec u a elacional ( u ines
ins uccionals) i la negociació del signi ica (con ac e didàc ic) ;coneixemen sob e el
p océs ins uc iu, o mes de eballa en classe, el pape de p o esso , que compo a,
el coneixemen sob e les ep esen acions ins uccionals així com el coneixemen
sob e les ca ac e ís iques de la elació asca - ac i i a .
To això posa en elació pe a gene a un coneixemen p àc ic a a és de la
p òpia p àc ica ins uccional, i ca ac e i za /media i za pe les c eences
epis emològiques del p o esso , dins una componen ac i udinal, que es eu à
explici ada en l’apa a següen .
Siguin dos o es o qua e dominis dis in s o bé un únic, el que sí sembla se
compa i pe o s els in es igado s és la p o unda elació en e ells, (Llina es i
Sánchez, 1996a). Des de l 'es udi de les possibles limi acions p àc iques del
coneixemen de con ingu pedagògic, Me edi h (1995) ci an a Lucas, plan eja la
necessi a de econèixe que el coneixemen de la disciplina és insepa able de la
se a aplicació. A iban a la conclusió que el coneixemen de con ingu pedagògic
depèn del coneixemen de la ma è ia, i al seu o n in o ma a aques a.
La idea cen al pe a dis ingi el coneixemen que onamen a l’ensenyamen ,
es à en la capaci a del p o esso pe a ans o ma el coneixemen de ma emà iques
en ep esen acions que siguin ú ils a ell i als alumnes, quan al millo
desen olupamen dels objec ius de l’ensenyamen . Aques a capaci a ind à
p opiciada pe la in e secció/in e elació en e con ingu i pedagogia, una amalgama
que és p òpia de la comp ensió p o essional dels p o esso s. P ecisamen alguns
d’aques s aspec es queden ecolli s en el següen pa àg a , “Un aspec e del
coneixemen de con ingu pedagògic implica una ce a in eg ació de con ingu i
60 Capí ol 2
pedagogia, aga an idees de les ma emà iques i del que coneixem sob e
l’ensenyamen i ap enen a ge de ma emà iques”. (Cooney, 1994, p.6 10).
Independen men del con ingu especí ic i ni ell, hi ha una sè ie d’aspec es o
emes que s’han de ac a en la o mació de p o esso s pe a amplia el seu
coneixemen de les ma emà iques: esolució de p oblemes en ma emà iques,
aonamen en ma emà iques, comunicació en ma emà iques, connexions din e de la
disciplina de les ma emà iques i amb el món eal. El coneixemen dels p o esso s és
“mul idimensional i in e ac iu, és a di , com un complex sis ema in eg ado
d’aspec es mol di e en s, que di ícilmen poden es udia -se aïlla s. A més so geix la
idea de la impo ància de les si uacions i con ex os socials i cul u als on es gene a,
desen olupa i u ili za, és pe an conside a “si ua ”. El coneixemen es gene a
socialmen i és, en pa , p oduc e de l’ac i i a , con ex i cul u a on es desen olupa i
emp a“. (Ga cía, 1997, p. 41).
2.5. Componen ac i udinal del desen olupamen p o essional.
Conside em el conjun de ca ac e ís iques que inclou sen imen s, ac i uds,
emocions, c eences, alo s i ap eciacions. (Gomez Chacón 1997). En pa icula , al
nos e eball, conside a em la pa que co espon al que es diu sob e la
Ma emà ica, i el seu ensenyamen - ap enen a ge. No conside em al nos e eball
les c eences i posicionamen pel que a a un ma eix, com ampoc les que p o enen
del con ex social. I, de e , ens cen a em en les ap eciacions com a mos a isible
de les c eences.
Ap eciacions, c eences i in encions de o mació.
Mol s au o s han des aca la impo ància de e lec i les c eences sob e les
ma emà iques pe a desc iu e els compo amen s dels indi idus a les aules.
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 61
J.P. Pon e (1994) en én les c eences com ce eses pe sonals i in ans e ibles
de cadascú i que de i en de l’expe iència o la an asia i que po en una componen
a ec i a i de alo ació. Les c eences es an modelan segons el ipus d’ac i i a ,
més o menys es e eo ipades, epe i i es o c ea i es, que es p oposen a l’aula i que
o men pa de la cul u a escola . També pe la p òpia o gani zació dels con ingu s, a
egades en compa imen s es ancs, com ha es a so in el ac amen de les
Ma emà iques.
Podem conside a qua e aspec es sob e les c eences sob e les
ma emà iques i el seu ap enen a ge pel que in lueixen els u u s ensenyan s:
1) In lueixen sob e la pe cepció (Paja es, 1992). Se eixen pe il a alguna
complexi a d’una si uació pe e -la comp ensible, I alesho es, quan s’in e eix
de les c eences, ha de de e mina en què es cen a quan eu una si uació.
2) No són en i a s de si o no; ja que es donen en di e en s in ensi a s (Paja es,
ci an Rokeach, 1968); així, quan es mesu en, conside em asques que enen
di e en s in e p e acions.
3) Tendeixen a se especi iques d’un con ingu (Cooney, Shealey, & A old,
1998), pe an si uem les obse acions sob e les c eences en con ex os
pa icula s i in e im les c eences sob e la base de les in e p e acions que es
an en aquell con ex
4) Pod ien se pensamen s de disposicions a a és d’accions (Cooney e
al.,1998; Rokeach, 1968); això ol di que in e im les p òpies c eences sob e
la base de cóm la pe sona pod ia ac ua en una si uació pa icula .
Aques es o mes de ep esen ació del coneixemen són impo an s a la
cons ucció de signi ica s ja que pe me en o gani za i il a in o macions ebudes,
an cons i uin la isió subjec i a que es é de la eali a i del món. C eences i
ap eciacions cons i ueixen un esquema concep ual que pe me que les pe sones
acin an icipacions i judicis sob e les ma emà iques i els p ocessos d’ensenyamen -
ap enen a ge .
62 Capí ol 2
Els u u s docen s en en als p og ames de o mació amb una g an a ie a de
c eences que són esul a de els se es expe iències a l’escola an e io . C euen que
l’ensenyamen se à ela i amen posi iu si consis eix p io i à iamen en dona
explicacions bones i cla es a l’alumna de P imà ia. Tendeixen a c eu e que la
supe ació dels obs acles del seu p opi ap enen a ge es p odui à més a ia a la se a
p àc ica docen més que al p opi cu s (Book & F eeman, 1986). D’una banda, la
majo pa dels u u s docen s suposen que l’ap enen a ge del con ingu és mol
menys impo an que la se a habili a de elaciona -se amb l’alumna I de ges iona
la classe. Així, al eball que hem is de Weins ein (1989) es ca ac e i za a aques a
o ien ació com a un biaix op imis a i es mos a so in que els u u s mes es en en
al seu cu s suposan que ja coneixen el que necessi en pe a ensenya (Feiman-
Nemse & Buchmann, 1986).
So in aques es pe cepcions i c eences són una limi ació pe a implica - se al
cu s de o mació que so in es dissenya pe a epassa con ingu s ma emà ics.
D’al a banda, els educado s ma emà ics pensem que aques a e isió és impo an .
De e , di e sos es udis han posa de mani es els con ingu s ma emà ics ebles dels
es udian s (Ball, 1990; Ma, 1999). En e ec e, pensem, que el desin e ès pe la
ma è ia i les se es concepcions i c eences in e e eixen el desen olupamen del
cu s.
També enen pe cepcions i c eences sob e el que els sembla que és se
mes e. C euen que un dels a ibu s més impo an s d’un bon docen és que ha de
se en anyable i cu ós, donan p io i a a p omou e l’au oes ima de l’alumna
(Weins ien, 1990). Aques es c eences poden se més cen als i més esis en s que
les c eences sob e les ma emà iques i és imp obable que can iï ni la in ensi a ni la
elle ància. P àc icamen les de inicions de bons mes es, que donen els alumne de
mes e, es an cen ades en aques s a ibu s in e pe sonals ((Weins ien, 1989).
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 69
cogni ius indi iduals sinó ambé con emplan el seu aspec e social a l’o igina -se
quan un g up in en a esold e la si uació.
Respec e del coneixemen del p o esso cal a on a :
- la se a na u alesa in eg ada,
- el seu con inu desen olupamen , com esul a del seu ús en asques
no es, i
- l’ap enen a ge con inu que és la o mació de p o esso s que a més
enllà de la o mació inicial.
El desen olupamen del coneixemen de con ingu pedagògic i c eences an
dels es udian s pe a p o esso com dels p o esso s en ac iu deu ia dona -se en
con ex os ep esen a s com eals ja que la p àc ica p o essional duu associa
dilemes i u ines implíci es (Cobb e al. 1988).
El coneixemen que so geix d’una p àc ica és en pa un esul a de l’ac i i a
el con ex i cul u a en la qual es desen olupa i u ili za” (B own, Collins i Duguid,
1989. 1989, p. 32). Pe ò com Fennema i Loe , (1992), comen en, a més aques es
es componen s, (ac i i a , con ex , i cul u a), ac uen de e e en a a és de les
quals el coneixemen es eco da, in e p e a i usa. Pe an , l 'ac i i a i les
ca ac e ís iques del con ex on es desen olupa el coneixemen d’una pe sona, o ma
pa in eg al del que ella ap èn, (Llina es, 1994a).
Relació en e coneixemen i p àc ica p o essional.
Segons Pu nam i Bo ko (1997) el coneixemen p o essional no es à
emmaga zema en la men dels p o esso s com p incipis abs ac es lliu es de
con ex , sinó que es desen olupa en si uacions i es gua da jun amen amb
ca ac e ís iques de les classes i ac i i a s en les quals es a gene a .

70 Capí ol 2
Aques coneixemen s’o gani za al ol an de asques que el p o esso a
po a a e me en les se es classes. Quan un p o esso soluciona p oblemes que se
li plan egen en les se es classes, desen olupa un coneixemen que gua da
jun amen amb aspec es claus de les si uacions de classe en les quals aques
coneixemen es a gene a .
Així, aques coneixemen no po es a o gani za com un conjun de p incipis
abs ac es sob e l’ensenyamen , sinó que es oba o almen connec a i es uc u a
al ol an de si uacions de classe a a és de les quals es desen olupo.
In es igado s com Fennema i Loe , (1992), que han in en a pa icula i za la noció
de coneixemen si ua al p o esso de ma emà iques, la p esen en indican que se ia
la in e acció en e: coneixemen de ma emà iques, coneixemen dels p ocedimen s
pedagògics, i el coneixemen dels es udian s. Aques s coneixemen s gene als que el
p o esso é han de se aplica s pe a o gani za i es uc u a unes asques
conc e es di igides a uns es udian s especí ics, “els seus alumnes” i en la se a aula.
En els úl ims emps la idea de conside a l’ensenyamen com una p o essió i
als p o esso s com p o essionals, (Rombe g, 1988; Tom i Valli, 1990; Sánchez,
1992), s’ha es ès en el camp de les in es igacions en Educació i conc e amen en el
de l’ Educació Ma emà ica. Aques es conside acions ens condueixen a la p egun a,
què signi ica se un p o essional de l’ensenyamen ?. P egun a que ha in en a se
espos a pe dis in s in es igado s en e ells Rombe g, 1988, que apo a algunes
idees que conside em bàsiques:
i) la necessi a de pa a esmen al coneixemen del p o esso de
ma emà iques ui del seu con ac e amb les si uacions
d’ensenyamen dià ies de classe i
ii) el pensa que el coneixemen que po e de l’ensenyamen de les
ma emà iques una p o essió no é pe quina gene a -se només i
exclusi amen a a és de les apo acions i esul a s d’in es igacions
cien í iques, sinó que ha de so gi , a més, de l’expe iència del
col·lec iu de p o esso s (Llina es, 1994a).
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 71
En pa aules de B omme i Tillema, (1995), “A iba a se un p o essional no és
un p océs de subs i ui eo ia pe expe iència, sinó un p océs de usiona eo ia i
expe iència” . Aques es úl imes idees mos en, d’alguna o ma, un pun mig en e
en end e el coneixemen del p o esso només i exclusi amen com coneixemen
cien í ic i en end e 'l únicamen com coneixemen ob ingu des de la p àc ica. D’aquí
la impo ància que des de dis in es pe spec i es se li dóna a les elacions en e
coneixemen i p àc ica (Tom i Valli, 1990; Lina es, 1995).
Di e ses qües ions so geixen en les in es igacions cen ades en el
coneixemen lliga a la p àc ica p o essional, en e ells d’on an in e i aques
coneixemen ?, és coneixemen o el que els p o esso s diuen o an?. La o ma
d’en on a -se a elles di e eix d’uns au o s a uns al es i enca a que des de dis in es
onamen acions eò iques, segons Fens e mache (1994), o s els es udis busquen
comp end e millo el coneixemen que els p o esso s po en al seu eball i la
comp ensió que els p opis p o esso s enen del ma eix. D’aques a o ma so geixen
els cons uc es “coneixemen p àc ic” (Elbaz, 1983, 1986, 1991), “coneixemen
p àc ic pe sonal” (Clandinin i Connelly, 1987), i “coneixemen en acció”, “ e lexió en
l’acció”, “ e lexió sob e la p àc ica”, o s aques s úl ims concep es so gi s del co en
denomina “epis emologia de la p àc ica” ecolzada en els eballs de Schön (1983,
1987). Una idea clau en aques ipus de coneixemen lliga a la p àc ica p o essional
és que el seu desen olupamen es à incula a la pa icipació en i e lexió sob e
l’acció o la p àc ica pe pa del p o esso .
Des de qualse ol dels pun s de is a, és e iden que quan el p o esso pensa i
e lexiona sob e el que ha succeï en la se a aula, ja sigui des del con ingu de la
ma è ia, la ges ió o l’ap enen a ge, es p odueix un coneixemen que a que es pugui
pensa de la p àc ica del eball del p o esso com una mica en el sen i de pode
ans o ma l’expe iència, (Llina es, 1994a).
72 Capí ol 2
2.7. Bases pe a un model de desen olupamen p o essional
Com a conseqüència del posicionamen an e io , conside em que el
cu ículum de o mació en didàc ica de la Ma emà ica ha de e subme gi als u u s
mes es en o mes p òpies de l’ac i i a ma emà ica, sense pe d e de is a el seu
pape p o essional en un escena i docen especí ic.
P incipis de o mació.
En enem que la o mació s’ha de basa en els p incipis següen s:
(1) D’aco d amb la concepció de les ma emà iques com el esul a de ce es
ac i i a s de les pe sones, és a di com enomen cul u al, en enem que cal
o ma u u s ensenyan s en un p océs de "encul u i zació", el cen e del qual
són les ac i i a s eali zades pels i les alumnes en el ma c de la ins i ució
social de l’aula. El que e o mado ha de con ibui que el u u mes e pugui
econèixe que el conjun socie a -cul u a emma ca el sabe a ensenya , en
el que es eali zi un desen olupamen p o essional cada egada més
millo a .
(2) La nos a es a ègia clau d’adquisició del coneixemen és un p océs de
ma ema i zació que pa eix d’una enomenologia (*F euden hal 1983) basada
en p àc iques si uades, con emplan que exis eix un sis ema didàc ic en el
qual o mado i es udian s s’emma quen amb un conjun de c eences i
models p opis.
(3) Conside em que l’es udian pe a mes e de P imà ia ha de sabe poca eo ia
sob e la didàc ica. En e les poques idees clau a eballa , cal conside a les
d’ins i ucionali zació i de olució. Amb o , l’es udian pe a p o esso deu
econèixe el pape de les si uacions didàc iques de di e sos ipus
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 73
(B ousseau 1986), i econèixe el pape de con lic es semiò ics pe a
concep uali za p oblemes ep esen a ius.
En la nos a c eença àmpliamen exposada en les pàgines an e io s, el
p og ama de o mació de p o esso s de P imà ia en Didàc ica de la Ma emà ica
deu à eni en comp e les següen s in encions educa i es:
(1) Col·labo a en la o mació de p o esso s de p imà ia e lexius i c í ics
da an si ma eixos i pe a p end e posició judiciosa on la ma emà ica
i com ensenya -la.
Pe això, hau an d’ap o undi en la isió de les ma emà iques que els
es udian s han cons uï al lla g de o es les se es e apes d’ap enen a ge. Pe a això
els EM hau ien de se conscien s de les se es idees sob e els onamen s
epis emològics de les ma emà iques pe a això deu an explici a els seus pun s de
is a, mol es egades implíci s, de mane a que puguin comp end e i alo a
possibles di e ències en e els seus plan ejamen s i al es di e en s. Hau an, pe an ,
d’ap end e a:
• P end e consciència que la gènesi del coneixemen cien í ic i ma emà ic és la
conseqüència d’un p océs e olu iu lla g i complex.
• P end e consciència que els concep es ma emà ics o men pa d’un p océs
de conjec u es, e u acions i modi icacions que donen lloc a demos acions
que enen una his ò ia i que, pe an , es an inculades a un con ex .
I, pe al a banda, iden i ica alo s com c í ica, e lexió sob e l’acció
educa i a, e c. de mane a que es p odueixi una millo a del sis ema de c eences
sob e les ma emà iques i com ensenya -les.
74 Capí ol 2
• In eg a -se en un p océs d’expe iència ma emà ica des de l'in e io de la
p òpia ma è ia, descob in les se es implicacions en l’ap enen a ge, ac an
que es econegui l’educació ma emà ica des d’una ap oximació
enomenològica i ealis a.
• Reconèixe que una eo ia és un sis ema complex d’idees que expliquen uns
e s de e mina s i que, en conseqüència, no é sen i ap end e una eo ia al
ma ge dels e s que explica.
• Reconèixe la impo ància d’ap end e a plan eja p egun es signi ica i es, a
dub a , com p e equisi pe a ap end e.
• Adqui i capaci a i independència al màxim pe a posa en acció i aplica les
ma emà iques a p oblemes eals, així com ac a de comp end e l’ús que uns
al es an de les ma emà iques, i se conscien s d’algunes limi acions
impo an s.
(2) Millo a la se a alo ació i ac i ud da an les ma emà iques i el seu
ensenyamen .
• Reconèixe el alo de les Ma emà iques i el seu ensenyamen pe a
in e p e a si uacions quo idianes, accep an la modeli zació com un e bàsic
en el coneixemen cien í ic.
• Iden i ica les di icul a s p incipals del coneixemen ma emà ic, i conèixe
elemen s lúdics que poden e les ma emà iques més in e essan s pe a un
ma eix i els u u s alumnes que els u u s mes es ind an. Descob i la
necessi a d’adqui i hàbi s de enaci a i es o ç pe a pode en on a -se als
p oblemes ma emà ics amb les màximes po enciali a s possibles.

Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 75
• Relaciona les ma emà iques amb el món quo idià, econeixen ins umen s
ú ils en les quals aques es s’apliquen. Iden i ica elemen s ecnològics
associa s als con ingu s bàsics, conèixe elemen s ins uc ius que poden
ajuda a la comp ensió dels nens/as. Sabe u ili za jocs i ma e ials com
e e encials adequa s a ce s con ingu s, i econèixe les se es possibili a s
com elemen de mo i ació i in e ès.
(3) La o mació deu eni com ocus cen al ap end e a ensenya
ma emà iques. Així, conside a em:
• Reconèixe con ingu s i p ocessos cogni ius pe sonals que can ien les
c eences, millo en les des eses i ac i uds, mi jançan una anàlisi didàc ica de
quali a .
• In eg a i econèixe els ac o s que in lueixen en el desen olupamen didàc ic
mi jançan anàlisi pe sonal: engegada i op imi zació de mè odes i ecu sos.
• Conside a aques s ac o s implica o ma a un EM que deu à eni en comp e
als seus es udian s, conèixe les ma emà iques; di e sos p ocessos
ins uc ius; i sabe u ili za di e sos mi jos i/o ecu sos pe a la ins ucció.
També conèixe -se a si ma eix, amb empa ia posi i a an en e s el seu
eball com en e s la se a pe sona.
(4) Adqui i una o mació educa i a global de ipus cons uc iu. Re isa els
p opis pun s de is a sob e pe què ensenya ma emà iques i, en conseqüència,
quina ma emà iques ensenya .
76 Capí ol 2
Això implica, en e al es coses:
• Ap end e a explici a possibles inali a s de l’ensenyamen de les
ma emà iques, les p io i a s pe sonals, l’a gumen ació d’aques es p io i a s.
• Sabe iden i ica di e en s opcions cu icula s, an a pa i de la p òpia
expe iència com de l’anàlisi de cu ículum i de les obse acions en cen es de
p àc iques; això implica anali za les di e ències i la elació amb els objec ius,
implíci s i explíci s, inhe en s a cadascun d’ells.
• Ap end e a di e encia els di e en s ipus de con ingu s cu icula s i explica
les aons de la impo ància de cadascun d’ells.
• Aplica el coneixemen an e io a la selecció de con ingu s a ensenya en
l’o gani zació d’un cu ículum pe a aplica -lo en l’aula.
Al cos a d’això, hom conside a que el p o esso ha de se o ma en la
millo a de alo s socials com: la capaci a de diàleg p o und, l’au onomia, la
c ea i i a , la con iança i els alo s democ à ics. Pe a això, conside em que cal
• Inco po a al màxim alo s comunica ius de les ma emà iques com de la
didàc ica que hem de ini com in eg an s d’una cul u a cien í ica.
• No oblida la nos a adició sociocul u al occiden al dialèc ica on apa eixen
binomis com acionalisme -a , sen i comú- sen i ma emà ic, e c.
Ma c eò ic pe al model de desen olupamen 77
Sob e el pape del o mado i el p océs de desen olupamen .
Al plan eja –se com anali zem un p océs -p opos a de o mació inicial cal
eni en comp e el pape dels o mado s de mes es i els seus coneixemen s p e is i
p essupòsi s de o mació. El coneixemen necessa i pe ajuda a inicia la
ans o mació d’es udian s que acaben de inali za la se a educació secundà ia en
docen s es una qües ió que poques ece ques ecullen, sembla que enca a no ha
a iba el momen de plan eja - se aques a p egun a de mane a més gene al. Pe
això, la ece ca que es eali za, ol inco po a una isió ecològica, en la que la
in es igado a es posiciona en quan els inicis de ans o mació p o essional, i es
si ua con ex ualmen l’expe iència.
L’o gani zació pe sonal cons uc i a del coneixemen p o essional, es gene a
no només pe eni mol s anys de p o essió i mi jançan qualse ol o ma de p àc ica,
sinó a a és de la e lexió indi idual del p o esso i compa in -lo amb g ups de
p o esso s.
Sabem que als o mado s els al a compa i el coneixemen pe al de
cons ui més e ec i amen els p og ames de o mació, que necessi en sabe el que
han e els seus p edecesso s amb els seus alumnes igual que passa a l’escola
p imà ia (Hiebe e al 2003). D’aques a mane a un o mado amb p eocupacions al
ol an de la millo a de la o mació inicial és algú que, com a mínim, ecull in o mació
sob e els coneixemen s i el p og és dels seus alumnes. A més, si es sen ealmen
implica i pa de la comuni a educa i a amb esponsabili a s sob e la o mació del
p o esso a , alesho es mi a de compa i in o mació amb els seus col·legues pe e
millo s p og ames de p epa ació de u u s mes es. Com en el cas dels mes es, no
es po se expe en poc emps, la asca és massa complexa i can ian .
78 Capí ol 2
La o mació i l’expe iència in luencien la se a p àc ica al ma ge del p og ama
de o mació que es igui aplican . I en el cas que el o mado sigui el esponsable del
p og ama de o mació especí ica didàc ica – ma emà ica la in luència se à enca a
més g an. El o mado de mes es ha de dona espos es a p egun es com a a,
quines ma emà iques cal ensenya , cóm ensenya -les, quins coneixemen s didàc ics
p ecisa el u u mes e i el ipus de connexions cal es abli en e els di e sos
coneixemen s implica s.
Finalmen , subsc i im que “ Els es udian s de magis e i enen a nosal es
amb unes isions mol ixes de les ma emà iques que cal ensenya . En mol s casos
olen imi a els que han es a els seus p o esso s, que so in han segui
me odologies docen s adicionals. Els es udian s olen posa -se da an de la classe
i explica al com els seus p o esso s han e . Volen ce eses. Volen p esc ipcions
pe gene a aques a ce esa. Es p eocupen pels nens. Volen se jus os. No olen
que les se es a aluacions siguin a bi à ies i pe an ien mè odes d’a aluació que
inguin l’apa ença de se objec ius. I què em nosal es?. Els p o oquem dub es,
e lexió, conside acions sob e el con ex i in en em que desen olupin una concepció
expe imen al de l’ensenyamen on l’educació es basi en el que els nois i noies
coneixen i en enen....pe ò aques a si uació po se pe illosa. Si anem massa lluny
amb els dub es i les e lexions podem des ui la con iança d’aques s u u s mes es
o c ea un nou es e eo ip de mes e que posi en dub e la nos a c edibili a com a
o mado s. El g an pe ill pe als o mado s de mes es com nosal es es que acabin
comunican mè odes especí ics pe ensenya en lloc d’inculca una ap oximació més
e lexi a i adap a i a a l’ensenyamen ”. (Cooney 2001).
86 Capí ol 3

L’es udi 87
3.1. Me odologia i ases de l’es udi.
Com ja s’ha indica al capí ol an e io , ens p oposem e un ipus d’es udi
anomena ece ca "pe desen olupamen " (G a emeije , 2001), de ipus o ma iu ja
que és un es udi d’un p oduc e especí ic i disseny de p og ama com a ece ca
bàsica que é pe objec iu l’ob enció d’un p og ama d’inno ació. Té una conno ació
e nog á ica in e p e a i a amb anàlisi de es casos pa icula s. Aques a inno ació é
la alidesa es ingida a con ex os simila s, o i que l’adap ació a quasi impossible
la èplica en sen i es ic e (c . Ball, 1993; Simon, 1995.). El desa iamen sob e la
ep oduc ibili a que s’exigeix me odològicamen es basa en el e que es ac a de
con ola i anali za un bon expe imen (G a emeije 2001). Tanma eix el eball
pe me à que es aci una eali zació acomodada en al es llocs, conside an
condicions simila s. A con inuació, es esumeixen els componen s de cada una de
les ases, la se a elació amb els objec ius del eball de ece ca, les dades que es
conside en, les ècniques i els elemen s pe a l’anàlisi co esponen .
Objec ius gene als Dades Tècniques / ins umen s Elemen s d'anàlisi
Reconèixe l’o gani zació,
compe ències i con ingu s que
es conside en ap op ia s pe a
la o mació inicial d'ensenyan s
de P imà ia en Ma emà iques
de mane a que es p odueixi
desen olupamen p o essional
en un ma c de e e ència com
el de l'es a espanyol.
In o mació bibliog à ica
sob e P incipis de
o mació.
Con ex uali zació
Fase p elimina . Es udis i
ece ques sob e o mació
docen en ma emà iques.
Cognició si uada.
Plan eig sob e
desen olupamen
p o essional.
O gani zado s cu icula s.
Anàlisi de e e ències
bibliog à iques sob e
p opos es de o mació.
Anàlisi de con ingu .
Sín esi de esul a s.
P esa de decisions.
P incipis.
Iden i ica ca ac e is iques d'un
disseny de p océs
d'ap enen a ge que ens
pe me in econèixe ajec ò ies
hipo è iques co esponen s
Expe iències p e ies
de o mació.
Ma e ials de o mació.
Plani icació.
Ma c e e encial eò ic.
Elemen s anàlisi p opos a
o mació.
Disseny de TRHIFI.
Mac ocicles
Seqüències. Con ingu s
Anàlisi de con ingu dels
Mac ocicles.
Reconeixemen de pa ons,
disseny com a guia.
Figu a 3.1.1. Fase p elimina : Disseny de les TRHIFI i de les ac i i a s
88 Capí ol 3
Objec ius Dades Tècniques /
ins umen s
Elemen s d'anàlisi
Mos a concepcions inicials
dels alumnes de magis e i
sob e les ma emà iques i
sob e la se a didàc ica en
una expe iència de o mació
con ex uali zada. I més
gene almen , iden i ica
eines que ens se eixen pe
a alo a el coneixemen
p o essional, i quins c i e is
les jus i iquen.
Dia is
En e is es
Obse acions
P oduccions
Ac i i a s mac ocicle 1.
Ac i i a s mac ocicle 2.
Mini-ins umen s
Expe imen pa icula
Anàlisi de Cadenes de
signi icació. Con as .
Anàlisi de discu s.
Accions.
Anàlisi de con ingu dels
Mic ocicles.
Iden i icació de pa ons
obse a s empí icamen .
Figu a 3.1.2. Fase 2: L’expe imen d’ensenyamen ( p o a empí ica).
Objec ius Dades Tècniques /
ins umen s
Elemen s d'anàlisi
Iden i ica aspec es que
mos en el c eixemen i can i
del coneixemen p o essional
d'un g up de es es udian s. I
especi icamen pel que a
l'es ablimen de connexions,
econeixemen de signi ica s
a i mè ics i ep esen acions, i
coneixemen s didàc ics
associa s. Quins elemen s
poden se i pe a alua o
dona més in o mació sob e
aques s can is.
An icipacións e sus
obse acions.
Modi icacions a pa i
de l’expe i’encia.
Rein enció "p o essional" Analisi e ospec i a
Resonància de la T hi i.
P ediccions i limi acions.
P oducció eò ica
eme gen .
Figu a 3.1.3. Fase 3: Anàlisi e ospec i a de les dades quali a i es.
A con inuació es p esen a una especi icació de la dis ibució de sessions
eali zades i ipus de egis es pe a la ase expe imen al que se à mo iu de eball
p incipal dels capí ols 4 i 5. To i que es ecullen eballs de o el g up-classe, només
s’anali za à en p o undi a l’e olució del eball de 3 alumnes.
L’es udi 89
Tempo i zació Tipus d’expe iència Regis e de dades Sessions
Se 1999 – Gene
2000
P o a inicial
Sessions de eball
inicial
Simulació de p àc ica
d’a aluació
Tasques de e lexió
pe sonal a casa
Ac i i a s de plani icació
Regis e audio
Recollida de eballs de
l’alumna
Dia i de camp de la
p o esso a
(1) De inicions i ep esen acions de
pa ell i mei a .
(2) Signi icació ma emà ica i didàc ica.
(3) Relle ància del con ingu
ma emà ic.
(4) Au o egulació del con ingu
ma emà ic.
(5) Explici ació del coneixemen i
in encionali a sob e la p àc ica.
(6) A aluació in e na.
Feb 2000 – Juny
2000
Simulació de p àc ica
escola
Sessions discussió de
d’aula
Tasques de e lexió
pe sonal a casa
Ac i i a s de plani icació
Tes
Mini-en e is es de pe i
g up
T iangulació al es
in es igado s
i discussió amb Recollida
de eballs de l’alumna
Tes s
(
7
)
El cas de la in oducció de
concep es.
(
8
)
Cons a ació de posicionamen s i
c eences p o essionals
(
9
)
Valo ació de seqüències
d’ap enen a ge en llib es de ex .
(
10
)
Anàlisi de p opos es de
p og amació.
(
11
)
A aluació suma i a
Figu a 3.1.4. Dis ibució de sessions, ipus d’ expe iències i egis e de dades.
El nos e model me odològic es basa en un posicionamen cla amen induc iu,
amb un ca àc e subjec iu, amb p e encions gene a i es i bàsicamen cons uc i a
cap a es udis pa icipa ius dins una pe spec i a c í ica. El nos e p opòsi inal no és
can ia la mane a en que ac úen els u u s mes es pe que cal, sinó p o oca , si es
po , el can i a a és d’ una millo comp ensió del enòmen educa iu.Pe aixó usem
di e sos ni ells d’ ins umen s en ases successi es, com es de alla o segui :
- Recollida de dades: Tasques, dia is i g a acions.
- Depu ació de les dades: Sepa ació en uni a s d’ in o mació en els ex os,
di isió dels p o ocols en episodis.Els enuncia s amb la ma eixa idea base
amb lligam semàn ic o sin àc ic con igu en una uni a d’ in o mació. Aixi es
poden locali za els comen a is i con as a amb els dia is i d’ al es
ece cado s.
90 Capí ol 3
- Anàlisi de dades: Assignació de ca ego ies i indicado s en els 3 àmbi s
desc i s segons els ins umen s i cons uc es que es desc iuen més
enda an . P ime s’ assignen ex os a les ca ego ies pe comp o a -ne
l’exis ència i es eca ego i za. S’ assigna a cada es udian la ca ego ia
co esponen , pe comp o a si s’ acompleix. S’ elabo en els quad es de
les assignacions i es pun uen les pe sones segons les ca ac e ís iques de
cada apa a en l’ àmbi del discu s. Amb aixó s’ elabo a una g à ica
e olu i a dels es udian s obse a s.
- P esen ació dels in o mes ( eu e capí ols 4 i 5 ), es ein e p e en les
dades de les ca ego ies pe a e l’ anàlisi in e p e a iu quali a iu. S’ inclou
la ece ca de elacions i p opie a s associan a cada aspec e els exemples
que siguin necessà is pe a jus i ica els esul a .
L’es udi 91
3.2. Con ex i subjec es de l’es udi.
Pe al d’anali za un p océs de o mació es decideix du a e me un es udi en
la Facul a de Fo mació del P o esso a de la Uni e si a de Ba celona amb alumnes
de p ime cu s del í ol de Mes e, especiali a de P imà ia, en l’àmbi de les dues
assigna u es oncals de 7,5 c èdi s cadascuna que enen lloc en el ma eix any
acadèmic i l’una a con inuació de l’al a. Les assigna u es han es a Didàc ica la
Ma emà ica I i II, du an el cu s acadèmic 1999-2000. Cadascuna de les dues
assigna u es compo a 3,5 ho es de classe se manal du an 14 se manes amb o el
g up-classe (60-70 es udian s) i 1,5 ho es se manals més de dedicació a la mei a
del g up o g ups més edui s.
El Depa amen de Didàc ica de les Ciències Expe imen als i de la Ma emà ica
é assignada la docència d’aques es assigna u es, de la que se’n an cà ec els
o mado s de l’à ea de Didàc ica de la Ma emà ica. En la p esen ece ca
l’in es igado ac úa com a o mado en les dues assigna u es. Aques es
assigna u es són les úniques obliga ò ies en el í ol de Mes e especiali a P imà ia
elacionades amb l’ensenyamen de les ma emà iques, és a di , les úniques si
l’es udian decideix no e -ne cap al e d’en e les op a i es i de lliu e elecció que
s’o e eixen du an la diploma u a.
Du an el p ime any acadèmic de la Diploma u a no es duen a e me
assigna u es de P àc iques Escola s, es més, pe pode cu sa –les cal eni ap o a s
un nomb e conside able de c èdi s. Les P àc iques Escola s,en aques pla d’es udis i
pe aques a especiali a , es duen a e me du an el p ime semes e del e ce any.
Pe an du an el emps en que s’impa eixen aques es assigna u es no es à
con emplada la possibili a de e p àc iques a un cen e escola , ampoc ho es à e
p àc iques escola s din e les assigna u es de didàc ica especí iques o gene als. Cal
eni en comp e que, en un con ex com el de Ba celona ciu a i cin u ó
me opoli à,amb un g an nomb e d’alumnes implica i dos cen es més on es cu sen
aques s es udis, no es senzill o gani za cap ac i i a elacionada amb els cen es

92 Capí ol 3
escola s de P imà ia que no es igui con emplada pe la ges ió acadèmica de la
acul a .
Els alumnes que es ma iculen en l’especiali a de P imà ia són,
majo i à iamen , ba xille s d’especiali a s mix es, alguns de ciències o llengües i un
pe cen a ge impo an (15-20% ins al momen de l’es udi) d’alumnes p oceden s de
la Fo mació P o essional. El pe il d'aques s alumnes és segons UB. Consell de
Quali a (1996): "El pe il dels es udian s de nou ing és pe aques a i ulació és :
es udian (83% de dones, 17% d’homes), sol e /a, amb una eda en e 21-23 anys,
que p ocedeix en la se a majo pa dels es udis de Ba xille a , amb una p ocedència
socio-economica de classe mi jana (72%), que iu en el domicili amilia , ubica en la
coma ca del Ba celonés i que es inancia els es udis amb l’aju dels pa es; eali za
eiones espo àdiques dins un ho a i de 10-20 ho es se manals, i a ús dels es udis
del o n de a da. Aques alumne ha ia els es udis de mes e com a p ime a opció
(69%) i se’n oba mol mo i a (un 72% es pensa dedica a l’ensenyamen )".
Les se es no es en ma emà iques dels da e s cu sos no són dolen es, en e
ap o a s i no ables (les no es de all de la selec i i a han ana augmen an i an del
6 al 6,5 en aques s anys), pe ò si que és nega i a la se a disposició cap a les
ma emà iques. Aixó s’explica, segons ells ma eixos, pe que els exàmens a
Secundà ia i a la selec i i a e en mol pau a s i d'una ipologia coneguda pe
enda an . Pel que a a les assigna u es de la ca e a enen uns esul a s pi jo s,
desp és de dues con oca ò ies queden penden s en e un 15 i un 20 % de
Didàc ica de les Ma emà iques I i en e un 25 i un 30 % de Didàc ica de les
Ma emà iques II (segons dades de UB. Consell de Quali a , 1996).
En gene al han ebu una educació ma emà ica basada en la p àc ica
d'algo ismes sense con ex i sense en end e les bases que els sus en a en. Mol s
dels alumnes decla en di icul a s en la esolució de p oblemes o de qualse ol asca
que p ecisi de la comp ensió dels concep es implica s. No an ans e ència de
L’es udi 93
coneixemen ni an connexions.La majo ia dels concep es de p imà ia es coneixen
pa cialmen , en alguns casos no supe a el que po eni l’alumna de 12 anys.
Sob e el coneixemen p e i de l’alumna
Pe conc e a l’es a de coneixemen ma emà ic p e i en qües ions elemen als
donem exemples de espos es a un es de coneixemen s p e is passa el cu s
1998-99 que es ben ep esen a iu de al coneixemen , ins i o en l’ac uali a . S’inicia
amb una p ime a qües ió de si uació de nomb es na u als sob e la ec a:
Figu a 3.2.1. Respos es més ca ac e ís iques d'un g up de P imà ia. Se emb e 1998.
a)
b)
c)
d)
94 Capí ol 3
De 42 alumnes, un 39% ha dona espos es del ipus a) o b) on s’ha g adua
mes o menys p ecisamen la ec a colocan el ze o o no. Un 41 % ha coloca els
nomb es en o d e pe ó sense cap elació de g andà ia com l'exemple c) on hi ha
dis àncies semblan s en e 19 i 490 i 490 i 518. Un 20 % ha coloca simplemen els
nomb es sob e la ec a com si es ac és d’una línia de e e ència pe esc iu e, com
l’exemple d).
En una al a p egun a es demana una jus i icació-explicació, pe a nens de
p ime cu s de P imà ia, 6-7 anys, del pe què s’esc iu 50 el nomb e que segueix al
49. En aques cas la majo ia espon donan aons com les del exemple de la igu a
on es donen ins uccions de còm s’ha de e pe ó cap aó que no sigui pe que es
així (i semp e ho ha es a !!) :
Figu a 3.2.2. Respos a del ipus més eqüen , 49-50.
Alguns in en en jus i ica -ho o bé pe analogia amb el que passa amb 19-20,
29-30... o a pa i de usa la idea de següen com aquell que suma un més, com en
el cas que es mos a a con inuació
L’es udi 95
Figu a 3.2.3. Respos a pe analogia amb 19-20
Da an d’una al a qües ió on es demana la desc ipció de l’algo isme de
es a , i en que es basen els di e sos pasos del p océs, es a palés el coneixemen
de cóm es a el càlcul pe ó no hi ha explicacions del pe què es duen a e me les
accions que desc iuen l’algo isme. Un exemple p o o ípic és el següen :
Figu a 3.2.4.Exemple de esolució d’una es a.
102 Capí ol 3
Dels 55 alumnes enques a s n’hi ha 15 (27,7%) que hague en p e e i no e
mai més ma emà iques i 10(18,2%) als que aixó els hi és indi e en ( eu e ig.
3.2.10). Aixó obliga al o mado a e un es o ç impo an pe can ia el més a ia
possible aques a disposició.
5
4
6
3
2
1
7
136,4%
29,1%
39,1%
418,2%
59,1%
67,3%
710,9%
A
eqüència ela i a (n=55)
Figu a.3.2.10.Valo ació de l’a i mació “P e e i ia no e mai més aques a assigna u a”
Malg a o el que hem obse a , so p èn la se a p edisposició a ap end e
més ma emà iques ( eu e igu a 3.2.11)
11
2
31
44
512
615
722
B
eqüència absolu a
11,8%
20,0%
31,8%
47,3%
521,8%
627,3%
740,0%
B
eqüència ela i a (n=55)
n = nomb e o al d’enques a s
75
6
3
4
2
1
Figu a.3.2.11.Disposició a ap end e més ma emà iques.

L’es udi 103
Sob e les sensacions da an el seu ap enen a ge ma emà ic i el
p og ama de l’assigna u a, enim que da an la pe ició de pa aules que desc iguin
les se es sensacions du an el seu ap enen age ma emà ic, les pa aules iades
enen qua e egades més conno acions nega i es que posi i es. Po , idicul, acás,
impo éncia, angoixa,insegu e a ,....es epe eixen massa.
El ma eix es dona en les espos es dels qües iona is passa s a les Facul a s
d’Educació de Lleida i Ta agona en el ma eix cu s escola . En el cas posi iu la més
epe ida és sa is acció (amb comen a is que impliquen que es dona quan enen
alguns èxi s).
Ha en is el p og ama, en demana en quínes pa s del p og ama
espe a en eni majo s di icul a s, de les 55 pe sones un 19 % diuen en o . En
pa s conc e es de la ma emà ica com geome ia, p oblemes, p obabili a ,
ma emà ica bàsica..., un 65% p e eu eni -ne algunes. Un 20% no con es a o no po
p e eu e quínes se an les se es di icul a s i només 2 pe sones diuen que no en
ind án.
En els qües iona is passa s a Lleida i Ta agona les espos es a ien pe ó
malg a o la geome ia i els p oblemes són els emes més p oblemà ics pels
alumnes.
Sob e l’au oges ió dels ap enen a ges.
Da an la p egun a "Què penses e pe eu e p o i d'aques a
assigna u a" cons a em poc èm asi en econèixe el alo de les ècniques d’es udi i
d’o gani zació del eball. A la igu a 3.2.12 posem un quad e in en an classi ica les
in encions que decla en:
104 Capí ol 3
Passi es
Ap o i a i p es a a enció 10
Reali za o es lñes asques 14
Assis i a classe 8
Accions elacionades amb les
sessions de classe
Ac i es
P egun a dub es 3
Col.labo a ,pa icipa ,in e eni 2
Demana ajuda 4
Conc e es
Busca p o esso epas 1
Consul a llib es
T eballa a casa 13
Accions elacionades amb les
asques pos e io s
Abas di ós
Es o ça -se 6
P ac ica 7
Dedica -hi emps 4
Fe el màxim 2
Conside a -la impo an 1
Es udia 6
Figu a.3.2.12. Tipus d’accions in encionals espe ables pe aconsegui eu e p o i de l’assigna u a.
Com ja es eu pels ipus de espos es no hi ha habili a s decla ades
d'au oges ió dels ap enen a ges (llegi documen acions p oposades, busca
in o mació di e en a la que es dona, eballa en g up amb companys de classe, e
sín esi del que es eballa....). Resul a s mol simila s els obem als qües iona is
passa s a Lleida i Ta agona. En esum,
- No enen un coneixemen comple de les ma emà iques de P imà ia,
desconeixen signi ica s i ep esen acions de con ingu s elemen als com
la linia numè ica. Es donen aons de coneixemen ma emà ic de ipus
analògic, no cen ades en la comp ensió (no saben indica a gumen s
pe al pas de 49 a 50), Es desconeix la signi icació dels algo ismes
elemen als de càlcul a i mè ic (com el cas de la sub acció).
- Els mo ius que els po a als es udis de magis e i són mol genè ics i poc
desen olupa s. El pape que a o guen a la ma emá ica a l’escola és de
ma e ia di ícil, que no es à a l’abas de o hom. Gai ebé un 50% no se
sen p ou segu pe ensenya -les. Cu iosamen només un 30% c eu que
la di icul a p o é del docen .
L’es udi 105
- Tenen espos es con adic ò ies. Si bé un 90% diuen que ma emà iques
no és només aplica egles, no an al a cosa que aplica egles en
mol es de les se es espos es.
- C euen que el que més a a o eix l’ap enen a ge ma emà ic és a a o i
l’au ocon iança dels seus alumnes, i asegu a que comp enen els
concep es. Tanma eix alo en l’ús dels elemen s no simbòlics com
ma e ial i jocs.
- Els hàbi s de eball decla a s es limi en a eali za les asques obligades
pe ap oba l’assigna u a. En les habili a s decla ades d’au oges ió dels
ap enen a ges, en gene al es a en ecolzades en accions passi es i
d’abas di ós com ana a classe, pa icipa , e c.
- Quasi un 50% de l’alumna no se sen p edisposa a a o de les
ma emà iques, abundan majo i à iamen les sensacions nega i es pel
damun de les posi i es.
- Un cop is el p og ama, un 80% espe a eni di icul a s en l’assigna u a.
L’alumna de la mos a pe a l’anàlisi e ospec i a.
Pe a la anàlisi e ospec i a ( ase 3) conside a em es alumnes del g up-
classe que anomena em: Es e , Nú ia i Lau a, que a pa i de les p ime es ac i i a s
ecollides mos en conduc es que es donen majo i à iamen en el g up com a
di e en s. Abans de decidi els alumnes que o ma ien pa de la mos a, el g up
sob e el que es ecollien dades i p oduccions e a de sis pe sones. Només 3 de les 6
pe sones assis eixen egula men a pa i d’ un ce momen . Alesho es es decideix
la mos a pe assegu a que es enen o es les p oduccions. Tanma eix, egula men ,
de les ac i i a s anali zades -mic ocicles es udia s- es ecull la p oducció de o el
g up classe pe a comp o a -ne la ep esen a i i a ap oximada.
La ece cado a i els seus condicionan s.
En la p esen ece ca la o mado a, que és al ma eix emps la in es igado a,
ha es a mes a d’EGB (ni ells dels 6 als 14 anys) du an e ze cu sos, en de u o a
en els cicles Inicial i Mi jà i d’especialis a en ma emà iques en el Cicle Supe io de
106 Capí ol 3
l’EGB. Al inali za la Llicencia u a en Ma emà iques s’inco po à a la Uni e si a de
Ba celona a l’an iga Escola de Magis e i, ac ualmen Facul a de Fo mació del
P o esso a , impa in du an més de in -i-cinc anys Didàc ica de les Ma emà iques
en les di e ses especiali a s del í ol de mes e. També a es a al cà ec de les
P àc iques Escola s du an es anys en que a se Cap d’Es udis i ha es a , en
nomb oses ocasions, u o a de P àc iques escola s en P imà ia, In an il i Mes e
d’Educació Musical.
Du an els da e s en a anys ha col·labo a en p og ames de Fo mació
Pe manen dissenyan p og ames de o mació, impa in cu sos, semina is, en
assesso amen s al Depa amen d’Ensenyamen (cu icula, ma e ials pels mes es,
a aluació de compe ències,...), a cen es educa ius i a associacions de pa es i
ma es. També ha esc i ex os de ma emà iques pe a nens i pe a mes es,
a icles,e c.
Les p opos es conc e es d’inno ació docen pe al d’aconsegui els objec ius
p oposa s, es a di un mes e capaç d’educa ma emà icamen a ni ell d’in an il i
p imà ia, han es a una cons an en el plan ejamen dels cu sos impa i s. La e lexió
sob e la docència impa ida i l’in e can i amb docen s amb les ma eixes
p eocupacions, l’ac uali zació de coneixemen sob e la o mació de mes es a pa i
de l’assis ència a cong essos i jo nades, lec u a de eballs de ece ca i d’inno ació
han e que els objec ius, la me odologia i els con ingu s dels cu sos impa i s
anessin e olucionan al lla g dels anys. També han con ibuï a nous plan ejamen s
les ci cums àncies pa icula s del país, els can is a ni ell de l’ensenyamen
secunda i i els can is dels plans d’es udi.
Sense de alla l’e olució de les c eences sob e la o mació inicial i pe manen
de mes es, an en els con ingu s a impa i com en la me odologia aplicada, podem
desc iu e alguns dels posicionamen s que a ec en an al disseny del cu s de
o mació com a la ece ca du a a e me. Es conside a que la o mació inicial dels
mes es ha de eni un model p opi adap a al con ex en que es dona i
L’es udi 107
di e encia dels de la o mació con inuada. Tanma eix p ecisem d’una eo ia de
l’ap enen a ge comuna en el con ex eu opeu, que cons i ueixi un ma c en el que
condui el p océs d’ap end e a ensenya .
Es eu necessa i un can i concep ual en els alumnes de mes e del que
es sabe i ensenya ma emà iques, doncs majo i à iamen l’alumna p o é de
cen es de Secundà ia i P imà ia en que els models d’ensenyamen – ap enen a ge
de les ma emà iques no es an d’aco d amb el que a ui es p ecisa i es coneix de
l’ap enen a ge de les ma emà iques, i pe an no poden se i de model a imi a .
Es ol po encia especialmen l’ap enen a ge ma emà ic de l’alumna en el
sen i de desen olupa la connexió i la ep esen ació de concep es i elacions
ma emà iques que han de possibili a el que es puguin con e i en acili ado s de
l’ap enen a ge ma emà ic dels seus p opis alumnes.
Es ol p opicia que els alumnes de mes e es sen in “educado s
ma emà ics“ des del p ime momen , p o ocan la e lexió i la p esa de decisions
aonades. També s’a a o i à la p àc ica amb alumnes de P imà ia i la pos e io
comunicació de l’expe iència al g up – classe. Aques p océs de sensibili zació se
sap cos ós i complex.
Especialmen impo an pe pode a ança en el p océs d’ap end e a
ensenya és aconsegui can ia les se es ap eciacions pel que a a la se a
capaci a i la dels seus u u s alumnes d’ap end e ma emà iques, i pe an ,
desbloca l’acció de e ma emà iques i ui ap enen ma emà iques. És di ícil
aconsegui que la se a ap eciació de que gai ebé o hom po ap end e a e i usa
les ma emà iques ingui p ou onamen ació pe assegu a que no ecula an en el
nou posicionamen a la més mínima di icul a en ap end e o ensenya -les.

108 Capí ol 3
No es ol assaja p opos es que no puguin se ep oduïbles, na u almen
desp és de alo a -les i millo a -les, doncs es p e én ap o i a els esul a s de la
ece ca pe p ossegui l’elabo ació del model de o mació. Pe an es conside a un
g up-classe habi ual (en e 60 i 70 alumnes), amb l’assignació de c èdi s i ho es de
eball ma ca s pels plans d’es udi igen s. Això no ol di pas que no es acin
p opos es a l’adminis ació i a la ins i ució uni e si à ia pe can ia algunes de les
condicions en que es plan egen els es udis. Com can i d’i ine a is, can is de
con ingu s, en ocamen di e en de les P àc iques Escola s, e c. Algunes condicions
donades pel Pla d’Es udis són o ça nega i es, com el e de si ua les dues
assigna u es de Didàc ica de les Ma emà iques a p ime cu s, sense cap
coneixemen p e i de pedagogia, psicologia, sociologia ni de les ins i ucions
educa i es. També hi ha aspec es nega ius que es de i en de l’aplicació del Pla
d’Es udis, com el e de no exis i una coo dinació en e les di e ses assigna u es
que els alumnes cu sen simul àniamen .
Un al e condicionan es els coneixemen s ma emà ics adqui i s pels alumnes
amb an e io i a , no an pe la quan i a com pel ipus, essen de baixa complexi a i
gai ebé semp e algo í mic ( eu e pàg. 103). Na u almen en aques cas les c eences
a ec en al disseny del cu s de o mació i ambé a la ece ca. Pel que a a les
p ime es , s’és conscien que l’anàlisi del p océs se’n eu à a ec a . Me eix
especial conside ació el e que pe ac a -se d’una ece ca pe desen olupamen
( eu e2.1.) la implicació de l’in es igado – o mado a à que la in luència de les
se es concepcions es egi a ec ada pe les concepcions sob e la o mació
inicial del p o esso a .
A més, pe ac a -se d’una ece ca d’un p océs que du a un any, no s’ha
p ocedi a g a a o es les sessions ja que es conside a a que es a ia una anàlisi
sob e les p oduccions esc i es i no s’ anali za ia les in e accions.Malg a la
pa icipació d’un obse ado ex e n, ben segu que la manca decon as no ens
pe me à econèixe el pode cogni iu d’ algunes a i macions i posicionamen s.
L’es udi 109
3.3. Cons uc es i ins umen s pe a l’anàlisi e ospec i a de la
p àc ica.
Un cop indicades les condicions inicials i la mos a de l’alumna , i
anomenades les bases eò iques de o mació (en el capi ol an e io ), hau iem
d’indica els ins umen s me odològics emp a s.
A és que ja s’ha eali za la jus i icació de l’ús de la ece ca pe
desen olupamen (RD), ja s’han esmen a els ins umen s co esponen s de la ase
de disseny i expe imen d’ensenyamen . Es ac a de desc ipcions analí iques
in e p e a i es del cu s desen olupa , les TRHIFI, o gani zació, i ca ac e i zació del
eball. Això es conc e a à en apa a s pos e io s, conside an les in encions de
o mació i compe encies p o essionals esmen ades en el capí ol an e io .
A a ens cal explici a i jus i ica quins ins umen s es a an se i pe l’anàlisi
e ospec i a de la p àc ica ( ase 3) pe a l’anàlisi del desen olupamen . Els
o gani za em en di e sos blocs: (a) des del pun de is a de la concepcio de les
ma emà iques com a p àc ica social, pe al de econèixe posicionamen s dels u u s
ensenyan s (b) des de l’anàlisi del discu s, pe a conside a el ni ell de millo a
epis emològica del con ingu ma emà ic, si uació dels aspec es de coneixemen i
comp ensió es a ègica, i la millo a dels aspec es p o essionals-ac i udinals, de
mane a que ens donin indicis de can is del desen olupamen p o essional, (c) sob e
la complexi a de les cons uccions concep uals, elacions i connexions, que ens
dona à la mesu a dels can is especi ics en aques àmbi conc e de les
compe ències ma emà iques.
(a) Anàlisi del posicionamen dels u u s ensenyan s.
Pe anali za la in e p e ació/posicionamen da an les ma emà iques com a
p àc ica social ens hem cen a en les elacions que els alumnes de mes e mos en
en elació al coneixemen ma emà ic, les se es ap eciacions i els alo s que
decla en, com euen les elacions de pode i, pe an quin posicionamen pedagògic
110 Capí ol 3
man enen. Es basa en els eballs d’anàlisi sob e les p àc iques de u u s mes es
pel que a a la nume acy (Bake 1999). En di eball, es eia que hi ha ia una
ipologia majo i à ia de u u s mes es que conside a a la nume acia, com una
capaci a pu amen ècnica de comp end e i manipula nomb es. Di es pe sones
conside a en les ma emà iques com a au ònomes en el sen i de coneixemen aïlla ,
i eien -les com un cos de coneixemen , conjun de con encions i p ocediemen s,
abs ac e, al ma ge de alo s, i uni e sal. A di e ència d’al es ipologies com la
d’E nes , o la simple classi icació en e mes e adicional i inno ado , ens pe me
econèixe e s que es euen més àcilmen en les p oduccions ex uals, en les que
hi ha decla ació d’in encions sob e la p àc ica i es à en la línia dels nos es objec ius.
Conside em una ipologia de posicionamen s, a pa i de la que p oposa en
Mille i Bake (2001). I, a pa i dels ex os de les p oduccions dels es udian s,
con as a amb els dia is de classe i les g a acions que es enien, s’assigna a cada
es udian el lloc que li co espon en di a ipologia.
Aques a classi icació/ ipologia ac a d’ap o undi en la in e p e ació que es a
de l’educació ma emà ica (i cien í ica) a a és de l’anàlisi de les p oduccions des
d’una pe spec i a de la p àc ica social incloen un epis emologia c í ica. Explo a les
espos es dels alumnes de mes e que posen en qües ió els seus models de
coneixemen i ap eciacions sob e ensenya i ap end e en les di e sses ac i i a s
eali zades. En e ec e, quan s’in e p e en les ma emà iques com una p àc ica social,
es euen com una pa cela al amen complexa de l’ac i i a humana en la socie a . Es
euen com “ideològiques”. El coneixemen en aques sen i es concebeix com a
cons ui socialmen . En aques model, els con ex os, alo s, ap eciacions, les
elacions de pode en que el coneixemen es à si ua , a ec a a les mane es de dona
signi ica i a les mane es de conèixe .
L’o igen d’aques a ipologia (ins umen d’anàlisi) pa ia de l’e idència que,
especialmen els alumnes de mes e de P imà ia no enen éxi en ma emà iques i en
ciències ni n’ap enen gai e. Aixó é e ec es nega ius en les se es p àc iques de
L’es udi 111
classe com a ensenyan s. La qüës ió es si l’ap o ondimen de la se a comp ensió i
con iança pod ia a ec a posi i amen a les se es p àc iques u u es de classe.
També es à basa en la c eença i el comp omís, que les ma emà iques i les
ciències en l’educació con ibueixen a p omou e la jus icia social.
Decidim conside a es ipus de u u s mes es in e p e a s com a
ep esen an s de posicions ideològiques i de p àc iques pedagògiques di e en s, que
no es olen conside a com a “absolu s” i excloen s: el com o mis a, el e lexiu i
l’in e oga iu que es desc iuen a con inuació:
- En el ipus com o mis a, el coneixemen es pe cep al ma ge de alo s, es
demana que sigui su icien (a un ni ell simple) des del cànon dona .
Només ol ap end e el necessà i pe ensenya .
- El ipus e lexiu conside a la elació de les ma emà iques amb la ida
dià ia, es algú que c eu que ha de se mediado en e els seus alumnes i el
coneixemen en el con ex social dels coneixemen i en l’escola. Es
conscien del pape de po a social juga pe les ma emà iques. Sap que hi
ha di e ses mane es d’ensenya les ma emà iques, ol iden i ica les
òp imes mane es d’ensenya i les es a ègies pe ò en les es uc u es
educacionals donades. No es qües iona les es uc u es de pode , la
ees uc u ació social ni els p opòsi s mo als de l’educació.
- El ipus in e oga iu, ca ac e i za pe la consciència de la cons ucció
social del coneixemen cien í ic, no el conside en au ònom. Es p eocupen
pe la posició au o i à ia del mes e, qües ionen les p àc iques
pedagògiques i són ece cado s.
A con inuació mos em una ca ac e i zació a p io i dels es ipus de u u
mes e que s’adap en al con ex de la nos a ece ca. Es mos a al quad e de la
igu a 3.3.1. Cal eni en comp e que, en el nos e cas, els posicionamen s dels
alumnes són només declacions d’in encions que accions p àc iques p o essionals a
l’aula, i no han es a du s a e me a la p àc ica.
118 Capí ol 3
impo an s en els p ocessos de concep uali zació. Mol s cops es p odueix pe una
ce a “ isuali zació”. En el p océs de cons ucció d’un concep e hi ha d’ha e una
je a quia (o d e) en l’ap oximació als exemples dels concep es. P ime els
p o o ípics, desp és els al es en o d e c eixen de complexi a . En o plega hi
in e enen p ocessos analí ics i /o isuals.
En la p esen ece ca, aques a eina s’u ili za al capí ol 5 ( eu e 5.2) en l’anàlisi
d’una asca de p ojecció p o essional especí ica. La impo ància d’aques a anàlisi es
cen a en el e que ens mos i l’ús que an d’exemples p o o ipus i si inclouen p ous
exemples que oquin o s els a ibu s esencials pe la concep uali zació a l’eda que
es plan eja. També eu e la mena de connexions que es ableixen en e els di e en s
signi ica s que p oposen del concep e. Les ep esen acions que enen un e ec e
isuali zado ambé se an conside ades.
(d) Anàlisi de la complexi a ma emà ica.
Pe anali za el ni ell de complexi a en les ac i i a s p oposades amb o ma
de p o a i conside a el alo de les espos es donades, com ac i i a s ma emà iques
di e en s s’ha usa un esquema ( ig. 3.3.6.), en ipus i ni ells d’ac i i a , seguin la
p opos a de Gimenez i Fo uny (1993) que es a e des del pun de is a de
l’equilib i a alua iu dels i ems emp a s en p o es ma emà iques.
Tipus de con ingu Ni ell baix Ni ell mi jà Ni ell al
Concep es
Es uc u es
Anomena
concep es
Iden i ica concep es Fe mapes concep uals
Algo ismes i
ecniques . ins umen als
Segui ins uccions
donades
Aplica algo ismes
de càlcul
Dissenya p og ames
Resolució de p oblemes Exe cici P oblema anca Si uació o p oblema
obe
Llengua ges i
Visuali zació
Cons ucció In e p e ació Pensamen quali a iu
Raonamen i
demos ació
In e ència di ec a
Demos ació d’un
pas
In e ència indi ec a
Demos ació de 2
passos
Mè ode absu d
Demos ació de 3
passos
Figu a 3.3.6. Tipus i g au de complexi a de con ingu s en ac i i a s.(Gimenez i Fo uny, 1993).

L’es udi 119
3.4. O gani zació del cu s. Mac ocicles. Disseny. Uni a s.
El cu s de o mació inicial es à cons i uï pe dues assigna u es del Pla
d'Es udis de la Diploma u a de Mes e (especiali a de P imà ia). Com una
conc ecció de les in encions de o mació exp essades en el capí ol 2, pe mo ius
es a ègics s’ha e coincidi els dos mac ocicles ( empo almen i cu icula men )
amb les dues assigna u es Didàc ica de la Ma emà ica I i II. Cal eni en comp e
que es p oposa un cu s e ec i amen eali za i ep oduïble, i, pe an , ha calgu
espec a el ma c ins i ucional es able .
El p og ama aplica a l’expe imen ació és cohe en amb els objec ius
ap o a s pel Consell d'es udis del í ol de Mes e de P imà ia pe les dues
assigna u es. Tanma eix, la dis ibució, seqüència i o gani zació dels con ingu s
di e eix mol del que es posa en p àc ica habi ualmen . Les di e ències es poden
conc e a en di e sos aspec es:
Un en oc cíclic que implica a les dues assigna u es com un o .
Conside a em la p ime a assigna u a com un nucli sob e el que ap o ondi i
comple a coneixemen s en la segona assigna u a, especialmen didàc ics i
es a ègics sob e la p àc ica. Això implica o na sob e emes clau amplian els
con ingu s elaciona s. Pe exemple, en el mac ocicle 1 es eballa les p opie a s de
les ope acions i de les igual a s i en el mac ocicle 2 es eu el pape de les p opie a s
en els algo ismes usuals.
Dona un ca àc e di e en a cadascuna de les assigna u es, una majo
impo ància al con ingu ma emà ic en la p ime a pe ò p ocu an ac a especialmen
els aspec es d’exempli icació con ex ual i de ep esen ació de concep es i elacions
ma emà iques . Així pode a a o i el pape acili ado de l’ap enen a ge ma emà ic
dels alumnes dels u u s mes es. La segona é un ma ca ca àc e didàc ic on els
aspec es es a ègics i p o essionals son més elle an s.
120 Capí ol 3
P io i za de mane a decidida des de la o gani zació dels con ingu s, no
només des de les ac i i a s, la connexió dels coneixemen s. Les ma emà iques no
s’han de eu e com a emes deslliga s, en p ime lloc pe que no ho son i, en segon
lloc com es diu en NCTM(2003):
"Quan els es udian s poden connec a idees ma emà iques, la se a
comp ensió és més p o onda i du ado a,..,a a és d'un ensenyamen que
esal i la in e elació de les idees ma emà iques, no només ap enen
l’assigna u a sino que ambé s’adonen de la se a u ili a ".
La necessi a de eu e les ma emà iques com un o és mol impo an de ca a
al seu ensenyamen , especialmen pe un u u mes e que p ecisa domina les
connexions in e nes en e els emes que a a ensenya . I no només pe es abli les
elacions necessà ies en e els coneixemen s p e is i els que ol ensenya , sino pe
ap o i a les connexions pe po encia l’ap enen a ge dels seus alumnes. Resold e
p oblemes és una capaci a que es po desen olupa , a pa de amb d’al es
ecu sos, en adona com les connexions pe me en ein e p e a les condicions
donades o com es po can ia les ep esen acions pe esold e’ls.
Les connexions son ben di e ses, des de e in e acciona emes ma emà ics
en e ells a eballa en con ex os on les ma emà iques es elacionen amb d’al es
disciplines o amb si uacions eals. En end em que les connexions comp enen des de
les elacions concep uals ( an en concep es p ope s com suma i es a, o menys
p ope s com les accions i la p opo cionali a o la p obabili a ), les ans o macions
de ep esen acions, l’aplicació de les ma emà iques a d’al es disciplines o a la ida
dià ia. No es po oblida en aques cas conc e de pe sones que se an docen s dos
ipus de connexions ex emadamen impo an s pe a l’ap enen a ge: les
compa acions de si uacions que po en a l’abs acció de p opie a s a pa i de la
descobe a de pa ons i les connexions en e les idees assolides i les no es, en un
en oc cons uc i is a de l’ap enen a ge.
L’es udi 121
Les connexions es poden es abli a pa i de les si uacions p oposades, a
pa i dels p ocedimen s emp a s com pe exemple les ep esen acions, dels
con ex os ics i ben ia s i de les es a ègies de esolució.
Això es conc e a en el p ime mac ocicle amb una p opos a de uni a s amb
ca àc e ans e sal ma emà ic: Doble i mei a , Igual i di e en i Dependència.
En o es elles s’hi oben con ingu s de di e sos blocs cu icula s de ma emà iques:
A i mè ica, geome ia, mesu a, es adís ica i p obabili a . També s'hi oba
p ocedimen s ma emà ics, alidació de esul a s, e minologia, e c. Aques a olun a
de connec a coneixemen es e lexa en el segon mac ocicle en els emes
Desen olupamen dels sen i numè ic i L'espai i la o ma. En aques cas o el
coneixemen didàc ic dels emes numè ics es à ocali za a pa i d’un plan ejamen
in e - elaciona dels emes habi uals (sis ema de nume ació, càlcul, elacions
numè iques, e c) on el sabe maneja -se amb els nomb es a més enllà de
sabe esc iu e nomb es o sabe calcula . La geome ia pa eix d'un ema més
ampli, de ma ema i zació de l'espai el que e idencia més els aspec es
ep esen acionals i p ocedimen als geomè ics.
En el segon mac ocicle es si ua una uni a de ca àc e ans e sal didàc ic-
ma emà ic, Aspec es bàsics i gene als de l'ap enen a ge i l'ensenyamen de les
ma emà iques a P imà ia, on es p e én in eg a o el con ingu ac a an e io men
i amb la p e ensió de p o oca en els u u s mes es la e lexió en emes cabdals
elaciona s di ec amen amb l’educació ma emà ica (Ma emà iques i socie a . Còm
s’ap enen les ma emà iques. Còm ensenya les ma emà iques. El pape del
mes e.). La da e a uni a , P og ama i ac ua , és la conc eció de l’an e io , on la
decla ació d'in encions p en o ma de p opos es conc e es pe a una aula hipo è ica.
Dissenya una o gani zació del con ingu , que conjun amen amb la
me odologia, p o oqui el més a ia possible can is en les concepcions del que són
les ma emà iques, de còm s’ap enen i de còm s’ensenyen. Desp és de mol s anys
d’expe iència i enin en comp e di e ses ece ques sob e el ema (Blanco &
122 Capí ol 3
Mellado, (1995)) de les concepcions p è ies dels alumnes de mes e, és p io i a i
aconsegui mou e'ls de les se es posicions que no es an d’aco d amb les endències
i necessi a s ac uals de l’educació ma emà ica.
Pe aixó s’inicia el cu s amb un ema senzill (Doble i mei a ) en el que ja
apa eixen els elemen s que ca ac e i zen o a la p opos a: connexió de concep es,
exempli icació del món eal, ús de ma e ials manipula ius, g à ics i audio isuals,
po enciació de la ep esen ació a di e sos ni ells de concep es i elacions, ece ca
de si uacions i ac i i a s pe l’educació p imà ia, necessi a d’adop a el pape de
mes e, po enciació de l'acció i de la e lexió, e c.
A con inuació desc i im els dos mac ocicles.
Mac ocicle 1
En aques mac ocicle s'inclouen 5 uni a s, es d’elles enen un ca àc e
ma cadamen ma emà ic (1,2,4) i dues enen ca àc e didàc ic (3, 5).
La p ime a, Doble i mei a , es po conside a , en alguns dels seus pun s, un
cas pa icula de la segona. Es ac a d'un ema impo an pe les se es implicacions
didàc iques a ni ell dels alumnes de P imà ia pe ò ambé s'ha ia pe la se a
apa en simplici a , el que ol a a o i una disposició posi i a dels alumnes (com ja
s'ha di no gai e ben p edisposa s cap a les ma emà iques). El ema de pa ells i
sena s po se i d’en ada a la di isibili a i, al ma eix emps, es à p esen en
mol es si uacions quo idianes d’apa ellamen o di isió en g ups iguals.
La uni a Igual i di e en pe me à copsa un pano ama dels di e sos
signi ica s del signe igual. El concep e d’igual a és un ema clau en la cons ucció de
o a la ma emà ica. So in es a un ús ei e a del ma eix símbol d’igual a , aques
abús de no ació que pe als ma emà ics no ep esen a cap p oblema concep ual, sí
que po c ea no ables di icul a s en els p ocessos d’ap enen a ge. En l’ensenyamen
elemen al, la igual a , sense se un ema en els llib es de ex , és usada en con ex os
L’es udi 123
ma emà ics ben di e en s i, en cada cas, cal en end e’ls segons els objec es
ma emà ics que posa en elació. La uni e sali a d’ús que li dona una impo ància
capi al a que la complexi a del seu ap enen a ge sigui mol ele ada. Un docen , a
P imà ia o a Secundà ia, ha de di igi el p océs de dona un signi ica cada cop més
ic, ex ens i plu al al signe igual. Pe an li cal conèixe , com a mínim, els emes o
i ems on el signe igual p esen a signi icacions més gene als o di e ses de les
p esen ades an e io men .
En el da e ema ma emà ic, Dependència, la igual a p en un pape més
complexe enca a. Pe adequa -se més a P imà ia, i enin en comp e que els
alumnes han eballa les uncions lineals i quad à iques el l’ e apa secundà ia,
l'èm asi es posa en el p opi concep e de dependència i en la descobe a, ac amen i
impo ància de les egula i a s o pa ons. La descobe a de egula i a s, en gene al,
po a a la descobe a de p opie a s i a l’exp essió de les ma eixes.
La e ce a uni a , Recu sos i con ex os, es si ua desp és de les dues
p ime es de ca àc e més ma emà ic pe ap o i a les expe iències adqui ides sob e
l’ús de ma e ials manipula ius, sob e les ep esen acions isuals, sob e la
ma ema i zació de si uacions eals senzilles i quo idianes pe p o oca una
ecollida, classi icació i e lexió sob e el pape del con ex en l'ap enen a ge i
l'ensenyamen de les ma emà iques.
La cinquena, Ac uació a l’aula, només p e én inicia als alumnes en alguns
aspec es de la p àc ica educa i a: la comunicació i les in e accions a l’aula. Igual
que la desc i a an e io men , es ol ap o i a les expe iències iscudes en les al es
uni a s pels alumnes de mes e pe plan eja la impo ància d’aques a qües ió en la
ges ió dels ap enen a ges.
A con inuació es llis en els con ingu s ac a s en les di e ses uni a s. Pe
eu e la conc eció d'una de les uni a s consul a l'apa a 3.7. on s'explici a el
ac amen que es ol dona a la uni a Igual i di e en .

124 Capí ol 3
1. Doble i
mei a 1.1. Si uacions elle an s on es oben implica s doble i mei a .
1.2.Pa ells i sena s. Concep e. Rep esen acions. P opie a s. Aplicacions.
1.3.Po ències de 2 i d´1/2.Descomposició de nomb es na u als com a suma de
po ències de dos. Algo isme de mul iplica usan només la aula del dos.
1.4.P og essions a i mè iques i geomè iques de aons 2 i 1/2.
1.5.Angle mei a i angle doble.
1.6.Sime ia axial. T anslacions. Gi s.
1.7.Di isió d’un polígon pe la mei a .
1.8.Duplicació d’un polígon: eo ema de Pi àgo es.
1.9.Duplica com a mè ode de esolució: alguns casos in e essan s.
1.10.Pa i un cub en dos pa s iguals. Cub d’a es a mei a . Cub d’à ea mei a .
1.11.Duplica un cub. Cub d’a es a doble. Cub d’à ea doble.
1.12.T ia g ups de 2 elemen s di e en s d’una col·lecció.
1.13.P obabili a doble i mei a ..
1.14.Ac i i a s de doble i mei a pe alumnes de P imà ia.
2. Igual i
di e en 2.1. Què ol di igual: di e sos signi ica s, ma emà ics o no.
2.2. Igual a s a i mè iques. Tipologia. P opie a s de les ope acions. Con enis
d’esc ip u a. P opie a s de les igual a s. Aplicació de les p opie a s de les
igual a s a la esolució de di e sos p oblemes.
2.3. Igual a pe supe posició. Figu es iguals. Figu es cong uen s. Implicacions
de la cong uència en l’es udi de igu es geomè iques.
2.4. Igual a d’angles. Igual a de iangles. No igual a de quad ilà e s.
2.5. Equi alència. Signi ica s. Figu es isope imè iques. À ees equi alen s.
Volums equi alen s. F accions equi alen s.
2.6. Quan l’o d e ma ca di e ències. Pe mu acions..
2.7. Equip obabili a .
2.8. Igual a es adís ica.
2.9. Igual a com a dependència de a iables.
2.10. De inicions equi alen s.
2.11. Ac i i a s pe alumnes de P imà ia.
L’es udi 125
3. Recu sos i
con ex 3.1. Recu sos. On oba -ne. Còm usa -los. C eació o adap ació de nous
ma e ials. Raons que jus i iquen el seu ús. E o s a e i a . Tipus i exemples.
3.2. Con ex es en educació ma emà ica. Fac o s que in luencien la ia de
con ex es d’ap enen a ge. Us dels di e sos ipus. C eació de con ex es. P océs
de ma ema i zació d’un con ex . Eixos ans e sals. Exemples di e sos.
4.
Dependència 4.1. Noció de dependència, a iables, in e als de alidesa, cons an s.
Exemples de dependència i de no dependència.
4.2. Descobe a de egula i a s. Exp essió de les egula i a s: aules, g à iques,
ó mules. Exemples de egula i a s a i mè iques, geomè iques, dimensionals,
e c.
4.3. Dependència linial. Concep e. P opie a s. Rep esen acions. Aplicació.
Connexions amb d’al es emes: accions i geome ia.
4.4. Dependències no linials. Mesu a i ia de la uni a . Escales de
dependència.
4.5. Dependència es adís ica. P esa de decisions.
4.6.Casos in e essan s de no dependència. Independència en p obabili a .
5. Ac uació
5.1. La comunicació. Elemen s que hi in e enen: llengua ges, pe sones,
ma è ia. Ni ells de llengua ge. Tipus de discu s del p o esso . Recu sos
comunica ius. Elemen s comunica ius que a a o eixen la comp ensió o la
e lexió.
5.2.In e accions. Còm a a o i les in e accions en e alumnes. O gani zació
dels g ups pe eballa , discu i , e c.
5.3. Tipus d’ac i i a s a l’aula i o a de l’aula.
5.4.O gani zació i ges ió de les sessions de classe. Models de classes.
Figu a 3.4.1. Mac ocicle 1.
Mac ocicle 2
En aques mac ocicle s’inclouen 4 uni a s. Enca a que es à subjacen
l’aspec e ma emà ic en dues d’elles, a o es se'ls dona un ca àc e didàc ic.
126 Capí ol 3
La uni a dedicada a l’Adquisició del sen i numè ic es à cen ada en la
impo ància de l’adquisició de la compe ència numè ica, com aquella compe ència
ma emà ica que pe me maneja si uacions on cal p end e decisions de quins
nomb es cal usa , amb quin g au de p ecisió, calculan e icien men amb mè odes
es ànda d o pe sonals, còm exp essa els esul a s, e c. Els emes que la con igu en
s’han de in e p e a en aques sen i , no d’una mane a aïllada, i semp e en elació a
l'aplicació del coneixemen a les si uacions eals i quo idianes. Fins i o s’es abli an
connexions amb d’al es blocs del cu iculum ac ual de ma emà iques de P imà ia
com mesu a, es adís ica i p obabili a . També inclou aspec es cu icula s i de
disseny de seqüències d’ensenyamen , a més de ecu sos i es a ègies conc e es
d'ensenyamen dels nomb es i dels ipus di e sos de càlcul.
Aques a uni a , a pa d’es a plan ejada d’una mane a global, o na o amplia
emes ac a s en el p ime mac ocicle (apa a s 1,2,3,4,14 de la uni a 1; apa a s
1,2,5,11 de la uni a 2; apa a s 2,3 de la uni a 4) i u ili za els con ingu s de les
uni a 3 i 5 conc e a s al ema numè ic.
Ha en inclòs en el mac ocicle 1 una bona quan i a de emes geomè ics ( e
in encionalmen pe dona més opo uni a s de "madu a " els coneixemen s nous a
alumnes pocs a essa s a eballa geome ia en els seus es udis p e is), s’inclou una
uni a que en oca el ac amen de la geome ia a P imà ia com a un coneixemen
lliga als sen i s i a la pe cepció i que cal ma ema i za . En L’espai i la o ma es
dona impo ància als p ocedimen s més especí icamen geomè ics, a la ia de
con ex os d’ap enen a ge i a la connexió amb al es blocs de la ma emà ica. A pa
dels emes geomè ics con ingu s en el mac ocicle 1, aques a uni a connec a amb
la uni a de ecu sos i con ex os, especialmen amb el eball a pa i de la eali a
que s’hau á plan eja a di a uni a . La uni a 3, Ap enen a ge i ensenyamen de les
ma emà iques a P imà ia, p e én in eg a els coneixemen s adqui i s, p o oca la
e lexió i el posicionamen dels alumnes al ol an de qua e emes impo an s en
els u u s mes es que olem o ma : Pe què ensenya ma emà iques?, Còm
s’ap enen les ma emà iques, Còm ensenya les ma emà iques, L’ac i i a
L’es udi 127
ma emà ica a l’escola, El pape del mes e. A a és de documen s i discussions de
classe cal a iba a elabo a un a icle en el que de ensin les se es posicions
espec e a aques s emes. Pe més de all consul a el capí ol 5, apa a 5.3, on es
desc iu les sessions i els esul a s dels alumnes es udia s. Finalmen , la qua a uni a
ac a de mane a més ap o ondida la plani icació de l’ac i i a ma emà ica i la
ges ió de la ma eixa. Du an el emps dedica a la uni a , els alumnes de mane a
indi idual, elabo en una p og amació pe alumnes de P imà ia. Inclou ambé
l’exposició dels eball al es a del g up- classe. Aques a ac i i a s’en oca com un
aglu inado de o el coneixemen adqui i du an el cu s de o mació.
El con ingu més de alla del mac ocicle 2 es mos a en el quad e següen :
1. Desen olupa-
men del sen i
numè ic
1.1. Què s’en en pe sen i numè ic.
1.2. Nomb es: classes i usos. Na u als pe comp a , o dena i codi ica .
F acciona is i decimals pe compa a i mesu a .
1.3. Ca ac e ís iques del sis ema de nume ació decimal.
1.4. Les ope acions amb nomb es na u als. P opie a s. Relacions. Res a
i di isió. Signi ica s de les ope acions. Rep esen acions de les
ope acions. Algo ismes i la se a jus i icació.
1.5. Seqüència bàsica de l’ensenyamen del sis ema de nume ació
decimal. Es a ègies especí iques. Ma e ials i ecu sos. Con ex os.
Di icul a s d’ap enen a ge.
1.6. Seqüències bàsiques de les ope acions elemen als. Es a ègies
especí iques. Ma e ials i ecu sos. Con ex os. Di icul a s d’ap enen a ge.
1.7. Càlcul exac e i ap oxima . Es imació. Temp eig. A odonimen ..
Càlcul men al, esc i . ús de la calculado a. Descob imen de pa ons i
elacions numè iques.
1.8. F accions. Signi ica s. Rep esen ació. Di icul a s d’ap enen a ge.
Es a ègies especí iques. Seqüenciació bàsica.
1.9. Connexions amb la mesu a, a geome ia, l’es adís ica i la
p obabili a .
1.10. Objec ius e minals del cu iculum. P ocedimen s gene als
implica s en l´ adquisició del sen i numè ic.
134 Capí ol 3
di e si a d’accions i e lexions. La o mació deu eni com ocus cen al ap end e a
ensenya ma emà iques.
Ca ac e i zació de la me odologia
En p ime lloc es p ocu a à cohe ència en e el model didàc ic subjacen ,
u ili za en el cu s de o mació, i el model didàc ic que es ol ansme e pe l’escola
elemen al. Això pe me que l’ac i i a d’aula pugui se usada com a e e en
didàc ic, especialmen en l’aspec e es a ègic. Saben pe enda an que les
concepcions àci es sob e l’ensenyamen i l’ap enen a ge de les ma emà iques són
mol pe sis en s, es posa à especial èm asi en e -les explíci es pe pode conèixe -
les i ac ua pe modi ica -les, si cal.
Se'ls ac a à com a mes es, educado s ma emà ics, en o a si uació,
p o ocan la e lexió sob e les se es accions i p opos es elacionades amb la
ma è ia. Se'ls in odui à en ac i i a s p o essionals ex e nes ( isi a a una i a de
ma emà iques pe a mes es Fig. 3.6.1, in o mació sob e cong essos de didàc ica de
les ma emà iques, e is es, associacions de p o esso s de ma emà iques, e c.).
Figu a 3.6.1. Visi a al Ma emagnum. Fi a d’ensenyamen de la ma emà ica pe a mes es.

L’es udi 135
De mane a gene al, al lla g dels dos mac ocicles, s'ani à elacionan els
con ingu s de les di e ses uni a s ac ades ins al momen . En cada uni a es
p oposen ac i i a s que elacionen els con ingu s de o a la uni a o bé el ecull de la
eina eali zada s’u ili za pe inicia i sis ema i za els con ingu s d’una al a uni a . Es
p omou à la cons ucció pe sonal dels ap enen a ges en un medi social com es
l'aula. L’expe iència pe sonal de comp end e i uï amb les ma emà iques es
conside a indispensable pe o ma el mes e que s’ha desc i an e io men . A
con inuació apo em al es ca ac e ís iques del eball, que es enen en comp e i que
s’exempli iquen amb accions conc e es a l’aula o o a d’ella:
Ca ac e ís iques Accions conc e es
Con ex uali zació de les
ac i i a s
So ides: Gabine Gaudí, Ma emagnum, Pa c del Labe in .
Exempli icació de con ex es eals quo idians, es es
popula s, e c
Us de ma e ials manipula ius i audio- isuals.
Rece ca i es udi d’ac i i a s de nens de P imà ia.
Usa de mane a os ensible
ce s elemen s de ges ió
Mos a mè odes de supo a la comp ensió a pa i de la
in e acció en e iguals, a pa i de l'ús d'elemen s
comunica ius.
P esen ació de les asques a pa i de plan ejamen s
isuals.
Fe es s de coneixemen s p e is i comen a -los.
Fe in e eni als alumnes pe desc iu e p opos es i/o
esolucions, a gumen acions.
Us de calculado a, e op ojec o .
Elabo ació de ma e ials pe usa amb el e op ojec o .
T ac a -los com a mes es,
p o ocan la e lexió sob e les
se es accions i
posicionamen s.
Demana jus i icació, a gumen acions,...sob e les se es
p opos es o sob e les dels al es. P o oca si uacions de
con as .
P epa ació d’ac i i a s es ànda i no es ànda pe
alumnes de p imà ia( isi a al Labe in d’Ho a).
Visi a i ecollida de ma e ials a una i a ma emà ica pe a
p o esso s (Ma emagnum).
Discussió sob e emes de l’ac uali a educa i a en elació
a les ma emà iques.
Dissenya ac i i a s diagnòs ic i passa -les a nens. Fe un
in o me.
P oposa g an di e si a de
asques, an pel que a a la
p esen ació, la complexi a ,
els ipus de con ingu s
ma emà ics, de con ex os,
com pels objec ius de la asca.
Expe imen als amb ma e ials.
In es igacions.
Ma ema i zació de si uacions.
Demos acions isuals i manipula i es.
Es udi de p opie a s.
A gumen acions.
Valo ació de p opos es didàc iques alienes.
Plani icació d’ac i i a s pe a nens.
Seqüenciacions.
136 Capí ol 3
De sín esi. De elacions concep uals.
D’a aluació.
Ac i i a s o a de l’aula.
Simulacions.
P àc ica a l’escola de P imà ia.
A a o i la connexió
Elabo an glossa is, sín esis.
O gani za els con ingu s eballa s, oba els
o gani zado s.
Esquemes elacionals de concep es.
P oposa exemples eals i quo idians en elació a
concep es i p opie a s.
Fe can is de ep esen ació i connec a concep es a
pa i de les se es ep esen acions.
P opos a d’ac i i a s pe a nens.
A a o i la pa icipació ac i a
dels alumnes
Fe p egun es.
P o oca deba s gene als sob e un ema.
T eball pe pa elles, en g up. Posades en comú.
Valo a l’exposició de p opos es didàc iques al g up-
classe.
C ea ambien a o able: no penali za els e o s, mos a
còm se'n po eu e p o i de ca a a l’ap enen a ge;
a a o i l’exp essió de dub es; plan eja l’assigna u a com
una ece ca.
Fe -los p oposa p oblemes.
Ac uacions col·lec i es a la pissa a.
P opicia l’èxi en la comp ensió del eball ma emà ic.
Inclou e les apo acions dels alumnes en el discu s de la
classe.
Figu a 3.6.2. Accions que ca ac e i zen el eball.
Figu a 3.6.3. Visi a al Gabine Gaudí Figu a 3.6.4. Visi a al Pa c del labe in
L’es udi 137
A aluació i egulació del p océs.
En consonància amb la mane a de eballa en que la connexió és un e
onamen al, és impo an p opo ciona als alumnes ocasions i ac i i a s que acin
e iden i os ensible el que s’ha eballa mi a des de l’òp ica de la connexió. En
aques plan ejamen es conside a necessa i que els alumnes inguin disponible el
coneixemen pe pode elaciona -lo. És palès, l’expe iència ho mos a, que els
alumnes de mes e no acos umen, en la nos a uni e si a , a eballa
sis emà icamen . A més, no es an acos uma s a e ac i i a s de sín esi que agin
més enllà d’una col·lecció de ases o e mes.
Pe an , en cada uni a es p oposa alguna ac i i a que agi en aques a
di ecció. Es comença pe una ecopilació de e mes i p opie a s, que cal o gani za
d’alguna mane a, el que compo a una isió global del ema. Més enda an pa in
d’un esquema elacional dona cal ana si uan -hi els i em ac a s. També es
p oposa l’in e s on es demana un esquema elacional dels con ingu s cen als al
inal del ema. En el segon mac ocicle, i de majo complexi a enca a, se'ls demana
sín esis a pa i de documen s, llib es i discussions d’aula sob e emes capdals en
educació ma emà ica. Finalmen el majo es o ç d’in eg ació és la p opos a de
p og amacions de sessions de classe de ma emà iques pe l'escola elemen al.
En o es aques es p opos es es p e én que l’alumne ingui una isió global i
es uc u ada del ema, i més impo an enca a, que ap engui a e -ho pe d’al es
emes pel seu comp e. També que a ibi a alo a o s els ipus de coneixemen que
necessi a domina pe pode ensenya ma emà iques.
L'a aluació é un pape impo an en aques aspec e de connec a i es uc u a
coneixemen . Es plan ejen al lla g dels dos mac ocicles di e ses ac i i a s amb la
p e ensió de que el o mado i els p opis alumnes, indi idualmen i globalmen ,
coneixin l'es a en que es oba el seu coneixemen .
138 Capí ol 3
Pe eni una idea més cla a de les accions a alua i es mos em el quad e
següen :
Mac ocicle 1
Tes inicial de coneixemen s p e is (pa ell i mei a ).
Elabo ació pe pa dels alumnes d’una p opos a d’a aluació sob e la uni a 1.
Tes - au oa aluació sob e la uni a 2. De ecció d'e o s i dub es.
Elabo ació d’una p o a pe a alua un concep e elle an de la uni a 5, amb
indicacions de co ecció i alo ació d'e o s.
Examen inal de o a la ma è ia.
Mac ocicle 2 Discussió col·lec i a sob e els esul a s de l’examen inal de la p ime a
assigna u a.
Tes de coneixemen s p e is (signi ica s de la es a).
P opos a de p oblemes.
Pa icipació en discussions sob e guió p e i, a egin p egun es i e lexions al
guió.
Elabo ació d'una p opos a didàc ica amb u o i zacio-con ol.
Examen inal de o a la ma è ia.
Figu a 3.6.5. Accions e alua i es en els mac ocicles.
3.7. Exemple d’una uni a : Igual i di e en
Aques a uni a es à es uc u ada al ol an de la igual a i les se es di e ses
in e p e acions. No s’ha plan eja e -ne un ac amen exhaus iu, les limi acions
enen donades pel emps disponible, pels con ingu s del cu ículum de P imà ia i
ambé pels objec ius p oposa s. El concep e d’igual a és un ema clau en la
cons ucció de o a la ma emà ica. En la p òpia lògica p oposicional i en la Teo ia de
Conjun s la o mulació d’igual a en un sen i p imi iu mena de seguida a l’in oducció
de les elacions d’equi alència que pe me en iden i ica , com a igual a s de classes,
conjun s que al amen no compa i ien la ma eixa col·lecció d’elemen s o iden i ica
p oposicions en p incipi di e en s pe ò que als e ec es de l’anàlisi lògica p esen en
els ma eixos alo s de e i a . To aques món d’iden i icacions o con enis
d’iden i icació a mol so in un ús ei e a del ma eix símbol d’igual a . Aques abús
de no ació que pe als ma emà ics no ep esen a cap p oblema concep ual si que po
c ea no ables di icul a s en els p ocessos d’ap enen a ge.
L’es udi 139
Cal a egi ambé que el p opi concep e d’igual a o els c i e is pels quals
s’es ableixen iden i icacions ia elacions d’equi alència han ebu nomb oses
e isions d’ençà de la onamen ació de la eo ia de conjun s. Si el p opi Hen i
Poinca é ja a conside a pa adoxal el e de que en de e minades expe iències
sensi i es la elació d’indis ingibili a no os ansi i a, els eò ics del Ce cle de Viena
amb Ka l Menge al capda an , a en o mula ma emà icamen , models pe a
desc iu e si uacions indis ingibles espec e d’un c i e i de e mina . Amb la c eació de
la Teo ia dels Conjun s Bo osos e a pe Lo i Zadeh als anys seixan a enca a
s’ob i en més p oblemes en o n de la modeli zació d’igual a s i de elacions bo oses.
Adme en aques a eo ia que un conjun di ús é dona pe una aplicació que assigna
a o s els elemen s d’un uni e s no bui els g aus de pe inença (en l’in e al eal
[0,1]) al conjun dona , esul a que la igual a de conjun s de Can o passa a
o mula -se com una igual a uncional que ex en la igual a de uncions
ca ac e ís iques del cas clàssic. Les elacions iden i icado es ambé passen a eni
alo s de e i a i pe an les concepcions d’igual a o iden i icació queden
e o mulades en un con ex més gene al. Aques es modeli zacions bo oses no sols
aixopluguen els casos clàssics de conjun s i els casos p obabilís ics sino que són de
g an in e ès en emes compu acionals com són a ui el econeixemen d’ima ges o la
c eació de sis emes expe s que p ecisen usa el llengua ge na u al. Òb iamen
aques es da e es conside acions no enen a ui pe a ui un e lexe en la ma emà ica
escola pe ò les hem esmen a pe e eu e que inclús ma emà icamen el ema de
la igual a i l’iden i icació segueix essen mo iu d’anàlisi.
Val la pena esmen a ambé que a ni ell social aques ema segueix ambé en
p ime a línia, no sols en un sen i ju ídic i legal sino en e mes p oduc ius o
econòmics de g an impo ància. La p oducció en sè ie indus ial assegu an l’igual a
de composició i quali a es cabdal en la majo ia de p ocessos de ab icació, dels
co xes al ca a, dels medicamen s a l’iden i icació pe ADN, sense oblida els emes
de alsi icació, còpia, plagi, e c. que an a anscendència econòmica enen. Fem
aques a e e ència al món p oduc iu pe e eu e que ambé la igual a i la di e ència
son a ui concep es claus in e disciplinà iamen , la qual cosa si é un in e ès o ma iu

140 Capí ol 3
mol ele a : pocs emes hi ha que inguin una p esència an no o i en o s els àmbi s i
amb an es implicacions.
Pel que a l’ensenyamen elemen al la igual a , sense se un ema en els
llib es de ex , és usada en con ex os ma emà ics ben di e en s i, en cada cas, cal
en end e’ls segons els objec es ma emà ics que posa en elació. La uni e sali a d’ús
que li dona una impo ància capi al a que la complexi a del seu ap enen a ge sigui
mol ele ada. Segons les si uacions en que es p esen a el signe igual, l’ap enen li
dona un signi ica ( eu e Seo i Ginsbe (2003)). Si no es a un eball de p esen a -lo
en con ex os ma emà ics di e sos po passa que els ap enen s es limi in a un sol
signi ica que acos uma a se el de esul a d’una exp essió a i mè ica o d’una
ope ació. Mol s alumnes de P imà ia i de Secundà ia no comp enen l’equi alència
de accions, les igual a s i les iden i a s i, enca a menys, les equacions. Un docen ,
a P imà ia o a Secundà ia, ha de di igi el p océs de dona un signi ica cada cop
més ic, ex ens i plu al al signe igual. Pe an li cal conèixe , com a mínim, els emes
o i ems on el signe igual p esen a signi icacions més gene als o di e ses de les
p esen ades an e io men .
Un plan ejamen de la igual a , i pe an , de la di e ència com a eix ans e sal
dins les ma emà iques po se i pe posa en e idència la impo ància del ema i, a
més, possibili a d’una mane a na u al i des de les ma eixes ma emà iques la
connexió en e els di e en s blocs. A més dels més especí ics com a i mè ica,
geome ia, mesu a, p obabili a i es adís ica enim les di e ses ep esen acions dels
concep es i les elacions ma emà iques (signes, símbols, g à ics, ma e ials,
me à o es), o plega connec a a pa i de di e ses mane es d’en end e la igual a .
Aques a es uc u a no és no a pels alumnes del cu s, es plan eja ja en la
p ime a uni a que é un ca àc e més conc e (Doble i Mei a ), pe ò en la que ja
s’es udien casos pa icula s que es gene ali zen en la p esen uni a .
L’es udi 141
L’objec iu d’aques a uni a és doble. Pe una banda, ap o ondi en una sè ie
de emes p opis de la P imà ia (nomb es, ope acions, càlcul, mesu a, elacions
geomè iques, nocions elemen als d’es adís ica i de p obabili a ) de mane a in e -
connec ada, posan en e idència aspec es impo an s com a a la comp ensió dels
algo ismes, les p opie a de les ope acions, dels polígons, de l’equi alència de
accions, e c. al ma eix emps que es a amplian el signi ica de la igual a . Pe
l’al a es ol exempli ica amb ac i i a s i ecu sos els i ems co esponen s en el
cu iculum de P imà ia.
La uni a pa eix del llengua ge na u al i algunes de les se es p esències en el
llengua ge ma emà ic i p oposa desp ès cinc nuclis al ol an de:
- les igual a numè iques i les ope acions elemen als
- la igual a geomè ica
- l’equi alència d’objec es
- el sen i de la igual a en p obabili a i es adís ica
- l’o d e com a di e enciado
Desp ès d’una ac i i a de sín esis i o gani zació dels con ingu s ac a s, es
plan eja una anàlisi de les ac i i a s p òpies de P imà ia ecopilades pels alumnes i
elacionades amb els con ingu s ac a s. Finalmen es p oposen ac i i a s de con ol
del coneixemen adqui i en aques a uni a .
Tan les ac i i a s que es p oposen com els ma e ials i ecu sos amb que es
eballa són expe iències que es en abili za an en las uni a s 3 i 5. És a di , les
ac i i a s, els ecu sos i la ges ió de classe olen se exemples dels con ingu s a
ac a en aquelles uni a s. Pe això es demana als alumnes que agin ecollin -los
pe al d’usa -los en les uni a s més didàc iques.
142 Capí ol 3
QUÈ VOL DIR IGUAL. Sessió 1.
Jus i icació
És impo an e lexiona sob e els
signi ica s i les si uacions en les que
apa eix el signe igual pe les se es
implicacions educa i es.
Cal eni cla es les di e ències
en e les exp essions en que
apa eix el signe igual pe al de
es abli la seqüència al lla g de la
P imà ia i pode assegu a la
comp ensió d’un símbol ma emà ic
amb un signi ica an ex ens.
Finali a s
• Fe adona als es udian s com un
símbol com l’igual po espond e a
signi ica s mol di e sos.
• P o oca una e lexió sob e les
connexions del llengua ge co en i el
llengua ge ma emà ic.
In eg ació emà ica
Relació amb el ema 1 (Doble i
mei a ) del qual és en alguns pun s
una ampliació.
També amb el ema 4 de
Dependència.
Relació amb les sessions
següen s.
CONTINGUTS
Concep uals:
- Símbol igual. Exp essions
a i mè iques.
P ocedimen als:
- Compa ació de si uacions que es
poden desc iu e usan el e me
igual o el símbol =. Relació
d’exp essions a i mè iques amb
enuncia s e bals..
Ac i udinals:
- Impo ància de la comp ensió dels
símbols ma emà ics.
Re e ències clau
Seo i Ginsbu g, 2003
Recu sos d´ aula
Tex os escola s di e ses edi o ials.
L’es udi 143
Si uació gene ado a d’ac i i a
Es mos en di e sos exemples
d’exp essions, ases i/o si uacions
que con enen el signe =, el e me
igual o sinònims. Aques s exemples
enen a eu e amb els i ems que es
desen olupa an al lla g del ema.
Men e es mos en els exe cicis se’ls
demana que in e p e in el símbol = o
els e mes con ingu s en les ases.
Del que diguin se’n a un ecull i una
p ime a classi icació de les
si uacions i/o exp essions a pa i
dels sugge imen s del o mado .
GESTIÓ DE LA SESSIÓ
Es p esen en di e ses si uacions en
llengua ge e bal (enuncia s de
p oblemes a i mè ics) i se’ls demana
que les adueixin a llengua ge
ma emà ic i les esolguin de mane a
indi idual. Desp és es discu ei
x
col·lec i amen el signi ica del signe
igual. A con inuació com a eball de
g up se’ls demana iden i ica
l’exp essió a i mè ica co ec a d’en e 2
o 3 co esponen a una si uació
senzilla i l’exe cici in e s. Si és
possible, es ol comença a eu e
alguns signi ica s d’ope acions, la
impo ància dels con enis d’esc ip u a
i l’ús del pa èn esi.
Indicis de can i p o essional
Els es udian s no usen
co ec amen el signe igual en
exp essions a i mè iques,
especialmen en casos de esolució
de p oblemes a i mè ics.
Conside an l’an e io s’espe a que:
- Mos in una majo p ecisió i cu a
en l’ús del e me igual.
- Reconeguin exp essions on el
signe = é signi ica de esul a
( a, dona, esul a ,...) i les
dis ingeixin d’al es.
- T adueixi co ec amen ex os i
ac uacions en o ma
d’exp essions i/o d’igual a s
a i mè iques.
COMPETÈNCIES PROFESSIONALS
- Reconèixe la impo ància del
eball especí ic del llengua ge
ma emà ic elacionan -lo amb el
llengua ge e bal.
- Valo a la p ecisió en l’ús dels
llengua ges ma emà ics.
P ime a anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 1 247
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En els quad ilà e s de cos a s de lla gada di e en no o men angles ec es,
si mi em si les diagonals del quad a i el ombe son pe on es po doblega
la igu a i ob eni sime ia, eu em que si; pe ò en les diagonals d’un
ec angle, pe exemple, no aconseguim sime ia.
Pel que a a dibuixa un ombe de 42 cm2 d’à ea i ans o ma -lo en un iangle
que ingui un eix de sime ia, no espon.
En el cas d'Es e i Lau a, la espos a a la p egun a 4 ( eu e enuncia més
amun ) enim que Es e a un dibuix co ec e i aplica les p opie a s del iangles
isòsceles, pe ò con on , en la o mulació de la p opie a , angles i cos a s, diu” com
que en un iangle la suma dels seus cos a s és 180 g aus”
Figu a 4.7.8. Es e u ili za les p opie a s dels iangles isòsceles.
en can i Lau a calcula usan equacions pe ob eni els angles pe ò no sap eu e el
pape que enen els pa ells de cos a iguals en el quad ilà e :

248 Capí ol 4
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En la p egun a on es demana de ans o ma un apezi de 42cm2 d’à ea en
un iangle sense cap eix de sime ia Es e no espon i Lau a no sap oba el
iangle equi alen :
Figu a 4.7.9.Lau a no usa la condició de iangle isòsceles.
En la p egun a de econeixemen de signi ica s del signe igual (núme o 7 de la
p o a), només Es e ence a o es les possibili a s men es que Nú ia i Lau a no
econeixen les iden i a s ni les equi alències de mesu a.
Resul a 4.7.2. L’alumna mos a un compo amen eble pel que a als
con ex s, no es si ua en una ac i i a ma emà ica, no en econeix el alo en
elació a l’ap enen a ge ma emà ic, només com a mo i ació. No es mos a
c í ic da an de con ex os poc adien s, només en un cas dels es hi ha indicis
P ime a anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 1 249
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
de alo ació. En quan a les ep esen acions no es passa d’un ni ell supe icial
sense concedi -los-hi més que un pape de supo a l’ap enen a ge.
Les espos es de la pa didàc ica s’anali zen enin en comp e els aspec es
que es p e enia a alua en la p o a : el econeixemen i di e enciació de signi ica s,
l’anàlisi i p opos a de con ex os pe a con ingu s conc e s, les ep esen acions
g à iques o ma e ials p oposades pe acili a la comp ensió i la de ecció d'en ocs
pedagògics en p opos es d’ac i i a s elabo ades.
En la p egun a on es plan eja la dis inció en e si uacions de di isió a pa i del
signi ica de la ma eixa, Nú ia dona espos es adien s en es dels qua e casos pe ò
da an de dos signi ica s iguals eacciona de mane a di e en , diu que " Quan s
du os són 755 pesse es? es co espon amb la in e p e ació de la di isió com la
o mació de g ups iguals, en can i da an de "Quan s ecipien s de 5 li es es
necessi a pe en asa 575 li es d’aigua?" espon que es ac a de epa i . En
pa icula això ol di que Nú ia no es capaç d’adona -se de l’equi alència de
signi ica s de les si uacions p oposades. Com en els alumnes de P imà ia, les
si uacions de líquids elacionades amb di isió o accions p esen en més di icul a s
que les si uacions disc e es o elacionades amb sòlids. Iden i iques les si uacions de
líquids com a si uacions de epa i en ecipien s, con usió que indica la po ència
e bal d’ús de epa i elaciona amb begudes.
En el cas de Lau a no hi ha espos a a la p egun a que ac a de la de ecció
de si uacions no adien s pe alumnes de qua de P imà ia on es plan eja un
signi ica de pi àmide que no s’adap a a les possibili a s dels alumnes ( eu e igu a
4.7.3).
Es e posa objeccions al plan ejamen de l’ac i i a amb aonamen s del ipus:
250 Capí ol 4
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
No enen assolides les igu es que o men les pi àmides, no es adien pe que els nens no
enen enca a un domini de l’espai
Es a di , no cap a en absolu que l’inap opia és plan eja el concep e a pa i
d’una de inició i dibuixos en pe spec i a de les pi àmides, uni al e de eni un
ocabula i massa ècnic enca a i no dona con ex os conc e s.
En el cas d’una asca pe alumnes de 4 cu s de P imà ia on es p e én
in odui l’algo isme de di idi amb un di idend de 3 xi es i un di iso d’una xi a i en
un con ex de epa imen ( eu e igu a 4.7.4), Nú ia oba co ec e el que sigui un
epa imen i que es p odueixi començan pe la xi a " al a", diu a més que " es un
con ex que dona mol de sí ...po e que el e de di idi no el conside i an aïlla de
la se a ida quo idiana" . Això mos a un con o misme o al amb la p opos a del ex
sense plan eja -se cap c í ica a si és adien des del pun de is a de possibili a la
comp ensió o la descobe a pe pa de l’alumne o la si uació o ma pa de la
eali a de l’alumne de P imà ia.
Es e , en can i, no es à d’aco d amb els exemples p esen a s de con ex os
pe in odui l’algo isme de mul iplica pe dues xi es ( eu e igu a 4.7.6) pe que diu
que no son quo idians pels nens de cicle mi jà . Ella p oposa el càlcul d’ous de un
núme o de e mina de do zenes o qualse ol al e con ex cen a amb el menja que
conside a més p ope . De mane a cohe en plan eja si uacions d’es udi de capses
(en asos de menja , medecines,...) en el cas de eballa amb pi àmides. El cas de
Lau a es ben di e en de les al es dues pe sones, doncs no anali za ni p oposa cap
con ex .
En les p egun es que demana en ma e ials adien s pe acili a la comp ensió
dels alumnes o be de ep esen acions g à iques, les espos es ambé són di e ses.
Nú ia p oposa, en el cas de geome ia, que els alumnes elabo in igu es amb
P ime a anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 1 251
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
ca olina o pape , ambé que po in objec es de casa que s’hi assemblin. Lau a
p oposa que po in capses de casa en o ma de políed e o que s’obse in els
objec es del ca e . L’única que pa la de ep esen acions g à iques, Es e , pel ema
de la mul iplicació, no a cap dibuix ni desc ipció de les ma eixes. To es es an
p opos es de ma e ials pe ò no diuen es de cóm u ili za -los.
La da e a qües ió es à elacionada amb la de ecció de l'en oc didàc ic d’una
de les ac i i a s que es p oposen, o i els incon enien s de e -ho només a pa i
d’un ull del llib e s’ha pensa que e a in e essan eu e quins a gumen s dona en
pe jus i ica la se a classi icació. Nú ia diu que en l’ac i i a del e aed e egula
( eu e igu a 4.7.4 ):
Pod ia se empi is a pe que es pa eix de si uacions i con ex os eals, al
igual que ealis a. Si aconseguim una ma ema i zació e ical, l'en oc se à
ealis a, hau em passa d’allò conc e a la idea abs ac a que hi ha da e a
de o aixó. Si no a ibem a l’abs acció con inua à sen empi is a, el nen ho
a à o de mane a in o mal.
El que ens diu, en aques momen del cu s, el que Nú ia conside a eballa a
pa i de la eali a . Lau a no espon a aques a p egun a i Es e mos a, en aques
cas, que no ha en ès la p egun a o que no s’ha is en co de dona una opinió
aonada sob e aques a qües ió, doncs diu de l’ac i i a de la mul iplicació pe
nomb es de dues xi es ( eu e igu a 4.7.6.) el següen :
Es un ensenyamen e ical pe que p ime exposen una si uació, desp és
unes al es amb al es di icul a s pe al que el nen a ibi al concep e
abs ac e del que se li es à ensenyan (Es e 01-00/6).
Resul a 4.7.3. L’anàlisi del discu s mos a que s’a iba a econèixe
p opie a s i s’explici en di e ències pel que a al con ingu ma emà ic an en el
cas de po ències com en el de ca ac e ís iques dels quad ilà e s.
252 Capí ol 4
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En el cas dels aspec es de coneixemen in e p e a iu-es a ègic només
una de les pe sones anali zades econeix elemen s cogni ius com és el pape
de l’ in an en la cons ucció del coneixemen .
Respec e a l’ús del coneixemen ma emà ic Nú ia i Es e iden i iquen elemen s
ma emà ics quan explici en un signi ica ma emà ic o quan econeixen objec es
ma emà ics
un múl iple de es es o aquell nomb e que s’ob ingué de mul iplica es
amb algun al e nomb e.....un múl iple de es és aquell nomb e que es po
di idi en es pa s iguals(Nú ia 01-00/6)
el signe igual exp essa una equi alència(Es e 01-00/6)
Nú ia explica con ingu s quan diu que:
si a un pa ell li sumes o li es es 1 el esul a se à semp e un nomb e
impa ell(Nú ia 01-00/6)
Tan la Nú ia com la Lau a explici en di e ències, Nú ia quan explica elemen s
comuns o no comuns, explica equi alències en un con ex o quan ep esen a de
mane es di e ses:
en les po ències un nomb e se à pa ell si la base és un nomb e
pa ell(2,4,6,8) si la base és un nomb e impa ell(3 ele a a n) el esul a se à
impa ell (Nú ia 01-00/6)
en can i en un quad ilà e de cos a s de lla gada di e en les diagonals no
o men angle ec e (Nú ia01-00/6)
les diagonals del quad a i el ombe són el lloc pe on es po doblega la
igu a i ob eni sime ia eu em que enen els cos a s iguals en els dos
casos, pe exemple en el ec angle no aconseguim sime ia (Nú ia 01-00/6)
esc iu 3n+1 o 3n+2 pe ep esen a nomb es no múl iples de 3 (01-00/6)

P ime a anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 1 253
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Lau a econeix la elle ància de ce es elacions ma emà iques
en (Lau a 01-00/6) elaciona accions a pa i de elacions mul iplica i es
Tan Nú ia com Lau a elabo en i econeixen p opie a s, Nú ia quan usa
me à o es a un dibuix de llib es de 3 p es a ges pe po a a la idea de múl iple de 3 i
Lau a quan a gene ali zacions
pe aconsegui pa ells simples de 3 xi es que es puguin descomposa en
sumands de 4 nomb es consecu ius cal....(Lau a 01-00/6)..
Lau a, a mes iden i ica gène es di e sos quan minimi za exp essions ja que
edueix exp essions de ipus algeb aic senzilles elacionades amb angles.
Es e pel que a al coneixemen in e p e a iu-es a ègic iden i ica el ma c de
e e ència de l’en o n, elacionan i alo an ep esen acions i p ocu an a gumen a i
onamen a decisions ins uc i es
el con ex que plan eja no es adequa pe cicle mi jà pe que els emes que
ac a enca a no els dominen(Es e 01-00/6)
a aques a eda els nens no enen assoli s o s els concep es geomè ics que
su en en aques es ac i i a s(01-00/6)..
els con ex os son més adien s pels nens del en o ns u als(01-00/6).
I ambé conside a els elemen s p opis del cu ículum al usa ma e ials
ambé pod ien u ili za objec es que inguin a casa o a l’escola amb aques es
o mes (Es e 01-00/6).
4.8. Sob e els esul a s al Mac ocicle 1
Com s’ha ia explica inicialmen , explici a em els esul a s obse a s
expe imen almen en base als 3 aspec es (a) signi icació, ep esen acions i
complexi a dels concep es ma emà ics (pa ells i sena s, doble i mei a , igual i
254 Capí ol 4
di e en , dependència) (b) elle ància i ús de con ex os, connexions i elacions
concep uals (in e nes i ex e nes) (c) g au i ipus d’inco po ació concep ual en les
p opos es hipo è iques sob e la p àc ica.
Ac i i a inicial.
Ap o i an que es pensa que hi ha un coneixemen naï sob e el que és
de inició, s’en on a l’es udian amb una si uació de de inició. Es mobili za la idea de
que la de inició no és única, é o mes ep esen a i es di e en s i e donada pe
a ibu s i exemples. En aques a ac i i a es mos a els coneixemen s ebles inicials
sob e les de inicions en el cas de pa ells i sena s. Es mos a la incomple esa, el no
econeixemen dels possibles a ibu s equi alen s, la di icul a en econèixe
ep esen acions simbòliques equi alen s i connexions en e elles. Tanma eix es
cons a en di e ències indi iduals.
Ac i i a 2
En plan eja quina de les mane es d’en end e els concep es de pa ell i
d’impa ell es ia com a millo pe a eballa amb els alumnes de P imà ia, i com es
duu a e me un p océs que pe me i cons ui una p opie a a i mè ica, es o ça a eni
una isió p o essional de l’acció ma emà ica i es p omou dona sen i a di a
p opie a . Han hagu d’esceni ica el signi ica que conside a en més adien . El e
que l’ac i i a es plan egi imp ecisa i obe a, pe me que ells es ableixin connexions.
Valo en majo i à iamen un o di e sos signi ica s. S’inco po en de inicions de pa ell
que no ha ien es a conside ades ni ha ien es a econegudes. En algun cas (no
o s) es cons a en els casos pa icula s com a di e en s dels p ocessos de
gene ali zació.
C eiem que s’ha p oduï una adap ació al con ex pedagògic. El lligam en e
els concep es clau (suma, igual a i pa ell) que han es able en la p opos a és o ça
P ime a anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 1 255
semblan en la concepció de suma- eunió- i en la de pa ell- g ups de 2- pe ò és
di e en pel que a a l’igual.
En dos dels es casos anali za s ien elemen s isuals com a mane a de
conside a o mes de indica els signi ica s. Així, s’es ableix una idea de connexió
com a di e en s o mes de ep esen ació. Po se s’ha p i ilegia aques ipus de
“connexió” pe la necessi a de e e iden la p opie a .
Ac i i a 3.
L’ac i i a de p opos a d’una p o a associada a un ema ma emà ic (doble i
mei a ) p omou que el u u docen s’impliqui, decideixi la impo ància dels con ingu s
i si uacions sob e els aspec es del con ingu . En les ac i i a s p oposades, es
o mulen poques ipologies de con ingu s, no malmen amb p egun es simplis es i
onamen almen de ni ell baix. Només una de les es udian s a iba a un e ce ni ell i
amb una di e si a de con ingu s in e essan i di e en s ipus de con ingu .
El o ma p o a no sembla ha e p o oca ó mules no es. Les p o es enen
un o ma clàssic, hi ha una manca gai ebé o al de g à ics, o i que aques aspec e
del llengua ge ha es a abas amen eballa i em asi za . To es les pe sones
anali zades han de ec a con ingu s elle an s. No han sen i la necessi a de
ep esen acions g à iques més que com a o ma de dibuix que ajuda a en end e
l’enuncia .
Apa eixen elacions concep uals (mei a del cos a - mei a d’à ea - mei a de
olum) pe ò com que no demanen les a gumen acions co esponen s, no es
omen a la consciència de di es elacions. Es o mulen ac i i a s poc consis en s, de
mane a que no s’es ableixen elacions concep uals ni ampoc es connec a amb la
eali a i l’ensenyamen , anma eix aques s aspec es an se ac a s en la uni a .
L’o d e de les p egun es es à més elaciona amb el desen olupamen de la uni a
256 Capí ol 4
eali zada que amb la di icul a de les asques. Des del pun de is a del discu s, es
man é un baix ni ell en l’ús del coneixen ma emà ic. S’iden i iquen di e ències pe ò
no s’elabo en p opie a s ni es gene ali za.
Pel que a a les connexions, només una de les es udian s anali zades mos a
p egun es,no només accions, ans demana una connexió en e signi icacions d’un
concep e (diagonal d’quad a i duplicació de l’à ea del ma eix).Una al a, in en a
mos a la di e ència en e pa i en dues pa s iguals o en dues pa s simè iques
pe ò ho edac a malamen .
Ac i i a 4.
El o ma de qües iona i esc i s’ha plan eja de mane a que els ma eixos
es udian s poguessin adona -se dels aspec es on la se a comp ensió e a insu icien
o bé hi ha ia al a d’aplicabili a dels concep es i elacions ma emà iques eballa s.
No hi ha domini de les ep esen acions simbòliques lligades a p ocessos de càlcul
men al, en el cas deles igu es geomè iques i de les accions són millo s pe ò en
aques da e cas s’ob ia la comp o ació de la alidesa del g à ic.
Majo i à iamen hi ha di icul a s en elaciona concep es quan es ac a
d’a gumen a la elació. També dues de les es pe sones enen di icul a s en
iden i ica di e ències. Pel que a a la iden i icació dels signi ica s del signe igual que
han esol co ec amen hi ha més simili uds en e elles. Quan es demanen
a gumen acions, es an desc ipcions i no es conside en o es les in o macions dels
enuncia s. És a di , no s’es ableix les elacions desi jades en e p opie a s
ma emà iques, i les condicions necessà ies i su icien s que les de ineixen.
Pel que a a les connexions la desc ipció d’un p océs de càlcul men al en
ope ació a i mè ica no ha es a econeguda pe cap de les es es udian s. Pel que a
Segona Anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 263
To s jun s, i ambé cadascun, enim da an nos e el ep e d’ana -nos en el
nos e p opi mè ode, no d’ensenya sinó de e possible que els nens i les
nenes ap enguin de e i a .
Ma. An ònia Canals.
El con ingu d’aques capí ol es co espon amb la ase de l’expe imen ació a
l’aula al com es desc iu en el capí ol 2 -expe imen d’ensenyamen - del mac ocicle 2
que co espon a la segona assigna u a del cu s de o mació.Pe comença es
jus i ica l’elecció de mic ocicles pe a l’anàlisi. Es jus i iquen les asques
co esponen s en unció dels con ingu s p o essionals implica s i l’objec iu en e mes
de la ece ca. És a di , què espe em que ens apo i pe a de ini millo les
ajec ò ies. (5.1.)
A con inuació es p esen a les sessions de classe conc e es amb els seus
con ingu s de o mació, les T hi i de e e ència pe l’anàlisi i els mini-ins umen s
emp a s (5.2. a 5.6.). La pa més ex ensa consis eix en la desc ipció de les
ac i i a s, les conside acions sob e la ajec ò ia hipo è ica co esponen i una
p ime a anàlisi de les p oduccions dels alumnes es udia s.
Al inal del capí ol s’anali zen els esul a s ob ingu s en o el mac ocicle 2,
incloen el que es de i a de l'anàlisi del p ime mac ocicle (5.7). Cal eni en comp e
que els alumnes són els ma eixos del p ime mac ocicle i, pe an , ind em el pun
de pa ida en l’es a que es desc iu al inal del capí ol 4 i que es comple a en el
capí ol p esen .
Finalmen es plan eja la ep esen a i i a i gene abili a de l’anàlisi eali zada
(5.8.).

264 Capí ol 5
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 265
5.1. Expe imen ació a l’aula. Mac ocicle 2.
La segona anàlisi del p océs es p odueix sob e una sè ie de mic ocicles
co esponen s al Mac ocicle 2. Els que s’ha ia són els següen s:
(7) Sob e la cons ucció concep ual a l’escola. El cas de la in oducció de
concep es.
(8) Cons a ació de posicionamen s i c eences p o essionals. Ac i i a
d’elabo ació i sín esi.
(9) In eg ació de coneixemen s. Valo ació de seqüències d’ap enen a ge en
llib es de ex .
(10) Sob e el alo dels dissenys ins uc ius. Anàlisi de p opos es de
p og amació.
(11) Anàlisi de esul a s en l’a aluació suma i a del p océs.
Aques es ac i i a s han es a iades pe que pe me en ob eni in o mació
sob e el p og és que es pugui p odui en els ma eixos aspec es que els e e i s en
(4.1.), es a di en (a) la a ibució de signi ica s, en la ep esen a i i a dels concep es
i en el g au de complexi a de la concep uali zació, (b) l’e olució de la elle ància
dels con ex s, en l’ús de les connexions i de les elacions concep uals, i mol
impo an en aques segon mac ocicle d’aspec es més implica s en la in encionali a
sob e la p àc ica com es (c) el g au i ipus d’inco po ació concep ual que mos en els
alumnes en la plani icació hipo è ica sob e la p àc ica.
Pe al de conc e a , mos em un quad e amb les ac i i a s escollides on
cons a el con ingu p incipal de o mació així com l’elemen onamen al que es
266 Capí ol 5
conside a à en l’anàlisi de les TRHIFI, que ens pe me à l’anàlisi pos e io
e ospec i a:
Ac i i a Con ingu Anàlisi T hi i Mini-ins umen s
7.
Cons ucció
concep ual a
l'escola
A ibu s del concep e de cen ena.
De inicions equi alen s.
Signi icació de cen ena.
Rep esen acions del concep e.
Elemen s a eni en comp e en
l’elabo ació d’una seqüència
d’in oducció d’un concep e.
Connexió de concep es i
in eg ació coneixemen
ma emà ic i didàc ic.
Conside ació d’ a ibu s c í ics i
je a qui zació en e ells.
Ús d’exemples p o o ipus i ús de
ma e ials manipula ius.
Disseny de seqüència
de cons ucció d’un
concep e.
8.
Posicionamen s
i c eences
p o essionals
Coneixemen s de ipus didàc ic i
p o essional.
Ca ac e i zació dels en ocamen s
de l’ensenyamen de les
ma emà iques.
Connexions en e aspec es
concep uals ela i es als aspec es
ma emà ics, es a ègics i
p o essionals.
Posicionamen da an
l’ensenyamen i de l’ap enen a ge
de les ma emà iques.
Tipus de concepció social dels
pape de les ma emà iques.
Implicació pe sonal com a
docen .
Documen de
posicionamen
pe sonal sob e
l’ensenyamen de les
ma emà iques, el
p océs
d’ap enen a ge i el
pape de l mes e/a.
9.
Valo ació de
seqüències
d'ap enen a ge
De ecció dels con ingu s
essencials que es eballen en les
di e ses asques dels llib es de
ex i de la me odologia.
Valo ació de seqüències
d'ap enen a ge
P opos es de eball del sen i
numè ic.
Posicionamen pedagògic i la
in eg ació de coneixemen
didàc ic p o essional.
E idencia dels models de
coneixemen i d’ap eciacions
sob e ensenya i ap end e.
Aspec es del coneixemen
es a ègic – ins uc iu inco po a s.
Re isió i anàlisi de
p opos es de
p og amació alienes.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 267
10.
Anàlisi de
p opos es de
p og amació
Elemen s d’una p opos a de
p og amació. Jus i icació de la
conc eció dels di e sos aspec es.
Con ex s i ep esen acions pe a
la acili ació.
Cohe ència en e con ingu s,
objec ius i ac i i a s.
Valo del con ex .
T ac amen concep ual i de
signi icació de la uni a de
p og amació.
In eg ació de coneixemen
ma emà ic, especialmen
concep es, ep esen acions i
elacions concep uals amb
con ex os i connexions adien s.
Disseny in encional
d'una sessió de
classe pe alumnes
de p imà ia amb ema
i cu s de e mina s.
11.
A aluació
suma i a del
p océs
Signi ica s, ep esen ació i
connexions concep uals.
Valo de la con ex uali zació.
A gumen ació i connexió de
p opie a s.
Inco po ació concep ual a la
in enció sob e la p àc ica.
Classi icació de signi icacions.
Es ablimen de elacions i
connexions i el seu alo didàc ic
Iden i icació de ipus de di icul a s
en l’es ablimen de elacions
concep uals.
G au i ipus d’inco po ació de
coneixemen ma emà ic,
elle ància de les
ep esen acions.
.
Respos a a si uacions
p oblemà iques en
o ma de p o a
d’a aluació.
Figu a 5.1.1. Mic ocicles i T hi i que s’ anali za an en el mac ocicle 2.
En l'anàlisi de les si uacions que es a als apa a s següen s, es desc iu
cadascuna d'elles, p esen an les ajec ò ies hipo è iques com a objec iu de la
ece ca, i en l’anàlisi e ospec i a, explici an en o ma de esul a s les di e ències i
simili uds en e les es alumnes conside ades. Les conclusions co esponen s al
mac ocicle 2, es p esen a an en base a es aspec es de la o mació inicial ci a s al
començamen d’aques apa a :
(a) signi icació, ep esen acions i complexi a dels concep es ma emà ics;
(b) elle ància de l'ús de con ex s, connexions i elacions concep uals;
(c) g au i ipus d'inco po ació concep ual en les p opos es sob e la
p àc ica
268 Capí ol 5

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 269
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma ç 00 Ab il 00 Maig 00
5.2. Ac i i a 7. Sob e la cons ucció concep ual a l’escola. El cas
de la in oducció de concep es
L’objec iu d’aques a ac i i a és ob eni in o mació de com usen conjun amen
el coneixemen ma emà ic i didàc ic pe a dissenya una seqüència de cons ucció
del concep e de cen ena pe alumnes de p ime cicle de P imà ia.
L’ac i i a p oposada als alumnes de mes e no eque ia a iba al de all de
o es les asques i si uacions d’ap enen a ge ni de alls de empo ali zació, a enció a
la di e si a , e c, sinó que es ac a a de de ini a g ans e s els aspec es elaciona s
amb la ia de signi ica s, ep esen acions i connexions en e les di e sos con ingu s
implica s.
Conside acions sob e la T ajec ò ia hipo è ica de l’ac i i a .
Aques a ac i i a es especialmen in e essan pe la possibili a que o e eix de
connec a concep es i in eg a coneixemen ma emà ic i didàc ic. Es ol eu e quins
a ibu s es conside en del concep e (He shkowi z,1990) i si usen exemples
p o o ipus pe inicia -lo, ambé si conside en els a ibu s c í ics i quina je a quia
es ableixen en e ells.
En segon lloc, ens p oposem obse a quina in e p e ació i signi ica s ac en
p io i à iamen (Leinha d i G eeno, 1986) i com els connec en. De e , mol s cops
edueixen el eball a un sol ipus de signi icació i ep esen ació de la cen ena, com
és la quan i a disc e a.
270 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma ç 00 Ab il 00 Maig 00
La idea que enen de cen ena és de deu desenes. Sabem que amb això
s’oblida que cen és 99 i un, el següen de 99., e c i po se cal p i ilegia algun
d’aques s aspec es o dinals i d’ap oximació sob e el e de l’es uc u a decimal.
Anàlisi e ospec i a
En base a les obse acions i dades ob ingudes del eball dels alumnes,
econeixem el següen :
Resul a 5.2.1. Les es pe sones p oposen di e sos signi ica s
p o o ípics que apa eixen empo almen . Només una d’elles explici a la
necessi a que els alumnes egin la desena simul àniamen com cen uni a s,
deu desenes i la e ce a xi a de la quan i a com a sín esi concep ual es ablin
elacions concep uals. Men e alguns de allen el p océs de cons ucció de la
cen ena de mane a que es esolen els possibles sal s en e signi ica s, al es
no ho explici en. Es de alla més l’inici de la seqüència que la con inuació.
To hom p e eu l’ús de ma e ials manipula ius i com in odui les
ep esen acions simbòliques.
En la seqüència del con ingu de la p opos a de Nú ia obem com passa del
99+1 al cen a a és de l’ag upació en desenes (nou uni a s més una en an deu,
que esul a se una al a desena, i que unida a les nou an e io s a deu desenes)
in oduin alesho es la pa aula i el símbol de cen .
Es e in odueix el cen com el següen del 99 pe un p océs de comp a i
conside an que la pa aula, i ins i o el símbol, son conegu s pe l’alumna de segon
de p imà ia, passan desp és a suma desenes i in odui el cen com a deu desenes.
En el p océs d’Es e , més de alla enca a que el de Nú ia, queden elaciona s els dos
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 271
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma ç 00 Ab il 00 Maig 00
signi ica s, en can i Nú ia deixa penden la idea de 100 com a cen uni a s que
p o ind ia de l’acció de comp a . Lau a pa la d’in odui el cen com a següen del 99
pe ò no deixa cla com e -ho, diu que els alumnes ho han de descob i pe ells
ma eixos pe ò no diu què ni com. De les es pe sones és la més imp ecisa, donan
més impo ància als con ingu s de la seqüència sense de alla -ne el signi ica .
Com es po obse a en els quad es següen s (5.2.1, 5.2.2., 5.2.3 ), Es e
es ableix connexions en dos sen i s en e signi ica s i ambé en e signi ica s i
ep esen acions, en can i Nú ia i Lau a no an connexions dobles en e els
signi ica s i Lau a ni an sols amb les ep esen acions.
Pel que a al lligam amb els coneixemen s p e is o es es p e euen la e isió
dels nomb es de l’1 al 99 i del concep e de desena amb l’ús de ma e ials
manipula ius i ep esen acions, pe al d’assegu a -ne la disponibili a i pe dona
con inuï a a pa i d’usa els ma eixos ecu sos ma e ials.
Només Es e i Nú ia p e euen in odui no es connexions amb coneixemen s
p e is du an el p océs, en que els alumnes de p imà ia u ili zin el que saben sob e
la sè ie an e io a les cen enes, pe exemple que poden usa la seqüència 10-19 pe
es abli la 110-119, o bé imi a el pas del 19 al 20 pe esold e 199 -200. Això que
en p incipi po esul a in e essan p esen a ia di icul a s en el cas que no
p oposessin la manipulació amb ma e ials com els blocs mul ibase (10) o l’àbac.
A con inuació es mos en les seqüències de con ingu que es conside a que
han plani ica . És pe an una esquema i zació obse ada “des de o a” del que han
eali za les alumnes, indican els coneixemen s p e is conside a s, a ibu s,
ep esen acions i signi ica s.
272 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma ç 00 Ab il 00 Maig 00
Figu a 5.2.1. Seqüència d’apa ició del con ingu i connexions es able es a la plani icació. Cas de Nú ia
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 279
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma ç 00 Ab il 00 Maig 00
pe exempli ica -ho millo , semp e es poden e
ep esen acions amb blocs mul ibase (04-00/11)
o quan es ableix elacions ins uc i es associades a di e ses ace es del concep e
es poden e descomposicions mol a iades d’un
nomb e...........(04-00/11)
econeix egis es o o mes ins uccionals quan imagina e s de la cul u a de la
classe)
el mes e eu si els seus alumnes dis ingeixen en e la desena
ep esen ada pe una línia i la uni a ep esen ada pe un cub
pe i (04-00/11)
Iden i ica elemen s que a iculen la negociació de signi ica s quan a ibueix
in encions negociado es a l’ac i i a
en e el mes e i l’alumne ambé es poden p ac ica els can is
de ep esen acions...(04-00/11)
E oca les elacions en e p o esso i alumne quan explici a es a ègies pe
possibili a el aonamen de l’alumne
podem e una ep esen ació amb blocs mul ibase pe que
egin que el 100 es descompon en 10 i es de desenes i....(04-
00/11)

280 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
5.3. Ac i i a 8. Cons a ació de posicionamen s i ap eciacions
p o essionals. Ac i i a d’elabo ació i sín esi.
Desc ipció de l’ac i i a
L’ac i i a que s’anali za és un documen esc i amb o ma d’a icle que ecull
l’opinió pe sonal de l’es udian de mes e sob e una colla d’aspec es elaciona s amb
l’ensenyamen i l’ap enen a ge de les ma emà iques a ni ell escola . El documen
ha de basa -se en el posicionamen pe sonal sob e les aons d’ensenya
ma emà iques, el p océs d’ap enen a ge i l'en oc del seu ensenyamen i el pape de l
mes e/a.
P è iamen a la elabo ació indi idual del documen es duen a e me una sè ie
de asques p epa a ò ies. Es ixen qua e nuclis de discussió, cadascun d’ells
acompanya d’a icles a llegi i un guió de discussió que p oposa qües ions al ol an
del ema plan eja . Els qua e nuclis són:
Nucli I: Pe a què ensenya ma emà iques?. Ma emà iques i socie a .
Nucli II: Còm s'ap enen les ma emà iques.
Nucli III: Còm ensenya ma emà iques.
Nucli IV: L’ac i i a ma emà ica a l’escola. El pape del mes e/a.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 281
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Un exemple de lec u es i guió de discussió ha es a el següen :
NUCLI III: CÒM ENSENYAR MATEMÀTIQUES.
Documen s
1.Alsina,C i d'al es. Ensenya ma emà iques. G aó. Capí ol 3.
2.T e e s. Los p incipios gene ales de la enseñanza y del ap endizaje.
Qües iona i :
1. Quíns són els aspec es que cal eni en comp e a l’ho a d’ensenya ma es?.
2. Pe què es eco da mol més el que s’ha descobe pe sonalmen que les explicacions?.
3. L’ap enen a ge pe imi ació limi a la capaci a de se lexible (adap a -se als can is),
còm es po jus i ica ?.
4. Desa en a ges d’explica ma es explican o exposan els concep es o elacions.
5. Quína és la impo ància de l’ùs de ma e ials manipula ius en l’ensenyamen de la
ma emà ica a ni ells elemen als?.
6. Què ol di i pe què es a l’ensenyamen en espi al?.
7. A an a ges i incon enien s de dis ibui els con ingu s pe blocs (nomb es, geome ia,
..) o de mane a pe iòdica (de o en pe íodes se manals o quizenals).
8. Còm in lueix el còm s’ha ap és una cosa en l’ùs que se'n a?.
9. Còm es e en comp e en una p og amació el e que els concep es ma emà ics no
s’ap enen d’un cop?.
10. Quíns ac o s cal eni en comp e al dis ibui els con ingu s de l’e apa P imà ia
du an els 6 cu sos?.
11. Acció, e lexió, comunicació són e s ca ac e ís ics d’un en oc cons uc i is a de
l’ensenyamen de les ma es, còm s’han d’en end e?.
12. Qué es conside a una seqüència co ec a?.
13. Còm a a o i la in eg ació del coneixemen ma emà ic?.
14. Còm es po desen olupa la c ea i i a ma emà ica?.
15. De quína mane a in lueix la comunicació en l’ap enen a ge de les ma emà iques?.
16. Tipus d’ac i i a s ma emà iques (segons di e sos c i e is).
17. De ec es i i uds de cada en oc didàc ic de l’educació ma emà ica?.
18. Còm ac a els e o s d’ap enen a ge?.
282 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Cada nucli es ac a se manalmen . Pe cada nucli, es dona als alumnes:
indicacions del eball p e i a e ( eu e un exemple al quad e següen )..
Desp és del eball i discussió co esponen a la lec u a dels a icles, es dona
un emps pe a edac a un in o me, amb les o ien acions que es desc iuen a
con inuació.
De mane a més de allada les ac i i a s a e són:
a) Lec u a de cada documen . Selecciona les idees clau. Ex au e el ocabula i nou.
Ano a els dub es de comp ensió del con ingu . Pensa exemples conc e s pe les idees
impo an s. Ano a els desaco ds amb a i macions que aci el documen i les
jus i icacions que es pensin. Pensa p egun es que es pod ien plan eja pe en iqui la
discussió col·lec i a.
b) Lec u a del qües iona i de discussió del nucli .Pensa espos es pe e
apo acions a la sessió col·lec i a..
c) Pa icipa en la discussió col·lec i a (es alo a à les apo acions d’opinió,de
p egun es no es,exemples que conc e in les p opos es gene als,...).
d) Resumi les idees més impo an s que s’hagin exposa du an la discussió.
e) Desp és de o es les sessions cal edac a un documen pe sonal que globali zi o s
els emes ( eu e ins uccions més de allades al inal del dossie ).
DOCUMENT FINAL A ENTREGAR. Con ingu s i ca ac e ís iques
Tenin en comp e els con ingu s dels a icles i llib es eballa s, les
sessions de discussió col.lec i es i la e lexió pe sonal sob e o plega ,
elabo a un documen -opinió sob e les emà iques ac ades. L’ex ensió
màxima se à de 5 planes (imp eses a doble espai i lle a 12 o 14).
Es impo an la cohe ència global del documen ,no cal di idi -lo en els
4 apa a s de discussió.
Se li po dona o ma d’a icle, com pe publica -lo en una e is a de
didàc ica de la ma emà ica o d’educació en gene al. Posa -li un í ol
adien .
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 283
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Cal di que alguns a icles no e en nous, sinó que ha ien es a ecomana s
com a lec u es en elació a d’al es emes.
Conside acions sob e la T ajec ò ia hipo è ica de l’ac i i a .
L’objec iu d’aques a ac i i a e a de e mina quins coneixemen s de ipus
didàc ic i p o essional mos a en els alumnes i ambé quin e a el posicionamen
da an l’ensenyamen i de l’ap enen a ge de les ma emà iques en un momen o ça
a ança del cu s. El més impo an en el eball amb els a icles ha es a assegu a -
ne la comp ensió i ex eu e les idees p incipals. En elació amb els guions, que e en
obe s, no es p e enia segui cap o d e i ampoc exhau i o es les qües ions
plan ejades.
Anàlisi e ospec i a
En base a les obse acions i dades ob ingudes del eball dels alumnes,
econeixem el següen :
Resul a 5.3.1.Tan els emes cen als com els aspec es més alo a s són
di e en s. En o es es pe sones es econeixen els elemen s claus de les
lec u es: pape de les ma emà iques, p océs d’ensenyamen - ap enen a ge i
socie a .
El í ol i el desen olupamen del eball d’Es e sugge eixen la impo ància que
ella dona a l’adquisició de la consciència sob e les p òpies posicions pel que a
als ensenyan s. Focali za les c eences en dos aspec es: les c eences dels mes es
sob e el pape de les ma emà iques en la o mació de les pe sones i en el pape
que juguen els elemen s socials i polí ics. En el p ime cas conside a la in luència
284 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
que é sob e el p og ama, la me odologia i els objec ius de l’ensenyamen de les
ma emà iques i com això a ec a a la mo i ació dels alumnes i a la possibili a
d’a iba a ap end e ma emà iques. En el segon cas dona mol a impo ància a les
concepcions socials i polí iques, que segons ella, a ec en al desen olupamen
pe sonal (au onomia, espe i c í ic,...) dels alumnes i ambé a les pe icions que la
socie a a de l’escola i que condicionen el p og ama i els objec ius de
l’ensenyamen ma emà ic. Pe al a banda conside a un segon cen e d’impo ància
que és l’alumne. Conside a essencial en end e les ma emà iques i pe això la
necessi a de eni en comp e els coneixemen s p e is, els aju s que cal dona als
alumnes segons els di e sos i mes d’ap enen a ge i la conside ació dels in e essos
dels alumnes com a ac o decisiu en la mo i ació.
Nú ia, en can i, cen a la se a disquisició en la necessi a de eni èxi en la
socie a can ian , d’adap a -se i espond e a les expec a i es que aques a é pel que
a als coneixemen s ma emà ics dels seus indi idus. La p oblemà ica del acàs
escola en ma emà iques, i pe an les se es implicacions socials que això
compo a, és l’aspec e que Nú ia ha des aca més en el seu esc i i si ua al mes e
com a p incipal ac o desencadenan del p oblema.
Així com Es e s'obliga a compli ce es condicions pe acili a el
desen olupamen pe sonal als seus u u s alumnes, Nú ia desg ana els aspec es
que segons ella p odueixen el acàs que en én com el no domini dels coneixemen s
ma emà ics ca ac e i za pe la no comp ensió ni l’aplicació al mon eal.
Nú ia conside a que el p o esso a no assumeix les indi iduali a s i pe an
no e en comp e els alumnes menys capaços de p ospe a ma emà icamen . Din e
d’aques es no assumpcions oba ambé la necessi a de p epa ació su icien , que
no acla eix de mane a explíci a si es ma emà ica o pedagògica, la olun a i la

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 285
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
capaci a de mo i a . També alo a nega i amen que el sis ema escola ingui
mecanismes de egulació i con ol que "obliguin" al mes e a compo a -se d’aco d
amb l’en oc i el cu ículum que les p o es " eque eixen".
Lau a cen a el seu ex en el can i social com un e pe manen i que
condiciona, segons ella, la con inua adap ació de l’ensenyan pe espond e a les
expec a i es que demana la socie a . Ella a més enllà que Nú ia que conside a que
la socie a condiciona con ingu s i habili a s en el camp de l’ensenyamen de les
ma emà iques a l’escola. Al plan eja el can i social con inu, Lau a, es ableix la
elació que aques e é amb la necessi a de que desen olupin capaci a s
genè iques i pe manen men adap ables. Es ableix en aques sen i les condicions
que cal eni en comp e pe a end e les no es demandes que la socie a a als seus
ciu adans, unes es e e eixen als con ingu s i d’al es a la me odologia
d’ensenyamen de les ma emà iques.
De les es pe sones Lau a és l’única que conc e a alguns aspec es sob e els
ipus d’ac i i a s (complexes i di e ses) i ambé esmen a el llengua ge com a eina
pe ajuda a la concep uali zació.
Es e s’ha cen a en el p ime nucli de discussió més que en cap al e
especialmen en l’a icle del pape social de les ma emà iques, i en meno g au en el
qua nucli sob e el pape del mes e especialmen en el ex d’Alsina i
d’al es(1995), els aspec es de com ensenya ma emà iques no es conc e en gens ni
ampoc els dedica s a l’ap enen a ge. Tampoc es euen e lec ides les discussions
de classe.
286 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Pel que a a Nú ia, pa in de la idea de que les ma emà iques assegu en en
pa l’èxi social, dedica la majo pa al pape del mes e en l’aconseguimen
d’aques èxi . Hi ha aspec es de la impo ància social de sabe ma emà iques que
enen elació amb el ex de NCTM (1992) i ecull o ça aspec es del da e
qües iona i de discussió de classe.
Lau a cen a el ex en el p ime nucli basan -se en el ex de NCTM i oca
alguns aspec es del e ce . Pel que a a la emà ica és mol incomple , sembla que
no ha e les lec u es i no s’ha plan eja dona una isió més cohe en i eballada.
Al ex d’Es e li manca cohe ència i un il a gumen al cla . Sembla que
l’enuncia d’una colla p incipis sigui el seu il basa en quines hau ien de se les
c eences dels mes es pels e ec es posi ius o nega ius que enen, a seus els
p incipis que enuncia i es sen condicionada a ob a (en in encions) en
conseqüència. En el cas de Lau a enim un ex mol cu , mol dispe s, sense cap
lligam a gumen al consis en . El egis e és mol cul e i no s’adiu gai e amb al es
ex os que hem ecolli d’ella, el que a pensa que ha ep oduï ases alienes sense
p ocu a dona -li un sen i més pe sonal. Això es eu ambé en els exemples que
posa que no es an a l’al u a del ex ansc i .
Resul a 5.3.2. Anali zan el ex des de la in e p e ació de les
ma emà iques com a p àc ica social ens mos a es ipus di e en s de u u
mes e. Pel que a al g au d’implicació apa eixen es posicions di e enciades,
des de l’assumpció del pape com a mes e ins a conside a el col·lec iu
d'ensenyan s com si no s’hi pe anyés, passan pe una implicació més com
alumne que com a mes e. Dues de les pe sones es ableixen conexions de
ipus classi ica o i cen ades en els aspec es cu icula s, i només una pe sona
mos a més in e connexions.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 287
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En e ec e, en una anàlisi in e p e a i a que hem explica al capí ol 3 ( eu e
pàg. 108 ) obse em el seu ex cen an -nos en les elacions que les es alumnes
mos en en elació al coneixemen ma emà ic, les se es ap eciacions i alo s que
decla en, cóm euen les elacions de pode i quin posicionamen pedagògic
decla en. Així, econeixem algunes ca ac e ís iques signi ica i es com les que
exempli iquem a con inuació, i cons uim un quade global d’on si uem a les es
alumnes en elació a la ma emà ica i el seu ap enen a ge com a p océs social.
Es e supe a la isió e lexi a ( e lec i e p ac i ione de Schön, 1987), doncs al
anali za els seus apa en s models de coneixemen i c eences sob e ensenya i
ap end e obem elemen s ( eu e quad e. 5.3.1) que e lec eixen una ap oximació a
la idea que concep el coneixemen com a una cons ucció social i s’ap opa o ça
a la idea que l’educació ma emà ica po se una con ibució impo an en la p omoció
de la jus ícia social.
Es e és el con apun de Nú ia, la p ime a si uada en un ni ell in e oga iu
amb alguns aspec es que assenyalen una ma cada endència cap a un ni ell c í ic
implica iu i la segona bàsicamen en un ni ell e lexiu anma eix amb aspec es
elaciona s amb el posicionamen pedagògic que ca ac e i zen el ni ell con o mis a.
Això da e és ce especialmen en el seu posicionamen espec e a que els
con ingu s es ansme en ( eu e quad e 5.3.1). En el cas de Nú ia, a més, es donen
alguns e s del ipus in e oga iu elaciona s amb que el coneixemen no es una
acumulació de sabe s, sinó un esquema en el sen i de Skemp. En e elles dues es
oba Lau a que p esen a ca ac e ís iques del ipus e lexiu supe an cla amen el
288 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
con o mis a. Els exemples que Lau a dona, en alguns casos a pensa en no
col·loca -la dins la posició in e oga i a.
Nú ia
con o mis a
Nú ia - Lau a e lexi es Es e en ni ell
in e oga iu
Es e en un ni ell c í ic
implica iu
El docen e se e...empujado...a
adap ación pe manen e. Lau a
Els eballado s...han de possei més
habili a s ma emà iques... a end e a les
complexi a s ecnològiques i a end e als
nous can is, pe això han de eni un
ap enen a ge pe manen Nú ia
Pe an , cal plan eja -nos...
hem de sabe quines són les
nos es opinions sob e la
ma è ia...pe què es e lec i à a
les nos es classes... Es e
...Reco do que... Doncs a a... ’ajuda
en...com pe exemple, ambé se eix
pe a... Es e
El mes e ha de e que...en enguin...
pe què és mol di e en en end e que
sabe ma emà iques...Es e
Los con enidos deben esponde an o a
las necesidades sociales como al
desa ollo pe sonal del alumno. Lau a
L’ensenyamen no es po sepa a de la
eali a social i de l'època en que i im...
les ma no es poden desenganxa de la
eali a d’a ui en dia. Nú ia
Pe a mi, les ma es són mol
c ea i es i poden
desen olupa mol es més
habili a s Es e
Pe què el mes e no po aïlla , quan
es à en classes la se a concepció
polí ica i social, i aques a es no a al
ensenya ma es...Es e
“ esul a di ícil e lexiona
indenpendien emen e sob e ambos
é minos [educación y cambio social ]
Lau a
La socie a eclama indi idus c í ics,
amb decisió p òpia, que inguin
al e na i es... in eg a -se a la apidesa a
que es donen els can is, i que siguin
bons i quali ica s eballado s... Nú ia
¿Com es mani es en aques s
alo s socials a les classes de
ma em... ?... Es e
Depèn de com el mes e en engui les
ma es po a iba a c ea una
sepa ació en e aques es i la eali a
Es e
P omou e au onomia,
au oges ió, espe i c í ic,
e lexió, desen olupamen del
sen i espacial, quan i icació,
obse ació sis emà ica... Es e
Pe ò no només in lueix la concepció
social que ingui el mes e a l’ho a de
p og ama la seqüència de con ingu s,
sinó que ambé la socie a
demana...una sè ie d’aspec es... Es e
Relacions
amb el
Coneixemen
ma emà ic
P omo e la u ilización y manejo de las
NTIC que simpli ican y acili an la a ea.
Nú ia
Un nen japonès adqui i à alo s i
cos ums di e en s als que adqui i à un
nen eu opeu... Nú ia
Figu a 5.3.1a. Classi icació dels alumnes de mes e segons el seu posicionamen on les ma emà iques com a p àc ica social
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 295
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Respec e del coneixemen in e p e a iu es a ègic o es es posen en
e idència que es an ac an amb nocions ma emà iques, Nú ia quan plan eja la
connexió en e el món eal i les ma emà iques
es mol impo an que els nens adqui eixin les habili a s
ma emà iques indispensables que els pe me in in eg a -se en
el món d’a ui (Nú ia 05-00/8).
Es e ho a quan iden i ica p ocessos signi ica ius de ma ema i zació i cons a a
g aus di e sos de di icul a en el con ingu
hi ha d’al es habili a s a desen olupa com....el
desen olupamen del sen i espacial, la ep esen ació de
l’espai, la quan i icació, la classi icació..(Es e 05-00/8).
en end e ma emà iques ol di ha e desen olupa unes
capaci a s de esold e p oblemes, pe pode aona i
a gumen a ...es sabe e elacions, bones connexions, pe ò
l’alumne no po e -ho co ec amen o sinó que necessi a
d’una ajuda del mes e (Es e 05-00/8).
pe a iba al domini d’alguns concep es ma emà ics cal mol de
emps/el mes e ha de eni en comp e les di e ències (Es e
05-00/8).
mai hem d’oblida com a mes es que la concepció que inguem
del que són les ma emà iques jun amen a la que inguem de la

296 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
capaci a d’ap enen a ge dels nos es alumnes.. ma quen
decisions c ucials pe al seu ensenyamen (Es e 05-00/8)
I Lau a quan dis ingeix ipus de coneixemen en ma emà iques:
Fa o ece , en gene al, el ap endizaje signi ica i o en e al
mecánico, eniendo p esen e que en cie as ocasiones el
mecánico puede esul a més a o able,po ejemplo sabe de
memo ia las ablas de mul iplica (Lau a05-00/8)
Lau a i Es e iden i iquen elemen s del disseny d’ap enen a ge quan pa len
p ocessos de con ol i egulació
po ejemplo da sopo e a algún concep o ma emá ico en
pos e io es sesiones si se piensa que no ha quedado del odo
asumido(Lau a 05-00/8).
en aques lla g p océs de emps el alumne come e o s o no a
les coses comple amen bé,s’ha d’en end e com una cosa
no mal i inhe en al ma eix p océs d’ap enen a ge(Es e 05-
00/8).
O be Lau a quan elaciona una seqüència de con ingu amb el disseny de
l’ap enen a ge
las u inas mecánicas de cálculo no se sepa en de los
p oblemas,ac i idades y con ex os que esas u inas pueden
ayuda a esol e (Lau a05-00/8).
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 297
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En el cas d'Es e usan e ocacions d’ap enen a ge pe ecolza a i macions o
explici an eines de mo i ació
a mi pa icula men no m’ha ajuda gens a l’EGB quan
m'equi oca a i em eien una odona e mella o em a xa en el
esul a , sense explica -me desp és en que m'ha ia equi oca
(Es e 05-00/8)
p omou e con ex os que siguin adien s als in e essos d’aques s
i u ili za jocs, con ex os eals (Es e 05-00/8).
En can i Nú ia no mos a cap indicado que es e e eixi al disseny de
l'ap enen a ge, pa la de mo i ació pe ò no explici a cap eina conc e a.
To es es, Nú ia en meno mesu a, plan egen explíci amen elemen s de
ges ió quan enen en comp e l'en o n i enen en comp e la cul u a ma emà ica de
l'alumna , compa en models de eball i p ocu an a gumen a decisions ins uc i es
podem di que l’ensenyamen és una ac i i a que no es po
sepa a de la eali a social i de l’època que i im(Nú ia 05-
00/8)
el docen ha de con empla el ma c empo al en el que iuen i
és impo an i p o i ós pe l’alumne i el ma eix docen e se i
els a an a ges del momen (Es e 05-00/8)
el cen e de l’ac i i a ha de se l’alumne pe an s’ha de
conèixe quins son els seus coneixemen s p e is. (Es e 05-
00/8)
298 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
el mes e aci se i ac i i a s on els alumnes puguin aplica
aquelles ma emà iques que ja sap i així no es c ea à
desconce pel ema nou (Es e 05-00/8)..
eniendo p esen e que el ap endizaje mecánico puede esul a
más a o able,po ejemplo las ablas de mul iplica (Lau a 05-
00/8).
amb un en oc empi is a pe ò no es ic o almen d’aco d amb
aques en oc ja que no a iben a l’abs acció,pe an més
adien es el ealis a(Es e 05-00/8).
usa el que l’alumne ja sap..els dona con iança en ells ma eixos
i a més enen p edisposició posi i a en elació amb el ema que
s'es à inician (Es e 05-00/8).
Només Es e econeix alguns elemen s uncionals de les asques educa i es i
d'es ils ins uc ius di e sos
jo c ec que aques a no es la millo mane a d’ensenya ma es
pe que no ajuda als alumnes a desen olupa el pensamen
c í ic ni a que inguin inicia i a pe sonal (Es e 05-00/8).
ha de plan eja di e en s ipus d’ac i i a s com eballs en
g up,alguns deba s a classe (Es e 05-00/8).
aques a ajuda po a ia des d’un sugge imen inicial mol
genè ic ins una ajuda con inua del mes e du an o el p océs
el g au d’aques es ajudes depen de les necessi a s i
mancances que p esen i cada alumne (Es e 05-00/8).
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 299
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
També explici a el alo del coneixemen p e i
es elaciona amb el que ja saben,els dona mol a segu e a (05-
00/8)
jo inc l’expe iència que quan es ic ap enen uns aspec es
nous,pe a mi, de les ma emà iques semp e in e p e o i l’ap enc
millo des dels coneixemen s p e is que enia i no in e p e an -
lo com un ema nou i inconnex (Es e 05-00/8).
Tan Nú ia com Es e pa len de les elacions alumne- p o esso
Aques a ajuda po a ia des d'un sugge imen inicial mol
genè ic ins.....(Es e 05-00/8)
Veuen que la classe s'en onsa,...,i la classe acassa.....i no an
es pe can ia -ho (Nú ia 05-00/8)
Respec e del con ingu p o essional - ac i udinal Nú ia mos a una o a
implicació en o el ex quan e e ència l’impac e possible de les accions educa i es
no poden accedi a de e mina s ni ells pe que s’han en ebanca amb
aques a assigna u a i mol s han de ia camins que no desi gen (Nú ia 05-
00/8).
Es e ambé ho a mos an il·lusió i o e in con as de possibles posicions
com a u u s mes es és impo an eni en comp e que ind em
en les nos es mans el u u dels alumnes.(Es e 05-00/8)
300 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
aques en oc p omou l’in eg ació de models ma emà ics que
se eixen pe gene a el coneixemen més o mal i
abs ac e,enca a que haig de econèixe que cap en oc es el
millo i que es po ap o i a el més ence a de cada un.(Es e
05-00/8).
En can i Lau a no mos a cap senyal d'implicació pe sonal.
To es es quan busquen un posicionamen en el discu s pedagògic
conside o que més impo an que acumula con ingu s en si,un
bon p o esso hau ia de pensa en la comp ensió d’aques s pe
pa dels alumnes(Nú ia 05-00/8)
l’ensenyamen és una ac i i a que no es po sepa a de la
eali a social i de l’època que i im(Nú ia 05-00/8)
les ma emà iques s’han con e i en l’objec e de emo de mol s
es udian s(‘Nú ia 05-00/8)
pa a que la in e acción en e el p o eso y los alumnos
esponda a las expec a i as p e is as es necesa io que la
opción me odológica cumpla una se ie de condiciones/los
con enidos deben esponde a las necesidades
sociales/u ilización de las nue as ecnologias/..(Lau a05-00/8).
si el mes e ensenya d’una mane a democ a ica els es à
p epa an pe iu e en socie a (Es e 05-00/8).

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 301
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
(1) com a u u s mes es enim el deu e de pensa en dona la
ol a a la ui a i can ia l’o d e de p io i a (Es e 05-00/8).
I Nú ia ho a especialmen quan econeix explíci amen el p o agonisme de
l’alumna i la se a di e si a
es impo an no eu e la classe com una massa unida, sinó les
di e ències indi iduals i els coneixemen s inexpe iències que
cada alumne apo a de la se a eali a (Nu ia05-00/8).
com els p o esso s poden o e i una educació ma emà ica a la
qual o s els alumnes puguin a iba sense
us acions....(Nu ia05-00/8).
Es e i Nú ia alo en l’equi a educa i a en el eball ma emà ic p ocu an
explici a els alo s ma emà ics que cal p omou e I iden i ican i econeixen el alo
de l’acció docen en ma emà iques
que es el que la socie a eclama pe als seus ciu adans
(Nu ia05-00/8)
no ajuda als alumnes a desen olupa el pensamen c í ic ni a
que inguin inicia i a pe sonal(Es e 05-00/8).
les ma emà iques ajuden mol al desen olupamen de la
pe sona pe què po encia el pensamen c í ic,el aonamen i el
pensamen lògic..(Es e 05-00/8).
la socie a demana al sis ema escola una sè ie d’aspec es pel
que a a les ma es(Es e 05-00/8).
302 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
en gene al la socie a demana que els es udian s adqui eixin
habili a s ma emà iques u ili a ies,desp és que aques
ensenyamen con ibueixi en el c eixemen de la pe sona i pe
úl im que ap engui coneixemen s ma emà ics.(Es e 05-00/8)
En can i Lau a o na a no mos a indicado s en aques aspec e de
l'assumpció de l'ac i i a p o essional.
A a bé, o es es mos en implicació e lexi a p o essional quan e oquen
alo s de o mació no es ic amen ma emà ics
si els alumnes no ap enen s’hau à de eplan eja el
p og ama(Nu ia05-00/8).
pe al a banda un ac o que in lueix als mes es a compo a -
se con a embo ido s de coneixemen s és el e d’ha e
d’enca a als alumnes a una p o a inal....(Nú ia 05-00/8).
el p oblema no es iba an o en adqui i ales o cuales
habilidades p ecisas pa a la educación ma emà ica sino en
cómo desa olla capacidades gené icas pe manen emen e
adap ables..(Lau a 05-00/8).
còm es mani es en aques s alo s socials a la classe de
ma emà iques/pe a mi és mol més impo an el
desen olupamen com a pe sona que l’adquisició de
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 303
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
coneixemen s ma emà ics, enca a que ambé són
impo an s(Es e 05-00/8).
s’ha de eni mol a paciència amb l’alumna pe que les
ma emà iques no s’ap enen de cop.(.Es e 05-00/8).
I al pa la d’expe iències eali zades
la g an endència que enen els mes es de ma emà iques –i ho
se pe p òpia expe iència-és la de no can ia mai el seu
mè ode..(Nu ia 05-00/8).
Només en Es e obem e e ències d'al es au o s
es ic d’aco d amb P. E nes quan diu que si un mes e ensenya
ma emà iques d’una o ma au o i à ia..(05-00/8)
aques a idea ho ecull mol bé Ab an es, l’ap enen a ge es
conside a un p océs de cons ucció ac iu del coneixemen ..(05-
00/8).
es ic d’aco d amb el que diuen Alsina i d’al es, la e e ència
comuna hau ien de se els objec ius gene als, p opos es de
eball lexibles i obe es..(05-00/8).
To es es an comen a is sob e la p esa de decisions de o mació
(Nú ia) la socie a eclama indi idus c í ics i amb decisió
p òpia...pe an calen unes ma emà iques ú ils i inculades a la
socie a (05-00/8).
304 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
(Nú ia) s’ha d’a a o i semp e un ap enen a ge que s’in eg i en
els esquemes del alumne pe al que aques pugui se
signi ica iu pe ell..(05-00/8).
es àcil imagina cuan al e a es o la posición del docen e,el
p o eso de ma emá icas se encuen a con que iene que segui
la e olución cons an e del conocimien o..(Lau a 05-00/8).
pe a què ens se eix sabe ma es, me’n eco do que aques a
p egun a un cop em a xoca pe ò a a sí se pe que..(Es e 05-
00/8).
hem de sabe quines son les nos es opinions sob e la ma è ia
que ensenya em que es e lexa à, conscien o inconscien men ,
a les nos es classes (Es e /05-00/8)
Pel que a al comp omís i iden i a p o essional només Es e , en o el ex , es
esponsabili za de du a e me allò que ella conside a una bona mane a d'ac ua ,
Nú ia es comp ome pe ò no p o essionalmen i Lau a no mos a cap indicado de
comp omís:
Es impo an eni en comp e que ind em en les nos es mans
el u u dels alumne....(Es e 05-00/8)
..............Com ens plan egem el p og ama (Es e 05-00/8)
Soc conscien que una cosa es l'opinió i una al a és en on a -
se amb la eali a i aplica -la(Nú ia 05-00/8)
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 311
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
l’ap end e aplicades a alo a i c i ica una seqüència d’ap enen a ge. Dues de
les pe sones enen més indicado s ecolli s en els ipus e lexiu, una en e
alguns en el in e oga iu i l’al a en e en el con o mis a. La e ce a pe sona e
un pe il més cla con o mis a enca a que amb ocs e lexius.
Quan ecollim les decla acions esc i es de les es pe sones de la mos a
eiem que mos en endències cap a una de les es ipologies pe ò no d’una mane a
o almen de inida. Recollim en un quad e ( eu e ig. 5.4.1) alo acions e e ides a
les es pe sones en cadascun dels aspec es que e en una e e ència a l’ho a de
alo a una seqüència d’ap enen a ge (numè ica o e e ida a una ope ació
a i mè ica), es a di , la selecció i o d e d’apa ició dels signi ica s ela ius a un
concep e, els con ex os adien s a l’eda dels alumnes i als signi ica s ia s, la
selecció de ep esen acions, el conjun d’algo ismes incloen men als, esc i s,
calculado a, es imació, l’ús de elacions i p opie a s de les ope acions i, inalmen ,
la o gani zació de la seqüència onamen al.
Pe això es abli em un ba em d'1 a 3, on assigna em 1 a les posicions
con o mis es, 2 a les e lexi es i 3 a les in e oga i es.
Aspec es Nú ia Lau a Es e
Signi ica s 2 3 2
Con ex os 1 1 2
Rep esen acions 1 2 3
Algo ismes 1 2 2
Relacions 2 1 3
Seqüència bàsica 1 2 2
To als 8 11 14
Figu a 5.4.1. Valo ació dels aspec es conside a s pe de ini les ipologies

312 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En el cas dels signi ica s, Lau a dis ingeix els que es oben en la p opos a i,a
més, eclama la necessi a de que en la P imà ia han de dona -se si uacions amb els
que al en i s’ha eballa a classe. Es e i Nú ia dis ingeixen els que hi ha en la se a
seqüència pe ò no en oben a al a cap i de e sí que en manquen.
Pel que a als con ex os en que es si uen les ac i i a s ja els sembla bé les
ac i i a s descon ex uali zades, només Es e eclama la necessi a de can ia això en
la p opos a, pe ò sense explici a es més.
L'ús dels ma e ials manipula ius, que ha es a abas amen exempli icada,
iscuda i onamen ada a classe no ha eeixi da an d’una p opos a es uc u ada,
dues d’elles ja euen bé que s’usi ep esen acions dibuixades d’objec es i de
ma e ials didàc ics en lloc d’exigi -ne l’ús més gene ali za i quan el demanen
sembla espond e més a un e o ç que no a quelcom onamen al.
Globalmen , pel que a a la seqüència bàsica de la p opos a, Nú ia només
discu eix pe i es coses, Lau a només oba a al a més ei e ació en les
ac i i a s ipus exe cicis i Es e no objec a cap os de la ma eixa, això sí assenyala
un ipus d’ac i i a impo an que no hi su , l’es imació. Pel que a als algo ismes
no passen d’una posició e lexi a i en el cas de l’ús de elacions i p opie a s les es
ac i uds són di e en s.
Resul a 5.4.2. Respec e del coneixemen in e p e a iu es a ègic les es
pe sones inco po en més indicado s de l'aspec e ins uc iu, especialmen en
el cu icula . En l’aspec e de l’ap enen a ge en meno mesu a, només obem
iden i icacions del disseny de l'ap enen a ge. Pel que a als p ocessos
in e ac ius no hi ha e e ències. Una de les pe sones mos a un g au de
coneixemen més equilib a en els di e en s aspec es que les al es dues
pe sones.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 313
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Les e e ències que obem espec e a l’ap enen a ge de les ma emà iques
són l’ús de p opie a s i la iden i icació de p ocessos signi ica ius en Lau a:
C ec impo an que abans d’in odui la es a po an es
ep esen in g à icamen les quan i a s que s’ha de es a en
o ma de desenes i uni a s.
Segons la classe de sub acció la p egun a es Quan s en
queden? U ili za acció en es emps, la si uació de pa ida,
l’acció i la si uació inal.....
I en Nú ia i Es e d’anàlisi de p ocessos:
si sumes un núme o més e dona à el següen , això pe me
eu e que un nomb e desp és que l’al e no es es més que la
suma del p ime nomb e més 1 (Nú ia 05-00/12)
es p e é amb di e en s ac i i a s que el nen es ableixi elacions
en e els nomb es, que no els egin com símbols
aïlla s.....(Nú ia 05-00/12)
el nen s’adoni que els nomb es són símbols que s’u ili zen en la
ida quo idiana i lla o s els elacioni amb si uacions
eals...(Nú ia 05-00/12).
Cald ia esmen a que les ac i i a s que es p esen en en
aques s ex os es an mol descon ex uali zades.. hi ha es
p opie a s de les ope acions que son mol impo an s pe
a a o i la comp ensió de la suma....(Es e 05-00/12)
314 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
I ambé quan Nú ia i Lau a elacionen la seqüència de con ingu s amb el disseny de
l’ap enen a ge
la suma ambé s’u ili za pe en o i el coneixemen que el nen
e dels nomb es(Nú ia 05-00/12).
..exe cicis de descomposició, alguns dels quals són idèn ics als
que p oposa a el llib e de p ime pe descomposa la
desena(05-00/12).
no ha insis i que les desenes no són únicamen la xi a que
ocupa aques lloc...(05-00/12).
En els p ime s momen s de la in oducció de la es a no se
sepa a l’ope ació abs ac e de les si uacions eals (Lau a)
L’aspec e en el que obem més egis es és el de la ins ucció sob e o en la
conside ació dels elemen s cu icula s.
Nú ia conside a econeix objec ius i inali a s de les ac i i a s i quan p oposa
l'ús de ma e ials
el llib e p e é que el nen aci el sal d’allò que es à dibuixa en
el llib e a allò que es simbòlic (Nú ia 05-00/12)
la suma s’u ili za pe en o i el coneixemen que e el nen sob e
els nomb es (Nú ia 05-00/12).
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 315
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
l’alumne po ep esen a qualse ol xi a amb bi lle s de mil, cinc
mil, monedes de 100,200,50, 25,o d’una pesse a (Nú ia 05-
00/12).
la p àc ica de les desenes es a amb ma e ial mul ibase,
aques s són dibuixa si són ú ils pe que els nens dis ingeixin
les desenes de les uni a s que e una quan i a , ambé que es
eali zin descomposicions..(Nú ia 05-00/12)
O be iden i ican elemen s claus en la seqüència d’ap enen a ge
un cop in oduïda la desena com el nomb e que e desp és del
9, es p ac ica la descomposició del 10 en sumes en les que
al a un suman 2+..=10....(Nú ia 05-00/12)
els nomb es més con lic ius que an del 10 al 16 pe que el seu
nom no es co espon amb el seu signi ica ...(Nú ia 05-00/12)
es a ia bé ha e e una in oducció més de allada de la segona
cen ena en comp es de passa de la p ime a a menciona -les
o es (Nú ia o5-00/12).
que o nomb e e un nomb e següen que s’ob é a egin una
uni a (Nú ia 05-00/12).
I Lau a quan a al·lusions al con ingu
316 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En aques cu s no es eballa la es a po an -ne pe que e una
g an complexi a ,...(Lau a)
Tan Nú ia com Lau a es ableixen elacions ins uc i es associades a di e ses
ace es del concep e
es suposa que a pa i d’aquí l’alumne ha d’es abli o es les
possibles elacions en e aques s nomb es, que se ien o a la
seqüència numè ica del 100 ins al 999(Nú ia 05-00/12).
el 99 es ep esen a mi jançan blocs mul ibase....s’a egeix una
uni a i es o men les deu i es de 10 que a an el cen , es
impo an que egi que 100 és 10 egades 10,....diem que una
cen ena son 100 uni a s(Nú ia 05-00/12)
el nen s’adoni que els nomb es són símbols que s’usen a la
ida quo idiana i els elacionin amb si uacions eals.....on en
mol es ocasions son codis (Nú ia 05-00/12)
en el ema del les mesu es de longi ud es a un eball
ap o undi dels nomb es d’una mane a implíci a(Nú ia 05-
00/12)
en aques es ac i i a s on es eballa la es a obem a al a la
sub acció compa a i a, e ical i d’unió........(Lau a).
També es pod ia explica les es es suman la desena a egida
a l’esque a del sub ahend....(Lau a).

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 317
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En can i en el cas d’Es e només obem indicado s elaciona s amb iden i ica
elemen s claus en la seqüència de la suma que anali za
Enca a no ha e su icien p àc ica amb sumes d’uni a s i ja
s’in odueix les desenes
Només es eballa la suma i ni an sols eballa las suma com a
ope ació in e sa de la es a
No hi ha p àc ica de l’algo isme ho i zon al de la suma (Es e
05-00/12)
Nú ia i Lau a econeixen ep esen acions ins uccionals, la p ime a quan
alo a ep esen acions:
apa eixen equad es que se eixen pe di e encia bé a quin
o d e pe anyen les xi es(05-00/12).
(1b)l’alumne ha de sabe ep esen a nomb es amb el ma e ial
mul ibase (05-00/12).
(1b)a a és de la ep esen ació en la ec a po eu e la
di e ència en e dos nomb es de mane a isual
(ap oximadamen ) (05-00/12).
I la segona quan imagina el que saben els alumnes
Pe això es plan egen p oblemes p eope a o is que en acili en
la comp ensió(Lau a)
Lau a ambé econeix el sen i d’algunes asques quan diu:
Es con enien que el càlcul es agi p ac ican de o ma
pe iòdica ja que e una bons base memo ís ica (Lau a).
318 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Pel que a als p ocessos in e ac ius no obem gai ebé cap e e ència, només
Lau a quan explici a algunes es a ègies pe a a o i la comp ensió de l’alumne:
Es simboli za g à icamen els elemen s que es euen pe que
si s’esbo en es pe d cons ància del que s’ha e , així el nen
eu el que hi ha ia i el que hi ha(Lau a).
Resul a 5.4.3. El g au d’implicació p o essional mos a , essen mol
baix en les es pe sones, es di e s. Dues d'elles mos en un ce g au
d'assumpció de l'ac i i a p o essional pe ò que no a iba a ac i uds gai e
c í iques i la e ce a pe sona no e lexa cap mena d'implicació p o essional -
pe sonal on a l’ap enen a ge.
En e ec e, espec e del con ingu p o essional - ac i udinal, Nú ia a e e ència
l’impac e possible de les accions educa i es
hem is que la quan i a de ulls dedicada als nomb es a p ime
cu s és mol més abundan que la de sisè cu s (05-00/12).
pe ò aques a seqüenciació comença a on olla a pa i de
cinquè on s’ab uma al nen amb mol es idees di ícils de pai (05-
00/12).
Nú ia i Es e busquen posicionamen en el discu s pedagògic
en comp es de p ac ica això que an àpidamen s’ha dona a
cinquè...(Nú ia 05-00/12).
s’hau ien de eballa més amb ep esen acions g à iques de
ma e ials manipula ius.. ins que el nen es igui en condicions de
pode -ho ansme e al llengua ge esc i (Es e 05-00/12)
A més Es e p oposa accions e ec i es i ealis es
es pod ia demana l’ús de la calculado a pe al de co egi les
sumes o pe agili za el càlcul en els p oblemes(Es e 05-
00/12).
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 319
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Nú ia quan explici a e lexions i s’a ança a pensa en el que po passa
desp és a sisè en comp es de p ac ica això que an
àpidamen s’ha dona a cinquè...(05-00/12).
a la es a de cu sos hi ha una cla a desapa ició de con ex os de
ma e ial manipula iu dibuixa (05-00/12
pe ò aques a comença a on olla a pa i de cinquè on
s’ab uma al nen amb mol es idees di ícils de pai (05-00/12).
explici a opinions i comen a is
en la me a opinió, es à bé pe què p ime in odueix el nume o
10 com a següen del 9 i deixa que els nens paeixin això abans
d’in odui la pa aula desena (Nú ia 05-00/12)
es a ia be ha e e una in oducció més eballada de la
segona desena en comp es de..(Nú ia 05-00/12).
A gumen a pe e judicis jus i ica s
no es a una in oducció mol especial del 20, no es posa com
19+1....el nen ha de eu e que 10+10=20....opino que es una
in oducció mol di ec a (Nú ia 05-00/12).
5.5. Ac i i a 10. Sob e el alo dels dissenys ins uc ius. Anàlisi de
p opos es de p og amació.
Fo man pa de l'a aluació de l'assigna u a, es demana als alumnes el
disseny d'una sessió de classe pe alumnes de p imà ia amb ema i cu s
de e mina s. El eball és indi idual i cada pe sona del g up classe e un í ol di e en .
Les emà iques enen elació amb els con ingu s de P imà ia pe ò oquen aspec es
que no han es a eballa s en de all a les sessions p esencials de l'assigna u a, una
mos a de p opos es es:
320 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Es donen ins uccions espec e dels elemen s que ha de con eni la p opos a
de p og amació de la sessió, així com els aspec es que es alo a an:
CARACTERÍSTIQUES DEL TREBALL
S’ha de e una p og amació pe a una sessió de classe on es eballi el con ingu indica .(o una pa del ma eix si es conside a que es
massa ex ens pe eballa -lo en una sola sessió de classe).
Cal posa :-Una in oducció on s’expliqui la elació d’aques a sessió amb possibles sessions an e io s i pos e io s així com la me odologia
que s’u ili za ia.-La desc ipció de com es plan eja ia la sessió als alumnes indica s i quina se ia la dinàmica de la classe.
-Els coneixemen s p e is que han d’es a disponibles.(només els di ec amen elaciona s).-Els con ingu s que es eballen, ben
de alla s.
-La inali a o objec iu de la sessió(que se à mol més conc e que el í ol que s’ha o e pel eball).
-La /les ac i i a /s que es du an a e me du an la sessió, incloen el ma e ial que usa an els alumnes( ulls de eball, ma e ial didàc ic,...).
Sense comp a els ulls que es co esponen amb el ma e ial que es dona ia als alumnes, l’ex ensió màxima ha de se de 2 planes.
Es ind à en comp e pe l’a aluació d’aques a p opos a els següen s elemen s:-La co ecció ma emà ica.
-El ipus d’ac i i a que es p oposi (po enciació del aonamen ,la lexibili a ,..; que no sigui simple i mecànica o poc elabo ada).
-La cohe ència en e els con ingu s que s’esmen in i les ac i i a s p oposades.
-La dinàmica de la cesio (po enciació de la pa icipació dels alumnes, ac i i a s de g up, de sín esi,...).
-El/els con ex /s ia s i les ep esen acions u ili zades.-L’ùs de ecu sos ma e ials, isuals,...
1. Relació en e les desenes i els mile s.Qua .
2. Es imació numè ica amb nomb es de 5 o 6 xi es. Qua .
3. Relacions en e les accions: cas de les mei a s, qua s i ui ens. Qua .
4. Compa ació de accions meno s que 1. Sisè.
5. Ùs de la ec a com a ep esen ació de la suma i de la es a . Qua .
6. Mei a s i dobles. Te ce .
7. Aplica les descomposicions del 10 en dos sumands al càlcul men al . Segon.
8. Algo isme de suma nomb es de 2 xi es. P ime .
9. Ùs de la calculado a pe cons ui aules de mul iplica . Te ce .
10. Compa a l’e ec e de la suma i la mul iplicació sob e els nomb es. Sisè.
11. T oba les egles que s’apliquen en sè ies numè iques. Cinquè.
12. In oducció al concep e de po ència. Sisè.
13. Mùl iples comuns a 2 nomb es. Sisè.
14. Relaciona el sis ema de nume ació amb el Sis ema Mè ic Decimal en el cas
de mesu a de mases. Sisè.
15. Rep esen ació de dades u ili zan g à iques ec angula s.Qua .
16. Es imació de mesu es de longi ud. Segon.
17. Usa la mul iplicació pe comp a .Cinquè.
18. Mul iplica dos decimals meno s que 1 .Sisé.
19. Decimals pe ap oxima les di isions que no son exac es.Sisé.
20. Po ències.Cinquè.
21. P ismes.Cinquè.
22. T iangles.Segon.
23. Pe cen a ges com a accions.Sisé.
24. Simpli ica accions.Sisé..
25. Angles ec es.Qua .
26. T iangles ec angles.Cinquè.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 327
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Pel que a als aspec es que s’ha ien dona com a e e en s pe a alua la
p opos a i que, pe an , es p e eia que els alumnes de mes e ind ien en comp e al
elabo a -la, eiem que no es p odueixen e o s ma emà ics pe ò si incomple eses i
imp ecisions.
En el cas d’Es e no conc e a quin signi ica de la suma es à implica en les
ac i i a s que p oposa pels alle s i deslliga el sen i de la ope ació de l’algo isme.
En el cas de Nú ia no e in enció de gene ali za el concep e de quad a “po ència”
lliga al d’à ea d’un quad a , només eu alguns exemples, sense eni en comp e que
a sisè es po a iba a un majo g au de concep uali zació. I en el cas de Lau a quan
p esen a l’angle ec e com el o ma pe dues pe pendicula s no comen a quin
p e eu que es el signi ica de pe pendicula s pels alumnes de qua cu s.
Pel que a als ipus d’ac i i a s que p oposen, ( eu e igu es 5.5.10, 5.5.11 i
5.5.12) Nú ia es la que p oposa majo di e si a –concep es, algo i mes, p oblemes
i llengua ge- i qua e de les sis son de segon ni ell. Pel que a a Es e p oposa
ac i i a s d’algo ismes, exe cicis i de llengua ge, son de p ime i segon ni ell de
complexi a , en el cas de Lau a les asques son simplis es lligades a concep es i
llengua ge.

328 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Figu a 5.5.10. Ac i i a s que p oposa Nú ia
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 329
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Figu a 5.5.11. Ac i i a s que p oposa Es e . Les de alla a pa .
Un al e aspec e alo a és la cohe ència en e les ac i i a s i els con ingu s,
o plega ha de co espond e’s amb la inali a de la sessió. Hi ha dues pe sones,
Nú ia i Es e , que p oposen ac i i a s que eballen bàsicamen els con ingu s que
elles ma eixes han ixa , això si Es e es deixa de ci a el càlcul men al i el ús de
ep esen acions amb ma e ials manipula ius. Nú ia no gene ali za el cas d’à ees de
quad a s al cas de cos a s exp essa s amb nomb es decimals, cosa que hau ia de
e donada l’eda i ni ell de la p opos a. Lau a posa un esquema elacional de
concep es que no eballa i els con ingu s p ocedimen als no es co esponen amb les
ac i i a s que p oposa.
Només Es e a una p opos a de ges ió no di igida, els acons simul anis
sob e el ma eix ema i a di e en s ni ells de di icul a ( eu e ig. 5.5.11). Nú ia
plan eja una seqüència de qua e ac i i a s amb posades en comú in e mèdies i amb
p es ació d’aju s pe ò sense conc e a quines són les di icul a s p e isibles ( eu e ig.
5.5.10).
330 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Lau a no es ableix cap connexió en e les di e ses asques que desc iu, les
se es p opos es son de " eco da ", "explica ", "p oposa mè odes", e c. ( eu e ig.
5.5.5).
En el cas dels con ex os ia s pe les ac i i a s, Es e usa ma e ials didàc ics
com blocs de base 10, àbacs i ambé ans o ma jocs de aula com el memo y, les
ca es i la lo e ia pe usa -los en el ema que plan eja. Nú ia només plan eja l’ús d’un
aule d’escacs i una si uació ealis a d’en ajola amb el supo de pape quad icula .
Lau a usa l’aula i el cos dels alumnes pe e ece ca d’angles, ambé plan eja una
ac i i a amb geoplans i una amb escu aden s pe o ma lle es de l’al abe amb
angles ec es.
Globalmen la p opos a d’Es e és més complexa, més eballada, s’a e eix
amb una si uació on els alumne eballen en acons, e en comp e la di e si a dels
alumnes i assigna un pape d’obse ado al docen , a en a les di icul a s i ence s
dels seus alumnes i p e eien la se a in e enció quan calgui.
Nú ia plani ica una sessió mes "es ánda " on a p oposan les asques una a
con inuació de l’al a, amb un docen que "dic amina" el que es à bé abans de
passa a l’ac i i a següen . Mol p eocupada pel con ol pe ò sense p e eu e cap
mena d’a enció a la di e si a .
Lau a p esen a una p opos a gens lligada, amb desigual g au de de all, mol
di igis a i amb una inali a que no es à d’aco d amb les ac i i a s que p oposa.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 331
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Resul a 5.5.2. En els aspec es del coneixemen in e p e a iu - es a ègic,
els alumnes de la mos a enen en comp e aspec es ela ius al disseny de
l’ap enen a ge, a la ins ucció explici an objec ius i con ingu s,sense jus i ica
–los, es ablin elacions ins uccionals. To es es pe sones conside en
elemen s de ges ió i explici en p ocessos in e ac ius. En l’aspec e
p o essional hi ha poques e e ències explíci es.
En l’aspec e de l’ap enen a ge Nú ia i Es e usen p opie a s de cai e
ep esen a iu pe acla i el signi icació que olen del concep e que p e enen eballa :
al concep e de po ència la elaciona ia amb sessions en les
quals es eballessin les mul iplicacions, pe ò sob e o la
mul iplicació d’un nomb e pe ell ma eix(Nú ia 06-00/9).
Reali zació d'ac i i a s de manipulació on es ep esen i la idea
de quad a (Nú ia)
obse ació eal de la suma pe pode passa a la se a
ep esen ació numè ica/co espondència en e l’algo isme de la
suma i les se es ep esen acions(Es e 06-00/9).
Men e que Lau a usa esquemes elacionals dels con ingu s de ma emà iques
pe si ua el concep e d’angle ec e
332 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
i Nú ia, a més, iden i ica momen s signi ica ius de ma ema i zació en el p océs
assegu an -me que dis ingeixen les di e en s uncions que
enen la base i l’exponen , que no mul ipliquin la base pe
l’exponen (Nú ia 06-00/9).
En el disseny de l’ap enen a ge Nú ia i Es e iden i iquen elemen s de
egulació
la mes a acili a à que un alumne de cada g up aci un
comen a i sob e els esul a s que ha ex e .... (Nú ia 06-00/9).
conside ació de l’e o com a es ímul pe a no es inicia i es
(Es e 06-00/9)..
i plani iquen de mane a cla a, ben al con a i que Lau a.

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 333
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En l’aspec e de la ins ucció les es pe sones de la mos a explici en els
objec ius i els con ingu s, sense jus i ica -los, cosa que espon a la demanda
explíci a en l'encà ec del eball, en can i cap d’elles a e e ències al cu ículum
o icial ni jus i iquen la majo ia de decisions p eses. Nú ia i Es e iden i iquen alguns
elemen s claus en la seqüència del con ingu
la dis inció en e doble i quad a (Nú ia 06-00/9).
la sessió comença à amb una p o a inicial pe eu e si
dis ingeixen la idea de doble i de quad a (Nú ia 06-00/9).
al p incipi només es con empla una igu a com un o sense
dis ingi els elemen s de la igu a i sense es abli elacions amb
d’al es(Es e 06-00/10)..
i Nú ia es ableix elacions ins uccionals associades a les di e en s ace es de la
po enciació quan de alla els con ingu s.
To es es conside en elemen s de ges ió, enca a que la di e ència es mol a
en e les e e ències que an en di e sos aspec es. Lau a és la que menys en a,
només quan iden i ica el ma c de e e ència de l’en o n
el e de que es aci se i un ull quad icula , en lloc de blanc,
e la inali a de p opo ciona més p ecisió (Lau a 06-00/9).
Cosa que ambé a Nú ia quan diu
o i que can ia el con ex , es po associa al càlcul de
supe ícies, ja que cada quad e ocupa un cen íme e (Nú ia
06-00/9).
334 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
La mes a ele a als alumnes a la idea de po ència al quad a i
usa à com a complemen una anspa ència (Nú ia)
Tan Nú ia com Es e imaginen el que saben els alumnes
no enen mol assumi que és el quad a d’un nomb e, mol s
con onen quad a i doble (Nú ia 06-00/9).
Cal que els alumnes sàpiguen suma amb nomb es d’una i
dues xi es, econèixe u usa els signes + i =........(Es e 06-
00/9)
I en algunes ocasions explici en el pape de les asques
el acó.. ajuda als alumnes a eballa en g up (Es e 06-00/9).
el que es ol es que sigui un ap enen a ge signi ica iu i pe an
s’han plan eja di e en s ac i i a s pe a que els alumnes
adqui eixin di e en s p ocedimen s i es a ègies pe suma
(Es e 06-00/9)
els alumnes hau an de calcula el nomb e de quad ade s que e
un aule d’escacs sense comp a -los (Nú ia 06-00/9)
es la ma eixa ac i i a que l’an e io o i que can ia el con ex , i
a més, es po associa al càlcul de supe ícies (Nú ia 06-00/9)
Pe ò es Es e la única que e en comp e de mane a explíci a la di e si a del
g up quan diu
el mes e només a à de guia donan a cada alumne l’ajuda que
li sigui necessà ia (Es e 06-00/9).
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 335
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
hi ha acons pensa s pels alumnes que p esen en més
di icul a s amb l’algo isme de suma (06-00/9)..
pa icipació en g up i/o indi idualmen en di e ses asques
ma emà iques (Es e 06-00/9).
En l’aspec e dels p ocessos in e ac ius que es desi ja p o oca en l’aula o es
es conside en, pe que e a p esc ip iu en el eball, els coneixemen s p e is
disponibles pe ò cap d’elles els jus i ica en e mes de elació concep ual. Només
Es e i Lau a conc e en el p og és que olen p o oca en els alumnes, Lau a
conc e a el que anomena la in enció pedagògica: econeixemen de l’angle ec e
iden i ican -lo en di e sos con ex os:
es p e én ambé que s’adoni de coses com que els angles
ec es no depenen de la longi ud dels seus cos a s(Lau a06-
00/9).
el que es ol es que sigui un ap enen a ge signi ica iu(Es e 06-
00/9)
i només Es e conc e a alguna es a ègia pe possibili a el aonamen de l’alumne
hau à d’obse a com juguen, manipulen, emp egen,
obse en, els nens a l’aula en aques s alle s pe al de sabe si
es an en enen i en seus els con ingu s que es p e enen
eballa (Es e 06-00/9).
El acó del memo y es à pensa pels nens que p esen in més
di icul a s.....es p e én que mi jançan el emp eig obin la
336 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
solució....el acó del bingo...nens amb més agili a pel càlcul
men al. (Es e 06-00/9).
En l’aspec e del compo amen i ac i ud p o essional obem poques
e e ències explíci es. Es e econeix el p o agonisme de l’alumna
el que es p e én es que l’alumne sigui el p o agonis a del seu
p opi ap enen a ge (06-00/9).
I Nú ia i Lau a es si uen en alguns momen s com si anessin a e classe de debò
e so i a un g up de 5 olun a is pe que o min angles amb el
p opi cos(Lau a06-00/9).
La sessió comença à amb una p o a inicial pe eu e si
dis ingeixen la idea de doble de quad a (Nú ia )
Nú ia, en algunes ocasions, s’a ança al que po passa
assegu an -me que dis ingeixen les di e en s uncions que
enen la base i l’exponen , que no mul ipliquin la base pe
l’exponen (Nú ia 06-00/9).
No obem indicado s explíci s del man enimen , a l’ho a de e la
p og amació, d’ac i uds c í iques i ampoc sob e el comp omís i la iden i a
p o essional.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 343
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Figu a 5.6.2. Tasca 2.
.En el ull annex i ola ”Compa i alimen os.Sándwiches” es p oposa una
ac i i a sob e accions adien pel Cicle Supe io .
a) Quín és el signi ica de acció que es po associa a aques a si uació
plan ejada?.
b) Obse a les inye es a i b. En les dues si uacions enen el ma eix nomb e
d’en epans,3. Què po s di de les accions que eben Emmy i Jake?.
c) Obse a les inye es c i d. Quan es egades és més g an la acció que ep
Wal e que la que ep Sand a?. Resol g à icamen la qües ió.
d) Si eunissim la gen i els en epans de les inye es a i b, i o nem a
plan eja -nos el epa imen dels en epans, Quína acció oca a cadascú.
Exp essa el que guanyen o pe den Emmy i Jake si es es aques a dis ibució
en lloc de la olan ejada en el ull.
e) Dissenya dues inye es no es que pe me essin plan eja accions
equi alen s als casos b i c .

344 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
La asca 3 ( eu e ig. 5.6.3.) implica, com la asca 2, in eg ació de
coneixemen ma emà ic i didàc ic. Es plan eja una si uació ic ícia de classe amb
alumnes de P imà ia on s’ha inicia un p océs de ans o mació de pa al·lelog ams
conse an l’à ea a pa i d’una acció manipula i a.
Es ol que, a pa i de conèixe ma emà icamen les p opie a s implicades
(igual a d’à ea, igual a de base i al u a de les dues igu es, di e ència de
pe íme es, d’angles, sime ia,...) i enin en comp e el con ex expe imen al inicial
de la asca, els alumnes de mes e elabo in una p opos a d’a anç de l’ac i i a
d’ap enen a ge. Cal eni en comp e que com es desc iu en l’apa a 3.7, s’ha
eballa a ons els p ocessos de ans o mació de polígons man enin l’à ea en
is es a la se a aplicació a l’aula de P imà ia i, pe an , s’espe a una espos a
cohe en i ben cons uïda en aques a ocasió, al inal del cu s.
Figu a 5.6.3.Tasca 3
P egun a núme o 3
Has e que els eus alumnes de cinqué e allin un os d’un omboide i
l'uneixin a l'al e can ó (com es eu en el dibuix ) ob enin un ec angle:
Còm a ies que seguissin aques a ac i i a ?. Quines p egun es a ies pe
que compa essin les dues igu es?.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 345
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
La asca 4 ( eu e ig. 5.6.4.) es ol u ili za pe cons a a si, en un ema
eballa abas amen a classe du an el cu s, l’alumne de mes e es capaç
d’a gumen a sob e les di icul a s dels alumnes de P imà ia pe supe a els
obs acles dona s com a exemples, i pe al a banda, dis ingi que les di icul a s
p oposades pe a gumen a no es donen simul àniamen en un alumne de
P imà ia i ambé que es poden "classi ica " d’alguna mane a (99 - 100 i 2099 -
2100 impliquen en can i de dues xi es al emps,...).
Figu a 5.6.4. Tasca 4.
Conside acions sob e la T ajec ò ia hipo è ica de l’ac i i a .
En conjun les qua e asques enen en comú el pape dels signi ica s i la
concep uali zació i el econeixemen de connexions en e con ingu s. En l'aspec e
didàc ic enen en comú el econeixemen del alo de la con ex uali zació.
Globalmen , es p e enia eu e si l’alumna e a capaç d’in eg a el con ingu
didàc ic i el con ingu ma emà ic.
Anàlisi e ospec i a
Les espos es dels alumnes a les asques p oposades han conduï s al
següen
Resul a 5.6.1. Els in en s de classi icació de signi ica s no són
cohe en s segons els c i e is es able s pe les p òpies alumnes. En dos
dels casos hi ha e idències d’in en s d’inco po a ipologies eballades
pe ò no s’apliquen amb co ecció, en l’al e cas es man é amb el ma eix
4. Els passos següen s són con lic ius pe alguns alumnes en di e sos
momen s del seu ap enen a ge del sis ema de nume ació:
29→30 , 109 → 110, 99→ 100, 199→ 200 , 2099→ 2100.
Ex
p
lica el
p
e
q
uè.
346 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
c i e i que abans de ac a el ema a l’aula, inco po an , això si, algun ipus
més. En o s els casos hi ha inco po ació de ep esen acions g à iques que
en p ou eines exis ien en el es inicial i que, en dos dels casos són més
cla es que els c i e is exp essa s e balmen . Les elacions que
s’es ableixen en e elemen s ma emà ics són simples. Tenen di icul a en
es abli elacions concep uals a l’ho a de p oposa accions hipo è iques
d’aula.
En e ec e, pel que a a la asca 1 les classi icacions de les es pe sones
són ben di e ses i enen poques coincidències amb la e a pe la o mado a com
es mos a en el quad e següen :
Tipus Fo mado Nú ia Es e Lau a
T eu e c, d, h, i, j c, d, i, j
Compa a b, , g, i b b b, h, i, c
Addició
complemen a ia
d, e, j e e
A egi a,c a, , g a, d, , g, j
Sub acció ec o ial h e
Figu a 5.6.5. Resul a s de les classi icacions segons els c i e is impa i s al cu s.
Nú ia no classi ica ( eu e ig. 5.6.6), desc iu les ca ac e ís iques de cada
si uació sense ag upa -les en ipologies (alienes o p òpies). Dues de les
si uacions que ella ia com d'a egi ( , g) p oposa esold e-les comp an , en
conside a algunes com de eu e (c, d, h, i, j) i p oposa descomp a (c) o comp a
(d) segons el cas, o bé les associa a queda (h, i, j). Es cons a a que, malg a
ha e es udia una ipologia més p ecisa (Dickson,1984), Nú ia conse a els
c i e is en unció de la elació de con ingu s que ella ha ia is en el es inicial
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 347
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
( eu e pàg.350) i e eb a la se a classi icació amb els ma eixos c i e is que
mos a a qua e mesos abans. Pel que a als esquemes en p oposa dels ipus
següen s:
Figu a 5.6.6. Respos a de Nú ia a la asca 1.
348 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
En el cas d'Es e , sí que es p oposa e una classi icació usan les
ipologies es udiades ( eu e ig. 5.6.7) pe ò dis ingeix eu e de queden i de
mane a semblan a Nú ia iden i ica di e ses si uacions amb eu e i son de
compa a , de eunió o d'a egi . Sembla que no es capaç d'aplica les c i e is
ap esos a casos conc e s més que no pas esis ència al can i de c i e is.
Figu a 5.6.7. Respos es d' Es e a la asca 1.

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 349
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Lau a plan eja una classi icació ( eu e ig. 5.6.8) on la classe més
abundan en exemples és la que anomena "p oblemes que es esolen suman a la
incògni a un nomb e" i ambé una al a classe que anomena "p oblema no mal de
es a" que en eali a el que a es si ua la incògni a desp és del signe igual i
només es mos a disposada a conside a "els p oblemes de compa a dues
coses" i el que es " esol desglossan una pa del o al" com a no e a s espec e
del que mos a a en l'ac i i a de coneixemen s p e is. No o e eix gai ebé
esquemes g à ics, i semp e amb l’ x com a nexe comú.
Figu a 5.6.8. Respos es de Lau a a la asca 1.
A pa d’obse a els mals esul a s d’aques a asca, pel que a a l’aspec e
de man eni la cohe ència de la p òpia classi icació i de conside a , de mane a
mol p imi i a, mol es si uacions de eu e quan no ho e en, hem de p e eu e la
350 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
incapaci a de plani ica una seqüència co ec a de la concep uali zació de la es a
pels u u s (o no! ) alumnes de P imà ia.
Aques es es pe sones, lle a de pe i s can is, es man enen en c i e is en
unció de elacions de con ingu que ja mani es a en en el es inicial de
coneixemen s p e is.
A l’inici del quad imes e (Didàc ica de les ma emà iques II) es a passa
una asca pe de ec a quin e a el coneixemen dels alumnes sob e la
di e enciació de signi ica s de la es a a pa i de si uacions conc e es (p oblemes
e bals):
El compo amen de les es pe sones anali zades ha es a el següen :
Lau a, desp és d’un p ime in en de classi ica les si uacions pel emps
e bal en que es si ua la p egun a:
SITUACIONS DE RESTAR
P oblema 1. M’han egala 67 c omos. A a en inc 321.Quan s c omos
enia abans del egal?.
P oblema 2. Pago un bolíg a amb 150 p s. Si en cos a 142,quan s dine s
em o na an?.
P oblema 3. Quan s dine s em al en pe comp a un joc que cos a 4.500
p s si he ecolli 2.900 p s?.
a) Deixan de banda les quan i a s que hi in e enen i els emes que es
oquen, assenyala les di e ències esencials en e les si uacions de es a
p oposades.
b) Fes una ep esen ació g à ica senzilla de cadascuna de les es
si uacions de es a .
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 351
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Quan s c omos enis abans del egal? Passa
Quan s dine s em o na an? P esen
Quan s dine s em al en..? Fu u
a una p opos a de classi icació a pa i de l’exp essió en o ma d’equació de cada
p oblema e bal:
67 + x = 321
150 - 142 = x
x + 2900 = 4500
diu que
si plan egem les es es en o ma d’equació podem eu e que
ealmen es ac a d’unes es es amb di e en s pun s de
mi a, pe que la incògni a, que es esol semp e es an
semp e es oba en una posició di e en a cada equació
i ambé conclou de mane a cohe en amb el que ha di an e io men que
no podem edac a cap més p oblema que sigui d’un ipus
di e en a l’an e io pe què la posició de la incògni a en cada
equació ja es di e en en cada p oblema i ja no dona més de
si.
El que Lau a no a és g à ics de les si uacions.
Es e no anomena explíci amen cap di e ència només ca ac e i za els
p oblemes e bals a pa i de les accions que cal e pe esold e ba eja amb
les accions que desc iuen el que s’ha e
352 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
Al p ime p oblema es a la es a pe sabe la quan i a que
s'ha a egi .....en el segon el sen i de la es a és el de eu e
d'una quan i a una al a pe sabe quin és el esul a ... en
el e ce cas es a la es a pe sabe quins són els dine s
que al en pe al de eni o el dine
Només ep esen a g à icamen el p ime cas i ho a seguin un model de
eu e o sepa a que no s’adiu amb el que ella ma eixa p oposa
Figu a 5.6.9. Rep esen ació g à ica del p oblema 1.
No es capaç de p oposa una si uació di e en , pod ia se pe que no eu
cla a la di e ència en e les si uacions donades com es dedueix de la se a
espos a i el g à ic que a.
Nú ia no classi ica les si uacions, les compa a pe pa elles sense esgo a
o es les possibles compa acions. En dos casos es e e eix a les accions que cal
e e e ides a la sè ie na u al sense pa la de cap algo isme (comp a ,
descomp a ), en el e ce no conc e a com es po e pe ò dis ingeix els dos casos
segons l'acció que es desc iu en el p oblema.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 359
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
omboide i es limi a a una comp o ació, Lau a només p egun a el pe què de la
igual a de les à ees. En el cas de Nú ia no s’in ueix cap elació d’à ea, es ableix
més a ia una ans o mació cons uc i a. Lau a i Es e es ableixen di e ències
pe inen s, el pe íme e i els angles, anma eix algunes de les p egun es de Lau a
no lliguen gai e amb el inici de l’ac i i a .
Es a di , no hi ha connexió concep ual, no hi ha un esquema adqui i i
disponible que elacioni l’acció ( e alla i uni ) amb una p opie a (equi alència
d’à ees) i l’algo isme co esponen ( ó mula de l’à ea). En el cas d’Es e es pod ia
di que posa el ca o da an del ca all.
I, inalmen , en la asca 4 les espos es són:
Nú ia. Tenen di icul a s en el pas del 9 al...0. On enen més
di icul a s és en el 0. El 0 no e cap alo pe ells i en can i
en el sis ema de nume ació és mol signi ica iu pe que les
xi es ani ien de 10 en 10 mul iplica i amen . Tenen
di icul a s en el pas del 9 al 10, 19-20, 29-30,...
Es e . En gene al són con lic ius pe què han de can ia de
dígi , pe exemple quan comencen a comp a i a iben ins al
29 i han de passa al 30 implica una esc ip u a di e en pe
que el dos con inua à sen igual pe ò a a en comp es de 2 ja
han d'esc iu e el 3, pe que s'a egeix una desena.
Lau a. T obem un p oblema a l'ho a d'explica al nen que
da e a del 9 e el 10. El pape que hi juga el ze o en aques
pas de un nomb e al següen es onamen al............cal que
els nens egin que quan acaba una sè ie en comença una

360 Capí ol 5
Se 99 Oc 99 No 99 Des 99 Feb 00 Ma
ç
00 Ab il 00 Mai
g
00
al a, és a di , da e a el nou o na a apa èixe el ze o, pe ò
aques ze o al una desena, una cen ena o més, segons la
posició que ocupa.
Les es espos es són pob es en di e sos sen i s. P ime no dis ingeixen
en e els exemples ni pel momen del p océs d’ap enen a ge del sis ema de
nume ació en que es p esen en, ni pe la complexi a del can i d’esc ip u a.
Tampoc esmen en causes ins uc i es com el e d’usa o no ma e ials
manipula ius pe ep esen a els nomb es. Cal eni en comp e ambé que
l’ap enen a ge de la nume ació dins del ema "Desen olupamen del sen i
numè ic" ha es a abas amen ac a a classe.
Es cons a a que malg a saben que els alumnes enen di icul a s amb el
ze o no enen cla les causes possibles de les di icul a s en els di e sos
exemples que es p oposen. Ho plan egen com un p oblema d’en end e les egles
d’esc ip u a com si es ac és d’aplica un algo isme. L’an e io e idencia que el
con ingu ma emà ic que no es a ben assoli no els pe me econèixe el alo del
con ingu .
En esum, com a esul a s al inal d’un cu s són poc eeixi s i són més
pob es que els ob ingu s en ac i i a s an e io s pe l’alumna . Alguns ac o s que
explica ien els mal esul a s són, a pa del ni ell de coneixemen disponible, el
emps de la p o a i el e ma eix de ac a -se d’un examen i la ensió que
ep esen a pels alumnes sabe que són a alua s.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 361
5.7. Sob e els esul a s del Mac ocicle 2.
Explici a em els esul a s obse a s expe imen almen en base als aspec es
ma emà ics (a) signi icació, ep esen acions i complexi a dels concep es
ma emà ics (pa ells i sena s, doble i mei a , igual i di e en , dependència) així com
i (b) la elle ància i ús de con ex os, connexions i elacions concep uals (in e nes i
ex e nes). I, des del pun de is a es a ègic, (c) el g au i ipus d’inco po ació
concep ual en les p opos es hipo è iques sob e la p àc ica.
A con inuació esumi em les conclusions pe a cada una de les ac i i a s
anali zades com a ajec ò ia hipo è ica ans o mada.
Si uació 7
En aques a ac i i a es mos en aspec es elaciona s amb la ia de
signi ica s, ep esen acions i connexions en e les di e sos con ingu s implica s en
la p opos a de seqüenciació d’un concep e ma emà ic (la cen ena).
L’inici de les seqüències és mol més de alla i es p e eu l’ús de ma e ials
manipula ius i com in odui les ep esen acions simbòliques. Només en un cas es
de alla el p océs de mane a que es esolen els possibles sal s en e signi ica s i es
eu necessà ia la sín esi concep ual. Dues de les pe sones es ableixen
connexions en els dos sen i s en e signi ica s i una d’elles, a més, en e
signi ica s i ep esen acions.
Pel que a al lligam amb els coneixemen s p e is o es es p e euen la
e isió dels nomb es de l’1 al 99 i del concep e de desena amb l’ús de ma e ials
manipula ius i ep esen acions, pe al d’assegu a -ne la disponibili a , dues d’elles
362 Capí ol 5
p e euen in odui no es connexions du an el p océs en que els alumnes de
p imà ia u ili zin el que saben sob e la sè ie an e io a les cen enes. Les es
seqüències globalmen enen un inici en el que es donen o ça connexions,
enca a que amb di e sa mesu a, po se es pe la olun a de mo i a als
alumnes de P imà ia, pe ò més enda an es limi en a dona els segmen s
numè ics pe es abli la seqüència.
Des del pun de is a dels signi ica s, especialmen del cen , el
compo amen de les pe sones de la mos a es di e en , especialmen en un cas
on hi ha g an di e ència en el nomb e de signi ica s de cen que es p oposen. Els
signi ica s in oduï s són majo i à iamen addi iusTambé hi ha g an di e ència en e
les ep esen acions p oposades a ni ell manipula iu, g à ic i simbòlic.
Si uació 8
El documen demana , pel seu p océs d’elabo ació i pel momen del cu s en
que es demana mos a, a ni ell in encional, el posicionamen pe sonal sob e les
aons d'ensenya ma emà iques, el p océs d'ap enen a ge i l'en oc del seu
ensenyamen i el pape de l mes e/a.
Tan els emes cen als com els aspec es més alo a s són di e en s en les
es pe sones de la mos a. En o es es pe sones es econeixen els elemen s
claus de les lec u es: pape de les ma emà iques, p océs d'ensenyamen -
ap enen a ge i socie a .
L'anàlisi de la in e p e ació de les ma emà iques com a p àc ica social ens
mos a es ipus di e en s de u u mes e, coincidin amb les obse acions
eali zades en el eball de Mille i Bake (2001), anma eix no apa eixen cla amen
iden i icades les posicions ex emes, el que a pensa en la possibili a d'inclou e
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 363
un qua ni ell (seguin les ca ego ies d'Smy h,1991) l'anomena c í ic -
in e p e a iu. L'anàlisi de mapes concep uals dels ex os p esen a s ens mos a en
dues de les pe sones p ocessos classi ica o is cen a s sob e els aspec es
cu icula s Pel que a al g au d'implicació apa eixen es posicions di e enciades,
des de l'assumpció del pape com a mes e ins a conside a el col·lec iu
d'ensenyan s com si no s'hi pe anyés, passan pe una implicació més com
alumne que com a mes e.
Des del pun de is a del desen olupamen p o essional en l'anàlisi del
discu s no hi ha e e ències al alo del coneixemen ma emà ic pe se. Els
esul a s pel que a al coneixemen in e p e a iu-es a ègic e o cen la isió
implica i a i c í ica d'una de les alumnes de la mos a a di e ència de les al es.
Pel que a al con ingu p o essional-ac i udinal o es es busquen un
posicionamen en el discu s pedagògic i mos en implicació e lexi a p o essional
pe ò a ni ells di e en s. Cal eni en comp e que l'ac i i a po a a conside a els
elemen s in e p e a ius es a ègics i els p o essionals-ac i udinals, pe an no es
es any que els mani es in, això si a ni ells mol di e en s.
Si uació 9
El posicionamen pedagògic i la in eg ació de coneixemen didàc ic de l’
anàlisi d’una seqüència didàc ica aliena mos a endències ben di e en s pel que
a a les se es c eences sob e l'ensenya i l'ap end e aplicades a alo a i c i ica
una seqüència d'ap enen a ge. Dues de les pe sones enen més indicado s
ecolli s en els ipus e lexiu, una en e alguns en el in e oga iu i l'al a en e en el
com o mis a. La e ce a pe sona e un pe il més cla com o mis a enca a que
amb ocs e lexius. Respec e del coneixemen in e p e a iu es a ègic les es
pe sones inco po en més indicado s de l'aspec e ins uc iu, especialmen en el
cu icula . En l'aspec e de l'ap enen a ge en meno mesu a, només obem
364 Capí ol 5
iden i icacions del disseny de l'ap enen a ge. Pel que a als p ocessos in e ac ius
no hi ha e e ències. Una de les pe sones mos a un g au de coneixemen més
equilib a en els di e en s aspec es que les al es dues pe sones. El g au
d'implicació p o essional mos a , essen mol baix en les es pe sones, es di e s.
Dues d'elles mos en un ce g au d'assumpció de l'ac i i a p o essional pe ò que
no a iba a ac i uds gai e c í iques i la e ce a pe sona no e lexa cap mena
d'implicació p o essional-pe sonal on a l'ap enen a ge.
Si uació 10
El disseny d’una ac i i a d’ap enen a ge mos a només una pe sona
a iban a e un mapa concep ual que inclou el coneixemen disponible p e i i el
que es ol eballa a la si uació p oposada. Les al es pe sones no a iben a e
p ou connexions en e els coneixemen s. o es a iben a selecciona un signi ica ,
menys una que el que a és una si uació d’aplicació on s’exempli iquen di e en s
signi ica s (sob e el concep e de suma ) i con ex os. Dues usen p opie a s de
cai e ep esen a iu pe acla i la signi icació del concep e que p e enen eballa .
Dues de les es pe sones p oposen ac i i a s més a iades espec e a les
que s’ha ien obse a a les ac i i a s del p ime mac ocicle. Una d’elles enca a
man é ac i i a s simplis es, lligades als elemen s simbòlics- o mals dels concep es
i no a les elacions i connexions que espe a iem de la o mació. Obse em
di icul a s en el p océs de selecció de signi ica s p io i a is, i el co esponen e ec e
sob e la cons ucció de seqüències didàc iques ap opiades. Hi ha més que una
simple ècnica de com s’o gani za una seqüència de con ingu ...
Pel que a a la ges ió, una plan eja acons, una al a ecull un
encadenamen lògic, i només una no es ableix cap connexió en e les asques que
desc iu. To es p oposen l’ús de ma e ials no simbòlics pe al econeixemen dels

Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 365
p ocessos-ac i i a ma emà ica. Només una é en comp e de mane a explíci a la
di e si a possible de l’alumna . Dues plani iquen de mane a ben cla a i
iden i iquen elemen s de egulació de l’ap enen a ge. To es es explici en
objec ius i con ingu s, pe ò no jus i iquen les decisins ni an e e ència al
cu iculum o icial. Iden i iquen elemen s de ges ió com ma c de e e ència de
l’en o n, explici en el que conside en que saben els alumnes, explici en el pape
de les asques que desen olupen...To es mani es en el p og és que olen log a
en els alumnes, posicionan -se dues d’elles com a u u es docen s.
Compa a i amen , espec e el posicionamen mani es a an e io men , el
compo amen és ben di e encia s. Dues d’elles no conc e en, i la e ce a mos a
cohe ència en e posicionamen i p opos a didàc ica in encional.
Si uació 11
Els in en s de classi icació de signi ica s no són cohe en s segons els
c i e is es able s pe les p òpies alumnes en alguns casos. Només en un cas hi
ha una inco po ació de signi ica . En o s els casos hi ha inco po ació de
ep esen acions g à iques que en p ou eines exis ien en el es inicial i que, en
dos dels casos són més cla es que els c i e is exp essa s e balmen . Les
elacions que s’es ableixen en e elemen s ma emà ics són més simples del que
es podia suposa . En suma, enen di icul a en es abli elacions concep uals a
l’ho a de p oposa accions hipo è iques d’aula.
Malg a ha e in odui elemen s eò ics amb ipologies de espos es
possibles de l’alumna ui de la ece ca en Educació Ma emà ica, no han es a
inco po ades més que en un dels casos. La causa po se l’a elamen en unció
de elacions de con ingu que ja es enen a p io i o bé el e de no ha e ingu
p ou emps pe iden i ica i aplica els c i e is eballa s, ja que ca ac e i zen
366 Capí ol 5
p oblemes simplemen a pa i d’accions desc ip i es. La inconsis ència de les
a i macions e es, a que suposem que ac ua à com una ba e a pe a una millo a
epis emològica a les aules en aques pun de esolució de p oblemes, i ac ua à
possiblemen en a o d’una plani icació deses uc u ada.
Pel que a als p ocessos de esolució de si uacions p oblemà iques
escola s, sembla que la pe sona amb més capaci a ma emà ica p è ia és més
capaç d’assumi c i e is més de ini s. Sembla, pe an , que hi ha alguns aspec es
del coneixemen es a ègic que es euen mol més ecolza s amb un coneixemen
p opi més po en de l’ac i i a ma emà ica. So in desconnec en el coneixemen
po se ambé pe què mol s dels ma e ials cu icula s no insis eixen p ou en
aques es connexions. Els llib es de ex no s’es uc u en el coneixemen elabo an
o gani zado s i esquemes, només p oposen de inicions.
En si uacions de disseny d’ac i i a s, la insegu e a , de ben segu , les a
a ela -se a dissenys an e io s ja eballa s. Això explica la dependència dels
mes es a les p opos es dels llib es de ex . Tanma eix l’ac i i a de o mació no
els hi ha dona compe ència su icien pe a se alumnes c ea i es, com ampoc
conside a els esul a s de ece ques educa i es.
Els eballs eali za s amb can is ep esen acionals i es uc u es de
signi ica , no semblen ha e es a su icien s pe a p odui can is i in e p e a les
co esponen s p eses de decisions educa i es de ipus es a ègic. Pod iem di
que les compe ències cu icula s han queda en un ni ell baix pel que a a no eni
p ou capaci a c i ica pe a e desen olupamen s jus i ica s.
Segona anàlisi del p océs de o mació. Mac ocicle 2 367
A mode de conclusió.
Tenin en comp e les ac i i a s planejades de o mació, a la igu a s’obse a
l’èm asi dona als aspec es de con ingu i la impo ància de les decisions pe a la
ges ió es a ègica a l’aula dels u u s ensenyan s.
Figu a 5.7.1. Relacions de con ingu i ac i i a s ac ades en el Mac ocicle 2
Així, no és d’ex anya que en l’anàlisi del mac ocicle 2, obem més
e idències del coneixemen es a ègic assoli , les mancances en les
compe ències co esponen s, i no an dels aspec es ma emà ics.
368 Capí ol 5
Pel que a a la millo a en el componen ma emà ic del desen olupamen
p o essional de les es alumnes, la g à ica següen (Fig. 5.7.2.) mos a la o ali a
de les assignacions donades a les di e ses ac i i a s. I es cons a a les di e ències
en e les es alumnes, així com les di icul a s especi iques en les ac i i a s “ ipus
p o a”.
Figu a 5.7.2. E olució de la componen ma emà ica de les es noies.
Pel que a a la componen in e p e a i a-es a ègica, la g à ica
(Fig.5.7.3.) mos a l’e olució posi i a en gene al així com el di e en compo amen
de les ma eixes alumnes en cada una de les componen s.
Figu a 5.7.3. E olució de la componen in e p e a i a-es a ègi a de les noies.
Conclusions i p ospec i a. 375
6.1. Validesa del eball eali za
Amb aques a es udi, conside em que hem dona complimen al que es
demana en una ece ca com a c i e is de desc ipció, explicació, abas , p edicció,
especi ici a , alsabili a , mul iplici a d’e idències i eplicabili a (Schoen eld 2000).
En e ec e, als capí ols 2 i 3, es desc iu àmpliamen i es jus i iquen o s els
elemen s co esponen s de la ase de disseny de la ece ca pe desen olupamen
que es a en el nos e cas de o mació. Es donen les bases eò iques del ipus de
mes e que es ol, així com els con ingu s a conside a en la se a o mació. Es
conc e a la p opos a de o mació de inin els mac ocicles que o men el cu s, es
ca ac e i za el eball , l’a aluació i egulació del p océs de o mació, s’exempli ica un
segmen del p og ama, i s’exempli iquen ajec ò ies hipo è iques d’ap enen a ge.
El pode explica iu del eball eali za es posa de mani es en l’anàlisi
acu ada dels capí ols 5 i 6, des de di e sos pun s de is a pe econèixe el
desen olupamen p o essional a pa i de les ac i i a s desen olupades. Les
ajec ò ies hipo è iques de o mació inicial (TRHIFI) es conside en bons ins umen s
es a ègics pe a mos a di desen olupamen dins el p océs de o mació.
El ecull de dades ens sembla adien , essen su icien les ac i i a s esc i es
dels alumnes pe a e una anàlisi en p o undi a . No hem u ili za ideog a acions de
les aules pe a espond e als objec ius que ens ha íem plan eja , onamen almen
pe què no ens p oposà em anali za les in e accions. El eball en equip de ece ca i
discussió sob e les anàlisi eali zades, ha se i d’elemen de iangulació, així com
els dia is d’aula. Això ens pe me a i ma que les obse acions han es a igo oses.
Els ins umen s analí ics especí ics (explica s al capí ol 3 i u ili za s als capí ols 4 i 5)
han pe mès ob eni in e p e acions, adien s, el que mos a la in enció i abas d’un
eball consis en .

376 Capí ol 6
L’abas del eball eali za sabem que és limi a . De e , els esul a s de les
ece ques en educació, no es poden demos a de la ma eixa mane a que es a en
ma emà iques. “Reconeixem, abans de es que les pe spec i es de la p àc ica són
cons uccions eò iques que es desp enen de les dades empí iques, pe ò no són
monolí iques” (Simon 2000). En aques eball, hi ha mol s ac o s que només poden
ep odui -se en con ex os semblan s. La eplicabili a de la ece ca eali zada é
sen i en quan els esul a s ob ingu s, conside em que se an simila s, “en condicions
semblan s a les del nos e eball”. Pe això, ha es a cabdal, mos a les condicions,
c eences de la in es igado a, i ma c del eball. “Les explicacions uncionen com a
mecanismes, ens diuen en e mes aonables el que són els objec es eò ics, com
són, com es elacionen i pe què algunes an bé i al es no uncionen” (Schoen eld
2000).
El pode p edic iu de la nos a ece ca és e iden com a aplicació de la
me odologia emp ada. Ens assegu em ha e eballa amb igo pe què hem
explici a els objec es i cons uc es eò ics emp a s i les elacions en e ells. La
p àc ica és desen olupada i anali zada amb aques s pa àme es de o ma cohe en i
sal an la alsabili a i mul iplici a d’e idències. Amb això hi ha la in enció de que la
ece ca pugui se ep oduïda. Pe al de e una ece ca en p o undi a s’ha op a pe
anali za alguns casos pa icula s sense pe d e de is a el g up-classe, del qual en
son o ça ep esen a i es les pe sones escollides.
En el cas d’un expe imen d’ensenyamen a classe, el ece cado
desen olupa seqüències d’ac i i a s ins uccionals que donen cos a les conjec u es
al ol an de l’ap enen a ge dels es udian s. En aques sen i el dissenyado an icipa
una isió de cóm les ac i i a s pod ien se du es a e me amb in e acció de la
classe i el que els es udian s pod ien ap end e al pa icipa -hi, la gene abili a de la
o ma d’in e p e a i ac ua , o p ese an les ca ac e ís iques especí iques dels
casos indi iduals. Així, quan es iangulen les on s e idencials de ecollida de dades
pe mi jà d’ins umen s di e en s, s’ajus en aonablemen les in e ències i
Conclusions i p ospec i a. 377
a i macions, amb a ie a de p opòsi s di e en s (Cobb 2000, pàg.328) pe al
d’assegu a -ne la eplicabili a , i es conside en els models com a ap oximacions.
El eball eali za es dis ingeix d’al es es udis sob e o mació docen , cen a s
en la pe spec i a an opològica, pel e que no s’ha anali za els p ocessos
d’ins i ucionali zació i ansposició didàc ica del con ingu ma emà ic, com ampoc es
ac a d’anali za el que succeeix en el p océs de o mació segons àmbi s conc e s
de coneixemen ma emà ic. S’emma ca més a ia en la línia cogni i a, pe què es ol
e lexiona sob e l’impac e dels p ocessos de o mació en el desen olupamen
p o essional de les pe sones. No es a una anàlisi de ipus legi imado de la
p àc ica, en el sen i que no s’in e p e a les jus i icacions i a gumen acions dels
es udian s pel e que aconsegueixen al o qual elemen de con ingu .
En el nos e es udi, hem apo a no e a en quan l’ús d’una me odologia o ça
discu ida com és la Rece ca pe desen olupamen . L’al e elemen de no e a és
l’anàlisi de les dades, basada sob e el discu s, el g au de complexi a de les asques
eali zades, i l’adquisició concep ual i es ablimen de elacions en con ingu s bàsics
an ma emà ics com d’o d e es a ègic-didàc ic. A pa i d’aques a anàlisi especi ica,
econeixem elemen s claus del desen olupamen p o essional en es casos.
A di e ència d’al es es udis, cen a s en el pa adigma del pensamen del
p o esso , el nos e eball u ili za la RD amb l’objec iu de econèixe alguns e s del
desen olupamen p o essional del u u mes e des de la p àc ica de o mació inicial.
La jus i icació de les conclusions que es mos a an a con inuació , és una
combinació de oballes empí iques i conside acions eò iques. Pe a ança en un
model eò ic de o mació inicial, cal compa i el coneixemen en e g ups de
ece cado s (Hiebe e al 2003), doncs cada g up oba di e ses ap oximacions de
la eo ia local que es em cons uin .
378 Capí ol 6
6.2. Conclusions sob e la RD i el p océs de o mació.
La me odologia emp ada, ens ha ajuda a ana esponen a les p egun es que
ens o mulà em: econèixe l’o gani zació, compe ències i con ingu s que es
conside en ap opia s pe a la o mació inicial d’ensenyan s de P imà ia en
Ma emà iques de mane a que es p odueixi desen olupamen p o essional en un
ma c de e e ència com el de l’es a espanyol (objec iu (a) pag 18).
En aques sen i la p òpia RD ens ha pe mès conside a simul àniamen
l’o gani zació de la o mació mi jançan dos sis emes d’o gani zado s: (a) el conjun
de les TRHIFI (o gani zades en mac ocicles i mic ocicles, de les quals en el nos e
es udi només s’ ha anali za es ajec ò ies), i (b) el conjun de emes ma emà ics,
es uc u a s en uni a s de ca àc e ma emà ic i didàc ic ans e sals (que s’han
conside a p io i a is pe a una o mació d’un docen educado ma emà ic).
El disseny de les ajec ò ies hipo è iques de o mació (TRHIFI) no només
ep esen a un elemen me odològic de ece ca, ans ambé una mane a d’o gani za
el cu ículum de o mació. En pa icula desc iu e la signi icació, ep esen acions i
complexi a dels concep es ma emà ics pe me econèixe el ocus de les in encions
de o mació, se eix com a e e en pe a obse a p og essos eals que s’anali za à
dels alumnes (con i man el que ja deia G a emeije 2001).
Pel que a l’o gani zació dels mac ocicles, els eixos de desen olupamen ia s
(capí ol 3, 3.4.), pe me en cen a l’es o ç del eball sob e signi icació,
ep esen acions i connexions d’una mane a o ça cohe en . Això ha implica enca
els emes clàssics de ca àc e ma emà ic (geome ia, es adís ica, nomb es,
mesu a...) i e una p opos a més ans e sal dins les ma emà iques i el seu
ensenyamen com és pa la d’igual i di e en , dependència, sen i numè ic, e c.
Conclusions i p ospec i a. 379
És impo an ha e in e p e a les compe ències com una i a pe a la o mació
inicial i el desen olupamen p o essional, que només es po con as a i s’e idencia
en la p àc ica d’aula com a docen que pugui p end e decisions (DeSeCo, 2002).
Això ens pe me econèixe els coneixemen s c í ics( componen s indispensables)
que con igu en di es compe ències en els u u s mes es i , a la egada ens pe me
de e mina di icul a s pe assoli -les en un g au ele a en la o mació inicial.
Indica el con ex en el que es desen olupa la ece ca no només és una
exigència me odològica, ambé ens mos a les condicions en les que es dona la
o mació al nos e país. La sis ema i zació que s’ha eali za ha p esen a unes
condicions semblan s a les d’al es ece ques eali zades a l’es a espanyol a la
o mació inicial d’ensenyan s de P imà ia.
Sob e el p océs de o mació.
Al lla g de la nos a ece ca, ens hem p oposa Iden i ica ca ac e ís iques d’un
p océs d’ap enen a ge i ins ucció p o essional que es conside a ap opia a pa i
d’obse a una expe iència de o mació ma emà ica de mes es de P imà ia (objec iu
(b), pàg. 18), i ho hem e en el ma c de la ece ca pe desen olupamen . Així, no
només hem aplica una me odologia de eball, ans hem ede ini elemen s d’una
eo ia pe a l’anàlisi empí ica de p ocessos de o mació.
Hem de ini ajec ò ies hipo è iques de o mació inicial, a pa i d’un pe il de
mes e de p imà ia que olem o ma , com aquell que é disposició al can i,
mo i ació, capaci a , implicació, e lexió i p o essionali a , (seguin a Shulman &
Shulman 2004) i hem ca ac e i za el que això signi ica en les nos es condicions i
con ex . Hem ca ac e i za el desen olupamen p o essional especiali za com a
p océs d’ap enen a ge cons an au ocon ola i comp omès en una socie a can ian ,
que s’anali za com una cons ucció pe sonal si uada.
380 Capí ol 6
Hem conc e a els p incipis pe una o mació com a mes e gene alis a
educado ma emà ic, e ocan un pe il que conside a al mes e com a
sociocul u i zado , acili ado de l’ap enen a ge, in es igado , cons uc i is a, i
in eg ado que si ua el coneixemen especí ic. S’ ha ca ac e i za les componen s del
desen olupamen p o essional com a: millo a epis emològica en ma emà iques,
componen es a ègica-in e p e a i a-didàc ica i ac i udinal. S’es ableixen les bases,
c eences i in encions d’un model de o mació, in e p e an les ma emà iques com un
p océs d’incul u ació, en una comuni a de p àc ica, disposa a millo a la se a
o mació, que ha de eni com a ocus cen al l’ ap end e a ensenya ma emà iques.
A pa i d’aques s p incipis, s’han mos a les compe ències p o essionals
especi iques que es conside a que ha de eni com a educado ma emà ic: eni
compe ència ma emà ica i didàc ica. Es jus i ica una p opos a de model o gani za iu
( ase 1 de disseny en la RD) i es p esen a un disseny de les ajec ò ies hipo è iques
d’ap enen a ge (T hi i) que inco po en elemen s de o mació compa ibles amb les
ece ques de Simon (2000) sob e els cicles de o mació.
Les ajec ò ies hipo è iques de o mació ens pe me en no només desc iu e
in e p e a i amen el que succeeix, ans iden i ica p ocessos d’ensenyamen -
ap enen a ge iscu s pe l’alumna a pa i de les se es p oduccions. In odui a més
les anàlisi de ni ells i ipus d’ac i i a pe me iden i ica en quin g au es donen
de e mina s coneixemen s i les di icul a s pe consolida la alo ació del con ingu
ma emà ic.
Sob e les ap eciacions inicials dels u u s mes es.
D’al a banda, p e eníem mos a i in en a ca ac e i za ap eciacions dels
alumnes de magis e i sob e les ma emà iques i sob e la se a didàc ica en di a
expe iència de o mació con ex uali zada (Objec iu (c) , pàg. 18). Així, sob e la
si uació inicial i con ex de o mació (SIF), hem obse a pel que a a les condicions
inicials dels alumnes de la mos a de l’es udi eali za , espec e al eball ma emà ic i
ges ió del coneixemen cons a em una si uació ala man . Fe que ha es a econegu

Conclusions i p ospec i a. 381
en al es es udis, i a ibuï a un pla d’es udis de o mació inadequa (Ca men Mo án
en El Pais, 22 de juliol de 2002, ci an a Ma ín Socas). En conc e els indicis
nega ius de les ap eciacions decla ades en el nos e es udi són :
SIF1) Els u u s ensenyan s no enen un coneixemen comple de les
ma emà iques de P imà ia, desconeixen signi ica s i ep esen acions de
con ingu s elemen als com la línia numè ica. Donen aons de coneixemen
ma emà ic de ipus analògic, no cen ades en la comp ensió (no saben
indica a gumen s pe al pas de 49 a 50), Es desconeix la signi icació dels
algo ismes elemen als de càlcul a i mè ic (com el cas de la sub acció).
SIF2) El pape que a o guen a la ma emà ica a l’escola és de ma è ia
di ícil, que no es à a l’abas de o hom. Gai ebé un 50% no se sen p ou
segu pe ensenya -les. Cu iosamen només un 30% c eu que la di icul a
p o é del docen . Pel que a al alo que a o guen a les ma emà iques,
enen espos es con adic ò ies. Si bé un 90% diuen que ma emà iques no
és només aplica egles, no an al a cosa que aplica egles en mol es de
les se es espos es al lla g del cu s de o mació.
SIF3) Pel que a al seu posicionamen p o essional inicial, c euen que el
que més a a o eix l’ap enen a ge ma emà ic és po encia
l’au ocon iança dels alumnes, i assegu a que comp enen els
concep es, deixan de banda al es componen s ma emà iques i
es a ègiques. En e els pocs elemen s didàc ics que decla en, alo en
l’ús dels elemen s no simbòlics com ma e ial i jocs.
382 Capí ol 6
Sob e la alo ació del desen olupamen p o essional
Ens p oposà em ambé iden i ica eines que ens se eixen pe a alo a el
desen olupamen p o essional, i quins c i e is les jus i iquen (Objec iu (c) , pàg. 18).
. Així, a la ece ca iden i iquem eines concep uals i me odològiques que ens
se eixen pe a alo a el desen olupamen p o essional i els c i e is que les
jus i iquen.
En e elles ha es a impo an la classi icació dels u u s ensenyan s, segons
les elacions que es ableixen amb el coneixemen ma emà ic, i la in encionali a
sob e la p àc ica social del seu ensenyamen .
Ha es a ambé impo an l’anàlisi del discu s dels es udian s, que ens dona
in o mació sob e l’ús del coneixemen ma emà ic, sob e la o ma de si ua aspec es
del coneixemen i la comp ensió dels p ocessos d’ap enen a ge, ins ucció i
in e acció. Així ma eix sob e el posicionamen sob e l’ap enen a ge. I, en pa icula ,
l’anàlisi del ipus i g au de la complexi a de l’ac i i a ma emà ica, ja que ens pe me
econèixe com cada es udian inco po a di e ses o mes de eballa el coneixemen
ma emà ic.
Finalmen , l’anàlisi de l’adquisició i alo ació dels p ocessos cogni ius que
apa eixen en les cons uccions concep uals, pe mi jà de l’ús de a ibucions,
signi ica s, exemples i con aexemples, connexions, je a quies i ep esen acions en
si uacions a i mè iques. L’ús de mapes concep uals elabo a s sob e les p oduccions,
ambé ha es a impo an pe econèixe les connexions i classi ica el ipus de
elacions concep uals que es ablien.
Ha es a impo an comp o a quins ipus de asques han es a “ de ec o es” de
desen olupamen p o essional. P incipalmen han es a les ac i i a s de ca àc e
didàc ic. En elles, l’ alumna ha de posa en joc la se a capaci a c í ica en l’ elecció
dels elemen s ma emà ics lliga s a l’ ap enen a ge i a la ins ucció i el alo que
concedeix al con ingu ma emà ic.
Conclusions i p ospec i a. 383
Els ipus d’ ac i i a s que han esul a més iques en el sen i de p opo ciona
“bona “ in o mació sob e el desen olupamen p o essional en els aspec es ela ius a
la componen ma emà ica i a l’ es a ègica -didàc ica han es a .
- Disseny d’ ac i i a s d’ a aluació ( eu e 4.6., pàg. 222) , amb
condicions especí iques com a a la conc eció d’ objec ius a a alua , les
solucions possibles a les ac i i a s, alo ació de les solucions i
p io i zació dels elemen s essencials en cas d’ e o s.
- Cons ucció de seqüències d’ ap enen a ge ( eu e 5.2. pàg. 269),
cu es i amb condicions ben de inides, on calgui es abli el ang de la
demanda cogni i a, ha en de selecciona signi ica s i les
ep esen acions co esponen s i la se a je a qui zació .
- Documen s de posicionamen que impliquin con on ació ( eu e 5.3,
pàg. 280), amb qües iona i guia i conc eció de la demanda.
- Disseny de asques ma emà icamen signi ica i es ( eu e 5.5., pàg.
321), en p opos es didàc iques in eg ado es de con ingu p o essional.
C eiem a pa i de l’ es udi eali za , que pe e idencia el desen olupamen
p o essional i ob eni in o mació aluosa,cal posa al u u mes e en si uacions p ou
pau ades i amb demandes especí iques. És especialmen aconsellable demana la
jus i icació de les decisions p eses.
384 Capí ol 6
6.3. Sob e els aspec es ma emà ics del desen olupamen
p o essional. Conclusions sob e l’anàlisi e ospec i a .
Ens p oposà em Iden i ica aspec es que mos en el c eixemen i can i del
coneixemen p o essional d’un g up de es es udian s. I especí icamen pel que a
l’es ablimen de connexions, econeixemen de signi ica s a i mè ics i llu s
ep esen acions ( objec iu 1.4., pàg18). In e p e em el c eixemen i can i com a
coneixemen en acció, demos a en les p oduccions ex uals dels es udian s en
quan la p esen ació d’idees e lexa la se a ep esen ació so a analogies,
il·lus acions, exemples, explicacions i demos acions (Shulman, 1986, p. 9). No
només hem conside a els p oblemes ma emà ics, sinó ambé les ac i i a s
p o essionals.
A les nos es p opos es p o essionals s’ha aconsegui in e p e a el con ingu
ma emà ic com a objec e d’ensenyamen -ap enen a ge bàsicamen en les ac i i a s
de disseny, selecció i anàlisi de asques ma emà icamen signi ica i es (pe exemple
quan els u u s mes es saben es abli angs de demanda cogni i a di e en s en
ac i i a s d’ensenyamen ),
En la RD, la in o mació ob inguda a pa i de la e isió i anàlisi e ospec iu de
les ac i i a s ins uccionals an e io men ci ades ens se eix pe a explica , a alua ,
ajus a i expandi una eo ia de la o mació inicial. Les T hi i que s’han anali za en
l’es udi de alla amb es alumnes, ens pe me una econs ucció de la ajec ò ia
d’ap enen a ge, que depèn de la signi icació pe sonal que les pe sones a o guen al
eball eali za .
L’anàlisi del discu s ha pe mès iden i ica d’en i a s i des e lla di e encies (en el
cas de nomb e pa ell, doble i mei a i múl iples); signi icacions lligades a concep es
numè ics i ope acions (sis ema de nume ació decimal, addició i sub acció);
es uc u es més globals ( alo de la igual a i l’ equi alència), així com el ni ell d’ús
de ep esen acions múl iples associades a con ingu s ma emà ics i el g au de
Conclusions i p ospec i a. 391
6.5. Sob e els aspec es ac i udinals del desen olupamen
p o essional. Conclusions sob e l’anàlisi e ospec i a.
Da an el p opòsi de mos a possibles can is (l’objec iu (d) de la ece ca ),
com a componen ac i udinal del desen olupamen p o essional (DPA) s’ha eali za
una p opos a de o mació. De o s els aspec es possibles de la componen , només
s’ha anali za les ap eciacions / concepcions i l' assumpció c í ica e lexi a de l'
ac i i a p o essional com a in encional. De l’es udi eali za amb o un g up classe al
que s’ha aplica aques a p opos a, i l’anàlisi de allada amb es alumnes sob e
l’assumpció de l’ac i i a p o essional comp omís i iden i a p o essional podem
conclou e que:
DPA1) Pel que a a la elació de les concepcions de les ma emà iques,
l’ensenyamen de les ma eixes i el coneixemen de l’ap enen a ge dels
alumnes, mos en ap eciacions majo i à ies de ipus connexionis a (com
ja esmen a a l’es udi de Rowland i al. 2000). Dues de les es u u es
mes es c euen que o s els in an s ap enen ma emà iques si es dona un
ensenyamen adien , ca ac e i za pe explici a les connexions en e els
di e sos aspec es de les ma emà iques. El que hem obse a com a
di e en d' aquell es udi es que l’e olució d’aques a ap eciació és mol
pe i a .
DPA2) No em una majo lexibili a cap al econeixemen d’un majo
nomb e de signi ica s de nocions a i mè iques (igual-di e en , doble i
mei a , e c). La implicació és desigual, no hi ha hagu emps su icien pe
desmun a una idea clàssica sob e les de inicions i les isions
p o o ípiques de les ma eixes.

392 Capí ol 6
DPA3) No sembla, que s’aconsegueixi es imula la e lexió cohe en
sob e les connexions en e concep es, el conjun de si uacions que
donen sen i als concep es ma emà ics, el conjun d’in a ian s
ope acionals (en el sen i de Ve gnaud) pe a do a de signi ica di es
si uacions, el conjun de ep esen acions i les in encions educa i es
mos ades.
DA4) Tanma eix cons a em ( o i que a pa i de la qua a ac i i a ) que
el disseny d’algunes ac i i a s o cen na u almen a l’es ablimen de
connexions i ús de con ex os explíci amen , sob e o en la o mulació de
p o es. Així, a l’ac i i a 5, cap al inal del p ime semes e poden eu e’s
més cla amen el g au i ipus di e en de connexió mos a pe les
alumnes obse ades. Pel que a a la inco po ació concep ual a les
p opos es hipo è iques sob e la p àc ica, econeixem un p océs de
eelabo ació inacaba , no comple com old íem.
Ensenya ,conside a com a p océs que inclou es ases p e-ac i a
(plani icació), in e ac i a (acció) i pos -ac i a ( e isió), implica la o mació en les es
ases. Se à que els u u s docen s poden mos a -nos aques es concepcions i
assumi compe ències en una si uació només plani icada i no eali zada?. Sembla
que aques a és una componen de con ingència (Rowland e al, 2003) en la que es
demana que el u u mes e ha de econèixe el que s' espe a que passi en els
esde enimen s de classe que son impossibles de plani ica . Com s' ap èn això?.
Sembla que no n' hi ha p ou amb simulacions i que cal in odui expe iències de
p àc ica d' aula, on es pugui con as a aques elemen de desen olupamen
p o essional.
Pel que a al desen olupamen p o essional, les compe ències com a
educado ma emà ic ( eu e pàgs.79-80), no s' assoleixen en un ni ell su icien en
l’es udi expe imen al eali za .
Conclusions i p ospec i a. 393
Pel que a al pensa ma emà icamen , ja hem indica l' abas i limi acions del
coneixemen concep ual i p ocedimen al dels u u s mes es. Les gene ali zacions es
edueixen , en el cas òp im, a la comp o ació a gumen ada mi jançan uns quan s
exemples. Pel que a a o mula p oblemes, s' ob enen p opos es mol simples
semblan s a les dels in an s. Els cos a es abli elacions en e els concep es
implica s en el p oblema. Malg a ha e eballa sob e les possibles es a ègies de
esolució de p oblemes,apliquen les ècniques conegudes a p io i , no usen
ep esen acions g à iques i enen g eus di icul a s en esold e de més d' una
mane a.
Els u u s mes es no són capaços d' anali za i cons ui models ma emà ics,
com ampoc segueixen aonamen s ma emà ics aliens, no econeixen el alo
ma emà ic dels con aexemples. Es queden , no malmen , en aonamen s in o mals .
Pel que a a maneig de di e ses ep esen acions , llengua ge simbòlic,
comunicació i eines ma emà iques ens eme em al que s' explica especí icamen en
l' apa a 6.3. Un cas especialmen elle an és el de la ep esen ació de p oblemes
amb accions.
Pel que a les compe ències didàc iques, es euen desa a o ides les
compe ències en a aluació i no s' han dona compe ències col·labo a i es , ni
d’implicació pe que no hi ha hagu ac i i a p àc ica p o essional.
Pel que a a les compe ències cu icula s, d' ensenya i d' ap enen a ge
( eu e 6.4.), malg a la p opos a d' ac i i a s en aques a línia , els esul a s
aconsegui s són in e io s al que se ia desi jable pe un p o essional.
Ha queda cla que l' assignació empo al en el pla d' es udis és insu icien pe
aconsegui el desen olupamen de les necessà ies compe ències p o essionals. No
s' ha pogu eu e p opos es cu icula s di e en s, alo a i jus i ica ac i i a s
d’ap enen a ge en o s els emes ma emà ics, anali za ac i uds i c eences espec e
394 Capí ol 6
de les ma emà iques (dels seus u u s alumnes), anali za el desen olupamen
indi idual dels in an s .No n' hi ha p ou en o e i e un “menú de degus ació” pe
assoli les compe ències didàc iques.
Ens obem en una si uació en la que, pe una banda, necessi em dona als
es udian s p ou opo uni a s de pensa lliu e i c ea i amen . Això ho em pe que
sabem que és bene iciós pels es udian s “in en a ” les se es solucions. Las asques
que enen elemen s més conc e s o lúdics poden implica als es udian s en el seu
p opi ap enen a ge, els es udian s eballen al seu ni ell. Pe al a banda, els
es udian s necessi en se guia s amb o a cu a, el seu aonamen necessi a se
o mali za i les se es nocions han d’esde eni més abs ac es i gene als. Hau ien
d’es uc u a i e c éixe el seu ni ell ( eme gència de models ma emà ics,
abs acció, gene ali zació, i o mali zació). Pe ò la majo pa de la guia p o é del
o mado , alesho es quan a més au onomia ulguem dels alumnes, més hau em
d’in e i en plani icació.
Seguin un plan ejamen dico òmic, di e sos au o s ja ha ien pa la de dues
g ans concepcions del p o esso de ma emà iques : l’absolu is a, c ean en o ns
cen a s en el docen i la cons uc i is a, en la que es pe me que els es udian s
explo in (Gola shani 2004). Aques a isió no s’allunya del que ha ia plan eja Le man
(2002) pa lan d’un docen e o mis a o adicional, o bé la isió de Wilson i Cooney
(2002) iden i ican una isió ela i is a basada en alo a la comp ensió de
l’es udian i la no ela i is a. A a bé, el eball de o mació inicial no ens pe me e
una assignació basada sob e la p àc ica, pe ò po se si que ens ha pe mès
ca ac e i za endències cap a una o al a de di es concepcions. En base a això, al
nos e eball, hem pogu obse a un con inu que es mani es a de o mes di e en s
en si uacions di e en s :
Conclusions i p ospec i a. 395
DPA5) Pel que a a un ni ell in encional sob e la p àc ica, apa eixen
es ipus d’es udian de mes e, sense ocupa posicions ex emes.
Con o mis es amb alguns indicado s de posició més e lexi a, e lexius i
in e oga ius amb elemen s del ipus c í ic- in e p e a iu. Es econeix la
isió implica i a i c í ica d’una de les alumnes de la mos a a di e ència
de les al es. Sembla que o es busquen un posicionamen en el discu s
pedagògic i mos en ce g au d’implicació e lexi a p o essional pe ò a
ni ells di e en s.
DPA6) Els es udian s i les se es p àc iques (pel que a a la isió de les
ma emà iques com a p àc ica social) so in es man enen au ònoms (en
el sen i de deslliga s de cap conside ació social de l’ap enen a ge) an
pel que a a les ma emà iques com en les p àc iques pedagògiques. Al
nos e eball, pe exemple, només una pe sona ha sabu in eg a
con ingu s es a ègics de lec u es p oposades. També, da an d’una
seqüència d’ap enen a ge que ha ien de alo a , es mos a en mol
con o mis es amb la p opos a, no posan -la en qües ió des del pun de
is a de la cons ucció ma emà ica. A la p opos a pos e io d’una uni a
didàc ica, només una (la ma eixa pe sona que abans) eia e iden que
pensa a conside a aques s aspec es. Pel que a al g au d’implicació
apa eixen es posicions di e enciades, des de l’assumpció dels pape
com a mes e ins a conside a el col·lec iu com a ex e n, sen in –se
enca a més alumne que mes e. Hi ha poca cohe ència en e
posicionamen decla a a ni ell in encional sob e l’educació ma emà ica i
les p opos es didàc iques conc e es que elabo en. No sembla es a
elaciona amb el e de sabe més ma emà iques.
396 Capí ol 6
DPA7) Sob e o en les ac i i a s del segon mac ocicle, els es udian s
“ e lexius” con inuen pensan que l’ap enen a ge depèn del docen .
Mol s cops in en en mo i a amb un e nís de coneixemen ma emà ic de
cada dia, ac i i a s amilia s i enòmens co en s. Pensen p o oca una
millo a , que esul a ia se només ma ginal, en l’accés dels nens a les
ma emà iques. Pe exemple, an ús de ma e ials didàc ics només de
o ma mo i ado a. Exp essen necessi a més o mació de ma emà iques
i pedagògica (mane es di e ses d’ensenya ). T obem en una de les
alumnes, indicis de posició in e oga i a.
Com ja es deia a la Ponència al Sena l’any 2000, pod íem cau e en l’e ada
de pensa que, amplian i de allan els con ingu s a impa i en un p og ama de
o mació inicial de p o esso s de Ma emà iques, ja hem esol el p oblema. Aques a
ece ca mos a de nou que cal dona espos es al ‘cóm’. A a bé, la o ma que po
adop a el p océs d’accés i gene ació d’aques coneixemen necessa i pe a
l‘ensenyamen , des de la pe spec i a de que pugui onamen a una de e minada
p àc ica, és mol més complex.
Al nos e eball hem obse a que di e en s u u s mes es enen pe cepcions,
posicionamen s i in e p e acions di e en s pel que a als aspec es p àc ics
p o essionals. Hem de se conscien s d' aques s e s pe què no podem pensa en la
o mació com una acció con olado a. En e ec e , els u u s mes es pe anyen a
o mes de pensa di e en s dels quals alguns s' ap opien de p incipis
cons uc i is es, e lexius i c í ics des d' una pe spec i a gene al. El p og ama de
o mació no uni ica, ja que es c een la se a o ma pa icula d' in e p e a el
coneixemen i el p opi alo de les ma emà iques, i el seu ensenyamen -
ap enen a ge.

Conclusions i p ospec i a. 397
D' una al a banda hi ha qui é un posicionamen p agmà ic i que ol in odui
p opos es inno ado es sense eni ealmen base pe a jus i ica -les
in e p e a i amen ni epis emològicamen . Les posicions no són dico òmiques, sinó
que les in e p e em com a un con inu, da an el que no hi ha un compo amen
anàleg en cada un dels emes o p opos es.
6.6. Implicacions pe al desen olupamen de p og ames de
o mació inicial.
Un disseny ins uccional inno ado pel que a a la se a es uc u a i
o gani zació com el que s’ha p esen a i expe imen a , p ecisa d’una ges ió àgil i
comp omesa pe pa dels o mado s que la duguin a e me. Necessi a d’una
sensibili a d’obse ació i d’una p edisposició cap a una isió global del que és la
ma emà ica. Pe aques mo iu, en un disseny com aques , especialmen si es
plan eja ambé com una ece ca pe desen olupamen ( en col·labo ació amb un
equip de o mado s i ece cado s), el pape del docen és onamen al.
El p océs de o mació ma emà ica necessà ia pe esde eni un mes e-
educado ma emà ic és len , i p ecisa de més quo a que l’ac ual en els plans
d’es udi de la o mació inicial. No es po pe me e el c eu e que, amb una mos a
del que cal e pe o ma ma emà icamen als nos es es udian s de mes e ja sigui
su icien . No és només que, ma emà icamen pa lan , la p epa ació dels nos es
es udian s de mes e sigui mol escassa. Enca a que, com a ciu adans o ma s os
co ec a, al a ia l’especi ica o mació ma emà ica pe sabe cóm ac ua de
acili ado de l’ap enen a ge dels seus u u s alumnes. Això ha queda cla en el len
p og és que s’ha e espec e a la concep uali zació i als con ex s elle an s pel que
a a la inco po ació en les p opos es sob e la p àc ica. En la p esen ece ca s’ha is
com els elemen s, necessa is pe a posa les ma emà iques a l’abas dels alumnes
de P imà ia, p esen a en di icul a s d’adquisició.
398 Capí ol 6
Més en conc e , cal assegu a que els es udian s de mes e adqui eixen les
nocions dels concep es més impo an s de l’ensenyamen elemen al, els seus
signi ica s i els exemples p o o ípics, ep esen acions múl iples i un g au de
complexi a su icien pe a e p opos es didàc iques. Tanma eix això no és su icien ,
cal que adqui eixin la consciència que això és impo an pe plani ica i ac ua a
l’aula de mane a adien .
Cal assegu a -se que coneixen con ex os elle an s elaciona s amb els
objec es ma emà ics a ac a i amb els in e essos i possibili a s dels seus alumnes.
Tanma eix això no és su icien , cal que adqui eixin la consciència que els con ex s i
els ma e ials manipula ius són pe alguna cosa més que pe mo i a i c ea un en o n
més lúdic pe e ma emà iques. Només el eball con inua implican con ex s eals i
ma e ials manipula ius pe me à la coneixença i la alo ació com a ins umen s
d’ap enen a ge ma emà ic. Pe aconsegui la alo ació c í ica dels ma eixos, cal que
els exemples anali za s siguin uns quan s, doncs no es po ia si se’n eu un de sol
pe cada ema.
Cal assegu a -se que euen les ma emà iques com un o i coneixen i alo en
les connexions. Tan les concep uals, com les ep esen acionals i les d’aplicació.
Es aconsellable p opo ciona la ocasió de du a e me asques que p o oquin
la p esa de decisions pel que a als aspec es an e io men ci a s. S’ha mos a una
eina ú il la p opos a de disseny d’ac i i a s d’a aluació, en el con ex de l’aula
uni e si à ia. També el disseny de seqüències d’ap enen a ge així com la alo ació
de seqüències alienes.
El o mado ha de po encia la e lexió i la comunicació. O e i exemples no
és su icien , ha de con e i -se en una cons an pe al d’assegu a -ne els e ec es
sob e la o mació. La comp ensió guanya amb la discussió, alho a a adona de les
i u s d’ambdues accions. El o mado po p omou e les discussions sob e asques,
Conclusions i p ospec i a. 399
esul a s, ús de ma e ials, e c, amb el e op ojec o o amb isuali zado s ( ídeo-
càme es ixes en aule in o mà ic).
Les ac i i a s de sín esi són imp escindibles en un en ocamen ans e sal
com el que s’ha p esen a . En cas con a i po pe d e’s la isió global i al es ipus de
connexions que no siguin an e iden s. Cal elaciona -les amb les ac i i a s de
disseny de p o es d’a aluació o de p opos es didàc iques, en cas con a i s’ha is
que no sembla ha e - se assimila les connexions.
Pe con empla l’an e io en un p og ama de o mació, el emps dedica a les
assigna u es de didàc ica de les ma emà iques ha d’augmen a sense cap
dub e. No és possible e -ho amb la quo a dels plans d’es udis ac uals. També es
eu con enien inclou e la p àc ica des de les assigna u es especí iques. No es
po plan eja un ensenyamen de quali a amb les p àc iques gene alis es que
s’es an duen a e me en l’ac uali a en la nos a (i d’al es uni e si a s), on un
alumne po acaba la ca e a sense ha e e mai una classe de ma emà iques a
alumnes de P imà ia. No és només la p àc ica el que es eu imp escindible, sinó la
e lexió sob e la p àc ica, que ha de se u o i zada pe un o mado ma emà ic.
6.7. P ospec i a.
L’aplicació que s’ha e de la ece ca pe desen olupamen (RD), pe
qües ions de emps i d’equip de eball, a ec en a l’abas de les oballes. Pe e ina
una eo ia local d’ins ucció que con ibueixi a una eo ia més gene al de o mació
inicial es necessi a ia un p océs de ases successi es més ampli i un equip més
g an de eball. Des del pun de is a de les TRHIFI, el plan ejamen global u ili za a
pe d e de is a l’anàlisi de les ajec ò ies més especi iques dels u u s mes es en el
desen olupamen d’alguns emes pa icula s. Això limi a l’abas de les conclusions
sob e l’ap enen a ge ma emà ic que se ia mo iu de no es expe imen acions, o
no es anàlisi especi iques sob e les dades ac uals.
400 Capí ol 6
De o ma més àmplia, la ece ca en o mació inicial pe a p o esso s de
P imà ia és un a qües ió que p ecisa d‘impuls que es adueixi en models i
p opos es especí iques. Això és especialmen impo an pel nos e en o n eu opeu.
Connec a s es e amen amb la emà ica desen olupada conside em com a
possibles aspec es de u u , el que es desp èn de les e lexions següen s:
En un con ex an complex, no s’ha e gai e èm asi en l’anàlisi epis emològica
i enomenològica dels con ingu s ma emà ics especí ics, ampoc en els p ocessos
in e ac ius d’ap enen a ge. Aques s elemen s es conside en impo an s pel que a a
la docència pe ò no ha es a possible con empla –los. E iden men l’elecció podia
ha e es a di e en i deixa el ema obe a al es es udis. Un al e aspec e
in e essan se ia exposa una anàlisi de allada de les bases i del p océs de disseny
de les accions d’ap enen a ge, pe les in o macions que haguessin pogu
p opo ciona .
Un al e elemen de u u es ece ques és e una anàlisi de allada dels mini –
ins umen s emp a s i pape de les TIC. Pe exemple l’anàlisi de la in luència de les
TIC sob e la cons ucció d’en i a s des del pun de is a de eu e els p og essos
ep esen a ius en comuni a s i uals (Mei a 1998). No només en el sen i de la
o mació ma emà ica dels es udian s de mes e, ambé en l’ús d’aques es eines com
un con ex especialmen in e essan . Cóm desen olupa la idea de decimal com
ap oximació o la se a ep esen ació sob e la ec a a pa i de les TIC és a ui
possible pels p og ama is exis en s. Les mini-eines pe me en a on a pe i s
segmen s de con ingu i així es po discu i i e lexiona sense espe a gai e emps.
Aques e a a o eix la me acognició.
Coincidim amb al es in es igado s en la necessi a de compa i un
coneixemen base pe al de cons ui uns p og ames de o mació de docen s més
e ec ius. Hau íem d' ap end e mol més dels al es , a les Facul a s de Fo mació del
P o esso a , sob e p og ames i demandes i compa i mol més a ni ell de la
ins ucció dels u u s mes es (Hiebe e al., 2003 ).

[Document text truncated for crawler view.]