C
ARATERIZAÇÃO EXPERIMENTAL DO
COMPORTAMENTO DINÂMICO DE
ESTRUTURAS
Aplicação na Pon e sob e o io Dou o da A41
F
RANCISCO
C
ARVALHO
N
ETO DE
Q
UEIRÓS
P
IMENTA
Disse ação subme ida pa a sa is ação pa cial dos equisi os do g au de
M
ESTRE EM
E
NGENHARIA
C
IVIL
—
E
SPECIALIZAÇÃO EM
E
STRUTURAS
O ien ado : P o esso Dou o Filipe Manuel Rod igues Lei e
Magalhães
Coo ien ado : P o esso Dou o Ál a o Albe o de Ma os Fe ei a da
Cunha
JUNHO DE
2014
M
ESTRADO
I
NTEGRADO EM
E
NGENHARIA
C
IVIL
2013/2014
D
EPARTAMENTO DE
E
NGENHARIA
C
IVIL
Tel. +351-22-508 1901
Fax +351-22-508 1446
[email p o ec ed].p
Edi ado po
F
ACULDADE DE
E
NGENHARIA DA
U
NIVERSIDADE DO
P
ORTO
Rua D . Robe o F ias
4200-465 PORTO
Po ugal
Tel. +351-22-508 1400
Fax +351-22-508 1440
eup@ e.up.p
h p://www. e.up.p
Rep oduções pa ciais des e documen o se ão au o izadas na condição que seja
mencionado o Au o e ei a e e ência a Mes ado In eg ado em Engenha ia Ci il -
2013/2014 - Depa amen o de Engenha ia Ci il, Faculdade de Engenha ia da
Uni e sidade do Po o, Po o, Po ugal, 2014.
As opiniões e in o mações incluídas nes e documen o ep esen am unicamen e o pon o
de is a do espe i o Au o , não podendo o Edi o acei a qualque esponsabilidade
legal ou ou a em elação a e os ou omissões que possam exis i .
Es e documen o oi p oduzido a pa i de e são ele ónica o necida pelo espe i o
Au o .
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
Aos meus pais e i mãos
“An expe is a pe son who has ound ou by his own pain ul expe ience all he
mis akes ha one can make in a e y na ow ield”
Niels Boh
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
i
A
GRADECIMENTOS
A odos aqueles que me acompanha am du an e es es cinco anos, aos p o esso es que o na am
es e abalho possí el, e aos amigos que pe mi i am que es e pe íodo osse mui o mais do que
isso. De uma o ma especial:
• Ao P o esso Filipe Magalhães, po oda a disponibilidade, conhecimen o, empo e
dedicação en egues a es e abalho e pela e isão cuidada do mesmo;
• Ao P o esso Ál a o Cunha, di e o do ViBes , pela disponibilização dos esul ados dos
ensaios de ib ação ambien al ealizados sob e a pon e sob e o Rio Dou o da A41;
• Ao João Ped o e à Dânia, que mesmo longe es ão semp e p esen es, po me e em
acompanhado du an e g ande pa e do meu pe cu so académico;
• À João e à Ca a ina, po oda a companhia, ajuda e, sob e udo, amizade undamen ais
pa a supo a os momen os de maio abalho du an e a especialização em Es u u as e
o na os es an es ão especiais;
• À Pa ícia e à Raquel, po oda a companhia e ajuda, sem os quais a esc i a des e abalho
e ia sido mui o mais mo osa, e po oda a amizade e boa-disposição, que pe mi i am que
es e semes e osse mui o mais do que isso;
• Ao João Ped o, ao Miguel, à Ága a e à Ana, pelo an o que oi udo o es o ao longo des es
5 anos
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
ii
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
iii
R
ESUMO
Nes e abalho p ocu ou-se comp eende , ap esen a e explo a os p incípios undamen ais
associados à iden i icação es ocás ica do compo amen o dinâmico de es u u as a pa i de dados
ob idos a a és de ensaios de ib ação ambien al e à sua u ilização pa a ajus e de modelos
numé icos.
Nesse sen ido, ap esen am-se concei os eó icos, bem como os mé odos nes es baseados, que
pe mi em a co e a ca a e ização dinâmica de uma es u u a quando a exci ação a uan e é
conhecida à pa ida ou ca a e izada apenas em e mos p obabilís icos, endo-se c iado ambém
á ias o inas em MATLAB que pe mi em uma co e a aplicação do mé odo da seleção de picos,
da decomposição no domínio da equência e da iden i icação es ocás ica em sub-espaços a pa i
das co elações. Todo es e p ocesso é de idamen e acompanhado e ilus ado po um exemplo
simples a que se aplica am as o inas c iadas, alidando-as, pa a o qual se simulou a espos a
a a és do MATLAB eco endo a o mulações de es ado disc e as no empo.
De seguida, e passando pa a uma es u u a e e i amen e ensaiada e pa a a qual de ob e e ambém
in o mação impo an e ela i a ao modelo u ilizado no p oje o, u iliza am-se os p ocedimen os
p e iamen e ap esen ados pa a es ima os pa âme os modais da pon e sob e o Rio Dou o da A41.
Os esul ados que podem se mais acilmen e e i ados des e ipo de ensaios ( equências na u ais
e con igu ações modais) ob idos pelos di e en es mé odos o am de seguida compa ados en e si,
endo-se es es e elado bas an e consis en es.
Po im, e eco endo aos esul ados ob idos expe imen almen e pa a a ob a-de-a e em es udo,
e e uou-se o ajus e de um modelo simpli icado c iado num p og ama de cálculo au omá ico,
endo-se p ocu ado iden i ica e co igi as on es de ince eza esul an es das simpli icações
conside adas.
P
ALAVRAS
-C
HAVE
:
iden i icação modal es ocás ica, pon es, ensaios dinâmicos, ajus e de
modelos numé icos, ensaios de ib ação ambien al
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
i
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
A
BSTRACT
This s udy was aimed a unde s anding, p esen ing and explo ing he undamen al p inciples
ega ding s uc u al s ochas ic modal iden i ica ion om da a ob ained du ing ambien ib a ion
es s and i s use o upda e nume ical models.
The heo e ical backg ound, as well as he iden i ica ion p ocedu es based on hese, ha allow an
accu a e cha ac e iza ion o he s uc u e dynamics when he ac i e exci a ion is known a p io i
o only cha ac e ized in p obabilis ic e ms a e p esen ed, as well as se e al MATLAB ou ines
ha allow a co ec applica ion o he Peak Picking, F equency Domain Decomposi ion and
Co a iance-d i en S ochas ic Subspace Iden i ica ion me hods. All his p ocess is duly suppo ed
by a simple example o applica ion, whose ime esponse o a andom ac ion was simula ed wi h
MATLAB using disc e e ime s a e space o mula ions, o which he c ea ed ou ines we e applied
and he e o e alida ed.
Fu he mo e, and ega ding a eal s uc u e ha was ac ually es ed and o which i was also
ob ained impo an in o ma ion on he design model, he me hods p e iously p esen ed we e
applied o es ima e he modal pa ame e s o he b idge on A41 o e Rio Dou o. The esul s ha
can be mo e easily d awn om his ype o es s (na u al equencies and mode shapes) ob ained
by he di e en me hods we e hen compa ed wi h each o he , being he esul s e y consis en .
Finally, and using he esul s ob ained expe imen ally o he b idge unde s udy, an upda ing o
a simpli ied model based on he p ojec in o ma ion and c ea ed on au oma ic calcula ion p og am
was pe o med, ha ing sough o iden i y and co ec he sou ce o e o s esul ing om he
conside ed simpli ica ions.
K
EYWORDS
:
s ochas ic modal iden i ica ion, b idges, dynamic es s, nume ical models upda ing,
ambien ib a ion es s
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
xii
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
xiii
Í
NDICE DE
Q
UADROS
Quad o 2.1 – Ca a e ização da secção .................................................................................................. 6
Quad o 2.2 – Reações ob idas pa a um assen amen o uni á io no p imei o g au de libe dade .......... 12
Quad o 2.3 – F equências e amo ecimen os modais – modelo 1 ....................................................... 14
Quad o 2.4 – F equências e amo ecimen os modais do modelo al e na i o – modelo 2 .................... 14
Quad o 2.5 – G andezas es a ís icas associadas a p ocessos es ocás icos ....................................... 23
Quad o 3.1 – Valo es ca a e ís icos pa a as di e en es es ima i as e e uadas .................................... 33
Quad o 3.2 – Compa ação en e os esul ados eó icos e ob idos do ANPSD .................................... 39
Quad o 3.3 – Ampli ude no malizada da unção de ans e ência a aliada nas di e en es equências
............................................................................................................................................................... 41
Quad o 3.4 – Fase da unção de ans e ência a aliada nas di e en es equências ........................... 42
Quad o 3.5 – Modos ob idos c uzando a in o mação da ampli ude e ase .......................................... 42
Quad o 3.6 – MAC de cada modo ob ido em elação ao modo eó ico espe i o ................................ 43
Quad o 3.7 – Valo es ob idos pa a os amo ecimen os modais ........................................................... 44
Quad o 3.8 – Valo es ob idos pa a as á ias unções de coe ência a aliadas nas equências
essonan es ........................................................................................................................................... 45
Quad o 3.9 – Compa ação en e os esul ados eó icos e os ob idos pelo FDD ................................. 50
Quad o 3.10 – Modos ob idos po aplicação do mé odo FDD .............................................................. 50
Quad o 3.11 – Compa ação en e os amo ecimen os eó icos e os ob idos pelo EFDD .................... 54
Quad o 3.12 – Compa ação en e as equências eó icas e as ob idas pelo EFDD ........................... 55
Quad o 3.13 – F equências iden i icadas pelo mé odo SSI-COV ......................................................... 59
Quad o 3.14 – Média e coe icien e de a iação associados ao amo ecimen o
pa a sé ies com du ação de 10 minu os ............................................................................................... 60
Quad o 3.15 –
Média e coe icien e de a iação associados ao amo ecimen o
pa a sé ies com du ação de 2 minu os ................................................................................................. 61
Quad o 3.16 – Ca a e ís icas dos di e sos “se ups” u ilizados ............................................................. 63
Quad o 3.17 – Modos inais ob idos após escalonamen o e aglu inação dos á ios “se ups” ............. 65
Quad o 4.1 – Res an es ca gas pe manen es conside adas ................................................................ 69
Quad o 4.2 – Posicionamen o das á ias es ações nos di e en es “se ups” ........................................ 71
Quad o 4.3 – P incipais equências iden i icadas ................................................................................ 79
Quad o 4.4 – Amo ecimen os ob idos pa a os 4 p imei os modos de ib ação em unção do MAC .. 84
Quad o 4.5 – Amo ecimen os ob idos pa a odos os modos ans e sais iden i icados ..................... 84
Quad o 4.6 – MAC en e os modos ans e sais iden i icados pelo EFDD e pelo “Peak Picking” ....... 85
Quad o 4.7 – Amo ecimen os ob idos pa a os modos e icais iden i icados ..................................... 86
Quad o 4.8 – MAC en e os modos e icais iden i icados pelo EFDD e pelo “Peak Picking” ............. 87
Quad o 4.9 – Ca a e ização das di e en es hipó eses es adas ........................................................... 88
Quad o 4.10 – F equências e amo ecimen os dos modos ans e sais iden i icados ........................ 91
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
xi
Quad o 4.11 – MAC en e os modos ans e sais iden i icados pelo SSI-Co e o “Peak Picking”
( abulei o de jusan e) ............................................................................................................................. 92
Quad o 4.12 – Des io pad ão das sé ies amos adas ao longo dos á ios “se ups” ........................... 93
Quad o 4.13 – Hipó eses analisadas .................................................................................................... 95
Quad o 4.14 – F equências e amo ecimen os dos modos e icais iden i icados ............................... 96
Quad o 4.15 – MAC en e os modos e icais iden i icados pelo SSI-Co e o “Peak Picking” ............. 97
Quad o 4.16. – Compa ação de esul ados ( equências) .................................................................... 99
Quad o 4.17. – Compa ação de esul ados (amo ecimen o (%)) ...................................................... 100
Quad o 5.1 – E ei o da al e ação do módulo de elas icidade nas equências da es u u a ............... 103
Quad o 5.2 – A aliação da in luência de cada pila nos modos de ib ação ...................................... 104
Quad o 5.3 – Al e ações in oduzidas pela a iação da igidez da base dos pila es P2 e P3............ 106
Quad o 5.4 – Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais ans e sais .................... 107
Quad o 5.5. – Rigidez ado adas na base de cada pila (1ª i e ação) ................................................. 108
Quad o 5.6 – F equências ob idas pa a os modos ans e sais (1ª i e ação) .................................... 108
Quad o 5.7 – Rigidezes ado adas na base de cada pila (2ª i e ação) ............................................... 109
Quad o 5.8 – F equências ob idas pa a os modos ans e sais (2ª i e ação) .................................... 109
Quad o 5.9 – Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais e icais ( o ação e
deslocamen o li e) .............................................................................................................................. 111
Quad o 5.10 - Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais e icais (ligações
monolí icas) ......................................................................................................................................... 112
Quad o 5.11 – F equências ob idas pa a os modos e icais bloqueando apenas o ações ou
anslações .......................................................................................................................................... 112
Quad o 5.12 – F equências ob idas pa a os modos e icais bloqueando o ações nos pila es ou nos
encon os ............................................................................................................................................. 113
Quad o 5.13 – F equências e icais ob idas (1ª i e ação) ................................................................. 113
Quad o 5.14 – F equências e icais ob idas (2ª i e ação) ................................................................. 114
Quad o 5.15 – Compa ação de esul ados pa a a 1ª i e ação ............................................................ 114
Quad o 5.16 – Compa ação de esul ados pa a a 2ª i e ação ............................................................ 115
Quad o 5.17 – Compa ação en e equências expe imen ais e numé icas ans e sais (mon an e) 116
Quad o 5.18 – Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais e icais (mon an e) ...... 116
Quad o 5.19 – Compa ação inal en e modos numé icos e expe imen ais do abulei o de jusan e . 117
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
x
Símbolos, Ac ónimos e Ab e ia u as
La inas Maiúsculas
A – Ma iz de es ado de sis emas disc e os no empo
A
c
– Ma iz de es ado de sis emas con ínuos no empo
B – Ma iz de en ada de sis emas disc e os no empo
B
2
– Ma iz de localização das o ças ex e nas
B
c
– Ma iz de en ada de sis emas con ínuos no empo
C – Ma iz de amo ecimen o ou Ma iz de espos a de sis emas disc e os no empo
C
a
– Ma iz de localização das espos as em acele ação
C
d
– Ma iz de localização das espos as em deslocamen o
C
m
– Ma iz diagonal com os amo ecimen os modais
C
– Ma iz de localização das espos as em elocidade
D – Ma iz de ansmissão di e a de sis emas disc e os no empo
D
c
– Ma iz de ansmissão di e a de sis emas con ínuos no empo
E – módulo de elas icidade
H – Ma iz das unções de ans e ência ou Ma iz de Hankel
H
m
– Ma iz diagonal com as unções de ans e ência modais
I – Ma iz Iden idade
K – Ma iz de igidez
K
m
– Ma iz diagonal com as igidezes modais
M – Ma iz de massa
M
m
– Ma iz diagonal com as massas modais
N – núme o de pon os da amos a
O – Ma iz de obse abilidade
R – Ma iz das unções de co elação
S – Ma iz dos espe os
T – Ma iz de Toepli z
La inas Minúsculas
c – cons an e de amo ecimen o
c
k
– cons an e de amo ecimen o modal do modo k
– equência (Hz)
k
– equência modal do modo k
h – unção de espos a a um impulso uni á io
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
x i
i – unidade imaginá ia
l – núme o de senso es u ilizados
m – massa
m
k
– massa modal do modo k
n – núme o de g aus de libe dade
p – exci ação a uan e
– empo (s)
u – deslocamen o
w – janela de obse ação
x – e o de es ado
y – e o de espos as obse adas
G egas Maiúsculas
G – Ma iz de con olabilidade
D – a iação da g andeza associada
Q – Ma iz com os n e o es p óp ios complexos de um sis ema
L – Ma iz diagonal com os n alo es p óp ios complexos de um sis ema
L
c
– Ma iz diagonal com os n alo es p óp ios complexos de um sis ema e os seus conjugados
F – Ma iz modal
G egas Minúsculas
a – cons an e do amo ecimen o de Rayleigh ou coe icien e de no malização dos modos
b – cons an e do amo ecimen o de Rayleigh
g
2
– unção de coe ência
d – dec emen o loga í imico, unção impulsi a del a de Di ac ou del a de K onecke
l – alo es p óp ios de sis emas con ínuos no empo
m – alo es p óp ios de sis emas disc e os no empo
x – coe icien e de amo ecimen o
x
k
– coe icien e de amo ecimen o modal do modo k
F – e o p óp io do sis ema
w – equência angula ( ad/s)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
x ii
w
a
– equência amo ecida ( ad/s)
w
k
– equência angula do modo k ( ad/s)
Siglas e Ac ónimos
ANPSD – Espe o médio no malizado
EFDD – Mé odo da decomposição no domínio da equência melho ado
FDD – Mé odo da decomposição no domínio da equência
FFT – T ans o mada ápida de Fou ie
FRF – Função de espos a em equência
NPSD – Espe o no malizado
PP – Mé odo Peak Picking
SSI-COV – Mé odo da iden i icação es ocás ica em sub-espaços a pa i das co elações
SVD – Decomposição em alo es singula es
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
x iii
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
xix
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
xx
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
1
1
INTRODUÇÃO
1.1.
M
OTIVAÇÃO
A c escen e p eocupação em o imiza as es u u as de Engenha ia Ci il, aliada a uma maio capacidade
de cálculo e modelação numé ica, em pe mi ido p oje a de o ma mais a ojada ob as de a e, mui as
ezes de g ande lexibilidade, u o da u ilização de ma e iais de g ande esis ência. Nes e con ex o, os
ensaios de ca a e ização es u u al ganham g ande impo ância como o ma de alida as simpli icações
ado adas na c iação do modelo, ine i á eis em qualque p oje o de Engenha ia Ci il, de ido, po exem-
plo, às condições de apoio ou ca a e ís icas mecânicas do mesmo, a pa i da ca a e ização do compo -
amen o dinâmico da es u u a ( equências na u ais, modos p óp ios de ib ação e amo ecimen os mo-
dais).
T adicionalmen e, es e es udo e a ealizado eco endo a ensaios de ib ação o çada, em que a espos a
da es u u a pode se moni o izada quando es a se encon a sujei a a uma exci ação bem con olada e
conhecida. Como é e iden e, pa a que es a p emissa seja cump ida, é ine i á el es ingi ou mesmo
in e di a a u ilização da es u u a em es udo du an e um de e minado pe íodo de empo, o que pode
aca e a consigo cus os mais ou menos impo an es, implicando ainda a mobilização de equipamen o
de g ande po e.
Em con apon o com o acima expos o, os ensaios de ib ação ambien al, u ilizam as ações na u ais
(como en o ou á ego) e a espe i a espos a da es u u a a es as pa a a ca a e iza dinamicamen e,
pe mi indo assim uma análise de baixo cus o, não condicionan e do no mal uncionamen o da mesma e
sem ecu so a equipamen os indu o es da exci ação.
De ido ao acima expos o, os ensaios de ib ação ambien al êm indo a ganha espaço na iden i icação
das ca a e ís icas dinâmica de es u u as de Engenha ia Ci il, pelo que se o na impo an e, nomeada-
men e po en ol e em uma exci ação desconhecida a p io i, sis ema iza concei os es a ís icos e ma e-
má icos que pe mi am uma ca a e ização sis emá ica e consis en e dos á ios pa âme os en ol idos.
1.2.
O
BJETIVOS DO
T
RABALHO
Em unção do cená io ap esen ado ela i amen e a ensaios de ib ação ambien al, p ocu ou-se comp e-
ende e undamen a os mé odos de iden i icação es ocás ica (associados a p ocessos desconhecidos ou
não de e minados) que pe mi em ca a e iza de o ma o mais co e a possí el o compo amen o dinâ-
mico de uma de e minada es u u a (nes e abalho oca -se-á sob e udo a análise em pon es). Nes e
sen ido, desen ol e am-se as a e as que de seguida se ap esen am, com o espe i o p opósi o:
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
8
−
∙
∙
+
∙
∙
∙
+
∙
=
(
)
(2.6)
Da análise des a no a exp essão, pode-se cons a a que a espos a do sis ema é ago a ob ida di e amen e
a pa i da exci ação a que es e se encon a sujei o. De ac o,
=
1
−
∙
+
∙
∙
+
∙
(
)
=
(
)
∙
(
)
(2.7)
Como a ope ação de con olução exp essa na equação (2.2) co esponde, no no o domínio, ao p odu o
das duas ans o madas das unções em causa (B acewell, 2000), en ão, o na-se e iden e que a unção
ep esen ada po
1
() na equação (2.7), e á que co esponde à ans o mada de Fou ie da unção de
espos a a um impulso uni á io, de inida na equação (2.3). Fazendo uso de conhecidas elações da Di-
nâmica de Es u u as, pode-se eesc e e a unção
1
() – designada de unção de espos a em e-
quência (ou FRF) - do seguin e modo:
=
=
2
∙
∙
∙
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
=
1
⁄
−
+
2
∙
∙
∙
∙
(2.8)
A FRF, como a sua designação pe mi e an e e , pe mi e a con e são, den o do seu domínio de alidade,
da exci ação a uan e sob e um oscilado de um g au de libe dade pa a a espe i a espos a do mesmo.
Como se pode cons a a da equação (2.8), es a unção é cons i uída po en idades complexas, ou seja, o
seu e mo gené ico em co espondência com a equência
pode se esc i o como:
(
)
=
(
%
+
∙
&
)
∈
ℂ
,
(
%
,
&
)
∈
ℝ
(2.9)
Assim, pa a a sua ep esen ação g á ica o na-se ú il ap esen a sepa adamen e o alo de ampli ude da
unção (
(
)=√
+
) e o seu e a o de ase ( an
⁄ ). Es es concei os são de seguida
ilus ados na Figu a 2.3, em unção da equência , pa a um oscilado com massa e igidez uni á ia e
coe icien e de amo ecimen o a a ia en e 1% e 25%.
0 0.5 1 1.5 2
-3.14
-1.57
0
FRF
F equência (Hz)
Fase ( ad)
1%
5%
10%
20%
25%
0 0.5 1 1.5 2
0
10
20
30
40
50
FRF
F equência (Hz)
Ampli ude
1%
5%
10%
20%
25%
Figu a 2.3 – Funções de espos a em equência (adap ado de (Magalhães, 2004))
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
9
Como ambém se pode deduzi da equação (2.8), a ampli ude da FRF ap esen a um máximo em conco -
dância com a abcissa =
∙1 −
, o que pa a alo es co en es do amo ecimen o de es u u as
se ans o ma em ≅
, e pa a o qual se e i ica uma mudança de ase de π adianos. Além disso,
pode-se ainda cons a a que a um aumen o do coe icien e de amo ecimen o es ão associados um des io
do pico da ampli ude pa a alo es ligei amen e in e io es à equência na u al do sis ema, e uma dimi-
nuição ela i amen e acen uada do seu alo .
Da manei a que a unção de espos a em equência oi ap esen ada, a sua exp essão pe mi e elaciona
os deslocamen os da es u u a com a espe i a exci ação, designando-se assim de unção de ece ância
(que se ep esen a á de seguida como
ೝ
()). No en an o, e de ido à p op iedade já ap esen ada ela-
i a à de i ação no domínio da equência, é possí el esc e e as unções de mobilidade (
()) e
ine ância (
()), que elacionam, espe i amen e, a exci ação com elocidades e acele ações, mul-
iplicando sucessi amen e po ∙, ou seja:
ೝ
=
=∙∙
=
−
∙
(2.10)
2.2.1.2 Sis emas de múl iplos g aus de libe dade
Do mesmo modo que oi ap esen ado pa a os sis emas unidimensionais, as exp essões in oduzidas po-
dem se gene alizadas pa a p oblemas de dimensão n, passando a equação que ege o mo imen o a se
esc i a em o ma o ma icial do seguin e modo:
∙
+
∙
+
∙
=
(2.11)
A equação (2.11) aduz, po an o, um sis ema, de o dem n, de equações di e enciais de segunda o dem,
em que , e ep esen am as ma izes de massa, amo ecimen o e igidez do sis ema, sendo os
e mos ∎
o ças gene alizadas na coo denada i quando é aplicada uma acele ação, elocidade ou des-
locamen o na di eção j, espe i amen e. A esolução des e sis ema no domínio empo al, pode ia se
ealizada eco endo a um soma ó io de n unções de espos a a um impulso uni á io (de aco do com a
equação (2.3)), pa a cada g au de libe dade, como se encon a na e e ência (Cae ano, 1992). No en an o,
e se o amo ecimen o assumido o do ipo p opo cional (como é equen emen e conside ado), é possí-
el esol e n equações di e enciais linea men e independen es a a és da designada o mulação modal.
Fo mulação Modal
Reco endo a es a o mulação, que de seguida se ap esen a, é possí el ca ac e iza o e o dos desloca-
men os da es u u a no espaço geomé ico a pa i das coo denadas gene alizadas (ampli ude) de n mo-
dos de ib ação da es u u a linea men e independen es. Assim, pa a a ib ação li e de um sis ema, se
a solução ma emá ica o do ipo
=
'
∙
ೖ
∙
(2.12)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
10
em que
ep esen a o k-ésimo modo de ib ação, en ão a equação do mo imen o não amo ecido
ans o ma-se no p oblema de alo es e e o es p óp ios exp esso po :
(
∙
+
)
∙
=
0
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
*
(
∙
)
+
∙
'
=
−
,
∙
'
(2.13)
Da esolução da equação (2.13) esul am n alo es e e o es p óp ios que se elacionam, espe i amen e,
com as equências e modos de ib ação da es u u a. Se esses modos o em o ganizados numa ma iz
(ma iz modal) em que a coluna k es á associada ao modo
,
e i ando p o ei o das condições de
o ogonalidade exp essas e demons adas na e e ência (Chop a, 2011), é en ão possí el esc e e :
,
=
∙
Φ
∙)∙ Φ = -⋱
⋱.
Φ
∙
(
∙
Φ
=
-
⋱
⋱
.
(2.14)
em que
e
ep esen am espe i amen e a igidez e a massa modal associadas ao modo k e demons a
que o sis ema exp esso na equação (2.11) pode, de ac o, se sepa ado em n equações di e enciais line-
a men e independen es pa a sis emas não amo ecidos. No en an o, é ainda possí el p o a , como se
encon a na e e ência (Clough and Penzien, 1975), que se a dis ibuição de amo ecimen o o conside-
ada p opo cional à dis ibuição de massa e igidez ao longo da es u u a, a o ogonalidade dos á ios
modos pode ambém se es endida à ma iz de amo ecimen o. Po amo ecimen o p opo cional en ende-
se que es a ma iz pode se ob ida a a és de uma combinação linea das ma izes de massa e igidez,
sendo um caso bas an e conhecido des a aplicação a o mulação de Rayleigh, que não é mais do que
uma conc e ização da exp essão gene alizada de amo ecimen o p opo cional omando em con a apenas
os dois p imei os e mos do soma ó io que de seguida se ap esen a:
/
=
(
∙
0
%
∙
1
(
∙
)
2
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
/
=
3
∙
(
+
4
∙
)
(2.15)
Se o es ipulado na equação (2.15) o espei ado, en ão a ma iz de amo ecimen o ambém espei a á as
condições de o ogonalidade em elação aos modos de ib ação da es u u a, pelo que, assumindo a
mesma solução gené ica ap esen ada na equação (2.12), é possí el esc e e a espos a em ib ação li e
de cada modo, da seguin e o ma:
∙
+
∙
+
∙
=
0
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
∙
,
+
∙
,
+
=
0
(2.16)
Resol endo e aplicando as p op iedades p esen es na equação (2.8), ob ém-se en ão:
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
11
,
∗
∙
∙
1
∙
(2.17)
Assim, o an e io sis ema de n equações di e enciais de segunda o dem acopladas pode se eesc i o no
espaço modal a a és de um mesmo núme o de equações linea men e independen es, subs i uindo-se,
po an o, a esolução de um só p oblema de dimensão n, pela esolução n p oblemas independen es, aos
quais podem se aplicados os p ocedimen os já expos os pa a oscilado es de um g au de libe dade. Es as
exp essões podem se esc i as do seguin e modo:
∙
∙
∙
∙
,
1
,
2
,
…
,
(2.18)
ou ado ando uma ep esen ação ma icial e eco endo à ma iz modal
∙
∙
∙
Φ
∙
(2.19)
em que o índice m aduz ma izes diagonais cujos e mos não nulos coincidem com as massas, amo e-
cimen os e igidezes modais, espe i amen e, à semelhança do que se encon a na equação (2.14). A
espos a da es u u a em en ão dada pelo soma ó io das espos as em cada modo escaladas pela coo -
denada modal
݇݉
.
∙
(2.20)
Exemplo 2.1 - Tendo o modelo ca ac e izado na Figu a 2.2., bem como as suas p op iedades ísicas e
geomé icas, o am calculadas as espe i as ma izes de igidez e massa, disc e izando cada ão em 4
segmen os, icando um g au de libe dade associado a cada meio ão, bem como a cada qua o de ão.
A ma iz de igidez (K) oi calculada eco endo ao p og ama de cálculo em que oi modelada a es u u a
(ROBOT), bloqueando odos os g aus de libe dade iden i icados e impondo sucessi amen e um assen-
amen o de apoio uni á io naquele cuja co esponden e coluna da ma iz de igidez se p e endia ob e .
Como exemplo, ap esen a-se na Figu a 2.4 o p ocedimen o pa a o cálculo da p imei a coluna dessa
mesma ma iz:
*
complexo conjugado
Figu a 2.4 – De o mação pa a um assen amen o de apoio (ap esen ado em mm) uni á io no p imei o
g au de libe dade (g aus de libe dade nume ados de 1 a 9 da esque da pa a a di ei a)
1
2
3
4
5 6
7
8
9
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
12
As eações o am calculadas e expo adas pa a o Quad o 2.2 que de seguida se ap esen a (no e-se que a
eação ob ida no apoio gené ico j co esponde á ao elemen o k
j1
):
Quad o 2.2 – Reações ob idas pa a um assen amen o uni á io no p imei o g au de libe dade
Apoio Reação [10
3
kN]
1 1293.425
2 -1245.114
3 544.1596
4 39.06890
5 -10.46848
6 2.805016
7 0.2013169
8 -0.05368451
9 0.01342113
Pa a o cálculo da ma iz de massa a in eg a no cálculo, conside ou-se uma dis ibuição de massa em
unção da la gu a de in luência ( l
i
) de cada g au de libe dade. Como a dis ância en e quaisque dois
g aus de libe dade consecu i os é cons an e e igual a 10 me os, en ão es e é o alo a conside a pa a
l
i,
, de onde esul a:
=
10
×
27
.
9557
=
279
.
557
,
!"
=
#
=
0
,
!"
≠
#
(2.21)
A de e minação da ma iz de amo ecimen o baseou-se na o mulação de Rayleigh de modo a impo um
amo ecimen o nos dois p imei os modos de ib ação igual a 0.2% ( alo co en e de se iço pa a es-
u u as semelhan es, como se pode cons a a na e e ência (Magalhães, 2010)). Como es e amo eci-
men o é do ipo p opo cional, en ão a o mulação modal do p oblema pe mi e o a amen o do mesmo
a a és da decomposição em alo es e e o es p óp ios, segundo o es ipulado na equação (2.13). Os
p imei os es ão elacionados com o quad ado das equências (em ad/s) não amo ecidas da es u u a,
enquan o os segundos e a am os seus modos de ib ação. Des a decomposição ob i e am-se os seguin-
es esul ados (nos alçados da Figu a 2.5, o modo a azul co esponde à meno equência ep esen ada e
o modo a e de à maio ):
=
13.3466
17.0984
24.9386
53.0149
60.0998
72.7317
112.5622
118.8909
128.0106
⁄ , Φ =
0.289 −0.386 0.292 0.408 0.474 0.302 0.289 −0.305 0.152
0.408 −0.504 0.303 0 −0.106 −0.174 −0.408 0.465 −0.253
0.289 −0.300 0.074 −0.408 −0.491 −0.257 0.289 −0.421 0.294
−0.289 0.086 0.367 0.408 −0.017 −0.559 −0.289 −0.116 0.446
−0.408 0 0.605 0 −0.211 0 0.408 0 −0.506
−0.289 −0.086 0.367 −0.408 −0.017 0.559 −0.289 0.116 0.446
0.289 0.300 0.074 0.408 −0.491 0.257 0.289 0.421 0.294
0.408 0.504 0.303 0 −0.106 0.174 −0.408 −0.465 −0.253
0.289 0.386 0.292 −0.408 0.474 −0.302 0.289 0.305 0.152
(2.22)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
13
Do ap esen ado na equação (2.15) p é-mul iplicando po
e mul iplicando po
a segunda igual-
dade, esul a
/
=
3
∙
+
4
∙
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
=
1
2
∙
5
3
+
4
∙
6
(2.23)
Pelo que, pa a a condição já ap esen ada, acilmen e se ob ém
7
3
=
(
2
∙
∙
∙
)
(
+
)
⁄
4
=
(
2
∙
)
(
+
)
⁄
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
8
3
=
0
.
03
[
]
4
=
1
.
3138
×
10
!
[
]
(2.24)
Po aplicação dos mé odos acima explici ados, o sis ema p esen e na equação (2.11) pode en ão se
conc e izado com as seguin es ma izes:
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
× 279.557 []
(2.25)
=
178
.
3
−
163
.
6
71
.
49
5
.
133
−
1
.
375
0
.
369
0
.
026
−
0
.
007
0
.
002
249
.
8
−
182
.
7
−
20
.
53
5
.
502
−
1
.
474
−
0
.
106
0
.
028
−
0
.
007
254.9 77.00 −20.63 5.528 0.397 −0.106 0.026
255.3 −184.2 77.02 5.528 −1.474 0.369
255.3 −184.2 −20.63 5.502 −1.375
255.3 77.00 −20.53 5.133
254.9 −182.7 71.49
249
.
8
−
163
.
6
178
.
3
∙∙ିଵ
(2.26)
=
1293
−
1245
544
.
2
39
.
07
−
10
.
47
2
.
805
0
.
201
−
0
.
054
0
.
013
1838
−
1391
−
156
.
3
41
.
87
−
11
.
22
−
0
.
805
0
.
215
0
.
054
1877 586.0 −157.0 42.08 3.010 −0.805 0.201
1880 −1402 586.3 42.08 −11.22 2.805
1880 −1402 −157.0 41.87 −10.47
1880 586.0 −156.3 39.07
1877
−
1391
544
.
2
1838
−
1245
1293
∙ିଵ (2.27)
0 20 40 60 80 100 120
-0.5
0
0.5
Modos 7,8 e 9
me os
0 20 40 60 80 100 120
-1
0
1
Modos 4, 5 e 6
me os
0 20 40 60 80 100 120
-0.5
0
0.5
Modos 1,2 e 3
me os
Figu a 2.5 – Esboço dos modos iden i icados em alçado (
o modo a azul co esponde à meno equência
ep esen ada e o modo a e de à maio )
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
14
Com a ca a e ização ma icial comple a, p ocedeu-se ao cálculo dos amo ecimen os associados a cada
modo a a és da exp essão (2.23) e à con e são das equências na u ais em ad/s pa a a sua ep esen-
ação mais habi ual em Hz, ep esen ados no Quad o 2.3:
Quad o 2.3 – F equências e amo ecimen os modais – modelo 1
Modo F equência (Hz) Coe icien e de
amo ecimen o (%)
1 2.1242 0.2
2 2.7213 0.2
3 3.9691 0.22
4 8.4376 0.38
5 9.5652 0.42
6 11.5756 0.50
7 17.9148 0.75
8 18.9221 0.79
9 20.3735 0.85
Como se pode cons a a , o amo ecimen o dos dois p imei os modos é o es ipulado p e iamen e, au-
men ando nos modos subsequen es. Ou a conclusão que se e ela á impo an e pos e io men e é a in-
isibilidade de alguns modos em de e minados g aus de libe dade. Po exemplo, de ido à sime ia da
es u u a, os modos pa es não são de e ados a meio ão do ão cen al, já que aqui se encon a um nodo
(pon o de o denada nula) dos mesmos.
Além disso oi c iado um modelo al e na i o – modelo 2 – que pe mi isse ilus a algumas das limi ações
dos mé odos que se ão ap esen ados, endo sido induzida uma diminuição da igidez associada ao ão
cen al do modelo já ap esen ado em 20% do seu alo inicial. Pa a isso, e de manei a a p ese a a
secção e a dis ibuição de massa, op ou-se po aplica uma edução no mesmo alo ao módulo de elas-
icidade do ma e ial nesse oço. Assim, e de modo análogo ao já e e uado, ob i e am-se os alo es do
Quad o 2.4:
Quad o 2.4 – F equências e amo ecimen os modais do modelo al e na i o – modelo 2
Modo F equência (Hz) Coe icien e de
amo ecimen o (%)
1 1.6043 0.2
2 2.2903 0.2
3 2.6767 0.21
4 5.2821 0.31
5 8.2903 0.45
6 8.9981 0.48
7 9.6857 0.52
8 18.1913 0.94
9 18.2070 0.95
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
15
Resolução no domínio da equência
À semelhança do que já oi e e uado pa a os sis emas de um g au de libe dade, é ambém possí el ado a
uma esolução no domínio da equência, aplicando a ans o mação de Fou ie a ambos os e mos da
equação (2.8), chegando-se à seguin e elação en e exci ação e espos a:
=
(
)
∙
(
)
(2.28)
em que a ma iz () em dimensão × e cujo e mo gené ico
() ep esen a a FRF do sis ema
que elaciona a espos a segundo a coo denada i com o a exci ação a uan e em j. Como se encon a em
(Magalhães, 2004) es a ma iz pode se ob ida a pa i das ma izes ca ac e ís icas do sis ema a a és
de:
=
$
−
∙
+
∙
∙
+
%
(2.29)
No en an o, e de ido à o mulação modal já ap esen ada, é possí el, a a és de um p ocesso numé ico
mui o mais e icien e do que a in e são de ma izes complexas p esen e na equação (2.29) ( an as quan as
os pon os a ep esen a ), calcula a ma iz das FRF disc iminando a con ibuição de cada modo a a és
da exp essão:
=
0
'
∙
(
)
∙
'
=
Φ
∙
(
)
∙
Φ
(2.30)
em que a ma iz ap esen ada como
() é diagonal e con ém nos e mos
() as unções de es-
pos a em equência no espaço modal de inidas pa a cada modo como:
=
1
⁄
−
+
2
∙
∙
∙
∙
(2.31)
Do acima expos o, acilmen e se deduz que qualque elemen o da ma iz das FRF pode se calculado
a a és de:
(
,
)
=
0
1
⁄
−
+
2
∙
∙
∙
∙
∙
Φ
,
∙
Φ
,
(2.32)
Exemplo 2.2 – De aco do com a equação (2.31), calcula am-se as FRF de cada modo, pa a as quais se
ap esen a g a icamen e a ampli ude, pa a ambos os modelos já ap esen ados (Figu a 2.6 e Figu a 2.7):
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
16
Além disso, e de aco do com a equação (2.32), o am calculadas as 81 (9 × 9) FRF em deslocamen o
do sis ema, que se ag upam na ma iz
, segundo a nomencla u a ap esen ada na equação (2.10).
De seguida, ap esen a-se nas Figu as 2.8 e 2.9 a ep esen ação g á ica da ampli ude e ase da p imei a
coluna dessa ma iz, a aliada de 0.02 em 0.02 Hz.
0 5 10 15 20 25
10
-7
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
FRF
F equência (Hz)
Ampli ude
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
H8
H9
18 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5
10
-4.9
10
-4.8
FRF
F equência (Hz)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
10
-7
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
FRF
F equência (Hz)
Ampli ude
H1
H2
H3
H4
H5
H6
H7
H8
H9
Figu a 2.7 – FRF no espaço modal pa a o modelo al e na i o (modelo 2)
Figu a 2.6 – FRF no espaço modal do modelo de base (modelo 1)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
17
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 11
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 21
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 31
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 41
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 51
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 61
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 71
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 81
0 5 10 15 20 25
10
-8
10
-6
10
-4
F equência (Hz)
H 91
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
F equência (Hz)
H 11
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 21
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 31
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 41
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 51
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 61
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 71
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 81
0 5 10 15 20 25
-3.14
-1.57
0
1.57
3.14
F equência (Hz)
H 91
Figu a 2.9 – Re a o de ase das unções da 1ª coluna da ma iz das FRF – modelo 1
Figu a 2.8 – Ampli ude das unções da 1ª coluna da ma iz das FRF – modelo 1
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
24
Es a exp essão pode se gene alizada pa a elaciona quaisque dois enómenos, passando a designa -se
unção de co elação c uzada, bas ando pa a isso esc e e :
!
భ
మ
"
lim
→
&
'
∙
'
"
⁄
⁄
∙
(
(2.59)
T anspo ando es a exp essão pa a o domínio da equência, su gem en ão as unções de espe o c uzado
ou au o-espe o (espe o de po ência), con o me se conside em p ocessos dis in os ou não. Es ando a
unção de co elação associada a uma con olução no domínio do empo, en ão a exp essão do espe o
no domínio da equência, su ge na sua o ma mais gene alizada como o p odu o de duas ans o madas
de Fou ie es ingidas ao in e alo de obse ação 2, 2
⁄⁄ , podendo se esc i a como:
)
భ
మ
&
!
భ
మ
"
∙
*
∙
∙
∙
(
lim
→
→
1
+
,
,
'
-
∗
∙
+
,
,
'
-
.
(2.60)
No caso de dois p ocessos idealmen e alea ó ios, a unção de co elação apenas assume o denada não
nula e in ini a na o igem, iden i icando-se assim com uma unção do géne o impulsi o de Di ac.
Pelas p op iedades da ans o mação de Fou ie aplicada a unções impulsi as, a sua ep esen ação no
domínio da equência o na-se en ão um espe o cons an e de á ea in ini a pa a es as mesmas ações.
Na u almen e, no con ex o dos ensaios de ib ação ambien al, associa à exci ação uma a iância in ini a
não é ealis a, pelo que é p á ica co en e assumi que es e enómeno cons i ui um uído b anco de banda
limi ada, ou seja, que a o seu au o-espe o é cons an e pa a equências con idas den o de um de e mi-
nado domínio, enquan o que a unção de au o-co elação assume o alo da a iância ( ini o) do p o-
cesso na o igem, sendo nula pa a as es an es abcissas.
∞
Figu a 2.10 – In luência da i egula idade do p ocesso nos espe os de po ência e unções de au o-co elação
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
25
Se o p oblema em es udo o do ipo e o ial, os á ios p ocessos es ocás icos que lhe es ão associados
podem se ag upados num único e o coluna 0 e as exp essões a é ago a ap esen adas dão luga às
suas equi alen es em o ma o ma icial. A unção de co elação/espe o é assim subs i uída po uma
ma iz de co elação/espe os, que con ém na sua diagonal p incipal as unções de au o-co elação/au o-
espe os das di e en es componen es do p ocesso, e o a da diagonal p incipal co elações c uzadas/es-
pe os c uzados. Se o no amen e assumido que o p ocesso em es udo é do ipo uído b anco, as ma i-
zes das co elações e dos espe os podem se esc i as como:
Z
P
=
W
[
D
∙
D
+
=
P
∙
]
(
)
^
=
P
(2.61)
em que 1
ep esen a uma ma iz cons an e.
Consequência in e essan e que pode se deduzida dos concei os ap esen ados, aplicados conjun amen e
com a de inição de unção de espos a em equência pa a sis emas de um g au de libe dade, consis e
em u iliza es as úl imas pa a elaciona os espe os da exci ação com os da espos a, segundo as seguin-
es exp essões (Maia and Sil a, 1997):
^
4
భ
4
భ
=
|
(
)
|
∙
^
5
భ
5
భ
^
5
భ
4
భ
=
() ∙ ^
5
భ
5
భ
^
4
భ
4
భ
=
(
)
∙
^
4
భ
5
భ
(2.62)
Es as elações podem se ainda gene alizadas pa a sis emas de dimensão supe io , podendo-se esc e e ,
em unção dos espe os da espos a e da exci ação, a seguin e exp essão, con inuando a admi i uma
ação do ipo uído b anco (Cunha, 1990):
^
4
=
∙
^
5
∙
6
=
∙
P
5
∙
7
(2.63)
em que 1
é uma ma iz cons an e. Se as di e en es solici ações o em ainda es a is icamen e indepen-
den es, en ão es a ma iz é diagonal e os seus e mos não nulos coincidem com as a iâncias dos di e-
en es p ocessos, sendo possí el esc e ê-la endo em con a a con ibuição dos di e en es modos de i-
b ação da es u u a a a és de:
^
8
(
ೌ
,
್
)
=
0
0
(
Φ
(
,
)
∙
Φ
,
)
⁄
−
+
2
∙
∙
∙
∙
∙
P
5
(
ೝ
,
ೝ
)
∙
(
Φ
(
,
)
∙
Φ
,
)
⁄
−
+
2
∙
∙
∙
∙
(2.64)
H
anspos a conjugada
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
26
Exemplo 2.5 – Pa a o modelo que se e de base a es a exposição calculou-se a ma iz dos espe os de
espos a (acele ações), segundo a equação (2.63), assumindo a exci ação nos di e en es g aus de libe -
dade, es a is icamen e independen es, um enómeno alea ó io de a iância uni á ia (ou seja, a ma iz 2
é cons an e e igual à ma iz iden idade). De igual modo, o am calculadas as con ibuições sepa ada-
men e dos di e en es modos segundo a equação (2.64) e sob epos as as di e en es unções ob idas num
g á ico de ampli ude. De seguida, ap esen a-se na Figu a 2.11 o esul ado pa a o e mo (1,1) da ma iz
dos espe os de espos a, bem como a con ibuição do 1º, 4º e 7º modo, salien ando-se que, pa a cada
equência na u al da es u u a, es a é bem ap oximada conside ando apenas a con ibuição do modo
essonan e espe i o.
Figu a 2.11 – Ma iz dos espe os de espos a (em acele ações) S11
Modelos de Es ado
A ex ensão da análise es ocás ica aos modelos de es ado disc e os já ap esen ados pode se conseguida,
numa p imei a abo dagem, adicionando ao modelo componen es es ocás icas (3 e 4) que modelam o
uído, não mensu á el, o iginado nas ap oximações e e uadas na modelação e inclusi e na p óp ia ca-
deia de medição, e que se conside a se um uído b anco de média nula. No en an o, como no con ex o
de um ensaio de ib ação ambien al a exci ação que a anima a es u u a é desconhecida e assumida com
as mesmas ca a e ís icas des es, en ão os e o es que os ep esen am podem se associados a odas as
ince ezas do p ocesso esul ando um modelo de es ado al que:
7
9
+
=
@
∙
9
+
>
∙
+
_
D
=
/
∙
9
+
E
∙
+
`
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
#
7
9
+
=
@
∙
9
+
_
D
=
/
∙
9
+
`
(2.65)
0 5 10 15 20 25
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
S11
F equência (Hz)
S11
modo 1
modo 4
modo 7
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
27
De ido às ca a e ís icas dos p ocessos es ocás icos 3 e 4 é possí el esc e e as elações de co elação
en e ambos pa a quaisque 2 ins an es a e b da seguin e o ma, al como desc i o em (O e schee and
Moo , 1996):
W
[
B
_
`
C
∙
*
_
4
+
=
;
:
^
^
P
<
∙
]
(2.66)
em que
]
ep esen a o del a de K onecke , que pode se in e p e ado como uma e são disc e a da
unção del a já ap esen ada, e de inida como:
]
=
8
1
,
%
=
&
0
,
%
≠
&
(2.67
)
Assim, as ma izes de inidas como 5
e 1
êm as ca a e ís icas já ap esen adas de uma ma iz de co e-
lação associada aos p ocessos 3 e 4, espe i amen e, enquan o a ma iz 2
em signi icado semelhan e,
mas es á associada à co elação c uzada en e os p ocessos. A mul iplicação pelo del a de K onecke
de inido segundo a equação (2.67) assegu a que qualque e mo ge ado apenas em alo não nulo se os
ins an es de a aliação a e b coincidi em, ca a e ís ica de p ocessos idealmen e alea ó ios, como ambém
já oi is o.
De aco do com o que oi ap esen ado, o e o de es ado pode ambém se ep esen ado po um p ocesso
es ocás ico, sendo a sua ma iz de co elação dada, pa a um des asamen o empo al nulo (= 0), po :
Σ
=
W
1
9
∙
9
2
(2.68)
Além disso, po es e se independen e dos p ocessos que simulam o uído 3 e 4, pode-se ainda esc e e :
W
1
9
∙
_
2
=
W
1
9
∙
`
2
=
0
(2.69)
Se se pa i das exp essões an e io es, pode-se en ão de ini a ma iz de co elação en e o e o de es ado
no ins an e k+1 e a espos a medida no ins an e k como:
a
=
W
[
9
+
∙
D
=
W
[
*
@
∙
9
+
_
+
∙
*
/
∙
9
+
`
+
=
W
1
*
@
∙
9
+
_
+
∙
*
9
∙
/
+
`
+
2
=
⋯
⋯
=
W
1
*
@
∙
9
∙
9
∙
/
+
+
*
_
∙
9
∙
/
+
+
*
@
∙
9
∙
`
+
+
*
_
∙
`
+
2
=
@
∙
Σ
∙
/
+
^
(2.70)
A pa i de p ocessos análogos ao ap esen ado na exp essão (2.70) é possí el de ini a ma iz de co e-
lações, 1
=#∙ ∆=670
∙0
8, a a és de:
7
P
0
=
/
∙
Σ
∙
/
+
P
P
b
=
/
∙
A
∙
a
=
P
−
b
(2.71)
A segunda equação do sis ema (2.71) se á undamen al pa a basea os p ocessos de iden i icação modal
baseados em modelos de es ado, já que pe mi e, a a és da ma iz das co elações da espos a (passí el
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
28
de se de e minada expe imen almen e) chega à ma iz de es ado em empo disc e o, que, como já se
iu, con ém oda a in o mação necessá ia pa a ca a e iza adequadamen e o sis ema em es udo.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
29
3
MÉTODOS ESTOCÁSTICOS DE
IDENTIFICAÇÃO MODAL
3.1.
I
NTRODUÇÃO
Tendo sido ap esen adas di e en es abo dagens ela i amen e ao es udo de um p oblema dinâmico de
uma es u u a, p ocu a-se nes e capí ulo explica como, a pa i do conhecimen o da espos a da mesma
quando sujei a às a iadas ações a que se encon a na u almen e expos a ( á ego, en o, en e ou as) e
que são à pa ida desconhecidas, é possí el ca a e iza o seu compo amen o. Assim sendo, os mé odos
que se expõe baseiam-se na hipó ese da exci ação se uma ealização de um p ocesso es ocás ico do ipo
uído b anco como já ap esen ado no pon o 2.3. No en an o, pa a que esses mé odos possam se u iliza-
dos, é necessá io a a os dados de o ma a es ima co e amen e os espe os e/ou unções de co elação
da espos a, pelo que ambém se ap esen am sin e icamen e manei as de os ob e , minimizando o e o.
Exemplo 3.1. – Pa a melho ilus a odos os p ocedimen os que ão sendo ap esen ados, simulou-se,
em MATLAB, e pa indo da o mulação de es ado disc e a no empo já expos a, a espos a da es u u a
quando sujei a a uma ação, em cada g au de libe dade dinâmico conside ado, cons i uída po uma sé ie
empo al de 10 minu os, equência de amos agem de 50 Hz e seguindo uma dis ibuição no mal edu-
zida (média nula e a iância uni á ia). Assim, as ma izes de es ado de empo con ínuo o am calculadas
u ilizando as equações já ap esen adas (equações (2.36), (2.37), (2.42) e (2.43)) conside ando que só se
medi iam acele ações (
=
= 0), endo de seguida sido con e idas nas suas equi alen es de mo-
delo disc e o u ilizando o comando c2d (“con inuous o disc e ”). A exci ação oi ge ada a a és do
comando andn, que pe mi e o ma uma sé ie de alo es e i ados de uma dis ibuição no mal com os
pa âme os especi icados. Tendo o modelo de es ado e a ação sob e es e ca a e izada, o so wa e pe mi e
simula a espos a da es u u a a pa i da unção dlsim, que o nece ainda o e o de es ado, se al o
p e endido
1
. Nas Figu as 3.1 e 3.2 ap esen am-se os esul ados ob idos pa a a exci ação do g au de li-
be dade cen al (g au de libe dade 5), bem como pa a as espos as em acele ação dos g aus de libe dade
1
Se se p e ende simula o uído in oduzido pela cadeia de medição, podem se adicionados ao e o das espos as
ob idos e o es alea ó ios com dis ibuição no mal, média nula e a iância p opo cional à in ensidade de uído
p e endida (segundo a e e ência (Juang, 1994), elações uído-sinal na o dem de 0,1 são condizen es com ensaios
ealizados com bom equipamen o, sendo es e alo a ualmen e conse a i o de ido à melho ia dos equipamen os)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
30
associados aos g aus 1, 2 e 5 do modelo numé ico já ap esen ado, que no domínio do empo, que no
da equência:
Como se pode cons a a da análise da Figu a 3.1. a exci ação o necida encon a-se uni o memen e dis-
ibuída ao longo das di e en es equências em análise. Além disso, como se ê na igu a 3.2., as es-
pos as da es u u a ap esen am picos em conco dância com as equências na u ais da es u u a já iden-
i icadas. No e-se, no en an o, que nem odos os g aus de libe dade iden i icam os 9 modos de ib ação
dis in os is o encon a em-se sob e um nodo desses mesmos modos, como já oi is o. Po im, é de
e e i que se simula am mais sé ies empo ais, que ela i as a “se ups” em que não o am moni o iza-
dos odos os g aus de libe dade, que ela i as ao modelo 2, que aqui não se ap esen am mas que se ão
u ilizadas pa a ilus a de e minados de alhes dos mé odos abo dados.
0 120 240 360 480 600
-4
-2
0
2
4
empo (s)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
100
103
F equência (Hz)
Ampli ude
0 120 240 360 480 600
-0.15
-0.05
0.05
0.15
empo (s)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
10
-3
10
-1
10
1
10
3
F equência (Hz)
Ampli ude
0 120 240 360 480 600
-0.15
-0.05
0.05
0.15
empo (s)
Ampli ude
0 25
10
-3
10
-1
10
1
10
3
F equência (Hz)
Ampli ude
0 120 240 360 480 600
-0.15
-0.05
0.05
0.15
empo (s)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
10
-3
10
-1
10
1
10
3
F equência (Hz)
Ampli ude
Figu a 3.1 – Ação a uan e sob e o 5º g au de libe dade (meio do ão cen al)
Figu a 3.2 – Respos a simulada nos g aus de libe dade 1, 2 e 5 (de cima pa a baixo)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
31
3.2.
E
STIMATIVA DAS
F
UNÇÕES DE
C
ORRELAÇÃO E
E
SPETROS DA
R
ESPOSTA
3.2.1.
E
SPETROS DE
R
ESPOSTA
De aco do com o que já oi ap esen ado sob e p ocessos es ocás icos, a unção densidade espe al pode
se ob ida i ando pa ido das ans o madas de Fou ie dos p ocessos a elaciona x
1
e x
2
. No en an o, a
ealidade de um ensaio ealizado sob e uma de e minada es u u a, só pe mi e a ca a e ização de uma
única ealização de cada p ocesso, com uma de e minada equência de amos agem e du ação, podendo
uma es ima i a do espe o se ob ida po :
2
9
భ
మ
(
)
=
/
(
)
∗
∙
/
(
)
:
∙
∆
(3.1)
em que as ans o madas /() são ago a disc e as e o denominado ep esen a o pe íodo de empo
amos ado, sendo N o núme o o al de pon os adqui idos. Como se pode encon a na e e ência
(Cae ano, 1992), a limi ação empo al da sé ie analisada aduz-se num e o de “leakage” (dis ibuição
da ene gia de uma de e minada equência pela sua izinhança), enquan o que a sua disc e ização
associa con eúdo ene gé ico p o enien e de equências supe io es à equência de Nyquis (me ade da
equência amos ada) em equências in e io es a es a – e o de “aliasing”. Assim, pa a um sinal
amos ado com N pon os, após a sua ansposição pa a o domínio da equência, apenas os N/2 p imei os
pon os se ão ep esen a i os, enquan o os es an es espelha ão es es endo como eixo de sime ia a
equência
= 1 (2 ∙ ∆)
⁄ (pa a elimina o con ibu o de equências supe io es a es a, e po an o
e i a es e e o, é possí el aplica il os passa-baixo de á ios ipos).
Como consequência imedia a e ine i á el do acima expos o, as es ima i as calculadas pela equação
(3.1) ap esen am e os g ossei os, que, no en an o, podem se minimizados eco endo a de e minadas
écnicas de a amen o de sinais. Uma manei a in e essan e de diminui o uído associado à unção de
densidade espe al, passa po di idi o segmen o amos ado em oços mais cu os (no malmen e cuja
dimensão é uma po ência de 2, de modo a acili a a aplicação do algo i mo da ans o mada ápida de
Fou ie (FFT)), calcula segundo a equação (3.1) a es ima i a co esponden e a cada um desses segmen-
os e, po im, ealiza a média das mesmas, conseguindo assim, eduzi a a iância do esul ado inal.
O jogo de equilíb io passa po p ocu a o núme o de pon os a u iliza em cada segmen o, já que:
• um núme o baixo de pon os po segmen o (:
) pe mi e a ealização de mais médias, o nando
o espe o mais limpo, mas diminui a esolução em equência, já que ∆= 1 ;
= 1 (:
∙ ∆
⁄)
⁄
• um núme o ele ado pon os po segmen o conduz a menos segmen os e, po an o, menos médias
ealizadas (meno e ei o sob e a diminuição do uído) mas maio esolução em equência
Uma manei a de aumen a o núme o de segmen os u ilizá eis pa a um de e minado núme o de pon os,
passa po conside a alguma sob eposição (“o e lapping”) en e eles. Além disso, um p ocedimen o
que, conjun amen e com o “o e lapping”, conduz a bons esul ados na a enuação dos e os, é a adoção
de janelas de obse ação pa a os di e en es segmen os. Pa a de ini o concei o de janela de obse ação,
pode se ú il pa i p imei o da janela e angula , em que a subdi isão de cada ealização em segmen os
mais cu os, não é mais do que e e ua o p odu o da amos a o al po uma unção e angula , de inida,
pa a o pe íodo de obse ação de cada amos a T
a
como
_
=
7
1
,
|
|
<
Y
2
c
0
,
|
|
>
Y
2
c
(3.2)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
32
Des a de inição, é possí el gene aliza a o ma das janelas ado adas a ou as que não a e angula , de-
endo no en an o, as o denadas do sinal ob ido se seguidamen e di ididas pela soma dos quad ados das
o denadas da janela a di idi pela sua dimensão (núme o de o denadas), de modo a p ese a o con eúdo
ene gé ico inicial do mesmo. Nes e abalho, op ou-se pela u ilização da janela de Hanning
2
, co en e-
men e u ilizada em ensaios de ib ação ambien al, de inida como:
_
=
Z
1
2
∙
=
1
+
cos
5
2
∙
O
∙
Y
6
?
,
|
|
<
Y
2
c
0
,
|
|
>
Y
2
c
(3.3)
Assim, do sinal amos ado passa-se pa a os segmen os mais cu os da seguin e o ma (Figu a 3.3):
Se o p oblema em es udo o de na u eza e o ial, o que sucede com os ensaios de ib ação ambien al
já que se mede a espos a em di e sos pon os da es u u a, en ão é possí el, como já oi is o, o ganiza
os espe os numa ma iz de manei a a que os e mos da diagonal p incipal sejam au o-espe os e o a
des a espe os c uzados, dando a equação (3.1) luga a:
2
9
(
)
=
<
(
)
∗
∙
<
(
)
d
∙
∆
(3.4)
em que < é um e o coluna com a FFT das espos as e o igina, po an o, uma ma iz de espe os
com dimensão igual ao núme o de g aus de libe dade ins umen ados. Nes e pon o, é impo an e e e i
2
A u ilização da janela de Hanning com um “o e lapping” de 50% em a pa icula idade de o igina uma e a nas
zonas de sob eposição, pe mi indo assim que odos os elemen os con ibuam igualmen e pa a o esul ado inal
-6
-3
0
3
6
Segmen os inais
-6
-3
0
3
6
Sinal amos ado
0
0.5
1
Janelas de obse ação
Figu a 3.3 – Exemplo da aplicação de janelas de Hanning a um sinal amos ado
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
33
que no deco e de um ensaio, são ealizados á ios “se ups” (associados a di e en es combinações do
posicionamen o dos l senso es disponí eis), sendo necessá io que alguns g aus de libe dade sejam con-
inuamen e a aliados de manei a a pe mi i elaciona as di e en es medições – g aus de libe dade de
e e ência. Assim sendo, apenas é possí el de e mina comple amen e as colunas associadas a es es
g aus de libe dade, em de imen o da ma iz quad ada ap esen ada na equação (3.4), a a és de
2
9
(
)
=
<
(
)
∗
∙
<
(
)
d
∙
∆
(3.5)
em que <
() ep esen a um e o coluna com as FFT dos g aus de libe dade ins umen ados em
odos os “se ups”.
Um úl imo cuidado a e , no caso de se p e ende de e mina a unção de co elação a a és dos espe os
das espos as, como se e á de seguida, consis e em ac escen a a cada segmen o de dimensão N
a
uma
ex ensão de ze os da mesma dimensão (o que não al e a o esul ado ob ido pa a a FFT, mas é unda-
men al pa a uma co e a ob enção das unções de co elação), sendo que nes e caso não se de e aplica
as janelas de obse ação, a ás explici adas ou ou as.
Exemplo 3.2. – A pa i das sé ies empo ais de espos a simuladas, o am es imadas as ma izes dos
espe os a pa i da equação (3.4) e compa ados os esul ados alcançados com o alo eó ico ob ido
pela equação (2.63) conside ando pa a ma iz dos espe os de exci ação a ma iz iden idade ( a iância
dos di e en es p ocessos uni á ia).
As sé ies, ge adas com uma equência de 50 Hz du an e 10 minu os, o am di ididas em oços, endo
as es ima i as sido e e uadas pa a di e en es di isões da sé ie empo al das acele ações, com um “o e -
lapping” de 50%, como se ap esen a no Quad o 3.1:
Quad o 3.1 – Valo es ca a e ís icos pa a as di e en es es ima i as e e uadas
Es ima i a N
a
T
a
(s) Δ (Hz)
1 512 10.24 0.0977
2 1024 20.48 0.0488
3 2048 40.96 0.0244
4 4096 81.92 0.0122
Como se pode cons a a , à medida que o núme o de pon os po segmen o aumen a, a esolução em
equência ambém aumen a. Na Figu a 3.4 ap esen am-se os esul ados ob idos pa a o p imei o e mo
da diagonal p incipal da ma iz dos espe os de espos a, onde se pode e que o uído associado à
es ima i a ambém é supe io à medida que a dimensão de cada segmen o aumen a (aos segmen os
ob idos o am aplicadas janelas de Hanning, al como se encon a de inida na equação (3.3)).
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
40
Modos de ib ação
Como já se iu quando a o mulação modal oi in oduzida, a ma iz das FRF pode se esc i a p é-
mul iplicando e mul iplicando uma ma iz diagonal, cujos e mos não nulos coincidem com as unções
de ans e ência no espaço modal, pela ma iz modal.
=
Φ
∙
(
)
∙
Φ
(3.14)
Como ambém oi cons a ado na al u a, pa a um de e minado modo de ib ação, a FRF no espaço modal
que lhe es á associada assume alo es mui o supe io es às es an es, o nando possí el esc e e
=
Φ
∙
(
)
∙
Φ
≈
'
∙
(
)
∙
'
(3.15)
Tendo em con a a equação (3.15), que pode se a aliada como o p odu o do modo k pelo seu anspos o
e po uma cons an e complexa que esul a da a aliação da FRF desse mesmo modo na equência es-
sonan e, acilmen e se conclui que a ma iz dos espe os de espos a pode se ap oximada po :
^
=
∙
P
:
∙
6
≈
B
'
∙
(
)
∙
'
C
∙
P
:
∙
B
'
∙
(
)
∙
'
C
6
=
=
B
'
∙
(
)
∙
'
C
∙
P
:
∙
B
'
∙
(
)
∗
∙
'
C
=
∙
'
∙
∙
∗
∙
'
=
>
∙
'
∙
'
(3.16
)
em que os alo es ep esen ados po c acoplados de um de e minado índice ep esen am di e en es nú-
me os complexos cujo alo não é ele an e conhece . Pa indo da exp essão ob ida na equação (3.16),
é possí el, pa a as colunas comple as da ma iz
^
,
ou seja, pa a as colunas associadas aos g aus de
libe dade de e e ência, es ima a elação en e o e mo da diagonal p incipal e qualque ou o e mo
dessas mesmas colunas a a és da designada unção de ans e ência en e o pon o j e o pon o e (sen-
so de e e ência), de inida da seguin e o ma:
Y
,
:
=
^
,
:
(
)
^
:
,
:
(
)
(3.17)
que, quando a aliada pa a uma equência na u al da es u u a
,
esul a em:
^
,
:
(
)
^
:
,
:
(
)
≈
>
∙
Φ
,
:
∙
Φ
:
,
:
>
∙
Φ
:
,
:
∙
Φ
:
,
:
=
Φ
(
,
:
)
Φ
(
:
,
:
)
(3.18)
Pela análise da exp essão an e io , cons a a-se que es a pe mi e de ini a elação en e quaisque dois
pon os do modo de ib ação, ob endo-se assim a con igu ação que lhe es á associada. No en an o, como
os espe os c uzados são núme os complexos, en ão a es ima i a do quocien e exp esso na equação
(3.18) ambém o se á, es ando a sua ampli ude elacionada com a ampli ude do modo e a ase, no caso
de apenas exis i em modos eais, oma á o alo de 0 ad quando o deslocamen o se dá no mesmo
sen ido ou de π ad se oco e em sen idos con á ios.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
41
Exemplo 3.4 – Pa a es e exemplo, e sendo necessá io assumi um g au de libe dade como e e ência,
op ou-se po seleciona o p imei o g au de libe dade (no e-se que os pon os de meio ão não se iam
adequados pa a o e ei o is o se em nodos de alguns dos modos). De ido ao núme o ele ado de unções
de ans e ência a a alia , ap esen a-se na Figu a 3.9 apenas os g á icos (ampli ude e ase), e e en es
ao segundo e e cei o g aus de libe dade ( is o que o p imei o consis e e iden emen e num alo cons-
an e e uni á io, po se a e e ência), esumindo-se de seguida os alo es das es an es, quando a aliadas
nas equências essonan es iden i icadas e no malizados pa a no ma uni á ia, no Quad o 3.3 e 3.4:
Quad o 3.3 – Ampli ude no malizada da unção de ans e ência a aliada nas di e en es equências
Modo
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0.289 0.386 0.293 0.411 0.475 0.307 0.288 0.311 0.176
2 0.408 0.504 0.303 0.000 0.106 0.174 0.410 0.476 0.280
3 0.288 0.301 0.074 0.409 0.491 0.257 0.284 0.429 0.314
4 0.289 0.087 0.367 0.408 0.071 0.558 0.293 0.121 0.443
5 0.409 0.003 0.606 0.001 0.212 0.003 0.409 0.010 0.496
6 0.289 0.084 0.367 0.407 0.018 0.557 0.290 0.110 0.434
7 0.289 0.299 0.074 0.408 0.492 0.257 0.288 0.414 0.283
8 0.408 0.503 0.302 0.001 0.108 0.173 0.408 0.457 0.244
9 0.289 0.386 0.292 0.407 0.472 0.303 0.287 0.295 0.150
0 5 10 15 20 25
0
1.57
3.14
T21
F equência (Hz)
Fase
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
T21
F equência (Hz)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
0
1.57
3.14
T31
F equência (Hz)
Fase
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
T31
F equência (Hz)
Ampli ude
Figu a 3.9 – Funções de ans e ência pa a os g aus de libe dade 2 e 3 (ampli ude e ase)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
42
Quad o 3.4 – Fase da unção de ans e ência a aliada nas di e en es equências
Modo
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0.000 0.001 0.000 1.424 3.141 3.136 3.129 3.132 3.135
3 0.001 0.001 0.007 3.137 3.139 3.118 0.005 0.000 0.002
4 3.141 3.130 0.003 0.007 3.031 3.140 3.121 0.045 0.020
5 3.140 2.57 0.002 2.897 3.139 1.117 0.018 1.800 3.132
6 3.140 0.016 0.001 3.135 2.913 0.001 3.135 3.099 0.021
7 0.002 3.134 0.003 0.010 3.135 0.009 0.054 3.133 0.011
8 0.004 3.134 0.000 2.081 3.137 0.008 3.080 0.011 3.127
9 0.003 3.134 0.001 3.132 0.008 3.136 0.049 3.128 0.002
Nes e momen o é impo an e aze uma cla i icação quan o aos alo es de ase ob idos. De ac o, como
oi di o, os alo es ob idos no Quad o 3.4., sendo o amo ecimen o conside ado p opo cional, de e iam
assumi o alo de 0 ou π adianos, sal o pequenos des ios ole á eis, endo-se, no en an o, egis ado a
oco ência de alo es di e en es des es nalguns elemen os. Tal de e-se ao ac o de es es es a em associ-
ados a nodos de alguns modos em que o cálculo da sua ase pe de o signi icado. Além disso, de ido aos
e os in oduzidos no p ocesso (já que se analisam es ima i as), os alo es ob idos pa a a unção de
ans e ência em pon os cuja ampli ude é eduzida es ão mais ulne á eis ao e o do p ocesso e en ual-
men e exis en e, uma ez que es e pode e o dens de g andeza semelhan es às da espos a. Se se c uza
a in o mação dos dois quad os e desp eza os alo es esiduais, ob ém-se os modos do Quad o 3.5:
Quad o 3.5 – Modos ob idos c uzando a in o mação da ampli ude e ase
Modo
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0.289 0.386 0.293 0.411 0.475 0.307 0.288 0.311 0.176
2 0.408 0.504 0.303 0 -0.106 -0.174 -0.410 -0.476 -0.280
3 0.288 0.301 0.074 -0.409 -0.491 -0.257 0.284 0.429 0.314
4 -0.289 -0.087 0.367 0.408 -0.071 -0.558 -0.293 0.121 0.443
5 -0.409 0 0.606 0 -0.212 0 0.409 0 -0.496
6 -0.289 0.084 0.367 -0.407 -0.018 0.557 -0.290 -0.110 0.434
7 0.289 -0.299 0.074 0.408 -0.492 0.257 0.288 -0.414 0.283
8 0.408 -0.503 0.302 0 -0.108 0.173 -0.408 0.457 -0.244
9 0.289 -0.386 0.292 -0.407 0.472 -0.303 0.287 -0.295 0.150
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
43
que podem se compa ados com os alo es eó icos já ob idos a a és do seu esboço (na Figu a 3.10.
apenas se ap esen a os 3 p imei os modos) ou do MAC (“Modal Assu ance C i e ion”). Es e índice
escala en e dois e o es assume alo es en e ze o e um, e elando es e úl imo si uações de colinea i-
dade en e ambos. Segundo a e e ência (Allemang, 2003), o MAC en e dois e o es quaisque
e
pode se calculado po :
(@/
4
భ
,
4
మ
=
i
6
∙
i
*
6
∙
+
∙
*
6
∙
+
(3.19)
Quad o 3.6 – MAC de cada modo ob ido em elação ao modo eó ico espe i o
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(@/
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.998
Es ima i a do amo ecimen o
O amo ecimen o de cada modo de ib ação pode se de e minado a a és do mé odo da meia po ência
(Clough and Penzien, 1975), aplicado a um espe o já ob ido, segundo a equação:
=
−
2
∙
(3.20)
em que
2
e
1
são as equências à di ei a e à esque da da equência essonan e, e cuja ampli ude se
elaciona com es a na azão de 1 pa a 2. No en an o, como o espe o se encon a de inido de o ma
disc e a, es es alo es êm de se ob idos a a és de in e polações. Es e mé odo, apesa de eo icamen e
conduzi a esul ados adequados, como em como pon o de pa ida um espe o de po ência es imado, e
po isso, com uído, conduz a esul ados não mui o sa is a ó ios, como se e á de seguida.
Exemplo 3.5. – Pa a ilus a as di iculdades em es ima co e amen e o amo ecimen o de cada modo
de ib ação da es u u a, calculou-se pelo mé odo da meia po ência aplicado ao ANPSD ob ido no pon o
an e io os alo es des a g andeza pa a as di e en es equências essonan es. No en an o, e de ido ao
ca ác e disc e o das sé ies amos adas, oi necessá io eco e a in e polações (que se conside a am
linea es) en e os pon os imedia amen e an es e depois de o espe o c uza me ade do alo de cada pico,
como se ilus a na Figu a 3.11 pa a o qua o e sé imo picos:
0 20 40 60 80 100 120
-0.5
0
0.5
2º Modo
me os
0 20 40 60 80 100 120
-0.5
0
0.5
1º Modo
me os
0 20 40 60 80 100 120
-0.6
-0.4
-0.2
0
3º Modo
me os
Figu a 3.10 – Esboço dos 3 p imei os modos ob idos pelo mé odo PP (em alçado)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
44
P ocedendo do mesmo modo pa a as es an es equências iden i icadas, chegou-se aos alo es que de
seguida se ap esen a:
Quad o 3.7 – Valo es ob idos pa a os amo ecimen os modais
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ξ
ob ido
(%) 2.36 1.41 1.10 0.62 0.73 0.83 0.82 0.86 1.24
ξ
eó ico
(%) 0.2 0.2 0.22 0.38 0.42 0.50 0.75 0.79 0.85
Como se pode cons a a , a es ima i a ob ida é ancamen e g ossei a po se mui o sensí el à o ma do
pico, sendo es e enómeno mais sen ido quando o amo ecimen o é mais baixo e, po isso, o pico mais
“aguçado”, o que le a a que o e o in oduzido seja mais ele an e. Além disso, odas as es an es es i-
ma i as, apesa de mais p óximas dos alo es eó icos, encon am-se a aliadas po excesso, u o do
e o de “leakage” in oduzido na aplicação da FFT a cada espos a.
Função de coe ência
Uma manei a suplemen a pa a de e minação das equências na u ais da es u u a passa po a alia a
o dem de g andeza da elação en e uído exis en e e espos a. De ac o, nas izinhanças das equências
essonan es, como a ampli ude da espos a aumen a signi ica i amen e, a in luência dos e os das es i-
ma i as e do uído e en ualmen e p esen e é eduzida. Pa a a alia es a g andeza, pode-se eco e à
unção de coe ência que, pa a duas espos as medidas em dois g aus de libe dade dis in os a e b, pode
se esc i a como:
16.5 17 17.5 18 18.5
-3
-2
X: 18.15
Y: 0.004838
ANPSD
F equência (Hz)
X: 18.05
Y: 0.006857
X: 17.95
Y: 0.01141
X: 17.81
Y: 0.006098
X: 17.76
Y: 0.004444
X: 17.08
Y: 0.005705
7.5 8 8.5
X: 8.513
Y: 0.02137
ANPSD
F equência (Hz)
X: 8.464
Y: 0.04706
X: 8.415
Y: 0.02792
X: 8.366
Y: 0.007804
X: 7.74
Y: 0.02353
Figu a 3.11 – Ap oximação do espe o de espos a pa a o 4º (à esque da) e 7º (à di ei a) picos iden i icados.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
45
j
,
=
^
,
(
)
^
,
(
)
∙
^
,
(
)
(3.21)
assumindo alo es en e ze o e um con o me o ní el de uído ou os e os das es ima i as são al os ou
baixos espe i amen e. Assim sendo, é expec á el que, quando a aliada en e qualque sinal e o sinal
de e e ência, a unção de coe ência assume alo es p óximos da unidade pe o das equências na u ais
da es u u a.
Exemplo 3.6. – À semelhança do que oi ei o pa a a unção de ans e ência, ap esen am-se na Figu a
3.12 os g á icos associados à unção de coe ência en e as espos as medidas no g au de libe dade de
e e ência e as espos as ela i as ao segundo e e cei o g aus de libe dade (mais uma ez, o g á ico
associado ao p imei o g au de libe dade é e iden emen e cons an e e igual a 1).
No en an o, e de manei a a comp o a o que oi a i mado, esumem-se os alo es ob idos pa a odas as
unções de coe ência a aliadas pa a cada uma das equências já iden i icadas no Quad o 3.8:
Quad o 3.8 – Valo es ob idos pa a as á ias unções de coe ência a aliadas nas equências essonan es
Modo
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
2 1.000 1.000 1.000 0.013 0.989 0.993 0.993 0.993 0.974
3 1.000 1.000 0.996 0.999 0.999 0.997 0.987 0.990 0.964
4 0.999 0.995 0.999 0.995 0.428 0.995 0.936 0.702 0.936
5 0.999 0.011 0.999 0.002 0.996 0.001 0.963 0.027 0.915
6 0.999 0.989 0.999 0.996 0.284 0.995 0.970 0.809 0.918
7 0.998 0.999 0.991 0.989 0.994 0.986 0.873 0.934 0.879
8 0.998 0.998 0.998 0.019 0.985 0.990 0.912 0.896 0.868
9 0.997 0.998 0.998 0.992 0.990 0.988 0.915 0.893 0.836
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
C21
F equência (Hz)
Ampli ude
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
C31
F equência (Hz)
Ampli ude
Figu a 3.12 – Funções de coe ência a aliadas pa a o 2º e 3º g au de libe dade
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
46
Como se pode pe cebe , os alo es ob idos são ele ados, o que con i ma que pa a equências p óximas
das equências na u ais do sis ema, a espos a da es u u a é subs ancialmen e supe io ao uído ou e os
das es ima i as exis en es. No en an o, pa a g aus de libe dade cuja ampli ude em de e minados modos
de ib ação seja bas an e eduzida, a unção de coe ência ai esul a em alo es mais eduzidos, já que
o uído ou o e o das es ima i as exis en es e a p óp ia espos a podem e o dens de g andeza seme-
lhan es. Caso limi e sucede nos g aus de libe dade que sejam nodos de modos de ib ação, pois como
es e não é de e ado, a compa ação dá-se en e uído (alea ó io) e uma espos a, o que conduz a esul ados
p óximos de 0.
3.3.2.
M
ÉTODO
D
A
D
ECOMPOSIÇÃO NO
D
OMÍNIO DA
F
REQUÊNCIA
–
F
REQUENCY
D
OMAIN
D
ECOMPOSITION
Es e mé odo, desen ol ido po Rune B incke (B incke [e al.], 2000) em, em elação ao mé odo já
ap esen ado, a an agem de pe mi i a a adequadamen e es u u as com modos de ib ação p óximos
ou p a icamen e coinciden es, além de o nece melho es es ima i as pa a o amo ecimen o dos mesmos.
Pa a al, é necessá io i a pa ido da decomposição em alo es e e o es singula es de uma ma iz
(Klema and Laub, 1980), concei o que su ge como uma gene alização a ma izes e angula es do p o-
blema de e o es e alo es p óp ios, e que de seguida se ap esen a sin e icamen e.
A decomposição em alo es singula es (ab e iadamen e designada SVD – “singula alue decomposi-
ion”) pe mi e esc e e uma ma iz qualque de al o ma que:
(
=
∙
^
∙
k
6
=
∙
=
^
0
?
∙
k
6
(3.22)
sendo que, se
o de dimensão m.n (m>n), en ão
e
>
são o ogonais, de dimensão m.m e n.n e
con êm os alo es singula es à esque da e à di ei a espe i amen e. A ma iz 2
é quad ada, de dimensão
n, con ém os alo es singula es de
,
cuja o dem (núme o de colunas/linhas linea men e independen es)
é indicada pela quan idade de alo es di e en es de ze o. Es a ope ação ma emá ica pode se calculada
a pa i da ma iz
da seguin e o ma:
• os alo es singula es são a aiz quad ada posi i a dos alo es p óp ios de ∙
e de
∙
• os e o es singula es à esque da iden i icam-se com os e o es p óp ios de ∙
e os e o es
à di ei a com os de
∙
Do acima expos o, pode-se conclui que no caso da ma iz em análise se simé ica (ou he mi iana
6
se
se a a de uma ma iz com en idades complexas) os alo es singula es e os alo es p óp ios iden i icam
uma e uma só g andeza e as ma izes
e
>
passam a coincidi e a con e os e o es p óp ios de .
A aplicação des e mé odo a es u u as de Engenha ia Ci il pe mi e, no caso de os amo ecimen os se em
eduzidos (como no malmen e são, e especialmen e num ensaio de ib ação ambien al, ou seja, com
ações de se iço da es u u a), dos modos de ib ação p óximos se em o ogonais e des a se animada
po uma exci ação do ipo uído b anco (como se em conside ado ao longo des e abalho), decompo
a ma iz dos espe os num conjun o de unções de densidade espe al de oscilado es de um g au de
6
Uma ma iz he mi iana é al que (=(
6
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
47
libe dade, com as mesmas ca ac e ís icas dos modos de ib ação p óp ios da es u u a (B incke [e al.],
2000). Como es a ma iz cump e os equisi os pa a se conside ada he mi iana, en ão pode-se esc e e ,
pa a cada equência a aliada
:
^
*
+
=
∙
^
∙
k
6
=
∙
^
∙
6
(3.23)
Os alo es singula es ob idos da decomposição ap esen ada iden i icam-se com as o denadas dos espe-
os de po ência dos oscilado es de um g au de libe dade cujos modos que e a am mais con ibuem
pa a a con igu ação da es u u a nessa mesma equência. Apa ecendo es es alo es, u o do algo i mo
da decomposição, o ganizados ao longo da diagonal p incipal da ma iz 2
#
po o dem dec escen e, o
p imei o e mo es a á en ão associado ao modo dominan e nessa mesma equência (e en ualmen e mais
alo es pode ão se in e essados nes e p oblema no caso de exis i em equências p óximas). Assim
sendo, a ep esen ação g á ica da a iação do p imei o alo singula ao longo das equências em aná-
lise pe mi e iden i ica pa a cada equência essonan e as ca a e ís icas do oscilado de um g au de
libe dade que domina o mo imen o. No caso de ha e modos p óximos, en ão es es podem se iden i i-
cados, já que os alo es singula es ele an es nas izinhanças de uma de e minada equência na u al
da es u u a se ão an os quan os os modos que coexis am nes a.
E iden emen e, se num ensaio o em moni o izados apenas alguns g aus de libe dade em cada “se up”,
en ão apenas é possí el decompo uma ma iz dessa dimensão e po an o só é possí el ob e an os
alo es singula es não nulos quan os os senso es u ilizados. À semelhança do que oi ei o pa a o mé odo
da seleção de picos, ambém ago a é necessá io p ocede à no malização dos alo es ob idos nos di e-
en es “se ups”. No en an o, e ao con á io do mé odo an e io , es a não pode se ealizada eco endo
ao ANPSD, uma ez que al ope ação le a ia à pe da das elações de escala en e os di e en es elemen os
da ma iz e, consequen emen e, a uma decomposição em alo es singula es e ada. Assim sendo, op ou-
se po adap a o concei o já expos o do ANPSD, e e uando a no malização a a és da di isão de oda a
ma iz pela soma do espe o de po ência associado a um g au de libe dade de e e ência. Além disso, e
como exis e a possibilidade de de e minados “se ups” não iden i ica em alguns modos, op ou-se po
ambém gene aliza o concei o de média de modo a pe mi i que, na e en ualidade de um modo apenas
su gi num de e minado “se up”, es e possa se de e ado a a és da análise de um só g á ico (aspe o
pa icula men e ele an e quando exis em equências p óximas e, po an o, mais do que um alo sin-
gula ele an e cuja o dem de g andeza de e i co e amen e ilus ada, como se e á).
2
$
=
?
1
Q
∙
@
A
2
B
?
@
=
1
C
1
A
⁄
,
2
=
2
∑
2
(
ݎ݂݁
,
ݎ݂݁
)
0
&
(3.24)
em que o pa âme o a pode se ajus ado em unção do núme o de “se ups” ealizados, e l e N êm o
mesmo signi icado a ibuído pa a a de inição do ANPSD. As equências na u ais da es u u a podem
en ão se iden i icadas como as abcissas pa a as quais se encon am picos do g á ico dos alo es singu-
la es e as espe i as con igu ações modais ob idas pela p imei a coluna da ma iz dos e o es singula es
U a aliada nessa equência, no caso de os modos se encon a em bem sepa ados. Se al não se e i ica ,
en ão essa coluna con ém o modo dominan e de uma de e minada equência, e as colunas associadas
aos es an es alo es singula es impo an es os es an es.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
48
Exemplo 3.7. – Pa a ilus a o e ei o da no malização, ge a am-se 4 “se ups” em que o am medidos
apenas 3 g aus de libe dade em cada um pa a o modelo 2. Os p imei o e segundo g aus de libe dade
o am semp e medidos, sendo além des es moni o izado sucessi amen e o e cei o, o qua o, o quin o e
o sé imo. Além disso, induziu-se uma al e ação da in ensidade de manei a semelhan e ao e e uado no
mé odo da seleção de picos, endo as ês p imei as sé ies sido ge adas com um des io pad ão igual a
25, enquan o a úl ima oma a a unidade pa a essa g andeza (Figu a 3.13):
Como se pode cons a a , os dois úl imos modos de ib ação que e am impossí eis de se iden i icados
no mé odo an e io são ago a e elados pelo apa ecimen o de um segundo alo singula de o dem de
g andeza semelhan e ao p imei o ( isí el apenas no qua o “se up” ap esen ado). No en an o, e de modo
a pe mi i a análise de apenas um g á ico, calculou-se a média (gene alizada com a=8, alo que se
conside ou su icien e em unção do núme o de “se ups”) com e sem a no malização p é ia dos espe os
(Figu a 3.14):
0 5 10 15 20 25
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102Valo es singula es 1
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
0 5 10 15 20 25
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102Valo es singula es 2
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
0 5 10 15 20 25
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102Valo es singula es 3
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
0 5 10 15 20 25
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100Valo es singula es 4
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
Figu a 3.13 – Valo es singula es ob idos pa a os á ios “se ups”
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
49
Como se pode e , as al e ações in oduzidas no cálculo dos alo es p óp ios pe mi em que os dois
modos com equências p óximas possam ago a se iden i icados eco endo a um único g á ico que
u iliza in o mação de á ios “se ups”.
Com a pe inência dos concei os in oduzidos explicada, p ocedeu-se en ão ao cálculo das equências
e modos de ib ação pa a o modelo 1 eco endo às sé ies ge adas p e iamen e. Assim, ob i e am-se os
g á icos ap esen ados na Figu a 3.15 pa a as a iações dos 9 alo es singula es ob idos quando são
medidos odos os g aus de libe dade em simul âneo, onde são isí eis os 9 au o-espe os em co espon-
dência com o mesmo núme o de oscilado es de um g au de libe dade com as ca a e ís icas dos modos
p óp ios da es u u a:
À semelhança do e e uado no mé odo an e io , iden i ica am-se as equências na u ais da es u u a e os
espe i os modos de ib ação, que o am de seguida compa ados com os alo es eó icos já ob idos nos
Quad os 3.9 e 3.10:
0 5 10 15 20 25
10-8
10-6
10-4
10-2
100
102Valo es singula es (sem no malização)
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
0 5 10 15 20 25
10
-12
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
Valo es singula es (com no malização)
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
Figu a 3.14 – Valo es singula es ob idos sem (esque da) e com (di ei a) no malização dos espe os
0 5 10 15 20 25
10
-10
10
-8
10
-6
10
-4
10
-2
10
0
Valo es singula es
F equência (Hz)
Ampli ude
SV1
SV2
SV3
Figu a 3.15 – Valo es singula es – modelo 1 (apenas se legendou os alo es mais ele an es)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
56
equação (3.32) se conside a a decomposição em alo es e e o es singula es da ma iz de Toepli z
ob ém-se:
Y
,
1
;
b
.
:
=
∙
^
∙
k
=
∙
=
^
0
0
0
?
∙
;
k
k
<
=
∙
^
∙
k
(3.33)
na qual o índice 2 p e ende iden i ica as sub-ma izes de e o es singula es associadas a alo es singu-
la es nulos. Po esse mo i o, a p imei a igualdade pode se con e ida na úl ima, em que a ma iz 2
1
possui os n alo es não nulos, indicando po isso a o dem do sis ema, e as ma izes de e o es singula es
à esque da e à di ei a apenas con ém os e o es associados com esses mesmos alo es. Igualando as
equações (3.32) e (3.33), é possí el de ini as ma izes de obse abilidade e con olabilidade es endida
de á ias o mas, sendo uma hipó ese co en emen e u ilizada (Pee e s, 2000):
l
=
∙
^
⁄
Γ
:
=
^
⁄
∙
k
(3.34)
Ca a e izadas as ma izes N
e Γ
, a iden i icação do modelo de es ado o na-se p a icamen e imedi-
a a. De ac o, ex aindo as p imei as l linhas da ma iz N
(núme o de g aus de libe dade moni o izados
num de e minado ins an e) ob ém-se imedia amen e a ma iz . In ui i amen e, a ma iz ( pode ia se
ob ida de igual o ma, p é-mul iplicando as linhas l+1 a é 2l (ma iz ∙(), pela in e sa da ma iz já
ob ida. No en an o, e de o ma a melho a o esul ado ob ido, pode-se oma quaisque 2 blocos conse-
cu i os de l linhas, ou, com um p ocedimen o ainda mais obus o, ajus a a ma iz ( que melho se
enquad a em odos os pa es de blocos. O p oblema em es udo ans o ma-se en ão num p oblema de
o imização, podendo-se po an o eco e à pseudo-in e sa de Moo e-Pen ose pa a o esol e :
H
I
I
J
/
/
∙
@
⋮
/
∙
@
K
L
L
M
∙
@
=
H
I
I
J
/
∙
@
/
∙
@
⋮
/
∙
@
K
L
L
M
!
"
"
"
"
"
"
#
@
=
H
I
I
J
/
/
∙
@
⋮
/
∙
@
K
L
L
M
E
∙
H
I
I
J
/
∙
@
/
∙
@
⋮
/
∙
@
K
L
L
M
(3.35)
A pa i do acima expos o, o p oblema de iden i icação es á concluído com a ob enção da ma iz de
es ado, podendo ago a as ca a e ís icas dinâmicas do sis ema se ob idas a a és das exp essões já ap e-
sen ada no pon o 2.2.2.2., e que são de seguida ecupe adas:
@
=
Ψ
∙
Λ
/
∙
Ψ
V
=
ೖ
∙∆
,
,
,
∗
=
−
∙
±
∙
m
1
−
∙
(3.36)
†
Pseudo-in e sa de Moo e-Pen ose
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
57
A di iculdade de aplicação do mé odo su ge po que a ealidade das es u u as de Engenha ia Ci il e-
quen emen e não pe mi e uma iden i icação cla a da o dem a conside a pa a o sis ema. De ac o, como
as co elações analisadas no deco e de ensaios são me as es ima i as, os alo es singula es que se
supõe nulos na ealidade não o são, assumindo an es alo es esiduais. Se ia e en ualmen e possí el
iden i ica a o dem co e a a a és da de eção de um in e alo maio en e alo es consecu i os, mas na
gene alidade dos casos al ambém não é possí el, is o que essa a iação é na ealidade pouco acen u-
ada. Assim, não sendo possí el iden i ica à pa ida a o dem do modelo que melho ajus a o p oblema
em es udo, é equen e calcula as ma izes ( e pa a di e en es o dens do modelo ajus ado (núme o
de alo es e e o es singula es u ilizados), ob endo-se de seguida as ca a e ís icas dinâmicas a a és das
equações (3.36). Esses pa âme os podem de seguida se compa ados com aqueles ob idos pa a o mo-
delo de o dem imedia amen e in e io , sendo conside ados es á eis se cump i em de e minadas ole ân-
cias conside adas acei á eis (p ocedimen o que se encon a ilus ado na e e ência (Magalhães and
Cunha, 2011)). Além disso, é comum ep esen a -se g a icamen e as equências ob idas pa a os di e-
en es modelos, o que o na cla o quais são aquelas que co espondem a equências p óp ias da es u-
u as e as que êm o igem em e os numé icos (modos espú ios). Po im, é impo an e e em con a que
pa a ga an i a e iciência do p ocesso (o que implica e e ua a decomposição da ma iz ;
'
1
(
#
)
uma única
ez), a escolha do alo de #
não pode se deixado ao acaso, já que pa a ob e um modelo de o dem n é
necessá io n seja não supe io a O∙#
. Além disso, es a escolha em ambém in luência nos esul ados
ob idos pa a uma de e minada o dem, is o que quan o maio o , mais in o mação es a á con ida na
ma iz ;
'
1
(
#
)
, como se e á de seguida.
Exemplo 3.9. – As sé ies p e iamen e ge adas de acele ações dos di e en es g aus de libe dade o am
dispos as segundo uma ma iz de Hankel, al como se encon a na exp essão (3.11), sendo de seguida
calculada uma ma iz de Toepli z com as ma izes de co elações (equação (3.10)), assumindo #
= 12
e po an o, como se medi am e conside a am de e e ência odos os g aus de libe dade, uma o dem
máxima ajus á el O∙#
= 9 × 12 = 108. De seguida, ap esen a-se os alo es singula es ob idos da de-
composição da ma iz de Toepli z c iada (Figu a 3.21):
Como se pode pela Figu a 3.21., o compo amen o dinâmico da es u u a é bem ap oximado po um
modelo de es ado de o dem 18, como e a espe ado de ido aos 9 g aus de libe dade ins umen ados
(OP" P P"Q= 2 × º P!). No en an o, e pa a ilus a o p ocedimen o co en emen e u ili-
zado quando es a iden i icação não é ão cla a, calcula am-se modelos de es ado pa a o dens en e 1 e
108 (máxima possí el), endo os esul ados ob idos sido o ganizados nos diag amas de es abilização
0 20 40 60 80 100 120
0
2
4
6x 10
-3
Valo es singula es
Figu a 3.21 – Va iação dos alo es singula es da ma iz de Toepli z
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
58
cujos alo es conside ados ele an es ( equências in e io es a 25 Hz e amo ecimen os in e io es a 2%),
es á eis e ins á eis, de seguida se ap esen am na Figu a 3.22.:
Como se pode e no diag ama das equências ob idas, apesa da dispe são de esul ados, há 9 alo es
que assumem p eponde ância e apa ecem de manei a sis emá ica independen emen e da o dem esco-
lhida pa a o modelo, aduzindo assim as equências na u ais da es u u a. No caso do amo ecimen o,
não é ão ácil iden i ica os 9 alo es dis in os de ido à dis ância en e alguns dos alo es (o 1º e 2º
modo êm alo es eó icos iguais, po exemplo). De manei a a pe mi i limpa o g á ico dos alo es que
não aduzem modos p óp ios da es u u a, expo a am-se os esul ados ob idos pa a o EXCEL il ando-
se os dados ap esen ados na igu a 3.22. pa a o dens de modelo pa es en e 18 e 108, impondo uma
a iação ela i a do amo ecimen o e da equência in e io a 1% e um MAC mínimo pa a os modos
iden i icados de 0,95 en e o dens consecu i as. Assim, ob e e-se o g á ico ap esen ado na Figu a 3.23:
Figu a 3.23 – Diag ama de es abilização após a amen o
Po ou o lado, e pa a acili a a iden i icação de cada equência com o seu espe i o amo ecimen o, é
possí el ep esen a num g á ico em que o eixo das abcissas seja a equência e o das o denadas o amo -
ecimen o apenas os pólos conside ados es á eis em odos os c i é ios, de onde se ob e e (Figu a 3.24):
0
20
40
60
80
100
120
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização
F equência Es á el Amo ecimen o Es á el MAC es á el Todos os pólos
0 0.5 1 1.5 2
0
20
40
60
80
100
Amo ecimen os (%)
0 5 10 15 20 25
0
20
40
60
80
100
F equências (Hz)
Figu a 3.22 – Diag amas de es abilização
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
59
Figu a 3.24 – Va iação do amo ecimen o em unção da equência
A pa i do qual é possí el ob e as equências ap esen adas no Quad o 3.13:
Quad o 3.13 – F equências iden i icadas pelo mé odo SSI-COV
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
FFG
HIJ
(
R
)
2.125 2.719 3.969 8.435 9.560 11.575 17.923 18.922 20.368
ó
(
R
)
2.1242
2.7213 3.9691 8.4376 9.5652 11.5756
17.9148
18.9221
20.3735
E o (%) 0.038 0.085 0.003 0.031 0.054 0.005 0.046 0.001 0.027
Além disso, e como já oi e e ido, a escolha da dimensão da ma iz de Toepli z condiciona os esul ados
ob idos, sendo es a in luência an o mais no ó ia quan o meno a equência do modo
7
. P ocu ando ilus-
a o impac o da al e ação des e alo ge a am-se 100 conjun os de sé ies de espos as independen es,
co ompidas com um uído b anco de dis ibuição no mal e des io pad ão igual a 10% do des io pad ão
do sinal, pa a as quais se ap esen am os esul ados médios, o coe icien e de a iação ( azão en e o
des io-pad ão e a média) e os alo es ex emos pa a di e en es alo es de #
quando se ajus a um modelo
de dimensão 18, que já se iu aduzi bem o p oblema. Além disso, e de manei a a a alia a in luência
do empo de obse ação, calcula am-se os mesmos alo es conside ando a sé ie comple a (10 minu os)
ou apenas pa e des a (pa a o caso, 2 minu os). Como os esul ados ob idos pa a as equências na u ais
da es u u a são consis en es independen emen e dos alo es ado ados, a análise que de seguida se ap e-
sen a se á limi ada aos alo es ob idos pa a o coe icien e de amo ecimen o dos di e en es modos. Po
im, e apenas po simplicidade de esc i a, apenas se ap esen am me ade dos alo es ob idos, uma ez
que es es su gem aos pa es (Quad os 3.14 e 3.15):
7
No e-se que pa a uma de e minada equência de amos agem e um de e minado núme o de pon os u ilizados na
c iação da ma iz de Toepli z, são incluídos an os mais ciclos na análise quan o maio a equência do modo
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Diag ama de Amo ecimen o
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
60
Quad o 3.14 – Média e coe icien e de a iação associados ao amo ecimen o
pa a sé ies com du ação de 10 minu os
b
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
100.0
0.316
0.210
0.207
0.208
0.208 0.209
0.208 0.209
0.209
0.210
- 2.657
0.867
0.292
0.255
0.241 0.245
0.259 0.261
0.253
0.249
2
100.0
0.255
0.215
0.211
0.212
0.211 0.208
0.207 0.207
0.207
0.207
- 0.953
0.272
0.242
0.241
0.249 0.247
0.242 0.234
0.231
0.230
3
100.0
0.233 0.235
0.232
0.234
0.235 0.234
0.235 0.234
0.235
0.235
- 0.193
0.192
0.171
0.170
0.168 0.167
0.167 0.166
0.167
0.166
4
44.41
0.379
0.380
0.38 0.380
0.381 0.381
0.381 0.381
0.381
0.381
- 0.105
0.105
0.106
0.108
0.107 0.107
0.107 0.106
0.106
0.106
5
86.03
0.426
0.425
0.424
0.424
0.424 0.424
0.424 0.424
0.424
0.424
- 0.084
0.084
0.084
0.083
0.083 0.084
0.084 0.085
0.086
0.087
6
99.85
0.498
0.499
0.499
0.499
0.499 0.499
0.498 0.498
0.498
0.498
- 0.064
0.063
0.064
0.065
0.065 0.065
0.065 0.065
0.065
0.065
7
99.86
0.763
0.763
0.763
0.763
0.763 0.764
0.764 0.764
0.765
0.765
- 0.047
0.049
0.049
0.049
0.050 0.050
0.050 0.050
0.051
0.052
8
99.85
0.794
0.793
0.793
0.794
0.794 0.794
0.795 0.796 0.796
0.796
- 0.041
0.041
0.040
0.041
0.041 0.042
0.043 0.043
0.044
0.044
9
99.85
0.851
0.851
0.850
0.849
0.849 0.849
0.848 0.848
0.848
0.848
- 0.037
0.039
0.040
0.041
0.041 0.041
0.041 0.042
0.042
0.043
De ido aos alo es médios das es ima i as ob idas pa a #
= 2 não e em signi icado ísico, o cálculo
do coe icien e de a iação associado a es es e mos pe de o signi icado, uma ez que as sé ies se encon-
am en iesadas à pa ida. Pa a os es an es casos, e como se pode cons a a , o coe icien e de a iação
associado às es ima i as ob idas ende a diminui à medida que a equência dos modos aumen a, o que
e a expec á el, uma ez que pa a o mesmo núme o de pon os são idos em con a an os mais ciclos
quan o maio a equência. Além disso, é possí el pe cebe que es e alo ende a es abiliza à medida
que o núme o de blocos conside ados pa a a c iação da ma iz de Toepli z aumen a.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
61
Quad o 3.15 – Média e coe icien e de a iação associados
ao amo ecimen o
pa a sé ies com du ação de 2 minu os
b
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
100.0
0.325 0.279 0.245 0.245 0.245 0.244 0.243 0.242 0.241
0.242
- 7.262 2.045 0.828 0.601 0.638 0.635 0.624 0.617 0.623
0.633
2
100.0
0.162 0.259 0.262 0.260 0.258 0.258 0.261 0.263 0.263
0.263
- 4.442 0.669 0.556 0.574 0.571 0.546 0.527 0.521 0.521
0.523
3
99.99
0.254 0.253 0.257 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257 0.257
0.258
- 0.519 0.471 0.457 0.445 0.438 0.438 0.438 0.438 0.438
0.441
4
46.34
0.388 0.386 0.385 0.385 0.385 0.385 0.385 .385 0.385
0.385
- 0.229 0.217 0.215 0.215 0.215 0.216 0.216 0.216 0.216
0.217
5
80.72
0.436 0.438 0.438 0.437 0.437 0.436 0.436 0.436 0.436
0.436
- 0.197 0.195 0.191 0.184 0.181 0.178 0.178 0.179 0.179
0.180
6
99.82
0.507 0.509 0.509 0.509 0.509 0.510 0.510 0.511 0.511
0.511
- 0.147 0.149 0.151 0.152 0.153 0.154 0.156 0.157 0.158
0.160
7
99.85
0.757 0.755 0.754 0.753 0.752 0.751 0.750 0.750 0.750
0.750
- 0.103 0.104 0.104 0.105 0.106 0.109 0.110 0.111 0.113
0.115
8
99.86
0.793 0.791 0.789 0.789 0.789 0.788 0.787 0.787 0.787
0.786
- 0.100 0.102 0.101 0.101 0.101 0.102 0.102 0.101 0.102
0.102
9
99.82
0.853 0.853 0.854 0.856 0.857 0.857 0.857 0.858 0.859
0.859
- 0.080 0.081 0.089 0.093 0.094 0.095 0.096 0.098 0.101
0.104
Como acilmen e se cons a a, a diminuição da du ação das sé ies amos adas pa a 2 minu os em como
consequência imedia a um aumen o signi ica i o do e o associado às di e en es es ima i as (po exem-
plo, o 1º modo passa a es abiliza pa a um coe icien e de a iação de ce ca de 60% em de imen o do
alo p e iamen e ob ido de ce ca de 25%). Aspe o cu ioso e que ago a é mais acilmen e obse ado
(sob e udo pa a os modos mais ele ados) é a ligei a pe da de qualidade dos esul ados com um aumen o
do núme o de blocos u ilizado. Tal enómeno de e-se a es a úl ima g andeza es a associada à ex ensão
u ilizada da unção de au o-co elação, sendo que pa a des asamen os ele ados e modos de equência
ele ada a sua ampli ude é eduzida e, po an o, mais susce í el de se a e ada pelos e os do mé odo e/ou
uídos do p ocesso.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
62
Modos de Vib ação
A de e minação dos modos de ib ação pelo mé odo ap esen ado é conseguida a pa i dos e o es p ó-
p ios da ma iz de es ado iden i icada. No en an o, quando a o dem do modelo é desconhecida, pa a
cada o dem n es ada a ma iz Ψ ob ida em dimensão n.n e, po an o, n e o es p óp ios de igual dimen-
são. Po ou o lado, apenas são ins umen ados l g aus de libe dade num de e minado ins an e, sendo
po an o e iden e que apenas es es podem se ca a e izados (sendo l<n). De o ma a consegui ob e os
l alo es in e essados a pa i dos n ob idos pa a cada modo, é necessá io en ão p ocede a uma mudança
de a iá el do modelo de es ado em empo con ínuo ap esen ado no pon o 2.2.2. De ac o, se se assumi :
Ψ
∙
Ψ
∙
(3.37)
é ácil pe cebe que as equações que egem o modelo de es ado se ans o mam em:
Ψ
∙
∙
Ψ
∙
∙
∙
Ψ
∙
∙
Λ
∙
Ψ
∙
∙
∙
Ψ
∙
∙
(3.38)
em que a ma iz
∙ Ψ assume signi icado pa icula men e in e essan e já que con ém ao longo das
suas colunas os modos de ib ação obse á eis pa a um de e minado “se up” da es u u a. Como a ma-
iz
é igual à sua co esponden e em empo disc e o, en ão é possí el u iliza a ma iz já es imada
pa a iden i icação dos modos da es u u a.
No caso co en e de ealização de á ios “se ups”, os dados associados a cada um des es podem se
a ados sepa adamen e e no malizados em unção dos senso es de e e ência, sendo depois combinados
pa a a ob enção dos modos inais da es u u a. No en an o, como se encon a na e e ência (Magalhães,
2010), es e p ocedimen o aca e a consigo a necessidade de in e p e a á ios diag amas de es abiliza-
ção, an os quan o o núme o de “se ups” e e uados, apesa de pe mi i a alia a in luência de a o es
como a empe a u a ou a in ensidade do á ego nos esul ados ob idos.
Pa a simpli ica o a amen o dos dados, e à semelhança dos ou os mé odos já ap esen ados, é possí el
a ingi os esul ados p e endidos a aliando um único diag ama de es abilização com in o mação de á-
ios “se ups”. Nes e abalho, dá-se p imazia à me odologia desc i a na e e ência (Pa loo, 2003) como
“Pos Global Es ima ion Re-scaling App oach”. Es a écnica passa po dispo as ma izes de en ada no
sis ema (ma izes de co elação nes e caso) c iadas pa a os á ios “se ups” ao longo de uma coluna de
uma única ma iz de blocos. É en ão aplicado o algo i mo do mé odo a es a úl ima, ob endo-se os esul-
ados p e endidos, sendo es es cons i uídos po blocos associados aos á ios “se ups”. Do expos o, e-
sul a esquema icamen e a Figu a 3.25:
Figu a 3.25 – Esquema de uncionamen o do mé odo “Pos Global Es ima ion Re-scaling App oach”
(adap ado de (Pa loo, 2003))
R
ଶ
⋮
R
ೞ
R
ଵ
R௧௧ Algo i mo
ଵ
…
ೞ
ଵ
…
ೞ
ଵ
ଵଶ
ଵ⋯
ଵ
ଵ
ଶଶ
ଶ⋯
ଶ
⋮
⋮
⋱
⋮
ଵ
ೞ
ଶ
ೞ
⋯
ଷ
No malização
ଵ
ଶ
⋮
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
63
Do p ocedimen o acima expos o esul am en ão an as equências e coe icien es de amo ecimen o
quan o a o dem do modelo impos o, e o mesmo núme o de modos, sendo cada um deles cons i uído po
n
s
blocos associados a cada “se up”. De ido a não se e ei o nenhum escalamen o p é io das ma izes
de en ada, os esul ados ob idos não se encon am de idamen e escalados, sendo po an o necessá io
con o na es e p oblema de algum modo. Um p ocedimen o que pode se u ilizado pa a con e e os
modos iden i icados pa a uma escala comum encon a-se na e e ência (Pa loo, 2003), na qual, assu-
mindo a escala dos modos de um de e minado “se up” k como e e ência pa a o p ocesso (
߶
݅
݇,ݎ݂݁
), o
modo i do “se up” j (
߶
݅
݆
) pode se escalado a pa i de:
'
→
=
3
→
∙
'
(3.39)
sendo
3
→
=
B
'
,
:
C
6
∙
B
'
,
:
C
B
'
,
:
C
6
∙
B
'
,
:
C
(3.40)
A con igu ação modal comple a pode en ão se ob ida po
'
=
H
I
I
I
I
I
I
J
'
,
:
'
→,"
'
→,"
⋮
'
ೞ
→
,
"
K
L
L
L
L
L
L
M
(3.41)
em que a indicação mo ep esen a os g aus de libe dade que não são de e e ência (associados a senso-
es mó eis) em cada “se up”.
Exemplo 3.10. – Pa a exempli ica a de e minação dos modos ap esen ada, u iliza am-se ês “se ups”
dis in os, com di e en es posicionamen os dos senso es e ní eis de in ensidade, esumidos no Quad o
3.16. que de seguida se ap esen a:
Quad o 3.16 – Ca a e ís icas dos di e sos “se ups” u ilizados
Se up G aus de libe dade
ins umen ados Des io - pad ão
1 1,2,4,6,7 1
2 1,3,4,7,8 9
3 1,4,5,7,9 25
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
64
Como se pode cons a a , são conside ados 3 senso es de e e ência associados aos g aus de libe dade 1,
4 e 7, endo po isso a ma iz de co elações 1
!
dimensão 15 × 3. Assim sendo, u ilizou-se na c iação
da ma iz de Toepli z #
= 36 de manei a a pe mi i ajus a modelos da mesma dimensão dos u ilizados
no Exemplo 3.9. Da aplicação do mé odo ob e e-se um diag ama de es abilização em udo semelhan e
ao p e iamen e ap esen ado, omi indo-se assim a sua ap esen ação. Pa a um modelo ajus ado de o dem
18, ob e e-se en ão os seguin es modos de ib ação (com 15 alo es cada), dos quais que se ap esen am
de seguida o 1º e 5º sem qualque no malização, endo os alo es ap esen ados sido apenas mul iplicados
po 1000 po simplicidade de ap esen ação:
'
(:(,)
=
H
I
I
I
J
0
.
0170
±
0
.
1131
∙
0
.
0240
±
0
.
1596
∙
−
0
.
0172
±
0
.
1125
∙
−0.0169 ± 0.1135 ∙
0.0170 ± 0.1120 ∙
K
L
L
L
M
,
'
(:(,()
=
H
I
I
I
J
−
0
.
1713
±
0
.
2469
∙
0
.
0374
±
0
.
0551
∙
0
.
0047
±
0
.
0087
∙
0.0072 ± 0.0084 ∙
0.1732 ± 0.2584 ∙
K
L
L
L
M
'
():,)
=
H
I
I
I
J
1.4326 ± 9.9349 ∙
1.4807 ± 9.9003 ∙
−1.5173 ± 9.9933 ∙
1.5791 ± 10.0103 ∙
2.2508 ± 14.1947 ∙
K
L
L
L
M
,'
():,()
=
H
I
I
I
J
−14.7489 ± 20.9385 ∙
15.3023 ± 21.6434 ∙
0.4342 ± 0.6708 ∙
15.1293 ± 21.7223 ∙
3.2751 ± 4.6242 ∙
K
L
L
L
M
'
(:(,)
=
H
I
I
I
J
14.712 ± 10.1436 ∙
−1.4645 ± 10.1265 ∙
−
2
.
0814
±
14
.
3077
∙
1
.
4697
±
10
.
1238
∙
1
.
4695
±
10
.
1131
∙
K
L
L
L
M
,
'
(:(,()
=
H
I
I
I
J
123.343 ± 180.542 ∙
4.735 ± 5.623 ∙
55
.
231
±
79
.
288
∙
128
.
007
±
184643
∙
123
.
407
±
178
.
149
∙
K
L
L
L
M
(3.42)
Após a aplicação da equação (3.40) conside ando o 2º “se up” como e e ência, ob e e-se os seguin es
esul ados pa a os coe icien es α:
E
→
=
88
.
6416
±
0
.
0348
∙
E
+→
= (98.5899 ± 0.6110 ∙ ) ∙ 10
+
E
,
→
= 85.1496 ± 01.0823 ∙
E
,
+
→
=
(
117
.
48
±
0
.
0094
∙
)
∙
10
+
(3.43)
Se aos e o es ob idos po mul iplicação do esul ado inicial pelo espe i o coe icien e, se aplica a
exp essão (3.41) e e e ua a con e são dos mesmos pa a o espaço eal e no ma uni á ia, ob ém-se en ão
os esul ados inais pa a um modelo de o dem 18 que se ap esen am no Quad o 3.17:
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
65
Quad o 3.17 – Modos inais ob idos após escalonamen o e aglu inação dos á ios “se ups”
Modo
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0.288 0.387 0.293 -0.407 -0.476 -0.302 -0.292 -0.306 -0.154
2 0.409 0.508 0.301 0.000 0.105 0.172 0.416 0.472 0.254
3 0.286 0.299 0.072 0.407 0.492 0.256 -0.293 -0.414 -0.294
4 -0.288 -0.087 0.368 -0.408 0.015 0.559 0.287 -0.112 -0.447
5 -0.407 -0.002 0.606 0.001 0.211 0.000 -0.411 0.003 0.509
6 -0.291 0.086 0.364 0.408 0.017 -0.559 0.287 0.125 -0.441
7 0.288 -0.298 0.076 -0.409 0.491 -0.258 -0.284 0.419 -0.292
8 0.411 -0.501 0.304 0.000 0.105 -0.174 0.403 -0.465 0.256
9 0.288 -0.385 0.293 0.411 -0.473 0.304 -0.282 0.304 -0.147
MAC 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
3.3.4.
C
ONSIDERAÇÕES
F
INAIS
Após a aplicação dos á ios mé odos ap esen ados é en ão possí el e i a algumas conclusões impo -
an es pa a a sua aplicação. O mé odo da seleção de picos demons ou-se capaz de iden i ica co e a-
men e os modos p incipais da es u u a e espe i as con igu ações, sendo a sua aplicação bas an e sim-
ples e p á ica. No en an o, es e mé odo demons ou-se incapaz de es ima amo ecimen os modais co -
e amen e e ob igou a uma sepa ação p é ia das sé ies empo ais em unção do ipo de mo imen o que
ca a e iza am. O mé odo da decomposição no domínio da equência, sob e udo na sua e são melho-
ada, pe mi iu ence desde logo es es dois g andes p oblemas do mé odo an e io , sendo no en an o a
sua aplicação ligei amen e mais labo iosa e ap esen ando ainda alguma di iculdade na es ima i a do
amo ecimen o, possibili ando ainda uma ap eciação g á ica in e essan e do p ocesso po pa e do u ili-
zado (nomeadamen e no ajus e da exponencial nega i a à unção de au o-co elação ob ida). Po im,
o mé odo da iden i icação es ocás ica em sub-espaços a pa i das co elações conseguiu es ima de
o ma mais consis en e os amo ecimen os modais, sendo no en an o os seus esul ados bas an e in lu-
enciados pela du ação das sé ies empo ais e odo o mecanismo de ca a e ização p a icamen e in isí el
ao u ilizado .
Os exemplos ap esen ados no deco e des e Capí ulo o am undamen ais pa a alida as o inas de
MATLAB c iadas no âmbi o des e abalho e pe mi i am abo da o caso eal ap esen ado no Capí ulo
4, pa a o qual se espe am di iculdades ainda não sen idas com a u ilização de dados ge ados a i icial-
men e, com bas an e con iança nos algo i mos c iados.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
72
As sé ies ob idas o am analisadas segundo os mé odos iden i icados p e iamen e como “Peak-
Picking”, “EFDD” e “SSI-Co ” pa a ob enção de modos e equências de ib ação, icando a es ima i a
dos espe i os amo ecimen os es ingida aos dois úl imos de ido aos acos esul ados ob idos pelo
p imei o, mesmo quando se u iliza am dados simulados a i icialmen e.
4.3.1.
M
ÉTODO DA
S
ELEÇÃO DE
P
ICOS
(“P
EAK
-P
ICKING
”)
Numa p imei a ase, as sé ies o am di ididas segundo as ês di eções pa a as quais o am ob idas
(longi udinal, ans e sal e e ical) sendo cada um dos casos analisados sepa adamen e. Além disso, e
como a equência u ilizada na medição é ancamen e supe io à necessá ia pa a a análise p e endida,
oi e e uado um es udo inicial que pe mi isse iden i ica cla amen e as equências in e essadas, u ili-
zando pa a isso janelas de Hanning com um “o e lapping” de 50% e 2048 pon os (e po an o uma eso-
lução em equência de 1
⁄ 1 2048 ∙ 0.01 0.0488
⁄). De seguida, ap esen am-se na Figu a
4.9 os esul ados ob idos pa a o ANPSD ela i o a acele ações e icais e ans e sais do abulei o de
jusan e:
Como se pode e , um núme o mui o signi ica i o de modos encon am-se pa a equências in e io es
a ce ca de 10 Hz, pelo que se p ocedeu a uma decimação ( edução da equência) de o dem 4, que
pe mi iu passa de 100 Hz pa a 25 Hz e, po an o, uma co e a iden i icação de equências a é ce ca de
0.8 ∙ 25 2
⁄ 10, eduzindo de o ma signi ica i a o es o ço de cálculo.
Mo imen o Longi udinal
A iden i icação do 1º modo de ib ação longi udinal, apesa da sua impo ância pa a análises como a
sísmica, nem semp e é ácil de ealiza de ido aos baixos ní eis de exci ação a que a es u u a se encon-
a sujei a num ensaio de ib ação ambien al. A pa i das sé ies de acele ações de ambos os abulei os,
ob i e am-se os espe os médios no malizados que se ap esen am na Figu a 4.10:
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
ANPSD e ical
F equência (Hz)
Ampli ude
Figu a 4.9 – Espe os médios no malizados pa a acele ações ans e sais e e icais
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
73
Como se pode cons a a , os dois abulei os exibem qua o componen es signi ica i as pa a equências
en e ce ca de 1.5 Hz e 2 Hz, mas que, como se e á, são coinciden es com picos dos espe os de acele-
ações e icais, cuja solici ação é mui o mais in ensa. O pico exis en e na equência de 1 Hz apa eceu
consis en emen e em odas as sé ies empo ais, não ep esen ando nenhum modo de ib ação e endo
o igem no uncionamen o dos senso es u ilizados. Es e pico apa ece á ainda nalgumas análises, endo
sido emo ido manualmen e nou as.
Flexão T ans e sal
A pa i das sé ies ge adas após e-amos agem o am no amen e ob idos os g á icos já ap esen ados na
Figu a 4.9., que ago a são alcançados com uma esolução em equência de 0.0122 Hz e se ap esen am
de seguida na gama de equências in e essada e escala loga í mica (Figu a 4.11):
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ANPSD das acele ações longi udinais do abulei o de jusan e
F equência (Hz)
Ampli ude
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ANPSD das acele ações longi udinais do abulei o de mon an e
F equência (Hz)
Ampli ude
Figu a 4.10 – ANPSD das acele ações longi udinais nos dois abulei os
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
74
Uma manei a e icaz de con i ma que as equências iden i icadas co espondem de ac o a modos p ó-
p ios da es u u a passa po analisa as con igu ações modais que lhes es ão associadas. Como se ado ou
dois senso es de e e ência, en ão, da ma iz dos espe os, há duas colunas comple amen e ca a e izadas
ao longo dos á ios “se ups”. De o ma a melho a as es ima i as dos modos, calculou-se a unção de
ans e ência en e cada pon o e o senso de e e ência cuja o denada osse supe io em cada equência
a aliada de manei a a eduzi o impac o do uído. Além disso, e como po ezes a ase de um de e mi-
nado pon o não é conhecida com g ande igo , que de ido a pe u bações nas medições, que de ido a
alguma alha na sinc onização dos senso es, p og amou-se uma olha de EXCEL que pe mi isse, de
o ma mais in e a i a do que as o inas de MATLAB, a alia cada con igu ação modal ob ida, em un-
ção de uma de e minada ole ância pa a a a aliação da ase de cada pon o, que se exempli ica na Figu a
Figu a 4.11 - ANPSD das acele ações ans e sais nos dois abulei os
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
-2
10
-1
10
0
ANPSD das acele ações ans e sais do abulei o de mon an e
F equência (Hz)
Ampli ude
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
-2
10
-1
10
0
10
1
X: 0.4888
Y: 2.192
ANPSD das acele ações ans e sais do abulei o de jusan e
F equência (Hz)
Ampli ude
X: 0.6232
Y: 1.31
X: 0.8553
Y: 0.6901
X: 1.161
Y: 0.5656
X: 1.552
Y: 0.3161 X: 2.053
Y: 0.1843
X: 2.578
Y: 0.6552
X: 3.189
Y: 0.1346
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
75
4.12 pa a o 3º modo (os pon os e melhos ep esen am os senso es de e e ência e os pon os e des a
posição dos pila es):
Como se pode cons a a , os alo es mais dúbios es ão associados a pon os de o denada p a icamen e
nula, e, po an o, pa a as quais a a aliação da sua ase pe de signi icado. Da a aliação das es an es
equências iden i icadas, é en ão possí el ob e as seguin es con igu ações modais (as equências in-
dicadas e e em-se ao abulei o de jusan e) p esen es na Figu a 4.13:
A pa i des es esul ados, é possí el pe cebe que as equências iden i icadas es ão associadas as con-
igu ações expec á eis (e a ançadas pelo modelo numé ico) dando assim alidade às es ima i as ob i-
das.
Figu a 4.13 – Esboço (em plan a) dos modos ans e sais iden i icados expe imen almen e
Figu a 4.12 – A aliação da ase de cada pon o pa a o 3º modo iden i icado ( =0.855 Hz)
0
1
2
3
0 100 200 300 400 500 600 700
Fase
-2
-1
0
1
2
0 100 200 300 400 500 600 700
Modo
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.4
-0.2
0
me os
=0.489 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=0.623 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.4
0
0.4
me os
=1.161 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.540 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=0.855 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=2.053 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=3.189 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=2.578 Hz
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
76
Flexão Ve ical
Se se aplica o mesmo mé odo às sé ies empo ais de acele ações e icais, ob ém-se os seguin es g á i-
cos pa a os espe os de po ência médios no malizados (Figu a 4.14):
Mais uma ez, calcula am-se os modos de ib ação associados a cada uma das equências iden i icadas
pelo p ocedimen o já desc i o, endo-se ob ido as es ima i as ap esen adas na Figu a 4.15 (as equên-
cias ap esen adas e e em-se no amen e ao abulei o de jusan e):
Figu a 4.14 – ANPSD das acele ações e icais nos dois abulei os
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
-2
10
-1
10
0
ANPSD das acele ações e icais do abulei o de mon an e
F equência (Hz)
Ampli ude
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
10
-2
10
-1
10
0
X: 0.7454
Y: 0.3759
ANPSD das acele ações e icais do abulei o de jusan e
F equência (Hz)
X: 0.8675
Y: 0.2015
X: 1.478
Y: 0.07613
X: 1.173
Y: 0.1563
X: 1.552
Y: 0.1893
X: 1.808
Y: 0.1946
X: 1.637
Y: 0.09823
X: 2.261
Y: 0.02473
X: 2.468
Y: 0.04167
X: 2.737
Y: 0.2347
X: 3.03
Y: 0.1247
X: 3.262
Y: 0.2819
Ampli ude
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
77
Como egis ado pa a a lexão ans e sal, os modos ob idos dão con iança às es ima i as de equências
e e uadas já que se co elacionam bem com os esul ados ob idos do modelo numé ico. Além disso, é
possí el iden i ica 2 picos em cada um dos abulei os pa a equências exa amen e iguais às duas p i-
mei as iden i icadas pa a a lexão ans e sal, e que, quando ep esen adas em alçado, po si só não
aduzem uma con igu ação ealis a. Tal cons a ação pode ia e ela uma dependência nessas equên-
cias en e modos e icais e ans e sais, que dado o desen ol imen o em plan a pe ei amen e e o da
es u u a não e a expe á el. De ac o, se se a alia os “se ups” em que o am medidos ambos os lados
do mesmo abulei o na mesma secção (senso es (9 e 21) e (13 e 22)), cons a a-se que es es se encon am
em oposição de ase, concluindo-se que os picos exis en es nes as equências e elam não um modo
conjun o de lexão ans e sal e e ical, mas an es que os modos p e iamen e iden i icados como pu-
amen e de lexão ans e sal en ol em ambém uma componen e impo an e de o ção do abulei o.
Ou o aspe o in e essan e passa pela coincidência en e os picos da análise longi udinal com alguns picos
da análise e ical, que, como já ha ia sido a ançado, ep esen a ão um modo com ambas as compo-
nen es, dando-se nes e abalho p imazia à ep esen ação e ical do mo imen o do abulei o. Po úl-
imo, é de no a a semelhança encon ada en e os modos associados a alguns picos (po exemplo, en e
a 4ª e 5ª ep esen ação), que le an a a possibilidade de nos encon a mos pe an e um de dois cená ios:
• As con igu ações ob idas es ão e e i amen e associadas a modos dis in os, cujas di e enças se
dão em pon os não moni o izados (po exemplo, mo imen o das consolas dis in o)
Figu a 4.15 – Esboço (em alçado) dos modos e icais iden i icados expe imen almen e
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=0.745 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=0.868 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.479 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.552 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.808 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=2.261 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=2.737 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=3.030 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.173 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=1.637 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0.5
=3.263 Hz
me os
0 100 200 300 400 500 600 700
-0.5
0
0.5
me os
=2.468 Hz
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
78
• As con igu ações ob idas aduzem o mesmo modo, que pode apa ece com di e en es equên-
cias de ido a di e en es condições on ei a da es u u a (de ac o, se a exci ação não o su ici-
en emen e ele ada, as ligações en e abulei o e pila es êm um uncionamen o mui o mais p ó-
ximo de elemen os cons uídos em con inuidade do que de ligações que possibili am o mo i-
men o ela i o, uma ez que a ação não é su icien e pa a ence o a i o aí exis en e)
P ocu ando pe cebe em que caso se enquad a os dados ob idos, c iou-se um mapa (Figu a 4.16) que
pa a cada “se up”, pe mi isse dis ingui os alo es mais ele ados dos mais baixos a a és de um esquema
de co es (sendo a ampli ude c escen e do e de pa a o e melho). Assim, analisando a p og essão das
manchas associadas aos di e en es modos nos á ios “se ups”, pode á se possí el e i a ilações sob e
o seu compo amen o ao longo de oda a moni o ização.
An es de qualque obse ação, é impo an e e em con a que, mesmo após a no malização e e uada, o
alo dos picos não é cons an e ao longo dos á ios “se ups”. Pos o is o, e como se pode e , os alinha-
men os associados aos 3 p imei os e aos 3 úl imos modos apa ecem azoa elmen e bem de inidos e de
o ma cons an e ao longo dos á ios “se ups”, sendo as es an es zonas de mais di ícil análise. De ac o,
se se a en a na á ea comp eendida en e os 1.5 Hz e 2.5 Hz, cons a a-se que os modos aí si uados apa-
ecem de o ma mui o mais in e mi en e e mal de inida nos á ios “se ups”, podendo al ica a de e -
se a equências menos exci adas du an e o ensaio, ou e en ualmen e, a al e ações da in ensidade da
mesma ao longo do empo, le ando po en u a a es u u a a compo a -se de o ma dis in a, po exem-
plo ao ní el da ligação abulei o-pila es. Es a cons a ação se á impo an e em conclusões u u as des e
abalho.
Apesa das di iculdades de iden i icação de alguns modos, ob i e am-se equências associadas a um
núme o signi ica i o de modos de ib ação, que podem se ca a e izados, de aco do com a sua compo-
nen e dominan e, como ans e sais ou e icais. De seguida, esumem-se as equências iden i icadas,
bem como a compa ação en e os alo es ob idos pa a os dois abulei os, compa ação essa que não se á
e e uada na ap esen ação dos p óximos mé odos, icando a sua discussão ese ada pa a o pon o 4.5. No
en an o, e sendo es es os p imei os esul ados ob idos pa a o caso de es udo, julgou-se con enien e ap e-
sen a desde já uma b e e compa ação en e os dois cená ios (Quad o 4.3):
Figu a 4.16 – A aliação da a iação dos alo es dos espe os ao longo dos “se ups”
Va iação dos espe os das e e ências ao longo dos "se ups"
1
2
3
4
5
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
79
Quad o 4.3 – P incipais equências iden i icadas
Modo
Tabulei o Jusan e Tabulei o Mon an e
Razão en e abulei os (%)
5
ೌ
ೕೠೞೌ
−
1
6
F equência
(Hz)
Tipo de
modo
F equência
(Hz)
Tipo de
modo
1 0.489 T ans e sal 0.513 T ans e sal 4.91
2 0.623 T ans e sal 0.623 T ans e sal 0
3 0.745 Ve ical 0.745 Ve ical 0
4 0.855 T ans e sal 0.892 T ans e sal 4.33
5 0.868 Ve ical 0.892 Ve ical 2.76
6 1.161 T ans e sal 1.222 T ans e sal 5.25
7 1.173 Ve ical 1.198 Ve ical 2.13
8 1.479 Ve ical 1.478 Ve ical -0.88
9 1.540 T ans e sal 1.601 T ans e sal 3.96
10 1.552 Ve ical 1.552 Ve ical 0
11 1.637 Ve ical 1.711 Ve ical 4.52
12 1.808 Ve ical 1.870 Ve ical 3.43
13 2.053 T ans e sal 2.138 T ans e sal 4.14
14 2.261 Ve ical 2.236 Ve ical -1.11
15 2.468 Ve ical 2.554 Ve ical 3.48
16 2.578 T ans e sal 2.676 T ans e sal 3.80
17 2.737 Ve ical 2.774 Ve ical 1.35
18 3.030 Ve ical 3.043 Ve ical 0.43
19 3.189 T ans e sal 3.250 T ans e sal 1.91
20 3.263 Ve ical 3.275 Ve ical 0.37
Um aspe o que se pode desde já des aca consis e na a iação de esul ados en e os 2 abulei os. De
ac o, e sal agua dando algumas exceções, as equências iden i icadas pa a o abulei o de mon an e
endem a se ligei amen e mais al as do que as do abulei o de jusan e. Tal ac o pode á se explicado
po um igidez ligei amen e supe io desse lado, is o os pila es, sob e udo o p imei o, se em endenci-
almen e mais cu os.
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
80
4.3.2.
M
ÉTODO DA
D
ECOMPOSIÇÃO NO
D
OMÍNIO DA
F
REQUÊNCIA
(V
ERSÃO MELHORADA
)
Apesa do desen ol imen o em plan a da es u u a se da segundo um alinhamen o e o, o que pe mi i ia
man e a di isão en e os di e en es ipos de acele ações pa a aplicação des e mé odo ( al pode ia se
ei o sem p ejuízo dos esul ados já que as con igu ações modais ans e sais e e icais são indepen-
den es, à exceção do e ei o de o ção, como oi a ançado pelo mé odo an e io ), op ou-se po a a ,
numa p imei a ase, as acele ações ans e sais e e icais em conjun o, dob ando assim a dimensão da
análise dos dois abulei os, mas esol endo apenas um p oblema de iden i icação po cada. U ilizando
a mesma equência de amos agem do mé odo an e io (25 Hz), cons uiu-se e decompôs-se em alo es
singula es a ma iz dos espe os da espos a, que, como o am ado ados dois senso es de e e ência, em
ago a dimensão 44 × 4 pa a cada análise e e uada. De seguida ap esen am-se na Figu a 4.17 os g á icos
pa a equências a é 4 Hz ob idos a pa i das á ias sé ies empo ais, in e alo que já se iu inclui os
p incipais modos da es u u a:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
X: 0.8431
Y: 0.003476
Valo es singula es ela i os às acele ações do abulei o de jusan e
F equência (Hz)
Ampli ude
X: 0.8675
Y: 0.0004656
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
X: 0.892
Y: 0.006167
Valo es singula es ela i os às acele ações do abulei o de mon an e
F equência (Hz)
Ampli ude
X: 0.892
Y: 0.001517
Figu a 4.17 – Valo es singula es das acele ações dos abulei os a aliadas em conjun o
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
81
Como se pode e , e ao con á io do mé odo an e io , o EFDD consegue iden i ica modos com equên-
cias p óximas, o que é obse á el po exemplo na izinhança de 0.8 Hz (indicado na Figu a 4.17), em
que apa ecem 2 alo es singula es ele an es. Se se analisa a con igu ação modal que lhes es á associ-
ada, ob ém-se (Figu a 4.18):
Pela análise da igu a acima expos a acilmen e se pe cebe que es e mé odo consegue iden i ica e-
quências p óximas de uma o ma que o mé odo da seleção de picos não pe mi i ia, o necendo ainda
boas es ima i as das con igu ações modais que lhes es ão associadas (mais uma ez, no e-se a indepen-
dência en e os modos e icais e ans e sais bem pa en e quando se con on a a is a em alçado e em
plan a pa a uma de e minada equência).
No en an o, o a amen o dos dados em simul âneo o na mais di ícil isola cla amen e os picos em cada
“se up”, de ido à maio densidade do g á ico, necessá ios pa a uma es ima i a o mais co e a possí el
do coe icien e de amo ecimen o modal. Assim sendo, e endo-se demons ado já uma das an agens
des e mé odo em elação ao an e io , no seguimen o des e abalho a a -se-á os dados em sepa ado,
p ocu ando assim ob e melho es es ima i as des a g andeza.
Flexão T ans e sal
A pa i das sé ies de acele ações ans e sais ob i e am-se en ão os seguin es g á icos da a iação dos
alo es singula es ela i os aos dois abulei os (Figu a 4.19):
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
=0.868 Hz
me os
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
=0.843 Hz
me os
0 1 2 3 4
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
SVD associado ao abulei o de mon an e
F equência (Hz)
Ampli ude
0 1 2 3 4
10
-6
10
-5
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
F equência (Hz)
Ampli ude
SVD associado ao abulei o de jusan e
Figu a 4.18 – Esboço de dois modos com equências p óximas (em plan a a e de e em alçado a azul)
Figu a 4.19 – Valo es singula es associados unicamen e às acele ações ans e sais de cada abulei o
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
88
Como se pode e , não é de odo e iden e a o dem pa a a qual a es u u a ica bem ca a e izada. Assim
sendo, e à semelhança do que oi ei o no exemplo ap esen ado nos capí ulos an e io es, es ima am-se
equências, amo ecimen os e modos de ib ação pa a á ias o dens dis in as, endo sido ado ados os
seguin es c i é ios pa a conside a um pólo es á el:
• Va iação absolu a de equência in e io a 0.01 Hz
• Va iação absolu a de amo ecimen o in e io a 0.1%
• MAC supe io a 0.95
Além disso, e de manei a a pe cebe o e ei o da escolha do pa âme o
nos esul ados ob idos e não
apenas na o dem máxima a ingí el, ge ou-se a ma iz de Toepli z pa a di e en es alo es des e pa âme o
e, po an o, u ilizando a in o mação de di e en es núme os de ciclos de ib ação da es u u a de aco do
com o Quad o 4.9 que a segui se ap esen a:
Quad o 4.9 – Ca a e ização das di e en es hipó eses es adas
Hipó ese
b
2
∙
b
−
1
%
(
)
º
F
Qn
8
º
F
Qn
9
O dem máxima
1 35 69 2.76 2 9 70
2 55 109 4.36 3 14 100
3 90 179 7.16 5 23 100
4 135 269 10.76 8 35 100
Des a análise ob i e am-se do a amen o conjun o de odos os “se ups” os diag amas de es abilização
que se ap esen am na Figu a 4.28 (no e-se que apenas es ão indicados os pólos es á eis pa a simpli ica
a lei u a dos g á icos):
8
Em elação ao pe íodo maio dos modos e icais
9
Em elação ao pe íodo meno dos modos e icais
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
Valo es singula es
o dem do modelo
Figu a 4.27 – Va iação dos alo es singula es em unção da o dem do modelo
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
89
Como se pode cons a a , um aumen o da in o mação u ilizada pa a a c iação da ma iz de Toepli z le a
a uma melho ia dos esul ados ob idos a é um de e minado pon o, mesmo conside ando a mesma gama
de o dens de modelos ajus ados, sendo os esul ados ob idos pa a apenas 2 ciclos com os c i é ios im-
pos os ancamen e insu icien es (e iden emen e, pode -se-ia ajus a ambém os c i é ios de manei a
ob e esul ados mais sa is a ó ios, mas o p opósi o do exe cício acima ap esen ado passa a po demons-
a apenas a in luência da dimensão da ma iz de Toepli z ado ada, endo-se po isso man ido os mesmos
cons an es). No en an o, en e o diag ama 3 e 4, no a-se uma diminuição da qualidade, sob e udo nos
modos mais ele ados, esul ado do e ei o já explicado de u iliza unções de au o-co elação excessi a-
men e longas e pa a as quais o e o associado aos des asamen os empo ais supe io es é signi ica i o.
Tendo selecionado a dimensão a conside a pa a a ma iz de Toepli z, ap esen a-se na Figu a 4.29 os
esul ados ob idos quando o am a ados simul aneamen e acele ações ans e sais e e icais, u ili-
zando
= 90 (ce ca de 5 pe íodos maio es da es u u a) e ajus ando modelos pa a odas as o dens pa es
a é 200 (no e-se que u ilizando conjun amen e as duas sé ies ge adas a dimensão de Toepli z pe mi e
ago a ajus a modelos de o dens não supe io es a 360).
0
20
40
60
80
100
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização 2
0
10
20
30
40
50
60
70
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização 1
0
20
40
60
80
100
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização 3
0
20
40
60
80
100
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização 4
Figu a 4.28 – Diag amas de es abilização ob idos pa a as di e en es hipó eses es adas
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
90
Como se pode e , o mé odo é capaz de iden i ica modos cujas equências es ejam p óximas. De se-
guida, ap esen a-se na Figu a 4.30 os modos de ib ação com equências p óximas ob idos na análise
conjun a acima ilus ados.
Os esul ados ap esen ados es ão de aco do com as es ima i as ap esen adas pa a os mé odos an e io es,
nomeadamen e com os do EFDD em que ambém o am analisadas as sé ies em simul âneo. Da análise
dos modos e icais (à di ei a na Figu a 4.30.) pode-se obse a a independência des es dos desloca-
men os ans e sais, não sendo o mesmo ão e iden e quando se analisam modos p edominan emen e
ans e sais. Tal de e-se a dois enómenos que o am pe ce í eis nes a análise:
• Ao mo imen o de lexão ans e sal es á associado um e ei o de o ção mais ou menos impo -
an e po pa e do abulei o, como ambém já se ha ia egis ado na aplicação do mé odo da
seleção de picos (mais isí el no dois desenhos de cima da Figu a 4.30.)
• De ido à exci ação e ical se mais in ensa, o mo imen o nes a di eção em equências que
não são modos de ib ação da es u u a êm po ezes ampli ude su icien e pa a a e a os esul-
ados de lexão na di eção ans e sal, p o ocada po uma exci ação mais sua e, o que e ela
que o mé odo não é capaz de sepa a comple amen e as duas di eções, já que a co elação en e
as espe i as exci ações ambém não é nula ( isí el nos desenhos de baixo da Figu a 4.30.)
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
=0.873 Hz
me os
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
=0.846 Hz
me os
0 200 400 600
-2
0
2
=1.160 Hz
me os
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
=1.179 Hz
me os
Figu a 4.30 – Esboço dos modos com equências p óximas iden i icados (em plan a a e de e em alçado a azul)
0
50
100
150
200
0,75 1,25
O dem
F equência (Hz)
0,75 Hz - 1,25 Hz
0
50
100
150
200
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização Comple o
Figu a 4.29 – Diag ama de es abilização – is a ge al (à esque da) e po meno (à di ei a)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
91
Po es es mo i os, e de o ma a es ima o melho possí el an o modos como amo ecimen os da es u-
u a, a análise que de seguida se ap esen a se á ealizada analisando as duas componen es sepa ada-
men e, al como ha ia sido ei o nos dois mé odos já ap esen ados. Es a decisão pe mi i á, se necessá io,
ajus a os alo es das ole âncias e da o dem da ma iz de Toepl iz sepa adamen e con o me al ação
melho ou não os esul ados ob idos
Flexão T ans e sal
Pa a a es ima i a das ca a e ís icas dinâmicas no sen ido ans e sal da es u u a u ilizou-se uma ma iz
de Toepli z com
= 50 (ce ca de 2 ciclos maio es dos modos ans e sais), que se cons a ou se capaz
de o nece es ima i as es á eis pa a as equências já iden i icadas (Figu a 4.31):
Dos diag amas ap esen ados ob i e am-se os alo es pa a as equências p óp ias da es u u a, bem
como os espe i os coe icien es de amo ecimen o, ap esen ados no Quad o 4.10 (es es úl imos e endo
em con a a a iabilidade dos mesmos ap esen am-se como um in e alo que se conside ou ep esen a-
i o):
Quad o 4.10 – F equências e amo ecimen os dos modos ans e sais iden i icados
Modo
Tabulei o de Jusan e Tabulei o de Mon an e
F equência (Hz)
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Amo ecimen o (%)
Min Max Min Max
1 0.495 0.82 0.91 0.507 0.18 0.30
2 0.625 0.93 1.02 0.630 0.33 0.45
3 0.846 0.66 0.76 0.883 0.28 0.50
4 1.163 0.78 0.85 1.218 0.86 1.05
5 1.571 0.52 1.20 1.595 0.80 1.20
6 2.055 0.49 0.88 2.144 0.91 1.11
7 2.574 0.19 0.35 2.664 0.69 0.87
8 3.185 0.88 1.29 3.228 0.41 0.46
0
20
40
60
80
100
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Diag ama de Amo ecimen o
Figu a 4.31 – Diag ama de es abilização pa a os modos ans e sais
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
92
À semelhança do que oi e e uado no mé odo da decomposição no domínio da equência, limi a-se a
ep esen ação g á ica aos 2 p imei os modos (Figu a 4.32), compa ando-se os es an es po meio do
Quad o 4.11:
Quad o 4.11 – MAC en e os modos ans e sais iden i icados pelo SSI-Co e o “Peak Picking”
( abulei o de jusan e)
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1.000 0.000 0.001 0.001 0.003 0.000 0.000 0.021
2 0.007 0.987 0.002 0.005 0.002 0.000 0.011 0.002
3 0.008 0.000 0.983 0.010 0.008 0.014 0.004 0.006
4 0.000 0.007 0.004 0.995 0.032 0.024 0.001 0.000
5 0.008 0.000 0.001 0.019 0.968 0.025 0.001 0.006
6 0.000 0.000 0.005 0.029 0.002 0.974 0.005 0.008
7 0.001 0.000 0.017 0.001 0.000 0.001 0.964 0.000
8 0.018 0.000 0.007 0.003 0.044 0.000 0.000 0.952
Uma cons a ação impo an e passa pelas di e enças ob idas pa a os amo ecimen os modais dos 2 abu-
lei os pa a modos equi alen es, podendo es as de e -se sob e udo a um (ou mais) de 4 a o es:
• In ensidade do en o
• Du ação das sé ies empo ais u ilizadas
• In ensidade da exci ação (de ce o modo elacionado com a in ensidade do en o)
• E os do p óp io mé odo
Desconhecendo-se a a iação da in ensidade do en o du an e a ealização do ensaio, e sendo a du ação
das sé ies empo ais imu á el is o já se e em usado odos os dados disponí eis, p ocu ou-se pe cebe
se ha ia alguma elação en e a ampli ude da exci ação (quan i icá el a a és da ampli ude da espos a)
nos amo ecimen os ob idos. De ac o, embo a o a amen o conjun o de odos os “se ups” pe mi a ea-
liza a análise de um só diag ama de es abilização, impossibili a uma ap eciação da a iabilidade das
g andezas ao longo do p ocesso, endo-se en ão op ado po ealiza ambém uma análise “se up” a “se-
up” pa a os 4 p imei os modos iden i icados.
A quan i icação da in ensidade da exci ação nos á ios “se ups”, cuja média é ap oximadamen e nula,
oi ei a u ilizando o des io pad ão da sé ie empo al associada a uma das e e ências como indicado
do seu con eúdo ene gé ico, endo-se ob ido os esul ados que se ap esen am no Quad o 4.12:
0 100 200 300 400 500 600 700
-1
-0.5
0
me os
=0.495 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
me os
=0.625 Hz
Figu a 4.32 – Esboço dos 2 p imei os modos de ib ação ans e sal iden i icados pelo SSI-Co
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
93
Quad o 4.12 – Des io pad ão das sé ies amos adas ao longo dos á ios “se ups”
Se up 1 2 3 4 5
o
௨௦௧
(
×
10
ି
ହ
G
)
1.81 4.37 2.05 1.96 2.96
o
௧௧
(
×
10
ି
ହ
G
)
9.7 4.35 4.25 2.12 1.33
Pa a os á ios “se ups” oi en ão aplicado o algo i mo do mé odo SSI-COV ob endo-se an os diag amas
de es abilização quan os o núme o de “se ups”, ag upados num só g á ico ap esen ado na Figu a 4.33:
Como se pode acilmen e obse a , o que an es e a um in e alo ela i amen e bem de inido e de am-
pli ude cu a, possui ago a uma dispe são conside á el de esul ados dependendo do “se up” u ilizado.
Se pa a cada cená io se es abelece um in e alo acei á el pa a a es ima i a do amo ecimen o, cujo
alo médio pode se ep esen ado em unção do “se up” em que oco eu, ob ém-se o g á ico ap esen-
ado na Figu a 4.34 (o des io pad ão da exci ação encon a-se no malizado de manei a a a ia en e 0
e 1):
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Va iação do amo ecimen o ao longo dos "se ups"
Se up1 Se up2 Se up3 Se up4 Se up5
Figu a 4.33 – Va iação do amo ecimen o ao longo dos á ios “se ups” ( abulei o de jusan e)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
12345
Amo ecimen o (%)
"Se up"
Va iação do amo ecimen o médio ao longo dos "se ups"
1º Modo
2º Modo
3º Modo
4º Modo
Des io Pad ão
Figu a 4.34 – Va iação do amo ecimen o médio ao longo dos “se ups” ( abulei o de jusan e)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
94
Como se pode cons a a , os 2 p imei os modos, ao con á io dos es an es analisados, ap esen am um
compo amen o que pode se bem elacionado (e, po an o, e en ualmen e explicado) pela a iação da
ampli ude da exci ação. Conclusão mais impo an e a e i a des a análise é a qualidade dos amo eci-
men os ob idos se possi elmen e mais baixa do que aquela que a análise conjun a anuncia a. De ac o,
compa ando as Figu as 4.31 e 4.33 ica a ideia de que o amo ecimen o ap esen ado após o a amen o
conjun o pode e e i amen e e des ios signi ica i os em elação à ealidade, o que acaba po se uma
consequência ine i á el de um ensaio de ib ação ambien al, de endo-se, se osse undamen al ob e
uma es ima i a p ecisa do amo ecimen o, eco e a ou o ipo de ensaios como o de ib ação li e
(uma compa ação dos esul ados ob idos pelos 2 ensaios pa a es u u as nas quais ambos o am ealiza-
dos pode se encon ada na e e ência (Magalhães, 2010) ). Se e e ua mos a mesma análise pa a o abu-
lei o de mon an e os esul ados são mais uma ez pouco conclusi os, no ando-se dispe sões impo an es
du an e o deco e do ensaio, como se pode e nas Figu as 4.35 e 4.36:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
12345
Amo ecimen o (%)
"Se up"
Va iação do amo ecimen o médio ao longo dos "se ups"
1º Modo
2º Modo
3º Modo
4º Modo
Des io Pad ão
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Va iação do amo ecimen o ao longo dos "se ups"
Se up1 Se up2 Se up3 Se up4 Se up5
Figu a 4.35 – Va iação do amo ecimen o ao longo dos á ios “se ups” ( abulei o de mon an e)
Figu a 4.36 – Va iação do amo ecimen o médio ao longo dos “se ups” ( abulei o de mon an e)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
95
Flexão Ve ical
Apesa da análise já ap esen ada indicia que c ia uma ma iz de Toepli z com
= 90 se ia su icien e
pa a ob e es ima i as es á eis, cons a ou-se que uma co e a de inição de alguns modos (sob e udo
si uados na zona já iden i icada nos dois mé odos já ap esen ados como mais pe u bada – de 1.5 Hz a
2.5 Hz) e das suas ca a e ís icas não e a plenamen e conseguida nes e cená io. Ten ando ul apassa es e
p oblema, op ou-se en ão po e e ua di e en es análises com di e en es pa âme os iniciais que possibi-
li asse abo da cada modo da melho manei a. Pa a isso, sepa a am-se as equências já iden i icadas
em 3 g upos, pa a os quais o am conduzidas análises independen es, segundo o Quad o 4.13:
Quad o 4.13 – Hipó eses analisadas
Hipó ese
b
O dem máxima F equências analisadas
1 135 120
0 Hz – 1.25 Hz
2 Hz – 2.6 Hz
2 200 200 1.25 Hz – 2 Hz
3 55 100 2.6 Hz – 3.5 Hz
Cujos esul ados, po se e e i em a egiões que não se sob epõe, podem se ap esen ados num único
diag ama como ap esen ado na Figu a 4.37:
0
50
100
150
200
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
O dem
F equência (Hz)
Diag ama de Es abilização
Hipó ese 1
Hipó ese 2
Hipó ese 3
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Diag ama de Amo ecimen o
Hipó ese 1
Hipó ese 2
Hipó ese 3
Figu a 4.37 – Diag amas de es abilização pa a os modos e icais
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
96
A pa i des es pode-se e i a no amen e a in o mação associada às equências e amo ecimen os mo-
dais (como se pode e no Quad o 4.14, o 4º modo de lexão e ical do abulei o de mon an e não oi
possí el de iden i ica po es e mé odo):
Quad o 4.14 – F equências e amo ecimen os dos modos e icais iden i icados
Modo
Tabulei o de Jusan e Tabulei o de Mon an e
F equência (Hz)
Amo ecimen o (%)
F equência (Hz)
Amo ecimen o (%)
Min Max Min Max
1 0.727 1.91 2.03 0.738 1.43 1.60
2 0.874 0.43 0.56 0.888 0.69 0.89
3 1.179 0.76 0.85 1.192 0.87 1.10
4 1.472 0.58 0.86 - - -
5 1.549 0.56 0.69 1.543 0.45 0.68
6 1.621 0.78 0.88 1.708 0.52 0.74
7 1.862 0.99 1.35 1.881 0.84 1.16
8 2.256 0.85 0.96 2.226 0.60 0.83
9 2.471 1.26 1.38 2.560 0.30 0.45
10 2.730 0.56 0.61 2.760 0.58 0.71
11 3.025 0.29 0.38 3.036 0.75 0.85
12 3.252 0.25 0.30 3.270 0.65 0.80
E, pa a as equências iden i icadas, as seguin es con igu ações modais (Figu a 4.38) e espe i a com-
pa ação a pa i do índice MAC (Quad o 4.15), salien ando-se que a con igu ação ob ida pa a o modo
com equência p óxima de 1.87 Hz oi ob ida com aca qualidade, não endo sido possí el e e ua a
sua compa ação com os esul ados já ob idos:
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
me os
=0.727 Hz
0 100 200 300 400 500 600 700
-2
0
2
me os
=0.874 Hz
Figu a 4.38 – Esboço dos 2 p imei os modos de ib ação e ical iden i icados pelo SSI-Co
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
97
Quad o 4.15 – MAC en e os modos e icais iden i icados pelo SSI-Co e o “Peak Picking”
Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0.993
0.000 0.001 0.005 0.003 0.000 0.000 0.003 0.000
0.000
0.000
0.000
2 0.020
0.959 0.000 0.001 0.002 0.000 0.001 0.006 0.000
0.001
0.003
0.006
3 0.001
0.001 0.991 0.008 0.016 0.004 0.003 0.004 0.000
0.013
0.001
0.002
4 0.007
0.016 0.001 0.979 0.975 0.300 0.283 0.070 0.008
0.011
0.000
0.006
5 0.001
0.009 0.001 0.970 0.993 0.409 0.205 0.069 0.007
0.001
0.000
0.008
6 0.045
0.004 0.023 0.055 0.111 0.814 0.257 0.008 0.018
0.066
0.003
0.018
7 - - - - - - - - - - - -
8 0.003
0.016 0.005 0.115 0.127 0.042 0.004 0.860 0.741
0.004
0.024
0.000
9 0.000
0.034 0.000 0.015 0.016 0.010 0.017 0.786 0.932
0.024
0.013
0.010
10 0.010
0.007 0.003 0.020 0.015 0.018 0.003 0.020 0.000
0.938
0.014
0.000
11 0.002
0.000 0.000 0.0003
0.003 0.000 0.012 0.007 0.024
0.020
0.971
0.021
12 0.004
0.005 0.000 0.006 0.002 0.002 0.005 0.003 0.001
0.013
0.001
0.982
Mais uma ez essal a-se a di iculdade de p e e o eal alo do amo ecimen o modal, como já oi
demons ado pa a os modos ans e sais, ap esen ando-se na Figu a 4.39 a a iação do amo ecimen o
médio associado aos 3 p imei os modos, onde se no a mais uma ez nalguns casos (po exemplo, no 3º
modo) uma elação in e essan e en e es e e o con eúdo ene gé ico do sinal ( ep esen ado pelo des io
pad ão):
0
0,5
1
1,5
2
2,5
12345
Amo ecimen o (%)
"Se up"
Tabulei o de jusan e
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
12345
Amo ecimen o (%)
"Se up"
Tabulei o de mon an e
Figu a 4.39 – Va iação do amo ecimen o médio ao longo dos “se ups” (modos e icais)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
104
Quad o 5.2 – A aliação da in luência de cada pila nos modos de ib ação
Modo
P1 P2 P3 P4 P5
1 1 3 5 4 2
2 1 4 2 5 3
3 2 4 3 1 5
4 1 5 2 3 4
5 4 2 1 3 5
6 4 2 5 3 1
7 5 4 2 3 1
8 5 3 4 2 1
Desde logo podem se e i adas algumas ilações da análise e e uada. Po exemplo, cons a a-se que uma
al e ação nas condições on ei a do p imei o pila , poucas implicações e á ao ní el dos 4 p imei os
modos, e, pelo con á io, modi ica á de o ma signi ica i a os 4 úl imos. No en an o, e conside ando que
es a abo dagem não o necia in o mação su icien e pa a uma co e a in e p e ação dos esul ados, simu-
la am-se á ios cená ios em que apenas se al e a a um dos pa âme os em es udo (ou seja, a igidez
associada unicamen e a um dos pila es), endo-se egis ado as a iações de equência ob idas numa
olha de EXCEL. De seguida ap esen a-se na Figu a 5.2 um g á ico com a a iação da p imei a equên-
cia em unção da igidez dos pila es P1 e P3 sepa adamen e (em abcissas a igidez anslacional da base
e em o denadas a elação
⁄)
Como se pode e , os g á icos ap esen ados es ão de aco do com as p e isões do Quad o 5.2 que apon-
a am os pila es P1 e P3 como aqueles que menos e mais in luencia am a equência do p imei o modo,
espe i amen e.
0,9
0,95
1
1,05
1,1
kN/m
F equência em unção da igidez de P1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
kN/m
F equência em unção da igidez de P3
Figu a 5.2 – Va iação da 1ª equência ans e sal em unção das igidezes dos pila es P1 e P3
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
105
Flexão Ve ical
U ilizando o mesmo p ocesso, pa a uma de e minada igidez da undação dos pila es, pa a a esis ência
o e ecida pelos apa elhos de apoio ao mo imen o, as conclusões não são ão ób ias, desde logo po que
as con igu ações modais da es u u a podem en ol e maio ou meno deslocamen o longi udinal, sendo
que quando as al e ações in oduzidas le am a que um de e minado modo passe da p imei a pa a a
segunda condição, a equência pode e en ualmen e diminui u o de uma meno solici ação da igidez
à lexão dos pila es. Além disso, as duas si uações di e em na p óp ia con igu ação ob ida. De ac o,
enquan o no caso an e io a o ma dos modos e a p a icamen e inal e á el ao longo do p ocesso (e con-
dizen e com os esul ados expe imen ais), ago a, e pa a de e minadas equências, egis a am-se al e a-
ções mais ou menos signi ica i as em unção da igidez impos a. Apesa des es condicionalismos, ela-
bo ou-se o mesmo es udo já ealizado pa a as undações dos pila es, a ibuindo sucessi amen e di e en-
es alo es pa a as igidezes o acionais e anslacionais de cada apa elho de apoio, sendo os esul ados
egis ados numa olha de EXCEL.
5.3.
A
JUSTE DO
M
ODELO
N
UMÉRICO
Numa p imei a en a i a, p ocu ou-se c ia um mecanismo que osse capaz de, conhecidas as al e ações
às equências p o ocadas pela mudança de igidez de cada uma das molas, es ima de o ma mais ou
menos idedigna a equência esul an e da al e ação simul ânea de mais do que um apoio. Pa a ealiza
es a a e a, assumi am-se as seguin es simpli icações:
• A con igu ação modal, pa a os á ios cená ios mon ados, man ém-se cons an e independen e-
men e das al e ações in oduzidas
• As al e ações de igidez ace ao modelo inicial de cada ajus e de igidez man ém-se as mesmas
quando es as são combinadas
Do p imei o pon o, e como a ma iz de massa é cons an e, esul a en ão que a massa modal ambém o é,
pelo que se pode esc e e pa a um de e minado modo, e em unção de duas al e ações dis in as:
ଵ
=
ଵ
ଵ
2O
ଵ
=
ଵ
ଵ
2O=
ଵ
ଵ
2O
!
"
"
"
"
"
#
∆
ଵ
=
ଵ
−
ଵ
= 4 ∙ O
ଶ
∙∙ (*
ଵ
+
ଶ
−*
ଵ
+
ଶ
)
ଶ
=
ଶ
ଶ
2O
ଶ
=
ଶ
ଶ
2O=
ଶ
ଶ
2O
!
"
"
"
"
"
#
∆
ଶ
=
ଶ
−
ଶ
= 4 ∙ O
ଶ
∙∙ (*
ଶ
+
ଶ
−*
ଶ
+
ଶ
)
(5.1)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
106
De onde esul a, se
݉
1
=
݉
2
, que a equência inal quando conside ados simul aneamen e os cená ios
1 e 2, e se se pa i do mesmo es ado inicial em odas as simulações, pode se ap oximada po :
=
m
2O
≈
m
−
∑
∆
2O
=
−
∑
∆
4 ∙ O
ଶ
∙
=
m
ଶ
−
0
(
ଶ
−
ೌ
ଶ
)
(5.2)
Se a con igu ação modal i e a iações mais ou menos signi ica i as, o acima expos o pe de alidade,
podendo se e e uada uma ap oximação u ilizando a elação en e a massa modal mobilizada num de-
e minado cená io e a massa modal mobilizada no cená io inicial pa a es ima a a iação de igidez
modal in oduzida. Como é e iden e, es e mé odo pode e esul ados mais ou menos co e os, endo-se
apenas p ocu ado uma p imei a ap oximação que pe mi isse depois um ajus e manual de o ma a mini-
miza as di e enças pa a os esul ados e e i amen e ob idos no modelo. Tendo em con a as conside a-
ções já e e uadas sob e o módulo de elas icidade a e a igualmen e odos os modos, analisou-se o e o
de duas manei as dis in as:
• A a és da soma do módulo da a iação ela i a en e es ima i as e equências expe imen ais,
o que pode se aduzido po :
p
ଵ
=
0
q
௦௧ௗ
−
௫௧
௫௧
q
(5.3)
• A a és da a iação da elação en e as mesmas g andezas em o no de um de e minado alo ,
ou seja, do des io pad ão dos quocien es
௦௧ௗ
௫௧
⁄
p
ଶ
=
1
−
1
0
s
௦௧ௗ
௫௧
−
s
௦௧పௗ
௫ప௧
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
ଶ
(5.4)
Exemplo 5.1. – De seguida, ap esen a-se um exemplo do mé odo de ap oximação acima explici ado,
a aliando pa a isso a 1ª equência ans e sal iden i icada em unção da igidez dos pila es P2 e P3
(Quad o 5.3).
Quad o 5.3 – Al e ações in oduzidas pela a iação da igidez da base dos pila es P2 e P3
Pila
Es ado inicial Es ado inal
)
௨ௗ
çã
(
R
)
ௗ
)
௨ௗ
çã
(
R
)
ௗ
2
∞
0.507
13136
2500000 0.505 12829
3 2500000 0.503 12958
Segundo es e mé odo, a equência ob ida conside ando simul aneamen e os 2 cená ios i ia en ão:
=
m
ଶ
−
0
(
ଶ
−
ଶ
)
=
⋯
⋯
=
0
.
507
ଶ
−
0
.
507
−
0
.
505
ଶ
+
0
.
507
−
0
.
503
ଶ
=
0
.
501
R
(5.5)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
107
Se aplica mos as al e ações ap esen adas ao modelo numé ico, ob ém-se pa a es e modo uma equência
de 0.501 Hz, igual pelo menos a é à p ecisão com que se es á a abalha à es ima i a ap esen ada. No
en an o, al só é possí el po que as con igu ações modais não so em al e ações signi ica i as, o que
pode se con i mado pelo alo associado a cada massa modal. É de no a que apenas se sob epuse am
2 cená ios, icando alguma ese a sob e a p ecisão do mé odo pa a cená ios mais complexos.
5.3.1.
A
JUSTE DO
T
ABULEIRO DE
J
USANTE
Flexão T ans e sal
An es de aplica o mé odo ap esen ado pa a p ocu a ajus es o mais p óximos possí el da ealidade,
conside ou-se impo an e analisa o cená io de base, em que os pila es se encon am pe ei amen e en-
cas ados, e compa á-lo com os esul ados expe imen ais, su gindo en ão o Quad o 5.4 e o g á ico ap e-
sen ado na Figu a 5.3 (a média ap esen ada oi ealizada u ilizando o alo absolu o de cada des io):
Quad o 5.4 – Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais ans e sais
Modo
௨
é
௦
E o (%)
1 0.507 0.495 2.5
2 0.626 0.624 0.32
3 0.876 0.853 2.70
4 1.197 1.162 3.01
5 1.595 1.542 3.44
6 2.106 2.055 2.48
7 2.698 2.574 4.84
8 3.357 3.187 5.33
Média - - 3.1
y = x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
F equências numé icas
F equências expe imen ais
Compa ação en e equências expe imen ais e numé icas ans e sais
Figu a 5.3 – Compa ação g á ica das equências numé icas e expe imen ais ans e sais
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
108
Como se pode e , os esul ados ob idos pelo modelo são já bas an e p óximos dos iden i icados pelo
ensaio, no ando-se no en an o uma ce a endência pa a as p imei as se encon a em ligei amen e acima
das segundas (em média 3.1%), u o e en ualmen e do excesso de igidez ado ado nas undações. Pos o
is o, p ocu ou-se baixa o e o associado às es ima i as ge adas pelo modelo a a és da colocação de
apoios elás icos nas á ias undações.
Tendo os á ios cená ios pa a cada pila egis ados numa olha de EXCEL, oi possí el c ia uma o ina
in e a i a en e es e e o MATLAB que pe mi isse de o ma au omá ica es a odas as combinações
possí eis, endo como cená io inicial uma igidez anslacional in ini a, ou seja, um encas amen o pe -
ei o das undações, e egis a a di e ença en e equências es imadas e equências expe imen ais.
Numa p imei a análise, e u ilizando di e amen e as es ima i as da o ina c iada, ob e e-se os esul ados
pa a a igidez de cada mola ap esen ados no Quad o 5.5, bem como as es ima i as pa a as á ias e-
quências, que pelo mé odo, que pelo modelo (sendo ob iamen e es es úl imos os esul ados adequados
pa a análise e sendo os ou os apenas ap esen ados pa a mos a a e iciência do p ocesso) p esen es no
Quad o 5.6:
Quad o 5.5. – Rigidez ado adas na base de cada pila (1ª i e ação)
P1 P2 P3 P4 P5
K
(MN/m) 1000 2500 1000 10000 5000
Quad o 5.6 – F equências ob idas pa a os modos ans e sais (1ª i e ação)
11
Modo
௦
௨
é
௦௧ௗ
E o (%)
1 0.495 0.494 0.495 -0.20
2 0.624 0.619 0.619 -0.80
3 0.853 0.858 0.859 0.59
4 1.162 1.159 1.159 -0.26
5 1.542 1.558 1.557 1.04
6 2.055 2.051 2.053 -0.19
7 2.574 2.621 2.623 1.83
8 3.187 3.259 3.258 2.26
Média - - - 0.90
Média 1-6
12
- - - 0.51
11
Po equência numé ica en ende-se o esul ado ob ido pelo modelo numé ico após in odução das al e ações,
po es imada a ob ida pela o ina de ajus e c iada e po ensaio aquela que esul ou do ensaio de ib ação ambien al
12
Valo es ob idos conside ando apenas os p imei os 6 modos
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
109
Analisando os esul ados, assumiu-se que a ap oximação e a já acei á el, sob e udo ao ní el dos 6 p i-
mei os modos, com uma edução do des io global médio de 3.1 pa a 0.9 pon os pe cen uais. Tendo
cons a ado esse ac o, e ocando a análise ago a apenas nos elemen os mais es á eis, p ocu ou-se a com-
binação que melho ap oximasse es es, o que se conseguiu com a seguin e combinação de igidezes:
Quad o 5.7 – Rigidezes ado adas na base de cada pila (2ª i e ação)
P1 P2 P3 P4 P5
K
(MN/m) 1000 7500 1000 10000 2500
Quad o 5.8 – F equências ob idas pa a os modos ans e sais (2ª i e ação)
Modo
௦
௨
é
௦௧ௗ
E o (%)
1 0.495 0.495 0.497 0
2 0.624 0.620 0.620 0.64
3 0.853 0.859 0.859 -0.70
4 1.162 1.158 1.159 0.344
5 1.542 1.554 1.553 -0.78
6 2.055 2.049 2.051 0.29
7 2.574 2.622 2.629 1.86
8 3.187 3.261 3.261 2.32
Média - - - 0.87
Média 1-6 - - - 0.46
Como se pode e , as es ima i as melho a am ligei amen e, inclusi amen e o e o médio, apesa dos
dois úl imos modos e em um aumen o ligei o do e o. Daqui cons a a-se que exis e de ac o um e o
associado ao mé odo (já que analisando apenas os p imei os 6 modos se ob e e uma es ima i a global
supe io ) sem es e se mui o signi ica i o (no e-se que qualque uma das combinações o nece esul ados
bas an e sa is a ó ios), o que pode indica que a solução ap esen ada não se á e en ualmen e a ideal,
mas an es uma que o nece uma boa es ima i a dos modos a aliados. Rep esen ando as equências
ob idas num g á ico semelhan e ao ap esen ado na Figu a 5.3, esul a a Figu a 5.4:
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
110
Como se pode e as p imei as 6 equências são ago a bem explicadas pelo modelo c iado, enquan o
às duas úl imas es á associado um e o maio , sendo es e, no en an o, in e io a me ade do e o inicial.
Flexão Ve ical
Tendo o p oblema da lexão ans e sal bem ap oximado, passou-se en ão pa a a en a i a de ajus e dos
modos p edominan emen e e icais. Assumindo que o compo amen o do solo é iso ópico, u iliza am-
se molas equi alen es às ob idas no ajus e dos modos ans e sais em ambas as di eções na undação
dos pila es, icando po a ina a igidez associada aos apa elhos de apoio. Conside ando os deslocamen-
os longi udinais e as o ações segundo o eixo ans e sal comple amen e li es, o modelo o nece os
esul ados que se ap esen am na Figu a 5.5 (os pon os a azul indicam equências cujos modos expe i-
men ais e numé icos são acilmen e co espondidos enquan o os pon os e melhos indicam aquelas pa a
as quais a co espondência não é ão e iden e à pa ida) e no Quad o 5.9:
y = x
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F equências numé icas
F equências expe imen ais
Compa ação en e equências expe imen ais e numé icas ans e sais
Figu a 5.4 – Compa ação g á ica das equências numé icas e expe imen ais ans e sais após ajus e
y = x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
F equências numé icas
F equências expe imen ais
Compa ação en e equências expe imen ais e numé icas e icais
Figu a 5.5 – Compa ação g á ica en e equências numé icas e expe imen ais
e icais ( o ação e
deslocamen o li e)
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
111
Quad o 5.9 – Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais e icais ( o ação e deslocamen o li e)
Modo
௨
é
௦
E o (%)
1 0.690 0.744 -7.26
2 0.797 0.876 -9.02
3 1.069 1.181 -9.48
4 1.393
1.479 -5.81
1.552 -10.24
5 1.489 1.806 -17.55
6 2.213
2.261 -2.12
2.470 -10.40
7
2.387
2.728
-12.5
2.582 -5.35
8 2.780 3.028 -8.19
9 3.067 3.252 -5.69
Média - - 8.64
Como se cons a a, as di e enças ob idas são ainda bas an e signi ica i as, ha endo mesmo modos cuja
co espondência não é à pa ida e iden e, endo-se op ado en ão po eme e pa a es es, bem como pa a
o modo na izinhança de 1.8 Hz de ido à pio qualidade do p ocesso de iden i icação nes a zona, um
papel mais passi o, baseando o ajus e nos es an es (assinalados a e de no Quad o 5.9.). Além disso, e
quando se compa a as equências expe imen ais e icais ob idas pa a os 2 abulei os, obse a-se que
es as não coincidem comple amen e, como se ia expe á el se as á ias ligações aos pila es não o e e-
cessem qualque esis ência ao deslocamen o e à o ação (no e-se que os dois abulei os são exa amen e
iguais e que os dois pila es que se encon am cons uídos em con inuidade com es es ambém). Es a
cons a ação pe mi e a i ma que os pila es não se encon am comple amen e desligados do abulei o,
pelo que as o ações e deslocamen os nos seus opos não se encon am, como a é ago a ha iam sido
idealizadas, pe ei amen e li es. Pa a es e ajus e, conside a am-se en ão duas a iá eis a analisa , a
esis ência o e ecida a deslocamen os longi udinais e a esis ência o e ecida pelos mesmos à lexão se-
gundo um eixo ho izon al ans e sal ao abulei o, in oduzindo-se ligações elás icas, que o acionais
que anslacionais, nas di e en es ligações, que se sepa am em dois g andes g upos: ligações abulei o-
pila es e ligações abulei o-encon o. Não ha endo apa en emen e nenhum mo i o que le asse a assumi
compo amen os dis in os nos di e en es alinhamen os, en ou-se ap oxima os esul ados expe imen ais
eco endo a molas com a mesma igidez pa a odas as ligações de cada um dos g upos. Um dos p oble-
mas que se le an a am logo à pa ida, como já oi a ançado, passa po não se absolu amen e e iden e
que um aumen o da igidez dos apoios conduza a um aumen o das equências, como se ia e en ual-
men e lógico pensa . De ac o, se os modos ossem me amen e e icais, al se ia e dade, mas, ha endo
uma componen e de mo imen o longi udinal que pode p a icamen e deixa de se mobilizada se as liga-
ções longi udinais o em mui o ígidas, a igidez à lexão dos pila es pode se pouco ou nada solici ada,
azendo com que de e minadas igidezes modais possam diminui . Numa p imei a ase, modi icou-se o
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
112
cená io de comple amen e li e pa a ligações monolí icas, endo-se ob ido os seguin es esul ados (Qua-
d o 5.10):
Quad o 5.10 - Compa ação en e equências numé icas e expe imen ais e icais (ligações monolí icas)
Modo
௨
é
௦
E o (%)
1 0.828 0.744 11.29
2 1.031 0.876 17.69
3 1.300 1.181 10.08
8 3.096 3.028 2.25
9 3.759 3.252 15.59
Da análise dos modos acima ep esen ados pela sua equência pode-se ainda conclui que, como as
equências iden i icadas se encon am balizadas pelos 2 modelos ex emos, en ão se á e en ualmen e
possí el ajus a o modelo sem in e i ao ní el da massa ou módulo de de o mabilidade dos elemen os
(o que é in e essan e pois al ação a e a ia ambém os esul ados já ob idos pa a os modos ans e sais).
Além disso, pela análise das con igu ações modais ob idas pa a os dois cená ios, oi possí el cons a a
que os 2 úl imos modos, ao con á io dos p imei os 3, so e am al e ações ela i amen e signi ica i as,
o que indicia que o aumen o de igidez oi cla amen e excessi o (o que ambém e a espe ado)
Po ou o lado, p ocu ou-se pe cebe se os modos e am mais ou menos in luenciados pela igidez ans-
lacional ou o acional das ligações. Com es e p opósi o, modela am-se dois cená ios al e na i os, em
que em cada um apenas se bloqueou um dos deslocamen os, com os esul ados do Quad o 5.11:
Quad o 5.11 – F equências ob idas pa a os modos e icais bloqueando apenas o ações ou anslações
Modo
௨
é
13
௨
é
14
௦
E o (%)
13
E o (%)
14
1 0.700 0.754 0.744 -5.91 1.34
2 0.788 0.916 0.876 -10.05 4.57
3 1.079 1.148 1.181 -8.64 -2.79
8 2.874 3.029 3.028 -5.09 0.03
9 3.152 3.483 3.252 -3.08 7.10
Como se pode e , a maio in luência nas equências associadas a modos e icais p o ém sob e udo
de al e ações associadas à igidez à lexão nos apa elhos de apoio (o que não aduz uma g ande su p esa
is o g ande pa e dos modos mobiliza em pouco mo imen o longi udinal). Nes a al u a, oi impo an e
13
Resul ados ob idos bloqueando o mo imen o ela i o longi udinal
14
Resul ados ob idos bloqueando o mo imen o ela i o o acional
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
113
pe cebe qual a ligação que mais a e a a os esul ados en e o apoio nos encon os ou nos pila es. Pa a
isso, simula am-se dois cená ios, ambos com os deslocamen os impedidos, mas em que se bloquea am
ambém ou as o ações nos pila es ou nos encon os, endo-se ob ido os seguin es esul ados (Quad o
5.12):
Quad o 5.12 – F equências ob idas pa a os modos e icais bloqueando o ações nos pila es ou nos encon os
Modo
௨
é
15
௨
é
16
௦
E o (%)
15
E o (%)
16
1 0.795 0.730 0.744 -5.91 1.34
2 0.950 0.865 0.876 -10.05 4.57
3 1.194 1.141 1.181 -8.64 -2.79
8 2.961 3.028 3.028 -5.09 0.03
9 3.214 3.437 3.252 -3.08 7.10
Da análise das con igu ações ob idas, cons a ou-se que as con igu ações associadas a alguns modos
(sob e udo aos mais ele ados) ap esen a am já uma di e ença conside á el pa a as ob idas expe imen-
almen e quando a o ação nos encon os e a comple amen e impedida, além de le a a uma sob ea ali-
ação conside á el da úl ima equência ( al pode á de e -se ao ac o de bloquea comple amen e a o a-
ção nos encon os, ao con á io do que sucede nos pila es, não se limi a a bloquea o mo imen o ela-
i o, mas ambém a o ação absolu a da secção). Pos o is o, en ou-se chega a um pon o de equilíb io
en e os á ios cená ios, endo-se ob ido a melho ap oximação, quando os deslocamen os se encon a-
am impedidos, pa a uma igidez o acional nos encon os e nos pila es de 1250 e 10000 espe i amen e
( alo es em MN.m po g au), endo-se ob ido os esul ados ap esen ados no Quad o 5.13:
Quad o 5.13 – F equências e icais ob idas (1ª i e ação)
Modo
௨
é
௦
E o (%)
1 0.750 0.744 0.81
2 0.878 0.876 0.23
3 1.149 1.181 -2.71
8 2.994 3.028 -1.12
9 3.326 3.252 2.28
Média - - 1.43
Como se pode obse a , os esul ados ob idos ap oximam azoa elmen e bem odas as equências,
endo-se no en an o cons a ado ao longo da análise que a busca po um esul ado globalmen e sa is a ó io
15
Resul ados ob idos bloqueando o ações nos pila es
16
Resul ados ob idos bloqueando o ações nos encon os
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
120
O p imei o mé odo aplicado (PP), demons ou-se bas an e compe en e na iden i icação das equências
na u ais e con igu ações modais, endo no en an o sido necessá io e e ua um a amen o p é io dos
dados, com base no compo amen o dinâmico da es u u a, sepa ando as sé ies analisadas con o me se
e e iam a acele ações longi udinais, ans e sais ou e icais (es e passo oi absolu amen e undamen al
de ido à incapacidade do mé odo iden i ica modos com equências p óximas). Vencida es a di icul-
dade, o mé odo da seleção de picos pe mi iu uma análise que se conside ou bas an e sa is a ó ia, não
endo no en an o sido possí el esboça qualque ipo de es ima i a ela i a ao amo ecimen o modal.
O segundo mé odo u ilizado, aplicado apenas na sua e são melho ada (EFDD), pe mi iu desde logo
ul apassa as duas maio es debilidades encon adas no mé odo an e io : incapacidade de iden i ica
modos p óximos e impossibilidade de es ima o amo ecimen o modal. No en an o, e enquan o o p i-
mei o p oblema oi esol ido de o ma con incen e (apesa de se e op ado po uma análise sepa ada
pa a melho con on a os esul ados), o mesmo não se pode a i ma do úl imo. De ac o, e analisando
as unções de au o-co elação ob idas a pa i dos á ios “se ups” cons a ou-se que em de e minados
casos a exponencial nega i a que se espe a a que a en ol esse se encon a a ancamen e mal de inida,
mesmo ala gando as á eas do espe o selecionadas, p ejudicando assim as es ima i as modais. Os esul-
ados ob idos pa a equências na u ais e con igu ações modais o am globalmen e bas an e p óximas
das iden i icadas an e io men e.
O úl imo mé odo aplicado (SSI-COV), e mais uma ez analisando as sé ies empo ais de o ma inde-
penden e em unção do ipo de mo imen o iden i icado apesa de se e demons ado se possí el um
a amen o conjun o, pe mi iu, quando se analisou odos os “se ups” em simul âneo, ob e es ima i as
pa a o amo ecimen o que se ap esen a am bas an e consis en es. No en an o, e endo es es esul ados
ido des ios mais ou menos impo an es em elação aos ob idos pelo EFDD e, sob e udo, quando se
compa a a modos co esponden es dos dois abulei os, julgou-se adequado analisa a a iação des e
pa âme o ao longo do ensaio. Es a no a análise e elou que es ima i as que se julga am consis en es
inham a inal a iações signi ica i as du an e os á ios “se ups”, algumas das quais e en ualmen e ex-
plicadas po in ensidades dis in as ao ní el da exci ação a uan e, endo icado a dú ida sob e qual a
análise que melho aduzia a ealidade modal da es u u a.
No que diz espei o às es ima i as ob idas pelos ês mé odos ( equências e modos de ib ação), es as
o am bas an e consis en es ao longo de odo o p ocesso, salien ando-se, no en an o, a impo ância do
con on o dos á ios mé odos, an o pa a con e i obus ez e con iança aos esul ados, como pa a i a
pa ido das an agens e ul apassa as di iculdades de cada aplicação.
Os á ios esul ados ob idos pelo p ocesso de iden i icação o am en ão con on ados com os esul ados
do modelo numé ico endo-se ocado odo o p ocesso apenas no abulei o de jusan e e p ocu ado iden-
i ica e en uais causas pa a os des ios ine i a elmen e encon ados. Numa p imei a ase, e i ando
pa ido do mo imen o ans e sal ela i o en e abulei o e pila es se encon a à pa ida impedido, p o-
cu ou-se quan i ica da manei a mais adequada possí el a igidez ao ní el da undação dos pila es u ili-
zando pa a isso uma o ina in e a i a en e olhas de cálculo e MATLAB que pe mi iu p e e com algum
igo os esul ados das á ias combinações possí eis. De seguida, e assumido o compo amen o iso ó-
pico do e eno, concluiu-se o ajus e do modelo numé ico manipulando a esis ência o e ecida pelos
á ios apa elhos de apoio ao mo imen o, de manei a a consegui ambém boas ap oximações pa a os
modos e icais. Após a conclusão do p ocesso, en ou-se aplica os esul ados ob idos pa a o abulei o
de mon an e pa a pe cebe se es es e am capazes de iden i ica as di e enças ob idas expe imen almen e
en e os dois cená ios, endo o e o médio en e alo es numé icos e expe imen ais aumen ado ligei a-
men e, como ambém e a espe ado, apesa de não se e ob ido esul ados comple amen e des asados da
ealidade. Daqui impo a essal a que o modelo inal pode á não ep esen a ielmen e a ealidade, mas
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
121
ainda assim pe mi e uma análise adequada em casos em que o undamen al seja uma co e a de inição
das ca a e ís icas modais da es u u a ( equências na u ais e modos p óp ios).
6.2.
D
ESENVOLVIMENTOS
F
UTUROS
Du an e odo o p ocesso de iden i icação ealizado cons a ou-se a capacidade dos á ios mé odos u ili-
zados pa a iden i ica de o ma co e a e bas an e consis en e as equências e modos de ib ação p ó-
p ios da es u u a, es ando às es ima i as do amo ecimen o associado um p ocesso mui o mais com-
plexo. De ac o, e sendo es a g andeza de g ande impo ância quando se p e ende a alia enómenos de
essonância ou ins abilidade ae odinâmica, é necessá io ape eiçoa os mé odos de manei a a melho a
es as es ima i as. Po exemplo, pode á se in e essan e, como já oi pe ce í el ao longo des e abalho e
nomeadamen e no mé odo SSI-COV, con on a os esul ados en e a amen o conjun o ou “se up” a
“se up”, p ocu ando pe cebe qual a análise que melho ap oxima a ealidade. Nesse sen ido, a ançam-
se desde já duas hipó eses passí eis de se em de alhadas em abalhos u u os:
• U ilizando dados ge ados a i icialmen e, e po an o pa a os quais são conhecidos os pa âme os
modais, es a as duas hipó eses pa a á ios “se ups”, e en ualmen e ge ados com in ensidades
de exci ação dis in as e pa a di e en es du ações;
• Reco endo às sé ies empo ais de um senso moni o izado em odos os “se ups” (senso de
e e ência), con on a os esul ados ob idos po dois p ocessos dis in os:
- Calcula os pa âme os modais a pa i de cada uma das unções de au o-co elação
( an as quan o o núme o de “se ups” ealizado);
- Calcula um único pa âme o a pa i de uma unção de au o-co elação ob ida a a és
da média das á ias unções au o-co elação do pon o an e io (no e-se que es e p oce-
dimen o é dis in o do p ocessamen o conjun o, que, ao jus apo os á ios “se ups”,
ala ga a i icialmen e a du ação das sé ies empo ais);
Abo dando ago a o ajus e de modelos numé icos a dados expe imen ais, se ia de g ande in e esse o na
o p ocesso o mais au omá ico possí el, que ao ní el da iden i icação modal, que ao ní el do p ocesso
de ajus e p op iamen e di o. De ac o, o p imei o aspe o pe mi i ia aplica os á ios mé odos de o ma
mui o mais e icien e po não se necessá io qualque ipo de in e enção po pa e do u ilizado , en-
quan o o segundo o na ia possí el um p ocesso de ajus e ambém ele mui o mais e icien e e p eciso.
E iden emen e es e úl imo aspe o implica ia uma in e ação en e p og amas de cálculo de elemen os
ini os e as o inas c iadas em MATLAB (ou ou as), o que ob iga ia a um g au de ap o undamen o
des as ques ões que não se p ocu ou nes e abalho (uma b e e desc ição des es p ocessos de ajus e
au omá icos pode se encon ada na e e ência (Magalhães, 2004)).
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
122
Ca a e ização Expe imen al do Compo amen o Dinâmico de Es u u as
123
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