MODELAÇÃO NUMÉRICA DE
BENCHMARKS PARA VALIDAÇÃO
DE MODELOS DE ANÁLISE
ESTRUTURAL
BRUNO MIGUEL LOPES DA COSTA
Disse ação subme ida pa a sa is ação pa cial dos equisi os do g au de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS
O ien ado : P o esso Dou o Miguel Ângelo dos San os Fe az
JULHO DE 2014
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2013/2014
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Tel. +351-22-508 1901
Fax +351-22-508 1446
 [email p o ec ed]
Edi ado po
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
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4200-465 PORTO
Po ugal
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Rep oduções pa ciais des e documen o se ão au o izadas na condição que seja
mencionado o Au o e ei a e e ência a Mes ado In eg ado em Engenha ia Ci il -
2013/2014 - Depa amen o de Engenha ia Ci il, Faculdade de Engenha ia da
Uni e sidade do Po o, Po o, Po ugal, 2014.
As opiniões e in o mações incluídas nes e documen o ep esen am unicamen e o pon o de is a do espe i o
Au o , não podendo o Edi o acei a qualque esponsabilidade legal ou ou a em elação a e os ou
omissões que possam exis i .
Es e documen o oi p oduzido a pa i de e são ele ónica o necida pelo espe i o Au o .
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
Aos meus Pais.
Twen y yea s om now you will be mo e disappoin ed by he hings ha you didn’ do han by he
ones you did do, so h ow o he bowlines, sail away om sa e ha bo , ca ch he ade winds
in you sails. Explo e, D eam, Disco e .
Ma k Twain
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
i
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, o meu mais p o undo ag adecimen o pelos p incípios incu idos que azem de mim a
pessoa que sou hoje, pelo es o ço ealizado e pela con ínua con iança que deposi a am em mim o nando
possí el a ealização des e pe cu so académico.
Ao meu o ien ado , P o esso Miguel Fe az, pela disponibilidade e auxílio demons ada desde o
p imei o momen o e ambém pelo incen i o à ealização des a disse ação.
Uma pala a de ag adecimen o a odos os amilia es e amigos que me acompanha am ao longo des e
pe cu so sem nunca deixa em de demons a o seu apoio e amizade.

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Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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RESUMO
O desen ol imen o de modelos de análise es u u al complexos não es á isen o de e os. O ele ado
núme o alências dos a uais modelos de análise es u u al e a in e ação de di e sas delas, como po
exemplo a análise da luência, da e ação ou da elaxação das a madu as de p é-es o ço, o nam a
alidação das capacidades ins aladas nesses modelos num p oblema eal e complexo. Nesse sen ido o
obje i o des a disse ação passa po desen ol e e e i ica um leque ala gado de benchma ks que
pe mi am o na o p og ama E olu ion mais obus o e susce í el de so e al e ações no seu código, mas
com a segu ança de que com es es es es pad ão é possí el a alidação do co e o compo amen o de
uncionalidades p e iamen e e i icadas cuja espos a pode se a e ada po alguma sob eposição de
e ei os ine en e à adição de no as alências ao código compu acional.
A pla a o ma E olu ion assen a a sua análise es u u al em elemen os ini os linea es, do ipo
Timoshenko, po essa azão as e i icações pode ão se ei as compa ando os alo es das ensões e
de o mações ap esen adas em cada ib a indi idualmen e. O âmbi o do p esen e abalho passou pelo
es abelecimen o de benchma ks ela i os a casos simples e de iniciação à linguagem de in odução de
dados, ais como o es udo do peso p óp io, de o mações impos as à es u u a ou, po ou o lado, a
alidação de peças p é-es o çadas po p é e pós- ensão. Numa ase pos e io e endo em con a a
capacidade da pla a o ma em ealiza análises conside ando a idade dos elemen os e o compo amen o
di e ido do ma e ial o am ealizadas e i icações de o ma a cons i ui benchma ks ela i os à luência,
e ação e elaxação, espe i amen e, do be ão e do aço. O p og ama em inco po ado uma sé ie de
uncionalidades especí icas, como po exemplo a capacidade de liga e desliga em de e minado ins an e
qualque elemen o cons i uin e do modelo numé ico ou a compe ência pa a disc e iza e es uda com
g ande p ecisão elemen os cuja secção ans e sal é a iá el, das quais o am ei as e i icações
compa ando os esul ados ob idos com soluções eó icas conhecidas da bibliog a ia cons i uindo assim
benchma ks.
PALAVRAS-CHAVE: Benchma ks, Análise Es u u al, Modelação Numé ica, Código Compu acional
E olu ion, Mé odo dos Elemen os Fini os, Elemen os de Viga Timoshenko
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
ABSTRACT
The de elopmen o complex models o s uc u al analysis is no ee o e o s. The cu en high numbe
o alences in s uc u al analysis models and he in e ac ion o se e al o hem, such as he analysis o
c eep, sh inkage o elaxa ion o p es essed s eel, make a eal and complex p oblem ou o he alida ion
o he ins alled capaci ies in hose models. The e o e, he objec i e o his disse a ion is o de elop and
e i y a wide ange o benchma ks ha will make he pla o m s onge and mo e likely o unde go
changes in he E olu ion code, bu wi h he assu ance ha wi h hese s anda d es s i is possible o
alida e he p e iously e i ied beha io o ha speci ic ea u e, whose esponse can be a ec ed by any
o e lap inhe en in adding new se ices o he compu a ional code.
The E olu ion pla o m es s he s uc u al analysis on linea ini e elemen s, Timoshenko ype, he e o e
alida ion can be made by compa ing he alues o he s esses and s ains p esen ed in each indi idual
ibe . The scope o his wo k has es ablished benchma ks o simple cases and he ini ia ion o inpu
da a language, such as he s udy o sel weigh , o s ain imposed upon he s uc u e, mo eo e , he
alida ion p es essed beams by p e-and pos - ensioning. A a la e s age, aking in o accoun he abili y
o he pla o m o pe o m analyzes conside ing he age o he elemen s and he ime-dependen ma e ial
beha io laws checks we e pe o med in o de o p o ide benchma ks o c eep, sh inkage and
elaxa ion, espec i ely, o conc e e and s eel. The p og am has inco po a ed a numbe o speci ic
ea u es, such as he abili y o u n on and o a some poin any cons i uen elemen o he nume ical
model o he compe ence o disc e ize and s udy wi h g ea p ecision elemen s whose c oss sec ion is
a iable, om which checks we e made by compa ing he esul s wi h known heo e ical solu ions om
li e a u e, hus p o iding benchma ks.
KEYWORDS: Benchma ks, S uc u al Analysis, Nume ical Modeling, E olu ion Compu a ional Code,
Fini e Elemen Me hod, Timoshenko Beam Elemen
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Tabela 5.14 – Compa ação de esul ados .............................................................................................................. 51

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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SÍMBOLOS E ABREVIATURAS
Símbolos em La im
A – á ea da secção ans e sal
A* - á ea de co e da secção ans e sal
Ac – á ea da secção ans e sal de be ão
e – excen icidade da a madu a de p é-es o ço
E – Módulo de Elas icidade
ck – esis ência ca ac e ís ica do be ão à comp essão
cm – esis ência média do be ão à comp essão
pk – esis ência ca ac e ís ica à ação do aço de p é-es o ço
G – Módulo de Dis o ção
h0 – espessu a equi alen e do elemen o
I - Iné cia
M – Momen o em de e minado pon o da secção
N – Es o ço axial
e – empo equi alen e no es udo da elaxação
T – co eção ao empo endo em con a o e ei o das a iações de empe a u a no es udo da luência
Símbolos em G ego
𝛼 – coe icien e de dila ação é mica
𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 – coe icien es que dependem da esis ência média à comp essão do be ão
𝛼𝑑𝑠1,𝛼𝑑𝑠2 – coe icien es que dependem do ipo de cimen o usado
𝛽(𝑓𝑐𝑚) – a o que em em con a a in luência da esis ência do be ão no coe icien e de luência
con encional
𝛽(𝑡0) – a o que em con a a in luência da idade do be ão à da a do ca egamen o no coe icien e de
luência
𝛽𝑑𝑠(𝑡,𝑡𝑠) – a o que em em con a a in luência do empo e da espessu a equi alen e no es udo da
e ação po secagem
𝛽𝑎𝑠(𝑡) – a o que em em con a a in luência do empo no es udo da e ação au ogénea
𝛽𝐻 – coe icien e que depende da humidade ela i a e da espessu a equi alen e do elemen o
𝛽𝑐(𝑡,𝑡0) – coe icien e que aduz a e olução da luência no empo, após o ca egamen o
𝛿 - deslocamen o
Δ𝐿 – a iação do comp imen o do elemen o
Δ𝑡 – a iação empo al; a iação de empe a u a
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Δ𝑡𝑖 – a iação de empe a u a; in e alo de empo
Δ𝜎𝑝𝑟 – ep esen a o alo absolu o das pe das de p é-es o ço de ido à elaxação
Δ𝜎𝑝𝑟,𝑗 – é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço
Δ𝜎𝑝,𝑖 – é o inc emen o de ensão no aço de p é-es o ço no ins an e i
Δ𝜎𝑝𝑗 – é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço
𝜀𝑐𝑐(𝑡,𝑡0) – de o mação do be ão po luência na idade pa a um ca egamen o inicial na idade 0
𝜀𝑐𝑎(∞) - ex ensão de e ação au ogénea inal
𝜀𝑐𝑎(𝑡) – ex ensão de e ação em unção da idade do be ão
𝜀𝑐𝑑(𝑡) – e olução com o empo da ex ensão da e ação po secagem
𝜀𝑐𝑑,0 – e ação li e do be ão po secagem
kh – coe icien e que depende da espessu a equi alen e
𝜇 - coe icien e σpi/ pk;
𝜌1000 – pe da de ida à elaxação (em pe cen agem da ensão inicial) 1000 ho as após a aplicação do
p é-es o ço a uma empe a u a média de 20ºC
𝜎 – ensão
𝜎𝑝 – ensão na a madu a de p é-es o ço
𝜎𝑝0,1% - ensão limi e con encional de p opo cionalidade de 0.1%
𝜎𝑝𝑖 – é o alo da ensão inicial aplicada na a madu a de p é-es o ço
𝜑(𝑡,𝑡0) – e olução do coe icien e de luência pa a um ca egamen o na idade 0
𝜑0 – coe icien e de luência
𝜑𝑅𝐻 – a o que em em con a a in luência da humidade ela i a no coe icien e de luência
𝜑𝑛𝑙 – alo inal da luência não linea
Ab e ia u as e Ac ónimos
CEB90 – Modelo de Código 90
EC2 – Eu ocódigo 2
MEF – Mé odo dos Elemen os Fini os
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INTRODUÇÃO
1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
A sociedade em que hoje nos inse imos e o mundo cada ez mais in e ligado ob igando a uma
conco ência ao ní el in e nacional le ou a que o espí i o ins alado seja o mais ambicioso e a ojado
possí el. A p ocu a po soluções cada ez mais ousadas não é assim su p esa, o nando os p og amas
de análise es u u al mais gene alis as insu icien es pa a o cálculo e análise de alhada dessas soluções.
Além disso, num mundo, e p incipalmen e num país onde a pala a de o dem é con ação económica,
o na-se essencial que odas as e apas de qualque p oje o sejam absolu amen e con oladas pa a que os
e en uais cus os ligados à necessidade de co eções sejam con idos e ou mesmo eliminados. Não é po
isso su p esa o su gimen o de uma pla a o ma pa a o desen ol imen o de modelos de análise
es u u al – E olu ion – que possibili a ao seu u ilizado uma maio libe dade, com ca a e ís icas que
pe mi am a adap ação dos modelos de análise es u u al a soluções menos co en es, com maio con olo
sob e o ipo de análise e e uada, sob e o compo amen o de cada ma e ial u ilizado e que além disso
admi e a análise es u u al de qualque ase do ciclo de ida da es u u a.
A pla a o ma E olu ion da au o ia do P o esso Miguel Fe az da Faculdade de Engenha ia da
Uni e sidade do Po o (Fe az, M.Â.C. (2010)) oi c iada pa a esponde às necessidades exempli icadas
an e io men e, mas ambém com obje i o de esponde às necessidades académicas exis en es. É po
isso mesmo desen ol ida em código abe o passí el de se al e ado con o me as necessidades ou pa a
in odução de no as uncionalidades que enham con e i à pla a o ma uma maio di e sidade e
ab angência.
De ido ao ca ác e académico da pla a o ma e ao ele ado núme o de uncionalidades in e dependen es
su ge po isso a necessidade da u ilização de benchma ks in ínsecos ao p og ama. Des a o ma o na-se
mais segu a a u ilização e al e ação do código compu acional uma ez que passa a exis i uma
compilação de exemplos de idamen e alidados e que passam a cons i ui um e mo de compa ação e
alidação. Quando uma uncionalidade, pa a a qual já exis a um benchma k, o no amen e usada bas a
execu a o exemplo alidado e au oma icamen e a pla a o ma e e ua á a compa ação de esul ados
e i icando o compo amen o dessa uncionalidade.
1.2. OBJETIVOS
Tendo em con a o expos o an e io men e o obje i o des a disse ação passa po ealiza o maio núme o
de benchma ks possí el de o ma a aumen a a obus ez do p og ama em es udo. A c iação des es
benchma ks passa po ealiza o es udo de es u u as ou exemplos simples de o ma a pode es uda
obje i amen e de e minada uncionalidade pa a a ce i ica o seu co e o uncionamen o.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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Na ase inicial há que ealiza uma necessá ia adap ação ao modelo de cálculo, modelando á ios
exemplos com secções e sis emas de apoios di e si icados, sem qualque ipo de ca egamen o ou ação,
pa a e i ica a co e a in odução de dados. P og essi amen e se á aumen ado o g au de di iculdade e
a ab angência dos exemplos e i icados, p e endendo-se e i ica o compo amen o da pla a o ma
quando se exigi o es udo de exemplos como peças p é-es o çadas ou as leis de compo amen o di e ido
ma e ial.
1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
A p esen e disse ação ai se desen ol ida ao longo de seis capí ulos em que se p e ende da espos a
posi i a aos obje i os p opos os.
No p esen e capí ulo p e ende-se ap esen a uma b e e e concisa in odução sob e o ema p opos o,
con ex ualizando de uma o ma mais simples as emá icas que ão se abo dadas.
No segundo capí ulo p e ende-se enquad a o modelo em es udo en e os modelos semelhan es co en es
salien ando as p incipais di e enças en e os mesmos, e de inindo o p opósi o da pla a o ma E olu ion.
O obje i o do e cei o capí ulo é esumidamen e demons a os undamen os eó icos em que o modelo
baseia as suas análises, p ocedendo ainda à alidação e compa ação dos esul ados ob idos a a és do
uso do p og ama com a solução eó ica.
O qua o capí ulo é desen ol ido no sen ido de e e ua a e i icação da alidade das leis de
compo amen o di e ido do ma e ial, nomeadamen e a a és do es udo da e ação e luência do be ão,
e ainda do es udo da elaxação das a madu as de p é-es o ço. Os undamen os eó icos pa a es as
análises se ão os desc i os no egulamen o em igo , nomeadamen e o Eu ocódigo 2 (EC2).
No quin o e penúl imo capí ulo é ei o o es udo e e i icação de algumas uncionalidades ine en es ao
ca ác e pa icula do modelo, que êm como obje i o o ná-lo mais ab angen e e susce í el de o do a
de uma melho capacidade de ep esen ação de aspe os pa icula es associados a es u u as especiais.
Pa a inaliza , o úl imo capí ulo ap esen a as conclusões a que o au o chegou após a ealização des a
disse ação e ambém algumas suges ões pa a abalhos u u os en ol endo es a pla a o ma.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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ENQUADRAMENTO
2.1. INTRODUÇÃO
A gene alização do acesso aos compu ado es e a sua c escen e capacidade de p ocessamen o le ou a
que nos dias de hoje es e assuma um papel p eponde an e em qualque análise ou dimensionamen o
es u u al. Des e modo oi possí el a u ilização de mé odos que aba cam quan idades eno mes de
cálculos, in iabilizados a é à da a, pe mi indo assim o es udo de es u u as cada ez mais complexas.
To nou-se, po an o, na u al o apa ecimen o de pla a o mas que azem o in e ace en e a aplicação dos
conhecimen os cien í icos ao ní el da Engenha ia Ci il e as capacidades compu acionais exis en es.
Os p og amas de cálculo disponí eis a ualmen e p imam pela acilidade de u ilização, u ilizando
in e aces bas an es in ui i as, e es ando ocacionados di e amen e pa a o solucionamen o das es u u as
e ob as de a e mais co en es, o e ecendo soluções pa ame izadas e eduzindo a capacidade de
in e enção do p oje is a, com consequências na especi icidade de cada ob a. Além disso a sua p incipal
di e iz é a e en e de p oje o e dimensionamen o, cessando aí as suas capacidades, sendo exemplo
dessa limi ação as leis de compo amen o ma e ial, cujos esul ados egulamen a es podem não
co esponde exa amen e aos esul ados ob idos pela ins umen ação na ob a.
P og amas que o e eçam capacidades semelhan es aos disponí eis no me cado mas que pe mi am ao
u ilizado uma maio in e enção, iabilizando a in odução de uncionalidades adequadas a cada caso
ganham bas an e in e esse. É nesse sen ido e com esse p opósi o que su ge a pla a o ma E olu ion.
2.2. PROGRAMAS COMERCIAIS CORRENTES
No domínio dos p og amas come ciais de inem-se aqueles com uma maio di usão po pa e dos
gabine es e consul o es de engenha ia pa a p ocede à análise es u u al. Es e ipo de p og amas
ge almen e em uma in e ace g á ica bas an e abalhada e use iendly pa a o na a sua u ilização
mais acili ada. O p oblema associado a es e ipo de p og amas é o ac o de eduzi em bas an es a
possibilidade de in e enção do u ilizado e se em de código selado, não pe mi indo a adap ação
necessá ia de cada modelo especí ico. Toda ia são pe ei amen e capazes de soluciona os p oblemas
mais co en es de um gabine e de engenha ia. En e esses p og amas é necessá io da especial des aque
aos seguin es p og amas:
 CYPE (CYPE Ingenie os (2014)), que é um p og ama que se cen a mais no dimensionamen o,
cump indo á ios egulamen os. É um p og ama bas an e echado, que, po exemplo, não pe mi e a
escolha do ipo de análise a e e ua ou o ipo de elemen os ini os a usa . Es as ca ac e ís icas não
pe mi em uma ácil análise e e i icação dos esul ados e impossibili am que o p oje is a con ole
de idamen e o dimensionamen o.

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 Au odesk Robo (Au odesk (2014)) e Sap2000 (Compu e s & S uc u es Inc. (2014)) são
so wa es que no seu conjun o pe mi em a análise es u u al e a simulação de desempenho an o em
si uações co en es como em algumas especiais e ambém a manipulação e a isualização espacial do
p oje o an es da sua conc e ização. Além da c iação do modelo e cálculo es u u al, pe mi em a
con on ação dos esul ados com á ios códigos e pe mi e ambém a p epa ação da documen ação da
es u u a incluindo o p oje o e os esul ados.
2.3. PROGRAMAS ACADÉMICOS/INVESTIGAÇÃO
Exis em p og amas que embo a ambém sejam come cializados possuem uma e en e mais di ecionada
pa a a in es igação: Es e ipo de p og amas põem ao dispo do seu u ilizado uma maio quan idade de
opções de o ma a que a modelação seja o mais adequada possí el e pe mi em ainda uma maio
complexidade de análises azendo com que se o ne in e essan e o seu uso em in es igação.
O Ansys (Ansys Inc. (2014)) e o DIANA (TNO DIANA (2014)) são e amen as de cálculo de
elemen os ini os e são u ilizados po consul o es de engenha ia, ins i uições de pesquisa e po mui as
ins i uições de ensino em odo o mundo. São dos so wa es mais u ilizados do me cado, uma ez que
podem simula análises es á icas, dinâmicas, é micas, sendo ambém possí el a inclusão de
uncionalidades desen ol idas pelo u ilizado , a análise de inúme as leis ma e iais e o ipo de elemen os
ini os a u iliza . A g ande a iedade de modelos de ma e iais, biblio ecas de elemen os ini os e
p ocedimen os de análise de que dispõem con e em-lhes um ele ado g au de lexibilidade, o nando-os
ocacionados pa a especialis as.
O so wa e de elemen os ini os FEMIX é 100% po uguês e em sido desen ol ido desde 1991. T a a-se
de um p oje o dos p o esso es Ál a o Fe ei a Ma ques Aze edo da Faculdade de Engenha ia da
Uni e sidade do Po o e de Joaquim An ónio Oli ei a de Ba os p o esso da Uni e sidade do Minho.
O cálculo é ei o com base no mé odo dos deslocamen os que pe mi e analisa em egime es á ico e
linea es u u as cons i uídas po di e sos ipos de ma e iais. Es e so wa e pe mi e ainda a disc e ização
da es u u a em elemen os de di e en es ipos como elemen os de casca e de ba a (Mi anda, A.J.d.C.
(2009)).
2.4. EVOLUTION
A pla a o ma E olu ion pe mi e o desen ol imen o de modelos de análise es u u al baseados no
Mé odo dos Elemen o Fin os, nes e abalho u iliza -se-á um modelo emp egando elemen os ini os
linea es que assen am na o mulação de iga de Timoshenko. Es e modelo es á p incipalmen e
ocacionado pa a a análise es u u al de ob as de a e, acompanhando o p ocesso desde o aseamen o
cons u i o a é à ase de explo ação, pe mi indo a disc e ização da secção ans e sal a a és de ib as
e inco po ando elemen os especí icos pa a a disc e ização de a madu as passi as, de cabos de p é-
es o ço e ainda de i an es.
O modelo pe mi e a análise es u u al com al e ações do sis ema es á ico ao longo do empo, desde que
essas es u u as sejam passí eis de se em modeladas po elemen os ini os linea es do ipo iga,
u ilizando mé odos inc emen ais e i e a i os de o ma a esol e os p oblemas susci ados po análises
ma e ial e geome icamen e não-linea es. Po isso mesmo odos os elemen os ini os inco po ados no
p og ama admi em a análise não linea geomé ica pe mi indo uma análise mais ealis a das peças
esbel as. No que diz espei o ao compo amen o ma e ial o p og ama coloca ao dispo do u ilizado um
leque ab angen e de opções, sendo possí el a ealização de análises incluindo as leis cons i u i as e de
compo amen o di e ido de cada ma e ial, espe i amen e, a issu ação do be ão e o compo amen o
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elas o-plás ico do aço nas leis cons i u i as e a ma u ação, e ação e luência do be ão e a elaxação do
aço de p é-es o ço no caso das leis de compo amen o di e ido do ma e ial.
A de e minação de equências e modos p óp ios de ib ação de uma es u u a em qualque ase do seu
ciclo de ida, inclusi amen e du an e a ase cons u i a, es á ambém ao alcance do u ilizado na
pla a o ma E olu ion.
A pla a o ma E olu ion po se a a de um so wa e de código abe o e possui biblio ecas de obje os
gené icos obus os possibili a a in odução de al e ações ao código e no as uncionalidades median e as
necessidades e opções de cada u ilizado , o nando o modelo mui o e sá il e adap á el a cada caso de
es udo conc e o.
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VALIDAÇÃO MEF
3.1. INTRODUÇÃO
O p incipal concei o associado ao mé odo dos elemen os ini os é a esolução de um p oblema complexo
a a és da sua subs i uição po um conjun o de p oblemas equi alen e cuja solução seja acilmen e
de e minada. Como o p oblema inicial é subs i uído po um p oblema ap oximado, ambém a solução
ob ida ai se uma ap oximação da solução exa a, ob igando assim a encon a pa a cada p oblema um
equilíb io en e a simplicidade do modelo ep esen a i o do p oblema e a ap oximação da solução. Es e
concei o em acompanhado os ma emá icos desde que há memó ia, como demons a Rao, S.S. (2005)
usando como exemplo a Figu a 3.1 onde es á ep esen ada a me odologia usada pa a a es ima i a do
pe íme o de uma ci cun e ência.
Gup a, K.K., Meek, J. L. (1996) ap esen am uma b e e his ó ia do mé odo dos elemen os ini os onde
os nomes de Cou an , A gy is, Tu ne , Clough e Zienkiewicz são mencionados como os p incipais
esponsá eis pelo desen ol imen o e o mulação do mé odo como hoje o conhecemos, icando a de e -
se a Clough, R.W. (1960) a u ilização pela p imei a ez da exp essão “elemen o ini o”. Na década de
50 do século passado apenas as g andes companhias indus iais e algumas agências go e namen ais nos
Es ados Unidos inham capacidade pa a coloca aos dispo dos seus quad os compu ado es digi ais. Não
ese ando su p esa a impo ância da indús ia ae onáu ica no desen ol imen o des e mé odo,
nomeadamen e a Boeing que em de e minada al u a con a a com Tu ne e A gy is, con udo, a na u eza
gene alis a des a eo ia pe mi iu a sua aplicação nos mais di e sos p oblemas de engenha ia.
Figu a 3.1 – Pe íme o de uma ci cun e ência (Rao, S.S., 2005)
3.2. DISCRETIZAÇÃO DOS ELEMENTOS
“O mé odo dos elemen os ini os, no âmbi o da engenha ia de es u u as, em como obje i o a
de e minação do es ado de ensão e de de o mação de um sólido de geome ia a bi á ia sujei o a ações
ex e io es.” Aze edo, Á.F.M. (2003) Es e mé odo su ge como uma e amen a ma emá ica que a a és
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
14
Figu a 3.9 – De o mação nas igas de ido a assen amen os de apoio
Reco endo à uncionalidade do p og ama que pe mi e o es udo em simul âneo de es u u as di e en es
p ocedeu-se à duplicação da iga com 10 elemen os e aplicação de um deslocamen o e ical no apoio
no alo de 0.01 m numa delas enquan o na ou a oi aplicada uma o ação do apa elho de apoio no alo
de 0.01 adianos. Na Tabela 3.1 ap esen a-se a compa ação e o des io pe cen ual en e os alo es ob idos
eco endo às abelas e aos alo es calculados na pla a o ma.
Tabela 3.1 – Valo es das eações de ido dos assen amen os e o ações
Assen amen o
Ro ação
Ve (kN)
Me (kN.m)
Ve (kN)
Me (kN.m)
Solução Teó ica
-3.97
19.84
19.84
-132.27
E olu ion
-3.89
19.44
19.44
-129.74
Des io %
2.0%
2.0%
2.0%
1.9%
Em jei o de conclusão pode se e e ido que os esul ados ob idos são sa is a ó ios e bas an e
ap oximados com um des io de apenas 2%, ga an indo con iança no p og ama.
3.4.2. TEMPERATURA
As a iações de empe a u a podem e g ande in luência na de o mabilidade e no es ado de ensão de
uma es u u a em po an o odo o in e esse a e i a iabilidade do p og ama em es udo quando uma
es u u a se encon a sujei a a es e ipo de solici ação.
Pa a o e ei o p ocedeu-se ao es udo de dois exemplos semelhan es, em que numa iga de dois amos
um desses amos se encon a sujei o a uma a iação de empe a u a. Fazendo uso das ib as do ipo
TIMOSHENKO oi modelada uma secção com 0.3x0.4 m2 di idida em 48 ib as de 0.1x0.1 m2 cada
uma delas. T a a-se de uma iga de be ão C30/37, endo um módulo de elas icidade de 33 GPa. Como
mos a a Figu a 3.10 cada um dos exemplos em es udo é cons i uído po dois amos, endo cada um
desses amos 5 me os de desen ol imen o. A p incipal di e ença en e os dois modelos eside nos
sis emas de apoio usados, já que a a iação de empe a u a é conside ada a uan e apenas no segundo
amo. No exemplo (A) o amo sujei o à a iação é mica pode á de o ma -se li emen e, não
p oduzindo es o ços, po ou o lado no caso (B) o amo solici ado encon a-se impedido de se de o ma
li emen e, p oduzindo ensões adicionais.

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
15
Figu a 3.10 – Esquema es u u al das igas sujei as à a iação de empe a u a
Reco endo a Ju andes (2002) o encu amen o de uma ba a sujei a a a iação é mica pode se
de e minado pela Equação (3.2).
ΔL= NL
EA + α.Δ .L
(3.2)
onde N e L ep esen am espe i amen e o es o ço axial a que a ba a se encon a sujei a e o seu
comp imen o, E e A o módulo de elas icidade e a á ea da secção ans e sal. O coe icien e de dila ação
é mica linea é ep esen ado po α e, po úl imo, Δ ep esen a a a iação da empe a u a.
Segundo o EC2 (2010), o coe icien e de dila ação é mica linea pode se conside ado igual a 10-5 K-1,
na ausência de in o mações mais igo osas. O alo da a iação de empe a u a a que os exemplos o am
subme idos assume o alo de 20ºC e -20ºC, sabendo que em módulo os esul ados se ão os mesmos
op ou-se po apenas ap esen a os esul ados ela i os à a iação posi i a.
Analisando a Equação (3.2) e i ica-se que a p imei a pa cela não em signi icado uma ez que, como
e e ido an e io men e, no exemplo (A) o apoio ex emo pe mi e o mo imen o no eixo da ba a, sendo
es e o único e ei o deco en e da aplicação de uma a iação de empe a u a. Pos o is o, a de o mação
eó ica e a ob ida pelo p og ama de cálculo são ap esen adas na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 – De o mação no apoio ex emo li e
De o mação (mm)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
1.0
1.0
0.0%
Analisando ago a o exemplo (B), em que o apoio mó el passa a es a localizado en e amos, é
expec á el que de ido ao e ei o da a iação de empe a u a posi i a oco a uma dila ação da peça e o
apoio se desloque pa a a esque da, azendo com que os dois amos iquem comp imidos e
consequen emen e su jam ensões nas ib as e eações nos apoios. O alo da ensão no mal que esul a
do e ei o da empe a u a pode se de e minado po uma a iação da lei de Hooke, di idindo o es o ço
no mal pela á ea da secção. O es o ço no mal, que se á a eação à qual os apoios e ão de da espos a,
pode se de e minado pela Equação (3.3).
N= ΔL.E.A
L
(3.3)
onde ΔL assume o alo de e minado no exemplo (A), mas como nes e caso a de o mação ai mobiliza
os dois amos o alo de L assume o comp imen o o al da peça, ou seja, 10 me os. A Tabela 3.3 e a
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
16
Tabela 3.4 ap esen am a compa ação dos esul ados ob idos pelo p og ama em es udo e pela esolução
eó ica do p oblema.
Tabela 3.3 – Valo es das eações nos apoios (kN)
Apoio
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
Di ei o
396
396
0.0%
Esque do
-396
-396
0.0%
Tabela 3.4 – Tensão na secção ans e sal da iga (kPa)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
-3300
-3300
0.0%
Res a apenas e i ica o alo do deslocamen o a que o apoio ica á sujei o, de e minando pa a isso a
de o mação exis en e no amo sujei o à a iação de empe a u a. Nesse cálculo eco e-se no amen e à
Equação (3.2), embo a nes e caso con a iamen e ao an e io a pa cela e e en e ao es o ço no mal já é
conside ada. Na Tabela 3.5 es á ap esen ada a compa ação e e uada en e os esul ados ob idos.
Tabela 3.5 – De o mação no eixo da ba a (mm)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
-0.5
-0.5
0.0%
Pode-se conclui que a e i icação da espos a da pla a o ma E olu ion no caso de uma a iação de
empe a u a oi bas an e posi i a, sendo os esul ados exa amen e coinciden es, assegu ando a
iabilidade do p og ama numa p óxima u ilização pa a o es udo de um p oblema semelhan e.
3.5. PRÉ-ESFORÇO
Desde o início do uso do be ão como ma e ial es u u al, a sua de icien e esis ência à ação le ou à
p ocu a de soluções que pe mi issem coloca a zona acionada sob comp essão melho ando o seu
compo amen o es u u al. A écnica do p é-es o ço do be ão consis e em in oduzi um es ado de ensão
p é io, capaz de melho a o compo amen o e a esis ência da es u u a. A ensão in oduzida no aço
dos cabos p ecisa se bas an e ele ada de ido às de o mações in oduzidas pela de o mação ins an ânea,
pela e ação e pela luência do be ão que azem com que uma pa e signi ica i a dessa ensão impos a
seja pe dida.
Segundo Figuei as, J.A. (1993) exis em ês concei os que podem se usados pa a de ini o
compo amen o de be ão p é-es o çado, a sabe :
 P é-Es o ço pa a ans o ma o be ão num ma e ial elás ico;
Com o ensionamen o do cabo o be ão ica sujei o a dois sis emas de o ças, nomeadamen e o do
p é-es o ço in e no e das ações ex e io es, em que as ações de ido às ações ex e io es são con a iadas
pelas ensões de comp essão de idas ao p é-es o ço. Des a o ma se não hou e ensões de ação no
be ão, oda a secção ans e sal se encon a comp imida e o seu compo amen o pode se conside ado
como o de um ma e ial elás ico.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
17
 P é-Es o ço pa a combina aço de al a esis ência com be ão;
O compo amen o do be ão p é-es o çado nes a solução é assumido como análogo ao compo amen o
de uma peça de be ão a mado, conside ando que se a a de uma combinação de dois ma e iais, com o
aço esponsá el po supo a as ensões de ação e consequen emen e o be ão as de comp essão. Po se
a a de aço de al a esis ência as de o mações necessá ias pa a mobiliza a sua esis ência não são
compa í eis com as ca ac e ís icas esis en es do be ão à ação, ad indo po an o a necessidade de
es ica p e iamen e o aço de al a esis ência a um ní el, σp0, e anco á-lo con a be ão de o ma a
desen ol e um e ei o a o á el nos dois ma e iais (comp essão no be ão e ação no aço) an es de
aplica as ca gas ex e io es.
O be ão p é-es o çado é des a o ma uma ex ensão do be ão a mado sendo a capacidade esis en e da
peça limi ada pela capacidade limi e de cada um dos ma e iais. Nes e concei o é u ilizado um aciocínio
idên ico ao de cálculo à o u a de secções de be ão a mado.
 P é-Es o ço pa a alcança ca gas equi alen es.
Nes e ipo de solução o p é-es o ço é basicamen e in e p e ado como uma en a i a pa a equilib a as
ca gas a uan es sob e o elemen o. O e ei o p o ocado pelo p é-es o ço pode en ão se subs i uído, pa a
cálculo, po um conjun o de ca gas equi alen es, como mos a a Figu a 3.11, eduzindo ou anulando
assim a lexão a que a peça es a ia sujei a caso não osse p e iamen e p é-es o çada.
Figu a 3.11 – Rep esen ação das ca gas equi alen es de ido ao p é-es o ço (Figuei as, J. A. (1993))
No caso de cabos e os, excên icos em elação ao eixo neu o da peça (mas com a iação da
excen icidade), as ca gas equi alen es são apenas ca gas pon uais de comp essão nas ex emidades e
o ças e icais que são di e amen e de e minadas endo em con a a inclinação do cabo. O cabo
pa abólico desen ol e uma ca ga uni o me di igida pa a cima de alo :
q=8P
L2
(3.4)
sendo a lecha da pa ábola.
São undamen almen e duas as écnicas p incipais de p é-es o ço aplicadas ao be ão, nomeadamen e a
p é- ensão e a pós- ensão. No caso da p é- ensão, podendo ambém se designada de p é-es o ço de
ade ência, os a ões ou cabos são ensionados an es da colocação do be ão, sendo a ans e ência do
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
18
es o ço pa a o be ão ei a po ade ência, depois do be ão adqui i a esis ência necessá ia. É um p ocesso
adequado pa a a p é- ab icação em sé ie, uma ez que os cabos são ensionados p e iamen e,
moldando-se pos e io men e o comp imen o da peça de be ão. Es a écnica de p é-es o ço en ol e em
ge al g andes pe das de ensão, a ansmissão da o ça az-se usualmen e pa a um be ão com poucos
dias de idade. No caso da pós- ensão as a madu as são ensionadas após o be ão e adqui ido a
esis ência necessá ia sendo es a a écnica de p é-es o ço u ilizada na cons ução "in si u". O p é-es o ço
é aplicado po cabos munidos de anco agens nas suas ex emidades e colocado em bainhas de modo a
ica em li es du an e a be onagem. Depois do be ão adqui i a esis ência necessá ia, os cabos são
ensionados po meio de macacos que azem apoio sob e o be ão sendo em seguida os cabos anco ados
nas ex emidades.
No con ex o do p é-es o ço con ém ainda e e encia a di isão dos dois ipos de pe das a que es a écnica
es á sujei a, nomeadamen e as pe das ins an âneas e as pe das di e idas. No capí ulo das pe das
ins an âneas es ão con abilizadas as pe das de ido ao a i o nos des ios do açado, as pe das de ido ao
esco egamen o dos disposi i os de ama ação, as pe das de ido à elaxação a cu o p azo do aço de
p é-es o ço e ainda a de o mação elás ica do be ão. Rela i amen e às pe das di e idas es ão englobadas
as pe das de ensão de ido à edução da ex ensão, p o ocada pela de o mação do be ão sob ações
pe manen es de ido à luência e e ação, e a edução da ensão do aço de ido à elaxação.
Nos subcapí ulos seguin es se á ei a a e i icação das duas écnicas de aplicação do p é-es o ço
con abilizando apenas as pe das ins an âneas e conside ando cabos de p é-es o ço ade en es, abo dando
no capí ulo seguin e as pe das di e idas.
3.5.1. PRÉ-TENSÃO
O modelo possui as classes APLLIEDSTRESS e APLLIEDSTRAIN pa a ep oduzi a aplicação de
p é-es o ço, no caso da aplicação de ensão (ou ex ensão) inicial.
Na con abilização das pe das ins an âneas de p é-es o ço o modelo em a capacidade de es uda
au oma icamen e as pe das po de o mação elás ica e as pe das po elaxação a cu o p azo (sendo es a
úl ima es udada no capí ulo seguin e). Uma ez que a modelação das a madu as de p é-es o ço é
e e uada a a és de ib as ou elemen os ini os do ipo EMBEDDEDCABLE, di e enciando-se do ipo
TIMOSHENKO apenas nas de o mações que conside am possí eis e na possibilidade de não se em
pa alelas ao eixo da peça em que se inse em, sendo que nas ib as do ipo EMBEDDEDCABLE apenas
se em em con a a ex ensão axial desp ezando as dis o ções po co e. De ido à de o mação elás ica, o
alo inal de p é-es o ço não coincide com o inicialmen e aplicado, uma ez que du an e a ans e ência
das ensões da a madu a pa a o be ão oco em de o mações das mesmas que esul am em pe das de
ensão.
Nes e p imei o exemplo de aplicação p e ende-se es uda o compo amen o de uma peça de be ão
p é-es o çada pela écnica de p é- ensão. Pa a isso oi modelada uma iga simplesmen e apoiada de 8
me os de ão, com secção e angula com 0.375 (0.5x0.75) m2, di idindo-a em 150 ib as de
TIMOSHENKO de 0.05x0.05 m2. Conside ou-se uma iga be onada com o be ão modelo do EC2
C30/37, cujo módulo de elas icidade assume o alo de 33 GPa. A a madu a de p é-es o ço oi modelada
eco endo a apenas uma ib a do ipo EMBEDDEDCABLE, assumindo o seu módulo de elas icidade
o alo de 206 GPa, e oi-lhe a ibuída uma á ea de 7.4cm2 e possuindo uma ensão de o u a
ca ac e ís ica de 1860 MPa e, consequen emen e, uma ensão limi e con encional de p opo cionalidade
de 0.1% ca ac e ís ica de 1640 MPa.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
19
Figu a 3.12 – Rep esen ação da modelação de uma iga p é-es o çada com cabo linea
O cabo assume um açado e o e linea , como mos a a Figu a 3.12, com uma excen icidade de 0.15 m
sendo acionado a é a ingi uma ensão de 1351,35 MPa, o equi alen e a uma o ça de ação de
1000 kN. A aplicação do p é-es o ço com excen icidade além de p o oca a comp essão da peça ai
ainda induzi um momen o le o con á io ao que se á p o ocado pelas ca gas a que a peça es a á sujei a,
cuja de o mação de ida unicamen e ao p é-es o ço pode se obse ada na Figu a 3.13.
Figu a 3.13 – De o mação na iga de ido à excen icidade do p é-es o ço
Nesse caso, as ensões no mais p esen es na secção ans e sal podem se calculadas a pa i da
exp essão (3.5).
σ= N
A ± M . y
I ± P . e . y
I
(3.5)
onde N equi ale apenas à o ça de p é-es o ço na ausência de es o ço axial.
Após a de e minação da ensão no be ão acilmen e podemos de e mina , pela lei de Hooke, a ex ensão
axial a que a peça es a á sujei a. A ex ensão axial do be ão, esponsá el pelas pe das po de o mação
elás ica é igual à a madu a de p é-es o ço de ido à solida ização dos dois ma e iais. Assim, uma ez
mais pela lei de Hooke, é possí el de e mina qual a pe da de ensão p o ocada pela de o mação elás ica
do be ão. Como a modelação da secção é ei a com ecu so a elemen os ini os, as ex ensões se ão
ob idas ao ní el de cada ib a, po isso, de e á se usada a ex ensão ao ní el do cen o de g a idade da

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
20
peça pa a de e mina qual a pe da de p é-es o ço, uma ez que é nesse elemen o que es á con emplada
unicamen e a de o mação po e ei os da comp essão ins alada. Na Tabela 3.6 e na Tabela 3.7 é ei a a
compa ação, em pe cen agem, dos alo es ob idos a a és do modelo numé ico com os alo es
calculados a a és da solução eó ica.
Tabela 3.6 – Tensões no be ão (kPa)
Va iação y
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
0.35
320.00
327.35
2.25%
0.3
-106.67
-103.58
2.89%
0.25
-533.33
-514.42
3.55%
0.2
-960.00
-935.31
2.57%
0.15
-1386.67
-1356.19
2.20%
0.1
-1813.33
-1777.08
2.00%
0.05
-2240.00
-2197.97
1.88%
0
-2666.67
-2618.85
1.79%
-0.05
-3093.33
-3039.74
1.73%
-0.1
-3520.00
-3460.63
1.69%
-0.15
-3946.67
-3881.51
1.65%
-0.2
-4373.33
-4302.40
1.62%
-0.25
-4800.00
-4723.28
1.60%
-0.3
-5226.67
-5144.17
1.58%
-0.35
-5653.33
-5565.06
1.56%
Tabela 3.7 – Tensão na a madu a de p é-es o ço (kPa)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
1334704.89
1327121.31
0.57%
Os esul ados ob idos são bas an e ap oximados, a ingindo um des io médio de 1,9% nas ensões
p esen es no be ão e ela i amen e às ensões de ação na a madu a de p é-es o ço, que é o p incipal
obje o de es udo, a a iação é de apenas 0.57 % o que ep esen a a iabilidade do p og ama.
Além das ensões ambém as de o mações o am compa adas, ap esen adas na Tabela 3.8 e na Tabela
3.9, es udando assim o deslocamen o ho izon al expec á el no apoio li e e ainda a de o mação e ical
a meio ão – p o ocada pela excen icidade do p é-es o ço. No cálculo manual do deslocamen o e ical
eco eu-se ao mé odo da unidade ic ícia de ca ga, explicado na Equação (4.19), enquan o pa a o
deslocamen o ho izon al sabendo o alo da ex ensão acilmen e se ob ém o alo do deslocamen o
causado na ex emidade li e.
Tabela 3.8 – Deslocamen o no apoio li e (mm)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
-0.646
-0.635
1.79%
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
21
Tabela 3.9 – Deslocamen o e ical a meio ão (mm)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
2.07
2.04
1.35%
Os esul ados ob idos no modelo de cálculo o am bas an e ap oximados, coincidindo a é ao milíme o
no deslocamen o e ical e a é à décima de milíme o no deslocamen o e ical.
A es a mesma peça oi pos e io men e adicionado um ca egamen o de 50 kN/m com o in ui o de
e i ica a al e ação e o desen ol imen o que de no as ensões que de deslocamen os comple amen e
con á ios aos p e iamen e exis en es, mos ando na Figu a 3.14 o inc emen o de ensões que a aplicação
da ca ga p o oca em cada ib a. De salien a que nes a ase a análise ei a ainda não con abiliza os e ei os
di e idos e a e olução ao longo do empo das pe das de p é-es o ço.
Figu a 3.14 – Rep esen ação das ensões no mais na pla a o ma E olu ion
As ensões inais a que a peça es á sujei a, ap esen adas pelo modelo, não são mais que o soma ó io dos
e ei os de cada inc emen o, po isso, somando as ensões exis en es em cada ib a de ido ao e ei o do
p é-es o ço com as ensões p o ocadas pela aplicação do ca egamen o na peça, ob ém-se os esul ados
ap esen ados na Tabela 3.11 e
Tabela 3.10.
Tabela 3.10 – Tensão na a madu a de p é-es o ço (kPa)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
1348022.06
1348081.47
0.004%
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
22
Tabela 3.11 – Tensão no be ão (kPa)
Va iação y
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
0.35
-7644.44
-7650.32
0.08%
0.3
-6933.33
-6931.54
0.03%
0.25
-6222.22
-6212.76
0.15%
0.2
-5511.11
-5493.98
0.31%
0.15
-4800.00
-4775.20
0.52%
0.1
-4088.89
-4056.41
0.79%
0.05
-3377.78
-3337.63
1.19%
0
-2666.67
-2618.85
1.79%
-0.05
-1955.56
-1900.07
2.84%
-0.1
-1244.44
-1181.29
5.07%
-0.15
-533.33
-462.51
13.28%
-0.2
177.78
256.27
30.63%
-0.25
888.89
975.05
8.84%
-0.3
1600.00
1693.83
5.54%
-0.35
2311.11
2412.61
4.21%
Os esul ados ob idos es ão bas an e ap oximados da solução eó ica o que con e e bas an e con iança
no modelo pa a o es udo des e ipo de solução de p é-es o ço. Exis em de e minadas secções em que se
e i icam picos nas di e enças de ensões, podendo esse ac o se acilmen e explicá el, já que essas
di e enças oco em nas ib as co esponden es ao be ão ci cundan e ao cabo p é-es o çado, sendo um
p oblema de modelação. Esses picos possi elmen e se iam emo idos caso a malha osse mais
po meno izada nessa á ea em especí ico.
Na e i icação do deslocamen o e ical a meio ão e i ica-se que com o inc emen o de ca ga a
di e ença pe cen ual aumen ou bas an e passando ago a a se de 4.48 %, como mos a a Tabela 3.12,
não sendo p eocupan e uma ez que o e o a e a o esul ado na décima de milíme o, man endo assim a
con iança no esul ado ap esen ado.
Tabela 3.12 – Deslocamen o e ical a meio ão (m)
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
-2.53
-2.65
4.48%
3.5.2. PÓS-TENSÃO
No caso do es udo do p é-es o ço aplicado po pós- ensão o p og ama possui as uncionalidades
IMPOSEDSTRESS e IMPOSEDSTRAIN pa a simula a imposição, espe i amen e, de uma ensão ou
ex ensão inal. Uma ez que o modelo con abiliza au oma icamen e as pe das de p é-es o ço de ido à
de o mação elás ica do be ão es a uncionalidade em de unciona de o ma i e a i a, p ocedendo ao
aumen o necessá io na ensão aplicada na a madu a de p é-es o ço a é compa ibiliza a ensão inal
impos a com as de o mações deco en es dessa mesma ensão.
Pa a e i ica es a uncionalidade da pla a o ma p ocedeu-se à modelação de uma iga de be ão com 18
me os de ão e p é es o çada com um cabo pa abólico. Fo am usados em conjun o elemen os do ipo
TIMOSHENKO e EMBEDDEDCABLE pa a simula espe i amen e as ib as de be ão e da a madu a
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
23
de p é-es o ço. Foi usada uma secção ans e sal em T, com as dimensões especi icadas na Figu a 3.15,
e admi indo que a á ea da a madu a de p é-es o ço não p ecisa se conside ada a secção con abiliza uma
á ea de 0.64 m2 de be ão. Es a secção oi disc e izada em 128 ib as com um módulo de elas icidade de
38 GPa. A disc e ização da a madu a de p é-es o ço oi ei a eco endo apenas a uma ib a, com um
módulo de elas icidade de 206 GPa e uma á ea de 26 cm2.
Figu a 3.15 – Esquema da secção ans e sal
A iga encon a-se simplesmen e apoiada e oi disc e izada a a és de 18 elemen os do ipo
BEAMFIBRE, cada um desses elemen os com 1 me o de desen ol imen o e 2 pon os de Gauss. A
iné cia da secção ap esen ada pelo p og ama em es udo é de 0.0515 m4, que é p a icamen e coinciden e
com a iné cia es imada eo icamen e desp ezando a in luência do cabo de p é-es o ço, que é
ap oximadamen e 0.0516 m4, e não in oduz dispa idades ele an es no cálculo de ensões e
de o mações.
O cabo assume um açado pa abólico, endo início no cen o de g a idade da peça e a ingindo a meio
ão a lecha máxima com o alo de 0.5525 m, na Tabela 3.13 ap esen a-se o açado comple o do cabo
po me o de desen ol imen o da iga.
Tabela 3.13 – Va iação do açado do cabo de p é-es o ço ao longo da iga
Viga (m)
Cabo (y)
Viga (m)
Cabo (y)
0
0.00
10
-0.55
1
-0.12
11
-0.53
2
-0.22
12
-0.49
3
-0.31
13
-0.44
4
-0.38
14
-0.38
5
-0.44
15
-0.31
6
-0.49
16
-0.22
7
-0.53
17
-0.12
8
-0.55
18
0.00
9
-0.5525
-
-
A a madu a de p é-es o ço ai se acionada a é a ingi uma ensão de 768935 kPa, o equi alen e a uma
o ça de 2000 kN, e a o ma pa abólica do açado do cabo ai o igina o apa ecimen o de o ças
equi alen es, ap esen adas na Exp essão (3.4), com o alo de 27.3 kN/m. Admi iu-se como azoá el o
alo de 40 kN/m pa a ep esen a o ca egamen o a que a iga es a ia sujei a e que o p é-es o ço e ia
de equilib a , a a és da ação ic ícia das ca gas equi alen es. Na Figu a3.16 es á exibida a de o mação
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
30
Va iações de empe a u a, no in e alo de 0 ºC a 80 ºC, que in luenciem a ma u idade do be ão podem
se conside adas a a és da co eção da idade do be ão usando a seguin e exp essão
T=∑e-(4000
273+T(Δ i)-13.65).Δ i
n
i=1
(4.15)
subs i uindo ago a po T nas exp essões co esponden es. Também a idade do be ão à da a do
ca egamen o pode se co igida endo em con a que a exposição a a iações de empe a u a que às
al e ações ine en es ao uso de di e en es ipos de cimen o, a ibuindo a cada classe um pa âme o
ca ac e ís ico, α, a aplica na seguin e exp essão
0= 0,T.(9
2+ 0,T
1.2 +1)α
≥0.5
(4.16)
com o alo de α a oma os alo es de -1 caso se a e de um cimen o da Classe S, 0 pa a cimen os da
Classe N e 1 pa a cimen os da Classe R.
De e se ido em a enção o alo da ensão de comp essão no be ão na idade 0, já que, o Eu ocódigo 2
de ine que caso essa ensão ul apasse o alo de 0.45 ck ( 0) de e se conside ada a não linea idade da
luência. A conside ação da não linea idade da luência consis e na subs i uição do coe icien e φ( , 0)
po φnl( , 0), sendo es e úl imo de inido em (4.17).
φnl( , 0)= φ( , 0)exp(1.5(kσ-0.45))
(4.17)
O Módulo de Dis o ção, unção do Módulo de Elas icidade e do coe icien e de Poisson ( elação en e a
de o mação ans e sal e a de o mação longi udinal), pode se es imado a a és da unção (4.18):
Gm,28=Ecm,28
2(1+ν)
(4.18)
4.2.1.1. VERIFICAÇÃO DA FLUÊNCIA
Tomando uma iga duplamen e encas ada como exemplo de alidação, Figu a 4.2, oi u ilizado o
so wa e Mic oso Excel pa a es ima a de o mação p og essi amen e ao longo do empo de ido à
luência, compa ando pos e io men e com os esul ados ob idos com o modelo em es udo.

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
31
Figu a 4.2 – Esquema es u u al da peça
T a a-se de uma iga com 10 me os de ão em que é aplicada uma ca ga e ical a meio ão com o
alo de 45 kN aos 7 dias e e i ada aos 57 dias, com o obje i o de es uda os e ei os da luência
conjugados com a aplicação e emoção de ca egamen o.
O modelo da iga, Figu a 4.3, oi usada em exemplos an e io es, nomeadamen e na e i icação do peso
p óp io, e ap esen ou alo es sa is a ó ios que de ensões que de de o mações, po essa azão oi
omada a opção de usa a mesma iga, es ando assim em condições de lida apenas com os p oblemas
o iundos da modelação do compo amen o da luência. Nes e exemplo as ib as o am es udadas com
ecu so à uncionalidade TIMOSHENKO, admi ido que o seu compo amen o e a do ipo
ELASTICLINEAR e oi a i ada pa alelamen e a uncionalidade CREEP, de o ma ao modelo
conside a o e ei o da luência.
Op ou-se po usa uma escala loga í mica pa a a e olução empo al uma ez que o e ei o da luência de
az sen i pa icula men e nas p imei as idades.
Figu a 4.3 – Esquema da modelação u ilizada no es udo da luência
A iga oi modelada com be ão C25/30, cujas ca ac e ís icas esis en es, en e ou as impo an es pa a
o es udo em causa, es ão de idamen e explanadas no Quad o 3.1 do EC2.
Fazendo uso do Mé odo da Unidade Fic ícia de Ca ga, endo em con a que o diag ama de momen os
le o es que o diag ama de es o ço ans e so, a de o mação inicial de ida unicamen e ao ca egamen o
é dada pela exp essão (4.19) e (4.20).
δ= ∫MM

EI
10
0
dx + ∫VV

GA*
10
0
dx
(4.19)
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
32
Em que M e V ep esen am os diag amas de momen os e es o ço ans e so a que a iga es á sujei a
de ido unicamen e à aplicação da ca ga de 1000kN a meio ão e, consequen emen e, 𝑀
 e 𝑉 ep esen am
os diag amas de momen o e es o ço ans e so deco en es da aplicação de uma ca ga uni á ia no pon o
onde se p e ende de e mina a de o mada da iga. De salien a que o alo da de o mação oma o mesmo
alo mas de sinal in e so aquando da emoção do ca egamen o. Pos o is o, o esul ado ob ido é o
expos o na equação (4.20).
δ= 234.375
3EI +112.5
GA*=0.00722 m
(4.20)
Sabendo a de o mação impos a pelo ca egamen o é possí el es ima a a iação da de o mação de ido
à luência a é à idade de 30 anos pela me odologia ecomendada no EC2, idade a pa i da qual se
conside a que a luência já não p oduz e ei os signi ica i os, ob endo assim uma es ima i a do aumen o
da de o mação de ido aos e ei os di e idos da luência.
Após a ob enção de esul ados pelo modelo numé ico e pelo mé odo do EC2 é possí el en ão compa a
a e olução da de o mação, Figu a 4.4.
Figu a 4.4 – Va iação da de o mação de ido aos e ei os da luência
Pode-se se a i ma en ão que os esul ados ob idos pelo p og ama E olu ion e pela solução eó ica são
bas an e ap oximados e con e em segu ança ao u ilizado , con e gindo pa a uma di e ença pe cen ual
de ce ca de 4% a pa i dos 57 dias, salien ando que no pe íodo an e io a di e ença pe cen ual se
encon a na o dem de 1% o que é bas an e bom.
De no a que na modelação da lei cons i u i a CREEP a pa i do momen o que se de ine uma idade
inicial 0, os inc emen os empo ais de análise de em se em unção dessa idade inicial. Conc e amen e
quando se de ine como caso de es udo um inc emen o empo al 14 dias, onde a idade inicial de
ca egamen o o am 7 dias, e e i amen e a peça es á a se es udada pa a a idade de 21 dias. Es a simples
disc epância pode conduzi a e os da o dem dos 35 %.
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
110 100 1000 10000 100000
Deslocamen o (m)
(dias)
E olu ion
Solução Teó ica
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
33
4.2.2. RETRAÇÃO
A e ação consis e na diminuição da dimensão de uma peça de be ão na ausência de a iações de
empe a u a e de ensões aplicadas. Es e enómeno é o iginado pela a iação de olume da pas a de
cimen o de ida essencialmen e à e apo ação da água de amassadu a do be ão e às eações de hid a ação
das pa ículas de cimen o ou ca bona ação do be ão (Cos a, A., Apple on, J., 2002). A Figu a 4.5 pe mi e
uma melho pe ceção do enómeno da e ação.
Figu a 4.5 – Rep esen ação simpli icada do uncionamen o da e ação (Cos a, A., Apple on, J., (2002))
O EC2 e e e que a e ação de uma peça de be ão es á dependen e da humidade ambien e, das dimensões
do elemen o e da composição do be ão, podendo a ex ensão o al de e ação se di idida em duas
pa celas, nomeadamen e a ex ensão de e ação po secagem e a ex ensão de e ação au ogénea.
A e ação au ogénea desen ol e-se, na sua maio pa e, nos p imei os dias uma ez que depende do
endu ecimen o do be ão e pode se ob ida da seguin e o ma:
εca( )=βas( )εca(∞)
(4.21)
onde
εca(∞) = 2.5( ck-10)10-6
(4.22)
e
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
34
βas( )=1-exp(-0.2 0.5)
(4.23)
A e olução com o empo da ex ensão de e ação po secagem é es imada a pa i da Equação (4.24)
εcd( )= βds( , s) . kh . εcd,0
(4.24)
em que kh é um coe icien e que depende da espessu a equi alen e (h0) de aco do com a Tabela 4.1, e o
coe icien e βds( , s) pode se es imado pela Equação (4.25).
Tabela 4.1 – Va iação do alo de kh em unção da espessu a equi alen e
h0
kh
100
1.0
200
0.85
300
0.75
≥500
0.70
βds( , s)= ( - s)
( - s)+0.04 √h0
3
(4.25)
ela i amen e ao alo da ex ensão de e ação po secagem de e e ência, εcd,0, o Anexo B do EC2
ap esen a a Equação (4.26) pa a es ima o seu alo .
εcd,0=0.85[(220+110 . αds1). exp (-αds2 . cm
cmo)] . 10-6 . βRH
(4.26)
onde cm0 assume o alo de 10 MPa e os coe icien es αds1 e αds2 dependem do ipo de cimen o usado,
assumindo os alo es indicados na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Valo dos coe icien es αds em unção do ipo de cimen o
Cimen o
αds1
αds2
S
3
0.13
N
4
0.12
R
6
0.11
sendo ainda
βRH=1.55 [1 -(RH
RH0)3]
(4.27)
com RH0 a assumi o alo de 100%.
4.2.2.1. VERIFICAÇÃO DA RETRAÇÃO SEM IMPEDIMENTO DE DEFORMAÇÕES
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
35
Pa a e e ua a e i icação da iabilidade do modelo no es udo da e ação oi modelada uma iga em
udo idên ica à da iga usada no es udo da luência endo como única di e ença a ausência de
ca egamen o e a iga encon a-se simplesmen e apoiada pa a pe mi i a de o mação li e de ido aos
e ei os unicamen e da e ação, Figu a 4.6, cujo es udo oi pe mi ido a a és da a i ação da
uncionalidade SHRINKAGE de o ma análoga ao e e uado no es udo da luência.
Figu a 4.6 – De o mação ap esen ada pela pla a o ma E olu ion pa a uma iga sujei a à e ação
Na Tabela 4.3 são ap esen adas as ex ensões espe adas pa a a e ação po secagem, au ogénea e a soma
de ambas pelo mé odo ecomendado pelo EC2
Tabela 4.3 – Ex ensões de ido à e ação segundo o EC2
ecd( )
eca( )
ecs( )
0.00
0
0
0
21.39
-9.41504E-05
-2.26288E-05
-0.000116779
42
-0.000149711
-2.73618E-05
-0.000177073
85
-0.000212375
-3.16026E-05
-0.000243977
171
-0.000268585
-3.47591E-05
-0.000303344
342
-0.00030955
-3.65726E-05
-0.000346123
684
-0.000335106
-3.72997E-05
-0.000372406
1368
-0.000349534
-3.74771E-05
-0.000387011
2737
-0.000357224
-3.74989E-05
-0.000394723
5475
-0.000361198
-3.75E-05
-0.000398698
10950
-0.000363218
-3.75E-05
-0.000400718
Após a ob enção da ex ensão o al de e ação expec á el pela Equação (4.28) consegue-se es ima qual
o encu amen o da peça e seguidamen e compa a com encu amen o ex aído do modelo numé ico,
ap esen ando na Figu a 4.7 o g á ico compa a i o da e olução ao longo do empo da a iação das
ex ensões na peça.
ε= ΔL
L⇔ ΔL=ε . L
(4.28)

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
36
Figu a 4.7 – Compa ação en e o encu amen o de ido à e ação calculada pelo EC2 e pela pla a o ma
E olu ion
Rela i amen e aos esul ados ap esen ados es a dize que a con e gência é cla a, ap esen ando alo es
p a icamen e coinciden es, es ando o des io pe cen ual semp e abaixo de 0.01%.
4.2.2.1. VERIFICAÇÃO DA RETRAÇÃO COM IMPEDIMENTO DE DEFORMAÇÕES
Es e exemplo de aplicação é uma a iação do exemplo an e io , p e endendo ago a a a és do bloqueio
do deslocamen o no eixo da ba a es uda as ensões o iginadas na iga unicamen e pelos e ei os da
e ação. No exemplo an e io o am calculadas pelo mé odo do EC2 as ex ensões expec á eis de ido à
e ação, Tabela 4.3, podendo ago a ex apola as ensões que essas de o mações p o oca iam na peça
caso es i esse ixa em ambas as ex emidades. A lei de Hooke pe mi e o elacionamen o das ensões
com ex ensões a a és da seguin e exp essão:
σ= ε . E
(4.29)
Após a aplicação da exp essão (4.29) às ex ensões calculadas no exemplo an e io compa a am-se os
esul ados das ensões ob idos no modelo. A Figu a 4.8 mos a cla amen e que os esul ados são
p a icamen e coinciden es, es ando o seu des io pe cen ual abaixo de 0.01%. Pode-se conclui po an o
que a espos a do p og ama oi bas an e sa is a ó ia e os seus esul ados de g ande con iança.
-0.0045
-0.0040
-0.0035
-0.0030
-0.0025
-0.0020
-0.0015
-0.0010
-0.0005
0.0000
110 100 1 000 10 000 100 000
Deslocamen o (m)
(dias)
E olu ion
Solução Teó ica
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
37
Figu a 4.8 – Compa ação en e a e ação calculada pelo EC2 e pelo modelo numé ico
4.3. AÇO
4.3.1. RELAXAÇÃO
A pe da de ida à elaxação é de inida no EC2 como a elação, em pe cen agem, en e a a iação da
ensão de p é-es o ço em de e minado ins an e em elação à ensão inicial de p é-es o ço e pode se
de e minada pa a um qualque ins an e , em ho as, após a aplicação do p é-es o ço u ilizando uma das
exp essões (4.30), (4.31) ou (4.32), que co espondem, espe i amen e, à classe 1, 2 e 3 de elaxação
de inidas no EC2. Essas classes indicam o compo amen o do aço em elação à elaxação, cons i uindo
a p imei a classe os co dões e ios com elaxação no mal, na segunda classe es ão ag upados os co dões
e ios com elaxação baixa, e po im, na e cei a classe es ão inco po adas as ba as laminadas a quen e
e com a amen o complemen a .
Δσp
σpi
=5.39* ρ1000*e6.7μ (
1000)0.75(1-μ)*10-5
(4.30)
Δσp
σpi
=0.66* ρ1000*e9.1μ (
1000)0.75(1-μ)*10-5
(4.31)
Δσp
σpi
=1.98* ρ1000*e8μ(
1000)0.75(1-μ)*10-5
(4.32)
onde Δσp ep esen a o alo absolu o das pe das de p é-es o ço de ido à elaxação e σpi é o alo da
ensão inicial aplicada na a madu a de p é-es o ço. O alo de μ é ob ido a a és do coe icien e σpi/ pk,
onde pk é o alo ca ac e ís ico da esis ência à ação do aço de p é-es o ço. O cálculo das pe das de ido
à elaxação do aço de p é-es o ço de e á basea -se no alo de ρ1000, que é a pe da de ida à elaxação
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
110 100 1 000 10 000 100 000
Tensões (Pa)
(dias)
E olu ion
Solução Teó ica
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
38
(em pe cen agem da ensão inicial) 1000 ho as após a aplicação do p é-es o ço a uma empe a u a média
de 20ºC, sendo ob ida pa a uma ensão inicial de 0.7 pk. Os alo es a longo p azo das pe das de idas à
elaxação pode ão se es imados pa a um empo igual a 500 000 h.
No Anexo D do EC2 es á ainda de inida a me odologia a u iliza pa a o cálculo das pe das no p é-es o ço
de ido à elaxação quando exis em inc emen os de ensão aplicados no aço de p é-es o ço. Es e mé odo
é baseado no p incípio do empo equi alen e, e, ob endo-se o seu alo a pa i da esolução de uma das
Equações (4.30), (4.31) ou (4.32), con o me a classe em es udo, em o dem a . Po simpli icação, uma
ez que es e p incípio se aplica a qualque uma das 3 classes, esol eu-se a Equação (4.31) em o dem a
, ob endo a Equação (4.33).
e=10000.75(1-μ)√∑Δσp ,j
i-1
j=0
(Δσp,i +∑Δσp,j)*10-5*0.66*ρ1000*e9.10-μ
i-1
j=0
(4.33)
onde Δσp,i é o inc emen o de ensão no aço de p é-es o ço no ins an e i, ∑Δσp,j
i-1
j=0 é o soma ó io de odos
os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço, e po úl imo, ∑Δσp ,j
i-1
j=0 é o soma ó io de
odas as pe das po elaxação de e minadas a é ao ins an e i-1. O alo de μ nes as condições passa a se
de e minado pela exp essão (4.34).
μ= ∑Δσp ,j
i-1
j=0
(Δσp,i +∑Δσp,j)
i-1
j=0
(4.34)
O empo e é de e minado pa a que subs i uindo pelo alo de e + Δ i na equação ela i a à classe em
es udo, se o ne possí el de e mina o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de
p é-es o ço. Δσp ,j é o soma ó io de odos os inc emen os de ensão aplicados ao aço de p é-es o ço. A
u ilização des e mé odo p e ê que as pe das po elaxação calculadas num de e minado ins an e sejam
iguais ao soma ó io das pe das de e minadas pa a uma ensão inicial igual ao soma ó io dos inc emen os
de ensão aplicados no aço de p é-es o ço.
4.3.1.1. VERIFICAÇÃO DA RELAXAÇÃO
Pa a e i ica a espos a do p og ama ela i amen e ao es udo do compo amen o da elaxação modelou-
se uma iga de be ão p é-es o çado eco endo à écnica de p é- ensão. T a a-se de uma iga
simplesmen e apoiada de 10 me os de ão, simulando o uso de um be ão com um módulo de
elas icidade de 38 GPa – classe C55/67 segundo o EC2 – e uma a madu a de p é-es o ço com uma
ensão ca ac e ís ica de esis ência à ação de 1860 MPa, admi indo o seu compo amen o é de classe
2, ou seja, com baixa elaxação. A secção ans e sal é e angula com uma á ea de 0.5 m2 (0.5x1) e
iné cia no eixo ho izon al no alo de 0.04167 m4, exis indo um cabo de p é-es o ço embebido no seu
in e io com uma á ea de 9 cm2. Pa a a modelação dos elemen os cons i uin es da secção ans e sal
u iliza am-se 50 ib as do ipo TIMOSHENKO e apenas 1 ib a EMBEDDEDCABLE pa a simula ,
espe i amen e, os elemen os de be ão e os elemen os de aço. O cabo assume um açado pa abólico,
como mos a a Figu a 4.9, a ingindo uma lecha de 0.35 m a meio ão. É de ealça que apenas po se
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
39
a a de um exemplo eó ico se pode es uda um cabo pa abólico sujei o a p é- ensão, o que na ealidade
é imp a icá el, já que não é possí el assegu a o açado pa abólico an es da be onagem.
Figu a 4.9 – Modelação de uma iga com p é-es o ço pa abólico
A disc e ização da peça ealizou-se u ilizando 10 elemen os do ipo BEAMFIBRE, cada um desses
elemen os em um desen ol imen o de 1 me o e é cons i uído po 3 nós e 2 pon os de Gauss pa a
p ocede a uma in e polação adequada.
Foi exe cida uma o ça de 1260 kN na a madu a de p é-es o ço, que co esponde a uma ensão de 1400
MPa, mas como a écnica de p é-es o ço u ilizada oi a p é- ensão (APPLIEDSTRESS), que aca a
pe das ins an âneas de ido à de o mação elás ica do be ão, sendo que a ensão que e e i amen e icou
ins alada no cabo de p é-es o ço oi de 1366.26 MPa, ou seja, a de o mação elás ica do be ão p o ocou
uma pe da 33.74 MPa. A de e minação des es esul ados oi ob ida eco endo à Lei de Hooke, onde
a a és do cálculo da ensão no mal é possí el de e mina a ex ensão na peça de be ão e a consequen e
ex ensão na a madu a de p é-es o ço, uma ez que a a madu a é conside ada ade en e à iga, que
p o oca o dec éscimo de ensão no cabo. Compa a i amen e com os esul ados ob idos pela pla a o ma
E olu ion a di e ença pe cen ual é de apenas 0.04%, p a icamen e coinciden es, ap esen ando uma
ensão inicial após pe das po de o mação elás ica de 1366.84 MPa. A pa i des e momen o odas as
pe das ap esen adas de em-se unicamen e à elaxação da a madu a de p é-es o ço uma ez que não se
in oduzi am os e ei os di e idos no be ão.
Pa a o na o exemplo mais in e essan e ealizou-se um inc emen o de ensão ao inal de 7 dias após a
p imei a aplicação de ensão, do mesmo ipo – APPLIEDSTRESS – no alo de 90 kN, o co esponden e
a 100 MPa, e i icando con inuamen e a e olução da ensão na a madu a.
Na Figu a 4.10 é demons ada a e olução, e compa ação, da ensão no cabo de p é-es o ço ao longo do
empo a é um pe íodo de ap oximadamen e 27 anos (240000 ho as), e é cla a a con e gência dos
esul ados ao longo de odo o pe íodo es udado, sendo possí el conclui que es a uncionalidade es á a
unciona plenamen e e ansmi e g ande con iança.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
46
Tabela 5.5 – Compa ação das ensões com apoio (kPa)
Solução Teó ica
E olu ion
Va iação y (m)
1/4 Vão
1/2 Vão
1/4 Vão
1/2 Vão
Des io %
-0.225
-1350
1620
-1300
1560
3.7%
-0.175
-1050
1260
-1011
1213
3.7%
-0.125
-750
900
-722
867
3.7%
-0.075
-450
540
-433
519
3.8%
-0.025
-150
180
-144
173
4.0%
0.025
150
-180
144
-173
4.0%
0.075
450
-540
433
-519
3.8%
0.125
750
-900
722
-867
3.7%
0.175
1050
-1260
1011
-1213
3.7%
0.225
1350
-1620
1300
-1560
3.7%
Tabela 5.6 – Compa ação das ensões sem apoio (kPa)
Solução eó ica
E olu ion
Va iação y (m)
1/4 Vão
1/2 Vão
1/4 Vão
1/2 Vão
Des io %
-0.225
-4320
-4320
-4364
-4364
1.0%
-0.175
-3360
-3360
-3394
-3394
1.0%
-0.125
-2400
-2400
-2424
-2424
1.0%
-0.075
-1440
-1440
-1455
-1455
1.0%
-0.025
-480
-480
-485
-485
1.0%
0.025
480
480
485
485
1.0%
0.075
1440
1440
1455
1455
1.0%
0.125
2400
2400
2424
2424
1.0%
0.175
3360
3360
3394
3394
1.0%
0.225
4320
4320
4364
4364
1.0%
Na Tabela 5.7 e na Tabela 5.8 ap esen am-se os esul ados ob idos a a és do p og ama pa a as
de o mações em es udo.
Tabela 5.7 – De o mação e ical expec á el
Com Apoio
Sem Apoio
1/4 Vão
1/2 Vão
1/4 Vão
1/2 Vão
-0.000209
0
-0.00345
-0.00473173
Tabela 5.8 – De o mação e ical ap esen ada pela pla a o ma E olu ion (m)
Com Apoio
Sem Apoio
1/4 Vão
1/2 Vão
1/4 Vão
1/2 Vão
-0.00021
0
-0.00349
-0.00478

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
47
A Tabela 5.9 ap esen a a compa ação em e mos pe cen uais dos esul ados ob idos ela i amen e às
de o mações. Os esul ados são bas an es sa is a ó ios no que diz espei o às de o mações e icais da
peça an es e após a libe ação do apoio, localizando-se a sua di e ença pe cen ual na o dem da unidade
pe cen ual e azendo-se no a apenas da décima do milíme o. Rela i amen e às ensões, an es da
libe ação do apoio a meio ão as ensões em uma di e ença pe cen ual signi ica i a, mas apesa disso
encon am-se bas an e p óximas nos alo es absolu os, não sendo po isso um sinal de ala me ou de mal
uncionamen o do p og ama em es udo. Após a libe ação do apoio as ensões con e gem no amen e
pa a uma di e ença pe cen ual de apenas 1 % o que é ep esen a i o da iabilidade do modelo numé ico.
Tabela 5.9 – Des io pe cen ual en e os esul ados expec á eis e os ob idos
Flecha
Com Apoio
Sem Apoio
1/4 Vão
1/2 Vão
1/4 Vão
1/2 Vão
1.3%
0.0%
1.0%
1.0%
5.3.3. ON/OFF DE UM ELEMENTO DA VIGA
Rela i amen e à uncionalidade ON/OFF e i icou-se po úl imo um e cei o exemplo em que o obje i o
passa po es uda uma iga em que num de e minado momen o uma pa e dessa mesma iga é desligado,
dando o igem a duas igas com compo amen o o almen e independen e, como mos a a Figu a 5.6.
Figu a 5.6 – Demons ação do compo amen o da uncionalidade ON/OFF
Op ou-se po uma secção quad ada pa a a iga em es udo, sendo ei a a disc e ização da mesma
eco endo apenas a 10 ib as ho izon ais do ipo TIMOSHENKO. A á ea da secção é de 1x1 m2, e oi
admi ido o alo de 1 GPa como módulo de elas icidade. A iga es á encas ada em ambas as
ex emidades e possui um ão de 10 me os. Nes e exemplo, is o o obje i o p incipal de es udo se em
as de o mações ap esen adas an es e após o ecu so à uncionalidade ON/OFF na modelação dos
elemen os de ba a oi u ilizado um modelo mais simples, que como já demons ado em capí ulos
an e io es, ap esen a esul ados bas an e sa is a ó ios. Pos o is o, a modelação ealizada nesses mesmos
elemen os eco eu apenas a 2 nós e um pon o de Gauss po elemen o, e cada um des es elemen os em
a dimensão de 1 me o.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
48
Sujei ou-se a iga a um ca egamen o compos o unicamen e po uma ca ga pon ual com o alo de
100 kN, deslocada 1 me o do cen o, encon ando-se a 4 me os do encas amen o, como mos a a
Após a esolução da es u u a, de e minando os diag amas de es o ços ans e sos e de momen os,
eco eu-se ao Mé odo da Unidade Fic ícia de Ca ga pa a assim de e mina o deslocamen o e ical
expec á el no pon o de aplicação da ca ga nos dois ins an es dis in os em que a iga assume um
compo amen o duplamen e encas ado e seguidamen e oma o compo amen o de uma consola, após
desliga 2 elemen os. Chegou-se en ão à conclusão que o alo da de o mação se ia dado pela exp essão
seguin e.
δ= 460.8
EI +242.30
GA*
(5.4)
onde a iné cia assume o alo de 1/12 m4 e a á ea de co e oma o alo de 5/6 do alo da á ea. Os
esul ados ob idos pela Exp essão (5.4) es ão ap esen ados na Tabela 5.10.
Tabela 5.10 – Deslocamen os Ve icais (em mm) no Pon o de Aplicação da Ca ga – UFC
Deslocamen o
Duplamen e Encas ada
Deslocamen o
Consola
-6.23
-26.75
Ap esen ando e compa ando, na Tabela 5.11, é possí el e i ica que os esul ados são bas an e
ap oximados e as di e enças ap esen adas não são pa icula men e ele an es. Salien a-se que no caso
em que a di e ença pe cen ual é maio , caso em que a iga se encon a duplamen e encas ada, a
di e ença em absolu o é de apenas 0.19 milíme os.
Tabela 5.11 – Deslocamen os Ve icais (em mm) no Pon o de Aplicação da Ca ga – E olu ion
Deslocamen o
Des io %
Duplamen e
Encas ada
-6.04
3.03%
Consola
-26.61
0.54%
É espe ado que na p imei a ase a peça ap esen e ensões mais eduzidas e com os es o ços de ação
localizados na zona in e io da secção ans e sal a meio ão, pos e io men e, de ido à al e ação
expe imen ada, é expec á el que o es ado de ensão so a a iações bas an e signi ica i as, es ando a
peça sujei a a ensões maio es em módulo, e ainda, a mudança de ca ác e das ensões, encon ando-se
a zona supe io da secção sujei a a es o ços de ação.
Reco endo uma ez mais à a iação da Lei de Hooke o am de e minadas as ensões espe adas po cada
ní el de ib as, sendo ap esen ados e compa ados em e mos de des io pe cen ual os esul ados na
Tabela 5.12.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
49
Tabela 5.12 – Compa ação das ensões no mais
Duplamen e Encas ada
Consola
Va iação y
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
Solução Teó ica
E olu ion
Des io %
0.45
-622.08
-610
1.94%
1080
1049.3
2.84%
0.35
-483.84
-475
1.83%
840
815.4
2.93%
0.25
-345.6
-339
1.91%
600
582.6
2.90%
0.15
-207.36
-203
2.10%
360
349.8
2.83%
0.05
-69.12
-67.8
1.91%
120
116.92
2.57%
-0.05
69.12
67.8
1.91%
-120
-116.92
2.57%
-0.15
207.36
203
2.10%
-360
-349.8
2.83%
-0.25
345.6
339
1.91%
-600
-582.6
2.90%
-0.35
483.84
475
1.83%
-840
-815.4
2.93%
-0.45
622.08
610
1.94%
-1080
-1049.3
2.84%
As de o mações e ensões ap esen adas pa a cada um dos ins an es em es udo co espondem ao espe ado
e ap esen am uma ap oximação bas an e sa is a ó ia. Es a uncionalidade é uma g ande mais- alia do
p og ama na modelação de es u u as e olu i as. Exis e um ligei o des io pe cen ual mas não
impedi i o do uso, uma ez que globalmen e e em módulo os esul ados são bas an e ap oximados. De e
ainda salien a -se que a modelação da secção, o núme o de elemen os usados pa a disc e iza a peça e
ainda os pon os de Gauss escolhidos pa a ealiza a in e polação são de g ande impo ância e de em se
escolhidos cuidadosamen e, uma ez que podem conduzi a di e enças pe cen uais bas an e
signi ica i as.
5.4. VIGA HELICOIDAL
Oña e, E. (1995) ealizou o es udo de uma iga helicoidal com o obje i o de p o a a con e gência dos
esul ados compa ando os alo es ob idos pa a á ias modelações. A disc e ização ei a po Oña e, E.
(1995) compo a a combinação de duas a iá eis, nomeadamen e o núme o de elemen os u ilizados e o
núme o de nós u ilizados po elemen o. A iga oi assim disc e izada eco endo a 4 o mas di e en es
eco endo a 2, 8, 16 e 32 elemen os, e em cada uma dessas a iações do núme o de elemen os o am
u ilizados 2, 3, 4, 5 e 6 nós po elemen o, compa ando pos e io men e os esul ados. O au o des a
disse ação omou como opção pa a a e i icação do modelo a disc e ização da peça em 32 elemen os
com 3 nós em cada um desses elemen os, solução essa que no es udo dos esul ados ap esen ados po
Oña e, E. (1995) conduziu aos alo es a pa i dos quais exis e con e gência.
T a a-se de uma iga duplamen e encas ada sujei a apenas ao peso p óp io com o alo 25 kN/m3 e com
um módulo de elas icidade de 210 GPa. O seu módulo de dis o ção assume o alo de 70 GPa de ido
ao alo do coe icien e de Poisson especi icado na bibliog a ia se 0.5. A secção ans e sal da iga em
as dimensões de 0.4x0.6 m2 e a sua disc e ização oi ei a com ecu so a 36 ib as do ipo
TIMOSHENKO com as dimensões de 0.1x0.1 m2 cada uma dessas ib as. A Figu a 5.7 mos a o
desen ol imen o da iga em al u a e em plan a. Em plan a a iga assume um aio de 1.5 m e comple a
uma o ação de 240º enquan o em al u a a inge o alo máximo de 2𝜋.
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
50
Figu a 5.7 – Modelação de uma iga helicoidal
Na Tabela 5.13 es ão ap esen ados os esul ados ob idos a a és da modelação e e uada pa a o alo do
deslocamen o e ical a meio ão e pa a o alo da eação e ical no opo da iga.
Tabela 5.13 – Resul ados ob idos na pla a o ma E olu ion
Deslocamen o Ve ical (mm)
Reação Ve ical (kN)
-0.0322
26.676
Os esul ados ap esen ados pelo modelo de numé ico não coincidem com a solução ap esen ada po
Oña e, E. (1995), azão pela qual es a modelação oi igo osamen e e is a e não oi encon ado nenhum
e o de modelação po pa e do au o des a disse ação. Es a disc epância de esul ados e apa en e
ausência de e os de modelação le ou a que osse ei a uma e i icação complemen a do alo
expec á el da eação e ical no opo da iga. A o ma helicoidal da iga ob igou ao ecu so a in eg ais
pa a que pudesse se de e minado o desen ol imen o o al da iga pa a assim se possí el de e mina o
ca egamen o co esponden e ao peso p óp io. Sabendo que o aio é de 1.5 m e que o desen ol imen o
ci cula em plan a a ia en e 0º e 240º (en e 0 e 4𝜋/3) é possí el es abelece as coo denadas de cada
pon o endo como a iá el o alo do ângulo nesse pon o, ap esen ando nas Equações (5.5), (5.6) e (5.7)
as espe i as exp essões.
x(θ)=1.5sinθ
(5.5)
y(θ)=1.5cos(θ)
(5.6)
z(θ)= 2πθ
4π/3
(5.7)
l= ∫√x(θ)2+y(θ)2+z(θ)2
4π
3
0
dθ
(5.8)
Após a esolução in eg al ap esen ado na Equação (5.8) ob e e-se o alo de 8.8858 m como o
co esponden e comp imen o o al da iga. É possí el ago a de e mina qual a eação e ical expec á el
no encas amen o, que co esponde à abso ção de me ade da ca ga calculada a a és da mul iplicação
da á ea da secção ans e sal pelo comp imen o e pelo peso p óp io. O esul ado ob ido oi de 26.66 kN,
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
51
que é p a icamen e coinciden e com o alo ap esen ado pelo modelo numé ico. Rela i amen e ao
deslocamen o e ical eco eu-se ao p og ama de cálculo au omá ico de es u u as Robo S uc u al
Analysis, como mos a a Figu a 5.8.
Figu a 5.8 – Modelação Viga Helicoidal no Robo S uc u al Analysis
O Robo S uc u al Analysis ap esen ou o alo de -0.03644 mm como o esul ado do deslocamen o
e ical a meio ão. Na Tabela 5.14 ap esen a-se a compa ação dos esul ados ob idos no modelo e
a a és das compa ações complemen a es. Apesa de os esul ados ob idos não se em coinciden es com
a solução ap esen ada po Oña e, E. (1995) udo indica que o modelo es á a unciona co e amen e, já
que ela i amen e ao alo da eação e ical pode-se a i ma que são coinciden es e no que diz espei o
ao deslocamen o e ical apesa de ap esen a uma di e ença de quase 12% a di e ença em e mos
absolu os é quase insigni ican e. A azão da di e gência en e os esul ados ob idos e a solução
ap esen ada po Oña e, E. (1995) pode de e -se à in e p e ação dos esul ados uma ez que as
e i icações complemen a es conduzi am a esul ados bas an e p óximos.
Tabela 5.14 – Compa ação de esul ados
Deslocamen o Ve ical (mm)
Reação Ve ical (kN)
E olu ion
-0.0322
26.676
Ve i icação
-0.0364
26.66
Des io %
11.68%
0.06%

Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
52
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
53
6
CONCLUSÕES E PERSPETIVAS FUTURAS
6.1. CONCLUSÕES
Após a ealização des e abalho é possí el e i a algumas ilações no que diz espei o aos obje i os
p opos os, mas ambém sob e o uncionamen o ge al do p og ama es udado.
A pla a o ma E olu ion é uma e amen a bas an e ú il, pode osa e lexí el. A linguagem u ilizada na
in odução de dados é mui o in ui i a e apidamen e se abso e os conhecimen os necessá ios pa a a sua
u ilização. Pe mi e a disc e ização e modelação de um g ande núme o de es u u as, endo em con a a
especi icidade de cada uma delas, admi indo ajus a o modelo a cada uma delas. É de salien a a
possibilidade da pa ição dos dados, possibili ando a disc e ização da secção, elemen os ou apoios em
ichei os de ex o sepa ados, o nando mais ácil a il agem e co eção de e en uais e os na modelação.
A ealização des a disse ação le ou à cons i uição de á ios benchma ks que alidam a pla a o ma
como obus a e con iá el, uma ez que num p óximo desen ol imen o da pla a o ma, usando qualque
uma das uncionalidades alidadas, o p og ama e e ua á em segundo plano a compa ação au omá ica
dos esul ados ob idos à da a com os que p e iamen e cons i uí am os espe i os benchma ks.
Ga an indo assim que mesmo após al e ações ao código o p og ama es á a unciona co e amen e, ou
pelo con á io a e ado de alguma o ma. No e cei o capí ulo o am cons i uídos benchma ks sob e as
de o mações impos as e sob e o be ão p é-es o çado. No qua o capí ulo, e e en e às leis de
compo amen o ma e ial, o am es abelecidos benchma ks ela i amen e ao compo amen o di e ido do
be ão, nomeadamen e da luência e da e ação, e do aço de p é-es o ço, conc e amen e sob e a elaxação
desse ma e ial. No quin o e úl imo capí ulo de es es o am ins i uídos es es-pad ão ela i amen e às
uncionalidades On/O , que ob igou a á ias e isões do código, e do es udo de secções a iá eis, das
quais a pla a o ma es udada em uma excelen e capacidade de es udo.
6.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
Nes e subcapí ulo são deixadas algumas ecomendações pa a e en uais abalhos u u os com a in enção
de melho a o p og ama em es udo. Es as obse ações podem se cla amen e di e enciadas em dois
ipos: a e i icação de uncionalidades já compo adas pela pla a o ma E olu ion que não o o am no
deco e des a disse ação e a implemen ação de benchma ks pa a no as uncionalidades. Assim, no que
diz espei o às uncionalidades já inco po adas no p og ama ecomenda-se que seja ei a a e i icação
do compo amen o de elemen os do ipo STAYCABLE, que se em pa a a modelação de i an es, o que
ob iga o iamen e implica o es udo da lei de compo amen o não-linea geomé ico, e ainda a e i icação
da lei de compo amen o não-linea ma e ial do be ão, nomeadamen e no es udo da issu ação.
Rela i amen e à in odução de no as capacidades a implemen ação de elemen os ini os de casca, de
es ado plano de ensão e de olume o na ia o p og ama mais obus o e melho p epa ado pa a o es udo
de um leque mais ab angen e de es u u as. Do a o p og ama da capacidade de ealiza análises
Modelação Numé ica de Benchma ks pa a Validação de um Modelo de Análise Es u u al
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dinâmicas e a u ilização de leis de compo amen o de no os ma e iais, nomeadamen e ib as de ca bono,
se iam uma g ande mais- alia.
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