Métodos sem malha em problemas de mecânica computacional: aplicação e processos de enformação plástica

M´ ETODOS SEM MALHA EM PROBLEMAS DE MEC ˆ ANICA COMPUTACIONAL. APLICAC¸ ˜ AO A PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA Cristina Maria C. F. de Faria Miranda Guedes dissertac¸˜ ao apresentada ` a Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto para obtenc¸˜ ao do grau de doutoramento em Ciˆ encias de Engenharia Porto, Julho de 2006 M´ ETODOS SEM MALHA EM PROBLEMAS DE MECˆ ANICA COMPUTACIONAL. APLICAC¸ ˜ AO A PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA Cristina Maria C. F. de Faria Miranda Guedes Tese submetida para obten¸c˜ao do grau de Doutor em Ciˆencias de Engenharia pela Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto realizada sob a orienta¸c˜ao do Prof. Doutor Jos´e M. A. C´esar de S´a RESUMO Os m´etodos sem malha tˆem tido um desenvolvimento acentuado nos ´ultimos anos, surgindo como uma alternativa ao tradicional m´etodo dos elementos finitos, em diversas ´areas da Engenharia. Nesse contexto, neste trabalho estuda-se a aplicabilidade do m´etodo sem malha Element Free Galerkin (EFG) para simula¸c˜ao num´erica de processos de enforma¸c˜ao pl´astica. Estes m´etodos podem ser considerados uma nova gera¸c˜ao de m´etodos num´ericos que se caracterizam basicamente pelo seguinte: discretiza¸c˜ao de um dom´ınio de interesse por um conjunto de n´os, colocados arbitrariamente, sem que exista explicitamente uma malha estruturada de elementos, no sentido convencional, definindo fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao em termos dos n´os da discretiza¸c˜ao. Sucintamente, o m´etodo EFG consiste em definir fun¸c˜oes de forma baseadas no m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis as quais s˜ao incorporadas numa formula¸c˜ao de Galerkin da equa¸c˜ao variacional, associada ao problema particular em estudo. Neste estudo utiliza-se o m´etodo EFG para fazer uma an´alise de processos de enforma¸c˜ao pl´astica em que se considera uma aproxima¸c˜ao baseada na formula¸c˜ao do escoamento pl´astico para materiais incompress´ıveis. Na implementa¸c˜ao num´erica detalham-se diversos aspectos com o objectivo de ilustrar as principais diferen¸cas com a habitual utiliza¸c˜ao do m´etodo dos elementos finitos. De entre estes, destacam-se: constru¸c˜ao das fun¸c˜oes de forma, imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira e a formula¸c˜ao proposta para tratamento do atrito na zona de contacto entre a pe¸ca e a matriz. S˜ao estudados alguns exemplos de aplica¸c˜oes em forjamento conjuntamente ii iii com uma implementa¸c˜ao num´erica atrav´es dos elementos finitos para efeitos comparativos. Os resultados obtidos s˜ao comparados com valores experimentais e valores publicados na literatura. Palavras chave: m´etodos sem malha, EFG, formula¸c˜ao de Galerkin, enforma¸c˜ao pl´astica. MESHLESS METHODS IN COMPUTATIONAL MECHANICS PROBLEMS. APPLICATION TO PLASTIC FORMING PROCESSES Cristina Maria C. F. de Faria Miranda Guedes PhD thesis supervised by Prof. Doutor Jos´e M. A. C´esar de S´a ABSTRACT The meshless methods have had a great developpement in the last years, appearing as an alternative to the finite element method in several engineering areas. In this work, the applicability of the meshless method Element Free Galerkin (EFG) for plastic forming processes is studied. These methods can be considered a new generation of numerical methods that are characterized basically by the following: discretization of an interest domain by a set of nodes, localized arbitrarily without using a structured mesh of elements (element mesh), in the conventional sense and defining approximating functions only through the discretization nodes. Briefly, the EFG method defines shape functions based on the moving least squares method, which are incorporated on the Galerkin formulation of the variational equation, associated with the particular problem addressed. In this work, EFG method was evaluated to analyze plastic forming processes by using an approximation based on the flow formulation for incompressible materials. In the numerical implementation, different aspects were detailed for illustrative purposes in order to enlighten the main differences between EFG and the classical finite element method approaches.The most significant among them are: construction of shape functions, imposition of the essential boundary conditions and the proposed formulation to deal with frictional effects along the contact interface between the matrix and the workpiece. Some examples of application in forging are analyzed together with a numerical implementation by the finite element method for comparative purposes. The obtained results are compared with experimental values and values published in the literature. Keywords: meshless methods, meshfree methods, EFG, Element Free Galerkin, iv v Galerkin formulation, plastic metal forming. M´ ETHODES SANS MAILLAGE DANS DES PROBL` EMES DE M´ ECANIQUE COMPUTATIONNELLE. APPLICATION AUX PROC´ ED´ ES DE MISE EN FORME PLASTIQUE Cristina Maria C. F. de Faria Miranda Guedes directeur de th´ese Prof. Doutor Jos´e M. A. C´esar de S´a RESUME Les m´ethodes sans maillage ont eu un grand d´eveloppement, devenant dans les derni`eres ann´ees une alternative `a la m´ethode d’´el´ements finis dans plusieurs secteurs d’ing´enierie. Dans ce travail la validit´e d’application de la m´ethode sans maillage, EFG, pour les proc´ed´es de mise en forme plastique a ´et´e ´etudi´ee. Ces m´ethodes peuvent ˆetre consid´er´ees une nouvelle g´en´eration de m´ethodes num´eriques qui sont fondamentalement caract´eris´ees par le suivant: discr´etisation d’un domaine d’int´erˆet par une s´erie de noeuds, localis´es arbitrairement sans utiliser un maillage d’ ´el´ements structur´es, dans le sens conventionnel et d´efinition des fonctions approximatives `a partir seulement des noeuds de discr´etisation. Succinctement, la m´ethode de EFG d´efinit les fonctions de forme bas´ees sur la m´ethode de moindres carr´es mouvants, qui sont incorpor´ees sur la formulation de Galerkin de l’´equation variational. Dans ce travail, cette m´ethode de EFG a ´et´e ´evalu´ee pour analyser les proc´ed´es de mise en forme plastique en utilisant une approximation bas´ee sur la formulation de flux pour les mat´eriaux incompressibles. Dans l’impl´ementation num´erique, les diff´erents aspects ont ´et´e d´etaill´es pour des buts explicatifs afin d’´eclairer les diff´erences principales entre EFG et les approches de m´ethode d’´el´ements finis classiques. Le plus significatif parmi eux: la construction de fonctions de forme, l’implementation des conditions limite essentielles et la formulation propos´ee pour traiter des effets de friction le long de l’interface de contact entre la matrice et la pi`ece de fabrication. On pr´esente quelques exemples d’application de forgeage pour montrer l’application du mod`ele d´eveloppe. Ces exemples on ´et´e aussi analys´es avec une impl´ementation num´erique par la m´ethode des ´el´ements finies pour des buts vi vii comparatifs. Les r´esultats obtenus sont compar´es avec des valeurs exp´erimentales et des valeurs publi´es dans la litt´erature. Mots cl´es: M´ethodes sans maillage, M´ethode EFG, formulation de Galerkin, mise en forme plastique des metaux . Conte´udo 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Objectivos............................... 1 1.2 Apresenta¸c˜ao da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 M´etodos sem malha: Estado da Arte 4 2.1 Introdu¸c˜ao .............................. 4 2.2 M´etodos sem malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial . . . . . . . 13 2.4 No¸c˜oes fundamentais na formula¸c˜ao dos m´etodos sem malha . . . 14 2.4.1 Fun¸c˜oes de peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Consistˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.3 Parti¸c˜ao da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Smoothed Particle Method (SPH) .................. 20 2.5.1 Conceitos b´asicos do m´etodo SPH . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2 Formula¸c˜ao SPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 viii CONTE ´ UDO ix 2.6 Reproduced Kernel Particle Method (RKPM) . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Aproxima¸c˜oes baseadas no m´etodo dos m´ınimos quadrados . . . . 28 2.7.1 M´etodo dos m´ınimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7.2 M´etodo dos m´ınimos quadrados ponderados . . . . . . . . 31 2.7.3 M´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis . . . . . . . . . . . 31 2.7.4 M´etodo de Shepard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7.5 Rela¸c˜ao entre o interpolador de Shepard e o m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.8 Element Free Galerkin (EFG) .................... 36 2.8.1 Formula¸c˜ao EFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.8.2 Propriedades do m´etodo EFG . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.9 M´etodo Petrov-Galerkin Local (MLPG) . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.10 M´etodo da Parti¸c˜ao da Unidade (PUM) . . . . . . . . . . . . . . 46 2.10.1 M´etodo dos Elementos Finitos Generalizado (GFEM) . . . 48 2.10.2 M´etodo das nuvens HP (HP-Clouds) . . . . . . . . . . . . 50 2.11 M´etodo do Elemento Natural (NEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.12 M´etodo dos Pontos Finitos (FPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.13 Fun¸c˜oes de base radial (RBF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.14 Aspectos relevantes na implementa¸c˜ao num´erica dos m´etodos sem malha ................................. 57 2.14.1 Imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira essenciais . . . . . . . 57 LISTA DE FIGURAS xvi 5.20 Geometria da pe¸ca no instante correspondente a uma percentagem de redu¸c˜ao em altura igual a: a) 15%, b) 30%, c) 45%, d) 60%, relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,25. Em cada geometria a parte esquerda representa a solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo MEF e parte direita pelo m´etodo EFG. 147 5.21 Geometria da pe¸ca no instante correspondente a uma percentagem de redu¸c˜ao em altura igual a: a) 15%, b) 30%, c) 45%, d) 60%, relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,0. ............................... 148 5.22 Campo de deforma¸c˜ao efectiva obtido para o MEF e EFG, respectivamente no instante correspondente a 15% e 30% de redu¸c˜ao em altura relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,25. ........................ 149 5.23 Campo de deforma¸c˜ao efectiva obtido para o MEF e EFG, respectivamente no instante correspondente a 45% e 60% de redu¸c˜ao em altura relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,25. ........................ 150 5.24 Compress˜ao de um var˜ao oco met´alico semi-encastrado. Geometria inicial e discretiza¸c˜ao nodal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.25 Evolu¸c˜ao das carga de enforma¸c˜ao em fun¸c˜ao da percentagem de redu¸c˜ao em altura. Valores calculados e experimentais. . . . . . . 155 5.26 Evolu¸c˜ao do perfil geom´etrico da superf´ıcie exterior da pe¸ca em contacto com a matriz superior quantificada pela varia¸c˜ao do raio exterior. Valores calculados e experimentais. . . . . . . . . . . . . 156 5.27 Evolu¸c˜ao do perfil geom´etrico da superf´ıcie da pe¸ca em contacto com a matriz superior quantificada pela varia¸c˜ao do raio interior. Valores calculados e experimentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 LISTA DE FIGURAS xvii 5.28 Evolu¸c˜ao das cargas de enforma¸c˜ao em fun¸c˜ao da percentagem de redu¸c˜ao em altura, para uma situa¸c˜ao em que os factores de atrito entre a pe¸ca e a ferramenta correspondem ao caso 3. . . . . . . . . 157 5.29 Evolu¸c˜ao do raio exterior da pe¸ca na zona de contacto com a matriz superior. Valores obtidos pelo MEF e pelo EFG para o caso 3. . . 158 5.30 Evolu¸c˜ao do raio interior da pe¸ca na zona de contacto com a matriz superior. Valores obtidos pelo MEF e pelo EFG para o caso 3. . . 158 5.31 Geometria da pe¸ca no instante correspondente a uma percentagem de redu¸c˜ao em altura igual a: a) 15%, b) 35%, relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,5. Em cada geometria a parte esquerda representa a solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo MEF e parte direita pelo m´etodo EFG. . . . . . . . . . . 159 5.32 Geometria da pe¸ca, nas condi¸c˜oes descritas na figura anterior (fig. 5.32), no instante correspondente a 55% de redu¸c˜ao em altura relativamente `a altura livre inicial do var˜ao. . . . . . . . . . . . . . 160 5.33 Campo de deforma¸c˜ao efectiva, respectivamente para o MEF e EFG no instante correspondente a 15% e 35% de redu¸c˜ao em altura relativamente `a altura livre inicial do var˜ao, em que se considerou mf= 0,5. ............................... 161 Lista de Tabelas 3.1 Erro relativo Rupara a equa¸c˜ao de Laplace. . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Compara¸c˜ao dos valores obtidos para o quociente de deflex˜ao no estudo feito para o exemplo da viga. Os valores assinalados com ∗ foram retirados da referˆencia [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 xviii Agradecimentos Ao Professor C´esar de S´a, pela disponibilidade constante durante este trabalho e o excelente dom que tem em transmitir o gosto pelo saber e pelo rigor. Durante o desenvolvimento da tese, apercebi-me que neste processo de aprendizagem, para al´em da vertente cient´ıfica e t´ecnica, h´a muitos outros aspectos, n˜ao menos importantes, cruciais para quem quer fomentar o conhecimento. Foi muito enriquecedor ter tido um orientador que sempre deu o bom exemplo nesse sentido, valorizando o trabalho das outras pessoas, n˜ao se limitando apenas `aqueles que colaboram directamente com ele, sendo particularmente construtivo e dinamizador relativamente aos investigadores e alunos mais novos. A todos os colegas da sec¸c˜ao de Matem´atica o incentivo e apoio que sempre me dispensaram. Durante este percurso houve algumas pessoas da sec¸c˜ao que me ajudaram em situa¸c˜oes pontuais. Acreditaram em mim, tiveram atitudes e gestos ao n´ıvel do est´ımulo, de confian¸ca e evitando claramente criar situa¸c˜oes de mal estar e de desconforto pessoal. N˜ao vou nomear nomes, acho desnecess´ario e n˜ao o fa¸co por ingratid˜ao mas porque estou convencida que o grande agradecimento ´e sempre aquele que acontece quando nos cruzamos. ` A Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, muito em especial ao Departamento de Engenharia Mecˆanica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e `a sec¸c˜ao de Matem´atica agrade¸co a dispensa de servi¸co concedida bem como as condi¸c˜oes e os recursos disponibilizados. Ao CENUME - Unidade de M´etodos Num´ericos em Mecˆanica e Engenharia Estrutural a estadia e participa¸c˜ao do autor em conferˆencias nacionais e internacionais. ` A Fernanda Grand˜ao pelo seu apoio no secretariado, boa vontade e disponibilidade constante para ajudar. ` A Joana, cujo percurso profissional come¸cou comigo, aqui na FEUP, no CICA xix em que partilhamos o gabinete e trabalhamos conjuntamente durante seis anos. Alterado o rumo, ficou o que ´e verdadeiramente importante, a amizade. Os pequenos intervalos para o caf´e e o almo¸co semanal permitiram tantas vezes recuperar for¸cas e seguir em frente com optimismo. Aos meus amigos, que sempre tiveram disponibilidade para os jantares de s´abado e para as nossas tert´ulias, que foram sem d´uvida uma fonte de energia. Aos meus pais, pelo seu apoio incondicional e pelo seu incentivo. Ao Rui, pelo constante encorajamento, pela motiva¸c˜ao, pelos momentos de ternura e partilha, fundamentais na dia a dia e sem os quais teria sido bem mais dif´ıcil chegar ao fim deste trabalho com tanta satisfa¸c˜ao. xx ` A minha fam´ılia xxi Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ao 1.1 Objectivos O objectivo principal desta tese ´e o estudo da aplicabilidade do m´etodo sem malha EFG (Element Free Galerkin) para simula¸c˜ao num´erica de processos de enforma¸c˜ao pl´astica. Desde h´a muito tempo que o m´etodo dos elementos finitos ´e desenvolvido e aplicado de forma exaustiva na ´area da simula¸c˜ao de processos de enforma¸c˜ao pl´astica. De uma forma geral, este tem-se revelado robusto, vers´atil e contribuiu sem d´uvida, de forma decisiva para o desenvolvimento da tecnologia da deforma¸c˜ao pl´astica. Uma das grandes vantagens do m´etodo dos elementos finitos, relativamente a outros m´etodos emergentes relaciona-se com o facto de existir no mercado uma grande variedade de programas comerciais muito bem consolidados. Nos ´ultimos anos, as novas tecnologias computacionais e a existˆencia de equipamentos inform´aticos com elevada capacidade permitiu um avan¸co significativo no desenvolvimento e optimiza¸c˜ao de programas de elementos finitos para simula¸c˜ao num´erica de processos de enforma¸c˜ao pl´astica, quer seja no caso bidimensionsal ou tridimensional. O aparecimento de novos m´etodos, designados por m´etodos sem malha para resolu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes em derivadas parciais, e que tiveram um desenvolvimento muito significativo nos ´ultimos anos, tem sido visto como uma alternativa promissora, em diversas 1 CAP´ ITULO 1. INTRODUC¸ ˜ AO 2 ´areas ao m´etodo dos elementos finitos. Como tal, parece sugestivo averiguar a viabilidade destes m´etodos na enforma¸c˜ao pl´astica e a sua competitividade face ao convencional m´etodo dos elementos finitos. 1.2 Apresenta¸c˜ao da tese A presente tese encontra-se dividida em 6 cap´ıtulos incluindo esta introdu¸c˜ao. No cap´ıtulo 2 faz-se um estudo global sobre m´etodos sem malha e caracter´ısticas principais dos diferentes m´etodos. A partir da explora¸c˜ao efectuada para os v´arios m´etodos ´e apresentada uma descri¸c˜ao sucinta para os mais relevantes. Alguns aspectos fundamentais s˜ao abordados, tais como a imposi¸c˜ao de condi¸c˜oes de fronteira, t´ecnicas de integra¸c˜ao num´erica e escolha de fun¸c˜oes de peso. Este cap´ıtulo corresponde ao trabalho feito numa fase inicial, mas crucial no desenvolvimento do programa de doutoramento. No cap´ıtulo 3, a partir do levantamento feito no cap´ıtulo anterior, opta-se por seleccionar o m´etodo EFG, raz˜ao pela qual houve um enfoque neste m´etodo. Foi feito um estudo num´erico para alguns testes de referˆencia no caso bidimensional, em particular para problemas de elasticidade, cuja solu¸c˜ao anal´ıtica ´e conhecida. O principal objectivo deste estudo num´erico foi consolidar conceitos, validar o c´odigo desenvolvido e comparar os resultados obtidos com os existentes na literatura. No cap´ıtulo 4 desenvolve-se um modelo baseado no m´etodo EFG para analisar de processos de enforma¸c˜ao pl´astica. Considerou-se a formula¸c˜ao de escoamento pl´astico para materiais incompress´ıveis. As formula¸c˜oes baseadas nos m´etodos sem malha, aplicadas a processos de enforma¸c˜ao pl´astica, levantaram novas quest˜oes em aspectos cruciais, tais como: constru¸c˜ao das fun¸c˜oes de forma, imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial e tratamento do contacto e do atrito na zona de contacto entre as pe¸cas e as ferramentas. Na formula¸c˜ao desenvolvida, detalharam-se estes aspectos com o objectivo de ilustrar as principais diferen¸cas com a habitual utiliza¸c˜ao do m´etodo dos elementos finitos. CAP´ ITULO 1. INTRODUC¸ ˜ AO 3 Para tratar o problema do contacto e do atrito apresenta-se um novo modelo proposto, que considera uma interface de elementos entre a pe¸ca e a ferramenta, acoplando o m´etodo dos elementos finitos com o m´etodo sem malha EFG numa formula¸c˜ao mista. No cap´ıtulo 5 apresentam-se alguns exemplos num´ericos de aplica¸c˜oes em forjamento, obtidos a partir do programa que foi desenvolvido, de ra´ız, em linguagem Matlab. Conjuntamente, tamb´em foi implementado, de ra´ız, em Matlab, a simula¸c˜ao num´erica dos exemplos apresentados, atrav´es do m´etodo dos elementos finitos. S˜ao feitas compara¸c˜oes dos resultados obtidos com os apresentados por outros autores usando solu¸c˜oes atrav´es do m´etodo dos elementos finitos ou ainda resultados experimentais. Finalmente, no cap´ıtulo 6 faz-se uma an´alise aos resultados obtidos e s˜ao apresentadas as principais conclus˜oes referentes ao trabalho desenvolvido, sendo igualmente apresentadas algumas propostas para a sua continua¸c˜ao e refinamento. Cap´ıtulo 2 M´etodos sem malha: Estado da Arte 2.1 Introdu¸c˜ao Em muitos problemas de Engenharia, nomeadamente em aplica¸c˜oes industriais, em que o tempo ´e um parˆametro cr´ıtico e a eficiˆencia tem de ser equilibrada com a precis˜ao, a simula¸c˜ao num´erica tem um papel fundamental, at´e porque ´e vantajosa em termos econ´omicos. Nos ´ultimos 30 anos, houve um desenvolvimento significativo nesta ´area e a evolu¸c˜ao na tecnologia computacional teve um papel crucial neste progresso. Para resolu¸c˜ao num´erica de equac˜oes diferenciais (PDEs), associados `a Mecˆanica Computacional, consideram-se basicamente trˆes grupos cl´assicos de m´etodos num´ericos, •M´etodos das diferen¸cas finitas •M´etodos de volumes finitos •M´etodos dos elementos finitos 4 CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 11 •N´ucleo Reprodutor •M´ınimos quadrados m´oveis •Parti¸c˜ao da unidade Um trabalho pioneiro na ´area dos m´etodos sem malha foi o m´etodo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), desenvolvido por Lucy [76]. Este baseia-se no conceito do n´ucleo reprodutor e inicialmente foi aplicado em problemas da astrof´ısica e em dinˆamica dos fluidos. Posteriormente, surgiram outros m´etodos baseados na formula¸c˜ao SPH. Liu et al. [71] apresentaram o m´etodo Reproduced Kernel Particle Method (RKPM) que foi desenvolvido a partir do conceito do n´ucleo reprodutor, resultado de v´arias correc¸c˜oes que foram efectuadas ao SPH. Uma fun¸c˜ao correctiva foi introduzida para as fun¸c˜oes de peso, em ambos as situa¸c˜oes, nos casos cont´ınuo e discreto. Kulasegaram [60] apresentou o Corrected Smooth Particle Hydrodynamic, CSPH, que se baseia no SPH original mas introduz algumas correc¸c˜oes ao n´ıvel da fun¸c˜ao de peso e do processo de integra¸c˜ao num´erica, atrav´es da utiliza¸c˜ao de uma t´ecnica de estabiliza¸c˜ao baseada no c´alculo finito incremental. Este m´etodo foi essencialmente aplicado a processos de enforma¸c˜ao pl´astica. A fam´ılia dos RKPM tem tido uma aplica¸c˜ao muito abrangente e actualmente ´e vista como uma generaliza¸c˜ao da formula¸c˜ao SPH. Em 1992, Nayroles et al. [86] apresentaram o diffuse element method(DEM). Este m´etodo definiu fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao que se baseavam no conceito de m´ınimos quadrados m´oveis, as quais eram usadas na formula¸c˜ao fraca de Galerkin. Uma descri¸c˜ao detalhada sobre m´ınimos quadrados m´oveis tinha sido apresentada anteriormente em 1981 por Lancaster [61]. De facto, no contexto dos m´etodos sem malha, o DEM pode ser visto como a primeira aplica¸c˜ao dos m´ınimos quadrados m´oveis. Posteriormente, Belytschko et al. [14], a partir de algumas correc¸c˜oes ao DEM e por refinamento de alguns aspectos, tais como a melhoria do c´alculo das derivadas e a aplica¸c˜ao do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange para imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira essenciais, apresentaram um novo m´etodo designado por Element Free Galerkin Method (EFGM). CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 12 As aproxima¸c˜oes baseadas na formula¸c˜ao SPH, em termos da discretiza¸c˜ao s˜ao usualmente combinadas com t´ecnicas de coloca¸c˜ao ou de integra¸c˜ao nodal. Esta ´e uma das grandes diferen¸cas com o RKPM que usa procedimentos de tipo Galerkin. As aproxima¸c˜oes baseadas no conceito de m´ınimos quadrados m´oveis s˜ao em geral aplicadas na formula¸c˜ao de Galerkin, o que envolve a avalia¸c˜ao num´erica de um integral. Este c´alculo requer uma estrutura de c´elulas, por vezes designada por malha auxiliar de integra¸c˜ao (mesh background, na designa¸c˜ao inglesa). No entanto, mesmo em formula¸c˜oes de Galerkin tem um havido uma maior utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de coloca¸c˜ao. O m´etodo dos pontos finitos (FPM) proposto por O˜nate e Idelsohn [88], baseia-se na aproxima¸c˜ao dos m´ınimos quadrados ponderados, mas recorre a um procedimento de coloca¸c˜ao. O m´etodo Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), proposto por Atluri e Zhu [3] define a aproxima¸c˜ao baseada nos m´ınimos quadrados m´oveis mas aplica a formula¸c˜ao de Galerkin s´o localmente, em subdom´ınios simples (esferas, elipses) como forma de facilitar as integra¸c˜oes e de evitar o uso de uma estrutura de elementos para o dom´ınio global. O conceito de aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade, pressup˜oe a discretiza¸c˜ao do dom´ınio de interesse Ω por Nn´os em que as fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao φI verificam a propriedade : PN I=1 φI(x) = 1. Para Babuˇska [6] o conceito de aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade foi usado pela primeira vez na referˆencia [7]. A partir das ideias expostas [7], o Generalized Finite Element Method (GFEM) foi elaborado por Babuˇska e Melenk [9, 80, 8] e referenciado como Partition Unity Method (PUM). Posteriormente, GFEM foi formalmente apresentado por Strouboulis et al. [107, 105]. O GFEM usa essencialmente os seguintes conceitos [6]: •define espa¸cos locais de aproxima¸c˜ao, os quais podem incluir fun¸c˜oes n˜ao necessariamente polinomiais. •usa o facto da aproxima¸c˜ao formar uma parti¸c˜ao da unidade para interligar os espa¸cos locais definidos no ponto anterior, definindo um subespa¸co que permite definir boas aproxima¸c˜oes globais. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 13 Actualmente o conceito de aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade ´e usado em v´arios sentidos, segundo nomes diferentes: Extended Finite Element method, (XFEM) proposto por Sukumar et al. [108], o Meshless Finite Element method [57], o m´etodo das esferas finitas [35] e o pr´oprio m´etodo das nuvens HP (HpClouds) [41]. Estes m´etodos diferem basicamente no tipo das fun¸c˜oes que s˜ao usadas para formar a parti¸c˜ao da unidade e na escolha de espa¸cos locais diferentes e praticamente seguem o Generalized Finite Element method (GFEM). Nos ´ultimos anos, houve uma grande tendˆencia no sentido de desenvolver aproxima¸c˜oes, de certa forma consideradas mistas, que combinam propriedades vantajosas de ambos os m´etodos, elementos finitos e m´etodos sem malha. ´ E uma conjuga¸c˜ao natural e alguns exemplos de m´etodos deste tipo s˜ao apresentados nas seguintes referˆencias [70, 74, 56]. As primeiras an´alises sobre a utiliza¸c˜ao de m´etodos sem malha a processos de conforma¸c˜ao pl´astica, em que se considerava o modelo elasto-pl´astico foram feitas por Chen et al. [25, 27, 29], atrav´es do m´etodo RKPM. Posteriormente, o m´etodo CSPH que foi desenvolvido por Kulasegaram [60] foi aplicado para simular processos de conforma¸c˜ao pl´astica de materiais puramente pl´asticos. Guedes e C´esar de S´a [50] aplicaram o m´etodo EFG para alguns exemplos de aplica¸c˜oes em forjamento. Shangwu et al. [99, 98] utilizaram o m´etodo RKPM para simula¸c˜ao num´erica de laminagem em condi¸c˜oes de estado plano de deforma¸c˜ao, comparando os resultados obtidos com a solu¸c˜ao dada pelo m´etodo dos elementos finitos. 2.3 Imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial Os m´etodos sem malha, quer se baseiem em aproxima¸c˜oes do tipo n´ucleo reprodutor, m´ınimos quadrados m´oveis ou parti¸c˜ao da unidade, em geral, definem fun¸c˜oes de forma que n˜ao tˆem car´acter interpolat´orio, raz˜ao pela qual n˜ao se usa o termo fun¸c˜oes interpoladoras pela ambiguidade que da´ı pode surgir. Quanto ao tratamento das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial, dos CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 14 m´etodos referidos, por exemplo os m´etodos SPH, RKPM, EFG, Hp-Clouds, requerem t´ecnicas espec´ıficas para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais. Existem no entanto alguns m´etodos sem malha que definem aproxima¸c˜oes cujas fun¸c˜oes de forma s˜ao interpoladoras, por exemplo o NEM, XFEM, Moving Particle Finite Element Method (MPFEM) [52], Moving Finite Element Method (MFEM) [57] e o Reproducing Kernel Element Method (RKEM) [70]. Quanto ao tratamento das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial existem praticamente dois grupos de m´etodos [43]: (1) os que se baseiam na modifica¸c˜ao da forma fraca, tal como o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange [14], m´etodo de penalidade [117], m´etodo de Nitsche’s e (2) os m´etodos que de alguma forma introduzem modifica¸c˜oes no sentido de obter fun¸c˜oes de forma interpoladoras [15, 26, 55, 24]. Neste ´ultimo grupo incluem-se v´arios m´etodos: os que introduzem altera¸c˜oes ao n´ıvel das fun¸c˜oes de forma, de tal maneira que estas verifiquem a propriedade de Kronecker na fronteira essencial [48, 24], os m´etodos de transforma¸c˜ao que basicamente permitem obter fun¸c˜oes de forma interpoladoras [29, 26] e ainda os m´etodos que fazem acoplamento da formula¸c˜ao sem malha com os elementos finitos na zona da fronteira essencial [59, 15, 55]. 2.4 No¸c˜oes fundamentais na formula¸c˜ao dos m´etodos sem malha 2.4.1 Fun¸c˜oes de peso Tal como foi abordado na introdu¸c˜ao deste cap´ıtulo, quando se considera a quest˜ao de aproximar u(x) por uh(x) h´a basicamente dois ingredientes fundamentais envolvidos: as fun¸c˜oes teste (ou de peso) e as fun¸c˜oes tentativa. A utiliza¸c˜ao das fun¸c˜oes de peso visam a determina¸c˜ao dos coeficientes ai, i = 1, n (eq. 2.8 e 2.9). No contexto dos m´etodos sem malha, o conceito de fun¸c˜ao de peso ou de pondera¸c˜ao tamb´em est´a presente e ´e um elemento essencial, mas desempenha um papel totalmente diferente daquele que ´e atribu´ıdo `as fun¸c˜oes de peso descritas em . No ˆambito dos m´etodos sem malha, considera-se para CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 15 o dom´ınio Ω um conjunto de n´os xI,I= 1,2. . .N. Para cada n´o associase o parˆametro ˆuIque corresponde ao valor de uem x=xIe uma fun¸c˜ao de peso wI(x) com suporte compacto. Uma fun¸c˜ao de peso diz-se com suporte compacto se existe uma vizinhan¸ca (por vezes designada por subdom´ınio) de xI na qual a fun¸c˜ao ´e n˜ao nula, anulando-se fora dessa vizinhan¸ca. A esta vizinhan¸ca, (subdom´ınio) do I-´esimo n´o, sobre a qual a fun¸c˜ao de peso ´e n˜ao nula designa-se por suporte da fun¸c˜ao de peso ou dom´ınio de influˆencia do n´o xI. As fun¸c˜oes de peso wI, neste contexto, entram de forma directa na defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de forma associada a cada n´o. O facto de estas fun¸c˜oes terem suporte compacto ´e uma caracter´ıstica essencial porque permite definir fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao que tˆem car´acter local. Alguns aspectos relativos `as fun¸c˜oes de peso, usualmente adoptadas s˜ao os seguintes: •w(x−xI)>0 se kx−xIk< h. •w(x−xI) = 0,caso contr´ario. •As fun¸c˜oes de peso dizem-se com suporte compacto quando verificam as condi¸c˜oes anteriores. •Seja xIa posi¸c˜ao do n´o I. Designa-se por dom´ınio de influˆencia do n´o Ia vizinhan¸ca de xIna qual a fun¸c˜ao de peso w(x−xI)>0. •A dimens˜ao do dom´ınio de influˆencia do n´o I´e o valor hpara o qual se verifica a seguinte proposi¸c˜ao : w(x−xI)6= 0,∀x:kx−xIk< h. (2.20) 2.4.1.1 Alguns exemplos de fun¸c˜oes de peso unidimensionais: As fun¸c˜oes de peso mais utilizadas no ˆambito dos m´etodos sem malha em problemas unidimensionais s˜ao as seguintes: CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 16 •Spline C´ubica w(x−xI, h)≡w(r) =        2 3−4r2+ 4r3se r≤1 2 4 3−4r+ 4r2−4 3r3se 1 2< r ≤1 0 se r > 1 (2.21) •Spline Qu´artica w(x−xI, h)≡w(r) = (1−6r2+ 8r3−3r4se r≤1 0 se r > 1(2.22) •Spline de Quinta ordem w(x−xI, h)≡w(r) = (1−10r2+ 20r3−15r4+ 4r5se r≤1 0 se r > 1 (2.23) r=|x−xI| h •Gaussiana w(x−xI, h)≡w(r) =      exp −(r/ci)2k−exp −(h/ci)2k 1−exp [−(h/ci)2k]se r≤h 0 se r≥h; (2.24) r=|x−xI|;ci=αh Em qualquer dos casos a dimens˜ao do dom´ınio de influˆencia ´e dado por h. Para as fun¸c˜oes spline ´e habitual calcular hpor: h=dmaxdI.(2.25) Belytschko et al. [14] recomendam as seguintes escolhas: para o parˆametro de dilata¸c˜ao dmax, um valor que pertencente ao intervalo [2,4] e para dIuma atribui¸c˜ao que dever´a originar uma matriz An˜ao singular. Para um conjunto de pontos igualmente espa¸cados ´e usual atribuir a dIo valor do espa¸camento nodal. Relativamente `a fun¸c˜ao Gaussiana tem-se que ci=αh em que o parˆametro α permite atribuir pesos relativos dentro do dom´ınio de influˆencia. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 17 2.4.1.2 Fun¸c˜oes de peso em Rn Sejam xexI∈Rn, em que x= (x1,···, xn)∈RnexI= (x1I,···, xnI). As fun¸c˜oes de peso w(x−xI) para o caso multidimensional, podem ser definidas a partir do caso unidimensional w(x−xI). Os dois processos mais frequentes s˜ao [13, 36]: 1. w(x−xI) = w(kx−xIk) 2. w(x−xI) = Qn j=1 w(|xj−xjI |). O dom´ınio de influˆencia de um ponto xI= (xI, yI) abrange uma ´area e a escolha da forma do dom´ınio ´e arbitr´aria. No caso bi-dimensional, por exemplo quando se opta pelo primeiro processo para definir a fun¸c˜ao de peso est´a-se a usar uma forma circular. No segundo processo tem-se uma forma rectangular, que neste caso ´e dada por: w(x−xI)≡w(rx)·w(ry),(2.26) em que rx=|x−xI| hx , hx=dmaxdx,(2.27) ry=|y−yI| hy , hy=dmaxdy,(2.28) e em que as dimens˜oes do dom´ınio de influˆencia segundo as direc¸c˜oes xey,dmx e dmy calculam-se atrav´es da equa¸c˜ao (2.25). A figura 2.1 ilustra a fun¸c˜ao de peso spline c´ubica, w(kx−xIk), caso bidimensional em que se considerou xI= (0,0). CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 18 −2 −1 012 −2 −1 0 1 2 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Figura 2.1: Representa¸c˜ao da fun¸c˜ao de peso w(kx−xIk)spline c´ubica, em que se considerou xI= (0,0). CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 19 2.4.2 Consistˆencia Seja uh(x) a fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao para u(x), dada por : uh(x) = N X I=1 φI(x)uI,x∈Ω,(2.29) em que N´e o n´umero de n´os do dom´ınio, φIeuIs˜ao respectivamente a fun¸c˜ao de peso e o parˆametro nodal associados ao I-´esimo n´o. O m´etodo que define a aproxima¸c˜ao uh(x) diz-se ter consistˆencia de ordem kse reproduz exactamente uma base de polin´omios de grau menor ou igual a k. Ao conceito de consistˆencia est˜ao associadas as condi¸c˜oes de consistˆencia, por vezes, tamb´em designadas de condi¸c˜oes de reproducibilidade. As condi¸c˜oes de consistˆencia de ordem ks˜ao dadas por: N X I=1 φI(x)xm Ii =xm i,0≤m≤k, x∈Ω (2.30) aonde xIi ´e a i-´esima coordenada do n´o Iexiai-´esima coordenada do ponto x. No caso bidimensional, x= (x, y) tem-se consistˆencia de ordem 1 ou consistˆencia linear se as seguintes igualdades s˜ao verificadas: N X I=1 φI(x) = 1,(2.31) N X I=1 φI(x)xI=x, (2.32) N X I=1 φI(x)yI=y. (2.33) Podem-se desenvolver novas aproxima¸c˜ao, como aconteceu em alguns m´etodos sem malha, impondo `a priori que a aproxima¸c˜ao tenha uma determinada ordem de consistˆencia. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 20 2.4.3 Parti¸c˜ao da unidade As fun¸c˜oes de forma φIdefinidas por um m´etodo de aproxima¸c˜ao formam uma parti¸c˜ao da unidade, se N X I=1 φI(x) = 1,x∈Ω.(2.34) Quando a propriedade anterior se verifica, ent˜ao a aproxima¸c˜ao tem, pelo menos, consistˆencia de ordem zero, isto ´e, pelo menos o polin´omio constante p(x) = 1 ´e reproduzido de forma exacta. No caso do m´etodo dos elementos finitos, as convencionais fun¸c˜oes de forma, NIconstituem uma parti¸c˜ao da unidade, visto que verificam a equa¸c˜ao (2.34). A partir desta equa¸c˜ao e para uma dada fun¸c˜ao Ψ(x) obtem-se ainda N X I=1 φIΨ(x) = Ψ(x).(2.35) A propriedade definida em (2.35) ´e uma propriedade chave para t´ecnicas de enriquecimento usadas em v´arios m´etodos sem malha. 2.5 Smoothed Particle Method (SPH) O m´etodo SPH foi introduzido por Lucy [76], Gingold e Monaghan [46] na d´ecada de 70 e ´e considerado o pioneiro dos m´etodos sem malha. Inicialmente foi desenvolvido para problemas de simula¸c˜ao de fen´omenos astrof´ısicos tais como colis˜oes estelares, forma¸c˜ao de gal´axias e flutua¸c˜ao de g´as. As aplica¸c˜oes de SPH para problemas de mecˆanica dos s´olidos, tais como impacto, penetra¸c˜ao e grandes deforma¸c˜oes s´o foram analizadas posteriormente nas seguintes referˆencias [66, 67, 17, 104, 92]. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 27 por: γ(x) = M−1H(0),(2.65) em que M(x) = ZΩ H(x−y)HT(x−y)wa(x−y)dy. (2.66) As fun¸c˜oes γicalculadas desta forma, garantem a consistˆencia de ordem Nda aproxima¸c˜ao. Finalmente a aproxima¸c˜ao RKPM para estimar u(x) ´e dada por: uR(x) = ZΩ C(x;x−y)wa(x−y)u(y)dy (2.67) =HT(0)M−1(x)ZΩ H(x−y)wa(x−y)f(y)dy. (2.68) Aproxima¸c˜ao RKPM: vers˜ao discretizada Para c´alculo computacional, ´e necess´ario discretizar as equa¸c˜oes anteriores. Procede-se a uma discretiza¸c˜ao do dom´ınio Ω por um conjunto total de Nn´os {x1,x2,···xN}em que xI´e a posi¸c˜ao do n´o I. A equa¸c˜ao (2.67) pode ser discretizada por uma regra trapezoidal e representada como uh(x) = N X I=0 C(x;x−xI)wa(x−xI)∆VIuI(2.69) = N X I=0 φI(x)∆VIuI,(2.70) em que ∆VIeuIs˜ao, respectivamente, o volume e a inc´ognita associados a cada part´ıcula, φI(x) = C(x;x−xI)wa(x−xI),(2.71) CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 28 e C(x;x−xI) = HT(0)M−1(x)H(x−xI).(2.72) No caso em que ∆VI= 1,a equa¸c˜ao discreta do n´ucleo reprodutor pode ser interpretada como uma aproxima¸c˜ao modificada dos m´ınimos quadrados m´oveis [73]. No processo de discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao (2.67), ´e fundamental que as condi¸c˜oes de consistˆencia sejam preservadas, sendo por isso conveniente que a matriz Mda equa¸c˜ao (2.66) seja discretizada com o mesmo m´etodo de discretiza¸c˜ao aplicado `a equa¸c˜ao (2.67). Aspectos relevantes sobre a implementa¸c˜ao num´erica deste m´etodo s˜ao abordados por Chen et al. [25], tais como o processo de discretiza¸c˜ao, a preserva¸c˜ao das condi¸c˜oes de consistˆencia, c´alculo da matriz Me das derivadas das fun¸c˜oes de forma φI(x). 2.7 Aproxima¸c˜oes baseadas no m´etodo dos m´ınimos quadrados Como vimos, a resolu¸c˜ao num´erica de equa¸c˜oes diferenciais em derivadas parciais envolve em determinada fase a constru¸c˜ao de uma aproxima¸c˜ao. Na forma fraca ou forte associada `a equa¸c˜ao em derivadas parciais (EDP), resultante de um procedimento aparecem fun¸c˜oes n˜ao conhecidas, para as quais ´e necess´ario construir aproxima¸c˜oes. O m´etodo dos m´ınimos quadrados ´e uma t´ecnica que permite definir a aproxima¸c˜ao de uma fun¸c˜ao, a partir de um conjunto de valores conhecidos. Neste cap´ıtulo descreve-se o m´etodo dos m´ınimos quadrados, com particular ˆenfase para os m´ınimos quadrados m´oveis, porque estes tem tido grande destaque nos ´ultimos anos, no ˆambito dos m´etodos sem malha. O conceito de m´ınimos quadrados m´oveis deu origem a v´arios m´etodos sem malha, em particular o diffuse element method (DEM) [86], Element Free Galerkin (EFG) [14, 13, 16, 12, 44] e o m´etodo das nuvens HP (HP-Clouds) [41] . O m´etodo dos m´ınimos quadrados CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 29 m´oveis foi introduzido por Lancaster [61], embora muitos autores considerem este m´etodo uma extens˜ao do m´etodo de Shepard [101], que tinha sido proposto muito anteriormente. O m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis define aproxima¸c˜oes locais na vizinhan¸ca de um determinado ponto, ou seja as aproxima¸c˜oes s˜ao v´alidas em determinados subdom´ınios. Considere-se o problema de aproximar uma fun¸c˜ao u(x)∈C(Ω), em que Ω⊂Rd,d= 1,2,3 a partir de um conjunto de dados da forma (xi, ui)i=1,2,...N . Seja X={x1,...,xN}o conjunto dos pontos para os quais se conhece os valores ui, i = 1,2. . . N em que ui=u(xi). No sentido de determinar a fun¸c˜ao que interpola os valores nos pontos dados (xi, ui)i=1,2,...N h´a dois aspectos importantes: •Especificar qual o tipo de fun¸c˜oes p(x) a usar na aproxima¸c˜ao. •Definir o procedimento que estabelece o ajuste aos valores nos pontos dados. Usando fun¸c˜oes polinomiais, a fun¸c˜ao u(x) pode ser aproximada por uh(x) em que u(x)∼ =uh(x) = m X i=1 pi(x)ai=pT(x)a,(2.73) pT=hp1p2··· pmi,(2.74) a=ha1a2··· amiT,(2.75) e as componentes da base pT(x), pi(x), s˜ao mfun¸c˜oes linearmente independentes (mon´omios ou polin´omios de Legendre) que definem uma base completa para o espa¸co dos polin´omios de grau menor ou igual a m. Os coeficientes ais˜ao as inc´ognitas. Exemplos de bases completas, lineares e quadr´aticas, para o caso bidimensional s˜ao dadas respectivamente por: pT(x) = h1x yi(m= 3,linear) (2.76) pT(x) = h1x y x2xy y2i(m= 6,quadr´atica).(2.77) CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 30 Relativamente aos elementos de pT, as fun¸c˜oes que formam a base, pi(x) pressup˜oem-se que tenham as seguintes propriedades [39]: •p1≡1 •pi∈CK(Ω), i = 1,2,...m 2.7.1 M´etodo dos m´ınimos quadrados Para aproximar a fun¸c˜ao u(x) a partir dos dados (xi, ui)i=1..N e evitando usar um n´umero muito elevado de fun¸c˜oes de base pjparece apropriado usar uma aproxima¸c˜ao local. Seja xj∈Xe Ωj={x1,...,xnk} ⊂ Xa vizinhan¸ca de xj que tem nkpontos de X. A aproxima¸c˜ao uh(x) para u(x), em x∈Ωjpode-se calcular por: u(x)∼ =uh(x) = m X i=1 pi(x)ai(xj).(2.78) Em particular, para os nkpontos da vizinhan¸ca Ωj, aplicando (2.78) tem-se que: u=       u1 u2 . . . unk       ∼ =       uh 1 uh 2 . . . uh nk        =      p1(x1)p2(x1)··· pm(x1) p1(x2)p2(x2)··· pm(x2) ··· ··· ··· ··· p1(xnk)p2(xnk)··· pm(xnk)              a1 a2 . . . ank        =Ma,(2.79) em que ajs˜ao as inc´ognitas e uh j=uh(xj) os valores aproximados. Se m=nke M´e n˜ao singular ent˜ao o vector apode ser calculado por: a=M−1u.(2.80) Em geral, nk> m e resulta o problema de resolver um sistema de equa¸c˜oes sobredeterminado. Neste caso, uma das solu¸c˜oes poss´ıveis para a resolu¸c˜ao CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 31 do sistema ´e dada pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados. Este baseia-se na determina¸c˜ao de a∗por forma a que o vector res´ıduo Rdado por : R=hu1−pT(x1)a∗u2−pT(x2)a∗··· unk−pT(xnk)a∗i,(2.81) tenha norma euclidiana m´ınima, em que Ri´e o erro cometido ao aproximar u(xi) por uh(xi). Na aproxima¸c˜ao dos m´ınimos quadrados considera-se o quadrado da norma euclidiana do vector Rdado por: J(a∗) = nk X I=1 uI−pT(xI)a∗2.(2.82) Os coeficientes a∗da interpola¸c˜ao podem assim ser obtidos por minimiza¸c˜ao de J, reduzindo-se `a determina¸c˜ao de um ponto estacion´ario de J. 2.7.2 M´etodo dos m´ınimos quadrados ponderados Neste caso o erro a minimizar ´e dado por: J(a∗,xJ) = nk X I=1 w(xI−xJ)uI−pT(xI)a∗2,(2.83) em que w(xI−xJ) ´e uma fun¸c˜ao de peso com suporte compacto que tem as propriedades descritas em 2.4.1. No m´etodo dos m´ınimos quadrados ponderados ai-´esima componente do vector res´ıduo ´e ponderada em fun¸c˜ao da distˆancia de xIaxJ. 2.7.3 M´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis O m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis ´e considerado uma aproxima¸c˜ao baseada no m´etodo dos m´ınimos quadrados ponderados, em que ´e permitido `a fun¸c˜ao de peso wdeslocar-se para o ponto xno qual se est´a a interpolar. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 32 Neste caso, seguindo o procedimento habitual da t´ecnica do m´etodo dos m´ınimos quadrados, considera-se para J(x) a seguinte express˜ao: J(x) = nk X I=1 w(x−xI)uI−pT(xI)a∗2,(2.84) em que w(x−xj) ´e a mesma fun¸c˜ao de peso com suporte compacto referida anteriormente. Neste caso, a i-´esima componente do vector res´ıduo, dada por Ri=uI−pT(xI)a∗´e ponderada por w(x−xI), que toma valores em fun¸c˜ao da distˆancia de xIao ponto de interpola¸c˜ao x. Os coeficientes a∗s˜ao determinados no sentido de minimizar J. Para obter um ponto estacion´ario de J, a equa¸c˜ao a resolver ´e: ∂J ∂a∗= 0.(2.85) No caso bidimensional, usando a base pT(x) = h1x y x2xy y2ia equa¸c˜ao (2.85) tem a seguinte forma:             PwiPwixiPwiyiPwix2 iPwixiyiPwiy2 i PwixiPwix2 iPwixiyiPwix3 iPwix2 iyiPwixiy2 i PwiyiPwiyixiPwiy2 iPwiyix2 iPwixiy2 iPwiy3 i Pwix2 iPwix3 iPwix2 iyiPwix4 iPwix3 iyiPwix2 iy2 i PwixiyiPwix2 iyiPwixiy2 iPwix3 iyiPwix2 iy2 iPwixiy3 i Pwiy2 iPwixiy2 iPwiy3 iPwiy2 ix2 iPwixiy3 iPwiy4 i             a∗(x) =             w1w2w3. . . wN w1x1w2x2w3x3. . . wNxN w1y1w2y2w3y3. . . wNyN w1x2 1w2x2 2w3x2 3. . . wNx2 N w1x1y1w2x2y2w3x3y3. . . wNxNyN w1y2 1w2y2 2w3y2 3. . . wNy2 N             ˆu,(2.86) em que por raz˜oes de simplifica¸c˜ao de escrita wIrepresenta wI=w(x−xI). De CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 33 forma geral, (2.85) origina o seguinte sistema de equa¸c˜oes: A(x)a∗(x) = Bb u,(2.87) em que A(x) = N X I=1 w(x−xI)p(xI)pT(xI),(2.88) B(x) = hw(x−x1)p(x1)w(x−x2)p(x2). . . w(x−xN)p(xN)i,(2.89) ˆuT=hu1u2. . . uNi.(2.90) A partir de (2.86) constata-se a dependˆencia dos coeficientes a∗relativamente ao ponto (neste caso x) no qual se est´a a interpolar. Esta ´e a grande diferen¸ca do m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis face aos anteriores [112]. Se a matriz A ´e invert´ıvel, a equa¸c˜ao (2.87) tem solu¸c˜ao ´unica dada por: a∗(x) = A−1(x)B(x)b u.(2.91) Considerando a solu¸c˜ao anterior para ada equa¸c˜ao (2.78) e substituindo, o valor aproximado uh(x) para u(x) ´e: uh(x) = pT(x)A−1(x)B(x)ˆu.(2.92) As fun¸c˜oes de forma φI(x) podem ser identificadas por: φI(x) = pT(x)A−1(x)w(x−xI)p(xI).(2.93) CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 34 Propriedades: 2.7.3.1 Consistˆencia de ordem k Uma propriedade importante no m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis ´e a consistˆencia de ordem k. Para mostrar que o m´etodo dos m´ınimos quadrados tem consistˆencia k, qualquer termo da base p(ordem k) dever´a ser reproduzido de forma exacta. Como tal, ´e necess´ario que a seguinte igualdade seja verificada: np X J=1 φJ(x)pT(xJ) = pT(x).(2.94) Substituindo as fun¸c˜oes de forma φIem (2.128) tem-se que: np X J=1 φJ(x)pT(xJ) = np X J=1 pT(x)A−1(x)w(x−xJ)p(xJ)pT(xJ) (2.95) =pT(x)A−1(x) np X J=1 w(x−xJ)p(xJ)pT(xJ) (2.96) =pT(x)A−1(x)A(x) = pT(x),(2.97) concluindo-se que a equa¸c˜ao ´e verificada e portanto qualquer fun¸c˜ao polinomial incluida em p(x) ´e interpolada exactamente. Se k´e o grau do polin´omio de ordem mais elevada da base p(x) conclui-se que a consistˆencia ´e de ordem k. 2.7.3.2 Parti¸c˜ao da Unidade Considerando k= 0, a consistˆencia de ordem zero, i.e: N X I=1 φI(x) = 1,(2.98) corresponde ao conceito da parti¸c˜ao da unidade, em que as fun¸c˜oes de forma φI formam uma parti¸c˜ao da unidade. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 35 2.7.4 M´etodo de Shepard A aproxima¸c˜ao por m´ınimos quadrados m´oveis pode ser vista como a generaliza¸c˜ao de uma t´ecnica muito popular para interpolar um conjunto de dados e que se designa m´etodo de Shepard [101]. Basicamente, no m´etodo de Shepard um conjunto de dados dispersos, da forma (xI, uI) ´e interpolado pela fun¸c˜ao uh(x) = PuIwI(x) PwI(x),(2.99) em que wI(x)≡w(x−xI) ´e uma fun¸c˜ao de peso com suporte compacto, que ´e decrescente com a distˆancia de xaxI, tendo um m´aximo em xI. As fun¸c˜oes de forma φIs˜ao dadas por: φI(x) = wI(x) PwJ(x).(2.100) O m´etodo de Shepard usa fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao local, v´alidas apenas numa regi˜ao. Foi considerado pioneiro nos algoritmos de interpola¸c˜ao que se baseiam na pondera¸c˜ao pelo inverso da distˆancia. As fun¸c˜oes de forma definidas pelo m´etodo de Shepard formam uma parti¸c˜ao da unidade. 2.7.5 Rela¸c˜ao entre o interpolador de Shepard e o m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis Uma generaliza¸c˜ao poss´ıvel para o m´etodo de Shepard consiste em definir uh, aproxima¸c˜ao u(x) por: uh(x) = ˜u(x, a0, a1,...,ap),(2.101) em que ˜u´e um polin´omio em x, com parˆametros a0, a1,...,ap(coeficientes do polin´omio) e dependentes de x. A determina¸c˜ao dos coeficientes para cada x, CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 36 pode ser feita, minimizando o seguinte funcional: X i wI(x) [uI−˜u(x, a0, a1,...,ap)]2,(2.102) em que wI´e a fun¸c˜ao de peso com suporte compacto, a mesma que foi usada na descri¸c˜ao do m´etodo de Shepard. Neste caso, o procedimento coincide simplesmente com o m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis. No caso particular da escolha ˜u(x, a0) = a0tem-se o m´etodo de Shepard. Por este motivo, alguns autores consideram os m´ınimos quadrados m´oveis uma generaliza¸c˜ao deste m´etodo. 2.8 Element Free Galerkin (EFG) No in´ıcio dos anos 90, Nayroles et al. [86] introduziram o diffuse element method (DEM) que foi considerado na altura um m´etodo de aproxima¸c˜ao inovador. O DEM usava um polin´omio interpolador baseado numa aproxima¸c˜ao dos m´ınimos quadrados m´oveis, conjuntamente com o m´etodo de Galerkin, no sentido de obter uma formula¸c˜ao computacional que prescindia de uma malha. Embora Nayroles et al. [86] n˜ao o tivessem reconhecido, um m´etodo baseado na aproxima¸c˜ao dos m´ınimos quadrados m´oveis j´a tinha sido usado por Lancaster e Salkauskas [61] para aproximar curvas e superf´ıcies. Posteriormente, Belytschko et al. [14] desenvolveram e extenderam o DEM resultando um m´etodo com melhorias significativas, o qual designaram por Element Free Galerkin (EFG). O m´etodo EFG usa a forma fraca de Galerkin, tal como o m´etodo dos elementos finitos. O dom´ınio de interesse global Ω ´e discretizado por um conjunto de n´os, n˜ao sendo necess´ario que estes definam uma malha no sentido cl´assico. A partir deste conjunto nodal, uma aproxima¸c˜ao baseada no m´ınimos quadrados m´oveis ´e usada para construir as fun¸c˜oes tentativa e teste, a incorporar na forma fraca. Na proposta feita por Belytschko et al. [14] inclui-se o c´alculo das derivadas das fun¸c˜oes interpoladoras que tinham sido omitidas no DEM, assim como a utiliza¸c˜ao de um m´etodo de integra¸c˜ao CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 43 φi(xj)6=δij. Neste caso, diz-se que as fun¸c˜oes de forma φIn˜ao s˜ao interpoladoras. Consequentemente, uh(xj)6=buj, ou seja os valores nodais da aproxima¸c˜ao uh, os uh(xj) n˜ao coincidem com os valores buj, designados por parˆametros nodais. Na literatura, por vezes classificam-se os bujcomo valores nodais fict´ıcios. Em geral, bujn˜ao s˜ao os valores da aproxima¸c˜ao uh nos n´os e para calcular os valores nodais uh(xj) ´e necess´ario recorrer a: uh(xj) = N X I=1 φI(xj)buI.(2.134) Os valores uh(xj) dependem dos parˆametros nodais buje de outros que contribuem indirectamente no c´alculo do dom´ınio de influˆencia. •As condi¸c˜oes fronteira do tipo essencial n˜ao podem ser impostas directamente, tal como acontece no MEF, pelas raz˜oes indicadas no ponto anterior. •A solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo ´e suscept´ıvel a factores inerentes ao pr´oprio m´etodo, tais como: a escolha das fun¸c˜oes da base, pj(x), as fun¸c˜oes de peso w(x), o dom´ınio sobre o qual a fun¸c˜ao de peso ´e aplicada e o processo do c´alculo num´erico dos integrais no dom´ınio Ω. A escolha da fun¸c˜ao de peso w(x) e a dimens˜ao do dom´ınio de influˆencia s˜ao decisivos na aproxima¸c˜ao. A dimens˜ao do dom´ınio de influˆencia ´e um aspecto fundamental, visto que n˜ao pode ser demasiado pequeno, porque a matriz Adever´a ser n˜ao singular (eq. 2.111), mas por outro lado `a medida que aumenta vai-se perdendo a esparsidade da matriz de rigidez. •O processo de c´alculo das fun¸c˜oes de forma, respectivas derivadas e imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes fronteira do tipo essencial ´e mais complexo, em termos de implementa¸c˜ao, do que no MEF. Uma consequˆencia directa disto ´e que computacionalmente torna-se mais dispendioso. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 44 2.9 M´etodo Petrov-Galerkin Local (MLPG) O m´etodo Meshless Local Petrov Galerkin (MLPG), que foi desenvolvido por Atluri et al. [3], baseia-se em termos de formula¸c˜ao na aproxima¸c˜ao dos m´ınimos quadrados m´oveis caracterizando-se essencialmente pelo seguinte: para cada n´o do dom´ınio, i-´esimo n´o associa um subdom´ınio ΩI⊂Ω que corresponde ao suporte da fun¸c˜ao de forma do n´o. O m´etodo dos res´ıduos pesados ´e usado para cada um destes subdom´ınios obtendo-se uma forma fraca, usualmente designada por forma fraca local porque restringe-se apenas a ΩI. Para ilustrar melhor alguns aspectos do m´etodo considere-se por exemplo a equa¸c˜ao de Poisson, ∇2u=fem Ω,(2.135) u= ¯uem Γu,(2.136) ∂u ∂n = ¯qem Γt.(2.137) Efectuando um procedimento an´alogo ao que foi feito no cap´ıtulo 2 para esta equa¸c˜ao, usando o m´etodo dos res´ıduos pesados e impondo as condi¸c˜oes de fronteira atrav´es do m´etodo da penalidade, tem-se: ZΩ∂vi ∂x ∂uh ∂x +∂vi ∂y ∂uh ∂y dxdy +ZΩ fvidxdy −ZΓ∂uh ∂n vidΓ +αuZΓu (u−¯u)vidΓ = 0, i = 1,2. . . n, (2.138) em que αu´e o parˆametro de penalidade. A equa¸c˜ao anterior ´e a forma fraca global associada `a equa¸c˜ao de Poisson considerada. Seja ΩIo subdom´ınio que corresponde ao suporte da fun¸c˜ao de forma associada ao I-´esimo n´o. Aplicando o procedimento anterior para o subdom´ınio ΩIobtemse: CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 45 ZΩI∂vi ∂x ∂uh ∂x +∂vi ∂y ∂uh ∂y dxdy +ZΩI fvidxdy −Z∂ΩI∂uh ∂n vidΓ +αuZΓu (u−¯u)vidΓ = 0, i = 1,2. . . n. (2.139) Pode-se considerar que ∂ΩIapresenta trˆes partes: 1. ΓI, onde n˜ao s˜ao impostas condi¸c˜oes de fronteira. 2. Γu Ionde s˜ao impostas condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial.Γu I=∂ΩI∩Γu. 3. Γt Ionde se tem condi¸c˜oes de fronteira do tipo natural. Γt I=∂ΩI∩Γt. A forma fraca local resultante ´e dada por: ZΩI∂vi ∂x ∂uh ∂x +∂vi ∂y ∂uh ∂y dxdy +ZΩI fvidxdy −ZΓI∂uh ∂n vidΓ−ZΓu I∂uh ∂n vidΓ −ZΓt I ¯qvidΓ + αuZΓu (u−¯u)vidΓ = 0, i = 1,2. . .n. (2.140) Este m´etodo tem sido classificado por alguns autores, nomeadamente Atluri como um m´etodo puramente sem malha porque prescinde de uma malha de integra¸c˜ao para o dom´ınio Ω, visto que n˜ao usa a forma fraca global. Apesar de n˜ao ser necess´aria uma estrutura de elementos para integra¸c˜ao do dom´ınio Ω, por observa¸c˜ao de (2.140) conclui-se que ´e preciso integrar em subdom´ınios, que podem ter geometrias irregulares e que variam visto que resultam das intersec¸c˜oes dos suportes das fun¸c˜oes de forma com o dom´ınio Ω. Essencialmente o que diferencia o m´etodo Petrov-Galerkin local, ´e o facto de as fun¸c˜oes teste ve tentativa upertencerem a espa¸cos de fun¸c˜oes diferentes. Atluri mostrou que no contexto do MLPG, apesar de se definirem as fun¸c˜oes tentativa usegundo os m´ınimos quadrados m´oveis, pode-se escolher diferentes fun¸c˜oes teste a partir de outras fun¸c˜oes, assim como os subdom´ınios das fun¸c˜oes uevpodem ter tamanhos e formas diferentes. Esta flexibilidade, em termos de CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 46 escolhas originou algumas variantes do m´etodo MLPG. Uma descri¸c˜ao detalhada sobre o m´etodo MLPG e derivados ´e abordada por Atluri [2]. 2.10 M´etodo da Parti¸c˜ao da Unidade (PUM) A aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade foi usada pela primeira vez por Babuˇska et al. [7], subsequentemente por Melenk [79, 80] e por Duarte et al. [41] e desenvolvida posteriormente em diversos trabalhos [8, 9, 81, 40, 41, 68, 87]. O m´etodo da parti¸c˜ao da unidade, apresentado formalmente por Babuˇska e Melenk [9] surgiu como um m´etodo sem malha que introduziu um conceito inovador: a possibilidade de definir aproxima¸c˜oes que usam outras fun¸c˜oes na base, al´em dos polin´omios, as quais podem incluir polin´omios de Taylor, polin´omios de Lagrange ou outro tipo de fun¸c˜oes, convenientemente escolhidas e que n˜ao tˆem de ser necessariamente express˜oes polinomiais. O objectivo deste m´etodo era ultrapassar uma limita¸c˜ao do m´etodo dos elementos finitos: a aproxima¸c˜ao feita ´unicamente por fun¸c˜oes polinomiais em que o grau da fun¸c˜ao polinomial local usada num elemento est´a limitado pelo n´umero de n´os do elemento. Para Babuˇska, os espa¸cos locais de aproxima¸c˜ao polinomial podem n˜ao ter as propriedades mais adequadas para resolver certas equa¸c˜oes associadas a problemas muito espec´ıficos, como por exemplo modela¸c˜ao de comp´ositos, materiais com microestruturas e problemas com solu¸c˜oes altamente oscilat´orias de fronteiras n˜ao limitadas. Em certas situa¸c˜oes o m´etodo dos elementos finitos n˜ao ´e eficiente ou envolve uma implementa¸c˜ao que computacionalmente, tem um custo muito elevado. O m´etodo PUM, prop˜oe-se a incluir, `a priori no espa¸co da aproxima¸c˜ao, informa¸c˜ao adicional sobre o comportamento local da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial a resolver. O PUM/PUFEM pode ser visto como a generaliza¸c˜ao das vers˜oes h,p, e hp do MEF. A aproxima¸c˜ao definida pelo PUM/PUFEM baseia-se na formula¸c˜ao variacional e a concep¸c˜ao dos espa¸cos das fun¸c˜oes tentativa e das fun¸c˜oes teste ´e feita tendo em considera¸c˜ao o problema a resolver. Uma descri¸c˜ao detalhada sobre a fundamenta¸c˜ao matem´atica dos m´etodos PU/PUFEM ´e apresentada por Babuˇska CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 47 e Melenk [8]. Actualmente, segundo Babuˇska et al. [6] a aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade ´e usada em v´arios sentidos, segundo nomes diferentes: m´etodo das nuvens, HpClouds, XFEM e m´etodo das esferas finitas [41, 108, 109, 35]. Estes m´etodos diferem basicamente na forma das fun¸c˜oes que s˜ao usadas pela parti¸c˜ao da unidade e na escolha de espa¸cos locais diferentes. Aspectos fundamentais do(s) m´etodo(s) PUM/PUFEM Os aspectos fundamentais do(s) m´etodo(s) PUM/PUFEM s˜ao: •Definir a cobertura {ΩI}N I=1 para o dom´ınio de interesse Ω, em que Ω⊂ ∪N I=1ΩI. •Definir {φI}uma parti¸c˜ao da unidade para a cobertura {ΩI}N I=1, i.e., N X I=1 φI(x) = 1,∀x∈Ω.(2.141) •Para cada ΩIassocia-se χI, o espa¸co de fun¸c˜oes no qual u|ΩIpode ser bem aproximada. Os espa¸cos χIs˜ao referidos como espa¸cos de aproxima¸c˜ao local. O espa¸co global de aproxima¸c˜ao ´e dado por: χ= N X I=1 φIχI.(2.142) •A forma de cada ΩIpode ser uma nuvem, um elemento t´ıpico dos que se usam nas malhas dos elementos finitos (triˆangulo ou quadrado) ou pode ainda ter outra forma geom´etrica. A forma mais geral dos m´etodos PUM e PUFEM pode ser dada por: uh(x) = N X I=1 φI(pT(x)aI) (2.143) = N X I=1 φI( q X j=1 ajIpj(x)),(2.144) CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 48 em que pT=h1x . . . xk˜pk+2 ... ˜pqi(2.145) aI=ha0Ia1I. . . akI ˜ak+2,I ... ˜aq,I i.(2.146) Nas equa¸c˜oes anteriores aiI representa a i-´esima componente de aIepT(x) ´e uma base que tem mon´omios at´e uma certa ordem (neste caso k) e as restantes componentes ˜pk+2,..., ˜pqs˜ao elementos de χI. Os coeficientes aiI e ˜aiI s˜ao as inc´ognitas da aproxima¸c˜ao e podem ser calculados por um procedimento de Galerkin ou de coloca¸c˜ao. Uma op¸c˜ao habitual, no contexto do m´etodo da parti¸c˜ao da unidade ´e escolher para φIas fun¸c˜oes de Shepard: φI(x) = wI(x) PwI(x),(2.147) em que wI(x) ´e uma fun¸c˜ao de peso com suporte compacto. Por exemplo, para a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Helmholtz, no caso unidimensional, Babuˇska e Melenk [8] usaram a seguinte base pT(x): pT=h1x . . . xksinh nx cosh nxi.(2.148) Os m´etodo das nuvens HP, (HP-Clouds) e o m´etodo dos elementos finitos generalizado, (GFEM), referidos nos pontos seguintes, baseiam-se nos conceitos dos m´etodos da parti¸c˜ao da unidade (PUM/PUFEM). Caracterizam-se essencialmente pela possibilidade de introduzir um enriquecimento nodal n˜ao homog´eneo. 2.10.1 M´etodo dos Elementos Finitos Generalizado (GFEM) Para Babuˇska [6], o GFEM foi formulado no trabalho apresentado por Babuˇska et al. [9], aonde foi referido como m´etodo da parti¸c˜ao da unidade e s´o mais tarde Strouboulis et al. [106, 107] apresentaram formalmente como m´etodo dos CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 49 elementos finitos generalizado. O m´etodo dos elementos finitos generalizado (GFEM) ´e uma combina¸c˜ao do m´etodo dos elementos finitos e do m´etodo da parti¸c˜ao da unidade (PUM). O cl´assico MEF ´e um caso particular do m´etodo dos elementos finitos generalizado. O m´etodo GFEM tem-se revelado apropriado para problemas que envolvem dom´ınios com fronteiras m´oveis ou fronteiras indefinidas, nomeadamente em propaga¸c˜ao de fendas ou fronteiras livres. Para este tipo de problemas o MEF requer uma malha complexa que se ajuste ao dom´ınio e por vezes ´e inevit´avel o processo de remalhamento. A aplica¸c˜ao do GFEM, para estes casos, atrav´es do uso de fun¸c˜oes especiais permite evitar o remalhamento ou pelo menos reduzi-lo significativamente. GFEM : Aspectos b´asicos Os aspectos b´asicos do GFEM s˜ao: •Usa uma malha independente (parcialmente ou totalmente) do dom´ınio do problema Ω. •Define uma malha de elementos, no sentido cl´assico, para um dom´ınio Ω0em que Ω ⊂Ω0. Escolhe-se preferencialmente para o dom´ınio Ω0uma geometria simples, por exemplo um rectˆangulo. Esta malha ´e usada para a constru¸c˜ao da base da aproxima¸c˜ao e em geral designada por malha de aproxima¸c˜ao. •Permite uma certa liberdade para escolher as fun¸c˜oes φI(desde que formem a parti¸c˜ao da unidade). Algumas possibilidades de escolha s˜ao: fun¸c˜oes de Shepard, as fun¸c˜oes de forma usadas no m´etodo da part´ıcula RKPM, as fun¸c˜oes de forma de outros m´etodos sem malha ou mesmo as convencionais fun¸c˜oes interpoladoras do MEF. •A malha de integra¸c˜ao tem um papel fundamental. N˜ao tem que ser coincidente com a malha de aproxima¸c˜ao, mas pode-se definir muito facilmente a partir de cada elemento da malha de aproxima¸c˜ao, procedendo a refinamentos. O controlo adaptativo do erro no processo da integra¸c˜ao ´e fundamental para garantir a convergˆencia num´erica do m´etodo. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 50 2.10.2 M´etodo das nuvens HP (HP-Clouds) O m´etodo das nuvens HP (HP-Clouds), foi apresentado por Duarte e Oden [41, 40], a partir do conceito de aproxima¸c˜ao pela parti¸c˜ao da unidade, que tinha sido introduzido por Babuˇska [7]. O m´etodo das nuvens HP caracterizase pelo seguinte: usa para parti¸c˜ao da unidade as fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao φI definidas segundo os m´ınimos quadrados m´oveis. As fun¸c˜oes de aproxima¸c˜ao, s˜ao definidas da seguinte maneira: multiplica-se a parti¸c˜ao da unidade, obtida pelos m´ınimos quadrados m´oveis, por outras fun¸c˜oes que tˆem propriedades adequadas ao problema em causa. A formula¸c˜ao ´e dada por: uh(x) = N X I=1 φI(x)(uI+pT(x)aI) (2.149) = N X I=1 φI(x)(uI+ nI X j=1 pT Ij(x)aIj),(2.150) em que φIs˜ao as fun¸c˜oes definidas segundo o m´etodo dos m´ınimos quadrados m´oveis, pIj s˜ao os nIpolin´omios de grau maior a kque est˜ao associados a cada n´o xIeuIeaIj s˜ao os coeficientes a determinar. Os polin´omios pIj diferem de n´o para n´o, e por isso permitem aumentar a dimens˜ao do espa¸co de aproxima¸c˜ao. A utiliza¸c˜ao das fun¸c˜oes φI, definidas segundo os m´ınimos quadrados m´oveis garante que a aproxima¸c˜ao tenha consistˆencia de ordem k, em que k≥1. •Na cobertura a forma de cada ΩIpode ser arbitr´aria. No caso bidimensional, poder ser um rectˆangulo, uma elipse ou uma circunferˆencia. No contexto Hp-Clouds, cada ΩI´e designado por nuvem. •As fun¸c˜oes φIs˜ao definidas segundo a formula¸c˜ao dos m´ınimos quadrados m´oveis. •A imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial ´e feita atrav´es do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange. •Usa quadratura gaussiana no processo de integra¸c˜ao num´erica. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 51 A maior vantagem do m´etodo das nuvens HP ´e permitir que a base varie de n´o para n´o, facilitando processos de adaptatividade hp.´ E poss´ıvel aumentar o grau do polin´omio que contribui na constru¸c˜ao das fun¸c˜oes de forma (adaptatividade p), assim como a introdu¸c˜ao de novos n´os (adaptatividade h). 2.11 M´etodo do Elemento Natural (NEM) O m´etodo do elemento natural (NEM) [19], baseia-se na formula¸c˜ao de Galerkin, tal como o MEF ou o m´etodo EFG e usa o conceito de interpola¸c˜ao por vizinhos naturais para definir as fun¸c˜oes tentativa e teste. A t´ecnica de interpola¸c˜ao por vizinhos naturais foi introduzida por Sibson [102] e usa uma constru¸c˜ao geom´etrica muito conhecida, que se designa por diagrama de Voronoi ou arranjo de Dirichlet. Seja Ω ⊂RdeX={x1,x2,...,xN} ⊂ Ω um conjunto de Nn´os distintos. Por raz˜oes de facilidade de exposi¸c˜ao, considerar-se-´a o espa¸co euclidiano R2. •O diagrama de Voronoi consiste em dividir o plano num conjunto de N regi˜oes ou c´elulas ϑI, em que cada ϑIest´a associado ao n´o xIe que se caracteriza pelo seguinte: qualquer ponto da c´elula ϑIest´a mais perto do n´o xIdo que qualquer outro ao n´o xJ, J 6=I. •Cada ϑIdesigna-se por c´elula de Voronoi do I-´esimo n´o. •Para um conjunto de Nn´os ´e sempre poss´ıvel definir um ´unico diagrama de Voronoi. •A triangula¸c˜ao Delaunay, ´e o dual do diagrama de Voronoi e obtˆem-se unindo os n´os cujas c´elulas de Voronoi tˆem lados comuns. Em particular, os n´os xIexJs˜ao vizinhos se ϑIeϑJtˆem algum lado comum. Se o ponto ¯ xe o n´o xItˆem uma aresta de Voronoi comum, ent˜ao diz-se que xI´e o vizinho natural do ponto ¯ x. CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 52 A figura 2.3 tem como objectivo exemplificar alguns dos conceitos b´asicos descritos e que est˜ao associados `a vertente geom´etrica que caracteriza este m´etodo. Nesta figura est´a representado o diagrama de Voronoi para um dom´ınio Ω em que se consideram 6 n´os. A figura ilustra ainda o processo de constru¸c˜ao do diagrama de Voronoi, c´elulas de Voronoi de primeira e segunda ordem quando se introduz um ponto xem Ω. •Na figura 2.3, o ponto xtem 4 vizinhos naturais, a nomear: x1,x2,x3ex4. •A c´elula de Voronoi (de primeira ordem ) do ponto xpassa a ser o pol´ıgono abcd. As c´elulas de Voronoi de segunda ordem para os n´os x1,x2,x3ex4definemse respectivamente por pol´ıgonos de v´ertices: –abfe –fbc –defc –aed. A fun¸c˜ao de forma φIassociada ao I-´esimo n´o, no ponto xdefine-se por: φI(x) = κI(x) κ(x),(2.151) em que κI´e a ´area da c´elula de Voronoi de segunda ordem do I-´esimo n´o e κ´e a ´area total da c´elula de Voronoi de primeira ordem do ponto x. As fun¸c˜oes de forma φI(2.151) designam-se por fun¸c˜oes de Sibson. Como xtem 4 vizinhos naturais, ent˜ao: φ1(x) = Aabfe Aabcd , φ2(x) = Afbc Aabcd ,(2.152) φ3(x) = Adefc Aabcd , φ4(x) = Aaed Aabcd .(2.153) CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 59 A integra¸c˜ao nodal, por vezes designada de integra¸c˜ao nodal directa baseiase num m´etodo de quadratura num´erica em que os pontos de integra¸c˜ao s˜ao os pr´oprios n´os xIda discretiza¸c˜ao do dom´ınio. Neste caso o integral ´e calculado por: ZΩ f(x)dΓ = nP X I=1 f(xI)4VI,(2.164) em que nP´e o n´umero de n´os e 4VI´e o peso associado ao I-´esimo n´o. A integra¸c˜ao nodal ´e uma t´ecnica de implementa¸c˜ao f´acil e r´apida. No entanto, h´a dois aspectos muito importantes associados a esta t´ecnica: a indefini¸c˜ao do valor do peso 4VIa atribuir a cada n´o e uma grande sensibilidade da solu¸c˜ao ao tipo de integra¸c˜ao adoptada. Os m´etodos de integra¸c˜ao nodal directa s˜ao suscept´ıveis de apresentar instabilidade num´erica. Algumas autores propuseram t´ecnicas de estabiliza¸c˜ao num´erica para integra¸c˜ao nodal. Chen et al. [31, 32] apresentaram o m´etodo de integra¸c˜ao nodal estabilizada para m´etodos sem malha de Galerkin. Esta proposta tem por objectivo eliminar instabilidade num´erica que surge quando se aplica integra¸c˜ao nodal directa `a forma fraca. Os autores consideraram esta t´ecnica eficiente comparativamente `a quadratura gaussiana para situa¸c˜oes especificas de discretiza¸c˜oes de dom´ınios irregulares, problemas de incompressibilidade e de n˜ao lineariedade. Alternativamente, quando se opta por uma estrutura celular ou malha auxiliar, para efeitos de integra¸c˜ao num´erica aplica-se quadratura num´erica e o integral ´e calculado por: ZΩ f(ξ)dξ = nq X I=1 f(ξI) ˆwI,(2.165) em que nqs˜ao os pontos de quadratura, ξI´e o I-´esimo ponto e ˆwIo respectivo peso. Diferentes escolhas para a localiza¸c˜ao dos pontos ξIe dos valores para ˆwI originam v´arios m´etodos de quadratura num´erica tais como: quadratura MonteCarlo, quadratura Gaussiana, a mais usual, e a regra do trap´ezio. No caso de se usar uma estrutura celular regular, define-se um conjunto de c´elulas regulares para o dom´ınio de integra¸c˜ao e aplica-se quadratura num´erica CAP´ ITULO 2. M´ ETODOS SEM MALHA: ESTADO DA ARTE 60 para cada uma destas c´elulas. No caso de uma malha auxiliar define-se uma malha para o dom´ınio de integra¸c˜ao, n˜ao necessariamente regular e que pode conjugar elementos que tˆem formas e tamanhos diferentes. Este tipo de malha ´e frequentemente usada porque adapta-se facilmente a dom´ınios com geometrias irregulares. Em ambos os casos, estrutura (malha) de c´elulas ou malha auxiliar h´a dois aspectos importantes: os v´ertices que definem as c´elulas (ou elementos) n˜ao tˆem de depender dos n´os da discretiza¸c˜ao, i.e., a malha pode ser completamente independente da distribui¸c˜ao nodal. O outro aspecto, ´e o facto de o n´umero de pontos de integra¸c˜ao para cada uma das c´elulas poder ser vari´avel. Para determinar o n´umero de pontos a usar em cada c´elula pode-se usar v´arios crit´erios, alguns dos quais s˜ao descritos por Belytschko et al. [14] e Zhu et al. [117]. Cap´ıtulo 3 Exemplos Num´ericos em Problemas Lineares A partir do estudo feito no cap´ıtulo anterior, optou-se por seleccionar o m´etodo EFG. Para o efeito, implementou-se o m´etodo num c´odigo, usando como linguagem de programa¸c˜ao o Matlab para analizar alguns problemas no caso bidimensional cuja solu¸c˜ao anal´ıtica ´e conhecida. Pretendeu-se desta forma validar o c´odigo e comparar os resultados obtidos com os apresentados na literatura. Como tal, os seguintes exemplos de aplica¸c˜ao foram considerados: resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao de Laplace, problema de uma viga em consola com tens˜ao tangencial parab´olica na extremidade livre e de uma placa infinita com um orif´ıcio central. Inicialmente abordaram-se alguns aspectos relativos `a implementa¸c˜ao do m´etodo para estes exemplos de aplica¸c˜ao, tais como: a formula¸c˜ao variacional e a imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial. 61 CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 62 3.1 Aplica¸c˜ao do m´etodo EFG `a equa¸c˜ao de Poisson Como exemplo de um problema de valor na fronteira considera-se a seguinte equa¸c˜ao de Poisson com condi¸c˜oes do tipo Dirichlet: ∇2u=fem Ω,(3.1) u= ¯uem Γ.(3.2) De acordo com o desenvolvimento feito no cap´ıtulo 2 a forma fraca para a equa¸c˜ao (3.1) ´e dada por: ZΩ∇v∇u dΩ−ZΓ v(n∇u)dΓ = ZΩ fv dΩ.(3.3) 3.1.1 Formula¸c˜ao variacional para a equa¸c˜ao de Poisson Considera-se o seguinte espa¸co de solu¸c˜ao para as fun¸c˜oes tentativa H1 Γ(Ω) = u∈H1(Ω) |u= ¯uem Γ,(3.4) e o espa¸co para as fun¸c˜oes teste, H1 0(Ω) = v∈H1(Ω) |v= 0 em Γ,(3.5) em que H1(Ω), espa¸co de Sobolev de grau 1, Ω ⊂R2´e definido por H1(Ω) = f∈L2(Ω) : ∂f ∂xi∈L2(Ω), i = 1,2,(3.6) e L2(Ω) = f:ZΩ f2(x)dx < ∞.(3.7) O problema variacional associado `a equa¸c˜ao (3.1) ´e formalizado da seguinte CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 63 maneira: determinar u∈H1 Γ(Ω), tal que: α(u, v) = F(v),∀v∈H1 0(Ω),(3.8) em que α(u, v) = ZΩ∇v∇u dΩ,(3.9) F(v) = ZΩ fv dΩ.(3.10) Neste caso a forma bilinear α´e sim´etrica e cont´ınua e o problema descrito ´e equivalente `a minimiza¸c˜ao do seguinte funcional quadr´atico [96]: J(u) = ZΩ∇u∇u dΩ−ZΩ fu dΩu∈H1(Ω).(3.11) 3.1.2 Imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial Como j´a foi referido, aplicando o m´etodo dos elementos finitos `a formula¸c˜ao desenvolvida no ponto anterior, ´e poss´ıvel seleccionar fun¸c˜oes uevque perten¸cam respectivamente a H1 Γe a H1 0, o que permite a imposi¸c˜ao directa das condi¸c˜oes de fronteira essencial u= ¯uem Γ. Para os m´etodos sem malha cujas fun¸c˜oes de forma n˜ao tˆem car´acter interpolat´orio, ´e dif´ıcil seleccionar um subespa¸co de S⊂H1(Ω) tal que Spossa ser usado como espa¸co de solu¸c˜ao para as fun¸c˜oes tentativa (espa¸co de aproxima¸c˜ao) e ao mesmo tempo estas fun¸c˜oes verificarem a condi¸c˜ao de fronteira Dirichlet em S. Consequentemente torna-se necess´ario recorrer a outras alternativas para imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 64 3.1.2.1 M´etodo dos multiplicadores de Lagrange A solu¸c˜ao do problema descrito pelas equa¸c˜oes (3.1) e (3.2) pode ser obtido como a solu¸c˜ao do seguinte problema de minimiza¸c˜ao com restri¸c˜ao: Minimizar o funcional J(u) = ZΩ∇u∇u dΩ−ZΓ v(n∇u)dΓ−ZΩ fu dΩ,(3.12) sujeito `a restri¸c˜ao u= ¯u em Γ.(3.13) Recorrendo ao m´etodo do multiplicador de Lagrange define-se o seguinte funcional Lem H1(Ω) ×H−1/2(Γ) por: L(u, λ) = J(u)+ < λ, u −¯u >, (3.14) =J(u) + ZΓ λ(u−¯u)dΓ,(3.15) onde <·,·>representa o produto interno definido em L2(Ω) (3.7). O novo princ´ıpio variacional associado `as equa¸c˜oes anteriores ´e dado por: determinar (u, λ)∈H1(Ω) ×H−1/2(Γ) tal que: ZΩ∇v∇u dΩ−ZΓ v(n∇u)−ZΓ vλ dΓ = ZΩ vf dΩ∀v∈H1(Ω),(3.16) ZΓ γ(u−¯u)dΓ = 0 ∀γ∈H−1 2(Γ),(3.17) em que γ´e a varia¸c˜ao do multiplicador de Lagrange (γ=δλ). Para discretizar o princ´ıpio variacional anterior ´e necess´ario escolher um espa¸co de interpola¸c˜ao para o multiplicador de Lagrange λ(x), em que Γurepresenta a fronteira onde CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 65 as condi¸c˜oes essenciais s˜ao impostas. Seguidamente apresentam-se algumas alternativas [42]: •interpola¸c˜ao ao longo de Γubaseada no m´etodo dos elementos finitos: λ(x) = X I∈IEF NI(s)λI,x∈Γu,(3.18) em que IEF ´e o conjunto de ´ındices dos n´os da malha de elementos finitos em Γu,NI(s) ´e o interpolador de Lagrange e s´e o comprimento do arco ao longo da fronteira. Para um ponto sdo e-´esimo elemento de fronteira definido por seese+1, o interpolador linear ´e definido por N1(s) = s−se se+1 −se , N2(s) = 1 −N1(s).(3.19) •interpola¸c˜ao baseada nas fun¸c˜oes de forma associadas exclusivamente aos n´os localizados em Tu. Neste caso, λ(x) = X I∈Iu φI(x)λI.(3.20) Iu´e o conjunto de ´ındices dos n´os localizados em Γu. Em geral, as fun¸c˜oes φIs˜ao as mesmas (n˜ao tˆem de ser necessariamente) que se usam para a aproxima¸c˜ao de uhno dom´ınio. •na interpola¸c˜ao considera-se todas as fun¸c˜oes de forma associados aos n´os (n˜ao se restringe apenas aos pertencentes a Γu) cujo suporte intersecta Γu. λ(x) = X I∈IΩu φI(x)λI.(3.21) IΩu´e o conjunto de ´ındices dos n´os do dom´ınio Ω cujo dom´ınio de influˆencia intersecta Γu. •m´etodo de coloca¸c˜ao directa, considera-se: λ(x) = X I∈I ˜ φI(x)λI,(3.22) em que ˜ φI(x) = δ(x−xI), δ´e a fun¸c˜ao delta de Dirac. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 66 Nesta descri¸c˜ao optou-se pela aproxima¸c˜ao definida em (3.18) porque ´e consistente e de f´acil implementa¸c˜ao. De facto, para problemas bidimensionais a defini¸c˜ao de uma malha de elementos para a fronteira Γu(malha de elementos unidimensional) n˜ao envolve grande custo computacional. A imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira essenciais, atrav´es do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, tem no entanto, a desvantagem de aumentar o n´umero de inc´ognitas do problema. No ˆambito dos m´etodos sem malha, quando se usa este m´etodo para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais ´e necess´ario definir separadamente, como foi referido, um conjunto de fun¸c˜oes para os multiplicadores de Lagrange. Segundo Babuˇska para se obter uma aproxima¸c˜ao num´erica convergente ´e necess´ario que os espa¸cos de aproxima¸c˜ao para o multiplicador Lagrange λe para os deslocamentos uverifiquem a condi¸c˜ao inf-sup e a condi¸c˜ao de estabilidade Babuska-Brezzi [4, 20]. Por esta raz˜ao, ´e preciso conjugar a selec¸c˜ao apropriada de fun¸c˜oes de forma para o multiplicador de Lagrange e para os deslocamentos, garantindo que as condi¸c˜oes de convergˆencia s˜ao verificadas. Mendez et al. [43] refor¸cam esta ideia, constatando que a aplica¸c˜ao do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais n˜ao ´e um processo simples. 3.1.2.2 M´etodo da fun¸c˜ao de penalidade Considere-se o problema de minimizar o funcional J(u) (3.12) sujeito `a restri¸c˜ao u= ¯uem Γ. O problema de minimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes pode ser resolvido com o m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade. Seja Pum funcional que satisfaz a condi¸c˜ao u= ¯uem Γ, por exemplo: P(u) = ZΓu 1 2(u−¯u)2dΓ.(3.23) P(u) ´e designado por fun¸c˜ao de penalidade. A partir de P(u), define-se um novo funcional: ˜ J(u) = J(u) + αu 2ZΓu (u−¯u)2dΓ,(3.24) CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 67 no qual o escalar αu1 ´e designado por parˆametro de penalidade. O problema de minimiza¸c˜ao reduz-se ent˜ao `a seguinte forma fraca: determinar u∈H1(Ω) tal que : ZΩ∇v∇u dΩ + αuZΓ vu dΓ = ZΩ vf +αuZΓ v¯u dΓ,∀v∈H1(Ω),(3.25) Este m´etodo, apesar de se basear num princ´ıpio variacional modificado n˜ao introduz nenhuma vari´avel adicional, o que n˜ao acontece no m´etodo dos multiplicadores de Lagrange. A solu¸c˜ao do princ´ıpio variacional obtido tende para a solu¸c˜ao correcta quando αu→+∞. 3.1.3 Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Poisson pelo m´etodo EFG Seja Shum subespa¸co de Hilbert de dimens˜ao finita gerado pelas fun¸c˜oes de forma φI. Considere-se a discretiza¸c˜ao da forma variacional (3.16), segundo a formula¸c˜ao de Galerkin em que as fun¸c˜oes tentativa e teste pertencem ao mesmo subespa¸co Sh. As aproxima¸c˜oes uhevh, respectivamente para fun¸c˜oes tentativa e teste definem-se segundo o m´etodo EFG por: u≃uh(x) = X I∈Ω φI(x)uI=Nuˆu,(3.26) v≃vh(x) = X I∈Ω φI(x)vI=Nvˆv,(3.27) e as varia¸c˜oes δu eδv, s˜ao respectivamente dadas por: δu ≃X I∈Ω φI(x)δuI=Nuδˆu,(3.28) δv ≃X I∈Ω φI(x)δvI=Nvδˆv.(3.29) CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 68 3.1.3.1 Caso 1: M´etodo dos multiplicadores de Lagrange Para o multiplicador de Lagrange, tem-se de forma geral que: λ=Nλˆ λ,(3.30) δλ=Nλδˆ λ,(3.31) e no sentido de minimizar o funcional L(u,λ) tem-se que: δL(u,λ) = ZΩ δˆuT(∇Nu)T(∇Nu)ˆu dΩ−ZΩ δˆuTNuTf dΩ +ZΓ δˆ λTNλT(Nuˆu −¯u)dΓ + ZΓ δˆuTNuNλˆ λdΓ = 0,(3.32) ou ainda δL(u,λ) =δˆuTZΩ (∇Nu)T(∇Nu)dΩˆu −ZΩ NuTf dΩ +δˆ λTZΓ NλT(Nuˆu −¯u)dΓ + δˆuTZΓ NuNλdΓˆ λ= 0.(3.33) Nesta descri¸c˜ao opta-se para espa¸co de interpola¸c˜ao do multiplicador de Lagrange uma aproxima¸c˜ao baseada no m´etodo dos elementos finitos, dada pela equa¸c˜ao (3.18). A equa¸c˜ao anterior verifica-se para qualquer δueδλ, resultando no seguinte sistema de equa¸c˜oes: "K G GT0#(ˆu ˆ λ)=(f q),(3.34) em que KIJ =ZΩ (φI,xφI,y +φJ,xφJ,y)dΩ, I, J = 1,2, .....N, (3.35) GIK =−Z Γu φINKdΓ,(3.36) fI=ZΩ φIf dΩ,(3.37) qK=−Z Γu NKu dΓ,(3.38) CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 75 3.2 Equa¸c˜oes para elasticidade bidimensional 3.2.1 Equa¸c˜oes de equil´ıbrio Considere-se o seguinte problema bidimensional associado ao comportamento el´astico de um s´olido, para o dom´ınio Ω com fronteira Γ. A fronteira Γ ´e constitu´ıda por 2 partes complementares, Γue Γtcom Γ = Γu∪Γte Γu∩Γt=∅. As equa¸c˜oes de equil´ıbrio s˜ao dadas por: ∇·σ+b= 0,(3.48) sendo σ=C:ε, ε=1 2(∇u+ (∇u)T), em que σ(u) ´e o tensor das tens˜oes de Cauchy correspondente ao campo de deslocamentos ueb´e o vector das for¸cas externas que actua no corpo. As condi¸c˜oes de fronteira s˜ao dadas por: σ·n=tem Γt(3.49) u=¯u em Γu,(3.50) em que n´e o vector normal unit´ario `a fronteira Γte¯ te¯u s˜ao os respectivos valores de trac¸c˜ao e deslocamentos prescritas em Γte Γu. Na equa¸c˜ao ∇u´e um tensor de segunda ordem que resulta do produto di´adico dos vectores ∇eu, i.e: ∇u=∇⊗u=ui,j.(3.51) O tensor C´e o tensor de quarta ordem das constantes el´asticas. 3.2.2 Formula¸c˜ao variacional A formula¸c˜ao fraca para o problema descrito pelas equa¸c˜oes 3.48-3.50 consiste em determinar u∈V= (H1 Γ(Ω))2ev∈V0= (H1 0(Ω))2tal que, multiplicando a CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 76            Γ  Ω  Γ  Figura 3.6: Problema de valor na fronteira elastost´atico. equa¸c˜ao (3.48) por v∈H1 0(Ω) e integrando por partes, obtem-se: −ZΩ ∇v:σdΩ + ZΓ v(σ·n)dΓ + ZΩ v·bdΓ = 0.(3.52) Aplicando o Teorema de Cauchy resulta: −ZΩ ∇v:σdΩ + ZΩ v·bdΩ + ZΓ v·¯ tdΓ = 0.(3.53) O operador (:) ´e a contrac¸c˜ao entre os tensores de segunda ordem, ∇veσcujo resultado ´e o escalar dado por: ∇v:σ=vi,jσij.(3.54) Substituindo (3.54) no primeiro termo de (3.53) resulta: ZΩ σ(u) : ε(v)dΩ = ZΩ v·bdΩ + ZΓ v·¯ tdΓ.(3.55) Considerando que v= 0 na fronteira Γu, a forma fraca ou variacional associada `a equa¸c˜ao envolve determina¸c˜ao u∈Vtal que: CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 77 ZΩ σ(u) : ε(v)dΩ = ZΩ v·bdΩ + ZΓt v·¯ tdΓ,∀v∈V0.(3.56) Quando se pretende aplicar um m´etodo sem malha cujas fun¸c˜oes de forma n˜ao tem car´acter interpolat´orio a discretiza¸c˜ao directa da forma fraca (eq. 3.56), tal como se faz no MEF, n˜ao ´e suficiente porque as condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial n˜ao s˜ao verificadas. Por esta raz˜ao, apresentam-se duas implementa¸c˜oes alternativas, m´etodo dos multiplicadores de Lagrange e m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais. 3.2.2.1 M´etodo dos multiplicadores de Lagrange Para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais atrav´es do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, como vimos anteriormente, ´e necess´ario reformular a forma fraca associada `a equa¸c˜ao (3.56), incluindo a restri¸c˜ao: G(u) = u−¯ u,em Γu,(3.57) obtendo-se L(u, λ) = ZΩ σ(u) : ε(v)dΩ+ZΩ v·bdΩ+ZΓt v·¯ tdΓ+ZΓu λ(u−¯u)dΓ.(3.58) Para discretizar a equa¸c˜ao da forma fraca (3.58) consideram-se as aproxima¸c˜oes definidas pelo m´etodo EFG, uhevhpara as fun¸c˜oes tentativa e fun¸c˜oes teste, u evrespectivamente: uh(x) = N X I=1 φI(x)uI,(3.59) vh(x) = N X I=1 φI(x)vI.(3.60) A discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.58) requer uma aproxima¸c˜ao para λ, multiplicador CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 78 de Lagrange. De forma semelhante ao que foi feito para a equa¸c˜ao de Laplace, optou-se por uma interpola¸c˜ao baseada no MEF (3.18). As equa¸c˜oes discretas finais obtˆem-se por substitui¸c˜ao das fun¸c˜oes b´asicas, fun¸c˜oes teste e multiplicador de Lagrange (3.18) na forma fraca resultando o seguinte sistema final: "K G GT0#(b u b λ)=(f q),(3.61) KIJ =ZΩ BT ICBJdΩ, i, j = 1,2, .....N, (3.62) GIK =−Z Γu φINKdΓ,(3.63) fI=ZΩ φIbdΩ + Z Γt φItdΓ,(3.64) qK=−Z Γu NKudΓ,(3.65) em que C, a matriz constitutiva para um material is´otr´opico est´atico linear ´e: C=¯ E 1−¯v2    1 ¯v0 ¯v1 0 0 0 (1 −¯v)/2    ,(3.66) e ¯ E=   E, para estado plano de tens˜ao, E 1−ν, para estado plano de deforma¸c˜ao, (3.67) ¯v=   v, para estado plano de tens˜ao, v 1−v, para estado plano de deforma¸c˜ao, (3.68) e em que Eeνs˜ao respectivamente o m´odulo de Young e o coeficiente de Poisson. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 79 A matriz NK´e definida pela equa¸c˜ao 3.39 e a matriz BIdas derivadas parciais das fun¸c˜oes de forma ´e dada por: BI=    φI,x 0 0φI,y φI,y φI,x    .(3.69) 3.2.2.2 M´etodo da fun¸c˜ao de penalidade De forma an´aloga ao procedimento efectuado para a equa¸c˜ao de Poisson, aplicando o m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais tem-se que L(u) = ZΩ σ(u) : ε(v)dΩ + ZΩ v·bdΩ + ZΓt v·¯ tdΓ + 1 2ZΓu αu(u−¯u)2dΓ. (3.70) Para discretizar a equa¸c˜ao da forma fraca (3.70) consideram-se as aproxima¸c˜oes definidas pelo m´etodo EFG, uhevhpara as fun¸c˜oes tentativa e fun¸c˜oes teste, u evdefinidas pelas equa¸c˜oes 3.59 e 3.60. As equa¸c˜oes resultantes s˜ao: (K+Ku)b u= (f+fu),(3.71) em que o escalar αu´e o parˆametro de penalidade, K,f,CeBIs˜ao dados respectivamente pelas equa¸c˜oes (3.62, 3.64, 3.66 e 3.69). Kuefudefinem-se por: Ku IJ =αuZ Γu φISφJdΓ,(3.72) fu I=αuZ Γu φISu dΓ,(3.73) em que: S="S10 0S2#eSi=(1 se uiest´a prescrito em Γu, 0 se uin˜ao est´a prescrito em Γu, i=1,2. (3.74) CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 80 3.2.3 Aplica¸c˜ao ao caso de uma viga em consola com tens˜ao tangencial parab´olica na extremidade livre O comportamento do m´etodo EFG, com a formula¸c˜ao da penalidade e multiplicadores de Lagrange foi analizada num problema simples de uma viga em consola em que ´e poss´ıvel obter a solu¸c˜ao te´orica para permitir aferir o desempenho do m´etodo EFG. Considere-se uma viga em consola, de comprimento L, altura De largura unit´aria, submetida a um carregamento de distribui¸c˜ao parab´olica na extremidade livre, conforme representado na figura 3.7. A solu¸c˜ao anal´ıtica para os deslocamentos, neste problema ´e dada por Timoshenko e Goodier [113]: ux(x, y) = −Py 6¯ EI 6L−3xx+2 + ¯νy2−D2 4,(3.75) uy(x, y) = P 6¯ EI 3¯νy2L−xx+4 + 5¯νD2x 4+3L−xx2,(3.76) em que I, momento de in´ercia, que no caso de uma viga de sec¸c˜ao transversal rectangular e largura unit´aria ´e dada por: I=D3 12 .(3.77) As tens˜oes correspondentes aos deslocamentos obtidos pelas equa¸c˜oes s˜ao: σxx(x, y) = − PyL−x I,(3.78) σyy(x, y) = 0,(3.79) σxy(x, y) = P 2ID2 4−y2.(3.80) CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 81 O problema foi analizado em estado plano de tens˜ao com os seguintes parˆametros: L= 8, D = 1, P = 1 E= 103M´odulo de Young ν= 0,25 Coeficiente de Poisson αu= 109Parˆametro de penalidade e em estado plano de deforma¸c˜ao, nas condi¸c˜oes descritas anteriormente, em que se considerou tamb´em ν= 0,499. Sup˜oe-se que as dimens˜oes dos diferentes parˆametros s˜ao consistentes entre si. As seguintes condi¸c˜oes de fronteira foram impostas (figura 3.7): os deslocamentos uxeuys˜ao prescritos na fronteira Γu(extremidade esquerda) e as tens˜oes σxx s˜ao prescritos em Γt(extremidade direita). Os valores prescritos para deslocamentos e tens˜oes s˜ao calculadas a partir das equa¸c˜oes das respectivas solu¸c˜oes anal´ıticas. As condi¸c˜oes de fronteira podem-se representar, neste caso por: u(x, y) = u(x, y)∈ {0}×[−D/2, D/2] (3.81) σ·n=t(x, y)∈ {L}×[−D/2, D/2] (3.82) Para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais usou-se o m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade para a an´alise em estado plano de tens˜ao e o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange para o estado plano de deforma¸c˜ao. Considerou-se o seguinte parˆametro de penalidade: αu= 109. No modelo num´erico do problema considerou-se uma discretiza¸c˜ao regular do dom´ınio por 85 n´os, (17 ×5), distribu´ıdos respectivamente segundo a direc¸c˜ao do eixo dos xe dos y. Para calcular numericamente a matriz de rigidez usaram-se as c´elulas definidas naturalmente pelos n´os da discretiza¸c˜ao, com 4 ×4 pontos de Gauss por cada c´elula. A fun¸c˜ao de peso escolhida foi a spline c´ubica. Aplicou-se dom´ınio de influˆencia rectangular e hxehyforam calculados atrav´es das equa¸c˜oes 2.27 e 2.28. Procedeu-se ao estudo deste exemplo de aplica¸c˜ao, em estado plano de tens˜ao, atrav´es da implementa¸c˜ao EFG desenvolvida. Considerou-se o valor de CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 82 dmax = 3,5. Nas figuras 3.9 e 3.10, as solu¸c˜oes anal´ıticas para os deslocamentos uxeuy, no topo da viga s˜ao representados e comparados com os resultados obtidos pelo m´etodo EFG, nas condi¸c˜oes anteriormente definidas. A solu¸c˜ao obtida numericamente aproxima bem a solu¸c˜ao exacta. Nas figuras 3.11, 3.12 e 3.13 as solu¸c˜oes anal´ıticas para a tens˜oes normal , σxx e tens˜ao de corte σxy, s˜ao representadas ao longo do eixo x=L/2,−D/2≤y≤D/2 e comparadas com os resultados obtidos. Na an´alise em estado plano de deforma¸c˜ao considerou-se o modelo num´erico descrito anteriormente, optando-se neste caso por dmax = 3,5. Os resultados obtidos s˜ao apresentados na tabela 3.2 e os valores assinalados com o s´ımbolo ∗ foram retirados de um estudo feito por Belytschko et al. [14]. A solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo EFG, no modelo num´erico implementado ´e ligeiramente diferente da obtida por Belytschko et al. [14]. Esta diferen¸ca pode ser devida ao facto de ter sido usada a fun¸c˜ao de peso exponencial com um crit´erio de escolha do dom´ınio de influˆencia bastante diferente, assim como o processo de integra¸c˜ao num´erica tamb´em ser diferente [14]. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 83      Γ  Figura 3.7: Exemplo de um problema bidimensional-viga em consola.  Figura 3.8: Discretiza¸c˜ao nodal para o modelo da viga em consola (105 n´os). CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 84 uh y/uyno ponto A Estado Plano de Deforma¸c˜ao Caso 1 Caso 2 M´etodo ν= 0,25 ν= 0,4999 FEM∗0,824 0,027 EFG∗: base linear 0,999 1,045 EFG∗: base quadr´atica 1,00 1,002 EFG : base linear 1,004 0,956 EFG : base quadr´atica 1,004 1,006 Tabela 3.2: Compara¸c˜ao dos valores obtidos para o quociente de deflex˜ao no estudo feito para o exemplo da viga. Os valores assinalados com ∗foram retirados da referˆencia [14]. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 91       σ  σ   σ  Figura 3.14: Geometria de uma placa com orif´ıcio central; trac¸c˜ao e corte s˜ao prescritos de acordo com a solu¸c˜ao da placa infinita. CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 92 01234 0 1 2 3 4 x y Figura 3.15: Caso 1: distribui¸c˜ao nodal do tipo I(99 n´os). 01234 0 1 2 3 4 x y Figura 3.16: Caso 2: distribui¸c˜ao nodal do tipo I(135 n´os). CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 93 01234 1 2 3 4 x y Figura 3.17: Caso 3: distribui¸c˜ao nodal do tipo II (101 n´os). 01234 0 1 2 3 4 x y Figura 3.18: Caso 4: distribui¸c˜ao nodal do tipo II (361 n´os). CAP´ ITULO 3. EXEMPLOS NUM´ ERICOS EM PROBLEMAS LINEARES 94 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y xx Solução Exacta EFG: 135 nós EFG: 99 nós Figura 3.19: Tens˜ao normal σ11 em x= 0 para o problema da placa com um orif´ıcio circular central. As distribui¸c˜oes nodais consideradas nesta solu¸c˜ao correspondem `as das figuras 3.15 e 3.16. 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 y xx Solução exacta EFG: 361 nós EFG: 101 nós Figura 3.20: Tens˜ao normal σ11 em x= 0 para o problema da placa com um orif´ıcio circular central. As distribui¸c˜oes nodais consideradas nesta solu¸c˜ao correspondem `as das figuras 3.17 e 3.18. Cap´ıtulo 4 Aplica¸c˜ao do M´etodo sem Malha EFG na Simula¸c˜ao de Processos de Enforma¸c˜ao Pl´astica 4.1 Introdu¸c˜ao A simula¸c˜ao num´erica de processos de enforma¸c˜ao pl´astica ´e em geral, obtida a partir de duas aproxima¸c˜oes que se designam por aproxima¸c˜ao s´olida e aproxima¸c˜ao fluida ou de escoamento pl´astico (”flow approach”, na simbologia inglesa). Basicamente, caracterizam-se da seguinte maneira: •aproxima¸c˜ao s´olida − considera que o material se comporta como um s´olido elasto-pl´astico ou el´astico visco-pl´astico; •aproxima¸c˜ao fluida ou de escoamento pl´astico − considera que o material tem um comportamento semelhante a um fluido viscoso incompress´ıvel (n˜ao Newtoniano) ou visco-pl´astico. 95 CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 96 Os primeiros programas para estudo de processos de enforma¸c˜ao pl´astica, foram desenvolvidos na ´epoca dos anos 60, aplicavam o m´etodo dos elementos finitos e baseavam-se na formula¸c˜ao s´olida para deforma¸c˜oes infinitesimais. Esta formula¸c˜ao tinha a desvantagem de n˜ao permitir analizar as n˜ao-lineariedades associadas a grandes deforma¸c˜oes que s˜ao caracter´ısticas neste tipo de processos. A formula¸c˜ao fluida ou de escoamento pl´astico foi apresentada no in´ıcio dos anos 70 por Goon [47] , mais tarde desenvolvida por Lee e Kobayashi [62] para materiais r´ıgidos pl´asticos e por Zienkiewicz e Godbole para materiais visco-pl´asticos [119]. Esta formula¸c˜ao era bastante mais apelativa pela simplifica¸c˜ao resultante da n˜ao considera¸c˜ao das deforma¸c˜oes el´asticas, o que ´e admiss´ıvel visto que nestes processos as deforma¸c˜oes el´asticas s˜ao em geral insignificantes, comparativamente `as elevadas deforma¸c˜oes pl´asticas ou visco-pl´asticas que se produzem. Uma grande vantagem desta formula¸c˜ao versus formula¸c˜ao s´olida infinitesimal tem a ver com o facto de poder alcan¸car grandes n´ıveis de deforma¸c˜ao e de rota¸c˜ao. A principal dificuldade em simular processos de enforma¸c˜ao pl´astica est´a directamente relacionado com o tratamento em simultˆaneo de diferentes tipos de n˜ao lineariedade (cinem´aticas, f´ısicas e resultantes do contacto e do atrito), que se podem resumidamente caracterizar da seguinte forma: •cinem´aticas − s˜ao devidas a grandes deslocamentos, rota¸c˜oes e deforma¸c˜oes que surgem durante o processo; •f´ısicas − s˜ao consequˆencia do comportamento pl´astico e viscopl´astico do material em grandes deforma¸c˜oes; •resultantes do contacto e do atrito − s˜ao consequˆencia dos fen´omenos do contacto e do atrito que tˆem lugar nas superf´ıcies de contacto entre a pe¸ca e as ferramentas. A simula¸c˜ao destes processos atrav´es do m´etodo dos elementos finitos est´a bem consolidada, quer a partir da formula¸c˜ao de escoamento pl´astico ou fluido e da formula¸c˜ao s´olida. A formula¸c˜ao de escoamento pl´astico tem sido muito CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 97 mais usada para processos de enforma¸c˜ao pl´astica em massa, principalmente para extrus˜ao e forjamento. Esta formula¸c˜ao tem uma implementa¸c˜ao mais f´acil e computacionalmente n˜ao muito dispendiosa. Neste trabalho optou-se pela formula¸c˜ao de escoamento pl´astico. No presente cap´ıtulo come¸ca-se por descrever as equa¸c˜oes constitutivas para o escoamento pl´astico, optando-se pelo m´etodo de penalidade para impor a condi¸c˜ao de incompressibilidade de deforma¸c˜ao pl´astica. A partir do princ´ıpio variacional associado `a formula¸c˜ao irredut´ıvel, aplica-se o m´etodo EFG e v´arios aspectos s˜ao detalhados, tais como: constru¸c˜ao das fun¸c˜oes de forma, imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira essenciais e tratamento do contacto e do atrito na zona de contacto entre a pe¸ca e as ferramentas. 4.2 Modelo constitutivo para o escoamento pl´astico Para a modela¸c˜ao dos processos de enforma¸c˜ao pl´astica que se pretende abordar considera-se uma formula¸c˜ao r´ıgido pl´astica regida pelas equa¸c˜oes [93, 94]: s= 2µ˙ε(4.1) µ=¯σ 3˙ ¯ε(4.2) p=−1 3tr(σ) (4.3) ¯σ=Y0(¯ε) (4.4) tr(˙ε) = 0 (4.5) s=σ+pI(4.6) onde µ´e a viscosidade, σ´e o tensor das tens˜oes de Cauchy, p´e a press˜ao hidrost´atica, s´e o tensor das tens˜oes desviadoras, ˙ε´e a taxa de deforma¸c˜ao, ¯σ´e a tens˜ao efectiva, ˙ ¯ε´e a taxa de deforma¸c˜ao efectiva e Y0(¯ε) ´e a fun¸c˜ao de escoamento pl´astico. As equa¸c˜oes de equil´ıbrio, condi¸c˜oes de fronteira, condi¸c˜ao de incompressibilidade CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 98 e equa¸c˜oes constitutivas para o problema da enforma¸c˜ao pl´astica podem ser obtidas a partir do princ´ıpio variacional associado ao funcional que representa a energia potencial Π(v, p) dada por: Π(v, p) = ZV 1 2s:˙εdV −ZV p tr(˙ε)dV −ZV b·vdV −ZΓt t·vdΓ+ZΓf ∆vtτ dΓ, (4.7) no qual v´e o vector velocidade, p´e a press˜ao, bets˜ao respectivamente os vectores das for¸cas de volume e de superf´ıcie que actuam no corpo. ∆vteτs˜ao respectivamente a velocidade tangencial relativa e a tens˜ao tangencial em Γf, superf´ıcie de contacto entre a pe¸ca e a ferramenta. 4.2.1 Imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao de incompressibilidade Existem v´arias t´ecnicas para impor a condi¸c˜ao de incompressibilidade (4.5), sendo as mais usadas as seguintes: m´etodo dos multiplicadores de Lagrange e m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade. O segundo termo da segundo membro da equa¸c˜ao (4.7) pode ser visto como a imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao de incompressibilidade atrav´es do multiplicador de Lagrange p, a press˜ao. Por aplica¸c˜ao do m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, as vari´aveis principais s˜ao as velocidades nodais ve os multiplicadores de Lagrange λ. Quando se recorre `a discretiza¸c˜ao do princ´ıpio variacional associado a Π(v, p), atrav´es do m´etodo dos elementos finitos, o sistema de equa¸c˜oes resultante apresenta termos nulos na diagonal principal, o que origina problemas quando se usa o m´etodo de Gauss [103]. Um procedimento habitual para resolver esta quest˜ao, consiste em tratar as equa¸c˜oes relativas `a restri¸c˜ao depois de todos os graus de liberdade aos quais est˜ao ligadas. Outra alternativa ´e usar o m´etodo do Lagrangeano com perturba¸c˜ao [22]. Se a condi¸c˜ao de incompressibilidade for imposta pelo m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade o segundo termo do segundo membro da equa¸c˜ao (4.7) ´e substituido CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 99 pela express˜ao αZV tr(˙ε)2dV, (4.8) em que α, o parˆametro de penalidade, ´e um n´umero positivo grande. Neste caso, a press˜ao ´e eliminada como uma vari´avel de campo e obtem-se ent˜ao a seguinte formula¸c˜ao irredut´ıvel: Π(v) = ZV 1 2s:˙εdV −ZV b·vdV −ZΓt t·vdΓ+ZΓf 1 2∆vtτ dΓ+αZV tr(˙ε)2dV. (4.9) O m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade tem a vantagem de originar uma forma irredut´ıvel, em que a ´unica vari´avel independente ´e o campo de velocidades v. Como tal, n˜ao aumenta o n´umero de vari´aveis do problema nem o n´umero de equa¸c˜oes. No entanto este m´etodo tem os seguintes problemas [22]: •efeito de bloqueamento da solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes − usando este m´etodo, o aumento do valor de αteoricamente conduziria a uma melhoria na aproxima¸c˜ao da condi¸c˜ao de incompressibilidade. Pode acontecer, no entanto, que a solu¸c˜ao real se desvie para a solu¸c˜ao trivial (solu¸c˜ao nula), obtendo-se o que usualmente se designa por bloqueamento da solu¸c˜ao do sistema; •mau condicionamento no sistema de equa¸c˜oes − o termo (4.8) para valores de αmuito elevados pode introduzir mau condicionamento da matriz de rigidez global do sistema. Para evitar o bloqueamento da solu¸c˜ao do sistema ´e usual a utiliza¸c˜ao de uma t´ecnica de integra¸c˜ao num´erica selectivamente reduzida. Esta t´ecnica foi usada por Zienkiewicz et al. [121, 120], primeiro na an´alise de elementos casca e posteriormente no estudo de escoamentos pl´asticos incompress´ıveis. Para a segunda quest˜ao, mau condicionamento do sistema, uma estrat´egia ´e aplicar um processo iterativo que permita utilizar valores mais baixos de α[78]. CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 100 4.2.2 Imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira Na formula¸c˜ao dada pela equa¸c˜ao (4.9) as condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial n˜ao foram introduzidas. Quando esta formula¸c˜ao ´e usada no contexto do m´etodo dos elementos finitos ´e poss´ıvel utilizar fun¸c˜oes de forma que assegurem a imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira essenciais. De facto, as fun¸c˜oes de forma definidas segundo o m´etodo dos elementos finitos s˜ao interpoladoras, visto que satisfazem o crit´erio de Kronecker e consequentemente as condi¸c˜oes de fronteira essenciais podem ser impostas directamente. No m´etodo EFG, tal como foi abordado no cap´ıtulo 2, as fun¸c˜oes de forma φIn˜ao tˆem car´acter interpolat´orio (φI(xJ)6=δIJ ). Por isso, para esse caso ser´a necess´ario introduzir aquelas condi¸c˜oes. Neste trabalho escolheu-se o m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade para impor as condi¸c˜oes de fronteira do tipo essencial, que n˜ao envolvem o problema do contacto, que consiste em acrescentar `a equa¸c˜ao variacional dada pela equa¸c˜ao (4.9) o seguinte termo: αu 2ZΓu (v−¯v)T(v−¯v)dΓ.(4.10) O funcional modificado ´e dado por: Π(v) = ZV 1 2s:˙εdV −ZV b·vdV −ZΓt t·vdΓ + ZΓf 1 2∆vtτ dΓ +αZV tr(˙ε)2dV +αu 2ZΓu (v−¯v)T(v−¯v)dΓ,(4.11) em que αu´e um n´umero positivo grande, um factor de penalidade para impor as condi¸c˜oes de fronteira essenciais em Γu. CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 107 Π(v) = ZV 1 2s:˙εdV −ZV b·vdV −ZΓt t·vdΓ + ZΓf 1 2∆vtτ dΓ +αZV tr(˙ε)2dV +αu 2ZΓu (v−¯v)T(v−¯v)dΓ + αf 2ZΓf (∆vn)2dΓ, (4.36) o qual pode ser reescrito da seguinte forma: Π(v) = ZV 1 2s:˙εdV −ZV b·vdV −ZΓt t·vdΓ + ZΓf 1 2∆v·σfdΓ +αZV tr(˙ε)2dV +αu 2ZΓu (v−¯v)T(v−¯v)dΓ,(4.37) em que σf´e o vector das tens˜oes para pontos da zona de contacto. A partir do princ´ıpio variacional associado a este funcional ´e poss´ıvel obter σn, tens˜ao de contacto normal a partir de σn=αf∆vn.(4.38) Considerando que a tens˜ao tangencial τ´e dada pela equa¸c˜ao (4.29) e σn, tens˜ao de contacto normal ´e imposta pela equa¸c˜ao (4.38), o vector das tens˜oes, σfpara pontos da zona de contacto ´e dado por: σf="τ σn#="τf k∆vtk0 0αf#"∆vt ∆vn#=Df∆v.(4.39) O contacto e o atrito tal como foram descritos no ponto anterior s˜ao introduzidos atrav´es de uma camada de elementos finitos de contacto [23, 51], figura 4.1. Considera-se assim que as velocidades dos n´os do elemento de contacto ligados `a pe¸ca deformada s˜ao aproximadas por uma formula¸c˜ao acoplada entre os elementos finitos de contacto e a formula¸c˜ao EFG constru´ıda no dom´ınio da pe¸ca. Sejam nfenpo n´umero de n´os para a discretiza¸c˜ao da ferramenta e da pe¸ca, respectivamente. Os ´ındices dos n´os na interface, IfeIps˜ao dados por: CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 108 Ferramenta Peça Interface A B Figura 4.1: Elemento de interface 2D.       η , ty, byξ , tx, bx     η ξ ξ=−1 ξ=1 Figura 4.2: Elemento de contacto. CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 109 If={i1, i2,···inf},(4.40) Ip={j1, j2,···jnp},(4.41) em que N=nf+np.(4.42) Define-se uma camada de (nf−1) elementos de contacto de 4 n´os ao longo da superf´ıcie, figura 4.2. Para cada elemento de contacto ´e definido um sistema de coordenadas local na coordenada natural ξ,−1≤ξ≤1, figura 4.2. Seja eum elemento de contacto. A velocidade relativa em qualquer ponto do elemento de contacto e´e definida por: r(ξ) = N1(ξ)(v(x1)−v(x2)) + N2(ξ)(v(x4)−v(x3)),(4.43) onde v(x1) e v(x4) s˜ao as velocidades nos n´os do topo do elemento (ferramenta) ev(x2) e v(x3) as velocidades nos n´os da base do elemento (pe¸ca). Ni´e a fun¸c˜ao de forma associada ao i-´esimo n´o ( localizado no topo do elemento e), que se exprime em termos da coordenada local ξpor: Ni=1 2(1 + ξξi), i = 1,2.(4.44) Matricialmente, r(ξ) = "N10−N10−N20N20 0N10−N10−N20N2#                  vl x1 vl y1 vl x2 vl y2 vl x3 vl y3 vl x4 vl y4                  ,(4.45) CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 110 r(ξ) = Nvl,(4.46) em que vlcont´em as velocidades locais dos n´os do elemento. Para um elemento de contacto (espessura nula), atrav´es da formula¸c˜ao isoparam´etrica tem-se que: x=N1(ξ)x1+N2(ξ)x2,(4.47) y=N1(ξ)y1+N2(ξ)y2,(4.48) em que xieyirepresentam as coordenadas nodais para o mesmo elemento. Considerando que as velocidades locais vlpodem ser obtidas a partir das velocidades globais vce da matriz AΘ(ξ) de transforma¸c˜ao por: vl≡"vl x vl y#=AΘ(ξ)vc,(4.49) em que AΘ(ξ) = "cos θsin θ −sin θcos θ#, θ = tan−1∂y/∂ξ ∂x/∂ξ (4.50) evc=hvc xvc yiT. As velocidades r(ξ) podem ser reescritas por: r(ξ) = NAΘ(ξ)vc,(4.51) em que a matriz Nfoi definida anteriormente e o vector vccontem as velocidades nodais (n´os 1 , 2 , 3 e 4) em coordenadas globais. No sentido de calcular vc, considera-se que para o elemento representado na figura 4.2, as velocidades nos n´os 1 e 4 s˜ao calculadas segundo a formula¸c˜ao MEF, enquanto que as dos n´os 2 e 3 atrav´es da aproxima¸c˜ao baseada no m´etodo EFG. Considerando que as CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 111 velocidades nos n´os da base do elemento s˜ao dadas por: v(x2) = X I∈Ip φI(x2)vI,(4.52) v(x3) = X I∈Ip φI(x3)vI,(4.53) em que Ipcorresponde aos ´ındices dos n´os da pe¸ca (discretiza¸c˜ao da pe¸ca) e que v(x1) e v(x4), pelo MEF, o vector vcpode ser reescrito por: vc=                  vc x1 vc y1 vc x2 vc y2 vc x3 vc y3 vc x4 vc y4                  =               Bc1 Bc2 Bc3 Bc4                                  vx1 vy1 vx2 vy2 ··· ··· ··· vxN vyN                    =Bcˆ v,(4.54) em que as matrizes Bc1,Bc2,Bc3,Bc4,⊂R2×2Ns˜ao definidas por: Bc1="0··· ··· 0 1 0 0 ··· ··· 0 0··· ··· 0 0 1 0 ··· ··· 0#,(4.55) ↓ ↓ (2n1−1)−´esima coluna (2n1)−´esima coluna Bc2="··· φj10··· 0 0 ··· φjk0··· ··· 0φj1··· 0 0 ··· 0φjk···#,(4.56) Bc3="··· φr10··· 0 0 ··· φrl0··· ··· 0φr1··· 0 0 ··· 0φrl···#,(4.57) CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 112 Bc4="0··· 0··· 1 0 ··· 0··· 0 0··· 0··· 0 1 ··· 0··· 0#,(4.58) ↓ ↓ (2n4−1)−´esima coluna (2n4)−´esima coluna em que n1, n2, n3, n4s˜ao os ´ındices dos n´os 1,2,3,4 respectivamente no mapa de conectividades global. Os conjuntos In2={j1, j2,···jk}eIn3={r1, r2,···rl} contˆem respectivamente os ´ındices dos n´os que pertencem aos dom´ınios de influˆencia dos n´os 2 e 3. Tem-se ent˜ao que: r(ξ) = Bfˆ v,(4.59) em que Bf=NAΘ(ξ)Bc.(4.60) O vector ˆ vcont´em os parˆametros nodais correspondentes `a discretiza¸c˜ao da pe¸ca e da ferramenta. A matriz de rigidez associada ao elemento de contacto ´e ent˜ao obtida sob a forma usual: Kf=ZΓf BT fDfBfdV. (4.61) 4.4 Sistema final Considerando que o dom´ınio de interesse ´e discretizado por Nn´os e usando um procedimento an´alogo ao que ´e usual na aplica¸c˜ao do m´etodo dos elementos CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 113 finitos, substituindo as equa¸c˜oes (4.14) a (4.28) no princ´ıpio variacional obtido a partir de (4.37) resulta o seguinte sistema de equa¸c˜oes n˜ao linear: Kˆv =f,(4.62) em que K=Kd+Kh+Ku+Kf, Kd IJ =ZΩ BT I◦ DBJdV, Kh IJ =ZΩ αBT ImmTBJdV, Ku IJ =αuZΓu φISφJdΓ, Kf=ZΓf BT fDfBfdV, fI=ZΓt φI¯ tdΓ + αuZΓu φIS¯v dΓ, BI=      φI,r 0 0φI,z 1 rφI0 φI,z φI,r      , S="S10 0S2#, Si=(1 se viest´a prescrito em Γu, 0 se vin˜ao est´a prescrito em Γu,(4.63) e◦ D,Df,Bf, s˜ao definidas respectivamente pelas equa¸c˜oes (4.24), (4.39), (4.60) e as fun¸c˜oes φIs˜ao as fun¸c˜oes de forma definidas no m´etodo EFG. CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 114 4.4.1 Integra¸c˜ao Num´erica Para obter a matriz de rigidez global Ke o vector fque fazem parte das equa¸c˜oes discretas, resultantes da aplica¸c˜ao m´etodo EFG ´e necess´ario calcular integrais sobre o dom´ınio Ω, fronteiras Γu, Γte superf´ıcie de contacto Γf. Para efectuar o c´alculo num´erico dos integrais envolvidos, dom´ınio e fronteiras s˜ao subdivididos em subdom´ınios, ou c´elulas de integra¸c˜ao, existindo v´arias possibilidades, as quais foram descritas no cap´ıtulo 2. A divis˜ao do dom´ınio Ω em c´elulas de integra¸c˜ao Ωepode ser independente da discretiza¸c˜ao que se considerou para definir a aproxima¸c˜ao segundo o m´etodo EFG. Neste trabalho, para c´alculo num´erico de integrais ao longo do dom´ınio, para a matriz K, considerou-se uma estrutura de integra¸c˜ao formada por elementos ou c´elulas quadril´ateros Ωe, em que os v´ertices de cada c´elula s˜ao os n´os da discretiza¸c˜ao para Ω. Neste caso, representa-se por Ω = ∪Ne e=1Ωe.(4.64) A estrat´egia adoptada, neste trabalho para a malha de integra¸c˜ao deve-se ao facto de se tratar de um processo n˜ao estacion´ario, em que em cada intervalo de tempo h´a uma actualiza¸c˜ao da geometria e altera¸c˜ao da fronteira do dom´ınio. No c´odigo desenvolvido, utilizou-se o Matlab como linguagem de programa¸c˜ao. O recurso a um gerador de malhas autom´atico, externo a partir do Matlab n˜ao foi vi´avel. De facto, dentro desta aplica¸c˜ao a ´unica possibilidade foi utiliza¸c˜ao da fun¸c˜ao interna pdemesh, que serve para definir malhas triangulares, mas que oferece pouca flexibilidade porque n˜ao ´e propriamente um gerador de malhas. Considere-se Ωeum elemento da malha de integra¸c˜ao, conforme apresentado na figura 4.3. Sejam ζ= (ξ, η) as coordenadas do quadrado unit´ario, tal que (ξ, η)∈ [−1,1] ×[−1,1]. Para um elemento isoparam´etrico ecom Ne nn´os tem-se: xe= Ne n X i=1 Ni(ζ)xi,(4.65) CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 115 ye= Ne n X i=1 Ni(ζ)yi,(4.66) em que Nis˜ao as fun¸c˜oes interpoladoras, em coordenadas naturais (ξ, η). No caso do elemento quadril´atero (Ne n= 4) s˜ao dadas por: Ni=1 4(1 + ξξi)(1 + ηηi),(4.67) eξi,ηis˜ao os respectivos valores nodais em conformidade com o elemento representado na figura 4.3. Matricialmente, tem-se que: x(ξ, η) = "x1x2x3x4 y1y2y3y4#      N1 N2 N3 N4      ,(4.68) e define-se : J=|∂x ∂ζ |= ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂x ∂η ∂y ∂η  =P4 i=1 ∂Ni ∂ξ xiP4 i=1 ∂Ni ∂ξ yi P4 i=1 ∂Ni ∂η xiP4 i=1 ∂Ni ∂η yi  .(4.69) Para o elemento Ωe(coordenadas globais) tem-se que: ZΩe BT I(x)◦ D(x)BJ(x)dΩ = ZΩζ BT I(x(ζ)) ◦ D(x(ζ))BJ(x(ζ)) |∂x ∂ζ |dΩζ.(4.70) O integral sobre o elemento Ωζ´e calculado numericamente atrav´es de uma determinada regra de integra¸c˜ao. Neste trabalho usou-se quadratura gaussiana. A submatriz resultante da equa¸c˜ao (4.70) corresponde `a contribui¸c˜ao do elemento Ωepara a submatriz Kd IJ. De facto, Kd IJ obt´em-se somando as contribui¸c˜oes de todas as c´elulas Ωe. Por sua vez, Kd IJ ´e n˜ao nula s´o quando os suportes de φI eφJtˆem intersec¸c˜ao diferente do vazio. A contribui¸c˜ao de um ponto de Gauss, xgpara a matriz de rigidez faz-se por determina¸c˜ao dos n´os da discretiza¸c˜ao que pertencem `a vizinhan¸ca de xg. Em particular, xgcontribui para Kd IJ se CAP´ ITULO 4. APLICAC¸ ˜ AO DO M´ ETODO SEM MALHA EFG NA SIMULAC¸ ˜ AO DE PROCESSOS DE ENFORMAC¸ ˜ AO PL´ ASTICA 116 wI(xg)>0 e wJ(xg)>0, em que w´e uma fun¸c˜ao de peso com suporte compacto, com propriedades semelhantes `a fun¸c˜ao de peso que foi usada na descri¸c˜ao do m´etodo EFG. Outro aspecto relevante, diz respeito ao efeito de bloqueamento do sistema de equa¸c˜oes, referido anteriormente, que pode surgir devido `a imposi¸c˜ao da condi¸c˜ao de incompressibilidade atrav´es do m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade. Este aspecto foi abordado por Dolbow et al. [37] e Askes [1] no contexto dos m´etodos sem malha, que concluiram que, de forma semelhante ao que acontece no m´etodo dos elementos finitos, ´e conveniente usar uma t´ecnica num´erica apropriada, por exemplo integra¸c˜ao num´erica reduzida como forma de evitar este efeito indesej´avel. Por esta raz˜ao, no c´alculo de Khusou-se integra¸c˜ao reduzida, (1×1) ponto de Gauss em cada c´elula Ωe, enquanto que para Kdaplicou-se (4×4) pontos de Gauss. Para os integrais de fronteira, Γue Γtconsideraram-se subdivis˜oes uniformes da fronteira com 4 pontos de Gauss e um procedimento an´alogo ao das matrizes KdeKh. O c´alculo da matriz Kfde cada elemento pode ser efectuado como um integral de linha definido por: Kf=Z+1 −1 BT fDfBf∂x ∂ξ 2+∂y ∂ξ 21/2 dξ. (4.71) 4.4.2 Resolu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes O sistema de equa¸c˜oes n˜ao lineares obtido, representa as equa¸c˜oes de equil´ıbrio para o sistema num dado instante. A equa¸c˜ao (4.62), resulta da aplica¸c˜ao da formula¸c˜ao de escoamento pl´astico irredut´ıvel, em que se usou o m´etodo da fun¸c˜ao de penalidade para impor: •condi¸c˜ao de incompressibilidade •condi¸c˜oes de fronteira essencial •restri¸c˜ao do contacto CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 123 Nas descri¸c˜oes de ambos os tipos de dom´ınio considerou-se a forma circular. Para obter dom´ınios com forma rectangular, basta definir o rectˆangulo que circunscreve o circulo de raio hIe que tem cada um dos lados com comprimento dado por h∗ I= 2hI. Com o objectivo de comparar os resultados com a solu¸c˜ao do m´etodo dos elementos finitos, todos os exemplos apresentados neste trabalho foram tamb´em implementados atrav´es do MEF. Nesta implementa¸c˜ao, procedeu-se `a discretiza¸c˜ao da geometria inicial da pe¸ca e das ferramentas atrav´es de elementos quadrangulares lineares e elementos de contacto, com atrito, lineares. Para modela¸c˜ao do contacto e do atrito, seguiu-se a formula¸c˜ao adoptada nas referˆencias [23, 103]. O modelo desenvolvido baseado no MEF, tal como o do EFG, foi implementado atrav´es da aplica¸c˜ao Matlab. Todos os m´odulos foram concebidos de raiz, nomeadamente a gera¸c˜ao de malhas estruturadas. Nos diversos gr´aficos ilustrados as cargas de enforma¸c˜ao calculadas atrav´es do MEF s˜ao sempre apresentadas como elemento de referˆencia. Os resultados obtidos pelo MEF foram comparados com os da literatura [103]. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 124 5.2 Exemplos Num´ericos 5.2.1 Exemplo 1: Compress˜ao de um cilindro met´alico Neste exemplo considera-se a compress˜ao de um cilindro met´alico com altura e diˆametro iguais a 20mm, `a temperatura ambiente, cujo procedimento experimental ´e descrito por Mori et al. [84]. Tomou-se tamb´em como referˆencia o estudo num´erico atrav´es do m´etodo dos elementos finitos apresentado por Sousa [103]. A fun¸c˜ao de escoamento para o material usado, a¸co ao carbono (25%), `a temperatura ambiente ´e a seguinte: ¯σ= 748(¯ε+ 0,0397)0,21 MP a. (5.3) CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 125              Figura 5.3: Compress˜ao de um cilindro met´alico. Geometria inicial e discretiza¸c˜ao nodal n˜ao uniforme. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 126 Na figura 5.3 est´a representada a geometria inicial da pe¸ca. Em todas as situa¸c˜oes apresentadas neste exemplo, devido `a simetria, apenas um quarto da pe¸ca foi modelada. A simula¸c˜ao do processo foi efectuada at´e 50% de redu¸c˜ao em altura do cilindro por um processo incremental. A velocidade da matriz foi de 0,2mm/s, o que corresponde a uma redu¸c˜ao da altura de 2% relativamente `a altura inicial em cada intervalo de tempo. Os seguintes valores de factor de atrito foram considerados: mf= 0,0 e mf= 1,0. Neste exemplo, caso n˜ao seja dito nada em contr´ario, pressup˜oe-se que em todos as simula¸c˜oes se considerou numa discretiza¸c˜ao nodal n˜ao uniforme, conforme a da figura 5.3. 5.2.1.1 Solu¸c˜ao sem atrito (mf= 0,0) Procedeu-se `a simula¸c˜ao da compress˜ao de um cilindro atrav´es da aplica¸c˜ao do modelo computacional desenvolvido, baseado no m´etodo EFG. Considerou-se uma lei de atrito de factor constante mf= 0,0 (sem atrito). Os parˆametros de penalidade envolvidos no modelo, respeitantes `a condi¸c˜ao da incompressibilidade (eq. 4.26), restric¸c˜ao de contacto (eq. 4.34) e imposi¸c˜ao das condi¸c˜oes de fronteira (que n˜ao envolvem o contacto) s˜ao os seguintes λα= 104(5.4) αf= 109(5.5) αu= 109.(5.6) Na primeira fase deste estudo, para cada n´o xIdefiniu-se um dom´ınio de influˆencia circular do tipo A, em que se considerou o terceiro n´o mais pr´oximo de xI. Analizaram-se 3 situa¸c˜oes correspondentes `as seguintes varia¸c˜oes do parˆametro dmax: Caso 1 : k= 3, dmax = 2,5 (5.7) Caso 2 : k= 3, dmax = 3,0 (5.8) Caso 3 : k= 3, dmax = 3,5.(5.9) Com o objectivo de averiguar a influˆencia do n´umero de pontos de Gauss, CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 127 para cada um destes casos utilizaram-se respectivamente 2 ×2 (npq = 4) e 4 ×4 (npq = 16) pontos em cada c´elula de integra¸c˜ao. Os resultados obtidos est˜ao representados nos dois gr´aficos que constituem a figura 5.4. Tal como ilustra esta figura, a evolu¸c˜ao das cargas calculadas pelo m´etodo EFG no topo e das reac¸c˜oes na base da pe¸ca, em fun¸c˜ao da redu¸c˜ao em altura, s˜ao praticamente coincidentes, de forma geral, em qualquer um dos 3 casos analisados, at´e uma redu¸c˜ao em altura de 50%. No entanto, a solu¸c˜ao obtida para npq = 16 ´e significativamente melhor relativamente `a obtida para npq = 4, muito em particular no Caso 1. De facto, quando se usa npq = 4 verifica-se que a partir de 35%−40% de redu¸c˜ao em altura h´a um afastamento da carga de enforma¸c˜ao relativamente `a solu¸c˜ao dada por MEF, resultando nitidamente uma degrada¸c˜ao da solu¸c˜ao final. Este efeito ´e mais acentuado no Caso 1. Um estudo semelhante foi feito com um dom´ınio de influˆencia circular do tipo B. Analisaram-se os seguintes casos: Caso 1 : nI= 16 (5.10) Caso 2 : nI= 20 (5.11) Caso 3 : nI= 24.(5.12) Analogamente ao que aconteceu na aplica¸c˜ao do dom´ınio de influˆencia circular do tipo A, os resultados obtidos s˜ao muito satisfat´orios, tal como ilustra a figura 5.5. Na solu¸c˜ao obtida correspondente `a utiliza¸c˜ao de 2 ×2 pontos de Gauss, manifesta-se uma ligeira degrada¸c˜ao desta, praticamente irrelevante, `a volta de 50% de redu¸c˜ao em altura. A figura 5.6 apresenta o erro relativo para as cargas de enforma¸c˜ao calculadas pelo m´etodo EFG, para cada um dos casos analisados com um dom´ınio de influˆencia do tipo A e B, respectivamente. No c´alculo do erro relativo, considerou-se para melhor aproxima¸c˜ao a solu¸c˜ao dada pelo MEF. O erro mantem-se est´avel e baixo at´e uma redu¸c˜ao de cerca de 35% de redu¸c˜ao em altura, crescendo com a distor¸c˜ao da malha de integra¸c˜ao. No Caso 1 os erros s˜ao maiores, sendo praticamente iguais para os outros dois casos. Simula¸c˜oes an´alogas foram efectuadas para uma discretiza¸c˜ao nodal uniforme CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 128 e os resultados n˜ao mostram diferen¸cas significativas, n˜ao sendo por isso aqui apresentadas. 5.2.1.2 Solu¸c˜ao para atrito seco (mf= 1,0) Procedeu-se `a simula¸c˜ao da compress˜ao de um cilindro, nas condi¸c˜oes referidas anteriormente, mas desta vez considerou-se uma lei de atrito de factor constante mf= 1,0. Consideraram-se dom´ınios de influˆencia do tipo A (k= 4, dmax = 2,5 ; k= 4, dmax = 3,0) e do tipo B (nI= 22). Para cada um destes, fez-se variar o n´umero de pontos de quadratura em cada c´elula de integra¸c˜ao, de forma an´aloga ao estudo feito em §5.2.1.1. Os resultados s˜ao apresentados nas figuras 5.7 e 5.8. Quando se considera um dom´ınio de influˆencia do tipo A, (k= 4, dmax = 2,5), analizando a figura correspondente, figura 5.7, destaca-se o seguinte aspecto: os valores das cargas calculadas no topo e das reac¸c˜oes na base da pe¸ca s˜ao coincidentes at´e pr´oximo de 45% de redu¸c˜ao em altura, independentemente de se usar 2 ×2 ou 4 ×4 pontos de quadratura em c´elula de integra¸c˜ao. No entanto, a partir de 45% de redu¸c˜ao h´a um afastamento das cargas nos dois casos e verifica-se uma degrada¸c˜ao significativa quando se usa 2×2 pontos de quadratura. A utiliza¸c˜ao de 4 ×4 pontos de quadratura ´e pois significativamente vantajosa relativamente `a de 2 ×2 pontos. Na situa¸c˜ao em que se atribuiu k= 4 e dmax = 3,0, figura 5.8, o afastamento das cargas calculadas no topo e reac¸c˜oes na base da pe¸ca, manifesta-se mais cedo, `a volta de 25% −30%. Em termos globais h´a um empobrecimento da solu¸c˜ao quando se usam 2 ×2 pontos de quadratura, em qualquer dos casos. No MEF, independentemente de se usar 2×2 ou 4×4 pontos de quadratura n˜ao h´a altera¸c˜ao da evolu¸c˜ao da carga, o que n˜ao acontece no m´etodo EFG. Neste exemplo, nas mesmas condi¸c˜oes os resultados com um dom´ınio do tipo B s˜ao significativamente melhores, comparativamente aos obtidos com os do tipo A, tal como ilustra a figura 5.9. Esta melhoria, verifica-se, quer se considere para a geometria inicial uma discretiza¸c˜ao nodal uniforme ou n˜ao uniforme. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 129 Por observa¸c˜ao da evolu¸c˜ao da geometria, quando se considera discretiza¸c˜ao nodal n˜ao uniforme, ´e vis´ıvel um grande afastamento entre os n´os na zona de menor densidade nodal, `a volta da origem. Nesta zona, `a medida que vai aumentando a redu¸c˜ao em altura verifica-se um empobrecimento no n´umero de n´os a ser inclu´ıdo. Num dom´ınio de influˆencia do tipo B, isto n˜ao acontece, mesmo em zonas de menor densidade nodal, porque pela forma como este tipo de dom´ınio ´e definido, para cada n´o ´e imposto o n´umero de n´os (constante ao longo do processo) a incluir. 5.2.1.3 Solu¸c˜ao obtida para um n´ıvel de redu¸c˜ao de 50% A figura 5.10 representa a geometria inicial da pe¸ca, composta por duas partes: a parte superior que corresponde `a discretiza¸c˜ao nodal considerada no m´etodo EFG e na parte inferior a malha de elementos usada no MEF. As figuras 5.11 e 5.12 ilustram respectivamente a forma final da pe¸ca, correspondente at´e uma redu¸c˜ao em altura de 50% obtidas atrav´es do MEF e do modelo baseado no EFG para os seguintes valores de factor de atrito: 0,0 e 1,0. Nestas figuras, analogamente `a figura 5.10, a parte superior e inferior est˜ao associadas respectivamente `a solu¸c˜ao dada pelo EFG e MEF. A figura 5.13 destaca simplesmente a geometria obtida respectivamente pelo m´etodo EFG e MEF, para uma redu¸c˜ao em altura de 50% e para um valor de factor de atrito igual a 1,0. A forma final obtida pelos dois m´etodos s˜ao semelhantes, em ambas as situa¸c˜oes. A figura 5.14 representa globalmente a forma final da pe¸ca, correspondente a uma redu¸c˜ao em altura de 50%, obtida pela solu¸c˜ao do modelo baseado no m´etodo EFG para o caso em que se considerou um valor de factor de atrito igual a 1,0. No processo de simula¸c˜ao num´erica, em qualquer das situa¸c˜oes considerou-se um quarto da pe¸ca. Nas figuras 5.11, 5.12 e 5.14, a geometria representada foi obtida por constru¸c˜ao, por simetria, a partir dos resultados da simula¸c˜ao. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 130 As figuras 5.15 e 5.16 representam o campo de deforma¸c˜ao efectiva que resultam respectivamente da solu¸c˜ao dada pelos m´etodos EFG e MEF, no instante correspondente para uma redu¸c˜ao em altura de 50%, em que se considerou mf= 1,0. Tal como estas figuras ilustram, as distribui¸c˜oes de deforma¸c˜ao efectiva obtidas pelo modelo num´erico desenvolvido baseado no m´etodo EFG s˜ao semelhantes `as obtidas pelo MEF. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 131 domínio de influência do tipo A 100 150 200 250 300 350 400 450 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Redução em altura (%) Carga (KN) MEF caso 1: cargas no topo ...........: reacções na base caso 2: cargas no topo ............: reacções na base caso 3: cargas no topo ............: reacções na base domínio de influência do tipo A 100 150 200 250 300 350 400 450 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Redução em altura (%) Carga (KN) MEF caso 1: cargas no topo ...........: reacções na base caso 2: cargas no topo ............: reacções na base caso 3: cargas no topo ............: reacções na base Figura 5.4: Evolu¸c˜ao das cargas calculadas no topo e das reac¸c˜oes na base da pe¸ca pelo m´etodo EFG, para os 3 casos analisados num dom´ınio do tipo A (mf= 0,0). Considerou-se respectivamente npq = 4 e npq = 16. CAP´ ITULO 5. APLICAC¸ ˜ OES E EXEMPLOS 132 domínio de influência do tipo B 100 150 200 250 300 350 400 450 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Redução em altura (%) Carga (KN) MEF caso 1: cargas no topo ...........: reacções na base caso 2: cargas no topo ............: reacções na base caso 3: cargas no topo ............: reacções na base domínio de influência do tipo B 100 150 200 250 300 350 400 450 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Redução em altura (%) Carga (KN) MEF caso 1: cargas no topo ...........: reacções na base caso 2: cargas no topo ............: reacções na base caso 3: cargas no topo ............: reacções na base Figura 5.5: Evolu¸c˜ao das cargas calculadas no topo e das reac¸c˜oes na base da pe¸ca pelo m´etodo EFG, para os 3 casos analisados num dom´ınio do tipo B (mf= 0,0). Considerou-se respectivamente npq = 4 e npq = 16.