João Manuel Ribei o da Sil a Ta a es
Análise de Mo imen o de Co pos
De o má eis usando Visão
Compu acional
Julho - 2000
Uni e sidade do Po o
Faculdade de Engenha ia
João Manuel Ribei o da Sil a Ta a es
O ien ado
P o . Associado do Depa amen o de Engenha ia Elec o écnica e de
Compu ado es da Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o
Tese subme ida ao Depa amen o de Engenha ia Elec o écnica
e de Compu ado es pa a sa is ação pa cial dos equisi os do
Dou o amen o em Engenha ia Elec o écnica e de
Compu ado es
Licenciado em Engenha ia Mecânica pela Faculdade
de Engenha ia da Uni e sidade do Po o (1992)
A. Jo ge Padilha
Análise de Mo imen o de Co pos De o má eis
usando Visão Compu acional
Mes e em Engenha ia Elec o écnica e de Compu ado es
pela Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o (1995)
Julho - 2000
Análise de Mo imen o de Co pos De o má eis usando Visão Compu acional
J. Ta a es Julho - 2000
Ag adecimen os
Ao P o . A. Jo ge Padilha po odo o apoio p es ado ao longo da minha disse ação de
Mes ado e, especialmen e, ao longo des a ese; nomeadamen e, pela sua o ien ação e
o al disponibilidade semp e demons ada e pelo seu signi ica i o incen i o e con ínuo
exemplo.
Aos P o . Ana Ma ia Mendonça, Au élio Campilho, Jo ge Al es e Miguel Pimen a
Mon ei o, po odo o apoio p es ado.
Ao Ca los Felguei as, ao Jo ge Ba bosa e ao Miguel Velho e, po odo o apoio,
companhei ismo e pela pa ilha de algumas ideias e conselhos.
À Tânia Pin o e ao Paulo Viei a pela colabo ação na Pla a o ma de Desen ol imen o e
Ensaio.
Aos es an es in es igado es e colabo ado es do Ins i u o de Engenha ia Biomédica pelo
excelen e ambien e de abalho no qual es ou inse ido des e a minha disse ação de
Mes ado.
Aos P o . Alex Pen land, Be hold K. P. Ho n, Chahab Nas a , La y Shapi o e S an
Scla o , pelo en io de alguns dos seus a igos e pela disponibilidade demons ada.
À Jun a Nacional de In es igação Cien í ica e Tecnológica pela Bolsa de Mes ado,
a ibuída ao ab igo do P og ama Ciência com a e . BM / 3258 / 92 - RM, e pela Bolsa de
Dou o amen o, a ibuída ao ab igo do P og ama P axis XXI com a e . BD / 3243 / 94.
Ao Ins i u o de Engenha ia Biomédica pelos ecu sos u ilizados ao longo des a ese.
À minha amília, pais e i mã, e à Cláudia pelo ca inho, comp eensão, paciência,
incen i o, ....
A TODOS AQUELES QUE TORNARA
M
ESTA PUBLICAÇÃO POSSÍVEL ...

Sumá io
O ema des a ese es á inse ido no domínio da isão po compu ado e na á ea da análise de
mo imen o de co pos de o má eis. O seu in e esse em indo a aumen a conside a elmen e nos
úl imos empos de ido, sob e udo, ao acasso das en a i as de u iliza as me odologias no malmen e
associadas aos co pos ígidos pa a a análise do mo imen o não ígido, e ambém ao ele ado núme o
de aplicações que exis em pa a al análise. O eno me po encial de aplicação exis en e na á ea da
imagem médica, nomeadamen e na segmen ação, no empa elhamen o e na análise e seguimen o do
mo imen o de es u u as, é esponsá el po g ande pa e do abalho ealizado nes e âmbi o. Ou as
aplicações que podem se e e idas são o seguimen o de sis emas a iculados, a análise do escoamen o
de luidos, do mo imen o de nu ens pa a a p e isão me eo ológica, do compo amen o de ma e iais
sob a acção de o ças, a análise e econhecimen o de aces, de eículos e de ca ac e es, e c.
Ao con á io do que sucede com os objec os ígidos, a ep esen ação da o ma de um objec o
de o má el es á o emen e elacionada com a análise e seguimen o do seu mo imen o e, pa a se
desen ol e em écnicas pa a esol e ais p oblemas, é necessá io u iliza de e minadas es ições
sob e o mo imen o/ o ma o que, consequen emen e, indi idualiza as abo dagens desen ol idas e as
o na especí icas pa a de e minadas classes de p oblemas.
A abo dagem u ilizada pa a o desen ol imen o des a ese oi cons i uída pelas seguin es e apas:
es udo bibliog á ico de algumas das me odologias ac ualmen e exis en es e e i icação das suas
aplicações; desen ol imen o de uma no a aplicação, que além de cons i ui um sis ema pa a
in eg ação dos algo i mos desen ol idos e pe mi i o ensaio e a análise dos esul ados ob idos, osse
ambém, po si só, um sis ema pa a a análise e p ocessamen o de imagem de u ilização lexí el e, ao
mesmo empo, uma pla a o ma de desen ol imen o e ensaio pa a ou os in es igado es; es udo e
implemen ação de me odologias que pe mi issem de e mina a co espondência en e dois objec os
2D de o má eis; es udo e implemen ação de uma abo dagem baseada em p incípios ísicos pa a
de e mina a mesma co espondência, es ima os deslocamen os em unção das p op iedades do
ma e ial elás ico simulado, e aduzi a ans o mação exis en e; e olução de modelos 2D do ipo
con o no pa a modelos supe iciais, cons uídos u ilizando o ní el de in ensidade de cada pixel como
a sua e cei a coo denada, es endendo as abo dagens u ilizadas pa a es e ipo de modelo; ensaio da
me odologia ísica, dos modelos u ilizados e do sis ema desen ol ido numa aplicação exemplo.
Es a ese é cons i uída po oi o capí ulos: no p imei o, é ealizada uma in odução ao ema e à
abo dagem u ilizada, são desc i os, de o ma esumida, cada um dos es an es capí ulos e indicadas as
con ibuições ino ado as; no capí ulo seguin e, são ap esen ados os undamen os das me odologias
exis en es, classi icado o mo imen o não ígido, desc i os com maio de alhe os modelos de o má eis
e e e enciadas algumas das suas aplicações, nomeadamen e na á ea da imagem médica; no e cei o
capí ulo são ap esen adas duas me odologias pa a a de e minação da co espondência u ilizando
análise modal da o ma dos objec os a empa elha ; no capí ulo seguin e, é desc i a uma abo dagem na
qual é u ilizada modelização ísica, po in e médio do mé odo dos elemen os ini os, e
empa elhamen o modal, pa a de e mina a co espondência, es ima os deslocamen os e aduzi a
de o mação exis en e; os modelos ísicos e suas cons uções são desc i os no quin o capí ulo; no sex o
capí ulo, é desc i a a pla a o ma de desen ol imen o e ensaio c iada; no penúl imo capí ulo são
ap esen ados ensaios de aplicação da abo dagem ísica, dos modelos u ilizados e da pla a o ma
desen ol ida em imagens de pedoba og a ia dinâmica; inalmen e, no úl imo capí ulo, são
ap esen adas algumas conclusões inais e pe spec i as de abalho u u o.
Summa y
The heme o his hesis is in he compu e ision domain and mo e speci ically in he a ea o mo ion
analysis o de o mable bodies. The in e es in his ield has isen signi ican ly in he las ew yea s
due o he ailu e o adap ing exis ing igid-body me hods and o he e y wide ange o po en ial
applica ions. A s ong impulse o igina ed in he a ea o medical imaging o segmen ing, ma ching
and acking body s uc u es, bu o he applica ion domains ha e also con ibu ed, namely he acking
o a icula e sys ems, he analysis o luids low, he mo emen o clouds o wea he o ecas ing, he
s uc u al analysis o ma e ials, he ecogni ion o aces, ehicles and cha ac e s, e c.
Unlike igid objec s, he shape ep esen a ion o de o mable objec s is s ongly ela ed wi h he
analysis and acking o i s mo ion and hus, in o de o de elop sui able app oaches and echniques
o analysis, ce ain es ic ions and cons ain s on he shape/mo ion mus be speci ic o he ype o
ask unde conside a ion.
The wo k plan o his hesis was made o he ollowing asks: bibliog aphical s udy o some o he
cu en me hodologies and analysis o hei applica ions; de elopmen o a new so wa e sys em ha ,
apa om inco po a ing he speci ic esul s o be ob ained in he de o ma ion and mo ion analysis,
would ha e a lexible and modula s uc u e enabling o play he dual ole o a de elopmen and es
pla o m and o a gene al-pu pose image p ocessing and analysis package; design and implemen a ion
o me hodologies o ma ching and in e pola ing 2D de o mable objec s and o measu ing he amoun
o de o ma ion, ocusing on physically-based app oaches; e olu ion om 2D con ou models o 3D
su ace models; es ing o he me hods designed in a eal wo ld medical applica ion example.
The hesis is o ganized in eigh chap e s: he i s one p o ides an in oduc ion o he heme and a
b ie summa y o he emaining chap e s and iden i ies he main con ibu ions o he wo k epo ed;
exis ing me hods a e e iewed in he second chap e , he non igid mo ion is classi ied and he
de o mable models a e desc ibed wi h some de ail as well as some o hei applica ions, specially in
he ield o medical imaging; he hi d chap e p esen s wo me hodologies o shape ma ching using
modal analysis; in he ollowing chap e , he physically-based app oach is desc ibed, using he ini e
elemen s me hod and modal analysis o ma ching, o es ima ing he displacemen o unma ched
nodes and o quan i ying he de o ma ion; he objec models and he cons uc ion o he FEM models
a e desc ibed in he i h chap e ; he six h chap e desc ibes he de elopmen and es pla o m
sys em; o e all es ing o he me hodology is epo ed in he nex chap e , using dynamic
pedoba og aphy da a; inally, he las chap e d aws he inal conclusions and b ie ly p esen s plans
o u he wo k.
Résumé
Le hème de ce e hèse es insé é dans le domaine de la ision pa o dina eu e pa iculiè emen dans
l’analyse du mou emen de co ps dé o mables. L’in é ê pa ce hème s’es dé eloppé
considé ablemen pendan les de niè es années, ce qui se doi su ou à l’échec des en a i es de ai e
usage des mé hodes connus pou co ps igides dans le domaine non- igide, e aussi au g and nomb e
po en iel d’applica ions. La héma ique de l’image ie médicale es la esponsable majeu e de la
eche che écen e dans ce domaine, soi pou ai e la segmen a ion, soi l’alignemen e le sui i de
s uc u es. Néanmoins, il y a d’au es domaines où la li é a u e scien i ique appo e des applica ions
impo an es: la pousui e de sys èmes a iculés, l’analyse de l’écoulemen de luides, la p é ision
mé éo ologique basée su le mou emen des nuages, la econnaissance de isages, de éhícules ou de
ca ac è es, e c.
Au con ai e de ce qu’il se passe pou les obje s igides, la ep ésen a ion de la o me d’un obje
dé o mable es o emen acon ée a ec l’analyse e sui i de son mou emen e , pou dé eloppe des
echniques qui ésoud en ces p oblèmes il au se bo ne à ce aines es ic ions su le
mou emen / o me ce qui, pa conséquen , singula ise les app oches dé eloppées e les end
spéci iques de ce aines classes de p oblèmes.
L’app oche u ilisée pou le dé eloppemen de ce e hèse a é é cons i uée pa les é apes sui an es:
é ude bibliog aphique de quelques-unes des mé hodologies exis an es e é i ica ion de leu s
applica ions; dé eloppemen d’une nou elle applica ion logicielle qui cons i ue un sys ème pou
l’in ég a ion e l’essai des algo i hmes dé eloppés e l’analyse des ésul a s ob enus e qui soi aussi,
pa soi-même, un sys ème géné ique e d’usage lexible pou le ai emen e l’analyse d’images; é ude
e mise en oeu e de mé hodologies pou dé e mine la co espondance en e deux obje s dé o mables
(2D); é ude e mise en oue e d’une app oche basée su des p incipes physiques pou dé e mine la
même co espondance, es ime les déplacemen s en onc ion des p op ié és du ma é iau élas ique
simulé, e adui e la ans o ma ion exis an e; é olu ion de modèles 2D pou modèles 3D du ype
su ace, cons ui s en employom le ni eau d’in ensi é de chaque pixel comme sa oisième
coo donnée, e en é endan les app oches u ilisées pou ces modèles; essai de la mé hodologie
physique, des modèles employés e du sys ème dans une applica ion éelle.
Ce e hèse es cons i uée pa hui chapi es: au p emie chapi e une in oduc ion au hème e à
l’app oche u ilisée es accomplie, chacun des chapi es sui an s es déc i d’une açon ésumée e les
con ibu ions inno a ices son énumé ées; au chapi e sui an , les p incipes des mé hodologies en
exis ance son p ésen és, le mou emen non igide es classé, les modèles dé o mables son déc i s en
dé ail e quelques-unes de ses applica ions son indiquées, su ou dans le domaine de l’image
médicale; au oisième chapi e deux mé hodologies son p ésen ées pou la dé e mina ion de
co espondances en employan l’analyse modale de la o me des obje s à appa ie ; au chapi e sui an
on déc i une app oche dans laquelle la modélisa ion physique es employée selon la mé hode des
élémen s inis, e l’appa iemen modal pe me de dé e mine la co espondance, es ime les
déplacemen s e quan i ie la di é ence en e les o mes; les modèles physiques e ses cons uc ions
son déc i s au cinquième chapi e; au sixième chapi e, on déc i le sys ème de dé eloppemen e
d’essai; à l’a an -de nie chapi e on p ésen e quelques essaies de l’app oche physique, des modèles
dé eloppés e du sys ème dans le domaine de la pédoba ag aphie dynamique; inalemen , au de nie
chapi e son p ésen ées des conclusions inales e des pe spec i es de a ail u u .
Índice
INTRODUÇÃO À TESE E À SUA ESTRUTURA
3
1.1 – In odução
Nume osos se es i os êm no seu sis ema de isão o elemen o senso ial mais impo an e pa a
a sua sob e i ência e pa a as suas condições de ida. A impo ância do sis ema de isão
p ende-se com a iqueza de in o mação que es e acul a, não só em e mos quan i a i os, mas
ambém quali a i os. Tais in o mações pe mi em, po exemplo, a de ecção e o seguimen o de
ce os al os (p edado es, alimen o, e c.), a de e minação de obs áculos na sua ajec ó ia, em
suma, in o mações sob e o ambien e que odeia cada se .
Nes e con ex o, não é su p eenden e que a comunidade cien í ica enha, nos úl imos
empos, ealizado in ensos es o ços no sen ido de p o e sis emas au omá icos, is o é sis emas
compu ado izados, que sejam capazes de execu a unções do sis ema de isão que são
no malmen e encon adas nos sis emas equi alen es dos se es i os, e em especial no sis ema
isual humano. A en a i a de implemen a ce as unções do sis ema de isão humana em
sis emas au omá icos pode se ealizada que ao ní el de so wa e, que ao ní el de ha dwa e.
Su ge, assim, uma á ea de desen ol imen o cien í ico que é designada po p ocessamen o de
imagem e isão po compu ado ou isão a i icial.
O p ocessamen o de imagem e a isão po compu ado são no malmen e di ididos em
qua o á eas de ac uação:
a) melho amen o ou ealce de imagens: consis e basicamen e na en a i a de melho a e
ealça subjec i amen e ce as ca ac e ís icas de uma dada imagem (po exemplo,
acen ua con as e, eduzi uído, e c.);
b) es au ação de imagens: consis e basicamen e na en a i a de es au a imagens que
enham sido deg adadas na sua qualidade po um qualque p ocesso, como po
exemplo dis o ção geomé ica, mo imen o, e c.;
c) comp essão de imagens: consis e basicamen e na en a i a de ep esen a uma imagem
o iginal de o ma mais simples e po an o mais le e, sem con udo pe de in o mação
necessá ia;
d) análise de imagens: consis e basicamen e em desc e e ou in e p e a uma dada
imagem ou sequência de imagens; is o é, na en a i a de medi , econhece , classi ica
uma imagem ou conjun o de imagens.
As ês p imei as á eas cos umam se ag upadas na designação de p ocessamen o de
imagem; a úl ima es á mais ligada à isão po compu ado e apa ece po ezes associada à
in eligência a i icial.
Na u almen e que su gem inúme as si uações em isão po compu ado em que odas as
á eas an e io es apa ecem pe ei amen e combinadas e in eg adas. Um exemplo des a
combinação pode se , po exemplo, um sis ema que p ocu e analisa o mo imen o de ce os
objec os a pa i de uma sequência de imagens. Es e sis ema de e á inclui , quase
ob iga o iamen e, unções de melho amen o das imagens o iginais (compensação de

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
4
iluminação, emoção de uído), de es au ação das imagens deg adadas geome icamen e, de
análise das imagens e, po en u a, pode se u ilizada comp essão (pa a e ei os de a qui o ou
de ansmissão).
Na ac ualidade, su gem cada ez mais aplicações do p ocessamen o de imagem e da isão
po compu ado . Como exemplos de ais aplicações podem se e e idos os seguin es:
• inspecção indus ial: na indús ia, a qualidade do p odu o inal em cada ez mais um
papel de impo ância p imo dial. Como, ge almen e, as unções de inspecção isual
humana são bas an e o inei as, cansa i as, mo osas, e consequen emen e o iginam
equen emen e alhas e e os, su ge a necessidade de as au oma iza po sis emas
compu ado izados (u ilizando, po exemplo, obo s e manipulado es em ais a e as). É
e iden emen e necessá io p o e es es sis emas de “ isão”; su ge, assim, uma á ea
impo an e da isão po compu ado em que o objec i o é o con olo dimensional de
componen es, o con olo da sua qualidade supe icial ou a e i icação da in eg idade
dos mesmos.
• no guiamen o de eículos au ónomos: cada ez mais se p e ende subs i ui ope á ios a
cump i unções pesadas e pe igosas pa a a sua in eg idade ísica. Su gem assim
eículos, obo s ou manipulado es que, possuindo sis emas de condução au ónoma, se
podem mo e em ambien es hos is pa a o homem anspo ando di e en es ipo de
ma e iais e p odu os. Se es es sis emas au ónomos dispuse em de in o mação isual
sob e o ambien e que os odeia, pode ão se mais “in eligen es” e guia -se de o ma
mais co ec a e segu a, pois podem segui a melho ajec ó ia possí el e de o ma
mais ápida.
• comp essão de imagens: quando se p e ende a mazena um ele ado núme o de
imagens, o na-se essencial diminui o olume da espec i a in o mação. Tal edução
pode ambém se necessá ia na ansmissão de imagens, em que a la gu a de banda é
ine i a elmen e eduzida. Técnicas de comp essão de imagem desempenham um
papel ulc al em inúme os sis emas de a qui o e comunicação de imagens, em especial
com o ad en o e p oli e ação de sis emas mul imédia.
• aplicações médicas: na medicina exis em bas an es imagens de diagnós ico ob idas
po di e en es p ocessos e écnicas (como po exemplo po aios-X, ecog a ia,
endoscopia, e c.). Tais imagens necessi am de se p ocessadas no sen ido de emo e
uído, melho a algumas ca ac e ís icas e analisá-las. A análise não é ge almen e
p e endida com um sen ido pe ei amen e au ónomo mas como um auxilia impo an e
ao diagnós ico e ec uado pelos especialis as. Não é, assim, su p eenden e encon a
um ele ado núme o de aplicações de p ocessamen o de imagem e de isão po
compu ado em medicina.
• ecupe ação de imagens deg adadas: ce as imagens são ob idas com uma ine i á el
INTRODUÇÃO À TESE E À SUA ESTRUTURA
5
de e io ação; al pode se de ido às más condições de iluminação, in luência de
campos eléc icos e/ou magné icos, às ele adas dis âncias de ansmissão, e c. Nes as
si uações, é necessá io ealiza uma melho ia da qualidade das imagens. Po
cu iosidade, e i a-se que uma das p imei as aplicações do p ocessamen o de imagem
se e e e à ecupe ação das imagens en iadas pa a a Te a po um sonda espacial em
1960. A de e io ação ica a-se a de e a ele adas es ições ace ca do peso do sis ema
de isão [Lim, 1990], implicando assim que o sis ema de imagem a bo do da sonda
osse de eduzida qualidade.
• na me eo ologia: pela análise do mo imen o das nu ens, sis emas de isão po
compu ado podem auxilia em es udos de p e isão do es ado do empo.
• em sis emas de á ego au omó el: cada ez mais p e ende-se do a os sis emas de
ges ão de á ego au omó el ac ualmen e exis en es com sis emas de isão po
compu ado . Tal inco po ação em como objec i o o na a ges ão mais lexí el,
e icien e e ápida.
• na ag icul u a: na análise do c escimen o e g au de ma u ação das plan ações, a isão
po compu ado , baseada em imagens de de ecção emo a, su ge cada ez mais como
um sis ema bas an e ú il pa a análise e con olo.
Os exemplos an e io es, apesa de em núme o eduzido, e idenciam pe ei amen e a
u ilidade do p ocessamen o de imagens e da isão po compu ado no dia a dia da
humanidade.
O ema des a ese inse e-se no domínio da isão po compu ado , em pa icula na análise
de mo imen o e de o mação.
A análise de mo imen o em indo a se , nas duas úl imas décadas, uma á ea impo an e de
in es igação no domínio da isão po compu ado . O p oblema da análise de mo imen o é
adicionalmen e de inido como a de e minação do mo imen o de um objec o a pa i de uma
sequência de imagens, 2D ou 3D, cap u adas em dois ou mais ins an es de empo. O p oblema
designado po ob enção da es u u a a pa i do mo imen o ap esen a ainda um objec i o
adicional: ob enção da es u u a geomé ica e ambém dos pa âme os do mo imen o a pa i
de uma sequência de p ojecções [Ta a es, 1995, 1995a]. Uma g ande pe cen agem do
abalho en ol endo a análise de mo imen o oi ealizada nes a á ea, de ido à sua ele ada
impo ância no p ocessamen o de cenas, assumindo que os objec os em ques ão êm o mas
cons an es ao longo de oda a sequência. Es a es ição de igidez é inadequada em mui as
si uações de análise de mo imen o, pois mui os objec os eais, com exac idão odos, são
de o má eis. Po exemplo: as á o es balançam, as olhas de papel dob am-se, as oupas
en ugam-se, o co po humano ap esen a mo imen o con ínuo não ígido, e c.
Nos anos mais ecen es, um c escen e olume de in es igação na análise de mo imen o
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
6
não ígido o nou-se apa en e. G ande pa e do impulso e i icado nes a á ea de i a das
aplicações po enciais na á ea da imagem médica e na comp essão de imagem baseada em
modelos. Vá ias aplicações exis em na á ea biomédica, ais como o es udo do mo imen o do
co ação e do pulmão, es udo do luxo sanguíneo e a análise do c escimen o de umo es. Po
exemplo, um dos objec i os na imagem ca díaca é a análise do mo imen o não ígido e
es ima as ca ac e ís icas da de o mação do co ação. Nes a aplicação, disposi i os adequados
de essonância magné ica ou omog a ia compu o izada adqui em dados 3D do co ação em
á ios ins an es du an e o ciclo ca díaco. Uma análise da gama dos pa âme os do mo imen o
pode auxilia na iagem de pacien es e na decisão da ex ensão das lesões ca díacas exis en es.
Um ou o exemplo é a comp essão de imagem baseada em modelos, pa a elecon e ência a
ele adas elocidades de ansmissão. Desde que os pa âme os do mo imen o, ou as
co espondências pon uais do mo imen o acial, possam se es imados, as imagens podem se
e icien emen e codi icadas e ansmi idas, eduzindo signi ica i amen e a la gu a de banda
necessá ia, em compa ação com as abo dagens es a ís icas adicionais.
Exis em mui as ou as aplicações da análise de mo imen o não ígido. Algumas que
podem se ci adas são: es udo do mo imen o dos lábios, pa a lei u a labial; econhecimen o
de aces pa a aplicações de segu ança; de o mações de ma e ial pa a inspecção isual de
es u u as, ais como inspecções de ba agens, de pon es e de c escimen o de c is ais;
seguimen o da o mação de nu ens pa a p e isão me eo ológica. A isão a i icial em
aplicações obó icas ambém necessi a de conside a a não igidez das o mas: pa es
a iculadas e lexí eis são abundan es em ambien es indus iais. Adicionalmen e, aplicações
de ealidade i ual eque em mé odos pa a a cons ução e simulação de modelos de objec os
ígidos e não ígidos.
1.2 – Objec i os e abo dagem seguida
Enunciam-se de seguida os p incipiais objec i os açados inicialmen e pa a es a ese, a
es a égia e abo dagens conside adas e, de o ma esumida, o abalho ealizado.
Os p incipais objec i os o mulados inicialmen e o am os seguin es:
a) es udo das á ias me odologias exis en es pa a a análise e seguimen o de mo imen o
de co pos de o má eis; em ez de se pa i de um p oblema conc e o, p ocu ou-se
c ia um quad o ge al pa a a amen o de múl iplos casos de análise de mo imen o e
de o mação; no mesmo sen ido, em odo o desen ol imen o e implemen ação,
p ocu ou-se man e acessí eis os pa âme os de con olo e de análise de esul ados,
como se pode cons a a em di e sas das janelas de in e ace da aplicação ap esen adas
no sex o capí ulo.
b) c iação de uma pla a o ma de desen ol imen o e ensaio pa a análise e p ocessamen o
de imagem que, além de possibili a uma u ilização lexí el, pe mi isse a in eg ação de
INTRODUÇÃO À TESE E À SUA ESTRUTURA
7
no os algo i mos de o ma o almen e anspa en e. O uso da pla a o ma como sis ema
de desen ol imen o, po pa e de di e sos in es igado es, acili a a sua con inuada
manu enção e ac ualização. Po ou o lado, a es u u a modula da pla a o ma pe mi e
ambém con igu a múl iplos sis emas de aplicação que disponibilizem apenas a
uncionalidade adequada.
De o ma mais especí ica, são ainda objec i os des a ese:
c) implemen a e desen ol e me odologias pa a a de e minação da co espondência
en e dois objec os;
d) es ima de o ma consis en e os deslocamen os pon uais pa a cada objec o;
e) medi globalmen e a de o mação exis en e en e dois objec os p e iamen e
empa elhados;
) de e mina a ans o mação ígida que melho aduz a componen e ígida da
ans o mação global exis en e en e dois objec os p e iamen e empa elhados;
g) passa de modelos 2D pa a modelos supe iciais u ilizando as mesmas me odologias
pa a de e mina a co espondência, es ima os deslocamen os, de e mina a
de o mação exis en e e a ans o mação ígida en ol ida.
No cump imen o de ais objec i os es i e am semp e p esen es as seguin es conside ações:
a) as abo dagens a u iliza não de e iam es a sujei as nem limi adas a nenhuma
aplicação especí ica;
b) os dados a conside a pa a cada objec o de e iam se apenas os seus pon os (ou
pa e deles) e i ando-se, des e modo, es u u as mais complexas e de mais di ícil
cons ução;
c) os algo i mos u ilizados de e iam se implemen ados numa pla a o ma comum e de
uso ge al;
d) semp e que uma e amen a, ou conjun os de e amen as, es i esse disponí el no
domínio público, de e ia se in eg ada no sis ema desen ol ido e eu ilizada.
U ilizando es as conside ações, o abalho desen ol ido ao logo des a ese pode se
desc i o de o ma esumida do seguin e modo:
A p imei a e apa concen ou-se no es udo bibliog á ico de á ias me odologias e em
aplicações ac ualmen e exis en es no domínio da análise e seguimen o de co pos de o má eis.
Na e apa seguin e, p ocedeu-se à c iação de uma pla a o ma de desen ol imen o e ensaio
que pe mi isse a inco po ação das me odologias implemen adas ao longo da ese e a análise
dos esul ados ob idos. Assim, cons uiu-se um sis ema de análise e p ocessamen o de
imagem pa a sis emas ope a i os Mic oso Windows, u ilizando o ambien e de p og amação
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
8
in eg ado Mic oso Visual C++. Es e sis ema, além de possui as unções básicas e comuns
pa a uma aplicação de análise e p ocessamen o de imagem, pe mi e que sejam in eg ados, de
o ma anspa en e e lexí el, no os algo i mos. Desde a sua c iação o am já inco po adas
á ias unções, con endo a sua e são ac ual um núme o de unções já bas an e ap eciá el.
Após a cons ução do sis ema base de análise e p ocessamen o de imagem p ocedeu-se à
in eg ação no mesmo das e amen as desen ol idas du an e o cu so de mes ado do au o
des a ese pa a a de ecção e seguimen o de linhas, ap oximação poligonal de linhas,
simpli icação de segmen os de ec a e seguimen o de segmen os de ec a ao longo de
sequências de imagem u ilizando il agem de Kalman [Ta a es, 1995, 1995a]. Essa
abo dagem, bas an e comum e sa is a ó ia pa a objec os ígidos, oi es ada em sequências de
imagens com objec os de o má eis. Os esul ados ob idos pe mi i am-nos conclui que, se o
mo imen o en e as imagens o mui o eduzido e os con o nos dos objec os pude em se
ep esen ados de o ma azoá el po segmen os de ec a, a e e ida abo dagem conduz a bons
esul ados. Con udo, como se ia de espe a , quando os con o nos não são ep esen ados de
o ma adequada po segmen os de ec a e o i mo de amos agem não é su icien emen e
ápido, a abo dagem o na-se inadequada. Ainda pode ia se ul apassada essa incapacidade,
se os con o nos ossem ap oximados po cu as pa amé icas, po exemplo po splines. Tal
se ia bas an e simila a algumas me odologias já exis en es, nomeadamen e as snakes de
Kalman ( e segundo capí ulo), no en an o, exis i ia semp e a es ição de o mo imen o en e
as imagens a conside a e que se necessa iamen e eduzido.
Após es e p imei o es e, p ocedeu-se à implemen ação de me odologias pa a a
de e minação dos con o nos dos objec os p esen es em cada imagem. Como os con o nos
de e minados pode iam e um núme o ele ado de pixels, implemen ou-se um algo i mo pa a
se p ocede à sua amos agem, u ilizando c i é ios de la gu a máxima do in e alo en e pixels
e do alo da cu a u a. Assim, o nou-se possí el ob e con o nos com densidade adap a i a
de manei a a concen a mais pixels nas zonas onde exis em a iações de cu a u a mais
acen uadas.
Es ando os con o nos dos objec os p esen es em cada imagem de e minados e amos ados,
p ocedeu-se à implemen ação de duas me odologias pa a a de e minação da co espondência
en e dois objec os, baseadas na análise dos alo es e ec o es p óp ios de ma izes desc i i as
dos mesmos. Es as me odologias o am es adas pa a di e en es objec os ígidos e
de o má eis, ealizando-se uma análise de alhada dos esul ados ob idos.
Como os objec os eais de o má eis são simulados de o ma mais adequada po modelos
de o má eis elás icos, p ocedeu-se à modelização ísica dos objec os a conside a po
in e médio do mé odo dos elemen os ini os. Essa modelização oi e ec uada u ilizando-se
dois ipos de elemen os ini os: um único elemen o isopa amé ico, cons uído u ilizando
unções de in e polação de base Gaussiana, e elemen os axiais s anda d de idamen e
ag upados. A de e minação das co espondências é ob ida pela análise das ajec ó ias de cada
nodo no espec i o espaço modal. Além das co espondências, es a modelização pe mi e ob e
uma es ima i a, consis en e com as p op iedades do ma e ial simulado, po minimização da

INTRODUÇÃO À TESE E À SUA ESTRUTURA
9
ene gia de de o mação, pa a os deslocamen os dos nodos. Es a ene gia de de o mação,
dis ibuída ao longo dos modos de ib ação dos modelos, pe mi e aduzi quan i icadamen e
a ans o mação exis en e en e os dois objec os, sendo possí el dis ingui pe ei amen e as
pa celas e e en es à ans o mação ígida e às de o mações locais. Es a me odologia oi
aplicada a á ios objec os ígidos e de o má eis, p ocedendo-se a uma análise de alhada dos
esul ados ob idos.
Ao longo do abalho desen ol ido, o nou-se ainda mais e iden e a necessidade de
implemen a uma me odologia pa a a ob enção da ans o mação ígida que melho aduzisse
a pa e ígida da ans o mação global exis en e en e dois objec os p e iamen e
empa elhados. Assim, al implemen ação oi ealizada u ilizando-se um mé odo baseado em
qua e nions uni á ios.
Es ando implemen adas á ias me odologias pa a de e mina a co espondência en e
objec os 2D que conduziam a esul ados bas an e sa is a ó ios, e oluiu-se pa a modelos
supe iciais. Es es no os modelos esul am da u ilização do ní el de in ensidade como a
e cei a coo denada de cada pixel do objec o p esen e na imagem 2D. (De e-se no a que,
na u almen e, os mé odos desen ol idos são di ec amen e aplicá eis a objec os ep esen ados
no espaço idimensional.) A amos agem de cada objec o no espaço 2D oi conseguida de
duas manei as dis in as: uma u ilizando uma malha ec angula egula e uma ou a u ilizando
uma malha adap a i a cons uída po análise dos pe is adiais de in ensidade cen ados nos
máximos. Pa a a cons ução des as supe ícies o nou-se e iden e que se iam ú eis
e amen as pa a ealiza a iangulação de pon os não es u u ados, e pa a simpli ica e
sua iza a malha iangula esul an e. Assim p ocedeu-se à in eg ação na pla a o ma de
desen ol imen o e ensaio da biblio eca de domínio público VTK - The Visualiza ion Toolki
[Sch oede , 1996, 1998, 1999]. Após essa in eg ação, as me odologias u ilizadas com
modelos 2D o am es endidas pa a es e ipo de modelo e o am ealizados á ios es es e
analisados os esul ados ob idos.
Com a modelização supe icial o nou-se possí el ep esen a , u ilizando um único
modelo, objec os que no plano imagem podem se cons i uídos po di e sas en idades. Des e
modo, diminui-se a di iculdade do p oblema o iginal e, ao mesmo empo, o na-se possí el
desp eza a e en ual usão e/ou di isão das en idades, que pode oco e ao longo do
mo imen o no plano imagem. Ob iamen e que es a modelização se o na mais ap op iada, e
com maio signi icado in ui i o, se o ní el de in ensidade de cada pixel es i e elacionado
com alguma ca ac e ís ica do objec o a modeliza .
Essa elação, en e o ní el de in ensidade e a e cei a coo denada, é e i icada em imagens
de pedoba og a ia dinâmica nas quais o ní el de in ensidade es á di ec amen e elacionado
com a p essão exe cida, sob e o sis ema senso , pelo pé em es udo. Assim, e a í ulo de
exemplo, as á ias me odologias e modelizações implemen adas na ese o am aplicadas em
imagens de pedoba og a ia dinâmica, endo-se e i icado que, apesa dos bons esul ados
ob idos na de e minação das co espondências en e con o nos 2D, a e olução pa a os
modelos supe iciais de in ensidade, além de ambém o igina esul ados bas an e
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
10
sa is a ó ios, e i ou o aumen o da complexidade p o ocada pela possibilidade de exis i em
mais do que apenas um con o no em cada imagem e de oco e a di isão e/ou usão en e os
mesmos.
1.3 – Es u u a o ganiza i a da ese
P e endeu-se es u u a es a ese de o ma a maximiza a au onomia e a independência en e
os seus capí ulos. Ap esen am-se de seguida, de o ma esumida, os es an es se e capí ulos e
o único anexo que cons i uem es a publicação:
• CAPÍTULO II MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS
DEFORMÁVEIS
Nes e capí ulo são ap esen adas á ias me odologias ac ualmen e exis en es no domínio des a
ese e são indicados á ios exemplos de aplicações.
Após a in odução de alguns undamen os, o mo imen o não ígido é classi icado e, pa a
cada classe esul an e, são indicadas as es ições e as condições ine en es e e i icados alguns
abalhos ealizados no seu âmbi o.
Como uma g ande pa e do abalho ealizado en ol e o desen ol imen o e a u ilização de
modelos de o má eis, o des aque des e capí ulo concen a-se nesse ipo de modelos. Assim,
es es modelos são desc i os com alguma p o undidade e são analisadas á ias aplicações
p incipalmen e na á ea da imagem médica, nomeadamen e na segmen ação e na análise e
seguimen o de mo imen o não ígido.
• CAPÍTULO III DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA
FORMA
Como já oi e e ido, ao longo do abalho desen ol ido e i icou-se se de g ande in e esse a
possibilidade de sepa a a ans o mação exis en e en e dois objec os em dois ipos: ígida e
local ou de de o mação. Assim, oi implemen ado um mé odo, baseado em qua e nions
uni á ios, pa a se de e mina a ans o mação ígida exis en e e que necessi a de apenas um
eduzido núme o de empa elhamen os en e os pon os que cons i uem cada objec o; o e e ido
mé odo é ap esen ado no início des e capí ulo.
É depois desc i o um mé odo pa a a de e minação de co espondências en e pon os, 2D e
3D, de dois objec os baseado no p incípio da dis ância mínima.
Como o mé odo e e ido an e io men e não p oduz bons esul ados quando os objec os êm
o mas, ou posicionamen o, ou o ien ação, ligei amen e di e en es, é desc i o um no o
mé odo, baseado nes e, que u iliza in o mação sob e as duas o mas a empa elha , ob ida a
pa i dos alo es e dos ec o es p óp ios de uma ma iz cons uída pa a cada objec o, e ob ém
esul ados sa is a ó ios pa a as e e idas si uações.
INTRODUÇÃO À TESE E À SUA ESTRUTURA
11
• CAPÍTULO IV DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO
FÍSICA E ANÁLISE MODAL
No capí ulo an e io o am ap esen ados dois mé odos pa a a de e minação de
co espondências en e objec os, 2D ou 3D, ígidos ou não, baseados na cons ução de
ma izes de p oximidade, cons uídas a pa i das coo denadas dos seus pon os, e na análise
dos alo es e dos ec o es p óp ios des as ma izes pa a o es abelecimen o das
co espondências.
Nes e capí ulo é ap esen ada uma no a abo dagem, com o mesmo objec i o, mas na qual é
u ilizada uma modelização ísica, pelo mé odo dos elemen os ini os, dos objec os a
empa elha conside ando que es es são cons uídos po um de e minado ma e ial i ual, e
de e minando as co espondências pela análise das ajec ó ias dos nodos de cada objec o no
espec i o espaço modal.
No início des e capí ulo é ealizada uma b e e in odução ao mé odo dos elemen os ini os
e, a segui , é ealizada uma ap esen ação in odu ó ia à análise modal.
• CAPÍTULO V MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
É desc i o nes e capí ulo o p ocesso u ilizado pa a cons ui os modelos dos objec os baseados
na sua modelização ísica.
Assim, em p imei o luga , são ap esen ados os dois ipos de modelos ini os que o am
u ilizados: um no qual é u ilizado um único elemen o ini o isopa amé ico, que u iliza
unções de in e polação de base Gaussiana en e odos os nós que cons i uem cada objec o a
modeliza , e um ou o que u iliza na modelização de cada objec o elemen os ini os axiais
s anda d de idamen e ag upados. São desc i os os p ocedimen os u ilizados na de e minação
dos nodos dos modelos do ipo con o no e do ipo supe ície de in ensidade.
Também são ap esen ados nes e capí ulo alguns esul ados expe imen ais ob idos na
análise modal de ib ação em modo li e, na de e minação de co espondências, na es imação
de deslocamen os, e na u ilização da ene gia de de o mação como indicação da de o mação
exis en e.
• CAPÍTULO VI PLATAFORMA DE DESENVOLVIMENTO E ENSAIO
Du an e o abalho elacionado com es a ese oi c iada, expandida e u ilizada, uma
pla a o ma de desen ol imen o e ensaio pa a o p ocessamen o e análise de imagem. Es a
pla a o ma, desen ol ida em linguagem C++ no sis ema in eg ado de desen ol imen o
Mic oso Visual C++ pa a sis emas ope a i os Mic oso Windows 95/98/NT/2000, obedece a
uma iloso ia que pe mi e que a mesma seja, po si só, uma aplicação pa a o p ocessamen o e
análise de imagem dos mais di e sos ipos mas ambém, um sis ema base no qual ou os
in es igado es possam desen ol e e pos e io men e in eg a os seus algo i mos.
Nes e capí ulo é ap esen ada a pla a o ma de desen ol imen o e ensaio, nomeadamen e: a
sua concepção, as biblio ecas de domínio público in eg adas, as en idades ac ualmen e
supo adas, a sua in e ace, o modo como se p ocessa a in eg ação de uma no a unção e as
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
12
ope ações ac ualmen e disponí eis, que de âmbi o ge al, que as mais especí icas des a ese.
• CAPÍTULO VII ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
Nes e capí ulo são ap esen ados ensaios de aplicação da me odologia desen ol ida em
sequências de imagem de pedoba og a ia dinâmica. Não se p e ende a a o p oblema ge al
de aplicação em pedoba og a ia dinâmica mas, ão só, usa esse domínio como on e de
dados.
São ap esen ados esul ados ob idos na de e minação de co espondências, na u ilização da
ene gia de de o mação pa a medida das de o mações exis en es, e na es imação dos
deslocamen os nodais po minimização da e e ida ene gia, en e objec os do ipo con o no
2D, supe ície de in ensidade (cons uídas u ilizando-se amos agem egula ou amos agem
adap a i a) e con o nos de isoní el.
An es da ap esen ação dos esul ados ob idos é ealizada uma in odução b e e à
pedoba og a ia dinâmica.
• CAPÍTULO VIII CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTO FUTURO
Nes e capí ulo são ap esen adas algumas conclusões inais sob e o abalho desen ol ido,
sob e a iloso ia que o o ien ou e sob e os esul ados expe imen ais ob idos. Também são
indicadas algumas pe spec i as de desen ol imen o u u o, as quais se ão conside adas no
p osseguimen o do abalho ealizado.
• ANEXO IMAGENS A CORES
Es e anexo é cons i uído pelas e sões colo idas de algumas das imagens ap esen adas, em
ní eis de cinzen os, ao longo dos capí ulos que cons i uem es a ese. Com es e anexo espe a-
se, de algum modo, acili a a in e p e ação de algumas imagens que pa ece am mais
ele an es.
1.4 – Con ibuições p incipais da ese
Como p incipais con ibuições, algumas com ca ác e ino ado , ob idas pelo abalho
ealizado nes a ese, podem se e e enciadas as seguin es:
• No domínio do ema da ese:
O es udo, de ce o modo ap o undado, das á ias me odologias, e suas aplicações,
exis en es no domínio da análise e seguimen o de co pos de o má eis, que se espe a se de
u ilidade em abalhos u u os, dada a ac ual ca ência de boas e isões do es ado da a e
nes e domínio.
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
21
es a ís icas se ão e e idas na secção 2.2.4.
Conquan o as p imei as ep esen ações de objec os baseadas em p incípios ísicos
pe mi issem uma melho modelização das de o mações não ígidas, elas ap esen am a
des an agem de se em baseadas na écnica ma emá ica das di e enças ini as pa a a
disc e ização e in eg ação numé ica das equações ísicas ine en es. A u ilização das di e enças
ini as o igina p oblemas se e os com a amos agem, pois não pe mi e a ixação das molas
elás icas em pon os di e en es dos nodos de disc e ização. Es e p oblema pode se
compensado pelo aumen o do núme o de pon os de disc e ização, mas o empo de cálculo é
o emen e penalizado.
2.2.2 – Mé odo dos elemen os ini os
Pa a esol e de o ma adequada os p oblemas associados à amos agem e à escala, pode-se
u iliza o mé odo dos elemen os ini os na modelização ísica. Es a abo dagem oi conside ada
na modelização de objec os sólidos de o má eis supe quád icos em [Pen land, 1990, 1991] e
pos e io men e em [Te zopoulos, 1991]. Em [Cohen, 1990] é ap esen ada uma o mulação
pa a as snakes u ilizando o mé odo dos elemen os ini os, que esul ou na modelização de um
objec o em e mos de balões 3D de o má eis que podem se insu lados pa a se ajus a em a
conjun os de dados de imagens médicas e de ou os ipos [Cohen, 1992].
No mé odo dos elemen os ini os as unções de in e polação usadas pe mi em a
conside ação da con inuidade das p op iedades do ma e ial, al como a massa e a igidez, de
o ma a se em in eg adas ao longo da egião de in e esse. No e-se que, apesa da simila idade
das equações esul an es, al abo dagem é bas an e di e en e da baseada na écnica das
di e enças ini as [Ba he, 1996; Pen land, 1991; Sege lind, 1984]. Pa icula men e
signi ica i o é que o mé odo dos elemen os ini os disponibiliza uma ca ac e ização analí ica
da supe ície en e nodos e pode ga an i con e gência pa a uma solução [Ba he, 1996],
enquan o os mé odos de di e enças ini as não o pe mi em.
Con udo, indi e en emen e da u ilização do mé odo dos elemen os ini os ou das di e enças
ini as, as ep esen ações baseadas em p incípios ísicos não podem se u ilizadas
di ec amen e na compa ação de objec os. Vi ualmen e odos os mé odos baseados em splines,
em placas inas ou em polinómios ap esen am es a inadequação pa a a ob enção de desc ições
canónicas [Scla o , 1995]; al p oblema de e-se ao ac o de os pa âme os pa a as supe ícies
pode em se de inidos de o ma a bi á ia, e assim não se em in a ian es às al e ações do
pon o de is a, às oclusões, ou às de o mações não ígidas. Pa a uma qualque ep esen ação
que u ilize malhas, o único mé odo ge al pa a de e mina se duas supe ícies são equi alen es
é ge a um núme o de pon os amos ados em posições co esponden es nas duas supe ícies e
obse a as dis âncias en e esses dois conjun os de pon os. Além de se a a de uma
abo dagem g ossei a e cus osa, pode acon ece que as supe ícies ap esen em pa ame izações
bas an e di e en es o que implica o aumen o da di iculdade na ge ação dos pon os de

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
22
amos agem em posições co esponden es.
2.2.3 – Decomposição modal
Pa a esol e o p oblema de não unicidade da ep esen ação ob ida pela u ilização de modelos
de o má eis segundo p incípios ísicos oi ap esen ada uma solução baseada na análise modal
em [Pen land, 1991]. Na análise modal, as equações esul an es do mé odo dos elemen os
ini os são simpli icadas po exp essão des as equações dinâmicas u ilizando os ec o es
p óp ios do modelo. Es es ec o es p óp ios são designados po modos de de o mação do
modelo e, em conjun o, o mam uma base o ono mal o denada pela equência pa a
ep esen ação da o ma do mesmo. A análise modal oi aplicada em p oblemas de ob enção da
o ma e de econhecimen o [Pen land, 1989a, 1990, 1991], e ambém pa a o seguimen o de
mo imen o não ígido [Pen land, 1989, 1991a].
Basicamen e, a ep esen ação modal ap esen a a an agem de desag upa os g aus de
libe dade do sis ema dinâmico não ígido. Desacoplando os g aus de libe dade ob êm-se
an agens subs anciais, a mais impo an e das quais é o p oblema o iginal se o na mais
simples e esolú el de o ma e icien e.
A ans o mação modal, po si só, não eduz o núme o de g aus de libe dade, e assim a
ep esen ação modal comple a ap esen a o mesmo p oblema de não unicidade de ou as
ep esen ações. A solução do p oblema passa pela eliminação de um núme o su icien e dos
modos de equências mais ele adas; a u ilização de uma ep esen ação modal de base
eduzida ambém o igina uma ep esen ação única da o ma, pois os modos o mam um
conjun o de base o ono mal o denado pela equência, semelhan e à decomposição de
Fou ie . Tal como na decomposição de Fou ie , desde que seja assumida uma subamos agem
egula , a edução do núme o de pon os de amos agem não al e a as componen es de
equências eduzidas. Do mesmo modo, a amos agem local e o uído a ec am
p incipalmen e os modos de equências ele adas, e não os modos de equências eduzidas.
O esul ado é um modelo de o má el pa amé ico cujos pa âme os ap esen am um
signi icado ísico in ui i o.
Os modos u ilizados pa a desc e e a de o mação de um objec o são de e minados pela
esolução de um p oblema de alo es p óp ios de uma ma iz de ele adas dimensões; al
signi ica que a análise modal pode ap esen a a des an agem de a base modal se de di ícil
cálculo em empo eal. Con udo, e i icou-se que pa a uma classe pa icula de o mas
simila es os modos podem se p é-calculados e gene alizados [Pen land, 1990, 1991a]; pa a
alguns casos, com opologias es é icas e ubula es, é demons ado que os modos de
de o mação podem se de e minados de o ma analí ica [Nas a , 1993a, 1994].
A u ilização da ep esen ação modal p opo ciona uma solução compu acionalmen e
con enien e pa a a ob enção de um modelo de elemen os ini os pa amé ico, ao mesmo
empo que ambém esol e os p oblemas associados à amos agem e à não unicidade;
con udo, um ou o p oblema con inua sem esolução. Em cada um dos mé odos baseados em
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
23
p incípios ísicos a ligação po uma mola i ual en e pon os dos dois objec os especi ica
implici amen e as co espondências en e alguns dos nodos dos objec os de o má eis.
Ge almen e a co espondência a u iliza pa a o es abelecimen o des as ligações não é
conhecida e de e se de e minada. Po ezes, pa a o mé odo ap esen a um bom desempenho,
o u ilizado necessi a de especi ica manualmen e quais as ligações adequadas a se em
conside adas. Es e é o aspec o mais p oblemá ico da modelização segundo p incípios ísicos;
al não de e se su p eenden e pois es e p oblema é simila ao de de e minação de
co espondência en e objec os exis en e em mui as aplicações da isão po compu ado .
2.2.4 – Rep esen ações p óp ias
Exis e uma classe de mé odos p óp ios que de i am a sua pa ame ização di ec amen e a
pa i da o ma dos dados e, des e modo, e i am o p oblema da ixação das molas i uais.
Algumas des as écnicas ambém en am de e mina , de o ma explíci a e au omá ica, as
co espondências en e conjun os de pon os ca ac e ís icos, enquan o ou as e i am
especi ica a co espondência ao ní el de ca ac e ís icas, mas p ocu am empa elha imagens
u ilizando abo dagens mais globais. Tal como na análise modal, cada um dos mé odos
p óp ios decompõe a de o mação do objec o numa base o ogonal e o denada. Ge almen e
es es mé odos di idem-se em ês ca ego ias: o mas p óp ias (eigenshapes), de o mações
p óp ias (eigenwa ps), e imagens p óp ias (eigenpic u es).
Fo mas p óp ias
A ideia base dos mé odos baseados nas o mas p óp ias é simples: a o ma é desc i a po uma
ma iz, simé ica e de inida posi i amen e, medindo a ligação exis en e en e os dados
pon uais. Es a desc ição da o ma pode se decompos a de manei a única num conjun o de
componen es linea es po análise dos ec o es p óp ios da ma iz de o ma, e os ec o es
p óp ios esul an es podem se u ilizados pa a desc e e as de o mações mais signi ica i as
pa a al classe de objec os. Es as de o mações p incipais são simila es aos eixos de sime ia
gene alizados de um objec o, pois desc e em os eixos p incipais da sua de o mação.
Uma des as ma izes pa a a desc ição da o ma, a ma iz de p oximidade [Shapi o, 1991,
1992, 1992a], é o emen e elacionada com a eo ia po encial clássica e desc e e dis âncias
com ponde ação Gaussiana en e dados pon uais. Os ec o es p óp ios des a ma iz podem se
u ilizados pa a de e mina a co espondência en e dois conjun os de pon os.
De o mações p óp ias
Em [Coo es, 1992] é in oduzido um mé odo pa a cap u a as p op iedades in a ian es de uma
classe de o mas baseado na ideia de de e mina as a iações p incipais de um modelo de
con o no. O mé odo em po base a ep esen ação de objec os como um conjun o de pon os
e ique ados e a análise es a ís ica das suas a iações num conjun o de eino. Uma ma iz de
co a iância é cons uída pa a a desc ição dos deslocamen os dos pon os do modelo
ela i amen e ao cen óide do p o ó ipo. Seguidamen e é ealizada uma análise de
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
24
componen es p incipais des a ma iz de co a iância e, depois, um eduzido núme o das
componen es mais signi ica i as é u ilizado pa a o con olo das de o mações do modelo.
Es a écnica em a an agem de pode se einada de manei a a cap u a a in o mação ao
longo dos eixos mais impo an es de a iação pa a o conjun o de eino e, des e modo, pa a a
a iação es imada nos no os modelos que sejam encon ados na mesma classe de objec os.
A écnica é baseada di ec amen e nos pon os ca ac e ís icos amos ados. Quando di e en es
pon os ca ac e ís icos são de e minados em is as dis in as, ou esul am de densidades de
amos agem desiguais, as ma izes de o ma pa a duas is as se ão di e en es, mesmo que a
pose e a o ma do objec o sejam idên icas. O mé odo ambém não pode inco po a in o mação
ace ca da conec i idade en e ca ac e ís icas; is o é, os dados são a ados como nu ens de
pon os idên icos. Uma des an agem ainda mais signi ica i a que es e mé odo ap esen a é a
sua inadequação pa a de o mações acen uadas, a menos que p e iamen e sejam dadas as
co espondências en e ca ac e ís icas [Scla o , 1995].
Numa en a i a de diminui os p oblemas associados a es a me odologia su gi am á ias
p opos as de melho amen os. Assim, em [Hill, 1994] é ap esen ada uma solução pa a a
de e minação au omá ica dos pon os a se em u ilizados na ge ação dos modelos e pa a a
de e minação da co espondência pon ual, sendo ap esen ados esul ados em imagens do
co ação e da mão. Em [Coo es, 1995] es es modelos são complemen ados com modelos de
o ma baseados na análise dos elemen os ini os. Basicamen e, a solução ap esen ada baseia-
se na adução das de o mações admissí eis pela u ilização dos modos de ib ação do modelo
ini o, quando exis em poucas o mas de eino, e na conside ação de mais modos es a ís icos,
quando um maio núme o de o mas de eino es á disponí el.
Imagens p óp ias
Um ou o g upo de mé odos de desc ição p óp ia é designado po imagens p óp ias, pois es es
mé odos execu am o cálculo das componen es p incipais di ec amen e a pa i das imagens
o iginais. U ilizando es a abo dagem o am cons uídos sis emas que execu am com
es abilidade o econhecimen o de aces, o econhecimen o de eículos, o seguimen o de
eículos em es adas, e c.
Po exemplo, em [Tu k, 1991] é u ilizada es a écnica pa a a desc ição de no as aces po
de e minação das a iações p incipais num as o conjun o de eino de imagens em ní eis de
cinzen o. Pa a econhece uma no a ace, é de e minada uma solução que sin e iza a no a
ace a pa i de uma combinação pesada das aces p óp ias. A no a ace pode se
pos e io men e econhecida pela compa ação da solução pa a a sua sín ese com as soluções
pa a as sín eses das aces conhecidas. No limi e, a decomposição em aces p óp ias pode
con e mui as aces na sua base mas, ge almen e, uncando-se pa a apenas as p imei as 10-20
aces p óp ias pode-se con empla a é 99% da a iância do conjun o de eino [Scla o ,
1995]. Além do mais, a desc ição de aces pode se conseguida com um núme o eduzido de
pa âme os. Es a ans o mação pa a o espaço p óp io uncado desc e e um subespaço
designado po espaço acial.
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
25
Como o iginalmen e p opos a, es a écnica ap esen a p oblemas ela i os a al e ações na
escala, na o ien ação e na iluminação. Em [Moghaddam, 1994; Pen land, 1994] es e mé odo
oi es endido de o ma a inco po a espaços p óp ios modula es, que podem inclui
in o mação sob e al e ações do pon o de is a, e modelos p óp ios, pa a melho modeliza
ca ac e ís icas aciais como os olhos, o na iz e a boca.
A u ilização de subespaços pa a o econhecimen o de aces, econhecimen o de linguagem
ges ual e de ecção de objec os é ambém ealizada em [Moghaddam, 1997].
Em [Belhumeu , 1997] é ap esen ada uma abo dagem baseada na análise de componen es
p incipais pa a o econhecimen o de aces que é in a ian e à iluminação e às suas a iações.
A análise de componen es p incipais é ambém u ilizada em [C aw, 1999] pa a a de ecção
e econhecimen o de aces, em [Ohba, 1997] pa a o econhecimen o de objec os múl iplos, e
em [Swe s, 1996] pa a o econhecimen o de aces e de ou os objec os.
Ge almen e, apesa dos ape eiçoamen os que em indo a so e , es e mé odo não
consegue con empla adequadamen e os p oblemas associados ao escalamen o, à o ação e às
de o mações [Scla o , 1995].
2.3 – Análise de mo imen o não ígido
O p oblema da análise de mo imen o não ígido é complexo: a não igidez implica a a iação
da o ma e, e en ualmen e, a a iação da opologia da es u u a. Um objec o não ígido não
pode se ep esen ado po um conjun o ixo de pa âme os, a menos que ce as es ições
sejam u ilizadas no compo amen o do objec o. Assim, ao con á io do mo imen o ígido, não
é possí el u iliza um algo i mo ge al pa a de e minação dos pa âme os do mo imen o.
Consequen emen e, é necessá io classi ica o mo imen o não ígido de o ma a guia a
escolha da abo dagem a u iliza . Os objec os não ígidos podem se sepa ados em di e en es
ipos ais como: a iculados, elás icos e luidos [Kambhame u, 1998]. Di e en es mé odos
pa a a análise de mo imen o podem se mais adequados pa a cada ipo. Limi ando o âmbi o
de um p oblema de análise de mo imen o não ígido a um ipo pa icula , é possí el de ini
conside ações não ígidas especí icas que podem se inco po adas como es ições
compu acionais nos algo i mos a u iliza .
Nos úl imos anos êm indo a ealiza -se p og essos signi ica i os na análise de
mo imen o não ígido. Nes a secção, são classi icadas di e en es abo dagens na análise de
mo imen o não ígido e indicadas as conside ações e condições que u ilizam.
É impo an e no a que as ques ões de análise de mo imen o e modelização da o ma se
o nam insepa á eis quando se conside a o mo imen o do ipo não ígido. A pe spec i a
o ien ada à modelização suge e uma classi icação possí el da o ma não ígida e do
mo imen o. Modelos de o ma não ígida podem se di ididos em dois g andes g upos:
modelos locais e modelos globais. As abo dagens de modelização local, concen am-se nas
ep esen ações da o ma local e incluem os mé odos baseados em geome ia di e encial e os
mé odos ísicos baseados na écnica dos elemen os ini os. Abo dagens de modelização global
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
26
incluem á ios modelos pa ame izá eis (que são á ias ezes adequados an o pa a objec os
ígidos como pa a não ígidos) ais como ha mónicos es é icos, modelos polinomiais globais,
hipe quád icos, e c. A classi icação local/global não é a única possí el e, de ac o, á ios
au o es desen ol e am ecen emen e modelos de o ma com ca ac e ís icas globais e locais
em simul âneo.
2.3.1 – Classi icação do mo imen o não ígido
Uma classi icação possí el do mo imen o de objec os 3D, especialmen e as suas supe ícies,
pode con empla as seguin es classes1 [Kambhame u, 1998]:
• Mo imen o ígido – a dis ância en e quaisque dois pon os do objec o é p ese ada. O
objec o não es ica nem dob a; desde modo, a cu a u a2 média e a cu a u a Gaussiana
na supe ície man êm-se in a ian es.
• Mo imen o a iculado – conjun o de elemen os cada um dos quais com mo imen o
ígido. En ol e o mo imen o de pa es ígidas conec adas po ligações não ígidas.
Cla amen e nes e caso as es ições de igidez são mais elaxadas.
• Mo imen o quase ígido – as de o mações são limi adas a pequena ampli ude. Quando
is o em in e alos de empo su icien emen e eduzidos o mo imen o não ígido en e
imagens é quase ígido.
• Mo imen o isomé ico – mo imen o não ígido que p ese a o comp imen o ao longo
da supe ície assim como os ângulos en e cu as sob e a mesma.
• Mo imen o homo é ico – expansão ou con acção uni o me da supe ície.
• Mo imen o con o me – mo imen o não ígido que p ese a os ângulos en e cu as da
supe ície mas não os comp imen os das cu as.
• Mo imen o elás ico – mo imen o não ígido cuja única es ição é algum g au de
con inuidade ou sua ização. Es e é o ipo de mo imen o de um objec o sólido mais
di ícil de analisa .
• Mo imen o luído – mo imen o não ígido ge al, não necessa iamen e con ínuo. Pode
en ol e a iações de opologia e de o mações u bulen as.
1 Também é comum e i ica -se a classi icação do mo imen o não ígido em apenas ês classes: a iculado, elás ico e luído.
2 As supe ícies êm dois ipos p incipais de cu a u a [Fa in, 1996]: a média e a Gaussiana. Nos pon os de uma supe ície
exis em dois alo es ex emos de cu a u a: 1
k e 2
k, designados po cu a u as p incipais; o p odu o 12
kk é designado po
cu a u a Gaussiana e a soma
()
12
12kk+ é designada po cu a u a média.

MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
27
2.3.2 – Classes es ingidas de mo imen o não ígido
2.3.2.1 – Mo imen o a iculado
Um objec o a iculado é um ipo de objec o não ígido bas an e es ingido, compos o po
pa es ígidas com ligações en e si que pe mi em es ilos de inidos de mo imen o. Alguns
exemplos simples de objec os a iculados são: b aços, pe nas, esou as, alica es, esquele os de
animais e manipulado es obó icos. A impo ância do mo imen o a iculado no mo imen o de
obôs é uma das azões pa a a sua g ande impo ância na análise de mo imen o não ígido.
Um objec o pode se classi icado como a iculado pela obse ação do seu compo amen o
ao longo de de e minado pe íodo de empo e compa ando a sequência de imagens com odas
as o mas álidas que podem se ge adas po um modelo a iculado conhecido. Uma ou a
abo dagem iá el é conside a oda a sequência de imagens de um objec o e in eg á-las em
unção dos g aus de libe dade de a iculação em cada pon o. Mui a in es igação em indo a
se ealizada na modelização, no econhecimen o e na análise de mo imen o do ipo
a iculado. Em ge al, quando compa ado com os es an es ipos de mo imen o não ígido, em
indo a e i ica -se um maio desen ol imen o nes e ipo de mo imen o [Kambhame u,
1998]. Tal de e-se ao ac o de exis i a possibilidade de decompo o co po a iculado em
pa es ígidas e aplica -se a análise de mo imen o ígido em cada uma dessas pa es.
Em [Pen land, 1990] é u ilizada uma abo dagem ísica pa a sis emas a iculados, baseada
no mé odo dos elemen os ini os e na dinâmica modal, pa a a segmen ação da imagem 2D e
pos e io ajus e de modelos de o má eis a dados 3D associados com a imagem.
Um modelo pa a a ep esen ação de mo imen o não ígido, baseado em elas icidade
ela i a, com o qual é possí el ob e -se o mo imen o e a es u u a de objec os de o má eis
a iculados, sem o p é io conhecimen o dos seus pa âme os ísicos, é ap esen ado em [Smi h,
1995]. T a a-se de uma en a i a de u iliza as écnicas aplicadas em mo imen o de objec os
ígidos incluindo a elas icidade ela i a nas equações de mo imen o ígido.
A análise de objec os a iculados ou que se dob am é ambém conside ada em [Sozou,
1995] a a és de uma gene alização não linea dos modelos de dis ibuição de pon os
u ilizando eg essão polinomial e pe mi indo, des e modo, que os pon os de con olo se
desloquem segundo ajec ó ias polinomiais. Es a abo dagem oi u ilizada na análise de
c omossomas em imagens, e complemen ada com a u ilização de edes neu onais em [Sozou,
1995a].
Em [Kakadia is, 1994, 1995, 1996] é es imado o mo imen o e a o ma de objec os
a iculados u ilizando uma abo dagem ísica, po in e médio do mé odo dos elemen os ini os,
e il agem de Kalman [Maybeck, 1979] pa a es ima a posição do modelo na imagem
seguin e.
Em [Jones, 1999] é ap esen ada uma abo dagem que u iliza ca ac e ís icas in a ian es dos
objec os a iculados pa a o econhecimen o baseado em modelos cons uídos p e iamen e.
Es a abo dagem é aplicada em imagens de ada .
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
28
O p oblema de econhecimen o da o ma de objec os a iculados e de o má eis é ambém
a ado em [Pelillo, 1999], a a és da u ilização de g a os e de á o es de pesquisa pa a a
de e minação dos empa elhamen os.
Em [Tsap, 1999] é a ado o p oblema da análise de mo imen o não ígido de objec os
elás icos e a iculados u ilizando modelos de elemen os ini os não linea es, cons uídos a
pa i de conhecimen o p é io do objec o e dos seus dados 3D. A ideia base da me odologia
u ilizada é a de e minação das o ças que são esponsá eis pelo mo imen o ou de o mação da
o ma do objec o, sem a necessidade da de e minação da co espondência pon ual.
2.3.2.2 – Mo imen o quase ígido
O mo imen o quase ígido es inge o g au de de o mação. Um mo imen o ge al não ígido é
quase ígido quando analisado em in e alos de empo su icien emen e eduzidos en e
imagens, is o é, quando a amos agem empo al o su icien emen e ele ada.
O abalho inicial na á ea do mo imen o não ígido oi o mulado endo po base o ac o de
um objec o eal não pode al e a a sua o ma ins an aneamen e de ido à iné cia. Quando uma
anslação, uma o ação, e uma de o mação, são aplicadas a um objec o e uma sequência de
imagens é adqui ida, u ilizando-se in e alos de empo eduzidos, o mo imen o não ígido
que oco e en e imagens é diminu o.
Em [Se hi, 1987] é abo dado o p oblema da de e minação da co espondência pon ual em
mo imen o não ígido. O mé odo ap esen ado pa a es abelece co espondências de objec os
não ígidos em sequências de imagens u iliza uma es ição de sua idade do mo imen o.
U ilizando coe ência das ajec ó ias, é o mulado um p oblema de op imização que assume
que o objec o não pode al e a a sua o ma ins an aneamen e. A abo dagem u ilizada implica
que as ajec ó ias pon uais 2D, esul an es das p ojecções das ajec ó ias 3D, sejam sua es,
esul ando as ajec ó ias mais sua es en e odas as possí eis. Tal abo dagem esol e
au oma icamen e o p oblema da co espondência; con udo, es a écnica é compu acionalmen e
in ensi a, dependendo do núme o de imagens a conside a , e baseia-se na sua idade de
mo imen o 2D.
Uma abo dagem simila pa a medi as ajec ó ias pon uais em objec os de o má eis em
sequências de imagens é ap esen ada em [Duncan, 1991], em que a on ei a do objec o é
modelizada como um con o no de o má el e os seus segmen os locais são seguidos ao longo
da sequência empo al. É assumido eduzido mo imen o pa a as ca ac e ís icas u ilizadas, de
manei a a de e mina -se os pon os candida os a cada empa elhamen o. A es ima i a do
mo imen o é ealizada po empa elhamen o de segmen os locais en e pa es de con o nos,
baseada na minimização da de o mação en e segmen os u ilizando como medida a ene gia de
lexão. A abo dagem ap esen ada oi aplicada no seguimen o do mo imen o do en ículo
esque do do co ação.
Em [Zhang, 1992, 1994] é ap esen ada uma écnica i e a i a, baseada no mé odo dos
mínimos quad ados, pa a de e mina o empa elhamen o en e os pon os de uma cu a com os
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
29
pon os mais p óximos de uma ou a cu a, admi indo que o mo imen o é eduzido. Também
em [Kuma , 1995] é conside ado o p oblema da de e minação da co espondência en e
pon os de objec os não ígidos ao longo de sequências de imagens. No mé odo ap esen ado, é
assumido que na imagem seguin e a localização de cada pon o é in e io a um dado cí culo
cen ado na posição que inha na imagem an e io . Pa a de e mina a co espondência é
minimizada a soma dos quad ados das dis âncias u ilizando esul ados das eo ias dos g a os.
Em [Ta a es, 1995a, 1995b, 1995c] é desc i a uma abo dagem pa a o seguimen o de linhas
ao longo de sequências de imagens pa a a ob enção de es u u a a pa i do mo imen o
conhecido de uma câma a. Após a de ecção e seguimen o das linhas p esen es em cada
imagem, é ealizada a sua ap oximação poligonal, simpli icação dos segmen os de ec a
de e minados em cada imagem e é ealizado o seguimen o des es segmen os ao longo da
sequência. No seguimen o é u ilizada il agem de Kalman, pa a p e e o es ado das en idades
em cada e apa do mo imen o, e a dis ância de Mahalanobis em conjun o com es ições
geomé icas pa a o es abelecimen o das co espondências.
2.3.2.3 – Mo imen o isomé ico, homo é ico e con o me
O mo imen o isomé ico é de inido como o mo imen o que p ese a o comp imen o ao longo
da supe ície assim como os ângulos en e cu as sob e a mesma. Es e ipo de mo imen o
pode se ca ac e izado como man endo a cu a u a Gaussiana, mas não a cu a u a média.
Um exemplo des e ipo de mo imen o é uma de o mação po lexão, como po exemplo a
lexão de um pedaço de papel, ou de uma placa me álica, a pa i de uma con igu ação plana
a é uma o ma cilínd ica. O mo imen o isomé ico limi a se e amen e a não igidez, pois pa a
mui os objec os cu os, ais como a es e a, a isome ia não é possí el.
Ac ualmen e exis em mui as abo dagens pa a es ima o mo imen o isomé ico a pa i de
sequências de imagens 2D. É impo an e no a que ge almen e es e ipo de mé odos assume
que a co espondência pon ual en e imagens es á p e iamen e de e minada [Kambhame u,
1998].
O mo imen o homo é ico en ol e expansão ou con acção uni o me de uma supe ície,
is o é, o es i amen o (a quan idade de expansão ou de con acção) é igual em odos os pon os
da supe ície. O mo imen o isomé ico é um caso especial de mo imen o homo é ico com o
pa âme o de es i amen o uni á io em odos os pon os da supe ície. Exemplos do mo imen o
homo é ico incluem a expansão ou a con acção de um balão e uma es e a.
Em [Goldgo , 1988] é conside ada a u ilização das cu a u as média e Gaussiana pa a a
classi icação do mo imen o, e os mo imen os a iculados e homo é icos me ecem des aque.
Na abo dagem u ilizada, o es i amen o da supe ície du an e o mo imen o é um pa âme o de
mo imen o adicional. É ealizada a ex acção do es i amen o da supe ície sujei a a uma
ans o mação homo é ica (cons an e em odos os pon os), e ambém são de ec adas as pa es
da supe ície onde o mo imen o homo é ico é iolado.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
30
O mo imen o con o me é de inido como um mo imen o que p ese a os ângulos en e as
cu as na supe ície, mas não os comp imen os. O mo imen o homo é ico é uma classe
es i a do mo imen o con o me.
Em [Mish a, 1991] é ap esen ado um algo i mo pa a a de e minação do es i amen o local a
pa i da cu a u a Gaussiana, baseado em ap oximações polinomiais (linea es e quad á icas)
da unção de es i amen o, sob e mo imen o con o me. A exp essão u ilizada pa a o
es i amen o linea em mo imen o con o me eque pelos menos a co espondência en e ês
pon os. Uma ca ac e ís ica des e algo i mo é a não necessidade da p ese ação do sis ema de
coo denadas en e quaisque dois conjun os de dados. Es e algo i mo é aplicado pa a es ima
o es i amen o da pa ede do en ículo ca díaco esque do a pa i dos dados ob idos po
angiog a ia co oná ia.
Em [Amini, 1991] é ap esen ada uma abo dagem pa a o seguimen o da co espondência de
pon os do en ículo esque do em mo imen o que, além do modelo de es i amen o, u iliza um
modelo adicional pa a a lexão. A ísica do modelo do en ículo esque do é simulada po
uma placa ina, e o mo imen o en ol ido é seguido po minimização da lexão e da
di e gência do es i amen o con o me. As di ecções p incipais an es e depois do mo imen o
são u ilizadas pa a de ini o sis ema de coo denadas.
2.3.3 – Mo imen o não ígido ge al
Mui os au o es êm indo a abalha no p oblema da análise do mo imen o não ígido ge al.
Nes e domínio, o mo imen o, além da in a iância opológica, em poucas es ições. A
análise de mo imen o não ígido ge al é possí el em si uações pa a as quais exis em modelos
especí icos que u ilizam conhecimen o p é io sob e a aplicação em causa (mé odos baseados
em modelos). Con udo, abo dagens mais globais podem u iliza es ições mais gené icas
como, po exemplo, a sua idade do mo imen o.
2.3.3.1 – Mo imen o elás ico
O mo imen o elás ico é um mo imen o não ígido no qual a única es ição é algum g au de
con inuidade ou sua idade. Exemplos são o mo imen o de ma e iais elás icos como a
bo acha, de ma e iais iscoelás icos ais como a a gila e o ba o, e de ma e iais plás icos.
Es e ipo de mo imen o de objec os sólidos é o mais di ícil de analisa . Mo imen o elás ico
inclui mo imen o ígido mais de o mações de es i amen o, de lexão e de o ção.
Em [Te zopoulos, 1988] é in oduzida uma abo dagem gené ica, baseada em p incípios
ísicos pa a es ima o mo imen o elás ico, u ilizando modelos de o má eis. Es es modelos
são de inidos po p imi i as dinâmicas cons uídas po ma e ial elás ico simulado. O ma e ial,
ep esen ado ma ema icamen e po meio de splines gene alizadas, pe mi e u iliza es ições
de sua idade in ínsecas e o na possí el a de e minação do mo imen o con ínuo não ígido.
Tal como os objec os eais, os modelos de o má eis mo em-se em espos a a o ças aplicadas
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
37
o ma associados com as unções de base. A o ma disc e a da ene gia
()
e da snake pode
se esc i a como:
() {}
[]
{} {}
()
1
2
T
E
uuKu u=+R, (2.6)
onde
[
]
K
é a ma iz de igidez e
{
}
()
uR é a e são disc e izada do po encial ex e no. A
solução pa a o mínimo de ene gia esul a ixando o g adien e da equação (2.6) igual a 0; al é
equi alen e a esol e o sis ema de equações algéb icas:
[
]
{
}
{
}
{
}
K
u =-— R = , (2.7)
onde
{
}
é o ec o de o ças ex e nas gene alizadas.
A e são disc e a das equações dinâmicas Lag angianas dadas pela equação (2.5) pode se
esc i a po um conjun o de equações às di e enças o diná ias de segunda o dem em
()
{
}
u :
[
]
{
}
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
M
uCuKu ++ =
  , (2.8)
onde
[]
M
é a ma iz de massa e
[
]
C é a ma iz de amo ecimen o. As de i adas em o dem ao
empo na equação (2.5) são ap oximadas po di e enças ini as e mé odos explíci os ou
implíci os de in eg ação empo al são u ilizados pa a simula o sis ema o diná io de equações
di e enciais esul an e, em e mos dos pa âme os da o ma
{
}
u.
2.4.4 – Modelos de o má eis p obabilís icos
Uma abo dagem al e na i a pa a os modelos de o má eis de i a da esolução do p ocesso de
ajus e do modelo u ilizando mé odos p obabilís icos. Tal pe mi e a inco po ação de
ca ac e ís icas conhecidas a p io i em e mos de dis ibuições p obabilís icas. Es a
me odologia p obabilís ica ambém possibili a uma medida da ince eza dos pa âme os
es imados pa a a o ma depois do ajus e do modelo aos dados da imagem.
Seja u a ep esen a os pa âme os da o ma do modelo de o má el com uma
p obabilidade a p io i
()
p
u nos seus pa âme os. Seja
()
p
Iu o modelo de senso de
imagem – a p obabilidade de p oduzi uma imagem
I
dado um modelo u. O eo ema de
Bayes:
() ()
()
()
p
Iu pu
puI pI
= (2.9)
exp essa a p obabilidade a pos e io i
()
p
uI de um modelo dada a imagem, em e mos do
modelo da imagem e das p obabilidades a p io i do modelo e da imagem.
É ácil con e e a medida da ene gia in e na da equação (2.2) do modelo de o má el

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
38
numa dis ibuição a p io i sob e as o mas espe adas, com as o mas de meno ene gia a
se em as mais p o á eis. Tal é a ingido u ilizando uma dis ibuição de Bol zmann (ou de
Gibbs) com a o ma:
() ()
()
1exp S
S
p
uu
Z
=-, (2.10)
onde
()
Su é a e são disc e a de
()
S na equação (2.2) e S
Z
é uma cons an e de
no malização (designada po unção de sepa ação). Es e modelo a p io i é depois combinado
com um modelo simples do senso , baseado em medidas linea es com uído Gaussiano:
()
()
()
1exp P
I
p
Iu u
Z
=-, (2.11)
onde
()
Pu é uma e são disc e a do po encial
()
P
na equação (2.3), que é uma unção da
imagem
()
,
I
xy.
Os modelos podem se ajus ados po de e minação de uma solução pa a u que maximiza
localmen e
()
p
uI na equação (2.9); al é designado po solução (MAP) máxima a pos e io i.
Com a cons ução an e io , é ob ido um esul ado idên ico ao ob ido po minimização da
equação (2.1).
A abo dagem p obabilís ica pode se expandida assumindo a p io i um modelo a ian e no
empo (modelo de sis ema) em conjunção com o modelo de senso , esul ando num il o de
Kalman. O modelo do sis ema desc e e a e olução espe ada dos pa âme os u ao longo do
empo. Se as equações do mo imen o do modelo ísico das snakes da equação (2.8) o em
u ilizadas como modelo do sis ema, o esul ado é um algo i mo de es imação sequencial
conhecido po snakes de Kalman.
Po exemplo, em [Baumbe g, 1993, 1994, 1994a] são u ilizadas snakes em conjunção com
il agem de Kalman pa a o seguimen o de pessoas a caminha (sis emas a iculados) ao longo
de cenas es á icas. Também em [By ne, 1994] é ealizado es e ipo de seguimen o,
inco po ando o ní el de cinzen o na modelização, e u ilizando modelos de o ma lexí el em
conjunção com il agem de Kalman. Em [Bascle, 1994] é ealizado o seguimen o e a análise
do mo imen o ígido e não ígido, u ilizando ambém con o nos ac i os e il agem de
Kalman.
A ob enção de uma desc ição das es ições na geome ia di e encial de uma supe ície,
pela obse ação de uma cu a da mesma numa sequência de imagens, é ealizada em
[Cipolla, 1992, 1992a], sendo o seguimen o dos con o nos e ec uado po snakes de Kalman.
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
39
2.4.5 – Aplicações de modelos de o má eis
Os modelos de o má eis êm indo a se bas an e u ilizados pa a a segmen ação, classi icação
e seguimen o de objec os não ígidos em ge al. Po exemplo em [Jain, 1996] é conside ado
um modelo p o ó ipo ( empla e) e um conjun o de de o mações p o á eis do mesmo pa a o
empa elhamen o de objec os de o má eis; em [Bimbo, 1997] é de e minado o objec o
exis en e numa base de dados que mais se assemelha a um esboço de inido pelo u ilizado ,
a a és de uma u ilização de um p o ó ipo de o má el pa a o esboço; em [Ma dia, 1997] são
u ilizados p o ó ipos de o má eis pa a o econhecimen o de múl iplos objec os.
O p oblema da modelização, ex acção, de ecção e classi icação de con o nos de o má eis
a a és de p o ó ipos de o má eis é abo dado em [Lai, 1994, 1994a]. Na me odologia
adop ada são u ilizadas snakes gene alizadas (g-snakes), pa a ep esen ação de o mas de
manei a única e in a ian e a ans o mações a ins, sendo a inicialização dos modelos ob ida
po u ilização da ans o mada de Hough.
Os modelos de o má eis são bas an e u ilizados pa a a segmen ação e classi icação de
eículos ao longo de sequências de imagens; exemplos podem se e i icados em [Dubuisson,
1995, 1996].
Ou a á ea na qual os modelos de o má eis são ambém emp egues é a segmen ação,
classi icação e econhecimen o de ca ac e es; exemplos podem se analisados em [Jain, 1997;
Kopec, 1997; Lai, 1994, 1994a; Wil ong, 1996].
A análise e econhecimen o de aces é ou a á ea em que os modelos de o má eis são
bas an es comuns; exemplos podem se encon ados em [DeCa lo, 1996; Essa, 1992, 1994,
1994a, 1995, 1997; Lani is, 1995; Moghaddam, 1996; Yuille, 1989, 1992].
Ac ualmen e ambém se e i ica g ande u ilização de modelos de o má eis em aplicações
de simulação ci ú gica; um exemplo é desc i o em [B o-Nielsen, 1996].
O ele ado núme o de aplicações dos modelos de o má eis na á ea da imagem médica é,
sem dú ida, esponsá el po uma ele ada pe cen agem do abalho desen ol ido no âmbi o
dos co pos de o má eis. Nas subsecções seguin es são indicadas algumas aplicações dos
modelos de o má eis nessa á ea e e e enciados alguns abalhos desen ol idos.
2.4.5.1 – Análise de imagem médica com modelos de o má eis
Apesa de o iginalmen e desen ol idos pa a aplicações em p oblemas de isão po
compu ado ou em compu ação g á ica, o po encial dos modelos de o má eis na análise de
imagem médica em indo a se apidamen e u ilizado. Assim, êm indo a se aplicados em
imagens ge adas po di e sas modalidades de aquisição de imagem médica [Acha ya, 1998]
ais como aios X, omog a ia compu o izada, angiog a ia, essonância magné ica e ul asons.
Modelos de o má eis bidimensionais e idimensionais êm indo a se u ilizados pa a
segmen a , isualiza , segui e quan i ica , uma a iedade de es u u as ana ómicas que ão
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
40
desde a escala mac oscópica a é à mic oscópica [Ellio , 1995]. Tais es u u as incluem o
cé eb o, o co ação, a ace, as a é ias da e ina e co oná ias, o im, o pulmão, o es ômago, o
ígado, o c ânio, as é eb as e a coluna e eb al, e mesmo es u u as celula es como
neu ónios e c omossomas. Modelos de o má eis êm indo a se u ilizados no seguimen o de
mo imen o não ígido do co ação, do pulmão, da a é ia co oná ia [Puen es, 1998], do
es ômago, e c. Também êm sido u ilizados pa a localiza es u u as no cé eb o, e no
alinhamen o de imagens da e ina, da es u u a e eb al e de ecidos neu ológicos.
2.4.5.1.1 – Segmen ação de imagem com cu as de o má eis
A segmen ação de es u u as ana ómicas é uma p imei a e apa essencial em mui as a e as de
análise de imagem médica, ais como alinhamen o, e ique agem e seguimen o de mo imen o.
Es as a e as eque em que as es u u as ana ómicas p esen es na imagem o iginal sejam
eduzidas pa a uma ep esen ação compac a e analí ica da sua o ma. Execu a manualmen e
al segmen ação é um p ocesso ex emamen e abalhoso e mo oso. Um p imei o exemplo é a
segmen ação do co ação, especialmen e o en ículo esque do, em imagem ca díaca. A
segmen ação do en ículo esque do é um p é- equisi o pa a se ob e in o mação diagnós ica
[Mon ei o, 1994] al como a acção de ejecção ou o olume en icula , pa a a análise do
mo imen o pa ie al, e c.
Um esquema de segmen ação baseado em modelos de o má eis, u ilizado de o ma
conce ada com écnicas de p é-p ocessamen o de imagem, pode ul apassa mui as das
limi ações da edição manual e das écnicas adicionais de p ocessamen o de imagem. Es es
modelos geomé icos, con ínuos e in e ligados, conside am a on ei a de um objec o como
um odo e podem u iliza conhecimen o exis en e a p io i sob e a o ma do mesmo pa a
es ingi o p oblema da segmen ação. A con inuidade ine en e e a sua idade des es modelos
pode compensa o uído, endas e ou as i egula idades p esen es nas on ei as dos objec os.
Além do mais, a ep esen ação pa amé ica dos modelos possibili a uma desc ição compac a e
analí ica da o ma do objec o. Es as p op iedades o iginam uma écnica obus a pa a liga
ca ac e ís icas de imagem dispe sas e mis u adas com uído num modelo coe en e e
consis en e pa a o objec o [McIne ney, 1996].
En e as á ias u ilizações dos modelos de o má eis em análise de imagem médica
des acam-se os modelos de con o no de o má eis, ais como as snakes, pa a segmen a
es u u as em imagens 2D, como, po exemplo, em [Cohen, 1991; Gup a, 1994; Solaiyappan,
1996]. Tipicamen e os u ilizado es iniciam um modelo de o má el p óximo do objec o
desejado e pe mi em que o mesmo se de o me a é a ingi o equilíb io. Os u ilizado es podem
usa as capacidades in e ac i as des es modelos e a iná-los manualmen e. Quando o u ilizado
es i e sa is ei o com o esul ado numa imagem inicial, o modelo de con o no ajus ado pode
se u ilizado como a ap oximação inicial na imagem seguin e da sequência que es eja a se
conside ada. A sequência de con o nos 2D esul an e pode se pos e io men e ligada, pa a
o ma um modelo supe icial 3D con ínuo como, po exemplo, é ealizado em [Cohen, 1991].
Em [Xu, 1999] são u ilizadas cu as elás icas Gaussianas pa a a segmen ação de zonas de
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
41
canc o da pele. A segmen ação de imagens médicas de ul asons u ilizando snakes é
ap esen ada em [Mau incomme, 1993]. Em al aplicação, as cu as são inicializadas numa
de e minada posição p e iamen e de e minada sendo, assim, o p ocesso o almen e
au omá ico. Con o nos ac i os são ambém u ilizados na segmen ação de ecidos ce eb ais em
imagens de essonância magné ica em [Kapu , 1996]. Em [Fishman, 1996] são u ilizados
con o nos de o má eis pa amé icos na segmen ação de imagens 2D pa a o planeamen o
ci ú gico.
A aplicação de snakes e ou os modelos de con o nos de o má eis simila es pa a ex ai
egiões de in e esse não é, con udo, isen a de limi ações. Po exemplo, as snakes o am
desen ol idas como modelos in e ac i os e, em aplicações não in e ac i as, de em se
inicializadas p óximas à es u u a desejada de o ma a ga an i -se um bom desempenho. As
es ições da ene gia in e na das snakes podem limi a a lexibilidade geomé ica e impedi
que uma snake ep esen e o mas longas e do ipo ubula ou o mas com bi u cações ou
p o usões signi ica i as. A opologia da es u u a desejada de e se conhecida
an ecipadamen e pois os modelos de o má eis de con o no clássicos são pa amé icos e, sem
mecanismos adicionais, são incapazes de ans o mações opológicas.
Vá ios mé odos êm indo a se p opos os pa a melho a e au oma iza o p ocesso de
segmen ação po con o nos de o má eis. Em [Cohen, 1991] é u ilizada uma o ça in e na de
in lação, expandindo o modelo da snake de manei a a ul apassa alsas o las, o iginadas pelo
uído, azendo assim com que a snake seja menos sensí el às condições iniciais e ao uído.
Em [G zeszczuk, 1997] é minimizada a ene gia de modelos de con o nos ac i os, u ilizando
um algo i mo que ob ém soluções globais de minimização e pe mi e a inco po ação de
es ições não di e enciá eis.
Em [He lin, 1992] é in eg ada, nos modelos de con o no de o má eis, in o mação baseada
em egiões numa en a i a de diminui a sensibilidade a alsas o las e à localização inicial do
modelo. Também em [Ron a d, 1994] é u ilizada uma écnica semelhan e pa a segmen a
imagens médicas, e em [Chesnaud, 1999] é u ilizada in o mação es a ís ica de egiões pa a
diminui a sensibilidade das snakes ao uído.
Con o nos ac i os poligonais o am suge idos em [Delagnes, 1995] pa a o seguimen o de
objec os em sequências de imagens com undos complexos. Segundo os au o es, u ilizando
polígonos ajus á eis (conjun o de segmen os ac i os) é possí el ap oxima a o ma de
qualque objec o, ul apassando-se as limi ações das snakes o iginais na ep esen ação de
objec os com ele ado núme o de é ices. Na abo dagem u ilizada, a ene gia é baseada em
in o mação de ex u a e a posição inicial do con o no é p edi a u ilizando in o mação do
mo imen o ob ida po es ima i a.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
42
2.4.5.1.2 – Segmen ação de imagem 3D com supe ícies de o má eis
Modelos de supe ícies de o má eis em 3D o am p imei amen e u ilizados em isão po
compu ado em [Te zopoulos, 1988], [McIne ney, 1996]. Mui os au o es êm desde en ão
explo ado a u ilização de modelos de supe ície de o má eis pa a segmen ação de es u u as
em imagens médicas 3D.
Em [Cohen, 1992a, McIne ney, 1995] são u ilizados elemen os ini os e écnicas baseadas
em p incípios ísicos na implemen ação de cilind os e es e as elas icamen e de o má eis. Os
modelos são u ilizados pa a segmen a a pa ede in e na do en ículo esque do do co ação a
pa i de imagens 3D de essonância magné ica ou de omog a ia compu o izada. As
supe ícies de o má eis u ilizadas, p opos as em [Cohen, 1991a], são baseadas numa
supe ície do ipo spline modelizada po uma placa ina sob ensão, que con ola e es inge o
es i amen o e a lexão da supe ície. Os modelos são dinamicamen e ajus ados aos dados po
in eg ação das equações Lag angianas do mo imen o ao longo do empo, de o ma a ajus a
os g aus de libe dade da de o mação. O mé odo dos elemen os ini os é u ilizado pa a
ep esen a os modelos como uma supe ície con ínua u ilizando soma ó ios ponde ados de
unções de base polinomial. Em [Pen land, 1991a; Nas a , 1993] ambém são desen ol idos
modelos ísicos, mas é u ilizada uma base modal eduzida pa a os elemen os ini os.
Ou os abalhos que en ol em modelos de supe ícies de o má eis 3D e aplicações de
imagem médica são e is os em [Da a zikos, 1995].
2.4.5.1.3 – Inco po ação de conhecimen o a p io i
Em imagem médica a o ma ge al, a localização e a o ien ação de objec os são conhecidas, e
es e conhecimen o pode se inco po ado no modelo de o má el sob a o ma de condições
iniciais, de es ições nos dados, de es ições dos pa âme os da o ma, ou no p ocesso de
ajus e. A u ilização implíci a ou explíci a de conhecimen o ana ómico no p ocesso da
de e minação da o ma é especialmen e impo an e na in e p e ação au omá ica e obus a em
imagem médica. Pa a in e p e ação au omá ica, é essencial ob e um modelo que não apenas
desc e a o amanho, a o ma, a localização e a o ien ação do objec o-al o, mas que ambém
pe mi a a iações espe adas des as ca ac e ís icas. A in e p e ação au omá ica em imagem
médica pode ali ia os clínicos dos aspec os labo a o ialmen e in ensi os, ao mesmo emo que
aumen a a p ecisão, a consis ência e a ep odu ibilidade das in e p e ações.
Um núme o conside á el de au o es êm indo a inco po a o conhecimen o da o ma do
objec o nos modelos de o má eis pela u ilização de p o ó ipos de o má eis ( empla es). A
ideia de p o ó ipos de o má eis p ecede o desen ol imen o das snakes, mas so eu um no o
desen ol imen o p o ocado po es as [Blake, 1998].
Um exemplo da u ilização des e ipo de modelos é dado em [Yuille, 1989, 1992] onde
p o ó ipos de o má eis são cons uídos pa a de ec a e desc e e ca ac e ís icas das aces,

MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
43
como os olhos. É u ilizado um p o ó ipo pa ame izado pa a o olho, cons i uído po um
cí culo ci cunsc i o po duas pa ábolas, e de o mado po op imização de uma unção de cus o
baseada em ca ac e ís icas mo ológicas.
Modelos de o má eis baseados em supe quád icas são um ou o exemplo de modelos
equen es na á ea da imagem médica. As supe quád icas con êm um eduzido núme o de
pa âme os globais in ui i os, que podem se ajus ados à o ma média de uma es u u a
ana ómica al o. Além do mais, os pa âme os globais podem equen emen e se combinados
com pa âme os locais como splines, esul ando uma abo dagem in e essan e pa a a
ep esen ação da o ma.
Em [Vemu i, 1994] é cons uído um modelo de o má el supe quád ico numa base
o ono mal de ondule as (wa ele s) pa a u ilização em imagem médica 3D e 4D. Es a base de
mul i esolução possibili a ao modelo a capacidade de se ans o ma de manei a con ínua de
de o mações locais pa a globais, pe mi indo assim, u ilizando ela i amen e poucos
pa âme os, a c iação e a ep esen ação de uma quan idade con ínua de modelos de o ma.
Em [Ba dine , 1994, 1995, 1996] é ajus ado um modelo supe quád ico de o má el pa a
segmen a imagens ca díacas 3D e e inado o ajus e u ilizando uma écnica de de o mação
olumé ica designada po de o mações de o ma li e. Es as de o mações podem se
in e p e adas como uma caixa, cons uída po bo acha simulada, na qual o objec o a se
de o mado, nes e caso o supe quád ico, es á embebido; as de o mações da caixa são
ansmi idas au oma icamen e aos objec os embebidos. Es e aspec o olumé ico das
de o mações de o ma li e, pe mi e que dois modelos supe quád icos supe iciais sejam
simul aneamen e de o má eis de manei a a econs ui as supe ícies in e nas e ex e nas do
en ículo esque do do co ação e de e mina o olume en e es as.
Em [Kelemen, 1996; Székely, 1996] são desen ol idos modelos pa amé icos de Fou ie ,
aos quais oi adicionada elas icidade de manei a a c ia snakes de Fou ie (2D) e modelos de
supe ícies de o má eis de Fou ie (3D). Pela u ilização da pa ame ização de Fou ie seguida
de uma análise es a ís ica de um conjun o de eino, são de inidos modelos de ó gãos médios e
as suas de o mações p óp ias. Um ajus e elás ico do modelo médio no subespaço dos modos
p óp ios es inge as de o mações possí eis e de e mina um empa elhamen o óp imo en e o
modelo supe icial e os candida os. Um exemplo de aplicação é ap esen ado na segmen ação
3D de es u u as p o undas do cé eb o.
Em [Taylo , 1995] é ap esen ada uma écnica es a ís ica pa a a cons ução de p o ó ipos
de o má eis e são u ilizados es es modelos pa a segmen a á ios ó gãos em imagens médicas
2D e 3D. A pa ame ização es a ís ica o nece es ições globais pa a a o ma e pe mi e que o
modelo se de o me apenas nas di ecções implíci as no conjun o de eino. Pa a ex ai o
en ículo esque do a pa i de ecoca diog amas [Pa ke , 1994], os pon os são escolhidos ao
edo da on ei a do en ículo, pe o da o la do en ículo di ei o, e no opo da au ícula
esque da. Es es pon os podem se ligados de o ma a cons ui um con o no de o má el. Pelo
exame es a ís ico de conjun os de eino cujos pon os o am manualmen e especi icados, e
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
44
u ilizando uma análise de componen es p incipais, um p o ó ipo é cons uído de manei a a
desc e e as posições médias e os p incipais modos de a iação dos pon os do objec o.
2.4.5.1.4 – Empa elhamen o
O empa elhamen o de egiões pode se execu ado en e a ep esen ação de uma egião e um
modelo (segmen ação) ou en e a ep esen ação de duas egiões dis in as (alinhamen o). O
alinhamen o de imagens médicas 2D e 3D é necessá io pa a se es uda a e olução de uma
pa ologia num indi íduo, ou pa a undi a in o mação complemen a ob ida a pa i de
di e en es modalidades de aquisição de imagem. Exemplos da u ilização de modelos
de o má eis pa a execu a o alinhamen o de imagens médicas são desc i os em [Bain ille,
1995; Ch is ensen, 1996; Da is, 1995; Decle ck, 1995; Malandain, 1993, 1995; Roh , 1996;
Subsol, 1994; Syn, 1995, 1995a, 1995b, 1996; Thi ion, 1993]. Ge almen e es as écnicas
pa em da cons ução de desc ições al amen e es u u adas. Es a ope ação é equen emen e
conseguida pela ex acção de egiões de in e esse com um algo i mo de de ecção de o las de
in ensidade, seguida da ex acção de pon os especí icos ou con o nos ca ac e ís icos (ou
cu as na supe ície on ei a ex aída dos dados 3D). Ge almen e (em 3D) es as cu as
desc e em es u u as di e enciais ais como cumes, ou singula idades opológicas.
Pos e io men e, um algo i mo de empa elhamen o elás ico pode se aplicado en e pon os
co esponden es de cu as ou con o nos, sendo o con o no inicial de o mado i e a i amen e
a é coincidi com o con o no desejado, a a és de o ças de i adas dos empa elhamen os de
pad ões locais com o con o no desejado.
Um exemplo de empa elhamen o no qual a u ilização de conhecimen o explíci o a p io i
oi en ol ido nos modelos de o má eis é a ex acção e e ique agem de es u u as ana ómicas
no cé eb o, especialmen e a pa i de imagens de essonância magné ica. O conhecimen o
ana ómico é o nado explíci o na o ma de um a las 3D pa a o cé eb o. O a las é modelizado
como um objec o ísico, com p op iedades elás icas a ibuídas. Depois de um alinhamen o
global inicial, o a las de o ma-se e empa elha-se nas co esponden es egiões da imagem
olumé ica do cé eb o, em espos a a o ças de i adas das ca ac e ís icas da imagem. A
suposição subjacen e a es a abo dagem é que, pa a um dado ní el de ep esen ação, cé eb os
no mais êm a mesma es u u a opológica e di e em apenas em de alhes da o ma. A écnica
de de o mação elás ica de um a las em sido uma á ea de in es igação mui o ac i a e em
indo a se explo ada, po exemplo, em [Bajcsy, 1989; Ch is ensen, 1996; Decle ck, 1995;
Subsol, 1994].
Exis em á ias di iculdades na abo dagem baseada em a las de o má eis. A écnica é
sensí el à posição inicial do a las – se o alinhamen o ígido inicial o a as ado em demasia,
en ão o empa elhamen o elás ico pode conduzi a esul ados insa is a ó ios. A p esença de
ca ac e ís icas o es na izinhança ambém pode causa p oblemas de empa elhamen o – o
a las pode de o ma -se pa a uma on ei a inco ec a. Po ou o lado, sem a in e acção do
u ilizado , o a las pode não con e gi pa a on ei as de es u u a complexa. Uma solução pa a
MÉTODOS DE SEGUIMENTO E ANÁLISE DE MOVIMENTO DE OBJECTOS DEFORMÁVEIS
45
es es p oblemas passa po écnicas de p é-p ocessamen o de imagem, como po exemplo
de ecção de o las de in ensidade e ope ações mo ológicas de simpli icação, em conjunção
com o a las de o má el [McIne ney, 1996].
2.4.5.1.5 – Análise e seguimen o de mo imen o
A u ilização p incipal de modelos de o má eis pa a o seguimen o ( acking) em imagens
médicas es á elacionada com a medição do compo amen o dinâmico do co ação humano,
especialmen e do en ículo esque do. A ca ac e ização egional do mo imen o da pa ede do
co ação é necessá ia pa a isola a se e idade e a ex ensão de doenças como a isquemia. A
essonância magné ica, e ou as ecnologias de aquisição de imagem médica, pe mi em
ac ualmen e ob e imagens 3D do co ação, ao longo do empo, com esolução espacial
excelen e e esolução empo al azoá el.
Os modelos de o má eis são bas an e adequados pa a es e ipo de a e a de análise de
imagem. Na abo dagem mais simples, um modelo de con o no 2D de o má el é u ilizado pa a
segmen a a on ei a do en ículo esque do em cada a ia (slice) de uma imagem inicial 3D.
Es es con o nos são depois u ilizados como a ap oximação inicial das on ei as do en ículo
esque do nas co esponden es a ias da imagem 3D no ins an e seguin e, e são depois
de o mados de manei a a ex ai o no o conjun o de on ei as do en ículo esque do; es a
abo dagem é u ilizada, po exemplo, em [Geige , 1995; Gup a, 1993; He lin, 1992]. A
p opagação empo al dos con o nos de o má eis diminui d as icamen e o empo necessá io
pa a segmen a manualmen e o en ículo esque do a pa i de uma sequência de imagens 3D,
ob ida ao longo de um ciclo ca díaco. Em [McIne ney, 1995] é aplicada a abo dagem de
p opagação empo al em 3D, u ilizando modelos de balão de o má eis dinamicamen e.
Em [Amini, 1991] é u ilizado um mé odo baseado na ene gia de lexão e na cu a u a da
supe ície pa a segui e analisa o mo imen o do en ículo esque do. Em cada ins an e são
c iados dois subconjun os espa sos de pon os especí icos, po selecção de pon os
geome icamen e signi ican es, um pa a a supe ície endocá dica e o ou o pa a a supe ície
epicá dica do en ículo esque do. F agmen os supe iciais em o no des es pon os são en ão
modelizadas po placas inas e lexí eis. Assumindo que num in e alo de empo eduzido
cada agmen o supe icial se de o ma apenas ligei amen e e localmen e, é cons uída pa a
cada pon o amos ado na p imei a supe ície uma á ea de pesquisa na supe ície do en ículo
esque do da imagem 3D e e en e ao p óximo ins an e. O melho pon o pa a empa elhamen o
(co espondendo, po exemplo, ao mínimo da ene gia de lexão) no in e io da janela de
pesquisa na segunda supe ície é conside ado como co esponden e ao pon o na p imei a
supe ície. Es e p ocesso de empa elhamen o p oduz um conjun o inicial de ec o es
associados ao mo imen o pa a pa es de supe ícies de i adas a pa i de imagens de
sequências 3D. É en ão ealizado um p ocedimen o de sua ização pa a ge a um campo
ec o ial denso de mo imen o sob e a supe ície do en ículo esque do. Em [Cohen, 1992]
ambém é aplicada uma écnica baseada na ene gia de lexão em 2D, e é ealizada uma
en a i a de melho a o mé odo an e io po adição à unção de ene gia de lexão de um e mo
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
46
que ende a p ese a o empa elhamen o dos pon os de ele ada cu a u a. Em [Goldgo ,
1988; Kambhame u, 1994; Mish a, 1991] ambém são ap esen adas abo dagens pa a a
de e minação da co espondência en e supe ícies baseadas na a iação da cu a u a
Gaussiana e assumindo um modelo de mo imen o do ipo con o me.
Em [Chen, 1994] é emp egue uma abo dagem al e na i a que u iliza um modelo
hie á quico de mo imen o do en ículo esque do, cons uído po combinação de uma
supe quád ica de o má el globalmen e com uma supe ície de o má el localmen e u ilizando
p imi i as de modelização de o ma ha mónica. U ilizando es e modelo, é es imado o
mo imen o do en ículo esque do a pa i dos dados de angiog a ia, e é p oduzida uma
decomposição hie á quica que ca ac e iza o mo imen o do en ículo esque do, com
esolução a ian e en e g ossei a e ina.
Em [Benayoun, 1995; Nas a , 1994, 1996; Pen land, 1991] ambém é ob ida uma
ca ac e ização do mo imen o do en ículo esque do com esolução a ian e en e g ossei a e
ina. São u ilizados modelos de o má eis pa a segui e ecupe a o mo imen o do en ículo
esque do, e análise modal pa a pa ame iza os modelos. Es a pa ame ização é ob ida a pa i
dos modos de ib ação em egime li e e ep esen ações com di e en es de alhes são ob idas
po a iação do núme o de modos u ilizado.
O co ação é um ó gão ela i amen e sua e e consequen emen e exis em eduzidos pon os
ca ac e ís icos idedignos. O co ação ambém so e mo imen o não ígido complexo que
inclui uma componen e do mo imen o de o ção ( angencial), assim como uma componen e
no mal. Ge almen e, os mé odos de es imação do mo imen o não são capazes de cap u a es e
mo imen o angencial sem in o mações adicionais [McIne ney, 1996]. Vá ios au o es êm
aplicado modelos de o má eis em sequências de imagens de essonância magné ica de dados
e ique ados po modulação espacial da magne ização (SPAMM – Spa ial Modula ion o
Magne iza on); exemplos são desc i os em [Donnell, 1995; Kuma , 1994; Pa k, 1996; Young,
1992]. Po exemplo em [Kuma , 1994] é desc i a uma abo dagem pa a o seguimen o
au omá ico de pon os e ique ados em imagens ca díacas de essonância magné ica e
consequen e es imação dos pa âme os de de o mação. Es a e ique agem é conseguida pela
p odução de zonas localizadas de magne izações dis in as na pa ede do co ação. A dis inção
da magne ização é uma p op iedade do ecido e é cons an e ao longo do seu mo imen o.
Um ou o p oblema exis en e, na maio pa e dos mé odos mais comuns, é a modelização
sepa ada das supe ícies endocá dica e epicá dica. Na ealidade, o co ação é uma es u u a de
pa edes com de e minada espessu a. Em [Pa k, 1996] é desen ol ido um modelo que
conside a a na u eza olumé ica da pa ede do co ação e que inco po a a pa ame ização
desc i i a di ec amen e na sua o mulação. Em [Donnell, 1995] é u ilizado um modelo híb ido
e olumé ico, híb ido po que é um comp omisso en e uma componen e global (pa amé ica)
e uma componen e local (explíci a), pa a analisa e compa a o en ículo esque do. Em
[Young, 1992] ambém são cons uídos modelos 3D de elemen os ini os a pa i das
ep esen ações das on ei as das supe ícies endocá dica e epicá dica.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
54
[]
()
()
()
()
xx yy zz yz zy zx xz xy yx
yz zy xx yy zz xy yx zx xz
zx xz xy yx xx yy zz yz zy
xy yx zx xz yz zy xx yy zz
SSS SS SS SS
SS SSS SS SS
NSS SS SSS SS
SS SS SS SSS
È˘
++ - - -
Í˙
Í˙
--- + +
Í˙
=Í˙
-+-+-+
Í˙
Í˙
-+ +--+
Í˙
Î˚
,
com xx
S, xy
S, …,
z
z
S de e minados calculando-se os no e p odu os possí eis 1
x
x+
¢¢ , 1
x
y
+
¢¢ ,
…, 1
z
z+
¢¢ das coo denadas espec i as pa a cada pa de pon os empa elhados:
,,1
1
n
xx i i
i
Sxx
+
=
=¢¢
Â, ,,1
1
n
xy i i
i
Sxy
+
=
=¢¢
Â, ...
O qua e nion uni á io q
 que maximiza o p odu o
[
]
T
qNq

é [Ho n, 1987] um ec o
uni á io com a mesma di ecção do ec o p óp io [Ba he, 1996; Chap a, 1988; P ess 1992] da
ma iz
[
]
N
associado ao alo p óp io posi i o mais ele ado da mesma ma iz.
O escalamen o exis en e pode se de e minado pelo quocien e da aiz quad ada dos des ios
médios quad á icos dos dois conjun os de coo denadas ela i amen e aos seus cen óides:
12
22
,1 ,
11
nn
i i
ii
sX X
+
==
ʈ
=¢¢
Á˜
˯
ÂÂ.
Analisando es a equação e i ica-se que pa a a de e minação do escalamen o não é necessá ia
a p é ia de e minação da o ação.
A melho solução pa a a anslação
{
}
T é ob ida pela di e ença en e as coo denadas do
cen óide do objec o 1 + e as coo denadas do cen óide do objec o p e iamen e odado e
escalado:
{
}
[
]
1
TG sRG
+
=- .
De e-se no a que es e é um mé odo di ec o, e assim não exis e a necessidade de co ecção
i e a i a.
3.2.2.1 – Conside ação da con iança associada às coo denadas dos pon os
Quando os e os espe ados pa a as coo denadas dos pon os não são odos iguais de e-se
conside a os espec i os pesos de o ma a conside a ais medidas de ince eza. Assim, os
cen óides o nam-se cen óides ponde ados:
,
11
nn
ii i
ii
GwX w
==
=ÂÂ
,

DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
55
1,1
11
nn
ii i
ii
GwX w
++
==
=ÂÂ
,
onde i
w é a medida de con iança associada às coo denadas do pon o i.
A de e minação do melho escalamen o é al e ada pela u ilização das medidas de
con iança:
12
22
,1 ,
11
nn
ii ii
ii
swX wX
+
==
ʈ
=¢¢
Á˜
˯
ÂÂ. (3.1)
A única mudança no mé odo pa a a de e minação da o ação en ol ida es á no ac o de os
p odu os nos soma ó ios se em ago a ponde ados, is o é:
,,1
1
n
xx i i i
i
Swxx
+
=
=¢¢
Â, ,,1
1
n
xy i i i
i
Swxy
+
=
=¢¢
Â, ...
3.2.3 – Resul ados expe imen ais
Com o in ui o de e i ica a qualidade da solução de e minada pelo mé odo p opos o pa a a
ans o mação ígida exis en e en e objec os 2D e en e objec os 3D são nes e pon o
ap esen ados alguns dos esul ados expe imen ais ob idos.
3.2.3.1 – Pa a objec os 2D
Na p imei a expe iência ealizada, Tabela 3.1, aplicou-se a um objec o uma o ação de -20º
em o no da o igem, um escalamen o ela i amen e ao mesmo pon o de 0.75 e uma anslação
de -10 pixels segundo o eixo
x
e de 100 pixels segundo o eixo y.
Analisando os esul ados ob idos2 é possí el conclui que a solução de e minada é de boa
qualidade.
Numa segunda expe iência, Tabela 3.2, aplicou-se a um objec o cons i uído po 84 pixels
uma o ação de 45º em o no da o igem, um escalamen o ela i amen e ao mesmo pon o de
0.7 e uma anslação de 150 pixels segundo o eixo
x
e de -100 pixels segundo o eixo y.
Analisando os esul ados ob idos u ilizando-se 82 co espondências e a ince eza
associada3 é no amen e possí el conclui que a solução de e minada é de boa qualidade.
2 De e-se e em a enção que a u ilização de coo denadas imagem do ipo in ei o implica um aumen o na imp ecisão da
ans o mação de e minada pois as coo denadas pós- ans o mação são a edondadas pa a alo es in ei os.
3 O mé odo u ilizado pa a o empa elhamen o é o baseado na análise modal da o ma ap esen ado na secção 3.4. A medida de
ince eza é:
(
)
11 i
z
+ onde i
z
é a medida de empa elhamen o: en e 0, bom empa elhamen o, e 2, mau empa elhamen o.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
56
Tabela 3.1 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na p imei a expe iência pa a
a de e minação da ans o mação ígida.
Objec o O iginal Objec o T ans o mado
x y q
s
w
-10 100 -20º 0.75 Não
Objec os Sob epos os T ans o mação Ob ida
-9.6 100.28 -19.97º 0.75
Tabela 3.2 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na segunda expe iência pa a
a de e minação da ans o mação ígida.
Objec o O iginal Objec o T ans o mado
x y q
s
w
150 -100 45º 0.7 Sim
Objec os Sob epos os T ans o mação Ob ida
150.09 -99.91 45.01º 0.69
x
y
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
57
3.2.3.2 – Pa a objec os 3D
Na e cei a expe iência, Tabela 3.3, aplicou-se a um objec o cons i uído po 244 pon os uma
o ação de 45º em o no do eixo
z
que passa pela o igem, um escalamen o ela i amen e ao
mesmo pon o de 1.25 e uma anslação de 10 segundo o eixo
x
, -25 segundo o eixo y e de -5
segundo o eixo
z
.
Analisando os esul ados ob idos nes a e cei a expe iência, u ilizando-se 244
co espondências e a ince eza associada, é mais uma ez possí el conclui que a solução
de e minada é de boa qualidade.
Tabela 3.3 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na e cei a expe iência pa a
a de e minação da ans o mação ígida.
Objec o O iginal Objec o T ans o mado
x y z
z
q
s
w
10 -25 -5 45º 1.25 Sim
Objec os Sob epos os T ans o mação Ob ida
x y z
z
q
s
w
10.00 -24.99 -4.99 45.00º 1.25 Sim
3.2.4 – Comen á ios aos esul ados
Pelos esul ados expe imen ais ob idos4, que pa a objec os 2D que pa a 3D, pode-se conclui
que o mé odo adop ado de e mina boas soluções pa a a ans o mação geomé ica ígida
exis en e en e dois objec os.
4 Ou os esul ados podem se analisados em [Ta a es, 2000, 2000a].
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
58
Ao longo de odo o abalho, e i icou-se a u ilidade des e mé odo na de e minação da
ans o mação ígida exis en e en e dois objec os, que es es sejam ígidos ou não. Pa a a
solução de e minada se sa is a ó ia não é necessá io u iliza um núme o mui o ele ado de
co espondências, pelo que se podem selecciona apenas as co espondências ob idas com
maio g au de con iança.
Quando os escalamen os ao longo de cada eixo coo denado não são iguais, o escalamen o
ob ido pela u ilização da equação (3.1) pode não se adequado. Ve i icou-se que, nes es casos,
é ge almen e p e e í el de e mina -se escalamen os independen es pa a cada eixo u ilizando-
se equações semelhan es à equação (3.1), uma pa a cada eixo, em que apenas in e êm as
coo denadas ao longo desse eixo.
3.3 – De e minação de co espondências u ilizando o p incípio do
mapeamen o segundo a dis ância mínima
Nes a secção é ap esen ado um mé odo implemen ado pa a a de e minação de
co espondências en e pon os de objec os, baseado no mapeamen o segundo a dis ância
mínima de Sco e Longue -Higgins [Shapi o 1991, 1992, 1992a].
Nes e mé odo é inco po ada uma medida de a inidade en e pon os, baseada na dis ância
en e elemen os, e um esquema de conco ência pe mi indo que os pon os se candida em a um
dado empa elhamen o. Es e c i é io é o mulado segundo um p incípio de p oximidade,
a o ecendo empa elhamen os a a és de dis âncias o mais eduzidas possí el, e um de
exclusão, a o ecendo o empa elhamen o de um pa a um. O mapeamen o esul an e
e ec i amen e minimiza á a soma o al do quad ado das dis âncias pe co idas pelos pon os
endo como es ição o empa elhamen o de um pa a um.
Uma boa ca ac e ís ica des e mé odo é a possibilidade de implemen á-lo, de o ma
elegan e, a a és de uma solução bem condicionada pa a a de e minação dos ec o es
p óp ios, não exigindo i e ações.
3.3.1 – P incípio do mé odo
Como en ada, es e mé odo ecebe um conjun o de m pon os, de coo denadas
X, de um
objec o e um conjun o de n pon os, de coo denadas 1
X
+
, de um objec o 1 +. As ases
in e enien es no mé odo es ão ep esen adas de o ma g á ica na Figu a 3.1.
A p imei a e apa (análise espacial c uzada) consis e na enume ação de odos os pa es de
empa elhamen o possí eis e em gua da as suas a inidades numa ma iz de p oximidade
[]
G,
em ge al não simé ica. Cada elemen o ij
G ep esen a a a acção en e o pon o i do objec o
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
59
e o pon o
j
do objec o 1 + a a és de uma dis ância de mé ica Gaussiana ponde ada5:
()
()
22
2
ij
d
ij
Ge s-
=, 1...im=, 1...jn=,
onde
()
22
,,1
ij i j
dXX
+
=- é o quad ado da dis ância Euclidiana en e os dois pon os. Des e
modo ij
G a ia de 0 (ze o), pa a pon os bas an e sepa ados ( ij
d=•), a 1 (um) pa a pon os
coinciden es ( 0
ij
d=). O pa âme o s con ola a la gu a da cu a Gaussiana e, des a o ma, o
g au de in e acção en e os dois conjun os de pon os. De o ma simplis a, es e pa âme o pode
se enca ado como a colocação de um cí culo cen ado num pon o do objec o , pe mi indo
que es e in e ac ue apenas com os pon os do objec o 1 + in e io es a es e cí culo. Assim, um
alo eduzido pa a s a o ece as in e acções locais, enquan o um alo mais ele ado
pe mi e in e acções mais globais.
Objec o
Co espondência
en e pon os
Decomposição em
alo es/ ec o es
singula es
Decomposição em
alo es/ ec o es
singula es
Objec o +1
Análise espacial
c uzada
Pon os Ma iz de
p oximidade Vec o es singula es
"esque dos e di ei os" Ma iz de
associação
,i
X
,1j
X
+
[]
G
[]
U
[]
T
[]
P
Figu a 3.1 – E apas do mé odo de mapeamen o segundo a dis ância mínima.
A segunda e apa do mé odo consis e na ealização da decomposição em alo es singula es,
ge almen e designada po SVD [Ba he, 1996; Chap a, 1988; P ess, 1992], da ma iz
[]
G,
exp imindo
[]
G como:
[
]
[
]
[
]
[
]
GTDU=,
onde
[
]
T é uma ma iz o ogonal de dimensões
()
mm¥,
[]
U é uma ma iz o ogonal de
dimensões
()
nn¥ e
[]
D
é uma ma iz de dimensões
()
mn¥ com elemen os não diagonais
nulos.
Como a ma iz
[]
G não é ge almen e quad ada, os seus ec o es singula es não podem se
ob idos di ec amen e; em e dade não exis em. Assim, a solução adop ada [Shapi o, 1991]
5 A u ilização des a dis ância mé ica p ende-se com:
• na maio pa e dos casos a ma iz
[]
G esul an e é de inida posi i amen e;
• cada elemen o i, j, da ma iz
[]
G dec esce com o aumen o da dis ância, a iando de um, pa a pon os coinciden es,
(0
ij
d=) a ze o, pa a os bas an e dis an es ( ij
d=•).

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
60
passa pela u ilização de duas ma izes adicionais
[]
G e
[
]
l
G ambas quad adas e simé icas:
[
]
[
]
[
]
T
GGG=,
[
]
[
]
[
]
T
l
GGG=,
e os seus alo es e ec o es singula es são de e minados:
[] [][][][][][] [][][] [] [][][]
TTT T T T
GTDUUDTTDDTTDT
È˘
===
Î˚ ,
[] [][][][][][][] [][][][][][]
TTT T T T
l u
G UDTTDUUDDUUDU
È˘
===
Î˚ .
As ma izes
[
]
T e
[]
U são o ogonais. As colunas da ma iz
[
]
T são e e idas como os
ec o es p óp ios di ei os da ma iz
[]
G, enquan o as linhas da ma iz
[]
U são e e idas como
os ec o es p óp ios esque dos6 da ma iz
[]
G:
[
]
{
}
{
}
{
}
12 m
TTT T
È˘
=Î˚
,
[]
{
}
{}
{}
1
2
T
T
T
n
U
U
U
U
È˘
Í˙
Í˙
=Í˙
Í˙
Í˙
Î˚
.
Os p imei os k alo es p óp ios da ma iz
[]
D
(com
{
}
min ,kmn=) são idên icos aos da
ma iz
[
]
u
D
, e as suas aízes quad adas são elemen os da ma iz
[]
D
dos alo es p óp ios da
ma iz
[]
G. (Po que a ma iz
[]
D
não é quad ada, apenas é cons i uída po k elemen os não
nulos ao longo da sua diagonal.) Como as ma izes
[]
D
e
[
]
u
D
con êm os quad ados dos
alo es singula es, pode-se a bi a se a ma iz
[]
D
con e á as aízes quad adas posi i as ou
nega i as. Op ando-se pelas aízes posi i as, a ma iz
[]
D
con e á os k alo es singula es
posi i os ao longo da diagonal e em o dem dec escen e
()
12
... k
ll l≥≥≥ .
Em conjun o com os ec o es singula es, os k alo es singula es são su icien es pa a
econs ui comple amen e a ma iz
[]
G:
[]
{}{ }
1
kT
ii i
i
GTUl
=
=Â.
Quando a ma iz
[]
G é simé ica,
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
2TT
GG G G G==, e i ica-se
[
]
[
]
TU= e
6 Tal designação apenas de i a das suas posições ela i as na espec i a equação.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
61
[
]
[
]
[
]
2
u
D
DD==. En ão os alo es singula es da ma iz
[]
D
co espondem aos alo es
singula es da ma iz
[]
G, e as ma izes
[
]
T e
[]
U con êm os seus ec o es singula es.
Po analogia com sis ema ísicos de pa ículas ib a ó ias e com ib ações mecânicas
[Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986], os ec o es p óp ios associados aos maio es
alo es p óp ios podem se denominados po ec o es p óp ios de baixa equência, enquan o
os associados aos meno es alo es p óp ios po ec o es p óp ios de al a equência.
A úl ima e apa consis e no cálculo da co elação, no sen ido do p odu o escala , en e as
linhas da ma iz
[
]
T e as colunas da ma iz
[]
U, esul ando a ma iz de associação
[
]
P
:
[] [][][]
{}{ }
1
kT
ii
i
PTEU TU
=
==
Â,
onde a ma iz
[
]
E
é ob ida po subs i uição dos elemen os da diagonal da ma iz
[]
D
po 1
(um) de o ma a desp eza os ec o es singula es em excesso da ma iz de maio es dimensões.
Des e modo o elemen o ij
P
indica a o ça de a acção en e os pon os i do objec o e
j
do
objec o 1 +, onde 1 (um) indica um empa elhamen o pe ei o e 0 (ze o) um also
empa elhamen o. A co espondência en e dois pon os só de e se classi icada como o e
caso ij
P
seja máximo na sua linha e na sua coluna, o que signi ica que ambos os pon os
eclamam um pelo ou o pa a um bom empa elhamen o. Quando ij
P
é apenas máximo na sua
coluna mas não na sua linha, ou ice- e sa, uma co espondência aca es á implíci a, com
á ios pon os compe indo pa a o mesmo empa elhamen o.
Es e mé odo maximiza o aço da ma iz
[][]
T
P
G
È˘
Î˚
; po ou as pala as, a ma iz
[
]
P
é
uma másca a que ac ua sob e a ma iz
[]
G e selecciona os elemen os de alo mais ele ado.
Como ij
G é ele ado quando ij
d é eduzido, é ga an ido um mínimo pa a o quad ado o al da
dis ância de mapeamen o. Is o pode se en endido in ui i amen e quando se imaginam
pedaços de io a liga os pon os empa elhados com o objec i o de minimiza a quan idade
o al de io u ilizado; con udo, ao mesmo empo,
[
]
P
é o ogonal, e assim só pode exis i um
elemen o máximo po linha ou coluna. Des a o ma, nenhum pon o do objec o pode se
o emen e empa elhado com mais do que um pon o do objec o 1 +, ga an indo-se o
p incípio da exclusão.
De e-se no a que, pa a o empa elhamen o, não é a o ma absolu a7 dos ec o es p óp ios
que é impo an e mas sim a simila idade ela i a en e es es.
7 Is o é, a análise do sinal e do alo das componen es dos ec o es p óp ios.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
62
3.3.2 – Resul ados expe imen ais
3.3.2.1 – Pa a objec os 2D
Conside e-se pa a a p imei a expe iência, Tabela 3.4, o objec o 1, cons i uído po 62 pixels do
con o no de um objec o, e o 2, esul an e da aplicação ao p imei o de uma o ação de 10º em
o no do cen óide. Op ando-se po um alo de s igual à média da dis ância en e cada pixel
e o seu izinho seguin e de e mina am-se 58 co espondências classi icá eis como acei á eis
pois oi possí el e i ica que na sua g ande maio ia es a am co ec as e apenas algumas
es a am e adas. U ilizando um alo de s qua o ezes supe io ao an e io , ob i e am-se 45
co espondências sendo, des a ei a, o núme o de co espondências e adas mais ele ado; al
pe mi e conclui que alo es pa a s demasiado ele ados azem com que as co espondências
ob idas sejam globalmen e de in e io qualidade.
Tabela 3.4 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na p imei a expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o p incípio do mapeamen o segundo a dis ância mínima.
(Nº de Co esp. é o núme o de co espondências, s/T ans o mação e c/T ans o mação indica
se oi ou não aplicada a ans o mação de e minada pelo mé odo da secção an e io .)
Objec o 1 (62 pixels) Objec o 2 (q=10º) Objec os Sob epos os
(pixels ligados)
Co espondências Ob idas
s: 5.8, Nº de Co esp.: 58 s: 23.3, Nº de Co esp.: 45
s/T ans o mação c/T ans o mação s/T ans o mação
Conside e-se ago a pa a a segunda expe iência, Tabela 3.5, o objec o 3, cons i uído po 66
pixels, e o 4, cons i uído po 61 pixels. Op ando-se po um alo de s igual à dis ância en e
os cen óides dos objec os, o alo que du an e as expe iências desen ol idas du an e es e
abalho ge almen e o igina a os melho es esul ados (e que é ambém suge ido po Shapi o),
de e mina am-se 48 co espondências acei á eis. U ilizando-se apenas 75% dos ec o es
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
63
singula es, conside ados a pa i do p imei o ec o , ob i e am-se 47 co espondências que,
pela análise das ajec ó ias es imadas pa a os pixels, se e elam de qualidade supe io . Tal
aumen o de qualidade é p o ocado pela não conside ação dos ec o es associados às
equências mais ele adas ge almen e associadas ao uído.
Tabela 3.5 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na segunda expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o p incípio do mapeamen o segundo a dis ância mínima.
(% dos Vec . é a pe cen agem dos ec o es singula es conside ada)
Objec o 3 (66 pixels) Objec o 4 (61 pixels) Objec os Sob epos os
(pixels ligados)
Co espondências Ob idas
% dos Vec .: 100, Nº de Co esp.: 48 % dos Vec .: 75%, Nº de Co esp.: 47
Pa a a e cei a expe iência, Tabela 3.6, conside e-se o objec o 5, cons i uído po 57 pixels,
e o objec o 6, esul an e da aplicação ao p imei o de uma anslação de 15 pixels ao longo do
eixo
x
e um escalamen o de 1.25 em elação ao cen óide. Op ando po um alo de s igual
à dis ância en e os cen óides dos objec os de e mina am-se 41 co espondências que, ao
analisa a imagem e e en e aos esul ados, podem se classi icadas como de aca qualidade
pois mui as es ão e adas. Ou os alo es pa a o pa âme o s o am ambém conside ados;
oda ia, não oi possí el ob e esul ados que se pudessem classi ica como acei á eis. Tal
pe mi e conclui que o mé odo u ilizado não é adequado pa a objec os que ap esen em o mas
bas an e di e en es, mesmo quando a ans o mação en ol ida é apenas do ipo ígido.
Conside e-se pa a a qua a e úl ima expe iência, Tabela 3.7, o objec o 7, cons i uído po 84
pixels, e o 8, cons i uído po 81 pixels. Op ando po um alo de s igual à dis ância média
en e cada pixel e o seu izinho seguin e de e mina am-se 78 co espondências que
isualmen e podem se classi icadas como acei á eis. Es a expe iência pe mi e con i ma que
quando os objec os en ol idos são semelhan es o mé odo baseado no p incípio do
mapeamen o segundo a dis ância mínima consegue ob e esul ados sa is a ó ios.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
70
[
]
[
]
[
]
[
]
T
H
VDV=.
A ma iz diagonal
[]
D
con ém os alo es p óp ios, odos posi i os pois a ma iz
[
]
H
é
de inida posi i amen e, ao longo da sua diagonal e de o ma dec escen e:
[
]
[
]
12
, ,..., m
Ddiagll l= com 12
... m
ll l>>>.
A ma iz modal
[
]
V é o ogonal e em os ec o es p óp ios como os seus ec o es coluna:
[
]
{
}
{
}
1m
VE E
È˘
=Î˚
.
Cada linha da ma iz
[
]
V pode se e e ida po um ec o linha
{
}
i
F
designado po ec o
ca ac e ís ica:
[]
{
}
{}
1
m
F
V
F
È˘
Í˙
=Í˙
Í˙
Î˚
,
con endo as m coo denadas modais de cada pon o i, co espondendo à sua p ojecção nos m
eixos modais do objec o.
Es e p ocesso de compu ação é execu ado pa a os dois objec os e 1 +. Is o é, pa a o
objec o , cons i uído po m pon os, ob emos:
[
]
[
]
[
]
[
]
T
H
VDV=,
enquan o pa a o objec o 1 +, cons i uído po n pon os, ob emos:
[
]
[
]
[
]
[
]
1111
T
HVDV
++++
=.
Os ec o es ca ac e ís ica associados a cada pon o dos dois objec os e 1 + são designados
po
{
}
,i
F
e
{
}
,1j
F+.
A e apa inal do mé odo consis e na de e minação da co elação en e os dois conjun os de
ec o es ca ac e ís ica, esul ando a ma iz de associação
[
]
Z
. Como no mé odo ap esen ado
na secção an e io , ij
Z
aduz a con iança no empa elhamen o en e os pon os i do objec o
e
j
do objec o 1 +. Na cons ução des a ma iz de associação
[
]
Z
de e ão se no adas as
seguin es ês obse ações:
a) De ido aos objec os e em possi elmen e di e en es núme os de pon os, os núme os
de modos a conside a se ão di e en es. A solução passa pela uncagem dos mn-
modos menos signi ica i os do objec o com mais pon os, onde os menos signi ica i os
são indicados pelos alo es p óp ios mais eduzidos. Des a o ma as ma izes modais

DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
71
e ão k colunas, ou modos, onde
{
}
min ,kmn=; em ealizações p á icas pode ão se
u ilizados menos de k modos, conseguindo-se des e modo uma maio imunidade ao
uído. E ec i amen e, com es e p ocedimen o são desp ezadas as componen es dos
ec o es ca ac e ís ica ao longo dos eixos menos impo an es.
b) O sinal de cada ec o p óp io não é único, pois in e endo a sua di ecção não se iola
a o ono malidade da base; assim, é necessá io que ambos os conjun os de eixos
enham di ecções consis en es pois deseja-se compa a di ec amen e os ec o es
ca ac e ís ica. Des a o ma, de e-se u iliza um p ocedimen o de co ecção do sinal.
Resumidamen e ( e adian e secção 3.4.2), uma solução passa po conside a
{
}
V
como a base de e e ência e p ocede à o ien ação de cada eixo de
{
}
1
V+, um de cada
ez, escolhendo pa a cada um a di ecção que maximiza o alinhamen o dos dois
conjun os de ec o es ca ac e ís ica.
c) A ma iz de associação
[
]
Z
di e e da ma iz
[
]
P
que lhe co esponde no mé odo
ap esen ado na secção an e io no ac o de que um empa elhamen o pe ei o é, nes e
caso, indicando po 0 (ze o), enquan o um alo igual a 2 (dois) indica um
empa elhamen o comple amen e alhado (deslocamen os no espaço modal segundo
di ecções opos as). Des e modo, os melho es empa elhamen os são indicados pelos
elemen os da ma iz
[
]
Z
que são mínimos na sua linha e na sua coluna. Os alo es ij
Z
são ob idos conside ando a dis ância Euclidiana en e os ec o es ca ac e ís ica:
{} {}
2
,,1
ij i j
ZF F
+
=- ,
em ez dos seus p odu os escala es. A an agem des e p ocedimen o é a obus ez à
uncagem dos modos não necessá ios, o melho amen o da sensibilidade, de ido a um
aumen o da gama de alo es e, como pode se analisado no pon o seguin e, uma
in e ace con enien e pa a o algo i mo de co ecção do sinal.
Na Figu a 3.2 são desc i as as á ias e apas que cons i uem o algo i mo des e mé odo
baseado na desc ição modal da o ma de cada objec o a empa elha .
3.4.2 – Algo i mo de co ecção de sinal dos modos e de empa elhamen o
Nes e pon o é ap esen ado o algo i mo pa a a co ecção do sinal dos ec o es p óp ios e pa a
o empa elhamen o en e os pon os que cons i uem dois objec os. O algo i mo12 en a, numa
p imei a ase, soluciona o p oblema da inde inição da di ecção dos ec o es p óp ios e, numa
segunda ase, es abelece o empa elhamen o en e os á ios pon os.
12 Inicialmen e ap esen ado, e p opos o, po Shapi o, em [Shapi o, 1991, 1992, 1992a].
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
72
Objec o Análise espacial
Co ecção de sinal e
co espondência en e
pon os
Decomposição em
alo es/ ec o es
p óp ios
Decomposição em
alo es/ ec o es
p óp ios
Objec o +1 Análise espacial Decomposição em
alo es/ ec o es
p óp ios
Decomposição em
alo es/ ec o es
p óp ios
Pon os Ma izes de
p oximidade Modos Ma iz de
associação
,i
X
,1j
X+
[
]
H
[
]
1
H
+
[
]
V
[
]
1
V
+
[
]
Z
Figu a 3.2 – E apas do mé odo baseado na desc ição modal da o ma.
Basicamen e, pa a a solução do p oblema da inde inição do sinal, o algo i mo começa po
admi i que os sinais dos modos do p imei o objec o es ão co ec os e de ine o sinal de cada
modo do segundo objec o, um a um, de o ma a maximiza o núme o de empa elhamen os
ob idos. Pa a al, é assumido que os objec os a empa elha são de o mas azoa elmen e
simila es e explo a-se o ac o de os pon os de e em se co elacionados. A ase
co esponden e do algo i mo, conside ando-se que exis em k modos pa a cada objec o,
o denados po o dem dec escen e dos seus alo es p óp ios, e que os objec os e 1 + são
cons i uídos po m e n pon os, pode se desc i a da seguin e o ma:
• Pa a cada modo q, começando em 1q= e c escendo a é qk=, aze :
a) Com o sinal do ec o
{
}
,1q
E
+
posi i o, is o é, não ocado, calcula uma ma iz
[
]
()
mxn
ZP cons i uída pelas dis âncias Euclidianas en e os ec o es ca ac e ís ica
{
}
,i
F
, com 1im££ , e
{
}
,1j
F
+
, com 1jn££, onde os ec o es ca ac e ís ica
são uncados a q componen es13:
{} {}
()
2
,,1
ij i j q
ZP F F +
=-

{} {}
()
{} {}
()
2
2
,,1 ,,,,1
1
i j iq jq
q
FF F F
++
-
=- + -
   (3.4)
Soma o meno elemen o em cada coluna e gua da o esul ado numa a iá el
p
C.
b) Repe i a) com o sinal de
{
}
,1q
E
+
nega i o, u ilizando uma ma iz
[
]
()
mxn
ZN e
uma a iá el n
C.
13 Um ec o
{
}
i
F
 uncado a apenas q componen es é
{}
{} {} {}
{}
,1 ,2 ,
... 0 ... 0
ii iq
i
FFF F=
 onde
{}
i
F
é o
ec o o iginal.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
73
c) Se
p
n
CC<, en ão melho es empa elhamen os são ob idos com
{
}
,1q
E+ posi i o,
is o é, com sinal não ocado; con udo se np
CC>, o sinal de
{
}
,1q
E+ de e se
ocado. Se
p
n
CC@ en ão exis e uma sime ia de e lexão na o ma e o sinal pode
se escolhido de o ma a bi á ia.
d) A ma iz de associação
[
]
Z
é ac ualizada, azendo-se igual a
[
]
Z
N ou a
[]
Z
P em
unção do sinal de e minado em c).
Na Figu a 3.3 es á ep esen ada, de o ma g á ica, a ase do algo i mo pa a a de e minação
dos sinais dos ec o es p óp ios do objec o 1 +.
yes
no
S a
End
[
]
[
]
Z
ZP=
q = 1, q <= k, q++
i = 1, i <= m, i++ j = 1, j <= n, j++
[
]
[
]
{} {}
,1 ,1q q
ZZN
EE
++
=
=-
pn
CC<
{} {}
()
{} {}
(
)
{} {}
()
{} {}
()
()
()
()
2
2
,,1 ,,,,1
1
2
2
,,1 ,, ,,1
1
1,
1
1,
1
min
min
ij i j iq jq
q
ij i j iq jq
q
n
pimj
j
n
nimj
j
ZP F F F F
ZN F F F F
CZP
CZN
++
-
++
-
££
=
££
=
=- + -
=- + --
=
=
Â
Â
  
  
Figu a 3.3 – Rep esen ação da ase do algo i mo co esponden e à de e minação dos sinais dos
ec o es p óp ios do objec o 1 +.
Pa a se de e mina os empa elhamen os, a ase co esponden e do algo i mo pode se
desc i a da seguin e o ma:
• Pa a cada linha i, com 1im££ , da ma iz
[
]
Z
, is o é pa a cada pon o i do objec o :
a) P ocu a o meno elemen o dessa linha;
b) Ve i ica se o meno elemen o encon ado em a) ap esen a um g au de con iança
acei á el a a és da e i icação que o alo de associação não é supe io a um
limia a bi ado e se ambém é o meno alo pa a a sua coluna: is o é, a
associação ap esen a um g au de con iança acei á el e o pon o
j
, com 1jn££,
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
74
do objec o 1 + ambém eclama pelo pon o i como o melho pa a empa elha ;
c) Se a e i icação ealizada em b) o e dadei a, en ão o pon o i do objec o é
empa elhado com o pon o
j
do objec o 1 +. Se al e i icação o alsa, en ão
não é encon ado um bom empa elhamen o pa a o pon o em ques ão.
Na Figu a 3.4 es á ep esen ada, de o ma g á ica, a ase do algo i mo pa a a de e minação
dos empa elhamen os en e os pon os que cons i uem os objec os e 1 +.
yes
yes
no
no
S a
End
Xi, empa elhado com Xk, +1
Xi, não empa elhado
i = 1, i <= m, i++
limia M£
(
)
1,
min imk
MZ
££
=
()
,
,1
com
1emin
ik
ijn
MZ
knM Z
££
=
££ =
Figu a 3.4 – Rep esen ação da ase do algo i mo pa a o empa elhamen o dos pon os que
cons i uem os objec os e 1 +.
3.4.3 – Resul ados expe imen ais
Nes e pon o são analisados alguns esul ados expe imen ais ob idos po uma nossa
implemen ação des e mé odo pa a objec os, 2D e 3D, ígidos ou não. Em p imei o luga ,
se ão ap esen ados alguns esul ados na análise modal de objec os 2D e 3D. Pos e io men e
se ão e i icados alguns esul ados ob idos14 na de e minação das co espondências en e
objec os 2D e en e objec os 3D.
3.4.3.1 – Na análise modal
Como oi e e ido se ão ap esen ados nes e pon o alguns esul ados ob idos na análise modal
de objec os em “ ib ação de modo li e” (po analogia com sis emas mecânicos). Em
p imei o luga se ão analisados esul ados conside ando-se objec os 2D e po úl imo objec os
3D.
14 Ou os esul ados expe imen ais podem se analisados em [Ta a es, 1997].
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
75
3.4.3.1.1 – Pa a objec os 2D
Pa a a p imei a análise modal a ap esen a , Tabela 3.11, conside e-se um objec o cons i uído
po 62 pixels e u ilize-se um alo pa a o pa âme o s igual à média da dis ância en e odos
os seus pixels, o alo que du an e as expe iências ealizadas ao longo des e abalho
ge almen e o igina a os melho es esul ados de empa elhamen o. Pa a e i ica a in luência
dos modos de ib ação nos deslocamen os impos os aos pixels que cons i uem o objec o
o iginal são ap esen ados os objec os esul an es15 da u ilização dos p imei os dez, in a e de
odos os modos de ib ação.
Analisando-se os objec os ap esen ados pode-se conclui que a in luência dos modos de
equência mais ele adas aduz-se numa inclusão de de o mações mais localizadas e
semelhan e à inclusão de uído no objec o o iginal (con on a , po exemplo, os objec os
esul an es conside ando os dez p imei os modos e odos os modos).
Pa a e i ica -se a in luência do pa âme o s são ambém ap esen ados na mesma abela
os objec os esul an es conside ando um alo pa a s bas an e meno do que o an e io , igual
à média da dis ância en e cada pon o e o seu izinho seguin e, e ambém a u ilização dos
p imei os dez, in a e de odos os modos de ib ação.
Analisando-se os objec os ap esen ados, pa a os dois alo es de s, pode-se conclui que a
diminuição do alo u ilizado implicou um e ei o semelhan e à diminuição da igidez do
objec o o iginal (con on a , po exemplo, os objec os esul an es conside ando odos os
modos de ib ação).
Conside e-se numa no a expe iência, Tabela 3.12, um objec o cons i uído po 120 pixels,
esul an e de uma amos agem semelhan e à u ilizada pa a o objec o conside ado na análise
an e io mas na qual são man idos os pon os de ele ada cu a u a16, e u ilize-se um alo pa a
o pa âme o s igual ao meno alo u ilizado na expe iência an e io . Na e e ida abela é
possí el analisa -se os objec os esul an es u ilizando-se a soma dos dez p imei os, de odos
os modos e dos modos comp eendidos en e o modo no en a e o úl imo. Analisando-se o
objec o esul an e da conside ação da soma dos modos comp eendidos en e o modo no en a
e o úl imo é possí el e i ica que as de o mações exis en es es ão essencialmen e localizadas
nas zonas de maio concen ação de nodos.
Analisando-se os esul ados ap esen ados pa a es a expe iência e pa a a an e io pode-se
conclui que a conside ação dos pon os de ele ada cu a u a aumen ou a concen ação de
pon os nos é ices do objec o e ez com que o mesmo icasse “ama ado” nes es pon os.
15 Os objec os ap esen ados esul am da soma às coo denadas o iginais de cada pixel dos espec i os deslocamen os impos os
pelos modos de ib ação conside ados. Os conjun os de modos u ilizados o am de inidos de o ma a bi á ia apenas com
o in ui o de ilus a de o ma adequada os objec i os da expe iência em causa.
16 Após o cálculo da cu a u a em cada pon o do objec o o iginal os pixels que ap esen a am um alo ele ado o am
conse ados du an e a amos agem.

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
76
Tabela 3.11 – Objec o o iginal e objec os esul an es da análise modal do mesmo
u ilizando-se dois alo es di e en es pa a o pa âme o s.
Objec o O iginal (62 pixels) Objec o O iginal com Pixels Ligados
Objec os Resul an es, s: 45.4
nº de modos:
10 30 62 ( odos)
Objec os Resul an es, s: 5.1
nº de modos:
10 30 62 ( odos)
Na Figu a 3.5 são sob epos os os objec os esul an es da conside ação da soma de odos os
modos de ib ação nas ês análises modais ap esen adas.
3.4.3.1.2 – Pa a objec os 3D
Conside emos um objec o 3D, cons i uído po 314 pon os, e um alo pa a o pa âme o s
igual à dis ância média en e odos os seus pon os, Tabela 3.13. Conside ando-se a soma dos
p imei os seis, doze, in e e cinco, cem, duzen os e de odos os modos de ib ação,
ob i e am-se os objec os ep esen ados na e e ida abela. Na mesma abela es ão ambém
ep esen ados os objec os esul an es da conside ação da soma dos modos de ib ação
comp eendidos en e o modo in e e cinco e o cem e en e o modo duzen os e o úl imo.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
77
Tabela 3.12 – Objec o o iginal, esul an e de u ilização de uma amos agem que conse ou os
pixels de ele ada cu a u a, e objec os esul an es da análise modal do mesmo.
Objec o O iginal (120 pixels)
Objec os Resul an es, s: 5.1
nº de modos:
10 120 ( odos) 30, a pa i do modo 90
Figu a 3.5 – Objec os esul an es em cada análise
e ec uada conside ando-se odos os modos.
Conside ando o mesmo objec o o iginal mas des a ez um alo pa a o pa âme o s
bas an e supe io ob i e am-se, como se ia de espe a , objec os que aduzem um aumen o da
igidez do objec o o iginal. Na Tabela 3.13 es ão ep esen ados os objec os esul an es da
conside ação dos doze p imei os modos e da conside ação dos in e e cinco p imei os modos;
analisando-se es es objec os, e ambém as Figu a 3.6 e Figu a 3.7, pode se comp o ado o
aumen o de igidez e i icado.
Como se pode comp o a a pa i des e exemplo, quan o mais ele ado o alo pa a o
pa âme o s mais ígido se o na o objec o e cada ez mais se começa a no a o e ei o e a
inclusão de pe u bações semelhan es a uído localizado, no malmen e p o ocado pelos
modos de equências mais ele adas, nos p imei os modos (con on a , po exemplo, os
objec os esul an es conside ando-se a soma dos p imei os in e e cinco modos).
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
78
Tabela 3.13 – Objec o o iginal e objec os esul an es da análise modal do mesmo
u ilizando-se dois alo es di e en es pa a o pa âme o s.
Objec o O iginal (314 pon os)
Objec os Resul an es, s: 3.8
nº de modos:
6 12 25
100 200 314 ( odos)
75, a pa i do modo 25 64, a pa i do modo 250
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
79
Tabela 3.13 – Objec o o iginal e objec os esul an es da análise modal do mesmo
u ilizando-se dois alo es di e en es pa a o pa âme o s. (Con inuação)
Objec os Resul an es, s: 100
nº de modos:
12 25
Figu a 3.6 – Objec os ob idos u ilizando-se os
doze p imei os modos e com 3.8s= e 100s=.
[Rep odução a co es em anexo.]
Figu a 3.7 – Objec os ob idos u ilizando-se os
in e e cinco p imei os modos e com 3.8s=
e 100s=. [Rep odução a co es em anexo.]
3.4.3.2 – Na de e minação de co espondências
Nes e pon o são ap esen ados alguns esul ados expe imen ais ob idos na u ilização des e
mé odo pa a a de e minação de co espondências en es objec os ígidos e não ígidos. Em
p imei o luga se ão ap esen ados esul ados ob idos conside ando-se objec os 2D e,
seguidamen e, se ão ap esen ados esul ados pa a objec os 3D.
3.4.3.2.1 – Pa a objec os 2D
Pa a se e i ica os esul ados ob idos po es e mé odo conside e-se, o objec o 1, cons i uído
po 62 pixels, e o 2, esul an e da aplicação ao p imei o de uma ans o mação ígida
cons i uída po uma o ação de -15º em o no do cen óide e um escalamen o de 1.25 em
elação ao mesmo pon o e uma anslação de 50 pixels em elação ao eixo
x
e de -65 pixels
em elação ao eixo y, Tabela 3.14. Op ando-se po alo es pa a os pa âme os s iguais à
média da dis ância en e odos os pon os de cada um dos objec os ob i e am-se 62
empa elhamen os co ec os (100%). Aplicando-se ao objec o 1 a o ação e a anslação
de e minadas, pelo mé odo ap esen ado na p imei a secção des e capí ulo, ob i emos a igu a
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
86
 Sob o pon o de is a de implemen ação o mé odo é bem condicionado, linea em
e mos do núme o de pon os e po encialmen e pa alizá el18.
3.4.4.1 – Valo conside ado pa a o pa âme o s
 A unção do pa âme o s é a de con ola a la gu a da unção Gaussiana, cen ada em
cada pon o, de e minando a in luência dos pon os izinhos. Se s o eduzido, meno
do que a dis ância en e pon os izinhos, os elemen os da ma iz de p oximidade não
diagonais são ap oximadamen e iguais a ze o e a ma iz
[
]
H
é p a icamen e diagonal.
Assim que s seja mais ele ado, os elemen os não diagonais aumen am a é que no
limi e, pa a o qual sƕ, odos os elemen os da ma iz
[
]
H
são iguais a um.
 Quando s é eduzido, os m alo es p óp ios são ap oximadamen e iguais:
12
... 1
m
ll lªªª ª. Quando s aumen a, os alo es p óp ios o nam-se mais
dis in os ob endo-se 12
... m
ll l>>>.
 Quando s é bas an e ele ado, o p imei o alo p óp io 1
l ende pa a m e,
necessa iamen e, os es an es endem pa a ze o. Os modos associados a alo es
p óp ios ão eduzidos p o ocam se e os p oblemas compu acionais o nando-se,
assim, necessá io eduzi o alo de s quando al si uação oco e.
3.4.4.2 – Da análise modal de um objec o
Dos esul ados expe imen ais ob idos na análise modal de objec os podemos conclui o
seguin e:
 Quan o mais ele ado é o alo do pa âme o s meno é in luência dos de alhes do
objec o o iginal e maio é a zona do objec o inal pe u bada pelos mesmos.
 O aumen o do alo do pa âme o s sua iza o objec o inal.
 Os modos de baixa equência es ão associados a de o mações globais e os de al a
equência a de o mações locais.
 A conside ação dos modos de al a equência em um e ei o semelhan e ao de inclusão
de uído no objec o inal.
3.4.4.3 – Da de e minação de co espondências
Os esul ados expe imen ais ob idos na de e minação das co espondências en e objec os 2D
ou 3D, pe mi em conclui :
18 Em [Ba bosa, 2000, 2000a] é desc i a uma e são pa alizada des e mé odo.

DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO ANÁLISE MODAL DA FORMA
87
 Quando a de o mação exis en e en e os dois objec os é essencialmen e ígida poucos
modos de ib ação são su icien es pa a se ob e em empa elhamen os acei á eis;
 Ge almen e são ob idos melho es esul ados de empa elhamen o u ilizando-se alo es
pa a os pa âme os s p óximos da média da dis ância en e odos os pon os que
cons i uem cada objec o;
 A u ilização de alo es demasiado eduzidos (ou demasiado ele ados) pa a os alo es
dos pa âme os s o na impossí el ob e -se empa elhamen os acei á eis;
 A não inclusão dos modos de al a equência em ge al a o ece a ob enção de
melho es empa elhamen os;
 Nos á ios es es e ec uados ao longo des e abalho o alo do limia pa a um
empa elhamen o se conside ado como possí el não e e in luência ele an e nos
esul ados ob idos; al suge e que a exigência de mínimo na linha e na coluna pa ece
se su icien e pa a classi icá-lo como bom ou não;
 Também nos á ios es es e ec uados se e i icou que a não conside ação na base
modal dos modos de ib ação que enham equências p a icamen e iguais ge almen e
a o ece os esul ados de empa elhamen o ob idos;
 Pa a ob e -se bons esul ados de empa elhamen o a elação en e os alo es de
s e
1
s+ de e e lec i a escala exis en e en e cada objec o de modo que os dois conjun os
de alo es p óp ios enham a mesma o dem de g andeza;
 Po ezes, a inclusão dos pon os de ele ada cu a u a acili a a esolução dos casos
pa a os quais é di ícil ob e -se empa elhamen os sa is a ó ios;
 Os empa elhamen os ob idos são de melho qualidade se a de o mação exis en e en e
os dois objec os não o apenas es i a a uma zona eduzida dos mesmos;
 O p ocesso de de e minação das co espondências pode se bas an e acele ado se não
o em de e minados odos os alo es/ ec o es p óp ios pa a cada objec o, mas apenas
um núme o su icien e19 de o ma a se possí el ob e -se co espondências sa is a ó ias.
A conside ação de apenas 25% dos modos e elou-se, ao longo das expe iências, um
núme o ge almen e adequado.
3.4.4.4 – Adap ação do mé odo pa a objec os do ipo con o no
Na cons ução da ma iz de p oximidade
[
]
H
pa a cada objec o é conside ada, na equação
(3.2), a dis ância Euclidiana en e cada pon o e odos os es an es. Con udo, quando o objec o
em ques ão é um con o no, e assim não ap esen a pon os no seu in e io , al conside ação az
19 Po exemplo, em [Ba he, 1996] são desc i os á ios mé odos i e a i os pa a a de e minação de um subconjun o dos
alo es/ ec o es p óp ios de uma ma iz simé ica.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
88
com que a in luência de pon os já a as ados de zonas pa icula es dos con o nos possam ainda
exe ce ele ada in luência sob e es as. Numa en a i a de se adap a es e mé odo a objec os
des e ipo en endeu-se que se ia p e e í el passa a u iliza na equação (3.2) as dis âncias en e
os pon os de e minadas ao longo do con o no, em ez das dis âncias Euclidianas.
3.5 – Sumá io
Nes e capí ulo é inicialmen e ap esen ado um mé odo pa a a de e minação da ans o mação
geomé ica ígida exis en e en e dois objec os, 2D ou 3D, cujos pon os enham sido
p e iamen e empa elhados. Es e mé odo, baseado em minimização po mínimos quad ados do
e o da ans o mação de e minada, u iliza qua e nions uni á ios pa a ep esen a a o ação
en ol ida e é de ácil implemen ação sem qualque p ocesso i e a i o. Os esul ados ob idos
pela implemen ação desen ol ida demons am que é possí el ob e -se boas es ima i as pa a a
ans o mação geomé ica exis en e sem a necessidade de conside a um ele ado núme o de
co espondências. Ao longo do abalho, e i icou-se ambém que a possibilidade de
de e mina a ans o mação ígida é de ac o de mui o in e esse mesmo quando os objec os a
empa elha são de o má eis, pois assim é possí el dis ingui -se as ans o mações globais do
ipo ígido das essencialmen e localizadas.
Seguidamen e oi desc i o um mé odo pa a de e mina as co espondências en e dois
objec os, 2D ou 3D, ígidos ou não, segundo um mapeamen o baseado no p incípio da
dis ância mínima. Apesa de o mé odo se bas an e a aen e do pon o de is a de
implemen ação, pela sua simplicidade, os esul ados ob idos pa a objec os eais só são
sa is a ó ios quando exis i uma ele ada semelhança no posicionamen o, na o ien ação e nas
o mas dos objec os em ques ão. Es a inadap ação, e i icada pelas expe iências ealizadas,
de e-se ao ac o de não se conside ada a es u u a de cada objec o na modelização u ilizada.
A e e ida inadequação pa a objec os ela i amen e di e en es na o ma, posicionamen o
ou o ien ação, o iginou o desen ol imen o de um no o mé odo, ap esen ado na qua a secção
des e capí ulo. Es e mé odo u iliza in o mação da es u u a de cada objec o na modelização,
a a és da análise dos ec o es p óp ios de o ma dos dois objec os a empa elha . Os
esul ados expe imen ais ob idos comp o am a sua melho adap ação pa a objec os eais e
con i mam a a -se de um mé odo bas an e in e essan e pa a a de e minação das
co espondências en e objec os 2D ou 3D, ígidos ou não.
89
Capí ulo IV
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO
MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
Na sequência dos dois mé odos an es ap esen ados pa a a de e minação de co espondência
en e objec os, ap esen a-se nes e capí ulo uma no a abo dagem ao mesmo p oblema,
inco po ando p incípios ísicos. Em ez de se basea a de e minação das co espondências
nodais na cons ução de ma izes de p oximidade geomé ica, usa-se uma modelização ísica
dos objec os po meio do mé odo dos elemen os ini os, na qual o objec o se conside a
cons i uído po um ce o ma e ial i ual e se u iliza a análise modal pa a de e minação dos
empa elhamen os nodais.
Após uma in odução ao mé odo dos elemen os ini os, é o mulada a análise modal e
analisado o mé odo p opos o.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
91
4.1 – In odução
O p oblema do seguimen o de objec os ao longo de uma sequência de imagens é um dos
emas cen ais da isão po compu ado . O econhecimen o do objec o nas imagens e o seu
empa elhamen o na sequência exige a de inição de modelos de desc ição dos objec os
baseados em desc i o es como con o nos, supe ícies ou olumes. As p imei as di iculdades
associadas a essa desc ição são: os desc i o es do objec o são sensí eis ao uído, o objec o
pode não se ígido, a apa ência de um objec o de o ma-se se a geome ia u ilizada na
cap ação das imagens o al e ada. Es es p oblemas mo i a am a u ilização de modelos
de o má eis pa a in e pola , sua iza e segmen a dados.
Modelos de o má eis, po si só, não incluem um mé odo pa a cálculo dos desc i o es
canónicos pa a econhecimen o ou pa a ob e a co espondência en e conjun os de dados.
Pa a esol e es e p oblema Scla o e Pen land, [Pen land, 1990, 1991], desen ol e am um
mé odo pa a ep esen a objec os po de o mações canónicas a pa i de um objec o p o ó ipo.
Desc e endo a o ma do objec o em e mos dos alo es p óp ios da ma iz de igidez do
objec o p o ó ipo, é possí el ob e pa a a mesma uma desc ição obus a e o denada pela
equência. Além do mais, es es ec o es ou modos p óp ios são um mé odo in ui i o pa a
desc ição da o ma pois co espondem aos eixos de sime ia gene alizados do objec o.
Rep esen ando os objec os em e mos das de o mações modais, es e mé odo é obus o pa a a
modelização 3D, econhecimen o de objec os, e seguimen o 3D u ilizando pon os, con o nos,
dis âncias e luxo óp ico.
Con udo, es e mé odo ainda não esol e o p oblema da de e minação da co espondência
en e conjun os de dados ou en e dados e modelos. Tal é de ido à imposição de cada objec o
se necessa iamen e desc i o po de o mações a pa i de um único objec o p o ó ipo, o que
impõe a p io i uma pa ame ização implíci a dos dados pa a assim de e mina
(implici amen e) a co espondência en e os dados e o p o ó ipo.
Pa a soluciona es e p oblema, Scla o [Scla o , 1995, 1995a] p opôs um mé odo com o
qual é possí el ob e os in a ian es modais de o ma di ec amen e a pa i dos dados,
pe mi indo calcula desc i o es canónicos obus os pa a o econhecimen o e esol e
p oblemas de co espondência. Scla o modeliza cada objec o po in e médio de um
elemen o ini o isopa amé ico [Ba he, 1996; Sege lind, 1984] e de e mina pa a es e as
ma izes de massa, de igidez e dos modos p óp ios de ib ação. Ob endo es as ma izes pa a
cada um dos dois modelos, ob êm-se os empa elhamen os a a és da simila idade dos
deslocamen os de cada dado pon ual no espec i o espaço modal; des a o ma, dados que
ap esen am deslocamen os semelhan es nos dois espaços modais são decla ados como
co esponden es. Pa a de e mina os deslocamen os dos dados não empa elhados po análise
modal, Scla o u iliza um p ocesso de minimização da ene gia de de o mação, segundo
p incípios ísicos. Com es e p ocedimen o, são es imados os deslocamen os pa a os dados não
empa elhados de o ma a se em cong uen es com o p óp io objec o em análise e com as
p op iedades do ma e ial i ual u ilizado na sua modelização. O alo de e minado pa a a
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
92
ene gia de de o mação pode se pos e io men e u ilizado como medida global de simila idade
en e os dois objec os em análise. Com a desc ição modal u ilizada, as de o mações são
desc i as de o ma pe ei amen e o denada, do ní el global pa a o local, a a és das
equências de ib ação em modo li e [Mei o i ch, 1986].
O mé odo que a segui se ap esen a pa a a de e minação de co espondências en e
objec os 2D ou 3D, ígidos ou não, oi adap ado do mé odo p opos o po Scla o , e
gene alizado a qualque ipo de modelização ísica dos objec os pelo mé odo dos elemen os
ini os. Com o no o mé odo p opos o é possí el ob e os empa elhamen os dos dados
pon uais que cons i uem dois objec os, es ima os deslocamen os dos dados que enham
alhado o empa elhamen o po análise modal, e ob e uma medida da de o mação,
independen emen e do ipo de elemen os ini os u ilizados na modelização.
4.2 – P incípio do mé odo
Conside e-se o p oblema de, a pa i de dois conjun os de dados pon uais, se p e ende
de e mina se eles co espondem ou não a dois objec os simila es. A abo dagem mais comum
pa a esol e es e ipo de p oblema é a de en a de e mina ca ac e ís icas locais dis in i as
que possam se empa elhadas com alguma con iança; essa abo dagem alha quando exis e
insu icien e in o mação local e quando as condições de ob enção dos dados ou a sua
de o mação al e a am signi ica i amen e a apa ência das ca ac e ís icas locais u ilizadas.
Uma ou a abo dagem consis e em de e mina um e e encial de co po cen ado pa a cada
objec o e depois en a empa elha os dados pon uais. Desde que os dados es ejam desc i os
po coo denadas in ínsecas, ou po coo denadas de co po cen ado, em ez de coo denadas
ca esianas, é mais ácil ob e a co espondência en e os dados dos dois objec os.
Mui os mé odos pa a de e mina o e e encial de co po cen ado êm sido suge idos,
incluindo mé odos de momen os de iné cia, de de e minação das sime ias e desc i o es
pola es de Fou ie . Ge almen e es es mé odos ap esen am as seguin es di iculdades: e os de
amos agem, e os de pa ame ização e de não unicidade. A g ande con ibuição do mé odo
p opos o (na sequência do abalho de Scla o ) é a de de e mina um sis ema de e e ência
local que e i a, em g ande pa e, es as ês di iculdades.
Os e os de amos agem são bem comp eendidos: os dados obse ados e as suas
localizações podem se d as icamen e al e adas de imagem pa a imagem. A solução mais
comum pa a es e ipo de p oblema é a de apenas u iliza es a ís icas globais, como momen os
de iné cia; con udo, na melho das hipó eses, ais mé odos o e ecem soluções acas ou
pa ciais.
Os e os de pa ame ização são mais sub is. O p oblema oco e quando, po exemplo, se
ajus a um conjun o de dados pon uais u ilizando-se uma es e a de o má el 3D, o que impõe
um sis ema coo denado adial nos dados em ez de pe mi i que os mesmos de e minem po
si só um adequado sis ema de coo denadas. Consequen emen e, a desc ição esul an e é

DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
93
a ec ada o emen e, po exemplo, pelas dis o ções comp essi as e de co e ípicas da
pe spec i a. O ele ado núme o de a igos sob e sime ias dis o cidas é indica i o da se iedade
des e ipo de p oblema.
A não unicidade é um p oblema ób io pa a o econhecimen o e empa elhamen o, mas que
é mui as ezes igno ado quando se p ocu a um qualque ipo de desc ição es á el.
Vi ualmen e, odos os mé odos baseados em splines, em placas inas e em polinómios, não
são capazes de ge a desc ições canónicas; ge almen e es e p oblema é de ido ao ac o de os
pa âme os pa a as en idades conside adas se em de inidos de o ma a bi á ia, e assim não
se em in a ian es à mudança de is a, a oclusões e a de o mações não ígidas.
O mé odo p opos o pa a a de e minação de co espondências en e dois objec os p ocu a
soluciona as ês di iculdades e e idas nas seguin es e apas:
1. É calculada uma desc ição da o ma de cada objec o, obus a em elação à
amos agem, pela u ilização de in e polação de Gale kin, ma ema icamen e
associada ao mé odo dos elemen os ini os.
2. É u ilizada uma modelização de cada objec o po in e médio de elemen os ini os, o
que pe mi e ob e a pa ame ização da o ma di ec amen e a pa i dos dados.
3. São u ilizados os modos p óp ios de ib ação de cada objec o modelizado pa a se
ob e um sis ema de coo denadas canónico o ogonal e o denado pela equência.
Cada um des es sis emas pode se enca ado como os eixos de sime ia gene alizados
pa a a o ma do espec i o objec o.
Com a desc ição da localização dos dados pon uais nes e sis ema de co po cen ado é ácil
empa elha dados co esponden es e medi a simila idade en e objec os di e en es, o que
pe mi e o econhecimen o de objec os e de e mina se di e en es objec os são elacionados
po simples ans o mações ísicas.
Um diag ama do mé odo p opos o es á ep esen ado na Figu a 4.1.
MU KU R

m lqlq

de e mina as ma izes de
massa e de igidez pa a
o modelo ini o
Saída:
En ada: De e minação dos modos
p óp ios
Cons ução do modelo ísico u iliza os modos 1
lq
i
empa elhados como
sis ema de coo denadas
MU KU R

m lqlq

de e mina as ma izes de
massa e de igidez pa a
o modelo ini o
KM
iii
IZ I
lq lq
2
esol e o p oblema de
alo es/ ec o es
p óp ios gene alizado
KM
iii
IZ I
lq lq
2
esol e o p oblema de
alo es/ ec o es
p óp ios gene alizado empa elha os modos
1
lq
i não ígidos de
baixa o dem de
ambos os modelos
dados pon uais conside ados
como nodos de um modelo
de elemen os ini os
co espondência
en e dados
Figu a 4.1 – Diag ama do mé odo p opos o nes e capí ulo.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
94
Pa a cada imagem, conside am-se as localizações dos dados pon uais
>
@
1m
XX X
do objec o em ques ão e u ilizam-se es es como nodos na cons ução do seu modelo de
elemen os ini os, cons i uídos po um de e minado ma e ial i ual (po exemplo, bo acha).
De seguida, são de e minados os modos p óp ios de ib ação
^
`
i
1 dos modelos de
elemen os ini os. Es es modos p opo cionam uma desc ição o ogonal, o denada pela
equência, de cada objec o e das suas de o mações na u ais. Tais ec o es são, po ezes,
designados po ec o es de o ma pa a cada modo [Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986] pois
desc e em como cada modo de o ma o objec o po al e ação das localizações o iginais dos
dados, po meio de:
^
`
de o mado i
XXa1 ,
em que a é um escala .
Os p imei os modos (3 em 2D e 6 em 3D) são os modos de co po ígido enquan o os
es an es espei am a mo imen o não ígido [Ba he, 1996; Mei o i ch, 1986]. Os modos não
ígidos são o denados po o dem c escen e da equência de ib ação; no ge al, os modos (não
ígidos) de baixa equência desc e em de o mações globais, enquan o que os modos de
ele ada equência desc e em essencialmen e as de o mações localizadas. Es e o denamen o
do global pa a o local é bas an e ú il na compa ação e empa elhamen o de objec os.
Os modos p óp ios ambém o mam um sis ema de coo denadas o ogonal e cen ado no
objec o pa a desc ição da localização dos dados pon uais. Is o é, a localização de cada dado
pon ual pode se desc i a de o ma única em e mos do seu mo imen o segundo cada modo
p óp io. A ans o mação en e as localizações no sis ema ca esiano e no sis ema modal é
conseguida pela u ilização dos ec o es p óp ios do modelo ini o como uma base
coo denada. Na écnica adop ada, dois g upos de dados são compa ados nes e espaço p óp io.
A ideia base é que os modos de baixa o dem pa a dois objec os simila es de e ão se bas an e
p óximos mesmo na p esença de de o mações a ins [Folley 1991; Hall, 1993], de o mações
não ígidas, pe u bações locais da o ma ou de uído.
U ilizando es a p op iedade, a co espondência en e dois objec os é de e minada po
empa elhamen o modal, sendo a co espondência en e dois objec os de e minada po
compa ação das suas ajec ó ias em cada espaço modal. Dados cujo empa elhamen o
ap esen a um ele ado g au de con iança são ob idos po es e p ocesso; os deslocamen os dos
es an es dados se ão es imados pela u ilização do modelo ísico como uma es ição de
sua ização.
Finalmen e, de e minada a co espondência en e os dados pon uais que cons i uem dois
objec os, pode-se medi as suas di e enças de o ma. Como o p ocesso modal decompõe as
de o mações num conjun o o ogonal, pode-se medi selec i amen e as di e enças de co po
ígido, ou de o mações do ipo p ojec i o de baixa o dem, ou de o mações que são
p incipalmen e locais. Consequen emen e, pode-se econhece objec os duma manei a lexí el
e ge al.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
95
Al e na i amen e, dadas as co espondências, pode-se alinha ou dis o ce um objec o num
ou o. Tal alinhamen o é ú il na usão de dados ob idos po senso es di e en es, ou na
compa ação de dados ob idos em ins an es de empo dis in os ou sob condições di e en es.
Também é ú il em compu ação g á ica, domínio em que a e e ida dis o ção é designada po
mo phing [Folley 1991].
Em esumo, pode-se a i ma que es a écnica modal o e ece duas an agens sob e ou as
écnicas exis en es:
• Pode se u ilizada au oma icamen e pa a iden i ica e e ique a dados co esponden es
em dois objec os; de al o ma, pode se possí el, sem in e enção de um u ilizado ,
alinha , compa a e ealiza mo phing en e os dois.
• A ep esen ação modal ob ida pe mi e a sepa ação de di e en es ipos de de o mação.
Além des as an agens, de e-se e em con a que a ep esen ação modal é supo ada pelas
eo ias de endidas po biólogos en ol idos no es udo da mo ologia dos esquele os e das
o mas dos animais, segundo as quais espécies di e en es es ão elacionadas en e si po
de o mações. Es udos ecen es ambém u ilizam as de o mações modais pa a a desc ição do
c escimen o de ó gãos de animais e no alinhamen o en e ó gãos do mesmo ipo [Ma in,
1998; Syn, 1995, 1995a] e demons am que os pa âme os de de o mação co espondem
quali a i amen e aos que são u ilizados pelos humanos em animação e na pesquisa em bases
de dados.
Quando o olume de dados é mui o ele ado, a ob enção dos modos p óp ios pode se um
p ocesso bas an e cus oso em e mos compu acionais; con udo, pa a se ob e um
p ocedimen o mais ápido exis em algumas soluções possí eis: pa a uma classe pa icula de
o mas simila es, os modos podem se p ede e minados e gene alizados [Pen land, 1990,
1991a]; em alguns casos, pa a opologias do ipo ubo e es e a, Nas a [Nas a , 1994]
demons ou que os modos de de o mação podem se de e minados anali icamen e; é ambém
possí el u iliza -se o mé odo p opos o u ilizando in e polação do espaço modal ( e adian e
secção 4.5.1); podem u iliza -se implemen ações pa alelizadas pa a a de e minação dos
modos p óp ios de ib ação [Ba bosa, 2000, 2000a].
4.3 – In odução ao mé odo dos elemen os ini os
O aumen o da complexidade das es u u as e da capacidade dos compu ado es a o eceu o
apa ecimen o de no os mé odos compu acionais de análise, nomeadamen e o mé odo dos
elemen os ini os. Após uma u ilização inicial em p oblemas de elas icidade [Ba he, 1996;
Sege lind, 1984], a mesma écnica oi-se apidamen e es endendo a ou os domínios como o
da ans e ência de calo e da mecânica dos luidos, do elec omagne ismo, das ib ações
mecânicas e acús icas [Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986], da compu ação g á ica [Essa, 1992;
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
96
Pen land, 1989; Pen land, 1989a], da ealidade i ual, nomeadamen e em simulações
ci ú gicas [B o-Nielsen, 1996; Kee e, 1996], da isão po compu ado 1, e c. O objec i o do
mé odo é a ob enção de uma o mulação que possa explo a a análise, de o ma au omá ica,
de sis emas complexos e/ou i egula es, po in e médio de p og amas compu acionais. Pa a
a ingi al objec i o, o mé odo conside a o sis ema global como equi alen e a um
ag upamen o de elemen os ini os no qual cada um deles é uma es u u a con ínua mais
simples. Impondo que em ce os pon os comuns a á ios elemen os, designados po nodos ou
nós, os deslocamen os sejam compa í eis e as o ças in e nas es ejam em equilíb io, o sis ema
global esul an e do ag upamen o eage como uma única en idade.
Apesa do mé odo dos elemen os ini os conside a os elemen os indi iduais como
con ínuos, ele é, na sua essência, um p ocedimen o de disc e ização pois exp ime os
deslocamen os, as de o mações e as ensões em qualque pon o de um elemen o con ínuo em
e mos de um núme o ini o de deslocamen os nos seus pon os nodais, usando unções de
in e polação2 ap op iadas. A an agem do mé odo é que a equação de mo imen o pa a o
sis ema global pode se ob ida pelo ag upamen o das equações de e minadas indi idualmen e
pa a cada elemen o ini o u ilizado na modelização. O mo imen o em qualque pon o do
in e io de cada um des es elemen os é ob ido po in e médio de in e polação, sendo as
unções de in e polação, ge almen e, polinómios de g au eduzido e iguais pa a elemen os do
mesmo ipo.
Uma ou a an agem do mé odo dos elemen os ini os é a acilidade com que a sua
gene alização pode se conseguida pa a a esolução de p oblemas bidimensionais e
idimensionais cons i uídos po á ios ma e iais e com on ei as i egula es.
Os passos essenciais de uma solução numé ica pelo mé odo dos elemen os ini os são os
seguin es:
1. Subdi isão do sis ema global con ínuo em elemen os ini os;
1 Desde a p imei a u ilização do mé odo dos elemen os ini os po Pen land em 1989, [Pen land, 1989], no domínio da isão
po compu ado , que a mesma em indo a gene aliza -se às suas di e en es á eas, nomeadamen e:
• análise de mo imen o 2D e 3D, ígido e não ígido [Benayoun, 1994, 1994a; Coo es, 1995; Nas a , 1994, 1994a;
Pen land, 1991; Scla o , 1994a];
• ob enção de es u u as 2D e 3D [Cohen, 1991; Kakadia is, 1996; Pen land, 1991a];
• análise de aces [Essa, 1995];
• análise de objec os de o má eis 2D e 3D [McIne mey, 1996; Pa k, 1996; Pen land, 1990; Pen land, 1991];
• ep esen ação de imagens 2D e 3D [Moulin, 1992];
• alinhamen o de imagens e modelos 2D e 3D [Syn, 1995a, 1995b, 1996];
• desc ição de objec os 2D e 3D [Scla o , 1994, 1995, 1995a; Syn, 1995, 1996].
2 Também designadas po unções de o ma, de em se con ínuas e em cada nodo do espec i o elemen o o seu soma ó io
de e se igual a 1 [Ba he, 1996].
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
103
p imei a aplicação ob ém-se
^
`
^
`
1
Ue7, na segunda aplicação
^
`
^
`
2
Ue, e assim po
adian e a é que, após a úl ima aplicação, esul a:
>
@
^
`
^
`
K
UR. (4.6)
O ec o de ca ga
^
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é:
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RRRR. (4.7)
A ma iz
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é a ma iz de igidez pa a o sis ema global:
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. (4.8)
O ec o de ca ga
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inclui o e ei o das o ças de co po
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
, (4.9)
o e ei o das o ças de supe ície
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1
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
, (4.10)
o e ei o da ensão inicial no ec o
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    
, (4.11)
e as ca gas concen adas
^
`
c
R
.
No e-se que o soma ó io dos in eg ais de olume na equação (4.8) exp ime a adição di ec a
das ma izes de igidez dos elemen os u ilizados

e
K
ËÛ
ÍÝ
de o ma a ob e -se a ma iz de
igidez do sis ema global
>
@
K
. Do mesmo modo, o ag upamen o do ec o de o ças de co po
^
`
B
R
é de e minado pela adição di ec a dos ec o es das o ças de co po dos elemen os
u ilizados


^
`
e
B
R; os ec o es
^
`
S
R
e
^
`
I
R
são ob idos de o ma simila . Como já oi
e e ido, o p ocesso de ag upamen o das ma izes e dos ec o es dos elemen os po es a
7 O ec o
^
`
i
e em odas as suas componen es nulas excep uando a componen e i que é uni á ia.

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
104
adição di ec a é designado po mé odo di ec o de igidez.
Es e p ocesso de ag upamen o baseia-se em dois ac o es p incipais: as dimensões de odas
as ma izes e de odos os ec o es são as mesmas, e os g aus de libe dade de cada elemen o
são iguais aos g aus de libe dade do conjun o ag upado. E iden emen e que na p á ica, apenas
as linhas e as colunas di e en es de ze o pa a as ma izes e ec o es de cada elemen o são
calculadas (co espondendo aos e ec i os g aus de libe dade nodais de cada elemen o), e o
ag upamen o é execu ado u ilizando pa a cada elemen o um ec o de conec i idade no qual
são gua dados os índices, em elação ao conjun o ag upado, dos g aus de libe dade associados
ao elemen o. Na p á ica, ambém as ma izes e os ec o es de cada elemen o ini o podem, po
ques ões de simpli icação do seu cálculo, se p imei amen e calculadas ela i amen e aos seus
g aus de libe dade locais, não alinhados com os g aus de libe dade do conjun o ag upado;
nes e caso, an es de se p ocede ao ag upamen o de e-se ealiza uma ans o mação dos
g aus de libe dade locais pa a os g aus de libe dade globais ( e adian e secção 4.3.1.1). Is o
equi ale a ans o ma o sis ema de coo denadas local no sis ema de coo denadas global.
A equação (4.6) é a equação de equilíb io es á ico pa a o sis ema global. Na conside ação
des e equilíb io, as o ças aplicadas podem a ia com o empo e nes e caso, os deslocamen os
ambém a iam com o empo e a equação (4.6) é a equação de equilíb io pa a um qualque
ins an e de empo especí ico. Con udo, se as ca gas o em aplicadas de o ma ápida, as o ças
de iné cia não podem se desp ezadas; is o é, é necessá io esol e um e dadei o sis ema
dinâmico. U ilizando-se o p incípio de d’Alembe 8 pode-se simplesmen e inclui as o ças de
iné cia como pa e das o ças de co po. Assumindo que as acele ações são ap oximadas da
mesma manei a que os deslocamen os na equação (4.7), a con ibuição das o ças o ais de
co po no ec o das ca gas
^
`
R
é (com o sis ema de coo denadas

,,XYZ es acioná io):
^`



^
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 
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ËÛ ËÛ
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ÍÝ ÍÝ
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onde o ec o

^
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Be
já não inclui as o ças de iné cia,
^
`
U
 é o ec o das acele ações
nodais (is o é, a segunda de i ada de
^
`
U em elação ao empo), e


e
7 é a densidade de
massa do elemen o e. Nes e caso as equações de equilíb io esul an es são:
>
@
^
`
>
@
^
`
^
`
M
UKU R
 , (4.13)
onde
^
`
R
e
^
`
U são dependen es do empo. A ma iz
>@
M
é a ma iz de massa pa a o
sis ema global:
8 P incipio de d’Alembe [Bee , 1981]: as o ças ex e nas que ac uam sob e um co po ígido são equi alen es às o ças
e ec i as dos á ios pon os ma e iais que o mam o co po. Es e p incípio pe mi e u iliza o p incípio dos deslocamen os
i uais, de inido pa a p oblemas de equilíb io es á ico, em p oblemas de equilíb io dinâmico a a és da conside ação da
o ça de iné cia como pa e das o ças de co po.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
105
>@
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M
M
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
. (4.14)
Na medição das espos as dinâmicas eais do sis ema global é obse ado que alguma
ene gia é dissipada du an e a ib ação; na análise de ib ações al dissipação é ge almen e
conside ada pela in odução de o ças de amo ecimen o dependen es da elocidade.
In oduzindo es as o ças na equação (4.12) como con ibuições adicionais às o ças de co po,
ob ém-se:
^`



^
`
 
^
`
 
^
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
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B
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
ÍÝ ÍÝ ÍÝ
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ÇÔ  .
Nes e caso o ec o

^
`
Be
já não inclui as o ças de iné cia nem as do amo ecimen o
dependen e da elocidade,
^
`
U
 é o ec o das elocidades nodais (is o é a p imei a de i ada
de
^
`
U em elação ao empo), e


e
N é o pa âme o de amo ecimen o pa a o elemen o e.
Nes e caso, as equações de equilíb io esul an es são:
>
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^
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>
@
^
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^
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  , (4.15)
onde
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C é a ma iz de amo ecimen o do sis ema global:
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
.
Na p á ica é di ícil, se não impossí el, de e mina pa a sis emas ge ais de elemen os ini os
os pa âme os de amo ecimen o pa a os elemen os que os cons i uem, pa icula men e po que
as p op iedades de amo ecimen o são dependen es da equência. Po es a azão, a ma iz
>
@
C não é ge almen e ob ida po ag upamen o das ma izes de amo ecimen os dos elemen os
mas sim cons uída a pa i das ma izes de massa e de igidez do sis ema global
conjun amen e com esul ados expe imen ais do alo de amo ecimen o.
Po exemplo, no caso de amo ecimen o p opo cional, a ma iz de amo ecimen o do
sis ema é uma combinação linea de po ências das ma izes de massa
>@
M
e de igidez
>
@
K
[Ba he, 1996], is o é:
>
@
>
@
>
@
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CK M,- ,
onde , e
-
são alo es eais e e
s
são alo es in ei os.
No caso de amo ecimen o p opo cional com e
s
iguais a um, en ão o amo ecimen o é
p opo cional e iscoso icando a equação ma icial de mo imen o pa a o sis ema global com a
o ma:
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
106
>
@
^
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@
>
@
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^
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^
`
M
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
  
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  .
Em esumo, uma análise comple a de um sis ema pelo mé odo dos elemen os ini os
consis e no cálculo da ma iz de igidez
>
@
K
(e numa análise dinâmica, das ma izes de massa
>@
M
e de amo ecimen o
>
@
C) e do ec o das ca gas {}
R
, na de e minação dos
deslocamen os
^
`
U a pa i da equação (4.6) (ou numa análise dinâmica dos deslocamen os
^
`
U, das elocidades
^
`
U
 e das acele ações
^
`
U
 a pa i da equação (4.13) ou da (4.15)), e
de seguida no cálculo das de o mações e das ensões nos elemen os, u ilizando
espec i amen e as equações (4.2) e (4.3).
4.3.1.1 – G aus de libe dade locais e globais
Pa a a de i ação das ma izes dos elemen os é ge almen e mais ácil e con enien e es abelece
em p imei o luga as ma izes desejadas ela i amen e aos seus g aus de libe dade locais. A
cons ução das ma izes do elemen o ini o co esponden es aos g aus de libe dade globais
pode se depois ob ida di ec amen e pela iden i icação dos g aus de libe dade globais que
co espondem aos seus g aus de libe dade locais. Uma ez que as ma izes dos elemen os (po
exemplo,

e
N
ËÛ
ÍÝ
,

e
B
ËÛ
ÍÝ
ou

e
K
ËÛ
ÍÝ
) o am de inidas pa a os g aus de libe dade globais, o
p ocesso de ag upamen o ica acili ado, is o que nessas ma izes são nulos odos os
elemen os que não se si uem nas linhas e colunas ela i as aos g aus de libe dade do
elemen o. Assim, conside ando incluídos no ec o
^
`
ˆ
u (cujas en adas são os deslocamen os
em
^
`
U que pe encem ao elemen o) apenas os g aus de libe dade locais dos nodos do
elemen o pode-se esc e e :
^
`
>
@
^
`
ˆ
uNu
, (4.16)
onde as en adas no ec o
^
`
u são os deslocamen os do elemen o ela i amen e ao sis ema
de coo denadas local. Po ou o lado, ambém se em:
^
`
>
@
^
`
ˆ
B
u0. (4.17)
Nas equações (4.16) e (4.17), as ma izes de in e polação são de inidas ela i amen e aos
g aus de libe dade locais do elemen o a que se e e em. Reesc e endo pa a o elemen o as
elações an es usadas pa a as ma izes de massa e de igidez e pa a o ec o de ca ga, ob ém-
se:
>
@
>
@
>
@
>
@
T
V
K
BDBdVÔ, (4.18)
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
107
>
@
>
@
>
@
T
V
M
NNdV7Ô, (4.19)
^
`
>
@
^
`
TB
B
V
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N dVÔ, (4.20)
^`
^
`
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S
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Ô, (4.21)
^
`
>
@
^
`
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I
V
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BdV8Ô, (4.22)
onde odas as a iá eis são de inidas como nas equações (4.8) a é (4.14), mas co espondendo
aos g aus de libe dade locais do elemen o ini o conside ado. Desde que as ma izes dadas nas
equações (4.18) a é (4.22) es ejam calculadas pa a odos os elemen os, elas podem se
ag upadas di ec amen e, pelo p ocesso já desc i o, de e minando-se assim as ma izes pa a o
sis ema global.
Nes e p ocesso de ag upamen o é assumido que as di ecções dos deslocamen os nodais do
elemen o
^
`
ˆ
u na equação (4.16) são as mesmas que as di ecções dos deslocamen os nodais
globais
^
`
U. Con udo, po ezes é con enien e começa a de i ação das ma izes e dos
ec o es ela i amen e aos g aus de libe dade locais do elemen o
^
`
u

que não são alinhados
com os g aus de libe dade globais do sis ema ag upado
^
`
ˆ
u. Nes e caso em-se:
^
`
^
`
uNu
ËÛ
ÍÝ

, (4.23)
e
^
`
>
@
^
`
ˆ
uTu
, (4.24)
onde a ma iz
>
@
T ans o ma os g aus de libe dade
^
`
ˆ
u nos g aus de libe dade
^
`
u

; a
equação (4.24) co esponde a uma ans o mação de enso de p imei a o dem; as en adas na
coluna
j
da ma iz
>
@
T são os co-senos di ec o es de um ec o uni á io co espondendo ao
g au de libe dade
j
do ec o
^
`
ˆ
u quando medido segundo as di ecções dos g aus de
libe dade
^
`
u
. Subs i uindo a equação (4.24) na (4.23), ob ém-se:
^
`
^
`
N
NT
ËÛ
ÍÝ
. (4.25)
Assim, iden i icando po
K
ËÛ
ÍÝ
,
M
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,
^
`
B
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
,
^
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e
^
`
I
R

as ma izes e ec o es do mé odo
dos elemen os ini os ela i amen e aos g aus de libe dade
^
`
u

, ob ém-se, a pa i da equação
(4.25) e das equações (4.18) a é (4.22):
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>
@
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,
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
108
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^
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TR
,
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^
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,
^
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^
`
T
II
R
TR

.
De e-se no a que es as ans o mações ambém são u ilizadas quando são impos os
deslocamen os na on ei a que não co espondem aos g aus de libe dade globais do sis ema
ag upado.
4.3.1.2 – De e minação das de o mações e das ensões
Conhecido o campo dos deslocamen os num elemen o, o cálculo das componen es do enso
das de o mações segue-se po di e enciação [Ba he, 1996; B anco, 1985]:
xx
u
x
0
b
b, yy
y
0
b
b, zz
w
z
0
b
b, xy
u
yx
J



, yz
w
z
y
J



, zx
wu
x
z
J



,
ou u ilizando a no ação ma icial:
^`
00 00
00 0
00
0
0
0
xx
yy
zz
xy
yz
xz
xx
ux yy
y u
wz z
uy x w
yx
z wy
uz wx
zy
zx
H
H
H
HJ
J
J







 






 


 



 
  
  

  

 
  



 
  
  


 

 







>@
^`
>@
^`
0
00
ˆˆ
0
0
0
z
N
uBu
yx
zy
zx


























,
onde u é o deslocamen o e xx
0 a de o mação segundo o eixo
x
, é o deslocamen o e
y
y
H a
de o mação segundo o eixo y, w é o deslocamen o e
z
z
0 a de o mação segundo o eixo
z
,
xy
J (igual a
y
x
J) a de o mação de co e no plano

,
x
y,
y
z
J (igual a
z
y
J) a de o mação de
co e no plano

,yz e
z
x
J (igual a xz
J) a de o mação de co e no plano

,
x
z. Po ques ões
de a amen o ma icial do mé odo dos elemen os ini os, as componen es das de o mações
são ge almen e ag upadas num ec o designado po ec o das de o mações
^
`
0:
^`
^
`
T
xx yy zz xy yz zx
H HHHJJJ.
Conhecidos em cada pon o do elemen o os deslocamen os e as de o mações, pode se
ealizado o cálculo das ensões ins aladas. Admi indo que, pa a o ní el das o ças aplicadas ao
elemen o, o ma e ial se encon a no domínio linea -elás ico, is o é, no domínio de
aplicabilidade da lei de Hooke, as componen es do enso das ensões
^
`
8 podem se

DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
109
calculadas a pa i de:
^
`
>
@
^
`
D80,
onde
^`
^
`
T
xx yy zz xy yz zx
8888999 é o ec o das ensões de componen es xx
8 pa a
a ensão segundo o eixo
x
,
y
y
8 pa a a ensão segundo o eixo y,
z
z
8 pa a a ensão segundo o
eixo
z
, xy
9 (igual a
y
x
9) pa a a ensão de co e no plano

,
x
y,
y
z
9 (igual a
z
y
9) pa a a ensão
de co e no plano

,yz e
z
x
9 (igual a xz
9) pa a a ensão de co e no plano

,
x
z.
A ma iz de elas icidade
>@
D
pa a es ados idimensionais de ensão em a seguin e o ma
[B anco, 1985]:
>@

 
11
11
11
1
1
1
1000
1000
1000
1
000 00
112
0000 0
00000
E
D
,,
,,
,,
:
-
::
-
-












, (4.26)
onde : é o coe icien e de Poisson9,
E
o módulo de elas icidade, 11
:
,
:


e

1
12
21
:
-:



.
U ilizando-se a lei de Hooke gene alizada pode-se esc e e :
^
`
>
@
^
`
08,
onde
>@
 é a ma iz que elaciona as ensões com as de o mações pa a o ma e ial conside ado
e é dada po [B anco, 1985]:
>@



1 000
1 000
1000
1
00021 0 0
000 0 21 0
000 0 0 21
E
::
::
::
:
:
:

ËÛ
ÌÜ

ÌÜ
ÌÜ

ÌÜ

ÌÜ
ÌÜ

ÌÜ

ÌÜ
ÍÝ
. (4.27)
9 Quando uma ba a é accionada, o alongamen o axial é acompanhado po uma con acção la e al, is o é, a la gu a da ba a
o na-se meno e o seu comp imen o aumen a. A elação en e as de o mações ans e sal e longi udinal, den o da egião
elás ica, é cons an e e conhecida [Timoshenko, 1994] po coe icien e de Poisson.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
110
4.3.1.2.1 – Es ado plano de ensão
Quando o sis ema elás ico é mui o ino e não exis em o ças aplicadas segundo a di ecção
pa alela à espessu a, pode-se conside a que as ensões esul an es são cons an es ao longo da
espessu a e es á-se pe an e o que é usualmen e designado po es ado plano de ensão. O
deslocamen o de um pon o
P
, de coo denadas

,,
x
yz, se á desc i o pelas duas
componen es, u e , do seu ec o de deslocamen o
^
`
u. Em ge al os deslocamen os se ão
di e en es de um pon o pa a ou o mas independen es da co a
z
. As componen es u e
se ão po an o unções de
x
e y. Usando uma no ação ma icial pode-se esc e e :
^
`
^
`
T
uu .
Conhecido o campo dos deslocamen os, o cálculo das componen es do enso das ensões
se á e ec uado de aco do com a Mecânica dos Meios Con ínuos. Dado o ca ác e
bidimensional do p oblema o ec o das ensões esul an e é
^`
^
`
T
xx yy xy
8889, não
ha endo ensões en ol endo o eixo
z
(na ealidade são bas an e eduzidas e po isso
desp ezadas). O ec o das de o mações esul an e é
^`
^
`
T
xx yy zz xy
HHHHJ; is o é,
apesa de es ado plano, exis e de o mação segundo o eixo
z
:
()
z
zxxyy
E
:
088
,
desp ezando-se as es an es de o mações de co e elacionadas com o eixo
z
po se em
bas an e eduzidas. Pa a es e es ado a ma iz de elas icidade
>@
D
é de inida como [B anco,
1985]:
>@
2
10
10
11
00 2
E
D
:
:
:
:
ËÛ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ

ÌÜ
ÍÝ
.
4.3.1.2.2 – Es ado plano de de o mação
Quando o sis ema não expande segundo a di ecção pe pendicula ao plano das o ças
aplicadas, is o é, quando a espessu a é ele ada, pode-se conside a o sis ema como em es ado
plano de de o mação. Se as o ças aplicadas ac uam no plano

,
x
y en ão w, o deslocamen o
segundo a di ecção
z
, é ze o e os deslocamen os u e são apenas unções de
x
e y. Es e
conjun o de deslocamen os az com que as de o mações elacionadas com o eixo
z
sejam
nulas, esul ando o ec o de de o mações
^`
^
`
T
xx yy xy
HHHJ e o ec o das ensões
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
111
^`
^
`
T
xx yy zz xy
88889 com a ensão segundo o eixo
z
de e minada a pa i da lei de
Hooke como:

112
zz xx yy
E:
888
::





,
e as es an es ensões elacionadas com o mesmo eixo eduzidas e po isso desp ezadas. Pa a
es e es ado a ma iz de elas icidade
>@
D
é de inida como [B anco, 1985]:
>@
22
22
0
0
11
00
2
E
D
,-
-,
:







, onde 2
1
12
:
,:



e 212
:
-:


.
4.3.2 – Ma e ial adop ado
Na Tabela 4.1 [C andall, 1978] es ão indicados os alo es do módulo de Young
E
, do
coe icien e de Poisson : e da densidade 7 pa a alguns ma e iais iso ópicos.
Tabela 4.1 – Algumas p op iedades pa a ma e iais iso ópicos à empe a u a ambien e.
(1 GN/m2 = 145
×
103 psi, 1 psi = 6.895 kN/m2)
Ma e ial
E
(GN/m2) : 7 (103 kg/m3)
Alumínio 68-78.6 0.32-0.34 2.66-2.88
B onze 100-110 0.33-0.36 8.36-8.50
Cob e 117-118 0.33-0.36 8.94-8.97
Fe o undido 89-145 0.21-0.30 6.95-7.34
Aço 193-220 0.26-0.29 7.72-7.86
Ti ânio 106-114 0.34 4.51
Vid o 50-79 0.21-0.27 2.38-3.88
Polie ileno 0.14-0.38 0.45 0.91
Bo acha 0.00076-0.0041 0.50 1.0-1.24
Ob iamen e que as p op iedades do ma e ial adop ado condicionam o compo amen o do
modelo cons uído; assim é possí el, a iando as suas p op iedades, al e a o seu
compo amen o espe ado e adap á-lo a um p oblema conc e o. Como se á possí el analisa no
p óximo capí ulo, e i ica-se que as p op iedades do ma e ial in luenciam o compo amen o
do modelo na análise em modo li e de ib ação, e no alo da ene gia de de o mação
necessá ia pa a alinha dois modelos; no en an o, no que espei a ao empa elhamen o en e
dois modelos, a única p op iedade que exe ce in luência ele an e é o coe icien e de Poisson,
que con ola a esis ência do modelo ao co e.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
112
4.4 – Fo mulação da análise modal
O sis ema de equações do equilíb io dinâmico do modelo de elemen os ini os ag upado:
>
@
^
`
>
@
^
`
>
@
^
`
^
`
M
UCUKU R 
  ,
pode se desacoplado impondo as suas equações numa base de inida pelos ec o es p óp ios
de
>
@
>
@
1
M
K
 o ono mais à ma iz de massa
>@
M
. Es es ec o es p óp ios e os espec i os
alo es p óp ios são a solução
^
`

2
,i
i
IZ do p oblema de alo es p óp ios gene alizado
[Ba he, 1996; Chap a, 1988; P ess, 1992]:
>
@
^
`
>
@
^
`
2
i
ii
KMIZ I. (4.28)
O ec o
^
`
i
1 é designado po ec o de o ma pa a o modo i e i
Z é a co esponden e
equência de ib ação [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986].
Os ec o es de o ma podem se in e p e ados como uma desc ição dos eixos gene alizados
de sime ia do objec o. A equação (4.28) pode se esc i a como:
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
KM) ) :, (4.29)
onde, pa a um objec o 2D cons i uído po m nodos:
>@
^` ^`
^
`
^`
^`
^`
1
12
1
T
T
m
T
m
T
m
u
u
11
ËÛ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ËÛ
)
ÍÝ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ



e
>@
2
1
2
2m
Z
Z
ËÛ
ÌÜ
:
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ
;
e pa a um objec o 3D cons i uído po m nodos:
>@
^` ^`
^
`
^`
^`
^`
^`
^`
1
1
13
1
T
T
m
T
m
T
m
T
T
m
u
u
w
w
11
ËÛ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ËÛ
)
ÌÜ
ÍÝ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ




e
>@
2
1
2
3m
Z
Z
ËÛ
ÌÜ
:
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ
.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
119
das ampli udes modais a de e mina . Nes a o mulação é assumido que as ampli udes dos
modos desp ezados são nulas. Os e mos na equação an e io podem se eag upados ob endo-
se:
>@ >@
>@
^`
^`
>@
>@ >@
^
`
^`
11
0
00
não conhecido
conhecido
conhecida não conhecida
não conhecido
U
IU
IU



  


  
  

  
 


.
As ampli udes dos modos p e endidas podem se ob idas di ec amen e po in e são da
ma iz do lado di ei o des a equação. No e-se que, com es e p ocedimen o ob e e-se
no amen e uma solução pa a de e mina as ampli udes não conhecidas, mas oi assumido que
os deslocamen os modais são nulos pa a os modos ip. Es a simpli icação pode não se a
mais adequada pois, po exemplo, zonas ela i amen e ex ensas cujos pon os não o am
empa elhados po análise modal não se de o mam com es a solução, o que pode se
inconsis en e com a de o mação exis en e.
Adicionando uma es ição de minimização da ene gia de de o mação podem-se e i a os
incon enien es das duas soluções an e io es [Scla o , 1995, 1995a]. A ene gia de de o mação
pode se ob ida di ec amen e a pa i dos deslocamen os modais:
^`
>@
^`
1
2
T
S
E
UU :

. (4.35)
Analisando es a equação é possí el conclui que, apesa de no malmen e os modos mais
ele ados co esponde em a deslocamen os de baixa ampli ude (semelhan es a uído), as suas
con ibuições no alo o al da ene gia de de o mação podem se impo an es pois é omado o
quad ado das co esponden es equências (ele adas). Es a obse ação suge e que, no cálculo
da ene gia de de o mação pa a e ei os de compa ação de objec os, pode se an ajoso não
conside a , ou conside a de o ma menos acen uada, a pa icipação dos modos mais ele ados.
Fo mulando uma solução po mínimos quad á icos es ingida, na qual se minimiza o e o
de alinhamen o que inclua o e mo da ene gia de de o mação, ob ém-se:
^`
>@
^
`
^`
>@
^
`
^
`
>@
^
`
ene gia de
e o de ajus e de o mação
quad á ico
TT
E
oUUUUUUO

   



  
, (4.36)
onde O é o pa âme o de Lamé [Ba he, 1996] pa a o ma e ial adop ado:
 
112
EX
OXX


.
Di e enciando a equação (4.36) em elação ao ec o dos deslocamen os modais
^
`
U

esul a a equação de minimização da ene gia de de o mação:
^
`
>@>@ >@ >@
^`
1
TT
UUO


   

.

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
120
Des a o ma, podem-se explo a as ca ac e ís icas do modelo ísico u ilizado de o ma a
inclui ce as es ições geomé icas numa solução pelo mé odo dos mínimos quad ados. A
medida da ene gia de de o mação pe mi e a inco po ação de algum conhecimen o p é io
ace ca do es icamen o admissí el pa a o objec o, da sua esis ência à comp essão, e c.
U ilizando es e conhecimen o adicional, podem-se p e e azoa elmen e os deslocamen os
que os nodos não empa elhados de e ão assumi .
Como o algo i mo pa a a de e minação dos empa elhamen os calcula o g au de ce eza
pa a os empa elhamen os ob idos, pode-se ambém u iliza es a in o mação di ec amen e na
ase de alinhamen o, o que é ob ido po inclusão de uma ma iz diagonal
>
@
W:
^
`
>@>@>@ >@ >@>@
^`
1
22TT
UW WUO


   

.
Os elemen os da ma iz
>
@
W a iam in e samen e com a medida de a inidade pa a o
empa elhamen o do espec i o nodo11. O ec o dos deslocamen os nodais
^
`
U é de e minado
a a és dos empa elhamen os ob idos (equação (4.33)), conside ando-se nulas, pa a os nodos
não empa elhados, as espec i as en adas na ma iz
>
@
W.
Es e p ocedimen o de minimização da ene gia de de o mação é semelhan e ao u ilizado no
domínio dos con o nos ac i os: o modelo ísico é u ilizado como es ição de sua ização
[Blake, 1998; Cohen, 1991; Kass, 1988].
4.6.2 – Solução dinâmica: Mo phing
No pon o an e io o am desc i os mé odos pa a de e mina os deslocamen os modais que
de o mam di ec amen e e alinham dois conjun os de dados. Embo a não enha sido
implemen ado du an e es e abalho, ambém é possí el esol e o p oblema de alinhamen o
de dois modelos po simulação ísica, in eg ando no empo as equações do modelo de
elemen os ini os a é se a ingi um equilíb io. Nes e caso, de e minam-se as de o mações em
cada ins an e de empo a a és da equação dinâmica de equilíb io dada pela equação (4.32).
De seguida, calculam-se as de o mações in e médias de uma manei a consis en e com as
p op iedades do ma e ial u ilizado na o mulação do modelo. As de o mações in e médias
ambém podem se u ilizadas pa a mo phing segundo p incípios ísicos.
Quando se esol e a equação dinâmica u ilizam-se dados de um modelo 2 pa a exe ce
o ças que os ans o mem nos dados do ou o modelo 1. As ca gas dinâmicas

^
`
R
nos
nodos dos modelos de elemen os ini os são assim p opo cionais às dis âncias en e nodos
11 Po exemplo,


ii ij
WZ 
sendo ij
Z
a a inidade do empa elhamen o en e os pon os i e j espec i amen e dos
objec os e 1 . Nas implemen ações ealizadas du an e es e abalho u ilizou-se igual a 1.
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
121
empa elhados:

^
`

^
`



^
`


^
`
1, 2,ii
ii i
R R k X U X     , (4.37)
onde k é uma cons an e global de igidez e

^
`
i
U é o deslocamen o nodal pa a o nodo i no
ins an e de empo an e io . Es as o ças simulam o ças elás icas a ac ua sob e os nodos dos
dois modelos e ão diminuindo a é que es es es ejam pe ei amen e ajus ados.
O equilíb io dinâmico modal pode se desc i o po um sis ema de 2m (2D) ou 3m (3D)
equações independen es com a seguin e o ma:

^
`

^
`

^
`

^
`
2
ii
ii
ii
U C U U R Z 
 

 
,
onde

^
`
i
R
 con ém as componen es pa a o nodo i do ec o de ca ga ans o mado:

^
`
>
@

^
`
T
R
R 
.
Es as equações independen es de equilíb io podem se esol idas po um p ocedimen o de
in eg ação numé ica i e a i a, po exemplo, pelo mé odo de Newma k [Ba he, 1996]. O
sis ema é in eg ado no empo a é a di e ença na ca ga se in e io a um dado limia /:

^
`

^
`
22
R R /   .
A ca ga

^
`
i
R
a ac ua no nodo i é ac ualizada em cada ins an e de empo conside ado
a a és da equação (4.37).
4.6.3 – Conside ação de o ações ele adas
Se a o ação necessá ia pa a alinha os dois conjun os de dados o po encialmen e mui o
ele ada en ão, an es de se de e mina em as de o mações modais, é con enien e ealiza um
alinhamen o inicial. A o ien ação, o posicionamen o e o escalamen o podem se de e minados
u ilizando-se o algo i mo baseado em qua e nions uni á ios ap esen ado na secção 3.2 do
capí ulo an e io .
U ilizando-se apenas as co espondências de e minadas pa a alguns nodos empa elhados
com ele ada ce eza, a ans o mação de co po ígido pode se de e minada di ec amen e. Os
pa âme os adicionais esul an es pa a es e alinhamen o p é io são:
• ec o de posição:
^
`
0
p
;
• qua e nion uni á io de inindo a o ien ação: q
;
• ac o de escala:
s
;
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
122
• cen óides dos dois conjun os:
^
`
c e
^
`
1
c

.
Como a es imação dos pa âme os da ans o mação ígida exis en e é ealizada u ilizando-se
apenas as co espondências com ce eza ele ada, ob êm-se ge almen e boas soluções.
Os objec os podem en ão se alinhados a a és da de e minação das de o mações modais
^
`
U
, como oi p e iamen e desc i o. Como an e io men e, são calculadas as ca gas i uais
que de o mam os dados de um modelo nos dados do ou o modelo com que o am
de idamen e empa elhados. Como oi in oduzida mais uma o ação, uma anslação e um
escalamen o, a equação (4.33) de e se modi icada de o ma a aduzi a dis ância en e os
dados no sis ema de coo denadas co ec o:
^`
>@
^` ^` ^`
^
`
^` ^ `
2, 0 1,
1T
ii i
URXpccX
s




,
onde
>
@
R
é a ma iz de o ação ob ida a pa i do qua e nion uni á io q
.
4.6.4 – Compa ação de objec os
Conhecidas as ampli udes dos modos, pode-se calcula a ene gia de de o mação u ilizando a
equação (4.35). Es a ene gia pode se u ilizada como medida de simila idade. Em ce os casos
ambém pode se desejá el compa a a ene gia de de o mação num dado subconjun o de
modos, conside ados como impo an es na medição da simila idade, ou en ão a ene gia
associada a cada modo. A ene gia de de o mação associada ao modo i com deslocamen o
modal i
U
 e equência i
Z é simplesmen e:
22
1
2
i
Sii
EUZ
.
Po ezes pode se ú il a alia a simila idade de objec os, sem de e mina p e iamen e a
co espondência en e os seus dados, o que pode se conseguido a a és da compa ação das
espec i as ampli udes modais. De e minam-se em p imei o luga as desc ições modais de
cada objec o e, depois, u iliza-se uma qualque mé ica de dis ância pa a medi a dis ância
en e os desc i o es modais, o que suge e um espaço coo denado al e na i o pa a desc ição da
dissemelhança en e objec os: o espaço de simila idade modal. Nes e espaço a simila idade de
objec os é p opo cional à dis ância Euclidiana en e os seus desc i o es modais.
A ene gia necessi a de se modi icada, se se p e ende usá-la como medida de dis ância,
uma ez que não sa is az uma das condições pa a uma mé ica:
• Exis ência de mínimo:

,,0AB AA//_;
DETERMINAÇÃO DE CORRESPONDÊNCIAS UTILIZANDO MODELIZAÇÃO FÍSICA E ANÁLISE MODAL
123
• Sime ia:

,,AB BA//;
• Desigualdade iangula :

,,,AB BC AC// /.
Embo a a exis ência de mínimo e a desigualdade iangula sejam sa is ei as, a ene gia de
de o mação não sa is az a sime ia. A ene gia de de o mação não é simé ica pa a objec os
com amanhos di e en es; po exemplo, se a escala de dois objec os A e
B
di e i , en ão a
ene gia necessá ia pa a alinha A com
B
pode se di e en e da necessá ia pa a alinha
B
com A. A di e ença na de o mação se á in e samen e p opo cional ao p odu o das escalas
nos di e en es eixos. Des e modo, quando se compa am objec os com di e en es escalas de e-
se di idi a ene gia de de o mação pela á ea/ olume do objec o em ques ão. Quando um mapa
de supo e o conhecido, es a á ea/ olume pode se de e minada di ec amen e. No caso de
supo e in ini o, a á ea/ olume dos dados pode se ap oximada pelo cálculo do meno
cí culo/es e a que os engloba.
Exis e uma p op iedade adicional que p o a a u ilidade da de inição de uma mé ica, a
adição segmen ada:

,,,AB BC AC// /,
se
B
es i e na on ei a en e A e C.
Pa a sa is aze a adição segmen ada pode-se conside a a aiz quad ada da ene gia de
de o mação:
22
1
2ii
i
U
a
GZÇ,
onde a é a á ea/ olume do objec o. Tal esul a numa dis ância mé ica ponde ada semelhan e
à dis ância de Mahalanobis [Ta a es, 1995a]: as ampli udes modais são desag egadas, cada
qual endo uma “ a iância” in e samen e p opo cional ao alo p óp io do modo. Como
esul ado, es a o mulação pode se u ilizada como pa e de um esquema de egula ização
e olu i a no qual a ma iz de co a iância inicial
>@
: é ac ualizada i e a i amen e de o ma a
inco po a as co a iâncias dos pa âme os modais obse ados, po exemplo u ilizando
il agem de Kalman [Maybeck, 1979; Ta a es, 1995a] ou análise das componen es p incipais
[Coo es, 1992, 1994a, 1995; Ma in, 1998; Nas a , 1996].
U ilizando-se a análise das componen es p incipais pode-se desc e e uma classe dos
modos p óp ios de um objec o a pa i de um conjun o de eino. U ilizando um modelo modal
como uma es ima i a inicial, pode-se de seguida ap ende i e a i amen e os “ e dadei os”
modos po ia de uma análise ecu si a das componen es p incipais. Como esul ado, ob e -
se-á um esquema egula izado de ap endizagem, no qual a ma iz inicial de co a iância é
ac ualizada i e a i amen e de o ma a inco po a as co a iâncias pa a os pa âme os modais
obse ados.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
124
4.7 – Sumá io
Nes e capí ulo oi ap esen ado um mé odo pa a de e minação de co espondências en es dois
objec os 2D ou 3D, ígidos ou não, baseado em modelização ísica e na análise modal de
ib ação em modo li e dos objec os modelizados. Na modelização é u ilizado o mé odo dos
elemen os ini os, conside ando-se que os objec os a empa elha são cons uídos po um
de e minado ma e ial i ual esponsá el pelo seu compo amen o elás ico.
Após a modelização de cada um dos dois objec os a empa elha , os seus modos de
ib ação em modo li e são de e minados. Com os dois conjun os de ec o es de o ma, que
cons i uem os espec i os espaços modais, são analisados os deslocamen os nes es espaços de
cada dado pon ual que cons i ui os objec os. Pon os que ap esen em deslocamen os simila es
são classi icados como pon os co esponden es.
Pa a se es ima os deslocamen os dos pon os não empa elhados, u iliza-se a minimização
da ene gia de de o mação necessá ia pa a alinha o p imei o objec o com o segundo. Es a
ene gia de de o mação cons i ui uma medida da de o mação necessá ia pa a se alinha dois
objec os e pe mi e a sua compa a ão.
A an agem des e mé odo, ela i amen e aos mé odos ap esen ados no capí ulo an e io ,
es á elacionada com a conside ação de um ma e ial i ual na cons ução dos objec os a
empa elha , conseguindo-se des e modo uma modelização ísica pa a os mesmos e azendo
com que as co espondências sejam de e minadas, não po um p ocesso “es a ís ico” sem
g ande ligação ao compo amen o ísico espe ado pa a os objec os mas, pelo con á io, de
aco do com as ca ac e ís icas elás icas do ma e ial adop ado.

125
Nes e capí ulo são ap esen ados os modelos de objec os a se em u ilizados no mé odo de
de e minação de co espondências, baseado em modelização ísica e análise modal, a ado no
capí ulo an e io .
São ap esen ados os dois ipos de modelização ísica adop ados: o baseado num único
elemen o ini o isopa amé ico, e o que ag upa elemen os ini os axiais. São ambém desc i os
os mé odos usados pa a selecção dos nodos que cons i uem o modelo de ep esen ação de
cada objec o.
O capí ulo ap esen a ainda alguns esul ados expe imen ais ilus a i os, pa a análise de
ib ação em modo li e, pa a de e minação de co espondências e es imação de
deslocamen os nodais e pa a cálculo da ene gia de de o mação como medida de semelhança.
Capí ulo V
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
127
5.1 – In odução
Tendo sido a ada a me odologia p opos a pa a a de e minação de co espondências en e
objec os 2D e 3D, abo dam-se nes e capí ulo os ipos de elemen os ini os conside ados na
cons ução dos modelos ísicos e os p ocessos usados na de e minação do conjun o de pon os
que cons i uem a ede de nós a pa i das imagens.
A secção seguin e ap esen a a cons ução das ma izes de massa e de igidez, pa a modelos
2D e 3D, ela i as a dois ipos de elemen os ini os: o modelo ini o isopa amé ico1 de
Scla o e o ag upamen o de modelos ini os axiais linea es.
A e cei a secção a a da ex acção, a pa i das imagens, do conjun o de pon os
de inido es de objec os 2D e 3D, em especial con o nos 2D e supe ícies 3D; no caso das
supe ícies 3D ambém se conside a a sua modelização po meio de um conjun o de con o nos
2D isoní el.
Na qua a secção ap esen am-se e discu em-se alguns esul ados expe imen ais, nos quais
os modelos p eceden es são usados pa a se e ec ua a análise modal em egime li e de
ib ação, pa a de e mina a co espondência en e objec os e es ima os deslocamen os
nodais, e pa a de e mina a ene gia de de o mação.
A úl ima secção ap esen a um sumá io do capí ulo em que se des acam algumas das
p incipais conclusões.
5.2 – Elemen os ini os u ilizados
Os elemen os ini os usados e a de inição das espec i as ma izes de massa
>@
M
e de igidez
>
@
K
são ap esen ados, de o ma sepa ada pa a os objec os 2D e 3D, nas subsecções 5.2.1 e
5.2.2.
5.2.1 – Pa a objec os 2D
Ap esen am-se de seguida os dois ipos de elemen os ini os que o am u ilizados na
modelização de objec os bidimensionais. Em p imei o luga é ap esen ado o elemen o
isopa amé ico de Scla o e, seguidamen e, o elemen o ini o axial linea . Com um único
elemen o ini o de Scla o é possí el modeliza -se um objec o de inido pelos seus pon os
sem a necessidade de exis ência de o dem en e eles; no caso de um conjun o de elemen os
ini os do ipo axial, de idamen e ag upados, o na-se necessá ia a exis ência de o dem en e
os nodos que de inem o objec o.
1 Fundamen almen e [Ba he, 1996] os elemen os isopa amé icos ca ac e izam-se po u iliza em a mesma unção de
ap oximação, ou de o ma, pa a desc e e a geome ia do elemen o e o campo dos deslocamen os.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
128
5.2.1.1 – Elemen o isopa amé ico de Scla o
Na écnica de modelização de Scla o u ilizam-se os p óp ios dados pon uais do objec o em
ques ão pa a a cons ução das ma izes de igidez e de massa, conside ando esses pon os
como os nodos do elemen o ini o a se conside ado. Em p imei o luga desen ol e-se uma
o mulação pa a o elemen o ini o u ilizando unções Gaussianas como in e polado es de
Gale kin2 e, seguidamen e, u ilizam-se es es in e polado es pa a se ob e as ma izes
gene alizadas de massa e de igidez.
In ui i amen e, as unções de in e polação sua izam os dados pon uais, e as á eas
delimi adas po es es são p eenchidas com um ma e ial i ual que em p op iedades ísicas de
massa e de igidez. Es a sua ização e p eenchimen o da nu em de pon os azem com que
exis a uma boa imunidade ao uído e à al a de alguns pon os, assim como o na desnecessá ia
a in o mação ace ca da conec i idade en e pon os. As unções de in e polação ambém
pe mi em a ibui maio peso a pon os impo an es e diminui o peso associado a pon os com
meno impo ância. Es e aumen o ou diminuição do peso é conseguido po a iação das
p op iedades do ma e ial i ual en e os dados pon uais.
5.2.1.1.1 – In e polado es Gaussianos
Dado um conjun o de m pon os amos ados de um objec o ( i
X) é necessá io cons ui as
ma izes de massa e de igidez ap op iadas. O p imei o passo é op a po um conjun o de
unções de in e polação a pa i das quais seja possí el de i a ( e capí ulo an e io ) as
ma izes das unções de o ma3
>
@
N
e de de o mação
>
@
B
.
Em soluções ípicas do mé odo dos elemen os ini os aplicados em engenha ia são
u ilizadas unções de in e polação polinomiais de Lag ange ou de He mi e [Ba he, 1996;
Sege lind, 1984]; as ma izes de massa
>@
M
e de igidez
>
@
K
são de e minadas pa a cada ipo
de elemen o ini o u ilizado na modelização e são ag upadas de o ma a ob e -se as
co esponden es ma izes pa a o sis ema global ( e capí ulo an e io ).
O p oblema p esen e é di e en e, pois o p e endido é examina os modos p óp ios de uma
nu em de dados pon uais. Es e p oblema é idên ico ao e i icado na in e polação de edes:
em-se um ce o núme o de medidas dispe sas e p e ende-se encon a um conjun o de
2 A de e minação dos coe icien es, habi ualmen e designados po pa âme os nodais, das unções de in e polação u ilizadas
na o mulação de um elemen o ini o, pode aze -se de di e sas o mas co espondendo cada uma à imposição de um
conjun o de condições on ei a a se em e i icadas. Um des es mé odos é o mé odo de Gale kin [Ba he, 1996; Sege lind,
1984], que é a base do mé odo dos elemen os ini os em p oblemas nos quais es ão en ol idos e mos da p imei a
de i ada. Es e mé odo impõe e o médio pesado nulo em odo o domínio e usa no mé odo dos Resíduos Pesados as
p óp ias unções de in e polação como unções de ponde ação.
3 Is o é, op a po um conjun o de unções de in e polação con ínuas i
h de al o ma que:
1. os seus alo es são uni á ios pa a o nodo i a que es ão associadas e nulos nos es an es;
2.
1
1.0
m
i
i
h


Ç em qualque pon o do objec o.
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
129
unções de base que pe mi am a inse ção e mo imen ação de dados pon uais. Funções de base
Gaussianas são candida as ideais pa a es e ipo de p oblema de in e polação, endo a o ma:



22
2
i
XX
i
gX e 8
, (5.1)
onde i
X é o cen o de dimensão n da unção Gaussiana e 8 é o des io pad ão, que con ola
a in e acção en e os dados.
Nes a modelização desen ol em-se as unções de in e polação i
h como a soma de m
unções de base, uma po cada dado pon ual i
X:
 
1
m
iikk
k
hX ag X

Ç, (5.2)
onde ik
a são os coe icien es que sa is azem os equisi os pa a as unções de o ma. A ma iz
dos coe icien es de in e polação
>
@
A pode se de e minada po in e são da ma iz
>@
G
de inida como:
>@




11 1
1
m
mmm
gX gX
G
gX gX
ËÛ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ



. (5.3)
U ilizando os in e polado es Gaussianos como unções de o ma pa a a ap oximação de
Gale kin, é possí el o mula acilmen e elemen os ini os de qualque dimensão, os quais
podem se ob idos po ag upamen o de Gaussianos de meno dimensão. Um aspec o bas an e
ú il dos in e polado es Gaussianos é que eles são ac o izá eis: in e polado es
mul idimensionais podem se o mados a pa i de Gaussianos de meno dimensão. Es e ac o
não só eduz o cus o compu acional, como pode se ambém ú il pa a implemen ações de
ha dwa e VLSI ou de edes neu onais.
De e-se no a que o soma ó io dos in e polado es Gaussianos não é con o me [Ba he,
1996], pois não sa is az a condição de, em qualque pon o de elemen o, o soma ó io das
unções de o ma se igual a 1 (um). Como consequência, a in e polação en e nodos da
de o mação e da ensão não é conse a i a em e mos de ene gia. No malmen e es e ac o não
ap esen a incon enien es em aplicações da isão po compu ado ; de ac o, a g ande maio ia
das o mulações de elemen os ini os u ilizadas em isão são ambém não con o mes
[Scla o , 1995, 1995a]; con udo, se o p e endido um elemen o con o me, ele pode se
ob ido a a és da inclusão de um ac o de no malização em i
h:



1
11
m
ik k
k
imm
jk k
jk
ag X
hX
ag X



Ç
ÇÇ
. (5.4)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
136
>@
4565.669 -3487.052 1408.415 844.367 0.000 0.000 0.000 0.000
-3487.052 4197.662 -1752.839 -1036.613 0.000 0.000 0.000 0.000
1408.415 -1752.839 2435.106 555.524 0.000 0.000 0.000 0.000
844.367 -1036.613 555.524 1829.475 0.000 0.0
M 00 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 4565.669 -3487.052 1408.415 844.367
0.000 0.000 0.000 0.000 -3487.052 4197.662 -1752.839 -1036.613
0.000 0.000 0.000 0.000 1408.415 -1752.839 2435.106 555.524
0.000 0.000 0.000 0.000 844.367 -1036.613 555.524 1829.475
Ë Û
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Í Ý
,
>@
0.092 -0.105 0.025 -0.002 -0.015 0.014 0.001 -0.008
-0.105 0.154 -0.055 0.002 0.014 -0.012 -0.004 0.008
0.025 -0.055 0.041 0.000 0.001 -0.004 0.004 -0.002
-0.002 0.002 0.000 0.016 -0.008 0.008 -0.002 0.000
-0.015 0.014 0.001 -0.008 0.
K 062 -0.060 0.023 -0.024
0.014 -0.012 -0.004 0.008 -0.060 0.075 -0.031 0.030
0.001 -0.004 0.004 0.002 0.023 -0.031 0.028 -0.017
-0.008 0.008 -0.002 0.000 -0.024 0.030 -0.017 0.017
ËÛ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÌÜ
ÍÝ
.
Compa ando as ma izes ob idas, u ilizando-se a o mulação o iginal e a modi icada, e i ica-
se, de o ma mais acen uada, que com a o mulação suge ida pa a con o nos se diminui a
in luência do nodo 4 sob e o nodo 2.
To na-se assim e iden e que com a modi icação suge ida se consegue ponde a de o ma
mais adequada a es e ipo de objec os a in luência exe cida po cada nodo sob e os es an es.
Es a ponde ação assume maio impo ância nos casos em que se p e ende diminui a
in luência exe cida sob e os pon os que cons i uem zonas pa icula es de um con o no pelos
pon os cuja dis ância Euclidiana é eduzida, apesa de es a em mui o a as adas ao longo do
con o no.
5.2.1.2 – Elemen os axiais linea es
Du an e es e abalho desen ol eu-se uma me odologia o iginal pa a modeliza objec os
segundo p incípios ísicos, que consis e na u ilização de um conjun o de elemen os ini os do
ipo axial, de idamen e ag upados. De seguida desc e e-se a o mulação pa a es e ipo de
elemen os ini os s anda d.
U ilizando-se a abo dagem a iacional [Mei o i ch, 1986], as ma izes de igidez e de
massa e o ec o de o ças nodais equi alen es podem se ob idos a a és das exp essões em
coo denadas nodais, pa a a ene gia po encial, pa a a ene gia ciné ica e pa a o abalho i ual,
espec i amen e.
O deslocamen o axial

,ux do sis ema de segunda o dem da Figu a 5.3 pode se esc i o
com a o ma:
      
^
`

^
`
11 2 2
,T
ux N xu N xu Nx u   , (5.13)

MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
137
onde

^
`
N
x é o ec o de dimensão 2 das unções de o ma, com o índice a indica qual o
nodo com que cada unção de o ma es á associada, e

^
`
u é o co esponden e ec o de
deslocamen os nodais. De e-se no a que es a equação apenas é álida no in e io do
elemen o em ques ão e não é aplicá el o a des e.
x
l
x
u(x, )
1( ) 2( )
u1( )u2( )
m(x), massa em x
E
, módulo de Young
A
(x), á ea em x
Figu a 5.3 – Elemen o axial.
A ene gia ciné ica

T pa a um elemen o ini o e do ipo axial é simplesmen e:
    
^`

^`

^`

^`
2
00
,
11
22
ll
TT
ux
T mx dx mx u Nx Nx u dx
ËÛ

ÌÜ

ÍÝ
ÔÔ


^`


^`
1
2
Te
u M u
ËÛ
ÍÝ

,
onde:

 
^`

^`
0
lT
e
M
mx Nx Nx dx
ËÛ
ÍÝ
Ô,
é a ma iz simé ica de massa pa a o elemen o e (de dimensão

22`) e

mx a massa em
x
.
Da mesma o ma, a ene gia po encial

V é:
    
^`

^`

^`

^`
2
00
,
11
22
ll
TT
ux
V EAx dx EAxu Nx Nx u dx
x
ËÛ


ÌÜ

ÍÝ
ÔÔ

^`


^`
1
2
Te
u K u
ËÛ
ÍÝ ,
onde:

 
^`

^`
0
lT
e
K
EA x N x N x dx
ËÛ

ÍÝ
Ô,
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
138
é a ma iz simé ica de igidez pa a o elemen o e (de dimensão

22`),

Ax a á ea da
secção em
x
e

^`

^`
d
N
xNx
dx

T.
Pa a de i a o ec o das o ças nodais, u iliza-se a exp essão pa a o abalho i ual
[Ba he, 1996]. Assumindo que o elemen o é sujei o à o ça axial dis ibuída não conse a i a5

,
x e conside ando a equação (5.13) pode-se ob e :
     
^`

^`

^`

^`
00
,, ,
ll
TT
W x ux dx x Nx u dx u  
ÔÔ ,
onde

W ep esen a o abalho i ual,

,ux o deslocamen o i ual em
x
,

^
`
u o
ec o de deslocamen os nodais i uais e:

^`
 
^`
0
,
l
x NxdxÔ, (5.14)
é o ec o das o ças nodais não conse a i as.
U ilizando pa a o elemen o ini o do ipo axial de massa m as unções de o ma
polinomiais de g au 1:

11
x
Nx l
 e

2
x
Nx l
, ep esen adas na Figu a 5.4, ob ém-se a
ma iz de massa:

2
2
00
11
11 21
12
6
1
T
ll
e
xxx
xx
lll
ml
ll
Mm dxm dx
xx xx x
ll ll l
ËÛ
ÈØÈØ
ÎÞÎÞ 
ÌÜ
 ÉÙÉÙ
ÑÑÑÑ ÊÚÊÚ ËÛ
ÑÑÑÑ ÌÜ
ËÛ
ÏßÏß ÌÜ
ÍÝ ÌÜ
ÍÝ
ÈØ ÈØ
ÑÑÑÑ ÌÜ

ÉÙ ÉÙ
ÑÑÑÑ
ÐàÐà ÊÚ ÊÚ
ÌÜ
ÍÝ
ÔÔ ;
is o é, pa a um elemen o ini o axial de secção cons an e, de á ea A, e de ma e ial com
densidade 7:
2
() 21
12
6
eAl
M7ËÛ
ËÛ
ÌÜ
ÍÝ ÍÝ
.
5 Es a conside ação sob e a o ça não é limi a i a, pois de e-se no a que o ças concen adas podem se ans o madas em
o ças dis ibuídas po in e médio da unção espacial del a de Di ac; po exemplo, a o ça


P
concen ada no pon o
3xl pode se exp essa na o ma dis ibuída como
 
,3 x P xl/
onde

3xl/ é a unção espacial del a
de Di ac.
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
139

1
Nx
11
x x
l l

2
Nx
Figu a 5.4 – Funções de o ma polinomiais de g au um pa a um
elemen o ini o do ipo axial de comp imen o l.
Pa a se de e mina a ma iz de igidez do elemen o é necessá io calcula

^
`
N
xT:

^`

^`
11
1
1
x
dd
l
Nx Nx x
dx dx l
l
ÎÞ

ÑÑ 
ÎÞ
ÑÑ
ÏßÏß
Ðà
ÑÑ
ÑÑ
Ðà
.
Des e modo, ob ém-se a ma iz de igidez pa a o elemen o de igidez axial
E
A cons an e:

2
0
11 11
11 11
T
l
eEA EA
Kdx
ll
 
ÎÞÎÞ Ë Û
ËÛ
ÏßÏß ÌÜ
ÍÝ 
ÍÝ
ÐàÐà
Ô.
Finalmen e, pa a se de e mina o ec o das o ças nodais pa a uma o ça dis ibuída do
ipo, po exemplo,

,
x a bx u iliza-se a equação (5.14) e ob ém-se:

^`

22
2
200
11
126
11
23
ll
ab
xab x x al bl
ll
l
a bx dx dx
xab al bl
xx
lll


  
 



  

   
  
   
   


  

  

ÔÔ .
5.2.1.2.1 – De e minação das ma izes no sis ema global
De aco do com o mé odo dos elemen os ini os, o sis ema global é compos o po elemen os
disc e os que de e ão se ag upados. As componen es dos deslocamen os nos nodos em cada
elemen o são especi icadas segundo as di ecções que melho se adap am ao mesmo. No caso
de um elemen o axial com os seus nodos designados po i e
j
(Figu a 5.5) é con enien e
especi ica as componen es pa a os deslocamen os em cada um dos nodos de manei a que
uma componen e oco a segundo a di ecção axial
x

e a ou a lhe seja o ogonal. As
componen es dos deslocamen os nos nodos i e
j
ao longo des es eixos são designadas na
Figu a 5.5, espec i amen e, po 1
u
, 2
u

e 3
u

, 4
u

.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
140
2
u

i
j
α
4
u

3
u

1
u

x

y

x
y
1
u
2
u
3
u
4
u
Figu a 5.5 – Sis emas de e e ência pa a um elemen o axial.
Como ge almen e os elemen os indi iduais são pa e de um sis ema mais complexo, e
p o a elmen e êm o ien ações di e en es, o na-se ób io que exp imi os deslocamen os num
sis ema de coo denadas pa icula a cada elemen o – sendo um al sis ema designado po
sis ema de coo denadas locais – pode c ia di iculdades no empa elhamen o dos
deslocamen os em cada nodo. Po es a azão, o na-se an ajoso abalha com as
componen es dos deslocamen os num único sis ema de coo denadas, enquan o se man ém a
an agem de iden i ica as componen es dos deslocamen os em cada elemen o segundo as
di ecções que lhe são mais con enien es. Assim, p e ende-se escolhe um único sis ema de
e e ência global

,
x
y e deno a as componen es dos deslocamen os ao longo des as
di ecções em i po 1
u e 2
u e em
j
po 3
u e 4
u. En ão, uma simples ans o mação de
coo denadas [Foley, 1991; Hall, 1993] pe mi e exp imi as componen es dos deslocamen os
de um elemen o pa icula ao longo do sis ema de e e ência global

,
x
y a pa i das
componen es ao longo do seu sis ema de coo denadas local

,
x
y

 e ice- e sa. Pa a se ob e
al ans o mação de coo denadas, u iliza-se a ma iz
>
@
g dos co-senos di ec o es:
>@
xx xy
y
xyy
g g
g g g
ËÛ
ÌÜ
ÍÝ


,
onde xx
g ep esen a o co-seno do ângulo en e os eixos
x

e
x
, e c. Es a ma iz pe mi e
esc e e a ans o mação de coo denadas do sis ema global pa a o local:
>@
x
x
g
yy
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà

,
e a ans o mação do sis ema local pa a o global:
>@
T
x
x
g
yy
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà

.
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
141
A mesma ans o mação de coo denadas pode se aplicada às componen es dos
deslocamen os, ob endo-se:
>@
11
22
uu
g
uu
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà

,
>@
33
44
uu
g
uu
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà

 e
>@
11
22
T
uu
g
uu
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà


,
>@
33
44
T
uu
g
uu
ÎÞ ÎÞ
Ïß Ïß
Ðà Ðà

.
Es as equações podem se combinadas de o ma a que a ans o mação seja aplicada ao
elemen o como um odo, ob endo-se:
^
`
>
@
^
`
uTgu
, (5.15)
e
^
`
>
@
^
`
T
uTgu
,
onde
^
`
u
 e
^
`
u são os ec o es coluna dos deslocamen os nodais com componen es 1
u

, 2
u

,
3
u
, 4
u
 e 1
u, 2
u, 3
u, 4
u, espec i amen e, e a ma iz de ans o mação
>
@
Tg é de inida como:
>@
>
@
>
@
>@ > @
0
0
g
Tg g
ËÛ
ÌÜ
ÍÝ
.
Ob iamen e, exis em di e en es ma izes de ans o mação
>
@
Tg pa a di e en es elemen os, a
menos que alguns sejam do mesmo ipo e enham a mesma o ien ação. De e se no ado que a
ma iz
>
@
Tg é o ono mal e, assim,
>
@
>
@
1T
Tg Tg

, pois
>
@
g ep esen a uma ans o mação
en e dois sis emas de eixos o ogonais.
No caso da Figu a 5.5, sis ema plano com
z
z, a ma iz dos co-senos di ec o es é:
>@
cos sin
sin cos
g ,,
,,

ËÛ
ÌÜ
ÍÝ
.
Pa a ans o ma as ma izes de igidez e de massa e o ec o de o ças nodais do sis ema
de e e ência local pa a o global, e ice- e sa, u iliza-se no amen e a ma iz de ans o mação
geomé ica
>
@
Tg . Pa a se ob e al ans o mação, de e-se no a que a ene gia ciné ica T e a
ene gia po encial V podem se eesc i as na o ma de um p odu o ma icial iplo:
^`

^`
1
2
Te
TuMu
ËÛ
ÍÝ

e
^`

^`
1
2
Te
VuKu
ËÛ
ÍÝ,
enquan o o abalho i ual em a exp essão
^
`
^
`
T
Wu . Mas, se as componen es dos
deslocamen os locais e globais es ão elacionadas pela equação (5.15), en ão as componen es
locais e globais das elocidades es ão elacionadas po
^
`
>
@
^
`
uTgu

 e os co esponden es
deslocamen os i uais po :
^
`
>
@
^
`
uTgu
. (5.16)

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
142
Assim, u ilizando es as elações, pode-se ob e :
^`
>@

>@
^` ^`

^`
11
22
TTTee
TuTgMTgu uMu
ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ


,
onde

>
@

>
@
T
ee
M
Tg M Tg
ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ

é a ma iz de massa pa a o elemen o e e ida ao sis ema de
coo denadas global

,
x
y. Da mesma o ma, pode-se esc e e a ene gia po encial como:
^`
>@

>@
^` ^`

^`
11
22
TTTee
VuTgKTgu uKu
ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ

,
onde

>
@

>
@
T
ee
K
Tg K Tg
ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ

é a ma iz de igidez pa a o elemen o exp essa no sis ema de
coo denadas global

,
x
y. No e-se que as ma izes

e
M
ËÛ
ÍÝ
e

e
K
ËÛ
ÍÝ
são simé icas pois

e
M
ËÛ
ÍÝ
 e

e
K
ËÛ
ÍÝ
 ambém o são. Finalmen e, inse indo a elação da equação (5.16) na
exp essão do abalho i ual ob ém-se:
^
`
>
@
^
`
^
`
^
`
TT
T
WuTg u 

,
onde
^
`
>
@
^
`
T
Tg 
 é o ec o das o ças nodais no sis ema de coo denadas global

,
x
y.
As ma izes de massa e de igidez e o ec o das o ças nodais, exp essos no sis ema de
e e ência global, podem se u ilizadas na esc i a das equações do mo imen o do elemen o
indi idual ela i amen e ao mesmo sis ema. Con udo, se o objec i o inal o a esc i a das
equações do mo imen o do sis ema global, é en ão necessá io p ocede ( e capí ulo an e io )
ao ag upamen o das ma izes de massa e de igidez e do ec o de o ças nodais de cada
elemen o que cons i ui al sis ema.
5.2.1.2.2 – Ag upamen o
A essência do mé odo dos elemen os ini os é conside a o sis ema global como a soma de
elemen os indi iduais. Pa a es a soma, ou ag upamen o, dos elemen os indi iduais ep esen a
adequadamen e o sis ema global de e exis i compa ibilidade geomé ica nos nodos dos
elemen os; po exemplo, os deslocamen os nos nodos pa ilhados po á ios elemen os de em
se iguais pa a cada um des es. Do mesmo modo, as co esponden es o ças nodais de em se
es a icamen e equi alen es às o ças aplicadas. De e-se no a que os deslocamen os podem
inclui o ações e as o ças podem inclui biná ios.
Assumindo que o sis ema global consis e em
L
elemen os e que es es são iden i icados
pelo índice e, com 1, 2, ,eL, en ão, conside ando um elemen o e, o ec o nodal de
deslocamen os é designado po

^
`
e
u, o das o ças po

^
`
e
, a ma iz de massa po

e
M
ËÛ
ÍÝ
e a de igidez po

e
K
ËÛ
ÍÝ
(onde odas as quan idades se e e em a es e elemen o e es ão
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
143
exp essas no sis ema de coo denadas global). De seguida, assumindo que o sis ema em um
o al de N g aus de libe dade ( N deslocamen os j
u, com 1, 2, ,jN), designa-se o ec o
dos N deslocamen os nodais no sis ema global po
^
`
U. Pa a se execu ado o p ocesso de
ag upamen o, de ine-se pa a o elemen o e um ec o de deslocamen os nodais expandido

^
`
exp
e
U ob ido a pa i da adição ao ec o

^
`
e
u de componen es com alo nulo de o ma
que a dimensão do ec o

^
`
exp
e
U seja igual a N. Da mesma manei a se de inem o ec o
das o ças nodais expandido

^
`
exp
e
F, assim como as ma izes (de dimensão

N
N`) de
massa

exp
e
M
ËÛ
ÍÝ
e de igidez

exp
e
K
ËÛ
ÍÝ
expandidas.
As equações de mo imen o pa a o sis ema global podem se ob idas po um p ocesso de
ag upamen o que consiga exp imi a ene gia ciné ica, a ene gia po encial e o abalho i ual
em e mos da con ibuição dos elemen os indi iduais u ilizados na modelização. Assim, a
ene gia ciné ica

T pode se esc i a com a o ma:


^
`
 
^
`
^`

^` ^`
>@
^`
exp exp
exp
11
11 1
22 2
LL
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eee e
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T u M u U M U U M U

ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ
ÇÇ

 ,
onde
>@

exp
1
Le
e
MM

ËÛ
ÍÝ
Ç,
é a ma iz simé ica de massa pa a o sis ema global, ob ida simplesmen e pela adição das
ma izes de massa expandidas dos elemen os que cons i uem al sis ema. Da mesma o ma, a
ene gia po encial

V é esc i a como:


^
`
 
^
`

^
`
 
^
`
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
exp expexp
11
11 1
22 2
LL
TT T
eee e e e
ee
V u K u U K U U K U

ËÛ ËÛ
ÍÝ ÍÝ
ÇÇ ,
onde
>@

exp
1
Le
e
KK

ËÛ
ÍÝ
Ç é a ma iz simé ica de igidez pa a o sis ema global.
Também o abalho i ual pode se esc i o com a o ma:

^
`

^
`

^
`

^
`
^`
^`
exp exp
11
LL
TT
T
ee e e
ee
W u FU FU

 
ÇÇ ,
onde
^`

^
`
exp
1
Le
e
FF

Ç é o ec o das o ças nodais não conse a i as pa a o sis ema global.
U ilizando as ma izes de massa e de igidez, o ec o das o ças nodais não conse a i as,
e o ec o dos deslocamen os nodais do sis ema global é possí el, desp ezando o e ei o de
amo ecimen o que e en ualmen e possa exis i , esc e e as equações de mo imen o de
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
144
Lag ange [Ba he, 1996] pa a o sis ema com a seguin e o ma ma icial:
>
@
^
`
>
@
^
`
^
`
M
UKU F
 .
Conside ando o e ei o de amo ecimen o, as equações de mo imen o de Lag ange são:
>
@
^
`
>
@
^
`
>
@
^
`
^
`
M
UCUKU F 
  ,
onde
>
@
C é a ma iz de amo ecimen o e
^
`
U
 o ec o das elocidades nodais. Es a ma iz
pode ambém se ob ida a pa i do ag upamen o das ma izes de amo ecimen o dos
elemen os u ilizados na modelização. Con udo, como oi e e ido no capí ulo an e io ,
ge almen e es a ma iz é ob ida u ilizando-se as ma izes de massa e de igidez do sis ema
global conjun amen e com esul ados expe imen ais do alo de amo ecimen o.
5.2.1.2.3 – Exemplos
Pa a se e i ica o cálculo e o signi icado das ma izes de um sis ema modelizado po um
conjun o de elemen os ini os axiais linea es, conside e-se no amen e os ês pon os
ep esen ados na Figu a 5.1 ligados po in e médio de elemen os axiais como na Figu a 5.6.
Figu a 5.6 – T ês pon os ligados po in e médio
de elemen os ini os axiais.
Conside ando-se, po exemplo, que os elemen os são de á ea uni á ia e cons uídos po
bo acha ob i e am-se as seguin es ma izes6:
>@
2033.920000 908.693333 108.266667 0.000000 0.000000 0.000000
908.693333 3400.320000 791.466667 0.000000 0.000000 0.000000
108.266667 791.466667 1799.466667 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 2033.9200
M 00 908.693333 108.266667
0.000000 0.000000 0.000000 908.693333 3400.320000 791.466667
0.000000 0.000000 0.000000 108.266667 791.466667 1799.466667
Ë Û
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Ì Ü
Í Ý
,
6 Os alo es dos elemen os des as ma izes o am a edondados pa a a sex a casa decimal.
MODELOS PONTUAIS E ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS
145
>@
0.000052 -0.000007 -0.000045 0.000036 0.000014 -0.000050
-0.000007 0.000028 -0.000020 0.000014 -0.000033 0.000019
-0.000045 -0.000020 0.000065 -0.000050 0.000019 0.000032
0.000036 0.000014 -0.000050 0.000084 -0.000028 -0.
K 000056
0.000014 -0.000033 0.000019 -0.000028 0.000045 -0.000017
-0.000050 0.000019 0.000032 -0.000056 -0.000017 0.000073
ËÛ
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ÍÝ
.
Analisando a ma iz de igidez ob ida, e i ica-se que o sis ema esul an e ap esen a baixa
igidez.
Op ando-se ago a pelo aço como o ma e ial a u iliza na cons ução dos elemen os axiais,
ob i e am-se as seguin es ma izes de massa e de igidez:
>@
14146.640000 6320.286667 753.033333 0.000000 0.000000 0.000000
6320.286667 23650.440000 12515.933333 0.000000 0.000000 0.000000
753.033333 5504.933333 1799.466667 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 14
M 146.640000 6320.286667 753.033333
0.000000 0.000000 0.000000 6320.286667 23650.440000 5504.933333
0.000000 0.000000 0.000000 753.033333 5504.933333 12515.933333
Ë Û
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Í Ý
,
>@
4.407162 -0.622579 -3.784583 3.051410 1.206246 -4.257656
-0.622579 2.345850 -1.723272 1.206246 -2.785912 1.579666
-3.784583 -1.723272 5.507855 -4.257656 1.579666 2.677990
3.051410 1.206246 -4.257656 7.126964 -2.337102 -4.
K 789863
1.206246 -2.785912 1.579666 -2.337102 3.785128 -1.448027
-4.257656 1.579666 2.677990 -4.789863 -1.448027 6.237890
ËÛ
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ÍÝ
.
Compa ando es as ma izes com as ob idas na expe iência an e io e i ica-se, como se ia
de espe a , que os seus elemen os aumen a am em alo , aduzindo o aumen o da densidade e
da igidez co esponden e à passagem de bo acha pa a aço como o ma e ial i ual adop ado
pa a os elemen os.
Conside ando-se no amen e bo acha pa a o ma e ial i ual mas des a ez um alo pa a a
á ea dos elemen os 10 ezes supe io , ob i e am-se as seguin es ma izes:
>@
20339.200000 9086.933333 1082.666667 0.000000 0.000000 0.000000
9086.933333 34003.200000 7914.666667 0.000000 0.000000 0.000000
1082.666667 7914.666667 17994.666667 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000
M 20339.200000 9086.933333 1082.666667
0.000000 0.000000 0.000000 9086.933333 34003.200000 7914.666667
0.000000 0.000000 0.000000 1082.666667 7914.666667 17994.666667
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Í Ý
,
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
252
Tabela 7.12 – Supe ícies, esul an es de amos agem adap a i a, a empa elha
ao longo da sequência. (Con inuação.)
7 8
9 10
Tabela 7.13 – Algumas p op iedades das supe ícies, cons uídas u ilizando
amos agem adap a i a, a conside a ao longo da sequência.
ID Nº Nodos Volume Á ea C. F.
1 93 80215.0 8106.1 0.9493
2 103 100892.8 8701.4 0.9112
3 117 113451.0 8353.9 0.8586
4 112 57104.9 8210.6 1.0700
5 119 108901.9 7021.5 0.7979
6 120 85956.3 7509.7 0.8929
7 124 73657.1 7603.4 0.9459
8 125 69080.5 8144.2 1.0001
9 123 125919.5 8199.3 0.8215
10 122 93369.7 8788.9 0.9397
U ilizando-se elemen os isopa amé icos 3D de Scla o cons uídos po ma e ial do ipo
bo acha, alo es pa a o pa âme o s iguais a 25% da dis ância média en e odos os modos
de cada supe ície, e conside ando 10% dos modos de ib ação, ob i e am-se os
empa elhamen os ep esen ados nas imagens das Tabela 7.14 e Tabela 7.15.
O núme o e a pe cen agem de empa elhamen os e o alo da ene gia de de o mação ao
longo da sequência es ão indicados na Tabela 7.16. A pe cen agem de empa elhamen os e a
ene gia de de o mação ao longo da sequência es ão ep esen ados de o ma g á ica nas Figu a
7.16 e Figu a 7.17.
O núme o de empa elhamen os ob idos, a iando ao longo da sequência en e 27% e 57%,
e a endendo que os mesmos não o am ob idos endo em con a qualque ipo de op imização,
pode se classi icado como sa is a ó io. A í ulo de exemplo, op ando-se no empa elhamen o 8
po apenas u iliza os 25 p imei os modos de ib ação é possí el ob e 42 co espondências
acei á eis (Figu a 7.18a) a que co esponde uma pe cen agem de 34.1% supe io à ob ida

ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
253
com as condições globais (na Figu a 7.18b é possí el e i ica que a ene gia necessá ia pa a
alinha as duas supe ícies concen a-se em g ande pa e nos p imei os g upos de modos).
Tabela 7.14 – Empa elhamen os ob idos en e as supe ícies, esul an es de
amos agem adap a i a, ao longo da sequência. [Rep odução a co es em anexo.]
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Pa a se analisa a impo ância dos á ios modos de ib ação na ene gia de de o mação ao
longo da sequência ap esen a-se, de o ma g á ica, na Figu a 7.19 a con ibuição dos mesmos
modos, ag upados em doze classes, no alo global da e e ida ene gia.
A í ulo de exemplo, é possí el e i ica -se na Figu a 7.20 a in luência da aplicação p é ia
da ans o mação ígida na dis ibuição da ene gia de de o mação ao longo dos modos no
qua o empa elhamen o: e i ica-se uma edução da con ibuição dos p imei os g upos de
modos.
Também com es a expe iência se pode conclui que, quando a de o mação en e duas
supe ícies é essencialmen e global, a ene gia se concen a nos p imei os g upos de modos;
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
254
assim que as de o mações se o nam mais locais, a ene gia passa a concen a -se nos g upos
in e médios a é ica , nos casos de de o mações semelhan es a uído localizado, p a icamen e
concen ada nos g upos de modos mais al os.
Tabela 7.15 – Ou a is a dos empa elhamen os ob idos en e as supe ícies, esul an es de
amos agem adap a i a, ao longo da sequência. [Rep odução a co es em anexo.]
1 2
3 4
5 6
7 8
9
Em e mos de conclusão, pode-se a i ma que se ob e e empa elhamen os sa is a ó ios ao
longo da sequência e que ge almen e a ene gia de de o mação aduz de o ma acei á el a
de o mação exis en e. Nes a expe iência e i icou-se que a ene gia de de o mação e a
ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
255
a iação do ac o da o ma ap esen am compo amen os semelhan es ao longo da sequência o
que ambém indicia que os alo es des a ene gia aduzem sa is a o iamen e as de o mações
exis en es.
Tabela 7.16 – Núme o e % de empa elhamen os e alo da ene gia
de de o mação ao longo da sequência de supe ícies adap a i as.
ID Nº Emp. % Emp. Ene gia
1 33 35.5% 521.6
2 58 56.3% 559.7
3 35 31.3% 1467.1
4 39 34.8% 1874.4
5 33 27.7% 701.3
6 63 52.5% 389.9
7 51 41.1% 421.1
8 33 26.8% 646.3
9 41 33.6% 497.4
% Empa elhamen os
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
123456789
ID
Figu a 7.16 – Pe cen agem de empa elhamen os
ob idos ao longo da sequência de supe ícies
baseadas em amos agem adap a i a.
Ene gia
0
500
1000
1500
2000
123456789
ID
Figu a 7.17 – Ene gia de de o mação ao longo
da sequência de supe ícies baseadas em
amos agem adap a i a.
Dis ibuição da
Ene gia Emp. 8
I
II
III
IV
V
X
IX
VI
VII
VIII
XIXII
a) b)
Figu a 7.18 – Empa elhamen o 8 en e supe ícies baseadas em amos agem adap a i a: a) Duas
is as das co espondências ob idas u ilizando-se os p imei os 25 modos de ib ação;
b) Dis ibuição da ene gia de de o mação ao longo dos modos de ib ação.
[Rep odução a co es em anexo.]
A í ulo de exemplo, es ão ep esen adas na Figu a 7.21 as supe ícies 5 e 6 após aplicação
à p imei a dos deslocamen os es imados po minimização da ene gia de de o mação.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
256
Dis ibuição da Ene gia
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
123456789
ID
III III
IV VVI
VII VIII IX
XXI XII
Figu a 7.19 – Compa icipação dos modos de ib ação na ene gia de de o mação
ao longo da sequência de supe ícies baseadas em amos agem adap a i a.
[Rep odução a co es em anexo.]
Dis ibuição da
Ene gia Emp. 4
I
II
III
IV
IX
V
XXI XII
VIII
VII
VI
a)
Dis ibuição da
Ene gia Emp. 4 I
II
III
IV
V
VI
X
IX
VII
VIII
XI XII
b)
Figu a 7.20 – Dis ibuição da ene gia de de o mação po 12 classes de modos, sem (a) e com
(b) a p é ia aplicação da ans o mação ígida ob ida, pa a o empa elhamen o 4 en e
supe ícies baseadas em amos agem adap a i a. [Rep odução a co es em anexo.]
Figu a 7.21 – Empa elhamen o 5 após aplicação dos deslocamen os
nodais es imados à supe ície 5. [Rep odução a co es em anexo.]
ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
257
7.2.3 – Modelização po con o nos isobá icos
Nes e pon o se ão ap esen ados alguns esul ados ob idos conside ando-se isocon o nos de
in ensidade. Em p imei o luga , se ão ap esen ados esul ados en e con o nos de e minados
numa mesma imagem da sequência; seguidamen e, se ão ap esen ados esul ados en e
con o nos co esponden es ao ní el de b ilho médio ao longo da sequência.
Também com es e ipo de modelização se de e no a que, de o ma semelhan e ao que
acon ece com a modelização de objec os em imagens de pedoba og a ia dinâmica po
supe ícies de in ensidade, as á eas de p essão dos dedos do pé podem o igina a iações
se e as na opologia dos modelos cons uídos. Es as a iações pode ão se ainda mais
impo an es nos isocon o nos de e minados ao longo da sequência. Pa a se diminui es e
e ei o, de e-se op a po amos agens su icien emen e inas na cons ução dos modelos.
7.2.3.1 – Con o nos de uma mesma imagem
Conside ando-se a qua a imagem da sequência ap esen ada na Tabela 7.1, p ocedeu-se à
emoção dos pixels de eduzido b ilho, cons uiu-se uma supe ície de in ensidade u ilizando
amos agem egula de dimensões 10 10 5¥¥, ealizou-se a iangulação 2D de Delaunay e
de e mina am-se os onze con o nos de isoní el a conside a nes a expe iência, Figu a 7.22.
a) b)
Figu a 7.22 – De e minação dos isocon o nos a conside a : a) Supe ície de in ensidade
cons uída a pa i da imagem 4 da sequência; b) Onze con o nos isobá icos
ex aídos a pa i da supe ície. [Rep odução a co es em anexo.]
Na Tabela 7.17 indicam-se algumas p op iedades dos isocon o nos a conside a pa a o
empa elhamen o: o núme o de pixels, a co a co esponden e ao ní el de in ensidade e a á ea.
U ilizando-se elemen os isopa amé icos 3D de Scla o cons uídos po ma e ial do ipo
bo acha, alo es pa a o pa âme o s iguais a 25% da dis ância média en e odos os pixels
de cada con o no, e conside ando 10% dos modos de ib ação, ob i e am-se os
empa elhamen os ep esen ados na Figu a 7.23.
O núme o e a pe cen agem de empa elhamen os e o alo da ene gia de de o mação ao

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
258
longo da sequência de isocon o nos es ão indicados na Tabela 7.17. A pe cen agem de
empa elhamen os e a ene gia de de o mação são analisados, de o ma g á ica, nas Figu a 7.24
e Figu a 7.25.
Tabela 7.17 – Algumas p op iedades dos
isocon o nos a conside a .
ID Nº de Pixels Co a Á ea
1 76 9 9206.9
2 76 18 8737.0
3 74 27 8308.0
4 76 40.5 7695.8
5 70 54 7106.0
6 54 71 4539.6
7 46 92 3396.6
8 38 86.9 3195.0
9 34 91.7 2976.5
10 34 96.6 2765.5
11 34 101 2562.1
Figu a 7.23 – Duas is as dos empa elhamen os de e minados en e con o nos de isoní el
de uma mesma imagem. [Rep odução a co es em anexo.]
Tabela 7.18 – Núme o e % de empa elhamen os e alo da ene gia de
de o mação ao longo dos isocon o nos de uma mesma imagem.
ID Emp. Emp. (%) Ene gia
1 52 68.4% 2235.8
2 57 77.0% 2251.9
3 52 70.3% 4703.4
4 40 57.1% 4025.8
5 32 59.3% 6328.9
6 24 52.2% 1878.9
7 22 57.9% 419.3
8 17 50.0% 329.6
9 32 94.1% 317.8
10 17 50.0% 212.9
ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
259
% Empa elhamen os
0%
20%
40%
60%
80%
12345678910
ID
Figu a 7.24 – Pe cen agem de empa elhamen os
ob idos ao longo dos isocon o nos de
uma mesma imagem.
Ene gia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
12345678910
ID
Figu a 7.25 – Ene gia de de o mação ob ida ao
longo dos isocon o nos de uma mesma imagem.
O núme o de empa elhamen os ob idos en e os con o nos de isoní el de uma mesma
imagem o iginal, a iando en e 52% e 94%, e a endendo que os mesmos não o am ob idos
endo em con a qualque ipo de op imização, pode se classi icado como bas an e sa is a ó io.
Pa a, mais uma ez, se p ocede à análise da impo ância dos modos de ib ação na
ene gia de de o mação ap esen a-se, de o ma g á ica, na Figu a 7.26, pa a cada
empa elhamen o a con ibuição no alo global da e e ida ene gia dos modos ag upados em
doze classes. Ao analisa -se a e e ida igu a, e i ica-se que, p incipalmen e a é ao sex o
empa elhamen o, as classes p imei as e in e médias assumem uma pa icipação ele an e no
alo global da ene gia. Is o e idencia a exis ência de uma ans o mação global conside á el
en e os objec os e que, pa a se de e mina as co espondências de o ma acei á el, se de e
apenas conside a , a pa i do p imei o modo, um eduzido conjun o de modos de ib ação.
Também com es a expe iência é possí el conclui que, quando a de o mação en e dois
con o nos é essencialmen e global, a ene gia se concen a nos p imei os g upos de modos e,
assim que as de o mações se o nam mais locais, a ene gia passa a concen a -se nos g upos
in e médios a é ica p a icamen e concen ada nos g upos de modos mais al os, nos casos de
de o mações do ipo uído localizado.
Na Figu a 7.27 es ão ep esen ados os con o nos de isoní el conside ados nes a
expe iência após aplicação dos deslocamen os nodais es imados po minimização da ene gia
de de o mação. Analisando-se as e e idas igu as é possí el e i ica que os deslocamen os
es imados, de modo ge al, são bas an e azoá eis.
Em e mos de conclusão pode-se a i ma que se ob e e empa elhamen os sa is a ó ios ao
longo dos con o nos de isoní el de uma mesma imagem o iginal, que a ene gia de de o mação
aduz de o ma acei á el a de o mação exis en e en e os objec os e que os deslocamen os
nodais es imados, po minimização dessa ene gia, podem se classi icados como bas an e
sa is a ó ios.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
260
Dis ibuição da Ene gia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
12345678910
ID
XII
XI
X
IX
VIII
VII
VI
V
IV
III
II
I
Figu a 7.26 – Compa icipação dos modos de ib ação na ene gia de de o mação
ao longo do empa elhamen o dos isocon o nos de uma mesma imagem.
[Rep odução a co es em anexo.]
Figu a 7.27 – Duas is as dos deslocamen os es imados pa a os con o nos de isoní el
de uma mesma imagem. [Rep odução a co es em anexo.]
7.2.3.2 – Con o nos de di e en es imagens
Conside ando as imagens ep esen adas na Tabela 7.1 da sequência exemplo, pa a se
de e mina os con o nos de ní el de b ilho médio ao longo da sequência a u iliza nes a
expe iência, e isí eis na Figu a 7.28, p ocedeu-se ao seguin e conjun o de ope ações:
1. emoção dos pixels de eduzido ní el de b ilho p esen es em cada imagem o iginal;
2. aplicação de um il o Gaussiano, de dimensões 99¥, de o ma a sua iza cada
imagem il ada;
ENSAIOS EM IMAGENS DE PEDOBAROGRAFIA DINÂMICA
261
3. pa a cada imagem sua izada cons uiu-se a espec i a supe ície de in ensidade,
u ilizando-se uma amos agem egula de dimensões 10 10 5¥¥, e uma iangulação
2D de Delaunay;
4. em cada supe ície de in ensidade cons uída de e minou-se o con o no de ní el médio
de b ilho.
Na Tabela 7.19 são indicadas algumas p op iedades dos isocon o nos de e minados ao
longo da sequência: o núme o de pixels, a co a e a á ea.
Figu a 7.28 – Duas is as dos dez isocon o nos a conside a ao longo da sequência exemplo.
[Rep odução a co es em anexo.]
Tabela 7.19 – Algumas p op iedades dos isocon o nos a
conside a ao longo da sequência.
ID Nº de Pixels Co a Á ea
1 58 35 6626.7
2 53 35 6920.5
3 62 37.5 6183.2
4 61 35 6920.1
5 37 35 3214.3
6 46 37.5 4226.2
7 42 35 3880.8
8 52 37.5 4079.1
9 47 40 4197.8
10 46 40 4477.9
U ilizando-se elemen os isopa amé icos 3D de Scla o cons uídos po ma e ial do ipo
bo acha, alo es pa a o pa âme o s iguais a 25% da dis ância média en e odos os pixels
de cada con o no, e conside ando 10% dos modos de ib ação, ob i e am-se os
empa elhamen os ep esen ados nas imagens da Tabela 7.20.
O núme o e a pe cen agem de empa elhamen os e o alo da ene gia de de o mação ao
longo dos con o nos de isoní el da sequência es ão indicados na Tabela 7.21.
A pe cen agem de empa elhamen os ob ida ao longo da sequência, a iando en e 19% e
68%, e a endendo que os mesmos não o am ob idos endo em con a qualque ipo de
op imização e à conside á el di e ença exis en e en e as imagens da sequência, pode se
classi icada como sa is a ó ia.
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
270
possí el aos seus u ilizado es dispo em num só sis ema de um ele ado núme o de en idades e
de e amen as; a segunda ca ac e ís ica que a pla a o ma ap esen a é a acilidade com que as
unções inco po adas podem se pa ame izadas e con oladas e com que os esul ados ob idos
podem se analisados e isualizados, conseguindo-se assim ealiza ensaios exaus i os dos
mé odos en ol idos.
A iloso ia u ilizada na es u u a e implemen ação da pla a o ma pe mi e que es a seja
acilmen e con igu ada e adap ada a ní eis di e en es de u ilizado es e de aplicação, e que a
sua manu enção não seja demasiado complexa.
Ac ualmen e, a aplicação já inco po ou con ibuições de á ios ou os in es igado es do
g upo e se iu de pla a o ma de desen ol imen o e ensaio a á ios alunos de licencia u a e
mes ado da Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o. Comp o ou-se que a
in eg ação de no as unções é ácil e expedi a, o que o na mais ápida a adap ação de no os
in es igado es.
O sis ema desen ol ido ambém em sido u ilizado como aplicação de demons ação em
cu sos de p ocessamen o e análise de imagem, e elando-se uma aplicação com alo na
ap endizagem.
Ac ualmen e a pla a o ma já in eg a um núme o ele ado de unções pa a um sis ema de
p ocessamen o e análise de imagem, es ando ainda em abe o a cons ução de um sis ema de
ajuda que auxilie os seus u ilizado es na inco po ação dos seus algo i mos e na u ilização das
unções disponí eis.
A de e minação da ans o mação geomé ica ígida exis en e en e dois objec os, 2D ou
3D, cujos pon os enham sido p e iamen e empa elhados é conseguida pela u ilização de uma
me odologia, baseada em minimização po mínimos quad ados do e o da ans o mação
de e minada, que u iliza qua e nions uni á ios pa a ep esen a a o ação en ol ida. Os
esul ados ob idos pe mi em conclui que é possí el ob e -se boas es ima i as pa a a
ans o mação geomé ica exis en e sem a necessidade de conside a um ele ado núme o de
co espondências, e assim dis ingui -se as ans o mações globais do ipo ígido das
de o mações essencialmen e localizadas.
A p imei a me odologia implemen ada pa a de e mina a co espondência en e dois
objec os u iliza a análise dos alo es e ec o es p óp ios de uma ma iz, cons uída
conside ando a dis ância en e os dados pon uais de cada objec o, e es abelecendo as
co espondências segundo o p incípio da dis ância mínima. Apesa de a me odologia se
bas an e a aen e do pon o de is a de implemen ação, pela sua simplicidade, os esul ados
ob idos pa a objec os eais só são sa is a ó ios quando exis i uma g ande semelhança no
posicionamen o, na o ien ação e nas o mas dos objec os em ques ão.
A inadequação da me odologia e e ida pa a objec os ela i amen e di e en es na o ma,
posicionamen o ou o ien ação, de e-se ao ac o de não se conside ada a es u u a de cada
objec o na modelização u ilizada. Tal ac o o iginou o desen ol imen o de um no o mé odo
que u iliza in o mação es u u al e es abelece as co espondências a a és da análise dos

CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTO FUTURO
271
ec o es p óp ios de o ma dos dois objec os a empa elha . Os esul ados expe imen ais
ob idos comp o am a melho adap ação des e no o mé odo pa a objec os eais e con i mam
a a -se de um mé odo bas an e in e essan e pa a a de e minação das co espondências en e
objec os 2D ou 3D, ígidos ou não.
Apesa dos bons esul ados ob idos pelo no o mé odo, po ezes e i ica a-se que os
mesmos não e am consis en es com o compo amen o ísico espe ado, se os objec os
co espondessem a en idades ísicas eais, o que se de e à na u eza pu amen e geomé ica do
mé odo.
A simulação do compo amen o dos objec os eais segundo p incípios ísicos oi
conseguida a a és de uma modelização ísica po in e médio do mé odo dos elemen os
ini os. Após a cons ução dos modelos pa a os objec os a empa elha , as co espondências
são de e minadas po análise das ajec ó ias de cada nodo no espec i o espaço modal.
Pa a se es ima os deslocamen os dos nodos não empa elhados, u iliza-se a minimização da
ene gia de de o mação necessá ia pa a alinha o p imei o objec o com o segundo. Es a
ene gia cons i ui uma medida da de o mação necessá ia pa a se alinha dois objec os e
pe mi e a sua compa a ão.
A an agem des e mé odo es á elacionada com a conside ação de um ma e ial i ual na
cons ução dos objec os a empa elha , conseguindo-se des e modo uma modelização ísica
pa a os mesmos e azendo com que as co espondências sejam de e minadas, não po um
p ocesso “es a ís ico” sem g ande ligação ao compo amen o ísico espe ado pa a os objec os
mas, pelo con á io, de aco do com as ca ac e ís icas elás icas do ma e ial adop ado.
Nas modelizações ísicas conside adas pa a cada objec o o am u ilizados um único
elemen o ini o isopa amé ico de Scla o , no qual são emp egues unções de in e polação de
base Gaussiana, e conjun os de elemen os ini os axiais s anda d de idamen e ag upados.
Enquan o que nas modelizações po in e médio do elemen o ini o de Scla o os nodos são
o almen e en ol idos po uma película elás ica, ob endo-se modelos com o seu in e io
o almen e p eenchido pelo ma e ial i ual, nas modelizações po in e médio de elemen os
ini os axiais ag upados os modelos esul an es apenas são cons i uídos po lados (os
elemen os elás icos dimensionais), ob endo-se assim modelos “ocos” mais simples. Nes e
segundo caso, os modelos ob idos são ge almen e mais lexí eis e menos densos.
A modelização ísica po in e médio de elemen os ini os axiais s anda d ag upados é
capaz de p oduzi bons esul ados quando os objec os a empa elha são ígidos ou quando a
de o mação exis en e é eduzida; no en an o, nas si uações em que al não se e i ica e desde
que os empa elhamen os sejam de e minados po um ou o p ocesso, con inuam a se ú eis na
es imação dos deslocamen os e na quan i icação da de o mação exis en e; a modelização po
in e médio do elemen o ini o isopa amé ico é mais adap á el, de u ilização mais gené ica e
ge almen e p oduz bons esul ados.
Há indícios cla os de que a inadequação da modelização po in e médio de elemen os
ini os axiais linea es, no caso das de o mações não ígidas se em ele adas, se de e à
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
272
acilidade com que os mesmos en am em ins abilidade; al e ei o pode se a enuado ou
e i ado aumen ando a igidez do sis ema global, a a és da u ilização de ligações
suplemen a es en e os nodos.
Ao longo dos ensaios e ec uados e i icou-se que as p op iedades densidade e módulo de
elas icidade do ma e ial i ual p a icamen e não in luencia am as co espondências ob idas;
no en an o, o coe icien e de Poisson já as in luencia a po al e a a esis ência dos modelos ao
co e. O alo da ene gia de de o mação e os deslocamen os nodais, es imados po
minimização des a ene gia, são in luenciados pelos alo es adop ados pa a odas es as
p op iedades do ma e ial i ual, sendo o módulo de elas icidade a p op iedade que ap esen a
uma in luência p eponde an e.
As á ias expe iências desen ol idas pe mi em conclui que a abo dagem baseada em
modelização ísica p oduz bons esul ados de empa elhamen o, que os deslocamen os
es imados po minimização da ene gia de de o mação ge almen e são de boa qualidade e
cong uen es com as p op iedades adop adas pa a o ma e ial i ual, e que a ene gia de
de o mação quan i ica de o ma acei á el a ans o mação exis en e en e os dois objec os a
empa elha . A con ibuição dos modos de ib ação no alo global dessa ene gia é unção da
de o mação exis en e: se a de o mação o essencialmen e global, os p imei os modos
assumem um maio ele o; se as de o mações o em mais locais, os modos in e médios e
mais ele ados assumem en ão um maio p o agonismo no alo global da ene gia.
A modelização das en idades p esen es em cada imagem a a és de uma supe ície de
in ensidade pe mi e ul apassa si uações bas an e comuns em isão po compu ado , nas
quais as imagens 2D de objec os eais são cons i uídas po á ias en idades que, ao longo do
seu mo imen o, se ão ag upando e/ou di idindo, sem que isso co esponda a uma a iação
eal da sua opologia. Assim, desde que o ní el de b ilho es eja elacionado com alguma
ca ac e ís ica do objec o a modeliza , a modelização po supe ície de in ensidade o na
possí el conside a um único modelo do ipo “casca” em cada imagem e esol e em
simul âneo os dois p oblemas e e idos.
As supe ícies de in ensidade o am cons uídas a pa i das imagens o iginais de duas
manei as dis in as: uma na qual é u ilizada uma amos agem ec angula e egula , e uma
ou a em que é u ilizada uma amos agem adap a i a, baseada na análise dos pe is adiais de
in ensidade cen ados nos máximos locais p esen es na imagem. Enquan o a amos agem
ec angula e egula pode o igina supe ícies em que exis am zonas com excessi o e/ou com
eduzido núme o de nodos, a amos agem adap a i a o igina supe ícies com uma dis ibuição
dos nodos que é unção das ca ac e ís icas das zonas p esen es na imagem o iginal, ob endo-
se assim modelos mais adequados aos objec os exis en es.
Pa a se cons ui os modelos de supe ície de in ensidade, algumas e amen as comuns no
âmbi o da compu ação g á ica o na am-se necessá ias: iangulação de pon os não
es u u ados, sua ização e simpli icação de malhas, e c. Tal oi conseguido pela in eg ação na
pla a o ma de desen ol imen o e ensaio da biblio eca de domínio público VTK – The
CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTO FUTURO
273
Visualiza ion Toolki [Sch oede , 1996, 1998, 1999]. Es a in eg ação pe mi iu que á ias das
en idades e algumas das e amen as comuns na á ea da compu ação g á ica icassem
disponí eis, de o ma anspa en e e em pe ei a simbiose, num sis ema ípico de
p ocessamen o e análise de imagem.
A í ulo de exemplo, a me odologia ísica e os modelos implemen ados o am aplicados em
imagens de pedoba og a ia dinâmica. Os p imei os objec os conside ados o am do ipo
con o no e, apesa dos bons esul ados ob idos, comp o ou-se o in e esse dos modelos de
supe ície pois exis iam imagens cons i uídas po mais do que um con o no e que ao longo da
sequência se di idiam e/ou se ag upa am. Como nes a aplicação exis e uma o e elação
en e a in ensidade de cada pixel e o alo de p essão exe cida sob e o sis ema senso , o am
u ilizados modelos de supe ície de in ensidade e ob i e am-se bons esul ados pa a o
empa elhamen o, pa a a es imação dos deslocamen os nodais po minimização da ene gia de
de o mação, e pa a a quan i icação da de o mação exis en e en e os objec os a a és dessa
ene gia. Ac esce ainda que a modelização po con o nos não pe mi e ob e in o mação sob e
as zonas de hipe p essão e sob e os g adien es espaciais e empo ais de p essão.
Como em pedoba og a ia dinâmica, assim como em ou as aplicações exis en es em isão
po compu ado , em especial in e esse analisa a de o mação exis en e en e con o nos de
isoní el, o am ambém in eg adas na pla a o ma de desen ol imen o e ensaio unções que
possibili am a de e minação de ais en idades; as me odologias implemen adas pa a
de e mina a co espondência, es ima os deslocamen os nodais e de e mina a ene gia de
de o mação o am ala gadas a es e ipo de objec os.
Pa a não se em necessá ios empos compu acionais mui o ele ados, a amos agem espacial
u ilizada nos ensaios ealizados em imagens de pedoba og a ia dinâmica oi algo g ossei a. A
amos agem a u iliza pode á se mais ina, acili ando a ob enção de esul ados mais
sa is a ó ios, p incipalmen e nos casos dos isocon o nos; no en an o, os empos de
compu ação exigidos se ão bas an e ele ados, o que suge e uma implemen ação pa alela da
me odologia adop ada.
Se á possí el ob e -se esul ados de qualidade conside a elmen e supe io em sequências
de imagens de pedoba og a ia dinâmica ob idas quando se u iliza uma amos agem empo al
mais ina.
Aquando da aplicação da abo dagem u ilizada pa a modeliza objec os 2D, p ocedeu-se à
expe iência de ambém inclui na sua modelização pon os do seu in e io ; con udo, não se
e i ica am g andes di e enças nos esul ados ob idos ela i amen e aos de e minados
u ilizando-se unicamen e os pon os que cons i uem os seus con o nos. Tal e i icação
con i ma que a modelização de objec os 2D pelos seus con o nos é uma boa solução.
A aplicação da abo dagem ísica e dos modelos desen ol idos em imagens de
pedoba og a ia dinâmica pe mi iu ob e bons esul ados e e i ica a u ilidade e adequação
dos modelos de supe ície de in ensidade pa a p oblemas eais. Pensa-se que idên icos
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
274
bene ícios pode ão ambém se e i icados em mui os ou os p oblemas simila es.
8.2 – Pe spec i as de desen ol imen o u u o
Apesa do abalho desen ol ido já possibili a a ob enção de esul ados expe imen ais
bas an e sa is a ó ios e p omisso es, ele pode se en iquecido, complemen ado e melho ado,
nomeadamen e nas seguin es e apas:
• Na modelização:
a) Nas modelizações baseadas em dis âncias Gaussianas ponde adas, e i icou-se
que a u ilização de cu as Gaussianas de la gu a cons an e pode não se
adequada nos casos em que a densidade não é uni o me ou quando os dados a
modeliza pe encem a en idades dis in as. Nes es casos, se á in e essan e
u iliza -se cu as cuja la gu a é de e minada localmen e, de o ma a ob e -se
uma melho modelização.
b) Vis o que ac ualmen e já es ão disponí eis na pla a o ma de desen ol imen o e
ensaio e amen as que pe mi em a cons ução de elemen os ini os s anda d
mais complexos, de e-se ealiza um es udo da sua u ilização na modelização
ísica.
c) Como po ezes a de o mação exis en e en e dois objec os é acen uada, os
esul ados ob idos pelo mé odo dos elemen os ini os clássicos, u ilizando a
eo ia da elas icidade linea , não são sa is a ó ios. Nes es casos pode ão se
u ilizados elemen os ini os não linea es.
d) As p op iedades elás icas do ma e ial de e ão se de e minadas de o ma a que
o modelo se de o me segundo o espe ado. Assim, caso seja possí el, as
p op iedades do ma e ial de e ão se incluídas na modelização e es imadas a
pa i do compo amen o e i icado pa a o modelo ao longo do seu mo imen o.
• Na de e minação da co espondência:
a) Na ase de de e minação das co espondências de e á se conside ada
in o mação sob e a izinhança; po exemplo, os nodos izinhos de e ão
pe manece izinhos na imagem seguin e, a co espondência de e minada não
de e á implica uma dob agem do modelo sob e si mesmo, a o dem dos nodos
não de e á se al e ada em demasia ao longo da sequência, e c.
b) Na pesquisa das co espondências na ma iz de co elação, de e minada
u ilizando a dis ância euclidiana en e os modos de ib ação que cons i uem
cada modelo a empa elha , de e á se maximizada a co espondência ob ida em
e mos globais e não locais. Is o é, de e á se encon ada a solução cujas
CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE DESENVOLVIMENTO FUTURO
275
co espondências conduzem à melho solução pa a odos os nodos, e não à
melho co espondência pa a cada um.
c) Exis em mui as si uações em que a co espondência do ipo “um pa a um” não
de e á se impos a. Assim, na ase da de e minação da co espondência,
de e ão se pe mi idos empa elhamen os en e á ios nodos e um único nodo e
ice- e sa.
d) Ao longo dos es es e ec uados e i icou-se que, consoan e o conjun o dos
modos de ib ação conside ado, se ob inham empa elhamen os a iá eis. A
si uação de melho comp omisso passou po conside a apenas uma
pe cen agem dos p imei os modos; al pode á se complemen ado a a és de
uma combinação ponde ada de á ios conjun os de modos de ib ação. Os
pesos a conside a de e ão e lec i a impo ância dos á ios conjun os em cada
si uação.
e) Em sequências de imagem, an es de se p ocede à modelização de cada objec o
a empa elha , pode á ealiza -se um alinhamen o ígido. Os pa âme os a
u iliza em al alinhamen o pode ão se es imados, de o ma ecu si a ao longo
da sequência, po il agem de Kalman.
• Na aplicação em pedoba og a ia dinâmica:
Na aplicação da abo dagem ísica e dos modelos u ilizados em pedoba og a ia
dinâmica, e i icou-se que as imagens a conside a es a am bas an e sepa adas no
empo, o que implica a objec os bas an e dis in os. Se as imagens a conside a
o em adqui idas u ilizando uma amos agem empo al mais ápida, os esul ados
ob idos se ão de qualidade bas an e supe io .
E iden emen e que a explo ação dos esul ados, de o ma a p oduzi in o mação
clinicamen e ele an e, não sendo do âmbi o des e abalho, cons i ui ou o ec o
de desen ol imen o.
• Nos esul ados ob idos:
a) U ilizando modelização ísica po in e médio do mé odo dos elemen os ini os
o na-se ex emamen e ácil o cálculo das ensões ins aladas e das de o mações
exis en es ao longo do modelo. Tal in o mação pode se bas an e ú il em á ias
aplicações; po exemplo, na a aliação dos es o ços a que o modelo es á sujei o.
b) Além da ene gia global de de o mação pode se in e essan e, em á ias
aplicações, de e mina a ene gia de de o mação local e a sua a iação. Assim
pode ia se calculada a ene gia de de o mação necessá ia pa a cada conjun o
es i o de nodos empa elha em, po exemplo u ilizando-se elemen os ini os
axiais, e isualiza essa ene gia ao longo do modelo.

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
276
c) Nas aplicações em que exis am conjun os de dados disponí eis pa a eino, a
análise das componen es p incipais das de o mações pode á se bas an e ú il
pa a alida os esul ados ob idos, pa a limi a as de o mações admissí eis, pa a
compa a , classi ica e econhece objec os, e c.
d) A abo dagem ísica e os modelos u ilizados de e ão se aplicados e analisados
em ou os ipos de imagem; po exemplo em imagens de aces, do pulmão, do
co ação, e c. Ac ualmen e es á em ase inicial a aplicação da me odologia
desen ol ida em imagens enais de medicina nuclea .
• Na pla a o ma de desen ol imen o e ensaio:
a) Qualque aplicação in o má ica necessi a de um azoá el pe íodo de alidação;
a pla a o ma c iada encon a-se nessa ase. Um g ande núme o de u ilizado es
em con ibuído pa a es e p ocesso.
b) O sis ema de ajuda pa a as unções disponí eis na pla a o ma ainda não es á
concluído. Tal sis ema é indispensá el a qualque pla a o ma que p e enda se
de u ilização gené ica e disponí el a di e en es ipos de u ilizado es, como é o
caso.
c) Pa e das unções ac ualmen e disponí eis na pla a o ma ap esen a ele ados
cus os de p ocessamen o. Se ia desejá el e de g ande u ilidade a pa alelização
de algumas des as unções. Bas an e abalho já oi ealizado nessa á ea,
nomeadamen e na pa alelização, u ilizando o Windows PVM - Pa allel Vi ual
Machine, do mé odo u ilizado pa a de e minação da co espondência en e dois
objec os a a és da análise modal da o ma [Ba bosa, 2000, 2000a], dos
algo i mos de con o nos ac i os [Ba bosa, 1996] e de de ecção de o las de
in ensidade com o algo i mo de Shen & Cas an e de cons ução do his og ama
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ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
4
Tabela 3.10 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na sé ima expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o p incípio do mapeamen o segundo a dis ância mínima.
(Con inuação)
Co espondências Ob idas (duas is as), % dos Vec .: 100%, Nº de Co esp.: 73
Co espondências Ob idas (duas is as), % dos Vec .: 75%, Nº de Co esp.: 64
Figu a 3.6 – Objec os ob idos u ilizando-se os
doze p imei os modos e com 3.8s=
e 100s=. (sec. 3.4.3.1.2, pág. 79)
Figu a 3.7 – Objec os ob idos u ilizando-se os
in e e cinco p imei os modos e com 3.8s=
e 100s=. (sec. 3.4.3.1.2, pág. 79)

ANEXO: IMAGENS A CORES
5
Tabela 3.20 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na oi a a expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando a análise modal da o ma. (sec. 3.4.3.2.2, pág. 84)
Objec o 13 (120 pon os) Objec o 14 (107 pon os)
Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 38
A2 – Capí ulo V
a)
b)
c)
Figu a 5.10 – Supe ície esul an e u ilizando-se amos agem adap a i a: a) Objec o da Figu a 5.9a)
após amos agem adap a i a; b) Supe ície esul an e po iangulação (232 nodos); c) Supe ície
esul an e após simpli icação e sua ização (115 nodos). (sec. 5.3.2.2, pág. 155)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
6
a)
b)
Figu a 5.12 – Rep esen ação de uma supe ície de in ensidade u ilizando um conjun o de con o nos
de isoní el: a) Supe ície de in ensidade; b) Oi o con o nos de isoní el. (sec. 5.3.3, pág. 156)
Tabela 5.8 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na sex a expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o elemen o ini o de Scla o . (sec. 5.4.1.2.2, pág. 165)
Imagens O iginais
Objec o 10 (336 nodos) Objec o 11 (316 nodos)
Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 49
ANEXO: IMAGENS A CORES
7
Tabela 5.9 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na sé ima expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o elemen o ini o de Scla o . (sec. 5.4.1.2.2, pág. 166)
Objec o 12 (143 nodos) Objec o 13 (111 nodos)
Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 42
Tabela 5.10 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na oi a a expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o elemen o ini o de Scla o . (sec. 5.4.1.2.2, pág. 166)
Imagens O iginais
Objec o 14 (176 nodos) Objec o 15 (190 nodos)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
8
Tabela 5.10 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na oi a a expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o elemen o ini o de Scla o . (Con inuação.)
Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 90, Ene gia: 2501.9
Tabela 5.11 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na nona expe iência pa a a de e minação
das co espondências u ilizando o elemen o ini o de Scla o . (sec. 5.4.1.2.2, pág. 167)
Imagem O iginal Objec o 16 (192 nodos)
Co espondências Ob idas com o Objec o 15 (duas is as), Nº de Co esp.: 68, Ene gia: 1413.3
ANEXO: IMAGENS A CORES
9
Tabela 5.22 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na nona expe iência pa a a de e minação das
co espondências u ilizando elemen os axiais linea es ag upados. (sec. 5.4.2.2.2, pág. 182)
Objec o 16 e 17 (25 nodos) Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 25
Tabela 5.24 – Dados u ilizados e esul ados ob idos na décima segunda expe iência pa a a
de e minação das co espondências u ilizando elemen os axiais linea es ag upados.
(sec. 5.4.2.2.2, pág. 183)
Imagens O iginais
Objec o 21 (30 nodos) Objec o 22 (30 nodos)
Co espondências Ob idas (duas is as), Nº de Co esp.: 25

ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
10
A3 – Capí ulo VI
Menus
Ba a de
e amen as
Menu
Eme gen e
Documen o
Imagem
Documen o
VTK
Ba a de
Es ado
Figu a 6.3 – A in e ace da pla a o ma de desen ol imen o e ensaio. (O documen o ac i o é
do ipo imagem; assim as unções disponí eis são as exis en es pa a es e ipo
de documen o.) (sec. 6.4, pág. 196)
Figu a 6.5 – In e ace da pla a o ma de desen ol imen o e ensaio quando es á ac i o um
documen o VTK. (sec. 6.4, pág. 198)
ANEXO: IMAGENS A CORES
11
a)
b)
Figu a 6.17 – Segmen ação de um objec o u ilizando o modelo de snake de Kass: a) De inição da
snake inicial, u ilizando o a o, e aplicação do mé odo; b) Snake inal ob ida. (sec. 6.6.3.1, pág. 209)
a) b) c)
Figu a 6.20 – Fusão de dois segmen os: a) Segmen os o iginais; b) Con i mação da usão;
c) Segmen o esul an e. (sec. 6.6.3.2, pág. 211)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
12
a) b)
c)
Figu a 6.21 – Simpli icação de dois segmen os: a) Segmen os o iginais; b) Con i mação da
simpli icação; c) Segmen o esul an e. (sec. 6.6.3.2, pág. 211)
a)
b)
Figu a 6.27 – Bina ização das células de um objec o: a) Objec o o iginal; b) Objec o esul an e
da bina ização das células com alo es en e –90.0 e –80.0. (sec. 6.6.4, pág. 215)
a)
b)
c)
Figu a 6.30 – De e minação dos con o nos de um objec o: a) Objec o o iginal; b) Con o no
ex e io ; c) Alguns con o nos de isoní el. (sec. 6.6.4, pág. 216)
ANEXO: IMAGENS A CORES
13
a)
b)
c)
Figu a 6.44 – Visualização 3D de uma supe ície: a) Imagem o iginal (negada); b) Amos agem
esul an e; c) Supe ície isualizada na aplicação Win4D . (sec. 6.6.5.1.2, pág. 225)
A4 – Capí ulo VII
Figu a 7.3 – Con o nos a conside a ao
longo da sequência. (sec. 7.2.1, pág. 240)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
20
Dis ibuição da Ene gia
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
123456789
ID
III
III IV
V VI
VII VIII
IX X
XI XII
Figu a 7.19 – Compa icipação dos modos de ib ação na ene gia de de o mação ao longo da
sequência de supe ícies baseadas em amos agem adap a i a. (sec. 7.2.2.2, pág. 256)
Dis ibuição da
Ene gia Emp. 4
I
II
III
IV
IX
V
XXI XII
VIII
VII
VI
a)
Dis ibuição da
Ene gia Emp. 4 I
II
III
IV
V
VI
X
IX
VII
VIII
XI XII
b)
Figu a 7.20 – Dis ibuição da ene gia de de o mação po 12 classes de modos, sem (a)
e com (b) a p é ia aplicação da ans o mação ígida ob ida, pa a o empa elhamen o
4 en e supe ícies baseadas em amos agem adap a i a. (sec. 7.2.2.2, pág. 256)
Figu a 7.21 – Empa elhamen o 5 após aplicação dos deslocamen os
nodais es imados à supe ície 5. (sec. 7.2.2.2, pág. 256)

ANEXO: IMAGENS A CORES
21
a) b)
Figu a 7.22 – De e minação dos isocon o nos a conside a : a) Supe ície de in ensidade cons uída a
pa i da imagem 4 da sequência; b) Onze con o nos isobá icos ex aídos a pa i da supe ície.
(sec. 7.2.3.1, pág. 257)
Figu a 7.23 – Duas is as dos empa elhamen os de e minados en e con o nos de isoní el
de uma mesma imagem. (sec. 7.2.3.1, pág. 258)
Dis ibuição da Ene gia
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
12345678910
ID
XII
XI
X
IX
VIII
VII
VI
V
IV
III
II
I
Figu a 7.26 – Compa icipação dos modos de ib ação na ene gia de de o mação ao longo do
empa elhamen o dos isocon o nos de uma mesma imagem. (sec. 7.2.3.1, pág. 260)
ANÁLISE DE MOVIMENTO DE CORPOS DEFORMÁVEIS USANDO VISÃO COMPUTACIONAL
22
Figu a 7.27 – Duas is as dos deslocamen os es imados pa a os con o nos de isoní el
de uma mesma imagem. (sec. 7.2.3.1, pág. 260)
Figu a 7.28 – Duas is as dos dez isocon o nos a conside a ao longo da sequência exemplo.
(sec. 7.2.3.2, pág. 261)
Dis ibuição da Ene gia
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
123456789
ID
XII
XI
X
IX
VIII
VII
VI
V
IV
III
II
I
Figu a 7.31 – Compa icipação dos modos de ib ação na ene gia de de o mação ao longo
da sequência de isocon o nos de ní el de b ilho médio. (sec. 7.2.3.2, pág. 263)
23
A1 – Capí ulo III _________________________________________________________________ 3
A2 – Capí ulo V __________________________________________________________________ 5
A3 – Capí ulo VI ________________________________________________________________ 10
A4 – Capí ulo VII _______________________________________________________________ 13