João Manuel R. S. Ta a es
Comunicação In e na:
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR
ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
FEUP - Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o
DEEC - Depa amen o de Engenha ia Elec o écnica e de Compu ado es
INEB - Ins i u o de Engenha ia Biomédica
Julho de 1998
Sumá io
Nes a comunicação é ap esen ado um mé odo de empa elhamen o modal, baseado em
p incípios ísicos, pa a o es abelecimen o de co espondências e pa a o cálculo de desc i o es
canónicos de o ma. O mé odo em po base a ideia de desc e e objec os em e mos de
sime ias gene alizadas u ilizando pa a al os modos p óp ios de cada objec o. A desc ição
modal esul an e é u ilizada pa a o econhecimen o de objec os e sua ca ac e ização; pa a al,
as simila idades en e duas o mas são exp essas em e mos do alo da ene gia de
de o mação necessá ia pa a as alinha . O empa elhamen o modal ambém pode se u ilizado
pa a a combinação linea de modelos segundo p incípios ísicos e, assim, sin e iza -se o mas
em e mos de uma combinação pesada de o mas p o ó ipos de o madas segundo os seus
modos. No ge al, modos o necem um o denamen o das de o mações de uma o ma do global
pa a o local e assim pe mi e a selecção dos ipos de de o mações a conside a no alinhamen o
e na compa ação de objec os.
Em con as e com ou as écnicas, as quais eque em que a co espondência seja
de e minada com uma o ma p o ó ipo inicial, o mé odo u iliza uma modelação po
in e médio de elemen os ini os axiais que pe mi e a de e minação dos modos p óp ios de
cada objec o di ec amen e a pa i dos seus dados pon uais.
Uma implemen ação da écnica p opos a oi po nós ealizada pa a uma pla a o ma PC em
ambien e MS WINDOWS 95/NT u ilizando o ambien e in eg ado de desen ol imen o MS
VISUAL C++ 5.0.
Também se ão ap esen ados os esul ados expe imen ais ob idos na de o mação modal de
o mas, de empa elhamen o de o mas, na es ima i a de deslocamen os pa a os dados que não
o am de idamen e empa elhados pela abo dagem modal, de de e minação da ans o mação
ígida exis en e e de medição da de o mação elás ica en ol ida.
Uma discussão sob e a in luência dos á ios pa âme os en ol idos no mé odo e dos ipos
das o mas em es udo se á ap esen ada no im des a comunicação.
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
1 - In odução
Um dos p oblemas p incipais da isão po compu ado é como de e se ealizada a desc ição
de ca ac e ís icas, con o nos, supe ícies e olumes de manei a a que possam se econhecidas
e empa elhadas de is a pa a is a. As p imei as di iculdades são: os desc i o es do objec o
são sensí eis ao uído, o objec o pode não se ígido, a apa ência de um objec o de o ma-se se
a geome ia u ilizada na cap ação dos seus dados o al e ada. Es es p oblemas mo i a am a
u ilização de modelos de o má eis pa a in e pola , sua iza e segmen a dados.
Modelos de o má eis, po si só, não incluem um mé odo pa a cálculo dos desc i o es
canónicos pa a econhecimen o ou pa a ob e a co espondência en e conjun os de dados.
Pa a esol e es e p oblema Scla o e Pen land, [Pen land, 1990, 1991a], desen ol e am um
mé odo pa a ep esen a o mas como de o mações canónicas a pa i de um objec o
p o ó ipo. Desc e endo a o ma do objec o em e mos dos alo es p óp ios da ma iz de
igidez do objec o p o ó ipo, é possí el ob e pa a a mesma uma desc ição obus a e o denada
pela equência. Além do mais, es es ec o es ou modos p óp ios são um mé odo in ui i o
pa a desc ição da o ma pois co espondem aos eixos de sime ia gene alizados do objec o.
Rep esen ando os objec os em e mos das de o mações modais, es e mé odo é obus o pa a o
modelamen o 3D, econhecimen o de objec os, e seguimen o 3D u ilizando pon os, con o nos,
dis âncias e luxo óp ico.
Con udo o mé odo de Scla o e Pen land ainda não esol e o p oblema da de e minação
da co espondência en e conjun os de dados ou en e dados e modelos. Tal é de ido à
imposição de cada objec o se necessa iamen e desc i o po de o mações a pa i de um único
objec o p o ó ipo. Tal impõe à p io i uma pa ame ização implíci a dos dados e assim
de e mina implici amen e a co espondência en e os dados e o p o ó ipo.
Pa a e i a a e e ida imposição Scla o , [Scla o , 1993, 1994, 1994a, 1994b, 1995,
1995a; Ta a es, 1998a], desen ol eu um mé odo com o qual é possí el ob e os in a ian es
modais de o ma di ec amen e a pa i dos dados. Tal pe mi e calcula desc i o es canónicos
obus os pa a o econhecimen o e pa a esol e p oblemas de co espondência en e dados de
qualque dimensão. No seu mé odo Scla o modeliza cada objec o po in e médio de um
elemen o ini o isopa amé ico1 e de e mina pa a es e as ma izes de massa, de igidez e dos
modos p óp ios de ib ação. Ob endo es as ma izes pa a cada um dos dois modelos, Scla o
ob ém os empa elhamen os a a és da simila idade dos deslocamen os de cada dado pon ual
em cada espaço modal; des a o ma, dados que ap esen am deslocamen os semelhan es nos
dois espaços modais são decla ados como co esponden es. Pa a de e mina os deslocamen os
dos dados não empa elhados po análise modal, Scla o u iliza um p ocesso de minimização
da ene gia de de o mação po mínimos quad ados segundo p incípios ísicos. Com es e
p ocedimen o, são es imados os deslocamen os pa a os dados não empa elhados de o ma a
se cong uen e com o p óp io objec o em análise e com as p op iedades do ma e ial i ual
u ilizado na modelização do mesmo. O alo de e minado pa a a ene gia de de o mação pode
se pos e io men e u ilizado como medida de simila idade en e os dois objec os em análise.
Com a desc ição modal u ilizada Scla o consegue desc e e as de o mações de o ma
pe ei amen e o denada do ní el global pa a o local a a és das equências de ib ação em
modo li e2.
Nes a comunicação é ap esen ado um p ocedimen o pa a ob e os empa elhamen os dos
dados pon uais que cons i uem dois objec os, es ima os deslocamen os dos dados não
1 Ve , po exemplo, [Ba he, 1996; Sege lind, 1984; Ta a es, 1998].
2 Ve , po exemplo, [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986].
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APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
empa elhados com êxi o e ob e uma medida de de o mação. Es e p ocedimen o é baseado no
u ilizado po Scla o ; no en an o, em ez de u iliza uma modelização po um único elemen o
ini o isopa amé ico u iliza uma modelização po elemen os ini os linea es do ipo axial3.
1.1 - A Ideia Base do Mé odo P opos o
Conside e-se o p oblema de dados dois conjun os de dados pon uais p e ende -se de e mina
se são ou não de dois objec os simila es. A abo dagem mais comum, pa a esol e es e
p oblema, é en a de e mina ca ac e ís icas locais dis in i as que possam se empa elhadas
com alguma con iança; al abo dagem alha quando exis e insu icien e in o mação local e
quando as condições de ob enção dos dados ou de de o mação al e a am signi ica i amen e a
apa ência das ca ac e ís icas locais u ilizadas.
Uma ou a abo dagem consis e em de e mina um e e encial de copo cen ado pa a cada
objec o e depois en a empa elha os dados pon uais. Desde que os dados es ejam desc i os
po coo denadas in ínsecas ou po coo denadas de co po cen ado, em ez de coo denadas
ca esianas, u ilizando a posição ela i a é ácil ob e a co espondência en e os dados dos
dois objec os.
Mui os mé odos pa a de e mina o e e encial de co po cen ado êm sido suge idos,
incluindo mé odos de momen os de iné cia, de de e minação das sime ias e desc i o es
pola es de Fou ie . Ge almen e es es mé odos ap esen am as seguin es di iculdades: e os de
amos agem, e os de pa ame ização e não unicidade. A g ande con ibuição do mé odo de
Scla o é a de de e mina um sis ema de e e ência local que e i a, em g ande pa e, es as
ês di iculdades.
E os de amos agem são dos ês os melho es comp eendidos. Toda a gen e en ol ida no
domínio da isão a i icial sabe que os dados obse ados e as suas localizações podem se
d as icamen e al e adas de is a pa a is a. A solução mais comum pa a es e ipo de p oblema
é a de apenas u iliza es a ís icas globais como momen os de iné cia; con udo, na melho das
hipó eses, ais mé odos o e ecem soluções acas ou pa ciais.
E os de pa ame ização são mais sub is. O p oblema oco e quando, po exemplo,
ajus a-se um conjun o de dados pon uais u ilizando-se uma es e a de o má el 3D o que
impõem um sis ema coo denado adial nos dados em ez de pe mi i que os mesmos dados
de e minem po si só um adequado sis ema de coo denadas. Consequen emen e a desc ição
esul an e é a ec ada o emen e, po exemplo, pelas dis o ções comp essi as e de co e
ípicas da pe spec i a. O ele ado núme o de a igos sob e sime ias dis o cidas é indica i o da
se iedade des e ipo de p oblema [Scla o , 1995, 1995a].
Não unicidade é um p oblema ób io pa a o econhecimen o e empa elhamen o mas que é
mui as ezes igno ado quando se p ocu a um qualque ipo de desc ição es á el. Vi ualmen e
odos os mé odos baseados em splines, em placas inas e em polinómios ap esen am es a
inabilidade pa a ob e desc ições canónicas; ge almen e es e p oblema é de ido ao ac o dos
pa âme os pa a as supe ícies conside adas se em de inidos de o ma a bi á ia e assim não
in a ian es há mudança de is a, oclusões e de o mações não ígidas.
A solução ap esen ada nes a comunicação é semelhan e à p opos a po Scla o , a menos
do p ocedimen o u ilizado na modelização, como an e io men e já oi e e ido, e pode se
decompos a em ês pa es:
1. É calculada uma desc ição da o ma que é obus a em elação há amos agem pela
u ilização de in e polação de Gale kin ma ema icamen e associada ao mé odo dos
3 Elemen os axiais são unicamen e capazes de supo a es o ços segundo a sua di ecção. Es e ipo de elemen os é mui o
u ilizado na modelização de es u u as do ipo eliça.
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APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
elemen os ini os4.
2. É u ilizada uma modelização po in e médio de elemen os ini os linea es do ipo
axial que pe mi e ob e a pa ame ização da o ma di ec amen e a pa i dos seus
dados.
3. De seguida são u ilizados os modos p óp ios des a desc ição da o ma pa a ob e -se
um sis ema de coo denadas canónico o ogonal e o denado pela equência. Es e
sis ema pode se enca ado como os eixos de sime ia gene alizados da o ma.
Com a desc ição da localização dos dados pon uais nes e sis ema de co po cen ado é ácil
empa elha dados co esponden es e medi a simila idade en e objec os di e en es. Tal
pe mi e o econhecimen o de objec os e de e mina se di e en es objec os são elacionados
po simples ans o mações ísicas.
Um diag ama do mé odo p opos o nes a comunicação es a ep esen ado na Figu a 1. Pa a
cada imagem, conside amos as localizações dos seus dados pon uais X=[X1Xm] e
u ilizam-se es es como nodos na cons ução pa a a o ma de um modelo de elemen os ini os
cons i uídos po um de e minado ma e ial i ual (po exemplo, bo acha).
De seguida são de e minados os modos p óp ios ( ec o es p óp ios) {φ}i do modelo de
elemen os ini os. Es es modos p opo cionam uma desc ição o ogonal, o denada pela
equência, da o ma e das suas de o mações na u ais. Tais ec o es são, po ezes,
designados po ec o es de o ma pa a cada modo [Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986] pois
desc e em como cada modo de o ma a o ma po al e ação das localizações o iginais dos
dados, po exemplo:
Xde o mado =X+a{φ}i
onde a é um escala .
Em p oblemas bidimensionais os ês p imei os modos são os modos de co po ígido da
anslação e da o ação, em p oblemas idimensionais são os seis p imei os modos, e os
es an es são os modos não ígidos [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986]. Es es
modos não ígidos são o denados po o dem c escen e da equência de ib ação; no ge al,
modos de baixa equência desc e em de o mações globais enquan o modos de ele ada
equência desc e em mais as de o mações localizadas. Es e o denamen o do global pa a o
local é bas an e ú il na compa ação e empa elhamen o de o mas.
Os modos p óp ios ambém o mam um sis ema de coo denadas o ogonal e cen ado no
objec o pa a desc ição da localização dos dados pon uais. Is o é, a localização de cada dado
pon ual pode se desc i a de o ma única em e mos de como se mo e segundo cada modo
p óp io. A ans o mação en e as localizações no sis ema ca esiano e no sis ema modal é
conseguida pela u ilização dos ec o es p óp ios do modelo ini o como uma base
coo denada. Na écnica u ilizada e inicialmen e p opos a po Scla o , [Scla o , 1993, 1994,
1884a, 1994b, 1995, 1995a; Ta a es, 1998a ], dois g upos de dados são compa ados nes e
espaço p óp io. A ideia impo an e é que os modos de baixa o dem pa a dois objec os
simila es i ão se bas an e idên icos mesmo na p esença de de o mações a ins5, de o mações
não ígidas, pe u bações locais da o ma ou de uído.
U ilizando es a p op iedade, co espondência en e dados é de e minada po
4 Técnica s anda d de engenha ia pa a simula o compo amen o dinâmico de um objec o. Ve , po exemplo, [Ba he, 1996;
Sege lind, 1984; Ta a es, 1998].
5 Ve , po exemplo, [Folley 1991; Hall, 1993; Ta a es, 1995].
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APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
empa elhamen o modal. Assim a co espondência en e duas o mas pode se de e minada po
compa ação das suas ajec ó ias no espaço modal. Dados cujo o empa elhamen o ap esen a
um ele ado g au de con iança são ob idos po es e p ocesso, os deslocamen os dos es an es
se ão es imados pela u ilização do modelo ísico como uma es ição de sua ização.
Finalmen e de e minada a co espondência en e mui os dos dados pon uais que
cons i uem dois objec os pode-se medi as suas di e enças de o ma. Como o p ocesso modal
decompõe as de o mações num conjun o o ogonal pode-se medi selec i amen e as
di e enças de co po ígido, ou de o mações do ipo p ojec i a de baixa o dem, ou
de o mações que são p incipalmen e locais. Consequen emen e pode-se econhece objec os
numa manei a lexí el e ge al.
[M]{U
¨}+[K]{U}={R}
de e minação das ma izes de massa e
de igidez pa a o modelo de elemen os
ini os linea es do ipo axial
[K]{φ}i=ωi
2[M]{φ}i
esolução do p oblema de
alo es/ ec o es p óp ios gene alizado
[K]{φ}i=ωi
2[M]{φ}i
esolução do p oblema de
alo es/ ec o es p óp ios gene alizado
empa elha os modos {
φ
}i não
igidos de baixa o dem de
ambas as o mas
u iliza os modos {
φ
}i
empa elhados como sis ema de
coo denadas
Saída: co espondência
en e dados
En ada: dados conside ados como nodos da modelização
De e minação dos modos p óp ios
Cons ução do modelo ísico
[M]{U
¨}+[K]{U}={R}
de e minação das ma izes de massa e
de igidez pa a o modelo de elemen os
ini os linea es do ipo axial
Figu a 1 - Diag ama do mé odo p opos o nes a comunicação.
Al e na i amen e dadas as co espondências pode-se alinha ou des o ce uma o ma numa
ou a. Tal alinhamen o é ú il na usão de dados ob idos po senso es di e en es, ou pa a a
compa ação de dados ob idos em ins an es de empo dis in os ou sob e condições di e en es.
Também é ú il em compu ação g á ica em que a e e ida dis o ção de uma o ma numa ou a
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APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
é designada po mo phing6.
Em esumo podemos a i ma que a écnica modal inicialmen e desen ol ida po Scla o
o e ece ês an agens sob e ou as écnicas exis en es. P imei a, pode se u ilizada
au oma icamen e pa a iden i ica e e ique a co esponden es dados en e duas o mas; de al
o ma, pode se possí el, sem in e enção de um u ilizado , alinha , compa a e ealiza
mo phing en e as duas. Segunda, a ep esen ação modal ob ida pe mi e a sepa ação de
di e en es ipos de de o mação. Po úl ima, os pa âme os de de o mação co espondem
quali a i amen e aos e e idos como u ilizados pelos humanos e, des a o ma, podem se
u ilizados pa a animação e pa a busca em bases de dados [Scla o , 1995].
Além do mais, de e-se e em con a que a ep esen ação modal é supo ada pelas eo ias
de endidas po biólogos en ol idos no es udo da mo ologia dos esquele os e das o mas dos
animais segundo as quais as o mas de espécies di e en es es ão elacionadas en e si po
de o mações [Scla o , 1995]. Es udos ecen es ambém u ilizam as de o mações modais pa a
a desc ição do c escimen o de ó gãos de animais e no egis o en e ó gãos do mesmo ipo
[Ma in, 1998; Syn, 1995, 1995a].
Quando o núme o de dados a e em con a é mui o ele ado a ob enção dos modos p óp ios
pode se um p ocesso bas an e cus oso em e mos compu acionais; con udo, pa a uma classe
pa icula de o mas simila es os modos podem se p ede e minados e gene alizados
[Pen land, 1990, 1991a]. Em alguns casos, pa a opologias do ipo ubo e es e a, Nas a em
[Nas a , 1994a] demons a que os modos de de o mação podem se de e minados
anali icamen e.
Nes a comunicação se á ap esen ada seguidamen e uma in odução b e e ao mé odo dos
elemen os ini os; no pon o seguin e, se á ap esen ada a de e minação das ma izes pa a um
elemen o ini o 2D do ipo axial; após es a ap esen ação, é desc i a de o ma in odu ó ia a
análise modal; seguidamen e é desc i o o p ocedimen o pa a a de e minação das
co espondências; no sex o pon o é desc i a a abo dagem pa a de e mina o alinhamen o de
dois objec os, pa a a sua compa ação e pa a a desc ição; alguns esul ados expe imen ais
ob idos, po uma implemen ação do mé odo p opos o, pa a a de o mação modal de um
objec o, de e minação dos empa elhamen os, es ima i a dos deslocamen os po minimização
da ene gia de de o mação pa a os dados não empa elhados com êxi o e pa a a de e minação
da ene gia de de o mação se ão ap esen ados no sé imo pon o; inalmen e, no oi a o e úl imo
pon o, se ão ap esen adas algumas conclusões e pe spec i as de desen ol imen os u u os.
2 - In odução ao Mé odo dos Elemen os Fini os
O aumen o da complexidade das es u u as e da capacidade dos compu ado es a o eceu o
apa ecimen o de no os mé odos de análise nomeadamen e o mé odo dos elemen os ini os.
Após es a u ilização inicial, em p oblemas de elas icidade [Ba he, 1996; Gomes, 1995; Ma ins,
a; Sege lind, 1984; Oli ei a, 1990], a mesma oi se apidamen e es endendo a ou os domínios
como o da ans e ência de calo e da mecânica dos luidos [Ba he, 1996; Sege lind, 1984], do
elec omagne ismo, das ib ações mecânicas e acús icas [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch,
1986], da isão po compu ado 7, da compu ação g á ica [Essa, 1992; Pen land, 1989;
6 Ve , po exemplo, [Folley 1991].
7 Desde a p imei a u ilização do mé odo dos elemen os ini os po Pen land em 1989, [Pen land, 1989], no domínio da isão
po compu ado que a mesma em indo a gene aliza -se às suas di e en es á eas; nomeadamen e:
• na análise de mo imen o 2D e 3D ígido e não ígido [Benayoun, 1994, 1994a; Coo es, 1995; Nas a , 1994, 1994a;
Pen land, 1991; Scla o , 1994a];
5
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Pen land, 1989a], da ealidade i ual (nomeadamen e em simulações ci ú gicas [B o-Nielsen,
1996; Kee e, 1996]), e c. O objec i o do mé odo é a ob enção de uma o mulação que possa
explo a a análise, de o ma au omá ica, de sis emas complexos, e/ou i egula es, po
in e médio de p og amas compu acionais. Pa a a ingi al objec i o, o mé odo conside a o
sis ema global como equi alen e a um ag upamen o de elemen os ini os no qual cada um
des es é uma es u u a con ínua mais simples. Impondo que em ce os pon os comuns a á ios
elemen os, designados po nodos ou nós, os deslocamen os sejam compa í eis e as o ças
in e nas em equilib o o sis ema global, esul an e do ag upamen o, eage como uma única
en idade.
Apesa do mé odo dos elemen os ini os conside a os elemen os indi iduais como
con ínuos é, na sua essência, um p ocedimen o de disc e ização pois exp ime os
deslocamen os (e a pa i des es po di e enciação as de o mações e, no caso de
compo amen o linea u ilizando-se a lei de Hooke8, a pa i des as as ensões) em qualque
pon o do elemen o con ínuo em e mos de um núme o ini o de deslocamen os nos pon os
nodais mul iplicados po unções de in e polação9 ap op iadas. A an agem do mé odo é que a
equação de mo imen o pa a o sis ema global pode se ob ida pelo ag upamen o das equações
de e minadas indi idualmen e pa a cada elemen o ini o u ilizado na modelização. O
mo imen o em qualque pon o no in e io de cada um des es elemen os é ob ido po
in e médio de in e polação sendo, ge almen e, as unções de in e polação polinómios de g au
eduzido e iguais pa a elemen os do mesmo ipo.
Uma ou a an agem do mé odo dos elemen os ini os é a acilidade com que a sua
gene alização pode se conseguida pa a a esolução de p oblemas bidimensionais e
idimensionais cons i uídos po á ios ma e iais di e en es e com on ei as i egula es.
Os passos essenciais de uma solução numé ica pelo mé odo dos elemen os ini os são os
seguin es:
1. Subdi isão do sis ema global con ínuo em elemen os ini os;
2. Pa a cada elemen o ini o m cálculo da ma iz de igidez [K(m)] e, pa a p oblemas
dinâmicos, da ma iz de massa [M(m)] e da ma iz de amo ecimen o dependen e da
elocidade [C(m)] ela i amen e a um e e encial local con enien e;
3. De e minação pa a o sis ema global da ma iz de igidez [K] e, pa a p oblemas
dinâmicos, da ma iz de massa [M] e da ma iz de amo ecimen o dependen e da
elocidade [C] po ag upamen o das ma izes de cada elemen o ini o u ilizado na
modelização exp essas ela i amen e a um mesmo sis ema de e e ência global;
• na ob enção de es u u as 2D e 3D [Cohen, 1991; Kakadia is, 1997; Pen land, 1991];
• na análise de aces [Essa, 1995];
• na análise de objec os de o má eis 2D e 3D [McIne mey, 1996; Pa k, 1996; Pen land, 1990; Pen land, 1991a];
• ep esen ação de imagens 2D e 3D [Moulin, 1992];
• egis o de imagens e modelos 2D e 3D [Syn, 1995a];
• desc ição de objec os 2D e 3D [Syn, 1995; Scla o , 1993, 1994, 1994b, 1995, 1995a].
8 Ve , po exemplo, [Timoshenko, 1970].
9 Também designadas po unções de o ma.
6
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
4. De e minação do ec o das ca gas aplicadas ao sis ema global {R};
5. Es abelecimen o das equações de mo imen o pa a o sis ema global
[M]{U
¨}+[C]{U
}+[K]{U}={R};
6. Cálculo das a iá eis do p oblema em ques ão; ais como: deslocamen os,
elocidades, de o mações e ensões.
O mé odo dos elemen os ini os ap esen a di e sas o mulações possí eis. Em p oblemas
es á icos, po exemplo no caso da análise es u u al, é comum de i a -se a ma iz de igidez
u ilizando-se a abo dagem di ec a que consis e no elacionamen o do ec o dos
deslocamen os nodais com o ec o das o ças nodais. Tal abo dagem ap esen a algumas
di iculdades em p oblemas dinâmicos, ais como na análise de ib ações, sendo p e e í el
nes e ipo de p oblemas ob e -se pa a cada elemen o indi idual a de i ação das ma izes de
elemen os ini os de igidez, de massa e do ec o das o ças não conse a i as nodais a pa i
espec i amen e da ene gia ciné ica, da ene gia po encial e da exp essão dos abalhos
i uais10; es a abo dagem é ge almen e designada po abo dagem a iacional.
No e-se que o mé odo dos elemen os ini os não dá, em p incípio, soluções exac as. No
en an o à medida que usamos mais e mais elemen os na modelização a solução ob ida de e
con e gi pa a a solução exac a.
2.1 - Fo mulação do Mé odo dos Elemen os Fini os
Nes e pon o são de i adas as equações que go e nam o mé odo dos elemen os ini os. Em
p imei o luga conside emos um co po idimensional ge al, Figu a 2.
No mé odo dos elemen os ini os o co po em ques ão, Figu a 2, é ap oximado pela
conside ação que o mesmo é equi alen e a um conjun o de elemen os ini os disc e os
ag upados, de o ma adequada, pelos pon os nodais, ambém designados po nodos ou nós,
localizados nas on ei as dos mesmos. Os deslocamen os e e enciados num sis ema de
coo denadas local (x,y,z), a se escolhido de o ma con enien e, no in e io de cada elemen o
são assumidos como sendo unção dos deslocamen os dos N nodos do mesmo. Des e modo,
pa a o elemen o m emos:
{u(m)}(x,y,z)=[N(m)](x,y,z){U
∧}
Eq. 1
onde [N(m)] é a ma iz das unções de o ma, po ezes ambém designada po ma iz de
in e polação dos deslocamen os, o índice m signi ica elemen o m, e {U
∧} é o ec o dos
deslocamen os globais dos pon os nodais com ês componen es Ui, Vi e Wi, incluindo os
deslocamen os nos supo es do conjun o ag upado; po exemplo {U
∧} é um ec o de
dimensão 3N:
{U
∧}T=[U1V1W1U2V2W2UNVNWN].
10 Ve , po exemplo, [Ba he, 1996; Ta a es, 1998; Timoshenko, 1982].
7
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
A é es e momen o conside ou-se que cada elemen o indi idual ap esen a nodos li es; is o
é, nodos que podem so e deslocamen os sem nenhum ipo de es ições. A implicação é que
o sis ema global não es á es ingido e pode so e mo imen os ígidos e, des a o ma, a
ma iz [K] o na-se singula . Con udo mui os sis emas são supo ados de o ma a impedi
mo imen os ígidos, o que é e lec ido nas condições da on ei a geomé ica. Ou os
sis emas, designados po inde e minados, são supo ados de manei a que os deslocamen os
são nulos num núme o de pon os supe io ao eque ido pa a impedi o mo imen o ígido.
Um manei a simples de esol e o p oblema no qual a ma iz [K] é singula e o sis ema é
supo ado de al manei a que um ce o núme o de deslocamen os nodais são nulos é elimina
das ma izes [M], [C], [K] e {F} o co esponden e núme o de linhas e colunas que es ão
associadas aos nodos es ingidos.
Em esumo uma análise comple a de um sis ema pelo mé odo dos elemen os ini os
consis e no cálculo da ma iz de igidez [K], e das ma izes de massa [M] e de
amo ecimen o [C] numa análise dinâmica, e do ec o das ca gas {R}, esol endo pa a os
deslocamen os {U} a pa i da Eq. 6 (ou {U}, {U
}, {U
¨} a pa i da Eq. 13 ou da Eq. 15), e
de seguida de e mina as de o mações e as ensões u ilizando espec i amen e a Eq. 2 e a Eq.
3.
2.1.1 - G aus de Libe dade Locais e Globais
A de i ação das ma izes dos elemen os pe mi e conclui que é mais ácil e con enien e
es abelece em p imei o luga as ma izes co esponden es aos g aus de libe dade locais do
elemen o. A cons ução das ma izes do elemen o ini o que co espondem aos g aus de
libe dade do sis ema global (ou seja, aos g aus de libe dade globais), u ilizados na Eq. 8 a é à
Eq. 14, podem pos e io men e se ob idas di ec amen e pela iden i icação dos g aus de
libe dade globais que co espondem aos g aus de libe dade locais do mesmo. Con udo
conside ando as ma izes [N(m)], [B(m)], [K(m)], e po aí adian e, de inidas ela i amen e aos
g aus de libe dade globais apenas as linhas e colunas que co espondem aos g aus de
libe dade do elemen o êm en adas não nulas, e o objec i o p incipal na de inição des as
ma izes especí icas oi apenas o de se possí el exp imi o p ocesso de ag upamen o das
ma izes dos elemen os de uma manei a eo icamen e elegan e. Em implemen ações p á icas,
do mé odo dos elemen os ini os, es a elegância ambém es a p esen e; con udo, odas as
ma izes dos elemen os são calculadas co espondendo apenas aos g aus de libe dade de cada
elemen o e pos e io men e são ag upadas di ec amen e u ilizando a co espondência en e os
g aus de libe dade locais do mesmo e os g aus de libe dade globais do conjun o ag upado.
Assim conside ando apenas os g aus de libe dade locais dos nodos do elemen o incluídos no
ec o {u
∧} podemos esc e e :
{u}=[N]{u
∧}
Eq. 16
onde as en adas no ec o {u} são os deslocamen os do elemen o medidos num qualque
sis ema de coo denadas local. A segui ambém emos:
{
ε
}=[B]{u
∧}.
Eq. 17
14

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Conside ando as elações na Eq. 16 e na Eq. 17 o ac o de nenhum índice supe io se
u ilizado nas ma izes de in e polação indica que as ma izes são de inidas ela i amen e aos
g aus de libe dade locais do elemen o em ques ão. U ilizando as elações pa a as ma izes do
elemen o de igidez, de massa, e os cálculos an e io men e u ilizados pa a o ec o de ca ga,
ob emos:
[K]=⌡
⎮
⌠
V
[B]T[C][B]dV
Eq. 18
[M]=⌡
⎮
⌠
V
ρ
[N]T[N]dV,
Eq. 19
{RB}=⌡
⎮
⌠
V
[N]T{ B}dV,
Eq. 20
{RS}=⌡
⎮
⌠
S
[NS]T{ B}dS,
Eq. 21
{RI}=⌡
⎮
⌠
V
[B]T{
σ
I}dV,
Eq. 22
onde odas as a iá eis são de inidas como na Eq. 8 a é à Eq. 14, mas co espondendo aos
g aus de libe dade locais do elemen o ini o conside ado. Desde que as ma izes dadas na Eq.
18 a é à Eq. 22 es ejam calculadas, podem se ag upadas di ec amen e, pelo p ocesso desc i o
an e io men e, de e minando-se assim as ma izes pa a o sis ema global.
Nes e p ocesso de ag upamen o é assumido que as di ecções dos deslocamen os nodais do
elemen o {u
∧} na Eq. 16 são as mesmas das di ecções dos deslocamen os nodais globais {U}.
Con udo, ge almen e é con enien e começa a de i ação das ma izes e dos ec o es
ela i amen e aos g aus de libe dade locais do elemen o {u
˜} que não necessa iamen e
alinhados com os g aus de libe dade globais do sis ema ag upado {u
∧}. Nes e caso emos:
{u}=[N
˜]{u
˜}
Eq. 23
e
{u
˜}=[T]{u
∧}
Eq. 24
onde a ma iz [T] ans o ma os g aus de libe dade {u
∧} nos g aus de libe dade {u
˜} e a Eq.
24 co esponde a uma ans o mação de enso de p imei a o dem; as en adas na coluna j da
15
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
ma iz [T] são os co-senos de di ecção de um ec o uni á io co espondendo ao g au de
libe dade j do ec o {u
∧} quando medido segundo as di ecções dos g aus de libe dade {u
˜}.
Subs i uindo a Eq. 24 na Eq. 23, ob emos:
[N]=[N
˜][T].
Eq. 25
Assim, iden i icando odas as ma izes de elemen os ini os co espondendo aos g aus de
libe dade {u
∧} com um ˜ sob e os mesmos, ob emos a pa i da Eq. 25 e da Eq. 18 a é à Eq.
22:
[K]=[T]T[K
˜][T]; [M]=[T]T[M
˜][T];
{RB}=[T]T{RB
˜}; {RS}=[T]T{RS
˜}; {RI}=[T]T{RI
˜}.
De emos no a que es as ans o mações ambém são u ilizadas quando são impos os
deslocamen os na on ei a que não co espondem aos g aus de libe dade globais do sis ema.
3 - Ma izes pa a um Elemen o Fini o 2D do ipo Axial
U ilizando-se a abo dagem a iacional, [Mei o i ch, 1986], as ma izes de igidez e de massa
e o ec o de o ças nodais equi alen es podem se ob idos a a és das exp essões em e mos
de coo denadas nodais, espec i amen e, pa a a ene gia po encial, pa a a ene gia ciné ica e
pa a o abalho i ual.
O deslocamen o axial do sis ema de segunda o dem da Figu a 3 pode se esc i o com a
o ma:
u(x, )=N1(x)u1( )+N2(x)u2( )={N(x)}T{u
^( )}
onde {N(x)} é o ec o de dimensão dois das unções de o ma, com o índice a indica qual o
nodo com que cada unção de o ma es á associada, e {u
^( )} é o co esponden e ec o de
deslocamen os nodais. De e-se no a que es a equação apenas é álida no in e io do
elemen o em ques ão e não é aplicá el o a des e.
x
l
x
m, E, A
u(x, )
1( ) 2( )
u1( )u2( )
Figu a 3 - Elemen o axial.
A ene gia ciné ica pa a um elemen o ini o m do ipo axial é simplesmen e:
T( )=1
2⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
m(x)⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
∂u(x, )
∂
2
dx =1
2⌡
⎮
⌠
0
l
m(x){u
^( )}T{N(x)}{N(x)}T{u
^( )}dx
16
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
=1
2{u
^( )}T[M(m)]{u
^( )}
onde:
[M(m)]=⌡
⎮
⌠
0
l
m(x){N(x)}{N(x)}Tdx
é a ma iz (2×2) simé ica de massa pa a o elemen o m e m(x) a massa em x.
Da mesma o ma, a ene gia po encial é:
V( )=1
2⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
EA(x)⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
∂u(x, )
∂x
2
dx =1
2⌡
⎮
⌠
0
l
EA(x){u
^( )}T{N′(x)}{N′(x)}T{u
^( )}dx
=1
2{u
^( )}T[K(m)]{u
^( )}
onde:
[K(m)]=⌡
⎮
⌠
0
l
EA(x){N′(x)}{N′(x)}Tdx
é a ma iz (2×2) simé ica de igidez pa a o elemen o, E é o módulo de elas icidade, A(x) a
á ea da secção em x e {N′(x)}=d
dx{N(x)}.
Pa a de i a o ec o de o ças nodais, u iliza-se a exp essão pa a o abalho i ual.
Assumindo que o elemen o é sujei o à o ça axial dis ibuída não conse a i a14 (x, ) pode-se
ob e :
δ
W( )=⌡
⎮
⌠
0
l
(x, )
δ
u(x, )dx =⌡
⎮
⌠
0
l
(x, ){N(x)}T{
δ
u
^(x, )}dx ={ ( )}T{
δ
u
^( )}
onde:
{ ( )}=⌡
⎮
⌠
0
l
(x, ){N(x)}dx é o ec o de o ças nodais não conse a i as.
Eq. 26
U ilizando pa a o elemen o ini o do ipo axial de massa m as unções de o ma
polinomiais de g au um: N1(x)=1−x
l e N2(x)=x
l, ep esen adas na Figu a 4, ob emos a ma iz
de massa:
14 De e-se no a que o ças concen adas podem se ans o madas em o ças dis ibuídas po in e médio da unção espacial
del a de Di ac; po exemplo, a o ça P( ) concen ada no pon o x=l/3 pode se exp essa na o ma dis ibuída como
(x, )=P( )
δ
(x−l/3) onde
δ
(x−l/3) é a unção espacial del a de Di ac.
17
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
[M(m)]=m
⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1−x
l
x
l⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1−x
l
x
l
T
dx =m
⌡
⎮
⎮
⎮
⌠
0
l
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
1−x
l
2
⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
1−x
l
x
l
⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
1−x
l
x
l⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
x
l
2dx =ml
6⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
21
12;
is o é, pa a um elemen o ini o axial de secção cons an e com á ea A e de ma e ial com
densidade
ρ
:
[M(m)]=
ρ
Al2
6⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
21
12.
N1(x)N2(x)
11
x
x
ll
Figu a 4 - Funções de o ma polinomiais de g au um pa a um elemen o do ipo axial.
Pa a se de e mina a ma iz de igidez do elemen o é necessá io {N′(x)}:
{N′(x)}=d
dx{N(x)}=d
dx⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1−x
l
x
l
=1
l⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
−1
1.
Des e modo, ob emos a ma iz de igidez pa a o elemen o de igidez axial EA cons an e:
[K(m)]=EA
l2⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
−1
1⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
−1
1
T
dx =EA
l⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤1−1
−11
.
Finalmen e, pa a se de e mina o ec o de o ças nodais pa a a o ça dis ibuída
(x, )=a+bx u iliza-se a Eq. 26 e ob emos:
{ ( )}=
⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
(a+bx)
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1−x
l
x
l
dx =
⌡
⎮
⎮
⌠
0
l
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
a+⎝
⎜
⎛⎠
⎟
⎞
b−a
lx−b
lx2
a
lx+b
lx2
dx =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1
2al +1
6bl2
1
2al +1
3bl2
.
18
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
3.1 - De e minação das Ma izes no Sis ema Global
De aco do com o mé odo dos elemen os ini os o sis ema global é compos o po elemen os
disc e os que de e ão se ag upados. As componen es dos deslocamen os nos nodos em cada
elemen o são especi icados segundo as di ecções que melho se adap am ao mesmo. No caso
de um elemen o axial com os seus nodos designados po a e b, Figu a 5, é con enien e
especi ica as componen es pa a os deslocamen os em cada um dos nodos de manei a que
uma componen e seja segundo a di ecção axial x e a ou a lhe seja o ogonal. As componen es
dos deslocamen os nos nodos a e b ao longo des es eixos são designados na Figu a 5,
espec i amen e, po u1, u2 e u3, u4.
u2
a
b
α
u4u3
u1
x
y
x¯
y¯
u¯1
u¯2
u¯3
u¯4
Figu a 5 - Sis emas de e e ência pa a um elemen o axial.
Como ge almen e os elemen os indi iduais são pa e de um sis ema mais complexo, e
p o a elmen e êm o ien ações di e en es, o na-se ób io que exp imi os deslocamen os num
sis ema de coo denadas pa icula a cada elemen o (sendo, um al sis ema, designado po
sis ema de coo denadas locais) pode c ia di iculdades no empa elhamen o dos deslocamen os
em cada nodo. Po es a azão, o na-se an ajoso abalha com as componen es dos
deslocamen os num único sis ema de coo denadas, enquan o se man ém a an agem de
iden i ica as componen es dos deslocamen os em cada elemen o segundo as di ecções que
lhe são mais con enien es. Assim, p e ende-se escolhe um único sis ema de e e ência global
(x¯, y¯) e deno a as componen es dos deslocamen os ao longo des as di ecções em a po u¯1 e
u¯2 e em b po u¯3 e u¯4. En ão, uma simples ans o mação de coo denadas15 pe mi e exp imi
as componen es dos deslocamen os de um elemen o pa icula ao longo do sis ema de
e e ência global (x¯, y¯) a pa i das componen es ao longo do seu sis ema de coo denadas
local (x,y) e ice e sa. Pa a se ob e al ans o mação de coo denadas, u iliza-se a ma iz
dos co-senos di ec o es:
[ ]=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
xx
¯ xy
¯
yx
¯ yy
¯
onde xx
¯ ep esen a o co-seno do ângulo en e os eixos x e x¯, e c. Es a ma iz pe mi e esc e e
a ans o mação de coo denadas do sis ema global pa a o local:
15 Ve , po exemplo, [Foley, 1991; Hall, 1993; Ta a es, 1995].
19

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
x
y=[ ]⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x¯
y¯
e a ans o mação do sis ema local pa a o global:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
x¯
y¯=[ ]T
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
x
y.
A mesma ans o mação de coo denadas pode se aplicada às componen es dos
deslocamen os, ob endo-se:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u1
u2
=[ ]
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u¯1
u¯2
,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u3
u4
=[ ]
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u¯3
u¯4
e ⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u¯1
u¯2
=[ ]T
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u1
u2
,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u¯3
u¯4
=[ ]T
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
u3
u4
.
As equações an e io es podem se combinadas de o ma à ans o mação se aplicada ao
elemen o como um odo ob endo-se:
{u}=[T]{u¯}
Eq. 27
e
{u¯}=[T]T{u}
onde {u} e {u¯} são os ec o es coluna dos deslocamen os nodais com componen es
espec i amen e u1, u2, u3, u4 e u¯1, u¯2, u¯3, u¯4, e a ma iz de ans o mação [T] é de inida
como:
[T]=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
[ ][0]
[0][ ].
Ob iamen e, que exis em di e en es ma izes de ans o mação [T] pa a di e en es elemen os;
a menos que, alguns sejam do mesmo ipo e enham a mesma o ien ação. De e se no ado que
a ma iz [T] é o ono mal e, assim, [T]−1=[T]T, pois [ ] ep esen a uma ans o mação en e
dois sis emas de eixos o ogonais.
No caso da Figu a 5, sis ema plano com z≡z¯, a ma iz dos co-senos di ec o es é:
[ ]=⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤cos
α
−sin
α
sin
α
cos
α
.
Pa a ans o ma as ma izes de igidez e de massa e o ec o de o ças nodais do sis ema
de e e ência local pa a o global, e ice e sa, u iliza-se, no amen e, a ma iz de
ans o mação geomé ica [T]. Pa a se ob e al ans o mação, de e-se no a que a ene gia
ciné ica e a ene gia po encial podem se eesc i as na o ma de um p odu o ma icial iplo:
T=1
2{u
( )}T[M(m)]{u
( )} e V=1
2{u( )}T[K(m)]{u( )},
20
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
enquan o o abalho i ual em a exp essão
δ
W={
δ
u}T{ }. Mas, se as componen es dos
deslocamen os locais e globais es ão elacionadas po Eq. 27 en ão as componen es locais e
globais das elocidades es ão elacionadas po {u
( )}[T]{u

¯} e os co esponden es
deslocamen os i uais po :
{
δ
u}=[T]{
δ
u¯}
Eq. 28
Assim, u ilizando es as elações, pode-se ob e :
T=1
2{u

¯}T[T]T[M(m)][T]{u

¯}=1
2{u

¯}T[M(m)]{u

¯}
onde [M(m)]=[T]T[M(m)][T] é a ma iz de massa pa a o elemen o em e mos do sis ema de
coo denadas global (x¯, y¯). Da mesma o ma, pode-se esc e e a ene gia po encial como:
V=1
2{u¯}T[T]T[K(m)][T]{u¯}=1
2{u¯}T[K(m)]{u¯}
onde [K(m)]=[T]T[K(m)][T] é a ma iz de igidez pa a o elemen o em e mos do sis ema de
coo denadas global (x¯, y¯). No e-se que [M(m)] e [K(m)] são ma izes simé icas pois
[M(m)] e [K(m)] ambém o são. Finalmen e, inse indo a elação da Eq. 28 na exp essão do
abalho i ual ob emos:
δ
W={
δ
u¯}T[T]T{ }{
δ
u¯}T{
¯}
onde {
¯}=[T]T{ } é o ec o de o ças nodais em e mos do sis ema de coo denadas global
(x¯, y¯).
As ma izes de massa e de igidez e o ec o de o ças nodais exp essas em e mos do
sis ema de e e ência global podem se u ilizadas na esc i a das equações do mo imen o do
elemen o indi idual ela i amen e ao mesmo sis ema. Con udo se o objec i o inal é a esc i a
das equações do mo imen o do sis ema global é en ão necessá io p ocede ao ag upamen o
das ma izes de massa e de igidez e do ec o de o ças nodais de cada elemen o que
cons i ui al sis ema.
3.2 - Ag upamen o
A essência do mé odo dos elemen os ini os é conside a o sis ema global como a soma de
elemen os indi iduais. Pa a es a soma, ou ag upamen o, dos elemen os indi iduais ep esen a
adequadamen e o sis ema global de e exis i compa ibilidade geomé ica nos nodos dos
elemen os; po exemplo, os deslocamen os nos nodos pa ilhados po á ios elemen os de em
se iguais pa a cada um des es. Do mesmo modo, as co esponden es o ças nodais de em se
es a icamen e equi alen es às o ças aplicadas. De e-se no a que os deslocamen os podem
inclui o ações e as o ças inclui biná ios.
Assumindo que o sis ema global consis e em L elemen os e que es es são iden i icados
pelo índice m (m=1,2,…,L) en ão, conside ando um elemen o m, o ec o nodal de
21
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
deslocamen os é designado po {u(m)}, o de o ças po { (m)}, a ma iz de massa po [M(m)]
e a de igidez po [K(m)] (onde odas as quan idades e e em-se a es e elemen o e es ão
exp essas no sis ema de coo denadas global). De seguida, assumindo que o sis ema em um
o al de N g aus de libe dade, N deslocamen os uj (j=1, 2, …,N), designa-se o ec o dos N
deslocamen os nodais no sis ema global po {U}. Pa a se execu ado o p ocesso de
ag upamen o, de ine-se pa a o elemen o m um ec o de deslocamen os nodais expandido
{U(m)}e ob ido a pa i da adição ao ec o {u(m)} de componen es com alo nulo de o ma
que a dimensão do ec o {U(m)}e seja igual a N. Da mesma manei a, de ine-se o ec o de
o ças nodais expandido {F(m)}e com N componen es; assim como, as ma izes (N×N) de
massa [M(m)]e e de igidez [K(m)]e expandidas ob idas a pa i das espec i as quan idades
pa a o elemen o e adicionando o necessá io núme o de ze os.
As equações de mo imen o pa a o sis ema global podem se ob idas po um p ocesso de
ag upamen o que consiga exp imi a ene gia ciné ica, a ene gia po encial e o abalho i ual
em e mos da con ibuição dos elemen os indi iduais u ilizados na modelização. Assim, a
ene gia ciné ica pode se esc i a com a o ma:
T( )=1
2∑
m=1
L{u
(m)}T[M(m)]{u
(m)}=1
2∑
m=1
L{U
}e
T[M(m)]e{U
}e=1
2{U
}T[M]{U
}
onde
[M]=∑
m=1
L[M(m)]e
é a ma iz simé ica de massa pa a o sis ema global que é ob ida simplesmen e pela adição das
ma izes de massa expandidas dos elemen os que cons i uem al sis ema. Da mesma o ma, a
ene gia po encial é esc i a como:
V( )=1
2∑
m=1
L{u(m)}T[K(m)]e{u(m)}=1
2∑
m=1
L{U(m)}e
T[K(m)]e{U(m)}e=1
2{U}T[K]{U}
onde [K]=∑
m=1
L[K(m)]e é a ma iz simé ica de igidez pa a o sis ema global.
Também o abalho i ual pode se esc i o com a o ma:
δ
W=∑
m=1
L{ (m)}T{
δ
u(m)}=∑
m=1
L{F(m)}e
T{
δ
U(m)}e={F}T{
δ
U}
onde {F}=∑
m=1
L{F(m)}e é o ec o de o ças nodais não conse a i as pa a o sis ema global.
U ilizando as ma izes de massa e de igidez e os ec o es de o ças nodais não
conse a i as e dos deslocamen os nodais do sis ema global é possí el, desp ezando o e ei o
de amo ecimen o que e en ualmen e possa exis i , esc e e as equações de mo imen o de
Lag ange pa a o mesmo com a seguin e o ma ma icial:
[M]{U
¨}+[K]{U}={F}
22
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
onde o ec o {F} ep esen a o ec o das o ças nodais não conse a i as.
Ob iamen e que as ma izes de massa e de igidez e o ec o de o ças nodais pa a o
sis ema global podem se de e minados sem a u ilização das ma izes e dos ec o es
expandidos de cada elemen o indi idual e, des a o ma, diminui as exigências de memó ia
exigidas pelo p og ama compu acional se o p ocesso de ag upamen o começa po
ans o ma as ma izes e o ec o de cada elemen o do sis ema de coo denadas local no
sis ema de coo denadas global e soma a con ibuição de cada um nas células das ma izes e
do ec o global co esponden es aos g aus de libe dade associados.
4 - Análise Modal
O sis ema de equações do equilíb io dinâmico do modelo de elemen os ini os, Eq. 15, pode
se desacoplado impondo as equações numa base de inida pelos ec o es p óp ios de
[M]−1[K] o ono mais à ma iz de massa [M]. Es es ec o es p óp ios e os espec i os
alo es p óp ios são a solução ({φ}i,ωi
2) do p oblema de alo es p óp ios gene alizado
[Ba he, 1996; Chap a, 1988; P ess, 1992]:
[K]{φ}i=ωi
2[M]{φ}i.
Eq. 29
O ec o {φ}i é designado po ec o de o ma pa a o modo i e ωi é a co esponden e
equência de ib ação [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1979].
Os ec o es de o ma podem se in e p e ados como uma desc ição dos eixos não linea es
gene alizados de sime ia do objec o. A Eq. 29 pode se esc i a como:
[K][Φ]=[M][Φ][Ω]
onde
[Φ]=[{φ}1{φ}m]=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
{u}1
T

{u}m
T
{ }1
T

{ }m
T
e [Ω]=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
ω1
2

ωm
2
.
Como já oi e e ido, cada ec o de o ma {φ}i é o ono mal em elação à ma iz de massa
[M], is o signi ica que:
[Φ]T[K][Φ]=[Ω] e [Φ]T[M][Φ]=[I].
Eqs. 30
Es a ans o mação de coo denadas gene alizada [Φ] é en ão u ilizada pa a ans o ma os
23
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
ob endo-se:
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
[Φ]−1
conhecida [0]
[I]⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
{U}conhecido
{0}=
⎣
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎤
[I]
[0]
[Φ]−1
não conhecida
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
{U
˜}não conhecido
{U}não conhecido
.
As ampli udes dos modos p e endidas podem se ob idas di ec amen e po in e são da
ma iz do lado di ei o des a equação. No e-se que com es e p ocedimen o ob e e-se
no amen e uma solução pa a de e mina as ampli udes não conhecidas mas oi assumido que
os deslocamen os modais {u
˜}i são nulos pa a i>p
Adicionando uma es ição de minimização da ene gia de de o mação pode-se e i a as
conside ações u ilizados nos duas soluções an e io es, [Scla o , 1993, 1994, 1994a, 1995,
1995a]. A ene gia de de o mação pode se ob ida di ec amen e a pa i dos deslocamen os
modais e engloba uma penalidade p opo cional ao quad ado da equência de cada nodo:
Es=1
2{U
˜}T[Ω]{U
˜}.
Eq. 34
Como idealmen e os modos de co po ígido não in oduzem de o mação é lógico que as suas
equências sejam p a icamen e nulas.
Fo mulando uma solução po mínimos quad á icos es ingida, na qual se minimiza o e o
de alinhamen o que inclua o e mo da ene gia de de o mação, ob emos:
E=⎣
⎡⎦
⎤
{U}−[Φ]{U
˜}

e o de ajus e
quad á ico
+λ{U
˜}T[Ω]{U
˜}

ene gia de
de o mação
Eq. 35
onde λ é o pa âme o de Lamé pa a o ma e ial conside ado: λ= υE
(1+υ)(1 −2υ).
Di e enciando a Eq. 35 em elação ao ec o dos pa âme os modais esul a a equação de
minimização da de o mação po mínimos quad á icos:
{U
˜}=⎣
⎡⎦
⎤
[Φ]T[Φ]+λ[Ω]
−1
[Φ]T{U}.
Des a o ma pode-se explo a as ca ac e ís icas do modelo ísico u ilizado de o ma a inclui
ce as es ições geomé icas numa solução pelo mé odo dos mínimos quad ados. A medida
da ene gia de de o mação pe mi e a inco po ação de algum p é io conhecimen o há ce ca do
es icamen o admissí el pa a a o ma, quan a es a é esis en e à comp essão, e c. U ilizando
es e conhecimen o ex a pode-se p e e os deslocamen os azoá eis que os nodos não
empa elhados de e ão e .
Como o algo i mo pa a a de e minação dos empa elhamen os calcula o g au de ce eza
pa a os empa elhamen os ob idos pode-se ambém u iliza es a in o mação di ec amen e na
ase de alinhamen o. Tal é ob ido po inclusão de uma ma iz diagonal [W] pa a os pesos:
30

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
{U
˜}=⎣
⎡⎦
⎤
[Φ]T[W]2[Φ]+λ[Ω]
−1
[Φ]T[W]2{U}.
Os elemen os da ma iz [W] são in e samen e p opo cionais à medida de a inidade pa a o
empa elhamen o do espec i o nodo: wi=1/(1 +zi). O ec o dos deslocamen os nodais {U}
é de e minado a a és dos empa elhamen os ob idos, Eq. 32; conside ando-se pa a os nodos
não empa elhados as espec i as en adas na ma iz [W] nulas18.
Es e p ocedimen o de minimização da ene gia de de o mação é idên ico ao u ilizado no
domínio dos con o nos ac i os: o modelo ísico é u ilizado como es ição de sua ização
[Cohen, 1991; Kass, 1988; Scla o , 1995].
6.2 - Solução Dinâmica: Mo phing
No pon o an e io o am desc i os mé odos pa a de e mina os deslocamen os modais que
de o mam di ec amen e e alinham dois conjun os de dados. Também é possí el esol e o
p oblema de alinhamen o po simulação ísica in eg ando no empo as equações do elemen o
ini o a é se a ingi um equilíb io. Nes e caso, de e mina-se as de o mações em cada ins an e
de empo a a és da equação dinâmica de equilíb io dada pela Eq. 31. Realizando al
de e minação calcula-se as de o mações in e médias numa manei a consis en e com as
p op iedades do ma e ial u ilizado na o mulação do modelo. As de o mações in e médias
ambém podem se u ilizadas pa a mo phing segundo p incípios ísicos.
Quando se esol e a equação dinâmica u ilizam-se dados de uma o ma pa a exe ce o ças
que os ans o mem nos dados da ou a o ma. As ca gas dinâmicas {R( )} nos nodos dos
modelos de elemen os ini os são assim p opo cionais às dis âncias en e nodos
empa elhados:
{ ( +∆ )}i={ ( )}i+k{{X1}i+{u( )}i−{X2}i}
Eq. 36
onde k é uma cons an e global de igidez e {u( )}i é o deslocamen o nodal no ins an e
an e io de empo. Es as o ças simulam o ças a puxa os nodos e ão diminuindo a é que
es es es ejam pe ei amen e ajus ados.
O equilíb io dinâmico modal pode se desc i o po um sis ema de 2m, ou 3m pa a
p oblemas idimensionais, equações independen es com a seguin e o ma:
{u
˜
¨( )}i+d
˜i{u
˜
( )}i+ωi
2{u
˜( )}i={
˜( )}i
onde {
˜( )}i são as espec i as componen es do ec o de ca ga ans o mado:
{R
˜( )}=[Φ]T{R( )}.
Es as equações independen es de equilíb io podem se esol idas po um p ocedimen o de
in eg ação numé ica i e a i a (po exemplo, pelo mé odo de Newma k [Ba he, 1996]). O
sis ema é in eg ado em en e no empo a é a di e ença na ca ga se in e io a um dado limia
δ:
18 Po ezes na p á ica e i ica-se melho es esul ados se o deslocamen o nodal e a a inidade de empa elhamen o o em
ob idos com o melho nodo da o ma 2 candida o ao empa elhamen o.
31
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
⏐⏐{R( +∆ )}−{R( )}⏐⏐2<δ2.
As ca gas { ( )}i são ac ualizadas em cada ins an e de empo conside ado a a és da Eq. 36.
6.3 - Na P esença de Ro ações Ele adas
Se a o ação necessá ia pa a alinha os dois conjun os de dados é po encialmen e ele ada
en ão, an es de se de e mina as de o mações modais, é necessá io ealiza em p imei o luga
um alinhamen o inicial. O ien ação, posicionamen o e, se desejado, escalonamen o podem se
de e minados u ilizando-se um algo i mo baseado em qua e nions e p opos o po Ho n,
[Ho n, 1987; Scla o , 1995;Ta a es, 1997].
U ilizando-se apenas as co espondências de e minadas pa a alguns nodos empa elhados
com uma ele ada ce eza (no e-se que empa elhamen os ob idos com ce ezas ele adas êm
alo es eduzidos na ma iz de a inidade [Z]) a ans o mação de co po ígido pode se
de e minada di ec amen e. Os pa âme os adicionais esul an es pa a es e alinhamen o p é io
são:
• ec o de posição: {p}0;
• qua e nion uni á io de inindo a o ien ação: {q};
• ac o de escala: s;
• cen oides dos dois conjun os: {c}1 e {c}2.
Como es a o ien ação inicial é calculada u ilizando-se apenas as co espondências com
ce eza ele ada ge almen e ob êm-se boas es ima i as pa a es es pa âme os da ans o mação
de co po ígido.
Os objec os podem ago a se alinhados a a és da de e minação das de o mações modais
{U
˜} como p e iamen e oi desc i o. Como an e io men e, são calculadas as ca gas i uais
que de o mam os dados de um conjun o nos dados do ou o conjun o com os quais o am
de idamen e empa elhados. Como oi in oduzida mais uma o ação, uma anslação, e um
escalonamen o a Eq. 32 de e se modi icada de o ma a aduzi a dis ância en e os dados no
co ec o sis ema de coo denadas:
{u}i=⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
1
s[R]T{{X2}i−{p}0−{c}1}+{c}1−{X1}i
onde [R] é a ma iz de o ação ob ida a pa i do qua e nion uni á io {q}.
Com es e p ocedimen o inicial de alinhamen o essencialmen e eduz-se as o ças i uais
en e nodos co esponden es; a equação da mola conside a es a edução da o ça pela
ans o mação do nodo empa elhado {X2}i no sis ema de coo denadas local do elemen o. As
ampli udes modais {U
˜} são en ão de e minadas pela mul iplicação das ma izes na Eq. 33 ou
po esolução do sis ema dinâmico da Eq. 31.
Os deslocamen os modais es ão assim de inidos num espaço odado e escalado; como
esul ado, de e-se ac ualiza os deslocamen os na equação de in e polação:
{u(X)}=s[R][N][Φ]{U
˜}.
32
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
6.4 - Compa ação de Objec os
Desde que as ampli udes dos modos enham sido de e minadas pode-se calcula a ene gia de
de o mação u ilizando es as de o mações na Eq. 34. Es a ene gia pode se u ilizada como
medida de simila idade. Em ce os casos ambém pode se desejá el compa a a ene gia de
de o mação num subconjun o de modos, conside ados como impo an es na medição da
simila idade, ou en ão a ene gia associada a cada modo. A ene gia de de o mação associada
ao modo i é simplesmen e:
ESi=1
2u
∧
i
2ωi
2.
Como a ene gia de de o mação associada a cada modo é escalada pela sua equência de
ib ação, exis e uma penalidade ine en e pa a as de o mações que oco em nos modos de
mais al as equências.
Em ez de se conside a a ene gia de de o mação necessá ia pa a alinha duas o mas pode
se desejá el compa a di ec amen e as ampli udes modais sem a necessidade da
de e minação p é ia da co espondência en e os seus dados. Nes e caso de e mina-se em
p imei o as duas desc ições modais {U
˜}1 e {U
˜}2, e depois u iliza-se uma qualque dis ância
mé ica pa a medi a dis ância en e os dois desc i o es modais. Tal suge e um espaço
coo denado al e na i o pa a desc ição das dis âncias en e o mas: o espaço de simila idade
modal. Assim nes e espaço a simila idade de o ma é p opo cional à dis ância Euclidiana.
Se é p e endida uma unção de dis ância mé ica, en ão es a medida simples de ene gia
necessi a de se modi icada: a de o mação não sa is az um dos ês axiomas pa a um espaço
mé ico:
•Exis ência de mínimo: δ(A,B)≥δ(A,A)=0.
•Sime ia: δ(A,B)=δ(B,A).
•Desigualdade iangula : δ(A,B)+δ(B,C)≥δ(A,C).
Enquan o sa is az a exis ência de mínimo e a desigualdade iangula a ene gia de
de o mação não sa is az a sime ia. A ene gia de de o mação não é simé ica pa a o mas com
amanhos di e en es; po exemplo, se a escala de dois objec os A e B di e e, en ão a ene gia de
necessá ia pa a alinha A com B pode se di e en e da necessá ia pa a alinha B com A. A
di e ença na de o mação se á in e samen e p opo cional há di e ença das escalas dos objec os
ao quad ado. Des e modo, quando se compa am objec os com di e en es escalas de e-se
di idi a ene gia de de o mação pela á ea da o ma. Quando um mapa de supo e é conhecido
es a á ea pode se de e minada di ec amen e. No caso de supo e in ini o a á ea dos dados
pode se ap oximada pelo cálculo do mínimo cí culo que os engloba ou dos seus momen os.
Exis e uma p op iedade adicional que p o a a u ilidade da de inição de um espaço mé ico,
a adição segmen ada:
δ(A,B)+δ(B,C)=δ(A,C),
se B es a na on ei a en e A e C.
Pa a sa is aze a adição segmen ada podemos conside a a aiz quad ada da ene gia de
de o mação:
33
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
δ=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
1
2a∑
i
u
∧
i
2ωi
2
1
2
,
onde a é a á ea da o ma. Tal esul a numa dis ância mé ica pesada não di e en e da dis ância
de Mahalanobis19 [Scla o , 1995]: as ampli udes modais são desag egadas, cada qual endo
uma “in a iância” que é in e samen e p opo cional ao alo p óp io do modo. Como
esul ado, pode se u ilizada como pa e de um esquema e olu i o de egula ização no qual a
ma iz de co a iância inicial [Ω] é ac ualizada i e a i amen e de o ma a inco po a as
co a iâncias dos pa âme os modais obse ados; po exemplo, il agem de Kalman20 ou
análise das componen es p incipais21. U ilizando-se a análise da componen es p incipais
pode-se desc e e uma classe dos modos p óp ios de uma o ma a pa i de um conjun o de
eino. U ilizando um modelo modal como uma es ima i a inicial, pode-se de seguida
ap ende i e a i amen e os “ e dadei os” modos po ia de uma análise ecu si a das
componen es p incipais. Como esul ado, ob e -se-á um esquema egula izado de
ap endizagem no qual a ma iz inicial de co a iância é ac ualizada i e a i amen e de o ma a
inco po a as co a iâncias pa a os pa âme os modais obse ados.
7 - Resul ados Expe imen ais
Nes e pon o se ão ap esen ados alguns esul ados expe imen ais ob idos po uma
implemen ação po nós ealizada do mé odo p opos o nes a comunicação.
Em p imei o luga se á analisada a desc ição modal de alguns con o nos. Ve i ica-se a
in luência do núme o de modos u ilizados na desc ição, o ipo de in luência que os modos de
al a e de baixa equência êm sob e a mesma desc ição, a in luência da á ea da secção
adop ada pa a os elemen os ini os e a in luência dos pa âme os do ma e ial i ual adop ado
pa a os mesmos.
Em segundo luga se ão ap esen ados alguns esul ados ob idos pa a o empa elhamen o
dos pixels que cons i uem dois con o nos, pa a a de e minação da ans o mação ígida
exis en e, pa a a ob enção dos deslocamen os nodais po minimização da ene gia de
de o mação e pa a o cálculo do alo des a ene gia. A in luência do núme o de modos
u ilizados se á de idamen e analisada.
Po úl imo se ão ap esen adas algumas conclusões ob idas após a aplicação do mé odo
p opos o em á ias expe iências po nós ealizadas.
7.1 - Análise Modal do Modelo Fini o
Na Figu a 9 es a ep esen ado um con o no22 cons i uído po cinco pixels pa a o qual se ão
ap esen ados alguns esul ados ob idos po análise modal do modelo de elemen os ini os de
p opos o. Os pixels que cons i uem es e con o no es ão ligados po in e médio de segmen os
de ec a na Figu a 10 e as suas coo denadas es ão indicadas na Figu a 11.
19 Ve , po exemplo, [Ta a es, 1995].
20 Ve , po exemplo, [Maybeck, 1979; Ta a es, 1995].
21 Ve , po exemplo, [Coo es, 1993, 1993a, 1994, 1995; Ma in, 1998; Nas a , 1996].
22 A o ma des e con o no é pu amen e a bi á ia e em como único objec i o demons a o mé odo p opos o e analisa a
in luência dos pa âme os do mesmo. Ou os con o nos o am de idamen e u ilizados em á ias expe iências ealizadas e
os esul ados ob idos es ão e lec idos nas conclusões ap esen adas.
34
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 9 - Con o no a analisa .
Figu a 10 - Pixels do con o no a
analisa ligados po segmen os
de ec a.
(116, 81)
(102, 100)
(88, 155)
(157, 134)
(154, 94)
Figu a 11 - Coo denadas dos
pixels do con o no a analisa .
Conside ando bo acha como o ma e ial u ilizado na modelação (modulo de elas icidade
igual a 2.43 N/mm2, coe icien e de Poisson igual a 0.45 e densidade igual a 0.00000112
Kg/mm3) e á ea pa a os elemen os ini os igual a 10, ob emos pa a cada modo de ib ação os
con o nos ep esen ados na Figu a 12, ..., Figu a 21. Nes as igu as ambém es á
ep esen ado o con o no o iginal.
Na Figu a 22 e na Figu a 23 es ão ep esen ados o con o no o iginal e o ob ido
conside ando a soma dos ês p imei os modos de ib ação e o ob ido conside ando a soma
dos es an es modos. O con o no o iginal e o ob ido conside ando a soma de odos os modos
de ib ação es ão ep esen ados na Figu a 24. Os esul ados ob idos pela implemen ação
es ão desc i os na Figu a 25 e é possí el e i ica -se as ma izes de massa e de igidez do
modelo de elemen os ini os, as suas equências de ib ação, os seus ec o es de o ma e as
ampli udes des es.
Analisando os esul ados ob idos e i ica-se que os p imei os modos de ib ação são
modos ígidos sendo a de o mação po eles impos a mais global que a impos a pelos modos
de equência ele ada que são mais localizadas e assemelhando-se a uído.
Figu a 12 - 1º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 13 - 2º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 14 - 3º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 15 - 4º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Conside ando no amen e bo acha mas, des a ez, a á ea igual a 50, o con o no o iginal e
o ob ido conside ando apenas cada modo de ib ação es ão ep esen ados na Figu a 26, ...,
Figu a 35. Na Figu a 36 e na Figu a 37 es ão ep esen ados o con o no o iginal e o ob ido
conside ando a soma dos ês p imei os modos de ib ação e o ob ido conside ando a soma
dos es an es modos. O con o no o iginal e o ob ido conside ando a soma de odos os modos
de ib ação es ão ep esen ados na Figu a 38. Os esul ados ob idos pela implemen ação
es ão desc i os na Figu a 39.
Analisando os esul ados ob idos e i ica-se que o con o no, como se ia de espe a , o nou-
-se mais ígido. Os elemen os da ma iz de massa e da ma iz de igidez são, em e mos
absolu os, mais ele ados, as equências de ib ação man i e am-se p a icamen e inal e adas
e as ampli udes dos ec o es de o ma diminuí am.
35

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 16 - 5º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 17 - 6º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 18 - 7º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 19 - 8º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 20 - 9º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 21 - 10º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 10.
Figu a 22 - Soma do 1º,
2º e 3º modo de ib ação
pa a bo acha e á ea
igual a 10.
Figu a 23 - Soma do 4º,
5º, 6º, 7º, 8º, 9º e 10º
modo de ib ação pa a
bo acha e á ea igual a
10.
Figu a 24 - Soma dos modos de ib ação
pa a bo acha e á ea igual a 10.
Conside ando a á ea dos elemen os ini os igual a 10 mas densidade igual à do aço
(0.00000779 Kg/mm3), o con o no o iginal e o ob ido conside ando apenas cada modo de
ib ação es ão ep esen ados na Figu a 40, ..., Figu a 49. Na Figu a 50 e na Figu a 51 es ão
ep esen ados o con o no o iginal e o ob ido conside ando a soma dos ês p imei os modos
de ib ação e o ob ido conside ando os es an es modos. O con o no o iginal e o ob ido
conside ando a soma de odos os modos de ib ação es ão ep esen ados na Figu a 52. Os
esul ados ob idos pela implemen ação es ão desc i os na Figu a 53.
Analisando os esul ados ap esen ados pode-se conclui que o con o no o nou-se mais
ígido. Os alo es dos elemen os da ma iz de massa aumen a am em e mos absolu os, a
ma iz de massa man e e os alo es dos seus elemen os p a icamen e inal e ados, os alo es
ob idos pa a as equências de ib ação diminuí am e as ampli udes dos modos p óp ios de
ib ação ambém diminuí am.
36
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Resul s o Modal Analysis wi h he model o 2D Axial Elemen s in es ea
Wi h:
Elemen s a ea: 10.000000.
Ma e ial densi y: 0.000001.
Young modulus: 2.430000.
Scale pixel/uni s used: 1.000000.
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.008101 +0.001040 +0.000000 +0.000000 +0.003011 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.001040 +0.014105 +0.006013 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.006013 +0.031446 +0.009710 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.009710 +0.025428 +0.003003 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000
+0.003011 +0.000000 +0.000000 +0.003003 +0.012029 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.008101 +0.001040 +0.000000 +0.000000 +0.003011
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.001040 +0.014105 +0.006013 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.006013 +0.031446 +0.009710 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.009710 +0.025428 +0.003003
+0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.003011 +0.000000 +0.000000 +0.003003 +0.012029
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.903963 -0.362309 +0.000000 +0.000000 -0.541654 -0.306403 +0.491706 +0.000000 +0.000000 -0.185303
-0.362309 +0.388363 -0.026054 +0.000000 +0.000000 +0.491706 -0.594061 +0.102355 +0.000000 +0.000000
+0.000000 -0.026054 +0.334408 -0.308354 +0.000000 +0.000000 +0.102355 -0.196202 +0.093847 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.308354 +0.311742 -0.003389 +0.000000 +0.000000 +0.093847 -0.048666 -0.045181
-0.541654 +0.000000 +0.000000 -0.003389 +0.545043 -0.185303 +0.000000 +0.000000 -0.045181 +0.230483
-0.306403 +0.491706 +0.000000 +0.000000 -0.185303 +0.730708 -0.667315 +0.000000 +0.000000 -0.063393
+0.491706 -0.594061 +0.102355 +0.000000 +0.000000 -0.667315 +1.069425 -0.402111 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.102355 -0.196202 +0.093847 +0.000000 +0.000000 -0.402111 +0.430673 -0.028562 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.093847 -0.048666 -0.045181 +0.000000 +0.000000 -0.028562 +0.630972 -0.602410
-0.185303 +0.000000 +0.000000 -0.045181 +0.230483 -0.063393 +0.000000 +0.000000 -0.602410 +0.665803
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-10) o (10):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +5.357001 +6.338869 +9.860687 +13.603291 +16.868631
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
-4.800135 -1.212475 +0.407677 +1.356126 +1.428083 +1.664278 -0.289407 +3.738709 -5.918449 -7.587340
-3.896332 +0.369794 +1.842431 -0.236893 -6.714792 -1.595722 +0.576472 +0.698482 -0.942558 +3.292331
+1.104172 +0.185612 +3.485560 -0.331635 +1.264865 +3.079996 -3.599489 -1.183178 +0.638281 -0.737107
+0.634796 +1.008707 +3.035770 +1.525571 +1.032415 -3.989603 +3.788857 +1.162467 -1.073965 -0.053716
-5.082501 -2.613436 +0.339328 -0.370316 +3.100183 +1.132072 +0.919519 -2.701278 +5.692909 +3.290072
-0.241406 -4.424132 -0.506940 -0.275321 +3.716958 -3.431846 -4.363561 -0.952367 -6.500257 +5.497728
+0.424554 -3.258249 +0.550248 -1.449125 -2.283055 -4.475138 -1.578874 -3.124365 +2.402458 -4.742042
+1.697410 -3.305132 +0.968499 -1.473241 -0.251870 +2.609591 +2.248400 +3.017726 -0.262582 +1.374091
+0.155174 -0.600675 -0.509382 +4.629010 -1.015637 +0.646295 +0.631712 -4.555876 -1.395081 -0.432391
+0.583971 -0.329014 -0.307149 +4.771201 -1.170719 -0.629523 -2.423012 +6.046635 +5.196368 -0.820481
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-10) o (1):
+8.316340
+7.146392
+5.185796
+7.280658
+8.994354
+8.451594
+7.837870
+10.080035
+12.121429
+11.629196
Figu a 25 - Resul ados ob idos pa a a análise modal do modelo de elemen os ini os pa a bo acha e á ea igual
a 10.
37
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 26 - 1º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 27 - 2º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 28 - 3º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 29 - 4º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 30 - 5º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 31 - 6º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 32 - 7º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 33 - 8º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 34 - 9º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 35 - 10º modo de
ib ação pa a bo acha e
á ea igual a 50.
Figu a 36 - Soma do 1º,
2º e 3º modo de ib ação
pa a bo acha e á ea
igual a 50.
Figu a 37 - Soma do 4º,
5º, 6º, 7º, 8º, 9º e 10º
modo de ib ação pa a
bo acha e á ea igual a
50.
Figu a 38 - Soma dos modos de ib ação
pa a bo acha e á ea igual a 50.
38
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Resul s o Modal Analysis wi h he model o 2D Axial Elemen s in es ea
Wi h:
Elemen s a ea: 50.000000.
Ma e ial densi y: 0.000001.
Young modulus: 2.430000.
Scale pixel/uni s used: 1.000000.
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.040507 +0.005199 +0.000000 +0.000000 +0.015055 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.005199 +0.070523 +0.030063 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.030063 +0.157229 +0.048552 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.048552 +0.127139 +0.015017 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000
+0.015055 +0.000000 +0.000000 +0.015017 +0.060144 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.040507 +0.005199 +0.000000 +0.000000 +0.015055
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.005199 +0.070523 +0.030063 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.030063 +0.157229 +0.048552 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.048552 +0.127139 +0.015017
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.015055 +0.000000 +0.000000 +0.015017 +0.060144
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+4.519817 -1.811547 +0.000000 +0.000000 -2.708270 -1.532014 +2.458528 +0.000000 +0.000000 -0.926513
-1.811547 +1.941817 -0.130271 +0.000000 +0.000000 +2.458528 -2.970305 +0.511777 +0.000000 +0.000000
+0.000000 -0.130271 +1.672038 -1.541768 +0.000000 +0.000000 +0.511777 -0.981011 +0.469234 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -1.541768 +1.558710 -0.016943 +0.000000 +0.000000 +0.469234 -0.243330 -0.225904
-2.708270 +0.000000 +0.000000 -0.016943 +2.725213 -0.926513 +0.000000 +0.000000 -0.225904 +1.152417
-1.532014 +2.458528 +0.000000 +0.000000 -0.926513 +3.653539 -3.336573 +0.000000 +0.000000 -0.316965
+2.458528 -2.970305 +0.511777 +0.000000 +0.000000 -3.336573 +5.347127 -2.010553 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.511777 -0.981011 +0.469234 +0.000000 +0.000000 -2.010553 +2.153363 -0.142810 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.469234 -0.243330 -0.225904 +0.000000 +0.000000 -0.142810 +3.154860 -3.012050
-0.926513 +0.000000 +0.000000 -0.225904 +1.152417 -0.316965 +0.000000 +0.000000 -3.012050 +3.329015
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-10) o (10):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +5.357001 +6.338869 +9.860687 +13.603291 +16.868631
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+1.795415 -0.604073 -1.239994 -0.746627 +0.166619 -0.744288 +0.129427 -1.672001 +2.646811 +3.393162
+1.000607 -0.637661 -0.721405 +0.982470 -3.142921 +0.713629 -0.257806 -0.312371 +0.421525 -1.472375
-0.616075 -1.509337 +0.231140 +0.207441 +0.518098 -1.377416 +1.609740 +0.529133 -0.285448 +0.329644
+0.100517 -1.273262 +0.316406 +0.765546 +0.698891 +1.784205 -1.694428 -0.519871 +0.480292 +0.024022
+1.363463 -0.772205 -1.598648 -1.808387 +0.473057 -0.506278 -0.411221 +1.208048 -2.545946 -1.471365
+0.299882 -0.292646 +0.301047 -2.322113 +1.047640 +1.534768 +1.951444 +0.425912 +2.907003 -2.458659
-0.285766 -0.317395 +0.683166 -1.048041 -1.390969 +2.001343 +0.706094 +1.397259 -1.074412 +2.120706
-0.697285 -0.539276 +0.925632 -1.245322 -0.459073 -1.167045 -1.005515 -1.349568 +0.117430 -0.614512
+1.657232 +0.236398 +1.205791 +0.588450 +0.134961 -0.289032 -0.282510 +2.037450 +0.623899 +0.193371
+1.562511 +0.198818 +1.349421 +0.781495 +0.151898 +0.281531 +1.083604 -2.704137 -2.323887 +0.366930
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-10) o (1):
+3.509853
+2.416552
+3.075099
+3.797431
+3.764406
+3.779668
+3.505202
+4.507929
+5.420868
+5.200735
Figu a 39 - Resul ados ob idos pa a a análise modal do modelo de elemen os ini os pa a bo acha e á ea igual
a 50.
39
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Resul s o Modal Analysis wi h he model o 2D Axial Elemen s in es ea
Wi h:
Elemen s a ea: 10.000000.
Ma e ial densi y: 0.000008.
Young modulus: 200000.000000.
Scale pixel/uni s used: 1.000000.
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.056348 +0.007232 +0.000000 +0.000000 +0.020942 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000
+0.007232 +0.098102 +0.041819 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.041819 +0.218717 +0.067539 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.067539 +0.176859 +0.020890 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000
+0.020942 +0.000000 +0.000000 +0.020890 +0.083665 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000
-0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 +0.056348 +0.007232 +0.000000 +0.000000 +0.020942
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.007232 +0.098102 +0.041819 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.041819 +0.218717 +0.067539 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.067539 +0.176859 +0.020890
-0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 +0.020942 +0.000000 +0.000000 +0.020890 +0.083665
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+74400.272434 -29819.700297 +0.000000 +0.000000 -44580.572137 -25218.344898 +40469.593260 +0.000000 +0.000000 -15251.248363
-29819.700297 +31964.071566 -2144.371269 +0.000000 +0.000000 +40469.593260 -48893.908960 +8424.315700 +0.000000 +0.000000
+0.000000 -2144.371269 +27523.263137 -25378.891868 +0.000000 +0.000000 +8424.315700 -16148.326269 +7724.010569 +0.000000
+0.000000 +0.000000 -25378.891868 +25657.785398 -278.893530 +0.000000 +0.000000 +7724.010569 -4005.430171 -3718.580397
-44580.572137 +0.000000 +0.000000 -278.893530 +44859.465666 -15251.248363 +0.000000 +0.000000 -3718.580397 +18969.828760
-25218.344898 +40469.593260 +0.000000 +0.000000 -15251.248363 +60140.551759 -54923.019424 +0.000000 +0.000000 -5217.532335
+40469.593260 -48893.908960 +8424.315700 +0.000000 +0.000000 -54923.019424 +88018.545389 -33095.525964 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +8424.315700 -16148.326269 +7724.010569 +0.000000 +0.000000 -33095.525964 +35446.311790 -2350.785825 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +7724.010569 -4005.430171 -3718.580397 +0.000000 +0.000000 -2350.785825 +51931.857790 -49581.071965
-15251.248363 +0.000000 +0.000000 -3718.580397 +18969.828760 -5217.532335 +0.000000 +0.000000 -49581.071965 +54798.604299
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-10) o (10):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000003 +0.000017 +582.738696 +689.547113 +1072.653187 +1479.776527 +1834.982779
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+1.224341 -0.697583 -1.368115 +0.411143 +0.281453 +0.631053 -0.109736 +1.417627 -2.244131 -2.876934
+0.304912 +1.394292 -0.846664 +0.086361 +2.533712 -0.605059 +0.218584 +0.264847 -0.357395 +1.248371
-0.410579 -0.028300 -0.525098 -1.245053 -0.421361 +1.167859 -1.364838 -0.448632 +0.242020 -0.279493
-0.514104 +0.252141 -0.958806 -0.648689 -0.590854 -1.512760 +1.436642 +0.440779 -0.407221 -0.020368
+1.691371 -1.460183 -1.042189 -0.045928 +0.181375 +0.429254 +0.348659 -1.024259 +2.158612 +1.247515
+1.592923 -0.892674 +0.325727 -0.500824 -1.079566 -1.301272 -1.654556 -0.361114 -2.464738 +2.084604
+0.915449 +0.648707 +0.709954 -0.740138 +0.579993 -1.696863 -0.598670 -1.184683 +0.910953 -1.798066
+0.733324 +0.286593 +0.791807 -1.079043 -0.172208 +0.989493 +0.852538 +1.144248 -0.099565 +0.521022
+0.393170 +1.208040 -0.633233 +0.880437 -0.729112 +0.245059 +0.239530 -1.727477 -0.528981 -0.163952
+0.227759 +1.336464 -0.626979 +0.835230 -0.787029 -0.238700 -0.918747 +2.292736 +1.970336 -0.311106
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-10) o (1):
+3.000877
+3.028614
+2.626966
+2.363324
+3.121056
+3.204637
+2.971928
+3.822102
+4.596149
+4.409506
Figu a 82 - Resul ados ob idos pa a a análise modal do modelo de elemen os ini os pa a aço e á ea igual a 10.
46

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 83 - 1º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 84 - 2º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 85 - 3º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 86 - 4º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 87 - 5º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 88 - 6º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 89 - 7º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 90 - 8º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 91 - 9º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 92 - 10º modo de
ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 93 - Soma do 1º,
2º e 3º modo de ib ação
pa a bo acha, á ea
igual a 10 e odos os
pixels ligados.
Figu a 94 - Soma do 3º,
4º, 5º, 6º, 7º 8º, 9º e 10º
modo de ib ação pa a
bo acha, á ea igual a 10
e odos os pixels ligados.
Figu a 95 - Soma dos modos de ib ação pa a bo acha,
á ea igual a 10 e odos os pixels ligados.
47
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Resul s o Modal Analysis wi h he model o 2D Axial Elemen s in es ea
Wi h:
Elemen s a ea: 10.000000.
Ma e ial densi y: 0.000001.
Young modulus: 2.430000.
Scale pixel/uni s used: 1.000000.
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.048235 +0.001040 +0.011685 +0.008381 +0.003011 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.001040 +0.039943 +0.006013 +0.007805 +0.005115 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.011685 +0.006013 +0.084971 +0.009710 +0.015077 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.008381 +0.007805 +0.009710 +0.057799 +0.003003 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000
+0.003011 +0.005115 +0.015077 +0.003003 +0.052412 +0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.048235 +0.001040 +0.011685 +0.008381 +0.003011
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.001040 +0.039943 +0.006013 +0.007805 +0.005115
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.011685 +0.006013 +0.084971 +0.009710 +0.015077
+0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.008381 +0.007805 +0.009710 +0.057799 +0.003003
+0.000000 +0.000000 +0.000000 -0.000000 -0.000000 +0.003011 +0.005115 +0.015077 +0.003003 +0.052412
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+1.078198 -0.362309 -0.038465 -0.135770 -0.541654 -0.232551 +0.491706 +0.101656 -0.175508 -0.185303
-0.362309 +1.118393 -0.026054 -0.271901 -0.458128 +0.491706 -0.478837 +0.102355 -0.168084 +0.052861
-0.038465 -0.026054 +0.518693 -0.308354 -0.145821 +0.101656 +0.102355 -0.432632 +0.093847 +0.134774
-0.135770 -0.271901 -0.308354 +0.719414 -0.003389 -0.175508 -0.168084 +0.093847 +0.294926 -0.045181
-0.541654 -0.458128 -0.145821 -0.003389 +1.148991 -0.185303 +0.052861 +0.134774 -0.045181 +0.042849
-0.232551 +0.491706 +0.101656 -0.175508 -0.185303 +1.226247 -0.667315 -0.268663 -0.226876 -0.063393
+0.491706 -0.478837 +0.102355 -0.168084 +0.052861 -0.667315 +1.179431 -0.402111 -0.103907 -0.006099
+0.101656 +0.102355 -0.432632 +0.093847 +0.134774 -0.268663 -0.402111 +0.823899 -0.028562 -0.124564
-0.175508 -0.168084 +0.093847 +0.294926 -0.045181 -0.226876 -0.103907 -0.028562 +0.961755 -0.602410
-0.185303 +0.052861 +0.134774 -0.045181 +0.042849 -0.063393 -0.006099 -0.124564 -0.602410 +0.796466
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-10) o (10):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +3.114074 +4.126798 +4.448152 +4.760250 +5.748460 +6.698791 +7.918952
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-10x1-10) o (10x10):
+0.426356 +1.243161 -2.155346 -0.652254 +0.036431 +2.025979 +1.181078 -1.474880 -2.463972 +1.150671
+0.170899 +1.377888 -1.197657 +1.366783 +1.274617 -2.606310 +1.153626 -0.697874 -1.307912 -2.987942
-0.568585 +1.767887 +1.574602 -1.928909 -0.329999 -0.660730 -1.512837 +0.278698 -0.576719 -0.301672
-0.286237 +1.618979 +0.516104 +2.439579 -2.382743 +0.521245 -0.175639 -0.537020 +1.693978 +0.583065
+0.251569 +1.335343 -1.500085 -0.004536 +2.157745 +0.618103 +0.680194 +2.029559 +2.331208 +1.064205
+1.412994 +0.177853 +0.628046 +1.074565 +0.694114 +2.877913 -1.556833 +1.018626 -0.595145 -2.390083
+1.224762 +0.277126 +1.333712 +2.324541 +1.299385 -1.145420 -0.942223 +1.162816 -2.268726 +2.637712
+1.036530 +0.376398 +2.039378 -0.597441 +0.574094 +0.086682 +2.281070 -1.116889 +0.661514 +0.163427
+1.964245 -0.112874 -1.438547 -0.801468 +0.078043 -1.023825 -1.936713 -2.191953 +1.449005 +0.326575
+1.923910 -0.091601 -1.287332 -0.908010 -2.645824 -0.787079 +0.588516 +2.404345 -0.393702 -0.435688
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-10) o (1):
+3.579130
+3.353345
+4.597262
+4.510846
+4.644831
+4.822587
+4.256758
+4.622790
+4.961051
+4.980818
Figu a 96 - Resul ados ob idos pa a a análise modal do modelo de elemen os ini os pa a bo acha, á ea igual
a 10 e odos os pixels ligados en e si.
48
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
7.2 - Empa elhamen o, Deslocamen os Modais e Nodais, Ene gia de De o mação
Na Figu a 97 es á ep esen ado um con o no cons i uído po 36 pixels que se p e endem
empa elha com os pixels do con o no ep esen ado na Figu a 98. O con o no 2 oi ob ido a
pa i do con o no 1 a a és de uma ans o mação geomé ica cons i uída po uma o ação de
20º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x de 50 e segundo o eixo y de 10
pixels e um escalonamen o ela i amen e à o igem de 0.75. Na Figu a 99 é possí el obse a -
-se os con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem ligados po segmen os de ec a.
Figu a 97 - Con o no 1.
Figu a 98 - Con o no 2.
Figu a 99 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
Numa p imei a en a i a de empa elhamen o adop ou-se po bo acha pa a o ma e ial
i ual do modelo ini o, á ea dos elemen os ini os igual a 10, e conside a am-se odos os
modos de ib ação. Ob i e am-se empa elhamen os pa a 15 pixels e uma ans o mação
geomé ica23 do con o no 1 pa a o con o no 2 cons i uída po uma o ação de 24.44º em o no
da o igem, uma anslação segundo o eixo x de 56.49 e segundo o eixo y de 12.06 pixels e um
escalonamen o em elação à o igem de 0.73. Na Figu a 100 es ão ep esen ados24 os
empa elhamen os ob idos; na Figu a 101 os mesmos empa elhamen os após a aplicação25 ao
con o no 1 da o ação em o no da o igem e da anslação de e minadas, e na Figu a 102
es ão ep esen ados após a aplicação da ans o mação geomé ica de e minada. Nes as
igu as é possí el comp o a -se que alguns dos empa elhamen os ob idos es ão e ados; no
en an o a ans o mação ígida exis en e en e os dois con o nos é es imada de o ma
acei á el. O alo da ene gia de de o mação ob ido oi igual a 3.78e-5 e, após a aplicação da
ans o mação ígida de e minada, a 6.68e-7.
Conside ando-se apenas 25% dos modos de ib ação (18 modos) ob i emos 3
empa elhamen os odos e ados. Conside ando-se apenas 10% dos modos (7 modos)
ob i e am-se 5 empa elhamen os odos e ados. Conside ando-se os modos que se
di e enciassem de 1e-6 em e mos da sua equência de ib ação (36 modos) ob i emos 34
co ec os e uma ans o mação geomé ica do con o no 1 pa a o con o no 2 cons i uída po
uma o ação de 20.06º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x de 50.04 e
segundo o eixo y de 9.84 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 0.75. Na Figu a
103 es ão ep esen ados os empa elhamen os ob idos após a aplicação ao con o no 1 da
o ação em o no da o igem e da anslação de e minadas e na Figu a 104 após a aplicação ao
23 De e-se no a que exis em e os associados à ans o mação geomé ica de e minada de ido ao ac o de es a mos em
p esença de coo denadas disc e as. O mé odo u ilizado pa a a de e minação da ans o mação geomé ica en e os dois
con o nos es a desc i o em [Ho n, 1987; Ta a es, 1997].
24 Nas igu as de esul ados os pixels que cons i uem os con o nos apa ecem ligados po in e médio de segmen os de ec a de
o ma a acili a a análise das mesmas.
25 A ans o mação geomé ica é aplicada ao con o no 1 apenas pa a a sua ep esen ação nas igu as.
49
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
con o no 1 da ans o mação ígida de e minada. A ene gia de de o mação de e minada oi de
0.000144 e, após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, de 1.85e-6. Os
deslocamen os nodais ob idos pa a o con o no 1 po minimização da ene gia de de o mação
es ão ep esen ados26 na Figu a 105. Na Figu a 106 es ão ep esen ados os dois con o nos
após de e minação dos deslocamen os nodais pa a o con o no 1 po minimização da ene gia
de de o mação após se aplicada ao con o no 1 a ans o mação ígida de e minada.
Figu a 100 - Empa elhamen os
ob idos conside ando odos os
modos de ib ação.
Figu a 101 - … após aplicação ao
con o no 1 da o ação e da
anslação de e minadas.
Figu a 102 - … após aplicação ao
con o no 1 da ans o mação
geomé ica de e minada.
Figu a 103 - Empa elhamen os
ob idos conside ando os modos de
ib ação que di e enciassem en e
si de 1e-6 em equência, após
aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação
de e minadas.
Figu a 104 - ... após aplicação ao
con o no 1 da ans o mação
ígida de e minada.
Figu a 105 - Con o nos após a
aplicação dos deslocamen o nodais
pa a o con o no 1 ob idos po
minimização da ene gia de
de o mação.
Figu a 106 - Con o nos após a aplicação da ans o mação ígida de e minada
e dos deslocamen o nodais pa a o con o no 1 ob idos po minimização
da ene gia de de o mação.
Conside ando-se apenas 45% dos modos e es es di e en es en e si de 1e-6 em e mos de
26 Nes as igu as quan o mais o con o no 1 coincidi com o con o no 2 melho es os deslocamen os nodais es imados.
50
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
equência (32 modos) ob i e am-se esul ados semelhan es que pa a o empa elhamen o que
pa a a ans o mação ígida.
Conside ando-se os modos a pa i do 4º modo (inclusi e) e di e en es en e si de 1e-6 em
e mos de equência (36 modos) ob i e am-se esul ados semelhan es que pa a o
empa elhamen o que pa a a ans o mação ígida.
Conside ando-se apenas 25% dos modos e es es di e en es en e si de 1e-6 em e mos de
equência (18 modos) ob i e am-se 30 empa elhamen os co ec os e uma ans o mação
ígida do con o no 1 pa a o con o no 2 cons i uída po uma o ação de 20.06º em o no da
o igem, uma anslação segundo o eixo x de 50.06 e segundo o eixo y de 9.86 pixels e um
escalonamen o em elação à o igem de 0.75.
Conside ando-se apenas 8% dos modos e es es di e en es en e si de 1e-6 em e mos de
equência (6 modos) ob i e am-se 16 empa elhamen os co ec os e uma ans o mação ígida
do con o no 1 pa a o con o no 2 cons i uída po uma o ação de 19.79º em o no da o igem,
uma anslação segundo o eixo x de 50.69 e segundo o eixo y de 11.17 pixels e um
escalonamen o em elação à o igem de 0.74.
Conside ando que os elemen os ini os u ilizados são cons uídos em aço ob e e-se
esul ados de empa elhamen o semelhan es.
Conside ando no amen e que os elemen os ini os u ilizados são cons uídos em bo acha
mas que êm secção com á ea uni á ia ob i emos esul ados de empa elhamen o semelhan es.
Des a expe iência pode-se conclui que, independen emen e do ma e ial i ual adop ado
pa a os elemen os ini os e do alo a bi ado pa a a á ea da secção dos mesmos, é possí el
ob e bons esul ados de empa elhamen o e de de e minação da ans o mação ígida exis en e
en e os dois con o nos desde que sejam e i ados, das espec i as bases modais, os modos de
que ap esen em equências de ib ação p a icamen e iguais. O alo 1e-6 e elou-se bas an e
acei á el pa a de e mina os modos a e i a . Também se no ou que a não conside ação dos
modos de ele ada equência não ez melho a os esul ados de empa elhamen o ob idos. Da
mesma o ma e i icou-se que nes e caso os deslocamen os nodais ob idos, po minimização
da ene gia de de o mação, são de melho qualidade se op a mos po deslocamen os nodais
nulos pa a os pixels não empa elhados em ez de os es ima admi indo pa a cada um des es
pixels o melho candida o ao empa elhamen o.
Numa segunda expe iência u iliza am-se os con o nos cons i uídos po 11 pixels
ep esen ados na Figu a 107 e na Figu a 108. O con o no 2 oi ob ido a pa i do con o no 1
a a és de uma ans o mação geomé ica cons i uída po uma o ação de -15º em o no da
o igem, uma anslação segundo o eixo x de -10 e segundo o eixo y de 10 pixels e um
escalonamen o ela i amen e à o igem de 1.25. Na Figu a 109 é possí el obse a -se os
con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem ligados po segmen os de ec a.
Numa p imei a en a i a de empa elhamen o conside ou-se que elemen os ini os são
cons uídos po bo acha e com secção de á ea igual a 10. Conside ando-se odos os modos de
ib ação ob i e am-se 10 empa elhamen os sendo alguns e ados e uma ans o mação
geomé ica do con o no 1 pa a o con o no 2 cons i uída po uma o ação de 357.27º em o no
da o igem, uma anslação segundo o eixo x de -6.66 e segundo o eixo y de -49.94 pixels e um
escalonamen o em elação à o igem de 1.65. Na Figu a 110 es ão ep esen ados os
empa elhamen os ob idos. O alo da ene gia de de o mação ob ido oi igual a 0.00049 e,
após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, a 0.00114.
51

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 107 - Con o no 1.
Figu a 108 - Con o no 2.
Figu a 109 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
Conside ando-se apenas os modos que se di e enciassem en e si de 1e-6 em e mos de
equência (11 modos) ob e e-se empa elhamen o co ec os pa a os 11 pixels e uma
ans o mação geomé ica cons i uída po uma o ação de 344.96º em o no da o igem, uma
anslação segundo o eixo x de -10.14 e segundo o eixo y de 9.81 pixels e um escalonamen o
em elação à o igem de 1.25. Os empa elhamen os ob idos es ão ep esen ados na Figu a 111.
Os con o nos após a aplicação dos deslocamen os nodais do con o no 1 de e minados po
minimização da ene gia com a aplicação p é ia da ans o mação ígida es ão ep esen ados
na Figu a 112. O alo da ene gia de de o mação ob ido oi igual a 5.55e-5 e, após a
aplicação da ans o mação ígida de e minada, a 3.71e-7.
Figu a 110 - Empa elhamen os
ob idos conside ando odos os
modos de ib ação.
Figu a 111 - Empa elhamen os
ob idos conside ando os modos
di e en es en e si de 1e-6 em
e mos da equência.
Figu a 112 - ... após a aplicação
dos deslocamen os nodais
de e minados po minimização da
ene gia de de o mação.
Conside ando-se apenas 40% dos modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de
equências (8 modos) ob i emos esul ados semelhan es.
Conside ando-se apenas 25% dos modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de
equências (5 modos) ob i emos esul ados semelhan es.
Conside ando-se 100% dos modos de ib ação a pa i do 4º modo (inclusi e) ob e e-se 10
empa elhamen os sendo 2 e ados, Figu a 113, uma ans o mação geomé ica cons i uída po
uma o ação de 344.99º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x de -10.05 e
segundo o eixo y de 9.81 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 1.25.
Conside ando-se 75% dos modos de ib ação ob i e am 7 empa elhamen os sendo alguns
e ados, Figu a 114.
Conside ando-se 25% dos modos de ib ação ob i e am 2 empa elhamen os sendo um
e ado, Figu a 115.
52
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 113 - Empa elhamen os
ob idos conside ando 100% dos
modos de ib ação a pa i do 4º
modo.
Figu a 114 - Empa elhamen os
ob idos conside ando 75% dos
modos de ib ação.
Figu a 115 - Empa elhamen os
ob idos conside ando 25% dos
modos de ib ação.
Conside ando-se que os elemen os ini os êm secção com á ea uni á ia e u ilizando-se
100% dos modos ob e e-se 11 empa elhamen os co ec os e uma ans o mação geomé ica
cons i uída po uma o ação de 344.97º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x
de -10.14 e segundo o eixo y de 9.81 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 1.25.
Na Figu a 116 es ão ep esen ados os empa elhamen os ob idos após a aplicação ao con o no
1 da o ação e da anslação de e minadas. O alo da ene gia de de o mação oi igual a
5.55e-6 e, após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, a 3.72e-8.
Conside ando-se 25% dos modos de ib ação ob i emos 3 empa elhamen os sendo 2
e ados.
Conside ando-se apenas os modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências
(11 modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os. O alo da ene gia de de o mação oi
igual a 5.55e-6 e, após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, a 3.72e-8.
Conside ando-se 25% dos modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências (5
modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os.
Conside ando-se que os elemen os ini os u ilizados nas modelações são cons i uídos po
aço e êm secção com á ea igual a 10 e u ilizando odos os modos de ib ação ob i emos 11
empa elhamen os co ec os e uma ans o mação geomé ica cons i uída po uma o ação de
344.97º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x de -10.14 e segundo o eixo y de
9.81 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 1.25.
Conside ando-se apenas os modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências
(11 modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os.
Conside ando-se 25% dos modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências (5
modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os.
Conside ando-se que os elemen os ini os u ilizados nas modelações são cons i uídos po
aço e êm secção com á ea igual uni á ia e u ilizando odos os modos de ib ação ob i emos 7
empa elhamen os, sendo 1 e ado Figu a 117, e uma ans o mação geomé ica cons i uída
po uma o ação de 351.33º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x de -9.86 e
segundo o eixo y de -0.75 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 1.28.
Conside ando-se apenas os modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências
(11 modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os, Figu a 118.
Conside ando-se 25% dos modos que di e em en e si de 1e-6 em e mos de equências (5
modos) ob i emos 11 empa elhamen os co ec os.
53
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 116 - Empa elhamen os
ob idos pa a elemen os ini os de
á ea uni á ia e conside ando odos
os modos de ib ação, após a
aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação
de e minadas.
Figu a 117 - Empa elhamen os
ob idos pa a elemen os ini os de
á ea uni á ia cons i uídos po aço
e conside ando odos os modos de
ib ação.
Figu a 118- Empa elhamen os
ob idos pa a elemen os ini os de
á ea uni á ia cons i uídos po aço
e conside ando os modos de
ib ação que di e em en e si de
1e-6 em equência.
Des a expe iência pode-se conclui que, independen emen e do ma e ial i ual adop ado
pa a os elemen os ini os e do alo a bi ado pa a a á ea da secção dos mesmos, é possí el
ob e bons esul ados de empa elhamen o e de de e minação da ans o mação ígida exis en e
en e os dois con o nos desde que sejam e i ados das espec i as bases modais os modos de
que ap esen em equências de ib ação p a icamen e iguais. O alo 1e-6 e elou-se bas an e
acei á el pa a de e mina os modos a e i a . Também se no ou que a não conside ação dos
modos de ele ada equência não ez melho a os esul ados de empa elhamen o ob idos. Da
mesma o ma e i icou-se que os deslocamen os nodais ob idos, po minimização da ene gia
de de o mação, são de melho qualidade se op a mos po deslocamen os nodais nulos pa a os
pixels não empa elhados em ez de os es ima admi indo pa a cada um des es pixels o melho
candida o ao empa elhamen o.
Numa e cei a expe iência u iliza am-se os con o nos, amos ados de 5 em 5 pixels, de um
objec o eal (co ação) ep esen ados27 na Figu a 119 (84 pixels) e na Figu a 120 (79 pixels).
Na Figu a 121 é possí el obse a -se os con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem
ligados po segmen os de ec a.
Numa p imei a en a i a de empa elhamen o conside ou-se bo acha como o ma e ial
i ual dos elemen os ini os e que es es inham secção com á ea igual a 10, e u iliza am-se
odos os modos de ib ação; ob i emos 10 empa elhamen o sendo alguns e ados, Figu a
122.
Apesa de á ias en a i as com ipos di e en es de ma e iais i uais, di e en es alo es
pa a a á ea das secções, di e en es conjun os de modos a conside a , não oi possí el
de e mina -se esul ados acei á eis que em núme o de empa elhamen os que na qualidade
des es; suspei a-se que al se enha e i icado de ido há ele ada de o mação não ígida
exis en e en e os dois con o nos.
27 As igu as ap esen adas pa a es es con o nos o am co adas 0.5 cm supe io men e, 1.5 cm in e io men e, 1.5 cm do lado
esque do e 1.0 cm do lado di ei o. Es es co es o am ei os pa a diminui o espaço ocupado sem diminui a zona de
in e esse em cada imagem.
54
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Figu a 119 - Con o no 1.
Figu a 120 - Con o no 2.
Figu a 121 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
Figu a 122 - Empa elhamen os ob idos conside ando
odos os modos de ib ação.
Numa qua a expe iência u iliza am-se os con o nos, amos ados de 3 em 3 pixels, de um
objec o eal (co ação) ep esen ados28 na Figu a 123 (84 pixels) e na Figu a 124 (70 pixels).
Na Figu a 125 é possí el obse a -se os con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem
ligados po segmen os de ec a.
Figu a 123 - Con o no 1.
Figu a 124 - Con o no 2.
Figu a 125 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
Apesa de á ias en a i as com ipos di e en es de ma e iais i uais, di e en es alo es
pa a as secções, di e en es conjun os de modos a conside a , não oi possí el de e mina -se
esul ados acei á eis que em núme o de empa elhamen os que na qualidade des es; suspei a-
se que al se enha e i icado de ido há ele ada de o mação não ígida exis en e en e os dois
28 As igu as ap esen adas pa a es es con o nos o am co adas 2.0 cm supe io men e, 1.3 cm in e io men e, 2.2 cm do lado
esque do e 1.0 cm do lado di ei o.
55
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
objec o eal (co ação) ep esen ados33 na Figu a 153 (35 pixels) e na Figu a 154 (42 pixels).
Na Figu a 155 é possí el obse a -se os con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem
ligados po segmen os de ec a.
Figu a 153 - Con o no 1.
Figu a 154 - Con o no 2.
Figu a 155 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
U ilizando-se bo acha pa a ma e ial i ual, azendo a á ea da secção dos elemen os
ini os uni á ia e conside ando-se odos os modos de ib ação ob i e am-se empa elhamen os
pa a 2 pixels, Figu a 156.
Conside ando-se apenas os modos de ib ação que di e em en e si de 1e-6 em e mos de
equência (35 modos) ob e e-se 16 empa elhamen os e uma ans o mação geomé ica
cons i uída po uma o ação de 356.49º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x
de -30.23 e segundo o eixo y de -11.55 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de
1.17. Os empa elhamen os ob idos após aplicação ao con o no 1 da o ação e da anslação
de e minadas es ão ep esen ados na Figu a 157.
Conside ando-se apenas 40% dos modos de ib ação que di e em en e si de 1e-6 em
e mos de equência (28 modos) ob e e-se 25 empa elhamen os e uma ans o mação
geomé ica cons i uída po uma o ação de 355.86º em o no da o igem, uma anslação
segundo o eixo x de -34.66 e segundo o eixo y de -12.39 pixels e um escalonamen o em
elação à o igem de 1.19. Os empa elhamen os ob idos após aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação de e minadas es ão ep esen ados na Figu a 158.
Conside ando-se apenas 25% dos modos de ib ação que di e em en e si de 1e-6 em
e mos de equência (17 modos) ob e e-se 27 empa elhamen os e uma ans o mação
geomé ica cons i uída po uma o ação de 357.07º em o no da o igem, uma anslação
segundo o eixo x de -29.20 e segundo o eixo y de -14.61 pixels e um escalonamen o em
elação à o igem de 1.17. Os empa elhamen os ob idos após aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação de e minadas es ão ep esen ados na Figu a 159 e na Figu a 160 após
a aplicação da ans o mação ígida de e minada. O alo da ene gia de de o mação é de
1.34e-5 e, após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, de 1.12e-5. Os
deslocamen os nodais es imados po minimização des a ene gia e ela am-se de má
qualidade.
Resul ados semelhan es pa a os empa elhamen os en e os dados dos dois con o nos o am
ob idos pa a á ios ma e iais i uais e pa a di e en es alo es da á ea da secção dos
elemen os ini os u ilizados na modelização.
Des a expe iência pode-se conclui que quando a de o mação não ígida exis en e en e
dois con o nos não é excessi a é possí el ecupe a -se a ans o mação ígida exis en e en e
33 As igu as ap esen adas pa a es es con o nos o am co adas 2.0 cm supe io men e, 1.3 cm in e io men e, 2.2 cm do lado
esque do e 1.0 cm do lado di ei o.
62

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
os dois e ob e -se empa elhamen os sa is a ó ios. Pa a al, independen emen e do ma e ial
adop ado e do alo da á ea dos elemen os ini os, de e-se e i a de cada base modal os
modos p óp ios de equência p a icamen e igual, 1e-6 e elou-se mais uma ez um alo
azoá el, e de equência ele ada.
Figu a 156 - Empa elhamen os
ob idos conside ando odos os
modos de ib ação após aplicação
ao con o no 1 da o ação e da
anslação de e minadas.
Figu a 157 - Empa elhamen os
ob idos, conside ando os modos de
ib ação que di e em en e si de
1e-6 em e mos de equência, após
aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação
de e minadas.
Figu a 158 - Empa elhamen os
ob idos, conside ando 40% dos
modos de ib ação que di e em
en e si de 1e-6 em e mos de
equência, após aplicação ao
con o no 1 da o ação e da
anslação de e minadas.
Figu a 159 - Empa elhamen os ob idos, conside ando
25% dos modos de ib ação que di e em en e si de
1e-6 em e mos de equência, após aplicação ao
con o no 1 da o ação e da anslação de e minadas.
Figu a 160 - Empa elhamen os ob idos, conside ando
25% dos modos de ib ação que di e em en e si de
1e-6 em e mos de equência, após aplicação ao
con o no 1 da ans o mação ígida de e minada.
Numa décima expe iência u iliza am-se os con o nos abe os, amos ados de 5 em 5 pixels,
de um objec o eal ep esen ados34 na Figu a 161 (33 pixels) e na Figu a 162 (31 pixels). Na
Figu a 163 é possí el obse a -se os con o nos 1 e 2 com os pixels que os cons i uem ligados
po segmen os de ec a.
U ilizando-se bo acha pa a ma e ial i ual, azendo a á ea da secção dos elemen os
ini os uni á ia e conside ando-se odos os modos de ib ação ob i e am-se empa elhamen os
pa a 13 pixels. Na Figu a 164 es ão ep esen ados os empa elhamen os ob idos e e i ica-se
que á ios es ão e ados.
Conside ando-se apenas os modos de ib ação que di e em en e si de 1e-6 em e mos de
equência (30 modos) ob e e-se 29 empa elhamen os e uma ans o mação geomé ica
cons i uída po uma o ação de 358.56º em o no da o igem, uma anslação segundo o eixo x
de 2.76 e segundo o eixo y de -10.09 pixels e um escalonamen o em elação à o igem de 0.92.
Os empa elhamen os ob idos após aplicação ao con o no 1 da o ação e da anslação
de e minadas es ão ep esen ados na Figu a 165.
34 As igu as ap esen adas pa a es es con o nos o am eduzidas em 50% e co adas 2 cm supe io men e, 2 cm in e io men e,
2 cm do lado esque do e 2 cm do lado di ei o.
63
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Conside ando-se apenas 40% dos modos de ib ação que di e em en e si de 1e-6 em
e mos de equência (24 modos) ob e e-se 30 empa elhamen os e uma ans o mação
geomé ica cons i uída po uma o ação de 358.57º em o no da o igem, uma anslação
segundo o eixo x de 3.53 e segundo o eixo y de -9.83 pixels e um escalonamen o em elação à
o igem de 0.92. Os empa elhamen os ob idos após aplicação ao con o no 1 da o ação e da
anslação de e minadas es ão ep esen ados na Figu a 166. O alo da ene gia de de o mação
é de 7.05e-7 e, após a aplicação da ans o mação ígida de e minada, de 8.25e-7. Os
deslocamen os nodais es imados po minimização des a ene gia e ela am-se de má
qualidade.
Figu a 161 - Con o no 1.
Figu a 162 - Con o no 2.
Figu a 163 - Con o nos 1 e 2 com
os pixels ligados po segmen os de
ec a.
Figu a 164 - Empa elhamen os
ob idos conside ando odos os
modos de ib ação.
Figu a 165 - Empa elhamen os
ob idos, conside ando os modos de
ib ação que di e em en e si de
1e-6 em e mos de equência, após
aplicação ao con o no 1 da
o ação e da anslação
de e minadas.
Figu a 166 - Empa elhamen os
ob idos, conside ando 40% dos
modos de ib ação que di e em
en e si de 1e-6 em e mos de
equência, após aplicação ao
con o no 1 da o ação e da
anslação de e minadas.
Resul ados semelhan es pa a os empa elhamen os en e os dados dos dois con o nos o am
ob idos pa a á ios ma e iais i uais e pa a di e en es alo es da á ea da secção dos
elemen os ini os u ilizados na modelização.
Des a expe iência pode-se conclui que quando a de o mação não ígida exis en e en e
dois con o nos não é excessi a é possí el ecupe a -se a ans o mação ígida exis en e en e
os dois e ob e -se empa elhamen os sa is a ó ios. Pa a al, independen emen e do ma e ial
adop ado e do alo da á ea dos elemen os ini os, de e-se e i a de cada base modal os
modos p óp ios de equência p a icamen e igual, 1e-6 e elou-se mais uma ez um alo
azoá el, e de equência ele ada.
Dos esul ados expe imen ais ap esen ados podemos conclui :
• É possí el ob e -se bons esul ados de empa elhamen o quando a de o mação não
ígida exis en e en e os dois objec os é eduzida;
64
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
• Ge almen e ob emos melho es esul ados quando a amos agem dos objec os não é
mui o ina;
• A não inclusão dos modos de mais al a equência, em ge al, a o ece a ob enção
de melho es empa elhamen os;
• Ge almen e a não inclusão dos ês p imei os modos de ib ação não a o ece os
esul ados de empa elhamen o ob idos;
• A não conside ação em cada base modal dos modos de ib ação que enham
equências p a icamen e iguais a o ece os esul ados de empa elhamen o ob idos;
• Ge almen e o ma e ial adop ado pa a as modelizações não a ec a os esul ados
ob idos pa a o empa elhamen o desde que sejam e i ados de cada base modal os
modos com equências p a icamen e iguais;
• O alo adop ado pa a á ea dos elemen os ini os ge almen e não a ec a os
esul ados ob idos pa a o empa elhamen o desde que sejam e i ados de cada base
modal os modos com equências p a icamen e iguais;
• O alo do limia pa a conside a um dado empa elhamen o en e dois nodos de
duas o mas como acei á el ge almen e não êm in luência so e a qualidade dos
empa elhamen os ob idos. Assim a condição do alo de a inidade do empa elhamen o
se mínimo na sua linha e na sua coluna pa ece se su icien e pa a classi ica o
e e ido empa elhamen o como acei á el ou não;
• Ge almen e os esul ados de e minados pa a a ans o mação ígida exis en e são
de boa qualidade mesmo quando o núme o de empa elhamen os ob idos é eduzido;
• Quando o núme o de bons empa elhamen os ob idos é acei á el ob emos
ge almen e uma boa es ima i a pa a os deslocamen os modais e nodais pelo p ocesso
de minimização da ene gia de de o mação;
• O alo da ene gia de de o mação aduz de o ma acei á el a de o mação
exis en e;
• A g ande pe cen agem do es o ço compu acional é dispendido nas ases de
de e minação dos modos de ib ação e na de e minação das co espondências;
• Ve i icou-se se ex emamen e di ícil classi ica as sime ias de e lexão
exis en es.
Como oi e i icado es e mé odo não ob êm bons esul ados de empa elhamen o quando a
de o mação não ígida exis en e en e os dois objec os a empa elha é conside á el. Tais
casos podem se esol idos di idindo-se o p oblema o iginal em duas ases: na p imei a, são
de e minadas as co espondências po um ou o qualque p ocesso; na segunda, são
de e minados os deslocamen os modais e nodais po minimização da ene gia de de o mação e
é de e minado o alo des a ene gia u ilizando a modelização p opos a nes a comunicação.
Em [Ta a es, 1997b] os empa elhamen os são de e minados u ilizando a écnica modal
p opos a po Shapi o, [Shapi o 1991, 1992, 1992a; Ta a es, 1997a], e os deslocamen os
nodais e o alo da ene gia de de o mação u ilizando a modelização p opos a nes a
comunicação, ob endo-se esul ados bas an e sa is a ó ios.
A í ulo de exemplo es a ep esen ado na Figu a 167 o con eúdo do ichei o de esul ados
do empa elhamen o de dois con o nos ob ido pela implemen ação po nós ealizada do
65
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
mé odo p opos o.
Resul s o Modal Ma ching wi h he Model o 2D Axial Elemen s wi h:
Ma e ial's densi y: 1.120000.
Young modulus: 0.002430.
Elemen s a ea: 1.000000.
Scale pixel/uni s used o con ou in image : 1.000000.
Gaussian unc ions Sigma o con ou in image +1: 1.000000.
Scale pixel/uni s used o con ou in image +1: 1.000000.
Ma ices o he con ou in image :
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
+10264.053333 +2512.533333 +2619.493333 +0.000000 +0.000000 -0.000000
+2512.533333 +11933.600000 +3454.266667 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+2619.493333 +3454.266667 +12147.520000 -0.000000 +0.000000 -0.000000
+0.000000 +0.000000 -0.000000 +10264.053333 +2512.533333 +2619.493333
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +2512.533333 +11933.600000 +3454.266667
-0.000000 +0.000000 -0.000000 +2619.493333 +3454.266667 +12147.520000
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
+0.000014 -0.000007 -0.000007 -0.000000 +0.000010 -0.000010
-0.000007 +0.000025 -0.000018 +0.000010 -0.000010 -0.000000
-0.000007 -0.000018 +0.000025 -0.000010 -0.000000 +0.000010
-0.000000 +0.000010 -0.000010 +0.000028 -0.000014 -0.000014
+0.000010 -0.000010 -0.000000 -0.000014 +0.000014 -0.000000
-0.000010 -0.000000 +0.000010 -0.000014 -0.000000 +0.000014
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-6) o (6):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000054 +0.000064 +0.000083
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
-0.000079 -0.004255 +0.005959 -0.000275 -0.007247 +0.000071
-0.000404 -0.004449 -0.002242 +0.005476 +0.002876 -0.005553
-0.000414 -0.004455 -0.002504 -0.005147 +0.003298 +0.005395
+0.004390 -0.000316 -0.000203 -0.006682 +0.000160 -0.006492
+0.004155 -0.000456 -0.006136 +0.002750 -0.004902 +0.002714
+0.004625 -0.000176 +0.005730 +0.002945 +0.004680 +0.002819
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-6) o (1):
+0.007633
+0.007622
+0.010832
+0.010837
+0.010845
+0.010835
Ma ices o he con ou in image +1:
Mass Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
+2134.720000 +531.066667 +536.293333 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+531.066667 +2365.066667 +651.466667 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+536.293333 +651.466667 +2375.520000 +0.000000 +0.000000 +0.000000
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +2134.720000 +531.066667 +536.293333
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +531.066667 +2365.066667 +651.466667
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +536.293333 +651.466667 +2375.520000
Figu a 167 - Con eúdo do ichei o de esul ados ob ido pela implemen ação do mé odo p opos o.
66
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
S i ness Ma ix: - Symme ic Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
+0.000028 -0.000012 -0.000016 +0.000002 +0.000020 -0.000022
-0.000012 +0.000053 -0.000041 +0.000020 -0.000022 +0.000002
-0.000016 -0.000041 +0.000057 -0.000022 +0.000002 +0.000020
+0.000002 +0.000020 -0.000022 +0.000063 -0.000034 -0.000029
+0.000020 -0.000022 +0.000002 -0.000034 +0.000034 -0.000000
-0.000022 +0.000002 +0.000020 -0.000029 -0.000000 +0.000029
Vib a ion's equencies: - Diagonal Ma ix - (1-6) o (6):
+0.000000 +0.000000 +0.000000 +0.000186 +0.000207 +0.000277
Shape Vec o s: - Rec angula Ma ix - (1-6x1-6) o (6x6):
-0.009295 -0.009858 -0.009601 +0.001060 -0.015373 -0.000774
-0.009705 +0.006652 +0.001764 -0.012457 +0.006105 -0.011800
-0.009678 +0.005575 +0.001023 +0.011449 +0.007736 +0.012444
+0.002302 +0.006101 -0.007419 +0.014494 +0.001050 -0.014321
+0.002062 +0.015791 -0.000748 -0.005721 -0.011657 +0.007102
+0.002587 -0.005384 -0.015325 -0.007329 +0.010662 +0.005799
Ampli udes o he Shape Vec o s: - Column Vec o - (1-6) o (1):
+0.017044
+0.022092
+0.019668
+0.024164
+0.024169
+0.024163
Resul s o Modal Ma ching:
Wi h:
Fi s mode o be conside ed: 1.
Pe cen age o modes o be conside ed: 100.
Minimum di e ence in he eigenValues o be a conside ed mode: 0.000001.
Minimum di e ence o be a syme ie 0.000000.
Shape ec o no no malized by a eas a io.
Maximum co ela ion le el o be a good ma ching: 1.000000.
Numbe o ma ched pixels used o ind he igid ans o ma ion: 3.
Selec ed EigenValues ( ib a ion's equencies) o con ou - Diagonal Ma ix - (1-3) o (3):
+0.000054 +0.000064 +0.000083
Selec ed EigenVec o s (shape ec o s) o con ou - Rec angula Ma ix - (1-6x1-3) o (6x3):
-0.000275 -0.007247 +0.000071
+0.005476 +0.002876 -0.005553
-0.005147 +0.003298 +0.005395
-0.006682 +0.000160 -0.006492
+0.002750 -0.004902 +0.002714
+0.002945 +0.004680 +0.002819
Selec ed EigenValues ( ib a ion's equencies) o con ou +1 - Diagonal Ma ix - (1-3) o (3):
+0.000186 +0.000207 +0.000277
Selec ed EigenVec o s (shape ec o s) o con ou +1 - Rec angula Ma ix - (1-6x1-3) o (6x3):
-0.001060 -0.015373 -0.000774
+0.012457 +0.006105 -0.011800
-0.011449 +0.007736 +0.012444
-0.014494 +0.001050 -0.014321
+0.005721 -0.011657 +0.007102
+0.007329 +0.010662 +0.005799
Figu a 167 - Con inuação.
67

APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
Co ela ion Ma ix - Rec angula Ma ix - (1-3x1-3) o (3x3):
+0.000190 +0.000960 +0.000960
+0.001022 +0.000172 +0.000907
+0.001014 +0.000906 +0.000173
Cen oid o he con ou in image : (116.999975, 112.667049).
Cen oid o he con ou in image +1: (132.666666, 104.666846).
T ansla ion be ween he con ou s: 77.111414 along x, 57.815981 along y.
Scale be ween he con ou s: 0.447418 along x and y.
Ro a ion be ween he con ou s: 356.222432.
Pixel 1 in con ou wi h (117, 49) ma ched wi h Pixel 1 in con ou +1 wi h (131, 75).
Pixel 2 in con ou wi h (49, 143) ma ched wi h Pixel 2 in con ou +1 wi h (104, 121).
Pixel 3 in con ou wi h (185, 146) ma ched wi h Pixel 3 in con ou +1 wi h (163, 118).
Displacemen s and S ain ene gy wi hou igid geome ic ans o ma ion applied:
Nodal displacemen s: - Column Vec o - (1-6) o (1):
+14.000000
+54.999984
-21.999984
+25.999984
-21.999992
-27.999992
Modal displacemen s: - Column Vec o - (1-6) o (1):
-2473.487605
-3360.498345
-160.764911
+761.350367
-154.268189
-6296.950991
Modes s ain ene gy: - Column Vec o - (1-6) o (1):
+0.000000
+0.000000
+0.000000
+0.000848
+0.000048
+0.136855
Modes s ain ene gy by a ea: - Column Vec o - (1-6) o (1):
+0.000000
+0.000000
+0.000000
+0.000848
+0.000048
+0.136855
To al s ain ene gy: 0.137751
To al s ain ene gy by a ea: 0.000021
Figu a 167 - Con inuação.
8 - Conclusões e Pe spec i as de Desen ol imen os Fu u os
Nes a comunicação é ap esen ado um mé odo pa a a de e minação da co espondência en e
os pixels que cons i uem dois objec os. Es e mé odo começa po cons ui um modelo de
elemen os ini os pa a cada objec o e de e mina as co espondências po análise dos
deslocamen os dos pixels no espaço modal de cada modelo. Deslocamen os idên icos nos dois
espaços modais indicam que os pixels se de em co esponde .
Um mé odo pa a a de e minação dos deslocamen os nodais e modais ambém é
68
APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
ap esen ado nes a comunicação. Es e mé odo, p opos o po Scla o , ealiza es a de e minação
po minimização da ene gia de de o mação. O alo des a ene gia pode se pos e io men e
pa a iden i ica objec os semelhan es.
Uma in odução b e e ao mé odo dos elemen os ini os e à análise modal ambém é
ap esen ada nes a comunicação.
Resul ados expe imen ais ob idos po uma implemen ação po nós ealizada do mé odo
p opos o são ap esen ados e e i ica-se que ge almen e são ob idos bons esul ados no
es abelecimen o dos empa elhamen os quando a de o mação não ígida não é ele ada. Da
mesma o ma, e i ica-se que os deslocamen os nodais e modais, ob idos po minimização da
ene gia de de o mação, são ge almen e de boa qualidade conseguindo-se assim ap oxima as
o mas de dois objec os u ilizando-se os empa elhamen os ob idos e p incípios ísicos.
Também se e i icou que o alo da ene gia de de o mação desc e e de o ma adequada a
de o mação exis en e e a simila idade dois objec os.
O mé odo ap esen a con udo algumas limi ações, como po exemplo: a não adequação pa a
os casos nos quais os objec os se di idam ou se undam; nos casos de ele adas sime ias
o na-se bas an e complicado ob e os empa elhamen os mais co ec os; quando a de o mação
não ígida é ele ada o na-se di ícil, se não impossí el, ob e -se bons esul ados de
empa elhamen o.
No pon o seguin e são ap esen adas algumas pe spec i as de desen ol imen os u u os.
Pela nossa pa e, es amos pa icula men e con ian es na inclusão na modelação do ní el de
in ensidade como e cei a coo denada de o ma a adap a es e mé odo à aplicação que
ac ualmen e emos em es udo. Es a aplicação p ende-se com imagens em sequências de
pedoba iog a ia nas quais o ní el de in ensidade es á o emen e co elacionado com a
p essão exe cida pelo pé em es udo ao caminha sob e a “á ea senso a”.
8.1 - Pe spec i as de Desen ol imen os Fu u os
8.1.1 - Desc i o es Modais T einados
É possí el eina o sis ema pa a selecciona um subconjun o pesado de modos que são
c uciais pa a uma ca ego ia pa icula de objec os ou quando se a a de uma aplicação
pa icula . Tal pode se ob ido pelo cálculo das componen es p incipais pa a a de o mação da
o ma e i icada num conjun o de eino. Es as a iações p incipais, especí icas à ca ego ia
ou à aplicação, podem se pos e io men e u ilizadas pa a selecciona um subconjun o de
modos de de o mação que possam se u ilizados pa a cap u a adequadamen e a a iação
e i icada no conjun o de eino.
O ajus amen o pode se de e minado pela p ojecção das componen es p incipais no espaço
modal ge al. Des e modo, pode se e i icado que as componen es p incipais podem se
dis ibuídas po algum subconjun o das ib ações modais. A quan idade de cada modo de
ib ação necessá ia pa a ob e -se es a p ojecção pode se u ilizada pa a pesa o quan o cada
modo de ib ação é conside ado como impo an e pa a o empa elhamen o num dado con ex o
ou ca ego ia.
8.1.2 - Ac ualização Recu si a dos Pa âme os Físicos do Modelo
Um modelo modal pode se ecu si amen e e inado de o ma a cap u a as p op iedades do
ma e ial do objec o que em indo a se conside ado [Pen land, 1989]. Supondo-se que emos
um conjun o de ec o es p óp ios, ou seja modos de ib ação, que desc e em como uma dada
o ma p o ó ipo se de o ma sob e condições ge ais - é assumido ce as p op iedades de
ma e ial: ma e ial iso ópico, elas icidade e massa. A ma iz de igidez pa a o modelo de
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APRESENTAÇÃO DE UMA MODELIZAÇÃO POR ELEMENTOS FINITOS LINEARES DO TIPO AXIAL
elemen os ini os pode se ac ualizada de o ma a inco po a no as obse ações assim que
es as são disponí eis. T abalho simila no sen ido de combina obse ações com o
empa elhamen o modal oi ealizado po Coo es [Coo es, 1995].
8.1.3 - Vá ias Gamas de Modos
Nas á ias expe iências desen ol idas e i icou-se que, po ezes, se ob êm conjun os
dis in os de bons empa elhamen os pa a gamas di e en es de modos. Assim podemos conclui
que, em ce as aplicações, os empa elhamen os pode ão se melho ados se não o em ob idos
u ilizando-se apenas uma única gama mas a a és da con ibuição ponde ada de di e en es
gamas de modos.
8.1.4 - Melho amen o do P ocesso de De e minação das Co espondências
Se os empa elhamen os o em de e minados na ma iz de a inidade po um p ocesso que
minimiza o e o do es abelecimen o das co espondências en e os pixels dos dois objec os de
o ma global, como po exemplo minimizando o caminho pe co ido po odos os pixels,
pode emos ob e melho es esul ados de empa elhamen o. Des a o ma, diminui-se a
possibilidade de não empa elha um de e minado pixel apenas po que a in o mação local az
com al se o ne impossí el.
Es e p ocesso ambém pode á se u ilizado pa a pe mi i uma co espondência de um pa a
á ios e de á ios pa a um o que em ce as aplicações pode se o desejá el.
Na ase de de e minação das co espondências de e ão se anuladas as que p o oquem
“c uzamen os” sob e a á ea dos objec os e que se c uzem. Também de e ão se idas em con a
as co espondências ob idas pa a os izinhos; is o é, de e á se englobada in o mação local.
Assim, po exemplo, se o izinho p eceden e e o izinho pos e io de um dado pixel são
empa elhados com dois pixels do ou o objec o en e os quais exis a um pixel en ão es e pixel
de e á se empa elhado com o pixel em ques ão.
8.1.5 - Aumen o da Velocidade de Execução do Mé odo
Em aplicações pa a as quais a elocidade de execução seja c í ica de e ão se implemen ados
mé odos mais ápidos pa a a de e minação dos alo es e ec o es p óp ios dos modelos de
elemen os ini os. Po en u a, e sões pa alelizadas pa a ob e -se os e e idos modos de
o ma o mais ápida possí el.
O p ocesso de ob enção das co espondências ambém de e á se acele ado de o ma a não
se ão cus oso em e mos compu acionais em pa icula quando o núme o de dados de cada
modelo é ele ado.
8.1.6 - U ilização de Elemen os Fini os Mais Complexos
Como se e i icou na p á ica es a modelização não é adequada pa a a de e minação dos
empa elhamen os en e objec os no caso da de o mação não ígida exis en e se ele ada.
Nes es casos de e á se es udada a modelização po elemen os ini os mais complexos;
nomeadamen e u ilizando-se elemen os ini os axiais quad á icos e cúbicos. Os nodos
adicionados pela u ilização des es elemen os mais complexos não necessi am de se
conside ados na de e minação das ma izes globais não ha endo assim um g ande aumen o
dos cus os compu acionais [Ba he, 1996; Ta a es, 1998].
O op imismo na u ilização de elemen os ini os mais complexos p ende-se com o ac o de
que as soluções pelo mé odo dos elemen os ini os ge almen e ob êm melho es esul ados pela
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u ilização de elemen os mais complexos do que pela u ilização de um maio núme o de
elemen os mais simples [Ba he, 1996; Ta a es, 1998].
8.1.7 - Inclusão do Ní el de Cinzen o nos Modelos 2D
Em ez de se de e mina uma ep esen ação da o ma de um objec o e se conside a em
sepa ado a apa ência, dada pela in ensidade, de cada um dos seus pixels pode se ap op iado
cons ui um modelo combinado. Modelos modais idimensionais podem se u ilizados pa a
ep esen a dados em imagens em e mos das componen es (x,y,i), onde i ep esen a a
in ensidade da imagem pa a o pixel localizado em (x,y). Con udo, algum cuidado de e á se
necessá io na u ilização de dados de o las, pois os alo es de in ensidade nos pon os das o las
endem a se ins á eis [Scla o , 1995].
Tal p oblema pode se e i ado pela u ilização de uma o mulação al e na i a na qual a
in o mação da in ensidade na imagem pode se incluída no modelo pela a iação da espessu a
da o ma baseada no b ilho na imagem ao longo da mesma.
A abo dagem de inclui o ní el de in ensidade na modelação é u ilizada em [Coo es, 1993,
1993a, 1994; Moghaddam, 1996; Nas a , 1995] e espe amos que possa a se de g ande
u ilizada em imagens de pedoba iog a ia, nas quais o nosso es udo u u o se i á concen a , e
nas quais o ní el de in ensidade es á di ec amen e elacionado com a p essão do pé em es udo
[Ta a es, 1997b].
Ag adecimen os
Ag adeço à Jun a Nacional de In es igação Cien í ica a bolsa de dou o amen o que me
concedeu ( e e ência: BD/3243/94 - PRAXIS XXI).
Bibliog a ia
[Ba he, 1996] - Klaus-Jü gen Ba he
FINITE ELEMENT PROCEDURES
PRENTICE HALL - 1996
[Benayoun, 1994] - Se ge Benayoun, Nicholas Ayache, Isaac Cohen
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IEEE - 1051-4651/94, MAI 1994
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1994
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