Fyzika: Přípravný kurz k přijímacím zkouškám

Učební texty vysokých škol FYZIKA Přípravný kurz k přijímacím zkouškám Prof. Mgr. Miroslav Černý, Ph.D. Ing. Stanislav Voborný, Ph.D. © Prof. Mgr. Miroslav Černý, Ph.D., Ing. Stanislav Voborný, Ph.D., 2024 Tato publikace podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora — Neužívejte dílo komerčně — Nezpracovávejte 4.0 Mezinárodní ISBN 978-80-214-6299-1 Přípravný kurz fyziky 1 Tato skripta jsou určena především pro účastníky přípravných kurzů fyziky, které probíhají na Fakultě strojního inženýrství Vysokého učení technického v Brně a kladou si za cíl připravit studenty středních škol na přijímací zkoušky na vysokou školu. Náplní kurzu bude především řešení fyzikálních příkladů a problémů. Protože ten, kdo neumí vyřešit ani nejjednodušší fyzikální úkoly, nerozumí fyzice, i když snad dovede fyzikální poučky odříkat. V těchto skriptech naleznete přehled základních fyzikálních témat. Každé důležité téma je uvedeno několika testovými otázkami či příklady s přiloženými správnými odpověďmi, na kterých si můžete vyzkoušet aktuální stav svých vědomostí. Pak následuje velmi stručný rozbor dané problematiky, zahrnující důležité fyzikální zákony, přehled souvisejících veličin a důležité rovnice. Téma je pak uzavřeno jedním či dvěma řešenými příklady následovanými neřešenými příklady na procvičení. Na konci skript pak naleznete několik testů, podobných svým složením těm, se kterými se můžete setkat např. u přijímacích zkoušek na FSI VUT v Brně. Přípravný kurz fyziky 2 Obsah 1 Kinematika 4 1.1 Pohybarychlost .......................... 6 1.2 Přímočarý, rovnoměrně zrychlený pohyb. . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Pohyb hmotného bodu po kruhové dráze. . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Vztah mezi úhlovými a dráhovými veličinami. . . . . . . . . . . 13 2 Dynamika. 17 2.1 Hybnost tělesa a moment hybnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Impuls síly a síla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Smykovétření. ........................... 20 2.4 Moment síly a rotace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Newtonovy zákony. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Práce a mechanická energie. 25 3.1 Výkon a účinnost jednoduchých mechanických strojů. . . . . . . 28 4 Gravitační pole a těžiště tělesa. 31 4.1 Gravitace .............................. 31 4.2 Tíhová síla a těžiště těles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 Pružina. 33 6 Mechanika tekutin. 36 6.1 Archimédův zákon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Hydrodynamika ideální kapaliny. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7 Teplo a teplota 41 7.1 Kalorimetrie............................. 43 7.2 Stavová rovnice ideálního plynu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.3 Práce ideálního plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4 První věta termodynamická. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.5 Účinnost Carnotova cyklu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8 Kmitání a vlnění. 48 8.1 Kmity ................................ 49 8.2 Vlnění ................................ 50 Přípravný kurz fyziky 3 9 Optika. 52 9.1 Geometrická optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1.1 Odraz a lom světla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1.2 Zobrazení pomocí zrcadel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.1.3 Zobrazení pomocí čoček. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 Vlnováoptika............................ 55 10 Elektřina 56 10.1 Silové působení elektrického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.1.1 Coulombův zákon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10.1.2 Energie elektrického pole, kondenzátor. . . . . . . . . . . 58 10.2 Vodiče a elektrické obvody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.2.1 Kirchhoffovy zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11 Magnetizmus 66 11.1 Magnetické silové pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.2 Elektromagnetická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12 Atomy. 70 12.1Stavbaatomů............................. 71 12.2 Atomové jádro - radioaktivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12.3Atomovýobal............................ 72 13 Vzorové testy 73 Přípravný kurz fyziky Kinematika 4 1 Kinematika Úvodní příklady 1. Závodníci A, B v okamžiku t0= 0 vyběhli na trať délky s2. V grafu je uvedeno, jak dráha závodníků závisela na čase. Vyberte správné tvrzení: s/m AB t/s t1 s2 0 a) větší rychlostí vyběhl (při startu) závodník A b) v okamžiku t1měli závodníci stejné rychlosti c) závodník A vyhrál závod d) závodník B proběhl cílem větší rychlostí 2. V grafu je závislost velikosti rychlosti tělesa na čase. V době t= 0 do t= 4 s těleso urazilo dráhu 04 v/ms t/s 2 5 10 -1 a) 10 m b) 20m c) 40m d) 80m 3. Po přímé silnici jedou stejným směrem dvě auta. V okamžiku t= 0 s se auta míjela. V grafu je znázorněno, jak se rychlost aut během času měnila. Jaká je vzdálenost mezi auty v okamžiku t= 20 s? 0 10 20 30 t/s 10 20 30 v/ms-1 a) 400 m b) 200m c) 100m d) 0m Správné odpovědi: 1c, 2b, 3c Přípravný kurz fyziky Kinematika 5 4. Těleso urazilo dráhu 20 metrů. Prvních pět metrů rychlostí v1= 5 m·s−1, dalších patnáct metrů rychlostí v2= 1 m·s−1. Označte s1= 5 m, s2= 15 m. Vypočtěte průměrnou rychlost tělesa na celé dráze 20metrů. v= 1,25 m·s−1 5. Jak daleko před nádražím musí začít brzdit vlak o hmotnosti m= 400 t jedoucí rychlostí v= 20 m·s−2. Zrychlení (zpoždění) vlaku bude mít stálou velikost a= 0,8 m·s−2. s= 250 m 6. Z určitého místa vyjel automobil rychlostí 60 km·h−1. O hodinu později vyjel z téhož místa stejným směrem druhý automobil rychlostí 100 km·h−1. Oba automobily se pohybovaly rovnoměrně. Jak dlouho jel druhý automobil, než dohnal první. t= 1,5h 7. Voda v řece teče rychlostí ~v1o velikosti v2= 3m·s−1. Loďka se vzhledem k vodě pohybuje rychlostí ~v2o velikosti v2= 4 m·s−1. Jak velkou rychlostí se pohybuje loďka vzhledem ke břehu? v1v2 v= 5 m·s−1 8. Rychlost automobilu roste rovnoměrně s časem. Během 4 sekund vzrostla velikost rychlosti z v1= 8m·s−1na v2= 20m·s−1. Jakou dráhu během těchto 4 sekund automobil ujel? s= 56 m 9. V grafu je závislost velikosti rychlosti tělesa na čase. Vypočtěte dráhu, kterou těleso urazilo od t1= 0 s do t2= 4 s. 0 1 2 3 4 5 t/s 5 10 15 v/ms-1 s= 40 m Přípravný kurz fyziky Kinematika 6 1.1 Pohyb a rychlost Hmotný bod je těleso zanedbatelných rozměrů. V mnoha praktických příkladech se rozměry tělesa při popisu mechanického pohybu neuplatní. Takové pohyby budou zkoumány nejdříve a na potřebu zahrnout do zkoumání i rozměry tělesa bude zavčas upozorněno. Pohybem tělesa se rozumí změna jeho polohy. Polohou hmotného bodu je jeho vzdálenost od vztažných objektů. Mohly by to být jiné hmotné body, vybrané za vztažné body. Pro praktický popis je nejjednodušší a tedy nejpraktičtější stanovit jeden vztažný bod, nazývaný počátek souřadné soustavy a zpravidla na sebe kolmé přímky procházející počátkem, nazývané souřadné osy. Náš svět je trojrozměrný, tedy obecně jsou voleny tři osy. Trajektorie je souhrn všech poloh pohybujícího se hmotného bodu. Tvoří prostorovou křivku, která je pomyslnou stopou pohybujícího se hmotného bodu. Přemísťování tělesa probíhá v čase, který se měří hodinami a ve fyzice se zpravidla zapisuje symbolem t. Malý časový úsek se zapisuje symbolem ∆ta extrémně (infinitezimálně) malý časový úsek se zapisuje symbolem dt. Jednotkou času je sekunda. Za čas tse hmotný bod posune o úsek dráhy s. Za čas ∆to malý úsek dráhy ∆s. Dráha tedy představuje délku trajektorie. Za delší čas tse může stát, že hmotný bod na dráze sprojde (například při pohybu po kruhové trajektorii) stejnou částí úseku trajektorie vícekrát. V tomto případě je dráha sdelší než délka trajektorie. Délka dráhy se měří v metrech a její velikost v závislosti na čase je matematickou funkcí, jejíž nezávisle proměnnou je čas. Čas běží neustále. Počátek pozorování pohybu hmotného tělesa v toku času nechť je okamžikem tpa konec pozorování je označen tk. Na dráze hmotného bodu je těleso na počátku v poloze spa na konci pozorování v poloze sk. Průměrná (střední) rychlost vsje definována vztahem vs=sk−sp tk−tp . Okamžitá rychlost vje definována matematicky složitějším vztahem v= lim ∆t→0 ∆s ∆t=ds dt . Například v automobilu nám dráhovou rychlost ukazuje tachometr. Jestliže po dosti dlouhou dobu (při rovnoměrné jízdě) se hodnota rychlosti na tachometru nemění a silnice je rovná, nazývá se takový pohyb automobilu rovnoměrným pohybem. Mění-li se rychlost na tachometru jede automobil zrychleným (zpomaleným) pohybem. Rychlost pohybujícího se tělesa má vždy směr pohybu. Proto rychlost má vždy směr tečny k trajektorii. Veličina mající nejenom velikost, ale i orientovaný směr je vektorovou veličinou. Veličina, která má Přípravný kurz fyziky Kinematika 7 jenom velikost (např. čas) je skalární veličinou. Vektorové veličiny se na rozdíl od skalárních zapisují buď tučně v, nebo se šipkou ~v. Skalárním způsobem zapsaná vektorová veličina představuje pouze velikost vektorové veličiny. Za vektorovou veličinu můžeme považovat i dráhový úsek ∆~s, je-li na rovném úseku trajektorie, nebo je dostatečně malý na zakřiveném úseku trajektorie. Rychlost ~v je pak definována vztahem ~v = lim ∆t→0 ∆~s ∆t=d~s dt .m s Průměrné zrychlení ~asje definováno vztahem ~as=~vk−~vp tk−tp .m s2 Okamžité zrychlení ~a je definováno vztahem ~a = lim ∆t→0 ∆~v ∆t=d~v dt . Zrychlení (na rozdíl od rychlosti) není tečnou k trajektorii s výjimkou přímých úseků. Nejsnáze se popisuje pohyb tělesa, nebo vhodněji hmotného bodu, když jeho trajektorie je přímková. Nemění-li zrychlení svoji velikost na přímé trajektorii, těleso se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem. Jednu souřadnici zvolíme ve směru trajektorie a další dvě souřadnice nemusíme uvažovat, neboť jsou nulové. Vektorové rovnice s jedinou souřadnicí se řeší jako skalární rovnice. 1.2 Přímočarý, rovnoměrně zrychlený pohyb. Pro náš zjednodušený problém přímkové trajektorie plyne z definice zrychlení dv =a·dt a pro konstantní zrychlení aplatí v(t) = a·t. Grafickou závislostí rychlosti na čase je proto přímka. Z definice rychlosti plyne ds =v·dt. Z grafu časového průběhu rychlosti plyne závěr, že velikost vse stále mění (lineárně narůstá) a pro dráhu splatí s= n X i=1 ∆si= n X i=1 vi∆t. Pro dostatečně malé časové úseky ∆ta tedy veliké nto představuje v našem grafu (obr. 1) plochu trojúhelníka, v němž tivjsou koncové hodnoty. s=1 2vt =1 2(at)·t=1 2at2. Přípravný kurz fyziky Kinematika 14 Pro zrychlení je to již složitější. Obdobně lze postupovat jenom pro velikost tečné složky atpro kterou platí at=dv dt =rdω dt =rε. Vektorovou veličinu ~v =v·~vomůžeme rozepsat na součin velikosti vsjednotkovým vektorem rychlosti stejného směru a orientace jako ~v. Vektor zrychlení se tím rozloží na dvě složky ~a =dv dt ·~vo+v·d~vo dt =~at+~an, kde ~atje tečnou složkou zrychlení a ~annazýváme normálovou složkou zrychlení. Tečná složka zrychlení má směr tečny k trajektorii, neboť již z lekce 1. týdne víme, že ~v a tím i ~vomá směr tečny k trajektorii. rA rB DrAB vA vA vB DvBA A B jA jB 0 0 0 0 n0 Obrázek 2: Souvislost mezi rotačním a translačním pohybem V bodech A, B jsou na obr. 2 zakresleny pouze jednotkové vektory rychlosti a vektor ~vo Aje zakreslen ještě jednou tak aby jeho počátek byl umístěn do počátku vektoru ~vo B, současně je v obrázku zakreslen ~ ∆vo AB =~vo B−~vo A. Trojúhelník vytvořený těmito vektory je podobný trojúhelníku z průvodičů rA, rB,∆rAB, protože jsou oba rovnoramenné a u vrcholu mají stejný úhel (pootočený o 90o). Platí tedy ∆vo AB vo=∆rAB r⇒∆vo AB = ∆rAB 1 r, neboť velikost vektoru ~voa tedy i odpovídající úsečky je jedna. Rovnici podělíme výrazem ∆ta provedeme limitní přechod pro ∆t→0. Úpravy Přípravný kurz fyziky Kinematika 15 směřují k výpočtu normálové složky zrychlení ~an ~an=v.d~ vo dt =v.dr dt .1 r.(−~no) = −v.v.1 r~no=−v2 r~no. Směr výsledného ~anje dán směrem d~vo dt , ale na obrázku je patrný směr ∆~vo. Přibližuje-li se bod B k bodu A pro ∆t→0úhel mezi vektory ~vo Ba~vo Ase v limitě blíží k nule a proto d~vo dt má směr kolmý na vektor rychlosti v daném místě a je orientován opačně, než je směr normály ~n0kruhové trajektorie v bodě A. Je proto správné mluvit o normálové složce vektoru ~an, nazývané dostředivé zrychlení. Velikost d~r dt je stejná jako velikost d~s dt a tedy jako velikost rychlosti ~v. Velikost vektoru zrychlení se vypočítá z velikosti jeho složek pomocí Pythagorovy věty a=qa2 t+a2 n. V mechanice se často poloha bodu na trajektorii vyjadřuje polohovým vektorem ~r, kterému se říká průvodič. Rychlost ~v je definována podobně ~v = lim ∆t→0 ∆~r ∆t=d~r dt . Řešený příklad Elektromotor vykoná po zapnutí 280 otáček za deset sekund, přitom prvních pět sekund se rozbíhal rovnoměrně zrychleným pohybem a dále se již otáčel stále stejnou úhlovou rychlostí. Jakou frekvenci otáček měl elektromotor v ustáleném stavu? Řešení Označme počet otáček N= 280. Hřídel elektromotoru opsala za 10s od zapnutí úhel ϕ= 2πN (rad). Protože pohyb byl po dobu t1= 5 s rovnoměrně zrychlený (ε1= konst) a po zbývající dobu t2= 5 s rovnoměrný (ε2= 0, ω =konst), lze úhel vyjádřit jako ϕ=1 2ε1t2 1+ωt2, kde pro úhlovou rychlost platí ω=ε1t1. Po dosazení tedy rovnice dostane tvar ϕ=1 2ωt1+ωt2, odkud lze pro úhlovou rychlost odvodit vztah ω=ϕ 1 2t1+t2 =2πN 1 2t1+t2 . Frekvenci otáčení lze vypočítat z úhlové rychlosti úpravou vztahu ω= 2πf. f=ω 2π=N 1 2t1+t2 =280 2,5 + 5 = 37,3Hz. Přípravný kurz fyziky Kinematika 16 Příklady na procvičení 1. Jaký počet otáček zvolíme při soustružení hřídele o průměru 6 cm, když řezná rychlost (chromniklové oceli) je 70 m/min a jaký pro hliníkové slitiny s řeznou rychlostí 1100m/min? 2. Kotouč o poloměru R=1 m se rovnoměrně otáčí kolem vodorovné osy nad povrchem Země tak, že koná 0,7 otáčky za sekundu. Na jeho obvodu je připevněno malé těleso T o hmotnosti m=2 kg. Považujte těleso za hmotný bod, zanedbejte odpor vzduchu a určete (a) dráhovou rychlost tělesa T, (b) změnu vektoru rychlosti tělesa T po pootočení kotouče o úhel π, (c) zrychlení tělesa T na začátku a na konci dráhy v předchozím úkolu. 3. Cyklista jedoucí rychlostí 18 km/hod se zatáčí na dráze o poloměru 50 m. Určete jeho odstředivé zrychlení. 4. Jaká je frekvence otáčení kol automobilu, když se pohybuje rychlostí o velikosti 90km/hod, je-li průměr kola automobilu 60 cm? 5. Letadlo letí rychlostí 540 km/hod. Vrtule při jedné otáčce vykoná posuvný pohyb po dráze 4,8 m. Vypočtěte úhlovou rychlost vrtule. 6. Při určování rychlosti střely se prostřelí dva papírové kotouče na jedné hřídeli, které se otáčí rychlostí třífázového elektromotorku (jenž má 50·60= 3000 otáček za minutu). Vzájemná vzdálenost kotoučů je 30cm a otvory jsou posunuty o 10 úhlových stupňů. 7. Elektromotor byl vypnutý v okamžiku, kdy měl 3600 otáček za minutu. Rovnoměrně zpomaleným pohybem se zastavil za 8 sekund, Kolik vykonal po vypnutí otáček? 8. Automobil jede rovnoměrně (na tachometru má stále stejnou rychlost) v zatáčce, která má tvar části kružnice. Rozhodněte, zda má stálou rychlost, nebo se jeho rychlost mění, zda má zrychlení a má-li, jak je veliké. Nakreslete obrázek a vysvětlete přesný význam užitých názvů. 9. Rychlík míjí osobní vlak jedoucí stejným směrem na sousední koleji. Oba vlaky jedou konstantní rychlostí rychlík však 1,5 násobně větší rychlostí než vlak osobní. Zvolte si délku osobního vlaku l1metrů a rychlíku l2 metrů. Řešte graficky jak dlouho a na jaké délce trati pojede lokomotiva osobního vlaku podél celého rychlíku a naopak lokomotiva rychlíku podél celého osobního vlaku. Přípravný kurz fyziky Dynamika 17 2 Dynamika. Úvodní příklady 1. Tělísko T, připevněné na vlákně, obíhá po kružnici ve vodorovné rovině. Výslednice sil působících na tělísko S T v k + a) je nulová b) má směr rychlosti ~v c) směřuje svisle dolů d) směřuje do bodu S (střed kružnice) 2. Bedny mají hmotnosti m1= 20 kg, m2=60 kg, pohybují se stálou rychlostí o velikosti v=3 m·s−1. Bedna 1tlačí na bednu 2silou 120N. Bedna 2tlačí na bednu 1silou 12 m1 v m2 a) 40 N b) 60N c) 120N d) 240N 3. Těleso o hmotnosti 5kg, připevněné na svislém laně, se pohybuje stálou rychlostí ~v vzhůru. Rychlost má velikost 2 m·s−1. Odpor vzduchu neuvažujte. Lano působí na těleso silou o velikosti 5 kg v a) 50 N b) 70N c) 20N d) 10N 4. Sáňky hmotnosti msjíždějí ze svahu stálou rychlostí o velikosti v. Výslednice sil působících na sáňky má velikost (gje velikost tíhového zrychlení) a) mv b) 1 2mv2 c) 0 d) mg Správné odpovědi: 1d, 2c, 3a, 4c Přípravný kurz fyziky Dynamika 18 5. Brankář chytil míč letící rychlostí v= 40 m·s−1a zastavil jej za dobu t= 0,1s. Hmotnost míče je m= 0,18 kg. Jak velkou průměrnou silou působil brankář na míč? F= 72 N 6. Sáňky s dítětem (celková hmotnost m=30 kg) jedou stálou rychlostí ~v o velikosti v= 2m·s−1. Jak velkou třecí silou Ftpůsobí svah na sáňky? 20 v Ft= 103 N 7. Homogenní trám hmotnosti m= 80kg, délky l= 6m je uložen (vodorovně) na dvou podporách A, B. Podpory působí na trám silami o velikostech FA,FB. Jak zvolit x, aby platilo FB= 3FA? x = ? A B x= 2 m 8. Těleso o hmotnosti m= 3 kg uvedeme do pohybu rychlostí v0= 5m·s−1 po vodorovné podložce. Za dobu ∆t= 2 s se těleso zastavilo. Jak velká třecí síla na něj působila? Ft= 7,5N 9. Na stejně dlouhých lanech 1,2je zavěšen homogenní trám. Lano 1 působí na trám silou ~ F1o velikosti F1= 300 N. Označte zadané délky b= 30 cm, c= 90 cm. Vypočtěte F2, velikost síly, kterou působí na trám lano 2. F 1 21 30cm 90cm F2= 600 N Přípravný kurz fyziky Dynamika 19 2.1 Hybnost tělesa a moment hybnosti. V této kapitole a kapitolách následujících se budeme zabývat účinky působení sil na hmotné body nebo tělesa. Síla se obvykle značí Fa jednotkou síly je newton (N). Například na tělesa při povrchu Země působí tíhová síla, kterou můžeme měřit vážením. Tato síla závisí na hmotnosti tělesa, která se obvykle značí ma její jednotkou je kilogram (kg). Uvažujeme-li těleso konečných rozměrů (nikoli tedy hmotný bod) s objemem V, můžeme definovat hustotu ρ tělesa (nebo kapalné, pevné či plynné látky) zlomkem ρ=m V.(kg·m−3) Pohybové vlastnosti postupného (translačního) pohybu těles vystihuje hybnost ~p, definovaná vztahem ~p =m·~v, (kg·m·s−1) kde ~v je rychlost tělesa o hmotnosti m. Pro pohyb hmotného bodu po kruhové dráze s poloměrem Rdefinujeme moment hybnosti ~ Ltakto, L=R·p=R·m·v=R·m·R·ω=m·R2·ω=I·ω, (kg·m2·s−1) kde moment setrvačnosti Ije nově definovaná fyzikální veličina, jejíž jednotkou je (kg·m2). Moment hybnosti ~ Lje vektorovou veličinou, stejně jako úhlová rychlost ~ω, takže ~ L=m(~ R×~v) = I·~ω. Směr vektorů ~ Li~ω je kolmý k rovině kruhové dráhy a orientaci ukazuje zvednutý palec pravé ruky, když prsty obepínají kruhovou dráhu ve směru rychlosti. Pro pevná tělesa, které si můžeme představovat jako určitý ”slepenec”ntělísek, malých jako hmotné body, které rotují kolem jediné osy rotace všechny stejnou úhlovou rychlostí ω, je moment hybnosti Lroven součtu momentů hybnosti všech tělísek Li, ze kterých je těleso složeno. L= n X i=1 Li=ω n X i=1 Ii=I·ω. 2.2 Impuls síly a síla. Vraťme se však k postupnému pohybu. Nepůsobí-li na zkoumané těleso žádné okolní těleso (dotekem nebo i na dálku gravitačním, elektrickým nebo jiným silovým polem), jeho pohybový stav se s časem nemění a jeho hybnost je Přípravný kurz fyziky Dynamika 20 konstantní. Během působení některého okolního tělesa, mluvíme o impulsu (síly) ~ F∆t, který změní původní hybnost o ∆~p. Impuls je způsoben silou ~ F, která působí během časového intervalu ∆t, takže pro střední sílu ~ Fsv tomto časovém intervalu můžeme psát ~ Fs=∆~p ∆t. Pro ∆t→0máme okamžitou hodnotu síly a platí ~ F= lim ∆t→0 ∆~p ∆t=d~p dt =md~v dt =m~a, pro případ stále stejné neměnné hmotnosti během impulsu síly. Velmi často to tak je. Působí-li na těleso současně více sil F1, F2, ...Fn, potom je zapotřebí stanovit výslednici sil ~ Fv=~ F1+~ F2+... +~ Fn, z nichž některé se mohou kompenzovat (navzájem vyrušit). Proto je vhodné ve vztahu pro sílu ~ Fv=m~a, zdůraznit, že na levé straně rovnice je výsledná síla Fv. 2.3 Smykové tření. Při popisu skutečných pohybů se zpravidla neobejdeme bez započtení vlivu třecích sil. Blíže si povšimneme jenom suchého smykového tření mezi povrchy pevných těles. Musí se rozlišovat tření mezi tělesy, které jsou v relativním klidu od tření vzájemně se pohybujících a dotýkajících těles. Při relativním pohybu mezi tělesy v kontaktu na třecích plochách mluvíme odynamickém tření a pro třecí sílu platí vztah Ftd =fd·N, kde fdnazýváme součinitelem dynamického tření a je to bezrozměrná veličina. Pokud se tělesa vůči sobě nepohybují, jde o statické tření a odpovídající třecí síla je vždy stejně velká, jako síla, která se snaží tělesy vzájemně pohnout. Její maximální velikost se určí podle vztahu Fts =fs·N, kde fsnazýváme součinitelem statického tření a je vždy větší než fd. Npředstavuje v obou případech velikost normálové síly, tedy síly kolmé na povrch třecích ploch. Třecí síla má vždy opačný směr než relativní pohyb tělesa po základně, tedy opačný směr než ~v. Oba uvedené vztahy nesmíme zapsat vektorově, i když popisují velikost vektorů, neboť vektory na levé a pravé straně rovnice nemají stejný směr. Přípravný kurz fyziky Dynamika 21 2.4 Moment síly a rotace. Máme-li otočně upevněné těleso (např. automobilový volant), které se může pouze otáčet okolo pevné osy otáčení, potom síla působící mimo otočnou osu v kolmém mimoběžném směru (např. ruka otáčející volantem) způsobí vznik dvojice stejně velkých opačně orientovaných sil (ruka - osa volantu). Dvojice sil způsobí otáčivý pohyb, neboť posuvný pohyb pevná osa nepřipustí. Proto také v ose vznikne stejně veliká opačně orientovaná síla, aby výslednice sil ve všech směrech byla nulová. Nejkratší vzdálenost těchto rovnoběžných sil označme d. Moment dvojice sil Mdefinujeme vztahem M=d·F. (N·m) Během časového intervalu ∆tzpůsobí střední hodnota momentu sil odpovídající změnu momentu hybnosti podle vztahu Ms∆t= ∆L, ze kterého vyjádříme střední hodnotu momentu sil Ms=∆L ∆t=I·∆ω ∆t. Pro ∆t→0je okamžitá hodnota momentu síly M=Ilim ∆t→0 ∆ω ∆t=I·dω dt =I·ε. 2.5 Newtonovy zákony. Uvedené formulace a vztahy vyjadřují první dva Newtonovy zákony mechaniky. Třetí Newtonův zákon mechaniky vyjadřuje skutečnost, že působení sil nebo momentů sil okolních těles na naše zkoumané těleso je doprovázeno opačně orientovanými stejně velkými silami nebo momenty sil našeho tělesa na odpovídající okolní tělesa. Jinak řečeno, každá akční síla případně moment sil působící na naše těleso vyvolá naším tělesem u odpovídajícího zdroje reakční sílu případně reakční moment síly. Přípravný kurz fyziky Dynamika 22 Řešené příklady • Ocelové trubky o délce l= 6 m jsou složeny na podstavcích, které jsou od sebe vzdáleny x= 2 m. Jak mají trubky přečnívat na obou stranách podstavců, jestliže má na jeden podstavec působit síla velikosti 3/5 a na druhý 2/5 tíhy trubek? ✻ F1 ✻ F2 ✲✛ l1✲✛ l2 T ✲✛ r1✲✛ r2 ✛ ✲ x Řešení Označme si vzdálenost těžiště od podstavců jako na náčrtku a napišme vztah pro rovnováhu momentů sil. Vzhledem k těžišti Tplatí: ~ M1+~ M2=~ 0 r1·F1−r2·F2= 0 r1·3 5G−r2·2 5G= 0 r1=2 3r2 Polohu těžiště určíme číselně dosazením. x=r1+r2 x=2 3r2+r2=5 3r2 r2=3 5x=3 5·2 = 1,2m A z toho pro délky přečnívajících konců platí: l1=1 2l−r1= 3 −0,8 = 2,2m l2=1 2l−r2= 3 −1,2 = 1,8m Přípravný kurz fyziky Dynamika 23 • Raketa dosáhla horních vrstev atmosféry a odhodila koncový stupeň o hmotnosti m2. Před jeho odhozením byla rychlost rakety v. Po odhození klesla rychlost koncového stupně na v2=0 m·s−1. Jakou rychlostí v1se pohyboval zbytek rakety o hmotnosti m1? Řešení Pohybový stav rakety před odhozením koncového stupně můžeme popsat hybností p= (m1+m2)v. Při odhazování koncového stupně na sebe zpravidla působí obě části silami, které mění jejich hybnost o ∆p. Tyto síly mají stejnou velikost, pouze jejich směry jsou navzájem opačné. Proto se hybnost obou částí změní stejnou měrou, ale pro jednu z nich to znamená nárůst p′ 1=p1+ ∆p, kdežto pro druhou to znamená pokles p′ 2=p2−∆p. Celková hybnost (zanedbáváme po tuto dobu působení jiných sil) proto zůstává zachována, což lze vyjádřit rovnicí v(m1+m2) = v1m1+v2m2. Protože rychlost v2=0, lze velice jednoduše pro rychlost zbylé části rakety odvodit vztah v1=v(m1+m2) m1 . Příklady na procvičení 1. Vagón o hmotnosti 35 tun se pohybuje rychlostí v1=0,4 m·s−1a narazí na stojící vagón o hmotnosti 21tun. Při nárazu se automaticky zavěsí spojka. Jak velkou společnou rychlostí se pohybují oba vagóny? 2. Dělo je na plošině vagónu, který se pohybuje setrvačností po vodorovné trati v přímém směru rychlostí ~v. Hlaveň děla míří ve směru pohybu vagónu a svírá s vodorovnou rovinou úhel α. Po výstřelu děla klesla rychlost vagónu o 1/3 původní rychlosti. Určete rychlost ~v1náboje vzhledem k místu výstřelu. Hmotnost vystřeleného náboje je m1a hmotnost vagónu s dělem je m. 3. Při provazochodecké produkci je lano zatíženo uprostřed své délky silou 600 N a průhyb od vodorovného směru je 5◦. Jakou tahovou silou je lano namáháno? Jakou silou je namáháno lano, které zajišťuje nosnou tyč ve směru provazochodeckého lana a s tyčí svírá úhel 30◦a tedy se zemí (kde je ukotveno) svírá úhel 60◦? Přípravný kurz fyziky Práce a mechanická energie 30 3. Na drsné vodorovné podložce je vodorovným lanem na vzdálenost 2m vlečena bedna o hmotnosti m=60kg. Součinitel smykového tření f= 0,2a lano je napínáno silou ~ F1o velikosti F1=150N. (a) Vyjmenujte a do náčrtku přibližně zakreslete všechny síly, které působí na bednu. (b) Určete směr a velikost síly ~ R, kterou na bednu působí podložka. (c) Vypočtěte práci síly ~ F1. (d) Vypočtěte střední výkon síly ~ F1. (e) Přestane-li síla F1na konci vzdálenosti 2 m působit, na jak dlouhé dráze se bedna zastaví? 4. Na přímé vodorovné dráze délky s=100 m se pohybuje automobil se zrychlením o velikosti a=0,8 m·s−2. Hmotnost automobilu i s nákladem je m=1500 kg a jeho počáteční rychlost byla 15 m·s−1. (a) Vypočtěte práci výsledné síly Fvpůsobící na automobil. (b) Stanovte přírůstek kinetické energie automobilu. (c) Vypočtěte výslednou kinetickou energii automobilu. (d) Vypočtěte rychlost automobilu na konci dráhy s. (e) Jaká je úhlová rychlost kol automobilu, která mají průměr 60 cm, na konci dráhy s? (f) K předchozímu výsledku stanovte moment síly na hnacím kole automobilu, který odpovídá výsledné síle Fv. (g) Stanovte počet otáček motoru, když převodovka zpomaluje otáčky motoru čtyřnásobně. (h) Jaká je účinnost převodového ústrojí automobilu, jestliže točivý moment motoru je 225 Nm? 5. Střela o hmotnosti 20 g zasáhla dřevěnou desku a pronikla do hloubky 8cm. Průměrná odporová síla, kterou dřevo působí na střelu je 5 kN. (a) Jakou kinetickou energii měla střela před nárazem na desku? (b) Jakou rychlost by měla střela po průchodu deskou tloušťky 3cm? 6. Vystřelené torpédo je při pohybu pod vodní hladinou poháněno motorem na stlačený vzduch. Motor má výkon 60kW a jeho účinnost je 84%. Určete tahovou sílu hnacího šroubu, jestliže torpédo urazí za dobu 5min. rovnoměrným pohybem dráhu 4500 m. 7. Kultivátor, jehož pracovní záběr je 255cm, zkypří za 1 hodinu ornici na ploše o obsahu 1,5 hektaru. Vypočtěte průměrnou odporovou sílu ornice, je-li kultivátor tažen traktorem o užitečném výkonu 25kW. Přípravný kurz fyziky Gravitační pole a těžiště tělesa 31 4 Gravitační pole a těžiště tělesa. 4.1 Gravitace Newton zformuloval zákon gravitační přitažlivosti mezi bodovým tělesem hmotnosti m1a bodovým tělesem hmotnosti m2, které je od prvního tělesa vzdáleno o r, vztahem F=κm1.m2 r2, kde gravitační konstanta κmá v soustavě SI velikost 6,67·10−11 m3·kg−1·s−2. Vztah pro velikost gravitační síly musíme doplnit o směr působení síly, který určuje spojnice hmotných bodů a o orientaci síly, která směřuje od hmotnosti m1k hmotnému bodu m2. Podle principu akce a reakce působí hmotnost m2na hmotný bod m1silou stejné velikosti a stejného směru, avšak opačné orientace než v prvním případě. Označíme-li jednotkový vektor ~ro 12 odvozený od vektoru ~r12 (orientované úsečky od hmotného bodu 1 k bodu 2) můžeme gravitační zákon zapsat vektorově ~ F12 =κm1m2 r2~ro 12. Newtonův gravitační zákon platí jak pro hmotné body, tak pro tělesa kulového tvaru. Pro jiné tvary těles (s nezanedbatelnými rozměry ve srovnání se vzdáleností) neplatí. Každý hmotný bod nebo koule hmotnosti Mvytváří kolem sebe silové pole. Charakterizujeme ho intenzitou gravitačního pole ~ Kg, která odpovídá síle působící na zkušební hmotný bod o hmotnosti m ~ Kg=~ F m. Pro názornost si vypočítáme velikost intenzity gravitačního pole na Zemi na jejím povrchu. Kg=κMz R2 z = 6,67·10−11 5,98·1024 (6,37·106)2= 9,8m·s−2 Ve výši hnad Zemí je intenzita jiná, například ve výši 30 km nad povrchem Země vypočteme Kg=κMz (Rz+h)2= 6,67·10−11 5,98·1024 (6,41·106)2= 9,7m·s−2 Přípravný kurz fyziky Gravitační pole a těžiště tělesa 32 4.2 Tíhová síla a těžiště těles. Tělesa na povrchu Země jsou nejenom gravitační silou přitahována, ale i odstředivou silou odpuzována. Na rovníku je odstředivé zrychlení Rzω2= 0,03 m·s−2, kde perioda otáčení Země T= 60 ·60 ·24 = 86400 s. Směrem k oběma pólům klesá odstředivá síla až k nule. Malinké odchylky ve velikosti přitažlivé síly na povrchu Země způsobují v daném místě výrazné odchylky hustoty podloží od průměru (např. kovová ruda, nebo naopak dutiny s ropou) nebo i přilehlých hor a v nepatrné míře i gravitační pole Slunce a Měsíce. Výsledná přitažlivá síla se nazývá tíhová síla ~ Ga od ní je odvozeno odpovídající tíhové zrychlení ~g. Výslednice tíhových sil, působících na každou molekulu jednoho tělesa, je v těžišti tělesa. Zavěsíme-li těleso v některém jeho bodě, budou ho momenty tíhových sil natáčet do polohy, ve které spojnice závěsu a těžiště tělesa (nazýváme ji těžnicí) bude mít svislý směr. Práce tíhového pole nad Zemí. Přestane-li být sledované těleso v kontaktu s okolními tělesy, stane se výslednou sílou tíhová síla. Sledované těleso začne padat svisle dolů se zrychlením ga tíhová síla bude konat práci W=mgh, kde hje délka volného pádu. Při pohybu po nakloněné rovině koná práci jenom složka tíhové síly ve směru dráhy s(tedy mg·cos α). Při vodorovném nebo šikmém vrhu se úhel dráhy a tíhové síly neustále mění. Prakticky výhodnější bývá promítat dráhu do svislého směru tíhové síly, kdy ∆s·cos α= ∆h. Vodorovný nebo i šikmý vrh můžeme počítat jako pohyb složený z vodorovného pohybu a volného pádu. Matematické kyvadlo. Hmotný bod zavěšený na niti se zanedbatelnou hmotností v tíhovem poli představuje matematické kyvadlo. Z pohybových rovnic se s pomocí diferenciálního počtu odvozuje přibližný vztah pro dobu kmitu kyvadla T T= 2πsl g, kde lje délkou závěsu a gje tíhovým zrychlením. Stojí za povšimnutí, že doba kmitu v tomto výrazu nezávisí na velikosti největší úhlové výchylky od svislice, tedy ani na velikosti dráhy jedné periody kmitu. Po uvolnění kyvadla, vychýleného z rovnovážné polohy, bude tíhová síla vracet zavěšené těleso do rovnovážné polohy a těleso klesne o výšku h. Práce tíhové síly se přeměnila v kinetickou energii, která je největší při průchodu rovnovážnou polohou. Setrvačností se zavěšené těleso bude pohybovat dále a překmitne tak postupně až do druhé krajní polohy, kdy se na okamžik zastaví. Celá kinetická energie se přeměnila v tíhovou energii Et, jestliže tření by bylo zanedbatelně malé. Ačkoliv potenciální energie Et(t)i kinetická energie Přípravný kurz fyziky Gravitační pole a těžiště tělesa 33 Ek(t)jsou funkcí času, jejich součet, nazývaný mechanická energie Emje konstantní. Em=Et+Ek. 5 Pružina. Třetí formou mechanické energie je elastická energie pružiny Eeve tvaru Ee=1 2kx2, kde xje velikost protažení nebo zkrácení pružiny vzhledem k rovnovážnému stavu, kje tuhost pružiny namáhané silou F(menší než je mez úměrnosti pružiny). V takovém případě splňuje pružina Hookův zákon F=kx. Jednotkou tuhosti pružiny je newton/metr. Těleso připojené k pružině po vychýlení bude kmitat podobně jako kyvadlo, avšak s periodou T= 2πrm k, za předpokladu, že hmotnost pružiny je ve srovnání s hmotností tělesa m (připevněného k pružině a kmitajícího s pružinou) zanedbatelně malá. Řešený příklad Svisle orientovaná pružina o tuhosti k= 500N/m byla stlačena o d=10 cm a na její konec byl položen kámen o hmotnosti m= 0,5kg. S jakým největším zrychlením se bude kámen pohybovat po uvolnění pružiny? Jak vysoko vyletí, zanedbáme-li odpor vzduchu? Řešení Kámen se bude pohybovat s největším zrychlením v okamžiku, kdy na něj bude působit největší síla, tedy bezprostředně po uvolnění pružiny. amax =Fp−G m=k·d−m·g m=500 ·0,1−0,5·10 0,5= 90 m·s−2 Maximální výšku h, které kámen dosáhne, lze nejsnáze spočítat ze zákona zachování energie: 1 2kd2=mgh Přípravný kurz fyziky Gravitační pole a těžiště tělesa 34 h=kd2 2mg =500 ·0,12 2·0,5·10 = 0,5m Příklady na procvičení 1. Těleso klouže dolů po nakloněné rovině svírající s vodorovnou rovinou úhel α= 30◦. (a) S jak velkým zrychlením těleso klouže po nakloněné rovině, je-li součinitel dynamického smykového tření mezi tělesem a nakloněnou rovinou fd= 0,30? (b) Pod jakým úhlem musí být nakloněna stejná rovina, aby těleso na ni položené neklouzalo, pokud součinitel statického tření fs= 0,40? (c) Za jakých okolností by mohlo těleso po nakloněné rovině klouzat rovnoměrnou rychlostí? 2. V gravitačním poli vesmíru se pohybuje kosmická loď. Na dráze z místa A do místa B vykonala gravitační síla během pohybu práci 2·1010 J, pak na dráze mezi body B a C vykonala práci -6·1010 J a na cestě z C do D vykonala práci 1·1010 J. (a) Jakou práci vykonaly motory kosmické lodě na cestě z A do D? (b) Určete, ve kterém z uvedených míst měla kosmická loď největší potenciální gravitační energii. (c) Jakou práci vykonala gravitační síla při návratu kosmické lodě z místa D do výchozího místa A? 3. Kámen o hmotnosti 0,4kg byl vržen šikmo vzhůru ve výšce 12 m nad hladinou rybníka hlubokého 5 m, dopadl na hladinu a klesl ke dnu. Určete práci, kterou přitom vykonala tíhová síla na něj působící. 4. Na svisle visící ideální pružinu o tuhosti k= 50 N/m bylo zavěšeno těleso o hmotnosti m=0,5 kg a puštěno. Hmotnost pružiny byla vzhledem k zavěšenému tělesu zanedbatelně malá. Těleso po zavěšení a puštění volně kmitalo ve svislém směru. Síly odporu prostředí zanedbáme. (a) Určete dobu kmitu tělesa na pružině. (b) Vypočtěte největší protažení pružiny při těchto kmitech. Přípravný kurz fyziky Gravitační pole a těžiště tělesa 35 5. Kámen o hmotnosti m=0,5kg byl vržen v bodě P ve výšce h=30m nad vodorovným povrchem Země postupně rychlostmi ~v1,~v2,~v3(viz obrázek), které měly stejnou velikost v=20 m·s−1(úhel α= 30◦). Trajektorie všech tří případů končily na povrchu Země. Zanedbejte odpor vzduchu a zakreslete přibližný tvar trajektorií. ✲ ❄ ✁✁✁✁✕ ~v1 ~v2 ~v3 P α (a) Vypočtěte práci, kterou vykonala tíhová síla na každé ze tří trajektorií. (b) Určete mechanickou energii kamene v bodě Pa v bodech dopadu P1, P2, P3. (c) Vypočtěte rychlosti dopadu vd1, vd2, vd3 kamene na zem. (d) Nalezněte vztahy mezi rychlostmi dopadu v případě, že by odpor vzduchu nebyl zanedbatelný. 6. Matematické kyvadlo je tvořeno kuličkou o hmotnosti m= 100 g, která je zavěšena na vlákně se zanedbatelnou hmotností o délce l= 80 cm. Kyvadlo bylo vychýleno z rovnovážné polohy o úhel α= 60◦a uvolněno, takže začalo kývat. Odpor vzduchu zanedbáme. (a) Nakreslete náčrtek kyvadla a vyjmenujte síly, které na něj působily. Určete ty z nich, které konaly práci. (b) Nalezněte kinetickou energii kyvadla při průchodu rovnovážnou polohou. (c) Vypočtěte hybnost kuličky při průchodu rovnovážnou polohou. (d) Určete dobu kmitu kyvadla. Přípravný kurz fyziky Mechanika tekutin 36 6 Mechanika tekutin. Úvodní příklady 1. Šikmo položeným potrubím stálého průřezu teče kapalina. Proudění je ustálené. V místě 1 má kapalina rychlost v1. V místě 2 má rychlost h 1 2 smìr svisle dolù + + v1 a) v2=v1+ 2gh b) v2=v1+gh c) v2=v1+√2gh d) v2=v1 2. V kapalině o hustotě ρkplove těleso o hustotě ρt=3 4ρk. Nad hladinou se nachází a) 50% tělesa b) 75% objemu tělesa c) 43% objemu tělesa d) 25% objemu tělesa 3. Těleso o hustotě ρ1plave v kapalině o hustotě ρ2. Pod hladinou kapaliny je 40% objemu tělesa. Platí: 1 40% r r2 a) ρ2= 0,4ρ1 b) ρ2= 1,4ρ1 c) ρ2= 1,6ρ1 d) ρ2= 2,5ρ1 4. Nádoby A,B,Cmají dna stejných ploch S. V nádobách je nalita stejná kapalina do stejné výšky h. Platí S S S hABC a) Tlak kapaliny u dna je největší v nádobě A b) V nádobě Cpůsobí kapalina na dno největší silou c) Tíha kapaliny je ve všech třech nádobách stejná d) Na dna všech tří nádob působí kapalina stejnou silou Správné odpovědi: 1d, 2d, 3d, 4d Přípravný kurz fyziky Mechanika tekutin 37 5. Válcová nádoba s plochou dna S= 2 dm2je naplněna kapalinou o hustotě ρ= 8·102kg.m−3. Hydrostatický tlak u dna je 4·103Pa. Určete objem kapaliny. V= 10 dm3 6. Po rybníku jezdí dítě na dřevěné desce. Horní plocha desky je v úrovni hladiny. Deska má hmotnost m1= 30 kg, hustota dřeva ρ1= 0,6·103kg·m−3, hustota vody ρ2= 1,0·103kg·m−3. Vypočtěte hmotnost dítěte. hladina m= 20 kg 7. V petroleji o hustotě ρ= 8·102kg·m−3plave těleso hmotnosti m= 2 kg, objemu V= 5 dm3. Určete objem ponořené části tělesa Vp. Vp= 2,5dm3 8. Ponorka je v hloubce h= 30 m pod hladinou. Tlak v této hloubce je p1= 4,0·105Pa. Uvnitř ponorky je tlak p2=1,0·105Pa. Určete, jak velká je výsledná tlaková síla působící na okénko ponorky o ploše S= 2 dm2. F= 6·103N 9. V nádobě s plochou dna S1= 30cm2sahá kapalina do výšky h= 20 cm. Hladina má plochu S2= 40cm2. Kapalina má hustotu = 1,2· 103kg·m−3. Vypočtěte velikost síly F, kterou kapalina působí na dno. S2 S1 h F= 7,2N 10. Na hladině kapaliny o hustotě ρ1= 8,0·102kg·m−3plove těleso, přitom 30% objemu tělesa je nad hladinou. Vypočtěte hustotu tělesa ρ2. ρ2= 560 kg·m−3 Přípravný kurz fyziky Mechanika tekutin 38 Pod pojem tekutiny zahrnujeme kapaliny i plyny, neboť mají některé mechanické vlastnosti shodné. Plyny jsou vyloučeny z výkladu až v části o hydrodynamice ideálních kapalin. Tlak ptekutiny je skalární veličina, kterou můžeme určit v libovolném místě tekutiny výpočtem pomocí vztahu p=|∆Fn| ∆S,(Pa = N·m−2) kde ∆Fnje normálová složka síly, kterou tekutina tlačí v daném bodě na libovolně orientovanou plošku velikosti ∆S. Tlak v daném bodě je ve všech směrech stejně veliký a tedy nezáleží na směru, ve kterém ho zjišťujeme. 6.1 Archimédův zákon. Těleso, které je ponořeno do tekutiny v tíhovém poli Země (s tíhovým zrychlením ~g) je tekutinou nadlehčováno silou ~ F=−tV ~g, kde tje hustota tekutiny a Vje objem ponořené části tělesa. Takzvaná vztlaková síla je důsledkem rozdílného hydrostatického tlaku na dolní a na horní ploše nadlehčovaného tělesa. Pokud by tekutina nebyla v tíhovém poli Země, měla by v klidu všude stejný tlak. Tíhové pole vytváří tlak vrchnějšch vrstev tekutiny na spodnější vrstvy v důsledku působení tíhových sil. Proto ve větší hloubce h2proti menší hloubce h1od povrchu tekutiny se tlak zvyšuje podle vztahu ∆p=p2−p1=g(h2−h1), kde je hustota tekutiny. Vztah platí jenom za předpokladu, že hustota i tíhové zrychlení jsou všude v tekutině stejně velké, což v praxi bývá obvykle splněno. 6.2 Hydrodynamika ideální kapaliny. Následující výklad popisuje ideálně nestlačitelné tekutiny. Vylučujeme tedy plyny i kapaliny obsahující mnoho plynových bublinek. Ustálené proudění v nerozvětveném potrubí s průřezem S(který je kolmý na stěny trubice), má v libovolném místě A trubice tlak pAi rychlost proudění vAs časem se neměnící. V trubici s proudící kapalinou, pro dva libovolně umístěné body A, B, platí dva důležité zákony: 1. Rovnice kontinuity. vASA=vBSB=konst. Přípravný kurz fyziky Mechanika tekutin 39 2. Bernoulliova rovnice. pA+ghA+1 2v2 A=pB+ghB+1 2v2 B=konst. Bernoulliova rovnice se zjednoduší pro vodorovnou trubici, kde hA=hB a druhý sčítanec na obou stranách se zruší. Mění-li se průřezy trubice Sv bodě B ve srovnání s průřezem v bodě A, nutno použít oba zákony současně. Příklady na procvičení 1. Vypočtěte tlak vody u dna hrnce naplněného až po okraj vodou a sílu zatížení dna hrnce, jestliže hrnec je 2dm vysoký a průměr jeho dna je 1,5dm. Atmosférický tlak je 0,1 MPa a hustota vody = 103kg·m−3. 2. Úvahou o rovnováze tekutiny ve svislé válcové nádobě dokažte vztah p1−p2=g(h2−h1). Může horolezec určovat výšku výstupu pomocí citlivého manometru? 3. V cisterně tvaru komolého kužele je voda. Atmosférický tlak pat= 0,1MPa, výška hladiny vody je 3m (měřeno ode dna), průměr kruhové základny dna je 1,2 m a průměr hladiny je 2 m. (a) Určete objem vody a její hmotnost (b) Určete tlak vody u dna cisterny (c) Vypočtěte sílu, kterou voda tlačí na dno cisterny. (d) Vypočtěte velikost výsledné síly, kterou působí voda na kuželovou stěnu. 4. V oleji o hustotě 1=920 kg·m−3je zavěšena na vlákně ocelová krychle o hraně délky 150 mm (hustota oceli 2= 7,7·103kg·m−3) tak, že horní plocha krychle je rovnoběžná s hladinou a nachází se pod ní v hloubce 100 mm. (a) Určete síly, kterými voda působí na horní a dolní stěnu krychle. (b) Určete výslednici sil, kterou působí voda na svislou část povrchu krychle. (c) Určete výslednici sil, kterou působí voda na krychli. (d) Ověřte platnost Archimédova zákona v uvažovaném případě. (e) Vypočtěte sílu, kterou působí krychle na vlákno. Přípravný kurz fyziky Teplo a teplota 46 • Led o hmotnosti m1=1kg a o teplotě t1=-1◦C se ponoří do 1 l vody 100◦C teplé. Měrná tepelná kapacita ledu je c1=2,1kJ·kg−1·K−1. Měrné skupenské teplo tání ledu lt=334kJ·kg−1. Jakou výslednou teplotu tv bude mít voda až led roztaje? Řešení Hmotnost vody o objemu 1 l (hustota vody = 1·103kg·m−3) je 1kg. Označme hmotnost, měrnou tepelnou kapacitu a teplotu vody na začátku m2=1kg, c2= 4,2·103J·kg−1·K−1at2=100◦C. Tepelnou bilanci systému lze zapsat rovnicí m2c2(t2−tv) = m1c1(0 −t1) + m1lt+m1c2(tv−0), kde první člen vyjadřuje teplo odevzdané teplou vodou, druhý člen vyjadřuje teplo, které bylo dodáno ledu, aby se ohřál o 1◦C, třetí člen je teplo přijaté ledem, aby roztál a poslední člen pak vyjadřuje teplo nutné na ohřátí vody, vzniklé roztátím ledu. Jelikož m1=m2, lze uvedenou rovnici upravit do tvaru c2(t2−2tv) = −c1t1+lt a z toho lze výslednou teplotu vyjádřit jako tv=t2 2−lt−c1t1 2c2 . Dosazením získáme výsledek tv=100 2−334·103+ 2,1·103·1 2·4,2·103= 10◦C. Příklady na procvičení 1. V železné nádobě hmotnosti 2 kg je voda hmotnosti 5 kg. Měrná tepelná kapacita železa je 460J·kg−1·K−1. Kolik tepla je potřeba dodat na zahřátí této soustavy z 20◦C na 100◦C? 2. Do nádrže obsahující 35 kg oleje teploty 30◦C jsme při kalení ponořili ocelový předmět ohřátý na teplotu 800◦C. Vypočítejte jaká je hmotnost tohoto předmětu, když se po jeho vložení do oleje teplota ustálila na 58◦C. (Měrná tepelná kapacita oleje je 1674J·kg−1·K−1a oceli je 460 J·kg−1·K−1) Přípravný kurz fyziky Teplo a teplota 47 3. V kalorimetru o tepelné kapacitě 12,5J·K−1je voda hmotnosti 500 g o teplotě 25◦C. Po ponoření tělíska hmotnosti 100 g a teplotě 115◦C se teplota ustálí na 35◦C. Vypočítejte měrnou tepelnou kapacitu materiálu, z něhož je tělísko zhotoveno. 4. Topným tělískem elektrického kalorimetru protékal po dobu 140s proud 1,4A při napětí 2,7V. Voda v kalorimetru o hmotnosti 400g se ohřála o 0,3◦C. Určete tepelnou kapacitu kalorimetru. 5. V elektrickém ohřívači se ohřívá voda hmotnosti 25kg. (a) Jaké množství tepla voda přijme, jestliže se její teplota zvýší z 16◦C na 60◦C? (b) Jak dlouho trvá ohřívání, je-li příkon topného tělesa 1,7kW? Tepelnou kapacitu ohřívače lze zanedbat. 6. Zmenšíme-li určitý objem vzduchu izotermickým stlačením o 5l, zvýšíme jeho tlak na trojnásobnou hodnotu. Jak velký byl počáteční objem vzduchu V? 7. Určité množství plynu má objem 0,3m3při tlaku 1·105Pa a teplotě 10◦C. Jak velkou práci plyn vykoná při vzrůstu teploty na 100◦C při konstantním tlaku? 8. Při adiabatickém rozepnutí plynu vykonal plyn práci 0,6kJ. O jakou hodnotu se změnila vnitřní energie plynu? Změnila se teplota plynu? 9. Tepelný stroj (turbína) má pohánět čerpadlo vody ze studny o hloubce 20m. Do turbíny proudí páry organické kapaliny, zahřáté slunečními kolektory na teplotu 90◦C a po průchodu turbínou kondenzují chlazením čerpanou vodou při teplotě 20◦C. Jaké minimální teplo musí dodat kolektory, aby se vyčerpal 1m3vody? 10. Do místnosti vytápěné radiátorem je během jedné hodiny dodáno Q= 8,4·105J tepla. Voda vstupující do radiátoru má teplotu t1= 80◦C, voda vystupující z radiátoru má teplotu t2= 70◦C. Vypočtěte hmotnost vody, která radiátorem za hodinu proteče. Měrná tepelná kapacita vody c= 4,2·103J·kg−1·K−1. 11. Množství kyslíku, jež má za tlaku p1= 1·105Pa a teploty t= 20◦C objem V1= 3m3, má být umístěno do láhve. V láhvi má mít kyslík při teplotě 20◦C tlak p2= 6·105Pa. Jaký objem V2láhve zvolíte? Přípravný kurz fyziky Kmitání a vlnění 48 8 Kmitání a vlnění. Úvodní příklady 1. Vlnění o frekvenci 600 Hz se šíří ve vzduchu rychlostí 300 m·s−1. Vnikne do vody, kde se šíří rychlostí 1 000 m·s−1. Ve vodě má frekvenci a) 2 000 Hz b) 600Hz c) 180Hz d) 67Hz 2. Vlnění o vlnové délce λurazí během 5 sekund vzdálenost rovnu 2λ. Vlnění má periodu a) 10 s b) 2,5s c) 1,25s d) 0,4s 3. Po provaze se šíří vlnění. Vlnová délka vlnění je a) vzdálenost, kterou vlnění urazí za 1 sekundu b) vzdálenost, kterou vlnění urazí za 1 periodu c) rovna součinu frekvence a amplitudy vlnění d) rovna dvojnásobku amplitudy vlnění 4. Elektromagnetické vlny se šíří rychlostí 3,0·108m·s−1. Rozhlasová vlna o frekvenci 60kHz má vlnovou délku a) 5,0km b) 1,8km c) 2,0km d) 5,0m 5. Po provaze postupuje vlna rychlostí 40m·s−1. Amplituda výchylky je 15cm, perioda je 0,2s. Vlnová délka je a) 0,3m b) 1,2m c) 4m d) 8m 6. Vlnění o periodě 2·10−2s urazí za 5 sekund dráhu 1 km. Vlnění má vlnovou délku a) 0,25 m b) 1,0m c) 2,5m d) 4,0m Správné odpovědi: 1b, 2b, 3b, 4a, 5d, 6d Přípravný kurz fyziky Kmitání a vlnění 49 8.1 Kmity G Fp rovnováha y 0 y t 0 T Obrázek 3: Jednoduchý kmitavý systém - oscilátor Představme si těleso hmotnosti mzavěšené na pružině a tato soustava je v klidu (obr. 3). Pružina je ve srovnání se situací bez zavěšeného tělesa protažená vlivem tíhové síly G=m·g. Protažení ypje přímo úměrné působící tíhové síle. V rovnovážné poloze je tíhová síla opačně orientovaná a stejně velká jako síla pružiny Fpa pro její velikost platí Fp=k.yp, kde ypje protažení pružiny a součinitel úměrnosti kje již dříve definovaná tuhost pružiny. Když těleso vychýlíme z rovnovážné polohy, bude převažující síla do této polohy těleso vracet. Těleso při návratu do rovnovážné polohy získává kinetickou energii a proto překmitne do opačné výchylky. Dochází k přelévání energie pružiny v energii kinetickou a naopak. Těleso kmitá periodicky (s periodou T) kolem rovnovážné polohy a časová závislost jeho polohy je určena harmonickou funkcí y=y0sin 2πft, (1) kde největší výchylku y0nazýváme amplitudou kmitání a tak zvaná frekvence kmitání f(počet kmitů za sekundu) je určena vztahem f=1 T=1 2πsk m. Často používanou veličinou je úhlová frekvence kmitání Ω, která souvisí s frekvencí vztahem Ω = 2πf. Celý argument funkce sinus ve vztahu (1) je nazýván fází kmitání. Kmity nemusí začínat vždy z rovnovážné polohy. To vyjadřujeme pomocí počáteční fáze ϕ0. Kmitavá výchylka fyzikální veličiny má tedy následující obecný tvar y=y0sin(Ωt+ϕ0). Přípravný kurz fyziky Kmitání a vlnění 50 Přeneseně kmitáním nazýváme i jiné případy periodicky se měnící fyzikální veličiny, jejíž časová změna je vyjádřena harmonickou funkcí. Na příklad pro dobu kmitu matematického kyvadla s délkou závěsu lplatí T= 2πsl g. 8.2 Vlnění Jestliže se kmitání může přenášet dál postupně do okolí zdroje kmitů např. ve směru osy x, potom ve vzdálenosti xod zdroje kmitání pozorujeme stejné kmitání, avšak se zpožděním τ. (Představme si dlouhou gumovou hadici, jejíž konec držíme v ruce a prudce zakmitneme. Kmity se přenáší podél hadice až na druhý konec, pokud útlumem po cestě nezaniknou.) Jestliže útlum kmitů je při přenosu zanedbatelný a fázová rychlost c, se kterou se vlnění podél osy x přenáší, se využije pro vyjádření zpoždění kmitů ve vzdálenosti x, dostaneme rovnici vlnění ve tvaru u=u0sin Ω(t−τ) = u0sin Ω(t−x c) = u0sin 2π(t T−x λ), kde λje vlnová délka a také dráha během doby T(tedy jedné periody) a platí λ=c·T. Výchylku vlnění označujeme u, narozdíl od výchylky kmitání y. V trojrozměrném prostoru je výchylka vlnění nejenom funkcí času ta souřadnice x, ale i y az. Argument trigonometrické funkce 2π(t T−x λ)nazýváme fází vlnění. Rychlost v(t), s jakou se výchylka kmitání y(t)mění, vyjadřuje vztah v=y0Ω cos (Ωt+ϕ0) a pro vlnění vu=u0Ω cos 2π(t T−x λ) Pro zrychlení akmitavého pohybu platí a=−y0(Ω)2sin (Ωt+ϕ0) = −y(Ω)2. Obdobně bychom odvodili výraz pro zrychlení kmitavého pohybu pro vlnění. Kinetická energie kmitavého pohybu se vyjádří vztahem Ek=1 2mv2=1 2my0 2Ω2cos2Ωt. Energie pružnosti podobným vztahem Ep=1 2ky2=1 2ky0 2sin2Ωt. Přípravný kurz fyziky Kmitání a vlnění 51 Celková energie oscilátoru E=Ek+Ep=1 2ky2 0 je konstantní. Pro úpravu vyjádření výsledné energie kmitání byl použitý vztah Ω = 2πf =sk m, který vyplývá ze základních vztahů pro frekvenci, nebo periodu kmitání pružiny. Již míněné vlny šířící se po hadici nebo třeba chvění houslové struny je typickým příkladem příčného vlnění. Při takovém má výchylka bodů z rovnovážné polohy směr kolmý ke směru šíření vlny. Oproti tomu vlnění, při kterém body prostředí, jímž se vlna šíří, kmitají ve směru šíření vlny, se nazývá podélné. Příkladem takového vlnění je zvuk. v v 12 v v 12 v v 1 2 Obrázek 4: Superpozice dvou proti sobě jdoucích pulsů Pokud se setkají dvě vlny, jejich výchylky se sčítají (dochází k superpozici) a vzniká nová výsledná vlna, jejíž výchylka bude dána vztahem y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t). Obě vlny tím však nezaniknou, ale pokračují dál v původním tvaru (obr. 4). Setkají-li se dvě proti sobě jdoucí vlny (např. vlna odražená od překážky a vlna dopadající), může vzniknout tzv. stojatá vlna. Přípravný kurz fyziky Optika 52 9 Optika. Úvodní příklady 1. Paprsek světla 1dopadá pod úhlem αna rozhraní dvou látek. Ve druhé látce postupuje směrem 2,βje úhel lomu. Označme f1frekvenci dopadajícího světla, f2frekvenci lomeného světla. Platí 1 2 a b a) f1.α =f2.β b) f1.β =f2.α c) f1.sin α=f2.sin β d) f1=f2 2. Označme rychlost světla ve vakuu c. Ve skle o indexu lomu 3 2se světlo šíří rychlostí a) 9 4c b) 3 2c c) 2 3c d) 1 3c 3. Na skleněný hranol dopadá ze vzduchu světelný paprsek 1. Ve skle postupuje nakresleným směrem. Ze skla (do vzduchu) vystoupí 1 a b c d e sklo a) směrem a b) směrem b c) směrem c d) směrem d 4. Na skleněný půlválec (index lomu skla n= 1,6) dopadá paprsek světla p. Na rovinné ploše půlválce se světlo láme do vzduchu a b c d 30 e a) směrem a b) směrem b c) směrem c d) směrem d Správné odpovědi: 1d, 2c, 3c, 4d Přípravný kurz fyziky Optika 53 9.1 Geometrická optika 9.1.1 Odraz a lom světla Světlo se šíří ve vakuu rychlostí v0=2,99·108m·s−1. V látkách jeho rychlost v závisí na druhu látky, vždy je však menší než ve vakuu. Index lomu nlátky je definován vztahem n=v0 v. Paprsky jsou křivky nebo přímky, v nichž se šíří ve světelném poli elektromagnetická energie. V prostředí s konstantním indexem lomu se šíří přímočaře. Na rozhraní dvou prostředí s různými indexy lomu se paprsky odrážejí a lámou. Všechny tyto paprsky (tedy: dopadající, odražený a lomený) leží v jedné rovině, která obsahuje také kolmici na lámavou plochu v místě dopadu paprsku. a) a1a1 a2 1 2 3 n1 n2 * b) a1a1 a2 1 2 3 n1 n2 * Obrázek 5: Odraz a lom světla na rovinném rozhraní mezi prostředím s indexem lomu n1a prostředím s indexem lomu n2pro a) n1< n2a b) n1> n2. 1. U odraženého paprsku je úhel odrazu α∗ 1(měřený od kolmice na rozhraní v místě dopadu paprsku) roven úhlu dopadu α1. 2. U lomeného paprsku platí pro úhel dopadu α1a úhel lomu α2 sin α1 sin α2 =v1 v2 =n2 n1 . Jestliže první prostředí (označované indexem 1) má index lomu n1větší než prostředí 2 s indexem lomu n2(obr. 5b), nabude pro určitý úhel α1max úhel α2hodnoty 900, tedy sin α1max =n2 n1. Při dopadu paprsku světla z prostředí 1 do prostředí 2 pod větším úhlem než α1max nastane úplný (totální) odraz a lom ani části paprsku nenastane. Příkladem odrazu a lomu světla na rovinném rozhraní může být vodní hladina. Na ní lze spatřit obraz předmětů nad hladinou i pod ní. Při pozorování pádla, které veslař ponořil částečně do vody, se pozorovateli nad hladinou jeví jako zlomené v místě rozhraní vzduchu a vody. Část ponořená ve vodě je zdánlivě blíže k hladině. Také kameny na dně velmi čisté vody vidíme blíže než skutečně Přípravný kurz fyziky Optika 54 jsou, a proto u hluboké vody se často podceňuje hloubka pozorované vody. Je to důsledek toho, že světelné paprsky vycházející z jednotlivých bodů předmětů pod vodou nedopadají do našeho oka přímo, ale po lomu, tedy z jiného směru, než by do oka přicházely bez lomu na rozhraní dvou prostředí. 9.1.2 Zobrazení pomocí zrcadel. Rovinné zrcadlo. Zářící bod před odraznou rovinou uvidíme v zrcadle opět jako zářící bod, který se nachází stejně daleko za zrcadlem. Spojnice zářícího bodu a jeho bodového obrazu je přímka kolmá na rovinu zrcadla. Za zrcadlem však obraz nevidíme, ani ho nezachytíme na stínítku. Uvidíme ho pouze z polohy před zrcadlem při pohledu do zrcadla a je tedy zdánlivý. Kulové zrcadlo. Zrcadlící plocha kulového zrcadla zobrazí zářící bod opět jako zářící bod. Obraz zářícího bodu leží vždy na spojnici předmětného zářícího bodu a středu křivosti Sjak v případě zrcadla dutého, tak i zrcadla vypuklého. Protože všechny paprsky vycházející z jediného předmětného bodu se po odrazu na kulové ploše protínají v jednom obrazovém bodě, k jeho konstrukci kromě paprsku jdoucího středem křivosti kulové plochy potřebujeme zakreslit průběh jiného (jinde na kulové ploše se odrážejícího) paprsku. Jestliže hledáme obrazy dvou zářících bodů, případně celé úsečky, zjistí se že vzdálenost obrazů dvou bodů je zpravidla jiná než vzdálenost předmětných bodů. Úsečka tedy bude kratší nebo delší. Předměty budou zobrazením na odrazné ploše zvětšeny, nebo zmenšeny. a a' a a' f' FS S F f' a'a Obrázek 6: Zobrazení pomocí vypuklého, rovinného a dutého zrcadla. Označíme-li délku úsečky ya jejího obrazu y′, kde y′je záporné v případě převráceného obrazu, potom zvětšení Zje Z=y′ y=−a′ a, kde aje vzdálenost předmětu od zrcadla, a′je vzdálenost obrazu od zrcadla. Přípravný kurz fyziky Optika 55 Pro tyto vzdálenosti platí zobrazovací rovnice 1 a′+1 a=1 f′. f′je vzdálenost obrazového ohniska Fod zrcadla a platí f′=R 2, tedy je to poloviční vzdálenost středu křivosti zrcadlící plochy, kterou jsme zde označili jako poloměr R. Vzdálenosti před zrcadlem (na té straně se vždy nachází předmět) jsou kladné. Jestliže nějaká vzdálenost vychází záporně, je za zrcadlící plochou. Proto u vypuklého zrcadla je Rif′záporné, u dutého zrcadla kladné. Vzdálenost předmětu od zrcadla aje vždy kladná. Vzdálenost obrazu a′může být kladná i záporná. U dutého zrcadla je a′vždy záporné, protože obraz je vždy za zrcadlem a je tedy jenom zdánlivý. 9.1.3 Zobrazení pomocí čoček. Čočky nemají odrazné plochy, ale lámavé kulové plochy, které jsou dvě. Spojnice středů křivosti těchto ploch je (hlavní) optickou osou. Spojná čočka má největší tloušťku na optické ose, kdežto rozptylka má v tomtéž místě tloušťku nejmenší. Pro zobrazení platí formálně stejné vztahy jako pro kulové zrcadlo. Rozdíl je však v tom, že obrazový prostor je u čoček na opačné straně než předmět a pouze v tomto prostoru je obrazová vzdálenost kladná. Ohnisková vzdálenost spojné čočky f′je kladná, u rozptylky záporná. 9.2 Vlnová optika Světlo je elektromagnetické vlnění, podobně jako rentgenové záření či TV signál. Přehled frekvencí jednotlivých známých druhů záření je na obr. 7. 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 frekvence [Hz]f rozhlas TV i.è. || u.f. rentgen kosmické | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | èervená - oranová - lutá - zelená - modrá - fialová Obrázek 7: Elektromagnetické spektrum Energie elektromagnetického vlnění se přenáší v kvantech (velmi malých konečných množstvích) nazývaných fotony. Energie, přenášená takovou vlnou je tedy součtem energií všech fotonů, které ji tvoří. Energie jednoho fotonu pak závisí pouze na jeho frekvenci fvztahem Ef=h·f, kde hje kvantová (Planckova) konstanta o velikosti h= 6,63·10−34 J·s. Přípravný kurz fyziky Elektřina 62 10.2 Vodiče a elektrické obvody Proud Ije množství elektrického náboje, který projde průřezem vodiče za jednotku času a jednotkou této veličiny je amper. Za čas ∆tprojde průřezem vodiče náboj ∆Q, tedy I=∆Q ∆t.(A) Elektrický proud, který s časem znatelně nemění svou velikost a směr je označován jako stejnosměrný. V praxi se však často setkáme se střídavým elektrickým proudem, který má harmonický časový průběh I=I0sin ωt, kde I0nazýváme amplitudou střídavého proudu a ω= 2πf je úhlová frekvence. Trvalý elektrický proud ve vodiči je možný jenom tehdy, když obíhá v uzavřeném vodiči (v uzavřené smyčce), protože jinak by se na jednom konci náboj odčerpal a po přenosu by se nahromadil na druhém konci. Docházelo by tím ke změnám velikosti elektrostatického silového pole. Oběh proudu nemohou zajistit Coulombovské síly ale cizí síly, které nejsou elektrostatického původu a které vytváří na další části smyčky trvalý potenciální rozdíl, kterému budeme říkat napětí U. Nejjednodušší elektrický obvod obsahující pouze zdroj napětí a rezistor je na obr. 9. ❜ ❜ A B - + Obrázek 9: Jednoduchý elektrický obvod Svorkové napětí Uszdroje vytvoří mezi body AB elektrostatický potenciální rozdíl UBA =ϕB−ϕAna rezistoru a tím v něm způsobí proud tekoucí od svorky B ke svorce A. Tento proud je přímo úměrný potenciálovému rozdílu UAB. Uvedenou úměrnost vyjádříme pomocí Ohmova zákona vztahem R=UBA I,(Ω) kde konstanta úměrnosti Rzávisí na použitém rezistoru a nazývá se elektrický odpor. Její jednotkou je ohm. Při sériovém zapojení rezistorů s odpory R1, R2...Rn(obr. 10a) je výsledný odpor dán jejich součtem. Při paralelním zapojení (obr. 10b) je převrácená hodnota výsledného odporu rovna součtu převrácených hodnot uvedených odporů. (Porovnejte se vztahy při řazení kondenzátorů) Přípravný kurz fyziky Elektřina 63 a) 1 R2 Rn R R=R1+R2+... +Rn b) 1 R2 Rn R 1 R=1 R1 +1 R2 +... +1 Rn Obrázek 10: a) Sériové a b) paralelní zapojení rezistorů. Elektrostatické síly vykonají během časového intervalu ∆tpráci ∆W= ∆EQ= ∆Q(ϕB−ϕA), a tím jejich okamžitý výkon vyjádříme vztahem P=∆W ∆t=∆Q ∆t(ϕB−ϕA) = I(ϕB−ϕA) = IU. Zdroj napětí koná práci na úkor své vnitřní energie. Například nejznámější typy zdrojů baterie i akumulátor získávají energii z chemické přeměny, termočlánek z dodaného tepla, fotočlánek z elektromagnetické energie dopadajících na něj světelných fotonů. Ze zkušeností vyplývá, že svorkové napětí Ussamotného zdroje závisí na velikosti zatížení. Čím větší je odebíraný proud, tím menší je Us, ačkoliv zátěž nemůže mít vliv na síly, které ve zdroji vytváří takzvané elektromotorické napětí zdroje Ue. Uvnitř zdroje si představujeme ohmický vnitřní odpor Risériově připojený ke zdroji Ue, takže svorkové napětí určuje vztah Us=Ue−RiI. 10.2.1 Kirchhoffovy zákony První Kirchhoffův zákon se týká proudů v uzlu elektrického obvodu a říká, že součet proudů Iido uzlu vtékajících musí být stejný, jako součet proudů Io, které z proudu vytékají, tedy že platí n X j=1 Iji= m X k=1 Iko. Druhý Kirchhoffův zákon zase říká, že algebraický součet elektromotorických napětí v jednoduchém elektrickém obvodu nebo jedné uzavřené smyčce je stejný jako součet všech úbytků napětí na rezistorech ve smyčce zapojených. n X i=1 Uei = n X k=1 RkIk Přípravný kurz fyziky Elektřina 64 Řešený příklad Zdroj má elektromotorické napětí Ue= 12 V. Voltmetr ukazuje napětí U= 6 V. Odpory R1= 3ΩaR2= 2 Ω. Jak velký je vnitřní odpor Rizdroje? U , R R1 i e R2 V Řešení Budeme-li považovat voltmetr za ideální, nebude jím protékat žádný proud a pomocí druhého Kirchhoffova zákona můžeme pro obvod sestavit rovnici Ue=I(R1+R2+Ri). Proud I, který protéká obvodem lze snadno určit pomocí známého napětí na rezistoru R1, které ukazuje voltmetr, takto I=U R1 =6 3= 2 A. Velikost vnitřního odporu zdroje lze potom určit dosazením do upravené první rovnice Ri=Ue I−R1−R2=12 2−3−2 = 1Ω. Příklady na procvičení 1. Každý ze zdrojů má elektromotorické napětí Ue= 12 V a vnitřní odpor Ri= 2 Ω. Jaký proud teče odporem R? R=16W 2. Napětí na svorkách zdroje je Us= 120V. Na rezistoru R1je napětí U1= 30 V. Určete odpor rezistoru R3. R1 45W 120V 60W 30V R2R3 ? Přípravný kurz fyziky Elektřina 65 3. Zdroj má elektromotorické napětí Ue= 22 V, vnitřní odpor Ri= 1 Ω. Na ampérmetru je údaj I2= 2 A. Platí R1=R2. Ampérmetr je ideální, má zanedbatelný odpor. Vypočtěte, jaký proud teče zdrojem. R1 A U , R R 2 e i 4. Obvod je v ustáleném stavu. Napětí zdroje je U = 300V; C1= 4·10−6F, C2= 2·10−6F. Jaký údaj je na voltmetru? (Voltmetr je ideální) V C U 1C2 5. Na žárovce 1 jsou údaje 220 V, 100W. Na žárovce 2 jsou údaje 220V, 60W. Žárovky jsou připojeny k síťovému napětí 220V. Určete proud odebíraný ze sítě. 1 2 6. Na ampérmetru je údaj 6A; R1=R2=R3= 5Ω. Jaké napětí je na rezistoru R3? R1 A R2 R3 7. Na ampérmetru je údaj 2A. Odpor ampérmetru je zanedbatelný, odpor R2neznáme. Určete napětí mezi body B, C. AR2 R =8W I=6A BC 1 Přípravný kurz fyziky Magnetizmus 66 11 Magnetizmus 11.1 Magnetické silové pole Magnetická indukce ~ Bmá jednotku tesla (T) a její směr učíme otočnou magnetkou. Souhlasí se spojnicí jižního a severního pólu magnetky a orientace je ve směru severního pólu. Tak jako intenzita elektrického pole ~ EQpředstavuje v prostoru silové pole působící na jednotkový náboj, tak magnetická indukce představuje složitějším způsobem silové pole působící na jednotkový náboj v pohybu s rychlostí ~v tak jak vyplývá z Lorentzovy síly ~ F=Q(~v ×~ B). V tomto vektorovém součinu je ~ F⊥~v, ~ Ba velikost síly F=|Q| ·v·B·sin α, kde αje úhlem mezi vektory rychlosti a magnetické indukce. V magnetickém poli působí síla i na pohybující se náboj v proudovodiči, charakterizovaný proudem I. Dostatečně malý shluk nábojů označme ∆Qa z definice proudu ho nahradíme výrazem I∆t. Jednoduchými úpravami vznikne vztah ~ F=I∆t(∆~ l ∆t×~ B) = I(∆~ l×~ B), ze kterého určíme sílu působící na proudovodič délky ∆lv magnetickém poli ~ B. Pro výpočet velikosti této síly použijeme vztah F=BIl sin αza předpokladu, že podél celé délky vodiče lje ~ Bkonstantní. Zdrojem magnetického pole jsou pohybující se náboje a tím i proudovodiče. Tak, jako výsledné elektrické pole více nábojů je součtem intenzit EQi jednotlivých nábojů Qistejný princip sčítání (superpozice) platí pro magnetické pole od více pohybujících se nábojů. Pro jeden bodový náboj Qplatí ~ B=µ 4π.Q(~v ×~r0) r2, kde µ=µ0µrse nazývá permeabilita, µ0= 4π·10−7H·m−1je permeabilita vakua s jednotkou henry na metr a µrje bezrozměrná relativní permeabilita, která (na rozdíl od permitivity) může být i menší než 1. Látky diamagnetické mají µr<1, látky paramagnetické mají µr>1a látky feromagnetické mají µr≫1. Vztah pro magnetickou indukci v okolí letícího náboje umožňuje vypočítat velikost magnetické indukce v kolmé vzdálenosti dod tenkého velmi (teoreticky nekonečně) dlouhého vodiče protékaného proudem Ive tvaru B=µI 2πd, Přípravný kurz fyziky Magnetizmus 67 ze kterého dosazením do síly působící na proudovodič v magnetickém poli získáme Ampérův zákon pro sílu, kterou nekonečně dlouhý vodič protékaný proudem I1působí na délku lrovnoběžného proudovodiče s proudem I2ve vzdálenosti dve tvaru F=µI1I2l 2πd . Je-li I1↑↑I2, vodiče se přitahují, v případě opačného směru proudu se odpuzují. Magnetické pole uvnitř kruhové proudové smyčky s poloměrem rmá směr palce pravé ruky, když prsty jsou ve směru proudu a velikost B=µI 2r. Uvnitř válcové (dlouhé) cívky délky lsNzávity je B=µIN l. Příklady na procvičení 1. V homogenním magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost B=0,08T, je elektron (Qe=−1,6·10−19 C). Určete směr a velikost síly, která na něj působí, jestliže elektron (a) Je v klidu. (b) Pohybuje se rychlostí ~v o velikosti v=8000 m·s−1 i. ve směru indukčních čar, ii. proti směru indukčních čar, iii. kolmo na indukční čáry, iv. ve směru, který svírá s indukčními čarami úhel 120 stupňů. 2. Částice (elektron) s hmotností m= 9,1·10−31 kg má elektrický náboj Q=−1,6·10−19 C a pohybuje se v homogenním magnetickém poli kolmo k magnetickým siločarám o indukci B= 9·10−4T po kružnici o poloměru r= 2 cm. Určete obvodovou rychlost této částice. 3. Dva přímé navzájem rovnoběžné vodiče mají vzájemnou vzdálenost l=50cm. Prvním vodičem protéká proud I1= 2 A, druhým proud I2= 3 A. Proudy mají souhlasný směr. Relativní permeabilita prostředí µr= 1. (a) Stanovte geometrické místo bodů, v nichž je B= 0 T. (b) Vypočtěte velikost a směr síly, kterou první vodič působí na 1 m druhého vodiče. Přípravný kurz fyziky Magnetizmus 68 11.2 Elektromagnetická indukce Magnetický indukční tok Φrovinnou smyčkou v homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí ~ Bje definován vztahem Φ = BS cos α, (Wb) kde Sje plošný obsah rovinné smyčky a αje úhel mezi ~ Ba normálou ~n vztyčenou kolmo k ploše S, mající velikost plochy Sa zvolená orientace určuje i orientaci smyčky podle pravidla pravé ruky. (Prsty ukazují směr oběhu smyčky a palec pravé ruky ukazuje orientaci ~n). Jednotkou je weber. Rovinnou smyčkou rozumíme uzavřenou křivku, která celá leží v jedné rovině. Magnetický indukční tok se znázorňuje siločarami, tedy orientovanými křivkami, jejichž hustota odpovídá velikosti magnetické indukce v daném místě a orientovaný směr siločar je shodný s ~ B.Faradayův zákon elektromagnetické indukce určuje elektromotorické napětí, které ve vodiči tvarovaném do rovinné smyčky vybudí časová změna magnetického indukčního toku smyčkou za jednotku času, tedy Ue=−∆Φ ∆t. Indukované elektromotorické napětí v uzavřeném obvodu vyvolá proud, který můžeme vypočítat podle Ohmova zákona. Naopak, elektrický proud v proudové smyčce je zdrojem magnetického pole z jehož průběhu uvnitř smyčky se určí magnetický indukční tok. Praxe ukazuje, že jeho velikost je vždy úměrná velikosti proudu I. Pro součinitel této úměrnosti byl zvolen název indukčnost La platí L=Φ I.(H) Jednotka indukčnosti se nazývá henry. Podobně pro dvě proudové smyčky, které se navzájem ovlivňují svými magnetickými poli, definujeme vzájemnou indukčnost M M12 =Φ12 I1 ,(H) kde elektrický proud I1v první smyčce vyvolá magnetický tok Φ12 druhou smyčkou. Bylo dokázáno, že M12 =M21. Proto vzájemnou indukčnost označujeme krátce M. Cívka je tvořena několika (počet označme N) stejnými rovinnými závity vodiče, sériově spojenými a pokládanými těsně nad sebou. Proto magnetický indukční tok v jednom závitu, který by v osamoceném závitu s proudem I měl velikost Φ1je zesílen všemi závity cívky. Takže magnetický indukční tok uvnitř každého závitu (a tedy uvnitř cívky) protékané proudem Ije Φ = NΦ1. Při změně magnetického toku cívkou se indukované napětí Uev každém závitu musí pro celou cívku sčítat, neboť závity jsou spojené sériově. Přípravný kurz fyziky Magnetizmus 69 Příklady na procvičení 1. Kovová tyč délky l= 150 mm se pohybuje rychlostí v= 80 m·s−1ve směru kolmém na osu tyče. Homogenní magnetické pole o magnetické indukci ~ B, kde B= 0,3T je orientováno kolmo k rovině, v níž se tyč pohybuje. (a) magnetickou sílu, která působí na elektrony vodiče, (b) který konec tyče se nabíjí kladně a který záporně, (c) intenzitu elektrického pole, vytvořeného nábojem ve vodiči v ustáleném stavu, kdy se rozložení nábojů v tyči již nemění, (d) napětí mezi konci vodiče. 2. Homogenní magnetické pole mezi póly elektromagnetu se mění rovnoměrně tak, že během časového intervalu (t1, t2) délky t2−t1= 0,1s vzroste Bz hodnoty B1= 0,04 T na hodnotu B2= 0,80 T. V poli je kruhová vodivá smyčka o poloměru r= 20 mm s ohmickým odporem R= 0,05 Ω a směr její normály svírá s ~ Búhel 40o. Určete: (a) Magnetický indukční tok smyčkou v okamžiku t1a v okamžiku t2. (b) Indukované elektromotorické napětí ve smyčce. (c) Směr i velikost indukovaného elektrického proudu. 3. V cívce C1o vlastní indukčnosti L= 0,60 mH vzrůstal elektrický proud během časového intervalu (t1, t2), kde t1= 0 s, t2= 0,70 s, rovnoměrně z hodnoty I1= 2,0A na hodnotu I2= 14,0A. V cívce C2, navinuté na cívce C1se přitom indukovalo elektromotorické napětí Ue= 1,3mV. Určete: (a) Závislost proudu na čase. (b) Magnetický indukční tok cívkou C1v okamžicích t1at2. (c) Indukované elektromotorické napětí v cívce C1. (d) Vzájemnou indukčnost Mcívek C1, C2. Přípravný kurz fyziky Atomy 70 12 Atomy. Úvodní příklady 1. Některé atomy mají vlastnost, které se říká radioaktivita. Pro takové atomy je charakteristické a) vysílají z elektronového obalu záření b) jejich elektrony se samovolně uvolňují z obalu c) jejich jádra se samovolně přeměňují na jiná d) mají v jádrech elektrony 2. Čím se mohou lišit jádra různých atomů (různých izotopů) téhož prvku? a) počtem protonů b) počtem elektronů c) počtem neutronů d) počtem fotonů 3. Jakou částicí bylo zasaženo jádro dusíku při popsané jaderné reakci? 14 7N+ ? →15 8O a) neutronem b) protonem c) αčásticí d) βčásticí 4. Radium 226 88 Ra se vyzářením αčástice přemění na nuklid, který lze popsat takto a) 226 89 X b) 225 87 X c) 224 84 X d) 222 86 X 5. V jádře atomu uhlíku 14 6C je a) 6 protonů a 14 neutronů b) 6 protonů a 8 neutronů c) 6 protonů a 6 elektronů d) 6 elektronů a 14 neutronů 6. V určitém okamžiku obsahuje radioaktivní preparát 16·1028 atomů, jejichž poločas přeměny je 1 hodina. Kolik atomů tohoto druhu bude v preparátu o 2 hodiny později? a) 8·1028 b) 4·1028 c) 8·1014 d) 0 Správné odpovědi: 1c, 2c, 3b, 4d, 5b, 6b Přípravný kurz fyziky Atomy 71 12.1 Stavba atomů. Atomy se skládají z atomového jádra a obalu. V jádru atomu je obsažena většina hmoty atomu. Efektivní rozměr jádra je o několik řádů menší než efektivní rozměr celého atomu. Převážnou část prostoru, který atom zabírá, tedy tvoří jeho obal, obsahující záporně nabité elektrony. 12.2 Atomové jádro - radioaktivita Vlastnosti atomu jsou primárně určeny složením jeho jádra. Jádro atomu obsahuje nukleony, které dělíme dále na protony s kladným nábojem a na neutrony, které jsou elektricky neutrální. Slovem nuklid nazýváme určitý druh atomů, jejichž společným znakem je stejný počet protonů v jádře i stejný počet neutronů v jádře. Tím se liší od pojmu prvek, který má jenom stejný počet protonů v jádře. Každý prvek má svůj vlastní název. Jejich zápis má ustálenou formu. Obecně bychom nuklid chemického prvku X zapsali ve tvaru A ZX, kde protonové číslo Z(dříve se říkalo atomové číslo) vyjadřuje počet protonů v atomovém jádře. Je současně pořadovým číslem prvku v periodické soustavě. Nukleonové číslo A(dříve hmotnostní číslo) je rovno celkovému počtu nukleonů v jádře atomu. Počet neutronů v atomovém jádře pak lze vyjádřit neutronovým číslem N, pro které tedy platí N=A−Z. Prvky v přírodě jsou velmi často směsí nuklidů, které pochopitelně mají stejné protonové číslo, liší se však neutronovým číslem a tedy i číslem nukleonovým. Tak například uran se v přírodě nachází jako směs tří radionuklidů (tedy nuklidů, které se radioaktivně přeměňují na jiný prvek za současného vyzáření alfa, nebo beta částic v obou případech zpravidla doprovázených fotony). Izotopy jsou nuklidy téhož chemického prvku. Například přírodní uran má tři izotopy 235 92 U, 238 92 U a 234 92 U. Posledního izotopu je však pouze 0,006 procent v přírodním uranu a to je zcela zanedbatelné množství. Proto se zpravidla mluví o dvou izotopech uranu. Aktivita zářiče ubývá s časem podle vztahu A=A0e−λt,(Bq) kde λje přeměnová (rozpadová) konstanta pro daný radionuklid. Jednotkou aktivity je bequerel. Poločas přeměny (rozpadu) Tradionuklidu je doba, za kterou poklesne aktivita zářiče na poloviční hodnotu. 1 2A0=A0e−λT ⇒ln 2 = λT. Test č. 3 78 1. Látkové množství a) je bezrozměrná veličina b) se měří v molech c) se měří v litrech d) se měří v kilogramech 2. Graf popisuje, jak dráha tělesa závisela na čase. V okamžiku t= 2 sekundy měla rychlost tělesa velikost s/m t/s 0 1 2 3 4 5 5 10 a) 0,4 m·s−1 b) 2,5 m·s−1 c) 5,0 m·s−1 d) 10,0 m·s−1 3. Těleso 1 o hmotnosti m1= 3·104kg přitahuje těleso 2 o hmotnosti m2= 3 kg gravitační silou F1. Současně těleso 2 přitahuje těleso 1 gravitační silou a) F2= 10−4·F1 b) F2= 10−2·F1 c) F2=F1 d) F2= 102·F1 4. Během rozpínání vykonal plyn práci 50 J a z okolí bylo plynu dodáno teplo 70 J. Z toho plyne: vnitřní energie plynu a) vzrostla o 70 J b) vzrostla o 20 J c) klesla o 50 J d) klesla o 20 J 5. Na svislém laně je připevněna bedna hmotnosti 50 kg. Na siloměru je údaj 300 N. Z toho plyne: 50 kg silomìr a) Děj není možný, siloměr je bezesporu vadný b) Bedna se pohybuje vzhůru stálou rychlostí c) Zrychlení bedny směřuje dolů d) Zrychlení bedny směřuje vzhůru 6. Tuhost pružiny je k= 2 000 Nm−1. Pán A táhne silou 40 N, pán B táhne silou 40 N. Pružina je protažena o AB k a) 1 cm b) 2 cm c) 4 cm d) 8 cm 7. Válcová tyč je určitou silou protažena o délku ∆l. Válcová tyč ze stejného materiálu a stejné délky, avšak dvojnásobného průměru, bude toutéž silou protažena o délku a) 2 ∆l b) ∆l c) 0,5 ∆l d) 0,25 ∆l Test č. 3 79 8. Elektromagnetické vlny se šíří rychlostí 3,0·108m·s−1. Rozhlasová vlna o frekvenci 100 MHz má vlnovou délku a) 5,0 km b) 3,0 km c) 3,0 m d) 6,0 m 9. Jádro atomu draslíku 39 19K obsahuje a) 19 protonů a 20 elektronů b) 19 protonů a 20 neutronů c) 39 protonů a 19 elektronů d) 39 protonů a 19 neutronů 10. Výtahová kabina hmotnosti m= 5·102kg se rozjíždí (z klidu) z prvního podlaží. Druhým podlažím, které je výše o h= 3 m, projíždí rychlostí v2= 4 m·s−1. Vypočtěte přírůstek kinetické energie kabiny na dráze z prvního do druhého podlaží. 500 kg v1= 0 ms-1 1. podlaí 500 kg v2= 4 ms-1 2. podlaí 3m ∆Ek= 11. Těleso o hmotnosti m= 3 kg uvedeme do pohybu rychlostí v0= 5 m·s−1po vodorovné podložce. Za dobu ∆t= 2 s se těleso zastavilo. Jak velká třecí síla na něj působila? Ft= 12. Sníh má hustotu 1= 2,2·102kg·m−3, voda 2= 1,0·103kg·m−3. Určete V1, objem sněhu, který musíme rozpustit, abychom získali V2= 3 litry vody. V1= 13. Do vody hmotnosti m1= 2 kg teploty t1= 10◦C byla přilita voda hmotnosti m2= 3 kg teploty t2= 90◦C. Předpokládejte, že nedošlo k úniku tepla do okolí a určete konečnou teplotu t3. (Měrná tepelná kapacita vody je c= 4,2·103J·kg−1·K−1). t3= 14. V počátečním stavu měl plyn tlak p1= 3,6·105Pa, teplotu T1= 300 K, objem V1= 5,0litrů. Během izotermické expanze vzrostl objem plynu o 20%. Určete konečný tlak plynu. p2= Název FYZIKA Přípravný kurz k přijímacím zkouškám Autoři Prof. Mgr. Miroslav Černý, Ph.D. Ing. Stanislav Voborný, Ph.D. Vydavatel Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Vyšlo prosinec 2024 Vydání první (eBook) Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou Tato publikace podléhá licenci Creative Commons Uveďte autora — Neužívejte dílo komerčně — Nezpracovávejte 4.0 Mezinárodní ISBN 978-80-214-6299-1