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P esen amos una secuencia de ac i idades de p obabilidad pa a 1.º de ESO, en la que a a és del juego con ma-
e ial manipula i o, y con un en oque a a és de la esolución de p oblemas, los alumnos se ap oximan al lenguaje
p obabilís ico, al concep o de a iabilidad mues al, al análisis y ecogida de da os en un expe imen o y al uso de
he amien as pa a abo da p oblemas combina o ios y de p obabilidad.
¿Cómo su ge la ac i idad?
Es a ac i idad su ge a pa i de un semina io incluido en el Plan de Fo mación de Cen o sob e o mación espe-
cí ica en Didác ica de las Ma emá icas que lle amos a cabo en el IES Pila Lo enga du an e el cu so 18/19 y que
con inuamos en el 19/20 en la medida que nos pe mi ió la si uación sani a ia. Es e semina io apoya y complemen a
un p oyec o de inno ación educa i a econocido po la adminis ación de la Comunidad Au ónoma de A agón
lle ado a cabo en el cu so 18/19 basado en la coope ación docen e pa a el desa ollo de unidades didác icas me-
dian e el desa ollo de Lesson S udies (Ma ínez-Jus e, 2020; Ma ínez-Jus e y Domenech, 2019).
Du an e esos dos cu sos, los componen es del Depa amen o de Ma emá icas ecibimos o mación de p o eso es
del á ea de Didác ica de la Ma emá ica de la Uni e sidad de Za agoza. De es e semina io salie on ideas pa a di-
seña di e en es unidades didác icas, en e ellas la de p obabilidad en 1.º ESO que p esen amos aquí, pa a las que
nos dio pau as Pablo Bel án, p o eso asociado en la Uni e sidad de Za agoza, que ue quien impa ió la sesión
del semina io dedicada a p obabilidad y es adís ica.
El bloque del cu ículo Es adís ica y P obabilidad se abaja habi ualmen e al inal de cu so po lo que es á un
poco « elegado al ol ido»… Sin emba go, conside amos que es impo an e abaja es e bloque desde la pe spec i a
de do a al alumnado de he amien as que le ayuden a desa olla una cul u a es adís ica y un azonamien o p o-
babilís ico que les pe mi an ex ae conclusiones álidas y cohe en es en si uaciones no de e minis as.
Fischbein (1975) de iende la idea de da a los alumnos la opo unidad de esol e p oblemas de ince idumb e
a edades emp anas con iando en la in uición p obabilís ica de los niños a la ho a de asumi un de e minado juicio
en una si uación alea o ia o de ince idumb e. También, Shaughassy (1992) ecomienda la in oducción al mundo
de la p obabilidad y es adís ica desde un modo expe imen al. Además, his ó icamen e, la p obabilidad ha enido
asociada desde hace miles años a si uaciones de juego, sin se o malizada has a mucho más a de (Díaz Godino
y o os, 1996).
Teniendo en cuen a lo an e io , y los di e en es signi icados que pueden elegi se pa a abo da la p obabilidad
(A ce y o os, 2019), a sabe , in ui i o, laplaciano, ecuencial, subje i o y axiomá ico, nos decan amos po di-
seña , pa a 1.º de ESO, una ac i idad expe imen al y a ada desde el juego (el juego p edispone al alumnado
a la pa icipación y a sen i se p o agonis a de lo que a sucediendo en el aula). A lo la go de la ac i idad, el
alumno ap ende a da espues as a o as si uaciones menos con ex ualizadas e lexionando sob e los esul ados
ob enidos en los juegos. Hacia el inal de la secuencia, se in oduce una impo an e he amien a pa a abo da
p oblemas de combina o ia y p obabilidad como son los diag amas de á bol (Roldan y o os, 2018).
Ace cándonos a la p obabilidad
en 1.º ESO
po
Au o A DoMEnEch PEnón1ySE gio MA inEz-JuS E1, 2
(1iES Pila Lo enga , 2uni e sidad de za agoza)
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IVJEMA
Ac i idad
En las sesiones de clase los alumnos es án ag upados en g upos de 3 o 4 pe sonas. Es deseable que sean dos los p o eso es
que dinamicen es a ac i idad dado que se gene a en el aula un cie o «ba ullo» y así un docen e a ecogiendo los e-
sul ados de los g upos en el momen o, y el o o pasando po los g upos cen a la ac i idad y esuel e los p oblemas
que puedan su gi . Sin emba go, ambién hemos expe imen ado con la p opues a en g upos con un único docen e.
1.ª sesión: In oducción y Ca e as de caballos
In oducimos la unidad didác ica an eando el ni el de in uición del alumnado sob e si uaciones de ince idumb e y
su ocabula io p obabilís ico. Pa a ello, comenzamos la sesión pidiéndoles que acaben una se ie de ases ( igu a 1),
y luego espondan a una se ie de p egun as, de o ma que apa ecen ya así exp esiones como: «p obable», «más o
menos p obable que», «siemp e pasa», «pasa a eces», «es o es imposible», «eso siemp e se á así», e c. En amos de
es a o ma en el campo de la alea o iedad, acla ando y deba iendo ocabula io de p obabilidad. Es a ac i idad se
basa en las ecomendaciones del p ime capí ulo del abajo de Díaz y o os (1996).
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Una ez e minado el deba e se explica el juego que an ealiza que consis e en una ca e a de caballos. Hay 12
caballos nume ados del 1 al 12. Cada jugado , po u no, a i ando los dos dados y se suman las pun uaciones de
ambos. El caballo que iene el do sal del esul ado ob enido a anza una casilla en el able o y así sucesi amen e.
Gana el caballo que an es llegue a la me a y en dicho momen o e mina la ca e a. An es de comenza , as explica
las eglas, cada miemb o del equipo debe «apos a » po un caballo pa a se el ganado . Se p e ende obse a si algún
alumno apues a po el suceso imposible «gana el caballo 1» o po sucesos poco p obables como «gana el caballo 12».
Además, si se ealizan a ias ca e as, es a apues a inicial pe mi e obse a si es as c eencias se modi ican.
Empieza el juego y cada alumno en su cuade no a a i ep oduciendo lo que sucede en el able o ( igu a 2).
De es a mane a los alumnos ienen una ep esen ación del diag ama de ba as del expe imen o.
Cuando acaba la pa ida, un miemb o del g upo aslada el esul ado al p o eso , que lo olca á en una hoja de
cálculo ya p epa ada pa a ello, pa a pode ealiza después la compa a i a de lo que ha sucedido en los demás g upos.
Figu a 1. F ases que se p oyec an en el aula
pa a inicia la unidad didác ica
Figu a 2. able o de la ca e a de caballos (izquie da) y icha pe sonal
pa a egis a los esul ados (de echa)
Figu a 3. esul ados de las di e en es ca e as (izquie da) y diag ama de ba as con el acumulado de odas las ca e as (de echa)
2.ª sesión: Recogida de da os, compa aciones y bingo (BEANO)
En es a sesión se p esen an y deba en los esul ados que ob u ie on en el juego odos los g upos. P esen amos el
documen o gene ado en es clases de unos 28 alumnos cada una, aunque se ealizó en cinco g upos. Es a ecoge
un o al de 631 i adas ( igu a 3).
Se es ablece un deba e in e esan e al esponde a p egun as como: «¿algún caballo a anza más ápido que
o o?», «¿alguno no a anzó nada?», «¿siemp e gana el mismo do sal?», «¿en odos los g upos ha pasado lo
mismo?».
Una ez comen ados los esul ados se ealiza un «bingo» ( igu a 4). Es e juego es una adap ación casi sin a ia-
ciones del juego BEANO p opues o po Vicke y (2012). El obje i o es e si han in uido el pa ón de p obabilidad
que se ob iene al lanza sucesi amen e dos dados y suma sus pun uaciones. A a és de es e ipo de ac i idades
se pueden es udia ambién las in uiciones de los alumnos sob e la p obabilidad de cada caso, la a iabilidad o la
media mues ales. Cues iones en las que, en gene al, los alumnos de secunda ia, o incluso de bachille a o, ienen
cie as ca encias (Begué y o os, 2018).
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Figu a 4. ca ones del juego y algunos ejemplos de dis ibución de las ichas
Los es udian es disponen de 15 ichas (que las simbolizan con cí culos en sus ca ones) y deben apos a las 15
en e los núme os 1 y 12. Las pueden apos a como ellos deseen, y amos a ol e a juga con los dados. Se an
lanzando los dados, can ando la suma de las pun uaciones. Si ellos ienen una icha en esa pun uación, la achan
o pin an. Gana quien consiga acha o pin a sus 15 ichas.
Se puede epe i el bingo analizando cuáles han sido las dis ibuciones de ichas ganado as en la p ime a i ada
y haciendo p egun as como: ¿Cambia ías u apues a? ¿Po qué?
Te mina la clase analizando las di e en es apues as y con as ando los bingos ganado es con la dis ibución co-
men ada al comienzo de clase.
Figu a 5. able o de la ca e a (izquie da), icha pe sonal pa a ano a los esul ados (de echa a iba)
y ca ón de Bingo (de echa abajo)
3.ª sesión: Con amos ca as de monedas
En es a sesión se epi en los juegos de las sesiones an e io es, pe o con o o expe imen o alea o io. En es e caso se
a a del lanzamien o de cua o monedas de o ma simul ánea y se cuen an cuán as monedas han caído de ca a.
En la ca e a hay 5 coches ( igu a 5, izquie da) nume ados del 0 al 4. Al igual que en la 1.ª sesión, los alumnos
ep oducen en su cuade no lo que en en el able o ( igu a 5, de echa a iba) y apues an an es de comenza la ca-
e a po el coche que c een que a a gana la. T as la ca e a se ealiza un bingo análogo al del día an e io ( igu a
5, de echa abajo).
4.ª y 5.ª sesión: Analizamos la expe iencia y nos ap oximamos a asigna p obabilidades a sucesos
Es as sesiones se dedican a o maliza algunos de los concep os apa ecidos en los juegos. Pa a ellos se p opo cionan
al alumnado diag amas de á bol di igidos e «incomple os» pa a que ellenen y luego pone en común ( igu a 6).
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El diag ama de á bol es una he amien a de g an u ilidad que pe mi e ob ene mucha in o mación de una si-
uación compleja a «simple is a». Esa in o mación es á o ganizada, lo que, en el campo de la p obabilidad y con-
eo de casos, nos pe mi e ene odo el abanico de posibilidades del expe imen o delan e y cuan i ica lo que ha
sucedido en el juego. De la lec u a del á bol y el con eo y eco dando lo abajado con acciones y con azones,
se ins uye al alumnado en la asignación de p obabilidades.
Conclusiones
En cua o sesiones se abaja on concep os que se desa ollan usualmen e como la dis inción en e enómenos alea-
o ios y de e minis as, dis inción en e suceso segu o, imposible y p obable. Pe o, además, con es a ac i idad, los
alumnos se han ace cado a nociones más p o undas del es udio de la ince idumb e, po ejemplo:
Figu a 6. Ficha con los diag amas de á bol asociados a los expe imen os
— Se abaja el concep o de a iabilidad alea o ia. Muchos de los alumnos ace can sus p edicciones, sob e
odo en los juegos de BEANO, a los pa ones obse ados median e la expe iencia y con i mados pos e io -
men e con el ecuen o de casos a o ables median e los diag amas de á bol. Pe o ambién han enido la po-
sibilidad de e que no siemp e se ajus an a ese pa ón cuando el núme o de i adas es bajo. Ca as de so p esa
cuando eían que en muchos g upos ganaba el caballo núme o 7, pe o en su g upo el 7 casi ni se había mo-
ido. En es e sen ido ambién se abaja lo que se conoce como «la alacia del jugado », es deci , c ee que
la secuencia p e ia in lui á en las siguien es epe iciones.
— La no equip obabilidad, cuando en 1.º ESO en gene al en los lib os de ex o, ienden a apa ece p oblemas
solo de si uaciones equip obables que se esuel en median e la egla de Laplace, lo que les conduce luego
en cu sos supe io es a deci sin pensa demasiado que la p obabilidad de ob ene un 2 en la suma de las
p obabilidades de dos dados es 1/11.
— Ace camien o al signi icado de p obabilidad ecuencial (con ando la ecuencia ela i a de un suceso), y
ambién al signi icado de dis ibución de p obabilidad, lo que se hacía e iden e especialmen e en el segundo
bingo, en el que las «apues as» en la mayo ía del alumnado ya ep oducían la de una Binomial (4, 1/2).
— Recogida de da os de o ma o ganizada en una si uación ya pa a ellos «compleja» desde el pun o de is a
de odas las opciones que enían que ba aja . De hecho, cuando con es os mismos g upos de alumnos se e-
alizó en 2.º ESO un abajo de es adís ica desc ip i a con da os ecogidos en Educación Física, ue bas an e
na u al y sencillo que o ganiza an la in o mación.
— Fa o ece el sen ido es ocás ico y es adís ico del alumno; ya que con la pa e de bingo de la ac i idad, de al-
guna mane a se p o oca en el alumno una e lexión ace ca de lo que ha is o, pa a e si as lo analizado
cambia ía su apues a, lo que con ibuye a inicia los en una o mación con mayo c i e io, de p opo ciona les
cie a cul u a p obabilís ica y que es én menos expues os an e si uaciones en las que p obabilidad y es adís ica
son manipuladas de o ma con enien e a quien p opicia un juego o a quien p e ende ende una in o mación
«engañosa».
— Y ambién hemos ido ya abonando el e eno pa a abaja expe imen os compues os, que no malmen e
no se abajan en es e ni el.
Ag adecimien os
Es e abajo se ha desa ollado den o del p oyec o PID2019-105601GB-I00 y el g upo S60_20R - In es igación
en Educación Ma emá ica (Gobie no de A agón y Fondo Social Eu opeo).
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