Den o de un p oyec o de inno ación basado en la in oduccón de una me odología de coope ación docen e en
el depa amen o de Ma emá icas de nues o cen o (IES Pila Lo enga , Za agoza) hemos elabo ado una secuencia
didác ica inno ado a pa a enseña la acción en 1.º de ESO. Es a secuencia in oduce ac i idades que no suelen
inco po a las unidades didác icas adicionales. En es e a ículo p esen amos un ipo conc e o de es as a eas no-
edosas, las basadas en azonamien os up and down, que a a és de la esolución de p oblemas inciden en los sig-
ni icados de la acción.
¿Qué es el azonamien o up and down?
Una ac i idad de azonamien o up and down «implica coo dina la idea de la acción como una unidad múl iple
(a/b= a eces 1/b) con la idea de acción uni a ia (1/n) como una unidad i e a i a y se mani ies a en las ac i idades
de ep esen a acciones a pa i de o a acción» (Bu o n, Llina es y Fe nández, 2018). Al alumno se le solici a
ep esen a un obje o con una cie a medida exp esada median e una acción dando como da o un obje o cuya
medida iene exp esada po o a acción.
Una ac i idad que equie e es e ipo de azonamien o se ía, po ejemplo, la que in oducen en un cues iona io
pa a maes os en o mación Bu o n y Fe nández (2014):
Ac i idades de azonamien o
«up and down» pa a abaja
las acciones en 1.º de ESO
po
AURORA DOMENECH PENÓN Y SERGIO MARTÍNEZ-JUSTE
(IES Pila Lo enga ; IES Pila Lo enga y Uni e sidad de Za agoza)
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Figu a 1. P oblema de azonamien o up and down ex aído de Bu o n y Fe nández (2014)
Pa a pode esol e es a a ea, debemos in e p e a co ec amen e la acción 7/5 no como el núme o que e-
p esen a la pa e del ec ángulo que es á somb eada sino como la can idad de á ea de una unidad di e en e, u. En
el caso an e io , podemos di idi oda la igu a en iángulos de la misma á ea que el iángulo en blanco. Hay
somb eados 7 de esos iángulos, luego cada uno de ellos es 1/5 de la unidad, u, en la que es amos midiendo, es
deci 1/8 de ec ángulo es 1/5 de la unidad que es amos empleando. Pa a cons ui 11/10ubas a con busca
piezas de amaño la mi ad que uno de esos iángulos (1/16 del ec ángulo) y jun a 11 de ellas.
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Aunque la a ea an e io pudie a esul a complicada pa a un alumno de 1.º de ESO, es e ipo de ac i idades
ienen un g an in e és en di e en es ni eles educa i os. El hecho de que el alumnado sea capaz de es ablece coo -
dinaciones de es e ipo implica un a ance concep ual impo an e en la comp ensión del concep o de acción.
Ac i idades pa a 1.º de ESO y úl imos cu sos de p ima ia
En nues a p opues a pa a abaja la acción en 1.º ESO hemos in oducido ac i idades como las an e io es con
un ni el aco de a nues os es udian es. En la igu a 3 mos amos la p ime a ac i idad de es e ipo a la que se en-
en an en clase, en la que solici amos explíci amen e como paso in e medio que cons uyan un obje o de medida
unidad. Es impo an e señala que no se habían hecho ni explicado eje cicios simila es an e io men e.
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pa a abaja las acciones en 1.º de ESO
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Figu a 2. Una posible esolución del p oblema plan eado en la igu a 1
Acla amos que Bues el é mino que u ilizamos en nues a p opues a pa a nomb a una unidad de medida de
longi udes y ambién al obje o que lo sopo aba. P e iamen e se habían ealizado ac i idades manipula i as de
cálculo de medida y cons ucción de i as de papel que simulaban papi os del mundo egipcio.
Después de obse a sus espues as y pone las en común con odo el g upo, se o maliza el esquema de azona-
mien o pa a la esolución con apoyo de p oyecciones en la piza a digi al como la que se obse a en la igu a 4:
Figu a 3. P ime a ac i idad de aula de ipo up and down en 1.º ESO
Figu a 4. Diaposi i a u ilizada en clase pa a o maliza un posible esquema de azonamien o
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La mayo di icul ad que encuen an los alumnos al p incipio es busca un obje o que ep esen e la unidad de
medida. Ac i idades de es a búsqueda de la unidad pod ían hace se p e iamen e o después de los p ime os ejemplos.
Incluso pod ían p esen a se como un e o o un juego en el úl imo ciclo de p ima ia. Algunas ac i idades muy in-
e esan es de es e ipo pueden encon a se en el lib o de Co del y Mason (2000) sob e el azonamien o p opo cio-
nal. De hecho es e ipo de ac i idades han sido siemp e elacionadas con la enseñanza emp ana de la
p opo cionalidad (Lamon, 2007). P esen amos algunos ejemplos ex aídos o adap ados del lib o de Co del y Man-
son en los que dada una igu a inicial sob e una ama de pun os a la que se le o o ga una acción como medida
se pide al alumno que dibuje la unidad.
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El abajo con amas o con papel cuad iculado puede acili a encon a la solución en es e ipo de eje cicios.
Si el iángulo azul mide como una pieza (po que el nume ado es 1) de las cua o en las que se ha pa ido ( ac-
cionado) una unidad (denominado 4), necesi amos cua o iángulos iguales (en un ni el de di icul ad mayo cual-
quie o a pieza de la misma á ea) y coloca los de o ma que se gene e un ec ángulo, que es la igu a que se pide
que ep esen e la unidad comple a. Es a ac i idad se puede abaja con lápiz y papel, o con copias manipulables
del iángulo azul. En el caso de la igu a osa se deben iden i ica que el ec ángulo buscado se ha accionado en
9 piezas iguales, y que una de ellas (1/9) debe ocupa una supe icie que debe se la cua a pa e de la igu a osa,
po ejemplo 3 cuad ados de la ama pues os en ho izon al.
En cualquie a de los casos, el alumno de o ma in ui i a es á abajando el concep o de acción como unidad
múl iple: 4/9 son 4 piezas de 1/9. Con 9 piezas como esa de 1/9 gene a án un ec ángulo que ep esen a á la
unidad comple a.
Es impo an e busca la unidad no solo con acciones p opias ( eco demos que en el mundo anglosajón el uso
ex endido del núme o mix o p o oca que se p es e poca a ención a las acciones imp opias) po lo que podemos
amplia es as ac i idades, con la misma idea de dibuja un ec ángulo que ep esen e la unidad comple a:
Figu a 5. Ac i idad pa a comple a la unidad ex aída de Co del y Manson (2000)
En es a ac i idad se debe pensa en el 5/2 como cinco piezas de amaño la mi ad de la unidad, po lo que la
unidad (el ec ángulo que se pide) son dos de las piezas esul an es al di idi el obje o en 5 pa es iguales. El 7/3
ambién se debe in e p e a como 7 piezas de amaño 1/3, po lo que necesi an 3 piezas de ese amaño pa a
o ma el ec ángulo. De nue o debe án epa i la pieza en e 7 ozos iguales.
En un siguien e momen o podemos in oduci ac i idades en las que no se pida explíci amen e cons ui la uni-
dad, po ejemplo: «Sabiendo que la igu a mo ada iene un á ea 5/2 de la unidad, ep esen a una igu a cuya
á ea sea 7/4 de la unidad».
Figu a 6. Ac i idad pa a comple a la unidad simila a las de Co del y Manson (2000) pe o con acciones imp opias
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Es e es un ipo de ac i idad abie a, ya que, aunque hemos dado como solución la que apa ece en la igu a 7,
la más sencilla pa a o ma la unidad como ec ángulo que es como se les pide en el eje cicio, se pod ía abaja
con o os cua os que diesen como unidad o o ipo de igu a (no necesa iamen e ec angula o no necesa iamen e
con los é ices en la ama) cuya á ea uese 7/4 (es e ipo de ac i idades es ambién in e esan e al abaja la con-
se ación de la unidad á ea con pe íme os a iables). Po ejemplo:
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Figu a 7. P oblema y esolución de azonamien o up and down sob e ama cuad ada
Figu a 8. O as soluciones pa a la igu a de 7/4
Figu a 9. Dos eje cicios de azonamien o up and down (de echa, esuel o po un alumno)
Figu a 10. Resolución de un alumno de una ac i idad en la que apa ecen acciones e e idas a di e en es unidades
A pesa del in e és de las an e io es si uaciones, es impo an e ap o echa es e modo de azonamien o pa a e-
sol e si uaciones con ex ualizadas ahondando en la ep esen ación g á ica de un con ex o ealis a en el que los
da os y los esul ados pueden in e p e a se adecuadamen e abajando con di e en es magni udes (longi ud, peso,
alo económico, capacidad, iempo) y en di e en es con ex os ( e igu a 9).
También se pueden p opone p oblemas en los que se mezclen di e en es signi icados de la acción cambiando
las unidades de e e encia de las acciones ( e igu a 10).
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Algunos esul ados
En la p ueba esc i a que pasamos a los alumnos, les pusimos es a p egun a de azonamien o up and down usando
la magni ud de longi ud.
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Figu a 11. Ta ea de azonamien o up and down en la p ueba esc i a
Figu a 12. Algunos e o es del eje cicio de la p ueba esc i a
Tabla 1. Resul ados de la p ueba esc i a en la a ea de azonamien o up and down
En es a a ea, no se pedía explíci amen e cons ui la unidad, además debían di idi ellos mismos la igu a
pa a ob ene los 3 cua os que componían la ba a que se da como da o. Pa a los apa ados b y c, los alumnos de-
bían cons ui ambién una nue a subunidad de medida pa a ep esen a la longi ud de las ca e as. Los esul ados
de las espues as que die on los 77 alumnos que ealiza on el examen se p esen an en la abla 1. Solo se han ca-
ego izado como espues as co ec as aquellas que dibujan una ba a con exac amen e la longi ud pedida.
Los e o es, que se concen an en los apa ados b y c p incipalmen e, son muy di e sos. En ocasiones los alum-
nos no cons uyen bien el amaño de las subunidades, en o as no di iden en pa es iguales pa a c ea las o al yux-
apone las usan piezas de di e en e longi ud. Algunas espues as inco ec as pueden e se en la igu a 12.
Respues as co ec as Respues as inco ec as
Apa ado a) 68 % 32 %
Apa ado b) 55 % 45 %
Apa ado c) 53 % 47 %


Conclusiones
Te mina emos diciendo que c eemos que los esul ados ob enidos abajando es e ipo de ac i idades han dado
luga a mejo a el azonamien o del alumnado, han po enciado la capacidad de comp ende el signi icado de la
acción y su ep esen ación g á ica y han ayudado a e alua lo azonable de una espues a en un eje cicio ela-
cionando la acción como medida de una magni ud en con ex os ealis as. Compa ando con o os años, es a
o ma de azona ha acili ado la comp ensión pos e io de las ope aciones con acciones, dándole ambién sen ido
a su uso en la esolución de p oblemas con ex ualizados.
Re e encias bibliog a icas
CORDEL, B. y R. MASON (2000), P opo ional easoning. (Algeb aic hinking se ies), F esno, CA: Aims Educa ion Founda ion.
BUFORN, A. y C. FERNÁNDEZ (2014), «La coo dinación de la idea de unidad en la ep esen ación de acciones imp opias» enAc as del
XV Cong eso de Enseñanza y Ap endizaje de las Ma emá icas, Baeza: CEAM, 491-500.
BUFORN, A., S. LLINARES y C. FERNÁNDEZ (2018), «Ca ac e ís icas del conocimien o de los es udian es pa a maes o españoles en elación
con la acción, azón y p opo ción»,Re is a mexicana de in es igación educa i a,23(76), 229-251.
LAMON, S. J. (2007), «Ra ional numbe s and p opo ional easoning: Towa d a heo e ical amewo k» en F .K. Les e J . (ed.), Second
Handbook o Resea ch on Ma hema ics Teaching and Lea ning, Cha lo e: NCTM-In o ma ion Age Publishing, 629-668.
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En las espues as co ec as ambién hay a iedad ya que algunos alumnos dejan cons ancia de odo el azona-
mien o, unos necesi an deja cons ancia del amaño de las piezas que es án ep esen ando, y o os ep esen an ya
la acción como una medida de longi ud única.
Figu a 13. Algunas espues as co ec as en la p ueba esc i a
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