Repositorio Institucional de Documentos

Ceros y factorización de funciones holomorfas Javier Martín Goñi Trabajo de fin de grado en Matemáticas Universidad de Zaragoza Director del trabajo: David Alonso Gutiérrez 11 de junio de 2020 Prólogo A lo largo de la historia, la localización de los ceros de funciones ha sido objeto de un gran número de estudios matemáticos. El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio se puede factorizar en Ccomo producto de funciones lineales de la forma (x−xi), con xilos ceros del polinomio. Sin embargo, si el número de ceros fuera infinito, el producto no convergería en general. El Teorema de factorización de Weierstrass generaliza el Teorema Fundamental del Álgebra a funciones enteras en Ccon finitos o infinitos ceros. En este trabajo veremos que cualquier función holomorfa se puede factorizar como un producto infinito de funciones holomorfas que involucran a los ceros de la función. Y también el recíproco, definiendo un producto infinito que cumpla una serie de condiciones, se puede definir una función holomorfa que tenga los ceros que queramos con las multiplicidades que queramos. Para ello vamos a estudiar propiedades de los productos infinitos, en concreto su convergencia. Veremos bajo qué condiciones podemos definir una función holomorfa mediante productos infinitos, y cuándo estos convergen. Todo este estudio está fuertemente ligado con la convergencia de series. Mediante la Fórmula de Jensen estudiaremos cómo varía la densidad de ceros de funciones acotadas y holomorfas en el disco unidad D, según aumentemos el radio. Y con los Productos de Blashcke veremos las condiciones que tienen que cumplir los ceros de funciones holomorfas y acotadas localizados en el disco unidad. Por último, todo este estudio tiene una relación directa en las conocidas funciones Gamma de Euler y Zeta de Riemann. La función Gamma se puede definir como un producto infinito, aplicando de forma directa el terorema de factorización de Weierstrass. En cuanto a la función Zeta, es evidente la importancia de la localizacion de sus ceros, ya que la Hipótesis de Riemann es uno de los problemas abiertos más importantes de la actualidad. Además, está relacionada con la teoría de números, ya que la Fórmula de Euler expresa la función Zeta como un producto infinito cuyo factor n-ésimo está definido a partir del n-ésimo primo. III Abstract The main goal of this work is the study of zeros of holomorphic functions. The location and the growth of the number of zeros are some of the main objectives of this work. This study can be applied in order to factorize functions using Weierstrass’ factorization Theorem. As we are able to develop analytic functions in power series, with Weierstrass factorization Theorem we are able to express holomorphic functions as infinite products of holomorphic functions. Another goal of the work is to see the direct consequences, and the importance of the study of zeros of holomorphic functions. The examples that we use are the Euler Gamma function, which is defined as an infinite product, and the Riemann Zeta function, which has one of the most important open problems in mathematics: Riemann Hypothesis. Throughout first chapter, we work with infinite products. In this chapter we obtain the basics in order to develop next chapters. An infinte product is an expression of the form ∏n(an). First of all we state the definition of convergence, and we see the sufficient and neccesary conditions for an infinity product of complex numbers to converge. This conditions are related with the absolute convergence of the series ∑n(1−an), as we may expect. This results allow us to determine the conditions of convergence of infinite products of holomorphic functions. This chapter ends with a result of the conditions to determine when an infinite product of holomorphic functions defines a holomorphic function. In the second chapter, we define the elementary factors: entire functions with an only zero in the point z=1. This functions have the quality to be very similar to 1 on the unity disc D. With a change of variable in the elementary factors, we obtain functions with a zero in a chosen point. We can define then a product of elementary factors, which remains an entire functions with a prescribed sequence of zeros. Applying the theory studied in the previous chapter, with some hypothesis, the infinite product of elementary factors converge, and then we can define an entire function with infinite zeros at the points that we have chosen, and only this zeros. The converse result of this theorem is Weierstrass factorization Theorem. It states that given an entire function, we can express it as a product of one entire function with no zeros and an infinite product of elementary factors. One of the main consequences of Weierstrass factorization Theorem, is the fact that every meromorphic function is a quotient of holomorphic functions. Throughout next section, we study the location of zeros of holomorphic functions which are bounded in the unity disc D. In order to develop this section, we define Jensen’s Formula. Jensen’s Formula establishes a connection between the modulus of the zeros of a function finside a disc of radius r, and the average of log|f(z)|on the boundary circle |z|=r. This formula can be seen as a generalisation of the mean value property of harmonic functions. Jensen’s formula allows us to see the relation between the growth of the function and the number of zeroes inside a disc. In particular, we show that there is a bound of the number of zeros of a function inside a disc, related to the maximum modulus of the function in the boundary of the disc of double radius. In the third section we study Blashcke products. A Blashcke product is a bounded holomorphic function in the unity disc Dconstructed to have zeros at a finite or infinte sequence of prescribed complex numbers. We can represent it as a finite of infinite product of holomorphic functions, each one with a zero in a chosen point. In order to define Blashcke products, the chosen points for the zeros a1,a2,... V VI Abstract have to satisty blashcke condition: ∑n(1+|an|)<∞. This condition turns out to be sufficient in order to define a Blashcke product. We also define Nevanlinna class, a set of functions which includes bounded holomorphic functions. We see that the Blashcke condition is not only sufficient, but necessary in order to define a function of Nevanlinne class that has infinite zeros in the unity disc D. We conclude this section with a theorem that describes the behavour of Blashcke products near the boundary of D. Third chapter is dedicated to study Euler Gamma function and Riemann Zeta function. Euler Gamma function can be defined as an infinite product. In order to do it, we use Weierstrass factorization Theorem. We define an entire function with the points 0,−1,−2,... as zeros, and then we take the inverse, which turns out to be a meromorphic function with zeros at the points 0,−1,−2,... . With Bohr-Mollerup theorem, we can characterize the Gamma function as the unique extension of the factorial to C\ {0,−1,−2,...}satisfying a log-convexity property on the positive real axis. Another way to express Gamma function is through Gauss’s Formula, which we use to get the Gamma functional equation. Finally, we define Gamma function integral form in order to relate it with Riemann Zeta function. Throughout last section we work with Riemann Zeta function. Riemann Zeta function is defined as a meromorphic function in Cwith a pole in z=1. We can relate it with Euler Gamma function in a way that Gamma function appears in the expression of Zeta function. It satisfies a functional equation that is used to find the trivial zeros, that are the points z=−2,−4,−6,... . Riemann functional equation is also used to determine that all the zeros of Zeta satisfy that Re(z)∈[0,1]. The problem of classifying the zeros of the Zeta function is a formidable (and unsolved) task. Riemann Hypothesis states that all the non-trivial zeros of Zeta function satisfy that Re(z) = 1/2. In order to note the relation between Riemann Hypothesis and number theory, we finish the work with Euler’s Formula, which express Zeta function as an infinite product whose n-th factor is defined from the n-th prime number. Índice general Prólogo III Abstract V 1. Productos Infinitos 1 1.1. Productosinfinitos .................................... 1 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas 7 2.1. Teorema de Factorización de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. FórmuladeJensen .................................... 12 2.3. ProductosdeBlaschke .................................. 17 3. La función Gamma de Euler y la función Zeta de Riemann 21 3.1. La función Gamma de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. La función Zeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bibliografía 29 VII Capítulo 1 Productos Infinitos Comenzaremos este capítulo definiento los productos infinitos, y mostrando que su convergencia es bastante similar a las de las sumas infinitas o series. Al igual que utilizamos series para expresar funciones analíticas en series de potencias, en este capítulo veremos que podemos factorizar funciones analíticas en productos infinitos. Además, veremos una serie de resultados teóricos sobre convergencia de productos infinitos que nos servirán más adelante. 1.1. Productos infinitos Un producto infinito es una expresión de la forma u1u2u3..., que denotamos como ∏∞ n=1un, donde los unson números complejos. De forma análoga a las series, se podría estar tentado a decir que un producto infinito converge, si l´ ımN→∞∏N n=1unexiste. Sin embargo, esta definición estaría incompleta, ya que si uno de los unfuera 0, el producto infinito convergería independientemente del comportamiento del resto de términos; lo cual se alejaría del “espíritu” de la definición de límite. Al contrario que con los productos finitos, un producto infinito puede ser cero sin que ninguno de sus términos sean cero: por ejemplo l´ ımn→∞∏n k=1(1/k) = 0. Por ello, debemos imponer alguna otra condición para la convergencia. Decimos que un producto infinito ∏∞ n=1unconverge, si existe Ntal que un6=0, ∀n≥N, y además l´ ımn→∞∏n k=Nukexiste y es es diferente a 0. Cuando un producto infinito no converge, decimos que diverge. Por tanto, aplicando la definición, si un numero finito de ukson 0 y el producto infinito converge, entonces es evidente que el producto converge a cero. Al contrario de lo que nos diría nuestra intuición, si hay infinitos uk=0 (por lo tanto no se cumple la definición de convergencia) el producto infinito diverge, a pesar de que para todo N∈Nse tenga que l´ ımn→∞∏n k=Nuk=0. En una serie ∑∞ n=1an, a la hora de estudiar la convergencia, se debe ver que los antienden a 0. En el caso de los productos infinitos, el interés reside en ver que los terminos del producto se van acercando a 1, por ello vamos a considerar productos infinitos con factores escritos de la forma (1+un). Definición. Sea {un}una sucesión de numeros complejos. Definimos: pN= (1+u1)(1+u2)...(1+uN).(1.1) Si l´ ımN→∞pNexiste, definimos p= ∞ ∏ n=1 (1+un).(1.2) Llamamos a pNproductos parciales de (1.2). Decimos que el producto infinito (1.2) converge, si la sucesión {pN}converge. Lema 1.1. Sean u1,...,uN∈C. Definimos pN= N ∏ n=1 (1+un),p∗ N= N ∏ n=1 (1+|un|). 1 8Capítulo 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas Lema 2.1. Sea |z| ≤ 1y p =0,1,2,3,... . Tenemos que |1−Ep(z)| ≤ |z|p+1. Demostración. Para p=0 es evidente: |1−E0(z)|=|1−(1−z)|=|z| Sea p>0. Ep(z)es una función entera que cumple que ∀z∈C, E0 p(z) = −expz+z2 2+...+zp p+(1−z)expz+z2 2+...+zp p(1+z+z2+...+zp−1). Operando y cancelando términos, tenemos que −E0 p(z) = zpexpz+z2 2+...+zp p,∀z∈C.(2.2) Como la exponencial de (2.2) no tiene ningún cero, sabemos que −E0 p(z)tiene un único cero de orden pen z=0. El desarrollo de la exponencial en series de potencias, es: ew= ∞ ∑ n=0 wn n!, cuyos coeficientes de cada wnson 1 n!, todos positivos. Tomando w=z+z2 2+...+zp py desarrollando las potencias de w, tenemos que el desarrollo en serie de potencias de −E0 p(z)es −E0 p(z) = zp ∞ ∑ n=0 anzn= ∞ ∑ n=0 anzn+p,∀z∈C(2.3) con an≥0, ∀n∈Nya06=0. Integrando −E0 p(w)entre 0 y z, por la Regla de Barrow, tenemos que Z[0,z]−E0 p(w) = 1−Ep(z),∀z∈C. Integrando la serie de potencias de (2.3), podemos ver que 1 −Ep(z)tiene un cero de orden p+1 en z=0: 1−Ep(z) = ∞ ∑ n=0 an n+p+1zn+p+1=zp+1∞ ∑ n=0 an n+p+1zn,∀z∈C. Finalmente, definimos φ(z) = (1−Ep(z))z−(p+1), la cual podemos representar como φ(z) = ∞ ∑ n=0 an n+p+1zn,∀z∈C. Con an≥0, como hemos visto antes. Así pues, |φ(z)| ≤ |φ(1)|=1, si |z| ≤ 1. Luego, finalmente, |1−Ep(z)|=|φ(z)||z|p+1≤ |z|p+1. Vamos a utilizar este resultado, para ver bajo qué hipótesis el producto infinito de los factores elementales converge. Teorema 2.1. Sea {zn}, con zn∈C, tal que zn6=0,∀n, y limn→∞|zn|=∞. Si pnes una sucesión de enteros no negativos, tales que ∞ ∑ n=1r |zn|(pn+1) <∞(2.4) Ceros y factorización de funciones holomorfas 9 para todo r positivo, entonces el producto infinito P(z) = ∞ ∏ n=1 Epnz zn(2.5) define una función entera P, que tiene un cero en cada zn, y ninguno más. Si un valor αaparece k veces en la sucesión, es decir, α=zn1=zn2=... =znk, con todos los nj diferentes, entonces P tiene un cero de multiplicidad k en α. Demostración. Sea r∈Rfija. Si |z|<r, aplicando el Lema 2,1, tenemos que  1−Epnz |zn| ≤ z |zn| 1+pn ≤r |zn|1+pn para todos los |zn|que cumplen que |zn| ≥ r, que son todos menos un numero finito, ya que {|zn|} diverge. Aplicamos la hipótesis (2.4), y tenemos que ∞ ∑ n=1 1−Epnz |zn| ≤ ∞ ∑ n=1r |zn|1+pn <∞ para todo zque cumple que |z|<r. Podemos aplicar este razonamiento para cualquier r, luego la serie converge uniformemente en compactos (por el criterio Mde Weierstrass), y por tanto aplicando el teorema 1,3, tenemos (2.5): ∞ ∏ n=1 Epnz zn es una función holomorfa, y además tiene un cero en cada zny ninguno más. La condición (2.4) se satisface, con pn=n−1: para todo r>0, como |zn|es divergente, sabemos que existe un N, tal que si n>N, entonces |zn|>2r. Así pues, ∃ε>0 tal que r |zn|<1−ε,∀n>N. Por tanto, tenemos que ∞ ∑ n=0r |zn|n = N ∑ n=0r |zn|n + ∞ ∑ n=N+1r |zn|n .(2.6) El primer sumando en (2.6) es una suma finita, luego está acotado por una constante C. Para el segundo sumando: ∞ ∑ n=N+1r |zn|n ≤ ∞ ∑ n=N+1 (1−ε)n≤1 1−(1−ε)<∞.(2.7) Luego, tenemos que la serie converge. Con este teorema hemos demostrado que: eligiendo un conjunto infinito {zn}, tal que |zn|tienda a infinito, si encontramos una sucesión {pn}, con pn≥0, tal que la serie (2.4) converja para cualquier r, entonces tenemos una función entera con un cero en cada zn(cero múltiple si un valor znse repite). Como siempre podemos elegir pn=n−1 para que la serie converja, en general, tenemos que para cualquier conjunto Snumerable no acotado sin puntos de acumulación, podemos encontrar una función entera ftal que Z(f) = S. A la hora de elegir la sucesión {pn}, de entre todos los valores posibles con los que la serie converge, es interesante elegir los valores de pnmás pequeños. En ciertas sucesiones |zn|, basta con elegir pn=k, con kconstante. Si esto ocurre, llamamos a la expresión (2.5) producto canónico correspondiente a {zn}. Por ejemplo, si ∑1 |zn|<∞, basta con elegir pn=0,∀n, con lo que el producto quedaría ∞ ∏ n=11−z zn. 10 Capítulo 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas En el caso de que ∑1 |zn|divergiera, pero ∑1 |zn|2<∞, utilizaríamos pn=1, y el producto quedaría ∞ ∏ n=11−z znez zn. Veamos ahora el recíproco del Teorema 2,1. Conociendo los ceros de una función entera, podemos representarla como el producto de una función entera, con el producto infinito de sus factores elementales. Este teorema se conoce como el Teorema de Weierstrass, y es el objeto fundamental de estudio de este capítulo. Teorema 2.2. Sea f una función entera tal que f (0)6=0, sean z1,z2,z3,... los ceros de f repetidos tantas veces como su multiplicidad. Entonces, existe una función g entera y una sucesión {pn}de enteros no negativos, tales que f(z) = eg(z) ∞ ∏ n=1 Epnz zn.(2.8) En el caso de que ftenga un cero de multiplicidad ken 0, podemos aplicar el teorema a h(z) = f(z) zk, ya que hes holomorfa en C\{0}y tiene una singularidad evitable en 0, luego h(z)se puede extender a una función entera que no se anula en 0. Demostración. Sabemos, por el Teorema 2,1 y los comentarios subsiguientes, que existe una sucesión {pn} ⊂ Ntal que P(z)definido como P(z) = ∞ ∏ n=1 Epnz zn con znlos ceros de f, es una función entera cuyos ceros son los ceros de fcon la misma multiplicidad. Entonces, tenemos que f Ptiene singularidades evitables en cada zn, con l´ ımz→zn f(z) P(z)∈C\ {0}. Procediendo como antes, se puede extender a una funcion entera. Además, por hipótesis, f Pno tiene ningún otro cero en C. Por último, como el plano complejo es simplemente conexo, tenemos que f P=egpara alguna función entera g. Supongamos que dos funciones enteras tienen el mismo conjunto de ceros, con las mismas multiplicidades. Veamos la relación que hay entre ellas Teorema 2.3. Sean f ,g funciones enteras tales que sus ceros coinciden tanto en localización como en multiplicidad. Entonces, existe una función Φtal que f (z) = eΦ(z)g(z). Demostración. Definimos h(z) = f(z)/g(z). La función htiene singularidades evitables en cada uno de los ceros de f, y además l´ ımz→zn f(z) P(z)∈C\ {0}, luego podemos extender la función hde forma holomorfa en todo Ca una función que no se anula. Como Ces simplemente conexo y huna función entera, existe Φentera, tal que h=eΦ. Por tanto, tenemos el enunciado, f(z) = eΦ(z)g(z). Vamos a adaptar el Teorema 2,1 a cualquier abierto Ω, es decir, vamos a exigir que los ceros que queramos que tenga nuestra función festén en un abierto cualquiera; y por tanto, la factorización de f en productos infinitos de factores elementales, sea holomorfa en Ω. Recordemos que S2es la esfera de Riemann, en la cual representamos ∞como el polo norte de la esfera. Teorema 2.4. Sea Ωun abierto en S2, distinto de S2. Sea A ⊂Ωsin puntos de acumulación en Ω, tal que a cada α∈Ω, le asociamos un entero positivo m(α). Entonces, existe una función f holomorfa en Ω, tal que sus únicos ceros son los α∈A, cada uno con multiplicidad m(α). Ceros y factorización de funciones holomorfas 11 Demostración. Supondremos que ∞∈Ω, pero ∞/∈A. En caso contrario, utilizamos una transormación de Möbius. Por tanto, en este caso, tenemos que S2\Ωes un compacto. Además, consideramos {αn}la lista de los α∈A, listados tantas veces como su multiplicidad m(α) Si Aes finito, sea Msu cardinal, tomamos la función f(z) = M ∏ n=1 (z−αn). Si Aes infinito, Aes contable: en caso contrario, Atendría algún punto de acumulación. Para cada αn, definimos βn∈S2\Ω, tal que |βn−αn|≤|β−αn|para todo β∈S2\Ω. Siempre podemos elegir ese βn, ya que S2\Ωes compacto. {|αn−βn|} ⊂ [0,∞)es una sucesión de reales positivos. Si esta sucesión no estuviera acotada, entonces tendría una subsucesión que converge a ∞, por lo que ∞sería punto de acumulación de los αn, y esto contradice las hipótesis. Así pues, ∃K>0, tal que {|αn−βn|} ⊂ [0,K], compacto, luego existe alguna subsuceción convergente. Vamos a suponer que el límite de dicha subsucesión no es 0, es decir, existe alguna subsucesión tal que l´ ımn→∞|αg(n)−βg(n)|=q6=0. Como los βnestán en un compacto, también tienen una subsucesión convergente: l´ ımn→∞βh(n)=s, con s∈S2\Ω. Componiendo ambas subsucesiones, tenemos que l´ ım n→∞|αg(h(n)) −βg(h(n))|=q∈[0,K](2.9) y además l´ ım n→∞βg(h(n)) =s∈S2\Ω.(2.10) El conjunto de puntos tales que su distancia a s∈S2\Ωes menor que 2qes un compacto, luego existe una subsucesión de αg◦h(n)convergente en este compacto. Como esa subsucesión no puede converger en Ω, ya que entonces tendríamos un punto de acumulación en Ωy llegaríamos a contradicción, lo tiene que hacer en la frontera de Ω. Y por tanto, denotando lla aplicación de esta nueva subsucesión, tendríamos que l´ ım n→∞|αg(h(l(n))) −βg(h(l(n)))|=0, lo cual contradice (2.9), y por tanto contradice nuestra hipótesis inicial de que l´ ımn→∞|αn−βn|=0. Así pues, l´ ımn→∞|αn−βn|=0. Definimos f(z) = ∞ ∏ n=1 Enαn−βn z−βn. Veamos que fcumple las hipótesis. Sea rn=2|αn−βn|. Sea Kun compacto de Ω. Como rn→0, si n→∞, existe N, tal que |z−βn|>rn para todo z∈K, y todo n≥N. Por tanto  αn−βn z−βn ≤ αn−βn rn ≤1 2. Aplicando el Lema 2,1 tenemos que  1−Enαn−βn z−βn ≤ αn−βn z−βn (n+1) ≤1 2(n+1) . Finalmente, aplicamos el Teorema 1,3, y tenemos que f(z) = ∞ ∏ n=1 Enαn−βn z−βn es una función holomorfa en Ω, con un cero en cada αnde multiplicidad igual a las veces que se repite en la lista {αn}. 12 Capítulo 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas Como consecuencia, vamos a caracterizar las funciones meromorfas Teorema 2.5. Toda función meromorfa en un abierto Ω, es cociente de funciones holomorfas en Ω El recíproco es evidente: Sean g,hholomorfas en Ω,hno idénticamente 0 en ninguna componente de Ω, entones g/hes meromorfa en Ω. Demostración. Sea fmeromorfa en Ω. Sea A={a1,a2,a3,...} ⊂ Ωel conjunto de polos de f. Asociamos a cada ai, un entero m(i), el orden del polo de fen ai. Por el Teorema 2,4, podemos definir una función hholomorfa en Ω, con un cero de multiplicidad m(ai)en cada ai, y ningún otro cero. Definimos g=f h. Es evidente que gtendrá singularidades evitables en cada uno de los ai, luego podemos extender ga todo Ωde forma holomorfa. Por último, es evidente que f=g/hes holomorfa en Ω\A, y tiene polos de orden m(ai)en cada ai. 2.2. Fórmula de Jensen Por ahora, tal como hemos visto en el capítulo anterior, la localización de los ceros de una función holomorfa no tiene ninguna restricción, salvo el hecho de que Z(f)no tenga puntos de acumulación (excepto el caso en que la función sea idénticamente cero). En este capítulo, vamos a estudiar la localización de los ceros de funciones de la clase H∞(D), es decir, funciones holomorfas acotadas en el disco unidad D. La base fundamental de esta sección es la Fórmula de Jensen. Para demostrar el siguiente lema, utilizaremos el Teorema de Cauchy, el cual damos por conocido. Lema 2.2. La siguiente integral es 0 1 2πZ2π 0log|1−eiθ|dθ. Demostración. Sea Ω={z|Re(z)<1}. Es evidente que Ωes simplemente conexo, ya que es un semiplano. Además, en Ωse tiene que (1−z)6=0, luego por definición de simplemente conexo, existe h∈H(Ω)tal que eh(z)= (1−z),∀z∈Ω. Imponemos que h(0) = 0, y h(z) = Log(1−z),∀z∈Ω, con Log(z) = log|z|+iArg(−π,π](z).Re(1−z)>0 en Ωy el argumento de (1−z)en Ωestá entre −π 2yπ 2, luego Re(h(z)) = log|1−z|,|Im(h(z))|<π 2,(z∈Ω).(2.11) Sea δ>0, definimos el camino Γδ: Γδ(t) = eit,t∈[δ,2π−δ].(2.12) Definimos γδcomo el arco de la circunferencia centrada en 1, que va de e−iδaeiδpor el interior del disco unidad. Recordamos la fórmula de integración de una función fpor un camino γ:[a,b]→C Zγ f(z)dz =Zb a f(γ(t))γ0(t)dt. Aplicando la fórmula de integración sobre el camino Γδ, tenemos que 1 2πZΓδ h(z)dz z=1 2πZ2π−δ δ h(eit)dt =1 2πZ2π−δ δ log|1−eit|dt +1 2πZ2π−δ δ iArg(1−eit )dt (2.13) y entonces 1 2πZ2π−δ δ log|1−eit|dt =Re1 2πZΓδ h(z)dz z.(2.14) Ceros y factorización de funciones holomorfas 13 Por lo tanto, como h(0) = 0, utilizando la Fórmula de Cauchy 1 2πiZΓδ∪γδ h(z)dz z=0⇒1 2πiZΓδ h(z)dz z=1 2πiZ−γδ h(z)dz z y así Re1 2πiZΓδ h(z)dz z=Re1 2πiZ−γδ h(z)dz z. La longitud de γδes menor que πδ, luego podemos acotar la última integral de (2.14) como Re1 2πiZ−γδ h(z)dz z≤πδ 2πsupz∈−γδ log|1−z| z=δ 2supz∈−γδ log|1−z| z≤δ 2 −log(δ) 1−δ. Por último, si hacemos que δ→0, obtenemos que l´ ım δ→0Re1 2πiZγδ h(z)dz z→0 Y tenemos el resultado deseado. Para demostrar la Fórmula de Jensen, necesitaremos el Teorema del Valor Medio de funciones harmónicas. Teorema 2.6. Sea u(z)una función harmónica en un dominio abierto que contenga a D(z0,R). Entonces u(z0) = 1 2πZ2π 0u(z0+Reiθ)dθ. Demostración. Sea f(z)una función analítica en E=D(z0,R+ε), con ε>0, cuya parte real es u(z). Sea Cuna circunferencia parametrizada por C:[0,2π]→Ctal que C(θ) = z0+eiθ. Aplicando la Fórmula de integración de Cauchy, tenemos que f(z0) = 1 2πiZC f(z) z−z0dz =1 2πiZ2π 0 f(z0+eiθ) eiθieiθdθ=1 2πZ2π 0f(z0+eiθ)dθ.(2.15) Tomamos las partes reales en ambos miembros de (2.15) u(z0) = Re[f(z0)] = Re1 2πZ2π 0f(z0+eiθ)dθ=1 2πZ2π 0u(z0+Reiθ)dθ tenemos la conclusión deseada. La fórmula (2.15) se llama Teorema del Valor Medio de Gauss. Teorema 2.7. Sea Ω=D(0,R), sea f holomorfa en Ω, f (0)6=0.0<r<R, y sean α1,...,αNlos ceros de f en D(0,r), listados según su multiplicidad. Entonces, |f(0)| N ∏ n=1 r |αn|=exp1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ.(2.16) Esta fórmula se llama Fórmua de Jensen. Más adelante nos va a servir para acotar el crecimiento del número de ceros de una función holomorfa acotada en el disco unidad D. Si ftiene un 0 de multiplicidad ken 0, podemos aplicar este teorema a f(z)/zk. Demostración. Ordenamos los puntos αi, de forma que α1,...,αmestén en D(0,r), y αm+1,...,αNtengan módulo |r|. Naturalmente, puede ocurrir que m=0, es decir, todos los puntos estén en la frontera de D(0,r); o que m=N, y todos los αiestén en D(0,r). Definimos g(z) = f(z) m ∏ n=1 r2−αnz r(αn−z) N ∏ n=m+1 αn αn−z.(2.17) 14 Capítulo 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas Notemos que en el primer productorio están sólo los αidel interior de D(0,r), y en el segundo sólo aquellos con módulo r. Veamos que ges holomorfa y no se anula en E=D(0,r+ε)para algún ε>0. g es un producto de 3 funciones holomorfas, excepto en los αn. Luego, ges holomorfa en Ω\{α1,...,αN}. En el caso en que, z=αipara algún αi∈D(0,r), el denominador tendrá un cero de multiplicidad tantas veces como se repita ese αien la lista. ftendrá ese mismo cero en αicon la misma multiplicidad (por definición de f), luego la singularidad es evitable y podemos extender gde forma holomorfa a los αique estén en D(0,r). Análogamente al caso anterior, cuando z=αipara algún idel segundo productorio, el denominador tendrá un cero de multiplicidad tantas veces como se repita αien la lista, la misma que tendría ese cero de f. Así pues, podemos extender gde forma holomorfa a todo E. ¿Tiene galgún cero en E? en el numerador del primer productorio tenemos |r2−αnz|>|r2|−|αn||z|>r2−(r−δn)(r+ε) para algún δn, ya que αnno está en la frontera de D(0,r). Luego, eligiendo un εsuficientemente pequeño para que r2−(r−δn)(r+ε)>0 para todos los δn, el numerador no se anula. El segundo productorio es evidente que nunca se anula. Luego, tenemos que gno se anula en E. Por tanto, sabemos que log|g|es armónica en E, y por tanto aplicando la Propiedad del valor medio de funciones armónicas, tenemos que log|g(0)|=1 2πZπ −π log|g(reiθ)|dθ.(2.18) Evaluando (2.17) en 0 y tomando módulos, tenemos que |g(0)|=|f(0)| m ∏ n=1 r |αn|.(2.19) En la ecuación (2.17), si |z|=r, los factores del primer productorio tienen módulo 1:  r2−αnz r(αn−z) =|zz −αnz| r|αn−z|=|z||z−αn| r|αn−z|=r|z−αn| r|αn−z|=1. Sean αn=reiθnlos términos del segundo productorio de (2.17). Tomamos módulos y logaritmos a (2.17), y aplicamos que el módulo de los términos del primer productorio es 1, luego su logaritmo es 0, y tenemos que log|g(reiθn)|=log|f(reiθn)|− N ∑ n=m+1 log|1−ei(θ−θn)|. Aplicamos esta última igualdad a (2.18), log|g(0)|=1 2πZπ −π log|g(reiθ)|dθ=1 2πZπ −π log|f(reiθ)|− N ∑ n=m+1 log|1−ei(θ−θn)|!dθ.(2.20) Como la integral es lineal, tenemos que log|g(0)|=1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ− N ∑ n=m+1 1 2πZπ −π log|1−ei(θ−θn)|dθ.(2.21) Aplicamos el Lema 2,2, por tanto todas las integrales del sumatorio se anulan y nos queda la igualdad log|g(0)|=1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ. Con esta última fórmula y la igualdad de (2.19), obtenemos el resultado deseado |f(0)| m ∏ n=1 r |αn|=|g(0)|=exp(log|g(0)|) = exp1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ. Ceros y factorización de funciones holomorfas 15 Mediante la Fórmula de Jensen, obtenemos la siguiente desigualdad para funciones en H∞(D): Teorema 2.8. Sea f ∈H∞(D)tal que f (0)6=0y f no idénticamente nula. Definimos µr(f) = 1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ,(0<r<1)(2.22) y µ∗(f) = 1 2πZπ −π log|f∗(reiθ)|dθ,(2.23) dónde f ∗(eiθ) = l´ ımr→1f(reiθ). Entonces, se tiene que µr(f)≤µs(f),0<r<s<1,(2.24) µr(f)→log|f(0)|,r→0,(2.25) y µr(f)≤µ∗(f),0<r<1.(2.26) El hecho de que f∗esté bien definida no es objeto de estudio de este trabajo. La demostración detallada se encuentra en el Teorema 11.32 del libro Real and Complex Analysis de Rudin. Demostración. Como tenemos que f∈H∞(D)yf(0)6=0, podemos aplicar a fla Fórmula de Jensen 2,7: |f(0)| N ∏ n=1 r |αn|=exp1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ(2.27) siendo los αnlos ceros de fen D(0,r). Sea 0 <r<s<1. Evidentemente, el número de ceros en el disco D(0,s)es mayor o igual que en D(0,r), luego |f(0)| N ∏ n=1 r |αn|≤ |f(0)| M ∏ n=1 r |αn| con αN+1,...,αMlos ceros de fen D(0,s)\D(0,r). Así pues, exp(µr(f)) = exp1 2πZπ −π log|f(reiθ)|dθ≤exp1 2πZπ −π log|f(seiθ)|dθ=exp(µs(f)). Por tanto, µr(f)≤µs(f), y queda probado (2.24). Supongamos sin pérdida de generalidad que |f|<1 en D(0,1). Denotamos fr(eiθ)en vez de f(reiθ). l´ ımr→0fr(eiθ) = f(0),∀θ; y l´ ımr→1fr(eiθ) = f∗(eiθ),∀θ. Para demostrar (2.26), aplicaremos el Lema de Fatou. En primer lugar, µr(f)≤l´ ımsup s→1− µs(f) = −l´ ıminf s→1− 1 2πZπ −π−log|f(seiθ)|dθ.(2.28) Ya hemos probado antes que esta última integral es finita. Luego, aplicando el Lema de Fatou, tenemos que −l´ ıminf s→1− 1 2πZπ −π−log|f(seiθ)|dθ≤ − 1 2πZπ −π l´ ıminf s→1−−log|f(seiθ)|dθ= 1 2πZπ −π l´ ımsup s→1− log|f(seiθ)|dθ=µ∗(f). Así pues, tenemos (2.26). 16 Capítulo 2. Teorema de Weierstrass y ceros de funciones holomorfas Sea {log|f((1/n)eiθ)|}∞ n=N0una sucesión de funciones, con N0>0 lo suficientemente grande para que en D(0,1/N0)no haya ningún cero (sabemos que ese N0existe, ya que f(0)6=0, y ningún cero tiene puntos de acumulación). Ya hemos visto que son integrables en [−π,π]. Tomando límites, l´ ım n→∞log|f((1/n)eiθ)|=log|f(0)|.(2.29) Además, sea x0=m´ axx{|log|f(x)|| :x∈D(0,1/N0)}, tenemos que |log|f((1/n)eiθ)| ≤ log|f(x0)|, ∀n>N0y∀θ. Por tanto, aplicando el Teorema de Convergencia Dominada, tenemos que l´ ım n→∞µ1/n(f) = l´ ım n→∞ 1 2πZπ −π log|f((1/n)eiθ)|dθ=1 2πZπ −π l´ ım n→∞log|f((1/n)eiθ)|dθ=log|f(0)| y queda probado (2.25). Teorema 2.9. Sea f una función entera. Definimos M(r) = supθ|f(reiθ)|,(0<r<∞). Sea f una función entera tal que f (0) = 1. Sea n(r)el número de ceros de f en D(0,r). Entonces, M(2r)≥2n(r). La demostración se obtiene aplicando los resultados obtenidos previamente. Demostración. Supongamos que {αn}es la secuencia de ceros de fordenada de forma que |αi| ≤ |αi+1|. En primer lugar, acotando tenemos que exp1 2πZπ −π log|f(2reiθ)|dθ≤exp1 2πZπ −π logM(2r)dθ=M(2r).(2.30) Mediante la Fórmula de Jensen (teorema 2,7), tenemos que exp1 2πZπ −π log|f(2reiθ)|dθ=|f(0)| n(2r) ∏ n=1 2r |αn|≥ n(r) ∏ n=1 2r |αn|≥ n(r) ∏ n=1 2=2n(r).(2.31) Combinando (2.30) con (2.31) tenemos la desigualdad deseada: M(2r)≥exp1 2πZπ −π log|f(2reiθ)|dθ≥2n(r). Tomando logaritmos, obtenemos una desigualdad equivalente n(r)log2 ≤logM(2r).(2.32) Esta fórmula nos da una cota superior del número de ceros que puede tener una función holomorfa en un disco centrado en 0 según el valor de fen la frontera del disco de radio doble y mismo centro. Por tanto, la rapidez con la que n(r)aumenta, es decir, la densidad de ceros de fen el disco de radio r, está controlada por la cota de crecimiento de M(2r). Ceros y factorización de funciones holomorfas 17 2.3. Productos de Blaschke Sea Del disco unidad, definimos H∞(D)como el conjunto de funciones holomorfas y acotadas en D. En esta sección veremos las condiciones que tienen que satisfacer los ceros de funciones f∈H∞(D) utilizando la Fórmula de Jensen que hemos visto en la sección previa. Teorema 2.10. Sea {αn}una sucesión en D, tal que αn6=0,∀n, y ∞ ∑ n=1 (1−|αn|)<∞(2.33) sea k un entero no negativo. Definimos la función B(z) = zk ∞ ∏ n=1 αn−z 1−αnz |αn| αn .(2.34) Entonces B ∈H∞(D), y sus únicos ceros son los αn. (Si k >0, también el 0). Llamamos a esta función B Producto de Blaschke. Notar que si algún αnestá repetido lveces, B tendrá un cero de multiplicidad len ese punto. El término “Producto de Blaschke” se mantiene incluso si hay finitos factores; en el caso en que no haya ninguno, B(z) = 1. Podemos ver además que si |z|=1, todos los factores de Btienen módulo 1. |zk| ∞ ∏ n=1 |αn−z| |1−αnz| |αn| |αn|=|z|k ∞ ∏ n=1 |αn−z| |1−αnz|=|z|k ∞ ∏ n=1p|αn|2+|z|2−αnz−zαn p1+|αn|2|z|2−αnz−zαn .(2.35) Si |z|=1, simplificando, tenemos que cada factor tiene módulo 1. Veamos la demostración del teorema Demostración. Definimos la serie ∞ ∑ n=1 1−αn−z 1−αnz |αn| αn .(2.36) Podemos acotar su n-ésimo término por  1−αn−z 1−αnz |αn| αn = αn+|αn|z 1−αnzαn (1−|αn|)≤1+r 1−r(1−|αn|)(2.37) si |z|<r, con rel radio de un compacto contenido en D. Aplicamos la hipótesis (2.33) y tenemos que ∞ ∑ n=1 1+r 1−r(1−|αn|) = 1+r 1−r ∞ ∑ n=1 (1−|αn|)<∞. Luego, utilizando la desigualdad de (2.37), tenemos que (2.36) converge uniformemente sobre compactos de D. Así pues, aplicamos el Teorema 1,3, y tenemos que ∞ ∏ n=1 αn−z 1−αnz |αn| αm . es holomorfa en Dy sus únicos ceros son los αn. Lo mismo ocurre con B(z)en D, añadiendo los posibles ceros en z=0. Además, teniendo en cuenta la forma que tienen los automorfismos de Den sí mismos, cada factor del productorio de (2.34) tiene módulo menor que 1 en D, luego |B(z)|<1. El teorema anterior muestra que una condición suficiente para que dado un conjunto numerable {αn}∞ n=1⊂Dexista una función f∈H∞(D)cuyos ceros sean los αn. Sin embargo, esta condición resulta ser necesaria: Si f∈H∞(D)yfno es idénticamente cero, los ceros de ftienen que satisfacer (2.33) (consecuencia del teorema que veremos a continuación). Además, es una condición necesaria no sólo para H∞(D), sino también para una clase de funciones mucho mayor que ahora describiremos. 24 Capítulo 3. La función Gamma de Euler y la función Zeta de Riemann De (3.11) deducimos que f(n+1+x) n!nx≤(n+1)xn! n!nx=(n+1)x nx=1+1 nx .(3.15) Como por b)yc)tenemos que f(n+1+x)=(n+x)(n+x−1)...x f (x), mediante (3.14) y (3.15) deducimos que 1+x nx≤(n+x)(n−1+x)...x f (x) n!nx≤1+1 nx .(3.16) Cuando ntiende a infinito y x∈(0,1], en primer y último miembro de esta última desigualdad tienden a 1, luego es claro que f(x) = l´ ım n→∞ n!nx (n+x)(n−1+x)...x=Γ(x),(3.17) por la fórmula de Gauss. Sea x>1, sea mel entero tal que m<x≤m+1. Entonces, 0 <x−m≤1, y por tanto podemos aplicar a f(x−m)el mismo razonamiento que en el apartado anterior: f(x) = (x−1)...(x−m)f(x−m) = (x−1)...(x−m)l´ ım n→∞ n!nx−m (n+x−m)(n−1+x−m)...(x−m) =l´ ım n→∞ n!nx (n+x)(n−1+x)...x (n+x)(n+x−1)...(n+x−(m−1)) nm =l´ ım n→∞ n!nx (n+x)(n−1+x)...x. Por tanto, para todo x>0, f(x) = l´ ım n→∞ n!nx (n+x)(n−1+x)...x lo cual prueba que festá unívocamente determinada por las condiciones a),b)yc). Notar que esta última ecuación es la Fórmula de Gauss (3.6), la cual define a la Γ, y por tanto tenemos que f(x) = Γ(x), ∀x>0. Por último, vamos a ver la definición de la función Gamma en forma integral, lo cual nos va a servir en la proxima sección para relacionarla con la función Zeta de Riemann. Teorema 3.3. Para todo z ∈Ctal que Re(z)>0, tenemos que Γ(z) = Z∞ 0e−ttz−1dt.(3.18) La falta de espacio nos lleva a que la demostración de este teorema no sea objeto de estudio en este trabajo. Sin embargo, se puede encontrar en el libro Functions of One Complex Variable de John B. Conway, a partir del teorema 7.15. 3.2. La función Zeta de Riemann Sea z∈Cyn∈N,|nz|=|exp(zlog(n))|=exp(Re(z)log(n)). Por tanto, n ∑ k=1 |k−z|= n ∑ k=1 exp(−Re(z)log(k)) = n ∑ k=1 k−Re(z). Por tanto, si Re(z)≥1+εpara algún ε>0, n ∑ k=1 |k−z| ≤ n ∑ k=1 k−(1+ε).(3.19) Ceros y factorización de funciones holomorfas 25 Por tanto, si hacemos tender na infinito, aplicando el Criterio M de Weierstrass, tenemos que la serie ∞ ∑ n=1 n−z(3.20) converge uniformemente y absolutamente en {z|Re(z)>1+ε}para algún ε>0. Por tanto, esta seria converge uniformemente y absolutamente sobre compactos en {z|Re(z)>1}y, así, define función analítica en {z|Re(z)>1}. Definición. Para todo z∈Ccon Re(z)>1, la función Zeta de Riemann,ζ(z), se define como ζ(z) = ∞ ∑ n=1 n−z.(3.21) La función Zeta, al igual que la Gamma, ha sido sujeto de análisis en una gran cantidad de estudios matemáticos; de hecho, uno de los problemas sin resolver más famosos es la localización de los ceros de la función Zeta. En primer lugar, vamos a ver la relación que hay entre la Zeta y la Gamma. Recordamos la representación en forma de integral de la función Gamma Γ(z) = Z∞ 0xz−1e−xdx para zcon Re(z)>0. Haciendo el cambio de variable x=nt, obtenemos Γ(z) = nzZ∞ 0tz−1e−ntdt que es equivalente a 1 nz=1 Γ(z)Z∞ 0tz−1e−ntdt.(3.22) Aplicamos la identidad k ∑ n=1 e−nt =e−t1−e−kt 1−e−t=1−e−kt et−1 a (3.22) y sumamos los kprimeros términos de cada miembro, y obtenemos k ∑ n=1 1 nz=1 Γ(z)Z∞ 0 1−e−kt et−1tz−1dt. Por tanto, para los ztales que Re(z)>1, y los enteros positivos k, tenemos que k ∑ n=1 1 nz=1 Γ(z)Z∞ 0 tz−1 et−1dt −1 Γ(z)Z∞ 0 e−kt et−1tz−1dt (3.23) ya que ambas integrales convergen. Vamos a ver que la última integral de (3.23) tiende a 0 cuando k→∞. Sea z=x+iy.|tz−1|=tx−1, y por tanto Z∞ 0 e−kt et−1tz−1dt ≤Z∞ 0 e−kt et−1tx−1dt.(3.24) Sea ε>0, elegimos un δsuficientemente pequeño para que Zδ 0 e−kt et−1tx−1dt ≤Zδ 0 tx−1 et−1dt <ε(3.25) 26 Capítulo 3. La función Gamma de Euler y la función Zeta de Riemann para todo k. Elegimos un ksuficientemente grande para que Z∞ δ e−kt et−1tx−1dt ≤e−kδZ∞ δ tx−1 et−1dt <ε.(3.26) Por tanto, combinando (3.25) con (3.26), es claro que dado cualquier ε>0, podemos tomar un δyk adecuados para que la integral de (3.24) sea menor que 2ε, y por tanto podemos hacer que el valor de esta integral sea tan pequeño como queramos tomando ksuficientemente grandes. Así pues, haciendo que ktienda a infinito, obtenemos el siguiente resultado: Teorema 3.4. Sea z ∈Ctal que Re(z)>1, entonces ζ(z) = ∞ ∑ n=1 1 nz=1 Γ(z)Z∞ 0 tz−1 et−1dt.(3.27) Vamos a dar una serie de resultados acerca de la función Zeta, los cuales nos servirán para ver la importancia de esta función y su relación con la teoría de números. Utilizando el principio de prolongación analítica se puede extender la función Zeta a C\{1}. Lo enunciaremos en el siguiente teorema: Teorema 3.5. La función Zeta se puede definir como una función meromorfa en Ccon un único polo simple en z =1. Además, para todo z 6=1,ζsatisface la ecuación funcional de Riemann: ζ(z) = 2(2π)z−1Γ(1−z)ζ(1−z)sin(1 2πz).(3.28) Como Γ(1−z)tiene polos simples en z=1,2,..., y ζ(z)es analítica en esos puntos, de la ecuación funcional de Riemann (3.28) deducimos que ζ(1−z)sin(1 2πz) = 0 (3.29) para z=2,3,.... Como Γ(1−z)tiene polos simples en z=2,3,..., cada uno de los ceros de (3.29) tiene que ser simple. Teniendo en cuenta que sin(1 2πz) = 0 para cualquier zentero par, (3.29) implica que ζ(1−z) = 0 para z=3,5,7,... . Por tanto, mediante la ecuación funcional tenemos que ζ(z) = 0 para z=−2,−4,−6,... . Los puntos z=−2,−4,−6,... se conocen como ceros triviales de ζ. El conjunto {z|0≤Re(z)≤1}se conoce como rango crítico. Un razonamiento similar con la ecuación funcional de Riemann, lleva a deducir que todos los ceros no triviales de ζestán en el rango crítico. Vamos a enunciar uno de los problemas abiertos más importantes en las matemáticas Hipótesis de Riemann 3.1. Si z es un cero no trivial de ζ, entonces Re(z) = 1 2. Es bien sabido que ζno tiene ceros en Re(z) = 1 (y por la ecuación funcional, tampoco en Re(z) = 0), y que hay infinitos ceros en Re(z) = 1 2. Sin embargo, aun no se ha probado que exista algún cero fuera de la recta Re(z) = 1 2o que todos estén en ella. La verificación de la Hipotésis de Riemann implicaría una gran cantidad de resultados en matemáticas, especialmente en teoría de números. Para ver la conexión de la función ζcon la teoría de números, vamos a ver como teorema final la Fórmula de Euler. Teorema 3.6. Sea z ∈Ctal que Re(z)>1. Entonces, se tiene que ζ(z) = ∞ ∏ n=11 1−p−z n(3.30) dónde {pn}∞ n=1es la sucesión de números primos ordenados de menor a mayor. Ceros y factorización de funciones holomorfas 27 Demostración. Es claro que |p−z n|=p−Re(z) n≤p−1 n<1 para todo n. Luego, mediante la serie geométrica vemos que 1 1−p−z n = ∞ ∑ m=1 p−mz n para todo n≥1. El sumatorio de esta última ecuación contiene todas las potencias de p−1 n, elevado a z Primero veamos el caso n=2. Fijamos p1=2. Por tanto, 1 1−2−z= ∞ ∑ m=1 2−mz =1+2−z+(22)−z+(23)−z+... , (3.31) es decir, econtraríamos en la suma una única vez repetida cada potencia de 2 elevada a (−z). Fijamos ahora p2=3. De forma análoga al caso anterior, tenemos que 1 1−3−z= ∞ ∑ m=1 3−mz =1+3−z+(32)−z+(33)−z+... . (3.32) Por tanto, tendríamos que 2 ∏ n=11 1−p−z n=1 1−2−z 1 1−3−z= ∞ ∑ m=1 2−mz! ∞ ∑ m=1 3−mz! =1+2−z+(22)−z+(23)−z+...1+3−z+(32)−z+(33)−z+.... En esta última igualdad, por la propiedad distributiva del producto, estarían todos los posibles números que se factoricen de la forma 2i3k(con i,kenteros ≥0), elevados cada uno de ellos a (−z). Como la factorización de los enteros es única, cada uno de estos números aparecería una única vez en la suma. En general, si fijamos un N, procediendo como antes, tenemos que N ∏ n=11 1−p−z n= ∞ ∑ m=1 2−mz! ∞ ∑ m=1 3−mz!... ∞ ∑ m=1 p−mz N! =1+2−z+(22)−z...1+3−z+(32)−z+......1+p−z N+(p2 N)−z+.... Y, al igual que antes, por la propiedad distributiva del producto en está última igualdad encontaríamos la suma de todos los enteros de la forma 2i13i2...piN N( con i1,...,1Nenteros no negativos) elevados cada uno de ellos a (−z)sin repetir, ya que la factorización de enteros en potencias de primos es única. Por tanto, la anterior ecuación equivale a N ∏ n=11 1−p−z n= ∞ ∑ j=1 w−z j dónde los enteros de la sucesión {wj}∞ n=1son todos aquellos que se pueden factorizar con sólo potencias de 2,3,..., pN. Por tanto, cuando Ntiende a infinito, en la sucesión de los wjestarán todos los enteros. Así pues, se tiene que ∞ ∏ n=11 1−p−z n= ∞ ∑ n=1 n−z=ζ(z). Bibliografía [1] WALTER RUDIN,Real and Complex Analysis (third edition). International Edition 1987. [2] S. PONNUSAMY Y HERB SILVERMAN,Complex Variable with Applications, Birkhäuser, Boston, 2006. [3] JOHN B. CONWAY,Functions of One Complex Variable (second edition). Springer, New York, 1987 [4] R. WEBSTER,Convexity, Oxford University Press, Oxford, 1994. [5] NIELS GLEINIG Y FRANCESC BARS,On the critical strip of the Riemann zeta-function, disponible en http://mat.uab.es/~francesc/mates/NielsTFG.pdf . [6] J. M. PATIN, A very short proof of Stirling’s formula, Amer. Math. Monthly 96 (1) (1989), 41–42. 29