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Propuesta didáctica para la enseñanza de la medida de magnitudes longitud y superficie para 1º de ESO. Didactic proposal for the teaching of the measurement of length and surface magnitudes for 1º ESO. Autora Marta Centellas Nadal Directora Nuria Begué Pedrosa FACULTAD DE EDUCACIÓN 2019 – 2020 Trabajo Fin de Máster Índice A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar ........................................... 1 1. Objeto matemático a enseñar, curso y asignatura en la que se sitúa ..................... 1 2. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático se pretende enseñar? ..................................................................................................... 1 B. El estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático ........................... 4 1. ¿Cómo se justifica habitualmente la introducción escolar del objeto matemático?................................................................................................................... 7 2. Campos de problemas enseñados habitualmente ................................................. 11 3. Técnicas utilizadas ............................................................................................... 12 4. Aparición de tecnologías como justificación de las técnicas .............................. 14 5. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? .......... 17 C. Sobre los conocimientos previos del alumno ....................................................... 19 1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? ..................................................................................................... 19 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? ....................................................................................................................... 19 3. ¿Mediante qué actividades vas a tratar de asegurar que los alumnos posean esos conocimientos previos? ............................................................................................... 20 4. Resultados obtenidos tras llevar la prueba inicial al aula .................................... 25 D. Sobre las razones de ser del objeto matemático ................................................. 26 1. ¿Cuál es la razón o razones de ser que vas a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático? ................................................................................... 26 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? ......... 26 3. Diseña uno o varios problemas que se constituyan en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar. ................................................................. 28 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. ....................... 30 E. Sobre el campo de problemas ............................................................................... 30 1. Diseña los distintos tipos de problemas que vas a presentar en el aula. .............. 30 2. ¿Qué modificaciones de la técnica inicial van a exigir la resolución de dichos problemas? .................................................................................................................. 52 3. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. ....................... 53 F. Sobre las técnicas ................................................................................................... 54 1. Diseña los distintos tipos de ejercicios que se van a presentar en el aula. .......... 54 2. ¿Qué técnicas o modificaciones de una técnica se ejercitan con ellos? .............. 65 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático? ................................................................................................................ 67 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. ....................... 68 G. Sobre las tecnologías (justificación de las técnicas) ............................................ 68 1. ¿Mediante qué razonamientos se van a justificar las técnicas? ........................... 68 2. ¿Quién (profesor, alumnos, nadie) va a asumir la responsabilidad de justificar las técnicas? ...................................................................................................................... 69 3. Diseña el proceso de institucionalización de los distintos aspectos del objeto matemático. ................................................................................................................. 70 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. ....................... 72 H. Sobre la secuencia didáctica y su cronograma ................................................... 72 1. Indica la secuenciación de las actividades propuestas en los apartados anteriores y su duración temporal aproximada. .............................................................................. 72 I. Sobre la evaluación ................................................................................................ 74 1. Diseña una prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) que evalúe el aprendizaje realizado por los alumnos. ................................................................... 74 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático pretendes evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba? ............................ 79 3. ¿Qué respuestas esperas en cada una de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos? ........................................................................................................... 82 4. ¿Qué criterios de calificación vas a emplear? ..................................................... 88 J. Referencias bibliográficas ..................................................................................... 92 ANEXOS .......................................................................................................................... 0 ANEXO I: RESPUESTAS OBTENIDAS EN LA PRUEBA INICIAL ................. 1 Alumno 1 ............................................................................................................ 1 Alumno 2 ............................................................................................................ 4 Alumno 3 ............................................................................................................ 6 Alumno 4 ............................................................................................................ 9 Alumno 5 .......................................................................................................... 12 Alumno 6 .......................................................................................................... 14 Alumno 7 .......................................................................................................... 18 Alumno 8 .......................................................................................................... 22 Alumno 9 .......................................................................................................... 25 Alumno 10 ........................................................................................................ 28 ANEXO II: TABLA RESUMEN DE LAS RESPUESTAS OBTENIDAS .......... 30 ANEXO III: TIRAS DE PAPEL ............................................................................. 32 ANEXO IV: TRAMA CUADRADA ....................................................................... 33 ANEXO V: TRAMA ISOMÉTRICA ...................................................................... 34 ANEXO VI: TANGRAM ......................................................................................... 35 1 A. Sobre la definición del objeto matemático a enseñar 1. Objeto matemático a enseñar, curso y asignatura en la que se sitúa En este Trabajo Fin de Máster se presenta una propuesta didáctica para la enseñanza de la medida de magnitudes longitud y superficie. Se sitúa en la asignatura de Matemáticas en el primer curso de Educación Secundaria Obligatoria y concretamente, aborda los siguientes puntos: - Unidades de medida de longitud y superficie, y la importancia de la unicidad de éstas. - Definiciones de perímetro y área. - Obtención de las fórmulas para el cálculo de áreas. - Cálculo de perímetros y áreas. - Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples. - Conservación del perímetro y del área. - Problemas contextualizados. Además de incluir los contenidos en geometría, en esta propuesta se incluyen algunos de los correspondientes al Bloque de Procesos, métodos y actitudes en matemáticas especificados tanto en la legislación nacional (Real Decreto 1105/2014), como en el currículo aragonés (Orden ECD/489/2016), ya que éste es un bloque transversal en el trabajo de matemáticas independientemente del objeto matemático a abordar. En este trabajo el objetivo es plantear tareas para que el alumno sea capaz de comprender un enunciado, planificar el proceso de resolución de un problema y utilizar diferentes estrategias y procedimientos de resolución, entre otros. 2. ¿Qué campo de problemas, técnicas y tecnologías asociadas al objeto matemático se pretende enseñar? Para responder a esta pregunta debemos situar el objeto matemático a abordar dentro de la legislación actual vigente. 2 Según la Ley Orgánica 8/2013 de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (BOE 10/12/2013), establece los puntos a trabajar referentes a la teoría de la medida, que incluye entre otras el cálculo de perímetros y áreas; contenidos situados en el Bloque III del primer curso de la ESO bajo el nombre de “Geometría”. Los contenidos abordados en este trabajo y relativos a dicho bloque, según viene dado en los anexos de la Orden ECD/489/2016, de 26 de mayo, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón; son los siguientes: o Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas. Cálculo de áreas por descomposición en figuras simples. o Circunferencia, círculo, arcos y sectores circulares. o Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y relaciones geométricas. Y, asociado a estos contenidos, tanto el currículo aragonés como el currículo nacional establecen un mismo criterio de evaluación: Crit.MA.3.2. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución. Los anexos del currículo nacional de la LOMCE para los cursos de 1º y 2º de Educación Secundaria Obligatoria establecen los siguientes estándares de aprendizaje asociados al criterio anterior: Est.MA.3.2.1. Resuelve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies y ángulos de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas. 3 Est.MA.3.2.2. Calcula la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la longitud de un arco y el área de un sector circular, y las aplica para resolver problemas geométricos. Respecto a los campos de problemas, Gutiérrez (2004) y Corberán (1996 a) plantean un amplio abanico de posibilidades acerca del estudio de la medida de la magnitud superficie, y Chamorro (2003) plantea además diferentes actividades de la medida de la magnitud longitud. Por ello, a través de las publicaciones de dichos autores y el Currículo oficial, los campos de problemas propuestos acerca de la medida de ambas magnitudes abordados en este trabajo estarán divididos en tres grandes bloques que aparecerán distribuidos de la siguiente forma: Tabla 1. Caracterización de los campos de problemas. CAMPOS DE PROBLEMAS Magnitud longitud CP.L1. Propiedades de la magnitud longitud (conservación y comparación) CP.L2. Medida de cantidades de magnitud longitud Magnitud superficie CP.S1. Propiedades de la magnitud superficie (conservación y comparación) CP.S2. Medida de cantidades de magnitud superficie CP.S3. Aproximación y estimación de cantidades de superficie Relación longitud y superficie CP.LS. Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie (perímetro y área) En cuanto a las técnicas y su justificación, se presentarán en el aula a medida que los alumnos vayan resolviendo las diferentes tareas propuestas. Con la finalidad de que 10 o LOMCE (Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa, BOE nº 295, de 10 de diciembre de 2013) En último lugar, analizamos el libro de texto perteneciente al proyecto Savia de la editorial propuesta, publicado en 2015. Como en la etapa legislativa anterior se incluye una unidad únicamente destinada a medidas de magnitudes en las que se incluye tanto la definición de magnitud y unidad de medida, así como los tipos de medida donde aparece nombrado el concepto de instrumento de medición, pero no definido. En la portada de dicha unidad, se plantean diferentes preguntas, que hace que los alumnos se cuestionen la necesidad de un sistema de medida común y fomenta la búsqueda de unidades de medida anteriores al metro. Posteriormente encontramos otra unidad enfocada al cálculo de perímetros y áreas, en la que lo primero que observamos son las definiciones de perímetro y área: 11 Esta última unidad didáctica es introducida a través de un problema de reparto de parcelas que sucedió en el Antiguo Egipto y que ahora, se les plantea a los alumnos de una forma actualizada: “Sí dos pentágonos son iguales tiene los mismos lados. Pero ¿es cierto al revés?, es decir, sí los lados de dos pentágonos miden lo mismo, ¿son iguales?, ¿tienen la misma área?” Y, por último se extrapola esta idea a otras figuras geométricas. 2. Campos de problemas enseñados habitualmente En los tres libros de texto se observa el predominio de ejercicios de cambio de unidades tanto de longitud como de superficie, primando la asignación numérica frente a la comparación de magnitudes y el estudio de la conservación de éstas. Así pues, se muestra un gran interés por introducir rápidamente las unidades del sistema métrico decimal, en vez de mostrar distintos problemas que ayuden al alumno a comprender los conceptos de longitud y superficie y permitan diferenciarlos con claridad. En el libro de SM 2003, aparecen gran cantidad de actividades destinadas a la medida de la magnitud longitud, aunque predominan las tareas enfocadas a la medición de la magnitud superficie; eso sí, sin abordar ni un solo problema acerca de la relación entre ambas magnitudes. En el libro de texto de SM 2010, cómo en el libro anterior, destaca el gran número de problemas sobre la medición de magnitudes, de hecho, en la unidad destinada a perímetros y áreas encontramos un total de 97 actividades, distribuidas en 45 Actividades 12 propuestas, 27 Ejercicios, 13 Problemas, 4 de Ampliación y 8 de Autoevaluación. De las cuáles, su mayoría, están destinadas a la medida de las magnitudes longitud y superficie y, sólo una, situada en el apartado de Problemas, trabaja ligeramente la relación entre el perímetro y el área: El libro de SM 2015 plantea un número mayor de tareas de medición que el anterior, propone exactamente un total de 121 actividades (actividades, actividades propuestas, problemas para resolver…) sin incluir la autoevaluación y, donde, algunas de las actividades y toda la sección destinada a problemas están contextualizados en diferentes situaciones de la vida real (la luna, aspersores, campos de fútbol, cometa, faro…). En cambio, tal y como sucede con SM 2003, no aparece ningún problema que relacione el área y el perímetro. Por otro lado, cómo ya anticipa Luelmo (2001) y, a pesar de que la estimación y aproximación de medidas son contenidos del currículo tanto en la LOGSE como en la LOE, en los libros de SM 2003 y SM 2010 no aparece ningún problema destinado a este campo de problemas. Sin embargo, es en SM 2015, periodo legislativo en el que no se hace referencia a la estimación y aproximación, donde se incluye un apartado destinado a errores, precisión en la medida y estimación, pero únicamente sobre la medida de la magnitud longitud, nada sobre la medida de la magnitud superficie. 3. Técnicas utilizadas En el libro de SM 2003, no aparecen problemas que resolver mediante técnicas de medida directa y, los problemas destinados a la medida de la magnitud longitud en figuras planas sin hacer uso de técnicas de medida indirecta cómo el Teorema de Pitágoras son Problema 79 (Libro SM 2010, p. 240) 13 casi inexistentes. Aunque, dentro de las mediciones indirectas sí aparecen tareas sobre el cálculo del perímetro de la circunferencia o del arco de la circunferencia mediante sus respectivas fórmulas. Respecto a las técnicas utilizadas para medir la magnitud longitud en el libro de texto de 2010, solo una tarea plantea el uso de técnicas de medición directa, en particular, plantea su resolución mediante la medida de cantidades de longitud utilizando un instrumento de medida cuya unidad se corresponde con las unidades del Sistema Métrico Decimal. Actividades Propuestas 2 (Libro SM 2010, p. 172) En cambio, predominan los ejercicios cuya resolución precisa del uso de técnicas de medida indirecta: - Cálculo de una cantidad de longitud debido a la relación establecida entre otras cantidades de longitud previamente conocidas. - Cálculo de la longitud de una circunferencia dado su radio. - Cálculo de la longitud del arco de una circunferencia dado su radio y la amplitud del ángulo central. Lo mismo sucede con SM 2015, dónde no se requiere el uso de técnicas de medida directa para resolver los problemas propuestos, pero sí aparecen las tres técnicas detalladas anteriormente. Los problemas y ejercicios que requieren de técnicas de medida directa para medir la magnitud superficie también son limitados en todos los libros de la muestra y, para su resolución se emplea la medida de cantidades de superficie por recubrimiento de la unidad de medida. En cambio, como técnicas de medida indirecta comunes en todos los libros, encontramos: 14 - Cálculo del área de un rectángulo multiplicando las longitudes de sus dos lados desiguales. - Cálculo del área de un cuadrado dado su lado. - Cálculo del área de un triángulo dada la longitud de su base y la altura asociada a esa base. - Cálculo del área de un paralelogramo a partir de sus lados desiguales - Cálculo del área de un trapecio a partir de sus bases y su altura - Cálculo del área de polígonos regulares dada a partir del perímetro y la apotema. - Cálculo del área por descomposición en figuras simples. - Cálculo del área de un círculo dado su radio. - Cálculo del área de un sector circular dado el radio y la amplitud del ángulo central. - Cálculo del área de una corona circular dados los dos radios. Además de las anteriores, en SM 2010 y SM 2015 aparece el cálculo del área de un rombo conocidas sus diagonales. 4. Aparición de tecnologías como justificación de las técnicas Los libros de texto solo justifican las técnicas de medición indirecta. En particular, en el caso de la magnitud longitud, los tres libros de texto justifican la fórmula del perímetro de la circunferencia a partir del cociente entre la longitud y el diámetro. En cambio, cómo se puede observar la justificación de la fórmula de la longitud de un arco de la circunferencia ya no es la misma en los tres casos, partiendo de que, SM 2010 no proporciona ninguna justificación. 15 Libro SM 2003, p. 182. Libro SM 2015, p. 247. En el caso de la superficie, las tecnologías encontradas no poseen un carácter formal y en todos los libros siguen un procedimiento similar, por ejemplo, para justificar la fórmula del área de un rectángulo se incluyen los siguientes ejemplos resueltos: Ejemplo (Libro SM 2003, p. 225) 16 Ejemplo (Libro SM 2010, p. 228) Ejemplo (Libro SM 2015, p. 250) Desde aquí, se extiende el resultado anterior para justificar la fórmula del área del paralelogramo. Y, a partir de esta última, justificar la fórmula del área del trapecio, la fórmula del área del triángulo y la fórmula del área para polígonos regulares. Además, también se hace uso de la fórmula del paralelogramo en el libro de SM 2015 para justificar la fórmula del rombo a partir de sus diagonales. Para la fórmula del área del círculo tenemos dos justificaciones diferentes. En los libros de texto de SM 2010 y SM 2015 se demuestra dicha fórmula a partir de la fórmula para calcular el área de polígonos regulares; y, en SM 2003 se demuestra a partir de la fórmula del paralelogramo. Libro SM 2003, p. 229 17 Libro SM 2010, p. 234 Libro SM 2015, p. 254 Respecto a las fórmulas sobre el cálculo de áreas de figuras circulares, se abordan en los tres libros las fórmulas para el cálculo del área de una corona y un sector circular, que a excepción de SM 2010, aparecen justificadas mediante las siguientes demostraciones: Libro SM 2003, p. 230 5. ¿Qué efectos produce dicha enseñanza sobre el aprendizaje del alumno? El análisis realizado nos permite comprobar la afirmación de Chamorro (2001) sobre el manifiesto del fenómeno de la aritmetización de la medida en los libros de texto, es decir, la colonización de la medida por parte de la aritmética. 18 La introducción de los conceptos se reduce a definiciones de las mismas sin ahondar en el sentido del propio objeto matemático. Por otro lado, se observa un número llamativo de ejercicios en los que se demanda el cálculo del área mediante la aplicación de una fórmula. La ausencia de tareas que pongan en relieve el sentido de la magnitud longitud y superficie conduce a la realización de tareas aritméticas en las que el alumno únicamente debe identificar los diferentes elementos de la fórmula para sustituir y operar. Además, aparecen ejercicios en los que se presenta al alumno la tarea de calcular tanto el área como el perímetro de figuras por descomposición, pero curiosamente son estos ejercicios presentados al final de la unidad y únicamente con el fin de aplicar dicha técnica sobre polígonos irregulares o figuras compuestas por polígonos y/o figuras circulares. Por lo que, comparando los campos de problemas existentes en los libros de texto anteriores con los propuestos en esta propuesta didáctica, podemos concluir que sólo se trabajan los campos referentes a Medida de cantidades de magnitud longitud y Medida de cantidades de magnitud superficie, pues el resto de los campos o no aparecen, o se incluye un número tan pequeño de problemas asociados a dicho campo que no son suficientes para asimilar el aprendizaje que deberían propiciar. Respecto a las técnicas empleadas en los libros de texto y las que trabajaremos en este documento, son muchas las que no aparecen y de manera general, las únicas que se trabajan en profundidad en los libros de texto son las técnicas de medida indirecta en ambas magnitudes, así como las tecnologías asociadas a éstas. De los resultados observamos, que, tal y como recoge Luelmo (2001), el trabajo promovido por el libro de texto pretende centrarse en la manipulación numérica, buscando que los alumnos efectúen conversiones y operaciones con cierta rapidez y seguridad, y existe una escasez de actividades de composición y recomposición de figuras, de medición directa con unidades no convencionales, de estimación, y la inexistencia de problemas complejos e interesantes que podrían aumentar la motivación del alumnado. Como consecuencia, los alumnos sufren dificultades en el proceso de aprendizaje de este objeto matemático y para ello, cómo indica Chamorro (2003) debemos fomentar la medición real de objetos diversos tomados del entorno cotidiano 19 por mucho que suponga esfuerzos tanto para los alumnos como para el profesor, ya que la medición es la puerta de entrada para abordar cuestiones inherentes a la medida como son el problema del error y la aproximación. Ese campo de problemas que no se aborda en profundidad en ninguno de los libros, a pesar de que en dos de los tres marcos legislativos aparezca reflejado. Es por ello, que a pesar de que muchos profesores consideren que “el libro de texto es un recurso habitual en el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje, hasta el punto de que, en muchas ocasiones, es el propio manual el que determina el currículo real” (Monterrubio y Ortega, 2009, p. 38); el libro de texto no siempre presenta las mejores herramientas y en algunas ocasiones, tampoco esta adaptado en su totalidad al currículo. C. Sobre los conocimientos previos del alumno 1. ¿Qué conocimientos previos necesita el alumno para afrontar el aprendizaje del objeto matemático? El diseño de esta propuesta didáctica focaliza su centro de atención en desarrollar la capacidad de razonamiento geométrico de los alumnos. Para ello, es necesario que los alumnos posean ciertos conocimientos tanto de geometría como de medida. En particular, deben reconocer las figuras geométricas mas sencillas y sus propiedades, además de tener nociones básicas de perímetro y área y, respecto a la medida, deben conocer el concepto de magnitud y las unidades de medida más usuales para las magnitudes a estudiar; pues estos conocimientos constituyen la base sobre la que se desarrollará dicho razonamiento. 2. La enseñanza anterior, ¿ha propiciado que el alumno adquiera esos conocimientos previos? Aunque con el curso de 1º ESO, iniciamos una nueva etapa, los conocimientos previos relacionados con esta unidad se vienen enseñado en cursos anteriores correspondientes a la Educación Primaria. 26 D. Sobre las razones de ser del objeto matemático 1. ¿Cuál es la razón o razones de ser que vas a tener en cuenta en la introducción escolar del objeto matemático? De todas las ramas de las Matemáticas, la Geometría es una de las más intuitivas, concretas y ligadas a la realidad que conocemos. Por ello, la razón de ser que se va a tener en cuenta para introducir el objeto matemático es la resolución de problemas a través de la experimentación; haciendo así uso de materiales adecuados a la didáctica, métodos, conceptos y propiedades que nos permitan alcanzar los objetivos propuestos. Cómo indica Freudenthal (1973, citado por Villarroya,1994), citando a J. J. Sylvester (s.f.): “La Geometría sólo puede tener sentido si explota su relación con el espacio vivenciado. Si el educador elude este deber, desperdicia una ocasión irrecuperable. La Geometría es una de las mejores oportunidades que existen para aprender a matematizar la realidad. Es una ocasión única para hacer descubrimientos. Los descubrimientos realizados por uno mismo, con las propias manos y con los propios ojos, son más convincentes y sorprendentes. Hasta que de alguna forma se puede prescindir de ellas, las figuras espaciales son una guía indispensable para la investigación y el descubrimiento” (p. 95). 2. ¿Coinciden con las razones de ser históricas que dieron origen al objeto? La medida de las magnitudes longitud y superficie ha ido evolucionando a lo largo de la historia, por ello llevamos a cabo el siguiente análisis histórico donde veremos que la razón de ser tomada para introducir el objeto matemático en el aula coincide con la razón de ser histórica que dio lugar al sistema métrico y al cálculo de perímetros y áreas. Siguiendo a Fernández Nieto (2018), consideramos el siguiente análisis histórico: Geometría en Babilonia: Fue hace 6000 años con la invención de la rueda cuando surgió el afán por descubrir las propiedades de la circunferencia y esto los condujo a estudiar la relación que existe entre la longitud del área y su diámetro. 27 Las primeras indicaciones de un sistema de medida se encontraron en la civilización babilónica: ellos perfeccionaron la agrimensura y determinaron métodos para calcular áreas de figuras planas sencillas. Geometría en la India: El área de los trapecios se calculaba transformándolos en rectángulos mediante la trasposición de los dos triángulos rectángulos que se forman tomando como hipotenusas los lados iguales y como catetos mayores la altura del trapecio. Geometría en Egipto: Los anudadores egipcios hacían nudos igualmente espaciados que servían para medir y, fueron los primeros en observar que, uniendo con forma de triángulo cuerdas de ciertas longitudes se obtiene un ángulo recto. Como consecuencia eran capaces de conseguir mediante estos nudos triángulos rectángulos. Además, disponían de las fórmulas para calcular el área del cuadrado (a partir del triángulo), del rectángulo, del rombo y del trapecio. Lo único que ha perdurado son algunas fórmulas o algoritmos para calcular volúmenes, áreas y longitudes cuya finalidad era práctica. Geometría en Grecia: Descubrimiento de propiedades como la de ser el círculo y la esfera los cuerpos de mayor área y volumen de todos los de igual perímetro y superficie. Además, Arquímedes en su labor en pro de la Geometría, hizo diversas aportaciones para el cálculo de las áreas de figuras curvilíneas. Geometría en la Edad Media: Bonaventure Cavalieri, escribió la obra “Geometría de los indivisibles”, en la que calculó las magnitudes geométricas, áreas y volúmenes, como suma de sus elementos geométricos indivisibles. 28 3. Diseña uno o varios problemas que se constituyan en razones de ser de los distintos aspectos del objeto matemático a enseñar. A continuación, se van a presentar cuatro problemas que abordan los diferentes campos propuestos anteriormente. Con el primero se persigue que los alumnos vean la importancia de la unicidad en la medida mientras introducimos la medida de cantidades de longitud. El sebguno problema permite diversas estrategias, mediante las cuales descubriremos como piensan nuestros alumnos a la vez que observamos los conocimientos que poseen acerca de áreas. Problema para introducir la magnitud longitud Problema 1: Elige un objeto de la clase del que desees medir su longitud. Para medirlo, no puedes usar la regla, sino que debes hacer uso de alguna de las medidas antropométricas que se proponen a continuación: Selecciona 4 de las unidades de medida anteriores, mide la longitud del objeto elegido y rellena la siguiente tabla: Objeto: Unidad de medida Resultado 29 Queremos obtener ahora la longitud total del aula, para ello elige de nuevo cuatro de las unidades anteriores y rellena esta tabla: Unidad de medida Resultado ¿Has elegido las mismas unidades para medir un objeto que para medir el aula? ¿con qué criterio has elegido las unidades de medida en cada caso? Compara los resultados obtenidos con los del resto de tus compañeros, ¿habéis elegido las mismas unidades? ¿Crees que este tipo de medidas suponen algún problema o desventaja? ¿Por qué? Problemas para introducir la magnitud superficie Problema 2: Alicia quiere comprar una casa nueva en su ciudad y duda por cual de las siguientes casas decantarse. Comprará la que tenga el jardín (coloreado en verde) más grande, ¿qué casa debe comprar? 30 4. Indica la metodología a seguir en su implementación en el aula. La idea principal de esta secuencia consiste en introducir progresivamente todos los elementos que se abordan en este documento, haciendo partícipes a todos los alumnos, de forma interactiva y práctica, pero sobre todo visual. Para el problema 1 los alumnos dispondrán de 10 minutos para revolverlo de forma individual y después contaremos con 5 minutos para la puesta en común. En esta última, queremos que los alumnos saquen sus propias conclusiones de las ideas e instrumentos de medida elegidos. El objetivo es que sean conscientes de que a pesar de que varios alumnos hayan elegido el mismo objeto y la misma unidad de medida el resultado puede variar, por lo que este sistema de medida no es el óptimo y debe surgir la necesidad de unificar la unidad. Con el problema 2, las opciones de trabajo son múltiples, por lo que pediremos a los alumnos que aborden este problema en pequeños grupos de 3-4 personas en un tiempo aproximado de 10 minutos. De esta forma fomentamos el trabajo en grupo, en particular el trabajo colaborativo, el cual permite a los alumnos apoyarse unos en otros. Este problema sugiere varias estrategias de resolución, puede ser que tomen medidas directas a través de una regla y posteriormente calculen áreas o puede ser que decidan recortar los diferentes jardines para determinar que área es mayor descomponiéndola en figuras más pequeñas (ambas técnicas son previsibles). Cuando aparezca ésta ultima el profesor aprovechará para institucionalizarla. E. Sobre el campo de problemas 1. Diseña los distintos tipos de problemas que vas a presentar en el aula. Los problemas diseñados en esta sección abordan todos campos de problemas propuestos en la Tabla 1, y para ello, se han intentado contextualizar dentro de situaciones de la vida cotidiana o presentarlos a través de otros recursos como son materiales educativos para la enseñanza de las matemáticas como GeoGebra. 31 CAMPOS DE PROBLEMAS DE LA MAGNITUD LONGITUD CP.L1. Propiedades de la magnitud longitud (conservación y comparación) Problema CP.L1.1: Se quiere construir el puente más corto que cruce el río. De las siguientes propuestas, ¿qué puente debe construirse? Utilizando el material proporcionado (tiras de papel de diferentes longitudes) razona tu respuesta. Problema CP.L1.2: Carla se encuentra en la ciudad y quiere visitar el castillo, para ello tiene dos opciones, coger el autobús o coger el tren. ¿Qué medio de transporte debe escoger si quiere ir por el camino más corto? Razona tu respuesta. Para dar respuesta a este problema dispones de tiras de papel de diferentes tamaños. 32 Problema CP.L1.3: La X marca el tesoro, pero para llegar hasta él es obligatorio pasar por tres islas diferentes. Sabiendo que la expedición parte de la palmera (punto verde), ¿por qué tres islas debes pasar si quieres llegar al tesoro por el camino más corto? Para llegar a la respuesta correcta, dispones de un corcho donde situar tu mapa, además de chinchetas o alfileres y lana para medir los caminos que imagines. CP.L2. Medida de la magnitud longitud Problema CP.L2.1: Recorta la siguiente tira de papel y considerando esta tira como unidad de medida construye dos tiras de longitudes 5/4 y 3/4. Problema CP.L2.2: Observa los objetos que te rodean y escribe el nombre de 2 objetos que puedas ver ahora mismo en clase, cualquier cosa, desde un cuaderno hasta una baldosa. a) Con ayuda de las tiras del Anexo III mide alguna magnitud de los objetos elegidos y rellena la siguiente tabla: Objeto Magnitud a medir Resultado de medir con la tira azul Resultado de medir con la tira rosa 33 b) Compara los resultados obtenidos con tus compañeros. ¿Habéis obtenido las mismas medidas en caso de haber medido los mismos objetos? c) Compara ahora, los resultados obtenidos dependiendo de la unidad de medida tomada. ¿Obtienes la misma medida o varía? ¿Qué esta pasando? Razona tu respuesta. d) ¿Consideras que es importante la unicidad en las unidades de medida? e) Mide la misma magnitud de los objetos anteriores con un metro y rellena la tabla siguiente: Objeto Magnitud a medir Resultado de medir con el metro f) Con los datos de las dos tablas que has completado y sin hacer uso del metro, establece la relación existente entre las diferentes unidades de medida tomadas. Problema CP.L2.3: Rellena la siguiente tabla, sabiendo que todas las figuras propuestas son regulares, es decir, todas tienen todos sus lados iguales. 34 ¿Qué observas? ¿Obtienes alguna relación? ¿Cuál es el resultado de dividir el perímetro entre el número de lados? Problema CP.L2.4: Modifica el radio de la circunferencia en la siguiente animación construida en GeoGebra y completa la siguiente tabla: Polígono Nº de lados Longitud del lado Perímetro Triángulo Cuadrado 35 Radio Longitud Diámetro Longitud/Diámetro ¿Sabrías ahora, dar una aproximación del valor del número π? ¿Cómo explicarías qué es π? Problema CP.L2.5: Considera la circunferencia de radio r = 5 cm y llamando Larco a la longitud del arco de ángulo α , completa la tabla con ayuda del archivo de GeoGebra siguiente: α 30° 45° 60 ° 90° 180° 270 ° Larco %L!"#$ '% ∙ %) ¿Qué observas? ¿Encuentras alguna relación? 42 Problema CP.S2.6: a) Construye un rectángulo de igual área que el paralelogramo dado indicando sus dimensiones. b) Calcula el área del paralelogramo. Problema CP.S2.7: a) Determina en cada caso el área del triángulo y del rectángulo: b) Determina el área de cada triángulo: 43 Adaptado de SMP 11-16 (1985) Problema CP.S2.8: ¿Cómo calcularías el área de un rombo? Atrévete a ser matemático y construye tu fórmula. Es importante que describas los pasos que has realizado (sí lo necesitas puedes utilizar tijeras). Problema CP.S2.9: Construye un paralelogramo que posea el mismo área que el trapecio dado, si quieres puedes utilizar tijeras. Siguiendo los pasos que acabas de hacer, escribe y justifica la fórmula del área de un trapecio cualquiera en función de las dos bases y la altura. 44 Problema CP.S2.10: Calcula el área de las siguientes figuras, descomponiéndolas en figuras sencillas (puedes utilizar las fórmulas aprendidas anteriormente). Para ello, ten en cuenta que la distancia tanto en horizontal, como en vertical, de dos puntos consecutivos es de 1 cm. Problema CP.S2.11: Todas las figuras presentadas a continuación son polígonos regulares y, además de esto, todas tienen algo en común. Para adivinar de que se trata, observa la animación propuesta en este fichero de GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/VdVgERYy#material/JQhpw3Gd Calcula el área de las tres figuras siguientes, sabiendo que en todas las figuras la apotema mide 8 cm y, el lado del pentágono mide 10 cm, el del hexágono mide 8 cm y el del eneágono mide 5 cm: ¿Podrías dar una formula generalizada para calcular el área de cualquier polígono regular de al menos 5 lados? 45 Problema CP.S2.12: Construye un rectángulo o un trapecio que tenga la misma área que el siguiente pentágono regular, para ello puedes descomponerlo en piezas iguales que te permitan hacerlo. Siguiendo los pasos que acabas de hacer, escribe y justifica la fórmula del área de un pentágono regular. Problema CP.S2.13: Construye un rectángulo o un paralelogramo que tenga la misma área que el siguiente hexágono regular, para ello puedes descomponerlo en piezas iguales que te permitan hacerlo. Siguiendo los pasos que acabas de hacer, escribe y justifica la fórmula del área de un hexágono regular. Problema CP.S2.14: Construye un rectángulo o un paralelogramo que tenga la misma área que el siguiente eneágono regular, sí lo necesitas, puedes usar tijeras. Siguiendo los pasos que acabas de hacer, escribe y justifica la fórmula del área de un eneágono regular. 46 Problema CP.S2.15: Tras realizar los tres problemas anteriores, responde a la siguiente pregunta: ¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un polígono regular de n lados en función del perímetro y de la apotema? ¿Por qué? Problema CP.S2.16: Mediante la siguiente animación construida en GeoGebra, observamos el siguiente desarrollo: Observa lo que ocurre a partir de un polígono regular de 32 lados. a) ¿A la suma de qué áreas equivaldrá el área de ese polígono regular de muchos lados? b) ¿A qué es igual la suma de las bases de los triángulos que componen el polígono regular? c) ¿Y a qué es igual la altura de esos triángulos? Observa ahora lo que sucede en un polígono regular de 34 lados, con una variante de la animación anterior (también construida en GeoGebra): 47 d) Responde de nuevo los apartados a), b) y c). Imagina ahora qué ocurriría sí tuviésemos exactamente un polígono regular de 360 lados. e) ¿A qué figura geométrica se parece mucho un polígono regular de 360 lados? f) ¿A qué medidas del círculo circunscrito se aproximarán la altura de los triángulos y la suma de sus bases? g) ¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un círculo en función de sus medidas? Problema CP.S2.17: Partiendo de un círculo de radio 2 cm, rellena la siguiente tabla. Figura Ángulo central Área Círculo 360º Semicírculo Cuarto de círculo Obtén una fórmula que relacione el ángulo central y el área total del círculo, para calcular el área de cualquier sector circular. 48 Problema CP.S2.18: Calcula el área de las figuras dadas. Problema CP.S2.19: Calcula por composición y descomposición el área de la siguiente figura. Esta figura recibe el nombre de corona circular, ¿serías capaz de establecer una fórmula que sirva para calcular el área de cualquier corona? CP.S3. Aproximación y estimación de cantidades de superficie Problema CP.S3.1: Determina el número de unidades cuadradas aproximadas contenidas en la figura: 49 CAMPOS DE PROBLEMAS DE LA RELACIÓN LONGITUD SUPERFICIE CP.LS. Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie Problema CP.LS.1: Di sin hacer ningún tipo de operación si es cierta o no la siguiente afirmación: “Dos rectángulos del mismo perímetro siempre tienen la misma área.” Para demostrar sí lo que piensas es cierto o no, responde: a) A partir de las figuras siguientes, identifica dos unidades de medida. ¿Cómo están relacionadas entre ellas? b) Calcula otros dos rectángulos cuyo perímetro coincida con el de los rectángulos anteriores. c) A simple vista, ¿podríamos decir qué todos tienen la misma área? d) Calcula el área de los cuatro rectángulos propuestos. ¿Podrías haberla calculado de otra forma? e) Observando las figuras del aparado a) ¿Son ciertas las afirmaciones siguientes? o El perímetro de ambas figuras es el mismo. o Ambas figuras poseen la misma área. f) Determina ahora, sí es cierta o no la afirmación inicial. g) En el caso de que la afirmación sea falsa, ¿qué medidas debería tener el rectángulo de mayor área sabiendo que el perímetro debe medir 26 cm? Problema CP.LS.2: La figura A ha sido cortada en tres piezas que han sido reorganizadas, sin superponerse, para obtener la figura B. a) Compara el área de la figura A con la de la B. ¿Son iguales? 50 b) Compara los perímetros ambas figuras. ¿Son iguales? Tomado de Corberán (1996 b) Problema CP.LS.3: Dibuja en una trama cuadrada (Anexo IV) cinco figuras distintas uniendo ocho puntos de la trama de forma que: - Los puntos sean consecutivos y no en diagonal - Al dibujar no debes levantar el lápiz, ni pasar por encima de una línea ya dibujada. a) Pinta de color rojo el perímetro de todas las figuras y de otro color el área. b) Anota en la tabla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Qué observas? c) ¿Qué unidades has tomado para expresar el perímetro? d) Calcula el área de cada una de las figuras anteriores y anótalo en la tabla. ¿Qué observas? e) ¿Qué figura nos proporciona el área mayor? f) ¿Con qué figura obtenemos la menor área? Figura Perímetro Área 1 2 3 4 5 Adaptada de Cabanne (2008) 51 Problema CP.LS.4: En una trama cuadrada (Anexo IV) dibujamos 4 cuadrados de 1,2,3 y 4 unidades de lado y 5 círculos de 1,2,3,4 y 5 unidades de radio, como se muestra en las siguientes figuras: - Cuadrado a) ¿Qué relación hay entre la medida del lado del cuadrado A y la del B? b) ¿Y entre las medidas del área de los cuadrados A y B? c) ¿Qué relación hay entre las medidas de los lados A y C?, ¿y de A y D? d) ¿Y entre las medidas de las áreas de los cuadrados A y C?, ¿y entre las de A y D? e) ¿Son iguales estas relaciones (entre lados y áreas)? f) Completa la siguiente tabla: Figura Longitud del lado Área del cuadrado A 1 B 2 C D g) El lado de D es dos veces el de B, ¿ocurre lo mismo con sus áreas? h) ¿Son proporcionales las longitudes de los lados y las áreas de los cuadrados? 58 Ejercicio CP.S2.2: ¿Qué relación existe entre el área de la zona amarilla y el área del cuadrado? Adaptado de Castelnuovo (1981) Ejercicio CP.S2.3: ¿Qué fracción del triángulo representa la zona coloreada? Ejercicio CP.S2.4: Con la ayuda del Tangram (Anexo VI), construye la siguiente figura y calcula su área aplicando las fórmulas aprendidas anteriormente. Para ello, haz uso de una regla o cinta métrica con la que puedas tomar las medidas necesarias de cada una de las piezas. 59 Ejercicio CP.S2.5: Calcula el área de la siguiente figura. Ejercicio CP.S2.6: Calcula el área de la siguiente figura. 60 Ejercicio CP.S2.7: Un aspersor que da la vuelta completa, tiene un alcance de 5 m. ¿Qué superficie de césped se riega? Ejercicio CP.S2.8: La luna está llena de cráteres como consecuencia del impacto de numerosos meteoritos. En la imagen, se ve el cráter de Euler, en honor al famoso matemático. Su diámetro mide 28%/0 . a) ¿Qué superficie ocupa? b) ¿Cuántos campos de fútbol se pueden construir dentro, si un campo de futbol mide 90 ×120%0% ? CP.S3. Aproximación y estimación de cantidades de superficie Ejercicio CP.S3.1: Determina el número de unidades cuadradas contenidas en la figura: 61 Ejercicio CP.S3.2: Dibuja el contorno de tu mano sobre la trama isométrica (Anexo V) y calcula el número de triángulos que hay en su interior. ¿La medida obtenida es exacta o aproximada? Una vez se han medido la mano todos los alumnos de la clase ¿podrías decir que niño tiene la mano más grande? ¿y la más pequeña? Adaptado de Corberán (1996 b) CAMPOS DE PROBLEMAS DE LA RELACIÓN LONGITUD SUPERFICIE CP.LS. Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie Ejercicio CP.LS.1: La siguiente superficie tiene una determinada área y un cierto perímetro. Realiza sobre ella la modificación que creas oportuna de manera que: a) se obtenga una nueva superficie de menor área y con un perímetro mayor. b) se obtenga una nueva superficie de mayor área y con un perímetro menor. Adaptado de Corberán (1996 b) Ejercicio CP.LS.2: Dibuja un rectángulo que tenga el mismo perímetro que el rectángulo de la figura, pero con un área menor. Si crees que esto no es posible, indícalo y explica el porqué de ello. 62 Ejercicio CP.LS.3: El triángulo ABC se ha transformado en el nuevo triángulo ABD. Compara las áreas y los perímetros de estos dos triángulos. • Elige la respuesta que creas verdadera y justifícala sin usar objetos intermedios: a) El área de ABC es mayor que la de ABD. b) El área de ABC es menor que la de ABD. c) Los dos triángulos tienen igual área. d) No puedes decir si uno tiene mayor área que el otro. • Calcula el área de los triángulos. Según los cálculos, ¿cambiarás la opción anterior? • Construye un triángulo que tenga la misma área que ABC. • Elige la respuesta que creas verdadera y razona tu respuesta: a) El perímetro de ABC es mayor que el de ABD. b) El perímetro de ABC es menor que el de ABD. c) Los dos triángulos tienen igual perímetro. d) No puedes decir si uno tiene mayor perímetro que el otro. • Calcula el perímetro de los triángulos. Según los cálculos, ¿cambiarás la opción anterior? Adaptado de Corberán (1996 b) Ejercicio CP.LS.4: La figura (A) ha sido cortada en 2 piezas que han sido reorganizadas, sin superponerse, para construir la figura (B). a) Compara sus áreas. ¿Tienen igual área? 63 b) Compara sus perímetros. ¿Tienen igual perímetro? Tomado de Corberán (1996 b) Ejercicio CP.LS.5: La figura (A) ha sido cortada en 4 piezas que han sido reorganizadas, sin superponerse, para construir la figura (B). a) Determina el área de (B). b) Determina los perímetros de (A) y (B). Tomado de Corberán (1996 b) Ejercicio CP.LS.6: Completa la siguiente tabla tomando como unidad de medida para calcular el área el cuadrado S, y como unidad de medida de longitud el segmento L. 64 Medida del área Medida del perímetro Figura A Figura B Figura C Figura D Ejercicio CP.LS.7: Dada una trama cuadrada, de 1cm de separación entre los puntos (Anexo IV) y un hilo de lana (de más de 32 cm). Sigue las siguientes instrucciones: a) Con el trozo de hilo, ata a los extremos, dejando dentro un trozo de 32 cm exactamente y sujetando la cuerda con 4 chinchetas forma un rectángulo sobre la cuadrícula. b) Forma el rectángulo de tal manera que uno de sus lados sea 10 cm. ¿Cuánto vale el perímetro? ¿y el área? c) Mueve las chinchetas y forma otro rectángulo con 8 cm en uno de sus lados. ¿Cuánto vale ahora el perímetro? ¿y el área? d) Rellena la tabla propuesta a continuación: Longitud de uno de los lados del rectángulo Perímetro Área Un lado de 10 cm Un lado de 9 cm Un lado de 8 cm Un lado de 7 cm Un lado de 6 cm Adaptado de Cabanne (2008) Ejercicio CP.LS.8: Con ayuda de la trama cuadrada (Anexo IV), responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo habrá que disponer 36 cuadrados de 1 cm de lado para formar dos tapices, de manera que el perímetro de uno sea el menor posible, y el del otro, el mayor posible? b) ¿Cuál será el área cubierta en cada tapiz? Adaptado de Corberán (1996 b) 65 2. ¿Qué técnicas o modificaciones de una técnica se ejercitan con ellos? Las técnicas se presentan en el mismo orden en el que se han establecido los campos de problemas. Por ello, comenzamos presentando las técnicas asociadas a los campos de problemas de la medida de la magnitud longitud. En CP.L1. Propiedades de la magnitud longitud (Comparación y conservación) se ha hecho uso de las siguientes técnicas: TN.L1.1 Comparación directa de cantidades de longitud TN.L1.2 Comparación de cantidades de longitud utilizando objetos intermedios TN.L1.3 Conservación de la cantidad tras hacer diversos movimientos TN.L1.4 Suma de cantidades de magnitud longitud En el segundo campo de problemas de la magnitud longitud, CP.L2. Medida de cantidades de magnitud longitud, es importante destacar que diferenciamos entre medida directa e indirecta de la siguiente forma: Técnicas de medida directa TN.L2.1 Medida de cantidades de longitud reiterando la unidad de medida. TN.L2.2 Medida de cantidades de longitud utilizando un instrumento de medida cuya unidad se corresponda con las unidades del Sistema Métrico Decimal. Técnicas de medida indirecta TN.L2.3 Cálculo de una cantidad de longitud debido a la relación establecida entre otras cantidades de longitud previamente conocidas. TN.L2.4 Cálculo de la longitud de una circunferencia dado su radio TN.L2.5 Cálculo de la longitud del arco de circunferencia dado su radio y la amplitud del ángulo central A continuación, se muestran las técnicas empleadas en los campos de problemas referentes a la medida de la magnitud superficie, empezando con CP.S1.Propiedades de la magnitud superficie (Comparación y conservación), donde aparecen: 66 TN.S1.1 Comparación directa de cantidades de superficie por superposición TN.S1.2 Comparación de cantidades de superficie por descomposición y reconfiguración de dichas cantidades. TN.S1.3 Comparación de cantidades de superficie por descomposición de una de ellas para su posterior superposición sobre las demás cantidades. TN.S1.4 Suma cantidades de magnitud superficie TN.S1.5 Conservación de la cantidad de superficie por disociación entre el área y la forma de la superficie En el campo de problemas CP.S2. Medida de cantidades de magnitud superficie, cómo en el caso de la longitud, diferenciamos entre técnicas de medida directa e indirecta: Técnicas de medida directa TN.S2.1 Medida de cantidades de superficie por recubrimiento de la unidad de medida. TN.S2.2 Construcción de cantidades de superficie conocido el resultado de una medición. TN.S2.3 Descomponer la cantidad de superficie a medir en partes y sumar el área de cada parte. TN.S2.4 Descomponer y reconfigurar cantidades de superficie. Técnicas de medida indirecta TN.S2.5 Cálculo del área de un rectángulo multiplicando las longitudes de sus dos lados desiguales. TN.S2.6 Cálculo del área de un cuadrado dado su lado. TN.S2.7 Cálculo del área de un triángulo dada la longitud de una base y la altura asociada a esa base. TN.S2.8 Cálculo del área de un rombo a partir de sus diagonales. TN.S2.9 Cálculo del área de un paralelogramo a partir de sus lados desiguales. TN.S2.10 Cálculo del área de un trapecio a partir de sus bases y su altura. TN.S2.11 Cálculo del área de un polígono regular conocido su lado y la apotema. TN.S2.12 Cálculo del área de un círculo dado su radio. 67 TN.S2.13 Cálculo del área de un sector circular dado radio y la amplitud del ángulo central. TN.S2.14 Cálculo del área de una corona circular dados los radios de los círculos concéntricos. Por último, en CP.S3. Aproximación y estimación de cantidades de magnitud superficie, aparecen las siguientes técnicas: TN.S3.1 Aplicación de técnicas de medida directa y/o indirecta para la estimación de la cantidad de superficie Para finalizar, se presentan las técnicas referentes al campo de problemas que relaciona ambas magnitudes, CP.LS. Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie (perímetro y área): TN.LS.1 Aplicación de técnicas de medida directa y/o indirecta sobre figuras que poseen el mismo área y diferente perímetro. TN.LS.2 Aplicación de técnicas de medida directa y/o indirecta en figuras con igual perímetro y distinto área. TN.LS.3 Establecer que no se satisface la misma razón o relación entre el perímetro y el área de dos figuras. 3. Dichas técnicas ¿están adecuadas al campo de problemas asociado al objeto matemático? Las técnicas que se ponen en practica tanto con los problemas como con los ejercicios propuestos para cada uno de los campos de problemas, son adecuadas para introducir el objeto matemático y también para trabajarlo. Pues éstas permiten al alumno entender las propiedades que definen dicho objeto, así como los tipos de mediciones que se pueden hacer de las magnitudes presentadas, alcanzando el objetivo de que los alumnos entiendan y sean conscientes de lo que están haciendo en cada momento. Lo que les permite ser capaces de razonar y que su trabajo no se vea limitado por la aplicación de fórmulas. 74 12 Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie Problemas CP.LS.1 y 2 Ejercicios CP.LS. 1 y 3 Ejercicios CP.LS.2 y 4 13 Relación entre la magnitud longitud y la magnitud superficie Problema CP.LS.3 Ejercicio CP.LS.5 y 7 Ejercicios CP.LS. 6 y 8 14 Repaso de contenidos Corregir los deberes de las sesiones 12 y 13. Resolver dudas. 15 Prueba de evaluación Prueba de evaluación. 16 Corrección del examen Entrega de exámenes. Corrección en la pizarra y resolución de dudas. I. Sobre la evaluación 1. Diseña una prueba escrita (de una duración aproximada de una hora) que evalúe el aprendizaje realizado por los alumnos. A continuación, se muestra la prueba escrita diseñada para evaluar el aprendizaje de los alumnos tras finalizar el desarrollo de esta unidad didáctica. Como se puede observar, consta de siete ejercicios cuya puntuación aparece especificada en cada uno de los enunciados y posee una duración aproximada de una hora. 75 IMPORTANTE: No está permitido el uso de la regla graduada durante el examen. Las respuestas no justificadas no obtendrán puntuación. Ejercicio 1: Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu respuesta mediante un ejemplo. (1,5 puntos) a) La distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. b) Dos figuras con la misma área tienen el mismo perímetro. c) Comparamos dos rombos A y B. Sí el rombo A tiene mayor área que el rombo B, entonces A también tiene mayor perímetro que B. Ejercicio 2: Calcula el perímetro de la siguiente figura. (1 punto) Ejercicio 3: Calcula el área de la siguiente figura. (1,5 puntos) Nombre y Apellidos: _____________________________ Curso: 1º ESO Fecha: _________________ 76 Ejercicio 4: Utiliza las piezas (A), (B) y (C) para medir el área de la superficie (H). Completa la tabla indicando la cantidad de superficie según la unidad de medida utilizada. Se valorará el proceso realizado, por tanto, se tiene que justificar el valor obtenido. (1 punto) Unidad A Unidad B Unidad C Unidad D Superficie (H) Responde a las siguientes preguntas teniendo en cuenta lo realizado. (1,5 puntos) a) ¿Puede ser que una misma figura tenga medidas diferentes? Justifica tu respuesta. b) ¿Qué relación existe entre la unidad A y la unidad B? ¿y entre la unidad B y la unidad D? c) ¿Puedes explicar cómo afecta el tamaño de la unidad de medida escogida y la medida de la superficie obtenida? 77 Ejercicio 5: Calcula el área de la parte coloreada en cada una de las siguientes figuras. (1 punto) Ejercicio 6: Observa las figuras ABCD y AB1C1D. (0’75 puntos) Elige la respuesta verdadera y justifica tu elección. No se puede hacer uso de objetos intermedios (es decir, recuerda que no se puede utilizar la regla, por ejemplo): a) El área de ABCD es mayor que la de AB1C1D. b) El área de ABCD es menor que la de AB1C1D. c) Las dos figuras tienen la misma área. d) No se puede saber si una tiene mayor área que la otra. 78 TRAMA CUADRADA TRAMA CUADRADA TRAMA CUADRADA TRAMA CUADRADA Ejercicio 7: Nacho es jardinero, y debe diseñar un jardín de 24 m2. La única condición a cumplir es que el jardín debe tener forma rectangular: a) Dibuja todas las opciones que tiene Nacho para diseñar su jardín. Para ello, utiliza la siguiente trama cuadrada sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos no diagonales es de 1 metro. (1 punto) b) Si sólo se dispone de 20 m de valla, ¿cuales de los jardines diseñados es posible construir? (0,75 puntos) 79 2. ¿Qué aspectos del conocimiento de los alumnos sobre el objeto matemático pretendes evaluar con cada una de las preguntas de dicha prueba? A continuación, se muestra para cada uno de los ejercicios propuestos las diferentes tareas principales y tareas auxiliares, tanto específicas como generales, que pretenden evaluarse. EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 TAREAS Principales • Identificar de manera correcta la veracidad de la afirmación. • Adecuación del ejemplo a la afirmación. • Comprensión de la magnitud longitud. • Identificar la no relación entre el perímetro y el área. Auxiliares Específicas • Coherencia en la redacción. TAREAS Principales • Medir el perímetro reiterando la unidad de medida y utilizando técnicas de medida indirecta. Auxiliares Específicas • Descomponer en cantidades de longitud que sean capaces de medir. • Utilizar correctamente las fórmulas necesarias, ya sea la de la longitud de la circunferencia o la de la longitud de un arco de circunferencia. • Expresar la solución en las unidades adecuadas. Auxiliares Generales • Realizar cálculos aritméticos. 80 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 EJERCICIO 5 TAREAS Principales • Calcular el área de la figura inicial mediante técnicas de medida indirecta por descomposición en figuras conocidas. • Escribir la fórmula para el cálculo del área de manera correcta de cada una de las figuras. Auxiliares Específicas • Aplicar correctamente las fórmulas para el cálculo de áreas, identificando correctamente los elementos que aparecen en la fórmula. • Expresar los resultados en las unidades adecuadas. Auxiliares Generales • Realizar cálculos aritméticos. TAREAS Principales • Descomponer una superficie utilizando diferentes unidades de medida. • Identificar la relación inversa existente entre el tamaño de unidad de medida y la superficie. Auxiliares Específicas • Contar el número de veces que cabe cada una de las piezas en la superficie dada. • Comparar el tamaño de las unidades de medida TAREAS Principales • Reconocer las figuras geométricas que aparecen en las imágenes. • Identificar las relaciones para el cálculo del área de la figura sombreada en cada caso. Auxiliares Específicas • Determinar la medida de la longitud del radio de los sectores circulares o círculo. 81 EJERCICIO 6 EJERCICIO 7 • Aplicar correctamente las fórmulas para el cálculo de áreas, identificando correctamente los elementos que aparecen en la fórmula. • Expresar los resultados en las unidades adecuadas. Auxiliares Generales • Realizar cálculos aritméticos. T AREAS Principales • Identificar la opción correcta. • Justificar la conservación de la cantidad de superficie a través de las fórmulas para el cálculo del área ya que los elementos que las caracterizan tienen la misma longitud. TAREAS Principales • Diferenciar entre área y perímetro. • Construir en la trama rectángulos del área indicada. • Conocer el área del rectángulo e identificar las cantidades de medida de los elementos que constituyen dicha fórmula. Auxiliares Específicas • Identificar el conjunto de los rectángulos. Auxiliares Generales • Realizar cálculos aritméticos. 82 3. ¿Qué respuestas esperas en cada una de las preguntas en función del conocimiento de los alumnos? EJERCICIO 1 Las respuestas mostradas a continuación no son las únicas, sino que son un ejemplo de las respuestas correctas que podríamos obtener de nuestros alumnos. a) Verdadero. Efectivamente, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Por ejemplo, la distancia entre A y B es menor si se recorre el camino verde que si se recorre el rojo. b) Falso. Veamos cómo dos rectángulos que poseen la misma área tienen diferente perímetro. c) Falso. Que el rombo A tenga mayor área que el rombo B, no significa que A tenga mayor perímetro que B. Por ejemplo, el rombo rosa tiene mayor perímetro (todos sus lados son mas largos) y en cambio encierra menos área que el verde. 83 EJERCICIO 2 Por la propiedad aditiva de la magnitud longitud, podemos descomponer la longitud total ( 7% ) a medir en diferentes partes. De manera que: 7%= 7&+%7'+ 7(+%7)+%7*+%7++%%7,+%7Donde, reiterando la unidad de medida, obtenemos: 7&= 7%;0 7(= 2%;0 7)= 1%;0 7*= 3%;0 7+= 1%;0 7,= 2%;0 (Es cierto, que algunos alumnos podrían descomponer en una sola cantidad de longitud la siguiente expresión 7(+%7)+%7*+%7++%%7, ). Para calcular 7'. y 7podemos diferenciar varios procedimientos, todos ellos igual de válidos, que nos permitirán obtener la solución final: o En el primero, se considera calcular la longitud de dos medias circunferencias: 7 = 24' 2= %4' Así pues %%7'= 7-= %24%;0 y, por tanto, la longitud total es: 7%= 7&+%7'+ 7(+%7)+%7*+%7++%%7,+%7-. = = 7 + 24 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + %24 = 16 + 44 = 28/56%;0% o La segunda posibilidad, sería darse cuenta de que al poseer ambas semicircunferencias el mismo radio, podemos calcular la longitud total de una 90 Modelo de tercios para el Ejercicio 4 4.1. Tabla • No realizar alguna de las descomposiciones propuestas o cometer errores al hacerla: - 0,25 puntos por cada descomposición. • Error en el conteo de las cantidades de cada unidad de medida: - 0,15 puntos por todos los errores cometidos por cada unidad de medida. 4.2. Cuestiones • Sobre una misma superficie, no identificar que la cantidad de medida depende de la unidad de medida considerada: - 0,5 puntos. • No identificar la relación existente entre las dos unidades: - 0,25 puntos cada vez. • No comprender la relación entre el tamaño de la unidad de medida y el valor numérico obtenido tras la medición: - 0,5 puntos. Modelo de tercios para el Ejercicio 5 • No identificar la relación existente entre las figuras para el cálculo del área de la zona sombreada: - 0,5 puntos por cada imagen. • Cálculo incorrecto del área por elección incorrecta de una fórmula: - 0,5 puntos por cada imagen. • Cálculo incorrecto del área de cada una de las figuras, por la incorrecta sustitución de los valores: - 0,2 puntos cada vez. • Confundir radio con diámetro: - 0,25 puntos cada vez. • No expresar los resultados en las unidades adecuadas: hasta - 0,4 puntos. • Errores de cálculo: - 0,1 puntos cada vez hasta un máximo de - 0,3 puntos. Modelo de tercios para el Ejercicio 6 • Escritura incorrecta de las fórmulas para el cálculo del área del cuadrado o del paralelogramo: - 0,75 puntos. • Identificación incorrecta de la base y/o altura de cada una de las figuras en su justificación: - 0,75 puntos. 91 Modelo de tercios para el Ejercicio 7 7.1. Apartado a) • No diferenciar entre área y perímetro: - 1 punto • Por cada rectángulo no dibujado que cumpla las condiciones del enunciado: - 0,1 puntos por cada uno. • Por cada rectángulo dibujado que no cumple las condiciones del enunciado: - 0,2 puntos por cada uno, hasta un máximo de 1 punto. • Por seguir una estrategia errónea para el cálculo de todos los rectángulos: hasta - 0,5 puntos. 7.2. Apartado b) • No diferenciar entre área y perímetro: - 0,75 puntos. • No saber calcular el perímetro del rectángulo: - 0,75 puntos. • No obtener la respuesta correcta, por no haber identificado todos los rectángulos en el apartado anterior: - 0,4 puntos. • No expresar los resultados en las unidades adecuadas: hasta - 0,25 puntos. • Errores de cálculo: hasta un máximo de - 0,25 puntos. 92 J. Referencias bibliográficas Anzola, M., Bujanda, M. P., Mansilla, S., & Vizmanos, J. R. (2010). Matemáticas: Pitágoras 1º ESO. Conecta 2.0. Madrid: SM, Ediciones. Bujanza, M. P. & Mansilla, M. (2003). Matemáticas: Números 1º ESO. Madrid: SM, Ediciones. Castelnuovo, E. (1981). La Matemática. La Geometría. Ketres, Barcelona. Cabanne, N. (2008). Didáctica de la Matemática, ¿Cómo aprender? ¿Cómo enseñar? Buenos Aires: Bonum. Chamorro, M. C. (Coord.) (2001). Dificultades del aprendizaje de las Matemáticas. Madrid: MEC. Chamorro, M.C. (2003). Didáctica de las matemáticas. España: Prentice Hall. 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Completa la siguiente tabla: km2 hm2 m2 cm2 06435 64,35 6.435 643.500 0,086424 8,6424 86424 86.424 0,02 2 200 20.000 0,034567 3,4567 345,67 34567 3. Dibuja un triángulo y un cuadrado cuyo perímetro coincida con el perímetro de este hexágono. ¿Cuál de las tres figuras tiene un área mayor? ¿Por qué? 1. Observa el plano y calcula: 19 20 27 28 Alumno 10 29 30 Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Alumno 8 Alumno 9 Alumno 10 Apartado a) ✓ ✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✓ ✕ ✓ ✕ Apartado b) - ✓ ✓ ✕ ✓ ✓ ✕ ✓ ✓ ✕ Apartado c) - ✓ ✕ ✓ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ ✓ Apartado d) ✓ Los cálculos son correctos pero no la solución dada. ✓ No aparece razonado ✓ no aparecen las cuentas --✕ - ✕ no aparece razonado - 1✓ ✕ ✕ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✕ 2✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ 3✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✕ ✓ ✕ 4✕ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ 5✕ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✕ ✓ ✕ 6✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ 7✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✓ -✓ ✕ 8✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ 9✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ 10 ✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ 11 ✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ 12 ✓ ✕ ✕ ✓ ✕ ✕ ✕ ✓ ✓ ✕ Triángulo ✓ equilatero ✓ equilatero sin dimensiones sin dimensiones ✓ equilatero - - sin dimensiones - ✕ medidas erroneas Cuadrado ✓ ✓ sin dimensiones sin dimensiones ✓- - sin dimensiones - ✕ medidas erroneas Area mayor Triágulo Igual hexágono hexágono igual - - hexágono hexágono hexágono Razonamiento - Mismo perímetro, significa misma área porque tiene mas lados porque ocupa más espacio tienen el mismo área porque su perímetro es igual - - porque tiene mas puntas porque tiene mas lados porque tiene apotema Figura segunda Todas igual primera igual todas igual segunda igual primera primera ? ¿Por qué? tiene más lados miden y ocupan lo mismo tiene menos parte tapada por el otro trozo - porque son iguales, 2 rectángulos colocados de la misma forma porque al ser un cruce se suman se emplean las mismas formas para hacer las diferentes figuras - mide 15 cm^2 el cubo porque tiene más lados EJERCICIO 1 EJERCICIO 2 EJERCICIO 3 EJERCICIO 4 ANEXO II: TABLA RESUMEN DE LAS RESPUESTAS OBTENIDAS 31 32 ANEXO III: TIRAS DE PAPEL 33 TRAMA CUADRADA ANEXO IV: TRAMA CUADRADA 34 ANEXO V: TRAMA ISOMÉTRICA 35 ANEXO VI: TANGRAM Un tangram se compone de siete piezas geométricas (dos triángulos grandes, un triángulo mediano, dos triángulos pequeños, un cuadrado y un paralelogramo) que juntas componen un cuadrado. Las siete piezas guardan entre sí relaciones proporcionales de tamaño (1:2, 1:4) y de semejanza en el caso de los triángulos. - Triángulo mediano =2 triángulos pequeños = 1/2 triángulo grande = cuadrado = paralelogramo (romboide) - Triángulo pequeño= 1/2 triángulo mediano= 1/2 cuadrado = 1/2 paralelogramo (romboide) = 1/4 triángulo grande Construcción de un tangram: Vamos a construir el tangram más conocido y usado, el compuesto por siete piezas: “el tangram chino”. Para ello necesitamos cartulina y seguir el siguiente procedimiento: 1. Construye un cuadrado de 12 cm de lado. 2. Obtén el punto medio de los lados AB (a este punto lo llamaos E) y AD (será F) y traza un segmento que una E y F. 3. Sitúa la regla sobre la diagonal AC pero trazada sólo desde EF a C, GC. 4. Traza la diagonal BD. 5. Traza una paralela a GC desde E hasta que corte a la diagonal BD. 6. Traza una paralela a AD desde G hasta que corte a BD. El resultado obtenido debe de ser el siguiente: 36 Por último, recortar cada una de las piezas y empezar a jugar.