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Trabajo Fin de Máster Propuesta para la introducción al concepto de derivada de una función A proposal for the introduction to the concept of derivative of a function Autor: Héctor Giménez Calvo Directora: Dra. Alejandra Sarina Córdova Martínez FACULTAD DE EDUCACIÓN Noviembre 2020 2 Contenidos INTRODUCCIÓN.............................................................................................................5 A. DEFINICIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO A ENSEÑAR...................................5 A.1. Objeto matemático y el contexto educativo.....................................................5 A.2. Curso y asignatura en la que se sitúa el objeto matemático.............................6 A.3. Praxeología asociada al objeto matemático.....................................................7 B. ESTADO DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.....................................................8 B.1. Justificación de la introducción escolar del concepto de derivada...................8 B.2. Praxeologías utilizadas habitualmente...........................................................18 B.3. Efectos de dicha enseñanza en el aprendizaje del alumno.............................20 C. CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL ALUMNO......................................................22 C.1. Conocimientos previos necesarios para afrontar el aprendizaje.....................22 C.2. Conocimientos previos proporcionados por la enseñanza anterior................23 C.3. Actividades para asegurar la posesión de los conocimientos previos............25 D. RAZONES DE SER DEL OBJETO MATEMÁTICO..............................................27 D.1. Razones de ser históricas de la derivada........................................................27 D.2. Razones de ser a tener en cuenta en la introducción escolar de la derivada.. 30 D.3. Problemas que se constituyen en razón de ser...............................................31 E. CAMPO DE PROBLEMAS.......................................................................................34 E.1. Distintos tipos de problemas a presentar en el aula........................................34 E.2. Modificación de la técnica inicial exigida por la resolución de problemas....39 F. TÉCNICAS.................................................................................................................41 F.1. Distintos tipos de ejercicios a presentar en el aula.........................................41 G. TECNOLOGÍAS........................................................................................................42 G.1. Razonamientos sobre los que se justifican las técnicas..................................42 G.2. Responsabilidad de la justificación................................................................43 G.3. Proceso de institucionalización......................................................................43 H. METODOLOGÍA.......................................................................................................43 I. SECUENCIA DIDÁCTICA Y CRONOGRAMA.......................................................44 J. EVALUACIÓN...........................................................................................................47 J.1. Prueba escrita para evaluar el aprendizaje realizado por los alumnos.............47 3 J.2. Aspectos del conocimiento que se pretenden evaluar.....................................49 J.3. Respuestas esperadas.......................................................................................50 J.4. Criterios de calificación...................................................................................52 K. BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................54 4 INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se realiza una propuesta para introducir el concepto de derivada de una función en un punto, inmerso en el currículo de la asignatura de Matemáticas I del curso de primero de Bachillerato en la modalidad de Ciencias. La propuesta, ideada por un graduado en física y aspirante a profesor de matemáticas, se presenta como Trabajo de Fin del Máster de Profesorado de Secundaria de la modalidad de Matemáticas. El trabajo se enmarca en el contexto (seguramente histórico) de la pandemia vivida en el 2020, que obligó a suspender las clases presenciales sustituyéndolas por la docencia a distancia. Dicha circunstancia afectó también al periodo de prácticum lo que impidió que se pudiera poner en práctica todas las ideas que existían en la cabeza del autor, teniendo que acomodarse las tareas a las necesidades del centro, del tutor de prácticas y, sobre todo, del alumnado. El trabajo comienza con un análisis del objeto matemático en el contexto legislativo y educativo actual, para lo cual se hará uso de tres libros de texto de reciente edición: dos de ellos en edición digital (Editex y Anaya) y el otro restante en formato físico (SM). A. DEFINICIÓN DEL OBJETO MATEMÁTICO A ENSEÑAR A.1. Objeto matemático y el contexto educativo El objeto matemático que se aborda en este trabajo es, como ya se ha mencionado en la introducción, el de la derivada, desde el punto de vista de introducción al concepto. En el contexto educativo del bachillerato, se utiliza la palabra derivada para referirse indistintamente a dos conceptos que son distintos. Por un lado se encuentra el concepto de derivada de una función f en un punto a (f’(a)) y por otro lado el de función derivada (f’(x)) con x como variable independiente. En esta propuesta se tratará, en mayor medida, de que el alumnado comprenda el primer concepto con el mayor nivel de profundidad posible, para después abordar el segundo, tratando de eludir la usual metodología de memorización de tablas que, si bien puede resultar de utilidad a la hora de superar pruebas de evaluación de ejercicios de tipo algorítmico, de poco sirve para ayudar a comprender los nuevos conceptos que vendrán en etapas educativas 5 superiores. Por no extender demasiado este trabajo y para no superar, por tanto, los límites impuestos, no se abordarán los contenidos referentes a las aplicaciones de la derivada, como son por ejemplo: hallar máximos y mínimos de una función, estudio de la curvatura, representación completa de funciones, problemas de optimización, etc. Para situar la introducción a la derivada en el contexto educativo del primer curso de Bachillerato de la modalidad de ciencias, debemos atender al currículo contemplado en la ORDEN ECD/494/2016, de 26 de mayo, del Departamento de Educación, Cultura y Deporte, por la que se aprueba el currículo del Bachillerato y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad autónoma de Aragón que aparece en el BOA de 03/06/16. En el bloque de análisis, relacionados con la introducción a la derivada, se pueden encontrar los siguientes contenidos: Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada de la función en un punto. Recta tangente y normal. Función derivada. Cálculo de derivadas. Regla de la cadena. En cuanto a los criterios y estándares de aprendizaje tenemos: ◦Crit.MA.3.3: Aplicar el concepto de derivada de una función en un punto, su interpretación geométrica y el cálculo de derivadas al estudio de fenómenos naturales, sociales o tecnológicos y a la resolución de problemas geométricos. ◦Est.MA.3.3.1: Calcula la derivada de una función, usando los métodos adecuados y la emplea para estudiar situaciones reales y resolver problemas. ◦Est.MA.3.3.2: Deriva funciones que son composición de varias funciones elementales mediante la regla de la cadena. ◦Est.MA.3.3.3: Determina el valor de parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad y derivabilidad de una función en un punto. A.2. Curso y asignatura en la que se sitúa el objeto matemático Como ya se ha mencionado en los párrafos anteriores, la asignatura y curso en que se sumerge la presente propuesta es Matemáticas I del curso de 1º de Bachillerato de la modalidad de ciencias. 6 A.3. Praxeología asociada al objeto matemático La palabra praxeología se forma por la composición de dos raíces: en primer lugar la praxis, que se refiere a la práctica, en oposición a la teoría o teórica, significantes del logos en segundo lugar. En cuanto a la praxis asociada al concepto de derivada, encontramos los campos de problemas y las técnicas utilizadas para resolverlos. Dentro de logos hallaríamos las tecnologías que justifican el uso de las técnicas y también, aunque no se tengan en cuenta en este trabajo, se hallaría la teoría que da la razón de ser a las tecnologías. Los campos de problemas de la propuesta serán los siguientes: I. Cálculo de la tasa de variación media (o velocidad media). I.a. A partir de una tabla de valores. I.b. A partir de un gráfico. I.c. A partir de la expresión. II. Cálculo de tasa de variación instantánea (o velocidad instantánea). II.a. Por aproximación tomando amplitudes cada vez menores. II.b. Usando la definición con el límite. III. Cálculo de la pendiente de una función (derivada en un punto). IV.Hallar la función derivada de funciones sencillas mediante la definición. V. Problemas de relacionar la gráfica de la función derivada con la gráfica de una función. En cuanto a las técnicas utilizadas, para dotar de significado a la derivada y apoyar así su razón de ser de obtención de pendientes, deben sustentarse sobre todo en las representaciones gráficas de las funciones. Pero todo ello sin olvidar las técnicas algebraicas y resolución de límites ya estudiados en los temas anteriores, dotando, a su vez, a los límites de (una) razón de ser y huyendo así, por el contrario, de la idea de que la resolución del límite es el fin último de derivada. En el caso concreto de hallar la ecuación de la recta tangente, se evitará el uso de la ecuación punto-pendiente en la forma que se suele dar en los libros de texto, ya que 7 invita a su memorización a corto plazo para ser olvidada tras realizar el examen. El uso de la ecuación de la recta en su forma explícita (y=mx+n) parece más apropiado, pues los parámetros m y n poseen un significado intuitivo desde el punto de vista de la representación gráfica y por ello es una ecuación que suele permanecer más tiempo en la memoria de los alumnos. Además m se encuentra directamente relacionado con la derivada. Para justificar todas las técnicas utilizadas, se necesitará el conocimiento de las siguientes tecnologías: •Representación gráfica de una función •Ecuación de la recta (para el cálculo de rectas tangentes). •Definición de derivada de una función en un punto. •Definición de pendiente de una función. •Definición de recta tangente. •Definición de función derivada de otra función. B. ESTADO DE LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE B.1. Justificación de la introducción escolar del concepto de derivada Para analizar el estado de enseñanza-aprendizaje del concepto de derivada, se han analizado los contenidos de tres libros de texto de uso extendido y de reciente edición. En primer lugar la edición digital del libro de ANAYA (2015) a la que se ha tenido acceso mediante las prácticas realizadas por el autor del presente trabajo en el IES Pablo Serrano ya que, aunque no haya sido utilizado para los cursos de bachillerato, es la editorial que se emplea en el instituto para los cursos de secundaria. En segundo lugar se analiza una edición en formato físico del libro de SM (2015) bastante conocido por el autor del presente trabajo, pues fue la utilizada por un alumno de clases particulares al que viene apoyando desde hace muchos años y conoce bien. Por último, la edición digital del libro de EDITEX (2015) proporcionada por el tutor de prácticas del instituto Pablo Serrano por ser el libro empleado por éste durante el actual curso de bachillerato. 8 B.1.i. Libro de ANAYA El primer libro a analizar será: Matemáticas I. Bachillerato. Anaya + Digital de José Colera Jiménez; María José Oliveira González; Elizabeth Santaella Fernández; Ramón Colera Cañas (2015). En adelante se referirá a este libro como ANAYA. En este libro de texto, el tema que nos ocupa es el número 12: Derivadas. Con la introducción y los problemas propuestos, este tema tiene una extensión de 33 páginas. El capítulo comienza con una introducción histórica en la que se menciona, muy brevemente, a Newton y Leibnitz como inventores (de forma independiente) del concepto y a Euler, de forma tangencial, como un importante contribuidor. Después se menciona a Cauchy como artífice del formalismo moderno al relacionar el concepto de derivada con el de límite. Posteriormente se alude a la necesidad de la creación del concepto con la siguiente frase: “Las matemáticas lo estaban pidiendo para resolver, además de problemas de tangentes en un punto y velocidades instantáneas, otras muchas situaciones, como los complicados problemas astronómicos que habían surgido con la invención del telescopio.” Las páginas de introducción concluyen con un problema propuesto sobre cálculo de velocidades medias a partir de la imagen de un objeto al que se le han realizado fotografías en intervalos de tiempo regulares. Por tanto, la primera justificación que se le plantea al alumno se refiere al cálculo de velocidades. El primer epígrafe del tema versa sobre la Medida del crecimiento de una función. Comienza directamente con la definición y su expresión, dentro del típico recuadro resaltado, de la Tasa de Variación Media (TVM) de una función en un intervalo [a,b]. También se define una función como creciente (o decreciente) en dicho intervalo si la TVM es positiva (o negativa). Una vez fuera del recuadro, para ir introduciendo a la fórmula completa de la derivada con el límite pero sin justificar de ningún otro modo, se menciona que el intervalo sobre el que se calcula la TVM se suele designar como [a,a+h] y se muestra la correspondiente expresión. Seguidamente se presentan dos ejercicios resueltos: uno en el que se calcula la TVM de una función dada en los intervalos [1,2] , [1,3] , [1,4] y [1,5] usando la primera fórmula y otro en el que se halla la expresión de la TVM en un intervalo de longitud variable [1,1+h], mostrando así que se obtienen los mismos valores que antes si h = 1, 2, 3 y 4. Finalmente se proponen dos ejercicios similares a los resueltos. En la siguiente página encontramos la primera 9 aplicaciones en el segundo. Por su afinidad con la presente propuesta, el análisis se centrará en el primero de ellos, en el capítulo denominado: Tema 13. Introducción a las derivadas. El tema 13 comienza en su página de presentación con una breve introducción histórica y la propuesta de unas cuestiones iniciales. La introducción atribuye el desarrollo teórico a Newton y Leibnitz mencionando su célebre disputa sobre la autoría. La invención del concepto se presenta como la respuesta a satisfacer la necesidad de resolver los problemas: el del movimiento no uniforme y el de encontrar la tangente a una curva en un punto de la misma. Como aplicación, el libro ofrece como ejemplo su utilización en la construcción de las líneas de ferrocarril o metro, de autopistas o de carreteras. Sobre las cuestiones, resulta interesante cómo, bajo la instrucción calcula los siguientes límites, se pide (de forma oculta) hallar una derivada en un punto y una función derivada dando para ello la expresión de la definición con límite. Otro aspecto también interesante que posee este libro es que, al principio de cada tema, muestra un mapa conceptual y una lectura recomendada, siendo la de este tema el libro El enigma de Fermat de Simon Signh. Una vez que se adentra en el tema, al igual que los dos libros anteriormente analizados, EDITEX comienza con las tasas de variación. La principal diferencia radica en el orden de las definiciones y los ejemplos. En este caso, el libro comienza primero con los ejemplos para dar paso después a las definiciones. Además, los ejemplos tienen siempre una contextualización real, creando así la sensación de necesidad de la definición. Es también llamativo el especial esfuerzo que se hace para relacionar las tasas de variación con el concepto de velocidad, ya que la tratan tres de los cuatro ejemplos que se incluyen. Textualmente se cita: “Otras veces las tasas de variación tienen significado físico: la velocidad de un móvil es una tasa de variación.” La extensa explicación que hace EDITEX sobre la tasa de variación instantánea, hace que el siguiente epígrafe, dedicado a la derivada de una función en un punto, tan solo contenga tres frases. Simplemente se define como lo mismo que la tasa de variación instantánea y se plantea la misma expresión que antes pero introduciendo la notación de Cauchy D[f(x0)] para la derivada de la función f en el punto x0, notación que se empleará en el resto del tema. Además se incluye un pequeño cuadro con las distintas notaciones utilizadas, con el detalle de incluir al célebre al que se le atribuye cada una 16 de ellas. El resto de la página se emplea para ilustrar con tres ejemplos, ahora sí, carentes de cualquier contexto real. Los siguientes dos epígrafes se dedican, cada uno de ellos, a las interpretaciones física y geométrica de la derivada. El primero de ellos aprovecha para definir velocidad media y velocidad instantánea, empleando para ello la expresión e(t0). En el segundo se hace uso del concepto de tangente trigonométrica para hallar la pendiente de la recta secante. A partir de ello, se define la recta tangente como la aproximación de la secante a aquella cuando el cateto contiguo (h) tiende a cero. Se demuestra por tanto que la derivada en un punto coincide con con la pendiente de la recta tangente y se relaciona con el ángulo que forma ésta con la horizontal. Concluye con las fórmulas para hallar las rectas tangente y normal a una función en un punto. Lo siguiente en abordarse es el concepto de función derivada y a las derivadas sucesivas. El rigor y la notación utilizados por EDITEX a la hora de definir funciones es más formal que en ANAYA o SM y en general más que en los libros de cursos de bachillerato, tanto de 1º como de 2º. Es destacable también que en un cuadro al margen, se dedican unas lineas a aclarar el tema de la ambigüedad de la palabra derivada, donde se dice: Por comodidad en el lenguaje se suele utilizar la palabra derivada para nombrar a la función derivada y a la derivada de la función en un punto. Es el contexto el que nos indicará si derivada se refiere a una u otra acepción. Los siguientes epígrafes del tema se destinan a dilucidar las reglas de derivación para operaciones de funciones y regla de la cadena en primer lugar, para luego mostrar las reglas para las funciones elementales. Para las reglas de operaciones de funciones: suma, producto y cociente, EDITEX presenta sus correspondientes demostraciones a partir de la definición. Sin embargo, es curioso que las reglas de derivación de funciones elementales no sean demostradas, dado que hasta el momento ha sido muy riguroso en todas las definiciones (en el capítulo de límites se muestra la definición con ϵ y δ). Podría pensarse que no considera adecuado mostrarlas para un nivel de primero de bachillerato, pero tampoco aparecen las demostraciones en la edición del segundo curso. Al final del tema encontramos una tabla con todas las derivadas, dispuestas en dos columnas, una para las funciones simples (en función de x) y otra para las funciones compuestas. Después se hallan un par de páginas dedicadas a las nuevas tecnologías, 17 concretamente son tres actividades para realizar con el programa Wiris. Finalmente concluye con una breve colección de tan solo 36 ejercicios y problemas, de entre los que se pueden contar cinco que se enmarcan en un contexto real. B.2. Praxeologías utilizadas habitualmente Lo que se observa de lo anterior es que, en el tema que nos ocupa, el campo de problemas suele ser muy descontextualizado. La tónica general suele ser la de mostrar una fórmula, enseñar las técnicas para usarla con un ejemplo y finalmente pedir al alumno que lo repita, cuantas más veces mejor. Esto es así para los casos de las tasas de variación, la derivada en un punto, hallar la ecuación recta tangente a una función o incluso para hallar la función derivada. Las tecnologías utilizadas son el concepto de límite para la función en un punto y las tablas de derivadas para la función derivada. En cuanto a la utilidad de los conceptos, la enseñanza habitual suele limitarse a calcular cosas que luego se van a pedir. Por ejemplo, “el signo de la derivada sirve para saber el crecimiento de una función, halla el crecimiento de esta función”. En los casos como los de los problemas de hallar máximos y mínimos de una función, lo que ocurre es que los que tienen algún tipo de contexto real, normalmente la función viene dada (muchas veces en función de x) y lo único que hay que hacer es repetir la técnica de los ejercicios no contextualizados. Por otro lado, si bien es cierto que parece que todo el tema culmina con la aplicación de resolver problemas de optimización, su resolución se enfoca desde un punto de vista algorítmico, donde el estudiante debe realizar unos pasos que memoriza y le permiten resolver los problemas sin necesidad de entender en plenitud lo que está realizando. 18 Tabla 1 División por epígrafes de los temas dedicados a la derivada en los tres libros de texto. ANAYA SM EDITEX Tema 12: Derivadas (33 páginas) Tema 9: Derivadas (36 páginas) Tema 13: (26 páginas) Introducción a las derivadas 12.1 Medida del crecimiento de una función 9.1 Derivada de una función en un punto 13.1 Tasa de variación media e instantánea 12.2 Obtención de la derivada a partir de la expresión analítica 13.2 Derivada de una función en un punto - - 13.3 Interpretación física de la derivada (Recta tangente se da en 12.5) 9.2 Aplicaciones de la interpretación geométrica de la derivada 13.4 Interpretación geométrica de la derivada 12.3 Función derivada de otra 9.3 Derivada y continuidad. Función derivada 13.5 Función derivada. Derivadas sucesivas 12.4 Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones 9.4 Derivadas de las operaciones con funciones (I) 13.6 Derivadas de las operaciones con funciones 9.5 Derivadas de las operaciones con funciones (II) 9.6 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena 9.7 Derivada de la función inversa 9.8 Derivada de la función potencial 9.9 Derivada de la función logarítmica 13.7 Derivadas de las funciones elementales 9.10 Derivada de la función exponencial 9.11 Derivadas de las funciones trigonométricas 9.12 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Tema 14: Aplicaciones de las derivadas (22 páginas) (Crecimiento se da en 12.1 pero sólo con TVM) 9.13 Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos 14.1 Monotonía de una función 12.5 Utilidad de la función derivada 9.14 Extremos relativos. Problemas de optimización 14.2 Extremos relativos 14.3 Optimización de funciones -9.15 Aplicaciones de la derivada segunda 14.4 Concavidad. Curvatura. 14.5 Puntos de inflexión 12.6 Representación de funciones Tema 10: Funciones elementales (30 páginas) 14.6 Representación de funciones Son en verde, los contenidos incluidos en el currículo de 1º de Bachillerato, en naranja los que son de 2º de Bachillerato. Los contenidos están clasificados por filas y en el orden en que aparecen en cada libro. 19 Tabla 2 Notación empleada en los libros de texto. NOTACIÓN ANAYA SM EDITEX Tasa de variación media (TVM) T.V.M.[a,b]=f(b)−f(a) b−a T.V.M.[a, a+h]=f(a+h)−f(a) h TVM f [a,b]=f(b)−f(a) b−a tvm [x0, x0+h]= [ Δf Δx ] [x0,x0+h] = =f(x0+h)−f(x0) h Tasa de variación instantánea - - tvi[x0]=lim h→0 tvm[x0, x0+h] tvi[x0]=lim h→0 [ Δf Δx ] [x0, x0+h] = =lim h→0 f(x0+h)−f(x0) h Derivada de una función en un punto f '(a)=lim x→a f(x)−f(a) x−a f ' (a)=lim h→0 f(a+h)−f(a) h f ' (a)=lim h→0 f(a+h)−f(a) h D[f(x0)]=lim h→0 f(x0+h)−f(x0) h Se mencionan todas las notaciones generalmente utilizadas Función derivada Df (x)=lim h→0 f(x+h)−f(x) h Se menciona notación f’(x) (Se definen derivadas laterales) f ' (x)=lim h→0 f(x+h)−f(x) h Se menciona notación Df f ' :ℝ→ℝ x→f ' (x) f '(x)=D[f(x)]= =lim h→0 f(x+h)−f(x) h Ecuación de la recta tangente y=f '(a)(x−a)+f(a) y−f(a)=f '(a)(x−a) y−f(x0)=f ' (x0)(x−x0) Notación de las fórmulas más relevantes utilizadas en los tres libros de texto: Anaya, SM y Editex. B.3. Efectos de dicha enseñanza en el aprendizaje del alumno Generalmente la enseñanza en este tema suele tratarse de la memorización de unas cuantas fórmulas que más tarde el alumno tendrá que utilizar en un examen. Como ya se ha comentado, este tipo de enseñanza se centra en la repetición mecánica de técnicas 20 que, sin restarles importancia que tienen, permiten al alumno aprobar sin necesidad de entender lo que está haciendo y por qué. Para el estudio de las dificultades y errores de los estudiantes en el ámbito de la diferenciación, se ha acudido a un artículo (Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2008) que revisa y organiza otras investigaciones realizadas sobre la materia en cuestión. En la revisión tiene en cuenta tres factores: el conocimiento que se tiene sobre la compresión de la derivada en un punto, el papel de los sistemas de representación y las características del desarrollo del esquema de la derivada. Una de las primeras investigaciones que se llevaron a cabo sobre errores y dificultades que tenían los estudiantes con respecto a la derivada fueron realizadas por Orton (1983). En sus estudios, Orton (1983) clasificó los errores cometidos a la hora de realizar tareas de diferenciación en tres tipos: •Estructurales o errores conceptuales, no se comprende el problema. •Arbitrarios, el alumno actúa de forma errática sin tener en cuenta los datos del problema. •Manipulación, el alumno comprende los conceptos pero yerra al efectuar las técnicas. Una conclusión que puede obtenerse de los trabajos de Orton (1983), es que hay que tener muy en cuenta, dada su importancia para la comprensión del concepto de derivada, la relación entre la razón de cambio y entre el cociente incremental. A este respecto, los análisis de Azcárate (1990) permitieron categorizar tres conceptos a los cuales se les asociaban las dificultades y errores. Son: la pendiente de una recta, velocidad instantánea en movimiento variado y la tasa de variación instantánea de una función. Los errores identificados en lo que a contextos de velocidad se refiere eran de dos tipos: •Confundir la pendiente de una recta con su ordenada en el origen •Dar el valor de la ordenada en el origen como valor de la pendiente de la recta. Otros estudio que pone de manifiesto la importancia de la relación entre razón de cambio y cociente incremental en la compresión de la derivada, fue realizado por Zandieth (1997). En su artículo distingue dos tipos de conceptos: procesos y objetos. 21 Los procesos son operaciones sobre objetos previamente establecidos y así, el desarrollo del aprendizaje forma una cadena en la que, una vez afianzados, los procesos se convierten en objetos (reificación) sobre los que actuarán nuevos procesos. Teniendo en cuenta esto, sus estudios obtuvieron como resultado que los estudiantes presentaban dificultades para realizar la conexión entre los mismos procesos dados en contextos diferentes, poniendo de manifiesto la falta de comprensión global o completa del concepto. C. CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL ALUMNO C.1. Conocimientos previos necesarios para afrontar el aprendizaje La derivada es uno de los conceptos clave del cálculo junto con la integral y es por ello por lo que es preciso que los alumnos dominen bastantes técnicas y tengan bien asentados ciertos conceptos que engloban varias ramas de las matemáticas como del cálculo mismo, del álgebra o de la geometría. Para la presente propuesta es necesario que los alumnos tengan más o menos afianzados los conceptos y habilidades relativos a los siguientes bloques. •Geometría ◦Tangente trigonométrica de un ángulo como cociente entre catetos de un triángulo rectángulo. ◦Concepto de rectas secante y tangente a una curva. ◦Significado de sus parámetros m y n en la ecuación explícita de una recta. ◦Hallar ecuación de una recta dados dos puntos o dados un punto y la pendiente. ◦Representar una recta dada su ecuación. •Cálculo ◦Concepto de función como una relación entre dos conjuntos de números. ◦Nociones básicas de representación de funciones. Dada una gráfica, saber determinar dominio, crecimiento, asíntotas, extremos relativos, etc. 22 ◦Resolución de límites con indeterminación de tipo cero entre cero. •Álgebra ◦Resolución de ecuaciones polinómicas. ◦Operaciones con polinomios. ◦Manipulación de expresiones algebraicas. •Física ◦Conceptos de velocidad media y velocidad instantánea. C.2. Conocimientos previos proporcionados por la enseñanza anterior. La enseñanza anterior corresponde al cuarto curso de Educación Secundaria Obligatoria, por lo que para saber si los conocimientos previos han sido tratados, se debe atender el currículo contemplado en la ORDEN ECD/489/2016, de 26 de mayo, por la que se aprueba el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón incluido en el BOA de 02/06/2016. Concretamente, la asignatura de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas contiene, en distintos bloques, los siguientes estándares de aprendizaje. •Geometría ◦Est.MAAC.3.2.2. Resuelve triángulos utilizando las razones trigonométricas y sus relaciones. ◦Est.MAAC.3.3.3. Conoce el significado de pendiente de una recta y diferentes formas de calcularla. ◦Est.MAAC.3.3.4. Calcula la ecuación de una recta de varias formas, en función de los datos conocidos. ◦Est.MAAC.3.3.5. Reconoce distintas expresiones de la ecuación de una recta […]. •Funciones 23 ◦Est.MAAC.4.1.1. Identifica y explica relaciones entre magnitudes que pueden ser descritas mediante una relación funcional y asocia las gráficas con sus correspondientes expresiones algebraicas. ◦Est.MAAC.4.1.2. Explica y representa gráficamente el modelo de relación entre dos magnitudes para los casos de relación lineal, cuadrática, proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica, empleando medios tecnológicos, si es preciso. ◦Est.MAAC.4.1.3. Identifica, estima o calcula parámetros característicos de funciones elementales. ◦Est.MAAC.4.1.5. Analiza el crecimiento o decrecimiento de una función mediante la tasa de variación media calculada a partir de la expresión algebraica, una tabla de valores o de la propia gráfica. ◦Est.MAAC.4.2.3. Describe las características más importantes que se extraen de una gráfica […]. •Álgebra ◦Est.MAAC.2.3.1. Se expresa de manera eficaz haciendo uso del lenguaje algebraico. ◦Est.MAAC.2.3.2. Obtiene las raíces de un polinomio y lo factoriza utilizando la regla de Ruffini u otro método más adecuado. ◦Est.MAAC.2.3.3. Realiza operaciones con polinomios, igualdades notables y fracciones algebraicas sencillas. Para el caso de las velocidades, es muy asumible que la gran mayoría de los alumnos que cursan la modalidad de ciencias de bachillerato hayan cursado en el curso anterior la asignatura de Física y Química. En el currículo de dicha asignatura se contempla el siguiente estándar de aprendizaje: ◦Est.FQ.4.2.2. Justifica la insuficiencia del valor medio de la velocidad en un estudio cualitativo del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A), razonando el concepto de velocidad instantánea. 24 Como se puede ver, la enseñanza en los anteriores cursos ha tenido que garantizar la mayoría de los contenidos previos necesarios para poder afrontar la derivada. Para el caso del cálculo de límites, el contenido se encuentra incluido en el currículo de primero de bachillerato y por tanto, es imprescindible que ese tema haya sido dado antes en ese mismo curso. C.3. Actividades para asegurar la posesión de los conocimientos previos. Para asegurar que los conocimientos previos están adquiridos, se planteará realizar el siguiente ejercicio. En concreto, se tratará de comprobar los conocimientos relativos a la tasa de variación media, pendiente de una recta y tangente trigonométrica de un ángulo. Problema CP: La función que se encuentra dibujada en la siguiente figura tiene como expresión: f(x)=9x 20 +21 20 x Los puntos A y B pertenecen a la función y tienen como coordenada xa=3 y xb=7 respectivamente: a) Halla la tasa de variación media en el intervalo comprendido entre los puntos A y B, es decir: TVM[3,7]. 25 separados en intervalos de 20 segundos y escribe los resultados en la siguiente tabla. Tiempo (s) 0 20 40 60 80 100 120 140 Posición (m) 0 118 328 678 1168 1750 2328 2758 b) Dibuja los puntos de la tabla en una gráfica espacio-tiempo y únelos mediante rectas. c) Calcula la velocidad media en cada intervalo. Explica la relación que observas entre las velocidades medias en cada intervalo con la gráfica del apartado anterior. d) ¿Ha superado la velocidad media del conductor el límite impuesto por el radar en algún tramo? ¿Crees que esta vez logrará convencer al agente? Justifica tu respuesta. Acabada la paciencia del agente de tráfico, éste le pide al conductor que introduzca en el GPS el momento exacto en el que sobrepasa el radar y lo mismo para 10 segundos después, resultando que el coche se encontraba en la posición 2047,375 metros cuando habían pasado 110 segundos. e) Sitúa el nuevo punto en la gráfica f) Calcula la velocidad media en el intervalo de tiempo [100,110]. ¿Supera esta vez la velocidad media el límite de 105 km/h? ¿Se puede asegurar que el velocímetro del coche ha superado en algún momento el límite? ¿Se puede asegurar que el velocímetro del coche marcaba más de 105 km/h en el momento de rebasar la posición del radar? Justifica tu respuesta. g) ¿Se podría utilizar la función del GPS para saber exactamente (o de forma muy aproximada) lo que marcaba el velocímetro al sobrepasar el radar? El problema hace uso del concepto de función como una “máquina” en la que se introduce un valor numérico y ésta ofrece otro de salida (input – output). Los alumnos ya tienen adquirida de cursos anteriores la idea intuitiva de lo que es la velocidad instantánea como el valor que marca el velocímetro de un coche. Se trata por tanto de construir el camino conceptual de ida y vuelta, que parte de esta idea intuitiva de velocidad instantánea hacia el concepto de velocidad media, para ir volver a la idea de que la velocidad instantánea coincide con la media cuando el intervalo es más y más pequeño. Además, al realizar una representación gráfica, el problema trata de acercar el concepto al sentido geométrico de la derivada como pendiente. 32 Figura 1. Concepto de una función como una máquina input – output. La resolución del problema es bastante sencilla, no incluye técnicas nuevas ya que los alumnos ya saben calcular velocidades medias. Tal vez un enunciado tan largo pueda resultar algo confuso y por ello el problema está pensado para presentar a toda la clase acompañando de la explicación por parte del profesor que puede ayudarse de dibujos y esquemas en la pizarra para ayudar a su comprensión. •Problema que se constituye en razón de ser de la función derivada. Problema RS2. El perfil de un desfiladero producido por la erosión de un río tiene una forma muy similar a la de la función f(x) = 1/2x2 – 20x { x ϵ [0,40] }. a) Hallar el valor de la pendiente que se observa al asomarse al desfiladero (en el punto x = 0). b) Averiguar en qué punto del desfiladero, la pendiente forma un ángulo de 45º con la horizontal. c) Hallar la profundidad del cañón, tomando como referencia el punto en x=0. Resolver buscando el punto en el que la pendiente es nula. Comparar que el resultado coincide con el vértice de una parábola. Representación del desfiladero. Los ejes no están en la misma escala. 33 Efectivamente, la estrategia ensayo-error de realizar el cálculo mediante la definición en varios puntos para encontrar el mínimo puede resultar largo y tedioso (y en ocasiones hasta inútil), mientras que el uso de la función derivada resulta mucho más eficiente en cualquier caso. El proceso mental que lleva a la necesidad de construir la función derivada es el habitual: se comienza aprendiendo a calcular la derivada en un punto de abscisa a dado y luego se pide calcular qué valor a debería tener la abscisa de un punto para un valor dado de la derivada en dicho punto. E. CAMPO DE PROBLEMAS E.1.Distintos tipos de problemas a presentar en el aula. Los tipos de problemas que se abordarán en el aula, responden a los campos de problemas mencionados en la primera sección. Éstos se pueden clasificar en dos grupos. El primer grupo contiene a los campos de problemas del I al IV y será el referente a la derivada en un punto. Sus problemas se centrarán en tratar de hacer interiorizar el concepto a través de sus razones de ser, por lo que éste grupo de problemas también se podrá clasificar en otros grupos: tangentes y velocidades. El segundo grupo, de los campos V y VI, tratará la función derivada y de la relación entre las gráficas de una función con su derivada. I. Cálculo de la tasa de variación media (o velocidad media). I.a. A partir de tabla de valores. Problema 1. Aquí se utilizará la primera parte del problema del radar (problema RS1), apartados a, b, c y d del primer problema de la sección D.3. I.b. A partir de gráfico. Problema 2. (Obtenido de Font, 2000) La ilustración siguiente nos muestra lo bien que se lo pasa un esquiador. 34 a) ¿En cuál de estos tres momentos le cuesta más esquiar? ¿Por qué? b) Utiliza una regla y prolonga los esquíes en los puntos A, B y C. ¿Qué clase de recta se obtiene? c) Si consideramos que el perfil de la montaña es la gráfica de una función, ¿cuál es el valor de la derivada de la función en A? ¿Qué signo tiene la derivada de la función en los puntos B y C? A partir de aquí se institucionalizará el concepto de tasa de variación media y además, los problemas anteriores han creado la necesidad de inventar algo nuevo al preguntar por la velocidad instantánea o por la pendiente en un punto una curva. II. Cálculo de tasa de variación instantánea (o velocidad instantánea). II.a. Por aproximación tomando amplitudes cada vez menores. Problema 3. El conductor del primer problema quiere saber qué velocidad exacta llevaba su vehículo cuando cruzaba el punto en el que se situaba el radar. Para ello decide utilizar la FUNCIÓN que le proporciona su GPS. Entonces descubre que el dispositivo, al que se le introduce un tiempo en segundos y éste devuelve una posición en metros, obedece a la función f(x)= −x4 80000 +x3 400+5x , siendo x el tiempo en segundos transcurrido desde el comienzo del tramo. a) Comprueba que para un tiempo de 100 segundos, el vehículo se encontraba justo sobrepasando el radar, es decir, que f(100)=1750. b) Completa las siguientes tablas: 35 x 105 101 100,1 100,01 100 f(x) 1899,68 1779,99 1752,99 1750,30 1750 f(x) - f(100) 149,67 29,99 2,999 0,2999 0 x-100 5 1 0,1 0,01 0 f(x)−f(100) x−100 29,93 29,99 29,9999 29,9999997 0 0 → ∄ x 95 99 99,9 99,99 100 f(x) 1600,30 1720,00 1747,00 1749,7 1750 f(x) - f(100) -149,69 -29,99 -2,99 -0,2999 0 x-100 -5 -1 -0,1 -0,01 0 f(x)−f(100) x−100 29,93 29,99 29,9999 29,9999997 0 0 → ∄ c) Los valores de la última fila corresponden a las velocidades medias medidas en m/s, ¿a qué valor se van aproximando? ¿Cuánto es ese valor en km/h? En la tabla, se muestran en rojo los resultados del problema. II.b. Usando la definición con el límite. Problema 4. En el problema anterior hemos visto que cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo, más se aproxima la velocidad media a un valor fijo. Pero, si intentamos calcularla con un intervalo de cero segundos, entonces aparece un cero en el denominador y no podemos calcularla. Por suerte, en el tema anterior aprendimos a manejar una herramienta que nos va a ser muy útil ahora: el límite. a) En primer lugar, hallar una expresión que represente la velocidad media del coche en el intervalo [ 100 , 100 + h] b) Ahora, halla el límite de la expresión anterior cuando h tiende a cero. 36 El problema anterior sirve para ilustrar, mediante el ejemplo del coche que se ha ido utilizando en las sesiones anteriores, la razón de ser de la derivada en un punto. Pero debido a que la función es un tanto complicada, resulta conveniente no utilizar este problema para la introducción del concepto sino más bien como un ejercicio para consolidar el aprendizaje. III. Cálculo de la pendiente de una función (derivada en un punto). Problema 5. El perfil de un tobogán acuático viene representado en la siguiente figura: El primer tramo del tobogán, hasta el punto x=0, sirve para que el atrevido saltador adquiera energía cinética y, por tanto, también velocidad. Pero en este problema nos interesaremos por el segundo tramo, el que empieza a partir del punto x=0. Esta parte es el trampolín y tiene como finalidad la de orientar al saltador con un ángulo que le permita realizar un gran salto. En la figura anterior puede parecer que el trampolín consiste en un pequeño plano inclinado dotado de una pequeña pendiente pero nada más lejos de la realidad. En la siguiente figura puede observarse el tramo con más detalle y constatar que se corresponde con la gráfica y=x2 200 , para valores entre x=0 y x=15: 37 a) ¿Cuál es la altura del trampolín? b) Si se tratase de un plano inclinado de la misma longitud y altura, ¿cuál sería su pendiente? c) ¿Cuál es la pendiente promedio del trampolín? Calcula la pendiente promedio... d) ... de los últimos 5 metros. e) ... de los últimos 2 metros. f) ... del último metro. g) ... de los últimos 10 centímetros. h) Encuentra una expresión algebraica que permita hallar la pendiente de los últimos h metros del trampolín. i) ¿Cuál será el ángulo con respecto a la horizontal con el que saldrá despedido el saltador? IV. Hallar la función derivada de funciones sencillas mediante la definición. Este campo de problemas tiene una componente más procedimental y es habitual proponer ejercicios descontextualizados para practicar la técnica. No obstante, se puede usar el problema anterior para dotarlo de razón de ser. Problema 6. Para la función que modeliza el trampolín en el problema anterior del tobogán acuático, encontrar una función que nos ofrezca como resultado la pendiente del trampolín en función de la coordenada x. V. Problemas de relacionar la gráfica de la función derivada con la gráfica de una función. Este campo de problemas es muy interesante y también muy común en los libros de texto. Una propuesta interesante la encontramos en en la edición de ANAYA analizada en la primera parte del presente trabajo: 38 Problema 7. E.2. Modificación de la técnica inicial exigida por la resolución de problemas. El aprendizaje del concepto de derivada supone un salto epistemológico importante. Sin embargo, en lo que respecta a la resolución de problemas, no hay una gran modificación de las técnicas a utilizar. A continuación se muestra un resumen de las técnicas y de sus modificaciones para cada campo de problemas. 39 I. Cálculo de la tasa de variación media (o velocidad media). En este campo de problemas, lo normal es que el alumno aplique la fórmula de la velocidad como el espacio recorrido entre el tiempo transcurrido. La técnica es la misma que han utilizado en cursos anteriores: obtención de valores a partir de gráficas, tablas o expresiones y realizar la división. II. Cálculo de tasa de variación instantánea (o velocidad instantánea). En este momento, la técnica evoluciona desde hallar el cociente de incrementos cada vez más cortos, hacia la obtención de una expresión que dependa de un parámetro h a la que luego se aplicará el límite cuando h tiende a cero. Aunque la técnica de hallar el límite haya sido aprendida en el tema anterior, en este tema se considera ya como aprendida y por tanto no será una técnica nueva o que haya que modificar. III. Cálculo de la pendiente de una función (derivada en un punto). En este campo de problemas, la técnica es exactamente la misma que el apartado anterior. IV. Hallar la función derivada de funciones sencillas mediante la definición. Una vez se llega a este punto del proceso de aprendizaje, la aplicación directa de la fórmula se convierte en la técnica a utilizar en este tipo de problemas. Es muy importante hacer todo lo posible para que los alumnos comprendan con la máxima profundidad el significado de la derivada en su definición, ya que se trata de una fórmula bastante fácil de olvidar si no se entiende bien. Este efecto se incrementará más aún cuando en la siguiente etapa del aprendizaje se utilicen las tablas de fórmulas para hallar funciones derivadas. V. Problemas de relacionar la gráfica de la función derivada con la gráfica de una función. Este tipo de problemas no requieren de ninguna técnica de manipulación algebraica o de cálculo. Para su resolución se requiere que el alumno comprenda la relación que existe entre una función y su función derivada desde el punto de vista gráfico, teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento, puntos singulares, etc. 40 F. TÉCNICAS F.1.Distintos tipos de ejercicios a presentar en el aula A continuación se presentan distintos tipos de técnicas para cada campo de problemas. I. Cálculo de la tasa de variación media (o velocidad media). En este campo de problemas, se proponen problemas que permitan ejercitar la técnica de cálculo de la tasa de variación media de funciones a partir de su representación gráfica, tabla de valores o por medio de su expresión algebraica. II. Cálculo de tasa de variación instantánea (o velocidad instantánea). Para la tasa de variación instantánea, se propone comenzar con ejercicios que utilizan la tabla de valores de intervalos cada vez más pequeños para entender el concepto. Una vez afianzado el concepto, la propuesta es introducir el parámetro h del que dependa la anchura del intervalo para seguidamente utilizar el límite. La resolución de estos límites de indeterminación cero entre cero, se realiza mediante la cancelación del parámetro h en numerador y denominador. III. Cálculo de la pendiente de una función (derivada en un punto). En este caso del cálculo de la derivada en un punto, se propone practicar la técnica mediante ejercicios de calcular la pendiente de funciones dadas mediante su expresión en un punto a también dado. Una vez dominada, el siguiente nivel de la técnica es, como viene siendo habitual, preguntar por el punto a que tendríamos que dar para que la derivada tuviera un valor determinado. Este razonamiento conduce directamente a la necesidad de crear el concepto de función derivada. IV. Hallar la función derivada de funciones sencillas mediante la definición. La técnica del apartado anterior ha de encaminar al alumno hacia la comprensión del concepto de función derivada. Una vez que el alumno domina la técnica de hallar la derivada de una función en un punto, se le propone considerar la abscisa del punto como una variable independiente (x) y obtener así, una vez simplificada, la expresión algebraica de una nueva función: la función derivada. 41 a) ¿Cuál ha sido la velocidad media de descarga? b) Calcula la velocidad media de descarga durante el primer segundo y durante los dos primeros segundos. c) Halla la TVM[1,2] d) Según se puede observar en el gráfico, ¿cuándo ha sido mayor la velocidad, en la primera o en la segunda mitad de la descarga? Justifica la respuesta. Problema EV2. La función que describe la cantidad de Mb descargados del archivo del problema anterior puede describirse así: f(x)=-2x²+40x, donde 0≤x≤10 representa el tiempo en segundos y f(x) representa la cantidad de Mb descargados transcurrido un tiempo x. a) Calcula la velocidad instantánea transcurrido 1 segundo del movimiento. b) ¿Con qué velocidad se ha finalizado la descarga a los 10 segundos? Problema EV3. Dada la función f(x)=3x³+2x²-5x, a) Halla la ecuación de las rectas tangentes a la función en los puntos x=-1 y x=0. Problema EV4. Utilizando la definición, halla la función derivada de las siguientes funciones: a) f(x)= √ x+3 b) g(x)= −1 x2 c) Utiliza los resultados anteriores para hallar f’(1) y g’(2) Problema EV5. (SM) Empareja cada una de las gráficas de la izquierda con las gráficas de sus correspondientes derivadas situadas a la derecha. 48 J.2.Aspectos del conocimiento que se pretenden evaluar Problema EV1. Relacionar la velocidad media con la tasa de variación media y calcularla utilizando su fórmula. Interpretar la pendiente en una gráfica como la velocidad. 49 Problema EV2. Relacionar la velocidad instantánea con la tasa de variación instantánea y calcularla usando la definición. Diferenciarla de la tasa de variación media distinguiendo cuando se pide calcular cada una. Problema EV3. Relacionar la derivada de una función en un punto con la pendiente de la recta tangente a una curva y utilizar ese dato para hallar la ecuación de ésta. Problema EV4. Hallar la función derivada de otra utilizando su definición Problema EV5. Interpretar la función derivada como una nueva función diferente que aporta información sobre el crecimiento o pendiente de su función primitiva. J.3.Respuestas esperadas Problema EV1. a) TVM[0,20]=f(10)−f(0) 10−0=200−0 10 =20 Mb/s b) TVM[0,1]=f(1)−f(0) 1−0=38−0 1=38 Mb/s TVM[0,2]=f(2)−f(0) 2−0=72−0 2=36 Mb/s c) TVM[1,2]= f(2)−f(1) 2−1=72−38 1=34 Mb/s d) La pendiente es es mayor en la primera mitad del tramo en el gráfico, por lo tanto la velocidad de descarga es mayor en la primera mitad. 50 Problema EV2. a)f ' (1)=lim h→0 f(1+h)−f(1) h=lim h→0 −2(1+h)2+40(1+h)−38 h=lim h→0 −2h2+36h h=36 Mb/s b)f ' (10)=lim h→0 f(10+h)−f(10) h=lim h→0 −2(10+h)2+40(10+h)−200 h=lim h→0 −2h2 h=0Mb/s Problema EV3. Primero hallamos la función derivada: f ' (x)=9x2+4x−5 •En x=-1 f(−1)=4⋯⋯⋯→ P(−1,4) f ' (−1)=0⋯⋯⋯→ m=0 Por tanto la recta buscada es: r: y=4 •En x=0 f(0)=0⋯⋯⋯→ P(0,0) f ' (0)=−5⋯⋯⋯→ m=−5 Por tanto la recta buscada es: s: y=-5x Problema EV4. a) f(x)= √ x+3 f ' (x)=lim h→0 f(x+h)−f(x) h=lim h→0 √ x+h+3− √ x+3 h= =lim h→0 ( √ x+h+3− √ x+3)( √ x+h+3+ √ x+3) h( √ x+h+3+ √ x+3)=lim h→0 x+h+3−x−3 h( √ x+h+3+ √ x+3)= 51 =lim h→0 h h( √ x+h+3+ √ x+3)=1 2 √ x+3 b) g(x)=−1 x2 g'(x)=lim h→0 g(x+h)−g(x) h=lim h→0 −1 (x+h)2−−1 x2 h=lim h→0 −x2+x2+2xh+h2 h(x+h)2x2= =lim h→0 2x+h (x+h)2x2=2 x3 Problema EV5. La relación primitiva-derivada entre ambas columnas de gráficas es: a) II) b) I) c) V) d) III) e) IV) J.4.Criterios de calificación Como criterio de calificación se propone un modelo penalización de errores de tercios (Gairín, Muñoz y Oller, 2012). Éste consiste en distinguir entre distintos tipos de tarea en cada problema: Tareas principales: Son aquellas que son objetivo principal de la calificación y valoran la comprensión sobre los contenidos propios del curso y del tema. En el caso que nos ocupa, son tareas principales todas las relacionadas directamente con las tecnologías que aparecen en los campos de problemas propuestos: tasas de variación, derivada en un punto y función derivada. Los errores cometidos en la realización de estas tareas puede suponer la pérdida de toda la puntuación en el problema (o apartado). Sin embargo su correcta realización asegura un tercio de la puntuación aunque en el problema no se halle la solución correcta. 52 Tareas auxiliares específicas: son las relacionadas con los contenidos matemáticos propios del curso pero que juegan únicamente un papel instrumental en el problema. Inequívocamente son tareas auxiliares en este tema la resolución de límites, aunque en esta propuesta de introducción no resultan ser especialmente complicados. Este tipo de tareas tiene asignado otro tercio de la puntuación del problema (o apartado), por lo que su correcta realización asegura dos tercios de la puntuación total, siempre que la tarea principar se encuentre igualmente correcta. Tareas auxiliares generales: El último tercio de la calificación corresponde a este tipo de tareas. Son de igual modo aquellas que juegan un papel instrumental pero se corresponden con contenidos vistos por el alumno en cursos anteriores. Los errores en este tipo de tareas supondrán la pérdida de, como máximo, un tercio del valor del problema (o apartado) al que pertenecen. Figura 3. Modelo de calificación por penalización de errores por tercios. (Gairín et al., 2012) 53 K. BIBLIOGRAFÍA Alcaide F., Hernández J., Serrano E., Barbero J.F., Sanz L. (2015). Matemáticas I. 1º de Bachillerato. 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ORDEN ECD/494/2016, de 26 de mayo, por la que se aprueba el currículo del Bachillerato y se autoriza su aplicación en los centros docentes de la Comunidad Autónoma de Aragón. (2016). (03), 929. Orton, A. (1983). Student's understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics 14 (3), 235–250 Pino-Fan, L. R., Godino, J. D., y Font, V. (2011). Faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático sobre la derivada. Educação Matemática Pesquisa, 13 (1). Ruiz M.J., Llorente J., González C., Aparicio A.M., Arribas F. (2015) Matemáticas I de 1º de Bachillerato. Madrid, España: Editex. Sánchez-Matamoros, G., García, M., y Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto de investigación en didáctica de la matemática. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa, 11 (2), 267-296. Vrancken, S., y Engler, A. (2014). 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