Uni e sidad de Valladolid
Facul ad de Ciencias
G ado en Ma em´
a icas
T abajo Fin de G ado
EMPAQUETAMIENTOS DE
APOLONIO Y ALGUNAS DE
SUS APLICACIONES
Au o : Juan Reb´e Sancho
Tu o : Philippe Gimenez
Feb e o-Sep iemb e 2022
ii
´
Indice gene al
In oducci´on 1
1. El p oblema de Apolonio 5
1.1. Enunciado del p oblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Los 10 p oblemas de Apolonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Empaque amien os de Apolonio 21
2.1. De inici´on y cons ucci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. F´o mula de Desca es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Ejemplos ............................. 35
3. Empaque amien os y Teo ´ıa de n´ume os 39
3.1. Teo ´ıa de educci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1. G upo de Apolonio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2. Algo i mo de educci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Cu a u as en e as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1. Cu a u as con adas con mul iplicidad . . . . . . . . . 45
3.2.1.1. Dimensi´on de Hausdo . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1.2. Resul ados asin ´o icos . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2. Cu a u as con adas sin mul iplicidad . . . . . . . . . 51
3.2.2.1. Relaciones de cong uencia . . . . . . . . . . . 51
4. C´ı culos de Fo d 53
4.1. De inici´on y p opiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. N´ume os de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Bibliog a ´ıa 61
iii
i ´
INDICE GENERAL
In oducci´on
Los empaque amien os de Apolonio son un concep o ma em´a ico com-
p endido en la ama del ´algeb a. El es udio de es e concep o iene su o i-
gen ap oximadamen e en el a˜no 230 a.C, cuando el amoso ma em´a ico y
as ´onomo g iego Apolonio de Pe ga (Pe ga, 262-190 a.C.) plan e´o y esol i´o
el siguien e p oblema en su a ado sob e angencias, el cual en la ac ualidad
se encuen a pe dido. El p oblema busca encon a una ci cun e encia an-
gen e a es obje os geom´e icos en el plano, cada uno de los cuales puede
se un pun o, un c´ı culo o una ec a. Su enunciado y su desglose en diez
p oblemas se incluyen en el cap´ı ulo 1 del abajo. En es e abajo, amos a
cen a nos y ealiza un es udio m´as p o undo del caso en que los obje os son
es c´ı culos angen es dos a dos, conocido como p oblema undamen al de
Apolonio, que es el de mayo di icul ad y la base de los empaque amien os
de Apolonio. No malmen e, es e p oblema iene dos posibles soluciones, a
excepci´on del caso en el que las es ci cun e encias son angen es en el mis-
mo pun o, pa a el cual enemos in ini as soluciones, como se puede obse a
en la igu a 1, donde los c´ı culos neg os son los iniciales y los azules los que
son soluci´on al p oblema p opues o.
Figu a 1: Posibles casos y soluciones al p oblema undamen al de Apolonio.
Apolonio esol i´o el p oblema median e azonamien os geom´e icos y
no ue has a 1643 cuando Ren´e Desca es (La Haye en Tou aine, 1596-
Es ocolmo, 1650) edac ´o una soluci´on algeb aica. Pa a ello descub i´o la
´o mula con la que se calcula el ama˜no de las dos ci cun e encias esul an-
es que son soluci´on del p oblema. El ama˜no de una ci cun e encia iene
dado po su adio, pe o es a ´o mula se exp esa en unci´on de las cu a-
1

2INTRODUCCI ´
ON
u as (1/ adio) de las ci cun e encias angen es en e s´ı. En conc e o, se
ob iene una ecuaci´on de segundo g ado y que cuando iene dos soluciones
eales, que se ´an las cu a u as de las nue as ci cun e encias angen es a las
es p opues as y que son soluci´on del p oblema. En ocasiones, la ecuaci´on
iene como soluci´on n´ume os nega i os pa a la cu a u a de los c´ı culos,
en es e caso se oma como cu a u a el alo absolu o del n´ume o nega i-
o y se ob iene un c´ı culo que con iene a los es de pa ida. M´as a de en
1936 Fed e ick Soddy (Ingla e a, 1877-1956), hizo un es udio ace ca de es a
´o mula. No en a emos aho a en m´as de alles sob e es a ´o mula ya que, al
se una pa e b´asica del es udio de los empaque amien os de Apolonio, se ´a
abo dada a lo la go del abajo con mayo p o undidad.
Es ´acil da nos cuen a que no ha sido un ema muy es udiado a lo la go
de la his o ia, y que no ha sido abo dado po g andes ma em´a icos. No
obs an e, en la ac ualidad, g acias a nue os es udios, se ha podido comp oba
que los empaque amien os de Apolonio apa ecen en muchas amas de las
ma em´a icas como la geome ´ıa euclidiana, la geome ´ıa ac al y eo ´ıa de
la medida, las ans o maciones de M¨obius y el plano hipe b´olico, la eo ´ıa
de g upos y la eo ´ıa de n´ume os. Adem´as se puede esal a la elaci´on de
es e obje o ma em´a ico con la eo ´ıa de nudos median e el uso de un en oque
poli ´opico, como se mues a en la esis doc o al [11]. Po o o lado, se u iliza
en ´ambi os de la ida eal como, po ejemplo, la na egaci´on de ba cos.
A lo la go de es e abajo se abo da ´a, como el p opio ´ı ulo indica, los
p incipales concep os sob e los empaque amien os de Apolonio y su elaci´on
con la eo ´ıa de n´ume os y la geome ´ıa. A con inuaci´on, se p opo ciona una
peque˜na in oducci´on a lo que se a a a a en cada cap´ı ulo del abajo.
1. Pa a comenza con el abajo, se a a enuncia el p oblema geom´e ico
conocido como p oblema de Apolonio. Es e p oblema es undamen al
pa a la de inici´on del obje o ma em´a ico sob e el que se desa olla el
abajo: Los empaque amien os de Apolonio. Po o o lado se abo -
da an los diez casos pa icula es de es e p oblema y se expond ´a su
soluci´on, con mayo o meno p o undidad en unci´on de su di icul ad.
2. En el cap´ı ulo 2 se in oducen los concep os b´asicos de los empaque a-
mien os de Apolonio: de iniciones esenciales, p incipales p opiedades y
el p ocedimien o pa a la cons ucci´on de los mismos. Adem´as, incluye
un apa ado sob e la ´o mula de Desca es, que se explica y demues-
a con odo de alle. Pa a e mina se incluyen algunos ejemplos de
empaque amien os de Apolonio, pa a asimila mejo el concep o.
3. En el e ce cap´ı ulo, se p esen an los p incipales aspec os de los empa-
que amien os de Apolonio aplicados a la eo ´ıa de n´ume os. Incluye los
concep os de g upo de Apolonio y a´ıces cu´ad uples, pa a pos e io -
men e abo da la eo ´ıa de educci´on. Se ealiza un es udio sob e las
3
cu a u as de las ci cun e encias, pa a en pa icula con a el n´ume o
de c´ı culos de un empaque amien o eniendo en cuen a o no su mul i-
plicidad.
4. Respec o al ´ul imo cap´ı ulo, se incluye la de inici´on del obje o conocido
como c´ı culo de Fo d, el cual se de ine a pa i del concep o de empa-
que amien o de Apolonio. Adem´as, se elaciona es e concep o con la
sucesi´on de Fibonacci, in oduciendo esul ados que mues an di e en-
es elaciones en e el conjun o de los c´ı culos de Fo d y los n´ume os
de Fibonacci.
4INTRODUCCI ´
ON
Cap´ı ulo 1
El p oblema de Apolonio
En es e p ime cap´ı ulo del abajo, se da ´a una peque˜na in oducci´on
al p oblema enunciado po Apolonio, un p oblema muy in e esan e de la
geome ´ıa cl´asica y que no se es udia mucho. Adem´as, se incluye el desglose
del p oblema en diez subp oblemas plan eados po Apolonio, de los cuales se
ealiza ´a un p o undo es udio de algunos, mien as que o os se enuncia an
´unicamen e de allando alguna p opiedad. Pa a su edacci´on, me he apoyado
en el a ´ıculo [9] o en el ´ıdeo di ulga i o [12].
1.1. Enunciado del p oblema
Dados es obje os dis in os en el plano, cada uno de los cuales puede se
pun o, ec a o c´ı culo, cons ui una ci cun e encia que sea angen e a los
es obje os dados (o los con enga en el caso de los pun os).
Es e p oblema se conside a uno de los p oblemas m´as amosos de la
geome ´ıa. Fue enunciado y esuel o po Apolonio de Pe ga en su ob a des-
apa ecida “Tangencias” en el a˜no 200 a.C. ap oximadamen e. Es ob io que
exis en muchas combinaciones en e los es ipos de obje os que gene an di-
e en es casos del p oblema. Po o o lado, cada caso del p oblema p esen a
un n´ume o di e en e de soluciones. No malmen e el m´e odo de esoluci´on de
es os p oblemas se basa en la b´usqueda del cen o del c´ı culo que esule e el
p oblema. Es o se abo da a m´as en pa icula pa a cada caso en la siguien e
secci´on.
5
12 CAP´
ITULO 1. EL PROBLEMA DE APOLONIO
que pasa po P. Conside amos el pun o de co e Mcon una de
las ec as, y la ci cun e encia con cen o en My adio MP. Los
pun os de co e con R1son los pun os de angencia y po lo
an o los cen os son la in e secci´on de la pe pendicula a R1en
los pun os de angencia con la bisec iz. V´ease la igu a 1.7c.
(a) (b) (c)
Figu a 1.7: Casos pa icula es del p oblema PRR
Los p oblemas 3 y 4 pe enecen al segundo ni el de di icul ad donde oda ´ıa
no hay ning´un c´ı culo in oluc ado pe o los elemen os son de dos pun os
di e en es (dos pun os y una ec a o un pun o y dos ec as). Los p oblemas
5, 6 y 7 pe enecen e ce ni el de di icul ad, que co esponde a los es casos
donde uno de los elemen os es un c´ı culo (y los o os dos o bien dos pun os,
dos ec as o un pun o y una ec a).
5. PPC
Pa a es e p oblema exis en cua o casos bien di e enciados en unci´on
de la posici´on de los pun os espec o al c´ı culo. Cada caso iene un
n´ume o de soluciones di e en e y iene un m´e odo de esoluci´on pa -
icula . A con inuaci´on, se abo da cada uno de ellos de alladamen e.
Conside amos aqu´ı dos pun os P1yP2y el c´ı culo C.
a)Un pun o pe enece al in e io del c´ı culo y el o o no.
En es e caso no exis e soluci´on. Es o sucede debido a que odos
los c´ı culos que pasan po los dos pun os co an al c´ı culo dado.
b)Los dos pun os pe enecen o no al in e io del c´ı culo.
Realmen e son dos casos pe o se esuel en de o ma simila y se
conside an como uno. Al igual que pa a el p oblema PPR exis-
en dos posibles soluciones que se encuen an en la media iz del
segmen o que une los dos pun os. Pa a su esoluci´on se u ilizan
los concep os de eje adical y cen o adical, los cuales son esen-
ciales pa a de e mina los pun os de angencia de la soluci´on.
Apoy´andonos en la igu a 1.8 amos a de alla el azonamien o
de la soluci´on. Reco damos que el eje adical de dos c´ı culos es
el luga geom´e ico de los pun os que ienen la misma po encia
( alo ob enido al mul iplica las longi udes de los segmen os de

1.2. LOS 10 PROBLEMAS DE APOLONIO 13
una ec a que co a a la ci cun e encia y pasa po dicho pun o)
espec o de ambas ci cun e encias. Conside ando los c´ı culos dos
a dos, los ejes adicales, se co an en el luga geom´e ico llamado
cen o adical. Los cen os soluci´on se encuen an en la media-
iz del segmen o P1P2y po o o lado la ec a que pasa po P1
yP2es el eje adical de las dos soluciones. Se aza un c´ı culo
auxilia que pase po P1yP2y que co e a C, en onces el eje
adical de es os dos c´ı culos y de los c´ı culos soluci´on de inen el
cen o adical R. Razonando como en el p oblema 3, hallamos las
angen es desde Ral c´ı culo dado que de e minan los pun os de
angencia T1yT2. Los cen os soluci´on son la in e secci´on de las
ec as OT1yOT2con la media iz del segmen o P1P2.
Figu a 1.8: Resoluci´on g ´a ica del caso b) de PPC
c)Uno de los dos pun os pe enece al c´ı culo. La soluci´on es
´unica y la cons ucci´on es muy sencilla. Al igual que en (b) no
impo a si el o o pun o es a en el in e io o ex e io del c´ı culo,
se esuel en de la misma o ma. Sean P1yP2dos pun os de al
o ma que uno de los dos pe enece al c´ı culo C. Supongamos
que P1pe enece a C. Conside amos el segmen o que une los dos
pun os y cons uimos su media iz M. El cen o soluci´on debe
pe enece a ella, ya que buscamos un pun o que es e a la misma
dis ancia de los dos. Cons uimos la ec a Rque pasa po el cen-
o Ode CyP1y conside amos la in e secci´on de las dos ec as
O1=R∩M, que es el cen o del c´ı culo que buscamos y po lo
an o hemos e minado.
14 CAP´
ITULO 1. EL PROBLEMA DE APOLONIO
Figu a 1.9: Resoluci´on g ´a ica del caso c) de PPC
d)Los dos pun os pe enece al bo de del c´ı culo. Al igual que
pa a el caso (a) no exis e soluci´on, ya que odas las que con ienen
los dos pun os co an al c´ı culo inicial.
6. PRC
Respec o a es e caso, dada su complejidad solo se a a menciona el
da o de que la idea, es usa una in e si´on en la que se usa como polo el
pun o dado y po encia a bi a ia. La posici´on de los obje os, si se co -
an o no y si son angen es o no gene an mul i ud de casos pa icula es,
algunos de ellos se desc iben sin mayo es de alles a con inuaci´on.
a)El pun o es ex e io al c´ı culo y ambos es ´an si uados en
el mismo semiplano de inido po la ec a dada. P esen a
cua o soluciones y es el de mayo di icul ad. Aun as´ı se conside a
el caso gene al.
b)El pun o se encuen a en el in e io del c´ı culo y la ec a
no es secan e. No exis e soluci´on ya que cualquie angen e a
la ec a que pasa po el pun o es secan e al c´ı culo.
c)El pun o y el c´ı culo se encuen an en dis in os semipla-
nos de los que la ec a di ide el plano. No exis e soluci´on
ya que cualquie c´ı culo angen e a el c´ı culo o iginal y que pase
po el pun o dado co a a la ec a.
d)La ec a es secan e al c´ı culo y el pun o se encuen a en el
ex e io o in e io . Es e caso p esen a dos posibles soluciones
al p oblema.
e)La ec a es angen e al c´ı culo. La soluci´on es ´unica. A excep-
ci´on de dos subcasos, el p ime o se da cuando el pun o es ex e io
al c´ı culo y ambos es ´an si uados en el mismo semiplano, en on-
ces exis en es posibles soluciones. Mien as que el segundo iene
in ini as soluciones y ocu e cuando la ec a y la ci cun e encia
son angen es en el pun o o iginal.
1.2. LOS 10 PROBLEMAS DE APOLONIO 15
)El pun o pe enece al c´ı culo. P esen a dos soluciones, sea la
ec a secan e o no.
g)El pun o pe enece a la ec a. Sea la ec a secan e o no,
p esen a dos posibles soluciones, al igual que en el caso an e io .
Las indicaciones pa a la esoluci´on del p oblema no se an a inclui pe-
o si el lec o es a in e esado puede consul a la de (a), ya que es el m´as
gene al, jun o con su ep esen aci´on g ´a ica en [9, p´ag 66, p oblema
8]. El es o de casos se p ocede de la misma o ma, pe o la di icul ad
disminuye.
7. RRC
Pa a esol e es e caso se ecu e a disminui el adio del c´ı culo dado
has a con e i lo en un pun o (su cen o). A pa i de aqu´ı las ec-
as dadas R1yR2debidamen e asladadas seg´un ec o es opues os a
una dis ancia igual al adio dan un conjun o de cua o pa es de ec as,
R′
1R′
2,R′′
1R′
2,R′
1R′′
2yR′′
1R′′
2. Es o pe mi e educi el p oblema al ca-
so PRR, gene ando cua o p oblemas educidos y ob ene has a ocho
posibles c´ı culos soluci´on (dos posibles po cada p oblema educido),
ya que no malmen e los cen os de los c´ı culos soluci´on de es e p o-
blema educido son los mismos que lo del p oblema o iginal. Po o o
lado, los adios de la soluci´on o iginal son los del p oblema educido
sumando o es ando el adio del c´ı culo dado, en unci´on del pa de
ec as que elijamos. No obs an e, no siemp e son ´alidas las soluciones,
´unicamen e lo son en los casos en los que las bisec ices del p oblema
educido y o iginal coinciden. Es e p oblema iene la pa icula idad
de que siemp e p esen a soluci´on y al igual que pa a el caso an e io
exis en muchos casos con di e en es n´ume os de soluciones. A con i-
nuaci´on se ealiza un peque˜no es udio de algunos de ellos a ados de
o ma m´as gene al.
a)Las ec as son secan es al c´ı culo y se co an en el in e io
o en el ex e io . Es os casos p esen an ocho soluciones, ya que
se conside an los cua o p oblemas educidos.
b)Una ec a angen e y o a secan e al c´ı culo. Las ec as
se co an en un pun o dis in o al de angencia. Es e caso
p esen a seis posibles soluciones.
c)Las dos ec as son pa alelas. Es e caso puede p esen a mu-
chos subcasos que no se an a inclui , pe o puede ene seis, cua o
o dos soluciones en unci´on de la posici´on de las ec as con es-
pec o al c´ı culo. En es e caso oma un papel muy impo an e el
hecho de conside a los c´ı culos de adio in ini o como ec as.
d)Las dos ec as se co an y son ex e io es al c´ı culo o igi-
nal. Es e caso es el m´as com´un cuando se p opone es e p oblema
16 CAP´
ITULO 1. EL PROBLEMA DE APOLONIO
y p esen a cua o soluciones. Pa a su esoluci´on se p ocede como
se ha indicado omando como pa es de ec as las dos pa alelas
ex e io es R′
1R′
2, que azonando como en el caso PRR y eajus-
ando los adios nos p opo ciona las dos p ime as soluciones como
se puede e en la igu a 1.10. Pa a las o as dos posibles solu-
ciones se conside a el pa de ec as pa alelas in e io es R′′
1R′′
2y
se p ocede de la misma o ma con la di e encia de suma el a-
dio en ez de es a lo. Las o as dos combinaciones de las ec as
asladadas, es deci , R′
1R′′
2oR′′
1R′
2no p opo cionan soluciones
´alidas ya que los cen os soluci´on no se encuen an en la bisec iz
de inida po R1yR2.
Figu a 1.10: Resoluci´on g ´a ica del caso d) de RRC
e)Las dos ec as se co an en un pun o que pe enece al
c´ı culo. Pa a es e caso exis en dos subcasos, el p ime o ocu e
cuando las dos ec as son secan es al c´ı culo y iene cua o so-
luciones. Po o o lado cuando una de las ec as es angen e al
c´ı culo ´unicamen e p esen a dos soluciones.
Los p oblemas 8 y 9 pe enecen al cua o ni el de di icul ad donde siemp e
hay in oluc ados dos c´ı culos mien as que el e ce obje o es o bien un
pun o o una ec a. La esoluci´on de es os casos es de al a di icul ad, po lo
que solo se apo a an da os ca ac e ´ıs icos in e esan es.
8. PCC
Pa a la esoluci´on de es e caso se basa en el mismo plan eamien o que
el caso PRC, es deci , conside a la in e si´on mencionada de po en-
cia a bi a ia. Pos e io men e se p ocede a aplica la in e si´on de los
elemen os dados, esoluci´on po angen es comunes y cons ucci´on de
las soluciones g acias a la ecip ocidad de la in e si´on. Gene almen e
1.2. LOS 10 PROBLEMAS DE APOLONIO 17
iene cua o soluciones, aunque p esen a di e en es casos, algunos de
ellos han sido desc i os en las siguien es l´ıneas.
a)Los c´ı culos son ex e io es y el pun o ex e io a ellos.
Es e caso se conside a el caso gene al ya que a pa i de es e se
pueden esol e el es o. Tiene cua o soluciones. Su esoluci´on
con odo de alle se puede consul a en [9, p´ag 65, p oblema 6].
b)Los c´ı culos son secan es. No malmen e p esen an dos solu-
ciones. Aunque en el caso que el pun o sea uno de los de la in e -
secci´on en e los dos c´ı culos, no p esen a soluci´on.
c)El pun o pe enece a uno de los c´ı culos. Cuando ocu e
es o el p oblema iene po lo gene al dos soluciones aunque exis-
en excepciones. En los siguien es es casos el p oblemas iene
soluci´on ´unica:
Los c´ı culos son angen es ex e io es.
Un c´ı culo es in e io al o o y el pun o pe enece a es e y
ob iamen e es in e io al o o.
Son angen es in e io es y el pun o pe enece al c´ı culo que
es a en el in e io del o o c´ı culo.
Po ´ul imo, si los c´ı culos son angen es y el pun o es el de an-
gencia iene in ini as soluciones.
d)Un c´ı culo es in e io al o o y el pun o es in e io o
ex e io a ambos. Es e caso no admi e soluci´on ya que odas
las posibles soluciones angen es a la de den o son secan es al
c´ı culo ex e io .
9. RCC
La idea pa a esol e es e p oblema es ealiza una se ie de ajus es y
ans o maciones, pa a educi lo al p oblema PRC. Pa a ello se con-
side a el cen o del uno de los c´ı culos como el pun o, al o o c´ı culo
se le suma el adio del p ime o, dando luga a uno m´as g ande y se
conside a la ec a pa alela a la o iginal, que se aleje del pun o la dis-
ancia equi alen e al adio del p ime c´ı culo. Una ez de inido el caso
PRC con los obje os p e iamen e de e minados se esuel e como se
ha esuel o an e io men e es e caso. Pa a e mina , como los cen os
soluci´on coinciden con los del p oblema o iginal. Po ello con ealiza
el ajus e de los adios llegamos a la soluci´on buscada. El n´ume o m´axi-
mo de soluciones es ocho a excepci´on del caso donde p esen a in ini as
soluciones. A con inuaci´on se exponen algunos de los casos posibles y
su n´ume o de soluciones como se ha hecho a lo la go del abajo.
a)Los es obje os son ex e io es o secan es en e s´ı. P e-
sen a ocho soluciones posibles.

18 CAP´
ITULO 1. EL PROBLEMA DE APOLONIO
b)Los c´ı culos se encuen an en dis in os semiplanos de i-
nidos po la ec a o los c´ı culos es ´an con enidos el uno
en el o o y la ec a es ex e io . Es os casos no p esen an so-
luci´on ya que cualquie soluci´on posible y angen e a dos obje os
co a o no es angen e al e ce o.
c)Los c´ı culos angen es y la ec a angen e en el pun o de
angencia. Es os casos son especiales ya que p esen an in ini as
soluciones.
El es o de casos posibles p esen an dos, cua o o seis soluciones y no
se an a inclui ya que exis en demasiados y no se conside a el obje i o
del abajo.
Se puede obse a que los p oblemas del ni el 4 de di icul ad se esuel en
modi icando el p oblema median e ans o maciones pa a educi lo a uno
m´as simple ya abo dado. Po ´ul imo, se a a abo da el p oblema que pe e-
nece al quin o ni el de complejidad y es el de mayo di icul ad, es el caso en
el que se conside an inicialmen e es c´ı culos. Dada su complejidad no se
a a desc ibi de alladamen e y ´unicamen e nos amos a cen a en el caso
que es os sean angen es dos a dos, que es el obje i o inal del abajo.
10. CCC
Pa a esol e el p oblema debemos ealiza una se ie de ajus es que nos
lle an educi el p oblema al caso PCC. Pa a ello, se conside an es
c´ı culos de cen os O1,O2yO3con sus espec i os adio 1, 2y 3.
Pa a el p oblema modi icado se conside an los c´ı culos de cen os O1y
O2, con adios 1+ 3y 2+ 3o 1− 3y 2− 3 espec i amen e y el
pun o O3. Una ez ealizado es as ans o maciones se puede comenza
a esol e el p oblema como si uese el caso PCC. Se ecomienda al
lec o consul a el ´ıdeo [13], donde se o ece una soluci´on de allada
de la soluci´on del caso m´as com´un de es e p oblema, aquel donde los
es c´ı culos son ex e io es. Exis en muchos casos pa icula es y cada
caso iene un n´ume o de soluciones di e en es. Hay casos en los que
hay has a ocho soluciones (cua o pa a cada educci´on al caso PCC)
y o os en los que no hay soluci´on, algunos de ellos se mues an a
con inuaci´on:
a)Los es c´ı culos son ex e io es o los es son secan es
en e s´ı. Es e casos p esen a ocho soluciones y es el de mayo
di icul ad.
b)Los es c´ı culos son conc´en icos o dos son conc´en icos
y uno ex e io . Es e caso no iene soluci´on.
1.2. LOS 10 PROBLEMAS DE APOLONIO 19
c)Los c´ı culos son angen es en e s´ı en el mismo pun o.
Exis en in ini as soluciones pa a es e posicionamien o de los c´ı cu-
los.
El es o de opciones ienen dos, cua o o seis soluciones. El es udio del
abajo se a a cen a en el caso en que los es c´ı culos son angen es
dos a dos, que p esen a dos soluciones, y es conocido como p oblema
undamen al de Apolonio. Se abo da su soluci´on con p o undidad en
la secci´on 2.1.
A medida que se ha ido esc ibiendo el cap´ı ulo se ha llegado a la conclusi´on
inal de que a mayo n´ume o de c´ı culos in oluc ados, mayo es la di icul ad
del p oblema.
No a 1.2.5.Se puede consul a la soluci´on de allada, si uese necesa io, del
caso gene al de cada uno de es os diez p oblemas la lis a de ep oducci´on de
you ube [14], donde apa ece cada soluci´on explicada paso a paso con odo
de alle. Con iene exac amen e once ´ıdeos uno pa a cada p oblema y uno
de in oducci´on en cada caso.
No a 1.2.6.Como cu iosidad, es os 10 p oblemas apa ecen ecu en e en el
´a ea del dibujo ´ecnico y su esoluci´on es b´asica en cualquie g ado elacio-
nado con es e ´a ea. Es o nos da una isi´on de lo impo an e que son las
ma em´a icas en cualquie ´ambi o de la ida, en es e caso en el de las a es
pl´as icas.
20 CAP´
ITULO 1. EL PROBLEMA DE APOLONIO
Cap´ı ulo 2
Concep os b´asicos sob e
empaque amien os de
Apolonio
A lo la go de es e cap´ı ulo se in oducen las p incipales nociones y p o-
piedades sob e los empaque amien os de Apolonio, pa a pode comp ende
y demos a la mayo ´ıa de esul ados expues os en el abajo. Pa a la edac-
ci´on de es e cap´ı ulo me he apoyado p incipalmen e en [3] y [6].
2.1. De inici´on y cons ucci´on
Como se ha exp esado du an e la in oducci´on la base de nues o abajo
es el p oblema de Apolonio, pa icula men e el caso en el que se conside an
es c´ı culos angen es dos a dos, en conc e o es amos an e un caso pa icu-
la del d´ecimo p oblema de Apolonio p opues o en la secci´on 1.2 y que es
conocido como p oblema undamen al de Apolonio.
Teo ema 2.1.1. (P oblema undamen al de Apolonio) Dados es c´ı culos
angen es dos a dos C1, C2, C3, en onces exis en exac amen e dos c´ı culos
C4, C5, angen es a los es.
Pa a su demos aci´on an es se an a in oduci una se ie de nociones:
De inici´on 2.1.2. Una in e si´on ci cula de un pun o Pcon espec o a
un c´ı culo Ccon cen o Oy adio es el pun o P′que se encuen a en el
ayo OP y que cumple la ecuaci´on 2=d(O, P)d(O, P′). Se llama cen o
de in e si´on aO, que es el cen o del c´ı culo C.
21
28 CAP´
ITULO 2. EMPAQUETAMIENTOS DE APOLONIO
A con inuaci´on, se incluye en la igu a 2.7 un ejemplo de un empaque a-
mien o de Apolonio pa a ob ene una mejo comp ensi´on y m´as isual del
concep o.
Figu a 2.7: Ejemplo de empaque amien o de Apolonio.
2.2. F´o mula de Desca es
Pa a pode segui a anzando en el es udio de los empaque amien os de
Apolonio es necesa io comp ende los concep os de cu a u a de un c´ı culo y
de con igu aci´on de Desca es ya que se an a u iliza a lo la go del abajo.
De inici´on 2.2.1. La cu a u a de un obje o geom´e ico iene a medi
lo lejos que es a el obje o de se plano (o lineal). En el caso de un c´ı culo
podemos de ini la como el in e so de su adio: los c´ı culos de adio peque˜no
ienen mucha cu a u a mien as un c´ı culo de adio in ini o pod ´ıa e se
como una ec a.
De inici´on 2.2.2. Una con igu aci´on de c´ı culos es un conjun o de cua-
o c´ı culos.
De inici´on 2.2.3. Una con igu aci´on de Desca es es un conjun o de
cua o c´ı culos angen es dos a dos, con in e io es disjun os y que es ´an
co ec amen e de inidos.
Figu a 2.8: Ejemplo de Con igu aci´on de Desca es.

2.2. F ´
ORMULA DE DESCARTES 29
Una ez asimilado el concep o de empaque amien o de Apolonio, amos a
in oduci un esul ado algeb aico que nos pe mi e elaciona las cu a u as
de los c´ı culos de cualquie con igu aci´on de Desca es.
Teo ema 2.2.4. (F´o mula de Desca es) Dada una con igu aci´on de Des-
ca es y sean a, b, c yd espec i amen e las cu a u as de cada uno de los
c´ı culos, en onces
a2+b2+c2+d2=1
2(a+b+c+d)2(2.2)
An es de abo da su demos aci´on se a a in oduci una se ie de con-
cep os y esul ados pa a pode abo da la con cla idad
De inici´on 2.2.5. Se de ine el p oduc o escala ⟨C1, C2⟩, conocido como
p oduc o de Pedoe, de la siguien e o ma
⟨C1, C2⟩=((d2− 2
1− 2
2)/2 1 2si C1yC2no in e secan
cos ϕsi C1yC2in e secan (2.3)
donde des la dis ancia en e los cen os, y 1, 2son los adios de los c´ı culos
yϕes el ´angulo bajo el que se p oduce la in e secci´on.
Figu a 2.9: Elemen os del p oduc o de Pedoe.
El p oduc o de Pedoe iene su o igen en el concep o de po encia de dos
c´ı culos in oducida po Da boux, que se conoce como p oduc o de Da boux
y se de ine como,
C1∗C2=((d2− 2
1− 2
2)/2 si C1yC2no in e secan
1 2cos ϕsi C1yC2in e secan
Conside ando la ecuaci´on de los c´ı culos, (x−a)2+(y−b)2= 2, con cen os
(x1, y1) y (x2, y2), enemos que d2= (x1−x2)2+ (y1−y2)2. El p oduc o de
Da boux se puede eesc ibi de la o ma
C1∗C2=x2
1+x2
2+y2
1+y2
2− 2
1− 2
2−2x1x2−2y1y2
30 CAP´
ITULO 2. EMPAQUETAMIENTOS DE APOLONIO
Pedoe in e p e ´o es o como un p oduc o in e no. De ini´o el p oduc o in e no
⟨C1, C2⟩como,
⟨C1, C2⟩=(C1∗C2)
1 2
=x2
1+x2
2+y2
1+y2
2− 2
1− 2
2−2x1x2−2y1y2
2 1 2
=d2− 2
1− 2
2
2 1 2
Con lo que se consigue de ini (2.3).
De inici´on 2.2.6. Se conoce como espacio de Minkowski es ´anda
iso ´opico M de dimensi´on cua o a un espacio linea y eal que es iso-
mo o a R4y que iene un p oduc o in e no de inido po la m´e ica inducida
po la ma iz,
g=



−1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 0 1/2
0 0 1/2 0




(2.4)
De inici´on 2.2.7. La aplicaci´on p oyec i a de Pedoe,π, es una apli-
caci´on que en ´ıa los c´ı culos del plano en ayos del espacio p oyec i o de
Minkowski P(M), donde Mes ´a de inido en 2.2.6. Es a aplicaci´on es a de-
inida de la siguien e o ma,
π: Ω −→ P(M) (2.5)
donde Ω es el conjun o de odos los c´ı culos del plano, de al o ma que
πen ´ıa el c´ı culo Cde cen o (x0, y0) y adio en el ayo π(C) que es ´a
gene ado po el ec o [x0, y0,1, x2
0+y2
0− 2], mien as que en el caso de
que sea una ec a L, de ecuaci´on ax +by =c, es deci , un c´ı culo de adio
in ini o, la en ´ıa en el ayo π(L) gene ado po el ec o [a, b, 0, c/2].
Teniendo en cuen a es a de inici´on se a a in oduci el siguien e concep o
que es cla e en la demos aci´on del eo ema.
De inici´on 2.2.8. La aplicaci´on especial de Pedoe, ˙π, es una especi i-
caci´on de la aplicaci´on πde inida en (2.5),
˙π: Ω −→ M(2.6)
que en ´ıa c´ı culos en ec o es uni a ios de Mde mane a que cumplen la
siguien e condici´on. Sea C∈Ω, en onces ˙π(C) es el ec o di ec o uni a io
que gene a el ayo π(C).
El ec o ˙π(C) se conoce ´a como ec o de Pedoe de un c´ı culo C. En
2.2. F ´
ORMULA DE DESCARTES 31
pa icula , pa a un c´ı culo de cen o (x, y) y adio su imagen iene dada
po ,
˙π(C) = 



x/
y/
1/
(x2+y2− 2)/




(2.7)
donde las dos p ime as coo denadas se deno an po ˙xe ˙yy se llamas po-
siciones educidas de C. La e ce a es la cu a u a del c´ı culo al y como
lo hemos de inido y que deno amos po β. Mien as que la cua a se llama
co-cu a u a, a la que deno amos po γ, y es la cu a u a de la imagen de
Ca a ´es de la in e si´on espec o al c´ı culo unidad cen ado en el o igen.
Es sencillo comp oba que el p oduc o in e no del espacio de Minkowski
de inido po (2.4) coincide con el p oduc o de Pedoe de la de inici´on 2.2.5,
es deci , ˙π(C1)Tg˙π(C2) = ⟨C1, C2⟩. Po ello el p oduc o in e no del espacio
Mse iden i ica con el p oduc o de Pedoe y po ello de aho a en adelan e lo
llama emos p oduc o in e no de Pedoe.
P oposici´on 2.2.9. Sean A= ˙π(C1)yB= ˙π(C2), dos ec o es uni a ios
que ep esen an c´ı culos. En onces:
i.|A|2=−1pa a cada c´ı culo.
ii.⟨A, B⟩= cos ϕ, si A∩B=∅.
iii.⟨A, B⟩= 1, si son angen es ex e nos.
i .⟨A, B⟩=−1, si son angen es in e nos.
.⟨A, B⟩= 0 si son o ogonales.
Demos aci´on. i.⟨A, A⟩=−˙x2−˙y2+βγ =−x2−y2− 2+x2+y2
2=−1 po
de inici´on de la m´e ica en (2.4).
ii. Po de inici´on del p oduc o in e no de Pedoe.
iii. In e secan con un ´angulo de 0 g ados y el cos 0o= 1.
i . In e secan con un ´angulo de 180 g ados y el cos 180o=−1.
. In e secan con un ´angulo de 90 g ados y el cos 90o= 0.
No aci´on 2.2.10.Du an e el es o de esul ados y has a la demos aci´on de la
´o mula de Desca es, los ec o es de Pedoe, ˙π(C), se deno a an ´unicamen e
como C. A excepci´on de que se indique lo con a io.
32 CAP´
ITULO 2. EMPAQUETAMIENTOS DE APOLONIO
De inici´on 2.2.11. Sean C1,C2,C3yC4los ec o es de Pedoe de cua o
c´ı culos. Una ma iz de con igu aci´on, , es aquella o mada po los
p oduc os in e nos de los ec o es de Pedoe Ci, es deci ,
ij =⟨Ci, Cj⟩,(2.8)
conside ando el p oduc o in e no de Pedoe.
Teo ema 2.2.12. (Teo ema de las con igu aciones de c´ı culos). Sean C1,
C2,C3yC4cua o c´ı culos cuyos ec o es de Pedoe son linealmen e inde-
pendien es, en onces
AFAT=G(2.9)
donde la ma iz Ges la in e sa de la ma iz que de ine la m´e ica de Min-
kowski g, de inida en (2.4), G=g−1. Mien as que Fes la in e sa de la
ma iz de con igu aci´on, es deci , F= −1.
Demos aci´on. De la de inici´on de ma iz de con igu aci´on, se puede esc i-
bi como el siguien e p oduc o ma icial, en unci´on de la ma iz gde inida
en (2.4), de la siguien e o ma
=ATgA
Del hecho de que Aes in e ible, omamos la in e sa a ambos lados y ene-
mos
−1=A−1g−1(AT)−1
Aho a mul iplicando en la izquie da po Ay en la de echa po AT, llegamos
a que
AFAT=A −1AT=g−1=G
que es lo que se que ´ıa p oba .
Una ez de inidos es a se ie de concep os y abo dado algunas de las
p incipales p opiedades p ocedemos con la demos aci´on de la ´o mula de
Desca es.
Demos aci´on. (Fo m´ula de Desca es). Sea M∼
=R4el espacio de Min-
kowski de inido en 2.2.6 y conside ando la aplicaci´on especial de Pedoe ˙π.
El p oduc o in e no de Pedoe se exp esa de la o ma,
⟨C1, C2⟩=CT
1gC2(2.10)
2.2. F ´
ORMULA DE DESCARTES 33
donde ges la ma iz (2.4). Realizando unas peque˜nas ope aciones algeb aicas
enemos,
⟨C1, C2⟩=d2− 2
1− 2
2
2 1 2
=(x2−x1)2+ (y2−y1)2− 2
1− 2
2
2 1 2
=−x1x2
1 2−y1y2
1 2
+1
2 1
x2
1+y2
1− 2
1
2
+1
2 2
x2
2+y2
2− 2
2
1
=−˙x1˙x2−˙y1˙y2+1
2β1γ2+1
2β2γ1
que es la o ma del p oduc o in e no de Pedoe, en unci´on de los nue os
concep os in oducidos en la de inici´on 2.2.8. Como sabemos, los ec o es
ci cula es es an no malizados, es deci , ⟨Ci, Ci⟩=−1 pa a odo i. Cons ui-
mos aho a la ma iz o mada po los ec o es de Pedoe que ep esen an los
cua o c´ı culos:
D= [C1|C2|C3|C4] (2.11)
Aho a, conside amos la ma iz de con igu aci´on de es os cua o c´ı culos, que
po de inici´on es,
=DTgD (2.12)
En conc e o, en es e caso pa a cualquie con igu aci´on de Desca es con-
side ada, los c´ı culos son angen es dos a dos y po ello, el p oduc o in e no
de cada pa de c´ı culos angen es es 1 ( ´ease la p oposici´on 2.2.9). Po ello,
enemos que:
⟨Ci, Cj⟩=(−1 si i=j
1 si i= j (2.13)
Pa a nues o caso en pa icula la ecuaci´on (2.12) de una con igu aci´on
de desca es se ´ıa,




−1 1 1 1
1−1 1 1
1 1 −1 1
111−1




=



˙x1˙y1β1γ1
˙x2˙y2β2γ2
˙x3˙y3β3γ3
˙x4˙y4β4γ4







−1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 0 1/2
0 0 1/2 0







˙x1˙x2˙x3˙x4
˙y1˙y2˙y3˙y4
β1β2β3β4
γ1γ2γ3γ4




Tomando el in e so en ambos lados de (2.12) ememos que
F= −1= (D−1)g−1(DT)−1
Aho a mul iplicamos a ambos lados po Dpo la izquie da y po DT
po la de echa pa a llega a
DFDT=g−1=G(2.14)

34 CAP´
ITULO 2. EMPAQUETAMIENTOS DE APOLONIO
que es el Teo ema 2.2.12. Si aho a conside amos en pa icula la ecuaci´on
(2.14) pa a el caso de una con igu aci´on de Desca es y mul iplicamos a cada
lado po 4, enemos que,




˙x1˙x2˙x3˙x4
˙y1˙y2˙y3˙y4
β1β2β3β4
γ1γ2γ3γ4







−1 1 1 1
1−1 1 1
1 1 −1 1
111−1







˙x1˙y1β1γ1
˙x2˙y2β2γ2
˙x3˙y3β3γ3
˙x4˙y4β4γ4




=



−4 0 0 0
0−4 0 0
0 0 0 8
0 0 8 0




Tomando solo los ec o es de cu a u as B= [β1, β2, β3, β4], en onces B −1BT=
0 y enomb amos las cu a u as como a=β1,b=β2,c=β3yd=β4ob-
enemos que:
2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd =a2+b2+c2+d2
Comple ando cuad ados se ob iene,
(a+b+c+d)2= 2(a2+b2+c2+d2)
Pa a inalmen e, eajus ando los coe icien es llega a (2.2) que es la ´o mula
de Desca es y lo que que ´ıamos p oba .
Como consecuencia de es e esul ado podemos conoce la cu a u a de
odos los c´ı culos que o man pa e de un empaque amien o de Apolonio,
es o es un aspec o muy impo an e pa a el es udio de los mismos en la eo ´ıa
de n´ume os.
De inici´on 2.2.13. Un cu´ad uple o conjun o de cua o n´ume os (a, b, c, d)
que sa is ace la ´o mula de Desca es se conoce como cu´ad uple de Des-
ca es
De inici´on 2.2.14. Una a´ız cu´ad uple es un cu´ad uple de Desca es
que es minimal, es deci , que con iene las cu a u as m´as peque˜nas de los
c´ı culos que pe enecen al empaque amien o y es ´unica, aunque puede se
ep esen ada po a ias con igu aciones de Desca es.
De inici´on 2.2.15. i. Un cu´ad uple de Desca es en e o ,a=
(a, b, c, d)∈Z4, es cualquie ep esen aci´on del ce o pa a la o ma
cuad ´a ica cua e na ia ,
QD(w, x, y, z) := 2(w2+z2+y2+z2)−(w+x+y+z)2
que se conoce como Fo ma in eg al de Desca es.
ii. Un cu´ad uple de Desca es en e o es p imi i o si el m´aximo com´un
di iso de los cua o n´ume os que lo o man es igual a 1. Si odos los
cu´ad uples son p imi i os el empaque amien o se dice p imi i o.
2.3. EJEMPLOS 35
De inici´on 2.2.16. Un empaque amien o de Apolonio es in eg al si odo
c´ı culo del empaque amien o iene una cu a u a en e a, po de ec o si odo
cu´ad uple de Desca es es en e o.
Realizando ope aciones y ajus es sob e la ´o mula de Desca es p opues a
en el Teo ema 2.2.4 llegamos a que si a, b, c son las cu a u as de los es
c´ı culos iniciales en onces la cu a u a de los dos c´ı culos angen es iene
dada po
d, d′=a+b+c±2√ab +bc +ac
En onces,
d+d′= 2(a+b+c)
Po lo que si enemos cua o c´ı culos con cu a u as a, b, c, d, la cu a u a
del quin o c´ı culo angen e a los es de pa ida es
d′= 2(a+b+c)−d(2.15)
De (2.15) podemos deduci que si pa imos de una con igu aci´on de Desca es
en la que las cu a u as de los cua o c´ı culo de pa ida sean en e os, en on-
ces el quin o c´ı culo de nues o empaque amien o ambi´en end ´a cu a u a
en e a. De mane a induc i a, amos cons uyendo un empaque amien o de
c´ı culos angen es cuyas cu a u as son odas en e as. Es o nos da la condi-
ci´on que si la con igu aci´on de Desca es de pa ida iene cu a u as en e as
en onces los c´ı culos del empaque amien o end ´an odos cu a u as en e as
y po lo an o se a in eg al.
Como conclusi´on de lo an e io enemos que si pa imos con es c´ı culos
de cu a u a en e a, exis en dos casos: el p ime o en el que la cu a u a de
uno de los dos nue os c´ı culos sea en e a, lo que implica que la del segundo
ambi´en lo sea, con lo que es amos an e un empaque amien o es in eg al.
Respec o al segundo donde ninguno de los dos es en e o y en es e caso el
empaque amien o no se ´a in eg al
O o aspec o a ene en cuen a es que en gene al los empaque amien os
de Apolonio se pueden e como equi alen es bajo mo imien os eucl´ıdeos,
ya que se conse a la cu a u a de los c´ı culos; es e concep o apa ece ´a a lo
la go de odo el abajo de mane a ecu en e.
2.3. Ejemplos
Pa a e mina con es a in oducci´on al concep o de empaque amien o de
Apolonio, se an a expone una se ie de ejemplos con el in de asimila lo de
o ma m´as p ecisa.
36 CAP´
ITULO 2. EMPAQUETAMIENTOS DE APOLONIO
No aci´on 2.3.1.Deno a emos a los empaque amien os de Apolonio po su
a´ız cu´ad uple (de inici´on 2.2.14), de la o ma (a, b, c, d).
Ejemplo 2.3.2. Pa imos de un c´ı culo de adio 1 y dos c´ı culos in e io es
de adio 1/2 y angen es en e s´ı; a pa i de es os c´ı culos se cons uye
nues o empaque amien o de la o ma que se ha explicado a lo la go del
cap´ı ulo. En es e caso es amos an e el empaque amien o (−1,2,2,3) donde
−1 ep esen a el alo de la cu a u a del c´ı culo inicial que engloba al es o,
se oma nega i a po con enio pa a que la ´o mula de Desca es se cumpla
aunque en ealidad el c´ı culo iene cu a u a 1. Es sencillo comp oba que
nos encon amos an e un empaque amien o de Apolonio in eg al y p imi i o.
Figu a 2.10: Empaque amien o de Apolonio (−1,2,2,3).
No a 2.3.3.Los n´ume os den o de cada c´ı culo indican la cu a u a del
c´ı culo que los con iene.
Ejemplo 2.3.4. Como segundo ejemplo, se mues a un caso m´as pa icu-
la . En conc e o, el empaque amien o (0,0,1,1), que es a o mado po dos
c´ı culos con cen o en el in ini o y que se conside an como l´ıneas ec as,
den o de los cuales es ´an con enidos los c´ı culos de cu a u a 1. Es un caso
muy es especial ya que es el ´unico empaque amien o que no es aco ado y
que con iene in ini as copias de la a´ız cu´ad uple. Es e caso juega un papel
muy impo an e en la eo ´ıa de n´ume os, po lo que es e ipo de empaque-
2.3. EJEMPLOS 37
amien os se es udia a con odo de alle en el cap´ı ulo 4, que a a sob e los
c´ı culos de Fo d que son un caso pa icula de es e ejemplo.
Figu a 2.11: Empaque amien o de Apolonio (0,0,1,1).
44 CAP´
ITULO 3. EMPAQUETAMIENTOS Y TEOR´
IA DE N ´
UMEROS
Es e eo ema ambi´en nos mues a que en odos los casos donde la e-
ducci´on es posible, el elemen o m´as g ande del cu´ad uple es ´unico. Es o no
quie e deci que no exis an cu´ad uples con dos elemen os iguales, solo que
pa a que sea educible el elemen o m´as g ande sea ´unico. Es deci , (0,0,1,1)
no es educible po que el elemen o m´as g ande es ´a epe ido y po ello es la
a´ız.
Deno amos po Q(Z) el conjun o de odos los cu´ad uple en e os, eamos
que se puede ealiza una pa ici´on en unci´on de las a´ıces cu´ad uples.
Es posible di idi es e conjun o en Q(Z)+∪ {(0,0,0,0)} ∪ Q(Z)−, donde
Q(Z)+={(a, b, c, d)}∈Q(Z) : a+b+c+d > 0}, es deci , aquellos con
signo posi i o. Mien as que Q(Z)−es la pa ici´on de aquellos cu´ad uples
con signo nega i o. Aho a podemos pa iciona el conjun o de los cu´ad uples
con signo posi i o de la siguien e o ma,
Q(Z)+=
∞
[
k=1
kQ(Z)+
p im
donde Q(Z)+
p im es el conjun o de odos los cu´ad uples en e os p imi i os con
signo posi i o. Si aho a pa icionamos el conjun o Q(Z)+
p im espec o a los
conjun os de los cu´ad uples en un empaque amien o de Apolonio enemos,
Q(Z)+
p im =[
d∈D Q(Pd)
donde Q(Pd), es el conjun o de los cu´ad uples del empaque amien o de
Apolonio Pdcon la a´ız cu´ad uple p imi i a d∈ D, con Del conjun o de
odas las a´ıces cu´ad uples p imi i as.
Una ez ealizada la pa ici´on del conjun o de odos los cu´ad uples pode-
mos abo da el es udio del conjun o de los en e os en un empaque amien os
de Apolonio, es deci , el es udio de las cu a u as en e as de los c´ı culos que
pe enecen al empaque amien o, y que se ealiza en la secci´on 3.2.
Po ´ul imo, el siguien e eo ema mues a que pa a cualquie empaque a-
mien os de Apolonio in eg al, las cu a u as en e as de odos los c´ı culos
que no pe enecen a la a´ız se encuen an en co espondencia ´unica con un
elemen o del g upo de Apolonio que no sea la iden idad.
Teo ema 3.1.9. Sea P el empaque amien os de Apolonio con a´ız cu´ad u-
ple = (a, b, c, d)T. En onces el conjun o de cu a u as en e as de los c´ı cu-
los que pe enecen a P, con adas con mul iplicidad, es a cons i uido po los
cua o elemen os de m´as los elemen os m´as g andes de cada ec o M ,
siendo Mun elemen o del g upo de Apolonio.
En esumen, es e eo ema mues a que odas las cu a u as de los c´ı cu-
los en el empaque amien o, a excepci´on de las que o man la a´ız cu´ad uple,
pueden se enume adas po elemen os del g upo de Apolonio.

3.2. CURVATURAS ENTERAS 45
3.2. Cu a u as en e as
Respec o al con enido de es a secci´on, se a a cen a ´unicamen e en el
es udio desde el pun o de is a de la eo ´ıa de n´ume os de las cu a u as de
los c´ı culos que o man pa e de un empaque amien os de Apolonio in eg al.
Se clasi ican, dependiendo si se conside a su mul iplicidad, es deci , si una
misma cu a u a apa ece solo una ez o m´as. Po o o lado, eniendo en
cuen a ´unicamen e si apa ece o no una cu a u a en el empaque amien o,
se abo da an algunas de las elaciones de cong uencia de es os en e os. En
o as palab as, se an a con a el n´ume o de c´ı culos de un empaque amien o
eniendo en cuen a o no su mul iplicidad.
3.2.1. Cu a u as con adas con mul iplicidad
En es e apa ado, pa a el es udio del conjun o de cu a u as se iene en
cuen a el n´ume o de eces que apa ecen en el empaque amien o, es deci ,
su mul iplicidad. Pa a ello es impo an e conside a la dimensi´on de Hauss-
do del conjun o esidual ya que gua da elaci´on desde el pun o de is a
asin ´o ico.
3.2.1.1. Dimensi´on de Hausdo
De inici´on 3.2.1. Dado E⊂Rnun subconjun o no ac´ıo. Su di´ame o,
es de inido como
|U|:= sup{|x−y|:x, y ∈U}.(3.2)
Sea {Ui}una colecci´on de conjun os nume ables de di´ame o meno o
igual que δque ecub e E, en onces es amos an e un δ- ecub imien o de E.
De inimos el conjun o Hs
δ(E) con s, δ > 0, de la o ma,
Hs
δ(E) = in (∞
X
i=1 |Ui|s:{Ui}es un δ − ecub imien o de E)
De inici´on 3.2.2. La medida de Hausdo de dimensi´on s de un
conjun o de Ede inido como,
Hs(E) = l´ım
δ→0Hs
δ(E)
De la mono on´ıa del ´ın imo y del hecho que la co a in e io es ce o, el
l´ımi e exis e pa a odo subconjun o de Rn. El alo de la medida puede se
0 e ∞: si s > 0, la medida de un conjun o disc e o de pun os es igual a 0,
mien as que si s= 0 la medida es ∞.
46 CAP´
ITULO 3. EMPAQUETAMIENTOS Y TEOR´
IA DE N ´
UMEROS
De inici´on 3.2.3. La dimensi´on de Hausdo ,dimHE, de un conjun o
E⊂Rnes:
dimHE=in {s⩾0 : Hs(E)=0}=sup{s:Hs(E) = ∞}.(3.3)
Po lo an o, si 0 < s < dimHE enemos que Hs(E) = 0, si s > dimHE
en onces Hs(E) = ∞, mien as que si s=dimHE, el alo de Hs(E) puede
se 0, ∞o 0 <Hs(E)<∞. La dimensi´on de Hausdo cumple las siguien es
p opiedades:
Mono on´ıa Si A⊂B, en onces dimHA⩽dimHB.
Es abilidad nume able Si A1, A2, A3, ... es una secuencia nume able
de conjun os, en onces dimHS∞
i=1 Ai=sup0⩽i≤∞{dimHAi}.
Conjun os nume ables Si Aes nume able, dimHA= 0.
Conjun os abie os Si A⊂Rnes abie o, dimHA=n.
3.2.1.2. Resul ados asin ´o icos
A con inuaci´on se an a in oduci los esul ados m´as impo an es sob e
el n´ume o de elemen os de un empaque amien o de Apolonio y del g upo de
Apolonio. Todos ellos ienen un ca ´ac e asin ´o ico.
De inici´on 3.2.4. El conjun o esidual,R, de un empaque amien o, P,
(no necesa iamen e de Apolonio) es el conjun o es an e que ob enemos de
elimina odos los c´ı culos del empaque amien o, incluidos aquellos con cen-
o in ini o.
R=P
∞
[
n=1
Cn.(3.4)
Donde Cndeno a los c´ı culos del empaque amien o.
Sea Pun empaque amien o, deno a emos po α(P) la dimensi´on de
Hausdo del conjun o esidual de Py se conoce como dimensi´on del
conjun o esidual. Los conjun os esiduales de los empaque amien os de
Apolonio ienen la p opiedad pa icula de que la dimensi´on de Hausdo
es la misma, que se deno a como α.
De inici´on 3.2.5. El exponen e o cons an e de empaque amien o,
e(P), de un empaque amien o (no necesa iamen e de Apolonio) aco ado P
se de ine de la o ma,
e(P) := sup (e:X
C∈P
(C)e=∞)=in (e:X
C∈P
(C)e<∞)(3.5)
3.2. CURVATURAS ENTERAS 47
donde (C) es el adio de C.
Pa a los empaque amien os de Apolonio, es e n´ume o se encuen as en-
e 1.035 y 1.99971. En pa icula , el alo m´ınimo es alcanzado po un
empaque amien o de Apolonio. Todos es os esul ados ue on enunciados y
p obados po Melzak en 1966. En 1997 Wilke mos ´o que odos los em-
paque amien os oscula o ios, que son aquellos en los que odo elemen o del
mismo ocupa el mayo ´a ea disponible y que po lo an o engloban a los
empaque amien os de Apolonio, ienen odos el mismo exponen e e, que se
conoce como exponen e oscula o io.
Una ez in oducido es os concep os, sabemos que los empaque amien os de
Apolonio iene un alo ijo an o pa a su dimensi´on de Hausdo como pa a
su exponen e. A lo la go de la his o ia se ha in en ado busca una elaci´on
en e es os dos n´ume os que ue enunciada po D.Boyd, expe o en eo ´ıa
de n´ume os que cen ´o una pa e de su es udio en los empaque amien os
de Apolonio y sus elaciones con la eo ´ıa de n´ume os. El esul ado es el
siguien e.
Teo ema 3.2.6. El exponen e ede cualquie empaque amien o de Apolonio
aco ado es igual que la dimensi´on de Hausdo αdel conjun o esidual de
cualquie empaque amien o de Apolonio, e=α.
La p ueba se basa en demos a el esul ado pa a empaque amien os
oscula o ios, en onces ob iamen e queda a p obado pa a empaque amien os
de Apolonio. No se a a inclui po que los empaque amien os oscula o ios
se exceden del obje i o del abajo.
De inici´on 3.2.7. La unci´on de con eo de c´ı culos,NP(T), indica el
n´ume o de c´ı culos en un empaque amien o de Apolonio P, cuya cu a u a
no es mayo que T.
Nue amen e, D.Boyd a ´o de da una elaci´on en e el exponen e de
un empaque amien o, o en o as palab as la dimensi´on de Hausdo del
conjun o esidual, con la unci´on de con eo.
Teo ema 3.2.8. Sea Pun empaque amien o de Apolonio aco ado, la un-
ci´on de con eo, NP(T)sa is ace,
l´ım
T→∞
logNP(T)
logT =α, (3.6)
donde α, es la dimensi´on de Haussdo del conjun o esidual. As´ı que, NP(T) =
Tα+o(1), cuando T→ ∞.
Al igual que el esul ado an e io la p ueba se basa en empaque amien os
oscula o ios y se puede consul a en [1, p´ag 252-253].
48 CAP´
ITULO 3. EMPAQUETAMIENTOS Y TEOR´
IA DE N ´
UMEROS
Po ´ul imo, se conside a el esul ado cen al de la secci´on donde se elaciona
el n´ume o de elemen os del g upo de Apolonio, de al u a aco ada, con la
dimensi´on de Hausdo α.
No a 3.2.9.La al u a de un elemen o Mdel g upo de Apolonio Ase mide
u ilizando la no ma de F obenius,
||M||F:= 
X
i,j
M2
ij

1/2
.
Teo ema 3.2.10. El n´ume o de elemen os NT(A)con al u a meno que T
en el g upo de Apolonio Asa is ace,
NT(A) = Tα+o(1) (3.7)
cuando T→ ∞, donde αes la dimensi´on de Hausdo del conjun o esidual
de cualquie empaque amien o de Apolonio.
An es de p oba lo, se an a enuncia dos lema auxilia es.
Lema 3.2.11. Sea M=Sin...Si2Si1∈A, un elemen o del g upo de Apolo-
nio, y supongamos que ij=ij+1 pa a 1⩽j⩽n−1, y n⩾2. En cada ila
kde M,
1. Mkl ⩽0si l=i1.
2. Mkj ⩾|Mkl|pa a l=i1yj=l.
Demos aci´on. Vamos a p ocede po inducci´on sob e n. Pa a n= 1 es
cie o ya que cada ma iz Si, su columna ies ´a o mada po ce os o n´ume os
nega i os.
Aho a supongamos que el lema es cie o pa a n−1 y eamos pa a n. Sea
M′=Sin...Si2yi1= 1. En onces
M=M′S1=



−M′
11 2M′
11 +M′
12 2M′
11 +M′
13 2M′
11 +M′
14
−M′
21 2M′
21 +M′
22 2M′
21 +M′
23 2M′
21 +M′
24
−M′
31 2M′
31 +M′
32 2M′
31 +M′
33 2M′
31 +M′
34
−M′
41 2M′
41 +M′
42 2M′
41 +M′
43 2M′
41 +M′
44




Como i2=i1= 1 en onces po la hip´o esis de inducci´on M′
k1⩾0, as´ı que
Mk1=−M′
k1⩽0 lo que p ueba (1). Po o o lado sabemos que
Mkj = 2M′
k1+M′
kj ⩾2M′
k1−|M′
kl|⩾M′
k1=|Mk1|
po que po hip´o esis M′
kj ⩾|M′
kj|yM′
kj ⩾−|M′
kl|y po lo an o queda
p obado (2). Pa a los casos i1= 2,3,4 se p ocede de la misma mane a.
3.2. CURVATURAS ENTERAS 49
Lema 3.2.12. Sea = (a, b, c, d)Tuna a´ız cu´ad uple en e a con a < 0.
En onces exis en cons an es posi i as c0=c0( )yc1=c1( )que dependen
de de al o ma que
c0||M||F⩽||M ||∞⩽c1||M||Fpa a cada M ∈A.(3.8)
Demos aci´on. Pa a la co a supe io es muy sencillo, ya que aplicando las
p opiedades de las no mas enemos que,
||M ||∞⩽2|M |⩽2||M||F (3.9)
y omando c1= 2 enemos la segunda desigualdad.
Po o o lado, pa a la co a in e io debemos e que si M=Sin...Si2Si1con
ij=ij+1 ei1= 1, enemos que
||M ||∞⩾1
2||M||F(3.10)
El ec o iene signo (−,+,+,+) y del lema 3.2.11 enemos que M iene
la p ime a columna de elemen os no posi i os y el es o de columnas no
nega i as. Po ello, odos los ´e minos del p oduc o M son no nega i os.
Como consecuencia,
(M )i⩾
4
X
j=1 |Mij|| j|⩾
4
X
j=1 |Mij|
debido a que a < 0 implica que min(|a|,|b|,|c|,|d|)⩾1. En onces
||M ||∞= m´ax
i(M )i⩾1
4X
i,j |Mij|⩾1
2||M||F
Po ´ul imo, hay que abo da los casos donde i1= 2,3,4. Po el eo ema
3.1.9, sabemos que ||M ||∞nos p opo ciona la cu a u a de un c´ı culo del
empaque amien o, de al o ma que es e c´ı culo se encuen a en uno de las
cua o secciones disponibles, es deci , como pa imos de una con igu aci´on
de Desca es con a < 0, en onces el c´ı culo con cu a u a aengloba al es o
as´ı que en su in e io con iene a los o os es angen es dos a dos y po lo
an o el espacio es an e se di ide en cua o secciones, que depende del alo
de i1. V´ease la igu a 3.2 pa a una mejo comp esi´on de es e concep o.
La co a (3.10) co esponde a la secci´on cen al y al alo de i1= 1. Pa a
el es o de casos, se hace uso del hecho que exis e una ans o maci´on de
M¨obius ϕ:ˆ
C→ˆ
Ccon ϕ∈Au (P), pa icula pa a cada empaque amien o,
que deja ijo el cu´ad uple de Desca es pe o lo pe mu a de o ma c´ıclica,
es deci , ϕ(a) = b,ϕ(b) = c,ϕ(c) = dyϕ(d) = a. En pa icula , ambi´en
pe mu a las cua o secciones, es deci , i1= 1 →i1= 2 →i1= 3 →i1= 4.

50 CAP´
ITULO 3. EMPAQUETAMIENTOS Y TEOR´
IA DE N ´
UMEROS
Una ez de inida la aplicaci´on, es ob io que ϕen ´ıa el cen o del c´ı culo con
cu a u a dal cen o del c´ı culo de cu a u a ay as´ı sucesi amen e. Po
o o lado, el ac o de es i amien o de ϕden o de las cua o secciones, es a
aco ado supe io e in e io men e po cons an es posi i as, c2yc−1
2. Po lo
an o, como ϕen ´ıa la secci´on i1= 4 en la secci´on 1 enemos pa a el caso
en el que i1= 4 que,
||M ||∞⩾1
2c2||M||F
Si azonamos de la misma o ma pa a ϕ2yϕ3, llegamos a aco a de la misma
o ma pa a los casos i1= 2 e i1= 3. Tomando c0=1
2c2hemos p obado la
p ime a desigualdad y po lo an o el esul ado.
Figu a 3.2: Las 4 secciones de un empaque amien o de Apolonio
Una ez p obados los dos lemas auxilia es, p ocedemos con la demos a-
ci´on del eo ema cen al.
Demos aci´on. (Teo ema 3.2.10.) Tomamos un cu´ad uple de Desca es con
a < 0, y sea P, el empaque amien o de Apolonio asociado. Po 3.1.9 sabemos
que cada M∈Aco esponde a la cu a u a ||M ||∞de un c´ı culo en
P. Po ello odos los c´ı culos es ´an e ique ados a excepci´on de los cua o
de . Del lema 3.2.12 se deduce que si ||M||F< T en onces Mp oduce
un c´ı culo con cu a u a c1Tcomo m´aximo. Aho a po el eo ema 3.2.8
enemos que hay como mucho Tα+o(1) c´ı culos con es a p opiedad, po lo
an o NT(A)⩽Tα+o(1). Po o o lado, el lema 3.2.12 implica que odo
c´ı culo de cu a u a ||M ||∞⩽Tco esponde a un elemen o M∈A
con ||M||F<1
c0T. P ocediendo de la misma mane a que en el o o caso
sabemos que hay Tα+o(1) c´ı culos con es a p opiedad, de lo que se ob iene
la o a desigualdad, es deci , NT(A)⩾Tα+o(1), que nos p opo ciona lo que
que ´ıamos p oba .
3.2. CURVATURAS ENTERAS 51
3.2.2. Cu a u as con adas sin mul iplicidad
Aho a pasamos a plan ea o a cues i´on, ¿cuales son los en e os que apa-
ecen en un empaque amien o de Apolonio y si exis e alguna elaci´on en e
ellos? La espues a a es a p egun a iene g an complejidad. No obs an e, se
an a in oduci una se ie de esul ados sob e cong uencias que ca ac e izan
los en e os de un empaque amien o de Apolonio, pa a pode as´ı da una
espues a sencilla y gene al a la p egun a plan eada, sin en a en de alles
ya que excede los obje i os del abajo.
3.2.2.1. Relaciones de cong uencia
No a 3.2.13.Du an e es a secci´on, cuando apa ezca la no aci´on (mod n),
signi ica que se a a abaja sob e el g upo de los en e os Zn.
Teo ema 3.2.14. Sea P, un empaque amien o de Apolonio p imi i o e in-
eg al, los cu´ad uples de Desca es (mod 12) se encuen an exac amen e en
una de las cua o posibles o bi as. La p ime a o bi a Y(mod 12) es a o -
mada po ,
{(0,0,1,1),(0,1,1,4),(0,1,4,9),(1,4,4,9),(4,4,9,9)}(mod 12) (3.11)
Las o as es o bi as son (3,3,3,3)−Y,(6,6,6,6)+Yy(9,9,9,9)−Y(mod
12).
Las o as es o bi as es an es es ´an o madas po :
(3,3,3,3) −Y={(6,6,11,11),(2,6,11,11),(2,3,6,11),(2,2,3,11),(2,2,3,3)}
(6,6,6,6) + Y={(3,3,10,10),(3,6,7,10),(3,7,10,10),(6,7,7,10),(6,6,7,7)}
(9,9,9,9) −Y={(0,0,5,5),(0,5,5,8),(0,5,8,9),(5,8,8,9),(8,8,9,9)}
F´acilmen e se puede comp oba , que cada una de las o bi as solo con-
iene cua o clases del g upo Z12, y po lo an o las o as ocho clases de
equi alencia del g upo es ´an excluidas, lo que signi ica que las cu a u as
asociadas a esos alo es no se incluyen en esa o bi a.
No obs an e, exis en condiciones de cong uencias m´as po en es, como po
ejemplo conside ando el caso (mod 24) pa a el empaque amien o (0,0,1,1),
oda cu a u a debe se cong uen e a 0, 1, 4, 9, 12, 16 (mod 24). Es o nos
mues a que seis clases de Z24 pe enecen al empaque amien o, a di e encia
del caso mos ado en el eo ema an e io , donde solo e an cua o clases. El
n´ume o de clases (mod n) incluidas en un empaque amien o es una po encia
del ipo 2a3b. Sin emba go, pa a el caso (mod n) donde n es p imo con 30
exis e un esul ado que ga an iza que odas las clases de Zn, se encuen an
en cualquie empaque amien o.
52 CAP´
ITULO 3. EMPAQUETAMIENTOS Y TEOR´
IA DE N ´
UMEROS
Teo ema 3.2.15. Sea Pun empaque amien o de Apolonio p imi i o e in-
eg al. Pa a cada n con mcd(n, 30) = 1, cada clase de Znapa ece como alo
de la cu a u a de alg´un c´ı culo de P.
Re omando el obje i o de la secci´on p oponemos la p egun a: ¿que en-
e os se encuen an en un empaque amien o de Apolonio como cu a u as,
eniendo en cuen a los esul ados expues os con an e io idad sob e cong uen-
cias? Pa a da espues a a la p egun a y con el in de enuncia la nue a
conje u a se an a in oduci dos ejemplos.
Ejemplo 3.2.16. El p ime caso es el empaque amien o con a´ız cu´ad uple
(-1,2,2,3). Siguiendo el eo ema 3.2.14 sabemos que odos los cu´ad uples
(mod 12) deben pe enece a una de las ´o bi as y po lo an o en es e ca-
so odas sus cu a u as deben se cong uen es a 2, 3, 6, 11 (mod 12). No
obs an e, no odos los en e os cong uen es a ellos apa ecen, como ejemplo
78 que debe ´ıa pe enece a la clase del 6 no se encuen a en el empaque a-
mien o. Conside ando el p ime mill´on de n´ume os en e os, solo 61 en e os
de las clases 2, 3, 6 no es ´an en el empaque amien o, siendo 97287 el m´as
g ande. En es e caso, odos los en e os de la clase del 11 es ´an incluidos.
Todo ello nos indica que el n´ume o de en e os ausen es es ini o.
Ejemplo 3.2.17. Pa a el caso del empaque amien o con a´ız cu´ad uple
(0,0,1,1). Tend emos en cuen a las es icciones modula es (mod 24), ya
que son m´as po en es como se ha in oducido con an e io idad. Todas sus
cu a u as deben se cong uen es a 0, 1, 4, 9, 12, 16 (mod 24). No obs an e,
no odos los en e os cong uen es a ellos se encuen an en el empaque amien-
o. A´un siendo es a lis a mucho m´as g ande sigue siendo ini a.
Obse ando de alladamen e es os dos ejemplos, se puede obse a que
a excepci´on de una lis a ini a de en e os el es o de ellos se encuen an en
el empaque amien o. Es o nos pe mi e plan ea la siguien e conje u a que
da una espues a gene al a la p egun a plan eada al inicio de la secci´on 3.2.2.
Conje u a de la densidad ue e. Todo empaque amien o de Apolonio
p imi i o, con iene odos los en e os su icien emen e g andes, siemp e que
no es ´en excluidos po las condiciones de cong uencia.
Cap´ı ulo 4
C´ı culos de Fo d
Po ´ul imo, se a ealiza un b e e es udio sob e los c´ı culos de Fo d
y sus aplicaciones a la eo ´ıa de n´ume os. El conjun o de los c´ı culos de
Fo d es una pa e de un ejemplo pa icula de los empaque amien os de
Apolonio, po lo an o es posible de ini lo de es a mane a y se inclui ´a a lo
la go del cap´ı ulo. Pa a la edacci´on del cap´ı ulo se u ilizan p incipalmen e
las e e encias bibliog ´a icas [8] y [4].
4.1. De inici´on y p opiedades
A con inuaci´on se a a p esen a la cons ucci´on del conjun o de los c´ı cu-
los de Fo d a pa i de un empaque amien o de Apolonio conc e o. Conside-
Figu a 4.1: Regi´on de de inici´on de los c´ı culos de Fo d.
amos el empaque amien o de Apolonio (0,0,2,2), muy simila al abo dado
en el ejemplo 2.3.4. Tomamos la pa e de es e empaque amien o de longi ud
1 que queda po debajo de dos de los c´ı culos angen es de adio 1/2,es os
dos ´ul imos c´ı culos ambi´en se incluyen. Pa a una mejo comp ensi´on de
la pa e elegida se puede obse a en la igu a 4.1 la egi´on colo eada de
53
60 CAP´
ITULO 4. C´
IRCULOS DE FORD

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