Magne isme dijous, 19 ab il de 2018 1
19/04/2018
2 Magne isme
2.1 Acció del camp magnè ic.
2.1.1 Camp magnè ic B (inducció magnè ica)
Si uació expe imen al:
Ap opem un iman al ub d'ima ge d'un ele iso . E ec e obse a : dis o sió de la ima ge. Explicació
del enomen: L'iman c ea una pe o bació ísica en l'espai que l'en ol a que a ec a a les cà egues
elèc iques que es mouen dins del ub del ele iso .
A aques a pe o bació l'anomenem camp magnè ic i el designem pe
B
.
2.1.2 Llei de Lo enz. Fo ça sob e ca egues en mo imen .
Llei de Lo enz: si una cà ega q es
mou amb eloci a
dins d'un camp
magnè ic
B
expe imen a à una o ça
Fq B
q
B
F
Tesla
NNs
BT
mCm
C
s
1 T = 104 G (Gauss)
Segons la de inició, la o ça és pe pendicula a la eloci a de la cà ega i al camp
magnè ic;
i0i0F FB F FB
Ja que F
és pe pendicula a la eloci a de la pa ícula
aques a o ça no po e
eball i pe an no po modi ica el mòdul de la eloci a de la pa ícula.
Exemple:
De e mineu la o ça que expe imen a una cà ega de
C que po a una eloci a
4m
iks
si es
mou dins del camp magnè ic
23
B
ijkT
5
5
5
10 de 4 0 1
123
1
10 2 1
003114201431
1
2
8
ijk
ijkkji
F
ijkN
EXERCICI: calculeu el p oduc es escala s següen s, i
F
FB
55
55
10 2 11 8 4 10 8 8 0
10 2 11 8 2 3 10 2 22 24 0
F i j k i k
FB i j k i j k
Magne isme 2
2.1.3 Fo ça sob e co en s
Sigui un conduc o ec e de longi ud L, pel
que ci cula una in ensi a I, din e d'un camp
magnè ic
B
cons an . El conduc o
expe imen a una o ça magnè ica:
FILB
on el ec o
L
é pe mòdul la longi ud del
conduc o (L) i la di ecció i sen i de ini pe
la in ensi a de co en que hi ci cula.
I
B
F
L
L
Conduc o C
ld
)( B
I
Conduc o C
Si el conduc o no és ec e i/o el camp no és
cons an , la o ça que expe imen a un
elemen in ini esimal del ci cui dl que el
podem imagina ec e i on el camp si que és
cons an se à
dF I dl B
i la o ça o al que expe imen a el conduc o
se à la suma de o es les o ces elemen als
Conduc o C
FdFIdlB
Exemple: momen sob e una espi a de co en
Reco da o i de Física 1:
Momen d’una o ça
De inim el momen o
d'una o ça
F
espec e del pun O com:
o F
P opie a : sin
oo
F F Fd
on d és la dis ància de la ec a d’acció del ec o al pun O,
d’on es dedueix:
el momen d’un ec o no can ia si es desplaça el ec o al
lla g de la se a ec a d’acció
(el momen es à ben de ini pe a ec o s lliscan s)
O
m
F
d
Pa ell de ec o s:
és un sis ema de dos ec o s iguals pe ò de sen i s con a is no
alinea s, com i
F
F
El momen del pa ell
espec e un pun qualse ol O és
F F F F
FbF
el momen d’un pa ell és un ec o :
de mòdul igual a sinbF Fd
F
b
;
el p oduc e del mòdul d’F pe la dis ància d en e les
ec es d’acció de i
F
F
de di ecció pe pendicula al pla de e mina pel pa ell
el sen i el dona pel gi (+ o an iho a i o bé – o ho a i)
sugge i pel pa ell segons la egla del ca gol
O
m
F
F
b
d
El momen d’un pa ell de ec o s és una p opie a ca ac e ís ica del pa ell, és a di semp e és el
ma eix, independen men de l’o igen de momen s conside a .
Magne isme 3
Càlcul de les o ces que ac uen sob e cada cos a . ii
FILB
jBB
I
a
b
1
F1
F3
X
Y
Z
2
3
4
d1d3
Cos a 1:
111
;de 00
00
ijk
L
akFILBI a
B
IaBi
Cos a 2:
222
;0LbjLB F
Cos a 3:
333
;de 00
00
ijk
L
ak F IL BI a IaBi
B
Cos a 4:
444
;0Lb jLB F
La o ça o al que ac ua sob e l'espi a se à la suma de les o ces que ac uen sob e
cada un dels cos a s:
1234 0
To al
F F F F F IaBi IaBi
, pe an
aques a o ça és incapaç de desplaça l'espi a,
00 0 (0)
To al o
d
Fma a
d
pe ò si que po e que ombi. El
alo del momen de les o ces
M
dFI
dona el alo de l'accele ació
angula del sis ema.
11 33 11 33 22
bb
I
M d F d F d F k d F k IaBk IaBk IabBk
Exe cicis:
Calculeu el momen sob e l'espi a dels dibuixos.
Esquema a
jBB
I
a
b
X
Y
Z
Esquema b
jBB
I
a
b
X
Y
Z
Magne isme 4
ESQUEMA B
Càlcul de les o ces que ac uen sob e cada cos a ii
FILB
Cos a 1:
111
;de 00
00
ijk
L
akFILBI aIaBi
B
Cos a 3:
333 3131
;de 00
00
ijk
L
ak F IL BI a IaBi L L F F
B
Cos a 2:
222
cos sin ; de cos sin 0 cos
00
ijk
L
bi jFILBIb IbBk
B
Cos a 4: 42 42 cos
L
L FFIbB k
La o ça o al que ac ua sob e l'espi a se à la suma de les o ces que ac uen sob e
cada un dels cos a s: 1234
0
To al
FFFFF
, pe an aques a o ça és incapaç de
desplaça l'espi a.
El alo del momen
M
de les o ces
M
dFI
dona el alo de l'accele ació
angula del sis ema i com que és el p oduï pe un pa ell de o çes, se à el p oduc e
del módul de la o ça pe la dis ancia de les líneas d’acció d’aques es.
1sin sinMFb IabB
jBB
I
a
b
X
Y
Z
1
2 3
4
2
F
4
F
1
F
3
F
Magne isme 5
2.1.4 Mo imen de cà egues pun uals a l'in e io d'un camp magnè ic
Ja que F
és pe pendicula a la eloci a de la pa ícula
aques a o ça no po e
eball i pe an no po modi ica el alo del mòdul de la eloci a . Cons
Si la eloci a de la cà ega és pe pendicula al
camp magnè ic:
Fq B Fq B
que és pe pendicula a la eloci a i pe an
implica un mo imen ci cula .
2
m
Fm q B
qB
El emps T que la cà ega iga à en e una ol a
comple a (pe íode) al
222e m
T
TT qB
B
q
F
la eqüència
(nº de ol es comple es pe uni a de emps) del mo imen i la
eloci a angula
se an
1
2
qB
Tm
qB
m
on es eu que
= 2
.
Magne isme 6
2.2 Gene ació de camp magnè ic.
2.2.1 Llei de Bio -Sa a
ld
,
()dB R
I
Conduc o C
R
O P
Un elemen de co en
I
dl
p odueix un camp
magnè ic dB
al pun P:
2;
4
o
R
dl
R
dB I R
,7
2
on ; 4 10
oN
R i
A
o ep el nom de pe meabili a magnè ica del
bui .
La inducció magnè ica o al al pun P
c eada pe un ci cui anca C se à
3
(')
() 4
o
CCsob e
I
dl R
B dB
R
ld
,
()
B
I
Conduc o C
R
O
P
Exemple:
Camp magnè ic c ea pe un co en ec ilini.
I
X
Y
Z
z
y1y2
R
’ dl
,
,22
;
;
zk yj
R
zkyjR y z
dl dy j
de 0 0
0
ijk
dl R dy z dy i
yz
2
13/2
322
(')
() 44
y
oo
y
CCsob e
I
dl R I z dy i
B dB Ryz
2
2
1
1
21
3/2 22
22 22 22
22
21
11
y
y
y
y
yy
dy y
zz
y
zyzyz
yz
I
X
Y
Z
z
y
1y
2
B
2
1
21
3/2 22 22
22
21
() 44
y
oo
y
Izdyi Iy y
B
i
zyz yz
yz
Magne isme 7
Casos pa icula s:
i) y1 =
L/2; y2 = L/2
222
2
42
4
4
oo
IL I L
Bzz
L
Lz
z
I
z
B
L
i’) L =
2
o
I
Bz
ii) y1 = 0; y2 = L
22
4
oIL
Bz
L
z
I
z
B
L
ii’) L =
4
o
I
Bz
Exemple: Camp magnè ic c ea pe una espi a:
Al seu cen e Si uem l'espi a, de adi
a, al pla Y-Z. Pe qualse ol pun de
l'espi a els ec o s idl R
són
pe pendicula s i el seu p oduc e
ec o ial é la di ecció posi i a de l'eix
X, pe an
dl R dl R i dl a i
i el camp se à:
Y
Z
a
I
X
ld
R
33 32
2
44 4 4
2
42
oo o o
CC C C C
oo
dl R i
Idl R I Idlai I
B
dB dl i
RR aa
II
ai i
aa
A un pun qualse ol del seu eix
Si uem l'espi a, de adi a, al pla Y-Z.
Pe qualse ol pun de l'espi a els
ec o s idl R
són pe pendicula s. Es
deixa com exe cici el comp o a
que:
sin cosdl dl j k
i
cos sin
R
xi a j k
i pe
an 0dl R
.
Y
Z
a
I
X
ld
R
x
Pe al de eu e les possibles sime ies que p esen a el p oblema, es udia em els pun s
més al i més baix de la ci cum e ència
Magne isme 8
Pun al
X
Z
a
Y
ld
R
x
dB
dB
z
dB
x
Pun baix
X
Z
a
Y
ld
R
x
dB
dB
z
dB
x
les componen s e icals del camp s'anulꞏlen, pe an només ens cald à suma les
componen s ho i zon als, que en unció de l'angle
ens dona dBx = dB sin
= dB
a/R
33222
3/2
2222 22
4444
44
oooo
oo
x
dl R
I
Idl R Idl I dl
dB dB
R
RRax
aIdl a Ia
dB dB dl
Rax
ax ax
i pel camp o al, que només ind à componen ho i zon al, ind em
3/2 3/2 3/2
22 22 22 2
44 4
oo o
xx
CC C
Ia Ia Ia
B
BdB dl dl a
ax ax ax
2
3/2
22
2
oIa
B
ax
Y
Z
a
I
X
B
B
Exe cici:
Calculeu el camp que c ea una espi a
quad ada, de cos a a, a un pun
qualse ol d'una línia que passi pel seu
cen e i sigui pe pendicula al pla de
l'espi a.
Y
Z
a
I
X
a
x
Magne isme 9
2.2.2 La llei d'Ampè e
IEXT I
I
NT
C
dl
B
L'in eg al del camp magnè ic B al lla g
del camí C és igual a
o egades el
co en que aspassa qualse ol
supe ície limi ada pe C.
oINT
C
B
dl I
Exemples:
1.- Camp d'un il ec ilini
Ja que el camp que c ea un il ec ilini es unció de
la dis ància en e el pun on olem calcula el camp
i el il, p oposem una co ba d'in eg ació que sigui
una ci cum e ència concèn ica al il. Ja que el
camp és pe pendicula al adi de C i dl
ambé ho
és, ind em:
2
2
o
CC C
oINT o
Bdl Bdl B dl B
I
B
II
I
B
B
C
dl
dl
2.- Camp al cen e d’una bobina
La densi a de co en
La densi a de co en elèc ic J
, es
de ineix com un ec o que é com
a magni ud el co en elèc ic pe
uni a de supe ície (à ea de la
secció ans e sal)
I
JJS
En el Sis ema In e nacional
d'Uni a s es mesu a en ampe es pe
me e quad a
2
IA
JSm
.
(,)
J
yz
Ma emà icamen , el co en que lueix a a és d'una supe ície i la densi a enen la
següen elació:
S
I
Jds
on: I és el co en elèc ic (A). La in eg al del p oduc e escala del ec o de la
densi a de co en amb el di e encial de cada elemen de supe ície ds
; ( , )Jyz
és la
densi a de co en al pun de coo denades (y,z) i S és la secció.
Magne isme 16
2.3.3 Llei de Lenz
El signe nega iu de la llei de Fa aday es à elaciona amb la di ecció de la em
induïda. La di ecció i sen i de la em i del co en induïdes poden de e mina -se
mi jançan un p incipi gene al ísic anomena llei de Lenz:
La em i el co en induïdes posseeixen una di ecció i sen i al que endeixen a
oposa -se a la a iació que les p odueix.
2.3.4 Fem de mo imen
X
Y
Z
ds
B
Bk
i
ds dsk
Sen i POSITIU
La igu a mos a una a e a conduc o a que es llisca al lla g de dos conduc o s que
es an uni s a una esis ència. Exis eix ambé un camp magnè ic B uni o me di igi cap
al pape . Com el lux magnè ic al lla g del ci cui és a iable (l'à ea del ci cui
s'inc emen a men e es desplaça la a e a). s'indueix una em en el ci cui .
Anomenem l, a la dis ància que sepa a als conduc o s que se eixen de ails i x a la
dis ància des de l'ex em esque e dels ails a la a e a en un ins an dona , l'à ea
ancada pel ci cui és l x, i el lux magnè ic en aques ins an és
m
m
SS S
m
dΦdx
ΦB ds B ds B ds BA Bl x Bl Bl
d d
dΦBl
Bl I
d R R
4.3.3 Induc ància
Au oinduc ància
I
B
Conside em un ci cui pel que ci cula una
in ensi a I. El camp magnè ic c ea pe aques
ci cui és p opo cional a I. Podem calcula el lux
de camp magnè ic c ea pel p opi ci cui , que
ambé se à p opo cional a I.
m
ΦLI
on L és una cons an anomenada au oinduc ància
del ci cui .
2
()
WTm
H
en y
L
A
A
Magne isme 17
Exemple: au oinduc ància d’una bobina amb una g an densi a d’espi es
Sigui una bobina amb N espi es de
longi ud l, secció ans e sal d’a ea A. El
camp c ea pe aques a bobina és o
B
nI
on n = N/l és la “densi a ” d’espi es o el
nomb e d’espi es pe uni a de longi ud.
El lux pe les N espi es de la bobina és:
2
moo
S
ΦB ds N BA nlBA nl nI A n Al I
pe an
2
2
mo
o
ΦnAlI
L
nAl
I
I
Si la in ensi a al ci cui can ia, el lux ambé can ia, pe an s’hi indueix una .e.m.
D’aco d amb la llei de Fa aday
m
dΦddI
LI L
d d d
Exemple: De e mineu l’au oinduc ància d’una bobina de 10 cm de longi ud, 5 cm2
d’à ea i 100 ol es. Amb quin i me ha de a ia el co en pe al d’indui una em de
20 V. (6.28 10-5 H; 3.18 105 A/s)
Induc ància mú ua
12
,
B
I
I
P
El lux al ci cui 2, ind à dos con ibucions, la del ci cui 1 i la del 2:
222 121m
ΦLI M I
on L2 és la au oinduc ància del ci cui 2 i M12 s’anomena induc ància mú ua dels dos
ci cui s.
2
()
WTm
H
en y
ML
A
A
De la ma eixa o ma ind em:
111 212 21 12
m
ΦLI M I MM
Magne isme 18
Exemple
222 121
12121
2
0
0
m
m
ΦLI M I
IΦMI
I
111
22
221 11 12 1
211
o
moo
BnI
ΦNBA nI nnl I
nl
2
12 1 2
1
2
2121 12 121
11
o
m
mo
nnl I
Φ
ΦMI M nnl
II
111 212
11212
2
0
0
m
m
ΦLI M I
IΦMI
I
222
22
112 22 12 2
111
o
moo
BnI
ΦNBA nI nnl I
nl
2
12 2 2
1
1
1212 21 121 12 21
22
o
m
mo
nnl I
Φ
ΦMI M nnl MM
II
Magne isme 19
Annex
La bobina alla gada
(P. Lo ain y D.L. Co son. Campos y ondas elec omagné icos)
Calcula em
B
dins i o a d'una bobina (o solenoide) de g an
longi ud. U ili za em coo denades cilínd iques amb el eix z
coincidin amb l'eix de sime ia del solenoide. T iem una
egió mol dis an dels lími s, de mane a que se an
menysp eables els e ec es a causa dels ex ems del solenoide.
També suposa em que la sepa ació en e les espi es del
solenoide és pe i a.
l. P ime amen cal des aca que B é les següen s
ca ac e ís iques, an dins com o a del solenoide.
a) Pe sime ia,
B
no és unció de z ni de
b) A més, 0B
. En e ec e, conside em un cilind e coaxial
de longi ud l i àdio
, que po se majo o meno que el adi
del cilind e, com s'indica a la igu a. La in eg al de
B
da
ꞏ
sob e la se a supe ície és, senzillamen 2 lB
, ja que les
in eg als sob e les dues bases s'anulꞏlen en e si. Pe ò, segons
la equació 0
S
Bda
, la in eg al de
B
da
sob e qualse ol
supe ície ancada és ze o. Lla o s, 0B
.
c) Finalmen , el o acional de
B
ha de se ze o en o s els
pun s excep e en el il i, pe an : 0
z
B
2. A l'ex e io del solenoide.
a) Podem demos a que 0
z
B conside an el eco egu a
de la igu a.
Solenoide alla ga pel qual ci cula un
co en I. Les línies de aç discon inu són
els camins de in eg ació pe a B. S'u ili zen
coo denades cilínd iques amb el eix z
coincidin amb l'eix de sime ia del
solenoide.
El co en ne que a essa el ci cui és ze o i, en conseqüència, la in eg al cu ilínia de
B
dl
ꞏ
sob e aques eco egu és nulꞏla. A a bé, com les in eg als cu ilínies al lla g dels cos a s 1 i 2 són
ze o
0B
, les co esponen s als cos a s 3 i 4 s'han de cancelꞏla en e si. A ès que aques s
cos a s poden es a a qualse ol dis ància de l'eix del solenoide, z
B
ha de se ze o o cons an en els
ma eixos.
A ès que el lux o al en l'espai in ini ex e io ha de se igual al lux ini a l'in e io del solenoide,
Bz ha d'anulꞏla -se a l'ex e io . 0
z
B
b) Pe a un eco egu com el b, que es à a essa una egada pe el co en , i o a del solenoide,
2
o
I
B
3. A l'in e io del solenoide.
a) A l'in e io 0B
, pe què la in eg al cu ilínia de
B
dl
sob e una ci cum e ència de adi
,
com l'a es a supe io del cilind e pe i de la igu a, és 2
B
i aques alo ha de. anulꞏla segons
l'equació o
B
J
pe no exis i cap co en ancada pel eco egu .
b) Conside em a a el eco egu c i eco dan que, an dins com o a, 0B
i a l'ex e io 0
z
B,
eiem que
zo
B
snIs
, i
zo
B
nI
Si el solenoide no é secció ci cula po conside a -se o ma pe la supe posició de solenoides
ci cula s de di e en s mides de mane a que enca a és aplicable l'equació an e io . La inducció
magnè ica a l'in e io d'un solenoide alla ga de secció a bi à ia, en una egió allunyada de les se es
e minacions, és igual a μo egades el nomb e de Ampe e- ol es / me e.
