AM2. Tema 5. Aproximació de funcions i discretització de la derivada

Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada Lali Barri`ere Departament de Matem`atiques - UPC Enginyeria de Sistemes Aeroespacials EETAC Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 1 / 33 Continguts Continguts 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor 5.2 Discretitzaci´o de la derivada 5.3 Polinomi de Taylor en dues variables 5.4 Discretitzaci´o de derivades parcials Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 2 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Prenem les funcions y=x,y=x2iy=x3. Quina ´es m´es gran? ▶Si x´es “petit”, x3< x2< x. Quan x→0, les tres funcions tenen l´ımit 0, per`o y=x3decreix molt m´es r`apid que y=x2, i y=x2decreix molt m´es r`apid que y=x. ▶Si x´es “gran”, x<x2< x3. Quan x→+∞, les tres funcions tenen l´ımit +∞, per`o y=x3creix molt m´es r`apid que y=x2, i y=x2creix molt m´es r`apid que y=x. Podem comparar funcions “en el l´ımit”, estudiant-ne el seu ordre de magnitud. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 3 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Infinits Definici´o Si f(x)´es una funci´o que compleix lim x→af(x) = ∞diem que f(x)´es un infinit quan x→a. Sovint t´e m´es sentit considerar els l´ımits per la dreta, x→a+, o per l’esquerra, x→a−. La definici´o ´es an`aloga. Exemples ▶lim x→0+ 1 x= +∞ ▶lim x→0+xα=∞si α < 0. ▶lim x→+∞xn= +∞si n > 0, ▶lim x→π 2 +tan x=−∞. ▶lim x→+∞log x= +∞,lim x→0+log x=−∞. Al tema 8.Grafs i algoritmes veurem els ordres dels algoritmes, que s´on del tipus infinit, amb nen lloc de x. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 4 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Infinit`esims Definici´o Si f(x)´es una funci´o que compleix lim x→af(x) = 0 diem que f(x) ´es un infinit`esim quan x→a. Exemples ▶lim x→+∞ 1 x= 0 ▶lim x→0sin x= 0. ▶lim x→π 2 cos x= 0. ▶lim x→0xn= 0 si n≥0. ▶lim x→+∞e−x= 0. Als temes 6 i 7 parlarem dels ordres de les aproximacions, que s´on del tipus infinit`esim. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 5 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Ordres de magnitud: notaci´o de Landau Definici´o Si f, g :R→R ▶f=o(g)quan x→asi lim x→a f g= 0 Podem escriure tamb´e f≪g, “f´es molt m´es petit que g”. ▶f=O(g)quan x→asi el quocient f g´es acotat, quan x→a. Si el l´ımit existeix, lim x→a f g=K=±∞. ▶f∼gquan x→asi lim x→a f g= 1.S´on asimpt`oticament equivalents. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 6 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Exercici Considerem les funcions f(x) = x,g(x) = x2,h(x) = x3. 1. Per a quins valors de apodem dir que s´on infinits, quan x→a? 2. Per a quins valors de apodem dir que s´on infinit`esims, quan x→a? 3. Per als valors de atrobats, compara les funcions utilitzant la notaci´o de Ladau. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 7 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Exemple 1 ▶La funci´o f(x)=4x3+ 2x2−3xi la funci´o g(x) = 4x3compleixen: lim x→∞ f(x) g(x)= lim x→∞ 4x3+ 2x2−3x 4x3= 1 Per tant, quan x→ ∞, les dues funcions s´on asimpt`oticament equivalents: 4x3+ 2x2−3x∼4x3 ▶La funci´o f(x)=4x3+ 2x2−3xi la funci´o g(x) = x3compleixen: lim x→∞ f(x) g(x)= lim x→∞ 4x3+ 2x2−3x x3= 4 Per tant, quan x→ ∞,4x3+ 2x2−3x=O(x3). Observem tamb´e que, quan x→ ∞,x≪x3ix2≪x3. Per tant, en termes asimpt`otics, ´es a dir, quan ens fixem en el l´ımit, podem obviar els termes en xi en x2. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 8 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Exemple 2 ▶La funci´o f(x)=2x+ 3x2+ 4x3i la funci´o g(x) = 2xcompleixen: lim x→0 f(x) g(x)= lim x→0 2x+ 3x2+ 4x3 2x= 1 Per tant, quan x→0, les dues funcions s´on asimpt`oticament equivalents: 2x+ 3x2+ 4x3∼2x. ▶La funci´o f(x)=2x+ 3x2+ 4x3i la funci´o g(x) = xcompleixen: lim x→0 f(x) g(x)= lim x→0 2x+ 3x2+ 4x3 x= Per tant, quan x→0,2x+ 3x2+ 4x3=O(x). Observem tamb´e que, quan x→0,x2≪xix3≪x. Per tant, en termes asimpt`otics, ´es a dir, quan ens fixem en el l´ımit, podem obviar aquests termes. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 9 / 33 5.1 Ordres de magnitud i teorema de Taylor Error proporcional a hn ▶Treballem amb un punt xi un punt “proper” a x,x+h. ▶En la pr`actica, quan diem que una aproximaci´o ´es d’ordre n, o O(hn), podem pensar que l’error ´es proporcional a hn. ▶´ Es a dir, podem escriure: ϵ=K·hn Observaci´o. Com en l’exemple 2, obviem els termes de grau m´es alt, hn+1, hn+2,. . . , que s´on “molt m´es petits” que hn. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 16 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Motivaci´o Tenim un problema de valor inicial, amb una EDO que no sabem resoldre: y′=h(x, y), y(x0) = y0 Trobarem una soluci´o num`erica, discretitzant la variable i aproximant y′ per combinacions de y. Gr`acies al teorema de Taylor! Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 17 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Recordem la definici´o de derivada Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 18 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Recordem la definici´o de derivada Observeu el canvi de notaci´o. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 19 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Discretitzaci´o de x Observaci´o Podem obviar els sub´ındex, fent x0=xi escrivint x, x +h, x + 2h, . . . , x +ih, . . . en lloc de x0, x1, x2, . . . , xi, . . . Observaci´o 1 Canviarem xper tquan la variable sigui t. Observacvi´o 2 El pas h, pot ser tamb´e denotat per ∆x.´ Es especialment recomanable quan es treballa amb m´es d’una variable. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 20 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Discretitzaci´o de f′ Veurem com: ▶Mitjan¸cant el teorema de Taylor podem aproximar les derivades d’una funci´o f, en funci´o dels valors de fen x, x ±h, x ±2h, . . .. Hem de tenir en compte que: ▶Els m`etodes num`erics que veurem parteixen de la discretitzaci´o de la variable. ▶Si treballem amb la variable discretitzada, diem que tenim una discretitzaci´o de f′(o f′′, . . . ). ▶Si treballem amb la variable discretitzada, els punts . . . , x −2h, x −h, x, x +h, x + 2h, . . . s´on, de fet, . . . , xi−2, xi−1, xi, xi+1, xi+2, . . . Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 21 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Aproximaci´o de f′(x) Reescrivim el teorema de Taylor. f(x+h) = f(x) + hf′(x) + h2 2f′′(x) + · · · +hn n!f(n)(x) + O(hn+1) f(x−h) = f(x)−hf′(x) + h2 2f′′(x)− · · · + (−1)nhn n!f(n)(x) + O(hn+1) Aproximaci´o per Taylor endavant f(x+h) = f(x) + hf′(x) + h2f′′(x) 2+O(h3)⇒f′(x) = f(x+h)−f(x) h+O(h) ˜ f′(x) = f(x+h)−f(x) h´es una aproximaci´o de f′d’ordre 1. Exercici Per qu`e? Aproximaci´o per Taylor endarrere f(x−h) = f(x)−hf′(x) + h2f′′(x) 2+O(h2)⇒f′(x) = f(x)−f(x−h) h+O(h) ˜ f′(x) = f(x)−f(x−h) h´es una aproximaci´o de f′d’ordre 1. Exercici Per qu`e? Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 22 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Aproximaci´o per Taylor centrat f(x+h) = f(x) + hf′(x) + h2 2f′′(x) + h3 6f′′′(x) + O(h4) f(x−h) = f(x)−hf′(x) + h2 2f′′(x)−h3 6f′′′(x) + O(h4)      =====⇒ Restem ⇒f′(x) = f(x+h)−f(x−h) 2h+h2f′′′(x) 6+O(h3) Per tant, ˜ f′(x) = f(x+h)−f(x−h) 2h´es una aproximaci´o de f′d’ordre 2. Sabem que f=O(hn)⇒f=O(hn−1). L’ordre ´es nsi f=O(hn)per`o f=o(hn)o, equivalentment, f=O(hn+1). Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 23 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada M´es aproximacions Idea Aproximant f′per combinaci´o de valors de x, x +h, x −h, x + 2h, x −2h, . . . podrem obtenir aproximacions millors. Idea Podrem tamb´e trobar aproximacions de f′′,f′′′ , . . . Utilitzarem: f(x+ 2h) = n X i=0 (2h)i i!f(i)(x) + O(hn+1) f(x−2h) = n X i=0 (−1)i(2h)i i!f(i)(x) + O(hn+1) f(x+kh) = n X i=0 (kh)i i!f(i)(x) + O(hn+1) f(x−kh) = n X i=0 (−1)i(kh)i i!f(i)(x) + O(hn+1) Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 24 / 33 5.2 Discretitzaci´o de la derivada Exemples d’aproximaci´o de f′ (1) Amb Taylor endavant i utilitzant hi2h: f(x+ 2h) = f(x)+2hf′(x) + (2h)2 2f′′(x) + (2h)3 6f′′′(x) + O(h4) f(x+h) = f(x) + hf′(x) + h2 2f′′(x) + h3 6f′′′(x) + O(h4)      4f(x+h)−f(x+ 2h)=3f(x)+2hf′(x)−2 3h3f′′′(x) + O(h4)⇒ 4f(x+h)−f(x+ 2h)=3f(x)+2hf′(x) + O(h3)⇒ f′(x) = −3f(x)+4f(x+h)−f(x+ 2h) 2h+O(h2) ˜ f′(x) = −3f(x)+4f(x+h)−f(x+ 2h) 2h´es una aproximaci´o d’ordre 2. Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 25 / 33 5.3 Polinomi de Taylor en dues variables Notaci´o amb increments ∆xi∆y Recordem: Polinomi de Taylor en una variable f(x+h) = f(x) + f′(x)·h+f′′(x) 2h2+f′′′(x) 3! h3+O(h4) Polinomi de Taylor en dues variables f(x+ ∆x, y + ∆y) = f(x, y) + ∂f ∂x (x, y)·∆x+∂f ∂y (x, y)·∆y+ +1 2 ∂2f ∂x2(x, y)·(∆x)2+∂2f ∂x∂y (x, y)·∆x·∆y+1 2 ∂2f ∂y2(x, y)·(∆y)2+ +1 6 ∂3f ∂x3(x, y)·(∆x)3+1 2 ∂3f ∂x2∂y (x, y)·(∆x)2∆y+ +1 2 ∂3f ∂x∂y2(x, y)·∆x(∆y)2+1 6 ∂3f ∂y3(x, y)·(∆y)3 +O((∆x)4+ (∆y)4) Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 32 / 33 5.4 Discretitzaci´o de derivades parcials 5.4 Discretitzaci´o de derivades parcials Utilitzem el polinomi de Taylor de f(x, y), podem trobar aproximacions de les derivades parcials, igual com hem fet amb el polinomi de Taylor d’una variable per aproximar les derivades. ▶Aproximaci´o de les derivades parcials primeres: ∂f ∂x ∼f(x+ ∆x, y)−f(x, y) ∆x ∂f ∂y ∼f(x, y + ∆y)−f(x, y) ∆y ▶Aproximaci´o de derivades parcials segones: ∂2f ∂x2∼f(x+ ∆x, y)−2f(x, y) + f(x−∆x, y) (∆x)2 ∂2f ∂y2∼f(x, y + ∆y)−2f(x, y) + f(x, y −∆y) (∆y)2 Exercici 24 Reescrivint el polinomi de Taylor en dues variables de forma adequada, comproveu que les expressions donades s´on aproximacions de les derivades parcials indicades. Quin ´es l’ordre? Lali Barri`ere - AM2 Tema 5. Aproximaci´o de funcions i discretitzaci´o de la derivada 33 / 33