Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la
de i ada
Lali Ba i`e e
Depa amen de Ma em`a iques - UPC
Enginye ia de Sis emes Ae oespacials
EETAC
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 1 / 33
Con ingu s
Con ingu s
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
5.3 Polinomi de Taylo en dues a iables
5.4 Disc e i zaci´o de de i ades pa cials
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 2 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
P enem les uncions y=x,y=x2iy=x3. Quina ´es m´es g an?
▶Si x´es “pe i ”, x3< x2< x.
Quan x→0, les es uncions enen l´ımi 0, pe `o y=x3dec eix mol m´es
`apid que y=x2, i y=x2dec eix mol m´es `apid que y=x.
▶Si x´es “g an”, x<x2< x3.
Quan x→+∞, les es uncions enen l´ımi +∞, pe `o y=x3c eix mol
m´es `apid que y=x2, i y=x2c eix mol m´es `apid que y=x.
Podem compa a uncions “en el l´ımi ”, es udian -ne el seu o d e de magni ud.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 3 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
In ini s
De inici´o Si (x)´es una unci´o que compleix lim
x→a (x) = ∞diem que
(x)´es un in ini quan x→a.
So in ´e m´es sen i conside a els l´ımi s pe la d e a, x→a+, o pe
l’esque a, x→a−. La de inici´o ´es an`aloga.
Exemples
▶lim
x→0+
1
x= +∞
▶lim
x→0+xα=∞si α < 0.
▶lim
x→+∞xn= +∞si n > 0,
▶lim
x→π
2
+ an x=−∞.
▶lim
x→+∞log x= +∞,lim
x→0+log x=−∞.
Al ema 8.G a s i algo i mes eu em els o d es dels algo i mes, que s´on del
ipus in ini , amb nen lloc de x.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 4 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
In ini `esims
De inici´o Si (x)´es una unci´o que compleix lim
x→a (x) = 0 diem que (x)
´es un in ini `esim quan x→a.
Exemples
▶lim
x→+∞
1
x= 0
▶lim
x→0sin x= 0.
▶lim
x→π
2
cos x= 0.
▶lim
x→0xn= 0 si n≥0.
▶lim
x→+∞e−x= 0.
Als emes 6 i 7 pa la em dels o d es de les ap oximacions, que s´on del
ipus in ini `esim.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 5 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
O d es de magni ud: no aci´o de Landau
De inici´o Si , g :R→R
▶ =o(g)quan x→asi lim
x→a
g= 0
Podem esc iu e amb´e ≪g, “ ´es mol m´es pe i que g”.
▶ =O(g)quan x→asi el quocien
g´es aco a , quan x→a. Si el
l´ımi exis eix, lim
x→a
g=K=±∞.
▶ ∼gquan x→asi lim
x→a
g= 1.S´on asimp `o icamen equi alen s.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 6 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
Exe cici
Conside em les uncions (x) = x,g(x) = x2,h(x) = x3.
1. Pe a quins alo s de apodem di que s´on in ini s, quan x→a?
2. Pe a quins alo s de apodem di que s´on in ini `esims, quan x→a?
3. Pe als alo s de a oba s, compa a les uncions u ili zan la no aci´o
de Ladau.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 7 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
Exemple 1
▶La unci´o (x)=4x3+ 2x2−3xi la unci´o g(x) = 4x3compleixen:
lim
x→∞
(x)
g(x)= lim
x→∞
4x3+ 2x2−3x
4x3= 1
Pe an , quan x→ ∞, les dues uncions s´on asimp `o icamen
equi alen s: 4x3+ 2x2−3x∼4x3
▶La unci´o (x)=4x3+ 2x2−3xi la unci´o g(x) = x3compleixen:
lim
x→∞
(x)
g(x)= lim
x→∞
4x3+ 2x2−3x
x3= 4
Pe an , quan x→ ∞,4x3+ 2x2−3x=O(x3).
Obse em amb´e que, quan x→ ∞,x≪x3ix2≪x3. Pe an , en
e mes asimp `o ics, ´es a di , quan ens ixem en el l´ımi , podem ob ia els
e mes en xi en x2.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 8 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
Exemple 2
▶La unci´o (x)=2x+ 3x2+ 4x3i la unci´o g(x) = 2xcompleixen:
lim
x→0
(x)
g(x)= lim
x→0
2x+ 3x2+ 4x3
2x= 1
Pe an , quan x→0, les dues uncions s´on asimp `o icamen
equi alen s: 2x+ 3x2+ 4x3∼2x.
▶La unci´o (x)=2x+ 3x2+ 4x3i la unci´o g(x) = xcompleixen:
lim
x→0
(x)
g(x)= lim
x→0
2x+ 3x2+ 4x3
x=
Pe an , quan x→0,2x+ 3x2+ 4x3=O(x).
Obse em amb´e que, quan x→0,x2≪xix3≪x. Pe an , en e mes
asimp `o ics, ´es a di , quan ens ixem en el l´ımi , podem ob ia aques s
e mes.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 9 / 33
5.1 O d es de magni ud i eo ema de Taylo
E o p opo cional a hn
▶T eballem amb un pun xi un pun “p ope ” a x,x+h.
▶En la p `ac ica, quan diem que una ap oximaci´o ´es d’o d e n, o O(hn),
podem pensa que l’e o ´es p opo cional a hn.
▶´
Es a di , podem esc iu e:
ϵ=K·hn
Obse aci´o. Com en l’exemple 2, ob iem els e mes de g au m´es al , hn+1,
hn+2,. . . , que s´on “mol m´es pe i s” que hn.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 16 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Mo i aci´o Tenim un p oblema de alo inicial, amb una EDO que no
sabem esold e:
y′=h(x, y), y(x0) = y0
T oba em una soluci´o num`e ica, disc e i zan la a iable i ap oximan y′
pe combinacions de y.
G `acies al eo ema de Taylo !
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 17 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Reco dem la de inici´o de de i ada
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 18 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Reco dem la de inici´o de de i ada
Obse eu el can i de no aci´o.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 19 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Disc e i zaci´o de x
Obse aci´o Podem ob ia els sub´ındex, en x0=xi esc i in
x, x +h, x + 2h, . . . , x +ih, . . .
en lloc de
x0, x1, x2, . . . , xi, . . .
Obse aci´o 1 Can ia em xpe quan la a iable sigui .
Obse ac i´o 2 El pas h, po se amb´e deno a pe ∆x.´
Es especialmen
ecomanable quan es eballa amb m´es d’una a iable.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 20 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Disc e i zaci´o de ′
Veu em com:
▶Mi jan¸can el eo ema de Taylo podem ap oxima les de i ades d’una
unci´o , en unci´o dels alo s de en x, x ±h, x ±2h, . . ..
Hem de eni en comp e que:
▶Els m`e odes num`e ics que eu em pa eixen de la disc e i zaci´o de la
a iable.
▶Si eballem amb la a iable disc e i zada, diem que enim una
disc e i zaci´o de ′(o ′′, . . . ).
▶Si eballem amb la a iable disc e i zada, els pun s
. . . , x −2h, x −h, x, x +h, x + 2h, . . . s´on, de e ,
. . . , xi−2, xi−1, xi, xi+1, xi+2, . . .
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 21 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Ap oximaci´o de ′(x)
Reesc i im el eo ema de Taylo .
(x+h) = (x) + h ′(x) + h2
2 ′′(x) + · · · +hn
n! (n)(x) + O(hn+1)
(x−h) = (x)−h ′(x) + h2
2 ′′(x)− · · · + (−1)nhn
n! (n)(x) + O(hn+1)
Ap oximaci´o pe Taylo enda an
(x+h) = (x) + h ′(x) + h2 ′′(x)
2+O(h3)⇒ ′(x) = (x+h)− (x)
h+O(h)
˜
′(x) = (x+h)− (x)
h´es una ap oximaci´o de ′d’o d e 1.
Exe cici Pe qu`e?
Ap oximaci´o pe Taylo enda e e
(x−h) = (x)−h ′(x) + h2 ′′(x)
2+O(h2)⇒ ′(x) = (x)− (x−h)
h+O(h)
˜
′(x) = (x)− (x−h)
h´es una ap oximaci´o de ′d’o d e 1.
Exe cici Pe qu`e?
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 22 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Ap oximaci´o pe Taylo cen a
(x+h) = (x) + h ′(x) + h2
2 ′′(x) + h3
6 ′′′(x) + O(h4)
(x−h) = (x)−h ′(x) + h2
2 ′′(x)−h3
6 ′′′(x) + O(h4)
=====⇒
Res em
⇒ ′(x) = (x+h)− (x−h)
2h+h2 ′′′(x)
6+O(h3)
Pe an , ˜
′(x) = (x+h)− (x−h)
2h´es una ap oximaci´o de ′d’o d e
2.
Sabem que =O(hn)⇒ =O(hn−1).
L’o d e ´es nsi =O(hn)pe `o =o(hn)o, equi alen men ,
=O(hn+1).
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 23 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
M´es ap oximacions
Idea Ap oximan ′pe combinaci´o de alo s de
x, x +h, x −h, x + 2h, x −2h, . . .
pod em ob eni ap oximacions millo s.
Idea Pod em amb´e oba ap oximacions de ′′, ′′′ , . . .
U ili za em:
(x+ 2h) =
n
X
i=0
(2h)i
i! (i)(x) + O(hn+1)
(x−2h) =
n
X
i=0
(−1)i(2h)i
i! (i)(x) + O(hn+1)
(x+kh) =
n
X
i=0
(kh)i
i! (i)(x) + O(hn+1)
(x−kh) =
n
X
i=0
(−1)i(kh)i
i! (i)(x) + O(hn+1)
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 24 / 33
5.2 Disc e i zaci´o de la de i ada
Exemples d’ap oximaci´o de ′
(1) Amb Taylo enda an i u ili zan hi2h:
(x+ 2h) = (x)+2h ′(x) + (2h)2
2 ′′(x) + (2h)3
6 ′′′(x) + O(h4)
(x+h) = (x) + h ′(x) + h2
2 ′′(x) + h3
6 ′′′(x) + O(h4)
4 (x+h)− (x+ 2h)=3 (x)+2h ′(x)−2
3h3 ′′′(x) + O(h4)⇒
4 (x+h)− (x+ 2h)=3 (x)+2h ′(x) + O(h3)⇒
′(x) = −3 (x)+4 (x+h)− (x+ 2h)
2h+O(h2)
˜
′(x) = −3 (x)+4 (x+h)− (x+ 2h)
2h´es una ap oximaci´o d’o d e 2.
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 25 / 33
5.3 Polinomi de Taylo en dues a iables
No aci´o amb inc emen s ∆xi∆y
Reco dem: Polinomi de Taylo en una a iable
(x+h) = (x) + ′(x)·h+ ′′(x)
2h2+ ′′′(x)
3! h3+O(h4)
Polinomi de Taylo en dues a iables
(x+ ∆x, y + ∆y) = (x, y) + ∂
∂x (x, y)·∆x+∂
∂y (x, y)·∆y+
+1
2
∂2
∂x2(x, y)·(∆x)2+∂2
∂x∂y (x, y)·∆x·∆y+1
2
∂2
∂y2(x, y)·(∆y)2+
+1
6
∂3
∂x3(x, y)·(∆x)3+1
2
∂3
∂x2∂y (x, y)·(∆x)2∆y+
+1
2
∂3
∂x∂y2(x, y)·∆x(∆y)2+1
6
∂3
∂y3(x, y)·(∆y)3
+O((∆x)4+ (∆y)4)
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 32 / 33
5.4 Disc e i zaci´o de de i ades pa cials
5.4 Disc e i zaci´o de de i ades pa cials
U ili zem el polinomi de Taylo de (x, y), podem oba ap oximacions de les
de i ades pa cials, igual com hem e amb el polinomi de Taylo d’una a iable
pe ap oxima les de i ades.
▶Ap oximaci´o de les de i ades pa cials p ime es:
∂
∂x ∼ (x+ ∆x, y)− (x, y)
∆x
∂
∂y ∼ (x, y + ∆y)− (x, y)
∆y
▶Ap oximaci´o de de i ades pa cials segones:
∂2
∂x2∼ (x+ ∆x, y)−2 (x, y) + (x−∆x, y)
(∆x)2
∂2
∂y2∼ (x, y + ∆y)−2 (x, y) + (x, y −∆y)
(∆y)2
Exe cici 24 Reesc i in el polinomi de Taylo en dues a iables de o ma
adequada, comp o eu que les exp essions donades s´on ap oximacions de les
de i ades pa cials indicades. Quin ´es l’o d e?
Lali Ba i`e e - AM2 Tema 5. Ap oximaci´o de uncions i disc e i zaci´o de la de i ada 33 / 33
