PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES D'UN CHAMP DE VECTEURS ANALYTIQUE

Astérisque FELIPE CANO ROBERT MOUSSU FERNANDO SANZ Pinceaux de courbes intégrales d’un champ de vecteurs analytique Astérisque, tome 297 (2004), p. 1-34 <http://www.numdam.org/item?id=AST_2004__297__1_0> © Société mathématique de France, 2004, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Astérisque » (http://smf4.emath.fr/ Publications/Asterisque/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Astérisque 297. 2004, p. 1 34 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES D'UN CHAMP DE VECTEURS ANALYTIQUE par Felipe Cano, Robert Moussu & Fernando Sanz Résumé. — Soit 70 une courbe intégrale d'un champ de vecteurs analytique X dans une variété réelle de dimension trois. Supposons que 70 ait un seul point limite et qu'elle possède des tangentes itérées. Le pinceau intégral PI(7o) est l'ensemble des courbes intégrales de X qui ont les mêmes tangentes itérées (orientées) que 70. Nous montrons que les courbes de PI(7o) sont, soit deux à deux sous-analytiquement separables, soit deux à deux asymptotiquement enlacées. Dans ce dernier cas. PI(7o) possède un axe formel qui est divergent si et seulement si les courbes de PI(7o) sont non oscillantes. Abstract (Integral pencils of trajectories of an analytic vector field). — Let 70 be an integral curve of an analytic vector field X in a real three dimensional manifold. Suppose that 70 has a single limit point and that it has all iterated tangents. The integral pencil PI(7o) is the set of all integral curves of X having the same (oriented) iterated tangents as 70. We prove that two arbitrary curves in PI(7o) are either subanalytically separated or asymptotically linked. In this last case, PI(70) has a formal axis which is divergent if and only if the curves of PI(70) are not oscillatory. 0. Introduction Soit X un champ de vecteurs analytique sur une varieté 71/ de dimension trois et soit 70 une courbe intégrale de X dont F ensemble cj-limite, u;(7o), est un point singulier p de X. Nous nous intéresserons à la question suivante. Comment, d'un point de vue analytique. 70 peut-elle tendre vers /;? Cette question n'est pertinente que si 70 possède une tangente en En effet, soit 717 : AI\ —> AIQ l'éclatement de centre po et soit 71 le relevé de 7 par 717. Son ensemble u-limite, a;(71), est contenu dans le diviseur exceptionnel de TT\ qui est identifié à 1RP(2). La courbe 70 a une tangente en p0 de direction p\ si et seulement si 1^(71) = p\. Si ce irest pas le cas. l'étude de 71 au voisinage de p\ est un problème de dynamique globale. Ce irest plus Classification mathématique par sujets (2000). — Primary 34C08 ; Secondary 3 1(4 0. 37D30, 32B20. 32S50. Mots clefs. — Champ de vecteurs, EDO, éclatement, oscillation, variété invariante. © Astérisque 297, SMF 2004 2 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ un problème local de géométrie analytique. Pour cette raison nous nous intéressons seulement aux courbes 70 qui possèdent des tangentes itérées TI(7o) = {pn}, c'est-àdire, à celles pour lesquelles il existe une suite infinie d'éclatements ponctuels Me r1 Ah 7T2 Mo • • • < Л/n-l dn Mn ..... de centres les points p0, p1> • • • ,Рп-ь • • •, telle que pn = cj(7n) où jn est le relevé de 7n__i par 7rn. La droite tangente à 7n_i en pn_i est naturellement orientée par 7n_i. Nous notons p+ le point correspondant de S2 et TI+(70) = {p^} ia suite des tangentes itérées orientées de 70. L'ensemble PI(7o) des courbes 7 telles que TI+(7) = TI+(7o) est le pinceau intégral de 70 pour X. Si Г est une courbe formelle en po, nous notons encore Т1(Г) sa suite de points infiniment proches au sens de [2]. Si Т1(Г) = ТЦ70) nous dirons que Г est Vaxe de РЦ70) ou que 70 a un contact plat avec Г. S'il existe une surface analytique qui ne contient pas 70 et qui coupe 70 selon une infinité de points, on dit que 70 est oscillante. Dans ce cas, le théorème suivant décrit les propriétés du pinceau PI(7o). Théorème du spiralement axial ([7]). — Si 70 est oscillante et possède des tangentes itérées, PI(7o) possède un axe Г convergent X-invariant et 70 « spirale » autour de Г. De plus, si Г n'est pas contenu dans SingX le heu singulier de X, toutes les courbes de PI(70) \ Г sont oscillantes et spiralent autour de Г. Si la courbe 70 n'est pas oscillante, elle possède des tangentes itérées. Le but de ce travail est l'étude des pinceaux PI(70) constitués de courbes non oscillantes. Ces objets ne sont pas rares. D'après le théorème précédent, c'est le cas si 70 est non oscillante et n'a pas un contact plat avec SingX. Théorème I. — Si les courbes de PI(70) sont non oscillantes on a Vane des propriétés suivantes : s) Deux courbes distinctes, quelconques, de PI(7o) sont sous-analytiquement separables. e) Deux courbes distinctes, quelconques, de PI(7o) sont asymptotiquernent enlacées. De plus, ces propriétés ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Dans le cas s) nous dirons que РЦ70) est un pinceau intégral séparé. Dans le cas e) nous dirons que PI(70) est un pinceau intégral enlacé. La structure de tels pinceaux est décrite dans le théorème II ci-dessous. Avant de l'énoncer, définissons brièvement les concepts qui apparaissent dans le théorème précédent. Soient 7, 7' deux courbes intégrales de РЦ70) et soient |7|, |7;| leurs images. On dit que 7, 7' sont « distinctes » si |7|, |77| ne sont pas contenues dans une môme orbite du flot de X, que 7, 7' sont sous-analytiquement separables s'il existe une application / bornée, non constante, sous-analytique sur un voisinage de I7I U |7У| dans R2 telle que le nombre de points de /(Ы) П /(IT'I) est finL Des coordonnées w = (x.y.z) centrées en p sont dites z-positives pour 7 si |7| С {z > 0} et si 7 coupe transversalement les plans z = ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTEGRALES 3 constante. On peut alors reparamétrer |Y| par z. Ce que nous écrivons z \-+ 7(2) = (x(z),y(z), z), z > 0. Deux courbes 7, 7' sont asymptotiquement enlacées s'il existe des coordonnées w, z-positives pour 7, 7', telles que la courbe z \—> (7(2) . Y'(z)) dans M2 x {0} = M2 spirale autour de 0. Ce concept est indépendant des coordonnées choisies pour le définir lorsque 7, 7' sont non oscillantes. Théorème IL — Soit PI(7o) un pinceau intégral enlacé de courbes non oscillantes. (1) PI(7o) possède un axe formel T non convergent transcendant; c'est-à-dire qu'il n'existe pas de surface analytique qui contienne T. (2) Si V est un voisinage de p, il existe un ouvert sous-analytique connexe U C V positivement invariant par le flot de X tel qu June courbe intégrale 7 de X appartient à PI(7o) si et seulement si \^y\ fl U 7^ 0. Un pinceau enlacé de courbes non oscillantes est X-irréductible au sens suivant. Un ouvert U comme dans le théorème II n'est pas la réunion de deux ensembles sousanalytiques non vides, disjoints, positivement invariants par le flot de X. En effet, sinon, U contiendrait un sous-ensemble sous-analytique A positivement invariant par le flot de X de dimension inférieure ou égale à deux. L'axe formel T de PI(70) serait contenu dans A, ce qui contredirait l'assertion 1 du théorème II. Supposons que 70 soit une courbe oscillante qui possède des tangentes itérées et que 70 n'a pas un contact plat avec une courbe contenue dans SingX. D'après le théorème du spiralement axial, toutes les courbes de PI(7o) \ T sont oscillantes et spiralent autour d'un axe T. Une des composantes connexes de T \ {p}, notée T+ est une courbe intégrale de PI(70). Deux courbes quelconques, distinctes de PI(70) sont asymptotiquement enlacées et il existe encore C/, un ouvert X-invariant comme dans le théorème II [7]. Mais dans ce cas, PI(7o) n'est pas X-irréductible puisque u = (u \ r+) ur+. Exemple (L'équation d'Euler). — Dans C2 muni des coordonnées (u, v) l'équation différentielle (Ee) du dt = - u +Ev, dv dt — —v avec e = 0,1 définit un feuilletage holomorphe TE dont v = 0 est une séparatrice. Le plongement jw de C x R dans C2 défini par j^((u,z) = (U.LOZ) avec uo — exp(—ia) où a est réel, |a| < 7r/2 est transverse à Te. L'image inverse TE,w^ de Te par jw est un feuilletage en courbes réelles. Sa description permet de mieux comprendre la géométrie de T£ du « côté noeud-col » [23]. En identifiant C à ]R2 via l'écriture u — x + iy — (x,y) , les feuilles de TE^,w sont les courbes intégrales de l'équation différentielle (E e , w ) dx dt — — cos ax + sin ay + ez. dy dt = — sin ax — cos ay, dz dt = - z 2. Le plan z = 0 est la variété stable de Ee^. Les courbes intégrales 7 de E£^,w contenues dans z > 0 sont transverses aux plans z ^constante. Ce sont des graphes 7(2) = SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRA+NCE 2004 4 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ (u(z),z), z > 0 de fonctions u(z) solutions de z2 du dz > u w - ez, avec u(z) = x(z) + iy(z), z > 0. Si e = 0, on a u(z) = c exp( — l/ujz), c G C L'ensemble des |7| C {z > 0} est un pinceau intégral P0 d'axe F = {u — ()}. Si u = 1, elles sont non oscillantes et P0 est séparé. Si tu / 1, les courbes de PQ \ F sont oscillantes, elles spiralent autour de F. Si £ = 1, l'ensemble des |7| C {2: > 0} est un pinceau intégral P\ d'axe formel f „(z) = (£(2), y(x). z) = (Û(z),z), avec Û(z) = E >i fnDìo/1"1*71. Soient 7, 7r, distinctes, appartenant à Pi, 7(2:) = (u(z),z), y(z) — (u'(z),z). Alors on a (u(z) — u'{z)) = c exp( — l/ujz), c G C. Si u = 1, P\ est un pinceau séparé de courbes non oscillantes. Si uo / 1, P\ est un pinceau enlacé de courbes non oscillantes. Les concepts oscillation, tangentes itérées, enlacement asymptotique, séparation sont définis de façon précise dans le chapitre suivant. Par des arguments classiques de géométrie analytique réelle nous montrons qu'ils sont stables par des morphismes permis. Ce sont des composés d'éclatements de points, de courbes lisses et de ramifications au-dessus de surfaces lisses. Ainsi, d'après le « théorème d'uniformisation polarisée » de [6], il suffit de démontrer les théorèmes I et II lorsque la partie linéaire DX(p) n'est pas nilpotente. Il est alors nécessaire de distinguer différents cas selon la nature du spectre de DX(p). Cette démarche nécessite encore quelques définitions : pinceau final hyperbolique, pinceau final de type I, pinceau final de type IL Les chapitres 2, 3, 4 sont consacrés aux démonstrations des théorèmes I (sans l'alternative) et II pour les pinceaux hyperboliques, finaux de type I, finaux de type II, respectivement. Enfin, dans le chapitre 5, nous montrons l'alternative du théorème I et nous prouvons que l'étude des pinceaux intégraux se ramène à celui des pinceaux finaux. Ce travail doit beaucoup à une question de F. Durnortier et à des conversations avec J.-M. Lion. Nous les remercions vivement. 1. Enlacement asymptotique et pinceau intégral Dans toute cette partie, X désigne un champ de vecteurs analytique sur une variété M de dimension trois et 7 : t 1—» 7(t), t ^ 0 une courbe intégrale non constante de X dont l'ensemble cj-limite noté p — ^(7) est un point singulier de X. Dans un premier paragraphe nous rappelons quelques concepts définis dans [7] : tangentes itérées, courbes oscillantes, spiralement axial. Dans le paragraphe suivant nous étudions les propriétés « individuelles » d'une courbe 7 non oscillante. Nous montrons essentiellement que la non oscillation est une propriété stable par des morphismes admissibles. Ce sont des composés d'éclatements de points, de courbes et des ramifications. Le ASTERISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTEGRALES 5 concept d'enlacement asymptotique de deux courbes intégrales est défini dans le paragraphe trois. Après avoir constaté qu'il est indépendant des coordonnées choisies pour le définir, pour des courbes non oscillantes, nous montrons qu'il est stable par morphismes admissibles. Dans le dernier paragraphe, nous donnons la définition de pinceau intégral et précisons quelques propriétés d'un tel objet. Nous étudions la stabilité de ce concept par transformation admissible. 1.1. Tangentes itérées et oscillation. — Nous reprenons les notations de l'introduction, 7 : t i—>• j(t), t ^ 0 est une courbe intégrale de X sur M telle que a;(7) = p. Soit 7T'i : Afi —> M l'éclatement de centre p. Il existe une unique courbe 71 dans \I\ telle que ix\ o ^x — 7. C'est une courbe intégrale du champ de vecteurs X\ sur M\ défini par 7Ti5|e(Xi) = X. On dit que 71, X\ sont les relevés de 7, X par 717. L'ensemble cj-limite, a;(71), de 71 est contenu dans le diviseur exceptionnel 7r^l(p) qui est identifié au projectif réel RP(2). Dire que a;(71) est un point p\ de MP(2) signifie que 7 possède une tangente en p dans la direction p\. Si c'est le cas, à la courbe 7 correspond une des demies droites p~\ G S2 associées à p\ G MP(2). Le point p\ est la tangente orientée en p à 7. Nous dirons que 7 possède des tangentes itérées si Ton peut construire une suite infinie Mo 7T] 0 Mi 7T2 0 M2 • • • ^~ Mn -1 dn 0 MN • - • , avec MQ = M, po = d'éclatements ponctuels 7rn, n > 1, de centre le point pn_i de A/n-i? telle que pn soit l'ensemble cj-limite du relevé 7n = 7T"1 o 7n_i de 7n-i par irn. Si c'est le cas nous dirons que TI(7) = {pn} egt la suite des tangentes itérées de 7 et que TI+(7) = {p^} est la suite des tangentes itérées orientées de 7. Soit L une courbe formelle au point p et TÏ\ : Mi —•> A/ l'éclatement de centre p. Il existe un unique point pi G 7r1"1(/>) et une courbe formelle T\ en pi, le transformé strict de L, telle que 7Ti OTI = T. Par une induction évidente, on construit une suite infinie de points TI(L) ----- {pn} associés à L. C'est la suite de points infiniment proches de L au sens de [2]. Si TI(T) = TI(7) nous dirons que 7 a un contact plat avec L. Lorsque 7 a un contact avec une courbe L analytique, la courbe L est X-invariante ([7]). Plus généralement supposons que 7 ait un contact plat avec une courbe formelle L et soit T(z) = (x(z), y(z), z) le développement de Puiseux de L dans des coordonnées w = (x,y,z) centrées en p. Si |7| possède un paramétrage z 1—• j(z) = (x(z),y(z), z) on peut montrer que T(z) est un développement asymptotique de 7(2). Cette assertion est prouvée dans [6] lorsque 7 est non oscillante. Nous ne l'utiliserons que dans ce cadre. Soit S une surface analytique dans M. On dit que 7 est S-oscillante si |7| çt S et 7 coupe S selon un nombre infini de points. La courbe 7 est non oscillante si, pour toute surface analytique S dans M, 7 n'est pas 5-oscillante. En dimension deux, une courbe qui possède des tangentes itérées est toujours non oscillante. Cette dichotomie SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004 6 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ oscillant-tangentes itérées n est plus vraie en dimension trois. On a alors le théorème suivant du spiralement axial [7] : Théorème 1.1. — La courbe 7 est oscillante et possède des tangentes itérées si et seulement si 7 spirale autour d'une demie branche analytique T+. Le concept de spiralement axial est assez intuitif. Au lieu de rappeler sa définition rappelons sa propriété caractéristique : 7 spirale autour de F+ si et seulement si 7 a un contact plat avec T+ et 7 est S-oscillante pour toute surface analytique S contenant T+. On en déduit que le spiralement axial est stable par éclatement (et effondrement) ponctuel. 1.2. Courbes non oscillantes et transformations admissibles. — Nous conservons les notations M, X, 7, a;(7) = p et nous supposons que 7 est non oscillante. Dans [7] nous avons montré que si 7 est non oscillante, alors 7 possède des tangentes itérées TI(7). Nous allons déduire du théorème de spiralement axial la stabilité de la non-oscillation par éclatement ponctuel : Lemme 1.2. — Soit 7 non oscillante. Alors son relevé 71 par l'éclatement de centre a;(7) =p est une courbe non oscillante. Démonstration. — Supposons que 71 soit oscillante. C'est une courbe intégrale du champ de vecteurs X\ relevé de X par TT\ qui est oscillante et qui possède des tangentes itérées (comme 7). Ainsi 71 spirale autour d'un axe Tf. Le spiralement axial étant stable par éclatement de point, la courbe 7 est ^-oscillante pour toute surface analytique S contenant ni(Tf). • Soit Y un germe de courbe analytique lisse dans M passant par p qui ne rencontre pas |7|. Quitte à localiser en p. on définit l'éclatement TTI : M\ —> M de centre Y. Il existe une unique courbe 71, le relevé de 7 par 7Ti, telle que ni O 7X =7. Nous dirons que 7Ti est un éclatement de courbe lisse 7-admissible. Si Y n'est pas X-invariant, on ne peut pas en général « relever » X en un champ de vecteurs analytique sur M1. Cependant, il existe une fonction analytique g, strictement positive sur I7I et un champ de vecteurs X\ analytique sur M\ avec 7ru(Xi) = gX tels que |7i| soit l'image d'une courbe intégrale de X\. Nous dirons encore que cette courbe est un relevé de 7 par TTI et nous la noterons toujours 71. Cette ambiguïté est sans importance, l'objet de ce travail étant l'étude des propriétés des images I7I des courbes intégrales 7 de X. Lemme 1.3. — Si 7 est non oscillante, le relevé 71 de 7 par Véclatement ni : M\ M d'une courbe Y lisse 7-admissible est aussi une courbe non oscillante. Démonstration. — Montrons tout d'abord que 71 possède des tangentes itérées. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe une suite finie d'éclatements ponctuels (vide si #CJ(7I) > 1) 7Tfc+i : Mk+i —• Mfc, pour k = 1, 2,..., n — 1, de centres des points pk-, telle que uj(~fk) = Pk avec ^07^ = 7fc_1 pour k — 2, 3,. .., n et telle que #oj{^n) > 1. ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTEGRALES 7 On peut choisir des coordonnées en p, pn telles que le composé TT = TTU o 7rn_i o • • • o TT\ ait une écriture polynomiale. Un argument élémentaire de connexité (voir [7] page 288) permet de construire une surface analytique Sn dans Mn, d'équation polynomiale, telle que 7n soit ^-oscillante. D'après le théorème de Tarski ([34]), 7r(Sn) est contenu dans une surface algébrique S pour les coordonnées choisies et la courbe 7 est *S-oscillante. Montrons que 71 est non oscillante. Si ce n'est pas le cas, 71 spirale autour d'un axe L^. Son image 7 spirale autour de TT(T^). C'est une courbe oscillante. • Un morphisme analytique TT\ : M\ —• M est une q-ramification en p\ s'il existe des coordonnées W\ = (x\,y\,zi) centrées en p\, des coordonnées w = (x,y,z) centrées en p = 7Ti(pi) telles que ITI{XI, y\, z\) = (xi,yi,zgl) = (x,y,z). Nous dirons que TT\ est une ramification j-admissible si I7I C {z > 0}. Si c'est le cas, il existe une unique courbe 71 telle que 7Ti o 72 = 7 et |7i| C {z\ > 0}. C'est une courbe intégrale du champ de vecteurs X\ sur M\ telle que TTI^(XI) = X. Nous dirons encore que 71, X\ sont les relevés de 7, X par 7Ti. Un argument (comme dans le lemme 2) montre que 71 est non oscillante si et seulement si 7 est non oscillante. L'éclatement ponctuel de centre p, les éclatements de courbes lisses 7-admissibles, les ramifications 7-admissibles sont appelés des morphismes ^-admissibles élémentaires. Pour les définir, nous sommes amenés à localiser. Nous les écrirons, avec la notation germifiée, TT\ : (Mi,7i,pi) —> (M, 7,p) où uj(ji) = pi, ni o ^ = 7. Un morphisme 7-admissible n est un composé de morphismes 7-admissibles élémentaires. Nous l'écrirons encore TT : (A/,7,p) —• (M, 7,p), où 7r o 7 = 7 et ^(7) = p. On peut résumer les définitions et les résultats de ce paragraphe avec la proposition suivante. Proposition 1.4. — Soient 7 une courbe intégrale non-oscillante de X et TT : (Af,7,p) —» (M, 7,_p) tm morphisme ^-admissible. Alors, le relevé 7 de 7 est non oscillant et c'est une courbe intégrale d'un champ vecteurs analytique X sur M. Le corollaire suivant est une conséquence du théorème de [14] de rectilineairization des ensembles sous-analytiques, du théorème du spiralement axial et de la proposition précédente. Corollaire 1.5 (Non-oscillation sous-analytique). — Si 7 est une courbe intégrale non oscillante de X et Z un ensemble sous-analytique de M alors \j\ HZ est un ensemble fini si \j\ (£_ Z. 1.3. Enlacement asymptotique. — Ce concept repose sur la notion intuitive de courbe plane qui spirale autour d'un point que nous allons préciser. Soit v : ]0,2:0] —> M2 \ {0} une courbe analytique telle que 0 = lim^o^(^)- Dans des coordonnées u — (z, y) on écrit : v(z) = (a(z), (3{z)) = {p{z)cos0{z), p(z)sin0(z)) SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004 8 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ où p =|| v|| et 9(z) est une fonction analytique sur ]0, ZQ}. On dit que v spirale autour de 0 si lim^o \0(z)\ = oo. La fonction ft(z) étant analytique, la courbe v coupe le demi axe A = M>o x {0} selon une suite de points isolés v(zn) avec zn < zn-\. L'indice d'intersection i(n) de v et A en zn prend ses valeurs dans {1, —1,0} selon la règle : i(n) = 1 s'il existe e > 0 tel que ft(z) < 0 pour zn — s < z < zn et (3{z) > 0 pour zn < z < zn + £, z(n) = — 1 si /3(2) > 0 pour zn — e < z < zn et (3{z) < 0 pour zn < z < zn + £, z(n) = 0 dans les autres cas. On a clairement l'équivalence : v spirale autour de 0 si et seulement si linu,^^ \I(n)\ = oc où I(n) — E n k = 1 i7(n)- Avec cette caractérisation du spiralement, la démonstration de l'assertion suivante est un exercice élémentaire. Assertion. — Le concept de spiralement de v autour de 0 est indépendant des coordonnées (analytiques) choisies pour le définir. Nous reprenons les notations des paragraphes précédents : X est un champ de vecteurs sur Af, 7 une courbe intégrale de X avec a;(7) = p. Nous dirons que des coordonnées w = (x,y,z) = (u.z) centrées en p sont z-positives pour 7 si I7I C {z > 0} et si 7 coupe transversalement les plans z=constante. Si c'est le cas, on peut paramétrer 7 par z. Ce que nous écrirons 7(2) = (x(z), y(z), z) = (u(z), z) avec z > 0. Fixons des coordonnées w — (x. y, z) = (u, z) centrées en p. Définition 1.6. — Soient 7, 7' deux courbes intégrales distinctes de X avec ^(7) = CJ(7/) = p. Fixons des coordonnées w = (x,y,z) = (u,z) centrées en p. Nous dirons que 7, 7' sont w-asymptotiquement enlacées si les coordonnées w sont z-positives pour 7, 7' et si la courbe z 1—> v{z) = u(z) — u'[z), avec 7(2;) = (u(z), 2), 7''(z) = (^/(z), 2), spirale autour de 0. D'après l'assertion précédente on a : Lemme 1.7. — Soient w — (x,y,z), w' — (xf,y',z) des coordonnées centrées en p. Les courbes 7. 7' sont w-asymptotiquement enlacées si et seulement si 7, 7' sont w1-asymptotiquement enlacées. Soit 5^(7) la surface réglée, à bord I7I, image dans la carte w de l'application (s, z) 1—> (;r(z) + .s, y{z). z) avec 2: > 0, s ^ 0. Les points d'intersection de 7' avec Sw{y) correspondent au points d'intersection de la courbe z 1—>v( z) avec A = R>o x {0}. Ce sont les points y(zn) = (V(zn), 0, zn) avec x''(zn) > 0, zn < zn_i, où {zn} est la suite définie plus haut pour la courbe v. L'indice d'intersection de 7' avec Sw(y) en jf(zn) est encore i{n) et I(n) = I™ ,{n) est l'indice d'intersection de 7/|]2(),2n + 1[ avec Sw(Y). Il est clair que 7,7' sont w-asymptotiquement enlacées si et seulement si lirn,,.^^ |/™v(n)| = oc. ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES 15 la suite de n éclatements ponctuels de centres respectifs po = 0, pi, p2:... ,pn-i ou TI(7o) = {pk}- Pour k = 1, 2, ......., n soient 7/,, Xk les relevés par 71^ de 7/c-i, A^., avec X0 = X. D'après le lemme 1.16, on sait que la tangente en pk à 7^ est une direction propre de DXk(pk) de valeur propre réelle A(7&). Soit Ak = {À(7^.), A^, À^} le spectre de DXk(pk). On a A,. = {\(-yk-i),YK-1 ~ Hlk-i),Y''K-i ~ A(7fc-i)}, pour k ^ 2. On en déduit que A^ = A0 — nX(^fo) = (ao — ^A(7o)) + ifio. La partie réelle de A^ est strictement positive. La variété stable de Xn en pn est de dimension 1. Ainsi PI(7o) est constitué de 70 qui est une demie branche analytique. • 3. Pinceau intégral central de type I Soit X un champ de vecteurs analytique sur un voisinage de 0 dans R3 et soit 70 une courbe intégrale de A, possédant des tangentes itérées et telle que PI(70) est un pinceau intégral final de type I. C'est à dire que l'endomorphisme DX(0) est diagonalisable de rang 1, de spectre {0, 0, A} avec À / 0 et A(70) = 0. Soient EQ le noyau de DX{p) et E\ le sous-espace propre de DX(0) correspondant à A. D'après [12], il existe une unique courbe analytique lisse WH tangente en 0 à E\ qui est invariante par le flot de X. Dans toute la suite nous fixons des coordonnées analytiques sur R3 w = (x, ly, z) = (71, z) avec W = {u = 0}, E0 = {z = 0}. Théorème 3.1. — Les courbes de PI(7o) sont non oscillantes et (i) Si A > 0, les courbes de PI(7o) sont contenues dans une surface X-invariante de classe C1 qui est un graphe au-dessus de {z — 0}. Elles sont séparées par la projection (x,y,z) h-> (x,y). (ii) Si A < 0, toute courbe 7 de PI(7o) est contenue dans une surface L(j) de classe C1 et X — invariante (appelée lamelle) qui possède la propriété suivante. Deux courbes distinctes 7, Y de PI(7o) sont séparées par la projection (x,y,z) (x,y) si £(7) ^ L(j') et elles sont séparées par la projection linéaire de L(j) sur le plan contenant l'axe u = 0 et la tangente en 0 à 70 si £(7) = L(y). Désignons par Ac (comme attracteur central) l'ensemble des courbes intégrales 7 de A dont 0 est l'ensemble (j-limite et telles que |7| (jt {u = 0}. D'après [29], une courbe 7 G Ac possède des tangentes itérées si elle possède une tangente en 0. Ainsi nous pouvons remplacer l'hypothèse « 70 possède des tangentes itérées » par « 70 possède une tangente en 0 ». De plus, on peut montrer, en précisant des arguments et des résultats de [10, 29], que toutes les courbes de Ac possèdent une tangente en 0 dès que cette propriété est vraie pour l'une d'entre elles. Dans ce cas, Ac est une union disjointe de pinceaux intégraux. Ceci sort du cadre de notre étude et sera l'objet d'une publication ultérieure. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004 16 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ Dans le paragraphe 1, nous démontrons que les courbes de PI(7o) sont non oscillantes et le point (i) du théorème 3.1. La démonstration du point (ii) est essentiellement une conséquence d'un « théorème de la variété centrale » relativement bien connu des spécialistes [15, 8, 26]. Nous renonçons dans le deuxième paragraphe sous la forme que nous a enseignée F. Takens. Nous en déduisons le concept de lamelle et prouvons (ii). 3.1. Variété centrale. — Nous reprenons les hypothèses et notations de l'introduction pour X, w = (.x, y. z). Un calcul classique montre qu'il existe une unique série formelle ip de IR[[x, y)}, telle que 4i0) = 0, Zty(0) = 0. LX {z - 0(.r. y)) e(z- $(x, y))R[[x, y]]. La surface formelle Wc — {z — r(.r. //) = 0} est X-in variante et nous l'appelerons variété centrale formelle de X. En général, elle n'est pas convergente. Cependant, pour tout k ^ 1, elle peut s'incarner dans « une » surface de classe Ck, Wj:, invariante par le flot de X, tangente en 0 au plan z = 0. C'est une variété centrale de X en 0. Plus précisément, k ^ 1 étant fixé, il existe une fonction V;A; de classe Ck sur un voisinage 14 de 0 G M2 telle que 'ipk et 0 ont les mêmes jets d'ordre k en 0 et la surface z — 0A;(«^', y) = 0 est X—invariante. En général, il n'y a pas unicité des variétés centrales pour un k fixé ni de variété centrale de classe (7°° [32]. Montrons que les courbes de PI(7o) sont non oscillantes. Cette assertion étant déjà prouvée dans [29], nous allons en donner l'esquisse d'une démonstration qui s'appuie sur d'autres argument s. Supposons qu'une courbe 7 de PI(7o) soit oscillante. D'après le théorème 1.1, la courbe 7 spirale autour d'une demie branche analytique T+ en 0 qui est X-invariante. Distinguons deux cas. Si F+ n'est pas contenue dans le lieu singulier de X, d'après [7], c'est l'axe d'un tourbillon de X et toutes les courbes de PI(7o)\F+ sont oscillantes. Quitte à effectuer un nombre fini d'éclatements ponctuels, on peut supposer ([7]) que DX(Q) est de rang 2. Ce qui contredit l'hypothèse initiale. Supposons que T+ soit contenue dans le lieu singulier de X. Quitte à changer X en —X, on peut supposer que la valeur propre A = Aq de DX(0) est strictement négative. En tout point p de T+ voisin de 0, le spectre de DX(p) est du type {0,Xf p,Yp} avec Xp ^ 0 et \X'p\ petit par rapport à |AP|. D'après une version à paramètre du théorème d'Hadamard [12] (voir par exemple [24]), en tout p G F+ assez voisin de 0, il existe une courbe lisse, analytique, invariante par X et passant par p tangente à la direction propre correspondante à Xp. L'union S de ces courbes est une surface analytique qui contient T+. Elle est invariante par le flot de X par construction. D'après la propriété caractéristique du spiralement axial décrite dans 1.1, 7 coupe S une infinité de fois et n'est pas contenue dans S, ce qui est incompatible avec « S est X-invariante ». Prouvons maintenant la partie (i) du théorème 3.1. Soit W{ une variété centrale de classe C1 de X au point 0. Quitte à restreindre l'ouvert U de définition de X, on peut supposer que W[ est le graphe d'une fonction de classe C1, V;i : u ^ V;i(^) ou ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTEGRALES 17 u appartient à un voisinage V de 0 dans M2. Dans la carte (de classe C1) w' = (u, z') avec z' — z — c\ (.r. y) le champ X s'écrit X = a(wr) 0 dx + b{w') d dy + Àz/(l + c(i//)) d dz où a(0) = 6(0) = c(0) = 0. Quitte à restreindre U, on peut supposer que \c(w')\ < 1. Soit 7 : t i—> (a(t), £r(£)) une courbe intégrale quelconque de X telle que z'(Q) ^ 0. La fonction t \-^> \z'(t)\ est strictement croissante et ainsi w (y) =^ 0. Les courbes de PI(70) sont contenues dans Wc{. La restriction à Wf de la projection (x, y, z) 1—• (,x\ y) est injective. Elle sépare les courbes de PI(7o). 3.2. Partition en lamelles. — Dans ce paragraphe nous prouvons la partie (ii) du théorème 3.1. Nous reprenons les hypothèses et notations précédentes : X est un champ de vecteurs analytique sur un voisinage U de 0 et rendomorphisme DX(0) est diagonalisable de spectre {0.0, À}, avec À < 0. Quitte à effectuer un changement de temps, on peut supposer À = — 1. Les coordonnées w = (x, y, z) = (u, z) sont fixées telles que Ker DX(0) = {z = 0} et {u = 0} est la variété stable Ws de X en 0. Quitte à restreindre U et à changer z en fiz avec // > 0, on a : Théorème 3.2 ([8, 15,26]). // existe un voisinage V de 0 dans M2 et un C2 - difféomorphisrne H : U —> V x } — 1A{, H : w = (u. z) ^ W = H(w) = (ïZ,z) = (x, y, z), tangent à l'identité en 0, qui applique l'axe u = 0 sur v, = 0 tel que X = H*{X) = Xo(û) - z(l + d(w)) d dz où XQ est un champ de vecteurs de classe C1 sur V vérifiant XQ(Q) = 0, DXQ(0) — 0 et d est une fonction continue sur U nulle en 0. L'espace M3 est muni des deux normes euclidiennes canoniques associées aux coordonnées w = (x, y, z), w = (x, y, z) \\w\\2 = x2 + y2 + z2, \\w\\2 = x2 + y2 + z2. Le fait le les noter de la môme façon simplifie récriture et n'apporte pas d'ambiguïté. Quitte k restreindre U, on peut supposer en outre que \\DH{w)\\ < 3/2 si w G U. \\DH"l(W)\\ < 3/2, \d(w)\ < 1/2 si w G H(U). Dans la suite 7 : /; ^ (u(t), z(t)), t ^ 0, //(/) 7^ 0 est une courbe intégrale de X contenue dans PI(7o). Son image 7 = ^07: f (û(t).z(t)) est une courbe intégrale maximale de X telle que ^(7) = 0. La composante horizontale XQ(U) de X(Ti,z) étant indépendante de z, la courbe /; 1—> Ti{t) est une courbe intégrale du champ de vecteurs XQ. On désigne par 7e (c comme central) la courbe intégrale de X définie par y c : t y c (t) = (u(t), 0 ), d dt (ñ(t))=X0(ñ(t))=0L'image inverse £(7) de 1,(7) = |7C| x ] — 1,1[ par H est appelée lamelle de 7. L'image réciproque par H de U x {0} est une variété centrale W{ et 7e = H~l o 7e est une courbe « accompagnatrice » de 7 au sens de [29]. A priori, £(7) dépend de H SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004 18 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ Mais, nous montrerons à la fin de ce chapitre que le germe de L(7) en 0 a un sens intrinsèque. Il est indépendant de H et des coordonnées choisies pour définir £/(7). La lamelle £(7) hérite, via i/-1, des propriétés différentiables des £(7). Plus précisément, on a l'énoncé suivant : Proposition 3.3 (Structure des lamelles). — La lamelle £(7) est une surface de classe C1 invariante par le flot de X. Plus précisément £(7) est un ouvert d'une surface S7 de classe C1 qui contient U D {u = 0}, tangente en 0 au plan contenant l'axe u = 0 et la tangente en 0 à 7. Le bord de £(7) dans S1 est l'intervalle U H {u = 0}. Démonstration. La courbe 7 étant non oscillante, on vérifie que le germe de I7I en 0 est un graphe de classe C1 sur sa tangente. Quitte à effectuer une rotation dans le plan z = 0, on peut supposer que la tangente orientée de 7 est le demi axe {y = z = 0, x > 0}. Nous notons encore x 1—> j(x) = (x, ?/(x), Z(X)), X > 0 la paramétrisation de I7I par x. Il existe une immersion G de classe C1 de ] — a, a[ dans {7/ = z = 0, x ^ 0} U I7I qui prolonge 7. Son image H o a : x (âc(x), z(x)) est une courbe de classe C1. L'ensemble |<rc|x ] — 1,1[ est une surface de classe C1 dès que a est assez petit. Son image inverse par H est une surface 57 de classe C1 qui possède les propriétés requises. • Corollaire 3.4 (Séparation de 7, 7' si L(7) = L(7')). — Soit y une courbe de PI(7o) contenue dans -£(7) distincte de 7. La projection (x.y.z) >—> (x, z) sépare 7,7;. Démonstration. — D'après la proposition précédente, il existe un voisinage U1 de 0 tel que S1 D C/7 soit un graphe de classe C1 sur son plan tangent en 0, le plan y — 0. En particulier £(7) H £/7 est un graphe sur un ouvert du demi plan {y = 0, x > 0}. La restriction à £(7) Pi L^7 de (x,y,z) ^ (x,z) est injective. Elle sépare les courbes |7|NC/7, |7'|N/77. • Le lemme suivant est un des arguments de la caractérisation intrinsèque des lamelles. Il nous permettra aussi de minorer la distance entre deux courbes de PI(7o) qui n'appartiennent pas à la même lamelle. Lemme 3.5. — Soit 7' une courbe intégrale de X contenue dans la lamelle £(7). Il existe to tel que pour t assez grand 7''(t + t-o) = j(t) + exp (—t/2) (p(t) où \\(f\\ est une fonction bornée. Démonstration. Par définition de £(7), les images |7|, |77| de 7 = Ho^, 7' = H07' correspondent à la même orbite de XQ. Il existe to tel que pour t ^> to, 7(0 = (û(t),z(t)), 7'(t) = (û(t-t0).,z'(t)) avec du ai (t) = Xo(u(t)). Les fonctions z(t), zf(t) sont des solutions de dz dt = -z(l + d(w)) < -z/2 avec z > 0. ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES 19 On en déduit que z{t) = exp ( -t/2)ç(t). z'(t) = exp (-t/2)Tp'{t) où ||^||, ||^'|| sont des fonctions bornées. Puisque \\DH~1 (w)\\ < 3/2, on a la majoration b'(i +10) - i(t)\\ = WH-1( u(t),z '(t +t0)) - и-'шлш < 3 2 \-J{t + to)--z(t)Y ceci démontre le lemme compte tenu de récriture de z(t). z1 (t). • Proposition 3.6. Deux courbes intégrales 7, 7' distinctes qui n appartiennent pas à la même lamelle sont séparées par la projection (x,y,z) h->(x y). Plus précisément, si 7(£) = (u(t).z(t)), 7y(t) = (u'{t),z'(t)), alors quel que soit £ > 0, il existe F et К > 0 tels que \\u'(ti) - u(t)\\ > К exp (-ei), si ti^t>T. La démonstration de cette proposition repose sur le lemme suivant (certainement classique) qui minore la vitesse à laquelle se rapprochent deux courbes intégrales qui tendent vers le même point singulier dégénéré d'un champ de vecteurs. Lemme 3.7. - Soit F une application de classe C1 d'un voisinage V de 0 G Rn dans R" telle que F(0) = 0, DF(0) = 0 et soient t h-> v(t), t i-> v'(t) deux courbes intégrales de dv/dt = F(v) dont 0 est l'ensemble LU-limite. Pour tout £ > 0, il existe T tel que \\v'(h) - v(t)\\ > exp(-et) \\v'(T + U - t) - v(T)\\ si tx > t > T. Démonstration. Puisque F est C1 et F(0) = 0 on a F(v') - F(r) = DF(v)(v' - v) + \\v' - v\\ip(v'. v) où DF. ^ sont continues et DF(0) = 0, ^(0, 0) = 0. Soit ij > 0 tel que \\DF(v)\\ < e/2 et ||^(r. r')|| < c/2 si ||v ||.||r'|| < 7/. Il existe T > 0 tel que si t > T alors ||c(0ll- |K''(f)ll < //. Fixons /0 > 0. La fonction p(t) = \\vf(t + t0) - 'KO II satisfait l'équation 3 2 d dt (MO ) = (v'(t + fo) - KO, *V(* + *o)) - F(v(t))). Pour f > F on a dp{t)2/dt > -2ep(t)2. Ainsi ^(0 > exp (-et) p{F) si f > F. indépendemment de t0 L'inégalité requise s'en déduit en prenant t{) = t[ — t. • Démonstration de la proposition 8.6. En reprenant les notations précédentes on pose 7(0 = Я о 7(0 = (77(0. 2(0). Г(0 = И0Л)).7Г(0 = H 1 oY(t) = (uc\t).z(\t)). On définit de la même1 façon 7;(07/r(0* 7"'(0 e^ 011 с"сг^ l<4irs composantes dans les coordonnées *r. TT7. Les courbes 7e, 7"' appartiennent à la variété centrale TT f qui est tangente en 0 au plan z = 0. Puisque cu(Y) = u(l'c) = 0, il existe F > 0 tel que 1 2 lb""('0-V(0ll < ||< || u ic (T1)- uc"40)|| si /,^/t >-/•. SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004 20 F. ('ANO. R. MOUSSU k: F. SANZ Puisque y appartient à la lamelle £(7). d'après le lemme 3.5. on peut choisir T tel que Ilu'--(t) -u(t)\\ < |h(/.) -Y(t)\\ < l/2A'l(>xp(-V2) si f > T. où /vx est une constante positive. On a évidemment la même majoration (avec les mêmes T. K\) pour le couple •//"'. u!. On en déduit, par l'inégalité triangulaire entre //. ur. etc. que l/2||7,c(^i)-7rWII <|| u' (t1)- u'/(t0)11 +A'iexp(-f/2) si t, > t > P. Puisque \\DH(w)\\ < 3/2. on a ||ïï' - 77|| ^ ||7r - u' ||< ^ 3/2 \\w - ir'\\. En appliquant cette majoration à w — 7r(0w' — 7'/r(^i)? on obtient pour T assez grand : (*) \\u(ti) -77(0|| ^ 3||i/(/,) - //(011 +3A1exp(-f/2) si tx>t> P. Fixons c < 1/2 et appliquons le lemme 3.7 précédent aux solutions 77(f). v!{t) de dli/(H ~ X()(û). Puisque 7. 7' n'appartiennent pas à la même lamelle. 77(0 7^ 77/(fi ) pour t.ti > 0 et. en choisissant T assez grand, il existe Ko > 0 tel que №1) -7/(011 > A2exp(-cf) si f 1 >t >T. Cette inégalité avec (*) prouve la minoration annoncée. • Corollaire 3.8. La lamelle L(~) à un sens intrinsèque. Plus précisément £(7) est la réunion des courbes accompafjnatrtces 7' de 7 au sens de [29] : // existe P. K > 0 et t{) > 0 te/.s que \\y(t + fn) - - (Oil ^ Acxp(-f/2) si t > P. Démonstration. D'après le lemme 3.5. si 7' est contenue dans £(7) cette majoration est vérifiée. D'après la proposition 3.6. elle ne peut pas l'être si 7/ n'est pas contenue dans L(7) puisque l'on aurait, pour e — \/2. la minoration exp (~//2) <C \\u'(t + t(]) - u(i)\\< ^||y'( t+ t0) + t{)) - 7(0|| dès que / serait assez grand pour tout /() ^ 0. • 4. Pinceau intégral final de type II L'objet de cette section est l'étude d'un pinceau intégral PI(7o) non hyperbolique de X lorsque DX(p) est de rang 2 et le germe de X en /; vérifie1 des conditions algébriques « génériques ». Un tel pinceau sera appelé un pinceau final de type II. Le premier paragraphe est consacré à leur définition et à l'énoncé des résultats, les suivants à la démonstration de ces résultats. C'est le cas le plus riche, le pinceau PI(7o) peut alors être séparé ou enlacé. Les courbes qui le constituent peuvent être oscillantes ou non oscillantes. ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES 21 4.1. Définition d'un pinceau final de type II. — Dans toute cette partie X désigne un champ de vecteurs analytique sur R3 qui s'écrit dans des coordonnées w = (x, y, z) = (u, z) (*) X = L(u,z)-zg+1 ( c dz = ')• L(u,z) = 5 E i = 0 z'L,(u) où q ^ 1, les Li(u) sont des champs de vecteurs linéaires sur R2 = R2 x {0} avec rang DLo(0) = 2 et Y est un champ de vecteurs sur R3 tel que Y(0) = 0, dz(Y) = 0. Nous dirons que 0 est une singularité pré finale ( de type II) pour X et que les coordonnées w = (u. z) sont de bonnes coordonnées pour X. Ces singularités ont été étudiées par P. Bonckaert, F. Dumortier dans le cadre (7°° ([3]). Le plan z = 0 est l'unique plan invariant par X tangent à z = 0. Soit 7 : t y-* ^(t), t ^ 0 une courbe intégrale de X telle que z(0) 7^ 0. Quitte à changer z en —z, on peut supposer z(0) > 0. Pour t ^ 0, on a z(t) > 0 et z(t) est strictement décroissante. La courbe 7 est transverse aux plans z = constante. Elle peut être reparamétrée par z, ce que nous écrirons ^y(z) = (x(z), y(z). z) — (u(z).z), z > 0. L'application u(z) est solution de l'équation différentielle (*)K) zqJrl du dz = - 6 E T=Q zlL,(u) + zq+1Y(u,z). Nous avons identifié les champs de vecteurs Lt(u), Y(u, z) et leur écriture dans la base d/dx, D/dy. La première partie du résultat suivant est classique ([9]) et sa démonstration est élémentaire. La deuxième partie est démontrée dans [3]. Proposition 4.1. Supposons que 0 soit une singularité pré finale de X et que w = (./-. //.) = ( //..; ) soient de bonnes coordonnées pour X. Il existe une unique courbe formelle lisse T invariante par X et tangente à l'axe u — 0. De plus, il existe une courbe intégrale 70 de X avec ^(70) = 0 qui a un contact plat avec T. L'entier q + 1 qui apparaît dans (*) est la multiplicité de la restriction de X à r. C'est un invariant du germe de X en 0. Un entier r ^ ¿7+1, étant fixé, on peut toujours choisir de bonnes coordonnées en 0 telles que T soit tangente à l'ordre r à u = 0. Ordre £(X) de la Trace de X. Soient w = ( //. ). w' = (u',zf) de bonnes coordonnées pour X. Les plans z = 0, z' = 0 sont les mêmes. Un calcul élémentaire montre que z = z' et que u' = Az{u) + zq+l <p{u,z) avec A^(0,0) = 0, Az G GL{2X{z}). Comparons les écritures de l'équation (*u) dans les coordonnées w, w' : zqJri du dz = -Lz(u) + z^L Y {u, z), zq +1 du' dz' = -L'z(u') + zq+lY'(u\z). En considérant L(u, z) — Lz(u), L'(u', z) = L'z(u') comme des endomorphismes de R2 à paramètre on montre que L'z — AzoLzoA~1(mod\ùo zq^x ). La trace Tx (z) = T(z) de l'endomorphisme Lz(u) est un polynôme en z de degré ^ q qui est indépendant SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 200 1 22 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ des bonnes coordonnées choisies. Si T(z) ^ 0, nous l'écrivons T(z) = z1 Trace Le + • • • avec Trace Le ^ 0. Par définition, Vordre de la trace Tx(z) de X est l'entier £(X) défini par £{X) = £ si T(z) =É 0, £(X) = q si T(z) = 0. Indice de radialité k(X) de X. Notons A le produit extérieur de deux vecteurs de R2 et R{u) = xd/dx + yd/dy le champ radial de M2. Si R(u) A Lz(u) ^ 0 on a R{u) A Lz(u) = zk(Qk(u) H ), avec k ^ q, où Qk(u) est une forme quadratique non nulle. Par définition l'indice de radialité de X est l'entier k(X) défini par k(X) = k si R (u) A Lz(u) ^ 0 et /c(X) = q + 1 si R(u) A Lz(u) =0. C'est un invariant analytique de X. En effet, on a k(X) = k (avec éventuellement k = g+1) si et seulement si R(u) ALl{u) = 0 pour i = 0,1,. . ., k — 1 et i?(w) A Lk(u) 7^ 0. Si i// = {u', z) sont aussi de bonnes coordonnées, en reprenant les notations et la formule L'z — Az o Lz o A~l (modulo zq+l) du paragraphe précédent, on vérifie que si R(u') A L'z(v!) = zk''(Q'k,{u') + • • • ) on a k = k' et Q'k = Qk o A0. Si fc ^ q le discriminant de la forme quadratique Qk est un invariant de X, on le note Afc(X) = Afc. Définition 4.2. — Supposons que 0 soit une singularité préfinale de X. Nous dirons que 0 est une singularité finale de type II si k(X) = q + 1 ou si A?(X) ^ ç et A/e(X) 7^ 0. De plus, si 70 est une courbe intégrale de X comme dans la proposition 4.1, nous dirons que PI(7o) est un pinceau final de type IL Dans le chapitre 5, nous démontrerons que, modulo un morphisme admissible, l'étude des singularités préfinalcs se ramène à l'étude des singularités finales. 4.2. Propriétés des pinceaux finaux de type II. — Soit PI(7o) un pinceau intégral final de type II de X et soient w = (.x, y. z) des bonnes coordonnées pour X. Nous dirons que PI(7o) est w-enlacé si deux courbes distinctes quelconques de PI(7o) sont u'-asymptotiquement enlacées. Théorème 4.3. Soit PI(70) un pinceau final de type IL (1) PI(70) est un pinceau w-enlacé si les conditions suivantes sont satisfaites : (e=) £ = £(X)<q, Traced < 0. k = k(X) ^ q, Ak(X)<0. (2) PI(7o) est un pinceau séparé de courbes non oscillantes si une des quatre conditions de (e) n'est pas satisfaite. D'après le paragraphe précédent, les conditions (e) sont complètement déterminées par L(u, z), la partie linéaire de X en u. Ainsi, le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème. Corollaire 4.4. La nature (séparé-enlacé) d'un pinceau intégral final PI(7o) est déterminée par le jet d'ordre q + 1 du champ de vecteurs X. ASTÉRISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES 23 Il est possible, dans le cas (ii). de décrire plus précisément la « taille » et la « forme » de PI(7o). Mais ceci sort un peu des objectifs de ce travail. D'autre part, certains travaux de J. Ecalle ([11]. v. II) laissent à penser que les courbes intégrales d'un pinceau final possèdent des développements transasymptotiques et que ces développements les caractérisent. On peut alors se poser les questions : Ces développements sont-ils resommables-réels?. Si oui. comment se traduit sur les développements transasymptotiques l'alternative pinceau enlacé - pinceau séparé?. Théorème 4.5. Supposons que 0 soit une singularité finale de type II de X dans des coordonnées w — (u. z) et que PI(70) soit w-enlacé d'axe formel Г. Il existe un cylindre U — {(u, z)/\u\ < rj. 0 < z < s} positivement invariant par le flot de X tel que 7 appartient à РЦ70) si et seulement si \ j\ П U 7^ 0. De plus on a l'alternative suivante : (1) Si PI(70) contient une courbe oscillante, alors son axe Г = Г est convergent et les courbes intégrales de PI(7o) distinctes de Г sont oscillantes. (2) Les courbes de PI(70) sont non oscillantes et alors son axe Г est divergent. Les démonstrations du théorème 4.3 et de la premier partie du théorème 4.5 sont l'objet des paragraphes 4.4 et 4.5. Quant à la démonstration de l'alternative du théorème 4.5. c'est une conséquence immédiate du théorème du spiralement axial. Proposition 4.6. L'axe Г d'un pinceau intégral final enlacé de courbes non oscillantes n'est pas contenu dams une surface analytique. Démonstration. — Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe un élément irréductible h de ~R{x. //. z} qui appartient à l'idéal de définition de Г, I(f) = {h e Щ[.с, y. z}} I h о Г (г) = h(x(z),y(z). z) = 0}. tel que H = {h = 0} soit une surface analytique. La courbe1 T étant (formellement) X-invariante, la dérivée de Lie g = L\h = dh(X) est aussi un élément de I(T) D E{.r. y. z}. Il est divisible par h dans R{.r. y. z}. En effet, si ce n'était pas le cas. {//, = g = 0} serait un ensemble analytique de dimension un avec //, g G I(T) et T serait une courbe convergente. Ainsi, la restriction de g h H = {h = {)} est identiquement nulle et H est une surface X-invariante. Soit U l'ouvert X-invariant du théorème 4.5. Quitte à le restreindre, on peut supposer que h est analytique sur U. Montrons que H H U n'est pas vide. Supposons le contraire. On a par example h(w) > 0 pour w = (x, y, z) G U. D'après l'inégalité de Lojasiewicz [22], il existe C.a > 0 tels que h(w) > Cdist(u\#)° > Cz(\ si w G U. D'autre part, si 7 : z ^ (x(z).y(z). z). z > 0, est une courbe de PI(7o), son développement asymptotique en 0 est L(^). Toutes les dérivées de h o 7^) en 0 sont nulles, ce qui est incompatible avec L inégalité ci-dessus. L'ensemble semi-analytique H HU est de dimension 2. En effet, si ce n'est pas le cas. c'est une union finie de courbes SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE ПК FRANCK 200 1 24 F. CANO, R. MOUSSU & F. SANZ analytiques lisses |7| avec 7 G PI(70) et ces courbes ne sont pas enlacées. D'après le théorème de réduction de singularités (voir par example [13]), il existe un morphisme 7r : Mi —> M composé d'éclatements de points et de courbes tel que le transformé strict Hi de H soit à croisements normaux. Il existe une composante lisse H[ de H{ telle que TT(H[) D U soit une surface invariante par X. Soient 71.77 les relevés par 7r de deux courbes 7,7' G PI(7o) qui vérifient \~f\. \y\ C TT(H[) D £/. D'après la proposition 1.13, 71,7J sont (comme 7,7') asymptotiquement enlacées. Mais ceci est impossible puisque 71. 7J sont contenues dans la surface lisse H[. • 4.3. Equations de la dynamique « relative ». — Dans toute la suite 0 est une singularité finale de type II d'un champ vecteurs X. Il s'écrit dans de bonnes coordonnées w = (a. z) = (.r. y. z) (*) X = 4 y = 0 zLLI(u)-z«q+l ( 0 dz + Y(U.z) )) ) = Y(0) = 0. dz(Y) = 0. On fixe une courbe intégrale 70 de X, |70| C {z > 0} qui a un contact plat avec la courbe formelle F donnée par la proposition 4.1. On désigne par 7. 7' deux courbes intégrales de X contenues dans {z > 0} avec a;(7) = a;(7') = 0. On les reparamétrise par o :z ~ (u(z).z). i : z ~ (U'(z).z). où //(;) = (.R(z). //(.:)). U'(z) = (r'(z:)..,/(-)) sont des solutions de F équation différentielle (*,) z +1 du dz = - 4 E /=0 z'LK(U) + z"+l Y(u,z). Le plan M2 est muni de sa structure euclidienne canonique (. ) et du « produit vectoriel » A. Pour décrire le comportement analytique relatif de 7, z' au voisinage de 0 nous étudierons les fonctions v : z V(z)=U(z)-U'(z).p,:z 1 1 lAz) = \\v(z)\\. < : z v(z) p (z) 0 : z 0(z) avec exp2nr0(z) = c{z). biles sont reliées par les relations dînèrentîelles suivantes : (v) z'l+ d dz Hz) = - <1 Y /-0 z1!,(,•(;))+z"+i(Y(u(z),z)-Y{u'(z),z)) {*,>) z +1 1 q (z) d dz 0(z) = - 5 y. s Z\LMZ)Y E{Z)) + ZQ<*0{Z). (*) zq+l d dz mz) = - 6 y /=0 z'(L,Uiz))Ae(z)) + zq"()(z). ASTÉRISQUE 2<)7 PINCEAUX DE COURBES INTÉGRALES 31 Soit TT : (AI' .p') —> (ALp) le morphisme composé des éclatements des q + 1 premiers points infiniment proches de F et soient (V, z) des coordonnées en p' telles que TT(U/. z) — (zq+1u'.z). On vérifie aisément que le transformé X' = ^*(X) s'écrit sous la forme (*) A" = L.(h') - z q+1 ( s dz + Y ) = Lz(u') = (1 E ¿=0 z' L,(u') avec DLo(0) de rang 2. <7z(Y) = 0. r (0) = 0. Ceci montre que p est une singularité préfinale de type II. • Le lemme suivant achève la démonstration de la proposition 5.1 (voir aussi [30]) : Lemme 5.5. — Supposons que p est une singularité préfinale du champ de vecteurs X avec À(70) = 0. Il existe un morphisme admissible TT : (AI', 7/3.p') —> (AL 70. p) tel que PI(7o) soit un pinceau final de type IL Démonstration. — D'après le lemme précédent, 70 a un contact plat avec une courbe X-invariante F qui n'est pas contenue dans le lieu singulier de X. Soient w = (x.y.z) = (u,z) de bonnes coordonnées pour X telles que |70| C {z > ()}. Écrivons X sous la forme (*) dans ces coordonnées. Notons q+l la multiplicité de la restriction de X à T et k = k(X) l'indice de radialité de X. Par définition, k ^ q + 1. Si k = q + 1, PI(7o) est un pinceau final de type IL Supposons que k ^ q. Si B(u) est le champ radial de M2, l'entier k est défini par R(u) A Lz(u) = zk(Qk(u) + 0{z)Y k < q. où Qk(u) est une forme quadratique non nulle. Notons Ak le discriminant de QkNous allons montrer qu'il existe un morphisme 70-admissible TT : (Af.pr) —> (ALp) tel que ;/ soit une singularité préfinale du relevé X' de X et tel que le discriminant A[, correspondant à X' soit non nul. Supposons que A a- = 0. Posons L7(x,y) = (a,x + h, y) d dx = (C7X I (1,11) s dy i = 0,1,2,...,^. Les conditions précédentes sur L0. L\. . . . . Lk~i se traduisent par les égalités az = dt. bi — Ci — 0 pour i - 0.1,2. ...A: — 1 avec -ao =/=- 0. De plus, la condition A^ = 0 signifie que DLk({)) a une valeur propre double et n'est pas diagonalisable. On peut choisir u = (x, y) tel que ak — dkl bk — 1, ck — 0. La droite {y = z = 0} est invariante par X et Lk(u). L'éclatement de cette droite est un morphisme admissible a : (AL 7i-p) —> (AI, 7i-p)- Soit X le relevé de X par TT et soient w — (x, y, z) = (u, z) des coordonnées centrées en p telles que o~(x.y,z) = (x.xy.z). Le champ X s'écrit sous la forme X = 2 E z z'L,(u) - P+1 ( 0 dz f Y(TL. z) ) ) SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCK 2004 32 F. CANO. R. MOUSSU & F. SANZ où at = d-, = an bi = bi-i. 7'i = ci+x. i = 0.1 q - 1, a(/ = aq. dq = dq + 1, cq = cf/_i. Si ry - k = 0, /?(/!) A Lz(z) = zqQq(u). Le discriminant A(/ de Qq(u) est égal à 1. Si q — k > 0 et c/,-+i = 0 on a L,(u) = L,(w) pour 7 < k — 1 et Lk{u') = (ikR(u'). Dans cette situation, l'indice de radialité A; de X satisfait A:>À; et on se ramène au cas précédent par une induction élémentaire sur q — k. Si q — k > 0 et CK+I 7^ 0, effectuons tout d'abord une 2-ramificat.ion T au-dessus du plan z = 0. C'est une transformation admissible T : (A/, p) i—> (ALp). La droite {y = z = 0} est invariante par X. Soit a l'éclatement de centre cette droite. La composition TT = CJOT : (AI' ^'{),p') —» (71/, 7o,/;) est un morphisme admissible. Soient w"' = (u',zf) = (;r/, ;*/, z7) des coordonnées centrées en // = ^(Oo) telles que ^(x7. ?/, z7) = (;/:'. /yV. 272). Dans ces coordonnées k1 relevé X' de X s'écrit X' = q E i=0 q i L'i (u) - z' q + 1 ( 1/2 0 dz + Y'(u'.z') ) avec q' = 2r/ — 1. F' possédant les propriétés habituelles. Un petit calcul montre que. pour i < 2k — 1, L\ = 0 si / est impair (4 L- = L} si 7 = 2j, que Lf,A. = 0^/2 et L'2k+l = yO/Ox 4- ('k+\x d/dy. L'indice de radialité de X' est égal à Ày = 2k + 1. Le discriminant A'k. correspondant est 4rA.+i / 0. • 5.3. Démonstration de la proposition 5.2. — Soient 70. 77 et / = (,/1. /2) —>• R2 comme dans l'énoncé de la proposition 5.2. Les courbes 70.71 étant non oscillantes et enlacées, on peut supposer que /1, /2 sont analytiques sur un voisinage U de p. Cette affirmation est une conséquence d'un résultat de [27]. Elle peut être aussi montrée en utilisant le théorème de préparation de [20]. D'après le théorème IL les courbes 70. "1 ont un contact plat avec une courbe formelle F transcendante. Quitte à effectuer une suite (Léclatements de points ou de courbes lisses on peut choisir des coordonnées w = (x. /y, z) centrées en p telles que (voir [2, 13]) : (1) Les courbes 70.71 sont c-positives. (2) La courbe T est lisse transverse k {z = 0}. (3) Pour i = 1,2. la fonction f) s'écrit dans w sous la forme /,(;r. u. z) = .,•»• !/i-zriU,(-r. y. z). avec [/,(()) / 0. Puisque les séries formelles f,oT ne sont pas nulles, on peut supposer que pt = q; — 0 pour i = 1,2. En remplaçant la coordonnée z par z(U\)l^r/r,. on peut supposer que f\(x.y.z) = z1'1. Les applications / et (x.y.z) (z. /2O''. •//. z)) ayant les mêmes fibres dans {z > 0}. on peut supposer que J\(.r. y. z) = z et ,/2(.r. //. z) = zr*U.2(x. y, z). Si le rang générique1 de / est égal à 1. les images de |7o|. |7i| sont confondues. La proposition est alors vraie. Supposons que / est de rang générique 2. La courbe V n'est pas contenue dans l'ensemble analytique {OJ'2/dx = dj'2/Oy = ()}. Quitte à ASTERISQUE 297 PINCEAUX DE COURBES INTEGRALES 33 effectuer des éclatements de points on peut supposer que 2 dy ^ 0 sur {z > 0}. Soient 7^) = (xj(x),yj(z),z), j = 0. 1 les paramétrisations de |7o|, |7i| par z > 0. Pour chaque ZQ > 0, la courbe CZI< = {(x,y,zo) I f2(*,V,z) = /2(70(20))} partage le plan {z = ZQ) en deux composantes connexes u+, utelles que {(x,y,z0) I x = x0(z0),y > 2/0(20)} C u 3 Z() ' {(•>'• ;{/, ^o) I x = x0(¿o), 2/ < 2/0(^o)} C L7 32 20 Puisque 70,71 sont enlacées, il existe deux suites (z+n ),(zn ) qui tendent vers 0 telles que y0(z+) > 2/1(2+) et x{){z + ) = £1(2+), 2/0 (2" ) < 2/i(^7) et 'Mzn) = xi(zn)- Par continuité, il existe une suite (zn) qui tend vers 0 telle que 71 (zn) appartient à Cz.n. Ainsi, les points 70(2.,,) et ~ 1 (;„ ) sont dans une même fibre de /. • Références [1] V.I. ARNOLD Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Éditions Mir, Paris, 1980. [2] J.M. AROCA. H. HIRONAKA & J.L. VICENTE DesingularizaMon Theorems, Mem. Mat. Inst, Jorge Juan. C.S.I.C., Madrid. 1977. [3] P. BONCKAERT & F. Du MORTIER — « Smooth invariant curves for germs of vector fields in R3 whose linear part generates rotations », J. 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