Vibrações não-lineares em fundações aporticadas de máquinas

RevistaInternacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6, 1, 147-158( 1990) REYOLANDO M.L.R.F. BRASIL Y CARLOS E.N. MAZZILLI Departamento de Bngenharia de Estruturas e Fundacóes, Escola Politécnica da Universidade de Sáo Paulo, Sáo Paulo, Brasil RESUMEN Estudam-se as vibracóes náo-lineares de uma fundacáo aporticada de máquina naobalanceada, em condicóes de ressonancia externa e interna. Adota-se a formulacáo lagrangiana para gerar equacoes de movimento contendo termos nao-lineares até ordem cúbica. O sistema estrutural considerado é constituído por elementos de massa, amortecimento e rigidez concentrados. Desenvolvem-se solucoes analíticas aproximadas pelo método das múltiplas escalas, bem como solucóes numéricas pelos métodos de Runge-Kutta de 4a ordem, Newmark e Wilson. SUMMARY Non-linear vibrations of an unbalanced machine framed foundation are studied for conditions of both external and internal resonance. The Lagrangian approach for deducing the equations of motion, up to cubic non-linearities is foliowed. The structural model is assumed a lumped-parameter system. Approximate analytical solutions are obtained through the Multiple Scales Method and numerical solutions are sought through the 4th order Runge-Kutta, Newmark and Wilson methods. Neste trabalho apresenta-se uma formulasáo nao-linear para a dinamica de urna fundacáo aporticada de máquina nao-balanceada. Para enfatizar os aspectos fenomenológicos, adota-se urn modelo elástico Linear de dois graus de liberdade, de massas concentradas, para pórtico constituído de duas colunas verticais e uma viga horizontal, sobre a qual se apoia a máquina. Quando a freqüencia natural do modo de vibras50 associado ao movimento vertical da massa da máquina for aproximadamente igual ao dobro da freqüencia natural do modo de vibras50 associado ao movimento lateral, ocorrerá condisáo para acoplamento de modos ou ressonhcia interna. Recibido: Marzo 1989 OUniversitat Politicnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 R. BRASIL Y C. MAZZILLI Se, ainda, a forca externa náo-balanceada for harmonica con freqüencia aproximadamente igual A do modo vertical ocorrerá também ressonkcia externa, com vibracóes pós-críticas estáveis, surgindo grandes oscilacóes laterais, potencialmente perigosas. Na abordagem do trabalho, sáo consideradas no modelo imperfeicóes geométricas devidas As deformacóes estáticas. Utiliza-se a formulacáo lagrangiana das equacóes do movimento, retendo-se termos até ordem cúbica na Energia Potencial Total e na Energia Cinética. Solucóes aproximadas sáo obtidas via método das múltiplas escalas, que é um método de pertubacáo. É notável que o problema nao-autonomo original recai no estudo de um sistema autonomo, em que a análise de oscilacóes estacionárias é feita pelos métodos de Liapunov para estabilidade do equilíbrio. Em conclusáo, é feita implementacáo em computador de dois procedimentos numéricos: integras50 das equacóes lagrangianas do movimento pelos esquemas implícitos de Newmark e Wilson e integras50 do sistema autonomo de la ordem derivado do método das múltiplas escalas pelo esquema de Runge-Kutta. A análise denamica de estruturas aporticadas tem sido abordada extensivamente em trabalhos clássicos, por exemplo, Warburtonl e Clough e Penzien2, e em outros mais recentes, como os de Paz3 e Laura e Greco4. A estabilidade dinamica dessas estruturas tem tambén sido estudada a partir do trabalho fundamental de Bolontin6. Solucóes analíticas aproximadas para oscilacóes de sistemas nao-lineares foram desenvolivdas, entre outros, por Nayfeh e Mook6. A instabilidade de estruturas sob excitas50 de suporte foi objeto de trabalho por Barr e Mc Whannel17, em que, entretanto, os autores só consideraram nao-linearidades oriundas de forcas de inércia, desprezando as derivadas de energia potencial (forcas elásticas). Náo levaram ainda em conta forcas dissipativas, e náo introduziram no modelo a imperfeicáo em que se caracteriza a deformada de equilíbrio estático da estrutura. Textos clássicos de projectos de fundacóes de máquinas como Arya et al." e Srinivasulu e Vaidyanathans passam ao de largo da discussáo do problema de seu comportamento dinamico nao-linear, fornecendo normas de pré-dimensioamento que levam, em geral, a estruturas náo sensíveis a esses efeitos. Nesta secáo apresenta-se um modelo matemático de massas concentradas e material elástico linear de urna fundacáo aporticada. A estrutura é mostrada em posicáo deformada na Figura 1. As barras verticais, iguais, sáo engastadas na base e suportam massa m na extremidade superior. A viga horizontal é articulada em seus extremos, apoiando a meio váo massa M correspondente a máquina náo balanceada que induz forcas instacionárias hamonicas nas direcóes indicadas. Supóe-se que as barras sejam imponderáveis e inextensíveis e adota-se o campo de deslocamentos: VIBRACOES NAO-LINEARES EM FUNDAC~ES APORTICADAS onde: 6 A=- 5h (5) 24 B=- 5e (6) Reduz-se, assim, o sistema a dois graus de liberdade associados a u1 e 212. Adoptamse, agora, as coordenadas generalizadas: u1 Ql = (7) v2 Q2 = 7 (8) As coordenadas das massas passam a ser: Figura 1. Esquema da fundasi50 aporticada estudada. 150 R. BRASIL Y C. MAZZILLI Admite-se que a rigidez das colunas e da viga sejam, respectivamente: Escreve-se, agora, a Energia Potencial Total do sistema, retendo termos até ordem cúbica: Das condicóes de estacionariedade da Energia Potencial Toatl obtém-se o equilíbrio estático anterior excitacáo: M Fazendo: r = 6: 1, e admitindo uma expansáo direta de Q: e Q! até ordem ra , vem: VIBRAC~ES NAO-LINEARES EM FUNDACÓES APORTICADAS Substituindo-se em (18) e (19) e coletando-se os trmos de cada ordem, obtém-se: Considera-se que; em decorrencia da carga instacionária, surjam incrementos ql e q2, de ordem E, tais que: Reescreve-se a Energia Potencial Total (17) como: onde: Diferenciando-se as coordenadas (9) a (14) no tempo, obtém-se as velocidades, e escreve-se, retendo termos até ordem cúbica, a energia cinética do sistema: onde: Reporta-se, agora, A equacao da Lagrange: No membro direito de (32) considerar-se-á forca dissipativa viscosa, linearmente dependente das velocidades generalizadas, e carga instacionária harmonica induzida por nao-balanceamento da máquina, na forma: 152 R. BRASIL Y C. MAZZILLI 'nFA = -/21ql - hfo cos(Rt + 4 + (33) F& = -fi2q2 - L fO cos(Rt + 4) (34) Substituindo-se (29),(30),(33) e (34) em (32) obten-se, em forma matricial, as equacóes do movimento: m* ha Be2 h -m * -2-(~ + 42) ] {;;)+ [y1 -m* Be2 h [ -mt-(& B12h + 42) Me2 O C12 Tq2)] {u:} + + [ 2k*h2 - KAh2!(e + q2) -k*BhI2(~ + 9) 1 -ek*he2 - 2KAh2Lql Ke2 - k*Be2q1 ] {::} = (35) = { -h fo cos(flt + 4 + ;) -e. fo .COS(O~ + 4) 1 so~ucAo ANALÍTICA APROXIMADA VIA MÉTODO DAS MULTIPLAS ESCALAS Procede-se, agora, análise do sistema náo-linear (35) pelo método das múltiplas escalas (vide, e.g., Nayfeh e Mook6). Considera-se que as forcas dissipativas sáo de ordem E e a forca harmonica devida ao náo balanceamento é de ordem ea: 1 hfo 'nF, = -2&p1q1 - 622COS(R~ + 4 + -) e 2 (36) Ifo F& = -2ep2q2 - E' cos(Rt + 4) E (37) Substituem-se, em (35), solucoes ql e 42 na forma de expansoes em séries de potencias de e: 41 = E411 + 6'412 + O(E3) (38) 42 = E421 + ~'422 + O(e3) (39) e coletam-se os termos de mesma ordem, chegando-se, para ordem e, a: VIBRACÓES NAO-LINEARES EM FUNDACÓES APORTICADAS Introduzindo-se a notacáo polar: cuja solucáo é: iwlTo + Ale-iw1To 911 = Ale iwzTo + AZe-iw2To (42) 921 = A2e (43) com a variável To coincidiendo com a tempo real (t) e A, o complexo conjugado de A,, e: 2k* w; = - m* (44) K w; = - M (45) operando-se, da mesma forma, para ordem ea, e subtituindo-se (42) e (43) em (35)) verifica-se, para o caso particular de grande interese de ressontincia interna e externa, isto é, 2wl Ñ w2 e 52 Ñ w2, O aparecimento de termos seculares (ressonantes). O anulando desses leva As chamadas condicóes se solvabilidade, neste caso: K AL KAL - + -Al ) + - A1A2 . e-iuTl - dT1 - o m* (46) KAh2 fo A: . e-'"T~ - - - e'(u2T1+d) = O (47) 2MLea onde: R. BRASIL Y C. MAZZILLI e separando-se as partes imaginárias e reais, respectvamente, de (46) e (47), chega-se ao sistema autonomo de la ordem: d - pz KAh2 a2 = --a2+ - a: sen 7 + fo QTi M La 8MLw2 2w2 Mk2 sen Y2 d - KAL KAL KAh2 a: y=---- a2 cosy + -- COS y - fo 1 dT1 m*wl 2m*wl 8 M¿w2 a2 ~W~MLE~ a2 - cos 72 + u (53) onde: A pesquisa de vibrasoes estacionárias recai, por se tratar de sistema autonomo, em urna de estados de equilibrio via métodos de Liapunov, indicando que, além da soluc5o linear, com aplitudes existe a solucáonáo-linear onde: KAL K AL VIBRAC~ES NAO-LINEARES EM FUNDACOES APORTICADAS A análise de estabilidade da soluc5o nao-linear, num paralelo ao apresentado por Nayfeh e Mooks, indica dois valores críticos para a excitacáo: se I'l > 0 e fr < & < fzz. existir50 duas raízes para (59), sendo estável o estado associado raiz com o sinal positivo ern (59)e instável o'estado associado raiz com o sinal negativo em (59). se rl > 0 e & > fzz " existirá apenas a r:iz associada ao sinal positivo em (59), que corresponderá a estado es t ável: se rl < 0 e & > f11 existirá apenas a raiz associada ao sinal positivo em (59), correspondendo a estado es t ável. ti frx (a) TI 70 Figura A Figura 2 representa qualitativamente as conclusóes anteriores. Aumentando-se a amplitude de carga harmonica que induz vibracóes ressonantes no grau de liberdade