ANOVA con medidas repetidas

1 Facultad de Ciencias Trabajo Fin de Grado Grado en Estadística ANOVA con Medidas Repetidas Autor: Ignacio Fernández Iniesta Tutor/es: Lourdes Barba Escribá 2 3 CONTENIDOS 1. RESUMEN ........................................................................................................................................... 9 2. ABSTRACT .......................................................................................................................................... 9 3. ANÁLISIS CON MEDIDAS REPETIDAS .................................................................................................. 10 3.1. Introducción ......................................................................................................................................... 10 3.2. Ventajas ................................................................................................................................................ 10 3.3. Inconvenientes: .................................................................................................................................... 10 3.3.1. Diseño de contrapeso (counterbalancing): ................................................................................... 11 3.4. Aplicaciones: ......................................................................................................................................... 13 4. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS EN UN FACTOR ............................................................................ 14 4.1. Modelo básico ...................................................................................................................................... 14 4.2. El estadístico de contraste .................................................................................................................... 16 4.2.1. El estadístico F ............................................................................................................................... 17 4.3. Supuestos ............................................................................................................................................. 18 4.3.1. Independencia ............................................................................................................................... 18 4.3.2. Normalidad .................................................................................................................................... 18 4.3.3. Aditividad o Esfericidad ................................................................................................................. 18 4.4. Medidas del tamaño del efecto ............................................................................................................ 24 4.5. Ejemplo práctico en SAS ....................................................................................................................... 24 A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 26 B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 30 5. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS DE DOS FACTORES ....................................................................... 35 5.1. Medidas repetidas en un solo factor .................................................................................................... 35 5.1.1. Modelo .......................................................................................................................................... 36 5.1.2. Supuestos ...................................................................................................................................... 37 5.1.3. Estadísticos de contraste ............................................................................................................... 38 5.1.4. Ejemplo práctico en SAS ................................................................................................................ 42 5.2. Medidas repetidas en los dos factores ................................................................................................. 47 5.2.1. Modelo .......................................................................................................................................... 47 5.2.2. Supuestos ...................................................................................................................................... 49 5.2.3. Estadísticos de contraste ............................................................................................................... 49 5.2.4. Ejemplo práctico en SAS ................................................................................................................ 52 6. Otros ejemplos en SAS ...................................................................................................................... 58 Ejemplo 4: .................................................................................................................................................... 58 A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 60 4 B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 61 Ejemplo 5: .................................................................................................................................................... 63 A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 64 B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 66 7. Conclusiones .................................................................................................................................... 68 8. Posibles ampliaciones ....................................................................................................................... 68 9. Glosario de vocabulario inglés-español ............................................................................................. 70 10. Anexo ............................................................................................................................................ 71 11. Bibliografía y enlaces ...................................................................................................................... 76 5 INDICE DE TABLAS Tabla 1. Ejemplo diseño de contrapeso (R.Girden, Ellen [1]) .......................................................................... 12 Tabla 2. Resumen del ANOVA en medidas repetidas de un factor ................................................................. 16 Tabla 3. Respuesta afectiva de 20 sujetos hacia un perfume en cuatro grados de concentración. ............... 25 Tabla 4. Medias cuadráticas y valores esperados en el modelo de dos factores con medidas repetidas en uno solo. .......................................................................................................................................................... 40 Tabla 5. Tabla resumen del ANOVA de dos factores mixto. ............................................................................ 41 Tabla 6. Tabla de datos para el ejemplo de dos factores con medidas repetidas en un solo factor. ............. 42 Tabla 7. Medidas cuadráticas y valores esperados en el modelo no aditivo de dos factores con medidas repetidas en ambos. (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]).................................................................. 51 Tabla 8. Valores esperados de las medias cuadráticas del modelo de dos factores con medidas repetidas en ambos (modelo no aditivo) (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]). ...................................................... 52 Tabla 9. Respuesta afectiva de 10 sujetos hacia un perfume en dos grados de concentración y tres tipos de aroma. ............................................................................................................................................................. 53 Tabla 10. Datos para el Ejemplo 4. .................................................................................................................. 58 Tabla 12. Datos para el ejemplo 5 (completos). .............................................................................................. 63 Tabla 13. Datos para el ejemplo 5 (missing) .................................................................................................... 64 6 INDICE DE FIGURAS Figura 1. Procedimiento a seguir cuando usamos PROC GLM en medidas repetidas (Wolfinger y Chang [13]) ......................................................................................................................................................................... 27 Figura 2. Código para la lectura de datos de el ejemplo de medidas repetidas en un factor ......................... 28 Figura 3. Código para analizar el Ejemplo 1 utilizando PROC GLM. ................................................................ 28 Figura 4. Test de esfericidad usando PROC GLM para el Ejemplo 1. ............................................................... 29 Figura 5. Test multivariante para los efectos intrasujetos. ............................................................................. 29 Figura 6. Test F univariantes para los efectos intrasujeto de DOSIS. .............................................................. 30 Figura 7. Procedimiento a seguir cuando usamos PROC MIXED en medidas repetidas (Wolfinger y Chang [13]). ................................................................................................................................................................ 31 Figura 8. Código para analizar el Ejemplo 1 utilizando PROC MIXED. ............................................................. 32 Figura 9. PROC MIXED con estructura de covarianza “simetría compuesta”. ................................................ 32 Figura 10. PROC MIXED con estructura de covarianza “Tipo H o Huynh-Feldt” ............................................. 32 Figura 11.PROC MIXED con estructura de covarianza “sin estructura”. ......................................................... 33 Figura 12. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “simetría compuesta” ................................ 33 Figura 13. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “Tipo H”. ..................................................... 33 Figura 14. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “No estructurado”. ..................................... 34 Figura 15.Test de tipo 3 para contrastar la hipótesis nula del modelo. .......................................................... 34 Figura 16. Lectura de datos para el Ejemplo 2. ............................................................................................... 43 Figura 17. Código para analizar el Ejemplo 2 utilizando PROC GLM.. ............................................................. 43 Figura 18. Test de esfericidad para nuestro ejemplo usando PROC GLM. ...................................................... 44 Figura 19. Test F univariante para los efectos intersujeto. ............................................................................. 44 Figura 20. Test F univariante para los efectos intrasujeto. ............................................................................. 44 Figura 21. PROC MIXED con estructura de covarianza “simetría compuesta”. .............................................. 45 Figura 22. PROC MIXED con estructura de covarianza “Tipo H”. .................................................................... 45 Figura 23. PROC MIXED con estructura de covarianza “sin estructura”. ........................................................ 45 Figura 24. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza “simetría compuesta”. ........................... 45 Figura 25. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza “Tipo H”. ................................................. 46 Figura 26. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza “No estructurada”. ................................. 46 Figura 27. Test de tipo III para contrastar las hipótesis nulas del modelo. ..................................................... 46 Figura 28. Lectura de datos para el Ejemplo 3. ............................................................................................... 53 Figura 29. Código para analizar el Ejemplo 3 con PROC GLM ......................................................................... 53 Figura 30. Test de esfericidad para la variable FLOR. ...................................................................................... 54 Figura 31. Test de esfericidad para la interacción de FLOR x DOSIS ............................................................... 54 Figura 32. Test F univariantes para los efectos intrasujetos DOSIS y FLOR y su interacción .......................... 55 Figura 33. Lectura de datos para Ejemplo 3 con PROC MIXED........................................................................ 56 Figura 34. PROC MIXED con estructura de covarianza "simetría compuesta" ................................................ 56 Figura 35. PROC MIXED con estructura de covarianza "Tipo H" ..................................................................... 56 Figura 36. PROC MIXED con estructura de covarianza "No estructurada" ..................................................... 56 Figura 37. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "simetría compuesta" ............................. 57 Figura 38. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "Tipo H" .................................................. 57 Figura 39. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "No estructurada" .................................. 57 Figura 40. Test de tipo III para contrastar las hipótesis nulas del modelo ...................................................... 57 Figura 41. Lectura de datos para Ejemplo 4. ................................................................................................... 59 Figura 42. Código para analizar el Ejemplo 4 utilizando PROC GLM. .............................................................. 60 Figura 43. Test de esfericidad para el Ejemplo 4. ............................................................................................ 60 Figura 44. Test F univariante para los efectos intrasujetos. ............................................................................ 60 Figura 45. Test F univariante para los efectos intersujetos. ............................................................................ 61 Figura 46. PROC MIXED con estructura de covarianza "simetría compuesta". ............................................... 61 Figura 47. PROC MIXED con estructura de covarianza "Tipo H". .................................................................... 61 Figura 48. PROC MIXED con estructura de covarianza "sin estructura". ........................................................ 61 Figura 49. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "simetría compuesta". ............................ 62 Figura 50. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "Tipo H". ................................................. 62 Figura 51. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "sin estructura". ..................................... 62 Figura 52.Test de tipo III para contrastar la hipótesis nula del modelo. ......................................................... 62 Figura 53. Test de esfericidad para el Ejemplo 5 (completos). ....................................................................... 63 7 Figura 54. Test para contrastar la hipótesis nula del modelo. ........................................................................ 64 Figura 55. Lectura de datos para el Ejemplo 5 (missing) usando PROC GLM. ................................................. 65 Figura 56. Código para analizar el Ejemplo 5 (missing) utilizando PROC GLM. ............................................... 65 Figura 57. Test de esfericidad para el Ejemplo 5 (missing). ............................................................................ 65 Figura 58. Test F univariante para los efectos intrasujetos. ............................................................................ 65 Figura 59. Lectura de datos para el Ejemplo 5 (missing) usando PROC MIXED. ............................................. 66 Figura 60. PROC MIXED con estructura de covarianza "simetría compuesta". ............................................... 66 Figura 61. PROC MIXED con estructura de covarianza "Tipo H". .................................................................... 66 Figura 62. PROC MIXED con estructura de covarianza "sin estructura". ........................................................ 67 Figura 63. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "simetría compuesta". ............................ 67 Figura 64. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "Tipo H". ................................................. 67 Figura 65. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "sin estructura". ..................................... 67 Figura 66. Test de tipo III para contrastar la hipótesis nula del modelo. ........................................................ 68 ANEXO Anexo 1. Datos para Ejemplo 1. PROC GLM .................................................................................................... 71 Anexo 2. Datos para Ejemplo 1. PROC MIXED ................................................................................................. 72 Anexo 3. Datos para Ejemplo 2. PROC GLM .................................................................................................... 73 Anexo 4. Datos para Ejemplo 2. PROC MIXED ................................................................................................. 74 Anexo 5. Datos para Ejemplo 3. PROC GLM .................................................................................................... 75 Anexo 6. Datos para Ejemplo 3. PROC MIXED ................................................................................................. 75 8 9 1. RESUMEN El análisis en medidas repetidas es una alternativa al modelo clásico de diseño cada vez más utilizada sobre todo en estudios relacionados con las ciencias sociales como por ejemplo en psicología o sociología. La principal ventaja se refiere a que un mismo individuo puede ser sometido a diferentes tratamientos o condiciones lo que hace que economicemos el número de individuos que participarán en el experimento. Pero no todo son ventajas, la fatiga, la posibilidad de tener datos no balanceados o el efecto residual son algunos de los inconvenientes que habrá que tener en cuenta al utilizar este tipo de diseño. En este trabajo se expondrán las ventajas, inconvenientes y supuestos que se deben cumplir al realizar un análisis con medidas repetidas. Aparte se explicarán los diferentes modelos que podemos tener dependiendo de la estructura de nuestro experimento y para cada uno de estos se expondrá un ejemplo resuelto con SAS. Palabras clave: medidas repetidas, ANOVA, SAS, PROC GLM, PROC MIXED, REPEATED 2. ABSTRACT The repeated measures analysis is an alternative to the classic design model increasingly used specially in studies related to social sciences such as in psychology or sociology. The main advantage is refered to the fact that the same person can be subjected to different treatments or conditions what leads into an economitation of the number of individuals that need to participate in the experiment. However not everything is an advantage, the fatigue, the possibility to have unbalanced data or the carry-over effect are some of the inconvenients that we will have to take into account when using this type of design. In this project the advantages, disadvantages and the assumptions that must be met when performing a repeated measures analysis will be adressed. Also, we will explain the different types of models that we can have depending on the structure of our experiment and each of them will be presented with an example solved using SAS. Key words: repeated measures, ANOVA, SAS, PROC GLM, PROC MIXED, REPEATED 16 𝑇+𝑗 y 𝑇𝑖+ son los totales correspondientes a cada tratamiento y a cada sujeto respectivamente. 𝑇+𝑗 representa la suma de las puntuaciones obtenidas por todos los sujetos de la muestra en el tratamiento j. Del mismo modo 𝑇𝑖+ representa la suma de las puntuaciones del sujeto i en todos los tratamientos o niveles de j. La forma de obtener estos totales es la siguiente 𝑇+𝑗 = ∑𝑌𝑖𝑗𝑖 𝑇𝑖+ = ∑𝑌𝑖𝑗𝑗 Finalmente, la media total (𝑌.. ) y la suma de puntuaciones (𝑇 o 𝑇++) se obtienen mediante: T = ∑∑𝑌𝑖𝑗𝑗𝑖 𝑌..  = 𝑇 𝑁 Tabla 2. Resumen del ANOVA en medidas repetidas de un factor Fuentes de variación SC g.l. MC EMC F Intrasujetos (I) 𝑆𝐶𝐼=∑𝑇+𝑗 2 𝑛−𝑇2 𝑁 𝑗 J-1 𝑀𝐶𝐼= 𝑆𝐶𝐼 𝐽−1 𝜎𝑒2+ 𝑛∑𝜏𝑗2 𝑗 𝐽−1 𝐹 =𝑀𝐶𝐼 𝑀𝐶𝐸 Sujetos (P) 𝑆𝐶𝑃=∑𝑇𝑖+ 2 𝐽 𝑖−𝑇2 𝑁 n-1 𝑀𝐶𝑃=𝑆𝐶𝑃 𝑛−1 𝜎𝑒2+𝐽𝜎π2 Error (e) 𝑆𝐶𝐸=𝑆𝐶𝑇−𝑆𝐶𝐼 −𝑆𝐶𝑃 (J-1)(n-1) 𝑀𝐶𝐸 =𝑆𝐶𝐸 (𝐽−1)(𝑛−1) 𝜎𝑒2 Total (T) 𝑆𝐶𝑇=∑∑𝑌𝑖𝑗2−𝑇2 𝑁 𝑗𝑖 N-1 4.2. El estadístico de contraste El ANOVA de medidas repetidas en un solo factor pone a prueba la hipótesis sobre la igualdad de medias en los distintos J tratamientos o niveles de la variable independiente; lo que expresado formalmente es: Siendo 𝜇+𝑗=𝜇+𝜏𝑗 𝐻0: µ+1= µ+2= …=µ+𝐽; o bien 𝐻0:∑𝜏𝑗2=0 𝐻1:µ+𝑗≠ µ+𝑗′ para algún valor de j o de j’ (j ≠ j’); o bien 𝐻1:∑𝜏𝑗2≠0 17 4.2.1. El estadístico F El estadístico empleado para contrastar la hipótesis nula en el modelo de ANOVA de un factor con medidas repetidas es: F = 𝑀𝐶𝐼 𝑀𝐶𝐸 Mientras los supuestos del modelo se sostengan, este estadístico test sigue la distribución FJ-1,(n-1)(J-1) si la hipótesis nula es verdad. Si 𝐻0 es verdadera, dicho cociente se aproxima a 1. Sin embargo, si 𝐻0 no es verdad, el numerador tenderá a ser más grande que el denominador. Ahora bien, incluso siendo 𝐻0 verdadera, teniendo en cuenta que MCI y MCE son valores muestrales cabe esperar que calculadas en un conjunto de datos concretos, existan diferencias entre ellas. La cuestión radica en determinar cuán grandes han de ser dichas diferencias para pensar que 𝐻0 no es verdadera. Para responder esta pregunta es necesario conocer la distribución muestral asociada al cociente MCI/MCE Una variable del tipo (𝑛−1)𝑆𝑛−1 2 𝜎2 se distribuye según una 𝑋2 con n-1 grados de libertad. Del mismo modo (𝐽−1)𝑀𝐶𝐼 𝜎2 sigue una 𝑋2 con J-1 grados de libertad bajo 𝐻0 y (𝐽−1)(𝑛−1)𝑀𝐶𝐸 𝜎2 una 𝑋2 con (J-1)(n-1) grados de libertad. El cociente entre dos 𝑋2 independientes, cada una de ellas dividida por sus grados de libertad, es por definición una variable aleatoria distribuida según el modelo de probabilidad F con los grados de libertad del numerador y del denominador. 𝑋2/𝑛1 𝑋2/𝑛2≡𝐹𝑛1,𝑛2 Así pues: (𝐽−1)𝑀𝐶𝐼 𝜎2/(𝐽−1) (𝐽−1)(𝑛−1)𝑀𝐶𝐸 𝜎2/(𝐽−1)(𝑛−1)=𝑀𝐶𝐼 𝑀𝐶𝐸≡𝐹𝐽−1,(𝐽−1)(𝑛−1) F es un estadístico adecuado para contrastar la hipótesis nula del ANOVA con medidas repetidas ya que informa sobre el grado de discrepancia entre las µ+𝑗 y posee una distribución muestral conocida. 18 4.3. Supuestos 4.3.1. Independencia Este supuesto indica que los sujetos de la muestra han sido seleccionados de manera aleatoria de su población y asignado a todos los J tratamientos del factor, lo que implica que dentro de cada tratamiento, el valor de la respuesta observada de un sujeto es independiente al del resto de sujetos. En consecuencia, lo que una puntuación se desvía del promedio de su grupo (eij) es independiente de lo que otra puntuación cualquiera se desvía de ese mismo grupo. Es decir, Cov(eij, ei’j) = 0 (donde i ≠ i’). Este supuesto suele comprobarse mediante la prueba de las rachas y su incumplimiento puede ser muy grave de modo que conviene cuidar los aspectos relacionados con la selección y asignación de sujetos. 4.3.2. Normalidad Dentro de cada tratamiento, la muestra obtenida con los n sujetos sigue una distribución normal. Para comprobar esto podemos utilizar una prueba no paramétrica sobre normalidad como la propuesta por Kolmogorov-Smirnov u otras similares. 4.3.3. Aditividad o Esfericidad En 1970, Huynh y Feldt y Rouanet y Lépine demostraron independientemente que una condición suficiente y necesaria para llevar a cabo un análisis de medidas repetidas, sin aplicar corrección a los grados de libertad, es que las diferencias entre pares de puntuaciones tengan igual varianza. Si nos fijáramos en la matriz de varianzas y covarianzas, a pesar de que no revelaría la simetría compuesta, podría mostrar igualdad de varianzas entre pares de valores. Esta matriz se llamó la matriz H por Huynhh y Feldt y se dijo que tenía la propiedad de esfericidad; Rouanet y Lépine se refirieron a la propiedad como circularidad. Sin embargo, las matrices que demuestran simetría compuesta también tienen la propiedad de esfericidad. La simetría compuesta es un caso especial de la esfericidad, pero esta última es menos restrictiva que la simetría compuesta. Mientras que la simetría compuesta requiere {1/2[J(J+1)]} – 2 igualdades (de varianzas y covarianzas), la esfericidad necesita solo {1/2[J(J-1)]} – 1 igualdades (solo de las diferencias de las varianzas; Rouanet y Lépine, 1970) Como 𝜎𝑗𝑘=𝜌𝜎𝑦2 𝑦 𝜎𝑒2=𝜎𝑦2(1−𝜌), la matriz de varianzas-covarianzas tiene que tener la siguiente forma, la cual desarrollamos anteriormente en la fórmula (4.2) 19 ∑ = 𝜎𝑦2(1 𝜌 ⋱ 𝜌 1) Es decir, que las varianzas de los tratamientos (diagonal principal) son iguales y que las covarianzas entre tratamientos (fuera de la diagonal) también lo son. Las matrices que cumplen estas características se dice que tienen la propiedad de la simetría compuesta (o compound symmetry) y se conocen como matrices de tipo S (Box, 1954). Esto solo es posible bajo el modelo aditivo. La simetría compuesta es una condición suficiente para comprobar que el estadístico F se distribuye mediante una F con J-1 y (J-1)(n-1) grados de libertad bajo la hipótesis nula del ANOVA en medidas repetidas. Sin embargo no es una condición necesaria. Huynh y Feldt (1970), Rouanet y Lepine (1970) y más tarde Mendoza (1980) demostraron que el estadístico F también es válido si las varianzas de todos los pares posibles de diferencias entre tratamientos son iguales. Es decir: Si 𝜎𝑌𝑗−𝑌𝑘 2= 𝜎𝑌𝑗 2+𝜎𝑌𝑘 2−2𝜎𝑌𝑗𝑌𝑘 = constante para todo j y k. La esfericidad solamente requiere que la matriz ∑, una vez transformada mediante la utilización de polinomios ortonormales, sea una matriz diagonal que contenga varianzas iguales en la misma. La transformación polinómica ortonormal viene dada por: 𝐶∗′∑𝐶∗ (4.3) Donde ∑ es la matriz de varianzas-covarianzas poblacional de orden JxJ y C* la matriz de coeficientes ortonormales de orden (J-1)xJ. La hipótesis de que la matriz resultante de la expresión (4.3) es una matriz diagonal que contiene varianzas iguales en la misma se plantea formalmente mediante 𝐻0: 𝐶∗′∑𝐶∗=𝜎2𝐼𝐽 𝐻0: 𝐶∗′∑𝐶∗≠𝜎2𝐼𝐽 (4.4) Donde 𝜎2es la varianza poblacional e 𝐼𝐽 es la matriz identidad de orden J. Para comprobar la hipótesis planteada en (4.4) utilizamos el estadístico W o criterio de razón de verosimilitud de Mauchly (1940), cuyo valor se calcula mediante: W= |𝐶∗′∑ 𝐶∗| |𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎(𝐶∗′∑ 𝐶∗) 𝐽−1 |𝐽−1 (4.5) Siendo ∑  la matriz de varianzas y covarianzas muestral. 20 El estadístico W puede convertirse en una 𝑋2 mediante: 𝑋2=−(𝑛−1−2𝐽+5 6)𝑙𝑛𝑊 𝑋2 se distribuye aproximadamente según una chi-cuadrado con J(J-1)/2 grados de libertad. Para muestras suficientemente grandes, un valor 𝑋2<𝑋(1−𝛼)𝐽(𝐽−1)/2 2 indica que hay evidencia para apoyar el supuesto de esfericidad y por tanto, que las diferencias entre varianzas muestrales pueden atribuirse al azar. Esta prueba, sin embargo, tiene poca potencia para tamaños de muestra pequeños. Además, para muestras de gran tamaño, es probable que la prueba muestre significación, aunque el efecto en la prueba F sea no significativo. La prueba de Mauchly para la esfericidad también ha demostrado ser sensible cuando usamos datos no-normales; en particular, es conservadora para distribuciones de colas ligeras y lo contrario para distribuciones de colas pesadas. También es muy sensible a los valores atípicos. Debido a estas propiedades, no es de gran utilidad práctica. Si el supuesto de esfericidad no se cumple, como ocurre frecuentemente, el ANOVA-MR de un factor proporciona una razón F sesgada positivamente, aumentando la probabilidad del error tipo I. En tal caso se tienen dos opciones: 1) Ajustar los grados de libertad del estadístico F. 2) Aplicar un análisis de varianza multivariado (o MANOVA) basado en J-1 contrastes independientes. En cuanto a la primera opción, lo que se propone es que los grados de libertad se ajusten mediante una prueba más conservadora (Box, 1954). La prueba épsilon (ε) es una corrección que se aplica en los grados de libertad del numerador y denominador del estadístico F de forma que éste pasa a distribuirse según F con ε(J-1) y ε(J-1)(n-1) grados de libertad. El valor de épsilon depende del grado en que la matriz ∑ se desvía de la esfericidad, es 1 cuando se cumple el supuesto de esfericidad y se acerca a 1/(J-1) cuando no se cumple. En la práctica el valor de ε suele ser desconocido pero suele estimarse a partir de la matriz ∑ . Box (1954) fue el primero en proponer un estimador de ε para abordar el problema de la violación del supuesto de la esfericidad. Se trata de la prueba 𝜀, que fue más tarde adaptada por Greenhouse y Geisser (1959), por lo que se conoce como la épsilon de Greenhouse y Geisser. 𝜀 se calcula a partir de las sumas y medias de la matriz de varianzas-covarianzas muestral (∑ ) mediante la fórmula: 𝜀= 𝐽2(𝑠𝑖𝑖    −𝑠)2 (𝐽−1)(∑∑𝑠𝑗𝑘 2−2𝐽∑𝑠𝑖2    +𝐽2𝑠2    (4.6) Donde: 21 𝑠 : media de todos los elementos de la matriz ∑  𝑠𝑖𝑖    : media de las varianzas que aparecen en la diagonal 𝑠𝑖  : media de los elementos de la fila i 𝑠𝑗𝑘 : cualquiera de las covarianzas de la matriz ∑  Los grados de libertad tanto del numerador como del denominador de F se multiplican por 𝜀 y la significación del cociente se evalúa con los nuevos grados de libertad. Si el supuesto de esfericidad se cumple, el valor de 𝜀 se acercará a 1. Por el contrario, la peor violación del supuesto ocurriría con 𝜀 = 1/(J-1) La prueba 𝜀 tiende a ser excesivamente conservadora para muestras de tamaño pequeño. Huynh y Feldt (1970) propusieron otra corrección épsilon para solventar este problema, la prueba 𝜀 : 𝜀=[𝑁(𝐽−1)𝜀]− 2 (𝐽−1)[𝑁−𝑔−(𝐽−1)𝜀] (4.7) Donde: 𝜀 : épsilon de Greenhouse y Geisser N : nº total de sujetos J : nº de tratamientos G : nº de grupos (en los diseños de un factor siempre es 1) El valor de 𝜀 siempre es mayor que el de 𝜀 y puede ser incluso mayor que 1, en cuyo caso se iguala a 1. Teniendo en cuenta que el cálculo de 𝜀 es complicado Greenhouse y Geisser (1959) recomendaron que para decidir si es necesario obtenerlo pueden llevarse a cabo unos análisis previos basados en 𝜀. Puesto que ε oscila entre 1 y 1/(J-1) los grados de libertad más pequeños en F son (J-1)x1/(J-1)=1 para el numerador y (J- 1)(n-1)x1/(J-1)=n-1 para el denominador. Los análisis previos constan de los siguientes pasos: 1º. Comparar el valor crítico de la F obtenida en el ANOVA (F(1-α), (J-1),(J-1)(n-1) ) con la obtenida con los grados de libertad ajustados (F(1-α), 𝜀(J-1), 𝜀(J-1)(n-1) ). Si el valor de la última no aumenta, no es necesario continuar ya que F no será significativa. En caso contrario, seguir con el paso 2 22 2º. Comparar con el valor de la F ajustada mediante 𝜀 con el de la F con 1 y n-1 grados de libertad. Si este último resulta menor entonces es significativo, por lo que no será necesario continuar. En caso contrario continuar con el paso 3. 3º. Si el valor de la F ajustada es mayor que el obtenido mediante el ANOVA-MR pero menor que el valor de las tablas correspondiente a una F con 1 y n-1 grados de libertad, utilizar la F ajustada mediante la prueba 𝜀. En cuanto a la decisión sobre si emplear 𝜀 o 𝜀, algunos autores sugieren que 𝜀 es demasiado conservadora para muestras pequeñas y que, una vez satisfechos los tres pasos, 𝜀 es la corrección más adecuada (Jaccard y Ackerman, 1985). Sin embargo, los estudios de tipo Montecarlo de Collier, Baker, Mandeville y Hayes (1967) encontaron que esto no era así incluso con muestras tan pequeñas como de 5 sujetos. Por su parte, Stevens (1986) recomienda realizar una media de ambos estimadores dada la tendencia de 𝜀 y 𝜀 a infraestimar y sobrestimar (respectivamente) el valor de ε. Sobre la base de estos criterios Barcikowski y Robey (1983) establecieron las siguientes recomendaciones generales: 1) Si, dado que se conoce ε y ε ≥ 0,75 emplear la corrección 𝜀 2) Si ε < 0,75, emplear la corrección más conservadora 𝜀 3) Si no se sabe nada sobre ε, como suele ocurrir, emplear la corrección 𝜀 ya que es menos sensible al aumento de error de tipo I. 4.3.3.1. Enfoque Multivariante Otra alternativa al análisis univariante cuando el supuesto de esfericidad no se cumple consiste en utilizar un análisis multivariante (MANOVA). En este caso el supuesto de esfericidad no es un requisito para el análisis de datos. Para transformar los datos de ANOVA en formato MANOVA las observaciones originales se reconviertan en nuevas variables. Esta transformación puede hacerse de diversas maneras pero siempre tendremos J-1 nuevas variables Una de las formas es convertir los J grupos de observaciones en J-1 diferencias. El análisis se realizará sobre estas nuevas J-1 variables (Girden, 1992). Otra posible transformación consiste en primero crear una matriz de coeficientes ortonormales (como la matriz C* definida anteriormente), ponderando cada observación por su coeficiente ortonormal llevando a cabo el análisis sobre las nuevas J-1 variables resultantes. Ambos procedimientos producen los mismos resultados. Con las J-1 variables nuevas resultantes se realiza el contraste multivariante 𝑇2 de Hotelling cuyo estadístico se calcula mediante: 𝑇2=(𝑛)(𝑦)(𝑆𝑑−1)(𝑦′) 23 Donde 𝑆𝑑−1 es la inversa de la matriz de varianzas-covarianzas de las nuevas variables e 𝑦 el vector fila de medias. La T2 puede convertirse en una F mediante: 𝐹= 𝑛−𝐽+1 (𝑛−1)(𝐽−1)𝑇2 El estadístico F se distribuye según F con (J-1) y (n-J+1) grados de libertad. Si su valor es significativo, indica que hay diferencias entre las medias de las variables. Estas operaciones son relativamente complicadas por lo que suelen realizarse con la ayuda del ordenador. Ya que en el MANOVA los contrastes sobre las variables son independientes, las correlaciones entre las nuevas variables son muy bajas o nulas. Por lo tanto, el análisis puede realizarse sin tener que asumir esfericidad en la matriz de varianzas-covarianzas, aunque se asume que los datos siguen una distribución multivariada normal y el número de sujetos tiene que ser mayor que el número de tratamientos (Bray y Maxwell, 1985) 4.3.3.2. ANOVA Vs. MANOVA Diversos estudios sugieren que no hay una clara ventaja entre usar el enfoque univariado o multivariado. De hecho, para algún conjunto de datos el enfoque univariado es más potente, mientras que para otros casos, con la violación del supuesto de esfericidad, el enfoque multivariante puede ser más adecuado (Romaniuk 1977). Existen tests preliminares para determinar si el supuesto de esfericidad es plausible o no. (véase Kirk, 1982). Mientras que algunos recomiendan realizar estos tests antes del ANOVA (e.g. Huynh y Mandeville, 1979), la mayoría no. Estos tests son poco sensibles a las desviaciones de la normalidad y producen mayores errores de tipo I. De hecho, Keselman, Mendoza, Rogan y Breen (1980) encontraron evidencias de que la esfericidad (probada por Mauchley) casi siempre se viola y recomienda seguir el procedimiento de los tres pasos de Greenhouse y Geisser. No obstante, el ANOVA es más potente que el MANOVA cuando existe homogeneidad en las varianzas ya que los grados de libertad asociados al término error son mayores que en la 𝑇2 de Hotelling. Sin embargo, si existe heterogeneidad, los efectos pueden quedar enmascarados en el ANOVA y el MANOVA resultar más robusto. Asímismo, el MANOVA no es apropiado para situaciones donde (n-1) < J, la matriz de varianza-covarianza es singular (no tiene inversa) y no tiene solución (Greenhouse y Geisser, 1959). (Ver pág. 26 R. Girden, Ellen [1]) 24 4.4. Medidas del tamaño del efecto El análisis de la varianza permite averiguar si la variable independiente influye sobre la variable dependiente pero no informa sobre el grado de asociación entre ambas (es decir, ρ). Las medidas del tamaño del efecto son estimaciones de la proporción de varianza de la variable dependiente que es explicada por la variable independiente (es decir ρ2) y permiten completar la conclusión alcanzada con la F del ANOVA-MR. De entre las medidas del tamaño del efecto propuestas la más simple de todas es la de Pearson (1905): 𝜂2=𝑆𝐶𝐼 𝑆𝐶𝑇 η2 (eta al cuadrado) es el cociente entre la variabilidad debida al factor y la variabilidad total. Pese a que esta medida es un estimador sesgado de ρ2, sigue siendo una de las más utilizadas. Otra de las medidas del tamaño del efecto más utilizadas es la estimación del índice omega al cuadrado 𝜔2 de Hayes (1988) cuyo valor depende del tipo de modelo planteado y sus supuestos. Si se asume el modelo aditivo la variabilidad total depende de la suma de la variabilidad debida al factor, a los sujetos y a los errores aleatorios y se calcula mediante: 𝜔2=𝑆𝐶𝐼−(𝐽−1)𝑀𝐶𝐸 𝑆𝐶𝑇+𝑀𝐶𝑃 Por otra parte, si se asume el modelo no aditivo, hay que añadir la variabilidad debida a la interacción intrasujetos y tratamientos. Esto tiene el problema de que el denominador del cociente suma más que la variabilidad total con la que el valor de 𝜔2 queda ligeramente infraestimado. Una alternativa para solucionar este problema consiste en aplicar la siguiente fórmula: 𝜔2=𝑆𝐶𝐼−(𝐽−1)𝑀𝐶𝐸 𝑆𝐶𝑇+𝑀𝐶𝑃+(𝑛𝑗)𝑀𝐶𝐸 De las medidas propuestas la más recomendable es 𝜔2 ya que puede aplicarse en diferentes diseños experimentales (Maxwell, Camp y Arvey, 1980) 4.5. Ejemplo práctico en SAS Para mostrar cómo se lleva a cabo el análisis con medidas repetidas en un factor en SAS extraemos el siguiente ejemplo de “Análisis de varianza con medidas repetidas” de Carmen Ximénez y Rafael San Martín [2]. 25 Ejemplo 1: “Un psicólogo investigador de mercados pretende estudiar la respuesta afectiva hacia un perfume en función del grado de concentración en sus componentes aromáticas con el fin de orientar una campaña publicitaria para el lanzamiento del mismo. El perfume está elaborado con cuatros grados de concentración diferentes: el primero, de menor concentración tiene 500 partes de aroma por millón (ppm), el segundo 1000 ppm, el tercero 1500 ppm y el cuarto, la máxima concentración, 2000 ppm. La respuesta afectiva se mide en una escala de tipo Likert de 7 puntos. En un primer estudio piloto el psicólogo seleccionó una muestra aleatoria de 20 sujetos. Para evitar los efectos de arrastre y fatiga, evaluó la respuesta afectiva de los 20 sujetos hacia el perfume dejando transcurrir 5 días tras la exposición a cada grado de concentración aromática del mismo. Los resultados obtenidos aparecen en la tabla “ (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]) Tabla 3. Respuesta afectiva de 20 sujetos hacia un perfume en cuatro grados de concentración. Grado de concentración del perfume Sujetos: 1 2 3 4 1 1 3 4 4 2 2 2 5 6 3 2 5 4 6 4 2 3 5 4 5 1 3 4 7 6 1 4 4 5 7 2 3 5 4 8 4 3 4 5 9 2 4 4 6 10 2 2 5 6 11 2 3 3 3 12 1 4 1 7 13 4 2 5 4 14 1 3 6 5 15 2 2 5 5 16 1 3 5 3 17 1 2 3 6 18 3 4 4 4 19 3 4 7 4 20 3 2 4 3 Observando la tabla vemos que estamos ante un diseño con un factor (grado de concentración del perfume) con cuatro niveles que son las concentraciones fijadas por el investigador, por lo tanto de efectos fijos. 32 Figura 8. Código para analizar el Ejemplo 1 utilizando PROC MIXED. Primero necesitamos seleccionar la estructura de las covarianzas que resulte más apropiada. Para ello vamos cambiando en el código la opción type con los diferentes tipos de estructuras de covarianzas Figura 9. PROC MIXED con estructura de covarianza “simetría compuesta”. Figura 10. PROC MIXED con estructura de covarianza “Tipo H o Huynh-Feldt” 33 Figura 11.PROC MIXED con estructura de covarianza “sin estructura”. Los tres PROC MIXED realizados anteriormente tienen las mismas declaraciones CLASS y MODEL. La declaración CLASS especifica los efectos de clasificación que en nuestro ejemplo serán DOSIS y PERSONA y la declaración MODEL indica el modelo de nuestros datos. La única diferencia entre los tres códigos anteriores está en la opción TYPE de la declaración REPEATED, aquí es donde seleccionamos qué tipo de estructura de covarianza queremos utilizar. La opción SUB indica cuáles son los sujetos del modelo, en nuestro ejemplo indicados por la variable PERSONA. En nuestro ejemplo solo tenemos efectos intrasujeto pero si tuviéramos efectos intersujetos se colocarían también en la declaración MODEL. Esto contrasta con el PROC GLM ya que en este teníamos que indicar cuáles eran los principales efectos intrasujetos en la declaración REPEATED y los efectos intersujetos en la declaración MODEL. Para ver cuál de los tres tipos de estructura es el más adecuado, nos fijamos en el índice de Akaike (AIC) y en el índice de Schwarz (BIC). Figura 12. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “simetría compuesta” Figura 13. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “Tipo H”. 34 Figura 14. Estadísticos de ajuste para estructura de covarianza “No estructurado”. Fijándonos en los índices AIC y BIC de las salidas vemos que la estructura de covarianza más apropiada es “simetría compuesta” ya que sus índices son los más bajos. Por lo tanto, nos quedamos con el modelo de la Figura 9. Figura 15.Test de tipo 3 para contrastar la hipótesis nula del modelo. En la Figura 15 observamos que el p-valor para el contraste de la hipótesis nula es significativo por lo que podemos decir que rechazamos la hipótesis nula y por lo tanto no hay igualdad de medias como pasaba utilizando PROC GLM. PROC MIXED calcula el estadístico F usando la forma cuadrática general de tipo Wald 𝐹=𝛽󰆹𝐿[𝐿′(𝑋′𝑉−1𝑋)−𝐿]−1𝐿′𝛽󰆹 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐿) Donde 𝛽󰆹 es una estimación del vector de parámetros de efectos fijos, L es una matriz de coeficientes de Tipo III, X es la matriz diseño de los efectos fijos y 𝑉 es la estimación de la matriz de varianzas y covarianzas de los datos, PROC GLM usa las razones de las medias cuadráticas para construir los tests F. La ventaja que tenemos al usar el PROC MIXED es que puede utilizarse para cualquier tipo de estructura de la covarianza pero una desventaja es que los grados de libertad tienen que asignarse usando otros criterios. Para los análisis con medidas repetidas, PROC MIXED obtiene los grados de libertad dividiendo los grados de libertad residuales en intra e intersujetos y asignándoles a los efectos intra y intersujetos respectivamente. Para nuestro ejemplo tenemos solo efectos intrasujetos por lo que sus grados de libertad residuales equivalen a 80 – 4 = 76 35 5. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS DE DOS FACTORES Otra situación que podemos tener con medidas repetidas es cuando tenemos dos factores. Mientras que en el anterior diseño teníamos un sólo factor con J niveles por los que pasan n sujetos de la muestra, en este tendremos J niveles en el factor A y K niveles en el factor B. A parte de poder determinar si cada uno de los factores afecta a la variable dependiente por separado, en los modelos ANOVA de dos factores podemos ver si la interacción de estos factores afecta a la variable dependiente. En estos modelos el orden de administración de las JK combinaciones de tratamientos es aleatorizado independientemente para cada uno de los sujetos de la muestra. En los modelos de ANOVA-MR de dos factores tenemos que considerar si las medidas repetidas se dan en uno o en ambos factores. Ambas opciones serán estudiadas en este apartado. 5.1. Medidas repetidas en un solo factor La extensión del modelo ANOVA de un factor de efectos fijos completamente aleatorizado a un modelo que incluya un segundo factor con medidas repetidas dentro de los niveles del primero es uno de los más frecuentes en las ciencias sociales. Por ejemplo, diferentes tipos de psicosis pueden ser tratados por el mismo medicamento, con diferentes dosis efectivas. En vez de tener JK grupos independientes, se pueden incluir los diferentes tipos de psicosis y dentro de cada grupo probar las diferentes dosis en todos los individuos. Por consiguiente, el primer factor es de grupos independientes, y el segundo factor es medidas repetidas en todos los individuos de cada grupo. Los diseños que incluyen un factor de tipo intersujetos y otro de tipo intrasujetos se conocen como diseños mixtos. En otro ejemplo, podríamos considerar una preocupación entre sociólogos sobre cómo los hombres y las mujeres adolescentes atribuyen la pobreza o riqueza a diferentes causas. El género (factor B) sería manipulado encuestando a hombres y mujeres adolescentes formando dos grupos independientes, pero a todos los adolescentes se les mediría la importancia que le dan a las cuatro explicaciones (factor A). En general, si uno de los factores es una variable de la personalidad o del organismo, entonces el factor (B) sólo puede variar seleccionando grupos independientes. Si a cada individuo de la segunda variable (A) no le afectaría participar en cada condición (i.e. no hay efecto carry-over) y esta variable puede introducirse como cuantitativa (e.g. diferentes edades) o cualitativa (e.g. diferentes explicaciones de la pobreza), entonces se podrían utilizar las mismas personas en todas las condiciones. 36 “Cuando los sujetos se asignan a los niveles del factor A de forma aleatoria, reciben el nombre de diseños split-plot. Una desventaja de este diseño es que el efecto del factor intersujetos puede confundirse con el del factor intrasujetos ya que cada grupo de sujetos es asignado solamente a uno de esos Aj niveles. Por tanto, en este modelo se plantean también tres hipótesis: una referida al factor intersujetos (A), otra al del factor intrasujetos (B) y una última referida a los efectos de la interacción.” (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]) 5.1.1. Modelo El modelo de ANOVA de dos factores con medidas repetidas en uno de ellos es una versión del modelo lineal general adaptado al caso en el que hay dos variables independientes; una que divide la muestra en dos o más grupos y otra referida a la muestra total. El modelo que describe la variable dependiente 𝑌𝑖𝑗𝑘, es el siguiente: 𝑌𝑖𝑗𝑘=𝜇+𝛼𝑗+𝛽𝑘+𝜋𝑖(𝑘)+𝛼𝛽𝑗𝑘+𝜋𝛼𝑖(𝑘)𝑗+𝑒𝑖𝑗𝑘 (5.1) En este modelo: 1. 𝑌𝑖𝑗𝑘 es la puntuación obtenida en la variable Y por el sujeto i del grupo j en el tratamiento k del factor B. 2. µ representa la parte de media común a todos los sujetos, se calcula mediante: 𝜇=∑𝜇+𝑗𝑘 𝐽𝐾 Siendo su estimador: 𝜇=𝑌 3. El parámetro 𝛼𝑗 representa el efecto propio del j-ésimo nivel del factor A o el efecto atribuible al grupo j bajo el que se obtuvo la puntuación 𝑌𝑖𝑗𝑘: 𝛼𝑗=𝜇+𝑗+−𝜇 𝛼𝑗 =𝑌+𝑗+−𝑌 4. El parámetro 𝛽𝑘 representa el efecto propio del k-ésimo nivel del factor B o el efecto atribuible al tratamiento k bajo el que se obtuvo la puntuación 𝑌𝑖𝑗𝑘: 𝛽𝑘=𝜇++𝑘−𝜇 𝛽󰆹𝑘=𝑌++𝑘−𝑌 37 5. (𝛼𝛽)𝑗𝑘 representa el efecto de la interacción entre el grupo j del factor A y el nivel k del factor B: (𝛼𝛽)𝑗𝑘=𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘+𝜇 (𝛼𝛽 )𝑗𝑘=𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌 6. 𝜋𝑖 se refiere a los efectos debidos a las diferencias entre los sujetos: 𝜋𝑖=𝜇𝑖++−𝜇+𝑗+ 𝜋𝑖=𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+ 7. (𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘 representa el término de errores aleatorios o las desviaciones de las puntuaciones del sujeto i respecto al promedio de su grupo y de los tratamientos: (𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗𝑘−𝜇𝑖+++𝜇+𝑗+ (𝜋𝛽) 𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖+++𝑌+𝑗+ 8. 𝑒𝑖𝑗𝑘 representa el término de errores aleatorios o las desviaciones de las puntuaciones del sujeto i respecto al promedio de su grupo y de los tratamientos: 𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇 𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌 Los términos 𝜋𝑖, (𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘 y 𝑒𝑖𝑗𝑘 son independientes y normales con media 0 y varianza 𝜎𝜋2, 𝜎𝜋𝛽 2 y 𝜎𝑒2 respectivamente. 5.1.2. Supuestos Las suposiciones subyacentes al estudio de dos factores con medidas repetidas en un factor son una mezcla de aquellas de los grupos independientes y las de un diseño de medidas repetidas de un factor. La variabilidad dentro del grupo es la misma para cada grupo y las observaciones se distribuyen normal e independientemente entre los grupos. Sin embargo, en este caso el factor intrasujetos es el único que asume el supuesto de esfericidad para sus K niveles dentro de cada nivel Aj del factor intersujetos. Esto es, la matriz ∑ de los K niveles del factor B ha de ser esférica e igual para todos los grupos Aj. Huynh (1978) se refirió a estas dos suposiciones como esfericidad multimuestra. Si los supuestos del modelo se sostienen, el tratamiento y los test F de interacción son válidos. Si se viola cualquiera de los supuestos, entonces la esfericidad no se sostiene y el contraste de la hipótesis sobre los efectos de la interacción es más sensible al error tipo I (Huynh y Feldt, 1980). El supuesto de esfericidad se viola la mayoría de las veces por lo que se han 38 investigado diferentes técnicas alternativas de corrección. Estas incluyen la corrección Greenhouse-Geisser que es la menos robusta, el ajuste 𝜀, el ajuste 𝜀 y análisis multivariante. La robustez varía tambien en función del grado de la desviación de la esfericidad, del tipo de distribución de puntuaciones, del tamaño de la muestra y del número de niveles del factor intrasujetos en comparación con el tamaño de la muestra. Cuando la desviación de la esfericidad es baja (ε ≥ 0.75), podemos utilizar 𝜀 para realizar el ajuste de los grados de libertad, pero solo cuando la muestra es mayor que el número de niveles del factor intrasujetos (Rogan et al., 1979) y el factor intersujetos tiene sólo dos niveles (Maxwell y Arvey, 1982). Por el contrario, cuando la desviación hacia la esfericidad es mayor (ε < 0.75) la corrección 𝜀 es más robusta, sobre todo si el factor intersujetos tiene más de dos niveles, la muestra es amplia y los datos siguen el modelo de distribución normal (Maxwell y Arvey, 1982). 5.1.3. Estadísticos de contraste El modelo ANOVA de dos factores mixto es un contraste en el que se ponen a prueba tres hipótesis. Una sobre los efectos del factor A, otra sobre los efectos del factor B y una última sobre la interacción AB. Planteamiento de las hipótesis: 𝐻0(𝐴): 𝜇+1+=𝜇+2+= ...𝜇+𝑗+=𝜇+𝐽+; o bien 𝛼𝑗=0 para todo valor de j o j’ (j ≠ j’) 𝐻1(𝐴):𝜇+𝑗+≠𝜇+𝑗′+ para algún valor de j o de j’ (j ≠ j’) 𝐻0(𝐵): 𝜇++1=𝜇++2= ...𝜇++𝑘=𝜇++𝐾; o bien 𝛽𝑘=0 para todo valor de k o k’ (k ≠ k’) 𝐻1(𝐵):𝜇++𝑘≠𝜇++𝑘′ para algún valor de k o k’ (k ≠ k’) 𝐻0(𝐴𝐵):𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘= 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+; o bien (𝛼𝛽)𝑗𝑘=0 para todo valor de j o k 𝐻1(𝐴𝐵): 𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘≠ 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+ para algún valor de j, j’ o k (j ≠ j’) Partiendo del modelo planteado y sus supuestos podemos derivar los estadísticos de contraste con distribución muestral conocida que permitan poner a prueba las hipótesis planteadas. Si sustituimos los valores poblacionales del modelo planteado en (5.1) por sus correspondientes estimadores y trasladamos a la izquierda el término 𝑌 se obtienen las siete fuentes de variabilidad del modelo: 𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌=(𝑌+𝑗+−𝑌)+(𝑌++𝑘−𝑌)+(𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌)+(𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+)+ (𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖+++𝑌+𝑗+)+(𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌) (5.2) Calculando la suma de cuadrados de cada uno de los términos de (5.2) en el conjunto de las N puntuaciones y transformándolo, obtenemos las sumas de cuadrados y sus grados de libertad. 39 Sumas de cuadrados g.l. 𝑆𝐶𝑇=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−𝑇2 𝑁 𝑘𝑗𝑖 N – 1 𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟=∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾−𝑇2 𝑁 𝑗𝑖 nJ – 1 𝑆𝐶𝐴= ∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 −𝑇2 𝑁 𝑗 J – 1 𝑆𝐶𝑃= ∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾−∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 𝑗𝑗𝑖 J(n – 1) 𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑟𝑎= ∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾 𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖 nJ(K – 1) 𝑆𝐶𝐵= ∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 −𝑇2 𝑁 𝑘 K – 1 𝑆𝐶𝐴𝐵=∑∑𝑇+𝑗𝑘 2 𝑛−∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 −∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 +𝑇2 𝑁 𝑘𝑗𝑘𝑗 (J – 1)(K – 1) 𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾 𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖 −∑∑𝑇𝑗𝑘+ 2 𝑛+∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 𝑗𝑘𝑗 J(K – 1)(n – 1) 40 Las medias cuadráticas, su formulación y sus valores esperados aparecen en la siguiente tabla: Tabla 4. Medias cuadráticas y valores esperados en el modelo de dos factores con medidas repetidas en uno solo. Fuente de variación Media cuadrática Valor esperado Factor A 𝑀𝐶𝐴= 𝑆𝐶𝐴 𝐽−1 𝜎2+𝐾𝜎𝜋2+𝑛𝐾∑𝛼2/(𝐽−1) Sujetos (P) 𝑀𝐶𝑃= 𝑆𝐶𝑃 𝐽(𝑛−1) 𝜎2+𝐾𝜎𝜋2 Factor B 𝑀𝐶𝐵= 𝑆𝐶𝐵 𝐾−1 𝜎2+𝜎𝛽𝜋 2+𝑛𝐽∑𝛽2/(𝐾−1) Interacción AB 𝑀𝐶𝐴𝐵= 𝑆𝐶𝐴𝐵 (𝐽−1)(𝐾−1) 𝜎2+𝜎𝛽𝜋 2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1) B x Sujetos 𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)= 𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.) (𝐽−1)(𝐾−1) 𝜎2+𝜎𝛽𝜋 2 Cada estadístico de contraste resulta del cociente entre la media cuadrática de la fuente de variabilidad y su correspondiente media cuadrática error (la intrasujetos, MC(B x Suj.) y la intersujetos, MCP). En la siguiente tabla tenemos un resumen sobre los estadísticos de contraste y sus grados de libertad correspondientes (la F se distribuye con los grados de libertad del numerador y del denominador.) 41 Tabla 5. Tabla resumen del ANOVA de dos factores mixto. FV SC g.l. MC F Intersujetos SCInter nJ - 1 Factor A (A) SCA J - 1 MCA 𝐹𝐴=𝑀𝐶𝐴 𝑀𝐶𝑃 Sujetos (P) SCP J (n – 1) MCP Intrasujetos SCIntra nJ(K – 1) Factor B SCB K-1 MCB 𝐹𝐵=𝑀𝐶𝐵 𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.) Interacción AB SCAB (J – 1)(K – 1) MCAB 𝐹𝐴𝐵=𝑀𝐶𝐴𝐵 𝑀𝐶(𝐵𝑥𝑆𝑢𝑗.) B x Sujetos SC(B x Suj.) J(K – 1)(n – 1) Total (T) SCT N - 1 48 4. El parámetro 𝛽𝑘 representa el efecto propio del k-ésimo nivel del factor B o el efecto atribuible al tratamiento k bajo el que se obtuvo la puntuación 𝑌𝑖𝑗𝑘: 𝛽𝑘=𝜇++𝑘−𝜇 𝛽󰆹𝑘=𝑌++𝑘−𝑌 5. (𝛼𝛽)𝑗𝑘 representa el efecto de la interacción entre el grupo j del factor A y el nivel k del factor B: (𝛼𝛽)𝑗𝑘=𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘+𝜇 (𝛼𝛽 )𝑗𝑘=𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌 6. 𝜋𝑖 se refiere a los efectos debidos a las diferencias entre los sujetos: 𝜋𝑖=𝜇𝑖++−𝜇 𝜋𝑖=𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+ 7. (𝜋𝛼)𝑖𝑗 es la interacción entre el sujeto i y el tratamiento j del factor A: (𝜋𝛼)𝑖𝑗=𝜇𝑖𝑗+−𝜇+𝑗+−𝜇𝑖+++𝜇 (𝜋𝛼) 𝑖𝑗=𝑌𝑖𝑗+−𝑌+𝑗+−𝑌𝑖+++𝑌 8. (𝜋𝛽)𝑖𝑘 es la interacción entre el sujeto i y el tratamiento k del factor B: (𝜋𝛽)𝑖𝑘=𝜇𝑖+𝑘−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇 (𝜋𝛽) 𝑖𝑘=𝑌𝑖+𝑘−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌 9. (𝜋𝛼𝛽)𝑖𝑗𝑘es la interacción entre el sujeto i y el efecto de la combinación jk de los JK tratamientos. (𝜋𝛼𝛽)𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗𝑘−𝜇𝑖𝑗+−𝜇𝑖+𝑘+𝜇+𝑗++𝜇++𝑘+𝜇𝑖++−𝜇 (𝜋𝛼𝛽) 𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖𝑗+−𝑌𝑖+𝑘+𝑌+𝑗++𝑌++𝑘+𝑌𝑖++−𝑌 10. 𝑒𝑖𝑗𝑘 representa el término de errores aleatorios o las desviaciones de las puntuaciones del sujeto i no sólo respecto al promedio de su grupo sino también respecto a su promedio en todos los tratamientos: 𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇 𝑒𝑖𝑗=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌 49 5.2.2. Supuestos En los dos modelos anteriores asumimos que las observaciones 𝑌𝑖𝑗𝑘 son normales e independientes y que existe homogeneidad en las varianzas de las variables y en las diferencias entre variables. 𝑌𝑖𝑗𝑘 es una variable aleatoria independiene y normalmente distribuida con media 𝜇+𝑗𝑘 y varianza 𝜎𝜋2+𝜎𝑒2 para el modelo aditivo y 𝜎𝜋2+𝜎𝑒2+𝜎𝜋𝛼 2+𝜎𝜋𝛽 2+𝜎𝜋𝛼𝛽 2 para el no aditivo. Como en el modelo de un factor, en el de dos factores se asumen los supuestos de independencia, normalidad y esfericidad. En este último hay dos casos generales que considerar. El primero se refiere al modelo aditivo. Asumimos igualdad de varianzas 𝜎𝜋𝛼 2=𝜎𝜋𝛽 2=𝜎𝜋𝛼𝛽 2 . Cada varianza de la interacción parcial constituye un estimador de la varianza de la interacción total y el promedio ponderado de sus medidas cuadráticas, la media cuadrática del error para la prueba F del ANOVA. Para que esto se cumpla es necesario que la matriz de varianzas-covarianzas de las K combinaciones de tratamiento satisfaga el supuesto de esfericidad. El segundo caso es cuando el modelo no aditivo se considera más adecuado o cuando la matriz de varianzas-covarianzas total no cumple el supuesto de esfericidad. Si esto ocurre, aún es posible que cada una de las tres submatrices cumpla este supuesto y que la prueba F sea válida. En este caso es necesario utilizar la media cuadrática error derivada de las distintas medias cuadráticas de las interacciones parciales y los grados de libertad del denominador de F resultan más pequeños que en el primer caso. Si no se cumple el supuesto de esfericidad en cada una de las submatrices se procede como en el modelo de un factor; empleando las correcciones en los grados de libertad o los contrastes multivariados. 5.2.3. Estadísticos de contraste 𝐻0(𝐴): 𝜇+1+=𝜇+2+= ...𝜇+𝑗+=𝜇+𝐽+; o bien 𝛼𝑗=0 para todo valor de j o j’ (j ≠ j’) 𝐻1(𝐴):𝜇+𝑗+≠𝜇+𝑗′+ para algún valor de j o de j’ (j ≠ j’) 𝐻0(𝐵): 𝜇++1=𝜇++2= ...𝜇++𝑘=𝜇++𝐾; o bien 𝛽𝑘=0 para todo valor de k o k’ (k ≠ k’) 𝐻1(𝐵):𝜇++𝑘≠𝜇++𝑘′ para algún valor de k o k’ (k ≠ k’) 𝐻0(𝐴𝐵):𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘= 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+; o bien (𝛼𝛽)𝑗𝑘=0 para todo valor de j o k 𝐻1(𝐴𝐵): 𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘≠ 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+ para algún valor de j, j’ o k (j ≠ j’) Partiendo del modelo planteado y sus supuestos pueden derivarse los estadísticos de contraste con distribución muestral conocida que permitan poner a prueba las tres hipótesis planteadas tanto desde el modelo aditivo como desde el no aditivo. En primer lugar nos referimos al modelo aditivo. 50 Si sustituimos los valores poblacionales del modelo aditivo planteado en (5.2.2) por sus correspondientes estimadores muestrales obtenemos lo siguiente 𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌=(𝑌+𝑗+−𝑌)+(𝑌++𝑘−𝑌)+(𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌)+(𝑌𝑖++−𝑌)+(𝑌𝑖𝑗𝑘 −𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌) Sumas de cuadrados g.l. 𝑆𝐶𝑇=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−𝑇2 𝑁 𝑘𝑗𝑖 N – 1 𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟=∑∑𝑇+𝑗𝑘 2 𝑛−𝑇2 𝑁 𝑘𝑗 JK – 1 𝑆𝐶𝐴= ∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 −𝑇2 𝑁 𝑗 J – 1 𝑆𝐶𝐵= ∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 −𝑇2 𝑁 𝑘 K – 1 𝑆𝐶𝐴𝐵=∑∑𝑇+𝑗𝑘 2 𝑛−∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 −∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 +𝑇2 𝑁 𝑘𝑗𝑘𝑗 (J – 1)(K – 1) 𝑆𝐶𝑃= ∑𝑇𝑖++ 2 𝐽𝐾 −𝑇2 𝑁 𝑖 (n – 1) 𝑆𝐶𝐸=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 −∑𝑇𝑖++ 2 𝐽𝐾 +𝑇2 𝑁 𝑖𝑗𝑘𝑗𝑖 (JK-1)(n-1) 51 Tabla 7. Medidas cuadráticas y valores esperados en el modelo no aditivo de dos factores con medidas repetidas en ambos. (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]). Fuente de variación Media cuadrática Valor esperado Factor A 𝑀𝐶𝐴=𝑆𝐶𝐴 𝐽−1 𝜎2+𝑛𝑗∑𝛼2/(𝐽−1) Factor B 𝑀𝐶𝐵= 𝑆𝐶𝐵 𝐾−1 𝜎2+𝑛𝑘∑𝛽2/(𝐾−1) Interacción AB 𝑀𝐶𝐴𝐵= 𝑆𝐶𝐴𝐵 (𝐽−1)(𝐾−1) 𝜎2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1) Sujetos (P) 𝑀𝐶𝑃= 𝑆𝐶𝑃 𝑛−1 𝜎2+𝐽𝐾𝜎𝜋2 Error (E) 𝑀𝐶𝐸= 𝑆𝐶𝐸 (𝐽𝐾−1)(𝑛−1) 𝜎2 En el modelo no aditivo los efectos de la interacción entre cada factor (A, B y AB) y los sujetos están incluidos en el término MCE cuyo valor podemos descomponer en los siguientes tres componentes: 𝑀𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=𝑆𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.) (𝐽−1)(𝑛−1) 𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.) (𝐾−1)(𝑛−1) 𝑀𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)= 𝑆𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.) (𝐽−1)(𝐾−1)(𝑛−1) Donde las sumas de cuadrados se calculan: 𝑆𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾−∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 𝑗−∑𝑇𝑖++ 2 𝐽𝐾 +𝑇2 𝑁 𝑖𝑗𝑖 𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑𝑇𝑖+𝑘 2𝐽−∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 −∑𝑇𝑖++ 2 𝐽𝐾 +𝑇2 𝑁 𝑖𝑘𝑘𝑖 𝑆𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘 2−∑∑𝑇𝑖𝑗+ 2 𝐾−∑∑𝑇𝑖+𝑘 2𝐽−∑∑𝑇+𝑗𝑘 2 𝑛 𝑘𝑗 +∑𝑇𝑖++ 2 𝐽𝐾 𝑖𝑘𝑖𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖 +∑𝑇+𝑗+ 2 𝑛𝐾 +∑𝑇++𝑘 2 𝑛𝐽 +𝑇2 𝑁 𝑘𝑗 52 En la siguiente tabla aparecen indicados los valores esperados de las nuevas medias cuadráticas (ya que hemos introducido nuevas fuentes de variación). Tabla 8. Valores esperados de las medias cuadráticas del modelo de dos factores con medidas repetidas en ambos (modelo no aditivo) (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]). Fuente de variación Valor esperado Factor A 𝜎2+𝐾𝜎𝜋𝛼 2+𝑛𝑗∑𝛼2/(𝐽−1) Factor B 𝜎2+𝐽𝜎𝜋𝛽 2+𝑛𝑘∑𝛽2/(𝐾−1) Interacción AB 𝜎2+𝜎𝛼𝛽 2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1) Sujetos (P) 𝜎2+𝐽𝐾𝜎𝜋2 A x Sujetos 𝜎2+𝐾𝜎𝛼𝑝 2 B x Sujetos 𝜎2+𝐽𝜎𝛽𝑝 2 AB x Sujetos 𝜎2+𝜎𝛼𝛽𝑝 2 5.2.4. Ejemplo práctico en SAS Ejemplo 3: “En el ejemplo del apartado sobre ANOVA-MR de un factor se estudiaba la respuesta afectiva hacia un perfume en cuatro grados diferentes de concentración fijados por el investigador (500 ppm, 1000 ppm, 1500 ppm, 2000 ppm). Ahora dicho investigador está interesado en estudiar un nuevo factor (factor B): el tipo de aroma del que está compuesto el perfume. Ha considerado tres tipos de aroma: B1: lavanda (el más suave); B2: espliego; y B3: rosas (el más fuerte). En cuanto al factor A, en este caso solamente decide considerar dos tipos de concentración de perfume: A1: la mínima (500 ppm) y A2: la máxima (2000 ppm). Ambas variables se miden en una nueva muestra que consta de 10 sujetos, los cuales pasan por todos los niveles de los factores considerados. Por tanto, el objetivo ahora es estudiar el efecto del grado de concentración del perfume y el tipo de aroma, y el de ambos factores en interacción sobre la respuesta afectiva hacia el perfume. La respuesta afectiva de los sujetos se mide en una escala de 1 a 7. Los resultados obtenidos aparecen en la Tabla 9.“ (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael, [2]) 53 Tabla 9. Respuesta afectiva de 10 sujetos hacia un perfume en dos grados de concentración y tres tipos de aroma. Concentración de 500 ppm Concentración de 2000 ppm Sujetos: Lavanda Espliego Rosas Lavanda Espliego Rosas 1 3 4 5 5 6 5 2 4 4 4 6 7 4 3 4 6 7 4 6 7 4 4 4 5 5 7 7 5 2 4 5 5 4 7 6 2 3 7 5 6 7 7 4 3 5 4 7 6 8 6 6 5 6 6 6 9 4 6 6 7 3 7 10 4 5 4 4 6 6 A) PROC GLM Figura 28. Lectura de datos para el Ejemplo 3. Figura 29. Código para analizar el Ejemplo 3 con PROC GLM Estamos ante un estudio de dos factores con medidas repetidas en ambos por lo que a la hora de su lectura tendremos que indicarlo de forma jerárquica en la sentencia REPEATED siendo DOSIS el primer factor con dos niveles y dentro de cada dosis tenemos FLOR con tres niveles. El test de esfericidad se realiza para aquellos factores con más de dos niveles por lo que en nuestro ejemplo tendremos un test para FLOR y otro para la interacción FLOR*DOSIS. 54 FLOR: Figura 30. Test de esfericidad para la variable FLOR. El p-valor es alto (0.2407) por lo que no rechazamos la hipótesis nula y podemos considerar que la matriz de varianzas y covarianzas es de Tipo H. FLOR*DOSIS: Figura 31. Test de esfericidad para la interacción de FLOR x DOSIS El p-valor es alto (0.3399) por lo que no rechazamos la hipótesis nula y podemos considerar que la matriz de varianzas y covarianzas de FLOR*DOSIS es de Tipo H. 55 Figura 32. Test F univariantes para los efectos intrasujetos DOSIS y FLOR y su interacción En nuestro ejemplo solo tenemos efectos intrasujetos y como observamos en Figura 32 tanto el factor DOSIS como FLOR influyen en la variable respuesta pero su interacción no. 56 B) PROC MIXED Figura 33. Lectura de datos para Ejemplo 3 con PROC MIXED. Para usar PROC MIXED tenemos que cambiar los datos de forma. En este caso al tener dos factores con medidas repetidas en ambos tendremos que crear dos nuevas columnas, una referida a la concentración del perfume (DOSIS) y otra a la variedad de flor (FLOR). La variable respuesta se tendrá en una sola columna Y. Podemos observar cómo hay que presentar los datos en Anexo 6. Como siempre que utilizamos el procedimiento PROC MIXED, pasamos a evaluar qué estructura de la matriz de varianzas-covarianzas parece ser la más adecuada. Figura 34. PROC MIXED con estructura de covarianza "simetría compuesta" Figura 35. PROC MIXED con estructura de covarianza "Tipo H" Figura 36. PROC MIXED con estructura de covarianza "No estructurada" Para ello tenemos que fijarnos en los índices AIC y BIC que aparecen a continuación para cada tipo de estructura. 57 Figura 37. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "simetría compuesta" Figura 38. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "Tipo H" Figura 39. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "No estructurada" Como podemos observar, la estructura de covarianza “simetría compuesta” es la más adecuada ya que sus índices AIC y BIC son los más bajos de las 3 estructuras que hemos estudiado. Seguiremos el estudio con esta estructura, es decir, ejecutando el código de Figura 39. Figura 40. Test de tipo III para contrastar las hipótesis nulas del modelo 64 Para ello nos vamos a fijar en los test MANOVA ya que no se cumple la hipótesis del test de esfericidad Figura 54. Test para contrastar la hipótesis nula del modelo. Como vemos el p-valor es significativo por lo que podemos decir que el tipo de “comida” que el concursante ingiere sí que influye en el tiempo que tarda este en tener una arcada. Tabla 12. Datos para el ejemplo 5 (missing) Famoso Insecto palo Testículos de canguro Ojo de pez Larvas de coso 1 8 7 1 6 2 9 5 2 5 3 6 2 3 8 4 5 3 1 9 5 8 4 5 - 6 7 5 6 7 7 10 2 7 2 8 12 6 8 1 A) PROC GLM Como vimos en el punto 4.5 PROC GLM no utiliza los datos de ningún sujeto que tenga valores missing. Esto significa que para nuestro conjunto de datos PROC GLM tratará al sujeto 5 como si no apareciera. 65 Figura 55. Lectura de datos para el Ejemplo 5 (missing) usando PROC GLM. Figura 56. Código para analizar el Ejemplo 5 (missing) utilizando PROC GLM. Figura 57. Test de esfericidad para el Ejemplo 5 (missing). P-valor no significativo por lo tanto no rechazamos la hipótesis de que la matriz de varianzas y covarianzas sea de tipo H. Podremos utilizar el estadístico F. Figura 58. Test F univariante para los efectos intrasujetos. 66 Como observamos el p-valor del factor COMIDA es no significativo a nivel 0,05 por lo que no rechazamos la hipótesis nula y podemos decir que el tipo de “comida” que se le da al concursante no afecta al tiempo que tarda este en que le dé una arcada. B) PROC MIXED Fijándonos otra vez en el punto 4.5 vimos que con un conjunto de datos donde hay observaciones missing PROC MIXED utiliza el conjunto de datos completo ya que usa una estimación basada en la verosimilitud. Figura 59. Lectura de datos para el Ejemplo 5 (missing) usando PROC MIXED. Primero seleccionamos la estructura de la matriz de varianzas y covarianzas. Figura 60. PROC MIXED con estructura de covarianza "simetría compuesta". Figura 61. PROC MIXED con estructura de covarianza "Tipo H". 67 Figura 62. PROC MIXED con estructura de covarianza "sin estructura". Nos fijamos en los índices AIC y BIC y la estructura bajo la cual tome los valores más bajos será la elegida. Figura 63. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "simetría compuesta". Figura 64. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "Tipo H". Figura 65. Estadísticos de ajuste para la estructura de covarianza "sin estructura". Seleccionamos la estructura “sin estructura” para la matriz de varianzas y covarianzas y nos fijamos en el contraste de hipótesis. 68 Figura 66. Test de tipo III para contrastar la hipótesis nula del modelo. Como observamos en la Figura 66 el p-valor es significativo por lo que, al contrario que cuando usamos PROC GLM, podemos decir que el tipo de “comida” que se le da al concursante para ingerir influye en el tiempo que este tarda en tener una arcada. Esto se debe a que mientras que PROC MIXED no necesita que sus datos estén balanceados, PROC GLM elimina aquellos sujetos donde se encuentra alguna observación missing lo que supone una perida de información. Las conclusiones que sacamos con PROC MIXED para los datos con observaciones missing son las mismas que cuando usamos datos balanceados. 7. Conclusiones El análisis de medidas repetidas es un diseño muy utilizado en ciencias sociales. Resulta muy útil cuando queremos economizar el número de sujetos al que preguntar, pero para poder utilizarlo debemos tener en cuenta los posibles problemas como la fatiga, los datos no balanceados o el efecto residual. Además, tenemos que comprobar que nuestros datos cumplan los supuestos de independencia, normalidad y esfericidad. Hemos visto que estos datos pueden ser analizados con SAS y que deberemos tener en cuenta que PROC GLM utiliza solo a los individuos cuyos datos están completos y sin embargo PROC MIXED aprovecha toda la información ya que usa una estimación basada en la verosimilitud. 8. Posibles ampliaciones A lo largo del desarrollo de este trabajo han ido surgiendo ciertos posibles temas de ampliación que por la limitación de tiempo no se han podido desarrollar. Comparaciones múltiples: Cuando rechazamos la hipótesis nula del modelo, parece razonable estudiar entre qué medias existen diferencias. 69 Comparaciones de tendencia: “Si los J niveles de la variable independiente analizada son cuantitativos y se ha rechazado la hipótesis nula del ANOVA, puede resultar interesante conocer el tipo de relación que existe entre la variable dependiente e independiente.” (Ximénez, Carmen y San Martín, Rafael [2]) R: Tanto SAS como R son dos de los programas más utilizados en los estudios estadísticos y ambos se han tratado en diferentes asignaturas a lo largo de la carrera. La ventaja de R es que este es libre y por lo tanto cualquier persona puede acceder a ello. Mi primera intención era realizar todos los ejemplos en ambos para compararlos y sin duda me parece interesante la aplicación de estos métodos en R. 70 9. Glosario de vocabulario inglés-español Unbalanced design = diseño no balanceado Counterbalancing = contrapeso Attrition = desgaste Carry-over = arrastre Carry-over effect = efecto residual Compound symmetry = simetría compuesta Score = valor/observación Working mean model = modelo útil de la media Powerful = potente Between-subject = intersujeto Within-subject = intrasujeto 71 10. Anexo Anexo 1. Datos para Ejemplo 1. PROC GLM 72 Anexo 2. Datos para Ejemplo 1. PROC MIXED 73 Anexo 3. Datos para Ejemplo 2. PROC GLM