ANOVA con medidas repetidas

1
Facul ad de Ciencias
T abajo Fin de G ado
G ado en Es adís ica
ANOVA con Medidas Repe idas
Au o : Ignacio Fe nández Inies a
Tu o /es: Lou des Ba ba Esc ibá
2
3
CONTENIDOS
1. RESUMEN ........................................................................................................................................... 9
2. ABSTRACT .......................................................................................................................................... 9
3. ANÁLISIS CON MEDIDAS REPETIDAS .................................................................................................. 10
3.1. In oducción ......................................................................................................................................... 10
3.2. Ven ajas ................................................................................................................................................ 10
3.3. Incon enien es: .................................................................................................................................... 10
3.3.1. Diseño de con apeso (coun e balancing): ................................................................................... 11
3.4. Aplicaciones: ......................................................................................................................................... 13
4. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS EN UN FACTOR ............................................................................ 14
4.1. Modelo básico ...................................................................................................................................... 14
4.2. El es adís ico de con as e .................................................................................................................... 16
4.2.1. El es adís ico F ............................................................................................................................... 17
4.3. Supues os ............................................................................................................................................. 18
4.3.1. Independencia ............................................................................................................................... 18
4.3.2. No malidad .................................................................................................................................... 18
4.3.3. Adi i idad o Es e icidad ................................................................................................................. 18
4.4. Medidas del amaño del e ec o ............................................................................................................ 24
4.5. Ejemplo p ác ico en SAS ....................................................................................................................... 24
A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 26
B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 30
5. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS DE DOS FACTORES ....................................................................... 35
5.1. Medidas epe idas en un solo ac o .................................................................................................... 35
5.1.1. Modelo .......................................................................................................................................... 36
5.1.2. Supues os ...................................................................................................................................... 37
5.1.3. Es adís icos de con as e ............................................................................................................... 38
5.1.4. Ejemplo p ác ico en SAS ................................................................................................................ 42
5.2. Medidas epe idas en los dos ac o es ................................................................................................. 47
5.2.1. Modelo .......................................................................................................................................... 47
5.2.2. Supues os ...................................................................................................................................... 49
5.2.3. Es adís icos de con as e ............................................................................................................... 49
5.2.4. Ejemplo p ác ico en SAS ................................................................................................................ 52
6. O os ejemplos en SAS ...................................................................................................................... 58
Ejemplo 4: .................................................................................................................................................... 58
A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 60
4
B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 61
Ejemplo 5: .................................................................................................................................................... 63
A) PROC GLM ........................................................................................................................................... 64
B) PROC MIXED ........................................................................................................................................ 66
7. Conclusiones .................................................................................................................................... 68
8. Posibles ampliaciones ....................................................................................................................... 68
9. Glosa io de ocabula io inglés-español ............................................................................................. 70
10. Anexo ............................................................................................................................................ 71
11. Bibliog a ía y enlaces ...................................................................................................................... 76
5
INDICE DE TABLAS
Tabla 1. Ejemplo diseño de con apeso (R.Gi den, Ellen [1]) .......................................................................... 12
Tabla 2. Resumen del ANOVA en medidas epe idas de un ac o ................................................................. 16
Tabla 3. Respues a a ec i a de 20 suje os hacia un pe ume en cua o g ados de concen ación. ............... 25
Tabla 4. Medias cuad á icas y alo es espe ados en el modelo de dos ac o es con medidas epe idas en
uno solo. .......................................................................................................................................................... 40
Tabla 5. Tabla esumen del ANOVA de dos ac o es mix o. ............................................................................ 41
Tabla 6. Tabla de da os pa a el ejemplo de dos ac o es con medidas epe idas en un solo ac o . ............. 42
Tabla 7. Medidas cuad á icas y alo es espe ados en el modelo no adi i o de dos ac o es con medidas
epe idas en ambos. (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael [2]).................................................................. 51
Tabla 8. Valo es espe ados de las medias cuad á icas del modelo de dos ac o es con medidas epe idas en
ambos (modelo no adi i o) (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael [2]). ...................................................... 52
Tabla 9. Respues a a ec i a de 10 suje os hacia un pe ume en dos g ados de concen ación y es ipos de
a oma. ............................................................................................................................................................. 53
Tabla 10. Da os pa a el Ejemplo 4. .................................................................................................................. 58
Tabla 12. Da os pa a el ejemplo 5 (comple os). .............................................................................................. 63
Tabla 13. Da os pa a el ejemplo 5 (missing) .................................................................................................... 64

6
INDICE DE FIGURAS
Figu a 1. P ocedimien o a segui cuando usamos PROC GLM en medidas epe idas (Wol inge y Chang [13])
......................................................................................................................................................................... 27
Figu a 2. Código pa a la lec u a de da os de el ejemplo de medidas epe idas en un ac o ......................... 28
Figu a 3. Código pa a analiza el Ejemplo 1 u ilizando PROC GLM. ................................................................ 28
Figu a 4. Tes de es e icidad usando PROC GLM pa a el Ejemplo 1. ............................................................... 29
Figu a 5. Tes mul i a ian e pa a los e ec os in asuje os. ............................................................................. 29
Figu a 6. Tes F uni a ian es pa a los e ec os in asuje o de DOSIS. .............................................................. 30
Figu a 7. P ocedimien o a segui cuando usamos PROC MIXED en medidas epe idas (Wol inge y Chang
[13]). ................................................................................................................................................................ 31
Figu a 8. Código pa a analiza el Ejemplo 1 u ilizando PROC MIXED. ............................................................. 32
Figu a 9. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sime ía compues a”. ................................................ 32
Figu a 10. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “Tipo H o Huynh-Feld ” ............................................. 32
Figu a 11.PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sin es uc u a”. ......................................................... 33
Figu a 12. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “sime ía compues a” ................................ 33
Figu a 13. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “Tipo H”. ..................................................... 33
Figu a 14. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “No es uc u ado”. ..................................... 34
Figu a 15.Tes de ipo 3 pa a con as a la hipó esis nula del modelo. .......................................................... 34
Figu a 16. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 2. ............................................................................................... 43
Figu a 17. Código pa a analiza el Ejemplo 2 u ilizando PROC GLM.. ............................................................. 43
Figu a 18. Tes de es e icidad pa a nues o ejemplo usando PROC GLM. ...................................................... 44
Figu a 19. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in e suje o. ............................................................................. 44
Figu a 20. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in asuje o. ............................................................................. 44
Figu a 21. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sime ía compues a”. .............................................. 45
Figu a 22. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “Tipo H”. .................................................................... 45
Figu a 23. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sin es uc u a”. ........................................................ 45
Figu a 24. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza “sime ía compues a”. ........................... 45
Figu a 25. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza “Tipo H”. ................................................. 46
Figu a 26. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza “No es uc u ada”. ................................. 46
Figu a 27. Tes de ipo III pa a con as a las hipó esis nulas del modelo. ..................................................... 46
Figu a 28. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 3. ............................................................................................... 53
Figu a 29. Código pa a analiza el Ejemplo 3 con PROC GLM ......................................................................... 53
Figu a 30. Tes de es e icidad pa a la a iable FLOR. ...................................................................................... 54
Figu a 31. Tes de es e icidad pa a la in e acción de FLOR x DOSIS ............................................................... 54
Figu a 32. Tes F uni a ian es pa a los e ec os in asuje os DOSIS y FLOR y su in e acción .......................... 55
Figu a 33. Lec u a de da os pa a Ejemplo 3 con PROC MIXED........................................................................ 56
Figu a 34. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sime ía compues a" ................................................ 56
Figu a 35. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "Tipo H" ..................................................................... 56
Figu a 36. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "No es uc u ada" ..................................................... 56
Figu a 37. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sime ía compues a" ............................. 57
Figu a 38. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "Tipo H" .................................................. 57
Figu a 39. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "No es uc u ada" .................................. 57
Figu a 40. Tes de ipo III pa a con as a las hipó esis nulas del modelo ...................................................... 57
Figu a 41. Lec u a de da os pa a Ejemplo 4. ................................................................................................... 59
Figu a 42. Código pa a analiza el Ejemplo 4 u ilizando PROC GLM. .............................................................. 60
Figu a 43. Tes de es e icidad pa a el Ejemplo 4. ............................................................................................ 60
Figu a 44. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in asuje os. ............................................................................ 60
Figu a 45. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in e suje os. ............................................................................ 61
Figu a 46. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sime ía compues a". ............................................... 61
Figu a 47. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "Tipo H". .................................................................... 61
Figu a 48. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sin es uc u a". ........................................................ 61
Figu a 49. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sime ía compues a". ............................ 62
Figu a 50. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "Tipo H". ................................................. 62
Figu a 51. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sin es uc u a". ..................................... 62
Figu a 52.Tes de ipo III pa a con as a la hipó esis nula del modelo. ......................................................... 62
Figu a 53. Tes de es e icidad pa a el Ejemplo 5 (comple os). ....................................................................... 63
7
Figu a 54. Tes pa a con as a la hipó esis nula del modelo. ........................................................................ 64
Figu a 55. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 5 (missing) usando PROC GLM. ................................................. 65
Figu a 56. Código pa a analiza el Ejemplo 5 (missing) u ilizando PROC GLM. ............................................... 65
Figu a 57. Tes de es e icidad pa a el Ejemplo 5 (missing). ............................................................................ 65
Figu a 58. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in asuje os. ............................................................................ 65
Figu a 59. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 5 (missing) usando PROC MIXED. ............................................. 66
Figu a 60. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sime ía compues a". ............................................... 66
Figu a 61. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "Tipo H". .................................................................... 66
Figu a 62. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sin es uc u a". ........................................................ 67
Figu a 63. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sime ía compues a". ............................ 67
Figu a 64. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "Tipo H". ................................................. 67
Figu a 65. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sin es uc u a". ..................................... 67
Figu a 66. Tes de ipo III pa a con as a la hipó esis nula del modelo. ........................................................ 68
ANEXO
Anexo 1. Da os pa a Ejemplo 1. PROC GLM .................................................................................................... 71
Anexo 2. Da os pa a Ejemplo 1. PROC MIXED ................................................................................................. 72
Anexo 3. Da os pa a Ejemplo 2. PROC GLM .................................................................................................... 73
Anexo 4. Da os pa a Ejemplo 2. PROC MIXED ................................................................................................. 74
Anexo 5. Da os pa a Ejemplo 3. PROC GLM .................................................................................................... 75
Anexo 6. Da os pa a Ejemplo 3. PROC MIXED ................................................................................................. 75
8
9
1. RESUMEN
El análisis en medidas epe idas es una al e na i a al modelo clásico de diseño
cada ez más u ilizada sob e odo en es udios elacionados con las ciencias
sociales como po ejemplo en psicología o sociología. La p incipal en aja se
e ie e a que un mismo indi iduo puede se some ido a di e en es a amien os o
condiciones lo que hace que economicemos el núme o de indi iduos que
pa icipa án en el expe imen o. Pe o no odo son en ajas, la a iga, la posibilidad
de ene da os no balanceados o el e ec o esidual son algunos de los
incon enien es que hab á que ene en cuen a al u iliza es e ipo de diseño. En
es e abajo se expond án las en ajas, incon enien es y supues os que se deben
cumpli al ealiza un análisis con medidas epe idas.
Apa e se explica án los di e en es modelos que podemos ene dependiendo de la
es uc u a de nues o expe imen o y pa a cada uno de es os se expond á un
ejemplo esuel o con SAS.
Palab as cla e: medidas epe idas, ANOVA, SAS, PROC GLM, PROC MIXED,
REPEATED
2. ABSTRACT
The epea ed measu es analysis is an al e na i e o he classic design model
inc easingly used specially in s udies ela ed o social sciences such as in
psychology o sociology. The main ad an age is e e ed o he ac ha he same
pe son can be subjec ed o di e en ea men s o condi ions wha leads in o an
economi a ion o he numbe o indi iduals ha need o pa icipa e in he
expe imen . Howe e no e e y hing is an ad an age, he a igue, he possibili y o
ha e unbalanced da a o he ca y-o e e ec a e some o he incon enien s ha
we will ha e o ake in o accoun when using his ype o design. In his p ojec he
ad an ages, disad an ages and he assump ions ha mus be me when pe o ming
a epea ed measu es analysis will be ad essed.
Also, we will explain he di e en ypes o models ha we can ha e depending on
he s uc u e o ou expe imen and each o hem will be p esen ed wi h an example
sol ed using SAS.
Key wo ds: epea ed measu es, ANOVA, SAS, PROC GLM, PROC MIXED,
REPEATED
16
𝑇+𝑗 y 𝑇𝑖+ son los o ales co espondien es a cada a amien o y a cada suje o
espec i amen e. 𝑇+𝑗 ep esen a la suma de las pun uaciones ob enidas po odos
los suje os de la mues a en el a amien o j. Del mismo modo 𝑇𝑖+ ep esen a la
suma de las pun uaciones del suje o i en odos los a amien os o ni eles de j. La
o ma de ob ene es os o ales es la siguien e
𝑇+𝑗 = ∑𝑌𝑖𝑗𝑖 𝑇𝑖+ = ∑𝑌𝑖𝑗𝑗
Finalmen e, la media o al (𝑌..
) y la suma de pun uaciones (𝑇 o 𝑇++) se ob ienen
median e:
T = ∑∑𝑌𝑖𝑗𝑗𝑖 𝑌..
 = 𝑇
𝑁
Tabla 2. Resumen del ANOVA en medidas epe idas de un ac o
Fuen es de
a iación
SC
g.l.
MC
EMC
F
In asuje os
(I)
𝑆𝐶𝐼=∑𝑇+𝑗
2
𝑛−𝑇2
𝑁
𝑗
J-1
𝑀𝐶𝐼= 𝑆𝐶𝐼
𝐽−1
𝜎𝑒2+
𝑛∑𝜏𝑗2
𝑗
𝐽−1
𝐹
=𝑀𝐶𝐼
𝑀𝐶𝐸
Suje os (P)
𝑆𝐶𝑃=∑𝑇𝑖+
2
𝐽
𝑖−𝑇2
𝑁
n-1
𝑀𝐶𝑃=𝑆𝐶𝑃
𝑛−1
𝜎𝑒2+𝐽𝜎π2
E o (e)
𝑆𝐶𝐸=𝑆𝐶𝑇−𝑆𝐶𝐼
−𝑆𝐶𝑃
(J-1)(n-1)
𝑀𝐶𝐸
=𝑆𝐶𝐸
(𝐽−1)(𝑛−1)
𝜎𝑒2
To al (T)
𝑆𝐶𝑇=∑∑𝑌𝑖𝑗2−𝑇2
𝑁
𝑗𝑖
N-1
4.2. El es adís ico de con as e
El ANOVA de medidas epe idas en un solo ac o pone a p ueba la hipó esis sob e
la igualdad de medias en los dis in os J a amien os o ni eles de la a iable
independien e; lo que exp esado o malmen e es:
Siendo 𝜇+𝑗=𝜇+𝜏𝑗
𝐻0: µ+1= µ+2= …=µ+𝐽; o bien 𝐻0:∑𝜏𝑗2=0
𝐻1:µ+𝑗≠ µ+𝑗′ pa a algún alo de j o de j’ (j ≠ j’); o bien 𝐻1:∑𝜏𝑗2≠0

17
4.2.1. El es adís ico F
El es adís ico empleado pa a con as a la hipó esis nula en el modelo de ANOVA
de un ac o con medidas epe idas es:
F = 𝑀𝐶𝐼
𝑀𝐶𝐸
Mien as los supues os del modelo se sos engan, es e es adís ico es sigue la
dis ibución FJ-1,(n-1)(J-1) si la hipó esis nula es e dad. Si 𝐻0 es e dade a, dicho
cocien e se ap oxima a 1. Sin emba go, si 𝐻0 no es e dad, el nume ado ende á a
se más g ande que el denominado . Aho a bien, incluso siendo 𝐻0 e dade a,
eniendo en cuen a que MCI y MCE son alo es mues ales cabe espe a que
calculadas en un conjun o de da os conc e os, exis an di e encias en e ellas. La
cues ión adica en de e mina cuán g andes han de se dichas di e encias pa a
pensa que 𝐻0 no es e dade a. Pa a esponde es a p egun a es necesa io
conoce la dis ibución mues al asociada al cocien e MCI/MCE
Una a iable del ipo (𝑛−1)𝑆𝑛−1
2
𝜎2 se dis ibuye según una 𝑋2 con n-1 g ados de
libe ad.
Del mismo modo (𝐽−1)𝑀𝐶𝐼
𝜎2 sigue una 𝑋2 con J-1 g ados de libe ad bajo 𝐻0 y
(𝐽−1)(𝑛−1)𝑀𝐶𝐸
𝜎2 una 𝑋2 con (J-1)(n-1) g ados de libe ad.
El cocien e en e dos 𝑋2 independien es, cada una de ellas di idida po sus g ados
de libe ad, es po de inición una a iable alea o ia dis ibuida según el modelo de
p obabilidad F con los g ados de libe ad del nume ado y del denominado .
𝑋2/𝑛1
𝑋2/𝑛2≡𝐹𝑛1,𝑛2
Así pues: (𝐽−1)𝑀𝐶𝐼
𝜎2/(𝐽−1)
(𝐽−1)(𝑛−1)𝑀𝐶𝐸
𝜎2/(𝐽−1)(𝑛−1)=𝑀𝐶𝐼
𝑀𝐶𝐸≡𝐹𝐽−1,(𝐽−1)(𝑛−1)
F es un es adís ico adecuado pa a con as a la hipó esis nula del ANOVA con
medidas epe idas ya que in o ma sob e el g ado de disc epancia en e las µ+𝑗 y
posee una dis ibución mues al conocida.
18
4.3. Supues os
4.3.1. Independencia
Es e supues o indica que los suje os de la mues a han sido seleccionados de
mane a alea o ia de su población y asignado a odos los J a amien os del ac o ,
lo que implica que den o de cada a amien o, el alo de la espues a obse ada
de un suje o es independien e al del es o de suje os. En consecuencia, lo que una
pun uación se des ía del p omedio de su g upo (eij) es independien e de lo que o a
pun uación cualquie a se des ía de ese mismo g upo. Es deci , Co (eij, ei’j) = 0
(donde i ≠ i’).
Es e supues o suele comp oba se median e la p ueba de las achas y su
incumplimien o puede se muy g a e de modo que con iene cuida los aspec os
elacionados con la selección y asignación de suje os.
4.3.2. No malidad
Den o de cada a amien o, la mues a ob enida con los n suje os sigue una
dis ibución no mal. Pa a comp oba es o podemos u iliza una p ueba no
pa amé ica sob e no malidad como la p opues a po Kolmogo o -Smi no u o as
simila es.
4.3.3. Adi i idad o Es e icidad
En 1970, Huynh y Feld y Rouane y Lépine demos a on independien emen e que
una condición su icien e y necesa ia pa a lle a a cabo un análisis de medidas
epe idas, sin aplica co ección a los g ados de libe ad, es que las di e encias
en e pa es de pun uaciones engan igual a ianza. Si nos ijá amos en la ma iz de
a ianzas y co a ianzas, a pesa de que no e ela ía la sime ía compues a, pod ía
mos a igualdad de a ianzas en e pa es de alo es. Es a ma iz se llamó la
ma iz H po Huynhh y Feld y se dijo que enía la p opiedad de es e icidad;
Rouane y Lépine se e i ie on a la p opiedad como ci cula idad. Sin emba go, las
ma ices que demues an sime ía compues a ambién ienen la p opiedad de
es e icidad. La sime ía compues a es un caso especial de la es e icidad, pe o es a
úl ima es menos es ic i a que la sime ía compues a. Mien as que la sime ía
compues a equie e {1/2[J(J+1)]} – 2 igualdades (de a ianzas y co a ianzas), la
es e icidad necesi a solo {1/2[J(J-1)]} – 1 igualdades (solo de las di e encias de las
a ianzas; Rouane y Lépine, 1970)
Como 𝜎𝑗𝑘=𝜌𝜎𝑦2 𝑦 𝜎𝑒2=𝜎𝑦2(1−𝜌), la ma iz de a ianzas-co a ianzas iene que
ene la siguien e o ma, la cual desa ollamos an e io men e en la ó mula (4.2)
19
∑ = 𝜎𝑦2(1 𝜌
⋱
𝜌 1)
Es deci , que las a ianzas de los a amien os (diagonal p incipal) son iguales y
que las co a ianzas en e a amien os ( ue a de la diagonal) ambién lo son. Las
ma ices que cumplen es as ca ac e ís icas se dice que ienen la p opiedad de la
sime ía compues a (o compound symme y) y se conocen como ma ices de ipo S
(Box, 1954). Es o solo es posible bajo el modelo adi i o.
La sime ía compues a es una condición su icien e pa a comp oba que el
es adís ico F se dis ibuye median e una F con J-1 y (J-1)(n-1) g ados de libe ad
bajo la hipó esis nula del ANOVA en medidas epe idas. Sin emba go no es una
condición necesa ia. Huynh y Feld (1970), Rouane y Lepine (1970) y más a de
Mendoza (1980) demos a on que el es adís ico F ambién es álido si las
a ianzas de odos los pa es posibles de di e encias en e a amien os son iguales.
Es deci :
Si 𝜎𝑌𝑗−𝑌𝑘
2= 𝜎𝑌𝑗
2+𝜎𝑌𝑘
2−2𝜎𝑌𝑗𝑌𝑘 = cons an e pa a odo j y k.
La es e icidad solamen e equie e que la ma iz ∑, una ez ans o mada median e
la u ilización de polinomios o ono males, sea una ma iz diagonal que con enga
a ianzas iguales en la misma. La ans o mación polinómica o ono mal iene
dada po : 𝐶∗′∑𝐶∗ (4.3)
Donde ∑ es la ma iz de a ianzas-co a ianzas poblacional de o den JxJ y C* la
ma iz de coe icien es o ono males de o den (J-1)xJ.
La hipó esis de que la ma iz esul an e de la exp esión (4.3) es una ma iz diagonal
que con iene a ianzas iguales en la misma se plan ea o malmen e median e
𝐻0: 𝐶∗′∑𝐶∗=𝜎2𝐼𝐽
𝐻0: 𝐶∗′∑𝐶∗≠𝜎2𝐼𝐽 (4.4)
Donde 𝜎2es la a ianza poblacional e 𝐼𝐽 es la ma iz iden idad de o den J.
Pa a comp oba la hipó esis plan eada en (4.4) u ilizamos el es adís ico W o c i e io
de azón de e osimili ud de Mauchly (1940), cuyo alo se calcula median e:
W= |𝐶∗′∑
𝐶∗|
|𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎(𝐶∗′∑
𝐶∗)
𝐽−1 |𝐽−1 (4.5)
Siendo ∑
 la ma iz de a ianzas y co a ianzas mues al.
20
El es adís ico W puede con e i se en una 𝑋2 median e:
𝑋2=−(𝑛−1−2𝐽+5
6)𝑙𝑛𝑊
𝑋2 se dis ibuye ap oximadamen e según una chi-cuad ado con J(J-1)/2 g ados de
libe ad. Pa a mues as su icien emen e g andes, un alo 𝑋2<𝑋(1−𝛼)𝐽(𝐽−1)/2
2 indica
que hay e idencia pa a apoya el supues o de es e icidad y po an o, que las
di e encias en e a ianzas mues ales pueden a ibui se al aza .
Es a p ueba, sin emba go, iene poca po encia pa a amaños de mues a
pequeños. Además, pa a mues as de g an amaño, es p obable que la p ueba
mues e signi icación, aunque el e ec o en la p ueba F sea no signi ica i o. La
p ueba de Mauchly pa a la es e icidad ambién ha demos ado se sensible cuando
usamos da os no-no males; en pa icula , es conse ado a pa a dis ibuciones de
colas lige as y lo con a io pa a dis ibuciones de colas pesadas. También es muy
sensible a los alo es a ípicos. Debido a es as p opiedades, no es de g an u ilidad
p ác ica. Si el supues o de es e icidad no se cumple, como ocu e ecuen emen e,
el ANOVA-MR de un ac o p opo ciona una azón F sesgada posi i amen e,
aumen ando la p obabilidad del e o ipo I. En al caso se ienen dos opciones:
1) Ajus a los g ados de libe ad del es adís ico F.
2) Aplica un análisis de a ianza mul i a iado (o MANOVA) basado en J-1
con as es independien es.
En cuan o a la p ime a opción, lo que se p opone es que los g ados de libe ad se
ajus en median e una p ueba más conse ado a (Box, 1954). La p ueba épsilon (ε)
es una co ección que se aplica en los g ados de libe ad del nume ado y
denominado del es adís ico F de o ma que és e pasa a dis ibui se según F con
ε(J-1) y ε(J-1)(n-1) g ados de libe ad. El alo de épsilon depende del g ado en que
la ma iz ∑ se des ía de la es e icidad, es 1 cuando se cumple el supues o de
es e icidad y se ace ca a 1/(J-1) cuando no se cumple.
En la p ác ica el alo de ε suele se desconocido pe o suele es ima se a pa i de
la ma iz ∑
. Box (1954) ue el p ime o en p opone un es imado de ε pa a abo da
el p oblema de la iolación del supues o de la es e icidad. Se a a de la p ueba 𝜀,
que ue más a de adap ada po G eenhouse y Geisse (1959), po lo que se
conoce como la épsilon de G eenhouse y Geisse . 𝜀 se calcula a pa i de las
sumas y medias de la ma iz de a ianzas-co a ianzas mues al (∑
) median e la
ó mula: 𝜀= 𝐽2(𝑠𝑖𝑖



−𝑠)2
(𝐽−1)(∑∑𝑠𝑗𝑘
2−2𝐽∑𝑠𝑖2



+𝐽2𝑠2



(4.6)
Donde:
21
𝑠 : media de odos los elemen os de la ma iz ∑

𝑠𝑖𝑖



: media de las a ianzas que apa ecen en la diagonal
𝑠𝑖
 : media de los elemen os de la ila i
𝑠𝑗𝑘 : cualquie a de las co a ianzas de la ma iz ∑

Los g ados de libe ad an o del nume ado como del denominado de F se
mul iplican po 𝜀 y la signi icación del cocien e se e alúa con los nue os g ados de
libe ad. Si el supues o de es e icidad se cumple, el alo de 𝜀 se ace ca á a 1. Po
el con a io, la peo iolación del supues o ocu i ía con 𝜀 = 1/(J-1)
La p ueba 𝜀 iende a se excesi amen e conse ado a pa a mues as de amaño
pequeño. Huynh y Feld (1970) p opusie on o a co ección épsilon pa a sol en a
es e p oblema, la p ueba 𝜀 :
𝜀=[𝑁(𝐽−1)𝜀]− 2
(𝐽−1)[𝑁−𝑔−(𝐽−1)𝜀] (4.7)
Donde:
𝜀 : épsilon de G eenhouse y Geisse
N : nº o al de suje os
J : nº de a amien os
G : nº de g upos (en los diseños de un ac o siemp e es 1)
El alo de 𝜀 siemp e es mayo que el de 𝜀 y puede se incluso mayo que 1, en
cuyo caso se iguala a 1.
Teniendo en cuen a que el cálculo de 𝜀 es complicado G eenhouse y Geisse
(1959) ecomenda on que pa a decidi si es necesa io ob ene lo pueden lle a se a
cabo unos análisis p e ios basados en 𝜀. Pues o que ε oscila en e 1 y 1/(J-1) los
g ados de libe ad más pequeños en F son (J-1)x1/(J-1)=1 pa a el nume ado y (J-
1)(n-1)x1/(J-1)=n-1 pa a el denominado .
Los análisis p e ios cons an de los siguien es pasos:
1º. Compa a el alo c í ico de la F ob enida en el ANOVA (F(1-α), (J-1),(J-1)(n-1) ) con la
ob enida con los g ados de libe ad ajus ados (F(1-α), 𝜀(J-1), 𝜀(J-1)(n-1) ). Si el alo de la
úl ima no aumen a, no es necesa io con inua ya que F no se á signi ica i a. En
caso con a io, segui con el paso 2

22
2º. Compa a con el alo de la F ajus ada median e 𝜀 con el de la F con 1 y n-1
g ados de libe ad. Si es e úl imo esul a meno en onces es signi ica i o, po lo que
no se á necesa io con inua . En caso con a io con inua con el paso 3.
3º. Si el alo de la F ajus ada es mayo que el ob enido median e el ANOVA-MR
pe o meno que el alo de las ablas co espondien e a una F con 1 y n-1 g ados
de libe ad, u iliza la F ajus ada median e la p ueba 𝜀.
En cuan o a la decisión sob e si emplea 𝜀 o 𝜀, algunos au o es sugie en que 𝜀 es
demasiado conse ado a pa a mues as pequeñas y que, una ez sa is echos los
es pasos, 𝜀 es la co ección más adecuada (Jacca d y Acke man, 1985). Sin
emba go, los es udios de ipo Mon eca lo de Collie , Bake , Mande ille y Hayes
(1967) encon a on que es o no e a así incluso con mues as an pequeñas como de
5 suje os. Po su pa e, S e ens (1986) ecomienda ealiza una media de ambos
es imado es dada la endencia de 𝜀 y 𝜀 a in aes ima y sob es ima
( espec i amen e) el alo de ε. Sob e la base de es os c i e ios Ba cikowski y
Robey (1983) es ablecie on las siguien es ecomendaciones gene ales:
1) Si, dado que se conoce ε y ε ≥ 0,75 emplea la co ección 𝜀
2) Si ε < 0,75, emplea la co ección más conse ado a 𝜀
3) Si no se sabe nada sob e ε, como suele ocu i , emplea la co ección 𝜀 ya que
es menos sensible al aumen o de e o de ipo I.
4.3.3.1. En oque Mul i a ian e
O a al e na i a al análisis uni a ian e cuando el supues o de es e icidad no se
cumple consis e en u iliza un análisis mul i a ian e (MANOVA). En es e caso el
supues o de es e icidad no es un equisi o pa a el análisis de da os. Pa a
ans o ma los da os de ANOVA en o ma o MANOVA las obse aciones o iginales
se econ ie an en nue as a iables. Es a ans o mación puede hace se de
di e sas mane as pe o siemp e end emos J-1 nue as a iables Una de las o mas
es con e i los J g upos de obse aciones en J-1 di e encias. El análisis se
ealiza á sob e es as nue as J-1 a iables (Gi den, 1992). O a posible
ans o mación consis e en p ime o c ea una ma iz de coe icien es o ono males
(como la ma iz C* de inida an e io men e), ponde ando cada obse ación po su
coe icien e o ono mal lle ando a cabo el análisis sob e las nue as J-1 a iables
esul an es. Ambos p ocedimien os p oducen los mismos esul ados.
Con las J-1 a iables nue as esul an es se ealiza el con as e mul i a ian e 𝑇2 de
Ho elling cuyo es adís ico se calcula median e:
𝑇2=(𝑛)(𝑦)(𝑆𝑑−1)(𝑦′)
23
Donde 𝑆𝑑−1 es la in e sa de la ma iz de a ianzas-co a ianzas de las nue as
a iables e 𝑦 el ec o ila de medias.
La T2 puede con e i se en una F median e:
𝐹= 𝑛−𝐽+1
(𝑛−1)(𝐽−1)𝑇2
El es adís ico F se dis ibuye según F con (J-1) y (n-J+1) g ados de libe ad. Si su
alo es signi ica i o, indica que hay di e encias en e las medias de las a iables.
Es as ope aciones son ela i amen e complicadas po lo que suelen ealiza se con
la ayuda del o denado .
Ya que en el MANOVA los con as es sob e las a iables son independien es, las
co elaciones en e las nue as a iables son muy bajas o nulas. Po lo an o, el
análisis puede ealiza se sin ene que asumi es e icidad en la ma iz de
a ianzas-co a ianzas, aunque se asume que los da os siguen una dis ibución
mul i a iada no mal y el núme o de suje os iene que se mayo que el núme o de
a amien os (B ay y Maxwell, 1985)
4.3.3.2. ANOVA Vs. MANOVA
Di e sos es udios sugie en que no hay una cla a en aja en e usa el en oque
uni a iado o mul i a iado. De hecho, pa a algún conjun o de da os el en oque
uni a iado es más po en e, mien as que pa a o os casos, con la iolación del
supues o de es e icidad, el en oque mul i a ian e puede se más adecuado
(Romaniuk 1977).
Exis en es s p elimina es pa a de e mina si el supues o de es e icidad es
plausible o no. ( éase Ki k, 1982). Mien as que algunos ecomiendan ealiza
es os es s an es del ANOVA (e.g. Huynh y Mande ille, 1979), la mayo ía no. Es os
es s son poco sensibles a las des iaciones de la no malidad y p oducen mayo es
e o es de ipo I. De hecho, Keselman, Mendoza, Rogan y B een (1980)
encon a on e idencias de que la es e icidad (p obada po Mauchley) casi siemp e
se iola y ecomienda segui el p ocedimien o de los es pasos de G eenhouse y
Geisse .
No obs an e, el ANOVA es más po en e que el MANOVA cuando exis e
homogeneidad en las a ianzas ya que los g ados de libe ad asociados al é mino
e o son mayo es que en la 𝑇2 de Ho elling. Sin emba go, si exis e
he e ogeneidad, los e ec os pueden queda enmasca ados en el ANOVA y el
MANOVA esul a más obus o. Asímismo, el MANOVA no es ap opiado pa a
si uaciones donde (n-1) < J, la ma iz de a ianza-co a ianza es singula (no iene
in e sa) y no iene solución (G eenhouse y Geisse , 1959). (Ve pág. 26 R. Gi den,
Ellen [1])
24
4.4. Medidas del amaño del e ec o
El análisis de la a ianza pe mi e a e igua si la a iable independien e in luye
sob e la a iable dependien e pe o no in o ma sob e el g ado de asociación en e
ambas (es deci , ρ). Las medidas del amaño del e ec o son es imaciones de la
p opo ción de a ianza de la a iable dependien e que es explicada po la a iable
independien e (es deci ρ2) y pe mi en comple a la conclusión alcanzada con la F
del ANOVA-MR.
De en e las medidas del amaño del e ec o p opues as la más simple de odas es
la de Pea son (1905):
𝜂2=𝑆𝐶𝐼
𝑆𝐶𝑇
η2 (e a al cuad ado) es el cocien e en e la a iabilidad debida al ac o y la
a iabilidad o al. Pese a que es a medida es un es imado sesgado de ρ2, sigue
siendo una de las más u ilizadas.
O a de las medidas del amaño del e ec o más u ilizadas es la es imación del
índice omega al cuad ado 𝜔2 de Hayes (1988) cuyo alo depende del ipo de
modelo plan eado y sus supues os. Si se asume el modelo adi i o la a iabilidad
o al depende de la suma de la a iabilidad debida al ac o , a los suje os y a los
e o es alea o ios y se calcula median e:
𝜔2=𝑆𝐶𝐼−(𝐽−1)𝑀𝐶𝐸
𝑆𝐶𝑇+𝑀𝐶𝑃
Po o a pa e, si se asume el modelo no adi i o, hay que añadi la a iabilidad
debida a la in e acción in asuje os y a amien os. Es o iene el p oblema de que el
denominado del cocien e suma más que la a iabilidad o al con la que el alo de
𝜔2 queda lige amen e in aes imado. Una al e na i a pa a soluciona es e p oblema
consis e en aplica la siguien e ó mula:
𝜔2=𝑆𝐶𝐼−(𝐽−1)𝑀𝐶𝐸
𝑆𝐶𝑇+𝑀𝐶𝑃+(𝑛𝑗)𝑀𝐶𝐸
De las medidas p opues as la más ecomendable es 𝜔2 ya que puede aplica se en
di e en es diseños expe imen ales (Maxwell, Camp y A ey, 1980)
4.5. Ejemplo p ác ico en SAS
Pa a mos a cómo se lle a a cabo el análisis con medidas epe idas en un ac o
en SAS ex aemos el siguien e ejemplo de “Análisis de a ianza con medidas
epe idas” de Ca men Ximénez y Ra ael San Ma ín [2].
25
Ejemplo 1:
“Un psicólogo in es igado de me cados p e ende es udia la espues a a ec i a
hacia un pe ume en unción del g ado de concen ación en sus componen es
a omá icas con el in de o ien a una campaña publici a ia pa a el lanzamien o del
mismo. El pe ume es á elabo ado con cua os g ados de concen ación di e en es:
el p ime o, de meno concen ación iene 500 pa es de a oma po millón (ppm), el
segundo 1000 ppm, el e ce o 1500 ppm y el cua o, la máxima concen ación,
2000 ppm. La espues a a ec i a se mide en una escala de ipo Like de 7 pun os.
En un p ime es udio pilo o el psicólogo seleccionó una mues a alea o ia de 20
suje os. Pa a e i a los e ec os de a as e y a iga, e aluó la espues a a ec i a de
los 20 suje os hacia el pe ume dejando anscu i 5 días as la exposición a cada
g ado de concen ación a omá ica del mismo. Los esul ados ob enidos apa ecen
en la abla “ (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael [2])
Tabla 3. Respues a a ec i a de 20 suje os hacia un pe ume en cua o g ados de
concen ación.
G ado de concen ación del pe ume
Suje os:
1
2
3
4
1
1
3
4
4
2
2
2
5
6
3
2
5
4
6
4
2
3
5
4
5
1
3
4
7
6
1
4
4
5
7
2
3
5
4
8
4
3
4
5
9
2
4
4
6
10
2
2
5
6
11
2
3
3
3
12
1
4
1
7
13
4
2
5
4
14
1
3
6
5
15
2
2
5
5
16
1
3
5
3
17
1
2
3
6
18
3
4
4
4
19
3
4
7
4
20
3
2
4
3
Obse ando la abla emos que es amos an e un diseño con un ac o (g ado de
concen ación del pe ume) con cua o ni eles que son las concen aciones ijadas
po el in es igado , po lo an o de e ec os ijos.
32
Figu a 8. Código pa a analiza el Ejemplo 1 u ilizando PROC MIXED.
P ime o necesi amos selecciona la es uc u a de las co a ianzas que esul e más
ap opiada. Pa a ello amos cambiando en el código la opción ype con los
di e en es ipos de es uc u as de co a ianzas
Figu a 9. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sime ía compues a”.
Figu a 10. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “Tipo H o Huynh-Feld ”

33
Figu a 11.PROC MIXED con es uc u a de co a ianza “sin es uc u a”.
Los es PROC MIXED ealizados an e io men e ienen las mismas decla aciones
CLASS y MODEL. La decla ación CLASS especi ica los e ec os de clasi icación
que en nues o ejemplo se án DOSIS y PERSONA y la decla ación MODEL indica
el modelo de nues os da os. La única di e encia en e los es códigos an e io es
es á en la opción TYPE de la decla ación REPEATED, aquí es donde
seleccionamos qué ipo de es uc u a de co a ianza que emos u iliza . La opción
SUB indica cuáles son los suje os del modelo, en nues o ejemplo indicados po la
a iable PERSONA.
En nues o ejemplo solo enemos e ec os in asuje o pe o si u ié amos e ec os
in e suje os se coloca ían ambién en la decla ación MODEL. Es o con as a con el
PROC GLM ya que en es e eníamos que indica cuáles e an los p incipales
e ec os in asuje os en la decla ación REPEATED y los e ec os in e suje os en la
decla ación MODEL.
Pa a e cuál de los es ipos de es uc u a es el más adecuado, nos ijamos en el
índice de Akaike (AIC) y en el índice de Schwa z (BIC).
Figu a 12. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “sime ía compues a”
Figu a 13. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “Tipo H”.
34
Figu a 14. Es adís icos de ajus e pa a es uc u a de co a ianza “No es uc u ado”.
Fijándonos en los índices AIC y BIC de las salidas emos que la es uc u a de
co a ianza más ap opiada es “sime ía compues a” ya que sus índices son los más
bajos. Po lo an o, nos quedamos con el modelo de la Figu a 9.
Figu a 15.Tes de ipo 3 pa a con as a la hipó esis nula del modelo.
En la Figu a 15 obse amos que el p- alo pa a el con as e de la hipó esis nula es
signi ica i o po lo que podemos deci que echazamos la hipó esis nula y po lo
an o no hay igualdad de medias como pasaba u ilizando PROC GLM.
PROC MIXED calcula el es adís ico F usando la o ma cuad á ica gene al de ipo
Wald
𝐹=𝛽󰆹𝐿[𝐿′(𝑋′𝑉−1𝑋)−𝐿]−1𝐿′𝛽󰆹
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝐿)
Donde 𝛽󰆹 es una es imación del ec o de pa áme os de e ec os ijos, L es una
ma iz de coe icien es de Tipo III, X es la ma iz diseño de los e ec os ijos y 𝑉 es la
es imación de la ma iz de a ianzas y co a ianzas de los da os, PROC GLM usa
las azones de las medias cuad á icas pa a cons ui los es s F.
La en aja que enemos al usa el PROC MIXED es que puede u iliza se pa a
cualquie ipo de es uc u a de la co a ianza pe o una des en aja es que los g ados
de libe ad ienen que asigna se usando o os c i e ios. Pa a los análisis con
medidas epe idas, PROC MIXED ob iene los g ados de libe ad di idiendo los
g ados de libe ad esiduales en in a e in e suje os y asignándoles a los e ec os
in a y in e suje os espec i amen e. Pa a nues o ejemplo enemos solo e ec os
in asuje os po lo que sus g ados de libe ad esiduales equi alen a 80 – 4 = 76
35
5. ANOVA CON MEDIDAS REPETIDAS DE DOS FACTORES
O a si uación que podemos ene con medidas epe idas es cuando enemos dos
ac o es. Mien as que en el an e io diseño eníamos un sólo ac o con J ni eles
po los que pasan n suje os de la mues a, en es e end emos J ni eles en el ac o
A y K ni eles en el ac o B. A pa e de pode de e mina si cada uno de los
ac o es a ec a a la a iable dependien e po sepa ado, en los modelos ANOVA de
dos ac o es podemos e si la in e acción de es os ac o es a ec a a la a iable
dependien e.
En es os modelos el o den de adminis ación de las JK combinaciones de
a amien os es alea o izado independien emen e pa a cada uno de los suje os de
la mues a.
En los modelos de ANOVA-MR de dos ac o es enemos que conside a si las
medidas epe idas se dan en uno o en ambos ac o es. Ambas opciones se án
es udiadas en es e apa ado.
5.1. Medidas epe idas en un solo ac o
La ex ensión del modelo ANOVA de un ac o de e ec os ijos comple amen e
alea o izado a un modelo que incluya un segundo ac o con medidas epe idas
den o de los ni eles del p ime o es uno de los más ecuen es en las ciencias
sociales. Po ejemplo, di e en es ipos de psicosis pueden se a ados po el
mismo medicamen o, con di e en es dosis e ec i as. En ez de ene JK g upos
independien es, se pueden inclui los di e en es ipos de psicosis y den o de cada
g upo p oba las di e en es dosis en odos los indi iduos. Po consiguien e, el
p ime ac o es de g upos independien es, y el segundo ac o es medidas
epe idas en odos los indi iduos de cada g upo. Los diseños que incluyen un ac o
de ipo in e suje os y o o de ipo in asuje os se conocen como diseños mix os.
En o o ejemplo, pod íamos conside a una p eocupación en e sociólogos sob e
cómo los homb es y las muje es adolescen es a ibuyen la pob eza o iqueza a
di e en es causas. El géne o ( ac o B) se ía manipulado encues ando a homb es y
muje es adolescen es o mando dos g upos independien es, pe o a odos los
adolescen es se les medi ía la impo ancia que le dan a las cua o explicaciones
( ac o A).
En gene al, si uno de los ac o es es una a iable de la pe sonalidad o del
o ganismo, en onces el ac o (B) sólo puede a ia seleccionando g upos
independien es. Si a cada indi iduo de la segunda a iable (A) no le a ec a ía
pa icipa en cada condición (i.e. no hay e ec o ca y-o e ) y es a a iable puede
in oduci se como cuan i a i a (e.g. di e en es edades) o cuali a i a (e.g. di e en es
explicaciones de la pob eza), en onces se pod ían u iliza las mismas pe sonas en
odas las condiciones.
36
“Cuando los suje os se asignan a los ni eles del ac o A de o ma alea o ia,
eciben el nomb e de diseños spli -plo . Una des en aja de es e diseño es que el
e ec o del ac o in e suje os puede con undi se con el del ac o in asuje os ya que
cada g upo de suje os es asignado solamen e a uno de esos Aj ni eles. Po an o,
en es e modelo se plan ean ambién es hipó esis: una e e ida al ac o
in e suje os (A), o a al del ac o in asuje os (B) y una úl ima e e ida a los e ec os
de la in e acción.” (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael [2])
5.1.1. Modelo
El modelo de ANOVA de dos ac o es con medidas epe idas en uno de ellos es
una e sión del modelo lineal gene al adap ado al caso en el que hay dos a iables
independien es; una que di ide la mues a en dos o más g upos y o a e e ida a la
mues a o al. El modelo que desc ibe la a iable dependien e 𝑌𝑖𝑗𝑘, es el siguien e:
𝑌𝑖𝑗𝑘=𝜇+𝛼𝑗+𝛽𝑘+𝜋𝑖(𝑘)+𝛼𝛽𝑗𝑘+𝜋𝛼𝑖(𝑘)𝑗+𝑒𝑖𝑗𝑘 (5.1)
En es e modelo:
1. 𝑌𝑖𝑗𝑘 es la pun uación ob enida en la a iable Y po el suje o i del g upo j en el
a amien o k del ac o B.
2. µ ep esen a la pa e de media común a odos los suje os, se calcula median e:
𝜇=∑𝜇+𝑗𝑘
𝐽𝐾
Siendo su es imado : 𝜇=𝑌
3. El pa áme o 𝛼𝑗 ep esen a el e ec o p opio del j-ésimo ni el del ac o A o el
e ec o a ibuible al g upo j bajo el que se ob u o la pun uación 𝑌𝑖𝑗𝑘:
𝛼𝑗=𝜇+𝑗+−𝜇
𝛼𝑗 =𝑌+𝑗+−𝑌
4. El pa áme o 𝛽𝑘 ep esen a el e ec o p opio del k-ésimo ni el del ac o B o el
e ec o a ibuible al a amien o k bajo el que se ob u o la pun uación 𝑌𝑖𝑗𝑘:
𝛽𝑘=𝜇++𝑘−𝜇
𝛽󰆹𝑘=𝑌++𝑘−𝑌
37
5. (𝛼𝛽)𝑗𝑘 ep esen a el e ec o de la in e acción en e el g upo j del ac o A y el ni el
k del ac o B: (𝛼𝛽)𝑗𝑘=𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘+𝜇
(𝛼𝛽
)𝑗𝑘=𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌
6. 𝜋𝑖 se e ie e a los e ec os debidos a las di e encias en e los suje os:
𝜋𝑖=𝜇𝑖++−𝜇+𝑗+
𝜋𝑖=𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+
7. (𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘 ep esen a el é mino de e o es alea o ios o las des iaciones de las
pun uaciones del suje o i espec o al p omedio de su g upo y de los a amien os:
(𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗𝑘−𝜇𝑖+++𝜇+𝑗+
(𝜋𝛽)
𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖+++𝑌+𝑗+
8. 𝑒𝑖𝑗𝑘 ep esen a el é mino de e o es alea o ios o las des iaciones de las
pun uaciones del suje o i espec o al p omedio de su g upo y de los a amien os:
𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇
𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌
Los é minos 𝜋𝑖, (𝜋𝛽)𝑖𝑗𝑘 y 𝑒𝑖𝑗𝑘 son independien es y no males con media 0 y
a ianza 𝜎𝜋2, 𝜎𝜋𝛽
2 y 𝜎𝑒2 espec i amen e.
5.1.2. Supues os
Las suposiciones subyacen es al es udio de dos ac o es con medidas epe idas en
un ac o son una mezcla de aquellas de los g upos independien es y las de un
diseño de medidas epe idas de un ac o . La a iabilidad den o del g upo es la
misma pa a cada g upo y las obse aciones se dis ibuyen no mal e
independien emen e en e los g upos.
Sin emba go, en es e caso el ac o in asuje os es el único que asume el supues o
de es e icidad pa a sus K ni eles den o de cada ni el Aj del ac o in e suje os.
Es o es, la ma iz ∑ de los K ni eles del ac o B ha de se es é ica e igual pa a
odos los g upos Aj. Huynh (1978) se e i ió a es as dos suposiciones como
es e icidad mul imues a. Si los supues os del modelo se sos ienen, el a amien o y
los es F de in e acción son álidos. Si se iola cualquie a de los supues os,
en onces la es e icidad no se sos iene y el con as e de la hipó esis sob e los
e ec os de la in e acción es más sensible al e o ipo I (Huynh y Feld , 1980). El
supues o de es e icidad se iola la mayo ía de las eces po lo que se han

38
in es igado di e en es écnicas al e na i as de co ección. Es as incluyen la
co ección G eenhouse-Geisse que es la menos obus a, el ajus e 𝜀, el ajus e 𝜀 y
análisis mul i a ian e. La obus ez a ía ambien en unción del g ado de la
des iación de la es e icidad, del ipo de dis ibución de pun uaciones, del amaño
de la mues a y del núme o de ni eles del ac o in asuje os en compa ación con el
amaño de la mues a.
Cuando la des iación de la es e icidad es baja (ε ≥ 0.75), podemos u iliza 𝜀 pa a
ealiza el ajus e de los g ados de libe ad, pe o solo cuando la mues a es mayo
que el núme o de ni eles del ac o in asuje os (Rogan e al., 1979) y el ac o
in e suje os iene sólo dos ni eles (Maxwell y A ey, 1982). Po el con a io, cuando
la des iación hacia la es e icidad es mayo (ε < 0.75) la co ección 𝜀 es más
obus a, sob e odo si el ac o in e suje os iene más de dos ni eles, la mues a es
amplia y los da os siguen el modelo de dis ibución no mal (Maxwell y A ey, 1982).
5.1.3. Es adís icos de con as e
El modelo ANOVA de dos ac o es mix o es un con as e en el que se ponen a
p ueba es hipó esis. Una sob e los e ec os del ac o A, o a sob e los e ec os del
ac o B y una úl ima sob e la in e acción AB.
Plan eamien o de las hipó esis:
𝐻0(𝐴): 𝜇+1+=𝜇+2+= ...𝜇+𝑗+=𝜇+𝐽+; o bien 𝛼𝑗=0 pa a odo alo de j o j’ (j ≠ j’)
𝐻1(𝐴):𝜇+𝑗+≠𝜇+𝑗′+ pa a algún alo de j o de j’ (j ≠ j’)
𝐻0(𝐵): 𝜇++1=𝜇++2= ...𝜇++𝑘=𝜇++𝐾; o bien 𝛽𝑘=0 pa a odo alo de k o k’ (k ≠ k’)
𝐻1(𝐵):𝜇++𝑘≠𝜇++𝑘′ pa a algún alo de k o k’ (k ≠ k’)
𝐻0(𝐴𝐵):𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘= 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+; o bien (𝛼𝛽)𝑗𝑘=0 pa a odo alo de j o k
𝐻1(𝐴𝐵): 𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘≠ 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+ pa a algún alo de j, j’ o k (j ≠ j’)
Pa iendo del modelo plan eado y sus supues os podemos de i a los es adís icos
de con as e con dis ibución mues al conocida que pe mi an pone a p ueba las
hipó esis plan eadas. Si sus i uimos los alo es poblacionales del modelo plan eado
en (5.1) po sus co espondien es es imado es y asladamos a la izquie da el
é mino 𝑌 se ob ienen las sie e uen es de a iabilidad del modelo:
𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌=(𝑌+𝑗+−𝑌)+(𝑌++𝑘−𝑌)+(𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌)+(𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+)+
(𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖+++𝑌+𝑗+)+(𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌) (5.2)
Calculando la suma de cuad ados de cada uno de los é minos de (5.2) en el
conjun o de las N pun uaciones y ans o mándolo, ob enemos las sumas de
cuad ados y sus g ados de libe ad.
39
Sumas de cuad ados
g.l.
𝑆𝐶𝑇=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−𝑇2
𝑁
𝑘𝑗𝑖
N – 1
𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟=∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾−𝑇2
𝑁
𝑗𝑖
nJ – 1
𝑆𝐶𝐴= ∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 −𝑇2
𝑁
𝑗
J – 1
𝑆𝐶𝑃= ∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾−∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾
𝑗𝑗𝑖
J(n – 1)
𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑟𝑎= ∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾
𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖
nJ(K – 1)
𝑆𝐶𝐵= ∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 −𝑇2
𝑁
𝑘
K – 1
𝑆𝐶𝐴𝐵=∑∑𝑇+𝑗𝑘
2
𝑛−∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 −∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 +𝑇2
𝑁
𝑘𝑗𝑘𝑗
(J – 1)(K – 1)
𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾
𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖 −∑∑𝑇𝑗𝑘+
2
𝑛+∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾
𝑗𝑘𝑗
J(K – 1)(n – 1)
40
Las medias cuad á icas, su o mulación y sus alo es espe ados apa ecen en la
siguien e abla:
Tabla 4. Medias cuad á icas y alo es espe ados en el modelo de dos ac o es con medidas
epe idas en uno solo.
Fuen e de
a iación
Media cuad á ica
Valo espe ado
Fac o A
𝑀𝐶𝐴= 𝑆𝐶𝐴
𝐽−1
𝜎2+𝐾𝜎𝜋2+𝑛𝐾∑𝛼2/(𝐽−1)
Suje os (P)
𝑀𝐶𝑃= 𝑆𝐶𝑃
𝐽(𝑛−1)
𝜎2+𝐾𝜎𝜋2
Fac o B
𝑀𝐶𝐵= 𝑆𝐶𝐵
𝐾−1
𝜎2+𝜎𝛽𝜋
2+𝑛𝐽∑𝛽2/(𝐾−1)
In e acción
AB
𝑀𝐶𝐴𝐵= 𝑆𝐶𝐴𝐵
(𝐽−1)(𝐾−1)
𝜎2+𝜎𝛽𝜋
2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1)
B x Suje os
𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)= 𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)
(𝐽−1)(𝐾−1)
𝜎2+𝜎𝛽𝜋
2
Cada es adís ico de con as e esul a del cocien e en e la media cuad á ica de la
uen e de a iabilidad y su co espondien e media cuad á ica e o (la in asuje os,
MC(B x Suj.) y la in e suje os, MCP). En la siguien e abla enemos un esumen
sob e los es adís icos de con as e y sus g ados de libe ad co espondien es (la F
se dis ibuye con los g ados de libe ad del nume ado y del denominado .)
41
Tabla 5. Tabla esumen del ANOVA de dos ac o es mix o.
FV
SC
g.l.
MC
F
In e suje os
SCIn e
nJ - 1
Fac o A (A)
SCA
J - 1
MCA
𝐹𝐴=𝑀𝐶𝐴
𝑀𝐶𝑃
Suje os (P)
SCP
J (n – 1)
MCP
In asuje os
SCIn a
nJ(K – 1)
Fac o B
SCB
K-1
MCB
𝐹𝐵=𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)
In e acción AB
SCAB
(J – 1)(K – 1)
MCAB
𝐹𝐴𝐵=𝑀𝐶𝐴𝐵
𝑀𝐶(𝐵𝑥𝑆𝑢𝑗.)
B x Suje os
SC(B x Suj.)
J(K – 1)(n – 1)
To al (T)
SCT
N - 1
48
4. El pa áme o 𝛽𝑘 ep esen a el e ec o p opio del k-ésimo ni el del ac o B o el
e ec o a ibuible al a amien o k bajo el que se ob u o la pun uación 𝑌𝑖𝑗𝑘:
𝛽𝑘=𝜇++𝑘−𝜇
𝛽󰆹𝑘=𝑌++𝑘−𝑌
5. (𝛼𝛽)𝑗𝑘 ep esen a el e ec o de la in e acción en e el g upo j del ac o A y el ni el
k del ac o B: (𝛼𝛽)𝑗𝑘=𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘+𝜇
(𝛼𝛽
)𝑗𝑘=𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌
6. 𝜋𝑖 se e ie e a los e ec os debidos a las di e encias en e los suje os:
𝜋𝑖=𝜇𝑖++−𝜇
𝜋𝑖=𝑌𝑖++−𝑌+𝑗+
7. (𝜋𝛼)𝑖𝑗 es la in e acción en e el suje o i y el a amien o j del ac o A:
(𝜋𝛼)𝑖𝑗=𝜇𝑖𝑗+−𝜇+𝑗+−𝜇𝑖+++𝜇
(𝜋𝛼)
𝑖𝑗=𝑌𝑖𝑗+−𝑌+𝑗+−𝑌𝑖+++𝑌
8. (𝜋𝛽)𝑖𝑘 es la in e acción en e el suje o i y el a amien o k del ac o B:
(𝜋𝛽)𝑖𝑘=𝜇𝑖+𝑘−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇
(𝜋𝛽)
𝑖𝑘=𝑌𝑖+𝑘−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌
9. (𝜋𝛼𝛽)𝑖𝑗𝑘es la in e acción en e el suje o i y el e ec o de la combinación jk de los
JK a amien os.
(𝜋𝛼𝛽)𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗𝑘−𝜇𝑖𝑗+−𝜇𝑖+𝑘+𝜇+𝑗++𝜇++𝑘+𝜇𝑖++−𝜇
(𝜋𝛼𝛽)
𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗𝑘−𝑌𝑖𝑗+−𝑌𝑖+𝑘+𝑌+𝑗++𝑌++𝑘+𝑌𝑖++−𝑌
10. 𝑒𝑖𝑗𝑘 ep esen a el é mino de e o es alea o ios o las des iaciones de las
pun uaciones del suje o i no sólo espec o al p omedio de su g upo sino ambién
espec o a su p omedio en odos los a amien os:
𝑒𝑖𝑗𝑘=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝜇+𝑗+−𝜇++𝑘−𝜇𝑖+++𝜇
𝑒𝑖𝑗=𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌

49
5.2.2. Supues os
En los dos modelos an e io es asumimos que las obse aciones 𝑌𝑖𝑗𝑘 son no males
e independien es y que exis e homogeneidad en las a ianzas de las a iables y en
las di e encias en e a iables. 𝑌𝑖𝑗𝑘 es una a iable alea o ia independiene y
no malmen e dis ibuida con media 𝜇+𝑗𝑘 y a ianza 𝜎𝜋2+𝜎𝑒2 pa a el modelo adi i o y
𝜎𝜋2+𝜎𝑒2+𝜎𝜋𝛼
2+𝜎𝜋𝛽
2+𝜎𝜋𝛼𝛽
2 pa a el no adi i o.
Como en el modelo de un ac o , en el de dos ac o es se asumen los supues os de
independencia, no malidad y es e icidad. En es e úl imo hay dos casos gene ales
que conside a . El p ime o se e ie e al modelo adi i o. Asumimos igualdad de
a ianzas 𝜎𝜋𝛼
2=𝜎𝜋𝛽
2=𝜎𝜋𝛼𝛽
2 . Cada a ianza de la in e acción pa cial cons i uye un
es imado de la a ianza de la in e acción o al y el p omedio ponde ado de sus
medidas cuad á icas, la media cuad á ica del e o pa a la p ueba F del ANOVA.
Pa a que es o se cumpla es necesa io que la ma iz de a ianzas-co a ianzas de
las K combinaciones de a amien o sa is aga el supues o de es e icidad. El
segundo caso es cuando el modelo no adi i o se conside a más adecuado o
cuando la ma iz de a ianzas-co a ianzas o al no cumple el supues o de
es e icidad. Si es o ocu e, aún es posible que cada una de las es subma ices
cumpla es e supues o y que la p ueba F sea álida. En es e caso es necesa io
u iliza la media cuad á ica e o de i ada de las dis in as medias cuad á icas de las
in e acciones pa ciales y los g ados de libe ad del denominado de F esul an más
pequeños que en el p ime caso. Si no se cumple el supues o de es e icidad en
cada una de las subma ices se p ocede como en el modelo de un ac o ;
empleando las co ecciones en los g ados de libe ad o los con as es
mul i a iados.
5.2.3. Es adís icos de con as e
𝐻0(𝐴): 𝜇+1+=𝜇+2+= ...𝜇+𝑗+=𝜇+𝐽+; o bien 𝛼𝑗=0 pa a odo alo de j o j’ (j ≠ j’)
𝐻1(𝐴):𝜇+𝑗+≠𝜇+𝑗′+ pa a algún alo de j o de j’ (j ≠ j’)
𝐻0(𝐵): 𝜇++1=𝜇++2= ...𝜇++𝑘=𝜇++𝐾; o bien 𝛽𝑘=0 pa a odo alo de k o k’ (k ≠ k’)
𝐻1(𝐵):𝜇++𝑘≠𝜇++𝑘′ pa a algún alo de k o k’ (k ≠ k’)
𝐻0(𝐴𝐵):𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘= 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+; o bien (𝛼𝛽)𝑗𝑘=0 pa a odo alo de j o k
𝐻1(𝐴𝐵): 𝜇+𝑗𝑘−𝜇+𝑗′𝑘≠ 𝜇+𝑗+−𝜇+𝑗′+ pa a algún alo de j, j’ o k (j ≠ j’)
Pa iendo del modelo plan eado y sus supues os pueden de i a se los es adís icos
de con as e con dis ibución mues al conocida que pe mi an pone a p ueba las
es hipó esis plan eadas an o desde el modelo adi i o como desde el no adi i o.
En p ime luga nos e e imos al modelo adi i o.
50
Si sus i uimos los alo es poblacionales del modelo adi i o plan eado en (5.2.2) po
sus co espondien es es imado es mues ales ob enemos lo siguien e
𝑌𝑖𝑗𝑘−𝑌=(𝑌+𝑗+−𝑌)+(𝑌++𝑘−𝑌)+(𝑌+𝑗𝑘−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘+𝑌)+(𝑌𝑖++−𝑌)+(𝑌𝑖𝑗𝑘
−𝑌+𝑗+−𝑌++𝑘−𝑌𝑖+++𝑌)
Sumas de cuad ados
g.l.
𝑆𝐶𝑇=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−𝑇2
𝑁
𝑘𝑗𝑖
N – 1
𝑆𝐶𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟=∑∑𝑇+𝑗𝑘
2
𝑛−𝑇2
𝑁
𝑘𝑗
JK – 1
𝑆𝐶𝐴= ∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 −𝑇2
𝑁
𝑗
J – 1
𝑆𝐶𝐵= ∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 −𝑇2
𝑁
𝑘
K – 1
𝑆𝐶𝐴𝐵=∑∑𝑇+𝑗𝑘
2
𝑛−∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 −∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 +𝑇2
𝑁
𝑘𝑗𝑘𝑗
(J – 1)(K – 1)
𝑆𝐶𝑃= ∑𝑇𝑖++
2
𝐽𝐾 −𝑇2
𝑁
𝑖
(n – 1)
𝑆𝐶𝐸=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 −∑𝑇𝑖++
2
𝐽𝐾 +𝑇2
𝑁
𝑖𝑗𝑘𝑗𝑖
(JK-1)(n-1)
51
Tabla 7. Medidas cuad á icas y alo es espe ados en el modelo no adi i o de dos ac o es
con medidas epe idas en ambos. (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael [2]).
Fuen e de a iación
Media cuad á ica
Valo espe ado
Fac o A
𝑀𝐶𝐴=𝑆𝐶𝐴
𝐽−1
𝜎2+𝑛𝑗∑𝛼2/(𝐽−1)
Fac o B
𝑀𝐶𝐵= 𝑆𝐶𝐵
𝐾−1
𝜎2+𝑛𝑘∑𝛽2/(𝐾−1)
In e acción AB
𝑀𝐶𝐴𝐵= 𝑆𝐶𝐴𝐵
(𝐽−1)(𝐾−1)
𝜎2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1)
Suje os (P)
𝑀𝐶𝑃= 𝑆𝐶𝑃
𝑛−1
𝜎2+𝐽𝐾𝜎𝜋2
E o (E)
𝑀𝐶𝐸= 𝑆𝐶𝐸
(𝐽𝐾−1)(𝑛−1)
𝜎2
En el modelo no adi i o los e ec os de la in e acción en e cada ac o (A, B y AB) y
los suje os es án incluidos en el é mino MCE cuyo alo podemos descompone en
los siguien es es componen es:
𝑀𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=𝑆𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)
(𝐽−1)(𝑛−1)
𝑀𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)
(𝐾−1)(𝑛−1)
𝑀𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)= 𝑆𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)
(𝐽−1)(𝐾−1)(𝑛−1)
Donde las sumas de cuad ados se calculan:
𝑆𝐶(𝐴 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾−∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾
𝑗−∑𝑇𝑖++
2
𝐽𝐾 +𝑇2
𝑁
𝑖𝑗𝑖
𝑆𝐶(𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑𝑇𝑖+𝑘
2𝐽−∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 −∑𝑇𝑖++
2
𝐽𝐾 +𝑇2
𝑁
𝑖𝑘𝑘𝑖
𝑆𝐶(𝐴𝐵 𝑥 𝑆𝑢𝑗.)=∑∑∑𝑌𝑖𝑗𝑘
2−∑∑𝑇𝑖𝑗+
2
𝐾−∑∑𝑇𝑖+𝑘
2𝐽−∑∑𝑇+𝑗𝑘
2
𝑛
𝑘𝑗 +∑𝑇𝑖++
2
𝐽𝐾
𝑖𝑘𝑖𝑗𝑖𝑘𝑗𝑖
+∑𝑇+𝑗+
2
𝑛𝐾 +∑𝑇++𝑘
2
𝑛𝐽 +𝑇2
𝑁
𝑘𝑗
52
En la siguien e abla apa ecen indicados los alo es espe ados de las nue as
medias cuad á icas (ya que hemos in oducido nue as uen es de a iación).
Tabla 8. Valo es espe ados de las medias cuad á icas del modelo de dos ac o es con
medidas epe idas en ambos (modelo no adi i o) (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael
[2]).
Fuen e de a iación
Valo espe ado
Fac o A
𝜎2+𝐾𝜎𝜋𝛼
2+𝑛𝑗∑𝛼2/(𝐽−1)
Fac o B
𝜎2+𝐽𝜎𝜋𝛽
2+𝑛𝑘∑𝛽2/(𝐾−1)
In e acción AB
𝜎2+𝜎𝛼𝛽
2+𝑛𝑗𝑘∑∑(𝛼𝛽)2/(𝐽−1)(𝐾−1)
Suje os (P)
𝜎2+𝐽𝐾𝜎𝜋2
A x Suje os
𝜎2+𝐾𝜎𝛼𝑝
2
B x Suje os
𝜎2+𝐽𝜎𝛽𝑝
2
AB x Suje os
𝜎2+𝜎𝛼𝛽𝑝
2
5.2.4. Ejemplo p ác ico en SAS
Ejemplo 3:
“En el ejemplo del apa ado sob e ANOVA-MR de un ac o se es udiaba la
espues a a ec i a hacia un pe ume en cua o g ados di e en es de concen ación
ijados po el in es igado (500 ppm, 1000 ppm, 1500 ppm, 2000 ppm). Aho a dicho
in es igado es á in e esado en es udia un nue o ac o ( ac o B): el ipo de a oma
del que es á compues o el pe ume. Ha conside ado es ipos de a oma: B1:
la anda (el más sua e); B2: espliego; y B3: osas (el más ue e). En cuan o al
ac o A, en es e caso solamen e decide conside a dos ipos de concen ación de
pe ume: A1: la mínima (500 ppm) y A2: la máxima (2000 ppm). Ambas a iables
se miden en una nue a mues a que cons a de 10 suje os, los cuales pasan po
odos los ni eles de los ac o es conside ados. Po an o, el obje i o aho a es
es udia el e ec o del g ado de concen ación del pe ume y el ipo de a oma, y el
de ambos ac o es en in e acción sob e la espues a a ec i a hacia el pe ume. La
espues a a ec i a de los suje os se mide en una escala de 1 a 7. Los esul ados
ob enidos apa ecen en la Tabla 9.“ (Ximénez, Ca men y San Ma ín, Ra ael, [2])
53
Tabla 9. Respues a a ec i a de 10 suje os hacia un pe ume en dos g ados de concen ación
y es ipos de a oma.
Concen ación de 500 ppm
Concen ación de 2000 ppm
Suje os:
La anda
Espliego
Rosas
La anda
Espliego
Rosas
1
3
4
5
5
6
5
2
4
4
4
6
7
4
3
4
6
7
4
6
7
4
4
4
5
5
7
7
5
2
4
5
5
4
7
6
2
3
7
5
6
7
7
4
3
5
4
7
6
8
6
6
5
6
6
6
9
4
6
6
7
3
7
10
4
5
4
4
6
6
A) PROC GLM
Figu a 28. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 3.
Figu a 29. Código pa a analiza el Ejemplo 3 con PROC GLM
Es amos an e un es udio de dos ac o es con medidas epe idas en ambos po lo
que a la ho a de su lec u a end emos que indica lo de o ma je á quica en la
sen encia REPEATED siendo DOSIS el p ime ac o con dos ni eles y den o de
cada dosis enemos FLOR con es ni eles.
El es de es e icidad se ealiza pa a aquellos ac o es con más de dos ni eles po
lo que en nues o ejemplo end emos un es pa a FLOR y o o pa a la in e acción
FLOR*DOSIS.

54
FLOR:
Figu a 30. Tes de es e icidad pa a la a iable FLOR.
El p- alo es al o (0.2407) po lo que no echazamos la hipó esis nula y podemos
conside a que la ma iz de a ianzas y co a ianzas es de Tipo H.
FLOR*DOSIS:
Figu a 31. Tes de es e icidad pa a la in e acción de FLOR x DOSIS
El p- alo es al o (0.3399) po lo que no echazamos la hipó esis nula y podemos
conside a que la ma iz de a ianzas y co a ianzas de FLOR*DOSIS es de Tipo H.
55
Figu a 32. Tes F uni a ian es pa a los e ec os in asuje os DOSIS y FLOR y su in e acción
En nues o ejemplo solo enemos e ec os in asuje os y como obse amos en
Figu a 32 an o el ac o DOSIS como FLOR in luyen en la a iable espues a pe o
su in e acción no.
56
B) PROC MIXED
Figu a 33. Lec u a de da os pa a Ejemplo 3 con PROC MIXED.
Pa a usa PROC MIXED enemos que cambia los da os de o ma. En es e caso al
ene dos ac o es con medidas epe idas en ambos end emos que c ea dos
nue as columnas, una e e ida a la concen ación del pe ume (DOSIS) y o a a la
a iedad de lo (FLOR). La a iable espues a se end á en una sola columna Y.
Podemos obse a cómo hay que p esen a los da os en Anexo 6.
Como siemp e que u ilizamos el p ocedimien o PROC MIXED, pasamos a e alua
qué es uc u a de la ma iz de a ianzas-co a ianzas pa ece se la más adecuada.
Figu a 34. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sime ía compues a"
Figu a 35. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "Tipo H"
Figu a 36. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "No es uc u ada"
Pa a ello enemos que ija nos en los índices AIC y BIC que apa ecen a
con inuación pa a cada ipo de es uc u a.
57
Figu a 37. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sime ía compues a"
Figu a 38. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "Tipo H"
Figu a 39. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "No es uc u ada"
Como podemos obse a , la es uc u a de co a ianza “sime ía compues a” es la
más adecuada ya que sus índices AIC y BIC son los más bajos de las 3 es uc u as
que hemos es udiado. Segui emos el es udio con es a es uc u a, es deci ,
ejecu ando el código de Figu a 39.
Figu a 40. Tes de ipo III pa a con as a las hipó esis nulas del modelo
64
Pa a ello nos amos a ija en los es MANOVA ya que no se cumple la hipó esis
del es de es e icidad
Figu a 54. Tes pa a con as a la hipó esis nula del modelo.
Como emos el p- alo es signi ica i o po lo que podemos deci que el ipo de
“comida” que el concu san e ingie e sí que in luye en el iempo que a da es e en
ene una a cada.
Tabla 12. Da os pa a el ejemplo 5 (missing)
Famoso
Insec o
palo
Tes ículos
de cangu o
Ojo de
pez
La as de
coso
1
8
7
1
6
2
9
5
2
5
3
6
2
3
8
4
5
3
1
9
5
8
4
5
-
6
7
5
6
7
7
10
2
7
2
8
12
6
8
1
A) PROC GLM
Como imos en el pun o 4.5 PROC GLM no u iliza los da os de ningún suje o que
enga alo es missing. Es o signi ica que pa a nues o conjun o de da os PROC
GLM a a á al suje o 5 como si no apa ecie a.

65
Figu a 55. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 5 (missing) usando PROC GLM.
Figu a 56. Código pa a analiza el Ejemplo 5 (missing) u ilizando PROC GLM.
Figu a 57. Tes de es e icidad pa a el Ejemplo 5 (missing).
P- alo no signi ica i o po lo an o no echazamos la hipó esis de que la ma iz de
a ianzas y co a ianzas sea de ipo H. Pod emos u iliza el es adís ico F.
Figu a 58. Tes F uni a ian e pa a los e ec os in asuje os.
66
Como obse amos el p- alo del ac o COMIDA es no signi ica i o a ni el 0,05 po
lo que no echazamos la hipó esis nula y podemos deci que el ipo de “comida”
que se le da al concu san e no a ec a al iempo que a da es e en que le dé una
a cada.
B) PROC MIXED
Fijándonos o a ez en el pun o 4.5 imos que con un conjun o de da os donde hay
obse aciones missing PROC MIXED u iliza el conjun o de da os comple o ya que
usa una es imación basada en la e osimili ud.
Figu a 59. Lec u a de da os pa a el Ejemplo 5 (missing) usando PROC MIXED.
P ime o seleccionamos la es uc u a de la ma iz de a ianzas y co a ianzas.
Figu a 60. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sime ía compues a".
Figu a 61. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "Tipo H".
67
Figu a 62. PROC MIXED con es uc u a de co a ianza "sin es uc u a".
Nos ijamos en los índices AIC y BIC y la es uc u a bajo la cual ome los alo es
más bajos se á la elegida.
Figu a 63. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sime ía compues a".
Figu a 64. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "Tipo H".
Figu a 65. Es adís icos de ajus e pa a la es uc u a de co a ianza "sin es uc u a".
Seleccionamos la es uc u a “sin es uc u a” pa a la ma iz de a ianzas y
co a ianzas y nos ijamos en el con as e de hipó esis.
68
Figu a 66. Tes de ipo III pa a con as a la hipó esis nula del modelo.
Como obse amos en la Figu a 66 el p- alo es signi ica i o po lo que, al con a io
que cuando usamos PROC GLM, podemos deci que el ipo de “comida” que se le
da al concu san e pa a inge i in luye en el iempo que es e a da en ene una
a cada. Es o se debe a que mien as que PROC MIXED no necesi a que sus da os
es én balanceados, PROC GLM elimina aquellos suje os donde se encuen a
alguna obse ación missing lo que supone una pe ida de in o mación. Las
conclusiones que sacamos con PROC MIXED pa a los da os con obse aciones
missing son las mismas que cuando usamos da os balanceados.
7. Conclusiones
El análisis de medidas epe idas es un diseño muy u ilizado en ciencias sociales.
Resul a muy ú il cuando que emos economiza el núme o de suje os al que
p egun a , pe o pa a pode u iliza lo debemos ene en cuen a los posibles
p oblemas como la a iga, los da os no balanceados o el e ec o esidual. Además,
enemos que comp oba que nues os da os cumplan los supues os de
independencia, no malidad y es e icidad.
Hemos is o que es os da os pueden se analizados con SAS y que debe emos
ene en cuen a que PROC GLM u iliza solo a los indi iduos cuyos da os es án
comple os y sin emba go PROC MIXED ap o echa oda la in o mación ya que usa
una es imación basada en la e osimili ud.
8. Posibles ampliaciones
A lo la go del desa ollo de es e abajo han ido su giendo cie os posibles emas
de ampliación que po la limi ación de iempo no se han podido desa olla .
Compa aciones múl iples:
Cuando echazamos la hipó esis nula del modelo, pa ece azonable es udia en e
qué medias exis en di e encias.
69
Compa aciones de endencia:
“Si los J ni eles de la a iable independien e analizada son cuan i a i os y se ha
echazado la hipó esis nula del ANOVA, puede esul a in e esan e conoce el ipo
de elación que exis e en e la a iable dependien e e independien e.” (Ximénez,
Ca men y San Ma ín, Ra ael [2])
R:
Tan o SAS como R son dos de los p og amas más u ilizados en los es udios
es adís icos y ambos se han a ado en di e en es asigna u as a lo la go de la
ca e a. La en aja de R es que es e es lib e y po lo an o cualquie pe sona puede
accede a ello. Mi p ime a in ención e a ealiza odos los ejemplos en ambos pa a
compa a los y sin duda me pa ece in e esan e la aplicación de es os mé odos en
R.

70
9. Glosa io de ocabula io inglés-español
Unbalanced design = diseño no balanceado
Coun e balancing = con apeso
A i ion = desgas e
Ca y-o e = a as e
Ca y-o e e ec = e ec o esidual
Compound symme y = sime ía compues a
Sco e = alo /obse ación
Wo king mean model = modelo ú il de la media
Powe ul = po en e
Be ween-subjec = in e suje o
Wi hin-subjec = in asuje o
71
10. Anexo
Anexo 1. Da os pa a Ejemplo 1. PROC GLM
72
Anexo 2. Da os pa a Ejemplo 1. PROC MIXED
73
Anexo 3. Da os pa a Ejemplo 2. PROC GLM