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UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica y de Ma e iales
T abajo Fin de Más e en Ingenie ía Mecánica y de Ma e iales
ESTIMACIÓN DE PROPIEDADES ELÁSTICAS Y
RESISTENTES DE TEJIDO ÓSEO CORTICAL A
PARTIR DE ENSAYOS EXPERIMENTALES Y
MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS
P esen ada po : D. Ca los Tudela Desan es
Di igida po : D . D. Eugenio Gine Ma a illa
Valencia, sep iemb e de 2016
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AGRADECIMIENTOS
G acias a mi u o Eugenio po su in ini a paciencia, y
po con ia en mi.
A Rica do po odo lo que me ha enseñado y odo el
iempo que me ha dedicado.
A Mi iam po que me in i a a se mejo cada día con su
ejemplo.
A mi amilia po odo el apoyo y ayuda que he ecibido
siemp e en el ámbi o académico y pe sonal.
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xii
RESUMEN
En la p esen e esina inal de más e , se p esen an los esul ados de
ensayos a lexión en 3 pun os en mues as de ejido óseo co ical de
pequeñas dimensiones, jun o con su co elación modelada con elemen os
ini os.
Algunas de las p opiedades elás icas y esis en es del ma e ial han
sido in e idas median e ensayos expe imen ales y simulaciones. Es más, se
ha simulado la iniciación y c ecimien o de mic og ie as en las p obe as
ensayadas usando un modelo de daño basado en la de o mación máxima
p incipal. Las simulaciones mues an una buena co elación con los
esul ados expe imen ales.
Los ensayos expe imen ales se han lle ado a cabo en hueso co ical
de ibia de o eja, usando mic op obe as p epa adas de al ededo de 20 mm
de la go y 1 mm de g oso con la inalidad de ensaya las en un es a lexión
en 3 pun os. Las mic op obe as se han eñido pa a su obse ación con
mic oscopio óp ico pa a dis ingui su mo ología mic oes uc u al.
Expe imen almen e, se ha obse ado que las mic og ie as e olucionan a lo
la go de las líneas cemen an es y a a és del ma e ial in e s icial pe o sin
c uza las os eonas, al como el modelo de elemen os ini os ha p edicho.
La geome ía de las mues as se ha conside ado usando elemen os
ini os. Se han calib ado las p opiedas elás icas y esis en es del modelo
numé ico de mane a que su espues a se co esponda con los esul ados
expe imen ales de ue za-desplazamien o. De la misma mane a, median e
análisis in e so, es posible es ima p opiedades pob emen e documen adas
en la li e a u a.
Palab as cla e: Hueso co ical, mic og ie as, mé odo de los elemen os
ini os.

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ABSTRACT
In his inal mas e hesis, he esul s om 3-poin bending es s on
co ical issue samples o small dimensions a e p esen ed, oge he wi h i s
co ela ion modeled by ini e elemen s.
Some o he mos ele an elas ic and oughness ma e ial p ope ies
ha e been in e ed om expe imen al es s and simula ions. Fu he , he
ini ia ion and g ow h o mic oc acks in he es ed samples is simula ed by
using a damage model based on he maximum p incipal s ain. Simula ions
show a good co ela ion wi h he expe imen al esul s.
Expe imen al es s ha e been ca ied ou on sheep ibia co ical bone,
using p epa ed mic osamples o abou 20 mm long and 1 mm hick in o de
o es hem on 3-poin bending es condi ions. Mic osamples ha e been
dyed o i s obse a ion unde op ic mic oscope in o de o dis inguish he
mic o scale mo phology. Expe imen ally, i is obse ed ha mic oc acks
e ol e along he cemen lines, h ough he in e s i ial ma e ial bu wi hou
c ossing os eons, as he ini e elemen s models p edic ed.
Sample geome ies ha e been conside ed using ini e elemen s o
calib a e he elas ic and oughness p ope ies o he FE model so ha i s
esponse co esponds o he o ce-displacemen expe imen al esul s. This
way, by in e se analysis, i is possible o es ima e p opie ies poo ly
documen ed in he li e a u e.
Keywo ds: Co ical bone, mic oc acks, ini e elemen me hod.
x
RESUM
Aques a esina inal de màs e , els esul a s d’un assaig a lexió en 3
pun s en mos es òssies co icals de xico e es dimensions son p esen a s,
jun amb la seua co elació modelada amb elemen s ini s.
Algunes de les p opie a s elàs iques i esis en s més impo an s han
sigu in e ides a pa i dels assajos expe imen als i les simulacions. A més,
se simulen la iniciació i c eixemen de les mic oesque des en les mos es
emp an un model de dany basa en la de o mació p incipal máxima. Les
simulacions e idencien una bona co elaciò amb els esul a s expe imen als.
Els assajos expe imen als s’han du a e me en os co ical de íbia
d’o ella, usan mic omos es de, ap oximadamen , 20 mm de la gà ia i 1
mm de g oso amb la inali a d’ensaja -los en condicions de lexiò a 3
pun s. Les mic omos es s’han enyi pe a la seua obse ació amb
mic oscopi òp ic pe a dis ingi la mo ología mic oes uc u al.
Expe imen almen , s’obse a que que les mic oesque des e olucionen al
lla g de les línies cemen an s i a a és del ma e ial in e s icial pe ò sense
c eua les os eones, al como el model d’elemen s ini s ha p edi .
La geome ia de les p obe es s’ha conside a usan elemen s ini s pe
a calib a les p opie a s elás icas i esis en s del model numè ic de mane a
que la seua espos a co esponga amb els esul a s expe imen als de o ça-
desplaçamen . De la ma eixa mane a, pe anàlisi in e s, es posible es ima
p opie a s poc documen ades en la li e a u a.
Keywo ds: os co ical, mic oesque des, mè ode dels elemen s ini s.
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ix
Con enido
1 INTRODUCCIÓN .......................................................................................... 1
1.1 MOTIVACIÓN ............................................................................................. 1
1.2 MICROESTRUCTURA ÓSEA .......................................................................... 1
1.3 MECÁNICA DE LA FRACTURA Y MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ........ 5
1.4 OBJETIVOS ................................................................................................. 7
1.5 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS DE MÁSTER .................................................. 8
2 DESCRIPCION DE LOS ENSAYOS REALIZADOS ................................ 9
2.1 OBTENCIÓN DE LAS MUESTRAS ................................................................... 9
2.2 ENSAYO MECÁNICO Y RESULTADOS ......................................................... 11
2.2.1 Obse ación de las mic og ie as ................................................... 13
3 MODELO NUMÉRICO ............................................................................... 16
3.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO ...................................................................... 16
3.1.1 Geome ía ...................................................................................... 16
3.1.2 Mallado y condiciones de con o no. .............................................. 21
3.2 PROPIEDADES ELÁSTICAS ......................................................................... 23
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
25
4.1 RESPUESTA FUERZA DESPLAZAMIENTO .................................................... 25
4.2 CALIBRACIÓN PROPIEDADES ELÁSTICAS .................................................. 30
4.3 CONCLUSIÓN ....................................................................................... 30
5 MODELO DE DAÑO ................................................................................... 31
5.1 MÉTODO DE LA MECÁNICA DE DAÑO CONTINUO. ..................................... 31
5.2 MODELO DE DAÑO EMPLEADO ....................................................... 31
5.3 IMPLEMENTACIÓN EN ABAQUS ................................................................. 33
5.4 RESULTADOS ........................................................................................... 33
6 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS .................................. 39
6.1 CONCLUSIONES ........................................................................................ 39
6.2 DESARROLLOS FUTUROS .......................................................................... 40
7 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................... 41
8 ANEXOS ........................................................................................................ 43
8.1 SUBRUTINA FORTRAN ABAQUS ................................................................ 43
8.2 ARCHIVO INPUT ABAQUS .......................................................................... 44
1 INTRODUCCIÓN
7
1.4 OBJETIVOS
El obje i o de es e abajo es la es imación de p opiedades elás icas y
esis en es del ejido óseo co ical a ni el mic oes uc u al y, más
conc e amen e, de la línea cemen an e que sepa a las os eonas (unidad
básica del ejido co ical) de la ma iz in e s icial g acias apa i de ensayos
expe imen ales y su pos e io modelado numé ico empleando el mé odo de
elemen os ini os (FEM). Son muy escasas las e e encias en la li e a u a a
es as p opiedades esis en es y, sin emba go, la e idencia expe imen al
demues a que juegan un papel en el compo amien o a ac u a de las
mic og ie as que apa ecen en el ejido óseo co ical [4].
Asimismo se p e ende simula la iniciación y el c ecimien o de
mic og ie as en algunas de las p obe as ensayadas, empleando pa a ello un
modelo de daño cuad á ico basado en de o maciones p incipales máximas.

1 INTRODUCCIÓN
8
1.5 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS DE MÁSTER
En p ime luga , en el capí ulo 2 se de alla la ob ención de las
mues as usadas pa a ob ene las cu as expe imen ales. A con inuación, se
desc iben los ensayos expe imen ales y sus condiciones de con o no,
siguiendo con las g á icas ue za-desplazamien o ob enidas y su análisis. Al
inal del capí ulo se p ocede a la obse ación de las mic og ie as apa ecidas
en las mic op obe as du an e los ensayos expe imen ales
En el capí ulo 3 se explica la c eación del modelo numé ico,
empezando po el modelado geomé ico y la gene ación del mallado.
Después se enume an los ma e iales y sus p opiedades elás icas a pa i de la
bibliog a ía.
En el capí ulo 4, se analizan los esul ados ue za-desplazamien o
ob enidos en la simulación numé ica y se calib an las p opiedades en
unción de los esul ados expe imen ales; después se compa an los
esul ados con la bibliog a ía y se a ojan unas conclusones.
En el capi ulo 5, se de ine el mé odo de la mecánica de daño y se
es ablece el modelo de daño basado en de o maciones. A con inuación se
de alla la implemen ación de una sub u ina en el p og ama Abaqus con el
in de adap a el p og ama a los eque imien os del mé odo. Pos e io men e
se ija un alo incial de de o mación c í ica y se ob ienen po i e ación los
esul ados inales. Po úl imo se analizan los esul ados de de o mación
c í ica así como la e olución de la g ie a.
Las conclusiones ex aídas de odo el abajo ealizado se ecogen en
el capí ulo 6.
La memo ia ecoge una lis a de e e encias bibliog á icas en el
capi ulo 7.
Y e mina el documen o en el capi ulo 8, el anexo que ecoge las
pa es más impo an e de los a chi os de Abaqus y Fo an u ilizados a lo
la go de es a Tesina.
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
9
2 DESCRIPCION DE LOS ENSAYOS
REALIZADOS
En el p esen e capí ulo se ha á una b e e desc ipción sob e los
ensayos ealizados po el Ins i u o de Biomecánica de Valencia (IBV),
empezando po la ob ención y el a amien o de las mues as, con inuando
con las condiciones y pa áme os del ensayo mecánico y inalizando con los
esul dos de los ensayos y la obse ación de las mic og ies as p eoducidas.
2.1 OBTENCIÓN DE LAS MUESTRAS
En p ime luga se ealiza on co es ans e sales en la diá isis de
ibia de o eja con el in de ob ene secciones de ejido co ical de 1 mm de
espeso como la mos ada en la igu a 2.1 izda. Seguidamen e, as elimina
los ejidos ascociados al pe ios io y endos io, se ob u ie on cua o mues as
en las zonas de meno cu a u a, con o mando las cua o mic op obe as a
ensaya . En cada una de es as p obe as se ealizó una mic oen alla de
ap oximadamen e 0.5 mm de anchu a ( éase igu a 2.2). Las mues as se
conse a on en ío y en las condiciones de humedad ap opiadas.
Cabe acla a que la mo ología y las ca ac e ís icas de un hueso de
o eja son simila es a las del hueso de un se humano.
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
10
Figu a 2.1 Izda.: Sección de ibia de o eja (sin a a y con inción de
con as e). Dcha.: Ensayo de lexión en es pun os de la mic op obe a
ex aída de la sección de ibia de o eja.
Figu a 2.2: Mic op obe a del ensayo 2 eñida con inción de con as e
después del ensayo.
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
11
2.2 ENSAYO MECÁNICO Y RESULTADOS
Las mic op obe as ue on ensayadas a lexión en es pun os en una
máquina uni e sal elec omecánica. La igu a 2.1 mues a el u illaje
u ilizado pa a el apoyo y aplicación de la ca ga. La aplicación de la ca ga se
lle ó a cabo a una elocidad de 1 µm/seg, de mane a que los ensayos se
pueden conside a cuasies á icos. Pa a cada mues a, se egis ó una ue za
aplicada en unción del desplazamien o del pun o de aplicación. Los
esul ados se ecogen en la igu a 2.3 y mues an una epe ibilidad
acep able. Resul a e iden e la g an linealidad obse ada has a la aplicación
de una ue za del o den de 4-5 N. Has a ese ango de ue zas aplicadas, el
compo amien o se puede conside a elás ico lineal. A pa i de ese alo de
ue za, comienza a apa ece daño gene alizado en las zonas más solici adas
(en el en o no de la en alla) y iene luga el c ecimien o de mic og ie as, lo
que ocasiona la pé dida de igidez ap eciable en las dis in as cu as de la
igu a 2.3.
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
12
Figu a 2.3: Respues a ue za desplazamien o egis ada pa a los 4
ensayos ealizados.
La ealización de los ensayos se lle ó a cabo sin alcanza la o u a en
dos mi ades de las mic op obe as, con el in de obse a a pos e io i el
camino seguido po las mic og ie as. El siguien e paso consis ió en la
p epa ación de las mues as con inción de con as e ( éase igu a 2.2) y la
obe ación de los de alles mo ológicos (os eonas, canales de ha e s, e c.)
con el in de delimi a las os eonas a a és de sus líneas cemen an es así
como las mic og ie as exis en es (Fig. 2.4)
Pa a la inción de con as e se siguió el p ocedimien o de Bain,
Impeduglia y Rubin [6]. Es e p ocedimien o implica deshid a a las
mues as, po lo que sólo se aplicó después de la ealización de los ensayos.
El colo an e de línea cemen an e es á compues o po azul de oluidina (1g .),
en solución de ácido ó mico al 0.1% (100 mL), con pH 2.6. La inción con
el colo an e de línea cemen an e se ealiza du an e 20 segundos.

2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
13
Pos e io men e, se deshid a a en alcohol e -bu ílico (2-me il-2-p opanol)
du an e 30 seg. En la medida de lo posible, es impo an e educi la
apa ición de a e ac os de inción (manchas y es os) aumen ando el iempo
de deshid a ación en alcohol e -bu ílico. Finalmen e, se ealiza un acla ado
ápido en xileno.
La igu a 2.4 mues a la dis ibución de os eonas a a és de la
mic oscopía óp ica pa a la mic op obe a del ensayo 2. Se obse a la
concen ación de colo an e en la ma iz in e s icial, dejando de inidas en
ono más cla o las os eonas y el canal de Ha e s. El diáme o medio de las
os eonas es de al ededo de 100 µm, aunque en el co e algunas p esen an
o mas cla amen e elíp icas cuyo eje mayo es del o den de 150-200 µm.
2.2.1 Obse ación de las mic og ie as
Se obse a la exis encia de mic og ie as que e olucionan
p incipalmen e a lo la go de los con o nos de las os eonas (es deci , a lo
la go de las líneas cemen an es). El o igen de es a mic og ie a se encuen a
en la zona de máxima concen ación de ensiones ( ondo de en alla).
La e olución de las mic og ie as se obse a cla amen e en el co e 2
( igu a 2.4). La g ie a a anza odeando las os eonas y no a a esándolas.
Figu a 2.4: Mic op obe a del ensayo 2. Obse ación de os eonas al
mic oscopio óp ico (izda. 25x, dcha. 50x)
Dicha endencia obse ada en el co e 2 se epi e en el co e 3 ( igu a
2.5). Aunque en es e caso se a a una g ie a de meno amaño, se obse a
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
14
con bas an e cla idad como la g ie a nace en el ondo de la en alla y se
p opaga odeando la p ime a os eona de g an amaño po su izquie da.
Figu a 2.5: Mic op obe a del ensayo 3. Obse ación de os eonas al
mic oscopio óp ico (izda. 50x, dcha. 100x)
En el co e 4 se epi e la endencia de o ma muy cla a ( igu a 2.6). En es e
caso la g ie a es de mayo amaño y en odo momen o odea las os eonas po
la línea cemen an e. De hecho se obse a como el o igen de la mic og ie a
pa ece es a en la línea cemen an e de una os eona que in e sec a con el
ondo de la en alla en su pa e cen al, lo que con i ma la hipó esis de que
las g ie as ienden a segui la línea cemen an e más que a a a esa las
os eonas.
2 DESCRIPCIÓN DE LOS ENSAYOS REALIZADOS
15
Figu a 2.6: Mic op obe a del ensayo 4. Obse ación de os eonas al
mic oscopio óp ico (50x)
En el co e 1 las os eonas se isualizan de mane a muy de icien e de o ma
que no es muy ú il desde el pun o de is a de la obse ación de la g ie a
( igu a 2.7). Sin emba go pa ece compa i la misma endencia que el es o
de p obe as.
Figu a 2.6: Mic op obe a del ensayo 1. Obse ación de os eonas al
mic oscopio óp ico (100x)
3 MODELO NUMÉRICO
16
3 MODELO NUMÉRICO
En el p esen e capí ulo se ha á una desc ipción sob e el p oceso de
gene ación de los modelos geomé icos y su pos e io mallado, así como las
condiciones de la simulación. A con inuación se indica án y explica án las
p opiedas elás icas empleadas en los dis in os ma e iales del modelo
3.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO
3.1.1 Geome ía
Las geome ías a modela son las cua o mic op obe as ob enidas al
como es á explicado en el capí ulo 2.1. Todos los pasos que se desc iben a
con inuación se han ealizado con las cua o mic op obe as ob eniendo
cua o modelos geomé icos.
En el p oceso de modelado geomé ico se dis inguen dos e apas:
modelado de la mac oes uc u a y modelado de la mic oes uc u a.
Pa a modela la mac oes uc u a se ealiza una o og a ía de al a
esolución de la mic op obe a sob e papel milime ado como escala ( éase
igu a 3.1). A con inuación la imagen se p ocesa con el so wa e Plo
Digi ize , que pe mi e digi aliza imágenes o g á icos escaneados. En el
p esen e abajo, se u iliza pa a ob ene los pun os que de e minen el
con o no de la mic op obe a, habiendo escalado p e iamen e la imagen con
es pun os que de inen el eje x y el eje y g acias a la e e encia del papel
milime ado ( éase igu a 3.2). Como esul ado se ob iene una abla con las
coo denadas x e y de cada pun o ( éase abla 3.1).
3 MODELO NUMÉRICO
23
3.2 PROPIEDADES ELÁSTICAS
Se conside an es ma e iales di e en es en el modelo, según se a e
de la os eona, ma iz in e s icial o línea cemen an e. El modelo de elemen os
ini os incluye dis in as p opiedades elás icas pa a las os eonas, ma iz
in e s icial y línea cemen an e [5]. Es conocido que el ejido óseo p esen a
un g ado de aniso opía impo an e. Sin emba go en el plano ans e sal
bajo es udio en es e abajo no hay g andes di e encias en cuan o a
p opiedades, po lo que los es ma e iales se pueden supone isó opos. Un
esumen de las p opiedades élas icas y esis en es se puede encon a en [7].
Os eona. En la li e a u a exis en di e en es p opues as de
dis ibución de los g upos de ib ilos de colágeno den o de la lamela,
siendo una de las más acep adas ac ualmen e la de 5 subcapas con espeso es
que a ían en e 0.1 y 1.8 µm ( éase [8] y las e e encias allí con enidas).
En [8] se calcula la ma iz cons i u i a del ejido lamela , ag upando las
subcapas en lamela delgada de 0.8 µm y lamela g uesa de 2.4 µm. A pa i
de los esul ados de [8], se oma como alo inicial homogeneizado e
isó opo una una igidez de la os eona 𝐸𝑜𝑠𝑡 = 11.18 GPa y como coe icien e
de Poisson 𝜐𝑜𝑠𝑡 = 0.3.
Ma iz in e s icial. Es á asociada con segmen os de an iguas
os eonas que han sido sus i uidas en el con inuo p oceso de la emodelación
ósea [1]. Sus p opiedades elás icas co esponden a las de un ejido más
mine alizado que el de las os eonas secunda ias. Exis e consenso en la
bibliog a ía en que el ejido in e s icial iene una igidez ap oximadamen e
en e 10 y 15% mayo que la de las os eonas [3,5]. Se ha supues o que la
igidez es un 10% supe io , po lo que 𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠 = 12.298 GPa y 𝜐𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠 = 0.3.
Línea cemen an e. La línea cemen an e se puede conside a la
in e ase en e la os eona y la ma iz in e s icial. Es muy delgada
(ap oximadamen e 1 µm) compa ada con á eas lamela es y su composición
es aún un ema discu ido en la bibliog a ía. Exis en au o es que sugie en que
las ib as de colágeno no a a iesan las líneas cemen an es y po ello
ep esen an el eslabón más débil del ejido óseo co ical. Según es e
plan eamien o, se explica el enómeno obse ado expe imen almen e po el
que las mic og ie as ienden a segui las líneas cemen an es más que a
a a esa os eonas o ejido in e s icial [9], como sucede en es e abajo. En
[4] se ealiza un análisis de los cons i uyen es de la línea cemen an e y se
sugie e que es una egión de mine alización educida. Es a composición es

3 MODELO NUMÉRICO
24
consis en e con la hipó esis de que la línea cemen an e cons i uye una
in e az ela i amen e débil con el ejido in e s icial. Una in e az débil en e
la ma iz ( ejido in e s icial) y las ib as (os eonas) conlle a poca capacidad
de ansmisión de es ue zos, lo que p omue e la iniciación de g ie as en la
línea cemen an e aunque alen iza su c ecimien o en el ejido in e s icial. En
la misma di ección, Thu ne e al. Analizan en [10] el compo amien o de la
línea cemen an e en el ejido co ical median e un modelo idimensional y
se a i ma que pa a el caso de lexión las de o maciones aumen an en las
in e aces pe o las ensiones disminuyen. Es os au o es conside an en [10]
que 𝐸𝑐𝑙 = 0.088 GPa y 𝜐𝑐𝑙 = 0.3. Sin emba go, de acue do con M.G Ascenzi
e al. [11] se ha supues o que 𝐸𝑐𝑙 = 3.3 GPa y 𝜐𝑐𝑙 = 0.3 que son los alo es
inicialmen e conside ados en es e abajo. O os au o es suponen alo es de
igidez aún mayo es [7].
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
25
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN
DE PROPIEDADES
4.1 RESPUESTA FUERZA DESPLAZAMIENTO
El p ime obje i o del análisis es e i ica la espues a ue za-
desplazamien o del pun o de aplicación de la ca ga en el engo lineal. Un
análisis p elimina de elemen os ini os con los alo es de igidez
p opues os en el apa ado an e io mues a que el modelo numé ico se
compo a de o ma mucho más ígida que los esul ados ob enidos
expe imen almen e (el modelo numé ico es has a 32 eces más ígido).
Teniendo en cuen a la simplicidad de las condiciones de con o no y que las
dimensiones geomé icas se han modelado con p ecisión, se debe a ia la
igidez de las p opiedades elás icas.
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
26
Figu a 4.1: Respues a ue za-desplazamien o egis ada en el ensayo 1
y espues a del modelo numé ico as calib ación y ajus e de
p opiedades.
0
1
2
3
4
5
6
7
00,1 0,2 0,3 0,4
Fue za (N)
Desplazamien o (mm)
ENSAYO 1
ABAQUS
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
27
Figu a 4.2: Respues a ue za-desplazamien o egis ada en el ensayo 2
y espues a del modelo numé ico as calib ación y ajus e de
p opiedades.
0
1
2
3
4
5
6
7
00,1 0,2 0,3 0,4
Fue za (N)
Desplazamien o (mm)
ENSAYO 2
ABAQUS
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
28
Figu a 4.3: Respues a ue za-desplazamien o egis ada en el ensayo 3
y espues a del modelo numé ico as calib ación y ajus e de
p opiedades.
0
1
2
3
4
5
6
7
00,1 0,2 0,3 0,4
Fue za (N)
Desplazamien o (mm)
ENSAYO 3
ABAQUS

4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
29
Figu a 4.4: Respues a ue za-desplazamien o egis ada en el ensayo 4
y espues a del modelo numé ico as calib ación y ajus e de
p opiedades
0
1
2
3
4
5
6
7
00,1 0,2 0,3 0,4
Fue za (N)
Desplazamien o (mm)
ENSAYO 4
ABAQUS
4 RESULTADOS NUMÉRICOS Y CALIBRACIÓN DE PROPIEDADES
30
4.2 CALIBRACIÓN PROPIEDADES ELÁSTICAS
T as el ajus e de p opiedades, los nue os módulos de elas icidad
calib ados pa a cada una de las egiones de las cua o p obe as son los
siguien es ( abla 4.1):
𝑬𝒐𝒔𝒕 (GPa)
𝑬𝒄𝒍 (GPa)
𝑬𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔 (GPa
Ensayo 1
0.7900
0.1041
0.8700
Ensayo 2
0.8244
0.1086
0.9068
Ensayo 3
0.8420
0.1110
0.9300
Ensayo 4
0.8384
0.1105
0.9222
Tabla 4.1: Módulos de elas icidad calib ados
El ajus e de la espues a es aho a p ác icamen e el espe ado, como se
puede obse a en las igu as 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4. Se concluye que el ensayo
ealizado en condiciones húmedas p esen a una igidez del ejido óseo
no ablemen e meno que la documen ada en li e a u a. Hay que ene en
cuen a ambién que las os eonas p esen an mayo igidez en la di ección
axial, di ección que no in e iene en el ensayo ealizado, ya que aquí
únicamen e es ele an e la igidez ans e sal de las os eonas.
4.3 CONCLUSIÓN
En cualquie caso, los alo es ob enidos son ela i amen e ce canos
a los alo es p opo cionados po Nobakh i, Limbe y Thu ne [10], excep o
pa a el caso de la igidez de la ma iz in e s icial. En es e abajo se habla de
un igidez asociada a las os eonas de 𝐸𝑜𝑠𝑡,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒 𝑟𝑠𝑎𝑙 = 0.15 GPa,
𝐸𝑜𝑠𝑡,𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 = 5 GPa, 𝐸𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 13.7 GPa y 𝐸𝑐𝑙 = 0.088 GPa, que
pa a el caso que de 𝐸𝑜𝑠𝑡,𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 y 𝐸𝑐𝑙 son incluso meno es que los aquí
es imados as la calib ación, lo que demues a que los alo es ob enidos en
es as dos egiones se pueden conside a admisibles.
5 MODELO DE DAÑO
31
5 MODELO DE DAÑO
5.1 MÉTODO DE LA MECÁNICA DE DAÑO CONTINUO.
La mecánica de daño con inuo es una eo ía cons i u i a que
desc ibe la pé dida p og esi a de la in eg idad del ma e ial debido a la
p opagación y unión de mic og ie as, mic opo os y e ec os simila es. Es os
cambios en la mic oes uc u a lle an a una deg adación de la igidez del
ma e ial obse ada en la mac oescala [14].
5.2 MODELO DE DAÑO EMPLEADO
El daño de hueso co ical es modelado con la deg adación de sus
p opiedades mecánicas cuando se alcanzan alo es c í icos usando una
sub u ina de Abaqus.
Se ha p opues o que el p oceso de allo óseo es á con olado po la
de o mación [12] y que la es uc u a ósea es ue emen e je á quica [1,2],
po lo que di e en es de o maciones c í icas de daño han sido p opues as
pa a cada componen e.
En égimen cuasi-es á ico, la elación iso ópica de elas icidad
basada en la mecánica de daño es exp esada con [13]:
𝜎𝑖𝑗 = 1− 𝐷 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙 (1)
Donde D es la a iable de daño, 𝜎𝑖𝑗 son los componen es de la
ensión, 𝜀𝑘𝑙 las de o maciones y 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 son los componen es enso es de
elas icidad.
La sub u ina de Abaqus implemen ada iene una a iable de es ado
( ), que es el c i e io de daño. Ha sido elegida pa a depende de la
de o mación máxima p incipal ( e ecuación 2). Cuando los alo es c í icos
de de o mación son alcanzados ≥ 1 y las a iables de daño cambian de no
dañado a dañado, esul ando en la deg adación de la igidez del ma e ial
has a el 1% (g á ica 4.1), pa a ep esen a la “smea ed c ack”, modelando
mic og ie as [14].
𝑓=𝜀𝑝𝑚𝑎𝑥 ,𝑖
𝜀𝑖
𝑐 (2)
5 MODELO DE DAÑO
32
Figu a 5.1: Deg adación de la igidez del ma e ial al 1% al
alcanza la de o mación c í ica
Donde 𝜀𝑝𝑚𝑎𝑥 ,𝑖 es la máxima de o mación p incipal ac ual y 𝜀𝑖
𝑐 la
de o mación c í ica de daño de cada componen e.
El mé odo de modelado de daño implemen ado es dependien e de la
malla y del núme o de inc emen os, po lo que se ha lle ado a cabo un
análisis de sensibilidad a endiendo a es as dos a iables. En cuan o a la
dependencia de los inc emen os de iempo, los inc emen os deben se
su icien emen e pequeños pa a que la solución no a íe, mien as que la
dependencia de la malla implica su icien e e inamien o de malla.
σ
ε
𝜺𝒄
6 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
39
6 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS
FUTUROS
Resumen del capí ulo:
En es e capí ulo se ecogen las p incipales conclusiones ex aídas de
los capí ulos an e io es y se enume an posibles desa ollos u u os que
con inúan la línea de in es igación en la que se enma ca la Tesina aquí
p esen ada.
6.1 CONCLUSIONES
 Se ha lle ado a cabo un ensayo a lexión de 3 pun os en mues as de
ejido óseo co ical, jun o con su modelado en elemen os ini os.
 La geome ía de las p obe as y la mo ología de las os eonas en la
egión de in e és se han enido en cuen a en el modelo numé ico,
dis inguiendo en e es componen es a ni el mic oscópico:
os eonas, ma e ial in e s icial y líneas cemen an es.
 La espues a ue za-desplazamien o egis ada expe imen almen e ha
pe mi ido calib a las p opiedades elás icas de los
mic ocomponen es conside ados.
 Se ha demos ado que las p opiedades elás icas calib adas son
simila es a las que a oja la documen ación consul ada, lo cual es ú il
po la di icul ad pa a la es imación de es as p opiedades
expe imen almen e y la as a di e sidad de alo es encon ados en la
li e a u a, pa a los cuales ac ualmen e no hay un consenso.
 También se ha calib ado la de o mación c í ica de daño pa a cada
mic ocomponen e (os eona, ma e ial in e s icial y línea cemen an e)
esul ando al ededo de 17% pa a las os eonas y líneas cemen an es
y sob e un 7% pa a el ma e ial in e s icial.

6 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
40
 Se ha co elacionado con el mé odo de la mecánica de daño con inuo
(pa a ma e ial isó opo, lineal y égimen cuasies á ico) la iniciación
de daño y su e olución con lo obse ado en los es expe imen ales.
 Tan o los esul ados expe imen ales como las simulaciones
numé icas han pe mi ido e i ica la hipó esis de que la apa ición de
mic og ie as en ejido óseo co ical ensayado a lexión en 3 pun os
es á condicionada po las de o maciones, debido a los di e en es
alo es de ígidez de cada componen e de la mic oes uc u a.
 Se ha e idenciado que la g ie a e oluciona a lo la go de las líneas
cemen an es y c uzando el ma e ial in e s icial, pe o no las os eonas,
e o zando la idea de que las líneas cemen an es cons i uyen un
elemen o p o ec o de las os eonas y la ascula ización ósea.
6.2 DESARROLLOS FUTUROS
 Repe i ensayos de lexión en 3 pun os en un mayo núme o de
mues as pa a ene un mayo núme o de esul ados expe imen ales.
 Realiza más modelos numé icos y sus co espondien es
calib aciones de p opiedades elás icas así como de o maciones
c í icas de daño. De es a mane a se e o za ían las conclusiones aquí
ex aídas.
 Asocia el mapa de daño ob enido con una p opiedad in ínseca del
ma e ial como es el a io de libe ación de ene gía.
 Implemen a o os modelos de daño de mane a que el p oceso de
daño no sea bina io sino g adual, con di e sos escalones de
deg adación de la igidez.
 Realiza el mismo es udio pa iendo de o as ipologías de ensayos
expe imen ales que pe mi an ob ene las p opiedades a acción o
o sión.
7 BIBLIOGRAFÍA
41
7 BIBLIOGRAFÍA
[1] S. C. Cowin, Bone mechanics handbook, CRC P ess, Boca Ra ón,
Flo ida, 2001.
[2] D. Taylo , J.G. Hazenbe g, T.C. Lee, Li ing wi h c acks: Damage and
epai in human bone. Na u e Ma e 6, 263-268, 2007.
[3] J. Rho, J. Cu ey. The aniso opic Young's modulus o equine seconda y
os eones and in e s i ial bone de e mined by nanoinden a ion. J Expe
Biology 204, 1775-1781, 2001.
[4] D.B. Bu , M.B. Scha le , R.G. F ede ickson. Composi ion o he
cemen line and i s possible mechanical ole as a local in e ace in human
compac bone. J Biomechanics 21, 939-945, 1988.
[5] S. Li, A. Abdel-Wahab, E. Demi ci, V.V. Silbe schmid . F ac u e
p ocess in co ical bone: X-FEM analysis o mic os uc u ed models. In J
F ac u e 184 (2013) 43-55.
[6] S.D. Bain, T.M. Impeduglia, C.T. Rubin. Cemen line s aining in
undecalci ied hin sec ions o co ical bone. S ain echnology 65 (1990) 1-5.
[7] C. A ango, E. Gine , A. Ve che , F.J. Fuenmayo . Modelado
idimensional del allo p og esi o de la mic oes uc u a del hueso co ical
median e elemen os ini os. Ac as del XXXI Encuen o del G upo Español
de F ac u a, San Lo enzo del Esco ial (2014).
[8] A. Ve che , E. Gine , C. A ango, J.E. Ta ancón, F.J. Fuenmayo .
Homogenized s i ness ma ices o mine alized collagen ib ils and lamella
bone using uni cell ini e elemen models wi h pe iodic bounda y
condi ions. Biomech Model Mechanobiol 13 (2014) 437-449.
[9] J.G. Sked os, J.L. Holme, E.G. Vajda, R.D. Bloebaum. Cemen lines o
seconda y os eons in human bone a e no mine al-de icien : new da a in a
his o ical pe spec i e. Ana Rec A Disco Mol Cell E ol Biol 286 (2005)
781-803.
7 BIBLIOGRAFÍA
42
[10] S. Nobakh i, G. Limbe , P.J. Thu ne . Cemen lines and in e lamella
a eas in compac bone as s ain ampli ie s con ibu o s o elas ici y, ac u e
oughness and mechano ansduc ion. J Mech Beha Biomed Ma 29 (2014)
235-251.
[11] M.G. Ascenzi, N.P. Kawas, A. Lu z, D. Ka das, U. Nackenho s , J.H.
Keyak. Indi idual speci ic mul iscale ini e elemen simula ion o co ical
bone o human p oximal emu . J Compu Phys 244 (2013) 298-311.
[12] Nalla, R.K., Kinney, J.H., Ri chie, R.O., 2003. Mechanis ic ac u e
c i e ia o he ailu e o human co ical bone. Na Ma e 2, 164-168.
[13] Lemai e, J., 1985. A con inuous damage mechanics model o duc ile
ac u e. J Eng Ma e Technol 107, 83-89.
[14] Ji sek, M., 2011. Damage and smea ed c ack models. In Ho s e e , G.
and Meschke, G., Nume ical modeling o conc e e c acking, CSIM cou ses
and lec u es, Sp inge WienNewYo k 532, 1-49.
8 ANEXOS
43
8 ANEXOS
8.1 SUBRUTINA FORTRAN ABAQUS
Sub u ina USDFLD de la p obe a 2, u ilizada pa a implemen a el mé odo
de daño basado en de o maciones en Abaqus. Pa a cambia el caso
calculado se modi ican los alo es de de o mación c í ica ma cados en
neg i a. P og amada en FORTRAN.
SUBROUTINE
USDFLD(FIELD,STATEV,PNEWDT,DIRECT,T,CELENT,TIME,DTIME,
1 CMNAME,ORNAME,NFIELD,NSTATV,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC,
2 NDI,nsh ,coo d,jmac,jm yp,ma layo,lacc lg)
C
INCLUDE 'ABA_PARAM.INC'
C
CHARACTER*80 CMNAME,ORNAME
CHARACTER*3 FLGRAY(15)
DIMENSION FIELD(NFIELD),STATEV(NSTATV),DIRECT(3,3),T(3,3),TIME(2),
* coo d(*),jmac(*),jm yp(*)
DIMENSION ARRAY(15),JARRAY(15)
C
C Empieza aquí
C MATERIAL AND STRENGTH PARAMETERS
PARAMETER(ECC=17.4e-2,ECI=8.45e-2,ECO=17e-2)
C
C
C INITIALIZE FAILURE FLAGS FROM STATEV.
F = STATEV(1) !Va iable de es ado
C
C GET STRESSES AND STRAINS FROM PREVIOUS INCREMENT
CALL GETVRM('EP',ARRAY,JARRAY,FLGRAY,j cd,
$ jmac, jm yp, ma layo, lacc lg)
EP3 = ARRAY(3)
C
C
IF (F .LT. 1) THEN
IF (EP3 .GT. 0.) THEN
IF (CMNAME .EQ. 'CEMENTLINE') THEN
F=(EP3/ECC)
ELSE IF (CMNAME .EQ. 'INTERSTICIAL') THEN
8 ANEXOS
44
F=(EP3/ECI)
ELSE IF (CMNAME .EQ. 'OSTEONA') THEN
F=(EP3/ECO)
ENDIF
STATEV(1)=F
ENDIF
ENDIF
C
C
C
IF (F .LT. 1) THEN
FIELD(1)=0 ! si no alla, ield=FV1=0
ELSE
FIELD(1)=1 ! si alla, ield=FV1=1
ENDIF
C
RETURN
END
8.2 ARCHIVO INPUT ABAQUS
A chi o inpu de abaqus pa a el modelo de la p obe a 2. Pa a cambia el
caso calculado se modi ican los alo es de Ma e ial, des acados en neg i a.
Los comandos esc i os llaman a la sub u ina y la sub u ina de uel e los
alo es co espondien es. Se han incluido únicamen e aquellas pa es que se
conside an impo an es pa a la explicación del modelo de daño y las
condiciones de la simulación.
*Heading
** Job name: Sensibilidad1 Model name: Model-1
** Gene a ed by: Abaqus/CAE 6.13-3
*P ep in , echo=NO, model=NO, his o y=NO, con ac =NO
**
** MATERIALS
**
*Ma e ial, name=CEMENTLINE

8 ANEXOS
45
*Dep a
1,
*Elas ic, dependencies=1
0.000108689, 0.3, , 0.
0.000001086, 0.3, , 1.
*Use De ined Field
*Ma e ial, name=INTERSTICIAL
*Dep a
1,
*Elas ic, dependencies=1
0.000906793, 0.3, , 0.
0.00000906793, 0.3, , 1.
*Use De ined Field
*Ma e ial, name=OSTEONA
*Dep a
1,
*Elas ic, dependencies=1
0.0008243574, 0.3, , 0.
0.000008243574, 0.3, , 1.
*Use De ined Field
** ----------------------------------------------------------------
**
** STEP: S ep-1
**
*S ep, name=S ep-1, nlgeom=NO, inc=10000
*S a ic, di ec
0.001, 1
**
** BOUNDARY CONDITIONS
**
8 ANEXOS
46
** Name: BC-1 Type: Displacemen /Ro a ion
*Bounda y
Apoyo_1, 1, 1
Apoyo_1, 2, 2
** Name: BC-2 Type: Displacemen /Ro a ion
*Bounda y
Apoyo_2, 2, 2
**
** LOADS
**
** Name: Load-1 Type: Concen a ed o ce
*Cload
Load_Poin , 2, -5.
**
*EL PRINT, POSITION=INTEGRATION POINTS, FREQUENCY=10
EP3,SDV,FV
** OUTPUT REQUESTS
**
*Res a , w i e, equency=0
**
** FIELD OUTPUT: F-Ou pu -1
**
*Ou pu , ield
*Node Ou pu
RF, U
*Elemen Ou pu
SDV,FV
S,E
**
** HISTORY OUTPUT: H-Ou pu -1
8 ANEXOS
47
**
*Ou pu , his o y
*Node Ou pu , nse =Load_Poin
CF2, U2
*End S ep